ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра строительства горных предприятий и подземных сооружений Расчетно-графическое задание №1 По дисциплине Механика сплошной среды (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) Тема работы Построение паспорта объемной прочности горной породы (вариант 8) Выполнил студент гр. (шифр группы) (подпись) (Ф.И.О.) Проверил руководитель работы: (должность) (подпись) Санкт-Петербург 2019 (Ф.И.О.) Введение Для количественной и качественной оценки поведения горных пород при различных видах напряженного состояния используют обобщенную характеристику, называемую паспортом прочности. Прочность – это свойство горной породы воспринимать внешнее физическое воздействие без разрушения. Прочность горных пород, как и большинства строительных материалов, в значительной степени зависит не только от природных свойств, но и от вида напряженного состояния, для которого производится ее оценка. При прочих равных условиях прочность горных пород при одноосных напряженных состояниях меньше, чем прочность при плоских и объемных напряженных состояниях. Паспорт прочности горной породы представляет собой огибающую предельных кругов Мора, построенную в системе координат σ-τ (нормальное - касательное напряжения). Согласно теории Мора, нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений. Целью работы является выполнение построения паспорта объемной прочности горной породы аналитическим методом по данным одноосных испытаний. Исходные данные: В качестве исходных данных в расчетно-графическом работе даны результаты определения пределов прочности при одноосных испытаниях образцов горной породы. Испытания при одноосном сжатии выполнены методом одноосного сжатия образцов правильной формы между плоскими плитами, а испытания на одноосное растяжение – методом разрушения цилиндрических образцов по образующим. Исходные данные представлены на таблице 1. Таблица 1 - Исходные данные 1 2 3 4 7,63 7,43 7,33 7,39 38,9 37,9 36,9 37,5 № испытания 5 6 𝜎р, МПа 7,73 7,41 𝜎сж, МПа 39,7 37,7 2 7 8 9 10 7,63 7,43 7,67 7,43 39,9 38,1 40,1 37,9 Статическая обработка результатов испытаний на одноосное сжатие и растяжение Перед построением паспорта прочности необходимо выполнить статистическую обработку результатов одноосных испытаний. Для этого используем формулы, приведенные в методических указаниях [1]. Для начала необходимо рассчитать средние арифметические значения пределов прочности по формулам: 0 𝜎сж = 0 𝜎р = 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 𝜎сж 𝑛 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 𝜎р 𝑛 = 38,46 МПа, (1) = 7,508 МПа, (2) 𝑖 где 𝜎сж и 𝜎р𝑖 – соответственно результаты i-го определения предела прочности при одноосном сжатии и растяжении; 𝑛 – количество испытаний. После по полученным значениям вычисляются отклонения от среднего для каждого i-го испытания: 0 𝑖 𝐴𝑖сж = 𝜎сж − 𝜎сж, (3) 0 𝐴𝑖р = 𝜎р𝑖 − 𝜎р . (4) После вычислений получаем таблицу 2, на которой представлены отклонения от среднего. Таблица 2 - Отклонения от среднего для каждого i-го испытания По значениям 𝐴𝑖р , МПа 0,122 -0,078 -0,178 -0,118 0,222 -0,098 0,122 -0,078 0,162 -0,078 𝐴𝑖сж , МПа 0,44 -0,56 -1,56 -0,96 1,24 -0,76 1,44 -0,36 1,64 -0,56 № испытания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 отклонения от среднего вычисляют среднегеометрические отклонения: 2 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1(𝐴сж ) Δсж = √ 𝑛 3 = 1,058 МПа, (5) Δр = √ 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1(𝐴р ) 2 = 0,141 МПа. 𝑛−1 (6) Итогом вычислений является коэффициент вариаций: 𝑉сж = 𝑉р = Коэффициент вариаций Δсж 0 𝜎сж Δр ∙ 100% = 3%, (7) ∙ 100% = 2%. 0 𝜎р при вычислениях (8) следует округлять по общематематическим правилам до целого числа. После этого необходимо определить надежность испытаний согласно таблице 2 приложения ГОСТ 21153.8-88 [2]. 21153.8-88 [2]. Относительную погрешность испытаний 𝜀 при этом считаем равной максимально допустимой для используемых методов испытаний (для условий данной расчетно-графической работы 20 %). Значения отношений относительной погрешности испытаний к коэффициентам вариации составили: 𝜀 𝑉сж 𝜀 𝑉р = 6,67, (9) = 10. (10) Таким образом, надежность испытаний составляет 100 % для обоих испытаний. 4 Построение паспорта прочности Для построения аналитического паспорта прочности вводится гипотеза о том, что все горные породы имеют единую форму огибающей предельных кругов Мора, которая описывается условием Протодъяконова: 3 8 𝜎к2 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 (𝜎2 −𝑎2 ) , (11) к где 𝜏𝑚𝑎𝑥 – максимальное сопротивление породы сдвигу при гипотетически полностью закрывшихся под действием нормальных напряжений трещинах и порах; 𝜎к – нормальное напряжение относительно начала координат, перенесенного в точку пересечения огибающей с осью абсцисс; –параметр формы огибающей. Для построения паспорта прочности условие Протодъяконова переведем в безразмерные координаты: 𝐾2 3 8 𝑙 = 0,73 (𝐾2 +1) , (12) где 𝑙 и 𝐾 – это соответственно безразмерные аналоги напряжений 𝜏 и 𝜎, которые связаны между собой через параметр формы огибающей: 𝜎 = 𝜎к − 𝜎0 = 𝐾 ∙ 𝑎 − 𝜎0, (13) 𝜏 = 𝑙 ∙ 𝑎, (14) где 𝜎0 – параметр переноса начала координат. Введем безразмерные радиусы предельных кругов Мора для одноосного сжатия 𝑞1 и одноосного сжатия 𝑞2 . Тогда: 𝑞2 𝑞1 0 = 𝜎сж = 5,1. 0 𝜎р Из таблицы 3 ГОСТ 21153.8-88 [2] по известному соотношению (15) 𝑞2 𝑞1 определяют значения 𝑞2 и 𝐾1 + 𝑞1 . Значения из таблицы определяют с учетом линейной интерполяции, которую следует выполнять по формулам: 𝑦 −𝑦 𝑦 = 𝑦1 + 𝑥2−𝑥1 ∙ (𝑥 − 𝑥1 ), 2 где 𝑥 –точное значение 𝑞2 𝑞1 (16) 1 ; 𝑥1 и 𝑥2 –ближайшие табулированные значения ближайшие табулированные значения 𝑞2 или 𝐾1 + 𝑞1 . 5 𝑞2 𝑞1 ; 𝑦1 и 𝑦2 – После подстановки значений в формулу (16) получаем, что 𝑞2 = 0,332436 и 𝐾1 + 𝑞1 = 0,137313. Параметр формы огибающей определяем по формуле: 0 𝜎сж 𝑎= 2𝑞2 = 57,85 МПа. (17) Параметр переноса начала координат определяем по формуле: 𝜎0 = 𝑎(𝐾1 + 𝑞1 ) = 7,94 МПа. (18) После определяем точки огибающей в следующей последовательности: 1. Определяем координаты точек, ограничивающих паспорт прочности справа и слева. Для точки A: 𝜏𝐴 = 0, 𝑙𝐴 = 0, 𝐾𝐴 = 0, 𝜎𝐴 = −𝜎0 = −7,94. (19) Для точки B: 0 𝜎𝐵 = 0 1,5𝜎сж 1,5𝜎сж + 𝜎0 = 57,69, 𝐾𝐵 = = 1,108, 𝑎 𝐾𝐵 2 𝑙𝐵 = 0,73 (𝐾 𝐵 3 8 ) = 0,58, 𝜏𝐵 = 𝑙𝐵 ∙ 𝑎 = 33,77. 2 +1 (20) Ограничение для паспорта прочности справа выбрано исходя из условия адекватного описания прочности горных пород условием Протодъяконова по результатам экспериментальных исследований. 2. На промежутке значений безразмерной координаты 𝐾 от 0 до 𝐾𝐵 выбираем еще по 15 точек. Для этих промежуточных значений 𝐾 определяем последовательно значения 𝜎, 𝑙 и 𝜏 по формулам (12) - (14). Результаты представлены в таблице 3. Полученные точки системе координат σ-τ соединяем плавной линией, это кривая и есть аналитический паспорт объемной прочности. Таблица 3 - Промежуточные значения K, 𝝈, 𝒍 и 𝝉 № 1 2 3 K 1,107947 1,1 0,9 𝜎, МПа 57,69 55,68737 44,11822 6 l 0,583817 0,582399 0,539977 𝜏, МПа 33,77135 33,68928 31,23537 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. 0,7 0,5 0,3 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 32,54907 20,97992 9,410772 -2,15838 -2,73683 -3,31529 -3,89375 -4,47221 -5,05066 -5,62912 -6,20758 -6,78604 -7,36449 -7,94295 0,481063 0,399217 0,286503 0,129331 0,119589 0,109547 0,099163 0,088379 0,077116 0,065254 0,052604 0,038818 0,023084 0 27,82742 23,09301 16,57297 7,481243 6,917709 6,336841 5,736166 5,112372 4,460825 3,774669 3,042907 2,245441 1,335297 0 Проверку правильности построения паспорта прочности выполним путем построения предельных кругов Мора для одноосного сжатия и одноосного растяжения с 0 0 диаметрами соответственно 𝜎сж и 𝜎р (рисунок 1). Паспорт построен верно, так как каждый из построенных предельных кругов Мора коснулся огибающей только в одной точке. Рисунок 1 – Паспорт объемной прочности горной породы и предельные круги Мора Вывод Паспорт прочности является важнейшим документом, позволяющим спрогнозировать поведение горных пород под действием различных напряжений. 7 В ходе работы мы выполнили статическую обработку результатов испытаний на одноосное сжатие и растяжение, а также построили паспорт прочности с помощью расчетного метода по данным определения пределов прочности при одноосном сжатии и растяжении. Можно утверждать, что вычисления выполнены правильно, так как мы провели проверку расчетов с помощью построения предельных кругов Мора, которые коснулись исходного графика паспорта прочности лишь в одной точке. 8 Список литературы 1. Беляков Н.А., Карасев М.А. МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ: Методические указания к практическим занятиям// СПб: Санкт-Петербургский горный университет, 2017.- 32 с. 2. ГОСТ 21153.8-88 «Породы горные. Методы определения предела прочности при объемном сжатии». 9
