Косым изгибом

Лекция №14
Косой изгиб
14.1 Нормальные напряжения
14.2 Уравнение нейтральной линии. Условие прочности.
14.3 Косой изгиб балки крана при торможении
14.1 Нормальные напряжения
Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость
действия суммарного изгибающего момента M в сечении балки не
совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции, а продольная сила
N  0.
Различают два вида косого изгиба: плоский (рис. 14.1,а) и
пространственный (рис. 14.1,б). При плоском косом изгибе силы действуют
в одной плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей
инерции. Эта плоскость называется плоскостью нагружения (силовой
плоскостью), а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения
балки – линией нагружения F  F (силовой линией). При пространственном
косом изгибе внешние силы действуют в различных плоскостях (рис. 14.1,б)
Рис .14.1 Плоский и пространственный косой изгиб
Обозначим через  угол между линией нагружения F  F и главной
осью Oy . Вектор суммарного изгибающего момента M перпендикулярен
плоскости нагружения, в которой действует этот момент (рис. 14.2,а). Из
курса теоретической механики известно: вектор момента направляется так,
что при взгляде на момент навстречу его вектора видим момент
вращающим против хода часовой стрелки (рис.14.2,б).
Рис. 14.2 Вектор суммарного момента
Рис. 14.2 Связь между направлением
момента и его вектором

Суммарный изгибающий момент
M можно разложить на два
изгибающих момента, действующих в главных плоскостях инерции:
M z  M cos( )
M y  M sin( )
tg ( )  
My
(14.1)
Mz
В соответствии с
трехчленной формулой (8.13) нормальные
напряжения при косом изгибе будут определяться по формуле
x  M
z
Jz
y+
My
Jy
z.
(14.2)
В данном случае (рис.14.2 ) изгибающий момент M z  0 и будет
направлен так, что в точках первой четверти осей координат ( x  0, y  0 )
возникнут растягивающие напряжения. Изгибающий момент M y  0 и будет
направлен так, что в точках первого квадранта осей координат возникнут
напряжения сжатия (рис. 14.3,а). Соответствующие направления изгибающих
моментов показаны на рис. 14.3,б.
Рис. 14.3 Эпюры нормальных напряжений и направление изгибающих
моментов
Таким образом,
положительный
вызывает растяжение нижних волокон ( y
изгибающий момент
z  0 ).
M y  0 вызывает
Mz  0
изгибающий момент
 0 ),
а положительный
растяжение наружных волокон (
14.2 Уравнение нейтральной линии. Условие прочности.
Приравняем выражение для нормальных напряжений (14.2) нулю,
получим уравнение нейтральной линии:
M
Mz
y y z0
Jz
Jy
y
,
M y Jz
J
z  tg ( )  z z
Mz Jy
Jy
y  tg ( ) 
,
Jz
z
Jy
(14.3)
.
Нейтральная линия проходит через начало координат( z  0,  y  0 ) и
точку с координатами ( zn , yn ). Из (14.3) получим:
yn
 tg (  )   tg ( )  J
J
zn
z
tg ( )   tg ( ) 
y
Jz
Jy
(14.4)
Знак минус в формуле (14.4) означает, что нейтральная линия n  n по
отношению к линии нагружения F  F проходит через две другие четверти
осей координат. Наиболее удаленные от нейтральной линии точки К и К1. Из
Mz
My
анализа зон сжатия и растяжения на эпюрах эпюры  x , x (рис. 14.3 а)
следует, что в точке К растяжение, а в точке К1 сжатие. Вычисляем
напряжения в точках К и К1 строим эпюру нормальных напряжений (рис.
14.4, б).
Рис. 14.4 Плоскость кривизны не совпадает с плоскостью нагружения
Для самой напряженной точки (т. К) составляется условие прочности
My
Mz
yK 
zK  R
Jz
Jy
(14.5)
Если очертание сечения таково, что опасная точка К имеет координаты
zK  zmax , y K  ymax (например швеллер), то (14.5) можно выразить через
моменты сопротивления:
J
Wz  z
ymax
Отметим, что при
My
M
Jy
 max  z 
R
(14.6)
Wy 
Wz W y
zmax
J z  J y угол    , в отличие от изгиба в главной
плоскости, при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна
плоскости действия момента M (рис. 14.4,б). Плоскость кривизны,
перпендикулярная к ( n  n ), не совпадает с плоскостью действия момента и
будет расположена «косо» по отношению к этой плоскости (под углом    ).
Для стержней, у которых
Jz  Jy
(круг, квадрат, равносторонний
треугольник) имеет место плоский изгиб. В подобных случаях любая
центральная ось является главной и изгиб от любой наклонной силы (при
произвольном угле  ) превращается в главный плоский изгиб.
Косой изгиб может быть весьма опасен с точки зрения значения
напряжений и прогибов, особенно для сечений с резко различными
моментами инерции J z , J y (для узких и высоких сечений).
14.3 Косой изгиб балки крана при торможении
Пример 14.1 Балка мостового крана имеет сечение в виде прокатного
двутавра №60 с геометрическими характеристиками W z =2510 см3=2.51*10-3
м3, W y =181 см3=0.181*10-3 м3. Найти наибольшие напряжения  x при
торможении крана, вследствие которого груз G отклонился от вертикали на
угол  (рис. 14.5). Дано: l =6 м, G=150 кН, tg ( ) =0,1.
Рис. 14.5 Косой изгиб балки крана
При торможении на балку действует вертикальная сила Fy  G и
горизонтальная F z  G  tg( ) . Эти силы вызывают изгибающие моменты,
M z
Fy l
4
, M y
Fz l
, эпюры которых показаны на рис. 14.6.
4
Рис. 14.6 Эпюры изгибающих моментов
Наибольшие растягивающие напряжения в точке К, численно равное
ему сжимающее напряжение – в точке К1. Для точки К имеем
Mz My
Gl Gltg ( ) 150  103  6
x 




Wz Wy 4Wz
4Wy
4  2,51  10 3
150  103  6  0,1
6


(
89
,
64

124
.
31
)

10
Па
3
4  0,181  10
Таким образом, при косом изгибе  max
вертикальном грузе  k

  k  213.95МПа . При
Mz
 89,64МПа , т.е. за счет косого изгиба
Wz
напряжение возросло (213,95/89,64)=2,39 раза.
Определим перемещение центра тяжести сечения балки в середине
пролета (полный прогиб f ). Модуль упругости материала E=2,06*108 кН/м2,
J z  76806 см4, J y  1725 см4.
l
G l3
V max  V ( ) 
2
48E  J z
l
G  tg ( )  l 3
w max  w( ) 
2
48 E  J y
2
2
f  Vmax
 wmax
150  63
V max
 4,2 мм
8
8
48  2,06  10  78806  10
150  63  0.1
wmax 
 19,0 мм
8
8
48  2,06  10  1725  10
f  19,5 мм .
Пример 14.2 Отметим, два интересных свойства, которые
обнаруживает брус прямоугольного сечения при косом изгибе:
если плоскость действия изгибающего момента проходит
через диагональ прямоугольника, то нейтральная линия
проходит через вторую диагональ (рис. 14.7);
при неизменной величине изгибающего момента наибольшее
напряжение в брусе прямоугольного сечения возникает в тех
случаях,
когда
плоскость
изгибающего
момента
перпендикулярна диагонали (рис. 14.8).
1)
2)
Рис. 14.7 Плоскость действия
внешних сил проходит через
диагональ, (n-n) проходит через
вторую диагональ
Докажем первое свойство.
tg ( ) 
( b / 2)
( h / 2)

Рис. 14.8 Плоскость действия
внешних сил  диагонали
b
h . Согласно формуле (14.3) имеем
tg (  )   tg ( ) 
J z b (bh 3 / 12) h (h / 2)
 
 
J y h (hb 3 / 12) b (b / 2)
Таким образом, нейтральная линия проходит через вторую диагональ.
Докажем второе свойство. Казалось бы, что наибольшие напряжения
возникают, когда брус изгибается в плоскости наименьшей жесткости.
Оказывается это не так. Напряжение в опасной точке B равно
x 

My
Mz
y
z
Jz
Jy
M cos( )
( bh3 / 12)
h
( ) 
2
 M sin( )
( b 3 h / 12)
b
( )
2
M cos( ) sin(  )
(

)
6bh
h
b
При неизменном моменте напряжение есть функция угла. Определим
производную и приравняем ее нулю.
h
b
или tg ( )  . Это означает, что плоскость момента
перпендикулярна диагонали. Наибольшие напряжения будут:
B 
6M 2 2
6M
6M
( h  b2 )  ( 2 )2  ( 2 )2 .
2 2
b h
b h
h b
Иначе говоря, наибольшее напряжение равно корню квадратному из
суммы квадратов напряжений, возникающих при прямом изгибе в одной и
другой плоскостях.