МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Печатаются по решению кафедры дифференциальных уравнений от 29.02.2012 г. Данные расчетные задания содержат типовые задания по разделу “Теория вероятностей и матстатистика” курса высшей математики, отвечают требованиям программы и могут быть рекомендованы студентам всех специальностей дневной и вечерней форм обучения. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТСТАТИСТИКЕ для студентов нематематических факультетов Составитель: Сагитова А.Р., кан. физ.- мат. наук , доцент. Уфа – 2012 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. События, их классификация. Правила действия над событиями. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Аксиомы Колмогорова. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства). Формула Пуассона как асимптотическая для формулы Бернулли. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры. Функция распределения и плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства. Числовые характеристики случайной величины. Основные законы распределения. Нормальный закон распределения. Условия, при которых имеет место это распределение. Как изменения параметров распределения влияют на график этого распределения. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых. Закон больших чисел. Теоремы Чебышева. Основные задачи матстатистики. Нахождение статистических числовых характеристик случайной величин из опыта. Задача точечной оценки параметра, различные методы решения. Сущность метода моментов. Построение доверительных интервалов. Доверительная вероятность. Задача статистической проверки гипотез. Примеры. Критерии согласия. Применение критерия Пирсона при решении задачи о согласованности теоретического статистического распределений. Метод наименьших квадратов и его применение для обработки результатов испытаний. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Корреляционный момент и коэффициент корреляции между случайными величинами, что они характеризуют Линейная регрессия, линейная корреляция, нормальная корреляция. Задача нахождения выборочного уравнения прямой линии регрессии и выборочного коэффициента корреляции, свойства выборочного корреляционного отношения. 3 З А Д А Ч А № 1. 1.1 В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: A - все пассажиры выйдут на четвертом этаже; B - все пассажиры выйдут одновременно ( на одном и том же этаже). 1.2 Первого сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из тех предметов равновозможно? 1.3 Собрание на котором присутствует 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина. 1.4 Среди 20 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 6 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки? 1.5 Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов? 1.6 Среди 10 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных. 1.7 На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1,5% брака, второй -1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500. 1.8 В мастерскую для ремонта поступило 18 телевизоров. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 штук. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке? 1.9 Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки. 1.10 Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайно на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково. 1.11 25 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. 4 Какова вероятность того, что вытянутый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов? 1.12 Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны. 1.13 Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани. 1.14 В лифт шестиэтажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что все вышли на разных этажах. 1.15 В группе из 30 студентов на контрольной работе получили: 8 студентов – отлично, 12 студентов – хорошо, 6 студентов – оценку удовлетворительно. Какова вероятность того, что все три студента, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе? 1.16 Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Как велика вероятность того, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные? 1.17 В лотерее имеется 10 билетов: 5 выигрышей и 5 проигрышей. Берем два билета. Какова вероятность выигрыша? 1.18 Общество из 10 человек садится на скамейку. Как велика вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом. 1.19 Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: 1) сумма числа очков не превосходит 6; 2) произведение числа очков не превосходит 6; 3) произведение числа очков делится 6. 1.20 Среди 20 студентов группы, в которой семь девушек, разыгрывается пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три девушки. 1.21 На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5. 1.22 Из 18 акционерных обществ (АО) три являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов? 1.23 В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди 5 участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность того, что все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу. 1.24 В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе A , а 10 – на заводе B . Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе A . 1.25 Десять различных книг расставлены на полке наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом. 1.26 На сборку поступило 2000 деталей с первого автомата и 1000 - со второго. Первый автомат дает 0,1% брака, а второй – 0,2%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали. 1.27 Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены? 1.28 Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов? 1.29 Из 18 сбербанков 8 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных 3 сбербанка окажется в черте города? 1.30 В гостинице имеется 6 отдельных номеров. На эти шесть номеров имеется 10 претендентов, из которых 6 мужчин и 4 женщины. В гостинице пришедший раньше обслуживается раньше. Какова вероятность того, что все шесть претендентов мужского пола получат номера и ни одна из женщин не получит их? З А Д А Ч А № 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 Известно, что 5% изделий некоторой фирмы бракованные. На проверку взяли два изделия наугад. Какова вероятность того, что одно из этих двух изделий будет забраковано? Через остановку пролегают троллейбусный и автобусный маршруты. Троллейбус подъезжает через каждые 15 минут, автобус – через каждые 25 минут. К остановке подходит пассажир. Какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут на остановке появится троллейбус либо автобус? Студент пришел на зачет, зная 15 вопросов из 20. Если студент не может ответить, ему предоставляется еще одна (но не более !) попытка. Какова вероятность, что он сдаст зачет? Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого 6 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок. В урне 9 белых шаров и 1 черный шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые? Студент идет на экзамен, подготовив только 15 вопросов на требуемых 18. Экзаменатор задает студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки? В бригаде 7 мужчин и 5 женщин, на дежурство выделяется 5 человек. Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна женщина? Датчик температуры газа состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени отказать. Отказ одного узла приводит к отказу датчика в целом. Вероятность безотказной работы первого узла – 0,95, второго – 0,80, третьего – 0,98. Найти вероятность безотказной работы датчика. Глубинный манометр испытывается на герметизацию. Проводится не более 5 испытаний, при каждом испытании монометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первого выхода из строя монометр ремонтируется, после второго признается негодным. Какова вероятность, что монометр будет признан негодным после пятого испытания? В тренировках по парным соревнованиям в беге участвуют 6 учащихся из школы №1, 7 – из школы №2 и 8 – из школы №3. Найти вероятность того, что по жеребьевке в первую пару бегунов войдут два учащихся только из школы №1 или только из школы №2. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов равна 0,2, второй вызов – 0,3, третий вызов – 0,4. По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов. В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара: 1) если вынутый шар возвращается обратно в сосуд; 2) если вынутый шар в сосуд не возвращается. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей? Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Надежность 7 (вероятность безотказной работы) в течение времени T первого блока равна p1 0,9 , второго - p2 0,8 , третьего - p3 0,95 , четвертого - p4 0,85 . Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 любого блока отказывает машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время T . В первом ящике 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных и 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих? В ящике смешаны нити трех цветов: белых 50%, красных 30%, черных 20%. Определить вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется: 1) все нити одного цвета; 2) все нити разных цветов; 3) две нити одного цвета. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов A и B равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта A или от B . Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви потребуется обувь 37 размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из трех первых покупателей обувь этого размера: 1) ни одному не потребуется; 2) потребуется хотя бы одному. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы, если: 1) вопросы были заданы последовательно по мере ответа; 2) все вопросы были заданы сразу. Из 30 учащихся в классе 20 сказали, что они любят математику и 16 – что им нравится история. Сколько учеников любят оба предмета? Какова вероятность того, что ученик этого класса любит оба предмета? Каждый из сигналов о наличии утечки на участке магистрального нефтепровода приводит в действие систему аварийного отключения с вероятностью 0,99. Найти вероятность следующих событий: A1 - устройство отключения срабатывает после второго сигнала; A2 - устройство отключения срабатывает не позже, чем после второго сигнала. 2.24 Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы появление пяти очков хотя бы один раз получило вероятность больше 0,95? 2.25 Бросают две игральные кости. Найти условную вероятность того, что одна 8 кость показывает шестерку при условии, что другая показывает четверку. 2.26 Вероятность попадания в цель равна 0,8. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет: 1) три попадания; 2) только одно попадание; 3) хотя бы одно попадание. 2.27 Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет нечетным. 2.28 Имеется 25 электрических лампочек, из которых 4 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными. 2.29 Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта. 2.30 Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна 0,7, второго двигателя 0,75, кабины пилота 0,5. Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен. З А Д А Ч А №3. 3.1 Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным? 3.2 На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй – 30% и третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали и вероятность того, что оказавшаяся нестандартной деталь изготовлена первым автоматом. 3.3 По линии связи передаются два сигнала A и B с вероятностями соответственно 0,84 и 0,16. Из-за помех 1/6 сигналов A искажается и принимается как сигналы B , а 1/8 часть переданных B - сигналов принимается как A - сигналы. Требуется: а) найти вероятность того, что на приемном пункте появится A - сигнал, B - сигнал; б) если известно, что 9 принят A - сигнал, какова вероятность, что он же и был передан? 3.4 Фирма планирует выпуск на рынок нового вида товара. Субъективные представления руководства фирмы таковы: вероятность хорошего спроса на этот товар составляет 0,7, вероятность плохого спроса – 0,3. Было проведено специальное исследование товарного рынка, которое предсказало плохой сбыт. Однако известно, что исследования такого рода дают правильный прогноз не всегда, а лишь с вероятностью 0,8. Каким образом маркетинговое исследование повлияло на вероятности хорошего и плохого сбыта? 3.5 Статистика показывает, что среди близнецов оказывается 28% идентичных и 72% неидентичных близнецов. Среди идентичных близнецов 100% одного пола и 0% разного пола. Среди неидентичных близнецов 50%одного пола и 50% разного пола. Какова вероятность того, что наугад выбранные близнецы имеют одинаковый пол? 3.6 В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем в первом ящике - 15, а во втором - 14 стандартных. Из первого ящика извлечем наудачу одну деталь и переложим во второй ящик. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной. 3.7 Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. 3.8 Вероятность того, что утечка газа происходит на подземном участке газопровода равна 0,4, на подводном участке – 0,6. Вероятность обнаружения утечки за время T на подземном участке равна 0,7, на подводном – 0,8. Какова вероятность, что за время T утечка газа будет обнаружена? 3.9 Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Какова вероятность, что после этого из второй урны вынут белый шар. 3.10 Трое рабочих обрабатывают однотипные детали. Первый обработал за смену 20 деталей, второй – 25, третий – 15. Вероятность брака для первого рабочего равна 0,03, для второго – 0,02, для третьего – 0,04. Из общей выработки за смену наудачу взята и проверена одна деталь, которая оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обработана вторым рабочим. 3.11 На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого 10 автомата поступила 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей. 3.12 Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p1 , p2 и p3 , где p1 p2 0, 25 , p3 0,5 . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1 ; 0,2 ; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 3.13 В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. 3.14 Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов. 3.15 По линии связи с вероятностями p1 0, 6 , p0 0, 4 посылаются 3.16 3.17 3.18 3.19 сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями 0,9 и 0,1 соответственно принимаются сигналы 1 и 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно принимаются сигналы 1 и 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1? Производится 6 независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,7. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью 0,8; если два снаряда – с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах горючее воспламенится. В ящике имеются детали трех типов: 40 деталей первого типа, 50 – второго и 60 – третьего, причем окрашенные среди них составляют соответственно 20% , 40%, 60%. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из ящика деталь окажется окрашенной. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок? 11 3.20 Два охотника одновременно увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Каждый из этих охотников на таком расстоянии обычно в одном случае из трех попадает в лису и убивает ее. Какова вероятность того, что лиса будет убита? 3.21 90% всходов были признаны здоровыми. Вероятность того, что здоровое растение дает семена равна 0,8. Вероятность того, что больное растение дает семена равна 0,2. Какова вероятность того, что растение, выбранное наугад, дает семена? 3.22 На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором – 15, а на третьем – 20. Продукция этих заводов составляет соответственно 50% , 30% и 20% всех электролампочек, приобретенных жителями района. Найти вероятность того, что приобретенная лампочка будет стандартной. 3.23 Счетчик регистрирует частицы трех типов - A , B и C . Вероятность появления этих частиц P A 0, 2 ; P B 0,3 ; P C 0,5 . Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями p1 0,8 ; p2 0, 2 ; p3 0, 4 . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа B . 3.24 На наблюдательной станции установлены четыре радиолакатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,90, третьего – 0,92, четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели. 3.25 Среди 350 механизмов 160 первого сорта, 110 – второго и 80 – третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный. 3.26 Телеграфное сообщение состоит из сигналов “точка” и “ тире”. Искажаются в среднем 2/5 сообщений “точка” и 3/5 - “ тире”. Известно, что среди передаваемых сигналов “точка” и “ тире” встречаются в соотношении 5:3. Найти вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал “ тире”. 3.27 По данным переписи 1951 года, в Англии и Уэльсе среди отцов, имеющих сыновей, оказалось, 13% темноглазых и 87% светлоглазых. У темноглазых отцов оказалось 39% темноглазых и 61% светлоглазых сыновей. У светлоглазых отцов оказалось10% темноглазых и 90% светлоглазых сыновей. Какова вероятность того, что наугад выбранные среди этого населения отец и сын имеют глаза одинакового цвета. 3.28 Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, 12 ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном – 0,7. Найти полную вероятность p выхода прибора из строя за время t . 3.29 Система состоит из двух параллельных ветвей: одна с последовательными независимыми звеньями 1 и 2, другая – 3 и 4. В середине ветви соединяются независимым элементом 5. Система работает, если работает любая из ветвей ( нет отказов элементов 1 и 2 или 3 и 4, но может не работать элемент 5 ), а также когда сигнал проходит по любой диагонали 1 - 5 - 4 или 3 – 5 – 2. Вероятности безотказной работы элементов даны и p1 p2 p3 p4 p5 0,9 . равны Вычислить вероятность безотказной работы системы. 3.30 Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны s1 500 м , s2 350 м , s3 150 м . 3 3 3 Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью 0,75, во вторую часть – с вероятностью 0,8; в третью - 0,9. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд. З А Д А Ч А № 4. Имеется n лампочек, каждая Лампочку ввинчивают в патрон лампочка сразу же перегорает и число лампочек, которое будет случайной величины X из них с вероятностью p имеет дефект. и подают напряжение, после чего дефектная заменяется другой. Случайная величина X испробовано. Построить ряд распределения и ее функцию распределения F x , найти ее математическое ожидание mx , дисперсию испробовано будет не более k лампочек. n 4, p 0, 2, 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 n 5, n 4, n 5, n 4, n 3, n 4, p 0,1, p 0,15, p 0,3, p 0, 25, p 0,35, p 0, 4, 13 Dx и вероятность того, что k 3. k 4. k 2. k 3. k 2. k 2. k 3. 4.8 4.9 4.10 n 5, n 4, n 5, p 0, 2, p 0,16, p 0,12, k 4. k 3. k 2. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других ) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p . Для контроля из продукции завода выбирается n изделий. Случайная величина X - число изделий, в которых обнаружен дефект. Построить ряд распределения случайной величины X и ее F x . Найти mx , Dx и вероятность того, что среди n изделий не менее, чем в k будет обнаружен дефект. k 1. n 3, r 0,1, p 0,8, 4.11 k 2. n 4, r 0, 2, p 0,9, 4.12 k 2. n 4, r 0, 3, p 0,9, 4.13 k 1. n 3, r 0,15, p 0,95, 4.14 k 3. n 5, r 0,1, p 0,9, 4.15 k 2. n 4, r 0, 2, p 0, 7, 4.16 k 3. n 5, r 0,1, p 0, 6, 4.17 k 1. n 3, r 0,15, p 0,87, 4.18 k 2. n 4, r 0, 2, p 0, 6, 4.19 k 3. n 5, r 0,1, p 0, 7, 4.20 функцию распределения В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Случайная величина X - число стандартных деталей среди отобранных . Построить ряд распределения случайной величины X . Найти ее функцию распределения F x , математическое ожидание mx , дисперсию Dx и вероятность того, что среди отобранных будет хотя бы одна стандартная деталь. m 4. N 8, n 6, 4.21 4.22 4.23 4.24 N 6, N 7, N 5, n 5, n 4, n 4, 14 m 4. m 3. m 3. 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 N N N N N N 9, 6, 10, 8, 9, 7, n 8, n 5, n 8, n 7, n 8, n 5, m 6. m 3. m 5. m 5. m 4. m 4. З А Д А Ч А № 5. f x . При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти ее математическое ожидание mx , дисперсию Dx , функцию 5.6 0, x 0, x 4, f x 3 C 16 x x , 0 x 4. 5.7 x 0, x , 0, f x C sin x, 0 x . 5.8 0, x a, x a, f x C , a x a. 2 2 a x 5.9 0, x 3, x 4, f x C 4 x x 3 , 3 x 4. Дана функция распределения F x и вероятность попадания на заданный интервал , . 5.1 0, x 4, x 6, f x C x 4 6 x , 4 x 6. 5.2 0, x 2, x 4, f x C x 2 4 x , 2 x 4. 5.3 5.4 5.5 4,5, 5. 2, 3. 0, x 0, x 2, f x 1 3 C x 4 x , 0 x 2. 1, 1,5. 0, x 0, x 3, f x 2 C 3 x x , 0 x 3. 1, 2. 0, f x 3 C 4 x x , x 0, x 2, 0 x 2. 15 5.10 1,5, 2. 1 0, x 0, x , 3 f x 1 C 3x 1 , 0 x . 3 5.11 C x 1, , f x x4 0, 1 x 1. 5.12 0, x 0, x 2, f x 2 Cx , 0 x 2. 5.13 0, x 0, x 2, 2 f x Cx , 0 x 1, 2 C 2 x , 1 x 2. 1, 2. 6 , 4 0, 0,5a. 3, 3,5. 0,1, 0, 2. 2, 3. 0,5, 1. 16 0, 0,5. . 5.14 C x 3 x , 1 x 0, f x 0, x 1, x 0. 1, 0,5. 5.23 5.15 0, x 2, x 3, f x C 3x 2 , 2 x 3. 2, 2,5. 5.24 0, x 0, x 5, f x C 5 x , 0 x 5. 1, 3. 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 0, x 0, x 4, f x 2 C 9 x x , 0 x 4. x 2, x 2, 5.21 0, x 2, x 4, f x 2 C x 6 x 8 , 2 x 4. 5.22 x 0, x , 0, 4 f x C cos 2 x, 0 x . 4 17 4 . 0, x 0, x 1, f x 2 C x 2 x 3 , 0 x 1. 0,5, 0, 7. 5.26 0, x 0, x 2, f x 4 C 8 x x , 0 x 2. 0, 1. 5.27 0, f x 2 4 C x x , 5.28 0, x 1, x 3, f x C x 1 3 x , 1 x 3. 5.29 x ,x , 0, 6 3 f x C sin 3x, x . 6 3 5.30 0, x 0, x 8, f x C x 8 , 0 x 8. 0, 1. 0 x 2. 2 x 2. 0, 5.25 0, 2. x 0, x 2, 0, f x 2 C x 4 x 4 , 1 2 0, . 1, 3. 0, x 0, x 3, f x 3 C 9 x x , 0 x 3. 0, f x 3 C 8 x , 0, x 0, x 1, f x 3 C 2 x , 0 x 1. 0, x 0, x , 2 f x C sin 2 x, 0 x . 2 1, 1. 1, 3. 0, 6 . x 0, x 1, 0 x 1. 0, 0,5. 1, 2. З А Д А Ч А № 6. 18 6 , 4 1, 4. . , нормально 6.27 распределенной случайной величины X , если известны ее математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение . Написать выражение плотности распределения вероятностей случайной величины X . 2. 1, m 2, 5, 6.1 6.28 Найти вероятность попадания в заданный интервал 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 5, 6, 2, 1, 3, 6, 2, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 8, 8, 6, 9, 9, 7, 9, 12, 8, 4, 7, 12, 6, 19 m 3, m 4, m 5, m 6, m 4, m 4, m 4, m 5, m 6, m 8, m 6, m 10, m 5, m 4, m 5, m 5, m 6, m 4, m 8, m 10, m 6, m 3, m 5, m 8, m 4, 2. 3. 3. 3. 1. 2. 2. 3. 3. 2. 3. 1. 2. 3. 2. 2. 4. 3. 1. 2. 3. 2. 1. 4. 2. 6.29 6.30 18, 6, 10, 8, 12, 3, 4, 2, m 16, m 4, m 7, m 6, 2. 2. 3. 5. З А Д А Ч А №7. Дана выборка из генеральной совокупности объема. По выборке необходимо выполнить следующие расчеты. 1. Построить вариационный ряд. 2. Построить группированную выборку с числом интервалов k 3 10 . 3. Построить гистограмму и полигон частот. 4. По группированной выборке найти точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения. 5. Построить доверительные интервалы для матема- тического ожидания с доверительными вероятностями 0,95 и 0,99. 6. Выбрать один из законов распределения в качестве предполагаемого (теоретического) распределения, используя пункт 3. 7. Найти параметры теоретического распределения с помощью метода моментов. Построить на одном графике гистограмму, полигон частот и кривую теоретического распределения для найденных параметров. 8. Проверить гипотезу о том, что выборка имеет выбранное теоретическое распределение. Принять уровень значимости 0,01 . 7.1 1,03 1,51 1,45 1,29 1,49 1,36 1,52 1,41 1,61 1,59 1,24 1,16 1,40 1,27 1,61 1,45 1,54 1,29 1,48 1,56 1,17 1,57 1,39 1,65 1,38 1,50 1,20 1,73 1,32 1,82 1,13 1,35 1,35 1,49 1,45 1,41 1,32 1,11 1,40 1,90 1,42 1,54 1,33 1,66 1,42 1,29 1,51 1,47 1,72 1,70 20 7.2 0,64 0,39 0,56 0,31 0,06 0,13 0,14 0,42 0,22 0,44 0,54 0,14 0,20 0,91 0,17 0,49 0,46 0,29 0,31 0,51 0,47 0,31 0,36 0,28 0,63 0,45 0,43 0,84 0,83 0,40 0,12 0,60 0,24 0,43 0,32 0,31 0,29 0,60 0,77 0,76 0,75 0,68 0,51 0,48 0,52 0,40 0,43 0,03 0,26 0,33 -1,09 0,70 -0,74 0,90 -0,96 -1,04 -1,14 0,55 1,1 2,8 0,65 -0,65 -2,47 0,15 7.5 7.3 -4,75 -0,05 1,71 -0,31 1,65 -3,87 0,3 -0,95 3,5 0,45 -2,42 -3,55 0,14 0,75 -1,52 2,26 -3,11 4,9 -3,81 1,62 -2,82 1,55 0,25 0,12 -0,63 -5,46 2,82 0,15 1,55 0,9 -2,48 2,83 1,35 -3,57 -0,75 3,03 -1,83 3,1 -1,25 -5,6 5,83 6,91 10,25 10,48 10,16 8,60 8,53 8,00 11,54 -1,3 -1,83 -2,61 -0,16 1,1 7,98 5,10 8,59 10,70 12,29 8,14 9,75 6,99 11,74 -0,62 -2,15 0,01 -1,93 0,16 9,30 9,69 11,05 10,15 10,91 9,81 10,65 9,03 12,14 9,45 10,7 10,15 11,71 10,71 6,27 12,86 12,0 13,10 7,90 8,02 11,28 11,97 12,03 7,04 13,85 9,88 10,45 8,32 10,4 14,12 14,90 12,86 7.6 7.4 -2,59 0,02 -0,14 0,01 -1,71 -0,4 1,5 -0,86 2,65 0,32 0,20 -1,98 1,72 -0,12 1,48 -1,35 0,12 0,92 -0,59 1,68 0,35 0,25 -2,8 0,29 -0,52 1,80 -1,24 -0,20 -2,72 1,25 -1,76 2,15 0,09 -1,48 0,12 1,71 1,54 1,92 2,17 2,10 2,58 2,01 1,86 2,23 3,05 1,97 2,17 2,35 2,65 2,66 1,59 2,91 2,82 2,38 3,25 2,66 1,65 2,51 1,75 2,53 2,92 2,59 1,53 2,93 3,59 2,85 2,62 2,49 2,80 2,84 2,09 1,80 3,09 3,12 2,46 3,25 2,12 2,19 3,15 2,32 2,45 3,35 2,97 2,29 2,61 3,23 7.7 21 2,2 4,74 3,60 2,83 4,74 3,57 4,44 4,16 6,11 10,1 4,35 3,25 3,98 5,02 5,39 5,42 6,72 7,48 9,9 6,17 22 3,69 5,74 6,79 2,57 6,82 5,01 9,09 7,79 5,65 7,69 -0,14 0,92 -0,77 0,12 -0,21 -0,1 0,30 -0,22 0,17 0,36 5,2 5,97 5,3 7,23 6,06 5,67 6,63 8,23 5,2 7,54 -0,31 0,67 -0,24 0,75 -0,64 -0,7 1,00 -0,07 0,21 0,15 1,1 4,15 6,12 6,04 5,92 7,15 5,75 4,20 7,75 9,55 -0,09 0,67 -0,83 0,88 -0,09 0,78 0,62 -0,99 0,29 -1,0 7.8 7.11 -1,41 3,75 0,42 -0,25 0,18 0,32 0,5 1,38 0,15 1,85 0,10 0,42 0,44 0,14 0,58 0,27 1,00 0,36 0,79 0,3 -1,50 1,03 1,21 -0,25 1,28 1,5 0,84 1,28 1,98 1,47 0,20 0,72 0,52 0,36 0,57 0,53 0,48 0,44 0,91 1,01 -0,82 1,38 2,3 1,45 0,83 0,21 0,76 1,28 1,2 1,43 0,48 0,21 0,61 0,60 0,96 0,50 0,06 0,82 0,78 0,4 -0,20 1,65 1,85 -0,66 1,99 2,15 3,55 0,42 2,0 3,65 0,46 0,49 0,01 0,61 0,17 0,57 0,72 0,67 0,50 0,7 -0,72 1,62 1,75 -0,37 0,47 3,15 3,25 3,0 1,65 0,75 0,39 0,78 0,76 0,59 0,46 0,65 0,64 0,69 0,34 0,46 7.9 7.12 1,06 1,42 2,02 1,14 2,16 2,3 4,62 2,59 3,1 2,83 0,08 0,12 0,27 0,31 0,33 0,37 0,64 0,00 0,39 0,22 4,57 0,51 1,26 2,35 2,47 4,3 2,85 2,51 3,95 3,25 0,29 0,33 0,40 0,36 0,31 0,40 0,31 0,34 0,18 0,3 1,85 1,36 1,95 2,47 3,27 2,41 3,50 0,69 3,47 3,0 0,20 0,39 0,52 0,70 0,35 0,35 0,36 0,40 0,30 0,21 1,91 2,49 1,59 3,33 2,34 3,45 2,89 4,1 2,73 4,05 0,24 0,32 0,69 0,25 0,60 0,55 0,06 0,54 0,27 0,59 2,15 4,15 2,21 3,15 2,95 3,51 2,73 3,7 2,34 3,65 0,11 0,30 0,32 0,39 0,57 0,15 0,32 0,51 0,13 0,63 7.10 7.13 -0,29 0,89 -0,57 0,10 -0,45 0,39 0,15 -0,48 0,05 0,59 4,31 14,0 8,91 13,13 16,21 19,13 19,96 22,39 15,6 11,1 -0,29 0,17 -0,28 0,00 -0,46 0,24 0,39 -0,12 0,14 0,42 9,00 16,1 6,16 12,44 13,13 17,55 12,11 18,13 3,37 2,87 23 24 8,75 7,23 17,0 12,53 18,35 20,72 14,92 16,25 18,2 23,0 1,19 1,78 1,22 2,57 2,91 0,79 3,00 2,87 1,22 2,75 5,87 20,0 8,89 16,25 13,72 13,52 12,92 12,08 11,0 5,75 1,83 2,25 2,49 1,92 2,37 2,75 1,63 1,76 1,99 3,50 7,09 11,0 6,85 10,29 16,18 14,96 10,23 14,93 12,0 11,8 1,50 2,00 1,85 2,15 1,77 3,00 0,95 1,99 1,12 1,0 7.14 7.17 -2 -2,24 -1,78 -2,46 -1,41 -1,8 -2,36 -1,86 -1,91 -1,7 2,01 2,39 2,52 3,20 3,08 3,75 3,09 3,47 3,14 2,55 -1,0 -1,76 -1,95 -1,85 -1,49 -1,4 -1,68 -1,53 -2,27 -0,8 3,86 2,99 3,04 2,95 3,00 3,10 3,37 3,25 4,10 3,32 -1,8 -1,98 -0,98 -1,35 -2,12 -2,3 -1,52 -1,65 -1,44 -1 2,53 3,19 3,76 3,26 3,31 3,45 2,84 3,60 4,00 3,42 -2,5 -2,06 -1,81 -2,89 -1,37 -1,1 -2,04 -1,25 -1,15 -2 3,00 2,23 3,47 2,60 2,76 3,53 2,77 2,84 3,20 2,75 -2,6 -2,03 -1,91 -1,41 -2,58 -1,3 -1,62 -2,45 -2,12 -2,8 2,03 2,90 2,54 2,39 2,54 2,90 3,20 2,60 2,77 3,65 7.15 7.18 0,52 1,08 1,39 1,25 1,42 1,79 2,75 1,78 1,14 2,61 -3,9 -2,76 -1,75 -2,4 -3,47 -2,45 -2,89 -1,63 -3 -2,2 2,44 1,27 1,51 0,77 1,45 1,55 1,73 1,82 0,77 1,86 -3,1 -3,37 -2,59 -3,2 -2,76 -1,57 -1,29 -3,86 -2 -2,8 1,63 1,72 1,51 1,92 2,15 0,88 1,92 1,48 1,94 1,27 -2,6 -2,72 -3,25 -2,9 -2,19 -2,25 -1,99 -2,52 -4 -2,7 2,44 2,24 2,00 2,50 1,69 2,12 0,97 1,98 1,15 0,34 -2,4 -1,43 -2,33 -2,8 -2,42 -2,48 -2,52 -3,39 -2 -1,9 1,21 3,00 2,15 1,96 2,62 1,86 2,30 1,51 1,37 1,68 -1,2 -2,69 -3,09 -2,8 -2,35 -1,83 -2,65 -2,79 -3 -2,7 7.16 7.19 0,71 1,62 1,55 1,35 1,77 1,87 2,16 1,25 0,12 3,35 4,26 -3,98 -4,36 -2,2 -2,31 0,94 2,65 -0,55 -3 -2,9 0,00 2,44 0,61 2,09 1,45 2,34 2,15 2,41 1,75 2,92 2,06 -3,27 -2,46 0,71 -2,17 1,13 -1,93 -2,32 0 0,8 25 26 1,53 -1,02 -1,99 -1,5 -2,17 1,35 -0,81 -1,15 -4 -1,5 -1,57 0,62 -0,15 0,05 -0,62 0,51 0,0 0,47 1,23 0,2 -4,7 -2,27 -1,23 -5,7 -5,04 2,31 -1,23 -1,90 -6 4,5 -1,15 0,75 -0,15 1,55 -0,38 -0,3 1,1 0,95 -0,4 1,0 3,17 -3,86 -0,98 -4,5 -2,04 1,99 -1,48 -3,34 3 1,5 -0,25 0,65 -0,55 0,64 -0,7 0,72 0,3 0,85 0,37 0,1 7.20 7.23 0,59 0,33 1,32 0,82 0,00 0,29 0,86 0,35 0,77 0,69 -0,2 4,47 -0,47 2,76 -2,59 1,35 1,3 1,8 -3,2 0 0,62 0,13 0,75 0,60 0,75 0,60 0,54 0,77 0,45 0,97 -2,5 5,79 -1,65 2,45 -0,18 0,84 0,6 4,3 -1,2 -2 0,79 1,12 0,52 0,30 0,46 0,79 0,82 1,1 0,74 0,93 -4,7 1,31 -0,11 0,33 -0,35 1,95 0,1 3,4 1,3 5 0,35 0,40 0,57 0,60 0,68 0,92 1,12 1,32 0,93 1,4 -0,2 -1,6 -2,04 0,16 -0,55 1,15 0,9 4,3 1,65 1 1,00 0,16 0,20 0,80 0,73 0,80 1,00 1,12 0,24 1,0 -3,2 2,82 -3,72 0,59 -0,85 1,13 2,3 3,5 -4,5 4 7.21 7.24 1,39 2,81 2,27 1,90 2,26 0,80 1,37 2,08 2,66 5,54 3,65 3,05 2,2 1,91 1,65 3,12 1,7 2,71 2,14 3 0,67 0,75 1,28 2,40 3,00 2,88 3,15 2,52 1,42 5,25 2,59 2,41 3,8 2,23 2,48 2,38 2,9 2,35 2,75 1 0,07 2,35 3,20 2,66 2,70 2,90 3,27 3,56 4,90 4,0 1,38 2,53 2,5 2,52 2,24 1,47 1,8 1,74 2,85 3 2,66 3,17 4,40 4,14 4,61 3,82 4,70 3,45 2,35 3,85 1,98 1,54 3,4 1,76 2,36 2,36 2,2 2,71 2,46 2 2,19 2,94 4,68 4,80 4,20 5,42 4,65 3,19 3,56 5,6 1,47 2,16 2,9 1,85 2,88 3,33 2,6 2,66 1,13 2 7.22 7.25 -1,6 1,39 -0,9 0,15 -0,9 0,27 0,4 -0,1 1,48 0,6 -0,31 0,51 -0,93 0,72 -1,04 0,11 0,05 0,12 0,13 -0,1 -0,58 1,06 -0,33 0,63 -0,21 0,1 0,2 0,15 0,95 1,1 -0,24 0,19 -0,15 0,15 -0,18 -0,39 -0,5 0,51 -1,2 0,9 27 28 -0,75 0,62 -0,03 0,37 -0,68 -0,55 0,25 1,25 0,19 1,2 1,77 3,18 2,40 3,51 3,75 4,2 3,94 4,52 4,80 4,8 -0,15 0,84 -0,17 0,09 -0,85 -0,46 1,14 0,23 -0,1 0,2 4,38 3,25 4,25 3,74 4,55 6,0 5,65 6,25 4,83 8,4 -0,07 0,34 -0,46 0,85 -0,84 -0,81 0,43 0,55 0,63 0,9 2,96 4,0 5,85 5,93 4,97 3,0 4,83 4,31 7,55 6,5 5,35 4,8 4,85 4,80 4,95 6,0 2,25 6,53 1,82 7,2 7.26 23,55 10,04 19,15 11,49 28,35 5,30 7,93 15,64 31,24 7.29 14,30 15,20 25,32 25,77 11,84 7,99 5,02 20,35 26,04 -2,03 -7,7 -0,75 2,29 -8,18 -3,9 -0,2 7,2 -3,26 -5,1 13,16 13,70 15,03 17,71 17,15 0,04 9,51 20,65 20,84 -1,95 0,42 -0,51 2,58 -4,16 2,75 -2,7 4,37 -3,17 0,0 11,46 20,84 23,66 22,15 36,44 5,24 9,02 35,20 21,15 -0,28 1,15 -0,01 1,17 -2,66 1,46 5,35 7,22 -0,54 2,9 26,04 15,90 16,67 16,20 19,75 30,5 31,1 19,15 8,81 -1,34 2,16 -1,34 6,55 -5,98 1,61 3,78 -5,7 -1,74 0,5 27,15 16,67 18,65 10,44 33,8 -4,32 0,02 -2,77 4,52 -3,78 5,02 0,62 0,41 -3,17 5,0 7.30 7.27 13,12 11,71 10,45 12,45 2,54 5,22 7,36 10,3 9,86 5,7 1,25 3,01 4,68 4,9 3,27 4,18 5,1 3,15 5,44 6,0 14,45 10,3 10,65 14,45 8,45 9,86 5,87 8,76 8,45 6,1 1,77 4,15 2,54 3,4 3,62 5,72 4,1 4,67 4,25 5,0 10,74 15,8 16,45 13,15 8,95 9,45 6,50 4,84 2,45 14 2,47 4,59 5,24 2,2 5,95 4,84 6,2 6,95 7,2 4,6 10,21 12,2 10,35 12,14 10,2 8,45 7,86 8,12 6,83 6,6 5,05 2,15 5,05 4,6 5,34 4,85 6,0 5,44 4,59 7,9 12,45 11,9 10,45 12,75 8,53 3,47 9,67 7,32 11,2 14 3,23 4,38 3,99 4,1 6,11 6,95 5,9 4,65 5,05 4,6 З А Д А Ч А № 8. 7.28 0,01 0,42 1,25 1,88 2,29 7,2 4,24 2,91 3,6 3,2 Определить по корреляционной таблице групповые средние X i и и изобразить 29 Yj их графически. Построить эмпирические линии регрессии. 30 Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость: а) вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направление связи между X и Y ; б) найти уравнения регрессии и построить их графики. 25-35 5 - - - - - 5 35-45 4 12 - - - - 16 45-55 - 8 5 4 - - 17 8.1 Данные о живом весе приведены в таблице 55-65 - 1 5 7 2 - 15 65-75 - - - - 1 1 2 Итого 9 21 10 11 3 1 55 X (кг) и молочной продуктивности Y (кг) 80 коров Y X 12591750 17502250 22502750 27503250 32503750 Итого 325-375 3 2 - - - 5 375-425 - 8 7 1 - 16 425-475 - 2 5 10 - 17 475-525 - - 13 10 7 30 525-575 - - - 7 5 12 Итого 3 12 25 28 12 80 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю молочную продуктивность коров весом 450 кг. 8.2 Дано распределение 55 однотипных предприятий по количеству выпускаемых изделий X (тыс. шт.) и полным затратам на их производство Y (млн. руб.) Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение полных затрат на производство 53 тыс. деталей. 8.3 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) Y X 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 Итого 4-8 1 3 - - - - 4 8-12 2 6 7 1 - - 16 12-16 - 1 9 16 21 10 57 16-20 - 1 - 8 4 3 16 20-24 - - - - 5 2 7 Итого 3 11 16 25 30 15 100 Y X 5080 80110 31 110140 140170 170200 200230 Итого Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 18 млн. руб. 8.4 Дано распределение 60 предприятий по величине основных промышленно-производственных фондов X (млн. руб.) и себестоимости продукции Y (руб.) 32 Используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднее значение уровня издержек обращения в магазинах с годовым объемом товарооборота 4,2 млн. руб. 8.6 Дано распределение 200 совхозов по затратам труда X (чел.-дн. на один ц зерна) и себестоимости Y (руб. за 1 ц зерна) Y X Итого 16-24 24-32 32-40 40-48 48-56 15-30 - - - - 2 2 30-45 - - 4 8 4 16 45-60 1 7 12 6 - 26 60-75 4 7 2 - - 13 75-90 1 2 - - - 3 Итого 6 16 18 14 6 60 Используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю себестоимость продукции для предприятий с основными промышленнопроизводственными фондами 65 млн. руб. 8.5 Дано распределение 50 магазинов по уровню издержек обращения X (%) и годовому объему товарооборота Y (млн. руб.) Y X 0,5-2,0 2,0-3,5 3,5-5,0 5,0-6,5 6,5-8,0 Y X 7,259,25 9,2511,25 11,2513,25 13,2515,25 15,2517,25 Итого 0,4-0,8 14 - - - - 14 0,8-1,2 22 10 - - - 32 1,2-1,6 - 38 30 10 2 78 1,6-2,0 - 6 30 12 2 50 2,0-2,4 - - 4 8 8 20 2,4-2,8 - - - - 6 6 Итого 36 54 64 30 16 200 Итого 4-6 - - - 3 2 5 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средние затраты труда на получение 1 ц зерна себестоимостью 15 р. за 1 ц. 8.7 Дано распределение 100 магазинов по величине товарооборота X (млн. 6-8 - 4 8 8 1 21 руб.) и размеру торговой площади магазина Y 8-10 2 5 5 2 - 14 10-12 3 1 5 - - 9 12-14 1 - - - - 1 6 10 18 13 3 50 1,0-1,5 33 2 Y X Итого м 100-150 180-200 200-250 250-300 300-350 Итого 4 12 2 - - 18 34 1,5-2,0 - 4 9 9 - 22 2,0-2,5 - 2 10 18 - 30 2,5-3,0 - - 4 9 11 24 3,0-3,5 - - - 3 3 6 Итого 4 18 25 39 14 100 8.9 Дано распределение детей четырехлетнего возраста по росту X (см) и весу Y (кг) Y X Используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднюю величину товарооборота магазинов, имеющих торговую площадь 220 м . 8.8 Дано распределение 100 проб руды, добытой на руднике, по содержанию окиси X (%) и закиси железа Y (%) 2 Y X 170200 200230 Итого 6 4 6 17 2 18 10 2 32 6 14 2 2 - 24 4 8 - - - - 12 - 6 3 - - - 9 5080 80110 110140 140170 40-50 - - 1 50-60 - - 60-70 - 70-80 80-90 90-100 Итого 6 10 - - 20 20 26 16 8 16,517,5 17,518,5 18,519,5 19,520,5 Итого 98-100 2 3 2 - - 5 100-102 3 6 4 - - 13 102-104 1 4 13 5 - 23 104-106 - 1 14 10 2 27 106-108 - - 10 8 5 23 108-110 - - - 6 3 9 Итого 6 14 41 29 10 100 Используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний вес детей ростом 107 см. 8.10 Дано распределение 80 совхозов по числу рабочих X (чел.) на 100 га сельскохозяйственных угодий и объему валовой продукции Y (тыс. руб.). Y X 30-70 70-110 110-150 150-190 190-230 Итого 8-16 2 3 1 - - 6 16-24 3 4 5 - - 12 24-32 - 8 16 12 1 37 6 100 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить количество окиси железа в руде, содержащей 25% закиси железа. 35 15,516,5 среднее 36 32-40 - 1 8 3 4 16 40-48 - - 1 2 6 9 24-28 2 1 8 - - 11 Итого 8 16 31 17 11 80 28-32 2 1 2 - - 5 32-36 - 2 11 6 15 34 36-40 - - 4 2 27 33 40-44 - - - 3 14 17 Итого 4 4 25 11 56 100 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний объем валовой продукции на 100 га сельскохозяйственных угодий в совхозе с 35 рабочими. 8.11 Дано распределение заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) 3200 3400 3600 3800 4000 Y X 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Итого 15-25 7 20 - - - 27 25-35 5 23 30 10 - 68 35-45 - - 47 11 9 67 45-55 - - 2 20 7 29 55-65 - - - 6 3 9 Итого 12 43 79 47 19 200 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний расход нефти при перепаде давления в 34 атм. 8.13 Распределение растений по весу Y каждого из них и по весу семян X (гс) заданы корреляционной таблицей Y X 10-20 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 52 млн. руб. 8.12 Дана корреляционная таблица результатов измерения перепада давления X (атм.) и расход нефти Y м ч в трубопроводе. 3 20-30 30-40 40-50 50-60 Итого 35-45 5 7 - - - 12 45-55 - 4 16 23 - 43 55-65 - 8 20 32 27 87 65-75 - - 11 29 2 42 75-85 - - - 9 7 16 Итого 5 19 47 93 36 200 Y X 3000- 320037 3400- 3600- 3800- Итого Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний вес семян при весе растения 32 гс. 38 8.14 Дано распределение прямоугольных плиток по длине Y (см) и по весу Итого 10 22 12 11 5 60 X (кгс) Y X 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 Итого 28,5-32,5 2 17 9 3 - 31 32,5-37,5 - 10 17 9 - 36 37,5-42,5 - 3 24 16 13 56 42,5-47,5 - - 6 24 12 42 47,5-52,5 - - 2 11 22 35 Итого 2 30 58 63 47 200 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение полных затрат на производство 34 тыс. деталей. 8.16 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю длину плитки весом 43 кгс. 8.15 Дано распределение 60 однотипных предприятий по количеству выпускаемых изделий X (тыс. шт.) Y X 40-70 70-100 100-130 130-160 160-190 Итого 20-30 6 - - - - 6 30-40 4 12 - - - 16 40-50 - 8 6 4 - 18 50-60 - 2 6 7 3 60-70 - - - - 2 39 10 15 20 25 30 35 30 2 6 - - - - 40 - 4 4 - - - 50 - - 7 35 8 - 60 - - 2 10 8 - 70 - - - 5 6 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 33 млн. руб. 8.17 Дано распределение совхозов по числу рабочих X (чел.) на 100 га сельскохозяйственных угодий и объему валовой продукции Y (тыс. руб.) X Y 125 135 11 2 2 18 12 2 2 13 1 145 155 165 175 185 195 205 1 - - - - - - 5 4 2 1 - - - - 3 8 6 5 2 - - - 40 14 - 1 5 13 10 5 1 - 8.19 Дана зависимость между относительным уровнем издержек обращения - Y (%) и объемом сбыта товаров X (млн. руб.) 15 - - 1 9 20 8 3 1 - 16 - - - 3 9 14 5 1 - 17 - - - 1 4 7 9 3 1 18 - - - - 2 3 4 6 1 19 - - - - - 1 1 2 3 X Y Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить объем валовой продукции на 100 га сельскохозяйственных угодий в совхозе с 35 рабочими. 8.18 Дана зависимость между относительным уровнем издержек обращения Y (%) и объемом сбыта товаров X (млн. руб.) 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 1,2 1 2 3 2 1 - - 1,3 1 2 4 4 2 1 - 1,4 1 2 6 7 4 3 1 1,5 1 3 6 9 7 2 1 1,6 - 1 3 6 6 3 1 1,7 - 1 2 4 5 3 1 1,8 - - 1 2 5 3 1 X Y 1 2 3 4 5 6 7 0,12 1 - - - - - - 0,13 3 1 - - - - - 0,14 - 6 1 - - - - 0,15 - 1 6 2 - - - 0,16 - - 1 9 1 - - 0,17 - - - 2 7 1 - 0,18 - - - 1 1 5 2 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение сбыта товаров при уровне издержек 4 %. 8.20 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y Используя соответствующее уравнение регрессии, значение сбыта товаров при уровне издержек 4 %. 41 оценить среднее 15 20 25 30 35 40 5 4 2 - - - - 10 - 6 4 - - - 15 - - 6 45 2 - 20 - - 2 8 6 - 42 25 - - - 4 7 4 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 28 млн. руб. 8.21 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y 24 - - 2 8 7 - 30 - - - 4 7 8 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 21 млн. руб. 8.23 Дано распределение прямоугольных плиток по длине X (см) и по весу Y (кгс) X Y 5 10 15 20 25 30 20 1 5 - - - - 30 - 5 3 - - - 40 - - 9 40 2 - 50 - - 4 11 6 - 60 - - - 4 7 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 18 млн. руб. 8.22 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y 7 12 17 22 27 10 2 4 - - - - 20 - 6 2 - - - 30 - - 3 50 - - 40 - - 1 10 6 - 50 - - - 4 7 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю длину плитки весом 18 (кгс). 8.24 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y 10 15 20 25 30 35 6 4 2 - - - - 12 - 6 2 - - 18 - 5 40 5 - 43 2 5 10 15 20 25 30 8 2 4 - - - - - 12 - 3 7 - - - - 16 - - 5 30 10 - 44 20 - - 7 10 8 - 28 - - 20 2 8 - 24 - - - 5 6 3 38 - - 5 10 6 - 48 - - - 4 7 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 33 млн. руб. 8.25 Дано распределение 100 заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (т) X Y Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение полных затрат на производство 34 тыс. деталей. 8.27 Дано распределение 103 однотипных предприятий по количеству выпускаемых изделий X (тыс. шт.) и полным затратам на их производство Y (млн. руб.) X Y 11 16 21 26 31 36 25 2 4 - - - - 35 - 6 3 - - - 45 - - 6 45 4 - 55 - - 2 8 6 - 65 - - - 4 7 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю суточную выработку продукции на заводах с объемом основных фондов 33 млн. руб. 8.26 Дано распределение 80 однотипных предприятий по количеству выпускаемых изделий X (тыс. шт.) и полным затратам на их производство Y (млн. руб.) X Y 10 15 20 25 30 11 4 2 - - - - 21 - 5 3 - - - 31 - - 5 48 5 - 41 - - 2 8 7 - 51 - - - 4 7 3 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение полных затрат на производство 34 тыс. деталей. 8.28 Дано распределение между объемом выполненных работ Y (млн. руб.) и накладными расходами X (млн. руб.) X Y 4 9 14 19 24 29 8 3 3 - - - - 18 - 5 4 - - - 45 5 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 100 - - - - 1 1 2 2 110 - - - 1 3 3 5 2 46 120 - - - 2 6 9 2 1 130 - - 1 8 14 4 1 - 140 - 1 6 15 5 2 - - 150 - 9 10 7 1 - - - 160 1 6 5 2 - - - - X Y Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средние накладные расходы для объема выполненных работ в 145 млн. руб. 8.29 Дана зависимость между относительным уровнем издержек обращения Y (%) и объемом сбыта товаров X (млн. руб.) 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 3,9 1 3 2 1 - - - - 4,0 - 1 5 2 1 - - - 4,1 - 1 3 8 4 1 - - 4,2 - - 1 2 10 3 - - 4,3 - - - 1 3 6 4 1 4,4 - - - - - 1 3 1 4,5 - - - - - - 1 2 4,6 - - - - - - - 1 X Y 1,2 2 1,23 1,2 4 1,2 5 1,26 4,1 - 4,2 1,27 1,28 - - - 1 3 1 - - 1 2 3 3 - 4,3 - - 1 6 7 1 - 4,4 - 1 3 10 2 1 - 4,5 - 1 6 5 1 - - 4,6 1 3 4 3 1 - - 4,7 1 2 1 1 - - - Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение сбыта товаров при уровне издержек 4 %. 8.30 Дана зависимость между относительным уровнем издержек обращения Y (%) и объемом сбыта товаров X (млн. руб.) 47 Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднее значение сбыта товаров при уровне издержек 4 %. 48
