3.3 ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Раздел 1 МЕРА И

3.3 ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Раздел 1
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Вариант 1
Часть А
А1 Алгебра A подмножеств множества Х обязательно обладает 1) 1 и 3;
следующими свойствами:
2) 5 и 2;
1) Ø, X A ; 2) B1 , B2  X  B1 \ B2 A ; 3) B  A  B  A ; 3) 2 и 3;


4) 1 и 4;
4) B1 ,, Bn  A  B j , B j  A ; 5) B1 , B2  X  B1 B2 A . 5) 1 и 5.
j 1
j 1
А2 Укажите пары равномощных множеств:
1) 3 и 4;
2) 2 и 3;
1) N и 3,4,5,  ; 2) R и ( 2 ; ) ; 3) R и ( / 2;  / 2) ;
3) 1 и 3;
4) 3,14; 2 и 2; ; 5) 4;7 и  4;7 .
4) 1 и 4;
5) 4 и 5.
А3 Какая из следующих систем множеств является
полуалгеброй, но не является алгеброй?
1) 1;
1) все ограниченные множества на числовой прямой;
2) 2;
2) все конечные множества на числовой прямой;
3) 3;
3) всевозможные полуинтервалы на прямой (конечные и
4) 4;
бесконечные);
5) 5.
4) все выпуклые множества на плоскости;
5) все счётные множества на числовой прямой.
А4 Какая из следующих функций множества продолжается до
меры, определенной на  - алгебре P( X ) всех подмножеств
множества X  a, b, c ?
1) 1;
1)  a, b  0;  c  2;  a, b, c  2 ;
2) 2;
3) 3;
2)  a, b  4;  a, c  0;  b, c  1;
4) 4;
3)  a  1;  a, c  1;  a, b, c  1;
5) 5.
4)  a, b  0;  a, c  0;  a, b, c  2 ;

 

5)  a  1;  a, c  0,1;  a, b, c  1.
А5
Среди следующих утверждений найти неверное:
1) сумма двух измеримых функций есть измеримая функция;
2) если квадрат функции есть измеримая функция, то и сама
функция также измерима;
3) произведение двух измеримых функций есть измеримая
функция;
4) любая непрерывная функция на прямой является
измеримой относительно меры Лебега;
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
5) если функция измерима, то её модуль также есть
измеримая функция.
Часть В
3
В1
В2
В3
Найти сумму всех значений простой функции  ( x)   n 2 21/ n;2 ( x) .
  e D ( x )  
Вычислить интеграл Лебега
x
3;5

n 1
( x) dm( x) , где D – функция
Дирихле, m – мера Лебега.
 

Вычислить    5n  0;52 n  ( x) dm( x) .



0;1  n1
В4
2

0, x  e ;
Найти  ln xdF ( x) , где F ( x)  
ln x, x  e 2 .

 e 2 ;e 3 



В5
При каких значениях параметра  мера Лебега-Стилтьеса m F с
функцией распределения F будет  - аддитивной?
t 3 , t  5;

F (t )   , t  5;
t  125, t  5.

В6
Установить соответствие между множествами, имеющими одинаковую
меру Лебега.
1)  x  : x 2  a 2  0 ;
A)  ; a ;
2)  a; b ;
B)  a; b  ;
C )  a; b 
.
3) b;   .
Раздел 2
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ОПЕРАТОРЫ В НИХ
Вариант 1
Часть А
А1 Функция  ( x, y )  b x(t )  y (t ) dt в пространстве L  a; b
1
a
не обладает следующими свойствами:
1)  ( x, y)  0 ; 2)  ( x, y)  0  x  y ; 3)  ( x, y)   ( y, x) ;
4)  ( x, y)   ( x, z )   ( z, y) ; 5)  ( x, y)   ( x, y) .
1) 1 и 3;
2) 5 и 2;
3) 2 и 3;
4) 1 и 4;
5) 1 и 5.
А2 Укажите не сходящиеся к нулю последовательности xn в
метрическом пространстве l2 :
 2



n2
1
n

1

1) xn   n ;...; n ;0;...  ; 2) xn   n ;...; n ;0;...  ;
2
2
2

2


n


n





 1

1
1
1

;...;
;0;...  ;
3) xn   2 ;...; 2 ;0;...  ; 4) xn  
n
n
n

 n


n


n



cos n
cos n


5) xn   2 ;...; 2 ;0;...  .
n
 n


n

А3 Укажите количество верных утверждений.
6) сжимающее отображение полного метрического
пространства в себя имеет только одну неподвижную
точку;
7) замкнутое подмножество любого метрического
пространства полно;
8) полное подмножество метрического пространства
замкнуто;
9) подмножество метрического пространства компактно
только тогда, когда оно предкомпактное и замкнуто;
10)
подмножество
метрического
пространства
компактно только тогда, когда из любой
последовательности его точек можно выделить
фундаментальную подпоследовательность.
А4 Пусть  Ax  (t )  x(t ) — оператор дифференцирования,
действующий из X в Y. Среди пар  X ,Y  укажите те, при
которых оператор дифференцирования не является
непрерывным.
1) X  C10,2 , Y  C0,1 ; 2) X  C10,1 , Y  C0,1 ;
2
2
1) 3 и 4;
2) 2 и 3;
3) 1 и 3;
4) 1 и 4;
5) 4 и 5.
4
3) X  C 20,1 , Y  C10,1 ; 4) X  C 20,2 , Y  C0,2 ;
5) X  C10,1 , Y  C0,2 .
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
А5 Пусть F : C0,1  C0,1 . Какая из функций не задаёт
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5.
непрерывное отображение в точке x0 (t )  t ?
1)  Fx  (t )  sin x 2 (t ) ;
2)  Fx  (t )  x( t ) ;
3)  Fx  (t )   (t  s) x( s)ds ;
0
4)  Fx  (t )  x 2 (t )sin t ;
1 x( s ) ds
5)  Fx  (t )  
.
0 t s
А6 Какими свойствами:
1) замкнутое; 2) открытое; 3) полное;
4) ограниченное; 5) компактное
не
обладает
подмножество
2
?
M  ( x; y) : x  y  x  2 пространства
1
1) 2 и 5;
2) 2 и 3;
3) 1 и 5;
4) 1 и 4;
5) 4 и 5.
Часть В
Найти неподвижную точку отображения F : C 0;1  C 0;1 , заданного
1
В1
формулой  Fx  (t )  0 tsx(s)ds  1 .
В2
Найти
2 A , если A : L2 [0;1]  L2 [0;1], ( Ax )(t )  x(8 t ) .
Найти норму линейного ограниченного оператора
В3
В4
x(1) x(2)
x( k ) 

A : l7  l7 , Ax   0,0,
, 2 ,..., k ,...  .
3
3
3


При каких значениях параметра  необратим оператор A : 3  3
заданный формулой Ax   ( x1  x3 ),2 x2 ,(  1) x3  ? В ответе укажите
сумму этих значений.
Раздел 3
пространствах
Операторы
в
нормированных
и
гильбертовых
1. Оператор, действующий в гильбертовых пространствах, называется сопряжённым к
оператору A , если___________________.
2. Укажите неверное утверждение:
а) оператор компактен тогда и только тогда, когда образ единичного шара с центром в
нуле является предкомпактным множеством;
б) интегральный оператор компактен тогда и только тогда, когда его ядро представляет
собой непрерывную функцию;
в) произведение ограниченного оператора и компактного оператора есть компактный
оператор;
г) ноль является точкой спектра компактного оператора;
д) компактный оператор в бесконечномерном пространстве
имеет ограниченный
обратный.
3. Какие из данных функций не задают скалярное произведение в пространстве C[0;1] ?
1
а) x, y   et x(t ) y (t )dt
0
1
б) x, y   t 0,5 x(t ) y (t )dt
0
1
в) x, y   t 1,5 x(t ) y (t )dt
1
г) x, y   e  t x(t ) y (t )dt
0
0
4. Тождество параллелограмма имеет вид____________________________.
5. Какие из данных векторов в предгильбертовом пространстве
ортогональными?
а) (1, 1, 1) è (0,1, 0)
б) (1, 1, 1) è (1,0, 1)
в) (0, 1, 1) è (1,1,1)
г) (1, 1, 1) è (1, 1,0)
R3
являются
6. Гильбертовым пространством называется_________________________.
1
1
 1

7. Спектр оператора A : l2  l2 , Ax   x1 , x2 , x3 ,..., n xn ,...  представляет
4
2
 2

множество:
1
 1 1

а) 1, , ,..., n ,... 
2
 2 4

б) 
в) 0
собой
1 1
1


г)  0,1, , ,..., n ,... 
2 4
2


8. Ортогональное дополнение к множеству M состоит из таких элементов
удовлетворяют следующему условию: ___________________________.
y , которые
9. Связь нормы и скалярного произведения выражается формулой____________________.
1
10.
Решением
интегрального
уравнения
x(t )   (t  s ) x( s )ds  t
является
0
функция____________
Составитель: старший преподаватель кафедры математического анализа Парукевич
И.В.