МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН СЕМПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН СЕМПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА Документ СМК 3 УМКД уровня УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 УМКД Редакция №4 от Программа 25.12.2012 г. дисциплины взамен «Действительный редакции № 3 анализ» для от 28.12.2009 г. преподавателя УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «Действительный анализ» для специальности 5В060100 – «Математика» УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Семей 2012 УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 2 из 10 1 РАЗРАБОТАНО Составитель __________ «25»декабря 2012г. Садыкова Сауле Байдулловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 2 ОБСУЖДЕНО 2.1 На заседании кафедры высшей математике Протокол от 25.12.2012 г., № 5. Заведующий кафедрой ______________ А.П.Мустафаев 2.2 На заседании учебно-методического бюро факультета информационнокоммуникационных технологий Протокол от 08.01.2013 г., №3. Председатель ______________ С.Б.Кайсанов 3 УТВЕРЖДЕНО Одобрено и рекомендовано к изданию на заседании Учебно-методического совета университета Протокол от 10.01.2013 г., №3. Председатель УМС ______________ Б.А.Рскелдиев 4 ВВЕДЕНО взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 3 из 10 Содержание 1 2 3 4 5 6 7 8 Область применения Нормативные ссылки Общие положения Содержание учебной дисциплины (модуля) Перечень тем для самостоятельной работы студентов Учебно-методическая карта по дисциплине Карта обеспеченности учебно-методической литературой Литература УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 4 из 10 1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ Программа дисциплины для преподавателя, входящая в состав учебно-методического комплекса, по дисциплине «Действительный анализ», предназначена для студентов специальности 5В060100 – «Математика». 2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ Настоящая программа дисциплины для преподавателя устанавливает порядок организации учебного процесса по дисциплине «Действительный анализ» в соответствии с требованиями и рекомендациями следующих документов: - Государственный общеобразовательный стандарт образования соответствующего уровня образования; - Типовой учебный план специальности 5В060100– «Математика»; - СТУ 042-СГУ-5-2012 Стандарт университета «Общие требования к разработке и оформлению учебно-методических комплексов дисциплин»; - ДП 042-1.07-2012 Документированная процедура «Структура и содержание учебно-методических комплексов дисциплин». 3 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 3.1 Краткое описание содержания дисциплины: Действительный анализ занимает особое место как предмет, завершающий фундаментальную подготовку специалиста. Его изучение предполагает у студентов знание программы общих курсов математического анализа, алгебры и геометрии и курса теории функций действительного переменного. 3.2 Цель изучения дисциплины: Целью данного курса играет важную роль в современном математическим образовании специалиста, которому предстоит принять математические методы в различных областях, поскольку действительный анализ играет основные математические понятия, устанавливает их свойства, дает обоснования и разрабатывает методы дифференциального и интегрального исчисления. Формирует мировоззрение математике. 3.3 Основная задача изучения дисциплины: Студент должен освоить такие фундаментальные понятия как типы точечных множеств мощность измеримость множества. Расширить свое представление об интегральном исчислении, метрические, нормированные пространства, такие их качества как полноту, компактность, УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 5 из 10 сепарабельность. Познакомиться с теорией операторов, самосопряженными, сопряженными, вполне непрерывными операторами. 3.4 Результаты обучения: В результате изучения дисциплины студент должен: знать метрические и нормированный пространства их свойства, приложения в решениях различных задачах; уметь применять полученные теоретические знания к решению проблем математики математики; развивать стремления к научному поиску совершенствования профессиональных навыков; приобрести практические навыки в технике решения стандартных и нестандартных математических задач; формировать и развивать учебнопознавательную деятельность в области организации и совершенствования самообразования. 3.5 Пререквизиты курса: Математический анализ Аналитическая геометрия Высшая алгебра 3.6 Постреквизиты курсы: Уравнения математической физики 3.7 Выписка из рабочего учебного плана: Таблица 1 Курс Семестр Кредиты ЛК СПЗ ЛБ СРСП СРС Всего Форма (час) (час) (час) (час) (час) (час) итогового контроля 2 4 3 30 15 22,5 67,5 135 Экзамен 4 СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Наименование тем и их содержание 1 Лекционные занятия Множества, эквивалентные множества. Мощность Счетные множества. Мощность континуум Теорема Кантора-Бернштейна. Свойства счетных множеств и множеств мощности континуум. Замкнутые множества. Открытые множества. Структура открытых и замкнутых ограниченных; множеств. Таблица 2 Количество часов 2 1 1 1 1 1 1 1 УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. Множества всюду плотные, нигде не плотные на данном множестве. Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. I измеримые множества. Пример неизмеримого множества. Измеримые функции. Свойства измеримых функций. Сходимость по мере. Взаимоотношения между различными видами сходимости. Структура измеримых функций. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. Основные свойства интеграла Лебега. Интеграл Лебега от неограниченной неотрицательной функции. Суммируемые функции любого знака. Функции с конечным изменением Интеграл Стилтьеса Классы измеримых функций Общая теория меры Лебегова мера плоских множеств Общее понятие меры Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры Сигма-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега Геометрический смысл интеграла Лебега Интеграл_Лебега как функция множества. Заряды Практические занятия Счетные множества. Мощность континуум Свойства счетных множеств и множеств мощности континуум. Открытые множества. Множества всюду плотные, нигде не плотные на данном множестве. Мера ограниченного замкнутого множества. I измеримые множества. Измеримые функции. стр. 6 из 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 7 из 10 Сходимость по мере. Структура измеримых функций. Основные свойства интеграла Лебега. Суммируемые функции любого знака. Интеграл Стилтьеса Общая теория меры Общее понятие меры Сигма-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега Интеграл_Лебега как функция множества. Заряды 1 1 1 1 1 5 ПЕРЕЧЕНЬ СТУДЕНТОВ РАБОТЫ ТЕМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ 1 1 1 5.1 Счетные множества, определения, доказательство счетности множества рациональных чисел. 5.1 Теорема о несчетности отрезка [0, 1] . Мощность континуума, иррациональные, трансцендентные, алгебраические числа. 5.3 Определение мощности, сравнение мощностей. 5.4 Предельная точка, теорема о необходимых и достаточных условиях существования предельной точки. 5.5 Производное множество, замкнутое, плотное в себе, совершенное множество. 5.6 Теорема о производных множествах. 5.7 Внутренние точки, открытые множества, теоремы об открытых множествах 5.8 Дополнение множества F до S. Связь между открытыми и замкнутыми множествами. 5.9 Составляющий интервал открытого множества, структура открытого множества. 5.10 Дополнительный интервал замкнутого множества, структура замкнутого множества. 5.11 Теорема о дополнительных интервалах для совершенного множества 5.12 Канторово совершенное множество, его мощность. 5.13 Точки конденсации. 5.14 Мера ограниченного открытого множества 5.15 Мера ограниченного замкнутого множества 5.16 Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества 5.17 Измеримые множества УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 8 из 10 5.18 Построение совершенного множества заданной меры 5.19 Теорема Лебега 5.20 Теорема о приближении измеримой почти везде конечной функции ограниченной 5.21 Теорема об эквивалентности предельных функций для сходящейся последовательности 5.22 Измеримые функции, их свойства 5.23 Сходимость по мере. 5.24 Пример, иллюстрирующий, что сходимость по мере более общее понятие, чем сходимость почти везде 5.25 Эквивалентные функции, теорема об измеримости эквивалентных функций 5.26 Теоремы о действиях над измеримыми функциями и о пределе последовательности измеримых функций 5.27 Теорема Рисса 5.28 Определение непрерывной функции 5.29 Характеристическая функция множества 5.30 Определение интеграла Лебега от ограниченной функции 5.31 Суммы Лебега и их свойства 5.32 Основные свойства интеграла Лебега от ограниченных функций 5.33 Предельный переход под знаком интеграла Лебега 5.34 Восстановление первообразной функции 5.35 Срезка функции числом N, измеримость срезки 5.36 О функции, суммируемый на множестве 5.37 Свойства суммируемой функции 5.38 Суммируемый функции любого знака 5.39 Функции с конечным изменением, примеры 5.40 Свойства функции с ограниченным изменением 5.41 Связь функции ограниченной вариации с возрастающими функциями 5.42 Интеграл Стилтьеса, основные свойства 5.43 Существование интеграла Стилтьеса 5.44 Условия, при котором интеграла Стилтьеса совпадает с интегралом Римана 5.45 Абсолютно непрерывные функции 5.46 Мера плоских множеств 5.47 Счетная аддитивность меры 5.48 Интеграл Лебега как функция множества 5.49 Геометрический смысл интеграла Лебега. Теорема Фубини 5.50 Заряды. Теорема Радоиа-Никодима УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 9 из 10 6 УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Таблица 3 Тема Наглядные Вопросы для Форма самостоятел контроля Лекционного Практическ Лаборатор пособия, ТСО, ьного занятия ого занятия ного плакаты, изучения занятия стенды 1 2 3 4 5 6 Множества, плакат эквивалентные множества. Мощность Структура плакат открытых и замкнутых ограниченн ых; множеств. Интеграл Интеграл Опрос Стилтьеса Стилтьеса, основные свойства Общая Мера Опрос теория плоских меры множеств 7 КАРТА ЛИТЕРАТУРОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ Наименование учебников, Количество учебно-методических пособий экземпляров 1 2 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. 6 Элементы теории функций и функционального анализа. М. 1975, 1989 Люстерник Л.А., Соболев В.И. 5 Элементы функционального УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ Количество студентов 3 3 Таблица 4 Процент обеспечения 4 100 3 100 УМКД 042-02.01.20.34/01-2012 анализа. М., 1965 ЛюстерникЛ.А., СоболевВ.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982 Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975 Редакция №4 от 25.12.2012 г. взамен редакции № 3 от 28.12.2009 г. стр. 10 из 10 11 3 100 5 3 100 8 ЛИТЕРАТУРА 8.1 ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА 8.1.1 П.Л. Ульянов, А.Н. Бахвалов, М.И. Дьяченко, К.С. Казарян, П. Сифуэнтес. Действительный анализ в задачах. М. ФИЗМАТЛИТ, 2005. 8.1.2 В.И. Богачев, Курс лекций по действительному анализу. М., 2008. 8.1.3 Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу, СПб: Невский диалект 2004. 8.2 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 8.2.1 Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функции действительного переменного, М. 1981 8.2.2 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. 1975, 1989. 8.2.3 ЛюстерникЛ.А., СоболевВ.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982. 8.2.4 Треногин В.А., Писаревский Б.С, Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., 1984. 8.2.5 Шилов Г.Е. Математический анализ (спец. курс). М., 1991.
