61e56a254246c

Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash usullari
Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
Qarshi filiali 4-kurs talabasi
+99891 947 13 40
[email protected]
ANNOTATSIYA: Ixtiyoriy o’lchamli matritsaning bir necha satr yoki ustunlarini
o’chirishdanʻʻhosil bo‘lgan kvadrat matritsa determinantiga matritsa osti minori
deyiladi. Bukvadrat matritsa tartibi matritsa osti minorning tartibi deyiladi. Agar
berilganmatritsa kvadrat shaklda bo’lsa, uning eng katta tartibli minori o’ziga teng. Ixtiyoriy
oʻlchamli matritsaning k ta satr va k ta ustunlarini ajratilgan boʻlib, bu satr va ustunlar
kesishmalarida yotgan elementlaridan
hosil bo‘lgan kvadrat matritsa determinantiga
matritsaning k chi tartibli minori deyiladi.
KALIT SO’ZLAR: Matritsa, k-chi tartibli minor, matritsa rangi, minorlar usuli,
ekvivalent almashtirishlar.
Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda boʻlsa, uning eng katta tartibli minori oʻziga teng.
Agar berilgan matritsa n  m chi tartibli boʻlsa, u holda uning eng katta tartibli minorining
tartibi k  min(n,m) boʻladi.
Agar berilgan matritsa n  m chi tartibli boʻlsa, u holda bu matritsadan ajratish mumkin
Cnk  Cmk formula bilan topiladi, bu erda
k tartibli minorlar sonini
n!
m!
k
va Cm 
, n yoki m ta elementdan k tadan gruppalashlar
Cnk 
k ! (n  k )!
k ! (m k )!
bolgan
soni.
1. Matritsa rangi ta’rifi va uning xossalari.
4 5 7 7


1-misol. A  2 1 4 3 matritsaning minorlarini aniqlang.


3 7 0 8


Yechish.
1- tartibli minorlar. Bu matritsaning ixtiyoriy elementi 1- tartibli minor tashkil qiladi.
Demak bu matritsada 12 ta 1-tartibli minor bor.
2-tartibli minorlar.
M2 
4 5
M2 
4 7
M2 
4 5
2 1
2 4
3 7
1 va 2-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
1 va 2-satrni, hamda 1 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
1 va 3-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
Va hokazo shu tartibda davom qilib
C32  C42 
3!
4!
2! 3 2! 3  4



 3  3  2  18 ta
2!(3  2)! 2!(4  2)! 2!1! 2!1  2
2-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.
3-tartibli minorlar.
4 5 7 7
A   2 1 4 3 
3 7 0 8


4 5 7
M3  2 1 4
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan
3 7 0
3-tartibli minor.
4 5 7
M3  2 1 3
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan
3 7 8
3-tartibli minor.
4 7 7
M3  2 4 3
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan
3 0 8
3-tartibli minor.
5 7 7
M3  1 4 3
1,2 va 3-satrni, hamda 2, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan
7 0 8
3-tartibli minor.
Boshqa 3-tartibli minor yoq. Formula boʻyicha ham
C33  C43 
3!
4!
1 3! 4

 
 4 ta
3!(3  3)! 3!(4  3)! 0! 3!1!
3-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.
1-ta’rif. A matritsaning noldan farqli minorlarining eng kattasining tartibiga matritsaning
rangi deyiladi va rang  A   r ( A) koʻrinishida belgilanadi.
Matritsa rangi ta’rifidan bevosita kelib chiquvchi xossalari:
1)
Agar A matritsa m  n oʻlchovli boʻlsa, u holda rangA  min  m; n  ;
2)
3)
rangA  n.
A matritsaning barcha elementlari nolga teng boʻlsa, u holda rangA  0;
Agar A matritsa n  tartibli kvadrat matritsa va A  0 boʻlsa, u holda
 1 -2 


2-misol. A  2 4 matritsa rangini aniqlang.


 3 -7 


Yechish. Berilgan matritsa  3  2  oʻlchamli boʻlgani uchun satrlar va ustunlar sonini
taqqoslaymiz va kichigini, ya’ni 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz
va ularning qiymatini hisoblaymiz. Bu jarayonni noldan farqli ikkinchi tartibli minor topilguncha
davom ettiramiz:
M1 
1
2
2
4
 0, M 2 
1 2
3 7
 1  0.
Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi. Demak,
ta’rifga binoan, A matritsa rangi 2 ga teng, ya’ni rang  A   2 .
Bizga Anm matritsa berilgan bo‘lsin. Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan foydalanib
topish algoritmini;
1). Bu matritsaning eng katta k  min(n, m) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz.
Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni toxtatib
matritsaning rangi
r  Anm   k
ga teng deb olamiz.
2). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda bu
matritsaning ixtiyoriy aij elementini tanlab, shu element turgan satr va ustunni ochiramiz.
Natijada (n  1)  (m 1) - tartibli matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsadagi (k-1) tartibli
minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda
bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
r  Anm   k  1 ga teng deb olamiz.
3). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda bu ( k-2
) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa,
u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
r  Anm   k  2 ga teng deb olamiz.
4). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda barcha (
k-3 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Va hakoza shu jaroyon
3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
 1 1 1 2 0 
A   2 2 6 0 4 
 4 3 11 1 7 


Yechish.1). Matritsa noldan farqli 2-tartibli minorni qidiramiz:
M2 
1 1
2
2
 2  2  4 .
Demak 2-tartibli noldan farqli minor mavjud.
2). Noldan farqli 3-tartibli minorni qidiramiz:
Bunday minorlar soni C3  C5 
3
3
3!
5!

 10 ta
3! 0! 3! 2!
1 1 1
M3  2
2
6  0 ; M3  2
4 3 11
1 1 0
M3  2
4
6
1 1 2
0  0;
M3  2
4 3 1
1 1 0
4  0 ; M 3  2
11 7
2
1 1 2
6
6
4 11
1 2
4  0 ;
0 0 ;
1
0
M3  2
0
4  0
3
1
7
3 11 7
Va hakoza barcha 3-tartibli minorlar nolga teng. Demak matritsaning rangi 2 ga teng.
Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan foydalanib topish yuqorida ko‘rganimizday juda
kop hisoblashlarni talab qiladi. Shu sababli matritsa kamroq hisoblashlar bilan topish usullarini
korib chiqamiz. Bu usullar 2xil- oʻrab turuvchi minorlar usuli va ekvivalent almashtirishlar
yordamida matritsaning rangini hisoblash.
2.Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.
2-ta’rif. k  tartibli minorni o‘z ichiga oluvchi barcha k  1 tartibli minorlar o‘rab
turuvchi minorlar deyiladi.
Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli quyidagi teoremaga
asoslanadi.
1-Teorema. Agar n  m oʻlchobli matritsaning biror k  tartibli minorini o‘rab turuvchi
barcha k  1 tartibli minorlar nolga teng boʻlsa, u holda bu matritsadagi barcha k  1 tartibli
minorlar nolga teng boladi.
3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
2 1 3
A   4 2 6 
10 5 15 


Yechish.1). Matritsa noldan farqli, shu sababli 1-tartibli minor sifatida ixtiyoriy
elementni, masalan
M1  2  2
ni olishimiz mumkin. Bu minorni o‘rab turuvchi 2-tartibli minorni qidiramiz:
M2 
2 1
M2 
2
4 2
 4  4  0;
1
 10  10  0 ;
M2 
M2 
2 3
4 6
2
 12  12  0 ;
3
 30  30  0
10 5
10 15
Demak M 1 o‘rab turuvchi barcha 2-tartibli minorlar nolga teng. Bu minorlarni o‘rab
turuvchi 3-tartibli minorni tekshiramiz:
2
1
3
M3  4
2
6  0.
10 5 15
Bundan r ( A)  1.
O‘rab turuvchi minorlar usulining algoritmi quyidagicha:
1. Agar matritsa noldan farqli bo‘lsa, u holda noldan farqli ikkinchi tartibli minorni
qidiramiz. Agar barcha 2- tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, u holda matrirsaning rangi 1
ga teng bo‘ladi.
2. Agar hech bo‘lmaganda bitta noldan farqli ikkinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda
bu minorni o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 3tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 2 ga teng
bo‘ladi.
3. Agar hech bolmaganda bitta noldan farqli uchinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda
bu minorni o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 4tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 3 ga teng
bo‘ladi.
4. Va hakoza shu jarayon dabom ettirilib noldan farqli k  tartibli minori topiladi. k 
tartibli minor noldan farqli bo‘lib, bu minorni o‘rab turuvchi barcha k  1 tartibli
minorlarning barchasi nolga teng bo‘lganda, matritsaning rangi shu noldan farqli
minorning tartibi k ga teng bo‘ladi.
Bu usul hisoblash ishlarini ancha kamaytirish imkoniyatini beradi.
4-misol. Quyidagi matritsaning rangini o‘rab turuvchi minorlar usuli bilan toping.
2
4
A
2

0
1 0 1
2 1
0
1 1
1
0 2
4
3 
1 
4 

14 
Yechish.
Matritsaning a11 elementi noldan farqli boʻlganligi sababli bu elementni birinchi tartibli
minor deb qarab, bu minorni oʻrab turuvchi, noldan farqli 2- tartibli minorni qidiramiz:
1).
2 1
4 2
 0;
2).
2 0
4 1
 2.
Noldan farqli, bu minorni oʻrab turuvchi barcha 3-tartibli minorlarni qarab chiqamiz.
2 1 0
M3  4 2 1  4  2  0  0  4  2  0;
2 1 1
2 1 0
M3  4 2 1  8  0  0  0  8  0  0
0 0 2
2 0 1
M3  4 1
2 1
2 0
0 2402000
1
3
M 3  4 1 1  8  0  12  6  0  2  0
2 1 4
2 0 1
M3  4 1
0 8 08000  0
0 2
4
2 0
3
M3  4 1
1  28  0  24  0  0  4  0
0 2 14
Yuqoridagi
( C4  C5 
3
3
1-teoremaga
kora
barcha
3
–tartibli
minorlar
nolga
teng
4!
5!

 4  10  40 ta ). Demak berilgan matritsaning rangi 2 ga teng.
3! 1! 3! 2!
3-ta’rif. Matritsa ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga elementar
almashtirishlar deyiladi.
1. Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa koʻpaytirish;
2. Matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirish;
3. Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos
elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshish;
4. Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish;
5. Matritsani transponirlash.
2-Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi.
Bu teoremani misolda tushinib olamiz.
4-misol. Elementar almashtirishlar bajaring va hosil boʻlgan matritsaning rangini toping.
2
4
A
2

0
1 0 1
2 1
0
1 1
1
0 2
4
3 
1 
4 

14 
Yechish. Matritsada birinchi satrni - 2 ga koʻpaytirib ikkinchi satriga va birinchi satrni -1
ga koʻpaytirib uchinchi satriga ikkinchi satrni 3 ga koʻpaytirib, birinchini ikkinchiga
qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni 5 ga, uchunchi satrni 3 ga koʻpaytirib, natijalarni
qoʻshsak,
 3 1 2 1 
 0 5 7 4 


 0 1 1 2 


matritsa hosil boʻladi.
Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi satrni
uchunchi satrga qoʻshsak,
 3 1 2 1 
 0 5 7 4 


 0 0 12 6 


matritsa hosil boʻladi. Yana
 2 3 3 0 
B   4 2 4 5 
 2 1 1 5 


matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,
 2 3 3 0   2 3 3 0 
B   0 4 2 5    0 4 2 5 
 0 4 2 5   0 0 0 0 

 

hosil boʻladi.
A va B matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan iborat: m
satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin birinchi va uchinchi
satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va m  satrlarni shunday sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa
koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi
satrdan boshlab birinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida
keyingi hamma satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan
boshlab, ikkinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab
uchinchi ustun elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom
ettiriladi.
Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan boʻlsa, u
holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma elementlari nollarga (ya’ni
bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.
Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi
almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng boʻladi,
chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.
Yuqorida qoʻllaniladigan almashtirishlar matritsani elementar almashtirishlardan iborat
boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.
3-Teorema. Pog‘onasimon matritsaning rangi uning nolmas satrlari soniga teng.
Ixtiyoriy matritsaning rangini aniqlash uchun yuqorida kо‘rsatilgan qoida bо‘yicha
elementar almashtirishlar yordamida matritsa pog‘onasimon matritsaga keltiriladi:
 a11 a12 ... a1r
 0 a
... a2 r
22
A
 .
.
.
.

0 ... arr
 0
bu yerda aii  0, i  1,..., r , r  k .
Pog‘onasimon matritsaning rangi r ga teng.
Masalan, yuqoridagi misollarda
... a1k 
... a2 k 
,
.
. 

... ark 
r  A  3, r  B   2 boʻladi.
 1 2 1 3 

0 7  matritsaning rangini aniqlang.
5-misol. A   3 1
 2 3 -1 4 


Yechish. Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar
bajaramiz:
 1 2 1 3   1 2 1 3   1 2 1 3 
 3 1 0 7  ~  0 7 -3 2  ~  0 7 -3 2 .

 
 

 2 3 -1 4   0 7 -3 2   0 0 0 0 

 
 

Matritsa pog‘onasimon matritsaga keltirildi. Uchinchi satr barcha elementlari nollardan
iborat boʻlganligi sababli, berilgan matritsa rangi ikkiga teng.
Asosiy adabiyotlar:
nd
1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5 Edition,
2016.
nd
2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers, 42
Edition, 2012.
3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra
va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.
4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv uslubiy
qollanma. TATU, Toshkent 2019.
5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 1995.
6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей математике”,
Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.
Asosiy adabiyotlar:
7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга
қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт
тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.: Ўзбекистон, 2017.
9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда
барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy qo‘llanma.
Toshkent. 2014.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент “Ўқитувчи” 1984.
12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических
университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических
вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач:
учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
18. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по аналитической
геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
19. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, - М.: Наука.
1997.