1. Вводная лекция: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРАВЛИКИ
Раздел механики, в котором изучают равновесие и движение жидкости (газа), а также
силовое взаимодействие между жидкостью и обтекаемыми ею телами или
ограничивающими ее поверхностями, называется механикой жидкости и газа
(гидромеханикой).
Гидравлика занимается приложением законов равновесия и движения жидкости и газа
к решению практических задач. При этом широко используются те или иные допущения и
предположения, упрощающие задачу. Достаточно часто гидравлические решения
основываются на результатах экспериментов, и поэтому в гидравлике используется
относительно много эмпирических и полуэмпирических зависимостей. В гидравлике
стремятся найти главные характеристики процесса, такие как средняя скорость, расход и
т.п.
В гидравлике рассматриваются главным образом течения жидкости, ограниченные и
направленные твердыми стенками, т.е. течения в открытых и закрытых руслах (каналах).
Таким образом, можно сказать, что в гидравлике изучаются в основном внутренние задачи,
в отличие от внешних задач, связанных с движением твердого тела в жидкости (газе).
Термину «жидкость» в гидромеханике придается более широкий смысл, чем это
принято в обыденной жизни. В понятие «жидкость» включают все тела, для которых
свойственна текучесть, т.е. способность сильно изменять свою форму под действием сколь
угодно малых сил. Таким образом, понятие «жидкость» включает как жидкости обычные,
называемые капельными, так и газы. Первые отличаются тем, что в малом количестве под
действием поверхностного натяжения принимают фору капли, а в большом обычно
образуют свободную поверхность раздела с газом.
В основу механики жидкости положена гипотеза сплошности среды, согласно
которой жидкость представляет собой материальную среду, масса которой непрерывно
распределена по объему (т.н. материальный континуум).
Силы, действующие в жидкости, подразделяются на внутренние и внешние.
Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия частиц жидкости. Они
являются парными, и их сумма в данном объеме всегда равна нулю.
Внешние силы действуют на рассматриваемую массу или поверхность жидкости
извне. Внешние силы подразделяются на: массовые (объемные) и поверхностные.
Вследствие текучести жидкости внешние силы не могут быть сосредоточенными, а
только непрерывно распределенными по ее массе (объему) или поверхности. В этом
состоит коренное отличие жидкости от твердого тела.
Массовые силы согласно 2-му закону Ньютона прямо пропорциональны массе
жидкости (сила тяжести, инерции и т.п.).
Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и
обусловлены воздействием соседних объемов жидкости или же воздействием других тел.
Согласно 3-му закону Ньютона с такими же силами, но в противоположном
направлении жидкость действует на соседние с нею тела.
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Модели жидкости:
Классификация жидкостей основана на том, учитываются или не учитываются
касательные силы трения между слоями жидкости при возникновении ее течения.
Известны две модели жидкости: модель идеальной и модель вязкой жидкостей.
Идеальная жидкость:
В модели идеальной жидкости силы трения между слоями жидкости, возникающие
при ее течении, много меньше сил давления.
Вязкая жидкость:
В модели вязкой жидкости учитываются силы трения между слоями жидкости,
возникающие при ее течении.
Вязкая ньютоновская жидкость:
Закон вязкого трения Ньютона: касательное напряжение между слоями движущейся
жидкости пропорционально разности скоростей этих слоев, рассчитанной на единицу
расстояния между ними, т.е. величине du/dy:
ⅆ𝑢
𝑀
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
,[
]
ⅆ𝑦 𝐿 ∙ 𝑇 2
Рисунок 1 – Трение между слоями жидкости
В системе СИ [𝜏𝑦𝑥 ] = [Па].
𝑀
Коэффициент пропорциональности 𝜇, [𝐿∙𝑇] – коэффициент динамической вязкости.
кг
В системе СИ [𝜇] = [м∙с].
кг
[𝜇] = [Пз] = 10−1 [ ].
м∙с
µ
𝐿2
Коэффициент кинематической вязкости жидкости – ν = 𝜌 = [ 𝑇 ]
м2
В системе СИ [𝜈] = [ с ].
м2
[𝜈] = [Ст] = 10−4 [ ].
с
Коэффициенты динамической и кинематической вязкости пресной воды при 20 °С
равны 1сПз и 1 сСт соответственно.
Вязкость жидкостей зависит от температуры. При повышении температуры вязкость
уменьшается, при понижении- увеличиватеся.
Формула Рейнольдса-Филонова для зависимости 𝜈 от Т:
𝜈(Т) = 𝜈0 ∙ е−к(Т−Т0) ,
𝜈0 – кинематическая вязкость при Т0; к (1/К) – опытный коэффициент.
к=
𝜈
ln( 0 )
𝜈1
(Т1 −Т0 )
.
Величину 𝛾̇ = du/dy градиента скоростей, имеющую размерность с-1, называют
скоростью сдвига.
Рисунок 2 – Кривая течения ньютоновской вязкой жидкости
Несжимаемая жидкость:
Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в процессе движения не
изменяется: dp/dt = 0.
Если изначально у всех частиц эта плотность была одинаковой ρ = ρ0 = const, то она
остается таковой во все время движение (однородная жидкость).
Слабосжимаемая жидкость (модель упругой жидкости):
𝜌(𝑝) = 𝜌0 [1 + 𝛽(𝑝 − 𝑝0 )],
где β – коэффициент сжимаемости (1/Па), 𝜌0 – номинальная плотность при
номинальном давлении р0.
КР = 1/ β (Па) – модуль упругости жидкости.
Средние значения модуля упругости КР для нефти и нефтепродуктов составляют
1400-1500 Мпа.
Жидкость с тепловым расширением:
𝜌(Т) = 𝜌0 [1 + 𝜉(Т0 − Т)],
где 𝜉 (1/°С) – коэффициент объемного расширения, 𝜌0 и Т0 – плотность и температура
жидкости при нормальных условиях (Т0 = 293 К (20 °С), р0 = 101 325 Па).
Таблица 1 – Коэффициент объемного расширения для нефти и нефтепродуктов
Плотность ρ
Плотность ρ
Коэффициент
Коэффициент 𝜉,
(при 20 °С),
(при 20 °С),
𝜉,1/°С
1/°С
3
кг/м3
кг/м
720-739
0,001183
800-819
0,000937
740-759
0,001118
820-839
0,000882
760-779
0,001054
840-859
0,000831
780-799
0,000995
860-880
0,000782
Используют также модель жидкости, подверженной как барическому, и
термическому расширению. В этой модели ρ = ρ (p, T), причем справедливо следующее
уравнение состояния:
𝜌(р, Т) = 𝜌0 [1 + 𝜉(Т0 − Т) + 𝛽(𝑝 − 𝑝0 )]
Испаряемость (упругость насыщенных паров):
Давление Ру, при котором существует термодинамическое равновесие жидкости и ее
паров, называется давлением насыщенных паров этой жидкости или упругостью
насыщенных паров.
Формула П.Л. Рыбакова:
𝑇−𝑇∗
𝑃𝑦 = 𝑃𝑦∗ ∙ 𝑒 𝑎 𝑇 ,
где 𝑃𝑦∗ упругость насыщенных паров, измеренная по Рейду (Т* = 311 К), а > 0 –
опытная постоянная, зависящая от конкретной нефти или нефтепродукта.
Если упругость насыщенных паров нефти или нефтепродуктов известна при какихлибо двух значениях абсолютной температуры Т1 и Т2, то из формулы Рыбакова следует,
что при других значениях Т она может быть вычислена по формуле:
𝑃𝑦(𝑇)
1−𝑇1/𝑇
𝑃𝑦(𝑇2)
𝑙𝑛 𝑃𝑦(𝑇1) = 1−𝑇1/𝑇2 ∙ 𝑙𝑛 𝑃𝑦(𝑇1).
Модели газа:
Уравнение состояния газа:
𝐹(𝜌, 𝜈, 𝑇) = 0.
Рисунок 3 – Поверхность в пространстве переменных (𝜌, 𝜈, 𝑇), изображающая уравнение
состояние реального газа
К* - критическая точка.
Модель совершенного газа:
Уравнение Менделеева-Клапейрона:
𝑃𝜈 = 𝑅𝑇или𝑃 = 𝜌𝑅𝑇,
где R – газовая постоянная:
𝑅
𝑅 = µ0,
𝑚
где 𝑅0 – универсальная газовая постоянная (8314 Дж/(моль*К)), µ𝑚 – молярная
масса.
Модель реального газа:
𝑃𝜈 = 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅)𝑅𝑇или𝑃 = 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅)𝜌𝑅𝑇,
где 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅) – коэффициент сверхсжимаемости; 𝑃̅, 𝑇̅ – приведенные давление и
температура соответственно:
𝑃
𝑇
𝑃̅ = , 𝑇̅ = ,
𝑃кр
𝑇кр
𝑃кр , 𝑇кр – критические давление и температура газа.
Аппроксимационная формула для Z:
𝑃̅
{
𝜃
𝜃 = 1 − 1,68𝑇̅ + 0,78𝑇̅ 2 + 0,0107𝑇̅ 3
𝑍(𝑃̅, 𝑇̅) = 1 − 0,0241 ∙
Для заметок
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Задача № 1
Кинематическая вязкость летнего дизельного топлива при температуре +20 °С равна
5 сСТ, а при температуре 0 °С она увеличивается до 8 сСт. Какая вязкость того же
дизельного топлива при температуре +10 °С?
Решение:
𝜈(Т) = 𝜈0 ∙ е−к(Т−Т0) ,
𝜈0 – кинематическая вязкость при Т0; к (1/К) – опытный коэффициент.
𝜈
ln( 0 )
к = (Т
𝜈1
1 −Т0 )
.
𝝊𝟎
) 𝐥 𝐧 (𝟓)
𝝊𝟏
𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟓 𝟏
𝒌=
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 𝟎 − 𝟐𝟎
𝑲
𝑻𝟎 = 𝟐𝟎℃
𝝂(𝟏𝟎℃) = 𝟓 ∗ 𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟑𝟓(𝟏𝟎−𝟐𝟎) = 𝟔, 𝟑сСТ
𝐥𝐧(
Ответ:
6.3 сСТ
Задача № 2
Плотность бензина 𝜌0 при 20 °С и атмосферном давлении равна 745 кг/м3. Какова
плотность этого же бензина при температуре 10 °С и давлении 6,5 МПа?
Решение:
𝜌(р, Т) = 𝜌0 [1 + 𝜉(Т0 − Т) + 𝛽(𝑝 − 𝑝0 )]
(𝟔. 𝟓 − 𝟎, 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓)
кг
𝝆(р, Т) = 𝟕𝟒𝟓 ∗ [𝟏 + 0,001118(𝟐𝟎 − 𝟏𝟎) +
] = 𝟕𝟓𝟎 𝟑
𝟏𝟒𝟎𝟎
м
Ответ:
𝟕𝟓𝟎
кг
м𝟑
Задача № 3
Рассчитать упругость насыщенных паров нефти при температуре Т = 293 К, если при
температурах Т1 = Т* = 311 К и Т2 = 278 К она составляет 90 и 30 кПа, соответственно.
Решение:
𝑻
𝟏 − 𝑻𝟏
𝑷𝒚(𝑻)
𝑷𝒚(𝑻𝟐 )
𝐥𝐧(
)=
∙ 𝐥𝐧(
).
𝑻
𝑷𝒚(𝑻𝟏 )
𝑷𝒚(𝑻𝟏 )
𝟏 − 𝑻𝟏
𝟐
𝟑𝟏𝟏
𝟏 − 𝟐𝟗𝟑
𝑿
𝟑𝟎
𝐥𝐧( ) =
∗ 𝐥𝐧( )
𝟑𝟏𝟏
𝟗𝟎
𝟗𝟎
𝟏 − 𝟐𝟕𝟖
𝑿 = 𝑷(𝟐𝟗𝟑) = 𝟓𝟏кПа
Ответ:
51 кПа
Задача № 4
Найти значение коэффициента сверхсжимаемости газа (𝑃кр = 4,6МПа, 𝑇кр = 190К),
находящегося при давлении 7,5 МПа и температуре 288 К.
Решение:
𝑃𝜈 = 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅)𝑅𝑇или𝑃 = 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅)𝜌𝑅𝑇,
где 𝑍(𝑃̅, 𝑇̅) – коэффициент сверхсжимаемости; 𝑃̅, 𝑇̅ – приведенные давление и
температура соответственно:
𝑃
𝑇
𝑃̅ = , 𝑇̅ = ,
𝑃кр
𝑇кр
𝑃кр , 𝑇кр – критические давление и температура газа.
Аппроксимационная формула для Z:
𝑃̅
̅ , 𝑇̅) = 1 − 0,0241 ∙
𝑍(𝑃
{
𝜃
2
̅
̅
𝜃 = 1 − 1,68𝑇 + 0,78𝑇 + 0,0107𝑇̅ 3
̅ = 𝑷 = 𝟕.𝟓 = 𝟏. 𝟔𝟑, 𝑻
̅ = 𝑻 = 𝟐𝟖𝟖 = 𝟏, 𝟓𝟐.
𝑷
𝑷кр
𝟒.𝟔
𝑻кр
𝟏𝟗𝟎
𝟏. 𝟔𝟑
= 𝟎, 𝟖𝟔
{
𝟎. 𝟐𝟔𝟖
𝜽 = 𝟏 − 𝟏, 𝟔𝟖 ∗ 𝟏. 𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟕𝟖 ∗ 𝟏. 𝟓𝟐𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕 ∗ 𝟏. 𝟓𝟐𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟔𝟖
̅, 𝑻
̅) = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟏 ∙
𝒁(𝑷
Ответ:
0.86
Задача № 5
Найти значение коэффициента сверхсжимаемости газа (𝑃кр = 4,6МПа, 𝑇кр = 190К),
находящегося при давлении 7,36 МПа и температуре 285 К, по аппроксимационной
формуле.
Решение:
̅ = 𝑷 = 𝟕.𝟑𝟔 = 𝟏. 𝟔, 𝑻
̅ = 𝑻 = 𝟐𝟖𝟓 = 𝟏, 𝟓.
𝑷
𝑷кр
𝟒.𝟔
𝑻кр
𝟏𝟗𝟎
𝟏. 𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟓𝟖
{
𝟎. 𝟐𝟕𝟏
𝜽 = 𝟏 − 𝟏, 𝟔𝟖 ∗ 𝟏. 𝟓 + 𝟎, 𝟕𝟖 ∗ 𝟏. 𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕 ∗ 𝟏. 𝟓𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟏
̅, 𝑻
̅ ) = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟏 ∙
𝒁(𝑷
Ответ:
0.858
Задача № 6
Плотность нефти при температуре 5 °С составляет 845 кг/м3. Вычислить плотность
той же нефти при температуре 20 °С.
Решение:
𝜌(Т) = 𝜌0 [1 + 𝜉(Т0 − Т)],
845 = 𝜌0 [1 + 0.000882(20 − 5)],
кг
𝝆𝟎 = 𝟖𝟑𝟒 𝟑 , чтосоответствуетподобранномукоэффициентуидавлениевходитв (𝟖𝟐𝟎
м
кг
− 𝟖𝟑𝟗 𝟑 )
м
Ответ:
834 кг/м3
Задача № 7
Плотность зимнего дизельного топлива при температуре 12 0С составляет 840 кг/м3.
Какова будет его плотность при температуре 18 0С?
Решение:
𝜌(Т) = 𝜌0 [1 + 𝜉(Т0 − Т)]
840 = 𝜌0 [1 + 0.000882(20 − 12)]
кг кг
𝝆𝟎 = 𝟖𝟑𝟒 (чтосоответствует𝟖𝟐𝟎 − 𝟖𝟑𝟗 𝟑 ) 𝟑
м м
кг
𝜌(Т) = 834[1 + 0.000882(20 − 18)] = 832.5 3
м
Ответ:
𝟖𝟑𝟐. 𝟓
кг
м𝟑
Задача № 8
Уровень нефти (ρ20 = 850 кг/ м3) в вертикальном цилиндрическом резервуаре
составлял утром 9 м, считая от дна резервуара. Определить, на сколько изменится этот
уровень днем, когда средняя температура жидкости увеличится на 7 0С.
Решение:
𝜌ут (Тут ) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Тут )]
𝜌дн (Тдн ) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Тдн )]
∆𝝆 = 𝝆ут − 𝝆дн = 𝝆𝟐𝟎 ∗ 𝜉(𝑇дн − 𝑇ут ) = 850 ∗ 0.000831 ∗ 7 = 4.94
кг
м3
𝒎 = ±𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
𝝆ут ∗ 𝑯ут ∗ 𝑺 = 𝝆дн ∗ 𝑯дн ∗ 𝑺
𝝆ут ∗ 𝑯ут = 𝝆дн ∗ (𝑯ут + ∆𝑯)
𝑯ут ∗ ∆𝝆
∆𝑯 =
𝝆дн
∆𝝆 𝟒. 𝟗𝟒
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖
𝝆дн
𝟖𝟓𝟎
∆𝑯 = 𝟗 ∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟑м.
Ответ:
Увеличится на
0.0523 м.
Задача № 9
Температура нефти (ρ20 = 870 кг/ м3) в вертикальном цилиндрическом резервуаре
уменьшилась за сутки на 10 0С. На сколько изменится уровень жидкости в резервуаре, если
известно, что первоначально он составлял 6 м?
Решение:
𝜌1 (𝑇) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Т1 )]
𝜌2 (Т) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Т2 )]
кг
∆𝝆 = 𝝆𝟏 − 𝝆𝟐 = 𝝆𝟐𝟎 ∗ 𝜉(𝑇2 − 𝑇1 ) = 870 ∗ 0.000782 ∗ (−10) = −6.8 3
м
По аналогии с задачей №8
(−𝟔. 𝟖)
∆𝑯 = 𝟔 ∗
= −𝟎. 𝟎𝟒𝟕м
𝟖𝟕𝟎
Ответ:
Уменьшится на
0.047 м
Задача № 10
Автомобильный бензин (ρ20 = 730 кг/м3) в цистерне бензовоза нагрелся на 25 0С,
заполнив ее до нижнего среза горловины, в связи с чем объем топлива стал равен
номинальному объему цистерны 10 м3. Определить, какой объем бензина будет
зафиксирован в подземной емкости автозаправочной станции (АЗС) после слива цистерны,
когда температура бензина уменьшится до температуры 15 0С окружающего грунта.
Решение:
кг
𝜌1 (𝑇) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Т1 )] = 730 ∗ (1 + 0.001183 ∗ (−5)) = 725.68 3
м
кг
𝜌2 (Т) = 𝜌20 ∗ [1 + 𝜉(20 − Т2 )] = 730 ∗ (1 + 0.001183 ∗ 5) = 734,3 3
м
𝒎 = ±𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
𝝆𝟏 𝑽𝟏 = 𝝆𝟐 𝑽𝟐
𝝆𝟏 𝑽𝟏 𝟕𝟐𝟓. 𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎
𝑽𝟐 =
=
= 𝟗. 𝟖𝟖м𝟑
𝝆𝟐
𝟕𝟑𝟒. 𝟑
Ответ:
Уменьшится на 9.88 м𝟑
Задание для самостоятельной работы
Автомобильный бензин А-80 (ρ20 = 730 кг/м3) хранится при температуре T0 = 15 0С в
горизонтальной цилиндрической цистерне с диаметром котла 5 м и протяженностью 50 м.
Горловина цистерны представляет собой вертикальный цилиндр с диаметром 2 м и высотой
3 м. Уровень бензина в горловине цистерны находится на 1 м ниже ее верхнего края.
Определить, на сколько этот уровень понизится, если температура топлива уменьшится на
5 0С.
Ответ
Варианты
для гр.
2Б21: 1-30,
2Б22: 3060; 2Б23:
60-90;
2Б24: 90120; 2Б25:
120-150
Автомобильный бензин А-80 (ρ20 = 730 кг/м3) хранится при
температуре T0 = 17 0С в горизонтальной цилиндрической цистерне с
диаметром котла 5 м и протяженностью 50 м. Горловина цистерны
представляет собой вертикальный цилиндр с диаметром 2 м и высотой 3
м. Уровень бензина в горловине цистерны находится на 1 м ниже ее
верхнего края. Определить, на сколько этот уровень понизится, если
температура топлива уменьшится на 5.3 0С.
Вариант T0, 0С
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
Уменьшение
температуры
топлива (∆t), 0С
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5,1
5,2
5,3
Вариант T0, 0С
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
Уменьшение
температуры топлива
(∆t), 0С
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6
6,1
6,2
6,3
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
11
10
25
26
27
28
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
11
10
25
26
27
28
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
11
10
25
26
5,4
5,5
6
7
8
9
10
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5
4
3
2
1
7
8
9
10
11
12
2
3
4
5
6
7
8
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
11
10
25
26
27
28
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
11
10
25
26
27
28
29
19
20
21
22
23
24
14
13
12
11
10
25
26
27
28
29
15
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8
7
5
3
3
4
9
8
7
6
5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
27
28
29
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
13
12
11
10
25
26
27
28
29
15
16
17
18
9
10
11
4
4
4
4
4
10
9,5
9
8,5
8
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
4
4,5
5
5,5
142
143
144
145
146
147
148
149
150
16
17
18
19
20
14
13
12
11
3
4
5
6
7
2
3
3,5
4
