R - Северо-Кавказский горно

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА,
ЭЛЕКТРОНИКА И СХЕМОТЕХНИКА
Часть 1
Электрические цепи
Издание третье, переработанное и исправленное
Методические указания по выполнению лабораторных работ
Для студентов направлений,
220700 «Автоматизация технологических процессов
и производств»;
151000 «Технологические машины и оборудование»;
261400 «Технология художественной обработки материалов»;
190700 «Технология транспортных процессов»;
260800 «Технология продукции и организация общественного
питания»;
230100 «Информатика и вычислительная техника»
Составители: П.А. Воронин, А.Л. Степанов
Владикавказ
–0-
2011
Министерство образования и науки Российской Федерации
Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)
Кафедра теоретической электротехники и электрических машин
ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА,
ЭЛЕКТРОНИКА И СХЕМОТЕХНИКА
Часть 1
Электрические цепи
Издание третье, переработанное и исправленное
Методические указания по выполнению лабораторных работ
для студентов направлений:
220700 «Автоматизация технологических процессов
и производств»;
151000 «Технологические машины и оборудование»;
261400 «Технология художественной обработки материалов»;
190700 «Технология транспортных процессов»;
260800 «Технология продукции и организация общественного питания»;
230100 «Информатика и вычислительная техника»
Составители: П.А. Воронин, А.Л. Степанов
Допущено редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
«Северо-Кавказский
горнометаллургический институт (государственный технологический
университет)».
Владикавказ
–1-
2011
УДК 621.3
ББК 31.2
О-28
Рецензент: кандидат технических наук Соин А.М.
О-28
Общая электротехника, электроника и схемотехника. Часть 1. Электрические цепи. Методические указания по выполнению лабораторных работ.
Изд. 3-е, перераб. и испр. / Сост. П.А. Воронин, А.Л. Степанов; СевероКавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек»,
2011. 220 с.
В настоящем сборнике приведены работы по исследованию режимов электрических цепей постоянного, синусоидального и трёхфазного тока. Содержание
лабораторных работ включает основные теоретические положения, методику
лабораторного эксперимента, даны указания по применению на практике знаний,
полученных в лаборатории.
Цель сборника – помочь обучающимся неэлектрических направлений подготовки бакалавров в проведении лабораторного эксперимента, в обработке экспериментальных результатов и составлении отчета, а также в привитии им навыков
сборки электрических цепей.
По сравнению со вторым изданием в сборник внесены исправления, описание некоторых разделов представлено в новой редакции.
УДК 621.3
ББК 31.2
Редактор: Хадарцева Ф.С.
Компьютерная верстка Гугкаева Р.А.
 Составление. Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет), 2011
© Воронин П.А., Степанов А.Л., составление, 2011
Подписано в печать 3.08.11. Формат 70 х 108 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печать
на ризографе. Усл. п. л. 19,25. Тираж 55. экз. Заказ №_____
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический
университет). Изд-во «Терек»
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, Владикавказ, ул. Николаева, 44
–2-
СОДЕРЖАНИЕ
Правила техники безопасности............................................................ 4
Лабораторная работа №1. Исследование сложных цепей постоянного тока .............................................................................................. 10
Лабораторная работа №2. Экспериментальная проверка метода
наложения ............................................................................................ 30
Лабораторная работа №3. Исследование нелинейных цепей постоянного тока ..................................................................................... 41
Лабораторная работа №4. Исследование режимов работы электрической цепи .................................................................................... 61
Теоретический раздел «Основные сведения о цепях синусоидального тока» ............................................................................................ 87
Лабораторная работа №5. Цепь с последовательным соединением
реактивных элементов ........................................................................ 129
Лабораторная работа №6. Цепь с параллельным соединением
ветвей с реактивными элементами.................................................... 157
Лабораторная работа №7. Исследование трёхфазной цепи при
соединении приёмника по схеме звезда ........................................... 178
Лабораторная работа №8. Исследование трёхфазной цепи при
соединении приёмника по схеме треугольник................................. 200
–3-
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
В ЛАБОРАТОРИИ ОБЩЕЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Общие положения
1. К выполнению лабораторных работ допускаются студенты, изучившие правила техники безопасности.
2. Лабораторные работы могут проводиться только под руководством и наблюдением преподавателя.
3. При выполнении лабораторных работ студентам запрещается:
 включать схемы под напряжение без проверки их преподавателем;
 прикасаться к незащищённым изоляцией частям схемы,
включённым под напряжение;
 определять наличие напряжения на элементах схемы при помощи пальцев. Проверка наличия напряжения производится только с
помощью проверенного вольтметра в присутствии преподавателя;
 оставлять без присмотра электрическую цепь, находящуюся
под напряжением;
 при работе на лабораторной установке прикасаться одновременно стен, батарей отопления и других металлических предметов;
 включать рубильники, нажимать кнопки, прикасаться к электрическому оборудованию на стенде, не относящемуся к лабораторной
работе;
 производить по ходу работы переключения в схеме, не отключив последнюю от всех источников питания;
 производить какие-либо переключения на общих лабораторных щитах;
 бросать соединительные проводники на пол и на исследуемую цепь;
 заменять перегоревшие предохранители на рабочих щитах
при включённых рубильниках и без участия преподавателя или лаборанта;
 класть на рабочий стол портфели, сумки и другие посторонние вещи;
 входить в лабораторию в верхней одежде;
 курить и зажигать огонь.
4. Перед включением схемы под напряжение обязательно предупредить членов бригады: «Осторожно! Включаю!».
5. При работе со схемами, в которых может быть резонанс, соблюдать особую осторожность.
–4-
6. При наличии в исследуемой схеме батарей конденсаторов необходимо считаться с возможностью сохранения в них электрического
заряда после отключения схемы (в этом случае после отключения
схемы конденсаторы необходимо разрядить).
7. Надо иметь в виду, что при отключении цепей с индуктивностью возможны резкие повышения напряжения на отключаемой цепи.
8. При обнаружении каких-либо неисправностей, исчезновении
напряжения сети, а также при несчастном случае, студенты обязаны
немедленно прекратить работу, отключить схему и сообщить преподавателю.
9. Студенты, нарушившие правила безопасности, не допускаются к
дальнейшей работе в лаборатории и привлекаются к ответственности.
Первая помощь пострадавшим от электрического тока
1. При поражении электрическим током необходимо принять все
меры к освобождению пострадавшего от соприкосновения с токоведущими частями. Для этого:
a) сразу же выключить рубильник на этом рабочем месте, предусмотрев меры безопасности от падения пострадавшего;
b) если по каким-либо причинам это сделать невозможно, то надо
освободить пострадавшего от действия электрического тока при помощи изоляционных средств (сухая одежда, доска, палка и т. п.).
2. Немедленно вызвать скорую помощь и сообщить в медпункт по
телефону или нарочным.
3. Вывести пострадавшего на свежую струю воздуха, усадить и
наблюдать за ним до прибытия скорой помощи.
ЧТО НУЖНО ДЕЛАТЬ ПРИ НАСТУПЛЕНИИ ВНЕЗАПНОЙ
СМЕРТИ
1. Непрямой массаж сердца.
2. Искусственное дыхание. Обе эти манипуляции проводятся одновременно. Помощь могут оказать один или два человека.
Техника непрямого массажа сердца:
 уложить пострадавшего на спину и максимально запрокинуть
голову назад;
 встать с левой стороны пострадавшего и положить ладонь левой
руки на нижнюю часть груди; правую руку положить на тыльную
поверхность левой руки для усилия давления;
 сделать 3 – 4 быстрых нажатия на грудину, быстро отнять руки
от грудной клетки, чтобы она могла свободно расправиться; в это
время производят вдыхание воздуха через рот или нос;
–5-
 давление должно быть таким, чтобы сместить грудину внутрь к
позвоночнику на 3 – 4 сантиметра;
 количество нажатий на грудину в минуту составляет 16 – 20.
Техника искусственного дыхания методом «изо рта в рот»:
1. Одной рукой удерживать голову в запрокинутом положении,
другой рукой поддерживать рот полуоткрытым.
2. Сделать глубокий вдох, приложить рот через платок ко рту пострадавшего и с силой выдохнуть; нос пострадавшего при этом следует
зажать.
Можно воспользоваться резиновой трубкой, которая вставляется
одним концом в рот пострадавшего, через другой конец вдувать воздух.
Аналогично, но только через нос, проводят вдувание воздуха по
методу «изо рта в нос».
УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ И ВЫПОЛНЕНИЮ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Основными этапами при выполнении лабораторной работы являются:
1. Подготовка к выполнению работы и оформление протокола
проведения эксперимента.
2. Проведение лабораторного эксперимента.
3. Оформление отчёта по результатам эксперимента.
4. Защита отчёта по лабораторной работе.
Выполнение всех этапов является обязательным для каждого студента.
Общие положения
Лабораторные работы являются одним из видов занятий, обеспечивающих связь теории с практикой. Основными задачами лабораторных работ являются:
а. экспериментальное раскрытие теоретических положений курса,
проработка и закрепление материала лекций;
б. обучение студентов методике экспериментирования, обработке
данных эксперимента, их анализа и сравнения с теоретическими данными;
в. ознакомление студентов с изучаемыми ими электротехническими устройствами и измерительными приборами;
г. привитие студентам первоначальных навыков самостоятельной
творческой работы.
Каждая лабораторная работа выполняется бригадой студентов в
составе от 2 до 4 человек.
Обязанности студентов
–6-
1. На первом занятии изучить инструкцию по технике безопасности и строго выполнять ее требования при выполнении всех лабораторных работ. Ознакомиться с конструкцией экспериментальных стендов расположением и назначением основных органов управления ими.
2. На каждое последующее занятие студенты должны являться
подготовленными к предстоящей работе с оформленным отчетом за
предыдущую работу и оформленным протоколом к предстоящей.
Кроме отчета, который должен составлять каждый студент, на бригаду
должны быть заготовлены таблицы для записи опытных данных (протокол к лабораторной работе).
3. Студенты имеют право начать эксперимент лишь после проверки собранной схемы установки преподавателем или лаборантом.
4. Указания преподавателя или лаборанта подлежат неуклонному
выполнению всеми студентами.
5. После окончания работы бригада студентов представляет преподавателю на визу результаты экспериментов, и только после подписи схема может быть разобрана.
1. Подготовка к выполнению работы
и оформление протокола проведения эксперимента
До проведения экспериментов при выполнении лабораторной работы студент обязан ознакомиться с ее содержанием (особенно внимательно изучить раздел «Порядок выполнения работы») и оформить
протокол ее проведения. Как правило, протокол оформляется на двойном тетрадном листе один на всю бригаду студентов. В обязательном
порядке в протокол должно быть внесено:
 номер и название работы;
 цель работы;
 состав бригады студентов, которые будут выполнять работу за
одним из стендов;
 все экспериментальные схемы, подлежащие сборке в процессе
выполнения работы и все таблицы для занесения данных измерений.
Допускается оформлять протокол на листах формата А4 с распечаткой всех обязательных элементов на принтере. В этом случае листы
должны быть скреплены степлером.
2. Проведение лабораторного эксперимента
1. К экспериментальным исследованиям на лабораторных занятиях допускаются студенты, оформившие протокол проведения работы и
ознакомившиеся с порядком проведения работы (это предварительно
проверяется преподавателем).
2. Измерительные приборы, реостаты и все необходимое для выполнения работы подбирается студентом самостоятельно, руковод–7-
ствуясь указаниями преподавателя и инструкцией к выполняемой
работе.
3. Перед сборкой схемы приборы и элементы располагают на рабочем столе так, чтобы было удобно вести эксперимент и наблюдать
показания приборов. Измерительные приборы следует располагать не
ближе, чем на полметра от катушки индуктивности и батарей конденсаторов из-за влияния магнитных и электрических полей.
4. При сборке схемы, в первую очередь, рекомендуется собрать
основные токовые цепи (последовательные). Провода от вольтметров
присоединить в последнюю очередь.
5. При сборке схемы особое внимание следует обратить на плотность контактов, между соединительными проводами и электротехническими устройствами.
6. Получив разрешение преподавателя, можно начать экспериментальную работу, точно придерживаясь порядка ее выполнения, указанного в разделе «Порядок выполнения работы».
7. Перед включением рубильника необходимо, как было сказано
ранее, предупредить об этом членов бригады. Перед включением все
установленные в цепи реостаты надо поставить в положение, соответствующее указаниям к проведению опыта.
8. Стрелки измерительных приборов должны быть установлены на
нуле, а приборы на максимальные пределы измерений (если имеется
несколько пределов измерений).
9. Замыкая электрическую цепь, надо смотреть не на рубильник, а
следует следить за включением в цепь измерительных приборов. Если
стрелки приборов зашкаливают, то необходимо отключить схему.
10. При снятии характеристик исследуемых объектов рекомендуется предварительно пройти весь диапазон измерения физической величины, принимаемой за независимую переменную без записи показаний
приборов для того, чтобы выяснить общий характер зависимости.
11. Необходимо помнить, что качество экспериментальных данных определяет результаты работы, поэтому следует добиваться максимальной точности измерений.
12. Числовые данные экспериментальной части работы записывать в соответствующую графу заготовленной в протоколе таблицы.
Особое внимание надо обратить на правильность отсчета по шкалам
приборов, учитывая их цену деления.
13. После окончания работы и проверки результатов опыта преподавателем схема разбирается, все приборы, реостаты, соединительные
провода и все то, что было задействовано при сборке схемы, аккуратно
укладывается в указанное место.
3. Оформление отчета по результатам эксперимента
–8-
1. Отчеты выполняются отдельно каждым членом бригады в одной тетради;
2. Отчет должен быть выполнен тщательно и аккуратно, только
чернилами; (возможно оформление отчета на листах формата А4,
отпечатанных на принтере)
3. Схемы, графики, векторные диаграммы, таблицы желательно
вычерчивать карандашом при помощи линейки и циркуля с соблюдением установленных графических обозначений;
4. При выполнении графиков и векторных диаграмм необходимо
указать масштаб по каждой оси координат;
5. На одном чертеже допускается вычерчивание нескольких графиков функций, зависящих от одной переменной;
6. Экспериментальные точки, по которым были проведены кривые, должны быть отчетливо видны на графике;
7. Если в работе предусмотрено сравнение экспериментальных и
теоретических зависимостей, то они должны быть изображены на
одном графике с соответствующими пометками;
8. Векторные диаграммы рекомендуется строить следующим образом:
 для неразветвленной цепи она строится, начиная с вектора тока;
 для параллельного соединения – с вектора напряжения;
 для последовательно-параллельного соединения начинают с
вектора напряжения на параллельных ветвях.
9. Допускается проводить обработку экспериментов на компьютере с последующей распечаткой итоговых экспериментальных таблиц и
графиков. При этом должны быть соблюдены изложенные выше общие
требования к их оформлению.
4. Защита отчета по лабораторной работе
К защите допускаются студенты, имеющие индивидуальный отчет
по рассматриваемой лабораторной работе.
Защита производится во время консультационных занятий. Допускается проводить защиту непосредственно после выполнения экспериментальной части следующей лабораторной работы, если позволяет
время занятий.
Перед защитой студент обязан внимательно проработать теоретический материал, соответствующий данной работе и подготовить ответы на вопросы, приведенные в разделе «Список контрольных вопросов».
–9-
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Цель работы: экспериментально убедиться в правомерности 1 и 2
законов Кирхгофа; получить практические навыки сборки, испытания
и расчёта сложных электрических цепей постоянного тока.
Основные теоретические положения
При анализе работы многих электротехнических устройств приходится иметь дело со сложными электрическими цепями. В таких цепях
для упорядочения их сборки и расчёта вводят некоторые термины,
отражающие элементы её топологии (структуры). Рассмотрим некоторые из них.
Ветвью электрической цепи называют её участок с последовательным соединением элементов, заключенный между двумя узлами.
Через все элементы ветви протекает одинаковый ток. В ветви может
быть включен только один элемент
Узлом электрической цепи называют место соединения трёх и более ветвей. Различают понятия геометрического и потенциального
узлов. В качестве примера на рис. 1 приведена схема замещения электрической разветвлённой (сложной) цепи с пятью ветвями. На этой
схеме имеется четыре геометрических и три потенциальных узла.
Геометрические узлы 3 и 3 могут быть объединены в один потенциальный узел.
Контуром называют замкнутый непересекающийся путь, проходящий по ветвям и узлам электрической цепи (или схемы), например,
контур 1  R3  2  R4  3'  3  E1  R1  1 на рис. 1.
Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя
выделенными зажимами – полюсами. Например, часть цепи с зажимами 1 и 3 (рис. 1) может быть представлена двухполюсником, который
изображают в виде прямоугольника (рис. 2). Если напряжение на разомкнутых зажимах двухполюсника отлично от нуля (в этом случае
двухполюсник содержит нескомпенсированные активные элементы),
то его называют активным (рис. 3).
Четырёхполюсником называют часть электрической цепи, имеющую две пары зажимов, которые могут быть входными (1 и 3 на рис.
1) или выходными (2 и 3' на рис. 1). Так же как и двухполюсники,
четырёхполюсники могут быть пассивными (рис. 4) и активными (рис.
5). Четырёхполюсник является частным случаем многополюсника, под
– 10 -
которым понимают часть электрической цепи, имеющую более двух
выделенных зажимов.
Основными законами, используемыми для анализа и расчёта электрических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа обосновывается более общим законом
природы: законом сохранения вещества. Согласно этому закону количество материальных заряженных частиц, подтекающих к узлу электрической цепи, должно быть равно количеству заряженных частиц
(того же знака), вытекающих из этого узла за одно и тоже время. Поскольку электрические заряды переносятся исключительно материальными частицами, а электрический ток определяется направленным
движением электрических зарядов, то следствием указанных рассуждений и является 1 закон Кирхгофа. Согласно этому закону – алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в одном узле равна
нулю:
n
i
k 1
k
 0,
(1)
где n – количество ветвей, сходящихся в данном узле. В выражении
(1) токи, направленные к узлу следует брать со знаком плюс, а направленные от узла – со знаком минус.
Второй закон Кирхгофа обосновывается более общим законом
природы: законом сохранения энергии. Поясним утверждение:
Как известно из курса физики электрическим потенциалом, применительно к электрической цепи, называется работа сил электрического поля, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда из рассматриваемой точки электрической цепи в другую
точку этой цепи, потенциал которой принят за нуль, а электрическим
напряжением или разностью потенциалов называется работа при перемещении такого же заряда между двумя рассматриваемыми точками
электрической цепи. То есть и потенциал, и напряжение, хотя они и
измеряются в Вольтах, являются энергетическими характеристиками
режима работы электрической цепи.
Электрическое поле является полем потенциальным, т.е. изменение потенциала или напряжения в замкнутом контуре равно нулю.
Применительно к электрической цепи это положение называется 2-м
законом Кирхгофа. Согласно этому закону алгебраическая сумма
напряжений на всех ветвях любого контура цепи равна нулю:
n
 um  0 ,
(2)
m 1
где n – число ветвей, входящих в данный контур. При этом под u
понимают разность потенциалов между началом и концом каждой
– 11 -
ветви контура. Если же учесть, что в ветвях могут быть активные элементы, то применительно к схемам замещения с источником ЭДС
второй закон Кирхгофа для цепей постоянного тока можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, входящих в этот контур:
q
 uk
k 1

g
 ed ,
(3)
d 1
где q – число пассивных элементов в контуре (пассивными называют
элементы, не предназначенные для выработки электроэнергии, например, такими являются резистивные элементы); g – число источников
ЭДС в этом контуре.
Для определения знака входящих в (2) и (3) слагаемых вводят понятие направления обхода контура, которое задают произвольно. При
этом слагаемое берут со знаком плюс в случае, когда направление
обхода контура совпадает с положительным направлением тока или
ЭДС, соответственно. В противном случае слагаемые берут со знаком
минус.
Анализ и расчёт любой электрической цепи можно провести на
основании непосредственного использования обоих законов Кирхгофа.
Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов
ветвей схемы замещения цепи (рис. 6), если сопротивления и ЭДС всех
элементов известны.
Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна
новая ветвь. Устанавливают число независимых уравнений по первому
закону Кирхгофа, остальные составляют по второму закону Кирхгофа.
Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа, количество которых
должно быть равно количеству неизвестных токов, то есть количеству
ветвей. По первому закону Кирхгофа можно составить (q  1) независимых уравнений, где q – количество потенциальных узлов цепи.
Использовать все q уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в
уравнения, составленные для всех q узлов, дважды, причём с разными
знаками, поскольку один и тот же ток направлен от одного узла (имеет
знак минус в уравнении) к другому узлу (имеет знак плюс). При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это
означает, что одно из уравнений можно получить суммированием
(q  1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные.
– 12 -
Таким образом, q – е уравнение всегда будет зависимым и поэтому
использовать его для определения токов нельзя.
Схема замещения электрической цепи (рис. 6) имеет пять ветвей и
три узла, поэтому по первому закону Кирхгофа для неё можно составить два независимых уравнения, например
для узла 1
(4)
 I1  I 2  I 4  0 ,
для узла 2
 I3  I 4  I5  0 .
(5)
Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров.
Для схемы цепи (рис. 6) надо составить три уравнения по второму
закону Кирхгофа для трёх независимых контуров. Примем направление обхода по часовой стрелке (указано круглыми стрелками). Тогда
для контура 1
(6)
R1I1  R2 I 2  E1  E2 ;
для контура 2
 R2 I 2  R4 I 4  R5 I 5  E2 ;
(7)
3 R3 I 3  R5 I 5  E3 .
(8)
для контура 3
При составлении уравнений (6) – (8) со знаком плюс записаны те
слагаемые, в которых ток и ЭДС имеют направления, совпадающие с
направлением обхода контура.
Решая систему уравнений (4) – (8), можно определить все пять неизвестных токов. Если в результате решения этих уравнений получаются отрицательные значения токов, то это значит, что истинные
направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям,
для которых составлялись уравнения.
Правильность расчёта токов в ветвях электрической цепи может
быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников
и приёмников электрической цепи (энергетического баланса). Баланс
мощностей непосредственно вытекает из закона сохранения энергии и
гласит: В любой электрической цепи, в один и тот же момент времени арифметическая сумма мощностей на всех элементах, вырабатывающих электроэнергию (суммарная генерируемая мощность), равна арифметической сумме мощностей на всех приемниках.
– 13 -
n

pгенер., k 
m

pприемн., d .
(9)
k 1
d 1
Если рассматривать мощность как работу, совершаемую в единицу
времени, то с точки зрения электрической цепи формулу (9) можно
интерпретировать как количество энергии вырабатываемой источниками в единицу времени (левая часть равенства) и количество энергии,
потребляемой в единицу времени (правая часть равенства). Как видно
нарушение равенства (9) «в любую сторону» противоречит закону
сохранения энергии.
Если имеем цепь постоянного тока, то формулу (9) можно конкретизировать и развернуть применительно к схеме замещения цепи с
источниками ЭДС
n
b
 Eгенер., k I генер., k   I 2
k 1
l 1 приемн.,l
Rd 
q
c
 I g2 Rвн., g   Eh I h .
g 1
(10)
h 1
Левая часть (10) характеризует выражение для определения мощности на каждом генераторе с последующим арифметическим суммированием (только со знаком «плюс») мощностей всех генераторов
цепи. Первое слагаемое в левой части представляет собой арифметическую сумму мощностей на всех «полезных приемниках» цепи, под
которыми понимают совокупность потребителей «ради которых создана эта цепь». В бытовом смысле это холодильники, стиральные машины, пылесосы, телевизоры и т. д. Они потребляют электроэнергию, но
в то же время совершают «полезное» для нас, какое либо действие.
Второе слагаемое в правой части (10) представляет собой арифметическую сумму потерь мощности на внутренних сопротивлениях источников и сопротивлении соединительных проводов. Оно характеризует
бесполезные затраты энергии при ее передачи от источника к потребителю. Многие замечали, как разогревается автомобильный аккумулятор при длительной работе или вилка мощного квартирного потребителя, вставленная в розетку. Это примеры бесполезных затрат электроэнергии, которые учитывает второе слагаемое. Третье слагаемое представляет собой арифметическую сумму мощностей на всех источниках,
работающих в режиме потребителя. Например, в таком режиме работают аккумуляторы во время подзарядки.
Законы Кирхгофа формируют линейные уравнения относительно
токов (4) – (8), а баланс мощностей создает алгебраическое нелинейное
уравнение (ток входит во второй степени). Оно является дополнительным уравнением к системе (4) – (8) и поэтому часто используется для
проверки правильности расчета по уравнениям (4) – (8).
– 14 -
Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами и позволяют описать состояние (режим работы) любой сложной цепи. Однако
на практике их использование требуется не всегда, поскольку часто
встречающиеся простые цепи для своего расчета требуют знания
свойств параллельного и последовательного соединения потребителей.
Последовательным называется такое соединение элементов, когда условный конец первого элемента соединяется с условным началом только одного второго, конец второго – с началом только третьего
и т. д. Характерным для последовательного соединения является один
и тот же ток во всех элементах. Последовательное соединение нашло
достаточное применение на практике.
Например, последовательно с приёмником R часто включается резистор R для регулирования напряжения, тока или мощности приёмp
ника (рис. 7). Для расширения пределов измерения вольтметров последовательно с ними включают добавочные резисторы R (рис. 8). С
д
помощью реостата, включаемого последовательно в различные ветви
цепи двигателя постоянного тока, производят изменение его пускового
тока или частоты вращения. В общем случае, при последовательном
соединении n резистивных элементов (рис. 9) ток в цепи, напряжения
на элементах и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями
n
I  U /  Rk  U / Rэ ;U k  I  Rk ; Pk  I  U k  I 2 Rk , (10)
1
n
где k  1,2,..., n – номер R – элемента; R   R – эквивалентэ
k
1
ное сопротивление последовательного соединения R – элементов; I –
ток в последовательной цепи. Напряжение и мощность всей цепи
n
n
n
n
n
U  U k  I  Rk ; P   Pk  IU  I U k  I 2  Rk .
1
1
1
1
(11)
1
Соотношение между напряжениями, мощностями и сопротивлениями k – го и l – го R – элементов
(12)
U k / U l  Pk / Pl  Rk / Rl
С помощью приведённых формул нетрудно выяснить характер изменения тока, напряжений и мощностей при изменении значений сопротивлений или числа включённых резистивных элементов. Например, если увеличить число элементов, то эквивалентное сопротивление
возрастёт, а ток, напряжения и мощности ранее включённых элементов
уменьшаются; уменьшается также и общая мощность.
– 15 -
Самостоятельные приёмники электрической энергии последовательно, как правило, не соединяются, так как при этом требуется согласование номинальных данных приёмников, исключается возможность независимого их включения и отключения, а при выходе из
строя одного из приёмников отключаются также остальные приёмники. Чаще их включают параллельно.
Параллельным называется соединение элементов цепи или схемы
только между двумя потенциальными узлами (рис. 10). Характерным
для параллельного соединения является одно и то же напряжение U
на выводах всех элементов, соединенных параллельно. Параллельно
соединяются обычно различные приёмники электрической энергии и
другие элементы электрических цепей, рассчитанных на одно и то же
напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приёмников, возможно включение и отключение любых приёмников независимо от остальных, а при выходе из
строя какого-либо приёмника это не влияет на режим работы остальных потребителей.
Параллельное соединение применяется часто для расширения пределов измерения амперметров (рис. 11): если ток I в электрической
цепи превышает номинальный ток I
амперметра, параллельно с
ном
ним включают шунтирующий резисстор R . Нередко параллельное
ш
соединение используют для уменьшения эквивалентного сопротивления какого-либо участка электрической цепи.
Токи и мощности параллельно соединённых ветвей (рис. 10) при
U  const не зависят друг от друга и определяются по формулам:
I k  U / Rk  U  g k ; Pk  U  I k  U 2 / Rk  U 2  g k  I k2 Rk (13)
Ток и мощность всей цепи
n
n
n
I   I k  U 1/ Rk  U  g k  Ug э  U / Rэ ;
1
n
1
(14)
1
n
P   Pk  UI  U  I k  U 2  g э  U 2 / Rэ  I 2 Rэ ,
(15)
1
1
n
где g э   g k – эквивалентная проводимость; Rэ  1 / g э – эквива1
лентное сопротивление, которое также можно определить по формуле
1 .
(16)
Rэт 
n 1

k 1 Rk
– 16 -
Соотношение между токами, мощностями, проводимостями и сопротивлениями для k – го и l – го R – элементов
I k / I l  Pk / Pl  g k / g l  Rl / Rk .
При увеличении числа параллельно соединённых ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное
сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока I . Если напряжение остаётся постоянным, то увеличивается
также общая мощность P ; токи и мощности ранее включённых ветвей
не изменяются.
Расчет простых цепей часто сводится к использованию закона
Ома, который является следствием законов Кирхгофа. Однако использование закона Ома для простых цепей упрощает получение результата. Поэтому закон Ома имеет самостоятельное значение. Если в ветви
включен только один R – элемент, то связь между током и напряжением на этом элементе определяется «упрощенным» законом Ома
UR  IRR .
Часто в ветвь включают несколько R – элементов и несколько источников ЭДС. Соотношение, устанавливающее связь между током в
ветви и напряжением на ней, называется обобщенным законом Ома
(законом Ома для ветви). Рассмотрим вывод формулы на примере
схемы (рис. 12). Эта схема представляет собой участок с последовательным соединением резистивных элементов и источников ЭДС.
Наша цель – установить зависимость между током I и напряжением
U . Видоизменим эту схему, как показано на рис. 13., зададимся
ab
направлением обхода и составим уравнение по второму закону
Кирхгофа для указанного участка цепи, как для контура. Получим
IR1  IR2  U ab  E1  E2 ,
(17)
откуда
I
U ab  E1  E2
R1  R2
(18)
Соотношение (18) представляет собой обобщённый закон Ома для
рассматриваемого участка цепи с источником ЭДС. В общем случае в
ветви может быть включено n резистивных элементов и m источников ЭДС. Тогда форма этого закона также примет общий вид
– 17 -
I
 U ab 
m
 Ek
k 1
,
(19)
n
 Rd
d 1
m
где  Ek – алгебраическая сумма ЭДС источников, включённых в этот
k 1
участок (в ветвь);
n
 Rd – арифметическая сумма сопротивлений, рези-
d 1
стивных элементов, включённых в этот участок. Если направление
тока совпадает с положительным направлением источника ЭДС, то в
(19) указанная ЭДС берётся со знаком плюс, в противном случае – со
знаком минус. Аналогично определяется знак U .
ab
На практике, используя обобщённый закон Ома, можно определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника с помощью экспериментальных данных (при этом полагается, что R
линейное). Для
вн
этого собирают электрическую цепь (рис. 14) и проводят эксперимент:
определяют показания вольтметра V (напряжение U ) и амперметра
ab
А (ток в цепи I )при замкнутом ( U
; I ) и разомкнутом ( U ; I )
ab 2
2
ab1
1
ключе К. На основании соотношения (19)
U ab1  E ,
(20)
так как I  0 . Для второго опыта (ключ K замкнут):
 U ab  E
,
I
Rвн
откуда
Rвн 
E  U ab
I
.
(21)
Таким образом, определяя на основании первого опыта (по показанию вольтметра) ЭДС источника E , с помощью второго опыта (по
показаниям вольтметра и амперметра) по соотношению (21) определяют внутреннее сопротивление источника.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы и записать технические данные источников ЭДС, реостатов и
измерительных приборов.
– 18 -
2. Для исследования 1-го закона Кирхгофа собрать электрическую цепь по схеме рис. 15. После чего необходимо:
а) установить максимальное значение сопротивлений реостатов
(реостаты подобрать по указанию руководителя занятий) и измерить
токи в параллельных ветвях и общий ток в цепи. Результаты измерений записать в табл. 1.
б) для второго опыта передвинуть ползунки реостатов произвольно, наблюдая, чтобы стрелки измерительных приборов не зашкаливали. Данные измерений также занести в таблицу №1;
в) по закону Ома вычислить сопротивление каждого реостата
( R1 , R2 , R3 ) и эквивалентное сопротивление схемы ( Rэ  U / I 0 ) для
обоих опытов;
г) проверить правильность вычислений по пункту в), определив с
помощью вычисленных сопротивлений реостатов ( R1 , R2 , R3 ) по соотношению (16), эквивалентное сопротивление схемы эксперимента
(рис. 15) Rэт , также для обоих опытов и сравнить эту величину с Rэ .
Результаты расчета занести в таблицу №1;
д) вычислить относительную погрешность каждого опыта, тем самым, определив точность проверки правомерности первого закона
Кирхгофа, по формуле
I  ( I1  I 2  I 3 )
 0
 100 % .
I0
3. Для исследования 2-го закона Кирхгофа собрать электрическую
цепь по схеме рис. 16:
а) перед сборкой схемы определить величину ЭДС каждого источника, подключив к нему вольтметр. Результаты измерений занести в
таблицу 2;
б) ползунки реостатов, установленные в положении после второго
опыта по схеме рис. 15, не передвигать. Сохранить порядок нумерации
реостатов, установленный в схеме рис. 15, для схемы рис. 16;
в) замерить токи и напряжения на участках цепи в трёх опытах:
– опыт первый: ключ K 2 – разомкнут, ключ K1 – замкнут;
– опыт второй: ключ K 2 – замкнут, ключ K1 – разомкнут;
– опыт третий: оба ключа K1 и K 2 замкнуты.
Результаты измерений занести в табл. 2 (рис. 18);
г) вычисленные значения сопротивлений реостатов R1 , R2 , R3 (второй опыт по таблице 1 записать в табл. 2;
д) рассматривая первую ветвь схемы (рис. 16), как участок цепи с
источником ЭДС, на основании обобщённого закона Ома, данных
– 19 -
первого опыта и известной величине E1 , определить внутреннее сопротивление первого источника ЭДС ( R
) по формуле
вн1
E UV
Rвн1  1
 R1 ,
I1
где U V , I1 – показания, соответственно, вольтметра V и амперметра
pA1 в первом опыте. Результаты занести в табл. 2;
е) аналогично пункту д), на основании данных второго опыта и известной величины E2 , определить внутреннее сопротивление второго
источника ЭДС ( R
) по формуле
вн2
E  UV
Rвн2  2
 R3 ,где U V , I 2 – показания, соответственно,
I2
вольтметра V и амперметра pA
2
во втором опыте. Результаты зане-
сти в таблицу 2;
4. Для каждого опыта составить уравнения по 2-му закону
Кирхгофа и, подставив измеренные, вычисленные и известные значения величин, проверить их правомерность. Например,
a) для первого опыта, используя заданные (произвольно) направления токов в ветвях и обхода контура I (направление обхода контура
aefba задано сплошной круглой линией со стрелкой) можно составить
уравнение
I1R1  I1Rвн1  I 3 R2  E1 .
Обозначив левую часть уравнения, как  IR , вычислить ее значение, используя данные первого опыта, значения сопротивлений реостатов ( R , R ) и внутреннего сопротивления R . После чего опреде1 3
вн1
лить погрешность проверки правомерности 2 закона Кирхгофа в первом опыте

E1   IR
E1
100 % .
Данные расчетов занести в соответствующие ячейки таблицы №2;
b) для второго опыта, используя заданные (произвольно) направления токов в ветвях и направление обхода контура II (направление
обхода контура edcfe задано сплошной круглой линией со стрелкой)
можно составить уравнение
 I 2 R3  I 2 Rвн2  I 3 R2   E2 .
– 20 -
Обозначив левую часть уравнения, как  IR , вычислить ее значение, используя данные второго опыта, значения сопротивлений реостатов ( R2 , R3 ) и внутреннего сопротивления R . После чего опредевн2
лить погрешность проверки правомерности 2 закона Кирхгофа во
втором опыте

E 2   IR
E2
100 % .
Данные расчетов занести в соответствующие ячейки таблицы №2;
c) для третьего опыта, используя заданные (произвольно)
направления токов в ветвях и направление обхода контура III (направление обхода контура abcda задано штриховой круглой линией со
стрелкой) можно составить уравнение
I1R1  I1Rвн1  I 2 R3  I 2 Rвн2  E1  E2 .
Обозначив левую часть уравнения, как  IR , вычислить ее значение, используя данные третьего опыта, значения сопротивлений реостатов ( R , R ) и внутренних сопротивлений R
, R . После чего
вн1 вн2
1 3
определить погрешность проверки правомерности 2 закона Кирхгофа
во втором опыте

E1  E2   IR
E1  E2
100 % .
Примечание. Направление обхода контура в каждом опыте может
быть задано преподавателем
5. Используя вычисленные во второй части работы величины
( E1; E2 ; Rвн1; Rвн2 ) и известные величины ( R1, R2 , R3 ) , определить в эквивалентной схеме замещения цепи третьего опыта токи в
ветвях по методу контурных токов или по методу двух узлов (по указанию преподавателя).
6. Составить для цепи третьего опыта на основании схемы замещения уравнение баланса мощностей и проверить его правомерность.
8. Построить потенциальную диаграмму при обходе по контуру
для одного из опытов (по указанию преподавателя).
ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подразделы
1.6; 1.7; 1.8; 1.9; 1.10; 1.13; 1.14).
– 21 -
2. Электротехника: Учебник для неэлектрических специальностей
ВУЗов / Под ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985 (подразделы 1.4; 1.6; 1.8; 1.10; 1.12).
3. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника:
Учебник для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 1.7; 1.10;
1.12; 1.13; 1.14).
4. Общая электротехника: Учебное пособие для ВУЗов / Под ред.
А. Т. Блажина. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подраздел 1.5).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дать определение параллельному и последовательному соединению элементов. Для заданной преподавателем схемы определить
эквивалентное сопротивление.
2. Для заданной преподавателем схемы составить систему уравнений по законам Кирхгофа для расчёта токов. Обосновать физическую
сущность законов Кирхгофа и объяснить особенности составления
данной системы уравнений.
3. Объяснить результаты, приведенные в экспериментальных таблицах.
4. Для заданной преподавателем схемы составить систему уравнений по методу контурных токов (узловых потенциалов). Объяснить
особенности составления системы уравнений и определения токов в
ветвях цепи.
5. Для заданной преподавателем схемы составить выражения для
определения токов в ветвях по методу двух узлов.
6. Формулы эквивалентного преобразования схем «звезда» в «треугольник» и «треугольник» в «звезда».
7. Баланс мощностей. Особенности составления уравнения баланса мощностей на конкретном примере.
8. Обобщенный закон Ома (привести формулу и объяснить сущность).
– 22 -
R1
R3
1
2
I3
I1
R2
E1
I2
R4
I4
3’
3
Рис. 1.
1
R1
Е
3
Рис. 2.
– 23 -
I5
R5
А
Рис. 3.
1
2
R1
R5
E1
3’
3
Рис. 4.
A
1
2
3
3’
Рис. 5.
– 24 -
R4
R1
2
1
I1
I4
I2
R2
I3
II
I
R5
E1
E3
I5
E2
III
R3
3
Рис. 6.
Rp
+
R
U
_
Рис. 7.
_
U
+
Rд
Rв
Рис. 8.
– 25 -
V
U1
U2
R1
R2
+
I
U
Un
_
Rn
Рис. 9.
I
+
I1
U
I2
R1
R2
In
_
Рис. 10.
Ra
I
Iном
A
Rш
– 26 -
Rn
Рис. 11.
I
E1
R1
R2
E2
a
b
Uab
Рис. 12.
I
a
E1
R1
R2
Uab
E2
b
Рис. 13.
K
a
V
I
E
A
Uab
Rвн
R
b
Рис. 14.
– 27 -
pA1
R1
pA2
R2
pA3
R3
A
pA0
A
A
A
V
pV
_
+
Рис. 15.
K1
K2
e
a
d
pA3
A
E1
E2
Rвн1
Rвн2
V
pA1
pA2
A
A
I3
I1
II
I2
I
R1
R2
R3
III
b
f
– 28 -
c
Рис. 16.
Таблица 1
Результаты эксперимента по исследованию I закона Кирхгофа
№
опыта
Результаты измерений
(показания измерительных
приборов)
pA0, pA1, pA2, pA3, V,
A
A
A
A
B
Результаты вычислений
R1, R2,
Ом Ом
R3,
Ом
Rэ, Rэт,
Ом Ом
δ,
%
Первый
опыт
Второй
опыт
Таблица 2
Результаты эксперимента по исследованию II закона Кирхгофа
Наименование
опыта
Данные измерений
V
pA1 pA2 pA3
B
A
A
A
Данные вычислений
Rвн1 Rвн2 ∑IR
δ
Ом
Ом
B
%
Ключ К1 замкнут, ключ К2
разомкнут
Ключ К1 разомкнут, ключ К2
замкнут
Ключи К1 и К2
замкнуты
E1=
, B; E2=
, B; R1=
, Ом; R2=
– 29 -
, Ом; R3=
, Ом.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДА НАЛОЖЕНИЯ
Цель работы: экспериментально исследовать принцип суперпозиции (наложения); получить практические навыки при решении задач
методом наложения.
Основные теоретические положения
Принцип суперпозиции (наложения) является одним из важнейших физических принципов, отражающих основное свойство линейных систем – независимость действия возбуждающих сил.
Этот принцип используется при рассмотрении явлений, возникающих под воздействием нескольких причин. В соответствии с этим
принципом сложные явления подразделяются на более простые, в
которых каждая причина действует независимо от других, а результаты воздействий, накладываясь один на другой, образуют суммарный
эффект.
Этот принцип можно применить только к линейным цепям. Его
формулируют следующим образом: Ток через любой элемент электрической цепи (напряжение на нем) равен алгебраической сумме
частичных токов через этот же элемент (частичных напряжений
на нем), вызванных действием каждого источника энергии в отдельности.
– 30 -
При анализе сложных электрических цепей принцип суперпозиции
используется для того, чтобы воздействие нескольких источников
электрической энергии на данный элемент цепи можно было рассматривать как результат воздействия на этот элемент каждого из источников в отдельности.
Отметим, что принцип суперпозиции применяется также для того,
чтобы результат воздействия одной ЭДС сложной формы можно было
заменить воздействием составляющих ЭДС более простых форм.
Применяя принцип суперпозиции, можно найти ток любой ветви
или напряжение любого участка линейной электрической цепи как
алгебраическую сумму частичных токов или напряжений, вызываемых
отдельным действием источников ЭДС и тока. С помощью принципа
суперпозиции (наложения) расчёт сложной цепи с несколькими источниками ЭДС и тока можно свести к расчёту нескольких цепей с одним
источником.
Выбирая, поочерёдно, следующий источник энергии для расчёта
частичных токов, остальные источники из схемы устраняют. При этом,
устраняя источники ЭДС, оставляют их внутренние сопротивления,
устраняя источники тока – их внутренние проводимости; место включения источника ЭДС закорачивают, место соединения источника тока
разрывают. На рис. 1 – 4 показано, как устраняются из схемы идеальный (рис. 1) и реальный (рис. 2) источники ЭДС, а также идеальный
(рис. 3) и реальный (рис. 4) источники тока.
Рассмотрим схему электрической цепи (рис. 5), в которой имеется
три источника ЭДС. Для определения токов в такой цепи вначале
полагают, что в ней действует только источник ЭДС E1 . Сопротивления всех элементов считают неизменными. Определение частичных
токов I1' ; I 2' ; I 3' ; I 4' ; I 5' отдельных ветвей от действия источника ЭДС E1
сводят к расчёту цепи, схема которой приведена на рис. 6. Далее проводят расчёт частичных токов I1" ; I 2" ; I 3" ; I 4" ; I 5" от действия источника
ЭДС E2 в соответствии со схемой рис.7. и частичных токов
I1"' ; I 2"' ; I 3"' ; I 4"' ; I 5"' от действия источника ЭДС E3 по схеме рис. 8. Алгебраическое суммирование частичных токов с учётом их направлений на
схемах (рис. 6 – 8) даёт значения действительных токов ветвей:
I1  I 1'  I1"  I1"' 

I 2  I 2'  I 2"  I 2"' 

I 3  I 3'  I 3"  I 3"'  .

I 4  I 41  I 4"  I 4"' 
I 5  I 5'  I 5"  I 5"' 
– 31 -
(1)
Как видно, метод расчёта электрических цепей с использованием
принципа суперпозиций является довольно громоздким и поэтому
применяется редко. Он целесообразен тогда, когда электрическое
состояние цепи определено для каких – либо источников ЭДС и токов
и требуется проанализировать электрическое состояние цепи при изменении ЭДС или тока одного из источников. В этом случае нет необходимости вновь рассчитывать значения токов и напряжений от действия всех источников, а достаточно определить лишь частичные токи
и напряжения от действия дополнительной ЭДС E  E '  E или дополнительного тока I  I '  I источника. После чего алгебраической
суммой определяют реальные токи в цепи при изменении E или I .
Пример: На схеме замещения электрической цепи (рис. 9) при заданных значениях E  12, B и J  1,5, A известны токи всех ветвей:
I1  1,75, A , I 2  1,25, A , I 3  0,5, A , I 4  2, A . Требуется проанализировать электрическое состояние цепи при увеличении и уменьшении
ЭДС E в 2 раза, т. е. при новых значениях ЭДС E '  24, B и E "  6, B .
Для этого определим частичные токи в ветвях от действия двух новых
источников ЭДС E '  12, B и E "  6, B в схеме замещения, показанной на рис. 10. Для схемы рис. 10 при заданных значениях сопротивлений резистивных элементов частичные токи от действия ЭДС
E '  12, B равны: I1'  2, A , I 2'  1, A , I 3'  I 4'  1, A . Именно такие
приращения получают токи в ветвях цепи рис. 9 при увеличении в 2
раза ЭДС E . После увеличения ЭДС токи примут значения:
I1'  I1  I1'  3,75 A ;
I 2'  I 2  I 2'  2,25 A ;
I 3'  I 3  I 3'  1,5 A ;
I 4'  I 4  I 4'  3 A .
От действия ЭДС E "  6, B частичные токи будут иметь значения: I1"  1, A , I 2"  I 3"  I 4"  0,5, A , а новые значения токов в
ветвях при уменьшении ЭДС E в 2 раза составят: I1"  0,75, A ,
I 2"  0,75, A , I 3"  0, A , I 4"  1,5, A . Следует обратить внимание на то, что
ток I 3"  0, A . Это произошло вследствие того, что потенциалы точек a
и b в схеме рис. 10 при новом значении ЭДС E  6, B оказались равными
"a  R2 I 2"  "b  R4 I 4"  3B
– 32 -
В заключении подчеркнём, что метод суперпозиций не применим
для расчёта мощностей элементов цепи, так как их значения пропорциональны квадратам токов.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы и записать основные технические данные измерительных приборов, источников питания и реостатов.
2. Провести измерение сопротивлений шести реостатов, необходимых для выполнения лабораторной работы. Для этого собрать цепь
по схеме на рис. 11, используя один из требуемых для работы источников. Каждый раз, подключая новый реостат при замкнутом ключе и
снимая показания измерительных приборов, вычислить (в последствии) его сопротивление (методом амперметра (pA1) и вольтметра
(pV1)). При необходимости по указанию преподавателя, меняя положение ползунка реостата, подобрать требуемое значение сопротивления этого реостата. Результаты измерений и вычислений занести в
таблицу 1.
3. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление каждого источника. Для этого использовать прежнюю электрическую цепь (рис. 11).
Используя ее для первого (произвольного) источника, снять показания
приборов при замкнутом и разомкнутом ключе К. При этом показания
вольтметра pV1 при разомкнутом ключе ( U раз ) определяют величину
ЭДС этого источника
U раз  E .
Показания приборов (pV1 и pA1) при замкнутом ключе ( U
позволяют рассчитать внутреннее сопротивление источника
E U
зам .
R 
вн
I
зам
иI
зам
)
зам
Аналогично определить внутреннее сопротивление второго источника. Занести результаты измерений и вычислений в табл. 2.
4. Собрать цепь по схеме на рис. 12, провести три опыта:
а) опыт №1: ключ K1 – в положении «а», ключ K 2 – в положении «б»;
б) опыт №2: ключ K1 – в положении «б», ключ K 2 – в положении «а»;
в) опыт №3: ключи K1 и K 2 – в положении «а».
Результаты измерений занести в табл. 3.
5. Для электрической цепи третьего опыта составить эквивалентную схему замещения, в которой по известным величинам
( E1; E2 ; Rвн1; Rвн2 ; R1 , R2 , R3 ,... ..., R6 ) определить токи в каждой
– 33 -
ветви методом наложения. результаты вычислений занести в табл. 3 и
сравнить полученные результаты с данными опыта №3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин А. С., Немцов Н. В. Электротехника: учебное пособие
для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подраздел
1.15).
2. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника:
Учебное пособие для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подраздел
1.14.4).
3. Электротехника: Учебник для неэлектрических специальностей
ВУЗов / Под редакцией В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985
(подразделы 1.7; 1.11).
4. Общая электротехника: Учебное пособие для ВУЗов / Под редакцией А. Т. Блажина. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подраздел 1.6).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чём заключается сущность принципа наложения?
2. Как производится расчёт электрических цепей методом наложения?
3. В каких случаях для расчёта сложной цепи целесообразно применять метод наложения?
4. Применим ли метод наложения для расчёта электрической
мощности цепи?
5. Как устраняются из схемы активные элементы при расчёте методом наложения? Проиллюстрировать на примере.
– 34 -
E
E
Rвн
Rвн
R
R
R
Рис. 1.
R
Рис. 2.
– 35 -
J
R1
R
R
J
R1
Gвн
Rвн=1/Gвн
Рис. 3.
Рис. 4.
R1
R4
1
2
I4
I1
R2
I2
I
II
R5
E3
E1
I5
E2
III
R3
3
Рис. 5.
– 36 -
I3
R1
R4
1
2
I 4
I1
R5
I 2
E1
R2
I 5
I 3
R3
3
Рис. 6.
R1
R4
1
I1
I 4
R2
I 2
2
R5
I 5
E2
I 3
R3
3
Рис. 7.
I1
I 4
1
2
R4
R1
I 2
R2
R5
I 5
I 3
3
R3
– 37 -
E3
Рис. 8.
4, Ом
2, Ом
a
E
4, Ом
I1
I3
R3
R1
I2
2, Ом
R2
J
R4
I4
b
Рис. 9.
а
R1
I1
I 3
R3
R2
R4
E
I 2
I 4
b
Рис. 10.
K
pA1
A
pV1
E
V
R
– 38 -
Рис. 11.
Таблица 1
Результаты испытаний реостатов
№; №
п/п
1
2
3
4
5
6
№№
реостатов
Реостат №1
Реостат№2
Реостат №3
Реостат №4
Реостат №5
Реостат №6
U,
B
I,
A
R,
Ом
Таблица 2
Результаты испытаний источников ЭДС
№ источника
Для источника №1
Состояние цепи
Ключ К разомкнут
Измерение Вычисление
U, B I, A E, B Rвн, Ом
-
Ключ К замкнут
Для источника №2
Ключ К разомкнут
Ключ К замкнут
– 39 -
-
-
-
R4
pA 4
A
pA 5
pA 6
R5
A
R6
A
K1
K2
a
a
b
E2
E1
Rвн1
Rвн2
pA 2
A
b
A
pA 3
R3
R2
A
pA1
R1
Рис. 12.
Таблица 3
– 40 -
Результаты измерений частичных и полных токов
по методу наложения
№ опыта
pA
pA
pA
pA
pA
pA
1
2
3
4
5
6
A
A
A
A
A
A
I1 I2 I3 I4 I5 I6
A A A A A A
Опыт №1
-
-
-
-
-
-
Опыт №2
-
-
-
-
-
-
Опыт №3
-
-
-
-
-
-
Теоретический
расчёт
-
-
-
-
-
-
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
– 41 -
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Цель работы: Экспериментально определить и построить вольтамперные характеристики нелинейных резистивных элементов; проверить достоверность графического метода расчёта нелинейных электрических цепей.
Основные теоретические положения
Зависимость тока, протекающего через резистивный элемент от
напряжения, приложенного к его выходным зажимам, называется
вольтамперной характеристикой (ВАХ)
I  f (U ).
Иногда такой зависимостью служит
U  f (I ) .
Если график ВАХ является прямой линией, то такой элемент называется линейным резистивным элементом (рис. 1). На примере рис. 1
можно графически представить сущность понятия о линейном R –
элементе. Какое бы напряжение ни было приложено к его выходным
зажимам ( U1 и U 2 ) ток всегда будет таким ( I1 или I 2 соответственно),
что отношение
U 1 mI U 2 mI



 const
I1 mU
I 2 mU
есть постоянная величина, не зависящая от U и I ( mU и mI – масштабы осей напряжения и тока. Приведенное соотношение с учетом
масштабов определяет отношение отрезков, соответствующих напряжению и току по осям координат рис. 1). Учитывая, что для такого
резистивного элемента справедлив закон Ома:
U
 R  const ,
I
получим
R
mU
tgα  const .
mI
То есть для линейного резистивного элемента его параметр R (сопротивление) не зависит от режима работы электрической цепи, в
– 42 -
которую он включён (или говорят, что он не зависит от тока и напряжения на нем).
Если ВАХ не является прямой линией, то такой резистивный элемент будет нелинейным резистивным элементом (рис. 2). Нелинейность зависимости I  f (U ) связана с тем, что при изменении U ( U1 и
U 2 ) и I ( I1 и I 2 соответственно) изменяется их отношение
U1 U 2

или tgα1  tgα 2  const .
I1
I2
То есть сопротивление нелинейного резистивного элемента не является постоянной величиной и изменяется с изменением U и I .
В общем случае нелинейный элемент нельзя характеризовать каким-либо постоянным сопротивлением R и его характеристикой служит ВАХ, задаваемая таблично, графически (рис. 2) или аналитически.
По аналогии с резистивным элементом можно упомянуть о линейных и нелинейных индуктивном (рис. 3) и ёмкостном (рис. 4) элементах электрических схем, в зависимости от того зависят или не зависят
их параметры L (индуктивность) и C (ёмкость) от режима работы
элементов.
Разнообразные электронные, ионные, полупроводниковые и магнитные приборы, нашедшие широкое применение в радиотехнике,
автоматике, связи, электротехнике обладают свойствами нелинейных
элементов. Это вынуждает разрабатывать методы расчёта нелинейных
цепей. Цепь является нелинейной, если ее схема замещения содержит
хотя бы один нелинейный элемент.
К нелинейным электрическим цепям применимы основные законы
электрических цепей, т. е. обобщенный закон Ома и законы Кирхгофа
(для цепей переменного тока эти законы справедливы только в мгновенной форме записи). В то же время расчёт нелинейных электрических цепей значительно труднее, чем линейных цепей. Объясняется
это тем, что кроме токов и напряжений, подлежащих обычно определению, неизвестными являются зависящие от них сопротивления нелинейных элементов.
Для расчёта нелинейных электрических цепей применяются различные методы расчёта: аналитические, графо-аналитические, графические, которые выбираются в зависимости от способа представления
ВАХ, сложности схемы, формы питающего напряжения и, самое существенное, от точности, предъявляемой к результатам расчета.
Наибольшее распространение получили графо-аналитические методы
расчета таких цепей. Среди них широко известным является метод
кусочно-линейной аппроксимации ВАХ элементов. Сущность метода
сводится к замене нелинейного элемента линейным или группой ли– 43 -
нейных, имеющих постоянное сопротивление. Преобразуя таким образом все нелинейные элементы, нелинейную цепь сводят к линейной.
Последнюю рассчитывают известными методами.
В самом простейшем случае (рис. 5), если E  const , то напряжение на зажимах нелинейного элемента U и ток, протекающий через,
н
него I также будут постоянными и сопротивление элемента (если
н
оно зависит только от напряжения и тока) также будет постоянным. В
этом случае нелинейный элемент можно заменить линейным элементом (рис. 6) с сопротивлением R , где R
– статическое сопротивст
ст
ление нелинейного элемента в точке А его ВАХ (рис. 7), определяемое, как отношение напряжения на элементе к току через него, также
определяемые в этой точке
U
R  н.
ст I
н
Статическое сопротивление можно определить и графически: как
тангенс угла между прямой, проведённой из начала координат через
точку А на ВАХ и осью токов (рис. 7)
m
U
Rст  н  U tg  .
I н mI
Точка А на ВАХ, одновременно отвечающая значениям напряжения U и I на нелинейном элементе, называется рабочей точкой.
н
н
Пусть рабочая точка A на ВАХ нелинейного элемента изменяет
своё положение под действием переменного напряжения, например,
колеблется во времени вокруг некоторого среднего положения A
0
(рис. 8). В этом случае изменения тока и напряжения нельзя сопоставить с помощью конкретного параметра R , поскольку эта величина
ст
также изменяется. В то же время, если изменения U и I невелики, то
можно ввести понятие о дифференциальном сопротивлении R . Под
д
ним понимают отношение бесконечно малого приращения напряжения
к соответствующему приращению тока (рис. 7)
Rд 
U
I U U н
I Iн
– 44 -
.
Отсюда следует, что, строго говоря, дифференциальное сопротивление характеризует нелинейный элемент в точке ВАХ, для которой
оно определяется.
Тем не менее, поскольку для рассматриваемого случая (рис. 8) колебания напряжения ( от U 0 до U1 или от U 2 до U 0 ) невелики, с достаточной для практики точностью можно считать, что каждая точка
участка ВАХ от A2 до A1 характеризуется постоянной величиной R
д
Rд 
U
I 0 U U 0
I I0
.
Дифференциальное сопротивление можно определить и графически, как тангенс угла между касательной в рабочей точке ВАХ и осью
токов (рис. 8) в направлении от оси токов до касательной по часовой
стрелке:
Rд 
U
I
U U 0
I I0
m
 U tg 
mI
.
Вернёмся к рассматриваемому случаю. Поскольку ВАХ на участке
A2  A1 заменяется прямой линией, то напряжение U 0 можно представить в виде суммы двух слагаемых (рис. 8):
U 0  E0  I 0  Rд .
(1)
Учитывая, что со временем положение рабочей точки изменяется в
пределах A2  A1 к соотношению (1) необходимо добавить слагаемое
e(t ) , которое определяет некоторый источник ЭДС переменного тока
e(t ) с амплитудным значением по напряжению U m  U 0  U1 или
 U  U . Тогда выражение напряжения на нелинейном R –
m
2
0
элементе u (t ) примет вид
U
u(t )  E0  I 0  Rд  e(t ) .
(2)
Соотношение (2) определяет схему замещения нелинейного резистивного элемента (рис. 9), в которой он заменяется линейным резистивным элементом с сопротивлением R и двумя источниками по-
д
– 45 -
стоянной и переменной ЭДС. Если параметры рабочей точки изменяются в широких диапазонах, то всю ВАХ разбивают на участки, в
пределах которых ее можно считать прямой линией (с допустимой
степенью точности)
Рассмотренные приёмы называются кусочно-линейной аппроксимацией ВАХ нелинейного элемента. Эти приёмы позволяют, при указанных условиях, свести нелинейную цепь к линейной.
В случае повышенных требований к точности расчёта используют
аналитические методы расчета. Они основаны на аналитической аппроксимации ВАХ на всем ее диапазоне возможного изменения (как
правило,
используется
аппроксимация
ВАХ
I  k (a U n  a U n  1  a
U n  2  ...  a U  a U ) в виде полинома от U
n
n 1
n2
1
0 0
степени n , где k – некоторый коэффициент, «уравнивающий» единицы измерения правой и левой части полинома. Выражения для тока I
в таком виде непосредственно включаются в систему уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи (ее режим работы) по методу
законов Кирхгофа. Система расчетных уравнений получается нелинейной и для ее решения используют специальные методы, как правило, с
использованием ЭВМ (например, методы итерации). Данные методы
отличаются сложностью в постановке задачи и ее решения. Однако
они обладают максимальной точностью решения и возможностью
проведения анализа этого решения (предсказания поведения цепи в
широком изменении параметров ее режима работы).
Такими же возможностями (в принципе) обладают и графические
методы расчета нелинейных цепей. Однако их точность ограничивается погрешностью графических построений при ведении расчетов.
Рассмотрим графический метод преобразований и расчёта цепей с
нелинейными элементами, основанный на предварительной замене
электрической цепи цепью, имеющей эквивалентную ВАХ и последующего перехода в процессе расчёта к заданной электрической цепи.
Положим, что нелинейные элементы соединены последовательно
(рис. 10) и имеют известные ВАХ (рис. 11). Если задан ток в такой
цепи (например, I1 на рис. 11), то, т.к. при последовательном соединении элементов ток в каждом элементе будет одинаковым и равным
I1 , падение напряжения на каждом элементе ( U 1 и U 2 ) находится
непосредственно по ВАХ этого элемента без каких-либо дополнительных построений (рис. 11). Если же задано общее напряжение U , то без
дополнительных построений определить в таком соединении элементов (рис. 10) ток и падения напряжения достаточно сложно. Для этого
необходимо построить эквивалентную ВАХ. Построение эквивалентной ВАХ основано на следующих особенностях последовательного
соединения элементов (рис. 10):
– 46 -
– ток
тот же
I в такой цепи, протекающий через каждый элемент один и
I1  I 2  I
;
– общее напряжение, приложенное ко всей цепи, равно сумме падений напряжений U 1 и U 2 на каждом элементе
U  U1  U 2 .
Из сказанного следует, что при любом произвольно взятом токе,
соответствующая точка эквивалентной ВАХ I (U ) находится суммированием абсцисс точек исходных ВАХ I (U1 ) и I (U 2 ) , определённых при том же токе.
Данное правило позволяет следующим образом построить эквивалентную ВАХ (рис. 12). Задаются несколькими произвольно взятыми
значениями тока в цепи ( I , где k  1,2,3,4,5... по оси ординат на
k
рис.12); по исходным ВАХ I (U1 ) , I (U 2 ) находят соответствующие
каждому току напряжения на этих ВАХ U
1k
иU
2k
. Суммированием
U1k и U 2 k определяют абсциссы точек A1, A2 , A3 ,...A5 эквивалентной ВАХ. Их ординаты заданы произвольно выбранными точками
I1 , I 2 , I 3 ,...I 5 . Соединяя плавной линией полученные точки
A1, A2 , A3 ,...A5 , получают график эквивалентной ВАХ I (U ) .
'
Теперь зная, например, что
U  U  76, B , по эквивалентной
'
ВАХ I (U ) определяют ток I  I  32, мА , а затем по исходным
ВАХ I (U1 ) и I (U 2 ) находят падение напряжения на каждом эле'
'
менте U  32, B , U  44, B . Т.о. производится графический расчёт
1
2
параметров режима работы цепи из последовательно соединённых
нелинейных резистивных элементов.
В случае если один из последовательно соединённых резистивных
элементов является линейным (рис. 13), графический расчёт производят методом нагрузочной характеристики.
Пусть дана схема (рис. 13), в которой E  const , R  const . Для
неё согласно 2-го закона Кирхгофа можно записать:
I  R  U2  E
или
– 47 -
I
E U2

R R
.
(3)
При постоянных E и R соотношение (3) есть уравнение первой
степени I  f (U ) , т.е. между I и U 2 в этом случае существует
2
линейная зависимость, которая называется нагрузочной характеристикой. Нагрузочную характеристику строят по двум точкам, которые
определяют из условий:
1. при I  0 , получаем из (3) U 2  E (первая точка);
2. при U 2  0 имеем I 
E
(вторая точка).
R
Проведя через эти точки прямую линию, получаем нагрузочную
характеристику (рис. 14). Ток во всех элементах при последовательном
соединении (рис. 13) имеет одинаковое значение, которое должно
удовлетворять как нагрузочной характеристике I  f (U ) , так и
2
ВАХ нелинейного элемента I (U 2 ) . Следовательно, точка их пересечения (т. А на рис. 14) определяет режим работы цепи и является рабочей точкой. С помощью точки А определяют параметры режима работы цепи I , U1  I  R ; U 2 .
Положим теперь, что нелинейные резистивные элементы включены параллельно (рис. 15) и имеют известные ВАХ (рис. 16). Если
напряжение в такой цепи (например, U на рис. 16) известно, то, т. к.
0
напряжения на всех ветвях параллельного соединения одинаковы (и
равны U 0 ), токи через нелинейные элементы ( I1 и I 2 ) находятся непосредственно по соответствующим ВАХ без каких-либо дополнительных построений (рис. 16).
Если же задан общий ток I 0 , то без дополнительных построений
определить в таком соединении элементов (рис. 15) напряжение U 0 и
токи в ветвях I1 и I 2 достаточно сложно. Для этого необходимо построить эквивалентную ВАХ
I 0  f (U ) .
Построение эквивалентной ВАХ основано на следующих особенностях параллельного соединения элементов (рис. 15):
 напряжения на каждой ветви параллельного соединения элементов равны друг другу и равны общему напряжению U 0 , приложенному к такой цепи
U1  U 2  U 0 ;
– 48 -
 общий ток I 0 во всей цепи равен сумме токов I1 и I 2 в каждой ветви в отдельности
I 0  I1  I 2 .
Из сказанного следует, что при любом произвольно взятом напряжении U соответствующая точка эквивалентной ВАХ I 0 (U ) находится суммированием ординат точек исходных ВАХ I1 (U ) и I 2 (U ) ,
определённых при том же U .
Данная особенность позволяет следующим образом построить эквивалентную ВАХ (рис. 17). Задаются несколькими произвольно взятыми значениями напряжения ( U , k  1,2,3,4,5... ) по оси абсцисс
k
(рис. 17). По исходным ВАХ I1 (U ) и I 2 (U ) находят соответствующие каждому напряжению токи I
и I
1k
2k
определяют ординаты точек A1, A2 , A3 ,...A5 , лежащих на эквивалентной ВАХ. Их абсциссы заданы произвольно выбранными напряжениями (U1 ,U 2 ,U 3 ,...U 5 ) . Соединяя плавной линией полученные
1k
и I
2k
. Суммированием I
точки A1, A2 , A3 ,...A5 , получают график эквивалентной ВАХ I 0 (U ) .
Теперь, зная, например, что I  I   0,475, A , по эквивалент0
0
ной ВАХ I 0 (U ) определяют напряжение, приложенное к цепи
U 0  U 0  59, B , а затем по исходным ВАХ I1 (U ) и I 2 (U ) находят
токи, протекающие через каждый нелинейный резистивный элемент
I1'  0,285, A; I 2'  0,19, A (рис. 17). Таким образом, производится
расчёт параметров режима работы цепи с параллельным соединением
нелинейных резистивных элементов.
В случае если цепь содержит n нелинейных элементов, соединённых последовательно или параллельно, то расчёт производится аналогично рассмотренным случаям. При этом построение эквивалентной
ВАХ производится суммированием точек всех n исходных ВАХ,
соответственно, по напряжению или по току.
В более сложных электрических цепях, например, при смешанном
соединении нелинейных элементов эквивалентную ВАХ строят поэтапно. Выделяют в схеме те элементы, которые соединены последовательно или параллельно и начинают расчёт с построения эквивалентной ВАХ для этих элементов. В качестве примера рассмотрим расчёт
цепи, схема которой приведена на рис. 18, а исходные ВАХ нелинейных элементов I1 (U1  U 0 ); I 2 (U 2 ) и I 2 (U 3 ) – на рис. 19. В схеме (рис.
18) можно выделить только элементы НЭ
– 49 -
2
и НЭ , которые соедине3
ны последовательно. Других комбинаций элементов с простейшим
соединением в схеме нет. Поэтому построение ВАХ эквивалентной
такому соединению элементов (рис. 18) начинают с построения промежуточной эквивалентной ВАХ. Эту ВАХ I 2 (U1  U 0 ) получают
указанным выше способом, суммируя абсциссы точек исходных ВАХ
I (U ) и I (U ) . Построение эквивалентной ВАХ I 2 (U1  U 0 ) схе2 3
2 2
матично означает, что последовательное соединение элементов НЭ
2
и НЭ эквивалентно заменяется одним элементом НЭ
, кото3
экв 2,3
рый имеет ВАХ I 2 (U1  U 0 ) (рис. 19).
Рассматривая вновь полученную схему (рис. 20), видим, что в ней
элементы НЭ и НЭ
соединены параллельно. Т. е. можно по1
экв 2,3
строить эквивалентную ВАХ для такого соединения, используя графики I (U  U ) и I (U  U ) , как исходные. Построение проводим,
1 1
0
2 1
0
указанным выше способом, суммируя ординаты исходных ВАХ. В
результате получаем график I (U ) . Такое построение схематично
0 0
означает, что параллельное соединение элементов НЭ и НЭ
1
экв 2,3
эквивалентно заменяется одним элементом НЭ
(рис. 21),
экв1 2,3
имеющим ВАХ I 0 (U ) .
Т. о. путём указанного поэтапного построения промежуточных
ВАХ построена общая ВАХ всей цепи I (U ) .
0 0
Теперь, при заданном общем токе, например, I   0,38, A , опреде0
ляем общее падение напряжения U   58, B по ВАХ I (U ) (рис. 19).
0
0 0
Это напряжение приложено к элементу НЭ и к общим элементам
1
НЭ 2 и НЭ 3 , следовательно, используя ВАХ I1(U1  U 0 ) и
I (U  U ) определяем токи I   0,26, A, I   0,12, A . Ток, протека2 1
0
1
2
ющий через НЭ и НЭ один и тот же и равен I  , поскольку они
3
2
2
соединены последовательно. Используя значение I  , определяем с
2
помощью ВАХ I (U ) и I (U ) значения напряжений на НЭ и
2
2 3
2 2


НЭ 3 , U  22, B, U 3  36, B .
2
Таким образом, используя графические построения, рассчитали
параметры режима работы данной цепи U  ,U  ,U  , I  , I  .
0 1 2 2 1
– 50 -
Аналогичным образом проводится расчёт смешанных соединений
другой конфигурации.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с измерительными приборами, необходимыми
для выполнения работы и записать их технические данные в протокол.
2. Собрать электрическую цепь по схеме №1 (рис. 22) для снятия
вольтамперной характеристики лампы накаливания. Измерить ток при
напряжениях, указанных в таблице. Результаты записать в таблицу для
схемы №1.
3. Собрать электрическую цепь по схеме №2 (рис. 23) для снятия
ВАХ бареттера (стабилизатора тока). Измерения производить при тех
же напряжениях, что и для лампы накаливания. Результаты измерения
записать в таблицу для схемы №2.
4. Собрать электрическую цепь по схеме №3 (рис. 24) для снятия
ВАХ при последовательном соединении лампы и бареттера. Измерить
ток при варьировании напряжения для его значений, указанных в таблице.
5. Собрать электрическую цепь по схеме №4 (рис. 25) для снятия
ВАХ при параллельном соединении лампы и бареттера. Измерить ток
при варьировании напряжения для его значений, указанных в таблице.
6. По результатам измерений построить в одной системе координат и в одинаковом масштабе ВАХ для схем №1, 2, 3, 4.
6.1 По оси абсцисс системы координат откладывать величины
напряжения, по оси ординат – величины тока, указав масштабы по
току и по напряжению.
6.2 При построении ВАХ руководствоваться общими положениями при построении графических зависимостей (см. Введение).
6.3 Отметить на каждом графике ВАХ, к какой схеме он относится
(схема №1, 2, 3, 4).
7. Используя ВАХ лампы накаливания и бареттера, графически
построить результирующие эквивалентные ВАХ для последовательного и параллельного соединения этих элементов.
7.1. Построение проводить в той же системе координат, что и по п.
6. 7.2.
7.2. Графики выделить цветом от построенных по измеренным
данным.
7.3. Отметить на каждом графике для какого соединения элементов он построен («параллельное», «последовательное»).
– 51 -
ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 1983 (подразделы
1.20; 1.21).
2. Общая электротехника: Учебное пособие для ВУЗов / Под ред.
А. Т. Блекина. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подраздел 1.7).
3. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника:
Учебное пособие для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подраздел
1.15).
4. Электротехника: Учебное пособие для студентов неэлектрических специальностей ВУЗов / Под ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая
школа, 1985 (подразделы 5.1; 5.2).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Объяснить суть понятий «линейный» и «нелинейный» резистивные элементы схемы. Пояснить эти понятия графически.
2. Статическое сопротивление нелинейного элемента, его геометрическая интерпретация. Смысл использования этого понятия.
3. Дифференциальное сопротивление нелинейного элемента, его
геометрическая интерпретация. Смысл использования этого понятия.
4. Графический способ расчёта нелинейных цепей с параллельным и последовательным соединением нелинейных элементов.
5. Графический способ расчёта цепей при смешанном соединении линейных и нелинейных элементов.
6. По заданной преподавателем схеме соединения, ВАХ нелинейных элементов и общему току или напряжению определить токи и
напряжения на всех элементах цепи.
7. Определить статическое или дифференциальное сопротивление в заданной точке ВАХ.
8. Графический способ расчёта цепи при последовательном соединении линейного и нелинейного элементов.
– 52 -
I
I2
I1

0
U1
U2
U
Рис. 1.
I
I2
I1
2
1
0
U1
U2
Рис. 2.
iL
iL
L
UL
UL
Рис. 3.
– 53 -
U
iC
iC
C
UC
UC
Рис. 4.
Iн
Uн
E
E  U н  const
I н  const
Рис. 5.
Iн
E
Uн
E  U н  const
I н  const
Rст  const
– 54 -
Rст
Рис. 6.
I
А
I
н

U
U
н
Рис. 7.
I
I2
A2
I0
A0
I1
A1

1
2
U1 U 0
C
0
I 0  Rд
E0
Рис. 8.
i  I 0  i(t )
E0
e(t)
~
Rд
u(t)
– 55 -
U2
U
Рис. 9.
U2
U1
I
НЭ1
НЭ 2
U
Рис. 10.
I
I (U1 )
I (U 2 )
A1
I1
..
A2
U1
0
U2
U
Рис. 11.
I, мА
A5
I5
60
I4
A4
I (U1 )
40
I (U 2 )
I3
I
I(U)
A3
20
I2
I1
A2
A1
20
U1 4 U 2
60
0
– 56 -
U 80
100
U,B
Рис. 12.
U1
U2
НЭ
R
E
I
Рис. 13.
I
I
I U 2 
E
R
A
I
E
U 2
U1
U
Рис. 14.
I0
НЭ1
НЭ2
U0
I2
I1
Рис. 15.
I
I1 U 
I1
I 2 U 
I2
U0
0
– 57 -
U
Рис. 16.
I, A
A5
I 0 U 
A4
0,5
I 0
A3
0,4
I1 U 
A2
0,3
I1
0,2
I 2 U 
I 2
0,1
0
A1
U 0
U1
20
U2
40
U3
60
U4
80
U5 U , B
Рис. 17.
I2
I0
НЭ 2
U2
I1
U0
U3
НЭ1
U1
Рис. 18.
– 58 -
НЭ 3
I 2 U 2 
I,A
I 3 U 3 
I 0 U 0 
I 2 U1  U 0 
0,4
I 0
I1 U1  U 0 
0,3
I1
0,2
I 2
0,1
U 3
0
20
U 2
40
U 0
U,B
60
80
Рис. 19.
I0
U0
I1
НЭ1
Рис. 20.
– 59 -
I2
НЭ ЭКВ 2,3
I0
U0
НЭ
Рис. 21.

A
Схема№1
V
_
Рис. 22.

A
Схема№ 2
V
_
Рис. 23.
– 60 -
экв 1 2,3

A
Схема№3
V
_
Рис. 24.

A
Схема№ 4
V
_
Рис. 25.
Результаты измерений токов
Величина
напряжения,
В
№ схемы
Схема №1
15
20
30
50
60
Схема №2
Схема №3
Схема №4
– 61 -
70
80
90
100 110 120
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Цель работы: 1. Экспериментально исследовать режимы работы
основных элементов электрической цепи: источника, приёмника
(нагрузки) и линии электропередачи на примере цепи постоянного
тока. 2. Изучить влияние тока в цепи или сопротивления нагрузки на
параметры режимов работы указанных элементов цепи.
Основные теоретические положения
Производство (генерирование), передача (распространение), и потребление (прием) электроэнергии являются основными признаками
работы электрической цепи, независимо от конкретного ее назначения.
Это может быть цепь, образованная электростанцией, линией электропередачи и районным потребителем с передаваемой активной мощностью в несколько десятков мегаватт (МВт), напряжением в несколько
сотен киловольт (КВ). Также электрической цепью является соединение цеховой подстанции с нагрузкой. В этом случае источником питания служит понижающий трансформатор, линией передачи – электрическая сеть низкого напряжения, нагрузкой – двигатели, сварочные
трансформаторы, электрические печи, осветительные приборы, электролизные ванны и т.д. Передаваемая активная мощность может достигать нескольких тысяч киловатт (КВт), ток в цепи – несколько
тысяч ампер (А). Наконец, электрической цепью, можно считать соединение двух транзисторов или микросхем, произвольно выбранных
из схемы какого-либо электронного блока, если электрический сигнал
от одного (одной) передается к другому (другой). Мощность, ток и
напряжение сигнала могут быть весьма невелики и составлять, соответственно, мкВт, мкА, мкВ.
Несмотря на существенные отличия в особенностях создания и работы таких цепей, их анализ может быть обобщен с позиции, принятой
в электротехнике. А именно, путем анализа режимов основных элементов цепи: генератора, приемника и линии передачи. Рассмотрим
режимы применительно к каждому элементу.
Режимом работы какого либо элемента электрической цепи можно
назвать совокупность взаимосвязанных электрических параметров,
однозначно описывающих его состояние.
Источник питания (генератор)
Рассмотрим схему замещения цепи, в которой генератор представлен источником ЭДС постоянного тока (рис.1). К нему посредством
ключа K подсоединена нагрузка, сопротивление R которой может
н
– 62 -
изменяться. Будем считать ключ идеальным, т.е. его сопротивление в
замкнутом состоянии считаем незначительным ( R
 0 ), а в разозам
мкнутом состоянии – бесконечно большим ( R
  ). Сопротивлераз
нием соединительных проводов пренебрегаем ( R
 0 ). Тогда для
пров
замкнутого ключа K (рис.1) эквивалентная схема замещения данной
цепи будет иметь вид (рис.2). Основными параметрами режима работы
источника питания будут:
 U
– напряжение, создаваемое собственно генератором или
ист
напряжение на выходе идеального источника ЭДС;
 U – потери напряжения на внутреннем сопротивлении генератора (внутреннем сопротивлении источника);
 U
– напряжение на внешних зажимах генератора или на
внеш
внешних зажимах источника ЭДС;
 I – ток генератора (ток, протекающий через источник в
нагрузку);
 P
– мощность, развиваемая собственно генератором или
ист
мощность идеального источника ЭДС;
 P – мощность потерь на внутреннем сопротивлении источника ЭДС;
Pвнеш – мощность генератора или мощность источника ЭДС.

Если сопротивление нагрузки R изменятся, то изменяется ток в
н
цепи и режим работы генератора. Поэтому совокупность зависимостей
U ист ( I ); U ( I ); U внеш ( I ); Pист ( I ); P( I ); Pвнеш ( I ) полностью
характеризует генератор при любом режиме работы со стороны внешней цепи. Определим эти зависимости для заданной схемы (рис.2). По
второму закону Кирхгофа (с учетом обхода по часовой стрелке) будем
иметь:
I  Rвн  I R н  E .
(1)
Далее
I R н  U н
,
(2)
U н U внеш
(3)
напряжение на потребителе
.
Поэтому из соотношения (1) с учетом (2) и (3) получим
U внеш E  I R вн
– 63 -
.
(4)
Ток в цепи можно определить из (1):


I  E R вн  R н
.
(5)
Подставив (5) в (4), получим
Uвнеш  E
Rн
R вн  R н
.
Соотношения (4) в (6) определяют зависимости U
(6)
внеш
(I ) и
U внеш ( Rн ) .
Потери напряжения U определятся
U  I  R
вн .
(7)
Из соотношения (1) будем также иметь
I R вн  E  I R вн
.
Подставим в (8) соотношения (5), получим:
(8)
R вн
U  E
R н  R вн
(9)
Соотношения (7) и (9) являются выражением зависимостей
U (I ) и U ( Rн ) .
Напряжение собственно генератора U
есть величина постоянист
ная, поскольку (рис.2)
U ист E
т.е.
.
,
U ист f  I   const
(10)
U ист f R н  const
(11)
 
Далее определим мощностные характеристики генератора
P ист U истI  E  I
(12)
или с учётом (5) будем иметь
E2
P ист 
R н  R вн
– 64 -
;
(13)
P  U  I  I 2R вн
(14)
или
P  E
2
R вн
R вн  R н 2 .
(15)
Наконец,
P внеш U внешI  I 2R н  P ист P  E  I  I 2R вн
(16)
или
P внеш  E 2
Rн
R н  R вн 2
(17)
Важным энергетическим показателем является коэффициент полезного действия источника ЭДС, который характеризует отношение
P
P P
  внеш  ист
 1  P
P ист
P ист
P ист
.
(18)
с учётом (12), (15) и (5) получим
 1
I R вн
E
1
U
E
(19)
или

Rн
R н  R вн
.
(20)
Т.е.  можно определить, как долю общей мощности генератора,
отдаваемую во внешнюю цепь.
Определим значение полученных параметров для основных режимов работы источника питания.
Таким образом, взаимосвязанная совокупность рассмотренных параметров определяет в каждом конкретном случае их количественных
значений определенный режим работы источника ЭДС. Источник
ЭДС, в принципе может иметь большое количество режимов работы.
Однако есть такие режимы его работы, которые имеют конкретное
определение. Они называются характерными режимами.
1. Режим холостого хода источника (хх) – это режим работающего источника питания при разомкнутой внешней цепи (на рис.1
– 65 -
ключ
K разомкнут). В этом случае Rн
  и согласно (5) ток от
источника питания к нагрузке отсутствует I
(4) или (6) получим
хx
 0 . Из соотношений
U внеш. xx  E .
В этом режиме напряжение на внешних зажимах источника равно
его ЭДС, а согласно (7) или (9) потери напряжения отсутствуют
U
.0
xx
Согласно (10) и (11) напряжение, вырабатываемое собственно генератором, равно
U ист E .
Далее, в этом режиме работы источника согласно соотношениям
(12) – (17)
P ист. x x  0 P  0 P внеш. x х  0
; xx
;
.
Наконец, КПД источника из (19)

xx
 1 или

xx
 100 % .
Эти значения η нужно понимать только в том смысле, что при холостом ходе генератора отсутствуют потери мощности и он как бы
способен передать всю мощность во внешнюю цепь (на самом же деле
Pист. х х = 0).
2. Режим короткого замыкания источника (кз) – это режим
работающего источника в случае, если сопротивление нагрузки
Rн  0 . Ток источника резко возрастает и достигает своей максимальной величины в случае цепи постоянного тока (как следует из (5))
I кз 
E
R вн
,
т.е. он ограничивается только внутренним сопротивлением источника.
Для этого режима согласно выше приведённым соотношениям остальные параметры принимают следующие значения:
 потери напряжения в источнике достигают максимального значения
U кз  E ;
 напряжение на идеальном источнике ЭДС остается постоянным
– 66 -
U ист.кз E
;
 мощность идеального источника ЭДС становится максимальной
2
P ист.кз  EIкз 
E
R вн
;
(21)
 потери мощности внутри источника ЭДС также достигают максимального значения
E2
P 
кз R
вн
;
 поскольку во внешнюю цепь энергия не поступает, то
(22)
Pвнеш. кз  0
и
кз  0
.
Режим короткого замыкания совместно с режимом холостого хода
являются, если можно так выразиться, предельными режимами, ограничивающими область возможных режимов работы источника питания
постоянного тока. Для источников питания режим холостого хода не
является “рабочим” поскольку отсутствует полезная мощность P
.
внеш
В то же время в режиме холостого хода отсутствуют и потери и потребление электроэнергии, поэтому его осуществляют в целях экономии электроэнергии (например, выключают потребители при окончании работы на предприятии). Этот режим используют при производстве ремонтных работ на участках цепи, отключенных от источника.
Режимы близкие к холостому ходу используют при передаче энергии на значительные расстояния. Поскольку потери напряжения в
таких цепях не должны превышать 5 %. Также режимы близкие к
холостому ходу используются в электронных цепях. Например, в цепях, содержащих полевые транзисторы.
Режим короткого замыкания генератора совершенно неприемлем
для энергетических систем, поскольку отсутствует полезное потребление электроэнергии и возникающие точки значительно превышают
допустимые. Как правило, он является в таких целях аварийным.
На практике используют режимы, близкие к короткому замыканию, при которых КПД отличен от нуля. Такие режимы используют,
например, при создании значительных токов. Это цепи электросварки,
– 67 -
электродуговой плавки и электролиза металлов. Также их используют
в электронных цепях, содержащих биполярные транзисторы.
3. Согласованный режим работы источника – это режим работающего источника в случае, когда мощность во внешней цепи достигает максимального значения.
Определим эти условия из соотношения (17) на основании известных из курса высшей математики приёмов определения максимумов
функции. Поскольку R имеет возможность изменяться (рис. 1), то
н
можно функцию P
определить так
внеш
 
P внеш  f R н
Для существования максимума функции в этой точке она должна
удовлетворять условиям
P внеш
 2P
 0,
 0 одновременно
2
R н
R н
т.е.
P внеш
R н
E
2
R вн R н 2 2R н R вн  R н 
0.
R вн  R н 4
Знаменатель для такого режима при ограниченном значении внутреннего сопротивления R
не равен бесконечности (поскольку при
вн
Rн   , это будет режим холостого хода). Поэтому
Rвн  Rн 2 2Rн Rвн 2Rвн2  0 ,
откуда следует, что P
максимальна при
внеш
R н  R вн (обозначим эту величину, как R)
.
(23)
Подставим (23) в (17), получим
P внеш. max 
E2
4R
(24)
(самостоятельно убедиться в правомерности второго необходимого условия существования максимума в точке R  R  R ). Остальвн
н
ные параметры для такого режима будут иметь значения
– 68 -
E 1
 I
2 R 2 кз ;
1
U U

E
внеш 2
;
I
P ист 
E2
2R ;
1
Е2
P  P
 P 
внеш 2 ист 4 R
;
(25)
(26)
(27)
(28)
1
или   50 % .
(29)
2
В таком случае мощность источника, отдаваемая во внешнюю цепь
хотя и максимальна, но равна мощности потерь на внутреннем сопротивлении, поэтому КПД составляет всего 50%.
Это режим с таким низким КПД также неприемлем для работы
энергетических систем, в которых потери генератора, как правило, не
должны превышать 5%
В то же время согласованный режим работы источника сигнала и
нагрузки широко используется в электрических цепях, предназначенных для передачи информации (технике связи, автоматике, вычислительной технике и т.п.). В таких цепях с малыми абсолютными значениями мощности сигнала важно, чтобы как можно большая доля этой
мощности была использована в нагрузке (например, в телефонной
трубке или громкоговорителе).
4. Номинальный режим работы источника соответствует его
работе с такими параметрами, на которые он рассчитан заводомизготовителем.
Параметры номинального режима указаны в паспорте источника
питания. Соблюдение номинального режима гарантирует эффективное
и экономичное производство электрической энергии.
Номинальный режим источника зависит от его конкретного назначения. Так для источников, работающих в цепях промышленного энергоснабжения, потери электроэнергии имеют существенное значение и
КПД генератора должен быть близок к единице. Это выполнимо, если
Rн  Rвн и значение номинального тока определяется условием

I ном  (0,05  0,2) I кз
.
То есть номинальный режим таких генераторов близок к режиму
холостого хода.
– 69 -
Для некоторых электронных цепей (цепи на электронных лампах
или цепи на полевых транзисторах) такой режим также является номинальным.
Источники, работающие в цепях передачи информации, предназначены для создания электрического сигнала с максимальной мощностью на нагрузке.. Это выполнимо (если не учитывать сопротивление
соединительных проводов) при R  R и I
 (1 2) I кз . В этом
н
вн
ном
случае говорят, что согласованный режим является для такого источника номинальным.
Наконец, встречаются устройства, например, в контрольноизмерительной технике, когда в приёмнике стремятся получить максимально возможный ток, значение которого не должно практически
зависеть от сопротивления приёмника. Источник энергии (сигнала), в
этом случае, работает в режиме, близком к режиму короткого замыкания, который обеспечивается условием R  R и I
I
вн
н
ном
кз
Для источников в таких устройствах номинальным режимом является
режим близкий к короткому замыканию. В таких же условиях работают источники энергии, непосредственно обеспечивающие электросварку, электродуговую плавку и электролиз металлов.
Анализ режимных характеристик источника. Режимной характеристикой принято называть зависимость какого либо параметра
источника при изменении тока в цепи (или сопротивления приемника).
Рассмотрим и проанализируем совокупность режимных характеристик источника питания (генератора) при изменении его режима от
холостого хода до короткого замыкания. Зависимость (4) называется
внешней характеристикой источника питания (генератора). Её график
(в случае пассивной резистивной нагрузки) изображен на рис.3. С
изменением тока от нуля ( I
 0 – ток холостого хода) до максихх
мального ( I  E / R вн– ток короткого замыкания) напряжение на
кз
концах генератора U
уменьшается от U
 E до
внеш
внеш. xx
U внеш. кз 0 . Это происходит из-за того, что с уменьшением Rн и
ростом тока увеличиваются потери напряжения на R
(7). Поэтому
вн
напряжение на зажимах источника U
меньше E на величину
внеш
U (4). Чем больше Rвн источника, тем больше потери напряжения
при одном и том же токе (рис.4). При R  0 (рис.4) внешняя хараквн
теристика параллельна оси токов и отвечает собственно источнику
питания (идеальному источнику ЭДС). В нашем случае внешняя ха-
– 70 -
 0 , есть зависимость U ист ( I ) . Графики укавн
занных зависимостей (режимных характеристик) приведены на рис.5.
Линия параллельная оси ординат на рис. 5 называется линией режима.
Точки пересечения линии режима с режимными характеристиками
определяют параметры режима. На рис. 5 приведены линии режима,
соответствующие холостому ходу, согласованному режиму и короткому замыканию источника ЭДС.
Рассмотрим остальные зависимости (режимные характеристики),
характеризующие режимы работы источника.
Зависимость потерь напряжения от тока U  f (I ) . В соответрактеристика при R
ствии с (7) при R – const, эта зависимость есть прямая линия, провн
ходящая через точки U  0 при I  0 и U  E при
xx
I кз  E R вн . P ист  f  I  – зависимость мощности собственно источника от тока, согласно соотношению (12), есть прямая линия, проходящая через точки P
 0 при I ХХ 0 и
ист.xx
E2
P ист 
R вн
P  f I 
I кз 
E
R вн
при
.
– зависимость потерь мощности источника на сопро-
тивление R . Согласно соотношению (14), при R – const, график
вн
вн
этой зависимости имеет вид параболы, поскольку потери мощности
пропорциональны 2 .
I
P внеш  f  I  – зависимость мощности генератора , отдаваемой
во внешнюю цепь. Определим вид этой зависимости. Для этого проведём преобразование соотношения (16)
2E
E2
E2
P внеш  E  I  I R вн   I R вн 
I


2
4 R вн 4 R вн
2
2

2E
E 2 
E2
2

  Rвн I 
I


2  4R

2 R вн
4 R вн 
вн

2

E 
E2

  Rвн I 



2
R
4 R вн

вн 
.
– 71 -
(30)
 f ( I ) есть уравнение павнеш
раболы, повёрнутой ветвями вниз. Вершина параболы имеет координаты  I
2 по оси токов и  I кз E 4 по оси мощностей и является
кз
точкой максимума этой функции (рис.5).
Обоснуем данную зависимость энергетическими соображениями
Зависимость (30), как функция P
P внеш  R н I 2
(31)
или
P внеш  P ист P
,
(32)
где
P ист  E  I
;
(33)
P  R внеш I 2 .
(34)
Элементы R и R
соединены последовательно. Поэтому, сон
вн
гласно балансу мощности в цепи
P ист  P  P внеш
(35)
и мощность источника P
распределяется на этих элементах проист
порционально их сопротивлениям.
С увеличением I , начиная от режима холостого хода и до согласованного режима R  R . Поэтому большая доля мощности, разн
вн
виваемой источником, поставляется в нагрузку. Т.е. на участке от
I xx  0 до I  I кз 2 кривая P внеш  f  I  расположена выше
кривой P  f I  и обе они лежат под кривой P
 f  I  согласно
ист
(35). Рассмотрим, далее, как изменяются на этом же участке приращения мощности dP
, d P  и dP
при изменении тока I
ист
внеш
dP ист  E  dI
.
(36)
Согласно (16), (5) и (1)





dPвнеш  E  2 R вн I dI  I R вн  R н  2 R вн dI
d P   2 R вн I  dI
Из (35) имеем
– 72 -
.
(37)
(38)
dP ист  dP внеш  d P 
или
dP внеш  dP ист d P 
Приращение мощности источника dP
ная на интервале изменения
ист
(39)
.
(40)
есть величина постоян-
I от 0 до I кз 2 (36). В то же время, хотя
d P  линейно растёт с ростом I (38), оно не превышает dP ист ,
поскольку на указанном интервале R  R  2R . Поэтому совн
н
вн
гласно (37) и (40)
dP внеш  0
и, по мере роста
I , dP внеш уменьшается, т.е. кривая
P внеш  f I  возрастает, но её рост замедляется (рис.5).
В точке I  I
кз
2
d P   2 R н I  dI  2 R  I  dI  E  dI
,
так как в этой точке
R н  R вн  R
и
dP внеш  E  E  dI  0
.
 f I  превнеш
кращается, она достигает своего максимума. С дальнейшим ростом I
от I
2 до I кз dP ист по-прежнему остается постоянной величикз
ной, а d P  по-прежнему линейно растет с ростом I . Но на этом
интервале изменения I изменяется соотношение между сопротивлениями R
и R . Теперь уже
вн
н
Поэтому в указанной точке рост мощности P
2 R вн  R н  R вн
.
Поэтому из (36), (37) и (38) следует, что
d (P)  2 R вн I  dI  dP ист
и
– 73 -
dP внеш  dP ист dP  0
.
 f I  на этом участке изменевнеш
ния тока уменьшается и при I  I становится равной нулю.
кз
Рассмотренные режимные характеристики, как функции тока I
принято строить для мощных электрических цепей. В тоже время в
большинстве случаев в электронных схемах информация передается с
помощью переменного тока. Постоянный ток определяет условия
оптимальной работы таких цепей. Поэтому в этих случаях принято
строить рассмотренные зависимости в функции от R – сопротивлен
ния нагрузки. Такие зависимости приведены на рис.6, где они построены согласно основных соотношений (5), (6), (9), (11), (13), (15), (17),
(20), которые перестроены в относительном виде (рис.7)
Линия электропередачи
Этот элемент электрической цепи расположен между генератором
и приёмником (рис.8). Поэтому она влияет как на режим работы генератора, так и на режим работы приемника.
В самом простейшем случае линия передачи для цепи постоянного
тока представляет собой два проводника, сопротивлением (1 2) R
л
(рис.8). Согласно II закону Кирхгофа для такой схемы можно составить уравнение:
Это значит, что мощность P


I R вн  ( 1 ) R л ( 1 ) R л I  I R н  E
2
2
.
(41)
Объединив ( 1 ) R ( 1 ) R  R , получим
2 л
2 л л
I
E
R вн  R л  R н
.
(42)
Соотношению (42) отвечает более простая схема (рис.10.а), где
проводники линии представлены одним резистивным элементом с
сопротивлением
R л  ( 1 ) R л ( 1 ) R л
2
2
.
Рассмотрение режимов работы линии по входу равносильно анализу режимных характеристик источника. В этом случае линию передачи
и приёмник можно представить, как эквивалентную нагрузку с общим
сопротивлением
R экв н  R л  R н
– 74 -
.
Поэтому условием согласованного режима работы источника в
данном случае будет равенство
R вн  R л  R н
.
При изменении R
от ∞ до 0 эквивалентная нагрузка будет измен
няться в пределах от ∞ до R . Поэтому ток короткого замыкания в
л
данном случае равен
 
I кз
E
Rвн  Rл
.
и предельной линией режима работы генератора будет линия, соответствующая I  (штрихпунктирная линия на рис. 5) или линия,
кз
соответствующая R R
(штрихпунктирная линия на рис. 6). Слел
вн
дует заметить, что положение штрихпунктирной линии предельного
режима проведено условно и может изменяться в ту или иную сторону
в зависимости от соотношения между R и R . В то же время, в
л
вн
пределах от I  0 до I  I  или от R R
до  изменение всех
л
вн
кз
режимных характеристик источника (рис. 9) полностью аналогично
рассмотренным на рис. 5 и рис. 6.
Рассмотрение режимов работы линии по выходу также можно свести к анализу режимных характеристик источника с эквивалентным
внутренним сопротивлением
R экв.вн  R л  R вн
.
Поэтому общий характер поведения режимных характеристик
полностью аналогичен приведенным на рис. 5 и рис. 6. Также можно
заметить, что согласованный режим работы источника (или приемника) в этом случае обеспечивает условие
R н  R л  R вн
.
В то же время необходимо отметить основные особенности влияния линии электропередачи. Напряжение на входе линии U
при
внеш
I  0 меньше ЭДС E на величину потерь напряжения на внутреннем
сопротивлении источника U , а напряжение U
 U пр на привых. л
ёмнике меньше напряжения на входе линии на величину потерь
напряжения в линии
– 75 -
U  I R
л
л.
(43)
Кроме этого, мощность на входе линии P
идеального источника ЭДС P
меньше мощности
внеш
на величину потерь мощности P
ист
на внутреннем сопротивлении генератора, а мощность приёмника
P пр
меньше мощности на входе линии на величину потерь мощности в
линии
2
P  U I  R I
л
л
л
.
(44)
Поэтому потери напряжения и мощности в линии влияют на КПД
электрической цепи в целом и с ростом потерь КПД уменьшается
л 
P
P л
Rл
 внеш
1
P внеш
P внеш
Rн R л
.
Pн
Анализ соотношений (4), (7), (14), (16), (43), (44) показывает, что
потери можно уменьшить, уменьшая ток в цепи и сохранить передаваемую мощность, увеличивая напряжение. Поэтому линии электропередачи, связывающие электростанцию с потребителями, выполняют
высоковольтными. В сетях низкого напряжения для того, чтобы
уменьшить потери U и P в проводах линии электропередачи и
л
л
избежать тем самым значительных колебаний напряжения на нагрузке
при изменении её режимов работы и повреждение изоляции линии от
перегрева, выбирают оптимальную площадь поперечного сечения
проводов линии. Условием нормальной работы такой линии считается,
если U не превышает (2+5)%, а предельная температура не превыл
шает 55-70оС.
Потребитель (приёмник, нагрузка)
Основными зависимостями, описывающими, режим работы приемника, являются:
U нU пр f I  или U пр f R н – зависимость напряжения
приёмника от режима работы;
P н  P пр  f I  или P пр  f R н – зависимость мощности приёмника от режима работы;
I  f R н – зависимость тока приёмника от его режима работы.
 
 
 
– 76 -
Для схемы рис.10.а сопротивление линии R
тивление генератора R
и внутреннее сопрол
по отношению к приемнику можно объеди-
вн
нить в одно эквивалентное внутреннее сопротивление источника
R экв. вн  R л  R вн
.
В этом случае схема цепи по структуре будет иметь вид схемы на
рис10.б или схемы на рис.2. Поэтому вышеприведенные режимные
характеристики приемника будут соответствовать (  ) следующим
характеристикам, приведенным на рис.5. или рис. 6:
U пр ( I )  U внеш( I ) на рис. 5 ;
U пр ( Rн )  U внеш( Rн ) на рис. 6 ;
Pпр ( I )  P внеш ( I ) на рис. 5 ;
Pпр ( Rн )  P внеш ( Rн ) на рис. 6 ;
Также этой схеме соответствуют режимные характеристики источника ЭДС
U ист ( I )  U ист( I ) на рис. 5 ;
U ист ( Rн )  U ист( Rн ) на рис. 6 ;
Pист ( I )  P ист ( I ) на рис. 5 ;
Pист ( Rн )  P ист ( Rн ) на рис. 6 ;
U экв. ( I )  U ( I ) на рис. 5 ;
U экв. ( Rн )  U ( Rн ) на рис. 6 ;
Pэкв. ( I )  P( I ) на рис. 5 ;
Pэкв. ( Rн )  P( Rн ) на рис. 6 ;
U пр ( I )  U внеш( I ) на рис. 5 ;
U пр ( Rн )  U внеш( Rн ) на рис. 6 ;
Pпр ( I )  P внеш ( I ) на рис. 5 ;
Pпр ( Rн )  P внеш ( Rн ) на рис. 6 ;
– 77 -
( I )  ( I ) на рис. 5 ;
( Rн )  ( Rн ) на рис. 6 .
Следует заметить, что согласованный режим работы приемника и
источника осуществим при условии
R н  R л  R вн
.
Если необходимо исследовать и линию электропередачи, то сопротивление линии R и внутреннее сопротивление генератора R
по
вн
л
отношению к приемнику можно объединить в одно эквивалентное
сопротивление линии
R экв. л  R л  R вн
.
В этом случае схема на рис. 10.а преобразуется в схему на рис.
10.в. Режимные характеристики источника, линии электропередачи и
приемника для этой схемы будут соответствовать следующим режимным характеристикам, приведенным на рис. 5 или на рис. 6:
U ист ( I )  U ист( I ) на рис. 5 ;
U ист ( Rн )  U ист( Rн ) на рис. 6 ;
Pист ( I )  P ист ( I ) на рис. 5 ;
Pист ( Rн )  P ист ( Rн ) на рис. 6 ;
U экв.л ( I )  U ( I ) на рис. 5 ;
U экв.л ( Rн )  U ( Rн ) на рис. 6 ;
Pэкв.л ( I )  P( I ) на рис. 5 ;
Pэкв.л ( Rн )  P( Rн ) на рис. 6 ;
В данном случае источник является идеальным источником ЭДС и
можно говорить о КПД линии электропередачи
л ( I )  ( I ) на рис. 5 ;
л ( Rн )  ( Rн ) на рис. 6 .
Указания по выполнению работы
1. В данной лабораторной работе в качестве экспериментальной
используется цепь постоянного тока. При этом ее схема замещения
выбрана подобной схеме на рис. 10.в.
– 78 -
2. Источник электропитания моделируется идеальным источником ЭДС. Для этого в процессе эксперимента напряжение на выходе
источника поддерживается одинаковым с помощью регулятора напряжения.
3. В качестве моделей для линии передачи и приёмника используются реостаты. При этом величина сопротивления реостата в линии
электропередачи остается постоянной в течение эксперимента, величина реостата, моделирующего приемник, уменьшается от максимального значения до нуля.
4. При выборе реостатов руководствоваться условием
R л 3  8  R пр
5.
Ток при R
пр
.
 0 не должен превышать значения
I кз  2,5  3, A
Порядок выполнения работы
1. Собрать электрическую цепь по схеме на рис.11. Исследования
начинать при полностью введенном реостате R  R
.
пр
пр. max
2. Установить значение напряжения ( U  U
) источника пи1
ист
тания, заданное преподавателем. Ключ K разомкнуть и исследовать
1
режим холостого хода. Данные измерений занести в соответствующую
строку таблицы.
3. Замкнуть ключ K и, плавно уменьшая сопротивление R , от
1
пр
его значения при холостом ходе, установить 3 – 4 промежуточных
режима (между режимом холостого хода и согласованным режимом).
При этом показания вольтметров в каждом промежуточном режиме
должны находиться в пределах
U1  U 2  U
.
Показание вольтметра pV во всех опытах должно оставаться
1
одинаковым и равным его показанию в опыте холостого хода. Для
этого перед началом измерений в каждом опыте установить это показание с помощью регулятора напряжения источника питания. Данные
измерений занести в таблицу.
4. Установить согласованный режим работы приемника. При этом
показания вольтметров pV и pV должны соответствовать значени2
3
– 79 -
ям U U . Показание вольтметра pV установить таким же, как и в
2
1
опыте холостого хода. Данные измерений занести в таблицу.
5. Исследовать 3 – 4 промежуточных режима (между согласованным режимом и режимом короткого замыкания), уменьшая величину
сопротивления R . При этом показания вольтметров pV и pV
2
3
пр
должны отвечать соотношению
U 2  U
,
показания вольтметра pV поддерживаются одинаковыми и рав1
ными величине, установленной в опыте холостого хода.
6. Полностью вывести реостат R ( R  0 ) и исследовать репр
пр
жим короткого замыкания. Данные измерений занести в таблицу.
7. По результатам эксперимента построить графики зависимостей
(по указанию преподавателя)
U 2 U пр  f ( I ) ; U  U  f I ; U  U
 f I ;
л
1
ист
P2  Pпр  f I ; P  P  f I ; P  P  f I ;
л
1
ист
   л  f I 
или
 Rпр 
 Rпр 
 Rпр 




;
U 2 U пр  f
; U  U л  f
; U  U ист  f 
 R 
 R 
 R  1
 л 
 л 
 л 
 Rпр 
R 
 ; P  P  f  пр  ;
P2  Pпр  f 
л
 R 
 R 
 л 
 л 
 Rпр 
 Rпр 


.
P1  Pист  f
;   л  f 
 R 
 R 
 л 
 л .
Зависимости построить в одной системе координат (но в разных
масштабах), используя рис. 5 или рис. 6.
– 80 -
ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин С.А., Перекалин М.А. Электротехника: Учебник для
неэлектротехн. специальн. ВУЗов. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959 (подразделы 1 – 6, 1 – 7, 1 – 8, 1 – 9).
2. Касаткин С.А., Немцов М.В. Электротехника: Учебн.пособие
для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подразделы 1.6,
1.9, 1.18).
3. Общая электротехника: Учебн. пособие для ВУЗов/Под ред.
А.Т.Блажкина. М.: Энергоатомиздат, 1986 (подразделы 1 – 3, 1 – 4).
4. Борисов Ю. М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника:
Учебник для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 1.5, 1.6,
1.8, 1.9, 1.10).
5. Электротехника: Учебник для неэлектротехнических специальностей ВУЗов / Под ред. В.Г.Герасимова. М.: Высшая школа, 1985
(подразделы 1.4, 1.14).
Контрольные вопросы
1. Перечислите характерные режимы работы источника, приемника и линии электропередачи и дайте характеристику каждому режиму.
2. Какие факторы влияют на КПД линии передачи?
3. Какие причины вызывают изменение напряжения на зажимах
потребителей?
4. Проанализируйте зависимости, приведённые на рис.5 или на
рис.6 (по указанию преподавателя).
– 81 -
K
a

c
E
_
Rн
Rвн
b
Rпров.
d
Рис.1.
c
a
I
Rвн
U
U внеш
U ист
Uн
Rн
E
b
d
Рис. 2.
U внеш
U E
U внеш  f  I 
I  I кз
0
I
Рис. 3.
– 82 -
U внеш
Rвн  0
E
U1
U2
Rвн1  Rвн2  Rвн3
Rв н1
Rвн2
U3
Rв н3
I
Рис. 4.

P
Pкз
Pист  f I 
U ист  f I 
U  f I 
P  f I 
E
2
U внеш  f I 
Ре ж и м холостого хода
0,5
0
Pвнеш  f I 
1
I кз
2
Рис. 5.
– 83 -
I кз
Ре ж и м короткого замыкания
  f I 
1,0
Согласованный режим
E
I кз

I
I кз
U
E
P
Pкз
Согласованный режим
1
1
1
U ист  f ( Rн )
Режим К.З.
U внеш  f Rн 
U  f Rн 
1
0,5
1
4
  f Rн 
 1
Pист  f Rн  Режим холостого хода  
P  f Rн 
0,5
I  f Rн 
Pвнеш  f Rн 
0,5
Rн
Rв н
0
1
5
4
3
2
6
7
Рис. 6.




Pист Pкз  1 1  Rн Rвн ; P Pкз 1 1  Rн Rвн 2 ;



Pвнеш Pкз  Rн Rвн 1  Rн Rвн 2 ;


U E  1 1  R R
;
н
вн
Рис. 7.
.
– 84 -
8
U внеш  U вх л
U вых л  U пр (U н )
I ист  I вх л
I вых л  I пр ( I н )
Источник
питания
Линия
электропередачи
Приёмник
Рис. 8.
II
a
Rвн
E
b
I л  I пр ( I н )
л
(1 2) Rл
c
(1 2) Rл
d
Рис. 9.
– 85 -
Rпр  Rн
а
R
л
R
вн
R R
пр
н
E
б
R
л
U
R
экв. вн
P
экв
R
вн
E
U
экв
U
экв. внеш
U
пр
P
P
экв. внеш
пр
P
ист ист
в
R
R
вн
л
R
экв. л
E
U
U
ист
I I I
л
пр
U пр
P
экв. л
экв. л
P
ист
R R
пр
н
P
пр
Рис. 10.
– 86 -
№ опыта
– 87 -
Вт
Вт
%
η
Режим короткого
замыкания
Согласованный
режим
Холостой ход
U
9
Вт
∆P Pист. Pпр.
pV
1
8
--
Rпр/Rл
U
pV
2
7
Ом
Rпр
I
6
Ом
Rл
Примечание
(режимы работы
источника)
R
5
4
3
2
1
А
В
В
В
I
Результаты вычислений
U
1
U1 ∆U U2
Данные измерений
Результаты эксперимента

л
K
1
pV
3
2
R
пр
_
Рис. 11.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО
ТОКА
Перед выполнением лабораторных работ, посвящённых исследованию цепей синусоидального тока, весьма полезным является изучение соответствующих разделов по лекциям или учебникам. Данный
раздел не претендует на выполнение этой цели и служит для первоначального знакомства с основными понятиями и элементами цепей
синусоидального тока.
1.
Формы представления синусоидальных напряжений,
ЭДС и токов
Допустим, что имеем некоторую цепь, в которую включены источники питания (источники ЭДС или источники тока), вырабатывающие синусоидальную ЭДС или синусоидальный ток одной частоты, а
также приёмники (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы).
Для того, чтобы экспериментально или теоретически изучить режим
работы такой цепи (а может быть и область возможных режимов работы), необходимо, прежде всего, уяснить, каким образом представлять
синусоидально изменяющиеся во времени параметры режимов работы
этой цепи. Т.е., иными словами, в какой форме представлять синусоидальные напряжения, ЭДС или ток для того, чтобы с этими представлениями можно было удобно и наглядно проводить расчёты или измерения.
Известно, что любую функцию можно представить в аналитической, графической и табличной формах.
Широко распространенные ранее таблицы значений sin x (x изменяется от 0 до 90 угловых градусов) в настоящее время вытеснены в
результате массового производства микрокалькуляторов. Поэтому
табличное представление указанных величин в практике расчётов по
электротехнике в настоящее время не используется.
Как следует из определения, аналитическая форма представления
указанных параметров режимов может быть записана в виде:


i  I m sin t   i ;


e  E m sin t   е .
u  U m sin t   u ;
(1)
Для уяснения смысла всех параметров, указанных в (1), приведём
графическую форму представления синусоидальных величин (рис.1) и
составим эти формы.
– 88 -
e  Em sin t   e 
u  U m sin t   u 
u , i, e
i  I m sin t   i 
Em
Im
Um
t


u
e

i
T
4
T
Рис. 1.
Em , U m , I m – амплитудное значение ЭДС, напряжения и тока, т.
е. максимальное по абсолютной величине значение параметра режима,
которое он может принимать в течение времени. Амплитудные значения измеряются в Вольтах (В) или Амперах (А), соответственно. По
оси абсцисс на графике (рис.1) в качестве аргумента принято брать
параметр t , имеющий размерность – радианы, и пропорциональный
времени t .
 e ,  u ,  i – начальная фаза ЭДС, напряжения и тока, которая показывает, какую величину составляет рассматриваемый параметр режима ( e , u или i ) в момент времени, принятый за начало отсчёта
t  0 . Иными словами начальная фаза определяет сдвиг графика
синусоиды вдоль оси времени  t  относительно начала отсчёта.
Если в момент  t  0 (начала отсчёта) рассматриваемая синусоидальная величина отрицательна, то её начальная фаза
0,
в противном случае
  0.
Поэтому количественно начальная фаза  определяется вдоль
оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения
синусоидальной величины при её переходе от отрицательных значений
к положительным относительно оси абсцисс. Если начальная фаза
положительна, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, в
противном случае – вправо от начала координат. Так на рис.1 начальная фаза тока 0   i  90 – положительна; начальная фаза ЭДС
– 89 -
0    e  90  – положительна; кроме этого  i   e . наконец, началь-
ная фаза U  90   u  0 - отрицательна. Начальная фаза измеряется
в угловых градусах или радианах.
Аргумент синусоидальной величины t   носит название фазы
(фазы колебаний). Она измеряется в радианах или угловых градусах и
показывает, в какой фазе находятся колебания напряжения, ЭДС или
тока в данный момент времени. Как видно (рис.1), при различных
значениях фазы колебания можно получить одинаковые значения
функции.
Для того чтобы анализировать многозначные синусоидально изменяющиеся функции, их принято рассматривать на участке вдоль оси
абсцисс с полным циклом изменения фазы колебаний. Такой участок
называется периодом колебаний и определяется как минимальный
промежуток времени (или минимальное расстояние вдоль оси абсцисс)
между двумя одинаковыми значениями синусоидальной функции.
Период T измеряют в секундах; для аргумента t период равен 2
радиан или 360º.
Величину обратную периоду колебаний T называют циклической
частотой колебаний
1
f  .
T
Циклическая частота f измеряется в Герцах и показывает какое
число полных циклов колебаний (или периодов) данной синусоидальной функции происходит в одну секунду.
Также важным параметром является угловая частота колебаний 
2

 2f (радиан/секунда или угловые град / секунда).
T
Весьма важным понятием в электротехнике является разность фаз
 , под которой понимают сдвиг графиков синусоидальных величин
один относительно другого. Разность или сдвиг фаз, например, между
синусоидальными напряжением и током одинаковой частоты (рис.1)
можно определить как разность их начальных фаз
  u  i .
Аналогично разность фаз между e и i
   e  i .
Следует помнить, что поскольку начальная фаза есть величина алгебраическая, то разность фаз также величина алгебраическая. И ещё
одно важное обстоятельство. Начальная фаза колебаний зависит от
момента времени, принятого за начало отсчёта t  0 , в то же время
разность фаз не зависит или, говорят, инвариантна относительно нача-
– 90 -
ла координат, если частота синусоидальных функций, между которыми
определяется  , одинакова.
Как видно, аналитическая и графическая формы представления
синусоидальных величин определяется сравнительно большим числом
параметров, поэтому они не нашли применения в расчетах и используются, преимущественно, для наглядного представления результатов
расчёта или измерения.
Необходимость оценки или измерения синусоидальных ЭДС,
напряжений и токов с помощью одного какого-либо параметра привела
к появлению различных эквивалентов. Наибольшее распространение
получило действующее значение синусоидального тока, которое
является его тепловым эквивалентом и определяется такой величиной
постоянного тока, который производит такой же тепловой эффект, что
и оцениваемый синусоидальный ток, протекая через тот же R -элемент
(с тем же сопротивлением), что и синусоидальный ток за одно и то же
время. Если в линейной цепи действуют синусоидальные ЭДС, то
действующее значение синусоидального тока определяется как
I
(2)
I m ,
2
где I – действующее значение синусоидального тока; I m – амплитудное значение синусоидального тока. По аналогии определяются действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС:
E
U
(3)
U  m ; E m .
2
2
Следует заметить, что этот эквивалент для синусоидальных
напряжений и ЭДС не имеет конкретного физического смысла, как для
тока, так и для напряжения.
Действующее значение синусоидального тока, напряжения или
ЭДС нашло широкое применение в измерительной технике. Многие
измерительные приборы (вольтметры, амперметры), используемые в
электротехнических измерениях, проградуированы в действующих
значениях напряжения и тока.
Несмотря на это данный эквивалент не может однозначно описать
указанные синусоидальные величины, поскольку ничего не говорит о
фазе колебаний. Как будет показано в дальнейшем, одинаковые действующие значения синусоидального тока и напряжения при различной величине сдвига фаз между ними обеспечиваются различными
энергетическими явлениями в цепи. Поэтому только использование
действующего значения оказывается явно недостаточным при расчетах.
Попытки преодолеть указанные недостатки привели к представлению
синусоидальных функций времени их изображением в виде вращаю– 91 -
щихся радиус-векторов в декартовой плоскости координат. На рис.2

представлен радиус-вектор I m , длина которого равна I m . Данный
вектор вращается в декартовой плоскости координат xoy против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью  и поворачивается за
время одного оборота T на угол 2 , т.е. T  2 . Положение радиус
вектора I m относительно оси x в момент начала отсчёта времени t  0
определяется углом  0 . За отрезок времени t1 радиус-вектор повернётся на угол t1 и его положение относительно оси x определится
углом 1  t1   0 . За время t 2 радиус-вектор переместится на угол
t2 и займёт положение, определяемое углом  2  t2   0 и т.д. Проекция вращающегося радиус-вектора на ось y в момент времени t
определится выражением I m y (t )  I m sin t   0  . Очевидно, при t  0
величина вектора составит I m y  I m sin  0 (отрезок 0a0 ) и т.д. На этом
же рис. 2 построена синусоида, мгновенные значения которой для
любого момента времени t найдены как соответствующие проекции
вращающегося радиус-вектора на ось y в тот же момент времени.
y

Im y
t1  0
t2   0
a0
Im
a2
x
t3   0
t4   0
T
a1
t3
t4
0 0 t1 t2
t
a3

Im
a4
2
Рис. 2.
На основании приведённых построений можно утверждать, что
между вращающимся радиус-вектором и некоторой синусоидальной
функцией времени существует взаимно однозначное соответствие. А
именно, любому равномерно вращающемуся радиус-вектору однозначно соответствует некоторая синусоидальная функция времени. И,
наоборот, любая синусоидальная функция времени может быть условно изображена однозначно соответствующим ей вращающимся ради– 92 -
ус-вектором, длина которого равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси x определяется начальной фазой синусоиды.
Такое представление синусоидальных функций времени может
быть использовано в расчётах цепей переменного тока.
Допустим, для некоторого узла электрической цепи по первому закону Кирхгофа можно записать уравнение:
i1  i2  i3  0
или
i1  i2  i3 .
(4)
При этом для i1 и i2 известны аналитические выражения
i1  I m1 sin  t  1  ;
(5)
i2  I m 2 sin  t   2  .
Путём элементарных тригонометрических преобразований
можно показать, что сумма двух синусоид одинаковой частоты 
представляет собой синусоиду той же частоты  . Т.е. данный расчёт
сводится к определению I m3 и  в выражении
3
i3  I m3 sin  t  3  .
(6)
Если воспользоваться аналитическим представлением синусоидальных
токов i1 , i2 и i3 , то искомые параметры можно получить с помощью
известных тригонометрических преобразований:
 3  arctg
I m3 
I
m1
I m1 sin 1  I m2 sin  2
I m1 cos 1  I m2 cos  2
 cos 1  I m2  cos  2
  I
2
m1
 sin 1  I m2  sin  2

2
(7)
Как видно, решение задачи получается громоздким даже в том
случае, когда суммируются только две функции, в то время как
задачи электротехники очень часто требуют суммирования нескольких величин.
Ещё боле громоздким и к тому же менее точным получается решение этой задачи, если её проводить для графического представления синусоидальных величин (рис.1). В этом случае необходимо
предварительное построение графиков заданных токов i1 и i2 , как
функции времени. Затем с их помощью, путём суммирования ординат графиков i1 и i2 для фиксированных моментов времени, построе-
– 93 -
ния графика тока i3 . И, наконец, с помощью построенного графика,
определение Im3 и 3 .


I
Проведём решение задачи с помощью радиус-векторов I m1 и m2
y
вращающихся с частотой  против часовой стрелки. На рис.3 показаны их положения для момента времени

t  0 . Результирующий вектор I m3 , по


лученный сложением I m1 и I m2 по прави
лу параллелограмма, будет также вра
I m2
щаться с частотой  и являться в свою
I m3
очередь изображением некоторой синусоидальной функции времени.


I m1
3
Рис. 3.
0

2

1
x
Учитывая, что
I m 3 cos  3  I m1 cos 1  I m2 cos  2 ;
I m1 sin 3  I m2 sin 1  I m3 sin  2 ,
получим, что для модуля I m3 и начальной фазы 3 результирующего


вектора I m3 справедливы соотношения (7). Следовательно, I m3 является изображением искомого тока i3  i1  i2 . Зная выбранный масштаб,
можно определить амплитуду тока I m3 . Непосредственно по чертежу
(рис.3) определяется и начальная фаза  3 . Следует обратить внимание
на то, что если все вектора вращаются с одинаковой частотой, то со
временем их положения друг относительно друга не изменяется. Поэтому, в принципе, безразлично в какой момент времени рассматривать указанную диаграмму векторов.
В электротехнике принято такие диаграммы строить для момента времени  t  0 , т.е. принято считать, что графическим изображением синусоидальной электрической величины может служить и неподвижный радиус-вектор. Длина этого вектора равна (в выбранном
масштабе) амплитудному значению синусоидальной величины, а угол
относительно положительного направления оси абсцисс равен её
начальной фазе. При этом направление движения векторов против
часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным. Аналогично определяется знак угла  радиус-вектора. Так
на рис.3 все углы 1 , 2 , 3 положительны.
– 94 -
Такую совокупность радиус-векторов, отображающих синусоидальные величины одной и той же частоты при  t  0 , и учитывающую правильную ориентацию этих векторов по фазе, принято называть векторной диаграммой.
Расчёты с использованием изображающих векторов просты и
наглядны, однако обладают существенным недостатком, присущим
всем графическим методам, – ограниченной точностью.
В конце XIX века Ч. П. Штейнмецем и А.Е. Кеннели был предложен символический метод расчёта, основанный на представлении
синусоидальных напряжений, токов и ЭДС в виде векторов на комплексной плоскости. Комплексные изображения позволяют совместить
простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчётов.
Некоторый вектор, изображающий синусоидальную функцию
времени в декартовой плоскости, перенесём на комплексную плоскость, для чего совместим ось x с осью действительных чисел, а ось y с
осью мнимых чисел (рис.4). Если при замене координат мы сохраним
все условия изображений, о которых было сказано выше, то такой
перенос даёт возможность аналитического выражения радиус-вектора.
j
I m1
I m1
'
1 I m 2
0
L
Im 2
L
2
1
1  0
1
2  0
j
Рис. 4.
Комплексный вектор принято обозначать в виде Im1 или Im 2 , имея
в виду, что I m1 I m 2  – его модуль, а 1 2  – его аргумент или фазовый
угол. Известно, что любому вектору Im , расположенному на комплексной площади, однозначно соответствует комплексное число,
которое может быть записано в трёх формах:
алгебраической
Im1  Re( Im1 )  Im( Im1 )  Im 1  jIm1 ; Im 2  Re( Im 2 )  Im( Im 2 )  Im 2  jIm 2 ;(8)
– 95 -
тригонометрической
Im1  I m1 cos 1  jIm1 sin 1 ; Im 2  I m 2 cos  2  jI m 2 sin  2 ;
(9)
показательной
I  I e j1 ; I  I e j 2 .
m1
m1
m2
m2
(10)
Здесь символом j   1 обозначена мнимая единица, e – основание
натурального логарифма, Re Im – действительная часть комплексного
 
числа, Im Im – его мнимая часть. В соответствии с формулой Эйлера,
все три формы равнозначны:
Im  Re Im   j ImIm   I m cos   jI m sin   I m e j .
При суммировании комплексных чисел
удобно использовать алгебраическую форму записи
Например,
Im1  Re Im1   j ImIm1  ; Im 2  Re Im 2   jJ ImIm 2  ;
(11)
Im1  Im 2  Re Im1   Re Im 2   j ImIm1   ImIm 2  .
При умножении или делении комплексных чисел
удобна показательная форма записи
Например,
Im1  I m1e j1 ; Im 2  I m 2e j 2 ;
Im1  Im1  I m1  I m1  e j 1   2  ;
Im1  I m1  j 1  2 
  e
.
Im1  I m1 
(12)
Если далее необходимо производить суммирование, то результаты
(12) нужно представить в алгебраической форме, как указано в (8). Для
этого существуют соотношения, определяющие переход от одной
формы записи в другую. Например, имеем показательную форму представления комплексного числа
(13)
Im1  I m1e j ,
1
– 96 -
тогда компоненты алгебраической формы записи находятся так (см. рис. 4)
(14)
Re Im1   I m1 cos 1  I m' 1 ; ImIm1   I m1 sin 1  I m" 1 ;
Im1  I m 1  jIm" 1 .
(15)
Необходимо помнить, что знак составляющих комплексного числа
зависит от величины и знака угла 1 . Если комплексный вектор задан в
алгебраической форме
Im 2  Re Im 2   j ImIm 2   I m' 2  jI m" 2 ,
(16)
тогда модуль I m 2 и аргумент 2 , как компоненты показательной формы записи, найдутся (см. рис.4)
I 
2
'
m2
Im2 

 I m" 2

2
;
 I m" 2
.
(17)
I m' 2
Здесь также величина и знак 2 определяется знаками I m' 2 и I m" 2 . Отметим некоторые особенности и элементарные свойства комплексных
чисел. В соответствии с соотношением Эйлера:
e j  cos   j sin 
(18)
имеем
 2  arctg

e j 0  cos 0  j sin 0  1 ;

e j 90  cos 90  j sin 90  j ;





e j 90  cos  90  j sin  90   j ;





e j180  cos  180  j sin  180  1 ;
(19)

1
1

 e  j 90   j ;

j e j 90
1
1
j;
 j ;
j
j
j j 
(20)
3
2
 1   1  j 2  1 ; j  j   1 ; j  j j   j .
Итак, любую синусоидальную функцию можно однозначно изобразить вектором на комплексной плоскости, который в свою очередь
может быть однозначно выражен соответствующим ему комплексным
– 97 -
числом. Очевидно, что это комплексное число является некоторым
условным выражением исходной синусоидальной функции времени.
Модуль комплексного числа, изображающего синусоидальную функцию времени равен её амплитуде, а аргумент – начальной фазе.
При этом следует помнить, что данный метод расчёта применим только для синусоидальных функций одной и той же частоты.
Действующие значения синусоидальных величин и их амплитуды
измеряются известными величинами
dim( I )  dim( I m )  A ; dim U   dim U m   B ;
dim E   dim Em   B .
Комплексным векторам, однозначно изображающим синусоидальные величины, условно присвоены такие же единицы измерения.
Например,
dim Im   A ; dim E m   B : dim U m   B ,
где Im , U m , E m – комплексные амплитуды, соответственно, тока,
напряжения и ЭДС.
Поскольку многие измерительные приборы проградуированы в
действующих значениях синусоидальных i, u, e, то в расчётах используют также понятие комплексного действующего значения тока I ,
напряжения U или ЭДС E . Модуль комплексного действующего
значения равен действующему значению синусоидальной функции
времени, а аргумент – её начальной фазе. При этом
I
E
U
I  m ; U  m ; E  m .
2
2
2
Комплексам действующих значений синусоидальных i, u, e условно
присвоены соответствующие единицы измерения.
dim I  A ; dim E   B : dim U   B ,
Таким образом, ведение комплексных изображений синусоидальных i, u , e позволяет суммировать, вычитать, умножать и делить синусоидальные функции времени. При этом решение получается не только
простым и наглядным, но также и точным. В заключение этого подраздела ещё раз отметим, что наиболее удобной формой представления
– 98 -
синусоидальных функций времени при изменениях является их
действующее значение. Поэтому многие измерительные приборы
(амперметры, вольтметры) проградуированы в действующих значениях токов и напряжений. Наиболее удобной формой представления
этих функций для расчётов является понятие комплекса действующего значения, который служит некоторым образом или символом однозначно соответствующей ему синусоидальной функции
времени.
2. Основные законы цепей синусоидального тока
в комплексной форме записи
Первый закон Кирхгофа. Имеем цепь, в которой действуют ЭДС,
напряжения и протекают токи синусоидальные по форме зависимости
от времени, к тому же эти параметры имеют одинаковую частоту.
Выделим произвольный узел, в котором сходится n ветвей и, соответственно, синусоидальных токов
i1  I m1 sin( t  i1 ) ;
i2  I m 2 sin( t  i 2 ) ;
i3  I m3 sin( t  i 3 ) ;
………………………….;
in  I m n sin( t   i n ) .
В соответствии с первым законом Кирхгофа для данного узла можно
составить уравнение в мгновенной форме записи
i1  i2  i3    i4  0 .
(21)
Учитывая установленное ранее взаимнооднозначное соответствие
между синусоидальными токами и их изображениями на комплексной
плоскости в виде комплексов действующих значений, сумму токов
можно заменить суммой комплексных векторов
I1  I2  I3    I4  0 .
(22)
Выражение (22) представляет собой одну из форм записи первого
закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту форму можно
интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений синусоидальных токов в узле цепи
равна нулю.
– 99 -
Второй закон Кирхгофа. Выделим в указанной цепи некоторый
контур, в который включены n пассивных элементов ( L , C , R ) и d
источников синусоидальной ЭДС. В соответствии со вторым законом
Кирхгофа для данного контура можно записать
u1  u2  u3    un  e1  e2  e3    ed .
Аналогичным образом, учитывая установленное ранее взаимнооднозначное соответствие между синусоидальными напряжениями, ЭДС
и их изображениями на комплексной плоскости в виде комплексов
действующих значений, сумму мгновенных значений этих параметров
можно заменить суммой комплексных векторов
U1  U 2  U 3    U n  E1  E 2  E 3    E d .
(23)
Выражение (23) представляет собой одну из форм записи второго
закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту форму можно
интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений синусоидальных напряжений на
пассивных элементах в любом контуре цепи равна алгебраической
сумме комплексов действующих значений синусоидальных ЭДС в
этом же контуре.
Закон Ома. Выделим в некоторой цепи синусоидального тока
участок,
через
который
протекает
синусоидальный
ток
i  I m sin( t  i ) и к этому участку приложено синусоидальное
напряжение u  U m sin( t  u ) . Учитывая взаимно-однозначное соответствие между этими синусоидальными параметрами и изображающими их на комплексной плоскости векторами, мгновенные значения
этих параметров можно заменить комплексными векторами (комплексами действующих значений)
I
i  I m sin( t  i )  I  m e j i  Ie j i ;
2
u  U m sin( t  u )  U 
U m j u
e  Ue j u .
2
Возьмем формальное отношение комплексных векторов
U Ue j u U j (  u   i )
 j i  e

I
Ie
I
отношение можно интерпретировать как сопротивление указанного
участка, поскольку численное равенство между напряжением, током и
модулем соответствующего вектора соблюдается. Разность начальных
углов векторов численно равную разности начальных фаз напряжения и
– 100 -
тока, можно интерпретировать как разность или сдвиг фаз u  i   . В
таком случае
U
(24)
 Z e j
I
или
(25)
U  Z e j I  I z .
Выражения (24) и (25) определяют закон Ома в комплексной форме для пассивного участка цепи. В них z – комплексное сопротивление данного участка цепи, Z – полное сопротивление этого участка (в
литературе это сопротивление также обозначают как z ). В соответствии с формами записи комплексную величину z можно представить
в алгебраической
z  Re( z)  j Im( z)  R  jx ,
тригонометрической
z  Z cos   j Z sin   R  jx
или в показательной форме записи
z  Ze j .
В электротехнике составляющие комплексного сопротивления
имеют специфические определения. Так, полное сопротивление участка цепи выражается через составляющие комплексного сопротивления
Z  R2  x2 ,
где R – определяется как активное сопротивление участка цепи, x –
реактивное сопротивление этого участка, угол  , определенный как
разность фаз между синусоидами напряжения и тока, в данном случае
имеет еще дополнительное определение и обозначается как фазовый
угол полного сопротивления z
  arctg
 Im( z )
.
 Re( z )
При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексного сопротивления, которые определяют, в какой четверти лежит этот угол.
– 101 -
Возьмем противоположное формальное отношение
I
Ie j i
I

 e j (i u )  ,
j

u
U Ue
U
рассуждая аналогично, получим
I I j (  i   u )
 e
 Y  Ye j (  i   u )  Ye j .

U U
Окончательно
I  UYe j  U Y ,
(26)
где Y – комплексная проводимость участка цепи; Y – полная проводимость этого участка (в литературе этот параметр также обозначают
как y );  – угол сдвига фаз между синусоидами тока и напряжения, а
также фазовый угол полной проводимости.
В соответствии с формами записи комплексную величину Y можно представить в алгебраической
Y  Re(Y )  j Im(Y )  g  jb ,
тригонометрической
Y  Y cos   jY sin   g  jb
или в показательной форме записи

Y  Ye j .
В электротехнике составляющие комплексной проводимости имеют
специфические определения. Так, полная проводимость участка цепи
выражается через составляющие комплексной проводимости
Y
g 2  b2 ,
где g – определяется как активная проводимость участка цепи, b –
реактивная проводимость этого участка, угол  определяется, например, так
  arctg
 Im( Y )
.
 Re(Y )
– 102 -
При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексной проводимости, которые определяют, в какой четверти лежит
этот угол.
По аналогии записывается закон Ома для замкнутой цепи
E
,
(27)
I 
z вн  z н
где z н – комплексное сопротивление нагрузки; z в н – комплексное
внутреннее сопротивление источника энергии.
Приведем формулу обобщенного закона Ома в комплексной форме
записи
n
I 
 U ab   E k
k 1
m
z
,
(28)
d
d 1
где U ab – напряжение на рассматриваемом участке цепи; n – количество источников ЭДС, включенных на этом участке; m – количество
пассивных элементов на этом участке.
ПРИМЕЧАНИЕ. Во всех формулах, отражающих законы цепей в
комплексной форме, знаки слагаемых определяются по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока (см. лаб. раб. №1). О знаках
комплексных сопротивлений будет сказано ниже.
Величины z , Y , R , x , g , b существуют реально (их можно измерить). В связи с чем они имеют свои размерности.
dim( Z)  Ом , dim( R)  Ом , dim( x)  Ом ,
dim(Y )  См , dim( g )  См , dim( b)  См .
Комплексным величинам присвоены соответствующие единицы измерения условно.
dim( z )  Ом , dim( Y )  См .
Таким образом, метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на использовании комплексных векторов называется символическим. Его проводят в следующем порядке:
 важным условием осуществимости этого метода расчета является линейность схемы замещения электрической цепи и одинаковая
частота всех источников синусоидальных ЭДС, включенных в схему;
 все заданные параметры схемы ( R, L, C , e ) и искомые параметры
режима работы ( u, i,  ) представляют в комплексной форме записи;
– 103 -
 используя законы цепей в комплексной форме, составляют систему расчетных уравнений относительно неизвестных комплексных
параметров режима работы. Можно использовать любой из известных
методов (метод законов Кирхгофа, метод наложения, метод контурных
токов, метод узловых потенциалов, метод двух узлов, метод эквивалентного генератора). Порядок составления уравнений и знаки слагаемых в уравнениях полностью отвечают использованию этих методов
для цепей постоянного тока;
 решая полученную систему уравнений, определяют неизвестные параметры режима работы ( U , I,  ). При необходимости рассчитывают мощность или энергию на рассматриваемых участках цепи,
используя закон Джоуля-Ленца в комплексной форме записи.
 при необходимости наглядной интерпретации результатов расчета строят так называемые векторные диаграммы, а также представляют рассчитанные параметры в виде синусоидальных функций времени в аналитическом или графическом виде.
Далее рассмотрим основы символического метода расчета. Начнем
с рассмотрения элементарных моделей участков цепи.
3. Участок цепи с резистивным элементом
Резистивным (или R -элементом) называют такой элемент схемы
замещения (расчетной схемы), который способен лишь безвозвратно
потреблять энергию электрического тока, преобразуя её в неэлектрические виды энергии (например, в тепловую с рассеянием её в окружающее пространство). Другими энергетическими свойствами эта модель
не обладает. Её реальными прообразами являются, например, нагревательные элементы электрической печи, лампы накаливания, а также
специальные элементы электронных схем – резисторы. Однако эти
прообразы обладают многими другими физическими свойствами, не
являющимися для них основными, поэтому в модели эти свойства не
учитываются.
Преобразование энергии на резистивном элементе происходит в
результате того, что он оказывает сопротивление протекающему через
него электрическому току. Количественной мерой такого сопротивления служит параметр резистивного элемента, обозначаемый R и r и
называемый электрическим сопротивлением. Этот параметр измеряется в Омах. Для резистивного элемента его параметр Rr  , протекающий через него ток i и падение напряжения на выводах этого элемента u (рис.5) связаны законом Ома:
– 104 -
uR
R
iR
Рис. 5.
uR  iR  R ;
uR 
iR
.
G
(29)
(30)
1
 G – называется проводимостью резистивного элеменR
та. Единицей измерения служит сименс. Если R  const и не зависит
от u и i , то резистивный элемент – линейный и как видно из (29),
зависимость тока от времени будет подобна зависимости от времени
напряжения. Мгновенная мощность для цепи с резистивным элементом:
Величина
pR  uR  iR
или, учитывая (29), получим
pR  R  iR2 .
Мгновенная мощность, как скорость изменения электрической
энергии на рассматриваемом участке цепи, измеряется в ваттах (Вт).
Пусть через резистивный элемент протекает синусоидальный ток:
iR  I m sin t  1  , A .
Выберем (рис.5) положительные направления для iR и u R совпадающими, тогда в соответствии с (29) можно записать
uR  R  iR  R  I m sin t  i   U m sin t  u  .
(31)
Из (31) видно, что  i   u .
Т.е. в цепи с линейным резистивным элементом при синусоидальном токе падение напряжения на этом элементе также синусоидально и совпадает по фазе с током (рис.6). Из (31) можно записать
закон Ома для амплитудных U m  R  I m и, учитывая, что U m  U  2 и
I m  I  2 , для действующих значений напряжения и тока:
U  R I .
– 105 -
(32)
Можно записать (32) в комплексной форме. Для этого перейдем от
синусоидальных u R и iR к однозначно соответствующим им комплексам действующих значений
I  I  e j i ; U  U  e j u .
u,i
u(t)
i(t)
0
ωt
 u  i 0
p
p(t)
U∙I
U∙I
ωt
Рис. 6.
Если  i   u , тогда
U U  e j u U j  u   i  U j 0 U

 e
 e  ,
I
I  e j i
I
I
I
но согласно (32)
U
 R.
I
Следовательно,
U
R
I
или
U  R  I
(33)
Соотношение (33) представляет собой закон Ома для участка цепи
с резистивным элементом в комплексной форме
Построим векторную диаграмму для данного участка цепи (рис.7).
– 106 -
j
U
N
I
i  u
1
0
Рис. 7.
Построение начинаем с выбора масштабов по току mi (А/см) и
напряжению mu (В/см). Затем строим заданный вектор тока. Для этого
откладываем от оси  1 угол  i в соответствии с его знаком (против
часовой стрелки, т.к.  i  0 см. рис.6) и проводим луч 0 N . На этом
луче 0 N в масштабе mi откладываем отрезок длиной I mi (см) от
т.0 ( I – действующее значение тока). Другой конец отрезка обознача-
ем стрелкой. Вектор I построен. Поскольку  u   i , то вектор
напряжения будет также лежать на луче 0 N . Для построения вектора
U от т.0 в масштабе mu откладываем отрезок равный U mu (см),
другой конец отрезка отмечаем стрелкой. Вектор U построен ( U –
действующее значение напряжения). На этом завершается построение
диаграммы для данного участка цепи.
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в цепи с
R -элементом.
Тот факт, что ток и напряжение в цепях синусоидального тока в
течение периода изменяют своё направление на противоположное, не
лишает смысла наличия стрелок положительных направлений (рис.5):
истинное направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в те
моменты, когда i  0(u  0) и противоположно стрелке, если
i  0(u  0) . Важно то, что на линейном резистивном элементе
напряжение и ток всегда совпадают по направлению.
Тогда мгновенная мощность p будет всегда величиной положительной (рис. 6), т.е. R -элемент только потребляет электрическую
энергию от источника и преобразует её в другие неэлектрические
виды. Определим зависимость p t 
p  u R  iR  U m  I m sin 2 t    
– 107 -
U I
 m m 1  cos2t    
2
(34)
 U  I  U  I  cos 2 t    .
Т.о. с течением времени мощность колеблется с частотой 2 в
пределах от 0 до 2UI вокруг среднего значения, равного UI (рис.6),
и в любой момент времени p  0 .
Среднее значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P
P
0
1T
1T
1T
p

dt

U

I

dt

U

I

cos
2t    d t  U  I . (35)



T 0
T 0
T 0
С учётом (22) выражение (25) можно записать в виде
P  I 2  R.
(36)
Активная мощность не только на участке цепи с R -элементом, но
и в целом в любой цепи характеризует работу, совершаемую электрической энергией за период, т.е. определяет энергию W , необратимо
преобразующуюся в другие неэлектрические виды энергии:
T
W   p  dt  P T  I 2  R T .
0
На рис.6 этой работе соответствует заштрихованная площадь,
ограниченная кривой p t  и осью абсцисс. Единицей измерения активной мощности является Ватт/Вт/.
4. Участок цепи с индуктивным элементом
Индуктивным или L -элементом называют такой идеализированный элемент схемы замещения, который способен лишь преобразовывать электрическую энергию, и накапливать её в виде энергии собственного магнитного поля, а также при определённых условиях осуществлять обратное преобразование, отдавая всю накопленную энергию без остатка во внешнюю цепь.
Реальным прообразом этой модели может служить катушка индуктивности. Однако провод, из которого выполняется катушка индуктивности, обладает сопротивлением на постоянном токе. Кроме того,
катушка индуктивности обладает и другими свойствами на переменном токе, которые не являются основными свойствами и в данной
модели не учитываются.
– 108 -
Из курса физики известно, что изменяющийся во времени ток создаёт в окружающем катушку пространстве переменное магнитное
поле, которое может быть охарактеризовано в целом величиной, называемой потокосцеплением  . Потокосцепление определяется как
w
   Фk ,
k 1
где Ф – магнитный поток, пронизывающий контур, ограниченный
k
k -тым витком катушки, а w – число витков катушки. Потокосцепление  , как и магнитный поток Ф , измеряются в веберах (Вб). Переменный магнитный поток, пронизывая витки катушки, индуцирует в
катушке ЭДС самоиндукции eL :
eL  
d
(Закон электромагнитной индукции Фарадея – Ленца) (37)
dt
Связь между током в катушке и её потокосцеплением определяется
соотношением
  L  iL ,
(38)
где L   – является количественным параметром, характеризуюiL
щим способность катушки запасать энергию магнитного поля. Этот
параметр называется индуктивностью и измеряется в Генри (Гн). В
соответствии с (37) и (38) если L -постоянная величина, то
eL   d  L  i  d t   L
di
dt
(39)
Все рассмотренные зависимости и явления, происходящие в катушке индуктивности, справедливы и для её идеализированной модели
– индуктивного элемента. При протекании через него переменного
тока на его концах возникает разность потенциалов, которая в любой
момент времени уравновешивает eL
u L  e L  L
di
.
dt
(40)
Согласно определению L -элемент безвозвратно электрическую
энергию не потребляет (например, не рассеивает в виде тепла). Он
лишь преобразует её и запасает в виде энергии собственного магнитного поля. Однако можно ввести понятие о мощности индуктивного
элемента, понимая под этим скорость преобразования энергии элек-
– 109 -
трического тока в энергию магнитного поля. Т.е. мгновенную мощность L -элемента можно определить:
p
L

dWL
dt
 u L  iL .
(41)
Энергия магнитного поля L -элемента, накопленная к рассматриваемому моменту времени t1 определится, с учётом (40)
t1
t1
WL 

 pL  d t   iL  uL  d t 

t1

L


d iL
dt
 iL  d t  L
iL2
2
.
(42)
Пусть через индуктивный элемент протекает синусоидальный ток
(рис. 8) i  I m sin t   i  .
i
u
eL
L
Рис. 8.
В этом случае потокосцепление
L -элемента

  L  iL  L  I m  sin t   i

Согласно (39) и (40)
eL   L


di
  L  I m  cos t   i 
dt

 L  I m  sin t  i  



2
.

u L  eL  L  I m  cos t   i  L  I m  sin t   i  90 . (43)
– 110 -
Т.о., при синусоидальном токе напряжение на L -элементе
также синусоидально: напряжение и ток изменяются с одинаковой
частотой; напряжение опережает ток по фазе на четверть периода:
 u   i   2 . Угол сдвига фаз    u   i   2 . Волновые
диаграммы u L t  и i t  приведены на рис. 9.
uL
i
t
 0
i


u
eL
p
p t 
4
1
0 2
5
3
8
6
7
9
t
Рис. 9.
Из соотношения (44) имеем:
L  I m  U m .
Это есть закон Ома для амплитудных значений напряжения и тока.
Для действующих значений этих величин закон Ома будет иметь вид:
U  L  I .
(44)
Величину L , имеющую размерность Ом, обозначают x L и называют индуктивным сопротивлением L -элемента. С учетом этого получим
U m  xL  I m ; U  xL  I
(45)
Построим комплексную форму записи закона Ома на этом элементе. Для этого перейдем от u и i как синусоидальных функций времени к однозначно изображающим их комплексам действующих значений напряжения и тока
– 111 -

j
j ( i  90 )
j
U  U  e u  U  e
 Ue i  e j 90 ;
j
I  Ie i .
Возьмем формальное отношение
j i
j 90

U Ue
e

j
I
I e i

U j 90
.
e
I

(46)
Но из (45) следует
а из (19) получим
U
 xL ,
I

e j 90  j
и окончательно
U  jx L  I .
(47)
Это закон Ома в комплексной форме для участка цепи с L элементом. Величина jx L называется комплексным сопротивлением
индуктивного элемента. Оно является положительным мнимым числом, модуль которого равен xL .
Векторная диаграмма для индуктивного элемента построена по соотношениям (43), (46) на рис.10. На ней вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока на угол  2 . Векторы U и
 L находятся в противофазе, вектор потокосцепления 
 находится в
E
фазе с током I .
– 112 -
j
U


I
u

i
1
u  i  90
 90


 90
Рис. 10.
e  i  90
E L
Рассмотрим энергетические процессы на участке цепи с L элементом. Мгновенная мощность индуктивного элемента:

 

p  u LiL  U m  I m sin t  i   2  sin t  i 
U I
 m m 2  cos t  i  sin t  i 
2
(48)
U  I  sin 2 t   i  .

 

Т.е. мгновенная мощность в цепи с L -элементом колеблется с частотой 2 и амплитудой U  I вокруг нулевого положения
(рис.9).Поэтому среднее значение мощности за период равно нулю.
Это ещё раз показывает, что L -элемент безвозвратно электрическую
энергию потребляет. Рассмотрим на волновой диаграмме (рис.9) процесс обмена энергией между L -элементом и источником питания. В
течение первой четверти периода изменение i (отрезок времени между точками 1 – 3 на рис.9) ток i  0 и напряжение u  0 , и напряжение ui >0, поэтому на этом участке p  0 , т.е. L -элемент работает в
режиме потребителя (нагрузки): электрическая энергия, поступающая
от источника питания к элементу преобразуется в энергию магнитного
поля и накапливается L -элементом (заштрихованная область под
кривой на рис.9). В течение второй четверти периода (отрезок времени
между точками 3 – 5) ток i  0 , а напряжение u  0 , поэтому
p  0 , т.е. L -элемент работает в режиме источника энергии. В этот
– 113 -
промежуток времени происходит процесс обратного преобразования
энергии магнитного поля в электрическую энергию, которая возвращается во внешнюю цепь. В момент времени, определяемый точкой 5 на
рис.9 весь запас энергии возвращается L-элементом. Далее процесс
повторяется при отрицательных значениях тока.
Т.о. в цепи с L -элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергией между источником и магнитным полем с
частотой 2 . Интенсивность этого обмена принято характеризовать
наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле,
т.е. амплитудным значением мгновенной мощности, которое называют
реактивной мощностью и обозначают QL . Как следует из (42)
pmax  UI .
С учетом (45) получим
QL  U L  I  xL  I 2 .
(49)
Единице реактивной мощности присвоено название вольтампер
реактивный, сокращённо ВАр.
5. Участок цепи с ёмкостным элементом
Ёмкостным или С-элементом принято называть такой идеализированный элемент схемы замещения, который, в энергетическом отношении, способен лишь к преобразованию электрической энергии источника и её накоплению в виде энергии собственного электрического
поля (поля зарядов). При определенных условиях он способен совершать обратное преобразование, отдавая всю накопленную энергию без
остатка во внешнюю цепь (рис. 11).
iC
uC
Рис. 11.
Прообразом этого идеализированного C -элемента является электротехническое устройство, называемое конденсатором и, наоборот,
С-элемент является идеализированной моделью конденсатора. Конденсаторы, кроме указанного свойства, обладают ещё рядом свойств,
не являющихся для них основными, и поэтому эти свойства в модели
не учитываются.
Из курса физики известно соотношение, связывающее величину
заряда, накопленного конденсатором, с напряжением между его выводами
q  C  uc ,
– 114 -
(50)
где q – заряд на одной из обкладок конденсатора (по абсолютной величине), измеряется в кулонах (Кл); uc – разность потенциалов между
выводами конденсатора, измеряется в вольтах (В).
Параметр С – количественно характеризует способность ёмкостного элемента запасать электрическую энергию, т. е. накапливать заряды.
Этот параметр называется электрической ёмкостью и измеряется в
фарадах (Ф).
Известно также, что электрический ток через конденсатор имеет
другую физическую природу нежели ток проводимости. Однако количественно ток через конденсатор (ток через C -элемент) можно определить как скорость изменения зарядов, сосредоточенных на его обкладках
iC 
dq
.
dt
(51)
Подставив (50) в (51), получим, с учётом, что С-элемент линейный:
i
d (C  uC )
dt
C
d uC
dt
.
(52)
Соотношение (52), как и (40), показывают, что мгновенные значения напряжения и тока на L-элементе, а также и на С-элементе не
связаны законом Ома.
Согласно определению С-элемент безвозвратно электрическую
энергию не потребляет. Однако для него также как и для L-элемента
можно ввести понятие о мгновенной мощности р. Под ней понимают
скорость преобразования энергии, поступающей в С -элемент, в энергию его собственного поля зарядов и наоборот:
p
dW
 uC  iC .
dt
отсюда получим
d W  uC  iC d t
или
t1
t1
2
u
du
W   uС iС d t   C uС  d t  C  С .
dt
2


– 115 -
(53)
Соотношение (53) определяет энергию собственного поля Сэлемента, накопленную к рассматриваемому моменту времени t1. Заметим, что (53) также наглядно определяет параметр С, как количественную характеристику С-элемента, показывающую его способность
накапливать электрическую энергию: чем больше С, тем при прочих
равных условиях больше W.
Пусть к цепи с С-элементом приложено синусоидальное напряжение (рис. 11)
u  U m sin( t   u ).
Согласно (52) определим ток, протекающий через этот элемент
i C
du
 CU m cos(t  u ) 
dt
CU m sin( t  u  90) 
 I m sin( t   u  90) .
(54)
При синусоидальном напряжении ток ёмкостного элемента
также синусоидален; напряжение и ток изменяются с одинаковой
частотой; ток опережает напряжение по фазе на четверть периода
ψi = ψu + 90 º; угол сдвига фаз φ = ψu – ψi = – 90º.
Из (49) получим закон Ома для амплитудных
I
Um  m
C
(55)
или действующих значений напряжения и тока
U
I
.
C
(56)
1
имеет размерность Ом, носит название ёмкостного
С
сопротивления С -элемента и обозначается
1
xC 
.
С
Величина
В этом случае (56) можно записать так
U  xC  I
– 116 -
(57)
Определим запись закона Ома в комплексной форме. Для этого перейдем от u и i как синусоидальных функций времени к однозначC
C
но изображающим их комплексам действующих значений напряжения
и тока
j
U  U e u ;
j
j (  90)
I  Ie i  Ie u
.
Возьмем формальное отношение
j
U
Ue u
U  j 90
.


e
I Ie ju  e j 90 I
(58)
Учитывая (56) и (19), получим окончательно
U
 j 90
  jxC или U   jxC  I .
I  xC e
(59)
Это есть закон Ома в комплексах действующих значений напряжения и тока.
Величина jxс называется комплексным сопротивлением ёмкостного элемента. Она условно измеряется в Омах и является отрицательным мнимым числом, модуль которого равен xс.
Векторная диаграмма, соответствующая соотношению (59) приведена на рис. 12. На ней показано, что вектор I опережает вектор U на
90º.
I
+j
ψi=ψu+90º
U
i
  90
u
0
+1
Рис. 12.
Волновая диаграмма тока и напряжения на участке с С-элементом
приведена на рис. 13.
– 117 -
u,i
u(t)
i(t)
π/2
u
0
ωt
ψi
1
2
3
0
4
5
ωt
Рис. 13
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в цепи с Сэлементом. Мгновенная мощность на ёмкостном элементе
p  u L iL  U m I m sin( t   u ) sin( t   u  90)  2UI sin 2(t   u ) . (59)
График p(t) приведён на рис.13. Видно, что мгновенная мощность
в цепи с С-элементом колеблется с частотой 2ω и амплитудой U I
вокруг нулевого положения. Следовательно, в этой цепи работа не
совершается и энергия источника питания безвозвратно не потребляется. В тоже время происходит периодический обмен энергией между
источником и элементом. Рассмотрим этот процесс.
В течение 1-ой четверти периода основной частоты (промежуток
времени между точками 1 и 2 на рис.13) U > 0 и i > 0 следовательно, p
> 0 т. е. С-элемент работает в режиме потребления энергии. Потребляемая энергия запасается в электростатическом поле С-элемента. В
течение 2-ой четверти периода (промежуток времени между точками
(2 и 3) u > 0, а i < 0, т. е. и С-элемент работает в режиме источника.
Происходит обратный процесс преобразования запасённой энергии Сэлементом, которая отдаётся источнику питания. Далее процесс повторяется при отрицательном напряжении.
Интенсивность обмена энергией принято характеризовать
наибольшим значением скорости преобразования энергии, т. е. амплитудным значением мгновенной мощности. Как следует из (59)
– 118 -
pmax  UI .
С учетом (57) получим
QC  U  I  xC  I 2
(60)
Эту величину называют реактивной мощностью С-элемента. Единицей измерения этой мощности служит ВАр.
Рассмотренные модели элементарных участков цепи позволяют
рассмотреть поведение более сложных участков электрических цепей.
Простейшими являются модели участков с последовательным или
параллельным соединением рассмотренных элементарных моделей.
6. Анализ участка схемы с последовательным соединением
R и L - элементов
С помощью рассмотренных элементов можно изобразить линейную схему замещения любого электротехнического устройства.
Например, катушку индуктивности на достаточно низкой частоте
синусоидального тока можно представить следующей схемой замещения.
i
Rк
Lк
uR
uL
u
Рис. 14.
Допустим известно напряжение на зажимах катушки индуктивности
u  U m sin( t   u ) .
(Положим ψu=0), а также сопротивление Rк и индуктивность Lк.
Необходимо определить остальные параметры режима её работы.
Согласно второго закона Кирхгофа для данной цепи можем записать
уравнение для мгновенных значений напряжений:
u  uR  uL
или
– 119 -
(61)
u ir  L
di
.
dt
(62)
Из соотношения (62) видно, что для определения i (t) необходимо
решить дифференциальное уравнение. Анализ можно упростить, если
перейти к символическому методу расчета такого участка схемы. В
комплексной форме уравнение (61) будет иметь вид
U  U R  U L .
(63)
Согласно (33) и (47) это уравнение можно записать
U  I  R  I( jx L ) .
(64)
Поскольку элементы в схеме соединены последовательно, то через
них протекает один и тот же ток. Тогда
U  I( R  jx L ) .
(65)
Уравнение (61) связывает общее напряжение, приложенное к этой
цепи, с током, протекающим в ней. Т. е. (65) есть закон Ома для данной цепи в комплексной форме. Величина:
z  R  jx L
(66)
измеряется (условно) в Омах и называется полным комплексным сопротивлением участка этой цепи. Эту величину можно интерпретировать в виде векторов на комплексной плоскости.
+j
z
φ
0
R
jx L
+1
Рис. 15.
Действительная часть комплексного сопротивления z
Re z  R
называется активным сопротивлением цепи. Мнимая её часть:
– 120 -
Im( z )  xL
( xL  0)
называется модулем комплексного сопротивления L -элемента. Треугольник представленный z и её составляющими на рис.15 носит
название треугольника сопротивлений. Соотношение (66) определяет
алгебраическую форму представления комплекса z. В расчетах получила распространение показательная форма представления z
z  ze j ,
(67)
где z  Re( z ) 2  Im( z ) 2  R 2  xL2 носит название модуля полного
комплексного сопротивления или полного сопротивления участка
цепи, измеряется в Омах;   arctg
 Im( z )
x
 arctg L носит название
 Re( z )
R
аргумента комплекса z или фазы полного комплексного сопротивления z , измеряется в угловых градусах или в радианах. Для сторон
треугольника (рис.15) справедливы соотношения
R  z  cos ; x  z  sin  .
С учётом (63) можно определить вектор I из (65):
 j 0

U
I  U  Ue
 e  j
z
z
ze j
(68)
xL > 0 для линейных элементов. Тогда φ > 0 и из (68) видно, что вектор
тока I в такой цепи отстаёт от вектора U на угол 0<φ<90º. Определив
из (68) вектор I , можно определить падение напряжения на каждом
элементе, используя ранее установленные формулы закона Ома для
этих элементов
U
U R  I  R   R  e  j ;
z
U
U L  I  jx L   xL  e j (90  ) .
z
(69)
(70)
Построим векторную диаграмму (рис. 16). Построение, как было
сказано ранее, начинаем с выбора масштаба по току mi (А/см) и напряжению mu (В/см). Определим вектор U заданного напряжения. Его
– 121 -
модуль U  U m 2 , фаза ψu = 0, т. е. вектор располагается вдоль оси
действительных чисел (+1). Откладываем от т.0 в положительном
направлении оси +1 отрезок длиной U/mu (см) и его конец отмечаем
стрелкой. Вектор U построен.
N
+j
90  
U
0

 i  
K
I
+1
U L
+90º
U R
M
Рис. 16.
Далее строим вектор тока U . Этот вектор, как было установлено,
отстаёт от вектора U на угол φ. Причём 0<φ<90º. Поэтому в IV четверти координатной плоскости проводим луч 0М под углом φ к оси +1. На
I
U
этом луче от точки 0 откладываем отрезок
(см). Его конец

mi z  mi
отмечаем стрелкой. Вектор I построен. Строим вектор U . Как было
R
установлено ранее, ток через R-элемент и падение напряжения на нём
совпадают по фазе. Это подтверждают соотношения (68) и (69). Для
векторной диаграммы это означает, что вектора совпадают по направлению. Поэтому на том же луче 0М от точки 0 откладываем отрезок,
U R
равный
(см), его конец отмечаем стрелкой. Вектор U R постро
z mu
ен. Наконец, строим вектор U . Ранее было установлено, что падение
L
напряжения на L-элементе опережает ток через этот элемент по фазе на
90º. Это подтверждают соотношения (68) и (70). Для векторной диаграммы данный ввод означает, что вектор U L должен быть перпендикулярен вектору I и направлен в сторону оси +1 (поскольку разность
фаз между I и U L составляет +90º, а за положительное направление
при повороте векторов в электротехнике принято направление против
часовой стрелки). Из конца вектора U R (точка К на рис. 16) восстанавливаем перпендикуляр к лучу 0М в направлении оси +1. На перпенди– 122 -
куляре КN от точки К откладываем отрезок длиной, равной
U xL

z mu
(см). Конец этого отрезка отмечаем стрелкой. Вектор U L построен. В
случае верного построения всех векторов на данной диаграмме, конец
вектора U L совпадает с концом вектора U . Т. е. сумма векторов U R и
U равна вектору U , что является геометрической интерпретацией 2L
го закона Кирхгофа для данной цепи (63).
Рассмотренные вектора U , U R , U L образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Для сторон этого
треугольника справедливы соотношения:
U R  U  cos
U L  U  sin  .
(71)
U  U R2  U L2
В заключение проанализируем энергетические процессы, протекающие в этой цепи. Как было установлено, интенсивность энергетических процессов, протекающих на участке цепи с R-элементом, можно характеризовать активной мощностью:
P UR  I  I 2  R,
(72)
а интенсивность процессов, протекающих на участке цепи с Lэлементом – реактивной мощностью:
Q  U L  I  I 2 xL .
(73)
Поскольку в данной цепи включён R-элемент, то часть энергии источника питания будет безвозвратно потребляться на R-элементе. В то
же время из-за наличия L-элемента в этой цепи будет происходить
непрерывный обмен (с частотой 2ω) энергией (циркуляция энергии)
между магнитным полем L-элемента и источником питания. Для характеристики общего энергетического режима цепи вводят понятие о
полной мощности.
Определим её величину. Из (71) и (72) можно записать
P  U R  I  U  I  cos 
(74)
Q  U L  I  U  I  sin 
(75)
Возведём в квадрат (70) и (71) и сложим полученные результаты
– 123 -
P 2  Q 2  (UI ) 2  cos2   (UI ) 2  sin 2   (UI ) 2  S 2
(76)
или
S  UI  P 2  Q 2  ( I 2 R) 2  ( I 2 xL ) 2  I 2 R 2  xL2  I 2  z ,
(77)
где S – полная мощность этого участка цепи, измеряемая в вольтамперах (ВА).
Можно записать соотношение между полной мощностью и её составляющими в комплексной форме. Для этого каждую сторону треугольника сопротивлений (рис. 15) умножим на 2 . Вновь образован-
I
ный прямоугольный треугольник (рис. 17) определяет своей гипотенузой полную мощность, а катетами – активную и реактивную мощности.
Данный треугольник называется треугольником мощностей. Его стороны связаны соотношением:
S  P  jQ  UI cos  jUI sin   I 2 R  jI 2 x L  I 2 z .
(78)
S – полная комплексная мощность данного участка цепи. Её модуль
S  S  UI .
+j
S  I2z
Q  I 2 jxL

0
P  I 2R
+1
Рис. 17.
Полная мощность и её составляющие измеряются единицами
мощности одинакового масштаба. Однако для того, чтобы подчеркнуть
разную физическую природу энергетических процессов, интенсивность которых они оценивают, эти единицы измерения называют поразному:
dim P  Вт;
dim Q  ВАр;
dim S  ВА.
– 124 -
Треугольники сопротивлений (рис. 15), напряжений (рис. 16) и
мощностей (рис.17) подобны. Из этого, в частности, следует, что
Q
U
x
  arctg  arctg L  arctg L .
(79)
P
UR
R
Предоставляем студентам самостоятельно провести аналогичный
анализ для участка цепи, содержащего последовательное соединение R
и C-элементов.
7. Анализ участка схемы с параллельным соединением
R и C - элементов
Рассмотрим анализ ещё одной простейшей цепи (рис. 18), содержащей параллельное соединение R и C-элементов. Данной схемой
замещения на достаточно низкой частоте можно представить некоторые типы конденсаторов, если помимо его основного свойства –
накапливать заряды, необходимо учесть сопротивление утечки зарядов
из-за несовершенства диэлектрика, разделяющего обкладки конденсатора. Допустим, конденсатор подключён к синусоидальному напряжению
u  U m sin t .
i
a
u
R
iR
C
iC
b
Рис. 18.
Зададим (произвольно) положительное направление токов в ветвях
для узла и составим уравнение по 1-ому закону Кирхгофа:
i  iR  iС  0 .
(80)
Учитывая, что R-элемент и С-элемент соединены параллельно, получим из (29) и (52):
u
1
iR  ; iC   u  d t .
R
C
Тогда уравнение (80) примет вид
i
u 1

ud t .
R C
– 125 -
(81)
Для нахождения i(t) необходимо решить интегральное равнение.
Для упрощения анализа перейдём к комплексной форме записи напряжений и токов. Согласно соотношений (33) и (59):
U 
U
U
IR 
; IC 
 j
,
(82)
R
 jxC
xC
1
1
– проводимость R-элемента; bC 
 C – проводимость
R
xC
ёмкостного элемента. Эти параметры измеряются в сименсах (См). В
комплексной форме записи уравнение (80) будет иметь вид:
где g 
I  IС  IR  0 .
(83)
Подставим (82) в (83) получим:
U
U
I   j
 U ( g  jbС )  U ( g  j (bC )).
R
xC
(84)
Уравнение (84) представляет собой закон Ома для данной цепи.
Комплексное число
Y  g  jbС  g  j (bC )
(85)
называется полной комплексной проводимостью данного участка цепи
и измеряется (условно) в Сименсах (См). Эту величину можно изобразить на комплексной плоскости.
j
Y
jbC
0
0
g
1
Рис. 19.
Действительная часть комплексной проводимости:
Re(Y )  g
называется активной составляющей полной комплексной проводимости. Мнимая часть комплексной проводимости:
Im(Y )  bC
называется модулем реактивной составляющей полной комплексной
проводимости или модулем реактивной проводимости участка цепи
– 126 -
(для данной схемы эта величина также является модулем комплексной
проводимости C - элемента). Треугольник, представленный Y и её
составляющими (рис. 19), называется треугольником проводимостей.
Соотношение (85) представляет алгебраическую форму записи комплекса Y для данной цепи. В расчётах также получила распространение
показательная форма записи Y:
Y  ye j ,
(86)
где y  g 2  bC2 – полная проводимость данного участка цепи, измеряется в Сименсах (См); φ – фазовый угол полной проводимости измеряется в угловых градусах или радианах
  arctg
 bC
g
,
причем   0 (как показывает рис. 19). Из треугольника проводимостей
становятся очевидными следующие соотношения
g  y cos ;
bC  y sin  .
(87)
Согласно соотношениям (82) будем иметь
IR  U  g ;
IC  U  ( jbC ).
(88)
Откуда
I  IR  IC  U  g  j U  bC .
(89)
Отразим соотношение (89) на векторной диаграмме. Построение
начинаем с заданного вектора U . Задаёмся масштабами mu (В/см) и mi
(А/см). Т.к. по условию ψu = 0, то вектор U будет расположен вдоль
оси +1 (рис. 20).
– 127 -
N
j
I
IC
0
0
IR
 90 
K U
1
Рис. 20.
В положительном направление оси абсцисс от точки 0 откладываUm
ем отрезок длиной, равной
(см). Конец отрезка отмечаем
2  mu
стрелкой. Вектор U построен. Далее строим вектор I . Как показано
R
на рис. 6, I должен совпадать по направлению с вектором U . ПоR
этому от точки 0 в положительном направлении оси абсцисс откладыI
g
ваем отрезок длиной, равной
(см). Его конец отмечаем
U
mi
mi
стрелкой. Вектор I построен. Для построения вектора I учтём, что
R
C
в соответствии с ранее установленным (54), вектор тока через Сэлемент I должен опережать вектор напряжения на С-элементе U на
C
90º. В соответствии с этим условием вектор I должен лежать на луче
C
KN. Направление, которого получено его поворотом от оси +1 на 90º в
положительном направлении. Т. е. из конца вектора I (т. К) восстаR
навливаем перпендикуляр KN к оси +1. На этом перпендикуляре отI
U  bC
кладываем отрезок, равный C 
(см). Конец отмечаем стрелmi
mi
кой. Вектор I построен. В соответствии с правилом суммирования
C
векторов вектор, соединяющий т. 0 и конец вектора I , равен
C
I  I . Согласно (89) это будет вектор полного тока в цепи
R
C
I  IR  IC .
– 128 -
Т. о., данная векторная диаграмма даёт геометрическую интерпретацию первого закона Кирхгофа для узла a в данной цепи (рис.18).
Прямоугольный треугольник (рис. 20) называется треугольником токов. Из него следуют соотношения, связывающие модули токов в цепи
I R  I  cos  ;
I С  I  sin  .
(90)
В заключение рассмотрим энергетические соотношения на этом
участке цепи. Поскольку в данной цепи (рис.18) включены R-элемент и
С-элемент, то интенсивность энергетических процессов характеризуется совокупностью активной и реактивной мощностей. При этом полная
мощность определится
S U I ;
(91)
активная мощность
P  U  I R  U  I  cos  ;
реактивная мощность
QC  U  I C  U  I  sin  .
Полная мощность и её составляющие связаны соотношением
S  P2  Q2 .
В комплексной форме эта связь имеет вид
S  P  jQС  P  j (QС ) .
(92)
Соотношение (92) можно отразить на комплексной плоскости в
виде треугольника мощностей (рис.21).
j
S
jQC
0
0
P
1
Рис. 21
Отметим, что треугольники проводимостей (рис.19), токов (рис.
20) и мощностей (рис. 21) подобны, т. е.
– 129 -
 bC
I
 QC
 arctg C  arctg
.
g
IR
P
Студентам предлагается самостоятельно провести анализ участка
цепи с параллельным соединением R- и L-элементов.
  arctg
ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. для вузов.
М.: Издательский центр «Академия». 2003.
2. Электротехника и электроника. В 3 кн. / Под ред. В.Г. Герасимова. М.: Энергоатомиздат, 1996.
3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. В 3 т. Л.: Энергия, 1981.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ЦЕПЬ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
РЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Цель работы: 1. Изучить основные особенности режимов работы
цепи однофазного синусоидального тока с последовательным соединением реостата, катушки индуктивности и конденсатора. 2. Получить
навыки расчёта данной цепи и построения векторных диаграмм.
Основные теоретические положения
В разделе «Основные понятия о цепях синусоидального тока» дан
анализ работы элементарных участков схемы с R-, L-, или с C-элементом. Цепь с последовательным соединением реостата, катушки
индуктивности и конденсатора на промышленной частоте (f  50 Гц)
– 130 -
можно представить, в общем случае, следующей схемой замещения
(рис. 1). Промышленность выпускает конденсаторы с весьма малой
проводимостью утечки. Т. е. в схеме (рис. 1) можно считать, что
R   , а (1 R )  G  0 . Тогда с учётом этого условия эквиваC
C
C
лентная схема замещения примет вид (рис. 2). Полагаем все параметры
схемы замещения (R , L, C, u  U sin t ) заданными.
m
Составим уравнение по II закону Кирхгофа (в мгновенной форме
записи) для данной схемы (рис. 2):
u  u Rp  u Rк  u Lк  uС .
(1)
Учтём, что
u Rp  i  Rp ; u Rк  i  Rк ;
u Lк  L
di
1
; uС   i  dt.
dt
C
Тогда уравнение (1) примет вид
u  iRр  iRк  L
di 1
  i  dt
dt С
(2)
По условию цепь подключена к источнику энергии с синусоидальным напряжением. Окончательно получим
U m  sin t  iRр  iRк  L
di 1
  i  dt
dt С
.
(3)
Данное уравнение является расчетным для классического метода
расчета (не используя комплексные числа). Относительно неизвестного тока оно является линейным неоднородным интегро-дифференциальным уравнением. Его решение достаточно громоздко. Сложность
решения классическим методом значительно возрастает, если имеем
дело с системой таких уравнений, описывающих состояние многоконтурной линейной цепи синусоидального тока.
Рассмотрим решение этой задачи символическим методом. Запишем уравнение (3) в комплексной форме. В разделе «Основные понятия о цепях синусоидального тока» установили, что закон Ома на
резистивном (R), индуктивном (L) и ёмкостном (С) элементах схемы
можно записать в комплексной форме
– 131 -
U R  I  R ;
U L  I  j x L ;
U C  I  ( j xC ) ,
(4)
где x  L и x  (1  С ) , соответственно, индуктивное и ёмкостL
с
ное сопротивление элементов.
С учётом соотношений (4) уравнение (2) в комплексной форме
примет вид
U  U Rк  U Rр  U L  U c
(5)
U  I[( R p  Rк )  j ( xL  xС )] .
(6)
или
Уравнение (6) является расчетным уравнением при символическом
методе расчета такой цепи. Относительно неизвестного комплекса тока
оно является линейным алгебраическим уравнением, решение которого значительно проще, чем решение уравнения (3).
Таким образом, использование символического метода позволяет
избежать операций интегрирования и дифференцирования при расчете
цепей синусоидального тока и тем самым значительно упростить решение задачи.
Уравнение (6) устанавливает связь между напряжением U , при-
ложенным к схеме и током I , протекающим через эти элементы. Поэтому оно выражает закон Ома для данной схемы в символической
(комплексной) форме.
Обозначим R p  Rк  R . Сомножитель в квадратных скобках,
входящий в уравнение (6), для линейной цепи не зависит от тока и
напряжения
R  j ( xL  xC )  Z
(7)
и называется комплексным сопротивлением, данной схемы (учитывая,
что j xL и j xC также являются комплексными сопротивлениями отдельных элементов, z иногда называют полным комплексным сопротивлением). Это сопротивление, как комплексное число, можно представить в показательной форме записи
Z  Z e j ,
(8)
где x  xL  xC – реактивная составляющая (или реактивное сопротивление), а R  R p  Rк – активная составляющая (или активное сопротивление) комплексного сопротивления данной схемы. Фазовый угол
полного сопротивления
– 132 -
  arctg
x
 0.
R.
Для наглядной иллюстрации возможных соотношений между активным и реактивными сопротивлениями схемы их изображают на
комплексной плоскости в виде векторов. Построение соотношения (7)
на комплексной плоскости начинают с выбора масштаба m R –
(Ом/см). Откладывают от начала координат вдоль оси +1 отрезок ОК, в
масштабе m R , равный R (рис. 3). От конца этого отрезка параллельно
полуоси
j
откладывают отрезок КВ , в масштабе, равный x . От
L
его конца также параллельно оси мнимых чисел, но в противоположном направлении откладывают отрезок ВМ (или ВН), в масштабе,
равный x . Подробное определение указанных отрезков и построение
C
векторных диаграмм приведено в разделе «Основные понятия о цепях
синусоидального тока».
Возможны в общем случае три варианта при построении треугольника сопротивлений (рис. 3):
1. xL  x . В этом случае треугольник сопротивлений ОКМ распоC
лагается выше оси +1. Для него x  ( xL  xC )  0 и
  arctg
x
 0.
R
Для таких цепей, у которых превалирует индуктивное сопротивление, говорят, что сопротивление цепи (нагрузка) носит активноиндуктивный характер.
2. xC  xL . В этом случае треугольник сопротивлений ОКН располагается ниже оси
 1. Для него x  ( xL  xC )  0 и
x
 0.
R
В этом случае сопротивление цепи (нагрузка) носит активноёмкостный характер.
3. xC  xL . В соответствии с (7)
  arctg
x
 0; z  R.
R
Треугольник сопротивлений вырождается в отрезок прямой ОК, и
сопротивление цепи (нагрузка) носит чисто активный характер.
При заданном напряжении на выходе цепи U соотношения между
R , xL , xC полностью определяют режим работы цепи. Из соотношения
(6) можно найти ток I :
x  xL  xC  0 ;
  arctg
– 133 -
U U  e jo  U  j
I  
 e
Z Z  e j Z
Если
(9)
  0 (активно-индуктивный характер нагрузки), то из (9)
что ток I отстаёт от напряжения U по фазе на угол φ. Если
следует,
  0 (активно-ёмкостный характер нагрузки), то из (9) следует, что
ток
I
опережает напряжение U на угол φ. Наконец, если
активный характер нагрузки), то ток
Зная ток
элементе:
U
I
I совпадает с U
  0 (чисто
по фазе.
можно определить падение напряжения на каждом
U
 j
 I  R   R  e
– напряжение на эквивалентном резиR
Z
стивном элементе совпадает по фазе с током I ;
U
j (  90)
U  I  j x   x  e
– напряжение на индуктивном
L
L Z L
элементе опережает ток I на 90º по фазе;
U
j (  90)
U  I( j x )  x  e
– напряжение на ёмкостном
C
c
C
Z
элементе отстаёт от тока I на 90º по фазе;
На рис. 4, 5, 6 приведены векторные диаграммы, изображающие
треугольники напряжений, которые соответствуют рассмотренным
вариантам:
x L  xC – откуда вытекает, что   0 , ток I отстает по фазе
от общего напряжения U на этот угол и действующие значения
1.
напряжений на реактивных
U L  U c (рис. 4);
элементах
связаны
соотношением
x L  xC откуда вытекает, что   0 , ток I опережает по фазе общее напряжение U на этот угол и действующие значения напряжений на реактивных элементах связаны соотношением U  U
L
C
2.
(рис. 5);
x L  xC откуда вытекает, что   0 , ток I совпадает по фазе
с общим напряжением U и действующие значения напряжений на
3.
реактивных элементах связаны соотношением U L  U C (рис. 6).
Построение векторных диаграмм проводят аналогичным образом.
Задаются масштабами по напряжению mu (В/см) и току mi (А/см).
– 134 -
Определяют в соответствующем масштабе модули векторов. Построение начинают с вектора общего напряжения (оно задано в задаче). Его
начальная фаза равна нулю, поэтому вдоль оси  1 от начала координат откладывают отрезок ОК пропорциональный величине U и его
конец отмечают стрелкой. Далее от оси  1 откладывают угол  в
соответствии с его знаком и проводят луч ОВ. Вдоль луча откладывают отрезок ОВ пропорциональный величине I , отмечая его конец
стрелкой. Далее строится вектор U R , затем – U L , U C и U x в соответствии с их фазовыми углами относительно тока I (рис. 4 – 6). На указанных рисунках прямоугольные треугольники ОКН называют треугольниками напряжений.
Определить модули тока и напряжений на элементах такой схемы
можно, не прибегая к комплексным числам и проводя расчёт в действующих значениях параметров режима. Для этого определяют модуль полного сопротивления цепи:
Z  R2  x2 ,
где x  xL  xС   L 
(10)
1
. После чего определяют по заданному дейC
ствующему значению напряжения U  U m 2 действующее значение
тока в цепи
U
U
I 
(11)
Z
2
2
R x
и действующие значения напряжений на элементах
UR  I  R ;
;
 I x .
UL  I  x
UC
(12)
L
C
Для построения векторной диаграммы необходимо определить
сдвиг фазы между полным напряжением и током. Его определяют из
треугольника сопротивлений (рис. 3)
  arctg
x
 arccos R  arcsin x
R
Z
Z
(13)
или треугольника напряжений (рис. 4, 5)
  arctg
Ux
U
U
 arccos R  arcsin x
UR
U
U
– 135 -
(14)
где U x – действующее значение реактивной составляющей падения
напряжения
U x  U L  UC
(15)
Для поверки правильности вычислений можно определить U ,
пользуясь найденными величинами
U  U R2  (U L  UС )2
(16)
Достоверность соотношения (16) вытекает из треугольника напряжений (рис. 4, 5, 6).
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в такой цепи.
Мгновенная мощность на зажимах любой цепи, в том числе и данной,
определится
(17)
p  u i
Согласно уравнению (1), (2) соотношение (17) примет вид:
p  iu R  iu L  iuС  i 2 R  L  i
di i

idt
dt C 
(18)
Преобразуем слагаемые в соотношении (18)
L i 
di
1
di d L  i 2
 L   2i   
dt
2
dt dt 2
dU С C d U С2 C
i
dq
idt

U
i

U

U
 
С
С
С
C
dt
dt
dt
2
Подставим (19) и (20) в (18) и получим
d
i 2 d uС2  C
p  i R  L  
 pR  pL  pС ,
dt
2 dt
2
2
(19)
(20)
(21)
где pR – мгновенная мощность на участке цепи с резистивным элементом, определяющая безвозвратный расход энергии источника;
d L  i2 d
pL  
 Wм – мощность на участке цепи с индуктивным
dt 2
dt
элементом, определяющая скорость обмена энергией между магнитd U 2C d
ным полем L -элемента и остальной цепью; pС   С  Wэ –
dt 2
dt
мощность на участке цепи с ёмкостным элементом, определяющая
скорость обмена энергией между электрическим полем C -элемента и
остальной цепью.
– 136 -
Как видно из соотношения (21) всегда pR  0 . Т. е. резистивный
элемент работает всегда в режиме приёмника и p характеризует
R
необратимый процесс поглощения электроэнергии (с преобразованием
d
в другие неэлектрические виды). Мощность pL  (Wм ) определяет
dt
при pL  0 скорость поступления энергии в магнитное поле L элемента при pL  0 – скорость возвращения энергии из этого поля.
d
Аналогично pС  (Wэ ) определяет при pC  0 скорость поступления
dt
энергии в электрическое поле С -элемента, а при pC  0 – скорость
возвращения энергии из этого поля. Определим суммарную мощность
на L и C -элементах
px  pL  pC  uL  i  uC  i 
U Lm sin( t    90)  I m  sin( t  ) 
U Cm sin( t    90)  I m sin( t  ) 
U Lm  cos(t  ) I m  sin( t  ) 
 U Сm  I m  sin( t  )  cos(t  ) 
(U Lm  U Сm ) I m sin( t  ) cos(t  ) 
(22)
 ( xL  xc ) I m I m sin( t  ) cos(t  ) 
I m  xIm sin( t  ) cos(t  ) 
U m  Im
sin   sin 2(t  )  UI sin 2(t  )  sin  .
2 2
Средняя мощность на L и C -элементах за время, кратное периоду,
равна нулю, как интеграл от синусоидальной функции. Т. е. данные
элементы безвозвратно энергию не потребляют. Амплитудное значение мгновенной мощности на этих элементах, определяемое как абсолютная величина реактивной мощности, определится

Q  UI sin 
Q  (U sin )  I  U   I  (U L  U c )  I  QL  Qc
Определим мгновенную мощность на резистивном элементе
– 137 -
(23)
(24)
pR  i 2 R  I m2  R  sin 2 (t  ) 
I m2  R
 (1  cos 2(t  )) 
2
U I
 mR m [1  cos 2(t  )]  UI  cos   UI  cos   cos 2(t  )
2 2
(25)
Средняя мощность за время, кратное периоду на R -элементе,
определяемая, как активная мощность данной цепи, определится
T
P
1
 p dt  UI  cos
T0 R
(26)
В соответствии с формулами (23), (24), (25) полная мощность в
данной цепи
S  UI  P 2  Q 2  P 2  (QL  QC ) 2
.
(27)
Расположение треугольника мощностей, построенного по соотношению (27) зависит от значения параметров x и x схемы (рис. 2):
L
C
при x  x он располагается выше оси  1 (рис. 7); при x  x –
L
С
L
С
ниже оси  1 (рис. 8); при x  x – треугольник вырождается в
L
С
отрезок прямой и мощность на зажимах цепи становится чисто активной (рис. 9).
Режим работы электрической цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, при котором напряжение на её зажимах и
входной ток совпадают по фазе, называют резонансным.
Если указанные элементы соединены последовательно, то в такой
цепи имеет место резонанс напряжений. Схема замещения этой цепи
содержит последовательное соединение R-, L-, C-элементов (рис. 2).
Условием резонанса напряжений будет равенство нулю реактивной
составляющей входного комплексного сопротивления цепи
Im z  0
(28)
Для данной цепи это условие, согласно (7),будет иметь место, если
x L  xC
(29)
или
L 
1
C
(30)
Резонанса в данной цепи можно добиться, если:
а) изменять частоту питающего напряжения. Её величина при резонансе определяется из (30)
– 138 -
0 
б) изменять индуктивность
1
LC ;
(31)
L – элемента
1
L0 
2 C ;
(32)
в) изменять ёмкость C -элемента
C0 
До резонанса x  x
L
C
1
2 L .
(33)
и цепь носит активно-ёмкостный характер
нагрузки. векторные диаграммы, соответствующие дорезонансным
режимам работы цепи приведены на рис. 3, 5, 8.
При резонансе напряжений x  x и цепь носит чисто активный
C
L
характер нагрузки. Векторные диаграммы резонансного режима приведены на рис. 3, 6, 9. как показано на рис. 6 U L и U C полностью
компенсируют друг друга, поскольку U
C
 U L и сдвиг фаз между
синусоидами этих напряжений составляет 180 (говорят, что эти
напряжения колеблются в противофазе).
Для зарезонансной цепи x  x
и она носит активноC
L
индуктивный характер нагрузки. Векторные диаграммы таких режимов
приведены на рис. 3, 4, 7. Данная цепь, в которой возможен резонанс
напряжений, называется последовательным резонансным контуром.
Рассмотрим, как изменяются параметры режима работы цепи при
изменении ёмкости. Допустим, цепь подключена к идеальному источнику ЭДС E  U  const .
I. Модуль полного комплексного сопротивления или полное
сопротивление цепи
z  R 2  ( L 
1 2
)
C
(34)
При C  0 , lim( 1 C)   , и z   данный случай соответствует обрыву в цепи, в месте соединения ёмкостного элемента. При
С  С0 (резонанс) z  R, т. е. сопротивление цепи достигает своего
минимума
и
становится
чисто
активным.
При
C   zк  R 2  (L) 2 это условие эквивалентно короткому замы– 139 -
канию участка схемы с С-элементом ( zк – полное сопротивление катушки индуктивности). График функции z  f (C ) приведён на рис. 11.
II. Действующее значение тока в цепи
I
U

z
U
(35)
1
R  ( L 
)
C
2
При C  0 , I  0 . Для резонансного режима ток достигает своего
максимума
I рез 
и в дальнейшем при С  
I
U

zк
U
R
U
R 2  ( L ) 2
.
График зависимости I  f (C ) приведён на рис.10.
III. Действующее значение напряжения на С-элементе
UC 
При С  0 U
C
U
x 
z c
U
R 2  ( L 
1 2
)
C

 U . Для резонансного режима
Uc 
Наконец при С   U C
при условии

1
C
C  C0
U
1

R C0
0 . Функция U C  f (C ) имеет максимум
L
 R 2  (L)2 .
C
значение С. График
(36)
Откуда можно определить
функции
U C  f (C ) приведён на рис. 10.
IV. Действующее значение напряжения на L-элементе
– 140 -
UL 
U
xL 
Z
U
1 2
R 2  ( L 
)
C
 L
При С  0 U L  0 . Для резонансного режима C  C0
UL 
U
 L
R
Наконец при С  
UL 
U
R 2  (L) 2
 L 
U
 xL
Zк
Данная функция достигает максимума при резонансе и график её
изменения приведён на рис. 10.
V. Фазовый угол
  arctg
L 
1
C
R
При С  0   90 . В резонансном режиме C  C0   0 и, накоL
. График этой функции   f (C ) привенец, при C   ,   arctg
R
дён на рис. 12.
На рис. 10, 13, 14 приведены графики функций:
–
коэффициента мощности на зажимах цепи
cos  
R

Z
R
;
–
1
R  (L 
)
L
активной мощности на зажимах цепи
–
U2
1
;
P  UI  cos   2  R  U 2 R 
1 2
Z
R 2  (L 
)
C
напряжения на катушке индуктивности
Uк 
–
U
zк 
z
U
 R 2  ( L ) 2 ;
1 2
R  ( L 
)
C
реактивной мощности на зажимах цепи
2
– 141 -
(37)
2
(38)
(39)
1
L 
U2
C
.
(40)
Q  UI  sin   2  x  U 2 
1 2
Z
2
R  (L 
)
C
Из рис. 10 видно, что в некотором интервале изменения С, включающем С0 ,
U L  U , UC  U ,
т. е. напряжения на реактивных элементах могут превышать общее
напряжение в цепи. Учитывая, что при резонансе
UL  U 
L
1 1
и Uc  
,
R
R C
U L  U c ,.
Получим, что условие превышения падения напряжения на реактивных элементах при резонансе будет иметь место, если
L  R и
1
R .
C
Параметр, определяемый отношениями
L
1

Q
R R  C
называется добротностью резонансного контура. С учётом этого
понятия
U L  U  Q; U c  U  Q .
.
Если Q  1 , то имеет место ярко выраженный резонанс напряжений, если Q  1, то при резонансе
U L  U ; UC  U
.
Последовательные резонансные цепи широко используются в
электронной измерительной технике, в радиотехнике. Резонанс напряжений в электроэнергетических установках, как правило, не допустим
из-за значительного увеличения тока в цепи, и может быть причиной
аварии, поскольку активное сопротивление установок, как правило,
незначительно.
ВЫВОДЫ
– 142 -
Цепь однофазного синусоидального тока с последовательно включёнными R, L, C-элементами характеризуется тем, что полное сопротивление цепи слагается из:
– активного сопротивления R ;
– положительного индуктивного сопротивления xL  L ;
1
– отрицательного ёмкостного сопротивления xC 
C
Z  R2  ( xL  xC )2 .
Величина Z определяется выражением
Z  R  j ( xL  xc )  R  j (L 
1
).
C
Реактивное сопротивление x  xL  xC может быть, как положительным числом ( xL  xС ) , так и отрицательным ( xL  xС ) или равным
нулю ( xL  xC ) . Т. е. индуктивное и ёмкостное сопротивления частично или полностью компенсируют друг друга.
Угол сдвига фаз φ полностью определяется величиной и соотношением сопротивлений элементов
L 
  arctg
1
C
R
 arctg
x
.
R
В зависимости от этих условий он может быть положительным, если
xL  xC , в этом случае ток в цепи будет отставать по фазе на угол φ от
общего напряжения. Угол φ может быть отрицательным, при xL  xC ,
т. е. ток в цепи будет опережать по фазе, указанное напряжение. Наконец, угол φ может быть равным нулю, если x L  xC . В этом случае ток
и рассматриваемое напряжение совпадают по фазе.
Ток в цепи определяется соотношением
I
U
R 2  ( x L  xC ) 2

U
Z
,
которое является выражением закона Ома для данной цепи в действующих значениях параметров режима.
– 143 -
При условии, что   0 и вектор U расположен вдоль оси +1 на
u
комплексной плоскости, выражение для тока в комплексной форме
имеет вид

U  e  j
I  U  U  e  j 
Z Z
R 2  j ( xL  xC ) 2
Вектор тока
I
.
может располагаться в четвертой четверти (φ>0), в
первой четверти (φ<0) или совпадать по направлению с U (φ=0).
Напряжения на реактивных элементах определяются их сопротивлениями и сдвинуты относительно друг друга по фазе 180º. Т. е. в цепи
происходит частичная ( U  U , U  U ) или полная ( U  U )
L
C
L
C
L
C
компенсация реактивной составляющей общего напряжения
U  j x I  j ( x  x ) I .
x
При этом вектора U
L
C
L
и U
C
направлены на векторной диаграмме
в противоположные стороны.
Интенсивность энергетических процессов определяется
 величиной активной мощности
2
, Ватт,
P  UI cos  I R  S cos
которая определяет скорость необратимого преобразования электрической энергии (интенсивность изменения этой энергии) в неэлектрические виды энергии на R-элементе;
 величиной реактивной мощности
Q  QL  Qc  I 2  x  I 2 xL  I 2 xC , Вар,
которая определяет скорость изменения циркулирующей энергии
(интенсивность изменения этой энергии) между полями L, C-элементов
и источником питания. Эта мощность, в свою очередь, определяется
разностью реактивных мощностей на L-элементе ( QL ) и С-элементе
( QС ).
Указанные реактивные мощности могут частично компенсировать
друг друга ( Q  Q при x  x или Q  Q при x  x ) или
L
C
L
C
L
C
L
происходит полная компенсация мощностей Q и Q
L
C
C
(Q  Q
L
C
при
x L  xC ). В этом случае мощность на этом участке цепи чисто активная
S  P; Q  QL  Qc  0.
– 144 -
Справочные данные
Для измерения активной мощности в цепях синусоидального тока
используются специальные приборы: ваттметры электродинамической
системы, которые имеют 2 измерительные цепи. Одна из них (так
называемая токовая цепь I   I ) включается последовательно с нагрузкой (рис. 5), ток в этой цепи I равен току в нагрузке. Другая цепь (так
называемая потенциальная U   U ) включается параллельно нагрузке, т. е. напряжение на этой цепи равно напряжению на нагрузке. Чтобы правильно учесть угол сдвига фаз φ, измерительные цепи ваттметра
должны быть аналогично включены относительно положительных
направлений напряжения и тока в нагрузке. Для этого один из зажимов
цепи помечен звёздочкой (*). Правильное включение ваттметра при
измерении мощности на нагрузке приведено на рис. 15.
При снятии показаний с ваттметра необходимо определить цену
деления. Она рассчитывается по формуле
Cср 
где A
U
AU  AI
N
, Вт/дел,
– предел измерения по напряжению (устанавливается пере-
ключателем пределов слева на панели прибора);
A – предел измерения по току (устанавливается переключателем
I
пределов справа на панели прибора);
N – число делений измерительной шкалы ваттметра.
Порядок выполнения работы
Работа состоит из двух этапов. На первом проводят исследования
режимов работы катушки индуктивности и конденсатора в отдельности. На втором при последовательном включении этих элементов.
1. Собрать цепь с катушкой индуктивности согласно рис. 16, сопротивление R реостата подобрать по указанию преподавателя. Также
по указанию преподавателя установить первоначальное значение
напряжения источника питания. Замкнуть ключ К и снять показания
приборов. Повторить опыт 3 – 4 раза, меняя напряжение источника
питания. Результаты занести в табл. 1.
2. Разомкнуть ключ К и установить максимальное сопротивление
реостата R. При неизменном напряжении питания (по указанию преподавателя) снять показания приборов и занести в табл. 1. Плавно
уменьшая сопротивление реостата провести 3 опыта, снять показания
приборов и занести данные измерений в табл. 1.
– 145 -
3. Для первых опытов, при условии замкнутого ключа определить
значение Z – полное и R – активное сопротивление катушки инк
к
дуктивности и вычислить среднее их значение
4
Rк  P I 2 ; Z к 
U
; Z к . ср 
I
 Zк .d
d 1
4
4
; Rк . ср 
 Rк .d
d 1
4
Рассчитать величину xL, L для каждого опыта и определить среднее
их значение по формулам
x L  Z к2  Rк2 ; L  x L  ;
8
8
 xLk
x Lср  k 1
8
 Lk
Lср  k 1
8
;
.
3. Собрать схему с батареей конденсаторов и реостатом (рис. 17).
Произвести измерения при условиях, аналогичных пунктам 1 и 2.
Занести результаты измерений в таблицу 2.
4. Собрать схему с последовательным соединением батареи конденсаторов и катушки индуктивности (рис. 18). Установить по заданию
преподавателя необходимое напряжение источника питания U. Исследование проводить по следующей методике:
а). Провести опыт резонанса напряжений. Рассчитать величину
С по формуле
0
С0 
1
2 Lср

1
 x Lср
.
Величина x Lср рассчитана в пункте 2,   314 ((рад/с).
рад. с) Выбрать с
помощью батареи конденсаторов ближайшее к С0 значение емкости.
То есть установить значение С  С0 , снять показания приборов и занести данные измерений в табл. 3.
б). Каждый раз уменьшая предыдущее значение мощности на величину 2 – 4 мкФ, повести 2 – 3 опыта и записать показания в табл. 3.
в). Восстановить значение С и, каждый раз увеличивая преды0
дущее значение ёмкости на 2 – 4 мкФ, провести 2 – 3 опыта. Результаты измерений записать в табл. 3.
– 146 -
г). Определить максимальные значения параметров при изменении
C . Устанавливая на батарее конденсаторов значение ёмкости наиболее
близкое к значению
C1 
L
Z к2ср
определить UC max. Устанавливая значения емкости близкие к значениям
C2 
1
1
; C3 
 ( R  L)
 (L  R) ,
измерить параметры I , sin  и с их помощью по формуле (40) экстремальные значения реактивной мощности.
5). Произвести расчет всех параметров в табл. 1, 2, 3 по формулам,
приведенным в работе.
Примечание. В табл. №3 приведены два столбца, определяющие
емкость батареи конденсаторов: C и Cист. В ячейках столбца C указывают величину емкости, набранную на батарее конденсаторов непосредственно перед каждым опытом. В ячейках столбца Cист указывают
истинное значение емкости, которое определяют по формуле
Cист  1 ( xC ) после проведения опытов.
6). Построить комплекты векторных диаграмм (треугольники сопротивлений напряжений и мощностей, а также вектор тока, соответствующие одному и тому же опыту, в одной системе комплексных
координат, но в разных масштабах). Для данных в таблицах 1 и 2 каждому студенту построить по два комплекта векторных диаграмм, соответствующих опыту при замкнутом ключе и при разомкнутом ключе
(номера опытов задаются преподавателем). Для данных в таблице 3
каждому студенту необходимо построить по три комплекта векторных
диаграмм (треугольники напряжений и вектор тока), соответствующих
дорезонансному ( xL  xC ), резонансному ( xL  xC ) и зарезонансному (
xL  xC ) режимам работы цепи.
7). Построить по данным табл. №3 графики зависимостей параметров режима работы цепи от изменения емкости конденсаторов (рис. 10
– 14).
Рекомендуемая литература
1. Электротехника. Учебн. для неэлектротехнич. спец. ВУЗов /
Под ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985 (подраздел 2.12).
– 147 -
2. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учебн. пособие
для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия». 2005, (подразделы
2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.21).
3. Общая электротехника / Под ред. А. Т. Блажкина. Л.: Энергоатомиздат. 1986, п.п. 2.7, 2.10.
4. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю.Н. Электротехника:
Учебн. Для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат. 1985 (подразделы 2.9, 2.10,
2.11, 2.12).
Контрольные вопросы
1. Какие сопротивления называются реактивными и почему?
2. Что такое параметры катушки индуктивности, конденсатора.
Как они определяются?
3. Какие энергетические процессы протекают в цепи с последовательным соединением R, L, C- элементов?
4. Какие энергетические процессы протекают в цепи с последовательным соединением R, L-элементов (R, C- элементов) ?
5. Объяснить на примере порядок построения векторных диаграмм для цепи с последовательным соединением R, L, C- элементов.
6. Провести анализ построенных по заданию лабораторной работы векторных диаграмм.
7. Провести анализ построенных по заданию лабораторной работы графиков.
8. Сформулировать условие резонанса и определить параметры
режима работы каждого элемента при резонансе напряжений.
9. Дана электрическая цепь с последовательным соединением R,
L, C- элементов, которая подключена под напряжение u = 400sin(314t),
В. Решить задачу для одного из вариантов по заданию преподавателя:
– R=20, Ом, L=96, мГн, С=53, мкФ. Найти I; UL; UC; φ; – R=100, Ом,
L=191, мГн, С=53, мкФ. Найти I; cosφ; Z ; P; Q; S; – R=80, Ом, L=144,
мГн, С=26,5, мкФ. Найти I; UL; UC; Q; P; S;
10. Дана электрическая цепь с последовательным соединением R,
L, C- элементов. Вольтметры, измеряющие падение напряжения на
элементах, показали следующие значения:
– UR=100, В, UL=40, B, UC=70, В; – UR =200 В, UL =180 B, UC =90 В;
– UR =50 В, UL =200 B, Uc= UC В.
Найти общее напряжение на зажимах цепи и угол сдвига фаз между напряжением и током. Решить задачу для одного из вариантов по
заданию преподавателя.
– 148 -
Rp
Lк
Rк
~
C
RС
Рис.1.
i
u Rр
u Rк
u Lк
u
Рис. 2.
– 149 -
uC
j
В
j x L  j xC
М
Z
0 R
О
1
0
Z
j
К
Н
Рис. 3.
М
U L U C
U
О
К
0
1
U x
U R
Рис. 4.
– 150 -
Н
I
В
j
I В
Н
U R
0
U x
U
1
К
О
U C U L
М
Рис. 5.
М
j
U L U C
U R  U   0
О
I
К( Н ) В
1
Рис. 6.
М
jQ L  jQC
j
К
S
jQ
0
О
P
Рис. 7.
– 151 -
Н
1
j
Н
P
О
1
0
 jQ
S
К
 jQC
jQ L
М
Рис. 8
j
М
jQ L  jQC
S  P 0
О
Н(К)
Рис. 9.
– 152 -
1
U,I
Uк  f (C)
U
U L  f (C)
РЕЗОНАНС
U C  f (C )
C  L Z кз2
0
I  f (C )
C
C0
Рис. 10.
Z, x , R
Z  f (C )
L
R
0
R  f (C )
РЕЗОНАНС
Z кз
C0
Рис. 11.
– 153 -
x  f (C )
C

arctg(L / R)
  f (C )
0
C0
C
 90
Рис. 12.
cos
R
Z кз
0
РЕЗОНАНС
1
C0
Рис. 13
– 154 -
cos  f (C )
C
P, Q
РЕЗОНАНС
P  f (C )
С1
0
Q  f (C )
С0
С
С2
Рис. 14.
С1 и С2 определяются из условия
L 
1
 R.
C
U
*
I * W
I
Iн
U
~
Uн
Рис. 15.
– 155 -
Zн
K
A


R
W
Rк
~
V
Lк
Рис. 16.
K

A
R
 W
С
V
~
Рис. 17.
V
A
~

 W
Lк
pV2
Rк
pV1
pV3
С
V
Рис. 18.
– 156 -
V
Таблица 1.
Результаты исследования цепи с катушкой индуктивности
№ опыта
Результаты измерений
Условие
опыта
Результаты вычислений
I (А)
U (V)
P (W)
Z
R
xL
φ
L
UL
UR
Q
S
А
В
Вт
Ом
Ом
Ом
угл.
град.
Гн
В
В
ВАр
ВА
1
2
Ключ К
3
замкнут
4
5
– 154 -
6
Ключ К
7
разомкнут
8
– 157 -
Таблица 2
№ опыта
Результаты исследования цепи с последовательным соединением конденсатора и реостата
Условие
опыта
Результаты измерений
I (А)
U (V) P (W)
А
В
Вт
Z
R
xC
Ом
Ом
Ом
1
2
3
Ключ К
замкнут
– 155 -
4
5
6
7
Ключ К
разомкнут
8
– 158 -
Результаты вычислений
φ
С
UC
угл.
мкФ
В
град.
Uа=UR
Q
S
В
ВАр
ВА
Таблица 3
Результаты испытаний цепи с последовательным соединением катушки индуктивности и конденсатора
№
п/п
Данные измерений
С Cист. U (рV1) I (А) Uк (pV2) Uc (pV3) P (W)
мкФ мкФ
В
А
В
В
Вт
R
Ом
1
2
3
– 156 -
4
5
6
7
8
9
– 159 -
xC
Ом
x
Ом
Данные вычислений
φ cosφ Z Ua=UR
град
Ом
В
UL
В
Ux
В
Q
S
ВАр ВА
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ
С РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Цель работы: 1. Изучить основные режимы работы цепи с параллельным соединением ветвей, содержащих реостат, катушку индуктивности и конденсатор. 2. Получить навыки расчёта данной цепи и
построения векторных диаграмм.
Основные теоретические положения
Рассмотрим возможную схему замещения при параллельном соединении указанных приёмников (рис.1). Используем символический
метод расчета. Согласно 1 закону Кирхгофа для узла а можно записать
I  I1  I2  0 ,
(1)
где I – ток в неразветвлённой части схемы или входной ток (на самом
деле это комплекс действующего значения синусоидального входного
тока. В целях краткого изложения материала такие величины будем
называть ток, напряжение и тому подобное); I1 и I2 – соответственно,
токи в ветвях схемы. Выразим слагаемые уравнения (1) через напряжение U , воспользовавшись законом Ома
U
I1  ;
z1
U
I2  ,
z2
(2)
где z1  R1  jxL – комплексное сопротивление первой ветви;
z 2  R2  jxC – комплексное сопротивление второй ветви. Тогда


I  U  U  U  1  1  .
z

z1 z 2
 1 z2 
(3)
В разделе «Основные понятия о цепях синусоидального тока» отмечено, что величина I U  (1 z )  Y называется комплексной проводимостью. В данном случае эту величину можно обозначить как комплексную проводимость всей цепи. Из (3) получим
Y1  Y 2  Y ,
(4)
где Y 1  (1 z1) , Y 2  (1 z 2 ) – соответственно комплексная проводимость первой и второй ветви. Таким образом, при параллельном соединении ветвей эквивалентная комплексная проводимость всей схемы
замещения равна сумме комплексных проводимостей ветвей.
– 160 -
Определим составляющие комплексных проводимостей каждой
ветви. Отметим, что соотношения
z
1
Y
или
Y
1
z
справедливы только для всей ветви и не могут применяться в отношении отдельных её элементов. Рассмотрим составляющие комплексных
проводимостей каждой ветви.
1
1
1
( R1  j xL )
R
x


 2 1 2j 2 L 2,
(5)
z1 R1  j xL ( R1  j xL ) ( R1  j xL ) R1  xL
R1  xL
где g1 
R1
R12  x L2

R1
Z12
– активная составляющая проводимости
xL
x
 L2 – реактивная составляющая про2
R  xL Z
водимости первой ветви.
С учётом полученных соотношений
первой ветви; b1  bL 
2
1
Y 1  g1  jb1  g1  jbL .
(6)
Рассуждая аналогично, для второй ветви, получим
Y2 
x
x
R2
R
 j 2 C 2  22  j C2  g 2  jb2  g 2  jbC .
2
R  xC
R2  xC Z 2
Z2
2
2
(7)
Тогда
Y  Y 1  Y 2  ( g1 g 2 )  j (b1  b2 ) .
(8)
Положим, что синусоидальное напряжение на зажимах цепи определено выражением u  U sin t . В этом случае начальная фаза   0 .
m
u
Комплексную проводимость всей схемы и отдельной ветви можно
представить в показательной форме записи
Y  ye  j ; Y 1  y1e
где y , y , y
1
2
 j1
; Y 2  y2 e
 j 2
,
(9)
– соответственно, полная проводимость всей схемы,
первой и второй ветви;   ,   ,  
1
2
– фазовые углы указанных
полных проводимостей. Они противоположны по знаку углам
 , 1 ,  2 , определяющим сдвиг фаз между напряжением U и, соответственно, током I , I , I . При этом
1
2
– 161 -
y  g 2  b 2  ( g1  g 2 ) 2  (b1  b2 ) 2 ,
y1  g12  b12 , y2  g 22  b22 ;
   arctg
b
b
b
,  1  arctg 1  0 ,  2  arctg 2  0 .
g
g1
g2
(10)
(11)
Рассмотрим влияние реактивных проводимостей на характер
нагрузки цепи: 1. bL  bC . Из (8) и (11) получим, что
jb   j (bL  bC )  0 ,    0 ,   0 . При этом в данной схеме первая
ветвь имеет активно-индуктивный характер нагрузки. Вторая ветвь –
активно-ёмкостный характер нагрузки. На рис. 2 приведена векторная
диаграмма проводимостей, соответствующая этому случаю. На векторной диаграмме действительные составляющие комплексных проводимостей (активные проводимости схемы g1 и g2 ) представлены векторами, совпадающими или параллельными оси  1 . Мнимые составляющие комплексных проводимостей (реактивные проводимости
схемы  jb1 и jb2 ) представлены векторами параллельными оси  j в
соответствии с их знаками. Кроме этого указаны как углы   ,  1 ,
 2 , так и углы  , 1 , 2 . Учитывая условие 1, в целом, цепь имеет
активно-индуктивный характер нагрузки. Прямоугольные треугольники OKN, NBC, OBM носят название треугольников проводимостей.
Примечание. Направление угла сдвига фаз между напряжением и
током принято отсчитывать от тока к напряжению. Поэтому с целью
однообразного изложения анализа при построении векторных диаграмм (как и в работе №5) в дальнейшем на них указаны только углы
 , 1 , 2 .
2. bL  bC . Из (8) и (11) получим, что jb   j (bL  bC )  0 ,
   0 ,   0 . Характер нагрузки каждой ветви не меняется, но характер нагрузки всей схемы становится активно-ёмкостным. Векторная
диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена на рис. 3.
3. bL  bC . Из (8) и (11) получим, что jb   j (bL  bC )  0 ,
   0 ,   0 . Характер нагрузки каждой ветви не меняется, но характер нагрузки всей схемы становится чисто активным. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена на рис. 4.
Таким образом, в зависимости от соотношения b1 и b2 в схеме
может происходить частичная или полная компенсация реактивных
проводимостей ветвей. Это обстоятельство определяет характер
нагрузки реальной цепи, величину и знак фазового угла  .
– 162 -
Из формул (8) и (10) следует, что
Y  y  ( g1  g 2 ) 2  (bL  bc ) 2
(12)
1
1
I  U (  )  U Y 1  U Y 2
z1 z2
(13)
Из (3) будем иметь
Учитывая (9), получим
I  Ug1  Ug 2  U  jb1  U  j (b2 )
(14)
Слагаемые в правой части (14) имеют размерность А (Ампер). Их
принято называть: Ug1  Ia1 – комплекс активной составляющей действующего значения тока в первой ветви (в целях сокращения эту
составляющую тока называют активной составляющей тока в первой
ветви. Для остальных составляющих аналогично); Ug 2  Ia 2 – комплекс активной составляющей тока во второй ветви;  jUb  I –
1
p1
комплекс реактивной составляющей тока в первой ветви; jUb2  Ip 2 –
комплекс реактивной составляющей тока во второй ветви. Тогда соотношение (14) можно переписать
I  Ia1  Ia 2  Ip1  Ip 2 .
(15)
Соотношению (15) соответствует уже другая эквивалентная схема
замещения заданной цепи, состоящая из параллельного соединения
активных и реактивных элементов проводимости (рис. 5).
Изобразим на комплексной плоскости соотношение (15). Поскольку  u  0 и g1 , g 2 – действительные числа, то вектора Ia1 и Ia 2 будут
совпадать по направлению с вектором U . Т. е. активные составляющие
токов в ветвях совпадают по фазе с напряжением на зажимах схемы.
вектора I и I будут перпендикулярны вектору U . При этом реакp1
p2
тивная составляющая Ip1  IL отстаёт на угол 90º по фазе, а реактивная
составляющая I  I опережает на угол 90º по фазе указанное
p2
C
напряжение. Векторные диаграммы приведены на рис. 6, 7, 8. Они
иллюстрируют возможные случаи:
1. Если bL  bC , в этом случае I p1  I p 2 ,   0 , то общий ток
цепи
I отстаёт по фазе от напряжения U
цепи
I опережает по фазе напряжение U
на угол  (рис. 6);
2. Если bL  bC , в этом случае Ip1  Ip 2 ,   0 , то общий ток
– 163 -
на угол φ (рис. 7);
3. Наконец, если bL  bC , в этом случае I p1  I p 2 ,   0 , то общий ток I цепи совпадает по фазе с напряжением U (рис. 8).
Следовательно, в цепи происходит частичная или полная компенсация реактивных составляющих токов в ветвях и в зависимости от
этого полный (входной) ток I опережает, отстаёт или совпадает по
фазе с напряжением U на зажимах цепи.
Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в данной
цепи (рис. 1).
Энергетический режим работы каждой ветви, как было установлено в
разделе «Основные понятия о цепях синусоидального тока», определяется соотношением её активной и реактивной мощностей. Определим
их величину
P1  UI1 cos1  UI1
R1
Z1
U
U R1
 U 2 g1 .
Z1 Z1
(16)
Аналогично
P2  UI2 cos2  U 2 g 2
(17)
Т.е. активная или средняя за период мощность каждой ветви в разветвлённой цепи прямо пропорциональна активной проводимости этой
ветви. Поскольку Р1 и Р2 в каждой ветви характеризуют интенсивность
безвозвратного потребления энергии от источника питания, то общая
активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей каждой ветви и пропорциональна активной проводимости всей
цепи
P  P1  P2  U 2 ( g1  g2 )  U 2 g .
(18)
Определим реактивную мощность
Q1  QL  UI1 sin 1  UI1
xL
Z1
U
U xL
 U 2bL .
Z1 Z1
(19)
Аналогично
Q2  QC  U  I 2 sin  2  U 2bC .
(20)
Т. е. реактивная мощность каждой ветви в разветвлённой цепи прямо
пропорциональна реактивной проводимости этой ветви. Для реактивных мощностей можно также записать
– 164 -
Q1  QL  U 2bL  UI p1;
(21)
Q2  QC  U 2bc  UI p 2 .
(22)
При одном и том же напряжении, приложенном к каждой ветви,
реактивные составляющие токов этих ветвей I p1 и I p 2 сдвинуты на
180º друг относительно друга. Следовательно, суммарная реактивная
мощность равна разности реактивных мощностей в каждой ветви этой
цепи
Q  Q1  Q2  U 2 (bL  bc )  U 2b
(23)
и пропорциональна реактивной проводимости всей цепи. Полная мощность каждой ветви равна
S1  UI1  U 2
S 2  UI 2  U 2
1
 U 2 y1;
Z1
1
 U 2 y2 .
Z2
(24)
(25)
Т. е. полная мощность каждой ветви пропорциональна полной проводимости этой ветви. Определим полную мощность всей цепи
S  P 2  Q 2  (U 2  g ) 2  (U 2  b) 2  U 4 ( g 2  b 2 )  U 2 y
(26)
Т. е. полная мощность всей цепи пропорциональна проводимости этой
цепи.
Для представления полной комплексной мощности с использованием проводимостей введем понятие о комплексно-сопряженных
векторах. U  Ue ju  U а  jU р – комплекс действующего значения
напряжения,  u – начальная фаза соответствующей ему синусоиды,
U а – активная и U р – реактивная составляющие этого комплекса

(этого напряжения); U  Ue ju  U а  jU р – сопряженный комплекс
действующего значения напряжения и его аналогичные составляющие.
Такое же представление о сопряженном комплексе можно ввести
для тока

I  Ie ji  I а  jI р ; I  Ie  ji  I а  jI р ;
– 165 -
для сопряженного комплексного сопротивления
z  R  jx  Ze j , z  R  jx  Ze j ;
для сопряженной комплексной проводимости

Y  g  jb  ye j , Y  g  jb  ye j .
Рассмотрим известное выражение для полной комплексной мощности

S  U I  UIe j (  u   i )  UIe j  UI cos   jUI sin   P  jQ . (27)
Таким образом, использование понятия о сопряженном комплексе тока
позволяет реализовать аргумент полной комплексной мощности в виде
разности фаз между синусоидами напряжения и тока (   u  i ), а
также установить корректную математическую связь между полной
комплексной мощностью и ее составляющими ( P , Q ). Проведем
преобразование с сопряженными комплексами. В соответствии с (13)
получим
U Y  UYe j ( u )  Ie ji  I .
В таком случае будем иметь
 

U Y  Ue j u Ye j  UYe  j (  u )  Ie  j i  I .
(28)
Учтем, что

U U  Ue j u Ue j u  U 2 e 0  U 2 .
То есть для любого параметра произведение комплекса на сопряженный комплекс равно квадрату его модуля.
В соответствии с (27), (28) и (8) рассмотрим полную комплексную
мощность


 
S  U I  U U Y  U 2 Y  U 2 [( g1  g 2 )  j (b1  b2 )] 
 U 2 g1  U 2 g 2  jU 2b1  jU 2b2  P1  P2  jQ1  jQ2 .
(29)
Треугольники мощностей, соответствующие выражению (29), приведены на рис. 9, 10, 11, которые иллюстрируют случаи:
– если bL  bC , в этом случае QL  QC ,   0 (рис. 9). Т. е. реактивная мощность всей цепи является положительной величиной и во
внешней цепи происходит обмен циркулирующей энергией исключительно между магнитным полем L-элемента и источником питания, а
перезаряд С-элемента полностью осуществляется за счёт энергии магнитного поля L- элемента;
– если bL  bC , в этом случае QL  QC ,   0 (рис. 10). Т. е. реактивная мощность всей цепи является отрицательной величиной и во
– 166 -
внешней цепи происходит обмен циркулирующей энергией исключительно между электрическим полем С-элемента и источником питания.
Энергия в магнитное поле L-элемента полностью поступает при разряде С-элемента;
– наконец, если bL  bC , в этом случае QL  QC , а   0 (рис. 11).
Т. е. обмена энергией между источником питания и цепью не происходит. Вся энергия, поступающая от источника, безвозвратно потребляется цепью. При этом полная мощность на зажимах цепи чисто активная. Внутри цепи происходит циркулирующий обмен энергией одинаковой интенсивности между полями L, C-элементов.
Расчёт параметров режима работы цепи, построение векторной
диаграммы, треугольников проводимостей и мощностей можно провести, не прибегая к комплексным числам. Расчёт проводят в действующих значениях параметров режима и в модулях параметров цепи. При
этом возможны две методики расчёта:
 с использованием понятия об активной и реактивной составляющих тока в каждой ветви;
 с использованием понятия о полной проводимости цепи, ветви и
составляющих этих проводимостей.
По первой методике, по известным параметрам цепи определяют
полные сопротивления ветвей
Z1  R12  xL2 ; cos 1 
R1
x
R
; sin 1  L ; 1  arccos 1 ;
Z1
Z1
Z1
R2
 xC
 xC
; sin 2 
; 2  arcsin
.
Z2
Z2
Z2
Затем определяют полные токи в каждой ветви и составляющие этих
токов
Z 2  R22  xC2 ; cos 2 
I1 
U
; I a1  I1 cos 1; I р1  I sin 1 ;
Z1
U
; I a 2  I 2cos 2 ; I р2  I sin 2 .
Z2
После чего определяют полный (входной) ток цепи
I2 
2
I  ( I a1  I a 2 )2  ( I p1  I p 2 ) ;
I a  I a1  I a 2 ; I p  I p1  I p 2
и его фазовый угол
  arctg
I p1  I p 2
I a1  I a 2
– 167 -
.
Рассчитывают мощности на ветвях
P1  UIa1 ; P2  UIa 2 ; Q1  UI р1 ; Q2  UI р2 ; S1  P12  Q12 ; S2  P22  Q22 ;
мощности на всей схеме
P  U ( I a1  I a2 ) ; Q  U ( I р1  I р 2 ) ; S  P2  Q2 .
Используя полученные результаты, определяют проводимости ветвей
и всей схемы
I
I
I
I а1
I
I
; g 2  а 2 ; b1  bL  р1 ; b2  bС  р 2 ; g  а ; b  р .
U
U
U
U
U
U
Наконец, по полученным результатам с учётом знаков φ1, φ2 и φ строят
векторные диаграммы токов, проводимостей и мощностей.
По второй методике, по известным параметрам цепи определяют
проводимости ветвей и их фазовые углы
g1 
g1 
R1
R
x
x
; g 2  22 ; b1  L2 ; b2   с2 ; y1  g12  xL2 ; y2  g 22  xC2 .
2
Z1
Z2
Z1
Z2
b1
b
; 2  arctg 2 .
g1
g2
Затем определяют полную проводимость цепи и ее фазовый угол
1  arctg
y  ( g1  g 2 ) 2  (b1  b2 ) 2 ; g  ( g1  g 2 ) ; b  (b1  b2 ) ;
b1  b2
.
g1  g 2
После чего рассчитывают токи в ветвях и входной ток
  arctg
I1  Uy1 ; I а1  Ug1 ; I р1  U b1 ; I а2  Ug2 ; I р2  U b2 ; I 2  Uy2 ;
I  Uy ; I а  Ug ; I р  U b .
Определяют мощности ветвей и всей цепи
P1  U 2 g1; P2  U 2 g2 ; Q1  U 2b1; Q2  U 2 (b2 );
S1  P12  Q12 ; S2  P22  Q22 ;
P  U 2 g ; Q  U 2b; S  P 2  Q 2 .
И, наконец, зная величину  ,  1 ,  2 и их знаки, строят векторные
диаграммы токов, проводимостей и мощностей.
Иного характера расчёты проводят, если известны некоторые параметры режима работы цепи, и требуется определить параметры
– 168 -
схемы замещения и построить векторную диаграмму. Такие расчёты
проводят после экспериментального исследования схемы.
Например, дана схема замещения цепи (рис. 12). Путём эксперимента измерили следующие параметры режима работы этой цепи: P –
активную мощность всей цепи; U – напряжение на зажимах цепи; I –
входной ток; I1 и I2 – токи ветвей; угол сдвига фаз  между синусоидами напряжения U и тока I (с учетом его знака). Необходимо определить параметры схемы и построить векторную диаграмму. Проводят
следующие расчёты:
1. Определяют эквивалентные параметры всей цепи (знак общей
реактивной проводимости b и общего реактивного сопротивления x
определяется знаком измеренного угла  )
y
I
P
U
; g  2 ; b   y2  g 2 ; Z  ;
U
U
I
Re( Z )  R 
2.
P
; x  Im( Z )   Z 2  R 2 ;
2
I
(30)
Определяют эквивалентные параметры каждой ветви
I
I
U
y1  1 ; b2   2 ; Z 2  ; b1  b  b2 ; g1  y12  b12 ;
U
U
I2
Z1 
U
1
; x1  xL  b1Z12 ; R1  g1Z12 ; Z 2  x2  xC ; x2  ;
I1
b2
(31)
b1
; 2  90 .
g1
Определяют параметры элементов ветвей схемы
1  arctg
3.
L
4.
x1
1
;C
.

 x2
Рассчитывают остальные параметры режима работы схемы
– 169 -
(32)
Q  U 2b  I 2 x  UI sin ;
S  UI  I 2 Z  U 2 y;
Q1  UI1 sin 1  U 2b1  I12 x1;
P1  UI1 cos 1  I12 R1  U 1b1
S1  UI1  I12 Z1  U 2 y1;
(33)
Q2  U b2  I x  UI2 sin 2 ;
2
2
2 2
I a1  Ug1  I1 cos 1; I a 2  0 ;
I р1  Ub1  I1 sin 1; I р 2  I 2 ;
U a1  I1R1 ; U L  I1 x1 ; U C 2  U .
5. Строят векторные диаграммы токов, проводимостей, мощностей.
В данной цепи, как и в цепи с последовательным соединением R,
L, C- элементов, возможен резонансный режим, который носит название резонанса токов. При резонансе токов в цепи, содержащей L и Сэлементы, включённые в параллельные ветви, синусоиды входного
тока I и напряжения U , приложенного к зажимам цепи, совпадают по
фазе, т. е.   0 . Особенности этого режима уже рассмотрены (рис. 4,
8, 11). Определим резонансную частоту в цепи (рис. 1). Если для резонанса токов   0, то в соответствии с (11)
  arctg
b
b b
 arctg 1 2  0
g
g1  g 2
или
b1  b2  0 ; b1  b2 .
(34)
Выражение (34) определяет условие резонанса токов для конкретной цепи. Если катушка индуктивности и конденсатор включены в
параллельные ветви, то модули реактивных проводимостей ветвей
должны быть равны.
1
L
C
b1  bL  2
; b2  bC 
.
2
1
R1  ( L)
2
R2 
( C ) 2
Подставив эти выражения в (34) и решив уравнение относительно 0 ,
получим
– 170 -
0 
L
 R12
1
C

.
L
2
LC
 R2
C
(35)
Выражение (35) показывает, что резонансная частота определяется
величиной четырёх параметров цепи L, C, R1, R2. Поэтому резонансного
режима можно добиться, варьируя каждый из указанных параметров.
Проанализируем зависимости параметров контура и параметров
режима его работы от изменения C на примере схемы рис. 12. Считаем,
что величина ёмкости С изменяется от 0 до  , а цепь подключена к
идеальному источнику синусоидальной ЭДС.
1. Полная проводимость цепи
y  f (C)  ( g1 ) 2  (bL  bc ) 2  g12  (b1  C) 2 .
При C  0 y  g12  bL2 . Если  C0  bL
наступает резонансный
режим, для которого y  ymin  g1. Наконец, если C  ; y  .
Зависимость y  f (C ) приведена на рис. 13.
2. Учитывая, что полное сопротивление цепи Z  1 y , можно
определить характер зависимости Z  f (C ), которая также приведена на рис. 13.
3. Коэффициент мощности
cos   f (C ) 
g  g1
.
y
Эта зависимость будет подобна зависимости Z  f (C ) , поскольку g1
от С не зависит. Зависимость cos 1  f (C)  const поскольку от C этот
параметр не зависит и определяется соотношением сопротивлений в
первой ветви
R
cos 1  1 .
Z1
Для второй ветви cos 2  f (C )  90 .
4. Токи в цепи
I С  I р2  UbС  U  C ;
I L  I р1  UbL  const ;
I а1  Ug1  const ;
I  U  y.
– 171 -
Характер изменения этих зависимостей очевиден и его можно
обосновать, используя зависимости, рассмотренные в пунктах 1-3.
Графики приведены на рис. 14.
5. Мощности S, P, Q в цепи.
Активная мощность на всей цепи
P  UI cos   U 2 g1  const ;
реактивная мощность изменяется линейно от С
Q  QL  QС  U 2b1  U 2b2  U 2 (b1   C ) ;
зависимость полной мощности от С подобна зависимости y  f (C ) ,
поскольку
S  UI  U 2 y.
Графики, указанных зависимостей приведены на рис. 15.
Участок цепи, в котором возникает резонанс токов, называют параллельным резонансным контуром. При резонансе токов y в соответствии с (12) становится минимально возможной величиной. Как следует из (5), уменьшая активное сопротивление катушки индуктивности и
увеличивая её L , можно значительно уменьшить и проводимость y .
Т.е., значительно увеличить сопротивление контура при резонансе
токов. Если питать этот контур от источника синусоидального сигнала,
ток которого I слабо зависит от сопротивления контура (так называемая модель источника тока), то при резонансе токов напряжение на
ветвях может в несколько десятков или сотен раз превышать это
напряжение при других режимах работы. Это позволяет использовать
такие контуры для качественного выделения сигнала определенной
(резонансной) частоты во время поиска нужной радиостанции при
приеме ее сигнала. Поэтому резонанс токов находит широкое применение в радиотехнике, телевидении, технике проводной электросвязи,
измерительной технике, в специальных источниках вторичного электропитания устройств промышленной электроники.
Порядок выполнения работы
1. Собрать экспериментальную электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 16.
2. Установить напряжение питания заданной величины по указанию преподавателя.
3. Варьируя величину ёмкости, установить резонансный режим
работы экспериментальной цепи. При этом показания фазометра
должны быть близки к нулевому значению. Снять показания приборов
и занести их таблицу.
– 172 -
4. Уменьшая каждый раз величину ёмкости на 2÷4 мкФ , по сравнению с предыдущим опытом, и поддерживая U = const, проделать 2÷3
опыта. Данные измерений занести в таблицу.
5. Восстановить резонансный режим в цепи. После чего, увеличивая каждый раз величину ёмкости на 2÷3 мкФ по сравнению с предыдущим её значением, проделать 2÷3 опыта, данные занести в таблицу
(в каждом опыте напряжение U на входе цепи поддерживается постоянным и равным значению в первом опыте).
6. Для каждого опыта рассчитать параметры, указанные в таблице
1. Использовать для расчёта соотношения (30) – (33).
Примечание 1. В таблице приведены два столбца, определяющие
емкость батареи конденсаторов: C и Cист. В ячейках столбца C указывают величину емкости, набранную на батарее конденсаторов непосредственно перед каждым опытом. В ячейках столбца Cист указывают истинное значение емкости, которое определяют по формуле
Cист  1 ( xC ) после проведения опытов. При этом   2f , f  50, Гц .
7. Построить экспериментальные зависимости подобные приведённым на рис. 13, 14, 15.
8. Построить векторные диаграммы токов, треугольники проводимостей и мощностей для трёх опытов (по указанию преподавателя), в
которых величина ёмкости выбиралась меньше, равной или больше
резонансной.
Примечание 2: При построениях руководствоваться рис. 2, – 4, 6,
– 8, 9, – 11, а также учитывать, что для экспериментальной схемы
R2 =0. Следовательно, Ia2 = 0, g2 = 0, P2 = 0.
Рекомендуемая литература
1. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.
Учебн. Для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 2.13, 2.14).
2. Электротехника: Учебн. для неэлектротехн. спец. ВУЗов / Под
ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985, (подраздел 2.13).
3. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учебн. пособие
для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подразделы
2.15, 2.16, 2.17, 2.21).
4. Общая электротехника: Учебн. пособие для ВУЗов / Под ред.
Блажкина А. Т. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подразделы 2.8, 2.9, 2.10).
Контрольные вопросы
1. Объяснить построение векторных диаграмм.
2. Объяснить графики экспериментальных зависимостей параметров цепи при изменении С.
3. Какими параметрами определяется сдвиг фаз между входным
током и напряжением на зажимах экспериментальной цепи.
– 173 -
4. Условие резонанса токов.
5. Обоснуйте значение каждого параметра режима при резонансе
токов по графикам частотных зависимостей.
6. Заданы параметры схемы (рис. 1) L = 0,159 Гн; С = 45,5 мкФ;
R1=R2=40, Ом. Напряжение на зажимах u=150 sin 314t. Определить (по
заданию преподавателя): I; I1 ; I2 ;
Ia1 ; Iр1 ; Ia2 ; I р2 ; y1; g1; b1; y2; g2;
b2; y; b; g; S; P; Q; S1; P1; Q1; S2; P2; Q2.
– В
схеме
(рис.
1)
заданы
величины
параметров
xL  20 Ом, xC  40 Ом, R1  R2  30, Ом
Ом.. Амперметр, включённый в
первую ветвь, показывает величину 3,А. Определить (по указанию
преподавателя): U ; I; I2 ;
Iр1; Iр 2 ; Iа1; Iа2 ;
S; P; Q; S1; P1; Q1; S2; P2; Q2.
I
U
a
I1
R1 I2
R2
L
C
Рис. 1.
+j
g1
0
1
g  g1  g 2 g 2
M
  K
Y
 1
Y1
+1
 j (b1  b2 )
 jb 1
B
Y2
2
N
Рис. 2.
– 174 -
g2
jb2
 2
C
B
+j
Y
 j (b2  b1 )
 g  g1  g 2
0
1
g1
g2
K
Y2
 jb1
Y1
M
+1
jb2
2
C
N
Рис. 3.
0
Y  g1  g 2
0
+j
g1
g  g1  g 2
1
K
 jb1
Y1
M(B)
+1
Y2
jb2
2
N
Рис. 4.
– 175 -
g2
C
I
U
g1
Ia 2
g2
b1
Ip1
b2
Ip 2
Ia1
Рис. 5.
+j
Ia1
0
Iа
K

1
Ip
I
Ip1
I1
U
M
B
I2
2
Ip 2
Ia 2
N
C
Рис. 6.
B
+j
I

0
Ia
1 Ia1 K
I2
Ip1
I1
U
M +1
2
N
Ip 2
Ia 2
C
– 176 -
+1
Рис. 7.
+j
0
Ia1
0
U
M(B) +1
K
1
I1
I  Ia
Iр 2
I2
Iр1
2
Ia 2
N
C
Рис. 8.
+j
P1 K
0

1
S1
P
 jQL
M
 jQ
S
B
S2
2
N
jQC
P2
C
Рис. 9.
– 177 -
+1
+j
B
S
P1

1
0
P
M
+1
K
 jQL
S1
jQC
S2
2
N
C
Рис. 10.
+j
SP
0
P1
1
0
K
M(B) +1
 jQL
S1
jQL
S2
2
P2
N
C
Рис. 11.
I
Rк
E
I1
I2
С
U
Lк
Рис. 12.
– 178 -
cos
y
Z
Z12
Z  f (С )
cos   f (С )
резонанс
1
R1
y1
Z1
g1
y  f (С )
0
С
g1 / y1  R1 / Z1
Рис. 13.
I
резонанс
U y1
I С  f (С )
I L  f (С)
I а1  f (С )
U g1
I  f (С )
0
С0
Рис. 14.
– 179 -
С
S
Q
P
S1
резонанс
S  f (С )
Q1
P  f (С )
Q  f (С )
С0
0
С
Рис. 15.


W


pA1

A
pA 2
pA1
V
~
̃
A
A
Lк
Rк
Рис. 16.
– 180 -
C
– 181 -
7
6
5
4
3
2
1
№
Cист.
мкФ мкФ Вт
C
P
(W)
град.
φ
А
А
А
В
I
I1
I2
U
(pA1 (pA2 (pA3
(V)
)
)
)
Результаты измерений
А
Ia1
А
Ip1
См
g1
См
b1
b2
y
См См См
y1
Ом
z
Результаты вычислений
--
cosφ
S
ВАр ВА
Q
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХФАЗНОЙ ЦЕПИ
ПРИ СОЕДИНЕНИИ ПРИЁМНИКА ПО СХЕМЕ ЗВЕЗДА
Цель работы: 1. Получить навыки сборки и испытания трёхфазных цепей при соединении приёмников звездой. 2. Практически освоить особенности расчёта трёхфазных цепей и построения векторных
диаграмм.
Основные теоретические положения
Трёхфазными электрическими цепями называются объединённые в
одну три подобные цепи, в каждой из которых действует свой источник энергии переменного тока. Все три источника являются независимыми и имеют одинаковую частоту ЭДС. ЭДС этих источников, как
правило, одинаковы по амплитуде, но сдвинуты по фазе друг относительно друга на 120º (2π/3). Объединяемые цепи принято называть
фазами трёхфазной цепи.
В электротехнике термин “фаза” применяется в двух различных
смыслах: во-первых, это аргумент синусоидальной функции времени
(ωt+ψ), а во-вторых, наименование составной части трёхфазной цепи.
Как правило, источники энергии трёхфазной цепи конструктивно
объединены в одном электротехническом устройстве, называемом
трёхфазным генератором. Все элементы трёхфазного генератора, относящиеся к одному из трёх независимых источников энергии, принято
называть фазой генератора. Эти источники энергии можно представить
в виде источников ЭДС (рис.1). Зажимы фаз генератора, в сторону
которых направлены положительные направления ЭДС, принято
называть началами фаз генератора (A, B, C на рис. 1). Другие зажимы –
концами фаз генератора (X, Y, Z). При этом участки цепи
AX , BY , CZ называют фазами генератора. Если принять начальную
фазу ЭДС генератора E A равной нулю, то можно записать выражения
для мгновенных значений всех ЭДС в виде
eа  Em  sin(  t );
eв  Em  sin(  t  120 );
(1)
eс  Em  sin(  t  240 )  Em  sin(  t  120 ).
Такая система ЭДС называется трехфазной симметричной системой. Последовательность в обозначении фаз генератора, т. е. порядок
чередования фаз, не может быть случайной. Например, последовательность, приведённую в (1) называют прямой последовательностью
фаз. Для такой последовательности характерно, что ЭДС фазы В от– 182 -
стаёт от ЭДС фазы А на угол 120º, а ЭДС фазы С отстаёт от ЭДС фазы
В также на угол 120º. Если поменять местами любые две фазы, то
полученная новая последовательность будет называться обратной
последовательностью фаз. Соотношение (1) можно представить в
комплексной форме
E A  E  e j 0  Ε;
E B  E  e  j120 ;
(2)
E C  E  e j120 ,
где E  Em 2  Eф – модуль фазной ЭДС генератора (конкретное
действующее значение синусоидальной фазной ЭДС). Представим
последние два соотношения в алгебраической форме
1
3
E B  Ee j120  E (cos( 120)  j sin( 120))  E (  j
);
2
2
(3)
1
3
E C  E  e j120  E (cos120  j  sin 120)  E (  j 
),
2
2
и сложим (3) и первое равенство (2) вместе
E E
E 3 E 3
E A  E B  E C  E    j (

)  0.
2 2
2
2
(4)
Равенство (4) справедливо в любой момент времени, следовательно:
e A  eB  eC  0 .
(5)
Таким образом, алгебраическая сумма мгновенных значений фазных ЭДС генератора равна нулю в любой момент времени. Это условие вытекает непосредственно из закона сохранения заряда и свидетельствует, что в генераторе абсолютная величина заряда всегда равна
нулю.
Изобразим соотношения (2) на комплексной плоскости (рис. 2).
При этом видно, что сумма векторов также равна нулю.
Для того, чтобы получить трёхфазную цепь, необходимо фазы генератора соединить с трёхфазным приёмником (нагрузкой). Наиболее
естественно каждую фазу генератора можно соединить с соответствующей фазой нагрузки двумя соединительными проводами. В результате получим шестипроводную несвязанную трёхфазную цепь. Такие
цепи на практике не используются, как неэкономичные. Для уменьшения числа проводов линии электропередачи необходимо электрически
соединить определенные зажимы фаз генератора между собой и, аналогично, фаз нагрузки.
– 183 -
Рассмотрим в данной работе соединение указанных элементов
трёхфазной цепи по схеме звезда ( ). При таком соединении концы
фаз генератора и отдельно нагрузки объединяются в общий узел: со
стороны генератора – N (рис. 3) и со стороны нагрузки – n. Начала фаз
генератора и приёмника присоединяются к линейным проводам. Узлы
N и n называются нейтральными точками, а провод их соединяющий
нейтральным проводом. Полученная трёхфазная цепь называется четырёхпроводной цепью. Рассмотрим на примере этой цепи основные
элементы трёхфазной цепи и характерные для неё параметры режима
работы. Провода, соединяющие начала фаз генератора и приёмника
(Аа, Вв, Сс), называются линейными проводами. Участок цепи А,а,n,N
называется фазой А. Аналогично можно определить участки, соответствующие фазам В и С. Участки цепи AN, BN, CN называются фазами
со стороны генератора, участки an, bn, cn – фазами со стороны нагрузки.
Разность потенциалов между началом и концом фазы со стороны
нагрузки называется фазным напряжением. Так U a , U b , U c есть
фазные напряжения со стороны нагрузки. Разность потенциалов между
линейными проводами называется линейным напряжением. Будем
считать незначительными сопротивления линейных и нейтрального
проводов. Т. е.
(6)
Z Aa  Z Bb  Z Cc  Z Nn  0 .
В этом случае потери напряжения в линиях и в нейтральном проводе
(7)
U Aa  U Bb  U Cc  U Nn  0
и линейные напряжения вдоль линии не изменяются. На рис. 3
U AB, U BC , U CA – линейные напряжения; IA , IB , IC – линейные
токи; Ia , Ib , Ic – токи в фазах нагрузки; InN , ( IN ) – ток в нейтральном проводе; U nN – напряжение смещения нейтрали.
С учётом (6) и (7) для контура фазы А можно составить уравнение
по второму закону Кирхгофа (контур обозначен сплошной кривой со
стрелкой)
U a  E A ;
Аналогично
U b  E B ;
U с  E С .
– 184 -
(8)
Следовательно, векторная диаграмма на рис. 2 будет отвечать и
фазным напряжениям.
Для контура, обход которого обозначен штриховой линией, будет
иметь
U a  U c  U CA  0
или
U AC  U c  U a  E C  E A .
(9)
Аналогично
U AB  U a  U b  E A  E B ;
U BC  U b  U c  E B  E C .
(10)
Соотношения (9) и (10) устанавливают связь между линейными и
фазными напряжениями при любом режиме работы данной трёхфазной
цепи. Изобразим эти соотношения на комплексной плоскости (рис. 4).
Из рис.4 видно, что модули фазных (Uф) и линейных (Uл) напряжений
связаны соотношением
(11)
U л  Uф  3 .
Ток в нейтральном проводе, согласно 1 закона Кирхгофа (для узла
n) определится
(12)
IN  Ia  Ib  Ic .
Все элементы электрической цепи в каждой фазе соединены последовательно, т. е. линейный ток равен соответствующему фазному
току
Iф  Iл .
(13)
Если в трехфазную цепь включен приемник и сопротивления его
фаз равны
Z а  Z b  Z c  Z ф,
(14)
то такой приемник называют симметричным. Режим работы цепи
также будет симметричным. При этом фазные токи
U
U
U
Ia  a ; Ib  b ; Ic  c
za
zb
Zc
(15)
равны по модулю
Ia  Ib  Ic 
Uф
Zф
(16)
и сдвинуты по фазе относительно соответствующего фазного напряжения по один и тот же угол
– 185 -
ф  arctg
Im Z ф
Re Z ф
 arctg
xф
Rф
.
(17)
где Re z ф  Rф и Im z ф  xф соответственно, активное и реактивное
сопротивления каждой фазы. На рис.4, в качестве примера, показаны
вектора фазных токов для активно-индуктивной нагрузки фазы. Они
образуют трёхфазную симметричную систему векторов и, согласно (4),
их сумма равна нулю
InN  Ia  Ib  Ic  0 .
(18)
Т. е. при симметричном режиме работы четырёхпроводной трёхфазной
цепи ток в нейтральном проводе отсутствует, и необходимость в этом
проводе отпадает.
Если в трехфазную цепь включен несимметричный приемник
(условие (14) не соблюдается), то режим работы цепи будет также
несимметричным. При несимметричном режиме работы четырёхпроводной цепи, условие (14) нарушается, но остаётся справедливым
условие (8). Т. е. благодаря нейтральному проводу фазные напряжения
будут равны соответствующим фазным ЭДС генератора. Следовательно, нейтральный провод обеспечивает сохранение симметрии фазных
напряжений несимметричного приёмника.
В то же время токи в каждой фазе, рассчитываемые по соотношениям (15), уже не будут образовывать трехфазную симметричную
систему
InN  Ia  Ib  Ic  0 .
Поэтому в нейтральном проводе будет протекать ток.
В качестве примера, на рис. 5 приведена векторная диаграмма одного из возможных режимов работы четырёхпроводной трёхфазной
цепи при несимметричном приёмнике.
Как уже говорилось при симметричном режиме в данной цепи
необходимость в нейтральном проводе отпадает. В этом случае схема
будет иметь вид (рис. 6) и называется трёхпроводной трёхфазной цепью “звезда – звезда без нейтрального провода”. В случае симметричного приёмника расчет данной цепи (рис. 6) проводят по соотношениям (11), (13), (15), (16), (17). Возможная векторная диаграмма аналогична рис. 4.
Рассмотрим несимметричные режимы работы трёхпроводной цепи
(рис. 6).
Расчет таких режимов проводят методом двух узлов. Сначала
определяют напряжение смещения нейтрали
– 186 -
E Y  E B Y b  E C Y c
U nN  A a
Ya Yb Yc
(20)
где Y a , Y b , Y c – проводимости фаз.
Ya 
1
1
1
.
; Yb 
; Yc 
Za
Zb
Zc
(21)
Согласно II закона Кирхгофа для контура AanN (рис. 6) будем
иметь:
U a  U nN  E a
Из последнего равенства определяют фазное напряжение U a :
U a  E A  U nN
Аналогично рассматривая контуры BbnN, CcnN, получают:
U b  E B  U nN ;
U c  E C  U nN .
(22)
Наконец, рассчитывают фазные токи по соотношению (15).
В качестве примера, иллюстрирующего несимметричный режим в
трёхпроводной системе, приведена векторная диаграмма напряжений
рис. 7. Она показывает, что нарушение симметрии происходит только
со стороны нагрузки, системы же векторов фазных ЭДС генератора (
E A , E B , E C ) и, отдельно, линейных напряжений ( U AB , U BC , U CA )
сохраняют свои трехфазные симметричные системы. Соотношение
между линейными и фазными напряжениями (11) нарушается. При
этом фазные напряжения могут значительно превышать линейные по
модулю. Это возможно только в случае активно-реактивного приёмника. Поэтому питание несимметричного приёмника, включённого звездой, от трёхпроводной сети (без нейтрального провода) является недопустимым.
Проанализируем возможные режимы работы трёхфазного приёмника с чисто активным характером нагрузки, соединённого звездой без
нейтрального провода.
1. Симметричный режим характеризует векторная диаграмма на
рис. 8. Здесь все три группы векторов U CA , U AB, U BC ; U a , U b , U c
; Ia , Ib , Ic образуют каждая свою трёхфазную симметричную систе– 187 -
му. Кроме этого, вектора U CA , U AB, U BC , построенные так, как
показано на рис. 8, образуют равносторонний треугольник АВС, в
котором точка N(n) является его центром. Если приемник симметричный, то Ra  Rb  Rc  Rф или Ga  Gb  Gc  Gф ( Rф  1 Gф
). Из (20) получим
U nN 
Gф ( E A  E B  E C )
3Gф
0.
2. При обрыве одной фазы, например фазы А (рис. 9), приёмники
остальных фаз оказываются включёнными последовательно под линейное напряжение U BC (на рис. 9 векторы фазных ЭДС не показаны). Падение напряжения на каждом приёмнике Rb и Rc распределяется
пропорционально их сопротивлениям. Если Rb=Rc, то
1
U b  U c  U BC .
2
Т. е. потенциал точки n изменяется и на векторной диаграмме эта
точка смещается в точку О (рис. 10). Данный вывод следует из соотношения (20) при Ga=0
U nN 
0  Gф ( E B  E C )
2Gф
1
1
 ( E C  E B )   E A .
2
2
(23)
Т. о., фазные напряжения Ub и Uc уменьшаются
U b  U c  Eф
3
 0,87 Eф .
2
В таком же соотношении изменяются фазные и линейные токи.
Фазное напряжение оборванной фазы увеличивается
U a  Eф
3
 1,5Eф .
2
Более строго данные выводы можно определить при использовании векторных соотношений. Используя (3), (21) и (23), получим
U a  E A  (1 2) E A  (3 2) E A  (3 2) Eф ;
U b  E B  (1 2) E A   j ( 3 2) Eф ;
U с  E С  (1 2) E A   j ( 3 2) Eф .
– 188 -
Эти соотношения полностью определяют соответствующие вектора на диаграмме рис. 10.
3. При коротком замыкании фазы, например, фазы А (рис. 11):
A 
n  0,
U a  
т. е. n   точка n принимает потенциал линейного провода А и
приёмники в остальных фазах В и С оказываются включёнными под
линейные напряжения, соответственно U АС и U ВС . Действительно,
A
как следует из (20) при GA  
U nN
G
G
E A  E B b  E c
Ga
Ga

 E A .
Gb Gc
1

Ga Ga
При этом, учитывая (3), (21), получим
U a  E A  E A  0 ;
U b  E B  E A  U AB ;
U с  E С  E A  U CA .
Т. е. модули фазных напряжений U b и U c увеличиваются в
3 раз,
Ua  0 .
Соответственно увеличиваются и токи Ib и Ic. Если Rb=Rc, то ток в
фазе А увеличится в 3 раза
Ia  ( Ib  Ic ) .
Аналогичный результат можно получить и для активнореактивного приёмника. Если модуль полного сопротивления одной из
фаз изменяется, например, Z a изменяется от 0 до  , а
Z b  Z c  const , то напряжения будут изменяться в следующих
пределах
U nN – от EА до – ( 1 ) E А ;
2
U b и U c от – U л до ( 1 )U л ;
2
U a от – 0 до 1,5 U ф .
– 189 -
Если при этом Z b  Z c и приёмники чисто активные Z b  Rb ;
Z c  Rc ; Z a  Ra , то точка n может сместиться на векторной диаграмме в любую точку внутри треугольника ABC.
Энергетические процессы, протекающие в каждой фазе, подобны
процессам в однофазной цепи и, при заданных U л и U ф , определяются величиной и характером фазной нагрузки Rф и xф  xLф  xC ф .
При этом
z ф  Rф  jxф , Z ф  Rф2  xф2 .
1. Активная мощность на трехфазном приемнике равна арифметической сумме активных мощностей на каждой его фазе
P3ф  PA  PB  PC .
При этом активную мощность на каждой фазе приемника можно
определить
Pф  U ф  I ф  cosф  I ф2 Rф ,
где U ф , I ф – соответственно, действующие значения фазного напряжения и тока; ф – угол сдвига фаз между синусоидами фазного
напряжения и тока
ф  arctg
xф
Rф
.
Если приемник симметричный, то
P3ф  3Pф .
2. Реактивная мощность на трехфазном приемнике равна алгебраической сумме реактивных мощностей на каждой его фазе
Q3ф  QA  QB  QC
или
где
Q3ф  ( QL ф )  ( QСф ) ,
 QLф , QСф
– соответственно, суммарная мощность на всех
индуктивных и емкостных элементах в фазах приемника. При этом
реактивную мощность на каждой фазе приемника можно определить
Qф  U ф  I ф  sin ф  QLф  QСф  I ф2 xф ;
QLф  QСф  I ф2 xLф  I ф2 xCф .
– 190 -
Если приемник симметричный, то
Q3ф  3Qф .
3. Наконец, полная комплексная мощность на трехфазном приемнике равна геометрической сумме полных комплексных мощностей
на каждой его фазе
S 3ф  S A  S B  S C  P3ф  jQ3ф .
Причем полную мощность на этом приемнике можно определить так
S3ф  P32ф  Q32ф .
Полную комплексную мощность и полную мощность на каждой
фазе приемника определяют с помощью формул

j
S ф  U ф  I ф  I ф2 z ф  Pф  jQф  Sф e ф ;
Sф  U ф  I ф  Pф2  Qф2  I ф2 Z ф .
Если приемник симметричный, то
S 3ф  3S ф
и
S3ф  3Sф .
Основные выводы
1. Для уменьшения числа соединительных проводов в трехфазной цепи используют один из возможных способов соединения фаз
приёмника между собой: соединение звездой.
2. При этом возможно использование четырехпроводной цепи (с
нейтральным проводом), которую используют для питания несимметричного приёмника. Для такой цепи справедливы соотношения
Iф  Iл ; U л  3U ф .
(24)
Наличие нейтрального провода позволяет сохранить симметрию
фазных напряжений, поэтому в этом проводе недопустима установка
предохранителей.
3. Использование трехпроводной трёхфазной сети рекомендуется
исключительно при питании симметричных приёмников. В этом случае остаются справедливыми соотношения (24). Для несимметричного
приёмника в этом случае фазные напряжения могут значительно пре– 191 -
высить свои номинальные значения (U л  3U ф ) , что может привести к выходу из строя приёмников.
Порядок выполнения работы
1. По указанию преподавателя собрать одну из схем для исследования трёхфазной цепи при соединении приёмников в звезду без
нейтрального провода (рис.12):
 с активным трёхфазным приёмником. В качестве приёмника
используется ламповый реостат, в котором в каждой фазе несколько
ламп накаливания включены параллельно и предусмотрена возможность их поочерёдного включения – выключения;
 с активно-индуктивным или активно-ёмкостным трёхфазным приёмником. В данном приёмнике предусмотрена возможность
включения – выключения в каждой фазе дополнительного резистора,
соединённого последовательно с катушкой индуктивности или с конденсатором.
2. Исследовать следующие режимы работы:
 симметричный режим работы. В каждой фазе со стороны
нагрузки должно быть включено одинаковое число ламп, если приёмник активный. Для реактивного приёмника дополнительные резисторы
должны быть выключены;
 несимметричный режим работы. Для активного приёмника
выключить в одной фазе две лампы, в другой – одну, в третьей оставить включенными все лампы. Для реактивного приёмника включить в
двух фазах дополнительные резисторы;
 режим работы при обрыве фазы. Для активного приёмника
выключить все лампы в одной фазе. При этом в остальных двух фазах
все лампы должны быть включены. Для реактивного приёмника выключить полностью нагрузку в одной фазе;
 режим работы при коротком замыкании фазы. Для любого
приёмника восстановить симметричную нагрузку по фазам. При отключенном трехфазном источнике питания соединить проводником
начало одной из фаз приемника с нейтральной точкой n . Подключить
источник и исследовать режим;
 показания приборов при исследовании каждого указанного
режима записать в таблицу 1.
3. По результатам исследований построить векторные диаграммы напряжений и токов во всех фазах приемника. Для одной из фаз
активно-реактивного приемника построить векторную диаграмму
сопротивлений, используя формулы
– 192 -
Zф 
Uф
Iф
; cosф 
Pф
Uф  Iф
;
Rф  Zф cosф ; xф  Zф sin ф .
Знак угла сдвига фаз между U ф и Iф определяется характером
нагрузки. При этом для активного приёмника ф  0 , для активно-индуктивного приёмника ф  0 , для активно-емкостного приёмника ф  0 .
Также определить полную, активную и реактивную мощность на
трехфазном приемнике и на каждой его фазе с помощью указанных
выше формул (для активно-реактивного приемника). Для одной из фаз
приемника построить векторную диаграмму мощностей.
4. Собрать схему для исследования трёхфазной цепи при соединении приёмников в звезду с нейтральным проводом. При этом по
указанию преподавателя использовать либо активный приёмник, либо
активно-реактивный приёмник (рис.13).
5. Исследовать следующее режимы работы:
 симметричный режим работы;
 несимметричный режим работы;
 режим работы при обрыве фазы.
6. Результаты измерений занести в таблицу 2.
Примечание. Режим короткого замыкания фазы при наличии
нейтрального провода проводить нельзя. В этом случае произойдет
замыкание фазы источника с помощью линейного и нейтрального
проводов, имеющих очень малые сопротивления. При этом ток в этих
проводах
Iкз 
E ф
Z л  Z nN
может в десятки раз превышать номинальный, что вызовет выход из
строя стендового источника питания, амперметров и ваттметров.
7. По данным измерений построить векторные диаграммы
напряжений и токов для исследованных режимов работы трёхфазной
цепи во всех фазах приемника и в нейтральном проводе. При этом
графически определить величину и начальную фазу  тока в нулевом
проводе. Для реактивного приёмника определить полные, активные и
реактивные мощности на каждой фазе и в целом на приемнике. Построить векторную диаграмму мощностей для одной из его фаз.
– 193 -
Рекомендуемая литература
1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебн. пособ.
для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подразделы 3.1,
3.2, 3.4, 3.6, 3.8).
2. Электротехника: Учебник для неэлектрических специальностей ВУЗов / Под ред. В.Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985 (подразделы 3.4, 3.5, 3.7, 3.8, 3.10).
3. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника:
Учебник для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 3.1, 3.2,
3.3, 3.4, 3.8).
4. Общая электротехника: Учебн. пособие для ВУЗов / Под ред.
Блажкина А.Т. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подразделы 4.1, 4.2, 4.3,
4.4).
Контрольные вопросы
1. Дать определение трёхфазной цепи и симметричной трёхфазной системы ЭДС.
2. Написать выражение для мгновенных значений и для комплексов действующих значений симметричной трёхфазной системы ЭДС.
3. Как получить соединение фаз приёмника звездой?
4. Какие напряжения в трёхфазной цепи называются фазными и
линейными? Определить эти напряжения на схеме.
5. Какие существуют соотношения между линейными и фазными
токами и напряжениями? Обосновать справедливость этих соотношений.
6. Написать выражения мощности для цепи трёхфазного тока при
симметричной и несимметричной нагрузке.
7. Заданы параметры схемы замещения трёхфазной цепи (рис.3)
1
 15 Ом ; xb   Lb  15 Ом ;
Ra  Rb  Rc  10 Ом ; xa 
 Ca
xC  0 ; Eф  220 В .
Определить:
 Ia ; Ib ; Ic ; InN ;

U AB;U BC ;U CA ;

PA ; PB ; PC ;
8. Для трёхфазной цепи (рис.9) известны сопротивления фаз приёмника Ra  10 Ом ; Rb  20 Ом ; Rc  40 Ом ; Eф  220 В .
9.
Определить:
– 194 -


Ia ; Ib ; Ic
U a ; U b ; U c
и построить соответствующую векторную диаграмму токов или напряжений.
A
B
E A
U A
C
E B
U B
X
E C
U C
Z
Y
Рис. 1.
1
E A
 120 
 120 
0
j
E C
E B
Рис. 2.
– 195 -
IA
a
A
U AB
E A
U CA
Za
InN ,U nN
n
N
E C
E B
– 192 -
С
Ia ,U a
Ib ,U b
Zc
B
IC
Iс ,U c
c
U BC
Рис. 3.
– 196 -
Zb
b
IB
1
E A  U a
М
j
30

Ia  IA
A
U AB
30
U CA
Ic  IC
А(а)
C
E B  U b
N(n)
B
C( c )
B(b)
U BC
E C  U c
NM  медиана, высота, биссектриса.
AM  ANcos30  или (1 2)U
U
л

3U
л
U
ф
Ib  IB
( 3 2)
ф
Рис. 4.
+1
A(a)
U CA
A
С
j
U AB
U а
InN
U c
 B U b
I
Ic
b
С(с)
InN  Ic  Ib  Ia
Ia
U BC
Ic  Ib
Рис. 5.
– 197 -
B(b)
a
A
IA
U a , Ia
E A
U CA
U AB
E C
N
U nN
Za
n
E B
Zb
Zc
U b
U c , Ic
B
U b , Ib
c
IC
b
IB
U BC
Рис. 6.
n
U а
A(а )
U nN
E A
U c
U CA
U b
U AB
N
E C
C(c)
E B
U BC
Рис. 7.
– 198 -
B(b)
1
A(a)
U а  E A
U CA
U AB
Iа  IA
j
Iс  IC
С(с)
Ib  IB
B(b)
U BC
U с  E C
U b  E B
Рис. 8.
a
A
E
E
C
C
U
A
Zb
AB
U
R
CA
U
E
B
U , I
a a
a
n
nN
Rc
B
c
U
Рис. 9.
– 199 -
R
b
U , I
c c
U , I
b b
BC
b
1
А(а)
Ia  IA  0
U c  U CA
U b  U BC
U а
J
N
U nN
Ic  IC
C(c)
Ib  IB
O(n)
U с
B(b)
U b
Рис. 10.
1
Ia  IA
 Ic
 Ib
U a  0
Iс  IC
j
A(a , n) U
AB
Ib  IB
U nN
N
U с  U CA
C( с )
U B  U AB
O
Рис. 11.
– 200 -
U BC
B(b)
A
IA
*
pA1
*
PА
pW1
a
pV1
Ua
zа
pV3
– 197 -
~50Hz , 220 V
3
pA 3
C
IC
B
IB
*
*
PC
*
pA 2
*
PB
Рис. 12.
– 201 -
pW3
c
pW2
Uc
Ub
n
zc
zb
b
pA1
A
*
*
IA
PА
pW1
a
pV1
Ua
za
pA 2
B
*
*
– 198 -
IB
PВ
pW2
pV3
3~50Hz , 220 V
Uc
pA 3
C
*
*
IC
PС
pW3
pA 4
N
IN
Рис. 13.
– 202 -
Ub
n
zc
c
pV2
zb
b
Таблица 1
Результаты исследования трехфазного приемника, соединенного по схеме
звезда без нейтрального провода
Данные
измерений
Ua
Ub
Uc
Ia
Ib
Ic
PA
PB
PC
P3 ф
В
В
В
А
А
А
Вт
Вт
Вт
Вт
Режим
работы
приемника
Симметричный
Несимметричный
Обрыв
фазы
Короткое
замыкание
фазы
Таблица 2
Результаты исследования трехфазного приемника, соединенного по схеме
звезда с нейтральным проводом
Данные
измерений
Режим
работы
приемника
Ua U b Uc
В
В
В
Ia
Ib
Ic
IN
PA PB PC P3 ф
А
А
А
А
Вт
Симметричный
Несимметричный
Обрыв
фазы
– 203 -
Вт
Вт
Вт
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХФАЗНОЙ ЦЕПИ
ПРИ СОЕДИНЕНИИ ПРИЁМНИКА ПО СХЕМЕ
ТРЕУГОЛЬНИК
Цель работы: 1. Получить практические навыки сборки и испытания трёхфазной цепи при соединении фаз приёмника треугольником.
2. Практически освоить особенности расчёта трёхфазных цепей и построения векторных диаграмм.
Основные теоретические положения
Помимо соединения фаз приёмника или генератора в звезду их
можно соединить треугольником. При соединении фаз генератора или
приёмника по схеме треугольник, конец предыдущей фазы, начиная с
фазы А, соединяется с началом последующей фазы В, конец фазы В – с
началом фазы С и, наконец, конец фазы С – с началом фазы А (рис.1).
Объединённые концы фаз трёхфазного приёмника или генератора
соединяют с линейными проводами. Соединенные таким образом фазы
образуют замкнутый контур, который принято на схемах изображать,
как показано на рис.2.
Как правило, фазы генератора соединяют по схеме звезда. Поэтому
наиболее вероятной является трёхфазная цепь, в которой приёмник
соединён треугольником, приведена на рис.3. При таком соединении
приёмника каждая его фаза подключается непосредственно к линейному напряжению. Поэтому при соединении приёмника по схеме треугольник соотношения
U ф  U л
(1)
или
U AB  U a , U BC  U b , U CA  U c
справедливо для симметричного и несимметричного приёмника. Будем, как и в работе №7, считать трехфазную цепь «короткой», то есть
величиной сопротивления линейных проводов пренебрегаем
Z Aa  Z Bb  Z Cc  Z Nn  0 .
(2)
Отсюда следует
U Aa  U Bb  U Cc  U Nn  0 .
То есть линейные напряжения U , U , U
не зависят от расAB
BC
CA
стояния вдоль линейных проводов и обеспечиваются фазными ЭДС
генератора. Поскольку считаем, что фазные ЭДС генератора всегда
– 204 -
образуют трехфазную симметричную систему, то этому же условию
всегда будут удовлетворять и линейные напряжения (независимо от
режима работы трехфазной цепи)
Рассмотрим связь между линейными и фазными токами. Фазные
токи Iab , Ibc , Ica текут в фазах приёмника; линейные токи IA , IB ,
IC – в линейных проводах. По 1-ому закону Кирхгофа для узла а запишем (рис. 3):
IA  Iab  Ica  0
или (рис. 4)
IA  Ia  Ic
(3)
Рассматривая аналогично уравнения, составленные для узлов b и c,
получим
IB  Ib  Ia
IC  Ic  Ib
(4)
Т.е. в самом общем случае комплексный вектор линейного тока
равен разности комплексных векторов соответствующих фазных токов.
Причём соотношения (3) и (4) не зависит от того, является ли нагрузка
приёмника симметричной или несимметричной.
Если нагрузка симметричная, то вектора фазных и линейных токов
образуют на векторной диаграмме трёхфазную симметричную систему
(рис.4). При этом сдвиг фаз между синусоидами фазного напряжения и
тока одинаковы для всех фаз приемника
a  b  c .
Аналогично для сдвига фаз между синусоидами линейного напряжения и тока
 A   B  C .
Рассмотрим треугольник, составленный из векторов I , I ,  I
A
a
c
(рис. 4). Он является равнобедренным с углами при основании треугольника 30 . Поэтому действующие значения фазного и линейного
токов связаны соотношением
I л  3I ф ,
(5)
которое является справедливым только для симметричного приёмника.
Энергетические процессы, протекающие в трёхфазном приёмнике,
соединённом по схеме звезда или треугольник, подобны. При этом
активная мощность приёмника
– 205 -
P  PA  PB  PC
(6)
равна арифметической сумме активных мощностей каждой фазы. Активная мощность в каждой фазе определяется
Pф  U ф  I ф cos  I ф2 Rф  Sф cosф ,
(7)
если приёмник симметричный, то
PA  PB  PC ,
(8)
и
P3ф  3Pф  3U ф  I ф cosф  3U л  I л cosф .
(9)
Реактивная мощность приёмника
Q3ф  QA  QB  QC
(10)
равна алгебраической сумме реактивных мощностей каждой фазы.
Реактивная мощность каждой фазы определяется по формулам
Qф  U ф  I ф sin ф  I ф2 xф  Sф sin ф ,
(11)
если приёмник симметричный, то
QA  QB  QC ,
(12)
и
Q3ф  3Qф  3U ф  I ф cosф  3U л  I л sin ф .
(13)
Полная комплексная мощность приёмника
S  S A  S B  S C  PA  PB  PC   j  QA  QB  QC  
 I a2 z a  I b2 z b  I c2 z c
(14)
определяется суммой полных комплексных мощностей каждой фазы.
Модуль полной мощности приёмника равен
S3ф  P32ф  Q32ф ,
(15)
а модуль полной мощности каждой фазы:
Sф  Pф2  Qф2  U ф  I ф .
Если приёмник симметричный, то
– 206 -
(16)
S3ф  3Sф  3U ф  I ф  3U л  I л
(17)
Расчёт трёхфазной цепи с приёмником, соединённым треугольником, начинают с определения фазных токов



I  U a ; I  U b ; I  U c .
a
za b zb c zc
(19)
Затем определяют линейные токи по соотношениям (3) и (4). После чего рассчитывают мощности приёмника и фаз по соотношениям
(7) – (17).
Если приёмник симметричный, то для определения фазных токов
достаточно вычислить ток Ia по соотношению (18); остальные токи
( Ib и Ic ) будут равны ему по модулю и их углы сдвига фаз, соответственно, b и с , равны а . Начальные фазы синусоид фазных токов
(или начальные фазы векторов Ib и Ic ) можно определить, зная, что
 ia   a ;
b  a  120  ;
c  a  120  .
Модуль линейного тока I A равен
IA 
3I a .
Такое же соотношение будут иметь модули линейных и фазных
токов I B и I b , I C и I c . При этом синусоиды линейных токов будут
иметь следующие начальные фазы (или начальные фазы векторов
линейных токов)
A

a  30  ;
B  а  150  ;
C

a  90  .
Мощность каждой фазы и всего приемника рассчитывают по формулам (8), (9), (12), (13) и (16), (17).
Весьма часто в экспериментах известны Pф , I ф ,U ф , I л и характер
нагрузки каждой фазы, нам необходимо по этим данным построить
векторную диаграмму. Сначала определяют активные сопротивления
каждой фазы
– 207 -
Rф 
Pф
Iф2
,
(19)
затем полные сопротивления каждой фазы
Zф 
Uф
(20)
Iф
и реактивные сопротивления каждой фазы
xф   Z ф2  Rф2 ,
(21)
где “+” соответствует активно-индуктивному характеру нагрузки фазы,
а “” – активно-ёмкостному характеру нагрузки фазы.
Затем определяют углы сдвига фаз между U ф и Iф
ф  arctg
xф
Rф
 arcsin
xф
Zф
.
(22)
После чего по соотношениям (3) и (4) определяют линейные токи.
Наконец, по соотношениям (9), (11), (13), (15),(16) рассчитывают мощности фаз и мощности всего трехфазного приёмника.
Построение векторной диаграммы на комплексной плоскости
(рис.5) начинают с выбора масштабов mi и mu . После чего:
– вектор U a (ua  0) в масштабе mu размещают вдоль оси +1;
– строят вектора U b и U c , зная их начальные фазы
uc  120 ; ub  120  ;
– в соответствии со знаками и величиной углов сдвига фаз a , b,c
определяют направления и строят в масштабе mi вектора Ia , Ib , Ic ;
– графическим способом (как векторная разность) определяют IA ,
IB , IC согласно соотношениям (3) и (4);
– наконец, строят треугольники мощностей Pф , Qф , Sф , P3ф , Q3ф , S3ф ,
используя их рассчитанные значения.
Приведённая в качестве примера векторная диаграмма является
одной из возможных (рис. 5).
В заключении проанализируем некоторые режимы приёмника:
– 208 -
1. Симметричный режим работы приемника. Для приёмника с
активно-реактивным характером нагрузки (при условии, что ф  0 )
симметричный режим уже рассмотрен выше и векторная диаграмма
приведена на рис.4.
В случае чисто активного приёмника сдвиг фаз между синусоидами фазного напряжения и тока ф  0 , следовательно, соответствующие вектора фазных (или линейных) напряжений и фазных токов
совпадают по направлению. Вектора U ф , Iф , Iл образуют три трёхфазных симметричных системы (рис.6).
2. Несимметричный режим работы приемника. Для приёмника с
активно-реактивным характером нагрузки данный режим рассмотрен
выше. Возможная векторная диаграмма приведена на рис.5. Для приёмника с активным характером нагрузки возможная векторная диаграмма
такого режима при уменьшении нагрузки в фазе А ( RA  RB  RC ) приведена на рис.7. На ней ток I  I  I . Её построение проводят так
a
b
c
же как и для симметричного режима работы.
3. Режим работы приёмника при обрыве одной из его фаз. При
обрыве одной из фаз симметричного приёмника, например, фазы А,
ток I a  0 (рис.8). Линейные (одновременно это фазные) напряжения
сохраняют свою симметрию. Токи Ib и Ic не изменяют своего значения, поскольку U b и U c не изменяются. Линейные токи становятся
равными
IA  Ia  Ic  Ic ;
IB  Ib  Ia  Ib ;
IC  Ic  Ib .
Качественная векторная диаграмма для активного приемника полностью соответствует приведенной на рис. 9. Векторная диаграмма для
активно-реактивного (ф  0) приёмника, приведенная на рис.10, также
соответствует рассматриваемому режиму, но является одной из возможных.
4. Режим работы приемника при обрыве линейного провода.
При обрыве линейного провода, например, провода фазы А, получим
схему, приведённую на рис.11. Трёхфазный симметричный приёмник
становится обычной однофазной цепью, включенной под напряжение
U BC  U b . Образованная фазами приёмника цепь имеет смешанный
– 209 -
характер соединения и состоит из двух параллельных ветвей: ветви
bac , в которой нагрузка фаз приемника z a и z c включена последовательно, и ветви bc с нагрузкой z b .
Поскольку нагрузки фаз z a и z b включены последовательно и
приёмник – симметричный, то фазные напряжения в этих фазах становятся равными (с учётом выбранных положительных обозначений)
следующему значению
U
U
U a  U c   b   л ,
2
2
т.е. уменьшаются в 2 раза по модулю по сравнению с симметричным
режимом работы приемника. Фазный ток
Ib сохраняет свою величи-
ну, поскольку величина U BC
 U b не изменяется


I  U b  U b .
b
z b zф
В то же время фазные токи Ia , Ic уменьшаются в два раза про-
порционально уменьшению фазных напряжений


I  I   U b   I b .
a
c
2zф
2
Линейные токи определяются по соотношениям (3) и (4)


I  I  I   I b  I b  0 ;
A
a
c
2
2

I  I  I  I  I b  1,5  I ;
B
b
a
b
b
2
I
IC  Ic  Ib   b  Ib  1,5  Ib .
2
Т.е. линейные токи IB и IC в любой момент времени противоположны по направлению.
Упрощённая векторная диаграмма для активно-реактивного
  0 приёмника приведена на рис.12. Для активного приёмника
все вектора токов и напряжений располагаются вдоль прямых, параллельных вектору U BC
 U b т. к. b  0 .
– 210 -
ВЫВОДЫ
1. Соединение трёхфазного приёмника по схеме треугольник не
столь критично к влиянию неравномерности нагрузки фаз (в том числе
при обрыве одной из фаз или линейного провода) на режим работы
приемника. Это связано с тем, что при выполнении условия (2) фазные
напряжения сохраняют свою симметрию и равенство соответствующим линейным напряжениям. Кроме этого они обеспечиваются симметричными фазными ЭДС генератора.
2. В то же время соединение фаз приемника по схеме треугольник допустимо не для всех приёмников, так как фазное напряжение в
этом случае увеличивается в 3 по сравнению с фазным напряжением
симметричного приемника, соединенного по схеме звезда. Одновременно увеличивается во столько же раз фазный ток. При этом в 3 раза
возрастает мощность и тепловые потери приемника.
3. Для такой схемы соединения независимо от характера нагрузки по фазам справедливо U ф  U л .
4. Для симметричного приёмника связь между модулями линейных и фазных токов выражается соотношением I ф  3I л .
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с приборами, необходимыми для выполнения
работы.
2. В случае активно-реактивного приёмника собрать схему, указную на рис.13, в случае активного приёмника – схему на рис.14.
3. Исследовать следующие режимы работы приёмника:
1. Симметричный режим. В случае активного приёмника (ламповый реостат) должны быть включены все лампы в каждой
фазе. В случае активно-реактивного приемника дополнительные резисторы зашунтированы;
2. Несимметричный режим. В случае активного приемника в
одной фазе выключить две лампы, в другой – одну, в третьей
фазе оставить все лампы включенными. В случае активнореактивного приёмника в двух фазах включить в цепь дополнительные резисторы;
3. Обрыв фазы. Предварительно восстановить симметрию фаз
приёмника. В случае активного приёмника выключить все
лампы в одной из его фаз. В остальных фазах все лампы
включить. В случае активно-реактивного приёмника отключит
нагрузку одной из фаз;
4. Обрыв линейного провода. Восстановить симметрию фаз
приёмника, после чего отключить один из линейных проводов
от источника питания;
– 211 -
5. Фазные напряжения измерять переносным вольтметром (на
схемах он не указан);
6. Показания приборов занести в таблицу 1 в случае активного
приёмника и табл. 2 для активно-реактивного приёмника;
7. В соответствии с данными измерений (активный приемник) и
результатами расчёта (активно-реактивный приёмник) построить векторные диаграммы, треугольники мощностей (по указанию преподавателя).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Издательский центр «Академия», 2005 (подразделы
3.3, 3.8).
2. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.
Учебник для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 (подразделы 3.5, 3.6).
3. Электротехника: Учебник для неэлектрических спец. ВУЗов /
Под ред. В.Г.Герасимова. М.: Высшая школа, 1985 (подразделы 3.6 –
3.9).
4. Общая электротехника: Учебное пособие для ВУЗов / Под ред.
А.Б.Блажкина. Л.: Энергоатомиздат, 1986 (подразделы 4.2, 4.3).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Соединение фаз приёмника треугольником. Дать определение
и нарисовать схему соединения фаз.
2. Соотношения между фазными и линейными параметрами режима работы приёмника.
3. Мощность в трёхфазной цепи. Определение P, Q, S .
4. По указанию преподавателя объяснить расчёт параметров и
построение векторной диаграммы.
– 212 -
a
B
C
E A
E B
E C
Линия С
Линия А
x
y
Линия С
Z
zb
Линия В
Y
Линия В
za
X
c
b
zc
z
Линия А
A
Рис. 1.
A(Z)
a (z)
E A
E C
zc
E B
C( Y )
za
zb
B( X )
c( y )
Рис. 2.
– 213 -
b( x )
IA
A
E A
U CA
U AB
a (z)
N
– 210-
E C
E B
U a , Ia
U c , Ic
za
zc
C
U b , Ib
B
c( y )
IB
IC
U BC
Рис. 3.
– 214 -
zb
b(x)
1
 120 
 Ib
 120
a   b  c
U AB  U a
 120
IC
 120 


Ia
A
– 211 -
Ic
j
a
c
С
b
B
Ib
U CA  U c
IB
 A   B  C
 Ia
Рис. 4.
– 215 -
 Ic
IA
 120 
U BC  U b
 120 
1
U AB  U a
a
ICA
Ia
j
0
Ic
c
IAB
Ib
IBC
U CA  U c
U BC  U c
b
Рис. 5.
1
U AB  U a
Ia
IC
j
IA
0
Ib
Ic
IB
U CA  U c
Рис. 6.
– 216 -
U BC  U c
1
U AB  U a
Ia
IA
j
IB
0
Ic
U CA  U c
Ib
U BC  U b
IC
Рис. 7.
IA
A
a
Ic
~50Hz , 220 V
3
IC
C
za
zc
Ia
zb
b
c
Ib
IB
B
Рис. 8.
– 217 -
1
U AB  U a
IA   Ic
j
0
Ic
U CA  U c
Ib  IB
IC
U BC  U b
Рис. 9.
1
U AB  U a
j
c
Ic
0
IС
b
U CA  U c
IBC  Ib
Рис. 10.
– 218 -
IA   Ic
U BC  U b
A
a
Ic
~50Hz , 220 V
3
za
zc
IС
zb
C
c
b
Ib
IB
B
Рис. 11.
1
j
Ia
 120 
0
IC
U c
U a
b
Ic
Ia
U BC  U b
Ib
IB
Рис. 12.
– 219 -
A
IA
pA1
a

zc
Pa
pW1
pA 4
pA 6
Ia
Ic
3~50Hz , 220 V

– 216 -
pW3
za
 Pc

pA 5
pA 2
C
B
IC
IB
c
Ib
zb
pA 3
Рис. 13.
– 220 -
 pW2
Pb

b
pA1
*
IA
A
*
pW1
a
P1
pA 6
Ic
pA 4
– 217 -
~50Hz , 220 V
3
Rc
pA 2
C
IC
IB
Ib
pW2
*
Ia
pA 5
c
pA 3
B
Ra
P2
*
Рис. 14.
– 221 -
Rb
b
Таблица 1
Данные измерений режимов работы трёхфазного активного приёмника
Данные
измерений
Режим
работы
приёмника
IA
IB
IC
Ia
Ib
Ic
Ua
Ub
Uc
P1
P2
P3ф
А
А
А
А
А
А
В
В
В
Вт
Вт
Вт
– 218 -
Симметричный
Несимметричный
Обрыв фазы
Обрыв
линейного
провода
– 222 -
Таблица 2
Результаты измерений режимов работы трёхфазного активно-реактивного приёмника
Данные
измерений
Режим
работы
приёмника
Результаты измерений
IA
IB
IC
Ia
Ib
Ic
Ua
Ub
Uс
Pa
Pb
Pc
A
A
A
A
A
A
А
А
А
Вт
Вт
Вт
Симметричный
– 219 -
Несимметричный
Обрыв фазы…
Обрыв
линейного
провода…
– 223 -
Продолжение таблицы 2
Результаты вычислений параметров режимов работы трёхфазного активно-реактивного приёмника
Данные
измерений
Режим
работы
приёмника
Симметричный
Результаты вычислений
a
b
с
Qa
Qb
Qc
SA
SB
SC
P3ф
Q3ф
S3ф
град
град
град
ВАр
ВАр
ВАр
BА
BА
BА
Вт
ВАр
ВА
– 220 -
Несимметричный
Обрыв фазы…
Обрыв
линейного
провода…
– 224 -