УДК 532.546+517.519 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ВЫТЕСНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНО-АНОМАЛЬНЫХ ФЛЮИДОВ В ТРЕХСЛОЙНОМ ПЛАСТЕ. Ш.Каюмов 1,a , Ш.С.Зиядуллаева 1,b , Э.А.Хусанов 1 , У.Б.Каюмов 2 . 1 Ташкентский государственный технический университет, Ташкент, Узбекистан; 2 Ташкентский государственный экономический университет, Ташкент, Узбекистан; a kayumovmatematic@mail.com b joziba2004@mail.ru Аннотация. Статья посвящена к математическому моделирование задачи вытеснение одного флюида другими имеющие структурные свойства с разными физическими характеристиками в трехпластовой изолированной системе. При этом выбран режим одновременного продвижения границ разделов флюидов в этих пластах. Алгоритм решения предусматривает использовании методов прямых и потокового варианта разностной прогонки. При необходимости предложен использовать метод тепловых источников с дальнейшем применением методов типа Рунге- Кутте. Отмечено что предложенный способ построение моделей можно использовать практических случаях. Ключевые слова: вытеснения, трехпластовые система, изолированные пласты, подвижные границы, структурные, флюиды, балансовые уравнения, алгоритмы, метод прямых, разностные, поток, прогонка, источники. Известно что задача фильтрации нелинейных флюидов в многослойных пористых средах изучены многими исследователями [1-4]. При этом, особый интерес представляет, процесс вытеснения флюидов, когда их фильтрационные характеристики различные и часто несопоставимые. Задача фильтрации газа в упруговодонапорном режиме изучен в [5] и при определенных допущениях, задача сведена к задачам непрерывно действующего теплового источника. Если фильтрации имеет нелинейный характер которые зависит от свойства фильтруемого флюида, а также от структуры самых пластов, тогда возникает необходимости определение положения неизвестных границ подвижных зон. Когда многослойный пласт гидродинамически связаны, то с началом отбора флюида, могут происходить перетоки из одного пласта в другие и прогнозирование одновременного движение границы раздела между фазами для всех слоистых структур практически невозможно. В работе [6] в двухслойном гидродинамически связанном пласте использован многопараметрическая модель для нелинейных задач с учетом различных законов фильтрации. Когда пласты гидродинамически несвязанны, управления границами разделов осуществляется дополнительными условиями регулирующий процесс отбора флюида из пластов. В обоих случаях, возникает задача управления подвижными границами обеспечивающие наибольшей объем отбора флюида при равномерном движении границ раздела. Следовательно, задачи фильтрации аномальных, или структурированных флюидов в многослойных пористых средах является актуальными задачами при конструировании математических моделей. Рассмотрим трехслойный, гидродинамически несвязанный пласт, где с началом, при t0 > 0 происходит, процесс вытеснение одного флюида с другими. Пусть в обла1 сти D = 3 P Di где Di = D1i + D2i , в начале координаты пластов закачивается флюид i=1 с легкими компонентами имеющие весовые расходы Q(t) = 3 P qi . Предположим, что i=1 вытесняемые фазы, обладают структурными свойствами и так, как, вязкости втесняющей фазы намного меньше чем вязкости вытесняемого флюида, то можно ими пренебрегаться. Считая, что фильтрация в пласте происходить плоско- параллельно, то математическую модель этой задачи, можно записать следующей начально краевой задачей: ∂ ki ∂ui ∂ui · χ (|∆ui | · βi ) · = Mi (xi , t) · , t0 > 0 , x ∈ D , i = 1, 3 (1) ∂x µi ∂x ∂t с начальными условиями ui (x, 0) = ui0 (2) а также условиями на подвижной границе σ̃i · mi · ∂Ri ki ∂ui = · χ (|∆ui | · βi ) · ∂t mi ∂x (3) x=Ri +0 и уравнением баланса втесняемой фазы W0i (t) = σ̃i · mi · π · hi · Ri2 · ui T0 · u0 Ti (4) с дополнительными условиями σ̃i · mi · ∂R1i ∂R2i = σ̃2 · m2 · ∂t ∂t (5) Здесь ki , µ0 , mi , σ̃i , hi , T0 , Ti , ui0 известные параметры пластов и флюидов [2-4]. WHi −неизвестный объем втесняемой фазы при определенных случаях. Можно предположить, что 3 X WH (t) = W0i (t) (6) i=1 Использование функции χ(ξ) в уравнениях (1)-(3) дает возможность обобщить задачи вытеснения, для флюидов структурными свойствами [6,7] и повысит степени важности исследования для многослойных пластов. В этих случаях к задаче (1)-(5) добавиться и условия непрерывности функций и потоков на границах подвижных зон. При этом могут количество неизвестных границ увеличивается кратно. Для того чтобы достичь процесса управления, равномерности движение границы раздела, сформулирован условия (5). Практически это означает, что для каждого временного шага границы втесняемой фазы по всем пластам происходить, одновременно и параллельно. Задача (1)-(6) решается численными методами [8,9]. При этом строится итерационный процесс а также метод прямых по переменной t , метод потокового варианта сеточной прогонки [9-10] по пространственным переменным x. Последовательность вычисление построенных вычислительных алгоритмов следующие: 2 1. По заданным нулевым приближением дебитов qi0 (t),определяется из формулы (4) ui ,на границе расширяющейся области D1i ; 2. Используя условия (3) как граничные, проводится решение сеточной задачи (1); 3. Если структурная фильтрация, то в области D2i определяется свои внутренние границы возмущений; 4. Обеспечивается равномерность продвижение контакта по (5); 5. Проверяется выполнение условий итерации, если она выполнено, то переходит к другому временному шагу. Расчеты можно вести до времени t = T когда происходит полного вытеснение по всему фронту для всех пластов. Задачу (1)-(6) можно решить и другим методом [2,10] если при определенных допущениях уравнений (1) представим в виде Mi ui (x, t) = uik + 4∂ki · hi · χi · π Zt 2 Qi0 (τ ) − 4χ x(t−x) e i dτ t−τ (7) 0 где x > 0 . Это решение принадлежит к области Ri (t) < x. Интенсивность фиктивных источников Qi0 (t) пока не известно. После определенных преобразованиях задача (1)-(7) примет вид Zt 1 qit (τ ) − ϕt−τ i (t) ui = τi + uik + e dτ (8) 4π t−τ 0 dϕi = Bi ϕi dt Zt qit (τ ) − ϕt−τ i (t) e dτ (t − τ ) (9) 0 ui (t)ϕi (t) = fi (t) , fi (t) = ui 3 X λi ϕi (10) i=1 2 Si R где ϕi (t) = χπT , qi (t) = kQii0R(t)µ . 0 i ui0 Можно построить , при fi (t) = k · t, автомодельное решения ϕi (t) = ki · t. В дальнейшем эти задачи, можно решит численно, разбивая отрезок (0, t) точками tk , и в каждом интервале (ti−1 , ti ) дифференциальные уравнения (9) решить методом Рунге-Кутта, а интегралы квадратурной формулой трапеции. Выше приведенную методику, построение математической модели процесса фильтрации флюидов трехслойном пласте и алгоритмы их решений, можно применять при разработке эксплуатации трехслойных месторождений, имеющие аналогичные физические характеристики как в этой задаче. 3 Литература. 1. Ширковский А.И. Задора Т.И. Добыча и подземное хранение газа. М: “Недра” 1974 г.- 262 с. 2. Каюмов Ш. Арзикулов Г.П. Хаитов Т.О. Об одном способе моделирование задачи вытеснение нелинейных флюидов. Сб. Материалов республиканской научной конференции “Актуальные проблемы математики и прикладной математики в эпоху глобализации” . Ташкент. 2021. С. 74-78. 3. Хейн А.Л. Гидродинамический расчет подземных хранилиш газа. М. “Недра” 1974 г.- 262 с. 4. Мухидинов Н. , Алимов И. Расчет основных гидродинамических показателей разработки многопластовых месторождений газа при упруговодонапорном режиме. Сб. Вопросы вычислительной и прикладной математики. вып. 26. 1974 г. с. 67-83. 5. Чарный И.А., Мухидинов Н.М. Изменения пластового давления при разработки газового месторождения в неограниченном водоносном пласте. Журнал. “Газовая промышленность” . 1962 г. N11. 32-36 ст. 6. Shukur Kayumov, Golib Arzikulov, Sherzad Bekchanov and Shohida Zuyadullayeva. A multiparameter mathematical model for the problem of nonlinear filtration of fluids in two-layer media. Journal of Physics: Conference Series 2697(2024)012042 IOP doi:10.1088/1742-6596/2697/1/012042. 7. Каюмов Ш., Бекчанов Ш.Е., Зиядуллаева Ш.С. Каюмов У.Б. Математические моделирование задачи филтрации структурированних флюидов в связанних трехслойних средах. Материалы республиканской научно-технической конференции “Актуальные проблемы математического моделирования, алгоритмизации и программирования” . Ташкент. 2023 г. С. 64-68. 8. Каюмов Ш., Мардонов А.П., Хаитов Т.О., Каюмов А.Б. Математического моделирования структурированных флюидов в связанных пластах. Сборник трудов международной научной конференции. “Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики” . Воронеж. 2020. с.934-942. 9. Samarskii A.A., The Theory of Difference schemes .- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc. 2001.-761 p. 10. Каюмов Ш. Математическое моделирование задачи теории фильтрации со свободными границами. ТГТУ. Ташкент. 2017.-274 с. 4
