Пособие "Тени" (построение теней, основы начертательной геометрии) 2021
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ» А.А. Крысько, О.С. Воронова ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ И АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Макеевка 2020 УДК 514.182.3 ББК 22.151.3 К85 Рекомендовано к изданию Ученым советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» 29 июня 2020 г., протокол № 10 Рецензенты: И. Г. Балюба, доктор технических наук, профессор Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»; Н. В. Шолух, доктор архитектуры, доцент Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры». К85 Крысько, А.А. Теория изображений и практические методы построения теней в ортогональных и аксонометрических проекциях : учебно-методическое пособие / А.А. Крысько, О.С. Воронова ; ГОУ ВПО «ДОННАСА». – Макеевка, 2020. – 105 с. Учебно-методическое пособие предназначено для изучения теории изображений и практических методов построения теней в ортогональных и аксонометрических проекциях. В учебно-методическом пособии рассмотрены такие вопросы как построение теней в ортогональных проекциях; тени фрагментов зданий, аксонометрия и тени в аксонометрических проекциях; тени поверхностей вращения типа ваза. В приложениях предусмотрены задания для индивидуальных работ и примеры их выполнения. Учебно-методическое пособие служит для изучения дисциплины «Начертательная геометрия» раздел «Тени в ортогональных и аксонометрических проекциях» для студентов направлений подготовки 07.03.01 «Архитектура», 07.03.03 «Дизайн архитектурной среды», 07.03.04 «Градостроительство», 35.03.10 «Ландшафтный дизайн». УДК 514.182.3 ББК 22.151.3 © А.А. Крысько, О.С. Воронова, 2020 © ГОУ ВПО «ДОННАСА» 2020 Содержание: РАЗДЕЛ 1. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ. МЕТОД СЛЕДА ЛУЧА, МЕТОД ВЫНОСА……………………………. 1.1. Тень точки – способ следа луча, способ выноса…………………… 1.2. Тень прямой общего положения…………………………………….. 1.3. Тени прямых частного положения………………………………….. 1.4. Тени плоских фигур………………………………………………….. 1.5. Тень окружности……………………………………………………... 1.6. Тени поверхностей. Понятие собственной и падающей тени…….. РАЗДЕЛ 2. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ. МЕТОД ЛУЧЕВЫХ СЕЧЕНИЙ, МЕТОД ОБРАТНЫХ ЛУЧЕЙ. ТЕНИ ФРАГМЕНТОВ ЗДАНИЙ………………………………………………... 2.1. Тень точки на плоскость общего положения……………………….. 2.1.1. Способ лучевых сечений…………………………………………... 2.1.1. Способ обратного луча…………………………………………….. 2.2. Тени схематизированного здания, состоящего из призматических форм………………………………………………………………………... 2.3. Тени фрагментов зданий……………………………………………... 2.3.1. Тени в нишах………………………………………………………... 2.3.1. Тени козырьков……………………………………………………... 2.3.2. Тень от свеса крыши на фасад…………………………………….. 2.3.3. Тень, падающая от трубы на крышу……...……………………….. 2.3.4. Тень от барьера на ступенях лестницы…………………………… РАЗДЕЛ 3. АКСОНОМЕТРИЯ. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ……………………………………………………………… 3.1. Типы аксонометрических проекций………………………………… 3.2. Стандартные виды аксонометрических проекций…………………. 3.3. Построение аксонометрического изображения…………………….. 3.3.1. Построение окружностей в прямоугольной изометрии…………. 3.4. Тени в аксонометрии…………………………………………………. РАЗДЕЛ 4. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ «ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ И АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ»…………………………………………………………….. РАЗДЕЛ 5. ТЕНИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ТИПА ВАЗ……… 5 5 6 7 8 9 10 14 14 14 14 16 18 18 19 21 22 23 24 25 26 28 29 31 40 43 5.1. Общие положения геометрического построения…………………... 5.1.1. Скругление углов…………………………………………………... 5.1.2. Построение касательных прямых…………………………………. 5.1.3. Внешнее и внутреннее сопряжение окружности и прямой……… 5.1.4. Внешнее и внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса………………………………………………………… 5.1.5. Смешанное сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса……………………………………………...……………………… 5.2. Криволинейные обломы……………………………………………... 5.3. Собственные тени поверхностей вращения………………………… 5.3.1. Тени основных геометрических форм – цилиндра и конуса……. 5.4. Способ касательных конусов и цилиндров…………………………. 5.5. Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании…….. 5.6. Построение падающих теней на комбинированных поверхностях вращения…………………………………………………………………… 5.6.1. Метод фронтального осевого экрана……………………………… 5.6.2. Построение теней на комбинированной поверхности вращения типа «Ваза»………………………………………………………………… 5.6.3. Метод биссекторного экрана………………………………………. 5.7. Тень от квадратной плиты на колонну……………………………… 5.8. Построение падающих теней на архитектурных деталях ………… 5.8.1. Тени капители колоны……………………………………………... 5.8.2. Тени в цилиндрической нише со сферическим верхом………….. РАЗДЕЛ 6. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ «ТЕНИ ВАЗЫ»……………………………………………………………. 6.1. Построение контура вазы на листе………………………………….. 6.2. Построение собственных теней вазы……………………………….. 6.3. Построение падающих теней вазы………………………………….. Список рекомендованной литературы…………………………………... Приложение А (Варианты заданий для выполнения графической работы «Тени в ортогональных и аксонометрических проекциях»)…... Приложение Б (Варианты заданий для выполнения графической работы «Тени вазы»)……………………………………………………… 43 43 44 46 47 48 49 51 51 54 56 59 59 60 63 64 64 65 66 69 69 70 73 77 78 92 4 РАЗДЕЛ 1. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ. МЕТОД СЛЕДА ЛУЧА, МЕТОД ВЫНОСА Проекционные чертежи архитектурных объектов, выполненные в одних линиях, не дают достаточно полного представления о запроектированном объекте. Для придания объемности и наглядности ортогональным чертежам зданий и сооружений выполняется построение теней. Тени строятся от естественного освещения, т.е. солнца. Так как солнце принимается бесконечно удаленной точкой, то лучи считаются параллельными. За направление лучей берется диагональ куба, грани которого совпадают с плоскостями проекций, а её проекции являются диагоналями граней куба, т.е. квадратов (рисунок 1.1). Истинный угол наклона равен 35°, а проекции лучей располагаются под углом 45° к оси (рисунок 1.1). Рисунок 1.1 1.1. Тень точки – способ следа луча, способ выноса Тенью точки на плоскости является точка пересечения светового луча, проведенного через данную точку, с плоскостью. Если тень точки падает на плоскость проекций, то для её построения используется способ следа луча. Т.е. через проекции точки проводим проекции лучей и строим след. На 5 рисунке 1.2 след луча фронтальный, следовательно, тень падает на фронтальную плоскость – А2t. Рисунок 1.2 Кроме способа следа луча может быть использован метод выноса. Особенно важен этот метод при построении теней на фасадах зданий. Вынос – это расстояние от точки до фронтальной плоскости или плоскости фасада, если тень строится на фасаде. На рисунке 1.3 y – это вынос. Рисунок 1.3 1.2. Тень прямой общего положения Тенью прямой на плоскость является линия пересечения лучевой плоскости, проведенной через прямую, с заданной плоскостью. Т.е. тенью прямой на плоскость является прямая линия. Поэтому для построения тени прямой на плоскость, достаточно построить тени двух ее точек. Если же тень от прямой падает на две плоскости, то она имеет точку излома, лежащую на лини пересечения плоскостей. На рисунке 1.4 точка излома лежит на оси X12. Для ее нахождения, необходимо строить мнимую 6 тень (В1t), т.е. определить горизонтальный след луча, проведенного через точку В. Рисунок 1.4 1.3. Тени прямых частного положения Тени прямых частного положения на плоскостях проекций располагаются всегда определенно и часто служат «опорными» при построении теней различных деталей, включающих такие прямые. Рассмотрим эти случаи. Тень от прямой, на плоскость, ей параллельную, располагается параллельно прямой, т.е. параллельно Рисунок 1.5 проекции прямой на эту плоскость (рисунок 1.5). Тень от прямой на плоскость, ей перпендикулярную, располагается по проекции, т.е. под углом 45º (рисунок 1.6). 7 Рисунок 1.6 Если точка лежит на плоскости, то тень совпадает с самой точкой и такая точка называется сама себе тень. На рисунке 1.6 это точка В. Рисунок 1.7 Тень на фронтальной плоскости от горизонтальной прямой, расположенной под углом 45º к ней, вертикальна (рисунок 1.7) 1.4. Тени плоских фигур Чтобы построить тень от плоской фигуры, например, треугольника, падающую на плоскости проекций, достаточно построить тени от вершин (рисунок 1.8). Т.к. тень падает на две плоскости необходимо определять линию излома тени, а, следовательно, строить мнимую тень от вершины В. 8 Рисунок 1.8 Тень от плоской фигуры на плоскость, ей параллельную, изображается фигурой, равной ей по величине. Поэтому достаточно построить тень от одной точки и вычертить тень в виде той же фигуры. Так, для построения тени от окружности (рисунок 1.9) достаточно определить тень от центра и вычертить тень в виде такой же окружности. Рисунок 1.9 1.5. Тень окружности Тень окружности обычно строится по восьми точкам. Из них четыре – точки касания окружности к сторонам описанного около окружности 9 квадрата, и четыре – точки пересечения окружности с диагоналями этого квадрата (рисунок 1.10). Тень от квадрата – это параллелограмм, которого BD диагональ вертикальна. Точки 1,3,5,7 точки касания к параллелограмму. лежащие на Точки, диагоналях, делят радиус в отношении Они 0,707. могут получены быть без горизонтальной проекции. Для этого на радиусе строим равнобедренный треугольник с углами при основании 45º и дугой Рисунок 1.10 окружности определяем положение точек 2,8 и 4,6. Проведем из них лучи до пересечения с диагоналями. Полученные восемь точек соединяем плавной линией, которая будет эллипсом. Практически тень окружности по восьми точкам строят без горизонтальной проекции, которая здесь приведена только для пояснения. 1.6. Тени поверхностей. Понятие собственной и падающей тени Для поверхностей характерны следующие понятия: Собственная неосвещенная тень часть (ф) – поверхности (предмета) рисунок 1.11. Рисунок 1.11 10 Контур собственной тени (m) – граница между освещенной и неосвещенной частью поверхности (предмета). Падающая тень (фt) – тень, падающая от одного предмета на другой, или на плоскость. Контур падающей тени (mt) – контур, ограничивающий падающую тень. Фактически контур падающей тени – это тень от контура собственной тени. Поэтому, обычно, сначала определяют контур собственной тени, а затем уже строят падающую. Рассмотрим построения теней примеры трехгранной призмы (рисунок 1.12) и прямого кругового конуса (рисунок 1.13). Проведя лучи на горизонтальной проекции, которые являются касательными к крайним ребрам призмы, определяем контур собственной тени. Она является пространственной ломаной 1,2,3,4,5. Т.к. точки 1 и 5 лежат на плоскости П1 они являются тенями. Поэтому для построения контура падающей Рисунок 1.12 тени достаточно построить тени точек 2,3,4. Проанализировав построенную тень, мы видим, что тени от ребер 1,2 и 5,4 совпадают с направлением лучей, т.к. они перпендикулярны к плоскости П1. А тени от ребер 2,3 и 3,4 параллельны этим ребрам и равны по величине, т.к. они параллельны плоскости. 11 Учитывая это, построение контуров падающих теней многогранников может быть значительно упрощено. Для конуса логично сначала построить падающую тень, а затем собственную (рисунок 1.13). Рисунок 1.13 Для построения падающей тени, строим тень от вершины конуса (S1t). Из полученной точки проводим касательные к окружности основания. Эти касательные образуют контур падающей тени (она является тенями от образующих конуса). Поэтому, соединив точки А и В с вершиной конуса S, получим границы собственной тени конуса. А затем уже строим фронтальную проекцию контура собственной тени. Аналогично строятся тени пирамидальных поверхностей. 12 Построение теней цилиндра представлено на рисунке 1.14. Для построения тени кругового основания строим тень от центра и получаем точку S1t, приняв точку за центр окружности, строим тень, равную основанию (проводим окружность заданного радиуса). Далее проводим касательные к окружности нижнего основания и окружности тени верхнего основания цилиндра. Точки касания С и D определяют теневые образующие цилиндра AС и BD. Рисунок 4.14 13 РАЗДЕЛ 2. ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ. МЕТОД ЛУЧЕВЫХ СЕЧЕНИЙ, МЕТОД ОБРАТНЫХ ЛУЧЕЙ. ТЕНИ ФРАГМЕНТОВ ЗДАНИЙ 2.1. Тень точки на плоскость общего положения 2.1.1. Способ лучевых сечений Для построения тени точки М на плоскость α (∆АВС) (рисунок 2.1), проведем через точку М луч и определим точку пересечения луча с плоскостью α. Задача сводится к нахождению точки пересечения прямой (луча) с плоскостью. Через луч проводим горизонтально-проецирующую лучевую плоскость σ. Строим линию пересечения 1-2 плоскости σ и заданной плоскости α. Определяем точку пересечения полученной линией луча с пересечения. Эта точка Mt (M1t, M2t) и будет тенью точки М на плоскости α. Рисунок 2.1 2.1.1. Способ обратного луча Рассмотрим построение тени от двух прямых SF и SB на непрозрачную пластинку ECDF (рисунок 2.2). 14 Тень от проецирующей прямой SА строится аналогично предыдущему примеру (рисунок 2.1) методом лучевых сечений. На горизонтальной проекции тень совпадает с направлением луча, на фронтальной – идет по лучевому сечению. Тень от точки S на пластину ESDF не падает. Для построения тени от наклонной прямой SB на пластину ESDF, необходимо построить сначала тень, падающую на плоскость П1. Для чего строим тень от точки S, падающую на П1, и полученную точку S1t соединяем с точкой В1, т.к. точка В лежит на плоскости П1. Рисунок 2.2 Далее строим тень от пластины ESDF на плоскость П1, для чего строим тени точек С и D и соединяем их с точками Е1 и F1, лежащими на плоскости П1. Полученные тени пересекаются B1S1t и C1tD1t в точке 41t. Из точки пересечения теней проводим обратный луч под углом 45º на прямую C1D1. 15 По вертикальной линии связи находим фронтальную проекцию этой точки. Обратите внимание, что точки 1 и 3 являются точками излома теней, падающих на горизонтальную плоскость и на наклонную плоскость α. Необходимо отметить, что данную задачу можно решить, используя построение мнимой тени от точки S на пластину ESDF (рисунок 2.3). Рисунок 2.3 2.2. Тени схематизированного здания, состоящего из призматических форм Здание состоит из двух призматических форм (рисунок 2.4). Обычно сначала строятся тени от двух этих форм падающие на плоскость П1 (т.е. на землю). 16 Рисунок 2.4 Для построения падающих теней определяем контур собственной тени каждой из призм (рисунок 2.4б). Высотная часть здания представляет прямую призму, контур собственной тени которой 1,2,3,4,5, причем точки 1 и 5 лежат на плоскости, поэтому тени строим от трех точек 2,3,4. Контур собственной тени второй призмы – 6,7,8,9. Точка 6 лежит на П1, поэтому строим тени от точек 7,8,9 (рисунок 2.4а). Две полученные тени пересекаются, определяем общий контур тени. Видим, что точки 2t и 9t являются мнимыми. Поэтому тень от точки 2 очевидно упадет на пристройку, а точка 9 будет в тени и фактически тень не отбросит. Для построения тени, падающей от высотной части здания на пристройку, используем метод лучевых сечений. Заключаем луч, проведенный через точку 2, в плоскость δ. Строим сечение призмы – пристройки плоскостью δ. Луч, проведенный из точки 2, пересекает линию сечения в точке 2t(21t, 22t). Т.е. тень падает на наклонную плоскость. Тень от 17 вертикальной прямой 1,2, на горизонтальной проекции совпадает с направлением луча, на фронтальной – идет по сечению. Тень от прямой 2,3 на фронтальной проекции совпадает с направлением луча, на горизонтальной – идет по сечению. При построении теней зданий очень важно помнить положение теней прямых частного положения, это значительно упрощает процесс построения. 2.3. Тени фрагментов зданий К фрагментам зданий относятся ниши, козырьки, трубы, лестницы и т.п. Рассмотрим построение теней некоторых из них. 2.3.1. Тени в нишах Призматическая ниша Призматическая ниша с цилиндрическим верхом Рисунок 2.5 Две изображенные ниши относятся к нишам с плоским днищем, т.е. контур ниши отбрасывает тень на плоскость днища ниши, параллельной 18 контуру. Поэтому тени в нишах с плоским днищем повторяют контур ниши. Для построения таких теней достаточно построить тень одной точки, как показано на рисунке 2.5. Если дан лишь фасад здания, необходимо знать глубину ниши и тень построить методом выноса. Рисунок 2.6 В цилиндрической нише (рисунок 2.6) сначала определяем собственную тень. Для чего удобнее провести нормаль (т.е. радиус под углом 45º). Получим контурную образующую собственной тени. Падающую тень будут отбрасывать две прямые кромки ниши – вертикальная и продольная. Тень от вертикальной прямой падает на ось ниши. Тень от продольной прямой будет представлять четверть окружности. 2.3.1. Тени козырьков На рисунке 2.7а представлено построение тени от призматического козырька на фронтальную плоскость проекций. Данную тень можно 19 определить тенью от его ребер: фронтально-проецирующего 1,2, горизонтального 2,3, вертикального 3,4, и фронтально-проецирующего 4,5. Тень от фронтально-проецирующих ребер (1,2 и 4,5) на фронтальной проекции падает по лучу, а от параллельных стене ребер 2,3 и 3,4 параллельна им и равна по величине. Поэтому достаточно построить тень только одной точки 2. Тень полукруглого козырька на стене определяется тенью двух дуг окружностей 1,2,3,4 и 5,6, и его нижней и верхней кромок, и образующей 4,5, являющихся контуром собственной тени козырька (рисунок 2.7б). а) б) Рисунок 2.7 Плоскости окружностей 1,2,3,4 и 5,6 перпендикулярны плоскости стены, а образующая 4,5 – ей параллельна. Точка 11 – сама себе тень; из точки 22 проводим луч до пересечения с осевой линией козырька – таким образам находим тень точки 2 – 2t. Из точки 32 проводим луч до пересечения с вертикалью, проведенной из правой кромки козырька, получаем тень точки 3 – 3t; из точки 2t проводим горизонтальную линию до пересечения с лучом проведенным из точки 42 – получим точку 42t; из точки 42t необходимо 20 провести вертикальную прямую и на ней отложить отрезок 42t,52t, равный отрезку 42,52; точка 62 совпадает со своей тенью 62t. Соединив точки 12t, 22t, 32t, 42t и 52t, 62t плавными дугами эллипсов и точки 42t 52t прямой, получим тень полукруглого козырька на стене. Если под козырьком есть ниша, то тень козырька может попасть в нишу. Тень от козырька в нише будет ниже тени на стене на величину глубины ниши. Необходимые построения показаны на рисунке 2.8. а) б) Рисунок 2.8 2.3.2. Тень от свеса крыши на фасад Из этого чертежа можно сделать вывод: тень от продольной прямой на фасаде с вертикальными образующими зеркально повторяет план. 21 Рисунок 2.9 Этот вывод позволяет построить тень на фасаде от свеса крыши, построив тень одной точки (тень точки 1 на рисунке 2.9). Остальной контур тени зеркально повторяет план. 2.3.3. Тень, падающая от трубы на крышу На рисунке 2.10 дана труба призматической формы. Тень строится методом лучевых сечений. Если отсутствует план здания, то нужно иметь ввиду, что тени от вертикальных прямых на фасаде имеют угол наклона, равный углу наклона ската крыши ( ےα). 22 Рисунок 2.10 2.3.4. Тень от барьера на ступенях лестницы Контур барьера собственной тени (рисунок 2.11), отбрасывающий тень на ступени, представляет собой две прямые: горизонтально-проецирующую 1,2 и фронтально-проецирующую 2,3. Из точек 1 и начинается 3 Следовательно, построить необходимо тень построения используется тень. точки падающей метод 2. Для тени лучевых секущих плоскостей. Рисунок 2.11 23 РАЗДЕЛ 3. АКСОНОМЕТРИЯ. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ Ортогональные проекции, обладая рядом достоинств, имеют также и определенные недостатки, главным из которых является отсутствие наглядности полученных изображений. Более наглядными, позволяющими выполнять достаточно простыми измерения, являются по начертанию и аксонометрические проекции. Аксонометрические проекции, также как и ортогональные, строятся по принципу параллельного проецирования, но на одну плоскость. Аксонометрией называется метод отображения пространства на плоскость вместе с системой координат и изображение, полученное этими методом. Рисунок 3.1 На рисунке 3.1 показан принцип получения аксонометрии, точки А. Точка А связана с системой прямоугольных координат OXYZ. На осях отложены единичные отрезки еx = еy = еz = е. Это натуральные масштабные единицы. S – направление проецирования. 24 П' – плоскость аксонометрических проекций (иногда называется картинной плоскостью). По направлению проецирования, спроецируем единичные отрезки на аксонометрическую плоскость проекций, получим аксонометрическую систему координат O'X'Y'Z'. Точка А' – аксонометрическая проекция точки А, Точка А1' – аксонометрия горизонтальной проекции А1, называемой вторичной проекцией. Отрезки еx', еy', еz' на аксонометрических осях могут быть не равны между собой и не равны е. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям – аксонометрические масштабные единицы. Отношения аксонометрических единиц к натуральным называются показателями искажения по аксонометрическим осям. U = еx' / еx – коэффициент искажении по оси X'; V = еy' / еy – коэффициент искажения по оси Y'; W = еz' / еz – коэффициент искажения по оси Z'. Основной теоремой аксонометрии является теорема Польке-Шварца: всякий невырождающийся полный четырехугольник можно считать параллельной проекцией тетраэдра наперед заданной формы. С доказательством теоремы можно познакомиться в учебниках (1, 2). Эта теорема позволяет установить зависимость между углом проецирования и коэффициентами искажения. 3.1. Типы аксонометрических проекций В зависимости от угла проецирования φ аксонометрия делится на два типа: прямоугольная и косоугольная. Если направление проецирования является перпендикулярным к плоскости аксонометрических проекций – аксонометрия называется прямоугольной (φ =90º), в противном случае – косоугольной (φ≠90º). 25 По показателям искажения аксонометрия делится на три типа. Если все показатели искажения равны, т.е. U = V = W, аксонометрия называется изометрией. Если два показателя искажения равны, т.е. U = W ≠ V, то аксонометрия называется диметрией. Если все показатели искажения различны, т.е. U ≠ V ≠W, то аксонометрия называется триметрией. Натуральные показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольной изометрии одинаковы и равны 0,82. В прямоугольной диметрии U = W = 0,94; V = 0,47. Однако, при построении аксонометрии натуральные коэффициенты заменяют приведенными, т.е. выраженными целыми числами, что дает увеличение аксонометрического изображения, но на наглядность не влияет. 3.2. Стандартные виды аксонометрических проекций В таблице 3.1 приведены наиболее применяемые стандартные виды аксонометрических проекций. 26 Таблица 3.1 Изометрия U=V=W=1 Диметрия U=W=1, V=0,5 Фронтальная изометрия Фронтальная диметрия Прямоугольная Косоугольная Горизонтальная изометрия Примечание: коэффициенты искажения даны приведенные. 27 3.3. Построение аксонометрического изображения Задача 3.1. Даны ортогональные проекции схематизированного здания (рисунок 3.2). Построить прямоугольную изометрию. Рисунок 3.2 Рисунок 3.3 Прежде всего, выбираем положение ортогональных осей для получения более наглядного изображения (рисунок 3.2). Строим оси аксонометрических проекций под углом 120º (рисунок 3.3). Построение аксонометрии начинаем с плана, т.е. со вторичной проекции. Так как коэффициенты искажения равны 1, то измеряем, координаты X и Y каждой точки плана и откладываем их на аксонометрических осях. Прямые, параллельные в ортогональных проекциях, будут оставаться параллельными и в аксонометрии. После построения плана откладываем все высоты параллельно оси Z, т.е. вертикально. Соединив полученные точки с учетом видимости, получим аксонометрию здания. 28 3.3.1. Построение окружностей в прямоугольной изометрии Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в эллипсы. В прямоугольной изометрии все три эллипса одинаковы по форме, равны друг другу, но расположены различно (рисунок 3.4). Их малые оси всегда располагаются по направлению отсутствующей в данной плоскости аксонометрической оси, а большая ось к ней перпендикулярна. Рисунок 3.4 На рисунке 3.5 представлено построение окружности диаметром D в прямоугольной изометрии. 29 а) б) в) Рисунок 3.5 30 Построение окружности в прямоугольной изометрии выполняется следующим образом: 1. Вычерчивается ромб, в который должен вписываться эллипс, изображающий данную окружность в изометрической проекции. Для этого из точки О1 проводится окружность необходимого диаметра, в результате чего на осях отмечаем точки 1, 2, 3 и 4 (рисунок 3.5а). Через полученные точки проводятся прямые, образующие ромб. Его стороны равны диаметру изображаемой окружности. 2. Из вершин тупых углов (точек А и В) между точками 1 и 2, а также точками 3 и 4 описываются дуги радиусом R, равным длине прямых А,1 или А,2 (рисунок 3.5б). 3. Точки С и Е, лежащие на пересечении диагонали ромба с прямыми В,4 и В,3, являются центрами малых дуг, сопрягающих большие. Малые дуги описывают радиусом r, который равен отрезку С,4 (Е,3) (рисунок 3.5в). 3.4. Тени в аксонометрии Для придания более наглядного и реалистического изображения архитектурным объектам строят тени. Для построения теней задается положение луча света и его вторичной проекции. В принципе направление лучей выбирается произвольным. Рисунок 3.6 31 На рисунке 3.6 показано построение тени точки А. Через горизонтальную проекцию А1 проводим луч, параллельный вторичной проекции луча ℓ1. Через саму точку А – луч, параллельный лучу ℓ. В пересечении лучей получаем At – тень точки А, падающую на горизонтальную плоскость. Так как аксонометрия является параллельной проекцией, как и ортогональные проекции, то все закономерности, отмеченные в разделе 1 и разделе 2 справедливы и для аксонометрии. Например. Тень от прямой, перпендикулярной плоскости, совпадает с направлением проекции луча на эту плоскость. Тень от прямой, параллельной плоскости, ей параллельна и равна по величине. Тень от прямой на плоскость, которую она пересекает, проходит через эту точку пересечения. Задача 3.2. Построим тени аксонометрии схематизированного здания (рисунок 3.7). Рисунок 3.7 32 Принимаем направление лучей ℓ и ℓ1 под углом 45º. Определяем контур собственной тени при данном освещении. Для высотной части, как и в ортогональных проекциях, контур собственной тени 1,2,3,4,5. Для пристройки – 6,7,8,9. Сначала строим тени, падающие на горизонтальную плоскость, т.е. на землю. Затем строим тень, падающую от высотной части на пристройку, используя метод лучевых сечений. Сечение представляет собой трапецию. Тень от точки 2 падает на наклонную плоскость. По построению мы видим, что тень от ребра 1,2 падает на землю, затем на вертикальную стену и на крышу, т.е. идет по сечению. Далее, чтобы построить тень от прямой 2,3 на наклонной плоскости, находим точку пересечения прямой 2,3 с наклонной плоскостью и соединяем 2t с этой точкой. При оформлении чертежа нужно всегда иметь ввиду, что собственная тень всегда светлее падающей. Задача 3.3. Построить тени призматического козырька на плоскость стены (рисунок 3.8) Рисунок 3.8 33 При заданном направлении лучей определяем контур собственной тени 1,2,3,4,5. Точки 1 и 5 лежат на стене, поэтому строим тени точек 2,3,4. Для построения теней используется метод лучевых секущих плоскостей. Через вторичные проекции точек 21,31,41, проводим лучи, параллельные ℓ1, через точки 2,3,4 – лучи, параллельные ℓ. Находим точки пересечения лучей с плоскостью стены. Соединяем полученные точки отрезками прямых. В принципе можно было определить всего лишь одну точку 2t , т.к. прямые 2,3 и 3,4 параллельны плоскости стены и тени от них им параллельны и равны по величине. Задача 3.4. Построить тени полукруглого козырька на плоскость стены (рисунок 3.9). Тени полукруглого козырька строятся аналогично задаче 3.3. Рисунок 3.9 34 Определяем контур собственной тени 1,2,3,4,5,6. Точки 1 и 6 лежит на стене, поэтому строим тени точек 2,3,4 и 5. Для построения теней также используется метод лучевых секущих плоскостей. Через вторичные проекции точек 21,31,41 и 51 проводим лучи, параллельные ℓ1, через точки 2,3,4 и 5 – лучи, параллельные ℓ. Находим точки пересечения лучей с плоскостью стены. Полученные точки соединяем плавной кривой линией. Задача 3.5. Построение теней в нишах (рисунок 3.10 и рисунок 3.11). Ниши могут иметь различное очертание откосов и днища. Направление освещения желательно назначить таким, чтобы падающие тени от откосов занимали меньшую часть площади днища. В любом случае вначале определяют контур собственных теней, от которого необходимо построить падающие тени в нишу. Контур собственных теней образуют углы (ребра) откосов. а) а) б) а) в) а) Рисунок 3.10 На рисунке 3.10 изображены три ниши, которые имеют плоские днища. Для каждой ниши задана схема освещения. Контур падающих теней 35 повторяет контур собственных теней, т. к. оба контура лежат в параллельных плоскостях. В первом случае (рисунок 3.10а) требуется построить тень в прямоугольной нише. Элементами контура собственных теней, отбрасывающими падающие тени, являются ребра откосов 1,2 и 2,3. Ребро 1,2, как горизонтально проецирующее, отбрасывает тень по следу лучевой плоскости. По вертикали тень ограничивается точкой 2t, в которой заканчивается вертикальный световой луч 2,2t, далее тень идет в направлении, параллельном горизонтальному ребру 2,3. Второй случай (рисунок 3.10б) отличается от первого только тем, что тенеобразующее ребро 2,3 расположено не горизонтально, а наклонно. Граница падающей тени из точки 2 направлена параллельно 2,3 и далее переходит в невидимую область. Все построения наглядно представлены на рисунке 3.10б. Третий случай (рисунок 3.10в) вначале решается аналогично первым двум, включая построение точки 2t. Далее из промежуточных точек 3 и 4 строится тень от кривой на вертикальную стенку ниши. Тень от верхней точки свода 4 падает на невидимый участок ниши. Точки 2t, 3t и 4t соединяем плавной кривой. На рисунке 3.11 изображены ниши, которые имеют полуцилиндрические днища. Для построения теней также выбирается произвольное направление лучей. Световые лучи, проходящие через горизонтальное ребро, образуют наклонную лучевую плоскость, которая пересекает полуцилиндрическое днище ниши по эллипсу (рисунок 3.11а). Этот эллипс является границей падающей тени, которую можно построить с помощью вертикальных лучевых плоскостей, проходящих через промежуточные точки 3, 4 и 5 горизонтального ребра. Взятая в середине ребра точка 5 отбрасывает тень в невидимой части ниши 2t, поэтому имеет смысл другие промежуточные точки 3, 4 и т. д. брать только в левой части горизонтального ребра. 36 а) б) Рисунок 3.11 На рисунке 3.11б представлена полуцилиндрическая ниша со сферическим сводом (точка 5 – это центр сферы, образующей свод). Тень от ребра 1,2 направлена по следу лучевой плоскости и заканчивается в точке 2t. Далее, граница падающей тени образована дугой 2,5. Строится она от произвольных точек дуги 3, 4, а представляет собой линию пересечения двух цилиндрических поверхностей: наклонной лучевой и вертикальной, образованной стенками ниши. Тень от зенитной точки свода 5 падает на невидимый участок ниши. Поэтому произвольные точки свода 3, 4 и т. д. следует располагать только на участке дуги от точки 2 до точки 5. Тени от зенитной и произвольных точек строят при помощи вертикальных лучевых плоскостей. Все построения представлены на рисунке 3.11б. Задача 3.6. Рассмотрим построение тени на ступенях лестницы (рисунок 3.12). 37 Рисунок 3.12 Найдем тень от точки 1. Для построения теневой точки 1t найдем проекцию точки 1 на горизонтальной плоскости нижней проступи – 11. На пересечении лучей получаем теневую точку 1t. Аналогичным образом находим тень точки 2– точку 2t, принадлежащую горизонтальной плоскости верхней проступи. Для построения тени ребра 1,2 необходимо найти теневую точку 1't. Соединив точки 2t и 1't получаем тень на верхней проступи. Исходя из этого, тени от ребра 1,2, падающие на другие проступи, будут параллельны между собой. Найдем тени на вертикальных плоскостях ступеней. Для этого определим точку 3 пересечения ребра 1,2 с подступенком верхней ступени. Соединив точку 3 с ранее найденной точкой 4t, получаем тень на верхнем подступенке от наклонного ребра. Задача 3.7. На рисунке 3.13 рассмотрим построение тени от прямого кругового цилиндра на горизонтальную плоскость проекций. 38 Рисунок 3.13 Собственная тень цилиндра ограничена линией основания и образующими. Для определения собственной тени боковой поверхности цилиндра необходимо построить точки касания светового луча с этой поверхностью и провести через них образующие 1,11 и 2,21. Для определения падающей тени цилиндра на горизонтальную плоскость необходимо найти теневую точку Оt, которая является центром для построения эллипса тени верхнего основания цилиндра. 39 РАЗДЕЛ 4. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ «ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ И АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ» Работа выполняется на двух форматах А3 карандашом, с илюминовкой теней. Пример оформления работы представлен на рисунках 4.1 и 4.2. Если формат расположен горизонтально, то 20мм для подшивки остается слева, если вертикально – сверху. В правом нижнем углу указывается фамилия, имя, отчество студента, выполнившего задание, группа и вариант задания. Задание вычерчивается карандашом марки ТМ толщиной 0,6-0,7 мм. Контуры собственных и падающих теней – марки Т толщиной 0,3-0,4 мм. Линии построения теней выполняются карандашом марки 2Т толщиной 0,1-0,2 мм. Для выполнения задания размеры архитектурного фрагмента необходимо увеличить в 2 раза. Все линии построения сохраняются. Удаляются только лишние и ошибочные линии. Илюминовка выполняется акварелью, при этом нужно учесть, что падающие тени отмываются более темным тоном, чем собственные. Архитектурный фрагмент окрашивается более светлым раствором, чем тени. Первый лист работы располагается вертикально и содержит выполнение теней архитектурного фрагмента в ортогональных проекциях (рисунок 4.1). В левом верхнем углу формата необходимо вычертить фронтальную проекцию архитектурного фрагмента, затем в проекционной связи выполнить горизонтальную проекцию. Расстояние между проекциями должно быть равно величине высоты архитектурного фрагмента плюс 30 мм. Второй лист работы располагается горизонтально (рисунок 4.2). На втором листе, используя ортогональные проекции архитектурного фрагмента (рисунок 4.1), необходимо построить его аксонометрическую проекцию и выполнить построение собственных и падающих теней. 40 Рисунок 4.1 41 Рисунок 4.2 42 РАЗДЕЛ 5. ТЕНИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ТИПА ВАЗ На фасадах зданий элементы, которые имеют форму поверхностей вращения типа ваз, балясин и т.п. занимают незначительное место и в практике архитектурного проектирования при выполнении чертежей фасадов зданий тени таких элементов, как правило, не строят, а прорисовывают. Однако для того чтобы правильно прорисовать тени, архитектору необходимо твердо знать закономерности распределения освещенных и затененных частей, характерные особенности линий контура собственных и падающих теней поверхностей вращения при принятых условиях солнечного освещения. 5.1. Общие положения геометрического построения 5.1.1. Скругление углов Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют скруглением углов. Его выполняют следующим образом (рисунок 5.1). Параллельно сторонам угла, образованного данными прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу. Точка пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения. Рисунок 5.1 43 Из полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла и на пересечении их получают точки сопряжения. Между этими точками проводят сопрягающую дугу радиусом R из центра О. 5.1.2. Построение касательных прямых Построение касательных к окружностям основано на том, что касательная прямая перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания. Построение касательной к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рисунок 5.2). Отрезок ОА, соединяющий данную точку А с центром О окружности, делим пополам и из полученной точки О1, как из центра, описываем вспомогательную окружность радиуса О1А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке В и в точке С, которые являются точками касания. Прямые АВ и АС будут касательными к окружности, т.к. угол АВО и угол АСО прямой, как вписанный во вспомогательную окружность и опирающийся на ее диаметр. Рисунок 5.2 Построение касательной к двум окружностям. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с 44 одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательной. Для построения внешней касательной к окружностям радиусов R1 и R2 (рисунок 5.3) поступаем следующим образом: – из центра О2 большей окружности проводим вспомогательную окружность радиуса R2 – R1; – отрезок О1О2 делим пополам; – с центром О3 проводим вспомогательную окружность радиуса О3О2; – отмечаем точки пересечения двух вспомогательных окружностей – М и N; – через точку О2 и полученные точки проводим прямые до пересечения с окружностью радиуса R2. Получаем точки В и D; – из центра О1 проводим прямые О1А и О1С соответственно параллельные О2В и О2D до пересечения с окружностью радиуса R1 в точках А и С. Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям. Рисунок 5.3 Построение внутренней касательной к двум окружностям с радиусами R1 и R2 (рисунок 5.4). Из центра одной из окружностей, например из О1, проводим вспомогательную окружность радиуса R1+R2. Делим отрезок О1О2 пополам и из полученной точки О3 проводим вторую вспомогательную окружность радиуса О1О3. Точки М и N пересечения вспомогательных 45 окружностей соединяем прямыми с центром О1 и на их пересечении с окружностью радиуса R1 получаем точки касания А и C. Из точки О2 проводим прямую, параллельную О1А и получаем точку касания В на окружности радиуса R2. Аналогично строится точка D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям. Рисунок 5.4 5.1.3. Внешнее и внутреннее сопряжение окружности и прямой Из центра O данной окружности радиуса R проводится дуга вспомогательной окружности радиуса R+Rс, а на расстоянии Rс – прямая, параллельная данной (рисунок 5.5). Полученная точка пересечения проведенной прямой и дуги вспомогательной окружности определяет положение центра дуги сопряжения Ос. Соединяя найденный центр Ос с центром О данной окружности и опуская перпендикуляр на прямую, находят точки касания A и B, между которыми проводят дугу сопряжения. 46 Рисунок 5.5 Построение внутреннего сопряжения такое же, как и в случае внешнего сопряжения, только дугу вспомогательной окружности проводят, принимая ее радиус равным R–Rс (рисунок 5.6). Рисунок 5.6 5.1.4. Внешнее и внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса Центр дуги сопряжения Ос определяется пересечением двух вспомогательных дуг окружностей радиуса R1+Rс с центром О1 и радиуса R2+Rс с центром О2 (рисунок 5.7). Точки сопряжения A и B находятся на линии центров Ос О1 и Ос О2. 47 Рисунок 5.7 Построение внутреннего сопряжения такое же, как и в случае внешнего сопряжения, только дуги вспомогательных окружностей имеют радиусы Rс – R1 и Rс – R2 (рисунок 5.8). Рисунок 5.8 5.1.5. Смешанное сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса Центр дуги сопряжения Ос определяется пересечением двух вспомогательных дуг окружностей радиуса Rс – R1 с центром О1 и радиуса Rс + R2 с центром О2 (рисунок 5.9). Точки сопряжения A и B находятся на линии центров Ос О1 и Ос О2. 48 Рисунок 5.9 5.2. Криволинейные обломы Сложные криволинейные обломы состоят из двух дуг. К ним относятся: гусёк прямой и обратный, каблучок прямой и обратный, скоция, сложный торус. В построении гуська и каблучка много общего. Для построения прямого гуська (рисунок 5.10) заданные точки А и В соединяют прямой линией. Отрезок AB делят пополам в точке С. Радиусом R = AC = CB из точек А, С и В проводят дуги до взаимного пересечения в точках O1 и O2 и из них тем же радиусом R описывают две дуги, являющиеся профилем прямого гуська. Рисунок 5.10 49 Вычерчивание одного из видов каблучка аналогично вычерчиванию прямого гуська, при этом меняется только положение центров O1 и O2 (рисунок 5.11). Рисунок 5.11 Сложный торус строят по заданному радиусу R (рисунок 5.12). Проводят прямую и на ней отмечают два центра – O1 и O2 на расстоянии 2R. Из центра O1 описывают четверть окружности радиусом R, а из центра O2 – радиусом 3R. Рисунок 5.12 Для построения скоции также задают радиус R (рисунок 5.13) и строят шесть квадратов со сторонами, равными заданному радиусу. Наметив точки O1 и O2, описывают две дуги радиусами R и 2R. 50 Рисунок 5.13 5.3. Собственные тени поверхностей вращения 5.3.1. Тени основных геометрических форм – цилиндра и конуса Построение собственных теней простейших геометрических поверхностей – цилиндра и конуса было рассмотрено выше. Для цилиндра теневые образующие определяются двумя лучевыми плоскостями, касательными к поверхности цилиндра. Для конуса теневые образующие определяются после построения падающей тени на плоскость основания. В данном случае рассмотрены рациональные приемы определения границ собственной тени прямого кругового цилиндра (рисунок 5.14) и кругового конуса (рисунок 5.15). Тень построена цилиндра без плана, может т.е. быть без горизонтальной проекции, что очень удобно в архитектурном проектировании. Теневые образующие проходят через точки А2, В2 отстоящие от оси цилиндра на 0,707 его радиуса (рисунок 5.14) Рисунок 5.14 51 Рациональный прием построения собственной тени кругового конуса приведен на рисунке 5.15. Для прямого конуса выполняются следующие построения (рисунок 5.15а). На основании конуса как на диаметре строится половина окружности. Из нижней точки окружности 1 проводится прямая 1,2, параллельная левой контурной образующей конуса. Из полученной точки 2 проводятся прямые под углом 45º к основанию конуса до пересечения с окружностью в точках А и В. Спроецировав точки А и В на основание конуса, определим границы собственной тени А2 S2 , В2 S2. Для перевернутого конуса – обратного, построения аналогичны предыдущему (рисунок 5.15б). Отличаются тем, что из точки 1 проводится прямая 1,2, параллельная правой образующей конуса. Следует обратить внимание на величину части поверхности, находящейся в собственной тени: для прямого конуса она меньше половины, для обратного – больше. Рисунок 5.15 Круговые конусы с наклоном образующих под углом 45º и 35º имеют важное значение при построении собственных теней поверхностей вращения. 52 Построение теней конуса с углом наклона образующей 45º приведено на рисунке 5.16. а) прямой б) обратный Рисунок 5.16 При построении падающей тени на плоскость основания фронтальная проекция луча совпадает на фронтальной проекции с контурной образующей конуса. Для дальнейшего использования необходимо запомнить, что тень занимает: у прямого конуса – четверть поверхности, у обратного – три четверти поверхности. Построение теней конуса с углом наклона образующей 35º приведено на рисунке 5.18. На рисунке 5.17 показано построение угла 35º. ABCD – квадрат. Строим прямоугольник со стороной, равной диагонали квадрата. Диагональ этого прямоугольника наклонена к горизонтали Рисунок 5.17 под углом 35º. 53 Из построения тени конуса с углом наклона образующей 35º видно, что границей тени будет служить одна образующая SA (теоретически), располагающаяся на фронтальной проекции под углом 45º. Практически, прямой конус будет полностью освещен, а обратный – весь в тени. Образующая SA называется бликовой образующей. Положение образующих – границы тени таких двух конусов надо твердо усвоить, т.к. они будут часто встречаться в последующем в качестве вспомогательных операций при построении теней. а) прямой б) обратный Рисунок 5.18 5.4. Способ касательных конусов и цилиндров Построение контура собственной тени поверхностей вращения осуществляется при помощи способа касательных конусов и цилиндров. Этот способ заключается в следующем: берется конус или цилиндр, касательный к поверхности вращения (т.е. описанный или вписанный в 54 данную поверхность); на окружности касания отмечаются точки границы собственных теней касательных поверхностей; эти точки будут принадлежать и границе собственной тени заданной поверхности на той же окружности прикосновения, т.е. на той же параллели. Используя указанным способом несколько конусов и цилиндров, определяется необходимое количество точек контура собственной тени. Для поверхностей второго порядка при построении теней достаточно восьми точек, используя один цилиндр (2 точки), прямой и обратный конусы с образующими под углом 45º (4 точки), прямой и обратный конусы с углами наклона образующих 35º (2 точки). Рисунок 5.19 На рисунке 5.19 построения контура собственной тени выполнены следующим образом. Точки 1 и 2 получены как на цилиндре. Точки 3 и 4 55 найдены как на касательном конусе с углом наклона образующей 45º. Точку касания 3 точно можно определить, проведя нормаль (радиус) из центра дуги очерка поверхности под углом 45º. Точка 4 лежит на одной горизонтали с точкой 3. Точка 5 найдена как на касательном конусе с углом наклона образующей 35º. Для ее построения из центра дуги очерка поверхности проводим прямую под углом 35º к оси поверхности вращения. Точка пересечения с очерком даст точку А – точку касания конуса с образующей под углом 35º. Проводим из точки касания эту образующую перпендикулярно радиусу до пересечения с осью поверхности вращения в точке S. Из точки S проводим прямую под углом 45º до пересечения с основанием конуса (горизонталь проведенная через точку А2). Промежуточные точки 6 и 7 найдены на лини касания конуса произвольного угла наклона образующей. Построение выполнено аналогично рисунку 5.15а. 5.5. Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании Тени сферы (рисунок 5.20). Собственная тень проецируется на плоскость П2 и П1 одинаковыми эллипсами. На рисунке 5.20 показано построение эллипса на фронтальной проекции. Точки 1 и 2 находятся как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 – как на прямом и обратном конусе с углом образующей 45º, причем диаметр 5,3 является большой осью эллипса. Точки 7 и 8 определяются на касательном конусе с углом образующей 35º. Точки 9 и 10 строятся симметрично 7 и 8 относительно большой оси. Точки 11 и 12 принадлежат малой оси эллипса, которая перпендикулярна большой оси 5,3. Построение точек осуществляется следующим образом. Из точки 5 проводим дугу радиуса сферы до пересечения с контуром. Полученные точки соединяем с точкой 3. Эти прямые пересекут малую ось в точках 11 и 12. 56 Рисунок 5.20 Тени тора (валика) (рисунок 5.21). Построение контура собственной тени на торе осуществляется по восьми точкам. Точки 1 и 2 определяются как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 определяются как на прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 45º. Точки 7 и 8 получены на касательном прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 35º. Необходимо помнить, что вершина конуса всегда лежит на оси поверхности вращения. 57 Рисунок 5.21 Тени тороида (скоции) (рисунок 5.22). Построение контура собственной тени скоции осуществляется также по восьми точкам. Только касательные конусы и цилиндр являются вписанными в данную поверхность. Точки 1 и 2 находятся как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 как на обратном и прямом конусе соответственно с углом наклона образующей 45º. Высшая и низшая точки 7 и 8 определяются с использованием касательных конусов с углом наклона образующей под углом 35º. 58 Рисунок 5.22 5.6. Построение падающих теней на комбинированных поверхностях вращения 5.6.1. Метод фронтального осевого экрана При построении теней архитектурных элементов, состоящих из поверхностей вращения, часто применяется построение падающей тени на фасаде от горизонтальной полуокружности без применения горизонтальной проекции. На горизонтальной рисунке 5.23 полуокружности, представлена которая фронтальная примыкает к проекция некоторой вертикальной плоскости. Для определения тени горизонтальной полуокружности на фронтальную плоскость проводим через точки 3 и 5 прямые под углом 45º, находим точку А. Затем радиусом 3,А проведем полуокружность, с помощью которой получим точки 2 и 4 (фронтальные проекции точек окружности, лежащих на диагоналях квадрата). Точка 2 отбрасывает тень на вертикальную ось – 2t; тень точки 4 находится на одной горизонтали с точкой 2t на расстоянии 2х от вертикальной оси; точка 3 отбрасывает тень на вертикаль, проведенную через точку 5. Соединив плавной кривой точки 1t, 2t, 59 3t, 4t и 5t, получим половину эллипса – тень от полуокружности. Рисунок 5.23 5.6.2. Построение теней на комбинированной поверхности вращения типа «Ваза» Рассмотрим построение теней на комбинированной поверхности вращения типа «Ваза» (рисунок 5.24). Комбинированная поверхность состоит из тора, цилиндров, сферы, скоции. Для того чтобы построить падающие тени, прежде всего необходимо построить собственные тени, так как контур падающей тени есть тень от контура собственной тени. Построение собственных теней элементов поверхности вазы были рассмотрены выше: тор (рисунок 5.21), цилиндр (рисунок 5.14), сфера (рисунок 5.20), скоция (рисунок 5.22). Необходимо отметить некоторые закономерности контуров собственных теней: – на лини касания двух разных поверхностей контуры собственных теней этих поверхностей имеют точки перелома (точки 62 и 62' на лини касания цилиндра и сферы). Линия падающей тени при этом будет плавной; – когда две соосные поверхности имеют общую линию пересечения, то контуры собственных теней не будут иметь общей точки (точки D2 и 122 на лини пересечения сферы и цилиндра). 60 Рисунок 5.24 61 Приступим к построению падающих теней. Тень от контура собственной тени тора 12 52 42 32 22 падает на освещенную поверхность цилиндра. Для ее построения используется метод вспомогательного осевого экрана. При этом точки 12 и 22 лежат на осевом экране. Точка 52, лежащая в лучевой плоскости, отбросит тень на ось (5t). Тень 4t и 3t от точек 42 и 32 строится методом выноса. Контур 12 5t 4t 3t 22 – контур тени падающей на фронтальный экран. Пересекая образующую цилиндра, он дает точку А2t. На одной горизонтали с А2t находим В2t на оси. Высшая точка падающей тени 52t определяется следующим образом. Находится горизонталь пересечения конуса с углом образующей 35º с цилиндром. Луч, проведенный из точки 52 под углом 45º с этой горизонталью, и дает точку 52t. Точку С2t – точку исчезновения тени – определяем обратным лучом, построив тень от образующей цилиндра на фронтальный экран. При этом нужно иметь ввиду, что линия контура падающей тени в точке исчезновения (С2t) должна быть касательна к проекции луча. Далее строим тень, падающую от сферы на цилиндр. Тень начинается из точек E2 и D2. Строим тень от сферы на фронтальный экран. Контур тени, пересекая образующую цилиндра, дает точку N2t. Точку M2t находим на оси на одной горизонтали с N2t. Точку L2t определяется обратным лучом, построив тень образующей цилиндра на фронтальный экран. Нужно обратить внимание на то, что контур падающей тени D2 M2t L2t будет касательным к лини пересечения поверхностей сферы и цилиндра, а в точке L2t касательным к проекции луча. Далее строим тень от нижнего основания цилиндра, падающую на скоцию (тороид). Для этого строим тень от окружности на фронтальный экран – 152 13t 14t 11t. Пересекаясь с контуром скоции, она дает точки K2t и 16t. Точка R2t лежит на одной горизонтали с K2t. Для нахождения высшей точки падающей тени – 132t, точку 152 соединяем с 13t. Эта прямая является образующей конуса с углом 35º. Строим горизонталь пересечения этого конуса с поверхностью скоции и находим на ней точку пересечения луча, проведенного из точки 132. Соединяем полученные точки K2t 132t R2t 16t 62 с таким расчетом, чтобы в точке исчезновения тени F2t контур тени касался проекции луча. 5.6.3. Метод биссекторного экрана В некоторых случаях для построения падающих теней на поверхностях вращения удобно использовать вспомогательный биссекторный экран. Эта биссекторная плоскость удобна тем, что тень на нее от горизонтальной окружности проецируется также окружностью радиуса 0,707 от данной. Способ биссекторных экранов также применяется в сочетании со способом обратных лучей. Для примера рассмотрим построение тени от круглой плиты на круглую колонну (рисунок 5.25). Тень от окружности плиты на биссекторный экран – окружность радиуса R. Тень от левой контурной образующей колонны падает на середину левого радиуса цилиндра R1 (x=R1/2). Тень от бликовой образующей колонны 2 падает на ось цилиндра. Тень от средней образующей 3 Рисунок 5.25 падает на середину правого радиуса цилиндра. Тень образующей 5 совпадает с тенью образующей 3 при обратном луче. 63 Находим точки пересечения теней образующих, падающих на биссекторный экран, с тенью от плиты и обратными лучами, определяем их положения на соответствующих образующих. На рисунке 5.25 горизонтальная проекция дана только для пояснения построений. Фактически построения могут быть выполнены только по фронтальной проекции. 5.7. Тень от квадратной плиты на колонну Тень от квадратной плиты на цилиндрическую колонну (рисунок 5.26) фактически является тенью от двух прямых 1,2 – фронтальнопроецирующей и 2,3 – профильнопроецирующей (по отношению к фасаду – продольной). Нам из предыдущего материала известно, что тень от продольной повторяет прямой план, т.е. зеркально является окружностью того же радиуса, что и колонна. А тень от проецирующей прямой совпадает с направлением луча. Поэтому очевидно, что построение тени можно выполнить по одной фронтальной проекции, т.е. Рисунок 5.26 фасаду. 64 5.8. Построение падающих теней на архитектурных деталях 5.8.1. Тени капители колоны Построение тени капители (рисунок 5.27) представляет собой комплексную задачу, объединяющую ранее построенные тени на отдельных частях. Рисунок 5.27 Собственные тени на цилиндре и на валике (тор), падающая тень от валика на колонну (цилиндр) выполнена аналогично рисунку 5.24. А построение падающей тени от квадратной плиты на валик строится способом цилиндрических экранов или глубинных координат. Сначала построим тень от квадратной плиты, падающую на колонну. Построение выполняется аналогично рисунку 5.26. В итоге, контур падающей тени на цилиндрической 65 колонне складывается из теней, падающих от валика и квадратной плиты. Тень от продольной стороны квадрата представляет часть окружности радиуса R. Тень от проецирующей стороны квадрата совпадает с направлением луча, как на колоне, так и на валике. Необходимо построить тень от продольной стороны квадрата на валик. Точки 12t и 22t – точки исчезновения тени находим обратным лучом с фронтального осевого экрана. Высшую точку 32t и низшую – 42t (мнимую) находим на параллелях, проведенных из точек пересечения тени от проецирующей стороны квадрата на валике. Для построения промежуточных точек контура тени применяем вспомогательные цилиндрические экраны. Теневые точки 52t и 62t находим на линии пересечения цилиндрического экрана I с валиком, построив тень как на цилиндре радиуса R1. Аналогично строим теневые точки 72t и (82t), применив цилиндрический экран II радиуса R2. Полученные точки соединяем плавной кривой, учитывая, что в точках 12t и 22t лучи будут касательными к полученной кривой. Промежуточные точки 52t, 62t и 72t, 82t можно также получить способом глубинных координат. Для этого берется ряд горизонтальных сечений. На рисунке 5.27 сечение показано совпадающим с основанием цилиндрического экрана I. Для дальнейшего построения окружность сечения совмещается с фронтальной плоскостью. Определяется координата y, которая откладывается на линии сечения в обе стороны от оси для получения точек 52t и 62t. Аналогично строятся другие точки. 5.8.2. Тени в цилиндрической нише со сферическим верхом На рисунке 5.28 представлено построение тени в цилиндрической нише со сферическим верхом. 66 Рисунок 5.28 Прежде всего определяем контур собственной тени известными способами (рисунки 5.14, 5.20). Для построения падающей тени в данной комбинированной нише применяется метод фронтальных экранов. Суть метода заключается в том, что тень от окружности на плоскость, ей параллельную, является окружностью. Тень от контурной образующей цилиндра, а, следовательно, и от точки А, падает на ось цилиндра. Необходимо определить промежуточные точки между В2 и А2t, 67 принадлежащие контуру падающей тени от кромки сферической ниши – окружности. Для этого проводим ряд фронтальных экранов (I, II, III, IV). Строим лини пересечения фронтальных плоскостей с (экранов) поверхностью ниши. Определяем положение теней от центра окружности кромки ниши О на каждый из экранов. Из теней центров окружности выполняем засечки на соответствующих линиях сечения, радиусом сферы R. Точка перегиба тени С на окружности перехода поверхности цилиндра в поверхность сферы может быть определена следующим образом. Из центра О проводим прямую с уклоном 2:1, которая определит положение точки С2 на кромке сферической ниши. Луч, проведенный из точки С2, даст тень С2t. Полученные точки соединяем плавной кривой линией. 68 РАЗДЕЛ 6. ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ «ТЕНИ ВАЗЫ» Работа выполняется на формате А3 карандашом, с илюминовкой теней. Формат может быть расположен горизонтально или вертикально, в зависимости от габаритов вазы. Контур вазы чертится карандашом марки ТМ толщиной 0,6-0,7 мм. Контуры собственных и падающих теней – марки Т толщиной 0,3-0,4 мм. Линии построения теней выполняются карандашом марки 2Т толщиной 0,1-0,2 мм. Все построения необходимо сохранить. Удаляются только лишние и ошибочные линии. Илюминовка выполняется акварелью, при этом падающие тени отмываются более темным тоном, чем собственные. Если формат расположен горизонтально, то 20 мм для подшивки остается слева, если вертикально – сверху. В правом нижнем углу указывается фамилия, имя, отчество студента, выполнившего задание, группа и вариант задания. Пример оформления работы показан на рисунке 6.3. Работа выполняется в следующем порядке: • построение контура вазы на листе; • построение собственных теней вазы; • построение падающих теней вазы; • оформление чертежа. 6.1. Построение контура вазы на листе Задача чертится по размерам в масштабе. Сначала выбирается коэффициент увеличения. Чтобы изображение вазы было достаточно крупным, коэффициент увеличения рекомендуется применить равным 2 или 3. При этом все размеры, переносимые с условия, должны быть увеличены соответственно в 2 или 3 раза. На середине чертежа вертикально проводим 69 ось, затем вычерчиваем контур вазы, согласно варианту задания (пример компоновки см. на рисунке 6.1). 6.2. Построение собственных теней вазы При выполнении построение контуров собственных теней вазы необходимо помнить следующие правила: – контур собственной тени при переходе с видимой части поверхности на невидимую примыкает к контуру поверхности; – на линии плавного стыка двух поверхностей образующих тело вазы, контур собственной тени имеет точку излома; – если две поверхности не имеют плавного перехода, а имеют линию пересечения, то контур собственной тени будет иметь разрыв на линии пересечения поверхностей. Линия контура собственной тени поверхности вращения, которая имеет вертикальную ось, строится с помощью способа описанных конусов и цилиндров. Примеры построения контура собственной тени отдельных тел вращения представлены в разделе 5. Способ описанных конусов заключается в том, что строится конус, который причастен к данной поверхности вращения, и на круге соприкосновения отмечаются точки контура собственной тени конуса. Эти точки будут принадлежать контуру собственной тени поверхности на том же круге прикосновения. Построения повторяются несколько раз, пока не будет набрано необходимое количество точек контура собственной тени поверхности вращения. На рисунке 6.1 приведен пример построения контура собственной тени вазы. Точки 1 и 2 построены с помощью прямого конуса с углом наклона образующей 45º. 70 Рисунок 6.1 71 Для определения самой высокой точки 3 конуса тени используется описанный конус с углом наклона 35º. В этом случае для более точного определения точки соприкосновения также используется способ нормали. С построенной пересечения с точки 1 горизонтальной, проводим вертикальную касательной к прямую окружности. до Точку пересечения соединяем с центром. Она и будет нормалью к образующей описанного конуса с углом 35º. Перпендикуляр к нормали из точки пересечения 2 с дугой окружности определяет вершину конуса S, с которой проводим прямую под углом 45º до пересечения с параллелью прикосновения. Таким образом, получим самую высокую точку 3 контура тени. Точки 4 и 5 найдены с помощью описанного цилиндра. Точки 6 и 7, 8 и 9 цилиндрической части поверхности построены, как на цилиндре. Точки 10, 11 и 12 определены, таким образом, как и точки 1, 2 и 3, с помощью описанных конусов, с углами наклона образующей 45º (точки 10 и 11) и 35º (точка 12), а точки 13 и 14 – с помощью описанного цилиндра. Аналогично построены точки на цилиндрическом поясе 15 и 16, точки 17 и 18 на основе точки 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 и 26 на скоции. Точки 27, 29 и 28, 30 построены с помощью описанных конусов с произвольным наклоном образующей. Построения в этом случае выполняются следующим образом. Сначала, в промежутке между точками 31-28, где желательно получить дополнительную точку, проводим параллель α. Далее совмещаем эту параллель с фронтальной плоскостью – полукруг m. Точку пересечения параллели с контуром поверхности вращения А соединяем с центром дуги III - получим нормаль кривой в точке А. Перпендикуляр к прямой III-А и будет образующей конуса, описанного вокруг поверхности вращения. Находим точки 27 и 29, как точки на основе обратного конуса с произвольным углом наклона образующей. По такой схеме найдены точки 28 72 и 30. Точки 31 и 32 - точки излома контура тени на линии перехода кривой с центром II в кривую с центром III. На рисунке 6.1 изображены все построения точек контура собственной тени. 6.3. Построение падающих теней вазы При выполнении построение контура теней, падающих от одних элементов вазы на другие, необходимо помнить следующие правила: – падающая тень определяется однозначно и может быть только на освещенной части поверхности; – если на одном элементе вазы есть собственная тень, то на втором, под ней, обязательно должна быть падающая тень. Контур падающей тени – это тень от контура собственной тени; – линия контура падающей тени в точке пересечения с линией контура собственной тени поверхности является касательной к лучу в этой точке. Эта точка называется «точкой исчезновения тени». Построение падающих теней на поверхности вазы выполняется способом вспомогательных экранов в совокупности со способом обратных лучей. Способ вспомогательных экранов заключается в том, что берется вспомогательная поверхность, которая называется «экраном». Это может быть фронтальная, горизонтальная или биссекторная плоскость или цилиндрическая поверхность. На экране строится тень от контура собственной тени, которая отбрасывает тень на поверхность вазы, и тень от какого-либо элемента или сечения вазы. Элементы или сечения выбираются такие, которые имеют форму круга или прямой линии. На экране отмечаются точки пересечения теней от контура собственной тени и от сечения и, обратным лучом возвращаются на линию сечения. 73 На рисунке 6.2 приведен пример построения контура собственной тени вазы. В данном варианте вазы применен способ фронтального экрана. Контур собственной тени вазы перенесен с рисунка 6.1 без линий построения. На поверхность скоции тень падает от цилиндрического пояска. Поэтому, сначала строим тень пояска на переднем экране способом выноса. Для этого строим тень от окружности на фронтальный экран. Пересекаясь с контуром скоции, она дает точки J и K. Точка L лежит на одной горизонтали с J. Находим высшую точку падающей тени – M. Соединяем полученные точки J, M, L, K с таким расчетом, чтобы в точке исчезновения тени N, контур тени касался проекции луча. 74 Рисунок 6.2 75 Пример оформления работы показан на рисунке 6.3. Рисунок 6.3 76 Список рекомендованной литературы 1. Климухин А.Г. Начертательная геометрия. – М.: «Архитектура –С», 2007г. 2. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. – М.: КНОРУС, 2015г. 3. Конспект лекций по начертательной геометрии для студентов направления подготовки 07.03.01 «Архитектура», 07.03.03 «Дизайн архитектурной среды», 07.03.04 «Градостроительство» дневной формы обучения. Часть 1. Параллельные проекции. Тени в параллельных проекциях. / Состав.: А.А. Крысько, О.С. Воронова – Макеевка: ДонНАСА, 2016. – 95с. 77 Приложение А (Варианты заданий для выполнения графической работы «Тени в ортогональных и аксонометрических проекциях») 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 Приложение Б (Варианты заданий для выполнения графической работы «Тени вазы») 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 Учебное издание Крысько Александра Анатольевна Воронова Ольга Сергеевна ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ И АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ
