Задачи2010 биофизика

ГОУ ВПО
«Красноярский государственный медицинский университет
имени профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого
Министерства здравоохранения и социального развития
Российской Федерации»
Кафедра медицинской и биологической физики
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МЕДИЦИНСКОЙ И
БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
(для самостоятельной работы студентов 1 курса всех специальностей
и 2 курса по специальности 060108 – Фармация)
Красноярск
2010
-2УДК 53:61:57 (076)
ББК 28.071
C 23
Сборник задач по медицинской и биологической физике/ для
самостоятельной работы студентов 1 курса всех специальностей и 2
курса по специальности 060108 – Фармация - 2-е изд. испр. и доп./
сост. О.П. Квашнина, И.М. Попельницкая, И.А. Ремизов и др. Красноярск: тип. КрасГМУ, 2010.- 146 с.
Составители: к.ф.-м.н., доцент О.П. Квашнина,
к.б.н., доцент И.М. Попельницкая,
к.ф.-м.н., доцент И.А. Ремизов,
доцент Л.А. Шапиро,
к.ф.-м.н., доцент К.А. Шаповалов,
к.п.н., доцент Н.Г. Шилина,
старший преподаватель А.С. Макарова.
Рецензенты: д.б.н., профессор кафедры инженерной
экологии Сибирского государственного
аэрокосмического университета Е.Я. Мучкина,
к.ф.-м.н., доцент Красноярского государственного
аграрного университета Т.П. Сорокина.
Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром
высшего профессионального образования для межвузовского использования
в качестве учебного пособия для студентов медицинских вузов (от 28.06.10)
Утверждено к печати ЦКМС (протокол № 7 от 18.05.10)
КрасГМУ
2010
-3-
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие -------------------------------------------------------------------------------------
4
1. Механические колебания и волны ---------------------------------------------
5
2. Сложение колебаний -------------------------------------------------------------------
16
3. Механические свойства твердых тел и биологических
тканей -------------------------------------------------------------------------------------------
23
4. Биоакустика ---------------------------------------------------------------------------------
28
5. Гидродинамика ----------------------------------------------------------------------------
35
6. Поверхностное натяжение ----------------------------------------------------------
47
7. Электростатика ----------------------------------------------------------------------------
52
8. Электрофорез -------------------------------------------------------------------------------
56
9. Усилитель -------------------------------------------------------------------------------------
60
10. Осциллограф ----------------------------------------------------------------------------
62
11. Физические основы электрографии --------------------------------------
64
12. Импульсный ток ----------------------------------------------------------------------
72
13. Рефракция света
----------------------------------------------------------------------
75
14. Интерференция и дифракция света ---------------------------------------
83
15. Поляризация света -------------------------------------------------------------------
92
16. Поглощение света -------------------------------------------------------------------
100
17. Рентгеновское излучение -------------------------------------------------------
107
18. Радиоактивность. Дозиметрия ----------------------------------------------- 114
19. Физические процессы в биологических мембранах ------------ 121
20. Основы биомеханики -------------------------------------------------------------- 132
21. Элементы квантовой физики -------------------------------------------------
139
Литература ---------------------------------------------------------------------------------------- 144
Приложение -------------------------------------------------------------------------------------- 145
-4-
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данном пособии представлены типовые ситуационные задачи
для итогового контроля знаний студентов по курсу медицинской и
биологической физики.
Предлагаемые задачи могут быть использованы в качестве
дополнительного источника знаний в рамках изучаемого курса
медицинской и биологической физики.
Задачи подобраны по темам и расположены в том порядке, в
котором они изучаются в вузе. Рекомендуется, после решения каждой
задачи сверяться с ответами. Данные задачи могут быть
использованы также и для текущего контроля знаний студентов по
всем разделам курса.
Задачи подготовлены:
1) доцентом, к.б.н. Попельницкой И.М. по темам “Биоакустика”,
“Гидродинамика”, “Осциллограф”,
2) доцентом кафедры медицинской и биологической физики
КрасГМУ Шапиро Л.А. по темам “Электрофорез”,
“Импульсный ток”, “Физические основы электрографии”,
“Элементы квантовой физики”,
3) доцентом, к.ф.-м.н. Шаповаловым К.А. по темам “Механические
колебания и волны”, “Интерференция и дифракция света”,
“Поверхностное натяжение”,
4) доцентом, к.ф.-м.н. Ремизовым И.А. по темам “Рефракция света”,
“Поляризация света”, “Усилитель”, “Поглощение света”,
“Физические процессы в биологических мембранах”,
“Механические свойства твердых тел и биологических тканей”,
5) доцентом, к.п.н. Шилиной Н.Г. по теме “Основы биомеханики”,
6) доцентом, к.ф.-м.н. Квашниной О.П. по темам “Сложение
колебаний”, “Рентгеновское излучение”, “Радиоактивность.
Дозиметрия”,
7) старшим преподавателем Макаровой А.С.
по теме “Электростатика”.
-5-
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Основные понятия и формулы
Частота колебаний  связана с круговой частотой колебаний 
формулой:
=2.
Период колебаний T связан с круговой частотой колебаний 
формулой:
2π
T
.
ω
Период колебаний T математического маятника:
T  2π
L
g ,
где g=9,81 м/с2 – ускорение свободного падения,
L – длина подвеса маятника.
Период свободных (собственных) затухающих колебаний T:
2π
T
, где  – коэффициент затухания, 0 – круговая
ω02  β 2
частота собственных колебаний системы.
Круговая частота вынужденных затухающих колебаний при
резонансе:
ωРЕЗ  ω02  2 β 2 , где  – коэффициент затухания, 0 – круговая
частота собственных колебаний системы.
Уравнение для свободных (собственных) затухающих гармонических
колебаний:
d2x
dx

2
β
 ω 02 x  0 , где  – коэффициент затухания, 0 –
2
dt
dt
круговая частота собственных колебаний системы.
Смещение x(t) для затухающих гармонических колебаний:
x(t)= A0e-t cos (t+0),
где A0– начальная амплитуда,  – коэффициент затухания,
 – круговая частота, 0 – начальная фаза.
-6-
Логарифмический декремент затухания колебаний ДЕКР:
ДЕКР=T,
где  – коэффициент затухания, T– период колебаний.
Уравнение плоской волны:
s(r, t)=A cos( t – k r),
где A – амплитуда колебаний,  – круговая частота,
t – момент времени, r –координата колеблющейся точки,
k=/v (или k=2/) – волновое число, v – скорость
распространения волны,  – длина волны.
Длина волны  связана с ее периодом T формулой:
= v T,
где v – скорость распространения волны.
Кинетическая энергия тела массой m:
m v2
EK 
,
где v – скорость движения тела.
2
Потенциальная энергия тела массой m в поле сил тяжести Земли
при подъеме на высоту h:
Eпот= mgh,
где g=9,81 м/с2 – ускорение свободного падения.
Потенциальная энергия деформированной пружины:
E ПОТ
kx 2

,
2
где x – деформация, k – жесткость пружины.
Плотность потока энергии упругой волны (интенсивность):
ρvu 2 ρvA 2 ω2
I  Wкин v 

,
2
2
где  – плотность вещества, v – скорость волны (скорость
распространения колебаний от точки к точке), u – скорость
ρu 2
колебаний каждой частицы среды, Wкин 
– объемная
2
плотность кинетической энергии упругой деформации, A –
амплитуда,  – круговая частота.
Скорость распространения продольной упругой волны:
-7-
v
E
ρ ,
где E – модуль Юнга,  – плотность вещества.
Изменение воспринимаемой частоты при движении источника и
приемника механических волн относительно среды (продольный
эффект Доплера):
с  vН
ν
ν 0 , где 0 – собственная частота источника,  –
c  vИ
частота, воспринимаемая приемником, c – скорость волны в
данной среде, vН – скорость наблюдателя, vИ – скорость
источника. Верхние знаки в формуле соответствуют движению
источника и приемника навстречу друг другу, а нижние удалению друг от друга.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Период колебаний T равен 2с. Чему равна круговая частота
колебаний ?
Дано:
Решение:
T=2 c
Т.к. T=2/, то =2/T, т.е. = рад/с.
Ответ: = рад/с.
-?
Задача 2.
Вычислите период незатухающих колебаний T математического
маятника, если длина подвеса L равна 1м.
Дано:
Решение:
L=1 м
1м
L
T

2π
 2,007 с .
T

2π
2
Т.к.
,
то
g=9,81 м/с
9,81 м /с 2
g
T-?
Ответ: T=2,007 с.
-8-
Задача 3.
Вычислите период затухающих колебаний T математического
маятника, если длина подвеса L равна 9,81м, а коэффициент
затухания  равен 0,6 с-1.
Дано:
Решение:
L=9,81 м
2π
2π
T


Т.к.
, то
g=9,81 м/с2
g
ω 02  β 2
2
β
=0,6 с-1
L
2π
T
 2,5π c .
-2
T-?
(1  0,36)с
Ответ: T= 2,5 с.
Задача 4.
Найдите кинетическую энергию гармонических колебаний маятника,
если смещение имеет вид: x(t)=20cos(2t+1), а масса m равна 2 кг.
Дано:
Решение:
m=2 кг
mv 2
Используя формулу E K 
, находим
x(t)=20cos(2t+1)
2
Eк - ?
mA 2 ω 02  sin 2 (ω 0 t   0 )
EK 
,
2
т.е. Eк =1600sin2(2t+1)
Ответ: Eк =1600sin2(2t+1).
Задача 5.
Колебание совершается по закону x(t)=2sin π(t - 0,4) (м).
Определите амплитуду, период и начальную фазу колебания.
Дано:
Решение:
x(t)=2sin π(t - 0,4)
Поскольку x(t)= A sin(0t+0), то A=2 м.
Используя формулу T=2/0, находим
A-?
T-?
T=2/= 2c, а 0=0,4  рад.
0 -?
Ответ: A=2 м, T=2 c, 0=0,4  рад.
-9-
Задача 6.
Коэффициент затухания колебательной системы  равен 6 с-1,
круговая частота собственных колебаний 0 такой системы равна 9
рад/с. Какой должна быть круговая частота вынуждающей силы,
чтобы в системе возник резонанс?
Дано:
Решение:
2
2
=6 с-1
Так как круговая частота ωРЕЗ  ω0  2 β ,
0=9 рад/с
то рез= 3 рад/с.
-?
Ответ: рез= 3 рад/с.
Задача 7.
Найдите длину волны, имеющую период 0,01 с и
распространяющуюся со скоростью 300 м/с.
Дано:
Решение:
T=0,01 с
Используя формулу =vT, находим
v=300 м/с
=300 м/с 0,01 с= 3м.
-?
Ответ: = 3 м.
Задача 8.
Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч.
Первый поезд дает свисток с частотой 500 Гц. Найдите частоту
колебаний звука, который услышит пассажир второго поезда.
Дано:
Решение:
vИ= 72 км/ч = 20 м/с
с  vН
ν

ν0
vН= 54 км/ч = 15 м/с Используя формулу
c  v И , находим,
0=500 Гц
331 м/с  15 м/с
ν
500 Гц  556,3 Гц
что
c=331 м/с
331 м/с  20 м/с
- ?
Ответ: 556,3 Гц.
- 10 -
Задача 9.
Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда
ускорения аm = 49,35 см/с2, частота колебания ν = 0,5 Гц, а
смещение точки от положения равновесия в начальный момент
времени х(0) = 2,5 см.
Дано:
Решение:
am=49,35 см/с2
Если x(t)=A cos(0t+0),
ν = 0,5 Гц
то a(t)=-A 02 cos(0t+0) или
х(0) = 2,5 cм
a(t)=- am cos(0t+0).
Поэтому 0=2, т.е. 0= рад/c,
x(t) - ?
49,35 см 2
с  5 см
a
am
A
A  m2 
2
, т.е.
,
  рад 
ω 0 2π 2
с

x(0)
 x(0) 
1
 cos0    0  arccos 
  arccos   ,
A
2
 A 
π
 2π n
1  3
но arccos    
 2   5π  2π n , где n -любое целое
3
число.
π
3
Ответ: x(t)=5 cos(t+ ) или x(t)=5 cos(t+
5π
)
3
Задача 10.
Уравнение плоской волны имеет вид s(r, t)=3 cos(10 t – 2 r). Найдите
скорость и круговую частоту такой волны.
Дано:
Решение:
s(r, t)=3 cos(10 t – 2 r) Используя s(r, t)=A cos( t – k r), находим,
что =10 рад/с, а т.к. k=/v, то v=5 м/с.
-?
Ответ: =10 рад/с, v=5 м/с.
v-?
- 11 -
Задача 11.
Дифференциальное уравнение затухающих гармонических
d2x
dx
колебаний имеет вид: 0,5 2  0,25  8x  0 .
dt
dt
Найдите коэффициент затухания и круговую частоту этих
колебаний.
Дано:
Решение:
Разделив каждое слагаемое в уравнении
d2x
dx
0,5 2  0,25  8x  0
d2x
dx
dt
dt
0,5 2  0,25  8x  0 на массу m=0,5,
dt
dt
 - ? 0 - ?
d2x
dx
2
приведем его к виду 2  2β  ω 0 x  0 , т.е
dt
dt
d2x
dx

0
,
5
 16x  0 .
dt
dt 2
Ответ: =0,25 с-1, 0=4 рад/c.
Задача 12.
Коэффициент затухания β равен 10 с-1, период колебаний Τ
составляет 0,1 с. Найдите величину логарифмического декремента
затухания λДЕКР и укажите, во сколько раз уменьшится амплитуда
колебаний через время t, равное 0,1 с.
Дано:
Решение:
T=0,1 с
Используя формулу ДЕКР=T,
=10 с-1
находим ДЕКР=10 с-1 0,1 с= 1.
A(t)
λ ДЕКР  ln
По
определению
, поэтому
A(t  T)
ДЕКР- ?
A(t)
A(t)
A(t)
1  ln
?

=e.
A(t  0,1)
A(t  0,1)
A(t  0,1)
Ответ: ДЕКР=1,
амплитуда уменьшится в e раз.
- 12 -
Задача 13.
Начальная фаза колебаний точки вида x(t)=A cos( t+0)) равна
нулю, период колебаний равен 1 с. Определите, в какой момент
времени скорость будет вдвое меньше его амплитудного значения.
Дано:
Решение:
0=0 рад
Так как круговая частота 0=2/T, то 0=2
T=1 с
рад/с, т.е. v(t)=-vmsin(2t) , поэтому
v(t1)=vm/2
vm/2= -vmsin(2t1) 
 1
arcsin 

2


sin(2t1)=-1/2  t 1 
2π .
Поскольку
7
 7π

2π
n

t

n
1
 1   6
12
arcsin    
 2  11π  2π n  t  11  n ,
1
12
 6
где n – любое целое число.
T1 - ?
7

t

Ответ: 1   n  с или
 12 
где n – любое целое число.
 11 
t 1    n  с,
 12 
Задача 14.
Найдите интенсивность звуковой волны с частотой 1000 Гц в
воздухе, если ее амплитуда составляет 0,05 мм, а скорость – 330 м/c.
Дано:
Решение:
=1000 Гц
ρvA 2 ω 2
 2ρvA 2 π 2 ν 2 ,
Используя формулу I 
-5
A=0,05 мм=510 м
2
2
находим, что I=21 Вт/м
v=330 м/с
=1,3 кг/м3
Ответ: I=21 Вт/м2.
I- ?
- 13 -
Задача 15.
Найдите скорость распространения звука в серебре.
Дано:
Решение:
E= 7,41010 Па
7,4  1010 Па
E
Т.к. v  ρ , то v  1,05  10 4 кг/м 3  2655 м/с
= 1,05 104 кг/м3
v- ?
Ответ: 2655 м/с.
Задача 16.
Определите модуль Юнга костной ткани.
Дано:
Решение:
3
ρкт = 2400 кг/ м
Так как v  Е , то E =v2  

v = 3650 м/c
E=(3650 м/c)2 2400 кг/ м3 =3,1971010 Па.
Ответ: Е=3,197∙1010 Па.
Е-?
Задачи для самостоятельного решения с ответами
1.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет
d2x
вид: 0,2 2  0,8x  0 . Найдите период и круговую частоту этих
dt
колебаний.
Ответ: T= с, 0=2 рад/c.
1.2. За 10 секунд амплитуда колебаний уменьшилась в е раз.
Найдите коэффициент затухания этих колебаний.
Ответ: =0,1 c-1.
1.3. Найдите ускорение, возникающее при гармонических колебаниях
вида: х(t)= 3cos(2t-1).
Ответ: a(t)= 12cos(2t-1).
1.4. Начальная фаза колебаний точки вида x(t)=A cos(t+0)) равна
нулю, период колебаний Τ=1 с. Определите, в какой момент
времени смещение будет вдвое меньше амплитуды?
Ответ: t= (1/6 + n) c или t= (5/6 + n) c (где n - любое целое число).
- 14 -
1.5. Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда
скорости vm = 63 см/с, период колебания Τ = 1 с, смещение точки от
положения равновесия в начальный момент времени равно нулю.
Ответ: x(t)=-10 sin(2t) или x(t)=10 sin(2t).
1.6. Как изменится период незатухающих колебаний математического
маятника, если амплитуду колебаний увеличить в 2 раза?
Ответ: Период не изменится.
1.7. Вынуждающая сила с круговой частотой ω, равной 2π рад/с,
действует на колебательную систему без трения. Если в системе
наступил резонанс, то чему будет равна круговая частота ωο
свободных колебаний такой системы?
Ответ: ωο=2 рад/с.
1.8. Период собственных колебаний маятника равен 0,5 с. Наступит
ли явление резонанса, если на точку подвеса маятника действует
периодическая сила с частотой 2 Гц?
Ответ: Да, явление резонанса будет наблюдаться.
1.9. Найдите длину волны, если ее скорость равна 1400 м/с, а частота
1500 Гц.
Ответ: =0,933 м.
1.10. Найдите скорость распространения звука в меди.
Ответ: v=3726 м/с.
1.11. Найдите величину модуля упругости мышечной ткани, если
скорость распространения звуковых волн в ней составляет 1490 м/с.
Ответ: 2,3·109 Па.
1.12. Определите скорость звука в коже, считая модуль упругости
равным 1,6·109 Па.
Ответ: 1364 м/с.
1.13. Найдите плотность костной ткани человека, если скорость
распространения звука в ней 3535 м/с, а величина модуля упругости
составляет 30 ГПа.
Ответ: 2400 кг/м3.
- 15 -
1.14. Два поезда удаляются друг от друга со скоростями 72 и 54
км/ч. Первый поезд дает свисток с частотой 600 Гц. Найдите частоту
колебаний звука, который услышит пассажир второго поезда.
Ответ: =540 Гц.
- 16 -
2. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Основные понятия и формулы
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух
колебаниях, происходящих вдоль одной линии:
x1  A1cosω01t  01  , x 2  A 2 cosω02t  02  .
Если частоты складываемых колебаний одинаковы ω 01  ω 02  ω 0 ,
тогда результирующее смещение точки
x  x 1  x 2  A1cosω 01t   01   A 2 cosω 02 t   02   A ОБЩ cosω 0 t   ОБЩ  .
Амплитуда результирующего колебания определяется
формулой:
A ОБЩ  A12  A 22  2A1 A 2 cos 01   02  .
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний: одно
направлено вдоль оси Ох, другое - вдоль оси Оу получаются
различные траектории материальной точки, названные фигурами
Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот
ωy
ωx
и
разности начальных фаз   01  02 слагаемых колебаний:
x  A1cosω X t   01  , y  A 2 cosω Y t   02  .
Например, если частоты колебаний одинаковы и равны ω X  ω Y  ω 0 ,
тогда
x  A1cosω0 t   01  y  A 2 cosω0 t   02 
Исключая время из уравнений, получим уравнение эллипса:
y2
xy
x2


2
cos 01   02   sin 2  01   02  .
2
2
A1 A 2
A1 A 2
Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно
перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты
материальная точка движется по эллиптической траектории.
- 17 -

0
π
4
π
2
3π
4

1:1
ωy
ωx
2:1
3:1
Рис. 2.1. Фигуры Лиссажу при различных соотношениях частот и
разности начальных фаз .
Данные фигуры Лиссажу можно наблюдать на осциллографе,
если на пластины Х осциллографа подать синусоидальное
напряжение частотой х= 50 Гц, а на пластины Y подключить
синусоидальный сигнал неизвестной частоты y.
50  n x
ν

По формуле y
n y можно рассчитать частоту y ,
где nX ,nY - количество точек, которые пересекает кривая оси Х и Y
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
На пластины Х осциллографа подано синусоидальное напряжение
частотой 50 Гц, а на пластины Y подключен сигнал неизвестной
частоты y. Наблюдаем рис .2.2. Чему будет равна частота y?
Дано:
Решение:
Определим по графику количество точек,
которые пересекает кривая оси Х и Y:
50  n x
ν

y
Рис. 2.2. nx= 2, ny=1. Поэтому
n y y = 100 Гц.
y - ?
Ответ: 100 Гц.
- 18 -
Задача 2.
Чему будет равна амплитуда колебания, полученного сложением
вдоль одной прямой двух гармонических колебаний одинаковых
частот, с различными амплитудами Α1 и А2 и одинаковыми
начальными фазами φ01=φ02 ?
Дано:
Решение:
Α1
Используя формулу
Α2
A ОБЩ  A12  A 22  2A1  A 2  cos( 01   02 ) ,
1=2
2
2
A

A

A
находим
ОБЩ
1
2  2A1  A 2  A1  A 2
φ01=φ02
AОБЩ- ?
Ответ: A ОБЩ  A1  A 2 .
Задача 3.
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
π
x

cos
t и y  cos π t .
колебаниях:
2
Найти траекторию результирующего движения точки (определить
вид фигуры Лиссажу).
Дано:
Решение:
А1=А2=1
Используя равенство cos(2)=2cos2-1,
Y =,
получим, что y=2x2-1.
X= Y/2 = /2.
Таким образом, имеем уравнение параболы
Найти уравнение
см. рис. 2.2.
результирующей
траектории.
Построить график
Ответ: уравнение параболы y=2x2-1.
траектории.
- 19 -
Задача 4.
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях: x  2sin ω t (см) и y  2cos ωt (см). Найти траекторию
результирующего движения точки (определить вид фигуры Лиссажу).
Дано:
Решение:
А1=А2=2 см
π

x

2sin
ωt

2cos
ωt


 , то
Поскольку
X= Y = .
2

π
2
разности начальных фаз = .
Разделим на соответствующие амплитуды
уравнения смещения x и y:
y
x
 sin ωt  ,
 cosωt  .
A1
A2
Найти уравнение
результирующей
траектории.
Построить график
траектории
Учитывая тригонометрическое тождество:
2
2
x
y
cos2+sin2=1, получим A2  A2  1 
1
2
x2+ y2=4 уравнение окружности.
Рис. 2.3.
Ответ: x2+ y2=4. Окружность радиуса 2 см.
- 20 -
Задача 5.
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
π

колебаниях: x  sin  t и y  2sin  πt   . Найти траекторию
2

результирующего движения точки (определить вид фигуры Лиссажу).
Дано:
Решение:
А1=1
π
x  2sin( πt  )  2cos πt , то
Так
как
А2=2
2
X= Y = .
разделив на соответствующие амплитуды
π
уравнения смещения x и y, получим
=
2
y
x
 sin ωt  ,
 cosωt  . Учитывая
A1
A2
тригонометрическое тождество:
Найти уравнение
результирующей
траектории.
Построить график
траектории
x2 y2

1
cos +sin =1, получим
1
4
уравнение эллипса
2
2
Рис. 2.4.
x2 y2

 1.
Ответ:
1
4
- 21 -
Задача 6.
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях: x  sin  t и y  2sin πt  π  . Записать уравнение
результирующего колебания. Определить вид траектории.
Дано:
Решение:
А1=1
Поскольку y  2sin( πt  π)  2sin πt .
А2=2
y
Разделим смещение y на x:  2  y= - 2 x
X= Y = .
=
Найти уравнение
результирующей
траектории.
Построить график
траектории
x
уравнение прямой
Рис. 2.5.
Ответ: уравнение прямой y= - 2 x.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
2.1. Определите сдвиг фаз двух колебательных движений, заданных
уравнениями: x1(t)=A1sin(20πt - π/3) и x2(t)=Α2sin(20πt + π/3).
Ответ: = 2π/3 рад
2.2.
Точка
участвует
одновременно
в
двух
взаимноπ
перпендикулярных колебаниях: x  2 sin πt и y  sin ( πt  ) . Записать
2
уравнение результирующего колебания. Определить вид траектории.
x2 y2

 1 , фигура Лиссажу – эллипс.
Ответ:
4
1
2.3. На горизонтально и вертикально отклоняющие пластины
осциллографа подаются соответственно напряжения: U1= 2 sin2t,
U2= 2 cos2t. Определить уравнение траектории, описываемой
электронным лучом на экране осциллографа.
2
2
Ответ: U1 U 2  4 , фигура Лиссажу - круг.
- 22 -
2.4. На горизонтально и вертикально отклоняющие пластины
осциллографа подаются соответственно напряжения: U1= 3sin2t,
U2= 5sin2t. Определить уравнение траектории, описываемой
электронным лучом на экране осциллографа.
Ответ: U1  0,6U 2 , фигура Лиссажу – прямая линия.
- 23 -
3. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ И
БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ
Основные понятия и формулы.
Деформация - изменение формы и размеров твёрдых тел под
действием внешних сил.
Относительная продольная деформация при растяжении (сжатии)
определяется как  
L  L  L0
L
,
L0
где
Lo -
длина тела до начала деформации,
- абсолютное удлинение тела,
L–
длина тела после
деформации. При растяжении L положительно, при сжатии L
отрицательно.
Механическое напряжение – мера внутренних сил, возникающих при
деформации материала. Определяется как сила, действующая на
единицу площади сечения тела.
При деформации растяжения (сжатия), механическое напряжение
равно:

F
, где F – сила направлена по нормали к поверхности площадью
S
S.
При деформации сдвига, механическое напряжение равно:

F
, где F – сила направлена по касательной к поверхности
S
площадью S.
Для упругих деформаций выполняется закон Гука:
Напряжение прямо пропорционально деформации.
При деформации растяжения (сжатия), закон Гука имеет вид:
  Е   , где Е – модуль упругости (модуль Юнга) определяется
напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное
единице.
При деформации сдвига, закон Гука имеет вид:
  G , где G – модуль упругости при сдвиге, γ – относительный
сдвиг.
- 24 -
Энергия деформации при упругом растяжении (сжатии):
E
FL
2
Уравнение Ламе:
pr

, где σ – напряжение в сечении сосуда с толщиной h, радиусом
h
внутренней части r и давлением p внутри сосуда.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Найдите механическое напряжение силы 20 Н, которая действует
вдоль мышечных волокон поперечного сечения 2 см2.
Дано:
Решение:
F = 20 Н
Механическое
напряжение
при
деформации
F
S = 2 см2
растяжения определяется как  
,
S
тогда  
σ =?
Ответ:
20
Н
Н
 10
 105
2
см 2
м2
  105
.
Н
.
м2
Задача 2.
Игла при уколе вдавливается с силой 7 Н, площадь острия 0,001 мм2.
Найдите давление иглы на поверхность.
Дано:
Решение:
F=7Н
Давление определяется как,
2
S = 0,001 мм
F
7Н
3
2
9
2
Р 

7

10
Н/мм

7

10
Н/м
.
S 0,001мм 2
Р =?
Ответ: Р=7109 Н/м2.
- 25 -
Задача 3.
Найдите относительное удлинение бруска, если его длина
изменилась с 10 мм до 12 мм.
Дано:
Решение:
L0 = 10 мм
Относительное
удлинение
при
деформации
L1 = 12 мм
растяжения определяется как
 
ε=?
L1  L0 12 мм  10 мм

 0,2 .
L0
10 мм
Ответ: ε = 0,2.
Задача 4.
Механическое напряжение при упругой деформации мышцы
выросло в 1,5 раза. Во сколько раз изменится относительное
удлинение мышцы?
Дано:
Решение:
σ1 = 1,5 σ0
При упругой деформации
  Е   , тогда
1
 Е

 1
 1  1,5
0
Е 0
0
ε1/ε0 = ?
Ответ: ε1/ε0 = 1,5.
Задача 5.
Найдите абсолютное удлинение стержня, если его длина изменилась
с 20 до 23 мм.
Дано:
Решение:
L0 = 20 мм
L1  L0  23  20  3мм  3 103 м .
L1 = 23 мм
L1-L0 =?
Ответ: L1-L0 = 310-3м.
- 26 -
Задача 6.
Механическое напряжение, которое действует в стенке кровеносного
сосуда, составляет 1105 Н/м2 при давлении крови 5 кПа. Найдите
толщину стенки кровеносного сосуда, если его диаметр 0,02 м.
Дано:
Решение:
5
2
σ = 10 Н/м
Используем уравнение Ламе
Рr
Р = 5 кПа
 
h откуда,
d = 0,02 м
h
h=?
Рr

5  103 Па  0,02 м3

 5  10 4 м
5
10 Н  2
Ответ: h = 510-4 м.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
3.1. Механическое напряжение, которое действует вдоль мышечных
волокон, составляет 5 105Н/м2 . Какая максимальная сила развивается
в 1см2 поперечного сечения таких волокон?
Ответ: F=50 Н.
3.2. Мышечные волокна растягиваются силой 40 Н при механическом
напряжении 2105Н/м2. Найдите диаметр мышечных волокон.
Ответ: d=1,6 10-2 м.
3.3. Найдите механическое напряжение силы 30 Н, которая действует
вдоль мышечных волокон поперечного сечения 1 см2.
Ответ: σ =3 105 Н/м2
3.4. Длина стержня при упругой деформации сжатия уменьшилась на
2%. На сколько и как изменилась сила при такой деформации?
Ответ: Сила увеличилась на 2%.
3.5. Площадь поперечного сечения плечевой кости равна 3,3 см2, а
предел прочности сжатия составляет 1,7108Н/м2 и при растяжении –
1,2108Н/м2. Какой максимальный вес может выдержать плечевая
кость при сжатии или растяжении?
Ответ: Fсж = 5,6104 Н, Fр = 4104 Н.
- 27 -
3.6. Механическое напряжение, которое действует в стенке
кровеносного сосуда, составляет 1105Н/м2 при давлении крови 5 кПа.
Найдите диаметр кровеносного сосуда, если его стенка имеет
толщину 0,5 мм.
Ответ: d= 0,02м.
3.7. Относительное удлинение мышцы при упругой деформации
выросло в 2 раза. Во сколько раз изменилось механическое
напряжение?
Ответ: Увеличилось в 2 раза.
3.8. В поршне развивается давление 5 Па, под действием силы 5 Н.
Найдите диаметр поршня.
Ответ: d=1,12м.
3.9. Найдите абсолютное удлинение стержня, если его длина
увеличилась с 50 до 55 мм.
Ответ: ∆L=510-3 м.
3.10. Найдите относительное удлинение мышцы, если ее длина
изменилась с 30 до 35 мм.
Ответ: ε=0,17.
3.11. Сухожилие растягивается, подчиняясь закону Гука, на 3мм при
приложении силы растяжения, равной 14 Н. Рассчитайте энергию,
запасённую в сухожилии.
Ответ: Е=0,025 Дж.
3.12. Как изменится абсолютное удлинение нити, если, не меняя
нагрузку, нить заменить другой из такого же материала, имеющей
вдвое большую длину и диаметр?
Ответ: Уменьшится вдвое.
3.13. Стальная струна длиною 3 м и диаметром 0,8 мм висит
вертикально. К свободному концу подвесили груз массой 10 кг.
Длина струны увеличилась на 0,6 мм. Определить напряжение,
относительное удлинение и модуль упругости.
Ответ: σ =64 мПа, ε=210-4, k=360 гПа.
- 28 -
4. БИОАКУСТИКА
Основные понятия и формулы
Интенсивность I плоской звуковой волны:
P2
I
2v ,
где
Р-
акустическое
давление,
v-
скорость
распространения звука, ρ -плотность среды.
Амплитудное значение акустического давления Р:
P=A  ρ v, где А, v – амплитуда и скорость волны, ρ -плотность
среды, - циклическая частота колебаний частиц среды,
Уровень интенсивности звука L (измеряемый в децибелах):
I
L  10 lg , где I - интенсивности исследуемого звука,
I0
I0- интенсивность звука на пороге слышимости на частоте 1 кГц.
Закон Вебера – Фехнера:
I
Е  k lg , где k- коэффициент, зависящий от частоты и
Io
интенсивности, E- громкость звука измеряется в фонах.
I
L

Е

10
lg
На частоте 1 кГц k=1, тогда
Io .
Акустическое сопротивление среды Z:
Z=v , где v –скорость распространения звука в среде,
 - плотность среды.
Коэффициент отражения r звуковых волн, падающих на плоскую
границу раздела двух сред с акустическими сопротивлениями Z1 и
Z2 (при нормальном падении):
r
β
I отр
I пад
I прош
I пад
2
 Z  Z1 
 2
 ,
 Z 2  Z1 

4 Z1 Z 2
Z 2  Z1 2 .
а
коэффициент
пропускания
:
- 29 -
Закон поглощения звука (ультразвука) веществом:
I d  I 0 e d , где I0 и Id – соответственно интенсивности звука на
поверхности вещества и на расстоянии d от поверхности, µ коэффициент поглощения звука средой.
Скорость v распространения звуковой волны:
v =  ,
где  - длина волны,  - частота волны.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Интенсивности двух звуков с одинаковой частотой 1 кГц отличаются
в 1000 раз, на сколько отличаются их громкости?
Дано:
Решение:
Громкость звука связана с интенсивностью законом
I x1
I
I x 2 =1000
Е

k
lg
Вебера – Фехнера
Io
Е1 – Е2 - ?
на частоте 1 кГц коэффициент k=1. Поэтому
I
E1  E 2  10 lg x1  Е1 – Е2 =10lg1000=30 фон.
I x2
Ответ: Е1 – Е2 =30 фон.
Задача 2.
Коэффициент поглощения ультразвука частотой 800 кГц мышечной
тканью равен 0,19 см-1. Найдите толщину ткани, соответствующую
уменьшению интенсивности ультразвука вдвое.
Дано:
Решение:
µ = 0,19 см -1
Id
I
 e d  0  ed 
I d  I 0 e d , то
Так
как
I0
Id
I0
2
Id
 I0 
   d  ln 2  d , отсюда окончательно:
ln
ν =800 кГц
 Id 
ln 2
0,693
d

 3,6 см .
d-?
1

0,19 см
Ответ: d= 3,6 см.
- 30 -
Задача 3.
Определите, при какой интенсивности и амплитудном значении
звукового давления для звука с частотой 1 кГц наступил разрыв
барабанной перепонки, если уровень интенсивности данного звука
составляет 150 дБ.
Дано:
Решение:
L = 150 дБ
I
I
L

10
lg
150  10 lg 12 . 
-12
2 Т.к.
,
то
I0 = 10 Вт/м
I0
10
v = 331 м/c
I= 101510-12 Вт/м2 =103 Вт/м2.
ρ = 1,3 кг/м3
Акустическое давление и интенсивность связаны
I, Р - ?
следующим
соотношением
P2
I
,
2v
отсюда
P 2  2I v  
P  2I v   2  103 Вт / м 2  331 м / с  1,3 кг / м3  928 Па.
Ответ: I=103 Вт/м2, Р= 928 Па.
Задача 4.
Шум на улице, которому соответствует уровень интенсивности звука
в L1= 50 дБ, слышен в комнате так, как шум L2= 30 дБ. Найдите
отношение интенсивностей звука на улице и в комнате.
Дано:
Решение:
L1= 50 дБ
I x1
Ix2
I
L

10
lg
L

10
lg
,
a
L

10
lg
1
2
Т.к.
L2= 30 дБ
I0
I0 .
I 0 , то
I x1
I x 2 -?
I x1
Ix2
Тогда 50  10 lg I , a 30  10 lg I и
0
0
I x1  10 I 0 , a I x 2
5
I x1
Ответ: I =100.
x2
I x1 105 I 0
 3  102  100 .
 10 I 0 
I x 2 10 I 0
3
- 31 -
Задача 5.
Найдите коэффициент отражения при переходе звуковой волны из
воды в спирт при нормальном падении.
Дано:
Решение:
3
2
ρв= 1000 кг/м
I отр  Z 2  Z1 
Т.к. r  I   Z  Z  , где Z1 – акустическое
ρсп= 789 кг/м3
пад
1
 2
vв = 1497 м/c
сопротивление воды, а Z2 - акустическое
vсп = 1170 м/c
сопротивление спирта, следовательно:
Z1 = 1000 кг/м3∙1497 м/c = 1,497∙106 кг/ (м2∙с)
r- ?
Z2= 789 кг/м3∙1170 м/c = 9,231∙105кг/(м2∙с)
2
 Z  Z1 
 0,9231  1,497 
 0,5739 
r 2



 0,9231  1,497 
 2,4201   0,06 .
Z

Z




1
 2
Ответ: r ≈ 0,06.
2
2
Задача 6.
Частота колебаний волны 200 Гц, длина волны 1,5 м. Определите
скорость распространения волны.
Дано:
Решение:
ν = 200 Гц
Так как v= ν∙ λ, то v=200 Гц∙1,5м=300 м/c.
λ = 1,5 м
Ответ: v=300 м/c.
v-?
Задачи для самостоятельного решения с ответами
4.1. Акустическое сопротивление мышечной ткани человека равно
1,63 106 Па∙м/c. Определите скорость распространения ультразвука в
мышечной ткани.
Ответ:1538 м/с.
4.2. Для ультразвука частотой 800 кГц коэффициент поглощения
мышечной тканью равен 0,19 см-1. Найдите толщину ткани,
соответствующую уменьшению интенсивности ультразвука в e раз.
Ответ: 5,3 см.
- 32 -
4.3. Интенсивность сердечных тонов, воспринимаемых через
стетоскоп, равна 10-9 мкВт/см2. Определите уровень интенсивности
тонов сердца.
Ответ: 10 дБ.
4.4. Найдите значение акустического давления в ткани организма на
глубине 2 см при облучении ее ультразвуком интенсивностью
2 Вт/см2. Коэффициент поглощения ткани считать равным 0,19 см -1,
ее плотность - 1,06 г/см3, скорость ультразвука - 1550 м/с.
Ответ: 3,8 Па.
4.5. Звук гудка локомотива создает добавочное давление 90 Па.
Вычислите интенсивность звука в воздухе.
Ответ: 9,4 Вт/м2.
4.6. Определите интенсивность звуковой волны с амплитудой 10 см и
частотой 50Гц, если акустическое сопротивление мозга–
1,6∙106кг/(м2 с).
Ответ: 7,88·108 Вт/м2.
4.7. Определите амплитудное значение звукового давления звуковой
волны с амплитудой 10 см и частотой 50 Гц, если акустическое
сопротивление печени –1,7106 кг/(м2 с).
Ответ: 5,3 107 Па.
4.8. Какова интенсивность звуковой волны частотой 50 Гц в жировой
ткани человека (скорость звука– 1460 м/с; плотность ткани –
0,86 г/см3) при амплитуде 50 см?
Ответ: 3,09∙108 Вт/м2
4.9. Определите интенсивность, амплитудное значение звукового
давления в воздухе для звука с частотой 1 кГц и уровнем
интенсивности 120 дБ.
Ответ: I = 1 Вт/м2 ; P =20 Па.
4.10. Интенсивность звука громкого разговора с частотой 1 кГц равна
10-6 Вт/м2. Чему равен уровень интенсивности звука?
Ответ: 60 дБ.
- 33 -
4.11. Уровень интенсивности звука раскатов грома равен 120 дБ, а
разговора нормальным голосом - 50 дБ. Во сколько раз отличаются
интенсивности этих звуков на частоте 1000 Гц.
Ответ: в 107 раз.
4.12. Определите силу, действующую на барабанную перепонку
человека (площадь S=66 мм2) для двух случаев 1) порог слышимости;
2) порог болевого ощущения. Частота звука равна 1кГц.
Ответ: 1) 1,95 нН; 2) 6,17 мН.
4.13. Два звука частотой 1000 Гц отличаются по уровню громкости на
1 фон. Найдите отношение интенсивностей этих звуков.
Ответ: 10.
4.14. Шум на улице громкостью 70 фон слышен в комнате так, как
шум громкостью 40 фон. Найдите отношение интенсивностей звука
на улице и в комнате. Частота звука равна 1 кГц.
Ответ: 103.
4.15. При диагностировании патологического изменения в тканях
организма методом УЗ – эхолокации отраженный сигнал был принят
через 5∙10-5 с после излучения. На какой глубине в тканях была
обнаружена неоднородность?
Ответ: ≈ 4 см.
4.16. Частота звука, соответствующая мычанию быка, равна 50 Гц.
Комариному писку соответствует частота 10 кГц. Каким длинам
волнам соответствует эти звуки?
Ответ: 6,62 и 3,3·10-2 м.
4.17. Для ультразвука частотой 870 кГц коэффициент затухания для
печени равен 0,15 см-1. Какой толщины должна быть печень, чтобы
интенсивность ультразвука уменьшилась втрое?
Ответ: 5,8 см.
4.18. Чему равен коэффициент поглощения ультразвука частотой
1 МГц для мышечной и жировой ткани, если глубина
полупоглощения для них 2,10 и 3,3 см соответственно?
Ответ: 0,33 и 0,21 см-1 соответственно.
- 34 -
4.19. Длина волны 1,66 м. Определите скорости распространения
волн, если частота колебаний волн равна: 1)1000 Гц; 2) 2000 Гц.
Ответ: 1)1660 м/с; 2) 3320 м/с.
4.20. Определите глубину, на которой интенсивность ультразвука
частотой 1 МГц уменьшается вдвое для: 1) костной ткани µ = 3см-1; 2)
крови µ = 0,02 см-1 .
Ответ: 1) 0,23 см 2) 35 см.
4.21. Известно, что человеческое ухо воспринимает упругие волны в
интервале частот от 20 Гц до 20 кГц. Каким длинам волн
соответствует этот интервал в воздухе? В воде? Скорости звука в
воздухе и воде равны 340 м/с и 1400 м/с соответственно.
Ответ: в воздухе - 17 и 0,017 м; в воде – 70 и 0,07 м.
4.22. Определите, какая доля звуковой энергии переходит из воды в
глицерин.
Ответ: ≈ 94%.
4.23. Определите, какая доля звуковой энергии отражается на границе
вода-воздух.
Ответ: ≈99,9%.
4.24. Определите, какая доля звуковой энергии отражается на границе
вода мышечная ткань.
Ответ: ≈0,03%.
4.25. Определите, какая доля звуковой энергии переходит из воды в
мышечную ткань.
Ответ: ≈ 100%.
- 35 -
5. ГИДРОДИНАМИКА
Основные понятия и формулы
Условие неразрывности струи:
v1S1=v2S2 , где S1 и S2 – площади поперечного сечения трубки
тока в различных местах, v1 и v2 соответствующие им скорости
течений.
Уравнение Бернулли для точек идеальной жидкости, принадлежащих
одной линии тока:
v 2
p ст 
 gh  const , где рст- статическое давление, v2/2 –
2
динамическое давление, gh - гидростатическое давление,  плотность жидкости, v - ее скорость, h- высота, соответствующей
точки жидкости, относительно уровня Земли.
Формула Торричелли. Скорость истечения жидкости через отверстие:
v  2gh , g– ускорение свободного падения, h– высота уровня
жидкости в сосуде (относительно отверстия).
Уравнение Ньютона для вязкой жидкости. Сила внутреннего трения:
dv
dv
Fтр   S , где
– градиент скорости, S – площади
dx
dx
соприкасающихся слоев, – коэффициент вязкости жидкости.
Вязкость крови кр и вязкость плазмы пл :
кр  пл /(1  Ф ) , где Ф – гематокрит.
Формула Пуазейля. Объем жидкости при ламинарном течении,
переносимый за 1с через сечение цилиндрической трубы радиусом R:
R 4 (P1  P2 )
Q=
, где L – длина трубы,
8
L
P1 – P2 – разность давлений на концах трубы.
Гидравлическое сопротивление:
8 L
X
, где R, L - радиус и длина трубы,  - коэффициент
R 4
вязкости жидкости.
- 36 -
Общее гидравлическое сопротивление при последовательном
соединении вычисляется по формуле:
1
1
1
1



...

X=X1+ X1+ …+Xn, а при параллельном - X X X
Xn .
1
2
Закон Стокса:
Fтр  6r v , где v – скорость шарика, r - радиус шарика,  коэффициент вязкости среды.
Скорость медленного падения шарика в вязкой жидкости:
2 (   ж ) 2
v
r g , где  - плотность материала, из которого сделан
9

шарик, ж – плотность жидкости, r - радиус шарика, g –ускорение
свободного падения.
Число Рейнольдса для трубы диаметром D:
 vD
Re  ж
, где ж – плотность жидкости, v – скорость течения

жидкости,  - коэффициент вязкости жидкости.
Формула Моенса – Кортевега:
vn 
Eh
d ,
vп - скорость распространения пульсовой волны в
сосуде диаметром d с толщиной стенки h, Е- модуль Юнга,
-плотность жидкости. Если известны D и d –соответственно её
внешний и внутренний диаметры, то v n 
E D 
1 .
  d 
Работа сердца A:
v 2 Vy 
6 

А  рVy 

5
2  , где р – разность между систолическим и
диастолическим давлениями в левом желудочке; Vу- объем крови,
выбрасываемой сердцем за время одного сокращения;
v - скорость крови в момент изгнания из желудочка.
- 37 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью
50 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, если
разность давлений в широкой и узкой частях 1,33 кПа.
Дано:
Решение:
v1 = 50 см ∕с = 0,5 м ∕с
Согласно уравнению Бернулли
3
∆р =1,33 кПа =1,33∙10 Па
v 2
pст 
 gh  const ; так как труба
ρ = 1000 кг ∕м3
2
v2 - ?
расположена горизонтально, то
гидростатическое давление gh будет
постоянным, следовательно:
2p
v12
v 22
2
2
p1 
 p2 
и v 2    v1
2
2
2  1,33  10 3 Па
v 
 0,25м 2 / с 2  2,41 м 2 / с 2
3
1000 кг / м
2
2
v2 = 2,41 м / с  1,55 м / с .
Ответ: v2 = 1,55 м ∕с.
Задача 2.
Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной трубы
5 см/с. Найдите скорость течения в той части трубы, которая имеет
вдвое меньший диаметр.
Дано:
Решение:
v1 = 5 см ∕с = 0,05 м ∕с
Согласно условию неразрывности струи:
d1
v 1S1
d 2
2
2
d2
v1S1=v2S2  v 2  S , но S  r 
4
2
v d 16
v 2  1 1 2  4v1  0,2 м / с .
4d1
2
v2 - ?
Ответ: v2 = 0,2 м ∕с.
- 38 -
Задача 3.
Вычислите силу, действующую на площадь дна русла, равную 2 м 2,
если по нему перемещается поток воды высотой 2 м. Скорость
верхнего слоя воды 30 см/с, скорость нижних слоев постепенно
уменьшается и равна нулю у дна.
Дано:
Решение:
v1=30 см ∕с=0,3 м ∕с
dv
Так как Fтр =  S , то
v2 =0
dx
h=2м
0,3 м / с
2
-3
-4
2
м
F
=
10
Пас
=
3∙10
Н.
2
тр
2м
S=2м
 = 10-3 Пас
Fтр - ?
Ответ: Fтр =3∙10-4 Н.
Задача 4.
Определите вязкость плазмы, если вязкость крови 0,004 Пас, а
гематокрит 0,3.
Дано:
Решение:
кр = 0,004 Пас
Поскольку кр  пл /(1  Ф )  пл  кр  (1  Ф ) .
Ф = 0,3
пл= 0,004 Пас  (1-0,54) = 0,0018 Пас.
Ответ: пл = 0,0018 Пас.
пл - ?
Задача 5.
Вычислите модуль Юнга для стенок артерий, если известно, что
d/D=0,9, скорость пульсовой волны в артериях 8 м/с.
Дано:
Решение:
d/D =0,9
E D 
E D 
2
3
v


1
v

1 .
П
Так как П
ρ = 1050 кг ∕м
  d  , то
  d 
vп =8 м ∕с
v 2П 
64 м 2 / с 2  1050 кг / м 3
E

 6,1  105 Па.
0,1
D 
 1

Е-?
d 
Ответ: Е =6,1∙105 Па.
- 39 -
Задача 6.
При инъекции иногда возникает необходимость быстрого введения
лекарства. В каком случае и во сколько раз процедура пройдет
быстрее: при увеличении давления в два раза или при увеличении
диаметра иглы в два раза? Длины игл одинаковые.
Дано:
Решение:
Р 2 = 2 Р1
При инъекции объем жидкости, вводимый в
d 2= 2 d1
единицу времени, можно определить по
R 4 (P1  P2 )
формуле Пуазейля: Q =
.
8
L
При увеличении давления:
R 4 2P1
R 4 P1
Q1 =
; Q2 =
8 L
8 L
Q
p
1  1  1 ; Q  2Q
2
1 , т.е. в 2 раза.
Q
2 2p1 2
При увеличении диаметра иглы:
4
 d1 
 
4
Q
1   2  ; Q  Q116d 1  16Q
2
1
4
4
,
Q
d
1
2
d


2  1
 2 
т.е. в 16 раз.
Ответ: При увеличении диаметра иглы
процедура пройдет в 8 раз быстрее, чем при
увеличении давления.
- 40 -
Задача 7.
Сравните гидравлическое сопротивление сосудов с диаметрами
d1 = 8 мм и d2 = 1,5 мм, на участке длиной 50 см.
Дано:
Решение:
d1= 8 мм = 0,008 м
8L
X

Гидравлическое сопротивление
.
d2= 1,5 мм= 0,0015 м
R 4
L= 50 см = 0,5 м
8 L
8  0,005 Па  с  0,5 м
Па  с
X1 

 2,5  107
4
4
м3
кр = 0,005 Пас
3,14  0,004 м 
d
 
ρкр = 1050 кг ∕м3
2
X1
?
X2
X1 
8 L
d
 
2
4

8  0,005 Па  с  0,5 м
Па  с
 2  1010 3
4
м ;
3,14  0,00075 м 
X1 2,5  107

 1,25  10 3 .
10
X2
2  10
X1
3
Ответ: X  1,25  10 гидравлические
2
сопротивления сосудов отличаются в 1250 раз.
Задача 8.
Найдите, сколько времени необходимо, чтобы в комнате высотой 3 м
полностью осела пыль (считать, что частицы пыли сферической
формы диаметром 2 мкм, а их плотность равна 2,5 г/см3)?
Дано:
Решение:
h= 3 м
При равномерном падении частиц сферической
dп = 2 мкм= 2∙10-6 м
2 (пыль  возд ) 2
v

r g,
формы их скорость:
9
возд
возд = 1,8∙10-5 Пас
ρпыль = 2,5 г ∕cм3 =
9 h возд
h
3 Но t 
t

тогда
=2500 кг ∕м
2(пыль  возд )r 2 g . Поэтому
v
ρвозд = 1,3 кг ∕м3
9  3 1,8 10 5 Па  с
2
t
 9,9 103 c.
g= 9,81 м/c
2
3
6
2


2

(
2500

1
,
3
)
кг
/
м
10
м

9
,
81
м
/
c
t-?
Ответ: t ≈9,9 ∙103 ≈2,75 часа.
- 41 -
Задача 9.
При атеросклерозе критическое число Рейнольдса в некоторых
сосудах становится равным 1160. Найдите скорость, при которой
возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в
сосуде с диаметром 1,25 мм.
Дано:
Решение:
-3
D=1,25 мм=1,25∙10 м
ж vD
Re

Число Рейнольдса
. Если число

в = 5∙10-3 Пас
ρ = 1050 кг ∕м3
Рейнольдса для сосуда больше критического,
то движение жидкости будет турбулентным.
Иначе, если скорость жидкости в сосуде (при
v -?
постоянном D,  и ρ) больше критической
скорости, то течение переходит в
турбулентное.
v КРИТ
Re 
1160  5  10 3 Па  с


 4,4 м / с
 D 1050 кг / м 3  1,25  10 3 м
Ответ: v  4,4 м ∕с.
Задача 10.
Вычислите работу, производимую сердцем человека, за одно
сокращение, если систолическое давление - 120 мм.рт.ст., а
диастолическое -70 мм.рт.ст. Средняя скорость крови на выходе из
сердца – 0,5 м/с. Объем крови, выбрасываемый за одно сокращение –
70 мл.
Дано:
Решение:
Рсис=120 мм рт.ст. =16 кПа Работа сердца вычисляется по формуле:
Рдиаст=70 мм рт.ст.=9,3 кПа
v 2 Vy 
6
А  р Vy 
 . Поэтому
ρ= 1050 кг ∕м3
5 
2 
v =0,5 м ∕с
A=1,2[ (16-9,3) 103 Па710-2 л +
-2
Vу = 70 мл = 7∙10 л
1050 кг/м30,125 м2/с2710-2 л] 478 Дж
А-?
Ответ: А = 478 Дж.
- 42 -
Задачи для самостоятельного решения с ответами
5.1. Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной
трубы 5 см/c. Найдите скорость течения в части трубы, имеющей
вдвое меньшую площадь поперечного сечения.
Ответ: 0,1 м/с.
5.2. Наблюдая под микроскопом движение эритроцитов в капилляре,
можно измерить скорость течения крови (vкр=0,5 мм/с). Средняя
скорость тока крови в аорте составляет vа=40 см/c. На основании этих
данных определите, во сколько раз сумма поперечных сечений всех
капилляров больше сечения аорты.
Ответ: в 800 раз.
5.3. Скорость течения воды во всех сечениях наклонной трубы
одинакова. Найдите разность давлений в двух точках, высоты
которых над уровнем Земли отличаются на 0,5 м.
Ответ: 4900 Па.
5.4. В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью
-50 см/с в узкой части трубы – 1 м/c. Определите разность давлений в
широкой и узкой частях трубы.
Ответ: 3675 Па.
5.5. Из небольшого отверстия в дне широкого сосуда вытекает
жидкость. Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что
высота жидкости в сосуде 1 м.
Ответ: ≈ 4,4 м/с.
5.6. С какой силой выталкивается вода из иглы шприца, если на
поршень действует сила 6 Н? Площадь поршня 3 см2, площадь
отверстия иглы 2 мм2.
Ответ: 0,09 Н.
5.7. Вычислите силу, действующую на площадь (S=4 м2) дна русла,
если по нему перемещается поток воды высотой 2 м. Скорость
верхнего слоя воды 40 см/с, скорость нижних слоев постепенно
уменьшается и равна нулю у дна.
Ответ: 8∙10-4 Н.
- 43 -
5.8. Определите градиент скорости воды, если сила трения между
слоями жидкости 0,13 Н, а площадь соприкасающихся слоев 13 м2.
Ответ: 10 с-1.
5.9. Как изменится величина гематокрита при изменении вязкости
плазмы от 1,2 10-3 до 2,8 10-3 Пас.
Ответ: Уменьшится на 0,4.
5.10. Определите относительную вязкость крови, если вязкость
плазмы – 1,5 мПа с, а гематокрит 0,3.
Ответ: ≈3,3 мПас.
5.11. Найдите величину гематокрита, если вязкость крови 4,6 мПас,
а вязкость плазмы 1,7 мПас.
Ответ: ≈40%.
5.12. Определите и сравните гидравлическое сопротивление
артериолы радиусом - 0,04 мм и капилляра радиусом -0,008 мм на
участке сосуда длиной 50 см.
кг
кг
Ответ: Ха = 25∙1014 2 ; Хк = 15000∙1014 2 ; Хк/ Ха = 600.
м с
м с
5.13. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда
длиной 0,12 м и радиусом 0,1 мм?
кг
13
Ответ: 1,53∙10
.
м 2с
5.14. Широкий сосуд разветвляется на два мелких параллельных
сосуда, имеющих гидравлическое сопротивление Х1=5 и Х2=10
соответственно. Найдите гидравлическое сопротивление системы.
кг
Ответ: 3,3 2 .
м с
5.15. Найдите гидравлическое сопротивление системы, состоящей из
двух
последовательно
соединенных
сосудов,
имеющих
кг
кг
сопротивления: Х1=20 2 и Х2=24 2 .
м с
м с
кг
Ответ: 190 2 .
м с
- 44 -
5.16. Определите в течение, какого времени в комнате высотой 2,8 м
полностью осядет пыль. Частицы пыли считать шарообразной формы
радиусом 2 мкм, с плотностью вещества 2 г/см3 .
Ответ:≈50 мин.
5.17. Определите СОЭ в плазме крови (в мм/ч), исходя из
предположения, что они имеют форму шариков диаметром 7 мкм и
не склеиваются между собой (плотность эритроцитов 1090 кг/м3).
Ответ: 3,8 мм/ч.
5.18. Определите коэффициент вязкости крови лошадей, если
плотность крови 1050кг/м3, плотность эритроцитов 1,09 10 3 кг/м3,
радиус эритроцитов 6 мкм, СОЭ в норме 6,4 мм/час.
Ответ: 1,8 мПа.
5.19. Найдите скорость и время полного оседания сферических
частиц радиусом 2 мкм (плотность вещества 2,5 г/см3) в слое воды
толщиной 3 см под действием силы тяжести.
Ответ: v = 1,3∙10-3 м/c; t= 2300 c.
5.20. При инъекции иногда возникает необходимость быстрого
введения лекарства. В каком случае и во сколько раз процедура
пройдет быстрее: при увеличении давления в два раза или при
увеличении длины в два раза иглы? Диаметры игл одинаковые.
Ответ: при увеличении давления процедура пройдет в два раза
быстрее.
5.21. При нормальной частоте сокращений сердца полный
кругооборот крови происходит за 60 с. Считая объем крови, равным
5 л, определите общее сопротивление кровотоку. Перепад давления в
сердце принять равным 13,3 кПа.
Ответ: 159,6 ∙106.
5.22. Определите максимальное количество крови, которое может
пройти через аорту, чтобы течение сохранилось ламинарным.
Диаметр аорты 0,2 см, вязкость крови 5 мПас, число Рейнольдса
1000.
Ответ: 7,48∙10-3 м3.
- 45 -
5.23. При атеросклерозе критическое число Рейнольдса в некоторых
сосудах становится равным 1160. Определите скорость течения
крови, при которой возможен переход ламинарного в турбулентное
течение в сосуде диаметром 2,5 мм.
Ответ: 2,2 м/с.
5.24. Какой характер ламинарный или турбулентный имеет движение
крови в аорте, скорость крови 0,5 м/с и диаметр сосуда 8 мм. Найти
критическое значение скорости. Критическое число Рейнольдса 2000.
Ответ: ламинарное; 1,9 м/с.
5.25. Чему равно число Рейнольдса, если скорость крови в артерии
сечением 7 мм2, равна 0,5 см/с.
Ответ: 3,1.
5.26. Вода течет по трубе, причем за 1 с через поперечное сечение
трубы протекает 200 см3 воды. При каком предельном значении
диаметра трубы движение воды остается ламинарным? Считать
Reкр=3000.
Ответ: 0,08 м.
5.27. Время сокращения желудочков сердца равна 0,3 с, а работа,
совершаемая желудочками при сокращении сердца, примерно равна
1 Дж. Найдите мощность сокращения сердца за 1 час, если за 1
минуту происходит где-то 60 сокращений сердца.
Ответ: 1080 Дж/ч.
5.28. Вычислите модуль Юнга для стенок артерий, если известно, что
d/D=0,92, скорость пульсовой волны в артериях 5 м/с.
Ответ: 6,3∙105 Па.
5.29. Вычислите скорость пульсовой волны в сосуде, если модуль
Юнга для стенок сосуда Е=2,16∙106 Па, d/D =0,9.
Ответ: 4,8 м/с.
5.30. Вычислите работу сердца, производимую овцой за одно
сокращение, если систолическое давление в 94 мм.рт.ст., а
диастолическое -63 мм.рт.ст. Средняя скорость крови на выходе из
сердца – 0,5 м/с. Плотность крови –1,05 г/см3 . Объем крови,
выбрасываемый за одно сокращение –55 мл.
- 46 -
Ответ: 0,67 Дж.
5.31. Вычислите работу сердца, производимую лошадью за одно
сокращение, если систолическое давление - 172 мм.рт.ст., а
диастолическое -123 мм.рт.ст. Средняя скорость движения крови на
выходе из сердца – 0,5 м/с. Плотность крови –1,05 г/см3 . Объем
крови, выбрасываемый за одно сокращение – 850 мл.
Ответ: 0,71 Дж.
- 47 -
6. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Основные понятия и формулы
Коэффициент поверхностного натяжения:
F
σ  , где F- сила поверхностного натяжения, l- длина контура,
l
на которую она действует, или
ΔW
σ
, где W - изменение (поверхностной энергии)
ΔS
потенциальной энергии при изотермическом расширении
поверхности жидкости, S - изменение площади свободной
поверхности жидкости.
Формула Лапласа. Дополнительное давление p, возникающее под
искривленной поверхностью мениска:
2σ
p 
, где R- радиус кривизны изогнутой поверхности,
R
 - коэффициент поверхностного натяжения.
Разность уровней жидкости для сообщающихся сосудов, если один из
них капилляр, а другой широкий сосуд (см. рис. 6.1):
2σ
h
ρgR , где R- радиус капилляра, - плотность жидкости,
 - коэффициент
поверхностного натяжения.
Рис. 6.1. Смачивающая А) и несмачивающая Б) жидкости в
капиллярном сосуде.
- 48 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Какого диаметра должен быть кончик трубки капельницы, чтобы при
дозировке дистиллированной воды масса каждой капли составляла
бы 40 мг?
Дано:
Решение:
F
m=40 г = 410-5 кг
σ

Т.к.
и l=2R=D, то сила
g=9,81 м/с2
l
поверхностного натяжения при отрыве капли:
= 0,0725 Н/м
F=D. Но сила тяжести равна F=mg, поэтому
получим:
D-?
mg
mg=D  D 
.
πσ
4  10 -5 кг  9,81 м/с 2
D
 1,7  10 -5 м .
3,14  0,0725 Н/м
Ответ: D=1,7 мм.
Задача 2.
Вычислите дополнительное давление, обусловленное поверхностным
натяжением в сферической капле тумана диаметром 3 мкм.
Дано:
Решение:
2σ
воды=0,0725 Н/м

p

Используя
формулу
Лапласа
,и
R
R=1,5 10-6 м
учитывая то, что давления на поверхности
4σ
pс - ?

p

С
двух полусфер равны, получим:
.
R
Таким образом,
pс =4  0,0725 Н/м /1,5 10-6 м= 1,93 105 Па.
Ответ: pс =1,93 105 Па.
- 49 -
Задача 3.
В кровеносном сосуде образовался пузырек воздуха. В результате
течения крови пузырек деформировался, образовав поверхности с
радиусами кривизны 0,5 и 0,1 мм. Определите дополнительное
давление в сосуде, возникающее в результате деформации пузырька
воздуха, если коэффициент поверхностного натяжениякрови равен
58 мН/м.
Дано:
Решение:
=0,058 Н/м
R1=510-4 м
R2=110-4 м
P - ?
Рис. 6.2.
Т.к. для одной поверхности p 
2σ
, то
R
 1
1 

 
Δp

2σ

суммарное давление:
R
R
1 
 2
1
 1

Δp  2  0,058 Н  -4 
 928 Па .
4
м  10 м 5 10 м 
Ответ: P =928 Па.
Задача 4.
Найдите массу воды, поднявшейся по капиллярной трубке диаметром
0,2 мм.
Дано:
Решение:
2
= 0,0725 Н/м
Т.к. объем V=R h и масса воды m= V, то
g= 9,81 м/с2
2σ
π σD
2
h

m

m=R h. Подставляя
ρgR , получим:
g .
D=210-4 м
m-?
3,14  0,0725 Н  2  10 -4 м
м
m
 4,6  10 -6 кг  4,6 мг .
9,81 м 2
с
Ответ: m =4,6 мг.
- 50 -
Задача 5.
Какую работу необходимо совершить, чтобы надуть мыльный пузырь
радиусом 2 см, если коэффициент поверхностного натяжения
мыльного раствора равен 0,04 Н/м?
Дано:
Решение:
ΔW
= 0,04 Н/м
σ

Т.к.
, а изменение площади мыльной
ΔS
R= 2 cм=210-2 м
пленки с внешней и внутренней стороны:
S=24R2, то получим, что W=8R2.
-2
2
-4
W = 8 3,14(210 м) 0,04 Н/м = 410 Дж.
W - ?
Ответ: W = 410-4 Дж.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
6.1. С помощью пипетки диаметром 2 мм определяют коэффициент
поверхностного натяжения воды. Масса 40 капель составила 1,8 г.
Найдите значение коэффициента поверхностного натяжения воды,
которое получится при таких условиях.
Ответ: =0,07 Н/м.
6.2. Дополнительное давление, обусловленное поверхностным
натяжением в сферическом мыльном пузыре диаметром 10 мм равно
36 Па. Найдите коэффициент поверхностного натяжения мыльного
раствора.
Ответ: =0,045 Н/м.
6.3. Найдите величину избыточного давления, необходимого для
раздувания альвеолы при вдохе, полагая, что коэффициент
поверхностного натяжения жидкости альвеолы равен 0,05 Н/м, а ее
радиус составляет 510-5 м.
Ответ: 2103 Па.
6.4. Ртутный барометр имеет диаметр трубки 3 мм. Какую поправку в
показания барометра необходимо вносить при измерениях, если
учесть капиллярное опускание ртути (плотность ртути
- 51 -
равна =13600 кг/м3)?
Ответ: 4,7 мм.
6.5. Разность уровней ртути в сообщающихся стеклянном капилляре
и широком сосуде равна 7 мм. Определите радиус кривизны мениска
ртути.
Ответ: 1 мм.
6.6. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости после
растворения поверхностно-активного вещества уменьшился в 2 раза.
Изменится ли высота подъема жидкости в капилляре, если плотность
жидкости не изменилась? Если да, то во сколько раз?
Ответ: Да, изменится. Высота подъема жидкости уменьшится в 2
раза.
- 52 -
7. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Основные понятия и формулы
Закон Кулона. Одноименные точечные заряда отталкиваются, а
разноименные – притягиваются с силой:
q1 q 2
1
F
4π εε 0
r2 ,
где q1 и q1 – модули взаимодействующих зарядов,
r – расстояние между ними;  – относительная диэлектрическая
проницаемость среды, в которой находятся заряды (для вакуума и
воздуха  = 1); 0=8,85 10-12
Ф
м
электрическая постоянная.
Сила при этом выражается в ньютонах и направлена по прямой,
соединяющей заряды.
Напряженность электрического поля Е численно равна силе,
действующей на единичный заряд q1, помещенный в электрическое
поле. Таким образом, точечный заряд q1 создает в точке, удаленной
от него на расстоянии r, поле напряженностью
E
q1
F

q2
4π εε 0 r 2 .
Принцип суперпозиции полей. Если в данной точке пространства
различные заряженные частицы создают электрические поля,
напряженности которых Е1, Е 2 и т.д., то результирующая
напряженность поля в точке равна геометрической сумме
 



E

E

E

E



E
напряженностей.
1
2
3
n
Рис. 7.1.
- 53 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
С какой силой взаимодействуют два точечных заряда по 10 нКл,
находящиеся в воздухе на расстоянии 3 см друг от друга?
Дано:
Решение:
-9
q1 = 10·10 Кл
1
q1 q 2
F
-9
По
закону
Кулона:
q2 = 10·10 Кл
4π εε 0 r 2 .
ε=1
Поэтому,
-2
r =3·10 м
1
10  109 Кл 10  109 Кл
F
4 2
0= 8,85·10-12 Ф
9

10
м
12 Ф
м
4  3,14  8,85  10
м
F = 0,001 Н = 1 мН.
F-?
Ответ: 1 мН.
Задача 2.
Два разноименных заряда по 5 мкКл, расположены на расстоянии
7,1 см друг от друга, как указано на рисунке. Какова напряженность
поля в точке, удаленной от зарядов на расстоянии 5 см? (ε = 1).
Дано:
Решение:
q1 = 5·10-6 Кл
По принципу суперпозиции полей, построим на
-6
q2 = -5·10 Кл рисунке результирующую напряженность E:
r
ε=1
q₁
-2
r =5·10 м
0 = 8,85·10-12
Ф
м
r
Рис. 7.2.
2
2
По теореме Пифагора: E  E1  E 2 .
-q2
Напряженность, создаваемая точечным зарядом,
q
E

определяется по формуле:

4π εε 0 r 2
Е-?
- 54 -
E1  E 2 
1
4  3,14  8,85  10 12
Е = 2,5·107
5  10 6 Кл
В
 1,8  10 7
4
2
Ф 25  10 м
м
м
В
.
м
Ответ: 2,5·107
В
.
м
Задачи для самостоятельной работы с ответами
7.1. Заряды величиной 5 и - 45 нКл расположены на расстоянии 5 см
друг от друга. В какой среде они будут взаимодействовать с силой
10-5 Н?
Ответ: в воде.
7.2. С какой силой взаимодействуют два заряда величиной – 6 нКл и
2 мкКл на расстоянии 2 см, если они расположены в воздухе?
Ответ: 270 мН.
7.3. Два заряда величиной 20 и 4 нКл находятся на расстоянии 2 см.
Их привести в соприкосновение и развели на прежнее расстояние. Во
сколько раз изменится сила взаимодействия зарядов в вакууме, если
они были заряжены одноименно? разноименно?
Ответ: увеличилась в 1,8 раза; уменьшилась в 1,25 раза.
7.4 На каком расстоянии друг от друга заряды 1 мкКл и 10 нКл
взаимодействуют с силой 9мН, находясь в воздухе?
Ответ: 10 см.
7.5 Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при
увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия
осталась прежней? Считать, что заряды находятся в воздухе.
Ответ: увеличить в 2 раза.
7.6. Два шарика, расположенные в вакууме на расстоянии 10 см друг
от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и
взаимодействуют с силой 0,23 мН. Найти число «избыточных»
электронов на каждом шарике.
Ответ: 1011.
- 55 -
7.7. Заряды 90 и 10 нКл находятся на расстоянии 4 см друг от друга.
Где надо поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии?
(ε = 1).
Ответ: в 1 см от меньшего и в 3 см от большего заряда.
7.8. Заряды по 0,1 мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от
друга. Какова напряженность результирующего поля в точке,
удаленной на три сантиметра от каждого из зарядов? Рассмотреть
случаи: а) оба заряда одноименные; б) заряды разноименные. (ε = 1).
Ответ: а) 0
В
;
м
б) 100 В .
м
- 56 -
8. ЭЛЕКТРОФОРЕЗ
Основные понятия и формулы
Подвижность ионов равна b =
υ
,
E
где υ – скорость движения иона, E – напряженность электрического
поля. На практике скорость иона υ можно определить, измерив
расстояние Х, пройденное им за время t: υ =
Х
. Напряженность
t
электрического поля Е между электродами можно вычислить по
U
E

формуле:
, где U – напряжение, L – расстояние между
L
электродами.
XL
Тогда подвижность ионов равна: b 
.
Ut
Плотность тока в электролите:
j=qnυ,
где q и n – заряд и концентрация носителей тока, υ – средняя скорость
их направленного движения.
Зная величину подвижности ионов, можно выразить плотность
тока в электролите как:
j=qn(b++b-)E,
где q и n – заряд и концентрация носителей тока, b+, b- – подвижности
ионов соответствующих знаков, E – напряженность электрического
поля.
Плотность тока в проводнике:
I
j  , где I – сила тока в проводнике, S – площадь поперечного
S
сечения проводника.
Сопротивление проводника:
L
R ρ ,
S
- 57 -
где – удельное сопротивление проводника. L – длина проводника,
S – площадь поперечного сечения проводника.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
При электрофорезе выделилось две фракции. Определите
подвижность ионов, составляющих вторую фракцию, если
расстояние, пройденное ими за 30 мин. равно 24 см. Напряженность
электростатического поля равна 150 В/см.
Дано:
Решение:
t=30 мин=1800с
Подвижность ионов равна:
2
Х=24 см=0,24 м
υ
X
0,24 м
8 м
b 

 0,9 10
Е=150 В/см=15000 В/м
E t  E 1800 с 15000 В/м
Вс
b
Ответ: b=0,910-8 м2/(Вс)
Задача 2.
Найдите плотность тока в электролите, если концентрация ионов в
нем 105 см-3, их подвижность b+ = 4,5.10-4 см2/В.с, b- = 6,5.10-4 см2/В.с,
напряженность электрического поля равна 10 В/м. Принять заряд
иона равным заряду электрона q = 1,6.10-19 Кл.
Дано:
Решение:
5
-3
11 -3
n=10 см =10 м
Плотность тока в электролите равна:
b+=4,5.10-4 см2/В.с=
j=qn(b++b-)E=1,6.10-19 Кл 1011 м-3
.
-8 2 .
4,5 10 м /В с
.
-8
.
-8
2
.
(4,5
10
+6,5
10
)
м
/
В
с10 В/м =
.
-4
2 .
b- = 6,5 10 см /В с=
1,7610-14 А/м2.
6,5.10-8м2/ В.с
Е=10 В/м
q = 1,6.10-19 Кл
j
Ответ: j =1,7610-14 А/м2.
- 58 -
Задача 3.
Между двумя электродами, к которым приложено постоянное
напряжение 36 В, находится часть живой ткани. Условно можно
считать, что ткань состоит из слоя сухой кожи и мышц с сосудами
крови. Толщина слоя кожи 0,3 мм, а внутренней ткани 9,4 мм.
Найдите плотность тока в коже и сосудистой ткани, рассматривая их
как проводники. Удельное электрическое сопротивление сухой кожи
105 Омм, сосудистой ткани – 1,66 Омм.
Дано:
Решение:
U=36 В
I
j

Плотность тока в проводнике:
.
Lк= 0,3 мм= 0,0003 м
S
Lтк= 9,4 мм.= 0,0094 м
U U S
I


По закону Ома:
.
R ρL
к = 105 Омм
тк = 1,66 Омм
jк, jтк ?
Тогда j 
U S
U

.
ρ  L S ρ  L
Плотность тока в сухой коже равна:
jк= U/(к  Lк)= 36 В/(0,0003 м 105 Омм)=
1,2 А/ м2
Плотность тока в сосудистой ткани равна:
jтк= U/(тк  Lтк)= 36 В/( 0,0094 м 1,66 Омм )=
2,3103 А/ м2
Ответ: jк =1,2 А/ м2; jтк=2,3.103 А/ м2.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
8.1. При электрофорезе выделилось три фракции. Определите
скорость и подвижность ионов, составляющих третью фракцию, если
расстояние, пройденное ими за 20 мин. равно 4 см. Напряжение
электрического поля между электродами равно 450 В, расстояние
между электродами – 10 см.
Ответ: b=0,710-8 м2/(Вс)
- 59 -
8.2. Найдите плотность тока в электролите, если концентрация ионов
в нем 107 см-3, их подвижность b+ = 4.10-5 см2/В.с, b- = 5.10-5 см2/В.с,
напряженность электрического поля равна 20 В/м. Принять заряд
иона равным заряду электрона q = 1,6.10-19 Кл.
Ответ: j =2,8810-19 А/м2.
8.3. Между двумя электродами, к которым приложено постоянное
напряжение 25 В, находится часть живой ткани, толщиной 6 мм.
Найдите плотность тока в ткани, рассматривая ее как проводник.
Удельное электрическое сопротивление ткани – 1,55 Омм.
Ответ: jтк=2,69.103 А/ м2.
8.4. При электрофорезе выделилось две фракции. Определите
скорость и подвижность ионов, составляющих первую фракцию, если
расстояние, пройденное ими за 10 мин. равно 5 см. Напряженность
электрического поля между электродами равна 300 В/м.
Ответ: b=0,2810-8 м2/(Вс)
- 60 -
9. УСИЛИТЕЛЬ
Основные понятия и формулы.
Коэффициентом усиления k по напряжению усилителя называется
величина, равная отношению выходного напряжения Uвых. усилителя
к напряжению на его входе Uвх.
U
k  вых.
U вх.
Коэффициент усиления усилителя, состоящего из n последовательно
включенных каскадов с коэффициентами усиления k 1 , k 2 , …, k n ,
определяется по формуле:
k = k 1  k 2  … k n
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Напряжение на входе электрокардиографа достигает 3 мВ, на выходе
3 В. Определите коэффициент усиления.
Дано:
Решение:
Uвх.= 3 мВ
U вых.
3В
3В
k

k

 1000
Так
как
,то
Uвых.= 3 В
U вх.
3 мВ 0,003 В
k-?
Ответ: k=1000.
Задача 2.
Определите выходное сопротивление однокаскадного усилителя с
коэффициентом 100, если его мощность на выходе равна 1 Вт. На
вход подаётся напряжение 0,2 В.
Дано:
Решение:
U
k = 100
Так как N  U  I  U  , то
R
Uвх.= 0,2 В
2
Nвых..= 1 Вт
U вых.
(U вх.  к) 2 (0,2 В 100) 2
R вых. 


 400 Ом
Rвых. - ?
N вых.
N вых.
1 Вт
Ответ: R вых.  400 Ом
- 61 -
Задачи для самостоятельного решения с ответами
9.1. Напряжение на входе усилителя достигает 13 В, на выходе 130 В.
Определите коэффициент усиления.
Ответ: k=10.
9.2. Определите выходную мощность однокаскадного усилителя с
коэффициентом усиления 100, если его сопротивление на выходе
равно 200 Ом. На вход подаётся напряжение 0,2 В.
Ответ: N=2 Вт.
9.3. Коэффициент усиления первого усилителя k1  25 , второго k 2  10 . Найдите коэффициент усиления схемы из двух усилителей.
Ответ: k=250.
9.4. Входной сигнал на усилителе описывается формулой
U вх.  60 cos 50 t , выходной сигнал U вых.  360 cos 50 t . Найдите
коэффициент усиления.
Ответ: k=6.
- 62 -
10. ОСЦИЛЛОГРАФ
Основные понятия и формулы
Для использования осциллографа в качестве вольтметра
необходимо знать чувствительность пластин S.
Чувствительность пластин - отклонение луча от центра экрана в
миллиметрах при изменении напряжения на отклоняющих пластинах
на 1В.
Так как в осциллографе две независимо отклоняющие системы то
Ly
Lx
определяют S x 
и Sy 
, где Lx, Ly – длины
2 2U эфф
2 2U эфф
светящихся отрезков Lx/2
,
Ly/2 – амплитудные отклонения луча от
центра экрана, Uэфф- эффективное значение напряжений,
амплитудное
значение
подаваемого
L
отклоняющего напряжения U эфф 
.
2 2S
напряжения.
2U эфф -
Величина
Пример решения типовой задачи
Задача 1.
Длина светящегося отрезка равна 6 см, подаваемое эффективное
напряжение равно 4 В. Найти чувствительность пластин
осциллографа.
Дано:
Решение:
L.= 6 см = 60 мм
L
60 мм
S
S

 5,3
Так как
, то
Uэфф.= 4 В
2 2 U эфф
2 2 4В
S -?
Ответ: S=5,3 мм/В.
- 63 -
Задачи для самостоятельного решения с ответами
10.1. Длина светящегося отрезка 8 мм, амплитудное значение
подаваемого напряжения равно 4 В. Найти чувствительность
пластин.
Ответ: S=1 мм/В.
10.2. Чувствительность пластин равна 1,5 мм/В, длина светящегося
отрезка 12 мм. Найти величину эффективного напряжения.
Ответ: U эфф  2,9 В .
10.3. Подаваемое эффективное напряжение равно 6 В
Чувствительность пластин равна 1,4 мм/В. Найти максимальную
амплитуду отклонения луча.
L
Ответ:  11,76 мм .
2
10.4. Эффективное напряжение равно 4 В. Чему равно амплитудное
значение напряжения.
Ответ: U ампл  5,6 В .
- 64 -
11. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОГРАФИИ
Основные понятия и формулы
Дипольный момент электрического диполя:



p =q· L , где q– заряд диполя, L – вектор, направленный от "-" к
"+", по модулю равный расстоянию между зарядами (плечо)
диполя.
Дипольный момент токового диполя:


D =I· L , где I – ток в диполе, равный току во внешней среде;

L – вектор, направленный от "-" к "+", (совпадает с направлением
тока внутри диполя), по модулю равный расстоянию между
полюсами.
Потенциал электрического поля, созданного диполем в некоторой
точке А на расстоянии r (r>>L, см. рис.11.1):

1
p cos 

, где
4 0 
r2

α– угол между p и направлением на точку А,
ε– относительная диэлектрическая
проницаемость среды, ε0=8,8510-12 Кл2 /(Нм2) электрическая постоянная.
Рис. 11.1.
Основными
характеристиками
электрокардиограммы
(ЭКГ)
являются форма и высота ее зубцов и длительность интервалов.
Рис. 11.2. Электрокардиограмма.
- 65 -
Чувствительность электрокардиографа S измеряется в мм/мВ и
определяется по калибровочному сигналу:
S=hk/Uk, где hk – высота, Uk – разность потенциалов
калибровочного импульса. Причем Uk имеет стандартную
величину, равную 1 мВ.
Разность потенциалов U, соответствующая каждому зубцу ЭКГ:
U=h/S, где h– высота соответствующего зубца, S чувствительность электрокардиографа
Длительность интервалов ЭКГ (в секундах):
t=L/v, где v- скорость лентопротяжного механизма прибора. Как
правило, эта величина составляет 25 или 50 мм/с, L- длина
соответствующего интервалов в мм. Зная количество интервалов
R–R за 60 секунд, можно определить пульс (уд/мин.)
Реограммой называется графическая запись изменения полного
сопротивления участка ткани во времени (рис. 11.3).
Рис. 11.3. Основные характеристики реограммы (h– амплитуда
реограммы, h1 – амплитуда для расчета ударного объема крови, а –
длительность восходящей части реограммы, Т– период реограммы,
hк– высота калибровочного импульса).
Показатели реограммы:
 реографический индекс (РИ) – отношение амплитуды реограммы h
к величине стандартного калибровочного импульса hк. РИ
характеризует величину пульсового кровенаполнения,
- 66 -
 длительность восходящей части волны (а), характеризующее
полное раскрытие сосуда,
 период реограммы Т, соответствующий длительности сердечного
цикла
 реографический коэффициент (РК) – a 100% .
T
Чувствительность реографа измеряется в мм/Ом и определяется по
калибровочному импульсу:
S=hк/Rk, где hк–высота калибровочного импульса в мм,
Rk–сопротивление в Ом.
Общее изменение сопротивления (∆R):
∆R=h/S, где h–амплитуда реограммы, S – чувствительность
реографа.
Ударный объём крови (УО):
УО 
h1  V
,
R S
где R – электрическое сопротивление тела между электродами,
h1 – амплитуда реограммы, найденная методом экстраполяции
(см. рис. 11.3),
S – чувствительность реографа,
V – объём тела в литрах, приближенно приравнивается его массе
в килограммах.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Найдите дипольный момент электрического диполя, образованного
точечными зарядами q=0,3 Кл, находящимися на расстоянии 2 см.
Дано:
Решение:
q=0,3 Кл
Т.к. p=q·L, то p= 0,3 Кл ·0,02 м =6·10-3 Кл·м.
L=2 см=0,02 м
Ответ: p= 6·10-3 Кл·м.
p
- 67 -
Задача 2.
Найдите дипольный момент токового диполя, если между полюсами,
находящимися на расстоянии 0,5 см, протекает ток 1 мА.
Дано:
Решение:
-3
I=1·10 A
Т.к. D=I·L, то D=1·10-3 A ·0,005 м =5·10-6 A·м.
L=0,5 см=0,005 м
Ответ: D= 5·10-6 A·м.
D
Задача 3.
Диполь образован зарядами q=3·10-5 Кл, находящимися на расстоянии
0,5 см. Найдите потенциал поля, созданного диполем в точке А,
расположенной на расстоянии 0,2 м относительно электрического


момента диполя (рис.11.1). Угол между векторами r и p составляет
45º.
Дано:
Решение:
-5
q=3·10 Кл
Т.к. p=q·L, то p=3·10-5 Кл ·0,005 м =1,5·10-7
L=0,5 см=0,005 м Кл·м.
r= 0,2 м
1
p cos 



Поскольку A 4 
имеем, что
α=45º
r2
0
1,5 10 7 Кл  м  0,71
φА =
=2,4·104 В.
2
2
12 Кл
4  3,14  8,85 10
Н  м 2  0,2 м 
φА- ?
Ответ: φА = 2,4·104 В.
Задача 4.
Высота калибровочного импульса на электрокардиограмме равна 10
мм (рис. 5.2). Определить чувствительность электрокардиографа.
Дано:
Решение:
hk=10 мм
Т.к. S= hk/ Uk, то S =10 мм /1 мВ=10 мм/мВ.
Uk=1 мВ
Ответ: S= 10 мм/мВ.
S
- 68 -
Задача 5.
Высота калибровочного импульса на электрокардиограмме равна
15 мм (рис. 11.2). Высота зубцов: P=5 мм, R=25 мм, Т=7 мм.
Определите ЭДС зубцов электрокардиограммы.
Дано:
Решение:
hk=15 мм
Т. к. S= hk/Uk, то S=15 мм/1 мВ=15 мм/мВ.
Uk=1 мВ
UP = hP/S  UP = 5 мм / 15 мм/мВ =0,33 мВ.
hP=5 мм
UR= hR/S  UR= 25 мм / 15 мм/мВ =1,7 мВ.
hR=25 мм
UT hT/S  UT= 7 мм / 15 мм/мВ =0,47 мВ
hT=7 мм
UP, UR, UT
Ответ: UP = 0,33 мВ, UR=1,7 мВ, UT0,47 мВ.
Задача 6.
Скорость движения диаграммной ленты равна 25 мм/с. Длина
интервалов P-Q=7 мм и Q-R-S=18 мм. Определите длительность
интервалов ЭКГ.
Дано:
Решение:
v=25 мм/с
Т.к. t=L/v, то
L1=7 мм
t1= L1/v =7 мм/ 25 мм/c = 0,28 c.
L2=18 мм
t2= L2/v =18 мм / 25 мм/c = 0,72 c.
Ответ: t1= 0,28 c, t2= 0,72 c.
t1, t2
Задача 7.
Высота калибровочного импульса реографа составляет 10 мм.
Сопротивление Rk равно 0,1 Ом. Найдите чувствительность реографа.
Дано:
Решение:
hk=10 мм
Т.к. S= hk/Rk, то S=10 мм/ 0,1 Ом=100 мм/Ом.
Rk=0,1 Ом
Ответ: S= 100 мм/Ом.
S
- 69 -
Задача 8.
Скорость движения диаграммной ленты равна 25 мм/с. Длина
интервала R–R составляет 25 мм (рис. 11.4). Определите частоту
сердечных сокращений пациента.
Дано:
v=25 мм/с
L=25 мм
ЧСС
Рис. 11.4.
Решение:
Длительность одного сокращения
t=L/v=25/25=1c.
Поэтому за одну минуту будет:
60 с/1 с= 60 сокращений (ударов).
Ответ: ЧСС= 60 уд/мин.
равна:
Задача 9.
Дана стандартная реограмма (рис. 11.3) со следующими основными
характеристиками: hk=10 мм, Rk = 0,1 Ом, h=35 мм, h1 = 48 мм. Масса
пациента составляет 60 кг. Сопротивление участка тела равно 360
Ом. Найдите общее изменение сопротивления ∆R, реографический
индекс (РИ), ударный объем крови (УО).
Дано:
Решение:
hk=10 мм
Т.к. S= hk/Rk, то S=10 мм/ 0,1 Ом=100 мм/Ом.
Rk=0,1 Ом
∆R=h/S  ∆R =35 мм/ 100 мм/Ом =0,35 Ом.
h=35 мм
РИ= h/hk РИ =35 мм/ 10 мм=3,5.
h1=48 мм
48 мм  60 л
h V
УО  1

 0,08 л  80 мл
мм
R S
V60 л
360 Ом 100
Ом
R=360 Ом
Ответ: ∆R = 0,35 Ом, РИ= 3,5, УО= 80 мл.
∆R,РИ, УО
- 70 -
Задача 10.
Дана стандартная реограмма (рис. 11.3). Скорость лентопротяжного
механизма регистрирующего устройства составляет 25 мм/с.
Длительность восходящей части реограммы–12 мм, период–112 мм.
Определите длительность сердечного цикла и реографический
коэффициент.
Дано:
Решение:
v=25 мм/с
Т(с)=Т(мм)/v  Т=112 мм/25 мм/с=4,5с.
а=12 мм
a(мм)
12 мм
100% =
100% =10,7%
РК=
Т=112 мм
T( мм)
112 мм
Т(с), РК
Ответ: Т= 4,5 с, РК=10,7%.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
11.1. Найдите электрический момент системы “электрон–ядро” атома
водорода, рассматривая эту систему как диполь. Расстояние от
электрона до ядра равно 10-8 см.
Ответ: 1,6·10-29 Кл.
11.2. Найдите дипольный момент токового диполя, если между
полюсами, находящимися на расстоянии 0,2 мм, протекает ток
20 мкА.
Ответ: 4·10-9 А·м.
11.3. Диполь образован зарядами 5·10-6 Кл, находящимися на
расстоянии 0,3 см в воде. Найдите потенциал поля, созданного
диполем в точке А, расположенной на расстоянии 0,1 м в
направлении под углом 60º относительно электрического момента
диполя.
Ответ: 83 В.
11.4. На электрокардиограмме (рис. 11.2) высота зубца R равна 30 мм,
зубца Т– 8 мм, калибровочного импульса - 15 мм. Определите ЭДС
зубцов ЭКГ.
- 71 -
Ответ: 2 мВ, 0,53 мВ.
11.5. Скорость движения диаграммной ленты равна 50 мм/с. Длины
интервалов: P-Q= 12 мм, Q-R-S= 25 мм, Q-T=43 мм. Определите
длительности этих интервалов ЭКГ.
Ответ: 0,24 с, 0,5 с, 8,6 с.
11.6. Скорость движения диаграммной ленты равна 50 мм/с. Длина
интервала R–R составляет 58 мм (рис. 11.4). Определите частоту
сердечных сокращений пациента.
Ответ: 52 уд/мин.
11.7. Высота калибровочного импульса реографа составляет 8 мм.
Сопротивление Rk равно 0,05 Ом. Найдите чувствительность
реографа.
Ответ: S= 160 мм/Ом.
11.8. Амплитуда реографической волны составляет 42 мм. Найдите
общее изменение сопротивления ∆R, если высота калибровочного
импульса равна 15 мм (Rk = 0,1 Ом).
Ответ: ∆R= 0,28 Ом.
11.9. Амплитуда реографической волны составляет 38 мм. Найдите
реографический индекс, если высота калибровочного импульса равна
15 мм.
Ответ: РИ= 2,53.
11.10. Определите ударный объем крови пациента массой 70 кг, если
сопротивление участка тела между электродами равно 300 Ом.
Амплитуда реограммы для расчета ударного объема составляет 36
мм. Для калибровки использовался импульс высотой 12 мм,
соответствующий сопротивлению 0,1 Ом.
Ответ: УО= 70 мл.
11.11. Скорость лентопротяжного механизма регистрирующего
устройства реографа составляет 50 мм/с. Длительность восходящей
части реограммы–12 мм, период–60мм. Определите реографический
коэффициент, длительность сердечного цикла и частоту сердечных
сокращений.
Ответ: РК= 20%, Т(с)= 1,2 с, ЧСС= 50 уд/мин.
- 72 -
- 73 -
12. ИМПУЛЬСНЫЙ ТОК
Основные понятия и формулы
Параметры импульсного тока:
tи
tп
Рис. 12.1.
tи – длительность импульса, tп – длительность паузы, Т= tи+tп –
1
период следования импульсов, ν 
– частота следования
T
T
импульсов, Q  t – скважность
и
Величина, обратная скважности, называется
1
K

 ν  tи .
заполнения импульсного тока:
Q
коэффициентом
1) дифференцирующая цепь, 2) интегрирующая цепь
Рис. 12.2. Дифференцирующие и интегрирующие цепи.
Постоянная времени цепи: =RC ,
[ОмФ] =[c].
- 74 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Дано:
Решение:
С=80 пФ=8010-12 Ф
Постоянная времени равна: =RC,
R=10 кОм=10103 Ом следовательно:
=10103 Ом8010-12 Ф=810-7с = 0,8 мкс.
?
Ответ: =0,8 мкс.
Задача 2.
Чему равен период следования и частота выходного напряжения
мультивибратора, если tи=40 мкс, tп=80 мкс?
Дано:
Решение:
tи=40 мкс
Период следования импульсов равен: Т= tи+tп,
tп=80 мкс
следовательно:
Т=40 мкс+80 мкс=120 мкс.
Частота выходного напряжения мультивибратора
1
1
ν


 8,3 кГц
равна:
T 120  10 6 с
Т, ?
Ответ: Т=120 мкс; =8,3 кГц
Задача 3.
Мультивибратор вырабатывает импульсы прямоугольной формы с
периодом 0,5 с и длительностью 0,002 с. Определить скважность и
длительность паузы после каждого импульса.
Дано:
Решение:
Т=0,5 с
T
Q

Скважность равна:
tи=0,002 с
t и , следовательно:
Q
Q, tп?
0,5 c
 250 .
0,002 c
tп=Т- tи=0,5c-0,002c=0,498 с.
Ответ: Q=250, tп=0,498 с.
- 75 -
Задача 4.
Аппарат «Электросон» вырабатывает импульсы прямоугольной
формы и постоянной полярности с периодом 0,4 с и скважностью
200. Определить длительность импульса и коэффициент заполнения.
Дано:
Решение:
Т=0,4 с
T
t

и
Длительность импульса равна:
,
Q=200
Q
следовательно:
0,4 c
tи 
 0,002 с . Коэффициент заполнения:
200
t
0,002 c
K  ν  tи  и 
 0,005 .
T
0,4 c
tи, K?
Ответ: tи =0,002 с, К=0,005.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
12.1. Аппарат «Электросон» вырабатывает импульсы прямоугольной
формы частотой 25 Гц, длительностью 1 мс. Определить скважность
и длительность паузы после каждого импульса.
Ответ: Q=40, tи=0,039 с.
12.2. Мультивибратор вырабатывает импульсы прямоугольной
формы с периодом 0,4 с и длительностью 0,001 с. Определить частоту
следования импульсов и коэффициент заполнения.
Ответ: =2,5 Гц, К=0,0025.
12.3. Аппарат «Электросон» вырабатывает импульсы прямоугольной
формы с периодом 0,5 с и скважностью 100. Определить
длительность импульса.
Ответ: 0,005 с.
12.4. Интегрирующая цепь состоит из сопротивления 100 кОм и
конденсатора емкостью 100 пФ. Определить постоянную времени
цепи.
Ответ: 10 мкс.
- 76 -
13. РЕФРАКЦИЯ СВЕТА
Основные понятия и формулы
Абсолютный показатель преломления среды:
c
n  , где c - скорость света в вакууме,  - скорость света в

среде.
Закон отражения
Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и
перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке
падения; угол отражения  равен углу падения  (рис. 13.1):
  


n1
n2

Рис 13.1. Падение света на плоскую границу раздела двух сред с
абсолютными показателями преломления n1 и n2 соответственно.
Закон преломления
Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр,
проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной
плоскости;
sin  1 n 2


 n 21 ,
sin  2 n1
где  и  - угол падения и преломления луча, 1 и  2 - скорости
света в 1-й и 2-й средах, n1 и n2 - абсолютные показатели
преломления, n21- относительный показатель преломления 2-й
среды относительно первой.
- 77 -
Предельный угол отражения:
n
sin  пр  n 21  2 при n1 > n2,
n1
Предельный угол преломления:
n
sin  пр  1 при n1 < n2 .
n2
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Абсолютный показатель преломления среды равен 1,5. Чему равна
скорость света в этой среде?
Дано:
Решение:
n =1,5
Абсолютный показатель преломления среды
 -?
с 3  108 м / с
c
 2  108 м / с .
равен: n  , тогда   n 
1,5

Ответ:  = 2.108 м/с.
Задача 2.
Абсолютный показатель преломления воздуха равен nвозд. = 1,003.
Показатель преломления рубина относительно воздуха nотн. = 1,76.
Определите абсолютный показатель преломления рубина.
Дано:
Решение:
nвозд. = 1,003
Относительный показатель преломления, равен
nотн. = 1,76
отношению абсолютных показателей преломления
n2
первой и второй среды: n отн  n . Тогда для рубина
1
n отн 
nабс.- ?
n абс
n возд  nабс = nвозд nотн =1,0031,76 =1,765
Ответ: nабс = 1,765.
- 78 -
Задача 3.
Желтому свету спектра натрия соответствует длина волны в воздухе
589 нм. Определите длину волны этого же света в кедровом масле с
показателем преломления 1,52.
Дано:
Решение:
= 589 нм
Так как частота света  постоянна при переходе из
nк = 1,52
среды среду и длина волны света  в воздухе
приближенно равна таковой в вакууме, а скорости
света в масле К =К и в вакууме с=, то
показатель преломления кедрового масла:

с

 589 нм
к 

 387,5 нм .
nк 



nк
1,52
к  к   к
 К- ?
Ответ: К= 387,5 нм.
Задача 4.
На сколько изменится длина волны фиолетового излучения с
частотой 7,5.1014 Гц при переходе в воду, если скорость его
распространения в воде 223000 км/с.
Дано:
Решение:
 =7,5.1014 Гц
Найдем разности длин волн фиолетового
 в =223000 км/с излучения в вакууме и в воде
с в 1

 (с   в ) 
 ф    в 
  
3  10 8 м / с  2,23  108 м / с
 10,2  10 8 м
 ф 
14
7,5  10 Гц

ф - ?
Ответ:   ф =10,2.10-8 м.
- 79 -
Задача 5.
На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5,
падает луч света. Найдите угол падения луча, если угол между
отраженным и преломленным лучами составляет 900.
Дано:
Решение:
n2 =1,5
Так как угол падения  равен углу отражения , то
n1 =1
тогда угол , по условию задачи, связан с углом
преломления  как (см. рис. 13.2):


воздух n1=1
стекло n2 =1,5

Рис. 13.2.
    1800  900   откуда   900   .
По закону преломления
n2
n 2 sin 
sin 



tg

tg


 1,5 
, тогда
n1 sin  sin(900  )
n1
  arctg1,5  56 019 ' .
-?
Ответ: = 56 0 19 ' .
Задача 6.
Найдите предельный угол полного отражения на границе раздела
стекла и воды. Показатель преломления воды – 1,33; стекла – 1,5.
Дано:
Решение:
n2 =1,33
Предельный угол полного внутреннего отражения:
n1 =1,5
n
1,33
sin  пр  2 
 0,89   пр  62 0 50 ' .
n1 1,5
пр - ?
Ответ: пр= 62 0 50 ' .
- 80 -
Задача 7.
Свет идет из среды оптически более плотной в среду оптически менее
плотную. Угол падения >пр. Куда отклоняется луч? Покажите на
рисунке.
Дано:
Решение:
n1>n2
При углах падения >пр наблюдается полное
>пр
внутреннее отражение. Луч полностью отразится
от границы раздела под углом =.
 
n1
n2
Куда
отклоняется
луч?
Рис. 13.3.
Задача 8.
Покажите на рисунке ход лучей при условии, что свет переходит из
среды оптически менее плотной в оптически более плотную среду.
Угол падения равен 900.
Дано:
Решение:
n1<n2
Когда n1<n2 и =900 угол преломления луча во
=900
второй среде равен пр - предельному углу
преломления.

n1
 пр
Показать
лучей.
ход
Рис. 13.4.
n2
- 81 -
Задача 9.
Свет идет из среды оптически более плотной в среду оптически менее
плотную. Угол падения <пр. Куда отклонится луч? Покажите на
рисунке.
Дано:
Решение:
n1>n2
Когда n1>n2 и <пр луч преломляется под углом
   , что вытекает из закона преломления
<пр
sin  n 2

sin  n 1

n1

Куда
отклонится
луч?
n2
Рис. 13.5.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
13.1. Абсолютный показатель преломления алмаза равен 2,4. Чему
равна скорость света в алмазе?
Ответ:  = 1,249 108 м/с.
13.2. Длина волны фиолетового света в вакууме равна 400 нм.
Определите длину волны этого излучения в топазе, если его
показатель преломления равен 1,83.
Ответ: Т=218,6 нм.
13.3. Желтому свету спектра натрия соответствует длина волны в
воздухе 589 нм. Определите длину волны этого же света в этиловом
спирте, показатель преломления которого равен 1,36.
Ответ: С=433,1 нм.
13.4. Определите показатель преломления среды, в которой свет
распространяется со скоростью 250000 км/с.
Ответ: n = 1,2.
- 82 -
13.5. Абсолютный показатель преломления воздуха равен nвозд. =
1,003. Показатель преломления сахара относительно воздуха 1,56.
Определить абсолютный показатель преломления сахара.
Ответ: nабс = 1,565.
13.6. Длина волны желтого света в вакууме 580 нм, а в одном из
сортов оптического стекла 328 нм. Определите показатель
преломления такого оптического стекла.
Ответ: n = 1,77.
13.7. Чему равен угол падения луча, если луч отраженный и луч
преломленный образуют угол в 900? Показатель преломления второй
среды относительно первой равен n.
Ответ: tg  =n.
13.8. Чему равен угол падения луча, если луч падающий и луч
отраженный образуют угол в 900?
Ответ:  = 450.
13.9. Найдите предельный угол полного внутреннего отражения для
алмаза на границе с водой. Показатель преломления воды 1,33,
алмаза 2,42.
Ответ: =33020.
13.10. Показатель преломления стекла относительно воды равен
1,182; показатель преломления глицерина относительно воды равен
1,105. Найдите показатель преломления стекла относительно
глицерина.
Ответ: nс.г = 1,07.
13.11. Свет идет из среды оптически более плотной в среду оптически
менее плотную. Угол падения =пр. Чему равен угол преломления?
Ответ:  = 900.
13.12. Свет идет из среды оптически менее плотной в среду
оптически более плотную. Угол падения равен 00. Доля отраженной
энергии составляет 5%. Чему равны угол отражения и угол
преломления?
Ответ:  = 0,  = 0.
- 83 -
13.13. Свет идет из среды оптически более плотной в среду оптически
менее плотную. Угол падения равен 00. Доля отраженной энергии
составляет 5%. Чему равны угол отражения и угол преломления?
Ответ:  = 0,  = 0.
13.14. Высота Солнца над горизонтом составляет  = 360. Под каким
углом  к горизонту следует расположить зеркало, чтобы осветить
солнечными лучами дно вертикального колодца?
Ответ: = 630.
13.15. Плоское зеркало AB может вращаться вокруг горизонтальной
оси O. Луч света падает на зеркало под углом . На какой угол 
повернется отраженный луч, если зеркало повернется на угол ?
Ответ: = 2 
13.16. Найдите предельный угол преломления на границе раздела
глицерина и стекла. Показатель преломления глицерина - 1,47;
стекла- 1,8.
Ответ:  пр  5448 ‫׳‬
13.17. Столб возвышается над водой на h1 = 1 м. Глубина реки h2 = 2
м, показатель преломления воды n = 1,33, высота Солнца над
горизонтом  =300. Найдите длину тени столба на поверхности и дне
реки.
Ответ:  1 = 1,73 м,  2 = 3,44 м.
- 84 -
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ
Основные понятия и формулы
Максимум интенсивности света при интерференции наблюдается для
оптической разности хода :
= m, где – длина волны, m=0, 1, 2, 3… номер (порядок)
максимума.
Минимум интенсивности света при интерференции наблюдается для
оптической разности хода :
(2m  1) λ 
1
δ
 m   λ ,
2
2

где  – длина волны, m=0, 1, 2, 3… номер минимума.
Соотношение между разностью фази оптической разностью хода
 двух волн с одинаковой длиной волны в вакууме:
2π
= δ .
λ
Условие максимума интерференции в тонкой пленке для
отраженного света:
2m  1 λ
2h n 2  sin 2 i 
,
2
где h – толщина пленки, n – показатель преломления вещества
пленки, i – угол падения, m=0, 1, 2, 3… номер максимума. В
формуле учтена потеря “полволны” при отражении света от
оптически более плотной среды.
Условие главных максимумов при перпендикулярном падении света
на дифракционную решетку (основная формула дифракционной
решетки):
dsin = m ,
где d – постоянная (период) дифракционной решетки, – длина
волны падающего света, m=0, 1, 2, 3… порядок
- 85 -
дифракционного максимума,  – угол, под которым виден
дифракционный максимум.
Условие дифракционных максимумов при отражении рентгеновских
лучей от кристалла (формула Вульфа — Брэгга):
2lsin  = m
где l – межплоскостное расстояние;  – угол скольжения (угол
между отражающей плоскостью кристалла и падающими
лучами), m=0, 1, 2, 3… порядок дифракционного максимума.
Энергия одного кванта света c частотой  или длиной волны :
E=h или E=hc/.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Разности хода двух интерферирующих волн в вакууме равны: а) 0; б)
0,2λ; в) λ. Чему равна соответствующая разность фаз?
Дано:
Решение:
2π
а) =0
Из формулы = δ 
λ
б) =0,2λ
а) =0; б) =0,4; в) =2.
в) =λ.
Ответ: а) =0; б) =0,4; в) =2.
 - ?
Задача 2.
На мыльную пленку (n= 1,33) падает белый свет под углом i = 45°.
При какой наименьшей толщине пленка в отраженном свете будет
выглядеть окрашенной в желтый цвет (λ= 610-7 м)?
Дано:
Решение:
n= 1,33
2m  1 λ
2
2
2h
n

sin
i

Из формулы

λ=610-7 м
2
λ
i = 45°
при m=0 имеем h 
, т.е.
4 n 2  sin 2 i
hmin1,3310-7 м.
hmin - ?
Ответ: hmin1,3310-7 м.
- 86 -
Задача 3.
Расстояние между когерентными источниками света S1 и S2 равно 0,5
мм, расстояние от источников до экрана D=5 м. В зеленом свете
получились интерференционные полосы на расстоянии h=5 мм друг
от друга. Найдите длину волны зеленого света.
Дано:
Решение:
2 l= 0,5 мм= 510-4 м
D= 5 м
MN=h = 5 мм=
=510-3 м
λ-?
Рис. 14.1.
Центральный максимум образуется на средней
линии OM в точке M, а в точке N оптическая
разность хода =d2-d1. Для прямоугольных
треугольников S2P2N и S1P1N по теореме
Пифагора имеем:
d 22  D2  (h  l ) 2 и d12  D2  (h  l ) 2 ,
2
2
но d 2  d1  (d 2  d1 )(d 2  d1 )  2h  2l 
δ  (d 2  d 1 ) 
2h  2l
(d 2  d 1 ) .
Учитывая, что D>>2l, получим d2+d12D.
Поэтому
h  2l
h  2l
δ
λ

 для m=1
, т.е.
D
D
5 10-3 м  5 10-3 м
λ
 5 10-7 м  500 нм .
5м
Ответ: λ=500 нм.
- 87 -
Задача 4.
Оптическая разность хода двух когерентных лучей в некоторой точке
экрана равна δ= 4,36 мкм. Каков будет результат интерференции
света в этой точке экрана, если длина волны света равна:
а) 670,8 нм; б) 435,8 нм?
Дано:
Решение:
δ=4,36 мкм=
Для максимума =m /= m,
=4,3610-6 м для минимума = (m+1/2)  /= m+1/2.
а)λ=670,8 нм=
Поэтому
=6,70810-9 м а) /=4,3610-6 м / 6,70810-9 м  650 
б)λ=435,8 нм=
максимум m 650,
-9
=4,35810 м б) /=4,3610-6 м / 4,35810-9 м 1000,5 
Максимум
минимум m1000
или минимум
Ответ: а)максимум m650 б)минимум m1000.
m-?
Задача 5.
Найдите длину волны лазерного излучения, падающего на
дифракционную решетку, если известно, что период решетки равен 5
мкм, а также sin =0,5 для наблюдаемого второго максимума
интенсивности.
Дано:
Решение:
d=5 мкм
Из формулы d sin = m 
sin = 0,5
=5/4 мкм=1,25 мкм.
m=2
-?
Ответ: =1,25 мкм.
- 88 -
Задача 6.
При прохождении лазерного излучения с длиной волны 630 нм через
дифракционную решетку первый максимум наблюдается на
расстоянии 20 мм от центрального максимума интенсивности.
Расстояние от дифракционной решетки до экрана равно 20 см.
Вычислите период дифракционной решетки.
Дано:
Решение:
x=20 мм =210-2 м
Из формулы d sin() = m получим для
L=20 cм =210-1 м
первого максимума, что d =/ sin().
λ=630 нм=6,3 10-7 м
m=1
d-?
Рис. 14.2.
Далее имеем по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника BOA:
sin( ) 
x
x 2  L2
, поэтому
λ  x 2  L2
L
d
 λ  1    отсюда найдем,
x
x
2
что d6,3 мкм.
Ответ: d6,3 мкм.
- 89 -
Задача 7.
Во сколько раз увеличилась длина волны лазерного излучения,
падающего на дифракционную решетку, если угол между нулевым и
третьим максимумом увеличился с 30 до 45 градусов, а расстояние до
экрана постоянно?
Дано:
Решение:
1=300
Из формулы d sin() = m 
2=450
2
λ 2 sin (2 )
d sin (2 ) m λ 2
2  2




1
λ1 sin (1 )
d sin (1 ) m λ1
2
2/1- ?
Ответ: В 2 раз.
Задача 8.
Во сколько раз период дифракционной решетки больше длины волны
=500 нм лазерного излучения, если ширина штриха равна 500 нм, а
расстояние между штрихами равно 1000 нм?
Дано:
Решение:
d ab
=500 нм

Поскольку d = a + b, то
, т.е.
λ
λ
a=500 нм
b=1000 нм
d
-?
λ
d 500 нм  1000 нм

3
λ
500 нм
Рис. 14.3.
Ответ: В 3 раза.
- 90 -
Задача 9.
Рентгеновское излучение с длиной волны 0,163 нм падает на
кристалл каменной соли. Найдите межплоскостное расстояние
кристаллической решетки каменной соли, если дифракционный
максимум первого порядка наблюдается при угле скольжения = 170 .
Дано:
Решение:
 = 0,163 нм
Из формулы 2lsin =m 
λ
= 170
при m=1 l  2sin θ , т.е.
m=1
l
0,163 нм
 0,279 нм .
2sin(17 0 )
l-?
Рис. 14.4.
Ответ: 0,279 нм.
Задача 10.
Найдите энергию одного кванта света, имеющего длину волны
500 нм.
Дано:
Решение:
λ=500 нм=510-7 м
Из формулы E = hc/ найдем, что
c=3108 м/с
E = 6,6310-34 Дж с 3 108 м/с / 510-7 м 
h=6,6310-34 Дж с
3,9810-19 Дж.
E-?
Ответ: E = 3,9810-19 Дж.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
14.1. Разности фаз двух интерферирующих волн равны: а) 0; б) π/3; в)
π/2. Скольким длинам волн в вакууме будут соответствовать
оптические разности хода этих волн?
Ответ: а) 0; б) /6; в) /4.
14.2. На мыльную пленку (n=1,33) под углом
i=30° падает
параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 600
- 91 -
нм. При какой минимальной толщине пленки она будет светлой в
отраженном свете?
Ответ: hmin122 нм.
14.3. Чему равна длина волны лазерного излучения, если в
дифракционном спектре максимум второго порядка возникает при
оптической разности хода волн 800 нм?
Ответ: 400 нм.
14.4. Во сколько раз увеличится оптическая разность хода волн,
прошедших через дифракционную решетку, если длину волны
увеличить в 2 раза?
Ответ: В 2 раза.
14.5. Определите оптическую разность хода волн длиной 600 нм,
прошедших через дифракционную решетку и образующих максимум
третьего порядка.
Ответ: 1800 нм.
14.6. Какой порядок максимума можно наблюдать в резуль тате
дифракции света с длиной волны 500 нм, если оптическая разность
хода равна 1000 нм?
Ответ: Второй порядок максимума.
14.7. Лазерное излучение проходит через дифракционную решетку.
Во сколько раз оптическая разность хода волн для третьего
максимума больше, чем для второго максимума?
Ответ: В 1,5 раза.
14.8. Лазерное излучение с длиной волны 500 нм проходит через
дифракционную решетку с периодом 10 мкм. Под каким углом
виден первый максимум в дифракционной картине?
Ответ: 2,870
14.9. Рентгеновское излучение с длиной волны 0,15 нм падает на
кристалл. Найдите межплоскостное расстояние кристаллической
решетки, если дифракционный максимум первого порядка
наблюдается при угле скольжения = 300 .
Ответ: 0,15 нм.
- 92 -
14.10. Рентгеновское излучение падает на монокристалл.
Межплоскостное расстояние равно 0,3 нм. Чему равна длина волны
излучения, если в спектре второго порядка получен максимум при
угле скольжения =600?
Ответ: 0,26 нм.
14.11. Рентгеновское излучение с длиной волны 0,2 нм падает на
монокристалл. Межплоскостное расстояние равно 0,3 нм. Чему равен
угол скольжения, если в спектре второго порядка получен
максимум?
Ответ: 41,80
14.12. Найдите энергию одного кванта света, имеющего частоту
5·1014 Гц.
Ответ: 3,310-19 Дж.
14.13. Энергия одного кванта света равна 3· 10-19 Дж. Найдите длину
волны такого света.
Ответ: 663 нм.
14.14. Энергия одного кванта света равна 3· 10-19 Дж. Найдите
частоту такого света.
Ответ: 4,521014 Гц.
- 93 -
15. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Основные понятия и формулы
Закон Малюса:
I a  I п cos 2  ,
где Iп - интенсивность света, вышедшего из поляризатора,
Iа - интенсивность света, вышедшего из анализатора,  - угол
между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора.
Закон Брюстера:
Если угол падения естественного света на границу
прозрачных изотропных диэлектриков, равен углу Брюстера iБ,
определяемого соотношением
tg iБ= n21,
то отраженный луч полностью поляризован, преломленный
луч поляризован максимально, но не полностью (n21- показатель
преломления второй среды относительно первой).
Угол поворота плоскости поляризации:
в оптически активных кристаллах и чистых жидкостях
 = d,
в оптически активных растворах
 = [] C d,
где d – расстояние, пройденное светом в оптически активном
веществе; - постоянная вращения; []– удельное вращение; С –
концентрация раствора оптически активного вещества.
- 94 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего
через эти призмы, уменьшилась в 4 раза? Поглощением пренебречь.
Дано:
Решение:
Ia = 1/4 Iпад Интенсивность света вышедшего из поляризатора:
Iп = 1/2 Iпад
2
По закону Малюса I a  I п cos  , отсюда
cos 2  
-?
I a I a  2 I пад  2 1
0



Iп
I пад
4  I пад 2  = 45 .
Ответ:  =450.
Задача 2.
Два николя расположены так, что угол между их главными
плоскостями равен 600. Во сколько раз уменьшится интенсивность
естественного света при прохождении его через один николь? Во
сколько раз уменьшится интенсивность при прохождении через оба
николя? (при прохождении каждого из николей потери на отражение
и поглощение энергии составляют 10%).
Дано:
Решение:
Интенсивность поляризованного света, вышедшего из
= 600
первого николя (с учетом потерь 10%):
I
1
I п1  I ест  0,9  0,45  I ест ; ест  2,2 .
2
I п1
Интенсивность света, прошедшего через два николя (с
учетом потерь):
I
I n 2  0,9  I n1  cos 2 60 0  0,9  0,45  0,25  I ест  0,1  I ест ; ест  10 .
In2
Iест/Iп1 - ?
Iест/Iп2 - ?
Ответ: Уменьшится в 2,2 раза. Уменьшится в 10 раз.
- 95 -
Задача 3.
Угол падения луча равен 300. Определить показатель преломления
вещества, если известно, что отраженный луч полностью
поляризован.
Дано:
Решение:
iБ= 300
Так как отраженный луч полностью поляризован, то по
закону Брюстера: tg iБ= n21 n = tg300 = 0,58.
n-?
Ответ: n = 0,58.
Задача 4.
Пучок плоско поляризованного света c длиной волны 650 нм падает
нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную
параллельно его оптической оси. Найти длины волн обыкновенного и
необыкновенного лучей в кристалле. Показатели преломления
исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей
равны 1,66 и 1,49 соответственно.
Дано:
Решение:
= 650 нм Относительный показатель преломления двух сред:

n0 = 1,66
n  1 , где 1 ,  2 - скорости света в первой и во
ne = 1,49
2
второй средах.
Так как частота  постоянна и      , то получим:
 
n 1  1 .
 2  2
Тогда для обыкновенного луча

650
0  1 
 392 нм  3,92  10 7 м,
n 0 1,66
для необыкновенного

650
e  1 
 436 нм  4,36  10 7 м.
n e 1,49
0 - ? е - ? Ответ: 0 = 3,92.10-7 м, е = 4,36.10-7 м.
- 96 -
Задача 5.
Определите удельное вращение раствора сахара, концентрация
которого С= 0,33 г/см3, если при прохождении монохроматического
света через трубку с раствором угол поворота плоскости поляризации
составил = 220, а длина трубки  = 10 см.
Дано:
Решение:
3
С=0,33г/см Угол поворота плоскости поляризации в растворе

=220
 = [] C  . Тогда [] 

C
 = 10cм
2
 град  см 2 
22 0
1  град  м 
  6,67 10 

[ ] 
 6,67
3
г
0,33 г / см 10 см


 кг 
[]- ?
Ответ: [] = 6,67·10-1 град·м2/кг.
Задача 6.
При прохождении света через слой 10%-ного раствора сахара
толщиной 10 см, плоскость поляризации света повернулась на угол
16,50. В другом растворе сахара в слое толщиной 25 см, плоскость
поляризации повернулась на 330. Найдите концентрацию второго
раствора.
Дано:
Решение:
1
 1 =10 см
Так как удельное вращение: []  C   , то найдем
1
1
 2 =25 см
концентрацию второго раствора как
0
1=16,5
2
 С 
С2 
 2 1 1 . Поэтому
2=330
[ ]   2
1   2
С1 =10%
330  10 %  0,1 м
C2 
 8% .
16,50  0,25 м
С2 - ?
Ответ: С2 = 8%.
- 97 -
Задача 7.
Между скрещенными николями находится трубка длиной 30 см с
раствором сахара. При какой концентрации сахара возможно
максимальное просветление поля зрения? Удельное вращение
раствора сахара 6,82 град·см2/г, а максимальная концентрация сахара
равна 2 г/см3.
Дано:
Решение:
По закону Малюса, в данной системе
 =30 см
просветление поля зрения
[ ] =6,82 град.см2/г максимальное
произойдет, если раствор сахара будет
Сmax= 2 г/см3
поворачивать плоскость поляризации на угол ,
0
0
равный 90  n  180 (n  0, 1, 2...) .
При = 900:
90 0
 г 
 кг 
С1 
 0,44 3   440 3  ,
0
2
6,82  см / г  30 см
 см 
м 
при = 2700:
2700
 г 
 кг 
С2 

1
,
32

1320


 3 ,
3
6,82 0 см 2 / г  30 см
 см 
м 
при = 4500:
С3 
С-?
450
 г 
 кг 

2
,
2

2200


 3 .
3
6,82 0 см 2 / г  30 см
 см 
м 
Так как максимальная концентрация сахара
Сmax = 2000 кг/м3, то просветление произойдет
только при концентрациях:
С1 =440 кг/м3 и С2 = 1320 кг/м3.
Ответ: С1 =440 кг/м3; С2 = 1320 кг/м3.
- 98 -
Задача 8.
При работе на сахариметре были определены углы поворота
плоскости поляризации растворов известной концентрации:
С, %

3
5
7
9
2,50 5,10 7,40 9,60
Найдите неизвестную концентрацию раствора, если его угол
поворота плоскости поляризации составляет  = 6,80
Дано:
Решение:
С1 =3%, 1=2,50 Построим график зависимости угла поворота от
С2 =5%, 2=5,10 концентрации. Найдем по графику неизвестную
С3 =7%, 3=7,40 концентрацию (см. рис. 15.1).
С4 =9%, 4=9,60
x= 6,80
10

7,5
6,8
5
2,5
3
Сx - ?
5
6,7
7
9
С%
Рис. 15.1.
Ответ: Сx = 6,7%.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
15.1. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора, если интенсивность света, проходящего через эти
призмы, уменьшилась в 4 раза? Плоскость поляризации падающего
света совпадает с главной плоскостью поляризатора. Поглощением
пренебречь.
Ответ: =600.
- 99 -
15.2. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего
через эти призмы, уменьшилась в 2 раза? Поглощением пренебречь.
Ответ: = 0.
15.3. Как изменится интенсивность света, прошедшего через
поляризатор и анализатор, если угол между их плоскостями
поляризации увеличился от 300 до 600? Поглощением света
пренебречь.
Ответ: Уменьшится в 3 раза.
15.4. Два николя расположены так, что угол между их главными
плоскостями равен 450. Во сколько раз уменьшится интенсивность
естественного света при прохождении через оба николя? При
прохождении каждого из николей потери на отражение и поглощение
энергии составляют 20%.
Ответ: Уменьшится в 6,25 раз.
15.5. Во сколько раз ослабится естественный свет, проходя через два
николя, главные плоскости которых составляют угол 30 0, если
поглощение отсутствует?
Ответ: Уменьшится в 2,7 раза.
15.6. Пучок естественного света падает на систему из трех
поляризаторов, главная плоскость каждого из которых повернута на
угол 450 относительно
главной плоскости предыдущего
поляризатора. Во сколько раз уменьшится интенсивность света,
проходящего через эту систему? Поглощением света пренебречь
Ответ: Уменьшится в 8 раз.
15.7. Угол падения луча равен 380. Определить показатель
преломления вещества, если известно, что отраженный луч
полностью поляризован.
Ответ: n = 0,78.
15.8. Пучок плоско поляризованного света, длина волны которого
равна 600 нм, падает нормально на пластинку льда, вырезанную
параллельно его оптической оси. Найдите длины волн обыкновенного
и необыкновенного лучей в кристалле. Показатели преломления льда
- 100 -
для обыкновенного и необыкновенного лучей равны 1,309 и 1,310
соответственно.
Ответ: 0=4,583·10-7 м, е = 4,58·10-7 м.
15.9. Раствор сахара, налитый в трубку длиной 10 см, поворачивает
плоскость поляризации на угол 200. Найти концентрацию сахара в
растворе, если удельное вращение сахара для этой длины волны [ ] =
6,67 град·см2/г.
Ответ: С = 300 кг/м3.
15.10.
Определите
угол
поворота
плоскости
колебания
монохроматического света раствором сахара при концентрации
 =10 см, удельное вращение
сахара С=0,06 г/см3. Длина трубки
сахара для этой волны [ ] = 6,67 град·см2/г.
Ответ: = 40.
15.11. Раствор сахара, налитый в трубку длиной 10 см, поворачивает
плоскость поляризации на угол 400. Найдите удельное вращение
сахара, если концентрация сахара равна 0,66 г/см3.
Ответ: [ ] = 6,67·10-1 град·м2/кг.
15.12. Между николями с параллельными главными плоскостями
находится трубка длиной 20 см, заполненная раствором сахара. При
какой минимальной концентрации сахара возможно максимальное
затемнение поля зрения? Удельное вращение раствора сахара
6,67 град·см2/г.
Ответ: С =675 кг/м3.
15.13. При работе на сахариметре были определены углы поворота
плоскости поляризации растворов известной концентрации:
С, % 2
4
6
8
2,40 5,20 8,50 11,10

Найдите неизвестную концентрацию раствора, если его угол
поворота составляет  = 7,20.
Ответ: Сx = 5,4%.
- 101 -
16. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА
Основные понятия и формулы
Закон Бугера:
I  I 0e  kd или I  I0 10 kd ,
где I0- интенсивность падающего света, I - интенсивность света,
вышедшего из слоя вещества толщиной d; k- натуральный
коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света ;
k0,43k - коэффициент поглощения.
Рис. 16.1. Зависимость интенсивности прошедшего света I от
толщины вещества d.
Закон Бугера – Ламберта – Бера:
I  I0e cd или I  I0 10cd ,
где - натуральный коэффициент поглощения света на единицу
концентрации вещества, зависящий от вида растворенного
вещества и длины волны света, с – концентрация растворенного
вещества,    / 2,3 - коэффициент поглощения. Причем k=с.
Коэффициент пропускания (или прозрачность) :
I
 .
I0
Оптическая плотность раствора D:
I
D  lg 0   lg    cd .
I
- 102 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Интенсивность света, прошедшего сквозь слой вещества толщиной
5 м, уменьшилась в e раз. Чему равен натуральный коэффициент
поглощения света для этого вещества?
Дано:
Решение:
I
I0
I0
Id  0
I

I

По закону Бугера d
, по условию d
,
e
ekd
e
I0
I0
1 1

k

  0,2 м 1 .
тогда
kd  1=kd или
d 5
e e
k-?
Ответ: k = 0,2 м-1.
Задача 2.
Пучок монохроматического света проходит через пластинку
толщиной d=1см. Определите натуральный коэффициент поглощения
и коэффициент поглощения вещества пластинки, если при этом
поглощается 0,75 падающего света.
Дано:
Решение:
 kd
d = 0,01 м
Так как I  I 0 10
и по условию задачи
Iпог = 0,75I0
I
I
I
I d  (1  0,75)I 0  0 , тогда 0  0kd  kd=lg4,
4
4 10
1
1
или k  lg 4 / d  0,602 / 1 см  0,602 см  60,2 м
натуральный коэффициент поглощения
k
60,2 м 1
1
k
 k  0,43  140 м .
0,43
k -?
k' - ?
Ответ: k = 140 м-1; k ' = 60,2 м-1.
- 103 -
Задача 3.
Оптическая плотность раствора равна 3. Определите коэффициент
пропускания.
Дано:
Решение:
D =3
Так как оптическая плотность D= -lg, то 10-D=,
тогда =10-3.
- ?
Ответ: =10-3.
Задача 4.
При прохождении света через слой раствора поглощается 1/4
первоначальной световой энергии. Определите коэффициент
пропускания и оптическую плотность раствора.
Дано:
Решение:
Iпог = I0/4
Коэффициент
пропускания
раствора:
I
(1  0,25)I 0
 d 
 0,75 .
I0
I0
- ?; D - ?
Оптическая плотность раствора:
1
D  lg  lg 1,33  0,124 .

Ответ: = 0,75; D = 0,124.
Задача 5.
Какова концентрация неизвестного раствора, если одинаковая
освещенность фотометрических полей была получена при толщине
8 мм у эталонного 3% раствора и 24 мм у исследуемого раствора?
Дано:
Решение:
d1=8 мм
Так как освещенность фотометрических полей
k cd
k c d
С1=3%
одинакова, то I d1  I d2  e  1 1  e  2 2 или
d2=24 мм
c1d1 8 мм  3%
c

c1d1=c2d2  2 d  24 мм  1% .
2
С2 - ?
Ответ: С2 =1%.
- 104 -
Задача 6.
При работе на фотоэлектроколориметре были определены оптические
плотности растворов с известной концентрацией:
С, % 10 30 50 70
D
0,3 0,45 0,6 0,75
Найдите неизвестную концентрацию раствора, если его оптическая
плотность составляет Dx= 0,5.
Дано:
Решение:
С1 =10%, D1 =0,3 Задачу решим графическим способом. Построим
С2=30%, D2 =0,45 график зависимости оптической плотности от
С3 =50%, D3 =0,6 концентрации и по графику, зная Dx=0,5, найдем
неизвестную концентрацию раствора
С4=70%, D4 =0,75
D
Dx=0,5
0,7
0,5
0,3
0,1
С%
10
20
30
40
50
60
Рис. 16.2.
Cx - ?
Ответ: Сx = 40%.
70
- 105 -
Задача 7.
Интенсивность света, прошедшего через раствор толщиной d=1 см,
уменьшилась в 10 раз. Натуральный молярный коэффициент
поглощения на данной длине волны равен 2300 л/(моль.см). Найдите
молярную концентрацию растворенного вещества.
Дано:
Решение:
d =1 см
Используя формулу оптической плотности раствора
I0/I =10
I
D  lg 0   lg    ' cd и учитывая, что    / 2,3 ,
л
I
=2300
моль  см
lg (I 0 / I)
с

получим концентрацию
 d 
c
с-?
lg 10
1000 л
(моль  см )
1 см
 0,001 моль / л  1 моль / м 3
Ответ: с = 1 моль/м3.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
16.1. Интенсивность света, прошедшего сквозь слой вещества
толщиной 3 м, уменьшилась в e раз. Чему равен натуральный
коэффициент поглощения для этого вещества?
Ответ: k = 0,33 м-1.
16.2. Пучок монохроматического света проходит через пластину
толщиной d=0,35 см. Определите коэффициент поглощения
материала пластины, если при этом поглощается 0,5 падающего
света.
Ответ: k = 0,86 м-1.
16.3. При прохождении света через слой вещества его интенсивность
уменьшается вследствие поглощения в 4 раза. Найдите толщину слоя
вещества, если натуральный коэффициент поглощения k = 1,4.102 м-1.
Ответ: d = 0,01 м.
- 106 -
16.4. Оптическая плотность раствора равна 2. Определите
коэффициент пропускания.
Ответ: = 10-2.
16.5. Коэффициент пропускания раствора =0,1. Определите
оптическую плотность раствора.
Ответ: D = 1.
16.6. При прохождении света через слой раствора поглощается 1/5
первоначальной световой энергии. Определите коэффициент
пропускания и оптическую плотность раствора.
Ответ: = 0,8; D= 0,097.
16.7. Какова величина интенсивности света, прошедшего через
вещество, если коэффициент пропускания данного вещества
составляет 0,1, а интенсивность падающего света равна 100 ед. СИ?
Ответ: Id = 10 ед. СИ.
16.8. Какова концентрация неизвестного раствора, если одинаковая
освещенность фотометрических полей была получена при толщине
4 мм у эталонного 6% раствора и 12 мм у исследуемого раствора?
Ответ: С = 2%.
16.9. При работе на фотоэлектроколориметре были определены
оптические плотности растворов с известной концентрацией:
С% 10 20 40 55
D 0,2 0,25 0,35 0,45
Найдите неизвестную концентрацию раствора, если его оптическая
плотность составляет Dx=0,3.
Ответ: Сx= 30%.
16.10. Вычислите толщину слоя исследуемого раствора с
концентрацией С=5%, если в концентрационном колориметре
получены равные оптические плотности исследуемого раствора и
эталонного 10%-ного раствора толщиной слоя d2 = 20 мм.
Ответ: d1 = 0,04 м.
- 107 -
16.11. Определите концентрацию исследуемого раствора, если в
концентрационном колориметре получены равные оптические
плотности у стандартного 3%-ного раствора толщиной слоя d1=10 мм
и исследуемого с толщиной d2=15 мм.
Ответ: С2 = 2%.
16.12. Интенсивность света, прошедшего через раствор толщиной 2
см, уменьшилась в 100 раз. Натуральный молярный коэффициент
поглощения на данной длине волны равен 1000 л/(моль·см). Найдите
молярную концентрацию растворенного вещества.
Ответ: с = 1 моль/м3.
16.13. Определите молярный коэффициент поглощения вещества,
если при прохождении света через раствор с концентрацией 0,01
моль/л и толщиной слоя d =2 см, интенсивность света уменьшилась в
10 раз.
Ответ:  = 5 м3/(моль·м).
16.14. Интенсивность света, прошедшего через раствор, уменьшилась
в 10 раз. Молярный коэффициент поглощения на данной длине волны
равен 200 л/(моль·см). Молярная концентрация растворенного
вещества 0,005 моль/л. Найдите толщину слоя раствора.
Ответ: d = 10-2 м.
- 108 -
17. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Основные понятия и формулы
Спектр тормозного рентгеновского излучения является сплошным и
со стороны коротких волн резко обрывается на определенной длине
волны λмин.(см. рис. 17.1).
Ф - поток энергии
рентгеновского излучения
Рис. 17.1. Спектр тормозного рентгеновского излучения для
различных напряжений между катодом и анодом.
Минимальная длина волны:
hc
 мин 
, где h – постоянная Планка; с – скорость света; e –
eU
заряд электрона; U – напряжение между катодом и анодом.
Поток энергии Ф рентгеновского излучения:
Ф= kIU2Z, где k =10-9 В-1 – постоянная величина; I – сила тока в
рентгеновской трубке; Z – атомный номер вещества анода.
Виды взаимодействия рентгеновского излучения с веществом:
1) когерентное рассеяние (h<<AИ),
2) фотоэффект (hAИ),
энергия фотона h=AИ+ ЕК, где AИ – работа ионизации атома,
m 2
Ek 
– кинетическая энергия электронов.
2
3) некогерентное рассеяние (h>>AИ), энергия фотона тратится
также на создание нового фотона h, то есть: h=AИ+ ЕК+ h.
Поток рентгеновского излучения ослабляется в веществе по закону:
Ф  Ф 0 e x , где μ – линейный коэффициент ослабления, x –
толщина слоя.
Кроме линейного коэффициента , вводится массовый коэффициент
ослабления m = /. Причем m пропорционален третьей степени
атомного номера поглотителя Z и длины волны :
 m  k3 Z3 .
- 109 -
Единица измерения энергии:
1 эВ= 1,610-19 Дж.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Кванты рентгеновского излучения с энергией 4,9 эВ вырывают
электроны из вещества с работой выхода 4,6 эВ. Какую
дополнительную энергию получат электроны? Какое наблюдается
при этом явление?
Дано:
Решение:
Поскольку энергия кванта рентгеновского
h= 4,9 эВ
излучения незначительно превосходит
AИ=4,6 эВ
работу выхода hAИ, то наблюдается
фотоэффект. Поэтому для фотоэффекта Ek
Е -?
и
есть
дополнительная
энергия:
E k  4,9  4,6  0,3 эВ .
Ответ: ЕК =0,3 эВ.
Задача 2.
Кванты рентгеновского излучения с энергией 0,6 МэВ вырывают
электроны из вещества с работой выхода 5 эВ. Найдите
кинетическую энергию электронов, если вторичный квант составил
0,4 МэВ.
Дано:
Решение:
h=0,6 МэВ=0,6106 эВ Так как энергия кванта рентгеновского
излучения
значительно
превосходит
AИ=5 эВ
h=0,4 МэВ=0,4106 эВ работу выхода h>>AИ и появляется
вторичный
квант,
то
наблюдается
некогерентное рассеяние.
ЕК -?
Так как h=AИ+ ЕК+ h, то Ek= h-AИ- h.
E k  0,6  10 6  0,4  10 6  5  0,2 МэВ.
Ответ: E k  0,2 МэВ .
- 110 -
Задача 3.
Напряжение, приложенное к аноду в рентгеновской трубке,
увеличили со 100 кВ до 200 кВ. Что произойдет с граничной длиной
волны спектра тормозного рентгеновского излучения?
Дано:
Решение:
U1=100 кВ
hc
hc
hc






мин
мин
2
Так как мин
, то
1
U2=200 кВ
eU 2 
eU1 ,
eU
мин- ?
 мин 2 U1 1

 .

U
2
мин1
2
Ответ: Длина волны мин уменьшится в 2 раза.
Задача 4.
В каком случае произойдет большее увеличение потока
рентгеновского излучения: при увеличении вдвое силы тока, но
сохранении напряжения или, наоборот, при увеличении вдвое
напряжения, но сохранении силы тока?
Дано:
Решение:
Iток Так как Ф=kIU2Z, то
рентгеновской
Ф2 I2
2
2

 2,
1)
Ф
=kI
U
Z,
Ф
=kI
U
Z,
1
1
2
2
трубки, I2=2I1
Ф 1 I1
Uнапряжение
Ф 2 U 22 4U12
2
2

 2  4.
между катодом и 2) Ф1  kIU1 Z , Ф 2  kIU 2 Z ,
Ф1 U12
U1
анодом, U2 =2U1
Ф2
Ответ: При увеличении вдвое напряжения.
?
Ф1
- 111 -
Задача 5.
Какое излучение будет более жестким: рентгеновское, возникающее
при напряжении 160 кВ, или гамма-излучение с энергией
Е=0,074 МэВ?
Дано:
Решение, 1 способ:
U=160 кВ=1,6105 В Жестким излучением является то излучение,
квант энергии которого имеет большую
E=0,074 МэВ=
величину. Энергия электрона: E=eU 
=7,4104 эВ
E=1,610-19 Кл 1,6105 В= 1,6105 эВ.
Энергия электрона переходит в энергию фотона
E- ?
рентгеновского излучения: EР=1,6105 эВ.
Энергия гамма-излучения: E=7,4104 эВ.
Ответ: EР> E, следовательно, рентгеновское
излучение более жесткое.
Решение, 2 способ:
Жестким излучением является то излучение,
длина волны которого меньше.
Длина волны рентгеновского излучения:
hc
 мин 

eU
 мин
6,63  10 34 Дж  с  3  108 м / с

 7,8  10 12 м
19
5
1,6  10 Кл  1,6  10 В
.
Длину волны гамма-излучения найдем как
hc
hc
E 
  E 


6,63 10 34 Дж  с  3 108 м / с

 16,9 10 12 м .
4
19
7,4 10 эВ 1,6 10 Дж / эВ
Ответ: Длина волны рентгеновского излучения
меньше длины волны γ излучения,
следовательно, рентгеновское излучение более
жесткое.
- 112 -
Задача 6.
Определите скорость электронов, падающих на антикатод
рентгеновской трубки, если минимальная длина волны в сплошном
спектре рентгеновских лучей 0,01 нм?
Дано:
Решение:
=0,01 нм = 10-11 м Скорость электрона найдем из соотношения:
me  9,1  1031 кг
 ?
2hc
hc
m 2



 мин m 
 мин
2 .
2  6,63  10 34 Дж  с  3  108 м / с
м

 2,1  108 .
11
31
10 м  9,1  10 кг
с
Ответ:  =2,1108 м/с.
Задача 7.
Для рентгенодиагностики мягких тканей применяют специальные,
так называемые контрастные вещества. Например, желудок и
кишечник заполняют кашеобразной массой сульфата бария BaSO4.
Сравните массовые коэффициенты ослабления сульфата бария и
мягких тканей (воды).
Дано:
Решение:
3 3
56Ва, 16S, 8O, 1Н
Массовый коэффициент ослабления   k Z .
μ вещество
μ воды
 вещество
?
 воды
56 3  16 3  4  83

 354 .
2  13  83
Ответ: Массовый коэффициент
больше в 354 раза у сульфата бария.
ослабления
- 113 -
Задача 8.
Найдите границу тормозного рентгеновского излучения (частоту и
длину волны) для напряжения 2 кВ.
Дано:
Решение:
hc
U=2 кВ= 2103 В


Так как мин
, то
eU
 мин  ?
?
 мин
6,63  10 34 Дж  с  3  108 м / с

 6,2  10 10 м
19
3
1,6  10 Кл  2  10 В
Частоту найдем как:

c
 мин
3  108 м / с
17
   6,2  10 10 м  4,8  10 Гц .
Ответ: =4,81017 Гц, мин=6,210-10 м.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
17.1. Напряжение, приложенное к аноду, в рентгеновской трубке,
уменьшили с 300 кВ до 100 кВ. Что произойдет с граничной длиной
спектра тормозного рентгеновского излучения?
Ответ: Длина волны мин сместится в область больших длин волн.
17.2. Кванты света с энергией 5,9 эВ вырывают электроны из
вещества с работой выхода 4,5 эВ. Какую дополнительную энергию
получают электроны? Какое наблюдается при этом явление?
Ответ: EК=1,4 эВ.
17.3. Кванты рентгеновского излучения с энергией 0,5 МэВ
вырывают электроны из вещества с работой выхода 4 эВ. Найдите
кинетическую энергию электрона, если вторичный квант энергии
комптоновского рассеяния составил 0,4 МэВ.
Ответ: EК 0,1 МэВ.
17.4. В каком случае произойдет большее увеличение потока
рентгеновского излучения: при увеличении втрое силы тока и
- 114 -
сохранении напряжения или, наоборот, при увеличении втрое
напряжения и сохранении силы тока?
Ответ: При увеличении втрое напряжения.
17.5. Как можно увеличить силу тока, не изменяя напряжение в
рентгеновской трубке?
Ответ: Увеличить температуру накала катода.
17.6. Найдите границу тормозного рентгеновского излучения (частоту
и длину волны) для напряжения 20 кВ.
Ответ: =4,81016 Гц, мин=6,210-9 м.
17.7. Найдите поток рентгеновского излучения при U=10 кВ, I = 1 мА.
Анод изготовлен из вольфрама.
Ответ: Ф =7,4 10-3 Вт.
17.8. Какое излучение будет более жестким: рентгеновское,
возникающее при напряжении 150 кВ или гамма-излучение с
энергией E=0,065 МэВ?
Ответ: Рентгеновское излучение более жесткое.
17.9. Что произойдет с характеристическим спектром рентгеновского
излучения, если катод, изготовленный из меди, заменить на катод из
вольфрама?
Ответ: Характеристический спектр сместится в область больших
частот.
17.10. Считая, что поглощение рентгеновского излучения не зависит
от того, в каком соединении атом представлен в веществе,
определите, во сколько раз массовый коэффициент ослабления кости
(Ca3(PO4)2) больше массового коэффициента ослабления воды?
Ответ: Массовый коэффициент ослабления больше в 68 раз.
- 115 -
18. РАДИОАКТИВНОСТЬ. ДОЗИМЕТРИЯ
Основные понятия и формулы
Закон радиоактивного распада:
N  N 0  e t , где N - число не распавшихся радиоактивных ядер;
N0 - число ядер в момент времени t=0, принятый за начало
отсчета;  - постоянная распада.
Среднее время жизни энергии  радиоактивного ядра:
1
τ  , где - время, в течение которого число радиоактивных
λ
ядер уменьшается в e раз.
Период полураспада T- это время, в течение которого число
радиоактивных ядер уменьшается в два раза по сравнению с
исходным количеством.
Период полураспада T связан с постоянной распада  формулой:
ln 2

.
T
Активность - это число распадов в единицу времени:
А(t) 
dN
 λN 0 e λt .
dt
Активность изотопа со временем уменьшается по закону:
A  A0  et ,
где A0- начальная активность (A0=N0),  - постоянная распада.
Доза излучения D или поглощенная доза излучения - поглощенная
энергия любого ионизирующего излучения, отнесенная к единицы
массы облучаемого вещества
E
D .
m
- 116 -
Важным фактором является время, в течение которого облучается
объект, поэтому вводят понятие мощность дозы излучения:
D
Р .
t
Поскольку трудно оценить поглощенную дозу ионизирующего
излучения непосредственно человеком, то это производят с помощью
экспозиционной дозы Х, которая является мерой ионизации воздуха
рентгеновскими и гамма-лучами.
Между поглощенной и экспозиционной дозами существует связь:
D  f  X , где
f- некоторый переходный коэффициент,
зависящий от ряда причин, и прежде всего от облучаемого
вещества и энергии фотонов.
Для воды и мягких тканей тела человека f = 1, для костной ткани
коэффициент f = 4,5 и зависит также от энергии фотонов.
Мощность экспозиционной дозы определяется через активность
радиоактивного препарата как:
Х А  k
 2 , где k- постоянная радионуклида; А - активность; t t
r
время; r-расстояние.
Чтобы сравнить биологические эффекты различных излучений с
соответствующими эффектами, вызванными рентгеновским и  излучением, вводят коэффициент относительной биологической
эффективности (ОБЭ) или коэффициент качества К.
Вид излучения
Коэффициента качества, К
Рентгеновское, гамма- и
1
бета- излучения
20
Альфа излучение
Поглощенная доза совместно с коэффициентом качества дает
представление о биологическом действии ионизирующего излучения,
поэтому произведение DK используют как единую меру этого
действия и называют эквивалентной дозой излучения Н:
HDK .
- 117 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Найдите активность исследуемого препарата, взятого в количестве
0,02 мКи, через 23 дня, если период полураспада Т=46 дней?
Дано:
Решение:
-5
А=0,02 мКи=2 10 Ки Активность препарата через 23 дня:
Т = 46 дней
ln 2
A  A 0  e t , где  

t = 23 дня
T
5
A  2 10 Ки  e
5
A  2  10 Ки  e
А-?


Ln 2
23 дня
46 дней
Ln 2
2
,
2  105 Ки

 1,41  105 Ки
2
5
Ответ: А  1,4110 Ки.
Задача 2.
Найдите активность препарата, если в течение 10 мин распадается
10000 ядер этого вещества?
Дано:
Решение:
N = 10000 распадов
Активность препарата рассчитаем по
t = 10 мин =600 с
N 10000 расп
A


 16,7 Бк .
формуле
t
600 c
А -?
Ответ: А=16,7 Бк.
Задача 3.
Предельно допустимая поглощенная доза, полученная под действием
-излучения, составляет DПДД=5 10-2 Дж/кг. Найдите поглощенную
энергию гамма-фотонов, если масса человека равна 65 кг.
Дано:
Решение:
E
DПДД=5 10-2 Дж/кг
D

Т.к.
, то поглощенная энергия: Е  D  m 
m
m =65 кг
E= 5 10-2 Дж/кг 65 кг=3,25 Дж.
Е-?
Ответ: 3,25 Дж.
- 118 -
Задача 4.
Вычислите число ядер N, распавшихся в течение первых суток, если
первоначальное число ядер N0 =1022.
Дано:
Решение:
Т=12,3 часов
Используя закон радиоактивного распада:
t=24 часа
N  N 0  e t , где N число не распавшихся в
N0=1022
ln 2


течение суток ядер и
, получим:
T
N  N0  e

ln 2t
T
 10  e
22
24 часа
ln 2
12,3часов
 1022  2 2  0,25  1022 .
Тогда число распавшихся ядер находим как
разность N-N0, следовательно,
N- N0 = ?
N  N 0  110 22  0,25 10 22  0,75 10 22.
Ответ: N-N0= 0,751022.
Задача 5.
Телом массой m=60 кг в течение t = 6 часов была поглощена
энергия E =1 Дж. Найдите поглощенную дозу и мощность
поглощенной дозы в единицах СИ и во внесистемных единицах.
Дано:
Решение:
m= 60 кг
E 1 Дж
D


 0,017 Гр .
Поглощенная доза:
E=1 Дж
m 60 кг
t = 6 часов
Мощность поглощенной дозы, равна
Р
D -?
Р -?
D 0,017 Гр

 2,8  10 3 Гр / час .
t
6 час
Внесистемной единицей поглощенной дозы является
рад: 1 рад= 0,01 Гр. Поэтому
0,017 Гр
1,7 рад
D
 1,7 рад , Р 
 0,28 рад
час .
0,01
6час
Ответ: D= 0,017 Гр; D= 1,7 рад; Р= 2,8 10-3 Гр/час;
Р=0,28 рад/час.
- 119 -
Задача 6.
Поглощенная доза от гамма-излучения составила 10 рад, а от альфаизлучения – 20 рад. Найдите суммарную эквивалентную дозу, если
К=1; К=20.
Дано:
Решение:
D = 10 рад
Эквивалентную дозу рассчитаем по формуле: H  D  K .
D = 20 рад
H=101 =10 бэр, H=2020 =400 бэр.
К=1
Суммарная доза Н=410 бэр.
К=20
Н-?
Ответ: Н=410 бэр.
Задача 7.
Точечный источник 60Со транспортируется в течение 48 часов.
Активность источника А= 5,4 мКи и постоянная k =1,29. Определите
экспозиционную дозу, которую может получить экспедитор, если он
будет находиться на расстоянии 2 м от источника.
Дано:
Решение:
А = 5,4 мКи Экспозиционная доза рассчитывается по формуле
r=2м
А  k
Х А  k
Х

t 


2
2
Р  м2 t
r
r
k =1,29

ч  Ки
t = 48 часов
5,4 10 3 Ки  1,29
Х
 48 ч  0,08 Р .
4м2
Х -?
Ответ: Х= 0,08 Р.
Задача 8.
Предельно допустимая доза при профессиональном облучении
составляет 100 мбэр/нд. Пересчитайте эту величину на год. О какой
дозе идет речь?
Дано:
Решение:
В году 52 недели  ПДД  100 мбэр / нд  52 нд  5,2
ПДД =100мбэр/нд бэр/год.
В единицах бэр измеряется эквивалентная доза
Н- ?
Ответ: Н=5,2 бэр/год. Эквивалентная доза.
- 120 -
Задачи для самостоятельного решения с ответами
18.1. Найдите эквивалентную дозу Н, полученную от рентгеновских
лучей, если экспозиционная доза Х равна 5 Р (f=0,9).
Ответ: 4,5 бэр.
18.2. Найдите экспозиционную дозу Х, если поглощенная доза D
равна 30 рад (f=0,8)
Ответ: 24 Р.
18.3. Предельно допустимая поглощенная доза, полученная под
действием -излучения, составляет НПДД=5·10-2 Дж/кг. Найдите
поглощенную энергию гамма фотонов, если масса человека 70 кг.
Ответ: 3,5 Дж.
18.4. Найдите активность исследуемого препарата, взятого в
количестве 0,01 мКи, через 24 дня, если период полураспада Т равен
48 дней?
Ответ: 0,007 мКи.
18.5. Рассчитайте период полураспада, если постоянная распада
 равна 0,0348 год-1.
Ответ: 20 лет.
18.6. Определите постоянную распада  изотопа, если период
полураспада Т составляет 30 лет.
Ответ: 0,023 год-1.
18.7. Средняя поглощенная мощность дозы космического излучения
на высоте уровня моря составляет 3,2 мкрад/час. Какова будет
мощность поглощенной дозы этого вида излучения за целый год?
Ответ: 4 мрад/год.
18.8. Поглощенная доза от бета-излучения составила 5 рад, а от
альфа-излучения – 10 рад. Найдите суммарную эквивалентную дозу.
Ответ: 205 бэр.
18.9. Чему равна мощность дозы, если доза в 30 Рентген получена за
3 часа? О какой дозе идет речь?
Ответ: 10 Р/час.
- 121 -
18.10. Телом массой 60 кг в течение 6 ч была поглощена энергия
1 Дж. Найдите поглощенную дозу и мощность поглощенной дозы в
единицах СИ и во внесистемных единицах.
Ответ: D=0,017 Гр; Р=0,0028 Гр/час; D=1,7 рад; Р=0,28 рад/час.
- 122 -
19. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В БИОЛОГИЧЕСКИХ
МЕМБРАНАХ
Основные понятия и формулы
Уравнение Нернста-Планка (электродиффузионное уравнение):
dc
d
J  URT
 UcZF , где J- плотность потока вещества, Udx
dx
подвижность частиц, R- молярная газовая постоянная,
Tабсолютная температура, F- постоянная Фарадея, Z- валентность
dc
d
иона, c- концентрация,
- градиент концентрации,
dx
dx
градиент электрического потенциала.
Уравнение Фика (уравнение диффузии):
dc
J  D
,
dx
где J - плотность потока диффундирующего вещества,
D- коэффициент диффузии (D= URT).
Уравнение Фика для диффузии в мембранах:
J  P(cВН  cНАР ) ,
где cВН и cНАР - концентрации частиц внутри и вне клетки,
P- коэффициент проницаемости мембраны.
Коэффициент проницаемости мембраны:
DK
P
,

где K - коэффициент распределения,  - толщина мембраны.
Уравнение Гольдмана–Ходжкина–Катца:
RT  PK [K  ]ВН  PNa [ Na  ]ВН  PCl[Cl  ]НАР 
 ,
м  
ln 



F  PK [K ]НАР  PNa [ Na ]НАР  PCl[Cl ]ВН 
где M- мембранный потенциал, R- молярная газовая постоянная,
T- абсолютная температура, F- постоянная Фарадея, PK, PNa, PCl проницаемости мембраны для соответствующих ионов.
- 123 -
Квадратными скобками  ВН и  НАР обозначены концентрации
ионов, соответственно, внутри и вне клетки.
Уравнение Нернста:
м 
RT с НАР
ln
, где M - равновесный мембранный потенциал,
FZ с ВН
R- молярная газовая постоянная, T- абсолютная температура, Fпостоянная Фарадея, Z- валентность иона, cВН и cНАР концентрации частиц внутри и вне клетки.
Электроемкость C плоского конденсатора:
 S
С 0 ,
d
где 0- электрическая постоянная, - диэлектрическая
проницаемость диэлектрика между пластинами конденсатора, Sплощадь пластин, d- расстояние между пластинами.
Удельная электроемкость:
C  0

.
S
d
Среднее квадратичное перемещение молекул при диффузии за время
t можно оценить по формуле:
x  2 D t , где D- коэффициент диффузии.
Частота перескоков в секунду  молекулы с одного места на другое
вследствие латеральной диффузии:
D
  2 3 , где D- коэффициент диффузии, f - площадь,
f
занимаемая одной молекулой на мембране.
- 124 -
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Концентрация вещества по обе стороны плазматической мембраны
равны соответственно 2.10-4 моль/л и 0,2.10-4 моль/л, а плотность
потока этого вещества через мембрану равна 8.10-4 М.см/с. Найдите
коэффициент проницаемости мембраны (М=моль/л).
Дано:
Решение:
С1 =2.10-4 моль/л
Плотность потока вещества через мембрану по
С2 =0,2.10-4 моль/л
J
P

J

P
(
С

С
)
формуле Фика:
1
2 .Тогда
J = 8.10-4 М.см/с
(C1  C 2 ) ,
8  10 4 моль  см / л  с
P
 4,4 см / с  0,04 м / с .
(2  10 4  0,2  10 4 ) моль / л
P-?
Ответ: P=0,04 м/с.
Задача 2.
Коэффициент диффузии D равен 10-8 м2/с, плотность потока вещества
– J=40 моль/(м2.с). Рассчитайте градиент концентрации для данного
вещества. Как изменится плотность потока вещества, если градиент
концентрации увеличится в 2 раза (при D=const)?
Дано:
Решение:
-8 2
D =10 м /с
Градиент концентрации вещества найдем по
J =40 моль/(м2.с)
dc
J
dc
 
формуле диффузии: J  D 
dx
dx
D
dc/dx -?
dc 40 моль / м 2  с

 4  109 моль / м 4 .
8 2
dx
10 м / с
Знак минус учитывает то, что плотность потока
направлена в сторону, противоположную
градиенту концентрации.
Ответ: dc/dx = 4.109 моль/м4. Если градиент
концентрации увеличится в 2 раза, то плотность
потока также возрастет в 2 раза.
- 125 -
Задача 3.
Чему равна напряженность электрического поля на мембране в
состоянии покоя, если концентрация ионов калия внутри клетки –
125 ммоль/л, снаружи - 2,5 ммоль/л, а толщина мембраны 8 нм?
Принять температуру равной 270 С.
Дано:
Решение:
+
[K ]вн= 125 ммоль/л Напряженность электрического поля можно
[K+]нар= 2,5 ммоль/л
м
E

вычислить
по
формуле:
.

 = 8 нм= 810-9 м
Мембранный потенциал по формуле Нернста:
F = 96485 Кл/моль
RT [K  ]ВН
T = 270 С= 300 К
м  
ln 
, т.е.
F
R =8,31 Дж/(моль.К)
[K ]НАР
м  
8,31 Дж / моль  К   300 К 125
ln

96485 Кл / моль
2,5
 0,026 В  3,91  0,101В .
0,101 В
 1,27  10 7 (В / м)
9
8  10 м
Ответ: Е = 1,27.107 В/м.
E
E-?
Задача 4.
Потенциал покоя нерва конечности равен 89 мВ. Чему равна
концентрация ионов К+ внутри нерва, если снаружи она составляет
12 ммоль/л? Принять температуру равной 200 С.
Дано:
Решение:
 м = 89 мВ=0,089 В
Найдем концентрацию ионов K+ по формуле
[K+]НАР= 12 ммоль/л
Т = 200 С=293 К
F = 96485 Кл/ моль
R =8,31 Дж/(моль.К)
RT [K  ]ВН
Нернста:  м   F ln [K  ]

НАР
[K+]вн - ?
Ответ: [K+]вн = 0,409 моль/л.
[K  ]ВН  [K  ]НАР  e МF / RT , отсюда
[K  ]ВН  12 ммоль / л  e3,53  0,409 моль / л
- 126 -
Задача 5.
Рассчитайте потенциал покоя для гигантского аксона кальмара при
300 С, если соотношение коэффициентов проницаемости
PK : PNa : PCl = 1 : 0.04 : 0,45. Значения концентраций:
[K+]вн=340 ммоль/л; [Na+]вн=49 ммоль/л; [Cl-]вн=114 ммоль/л;
[K+]нар=10,4 ммоль/л; [Na+]нар=460 ммоль/л; [Cl-]нар=592 ммоль/л.
Дано:
Решение:
T=303 K
Основной вклад в потенциал покоя вносят
F=96485 Кл/моль
ионы K+ и Cl-, тогда из уравнения Гольдмана–
R=8,31 Дж/(моль.К) Ходжкина–Катца получаем:
RT  PK [K  ]ВН  PCl[Cl  ]НАР 
 
м  
ln 


F  PK [K ]НАР  PCl[Cl ]ВН 
м  
8,31 Дж / моль  К   303 К 340  0,45  592
ln

96485 Кл / моль
10,4  0,45  114
 59,7 мВ .
M - ?
Ответ: M = -59,7 мВ.
Задача 6.
Фермент Na+-K+-АТФаза в плазматической мембране эритроцита
совершил шесть циклов. Какое количество ионов натрия и калия при
этом было активно транспортировано?
Дано:
Решение:
N = 6 циклов За полный цикл происходит выброс из клетки трех
ионов натрия и обогащение цитоплазмы двумя
ионами калия. За шесть циклов было активно
транспортировано 18 ионов натрия и 12 ионов калия.
nNa,
Ответ: nNa =18 ионов; nK = 12 ионов.
nK -?
- 127 -
Задача 7.
Сколько молекул фосфолипидов содержится в 1 мкм2 БЛМ при
условии, что одна молекула фосфолипида занимает площадь 0,7 нм2?
Дано:
Решение:
2
-12 2
Sм = 1 мкм =10 м
Sм
1  10 12 м 2
n
2 n 
 2  2857000 .
Sмол = 0,7 нм2 = 710-19 м2
Sмол 
7  10 19 м 2
n-?
Ответ: n =2857000.
Задача 8.
Емкость модельной мембраны составила 0,11 мкФ, площадь
0,5·10-4 м2. Определите по формуле плоского конденсатора толщину
слоя мембраны, принимая диэлектрическую проницаемость равной 2.
Дано:
Решение:
 0S
= 2
С

Емкость
плоского
конденсатора
. Тогда
d
0= 8,8510-12 Ф/м
S = 0,5.10-4 м2
C = 0,11.10-6 Ф
 0S 2  8,85  10 12 Ф / м  0,5  10 4 м 2
d

 8,01 нм .
C
0,11  10 6 Ф
d -?
Ответ: d = 8,01 нм.
Задача 9.
Определите частоту перескоков молекулы в мембране при
латеральной диффузии, если коэффициент латеральной диффузии
составляет 10-12 м2/с, а площадь, занимаемая одной молекулой,
составляет 0,7 нм2.
Дано:
Решение:
-12 2
D= 10 м /с
D


2
3
Частота перескоков молекулы:

f
f = 0,7 нм2 =710-19 м2
10 12 м 2 / с
2 3
 4,9  106 с 1 .
19 2
7  10 м
- ?
Ответ: = 4,9.106с-1.
- 128 -
Задача 10.
Определите среднюю величину перемещения молекул вещества в
воде за 1 секунду, если коэффициент диффузии этого вещества в воде
равен 10-9 м2/с.
Дано:
Решение:
D =10-9 м2/с
Среднюю величину смещения молекулы
t =1 с
можно найти по формуле: x  2 D t .
x  2  109 м 2 / с  1 с  4,47  105 м .
x -?
Ответ: x =4,47·10-5 м.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
19.1. Покажите, что основное электродиффузионное уравнение для
диффузии незаряженных частиц сводится к уравнению Фика.
19.2. Коэффициент диффузии равен 10-10 м2/с, плотность потока
вещества – 10 моль/(м2·с). Рассчитайте градиент концентрации для
данного вещества. Как изменится плотность потока вещества, если
градиент концентрации уменьшится в 3 раза?
Ответ: dc/dx = 1011 моль/м4, плотность потока уменьшится в 3 раза.
19.3. Как изменится коэффициент проницаемости бислойной
липидной мембраны для данного вещества, если увеличить её
толщину с 5 нм до 10 нм?
Ответ: уменьшится в 2 раза.
19.4. Плотность потока вещества через плазматическую мембрану
равна 3·10-5 моль·м/(л·с). Разность концентраций этого вещества
внутри и снаружи мембраны – 10-4 моль/л. Чему равен коэффициент
проницаемости мембраны для данного вещества?
Ответ: P = 0,3 м/с.
19.5. Чему равна плотность потока вещества через мембрану, если его
концентрация по обе стороны плазматической мембраны равны
соответственно 2·10-4 моль/л и 0,2·10-4 моль/л, а коэффициент
проницаемости – 0,04 м/с?
Ответ: J = 7,2·10-6 моль·м/(л·с).
- 129 -
19.6. Как изменится уравнение Нернста-Планка при отсутствии
градиента электрического поля?
Ответ: перейдет в уравнение Фика.
19.7. Чему равна плотность потока вещества через мембрану
толщиной 9 нм, если его коэффициент диффузии составляет
3·10-12 м2/с? Разность концентраций вещества внутри и снаружи
мембраны – 1,1·10-7 моль/м2.
Ответ: 3,7·10-11 моль/(м2·с).
19.8. Напряженность электрического поля на мембране в состоянии
покоя равна 1,27·107 В/м, а толщина мембраны 8 нм. Чему равна
разность потенциала между внутренней частью клетки и наружным
раствором (мембранный потенциал покоя)?
Ответ: М = 0,1 В.
19.9. Между внутренней частью клетки и наружным раствором
существует разность потенциалов (мембранный потенциал покоя)
порядка М = 80 мВ. Полагая, что электрическое поле внутри
мембраны однородно, и считая толщину мембраны  =8 нм, найдите
напряженность поля.
Ответ: E = 107 В/м
19.10. При условии, что пассивный транспорт обусловлен только
диффузией ионов калия, определите величину потенциала покоя для
мышечного волокна лягушки, если отношение концентраций ионов
калия снаружи и внутри волокна равно 1/48 при температуре 37 0 С.
Ответ: М = - 102 мВ.
19.11. Как изменится величина потенциала покоя для мышечного
волокна лягушки, если температура увеличится от 170 С до 270 С при
прочих равных условиях?
Ответ: увеличится в 1,03 раз.
19.12. Потенциал покоя нерва конечности равен 89 мВ. Чему равна
концентрация ионов К+ снаружи нерва, если внутри она составляет
409 ммоль/л? Принять температуру равной 200 С.
Ответ: [K+]нар= 12 ммоль/л.
- 130 +
+
19.13. Фермент Na -K -АТФаза в плазматической мембране
эритроцита совершил восемь циклов. Какое количество ионов натрия
и калия при этом было активно транспортировано?
Ответ: nNa = 24 иона, nK = 16 ионов.
19.14. Пусть одна молекула фосфолипида занимает площадь 0,7 нм2.
Какую площадь будет иметь БЛМ с 2857000 молекулами
фосфолипида?
Ответ: S = 1 мкм2.
19.15. Рассчитайте с учётом ионов K+, Na+, Cl- потенциал покоя для
гигантского аксона кальмара при 300С если соотношение
коэффициентов проницаемости PK : PNa : PCl = 1 : 0.04 : 0,45. Значения
концентраций:
[K+]вн=340 ммоль/л; [Na+]вн=49 ммоль/л; [Cl-]вн=114 ммоль/л,
[K+]нар=10,4 ммоль/л; [Na+]нар=460 ммоль/л; [Cl-]нар=592 ммоль/л.
Ответ:  м = -54,5 мВ.
19.16. Удельная электрическая емкость мембраны составила
0,22.10-2 Ф/м2. Оцените по формуле плоского конденсатора толщину
слоя мембраны, принимая диэлектрическую проницаемость равной 3.
Ответ: d = 12,07 нм.
19.17. Определите время одного перескока молекулы в мембране при
латеральной диффузии, если коэффициент латеральной диффузии
составляет 10-12 м2/с, а площадь занимаемая одной молекулой 0,7 нм2.
Ответ: = 2·10-7 с.
19.18. Определите коэффициент диффузии вещества в воде, если
среднее смещение его молекулы за 1 секунду составило 10-5 м.
Ответ: D = 5·10-11 м2/с.
19.19. Как изменилась толщина бислойной липидной мембраны для
данного вещества, если коэффициент ее проницаемости увеличился в
1,2 раза, а распределение вещества между мембраной и окружающей
средой сохранилось неизменным?
Ответ:  2 = 0,83  1 .
- 131 -
19.20. Коэффициент проницаемости мембраны равен 5 см/с,
плотность потока вещества через неё - 10-5 моль·см/(л·с). Найдите
разность концентраций этого вещества внутри и снаружи мембраны.
Ответ: (Сi  С o ) = 2·10-4 моль/л.
19.21. Чему равна напряженность электрического поля на мембране в
состоянии покоя, если концентрация ионов калия внутри клетки
150 ммоль/л, снаружи – 3 ммоль/л, а толщина мембраны 10 нм?
Принять температуру равной 270 C.
Ответ: E = 10-7 В/м.
19.22. Напряженность электрического поля на мембране в состоянии
покоя равна 2·107 В/м, а разность потенциала (мембранный
потенциал покоя) - 0,18 В. Найдите толщину мембраны.
Ответ:  = 9 нм.
19.23. Потенциал покоя нерва конечности равен 91 мВ. Чему равна
концентрация ионов К+ внутри нерва, если снаружи она составляет
18 ммоль/л? Принять температуру равной 270 С.
Ответ: [K+]вн=614 ммоль/л.
19.24. Сколько молекул фосфолипидов содержится в 1мм2 БЛМ при
условии, что одна молекула фосфолипида занимает площадь 0,7 нм2?
Ответ: n = 2,86·1012.
19.25. Толщина слоя мембраны составила 9 нм. Определите по
формуле плоского конденсатора удельную электрическую емкость
мембраны, принимая диэлектрическую проницаемость равной 2.
С
Ответ:
= 1,97·10-3 Ф/м2.
S
19.26. Определите частоту перескоков молекулы в мембране при
латеральной диффузии, если коэффициент латеральной диффузии
составляет 1,4·10-12 м2/с, а площадь, занимаемая одной молекулой,
составляет 1 нм2.
Ответ:  = 4,9·106 с-1.
- 132 -
19.27. Определите среднюю величину перемещения молекул
вещества в воде за 1 минуту, если коэффициент диффузии этого
вещества в воде равен 10-9 м2/с.
Ответ: x =3,46·10-4 м.
- 133 -
20. ОСНОВЫ БИОМЕХАНИКИ
Основные понятия и формулы
Закон Гука для упругих деформаций растяжения (сжатия):
F L0

  , или L 
ES .
Е
где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга); –

L 

 ; ∆L = L – L - абсолютное


относительное удлинение 
0
L
0 

удлинением; L – длина деформированного тела;
L0 – первоначальная длина тела; σ – механическое напряжение .
Относительное изменение объема при продольной деформации:
V
 (1  2) , где μ – коэффициент Пуассона, равный
V
отношению поперечной деформации к продольной:  

.

Закон Гука для сдвига:


,
G
где
γ
–
относительный
сдвиг,
τ
–
касательное
напряжение,G – модуль сдвига.
Модуль сдвига G, модуль Юнга E и коэффициент Пуассона μ связаны
соотношением:
G
E
.
2(1  )
Линейное тепловое расширение тел:
L = L0·(1 + α·∆T), где L0 – первоначальная длина тела; L – длина
тела после нагревания; ∆T = Т – Т0 – изменение температуры тела
после его нагревания от Т0 до Т; α – коэффициент линейного
расширения.
Объемное тепловое расширение тел:
V = V0·(1 + β·∆T), где V0 – первоначальный объем тела; V –
объем тела после нагревания; ∆T = Т – Т0 – изменение
- 134 -
температуры тела после его нагревания от Т0 до Т; β –
коэффициент объемного расширения. β ≈ 3α.
Потенциальная энергия для упругих деформаций растяжения
(сжатия):
FL
W
2
Количество теплоты Q, необходимое для нагревания бруска на
температуру ∆T:
Q= cm∆T, где m и с – масса и удельная теплоемкость бруска.
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Мышца длиной 10 см и диаметром 1 см под действием груза 49 Н
удлинилась на 7 мм. Определите модуль упругости мышечной ткани.
Дано:
Решение:
L0 =10 см = 0,1 м
L 
F
F



-3
∆L =7 мм = 7·10 м По закону Гука: L 0 E SE R 2 E ,
d = 1 см = 0,01 м
FL0
-3
E

тогда
. Так как R= d/2=510 м , то
2
F = 49 Н
R L
49 Н  0,1 м
E
 8,9  106 Па .
6
2
3
3,14  25  10 м  7  10 м
Е–?
Ответ: Е=8,9106 Па.
Задача 2.
Определить силу, необходимую для удлинения сухожилия сечением
4 мм2 на 0,02 от его первоначальной длины. Е=109 Па.
Дано:
Решение:
ε=0,02
L F



По закону Гука:
Е=109 Па
L SE
S=4 мм2=4·10-6 м2 Тогда, F = ε·E·S = 109·0,02·4·10-6 = 80 Н
Е–?
Ответ: F=80 H
- 135 -
Задача 3.
Железная линейка при 150 С имеет длину 1 м. На сколько изменится
длина линейки при охлаждении до -350 С.
Дано:
Решение:
Т1 = 150 С = 288 К
По закону линейного расширения
L1 = 1 м
L1 = L0·[1 + α·(T1 – Т0)],
(1)
Т2 = –350 С = 238 К L2 = L0·[1 + α·(T2 – Т0)],
(2)
α = 1,2·10-5 К-1
где L2 – длина линейки после охлаждения до
температуры T2; α – коэффициент линейного
∆L – ?
расширения.
Тогда
∆L=L1–L2=L0·[1+α·(T1–Т0)]–L0·[1+α·(T2–
Т0)]
∆L= L0·α·(T1 – Т2).
(3)
Найдя L0 из уравнения (1) и подставляя его в
(3), получаем
  (T1  T2 )  L1
L 
(4)
1    (T1  T0 ) .
Учитывая, что α·(T1 – Т0)<<1, выражение (4)
перепишем в виде:
∆L  α·L1·(T1 – Т2)·[1 – α·(T1 – Т0)], т.е.
∆L  1,2·10-5 К-1·1 м·(288 К – 238 К)·
[1 – 1,2·10- 5·К-1 ·(288 К – 273 К)]= 6·10-4
м.
Ответ: ∆L = 6·10-4 м.
- 136 -
Задача 4. На нагревание железного бруска израсходовано 1,68 МДж
теплоты. Как изменился объем бруска?
Дано:
Решение:
Q=1,68 МДж=1,68·109Дж По закону объемного расширения:
ρ = 7,8·103 кг/м3
V=V0·(1+β∆T) откуда
с= 460 Дж/(кг·К)
∆V = V – V0= V0·β∆T3α·V0·∆T.
α = 1,2·10-5 К-1
Количество теплоты, необходимое для
нагревания бруска на ∆T, равно Q=cm∆T.
∆V – ?
Поскольку масса бруска:
Q
Q
m = ρ·V0, то T  cm  cV .
0
Изменение
объема
V 3Q 3Q
V  0

cV0
c 
бруска
3 1,2 10 5 К 1 1,68 10 6 Дж
V 
 1,69 10 5 м 3 .
3
3
460 Дж/(кг·К)  7,8 10 кг / м
Ответ: ∆V = 1,69·10-5 м3.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
20.1. Найдите потенциальную энергию, приходящуюся на единицу
объема кости, если кость растянута так, что напряжение в ней равно
3109 Па. Модуль упругости кости 3,191010 Па.
W
 Дж 
 1,4  10 8  3  .
Ответ:
V
м 
20.2. Рассчитайте модуль упругости первого рода костной ткани, если
нагрузка на зуб составляет 50 кг, площадь поперечного сечения зуба
1 см2, L0=2 см, L=0,01 мм.
Ответ: Е= 9,8·109 Па.
- 137 -
20.3. Круглый стальной брус диаметром 2 мм и длиной 16 см
растягивается силой 3,6 тонны. Найдите удлинение этого бруса и
напряжение в нем.
Ответ: ∆L = 8,1 мм; σ = 1,12·1010 Па.
20.4. При какой предельной нагрузке разорвется стальной трос
диаметром 1 см, если предел прочности стали 1 ГПа?
Ответ: Fпр= 7,85·104 Н.
20.5. Разность длин алюминиевого и медного стержней при любой
температуре составляет 15 см. Какую длину при 00 С будут иметь эти
стержни.
Ответ: Lмед = 0,51 м; Lалюм = 0,37 м.
20.6. Длина алюминиевой линейки при 00 С равна 79,5 см, а железной
– 80 см. При какой температуре длины линеек будут равны?
Ответ: Т = 803 К.
20.7. При 00 С железная и медная проволоки имеют одинаковую
длину, равную 500 м, определите разность их длин при 300 С.
Ответ: ∆L =7,5 см.
20.8. Стальной брус вплотную помещен между каменными
неподвижными стенами при 00 С. Найдите напряжение материала
бруса при 200 С.
Ответ: σ =48,4 Па.
20.9. Какую силу надо приложить к стальной проволоке длиной 2 м
для ее растяжения на 1 мм? Площадь сечения проволоки 0,5 мм2.
Ответ: F = 5,4 Н.
20.10. Чему равно удлинение латунного стержня длиной 4 м,
имеющего площадь сечения 0,4 см2 под действием силы 1 кН?
Ответ: ∆L=1,1 мм.
20.11. Найдите работу растяжения стальной проволоки длиной 1 м и
радиусом 1 мм, если к ней подвешен груз 100 кг.
Ответ: А =1,39 Дж.
20.12. Железная проволока при 300 С натянута горизонтально и
закреплена концами между неподвижными опорами. С какой силой
- 138 -
будет действовать проволока на точки закрепления при понижении
температуры до -100 С? Площадь сечения проволоки 2 мм2.
Ответ: F = 196 Н.
20.13. При какой длине подвешенная вертикально стальная проволока
начнет рваться под действием собственного веса? Предел прочности
стали Рпр=0,69 ГПа.
Ответ: 9 км.
20.14. Определите относительное изменение объема стальной
проволоки диаметром 2 мм при растяжении ее силой 1 кН.
Коэффициент Пуассона μ=0,3.
Ответ: 0,001.
20.15. Относительное изменение объема при продольной деформации
равно нулю. Определите коэффициент Пуассона материала стержня.
Ответ: 0,5.
20.16. Определите коэффициент Пуассона алюминиевого стержня,
если известно, что под действием некоторой силы, перпендикулярной
сечению стержня, относительная продольная деформация ε=0,001, а
при касательном направлении такой же силы относительный сдвиг
равен 0,0027.
Ответ: 0,35.
20.17. Между двумя неподвижными жесткими стенками вставлен без
зазора стальной стержень, сечение которого 1 см2. С какой силой
стержень будет действовать на стенки, если его нагреть на 5 0С?
Модуль упругости стержня Е= 2,1∙1011 Па.
Ответ: 1,16 кН.
20.18. Каково отношении длин железного и медного стержней при
температуре 00С, если разность их длин при любой температуре одна
и та же?
Ответ: 1,4.
20.19. При измерении стальным штангенциркулем длина стержня
оказалась равной 180 мм. Температура во время измерения была
100С. Какова ошибка этого измерения, если деления шкалы
штангенциркуля наносились при температуре 200 С?
- 139 -
Ответ: ΔL = 0,02 мм.
20.20. Стальная цилиндрическая вкладка при обработке на станке
нагревается до температуры 800С. Та же вкладка при температуре
100С должна иметь диаметр d0 = 1 см. Допускаемые отклонения от
заданного размера не должны превышать Δd= 5 мкм. Следует ли при
измерениях во время обработки вносить поправки на тепловое
расширение детали?
Ответ: следует, т.к.Δd=7,7 мкм.
- 140 -
21. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
Основные понятия и формулы
Импульс частицы:
p=m·v, где m–масса частицы, v–ее скорость.
Длина волны, связанная с частицей, обладающей импульсом р,
определяется формулой де Бройля:
h/p=h/(m·v), где h–постоянная Планка.
Cоотношения неопределенностей Гейзенберга:
∆x∆vx≥h/(2πm), ∆х∆pх≥h/2π, ∆y∆py≥h/2π, ∆z∆pz≥h/2π,
где
∆х,
∆y,
∆z
–
неопределенности
координаты,
∆vx– неопределенность скорости, ∆p – неопределенность
составляющей импульса в соответствующем направлении, h –
постоянная Планка.
Соотношения неопределенностей для энергии Е и времени ∆t,
в течение которого частица находится в состоянии с этой энергией:
∆Е∆t≥h/2π.
Энергия электрона, соответствующая состоянию с главным
квантовым числом n (n=1, 2, 3,…):
Z2e 4 me
En   2 2 2 ,
8h  0 n
где Z–порядковый номер элемента в периодической системе
элементов Менделеева, е–заряд электрона, mе–масса электрона,
ε0–электрическая постоянная.
Частота и длина волны света, излучаемого (поглощаемого) атомом
водорода при переходе с одной орбиты на другую:
 1
mee4  1
1 
1
1 
  3 2  2  2  ,
 R  2  2  ,

8h  0  n k n i 
 nk ni 
где i и k – порядковые номера уровней, между которыми
происходит квантовый переход, R– постоянная Ридберга.
- 141 -
Предел разрешения электронного микроскопа:
h
z  0,5
,
2e  m e U  n  sin(u / 2)
где U–ускоряющее напряжение,
показатель преломления среды.
u–угловая
апертура,
n-
Примеры решения типовых задач
Задача 1.
Чему равна длина волны де Бройля для электрона, имеющего
скорость v=500 км/с?
Дано:
Решение:
5
v=500 км/с=5·10 м/с
Так как h/(mеv), то
-34
h= 6,63·10 Дж·с
6,63·10-34 Джс/(9,1·10-31 кг· 5·105 м/с)=
mе=9,1·10-31 кг
=14,6·10-10 м.

Ответ: 14,6·10-10 м.
Задача 2.
Скорость движения электронов в электронно–лучевой трубке
vx=2·106 см/c определена с точностью до 0,02 %. Определите
неопределенность координаты электронов.
Дано:
Решение:
6
4
vx=2·10 см/c=2·10 м/c Неопределенность скорости vx=104 см/с.
vx=104 см/с=102 м/с
Тогда
неопределенность
координаты
h=6,63·10-34 Дж·с
электронов:
-31
mе=9,1·10 кг
6,63  10 34 Дж  с
h
x= 2  m  v = 2  3,14  9,1  10 31 кг  10 2 м / с =
e
x
=10-6 м.
x-?
Ответ: x=10-6 м.
- 142 -
Задача 3.
Электрон пролетает через щель шириной 1 мкм. С какой наименьшей
погрешностью в момент пролета щели может быть определена
составляющая импульса электрона на ось ОХ?
Дано:
Решение:
x =1 мкм=10-6 м px  (h/2·x px= (6,63·10-34 Джс/6,28)·10-6 м
h=6,63·10-34 Дж·с 1,05·10-28 кгм/c.
px-?
Ответ: px  1,05·10-28 кгм/c.
Задача 4.
Длительность
возбужденного
состояния
атома
водорода
соответствует примерно t=10-8 c. Чему равна неопределенность Е
энергетического уровня? Ответ выразить в эВ.
Дано:
Решение:
t=10-8 c
Так как Е=h/(t), то
h=6,63·10-34 Дж·с Е =6,63·10-34 Дж·с /(6,28·10-8 с·1,6·10-19 Дж/эВ)=
1 эВ=1,6·10-19 Дж =6,6·10-8 эВ.
Е-?
Ответ: Е=6,6·10-8 эВ.
Задача 5.
Определите энергию электрона в атоме водорода, соответствующую
состоянию 1s.
Дано:
Решение:
Z=1
Z2e 4 me
E   2 2 2 , то
h=6,63·10-34 Дж·с Так как n
8h 0 n
-19
e=1,6·10 Кл
1,6 4  10 76 Кл 4  9,1  10 31 кг
-31
E



n
2
mе=9,1·10 кг
8  6,63  10 34 Дж  с  8,85  10 12 Ф / м   12  1,6  10 19 Дж / эВ
ε0= 8,85·10-12 Ф/м = -13,6 эВ.
Еn-?
Ответ: Еn= -13,6 эВ.
- 143 -
Задача 6.
Определите границы серии Лаймана в частотах и длинах волн.
Дано:
Решение:
h=6,63·10-34 Дж·с
 1
mee4  1
1 
1 









A

-19
Так как
, или
 2
2 
e=1,6·10 Кл
n
n
8h 3 02  n 2k n i2 
i 
 k
-31
mе=9,1·10 кг
9,1 1031 кг 1,64 1076 Кл 4
15 1
-12
ε0= 8,85·10 Ф/м A   8  6,63 1034 Дж  с3  8,85 1012 Ф / м 2  3,3 10 с ,
R=1,097·107 м-1
1 
15 1  1
то νmin = 3,3  10 с  2  2  =2,5·1015 Гц.
1
2 
 1
1
1 


R

Так как 
 n 2 n 2  , то
i 
 k
1
λmax=
1  =122 нм,
1
1,097  107 м 1  2  2 
2 
1
1
1

 =3,3·1015 Гц,
2

1
15 1
νmax= 3,3  10 с 
λmin=
νmin, νmax -?
λmin, λmax -?
1
 1 1  =91 нм.
1,097  107 м 1  2  

1
Ответ: νmin=2,5·1015 Гц, νmax=3,3·1015 Гц,
λmin=91 нм, λmax=122 нм.
Задача 7. Определите предел разрешения электронного микроскопа,
если ускоряющее напряжение равно 100 кВ, а угловая апертура 10-2 рад.
Дано:
Решение:
h
U=100 кВ
z

0
,
5
Так
как
, то
2e  m e U  n  sin(u / 2)
u=10-2 рад
n=1
6,63  10 34 Дж  с
z  0,5
=
mе=9,1·10-31 кг
2  1,6  10 19 Кл  9,1  10 31 кг  10 5 В sin 10  2 / 2
е=1,6·10-19 Кл
=0,388 нм.
z-?
Ответ: z=0,388 нм.
- 144 -
Задачи для самостоятельного решения с ответами
21.1. Сравните длины волн де Бройля для электрона и шарика массой
m=1 г, если их скорости одинаковы и равны 100 м/c.
Ответ: ш = 6,63·10–33 м, е=7,3·10 -6 м.
21.2. В трубке цветного телевизора ускоряющее напряжение равно 20
кВ. Определите длину волны де Бройля для электрона в конце
процесса ускорения.
Ответ:   8,68 10-12 м.
21.3. Скорость движения электронов в атоме имеет порядок 108.
Неопределенность координаты электрона можно принять равной
размеру атома, т.е. x=10-8 см. Определите неопределенность
величины скорости.
Ответ:Vx=10 8 см/c.
21.4. Проекция скорости электрона на некоторое направление может
быть определена с наименьшей погрешностью V=10 м/с.
Определить неточность соответствующей координаты электрона?
Ответ: x  1,16·10-5 м.
21.5. Чему равна неопределенность энергии в метастабильном
состоянии, если время жизни для атома в этом состоянии t=1 c?
Ответ: Е=6,6·10-16 эВ.
21.6. Определите энергию электрона в атоме водорода,
соответствующую состоянию 2s, 2p.
Ответ: 3,4 эВ, 3,4 эВ.
21.7. Определите энергию, испускаемую при переходе электрона в
атоме водорода с третьей орбиты на первую.
Ответ: 12,1 эВ.
21.8. Определите границы серии Бальмера в частотах и длинах волн.
Ответ: 0,82·1015 Гц, 0,46·1015 Гц, 365 нм, 656 нм.
21.9. Определите предел разрешения электронного микроскопа, если
ускоряющее напряжение равно 50 кВ, а угловая апертура 0,03 рад.
Ответ: 0,18 нм.
- 145 -
ЛИТЕРАТУРА
1. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика / А.Н.
Ремизов. – М.: Дрофа, 2007. – 558c.
2. Ремизов А.Н. Сборник задач по медицинской и биологической
физике/ А.Н. Ремизов, Н.Х. Исакова, А.Г. Максина.– М.: Дрофа,
2001. – 192с.
3. Федорова В.Н., Степанова Л.А. Краткий курс медицинской и
биологической физики с элементами реабилитологии. Лекции и
семинары / В.Н. Федорова, Л.А. Степанова. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2005.– 624c.
4. http://www.krasgmu.ru
- 146 -
Приложение
Таблица № 1
Основные физические постоянные
Наименование
Ускорение свободного падения
Скорость света в вакууме
Постоянная Планка
Обозначение Значение в задачах
9,81 м/c2
g
c
3108 м/с
h
6,6310-34 Джс
Элементарный заряд
e
1,610 -19 Кл
Масса покоя электрона
me
9,110-31 кг
Электрическая постоянная
ε0
8,8510-12 Ф/м или
8,8510-12 Кл2 /(Нм2)
Постоянная Ридберга
R
1,097107 м-1
Молярная газовая постоянная
R
Постоянная Фарадея
F
8,31 Дж/(мольК)
96485 Кл/моль
Диэлектрическая проницаемость:
обычная вода
ε= 81
дистиллированная вода ε= 83,7
глицерин
ε= 40.
Интенсивность звуков для частоты 1 кГц:
Порог слышимости
10-12 Вт/м2
Порог болевого ощущения 10 Вт/м2.
Коэффициент поверхностного натяжения:
дистиллированная вода = 0,0725 Н/м
ртуть
= 0,4700 Н/м.
- 147 -
Таблица № 2
Воздух
1,3
Вода
1000
Спирт (этил.)
789
Глицерин
1260
Кровь
1050
Мышечная
1060
ткань
Кожа
860
Костная ткань 2400
Жировая
860
ткань
Эритроциты
1090
Сталь
7800
Железо
7800
Медь
8500
Латунь
Алюминий
2700
Серебро
10500
331
1497
1170
1920
1498
1550
3650
1460
5290
5170
3710
3317
5099
2640
Коэффициент
расширения
α·10-5 К-1
Модуль Юнга, 1011 Па
Вязкость, мПа с
Скорость звука, м/с
Плотность, кг/м3
Материал
линейного
Физические свойства веществ и биологических тканей
(при нормальных условиях)
0,018
1
1,2
1480
5
0,016
0,319
2,2
2,1
1,18
0,9
0,7
0,74
1,1
1,2
1,7
1,9
2,4
1,9