сборник задач по фкс

ФГОУ ВПО «Национальный исследовательский технологический университет
«МИСиС»
Институт новых материалов и нанотехнологий
кафедра Полупродниковой электроники и физики полупроводников
СБОРНИК ЗАДАЧ
Физика твёрдого тела
авторы:
И.М.Анфимов
С.П.Кобелева
М.П.Коновалов
Ю.В.Осипов
М.Н.Орлова
Л.Г.Спицына
1
Введение.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов института новых
материалов и нанотехнологий (полупроводникового профиля) и преподавателей, ведущих
практические занятия по курсу «Электронная структура твердых тел».
В каждом разделе пособия задачи подобраны так, чтобы охватить все наиболее
важные вопросы данной темы, даны подробные решения некоторых задач.
Раздел 1. Электронная теория Друде-Лоренца
Электропроводность–способность проводить электрический ток - количественно
характеризуется величиной удельной электропроводности σ, численно выражающей
 единичной напряженности:
плотность электрического тока j в электрическом поле E
σ=
j
;
E

j=σ⋅E
(1.1)
Плотность электрического тока j определяется величиной концентрации носителей
заряда в единице объема n , их зарядом e и скоростью направления движения V d –
дрейфовой скоростью:
j=e 0⋅n⋅V d
Дрейфовая
скорость
движения
в
(1.2)
электрическом
поле
определяется
характеристическим параметром материала – дрейфовой подвижностью µ , численно
выражающей дрейфовую скорость в электрическом поле единичной напряженности:
2
μ=
Vd
E
;

V d =μ⋅E
(1.3)
Сравнивая формулы (1.1), (1.2) и (1.3), можно вывести формулу Друде для удельной
электропроводности:
σ =e 0⋅n⋅μ
(1.4)
В случае биполярной (смешанной ) проводимости, когда электрический ток создается
как электронами, так и дырками, учитывая, что концентрация электронов и дырок связаны
2
соотношением n⋅p=n i , получим:
[
]
n 2i
σ =σ n σ p =e 0 ⋅n⋅μ n e 0 ⋅p⋅μ p=e 0⋅ n⋅∣μ n∣ ⋅μ p =
n
p
n
[
ni2
=e 0⋅ ⋅∣μ n∣ p⋅μ p
p
]
(1.5)
В собственном полупроводнике n= p=ni и электропроводность равна σ i :
σ i=σ n σ p=e 0⋅ni⋅∣μ n∣ μ p =e 0⋅ni⋅μ p⋅ 1b  ,
∣μn∣
где b=
μp
(1.6)
- отношение подвижности электронов и дырок. Так как ∣μn∣ μ p , то
b1.
3
В случае примесной проводимости, когда концентрация легирующей примеси
определяет концентрацию основных носителей заряда: ( n=N Д либо p=N А ), можно
записать, пренебрегая вкладом неосновных носителей (при N Д , А >> ni ), для электронного
и дырочного полупроводника соответственно:
σ ≈σ n =e 0⋅N Д⋅∣μn∣ ;
σ ≈σ p =e 0⋅N А⋅μ p
(1.7)
Величина подвижности носителей заряда определяется процессами их рассеяния в
кристалле. Электроны и дырки участвуют в хаотическом тепловом движении со средней
тепловой скоростью V T =⟨∣V T∣⟩ , которую можно оценить по формуле:
VТ≃

3⋅k⋅T
m0
(1.8)
Где k - постоянная Больцмана, m0 - масса электрона (или дырки), а T - абсолютная
температура.
Длина свободного пробега носителя заряда
λ связана со средним временем
свободного пробега τ 0 соотношением:
λ= V Т V d ⋅τ 0 ≃V T⋅τ 0 ,
(1.9)
c учетом того, что при выполнении закона Ома всегда справедливо V d << V T .
Длины и времена свободного пробега распределены в пределах от нуля до
бесконечности. Вероятность w  t  того, что носитель заряда имеет время свободного
пробега t , выражается формулой:
4
−t
1
w  t = ⋅e 0
τ0
Выражая
дрейфовую
электрическом поле E

a =
скорость
e 0⋅E
m0

τ0
, где τ 0 =⟨t ⟩ .
через
ускорение
(1.10)
a
носителей
заряда
в
и время свободного пробега τ 0 , можно получить
формулы теории Друде, связывающие подвижность и электропроводность со временем
свободного пробега:
μ=
e 0⋅τ 0
,
m0
σ =e 0⋅n⋅μ=
e 20⋅n⋅τ 0
.
m0
(1.11)
Если рассеяние энергии, приобретаемой носителями заряда в электрическом поле на
длине свободного пробега, происходит за одно столкновение, то время установления
равновесия - время релаксации τ в системе – равно времени свободного пробега( τ =τ 0 ) и
величина τ 0 в формулах (1.11) может быть заменена на время релаксации τ . Так как
время релаксации очень мало (порядка 10−11−10−13 с ), то в качестве меры рассеяния
приводится пропорциональная времени релаксации величина - подвижность носителей
заряда μ=
e 0⋅τ
, значение которой для электронов и дырок в специально легированных
m0
материалах приведено в [1].
Температурная зависимость электропроводности полупроводников и металлов
различна:
σп
п
 T  возрастает, а σ м  T  - падает с температурой. Подвижность μ
свободных носителей заряда в нелегированных кристаллах обычно падает с температурой
5
( μ=С⋅T a , a0 ).
Концентрация
носителей
увеличивается с температурой ( n ~ e
−δ Ea
kT
заряда
nn
n
в
полупроводниках
-
, где энергия активации. В металлах –
концентрация n m носителей заряда от температуры не зависит и по порядку величины
22
−3
28 −3
равна числу атомов в единице объема ( n m≈10 см =10 м ). Поскольку рост
концентрации носителей заряда в полупроводнике с температурой происходит быстрее,
чем падает их подвижность, то в полупроводниках:
−
σ п T =σ 0⋅e
δE a
k⋅T
(1.12)
п
ЗАДАЧИ
1.1. Покажите, что если полагать время свободного пробега носителей заряда
одинаково у всех частиц и равно τ 0 , то подвижность μ=
e 0⋅τ 0
и электропроводность
2⋅m0
e 20⋅n⋅τ 0
σ=
. Если же учесть распределение по временам свободного пробега по функции
2⋅m0
−t
1
w  t = ⋅e 0
τ0
τ0
e 0⋅τ 0
e 20⋅n⋅τ 0
, то μ=
и σ=
.
m0
m0
Решение
6
Скорость дрейфа носителя заряда в электрическом поле в некоторый момент времени
t равна V t =V 0 a⋅t=0

e 0⋅E
⋅t (в предположении, что при столкновениях электрон
m0
полностью теряет энергию, приобретаемую от электрического поля). Так как по условию у
всех частиц одинаковые времена свободного пробега τ 0 , то средняя скорость дрейфа V d
на пути свободного пробега:
⟨V d ⟩=⟨V  t ⟩=
V начV кон V 0 V  τ 0 
=
=
2
2
 , то μ=
Так как V d =μ⋅E
0

e0⋅E
⋅τ

m0 0 e 0⋅E
.
=
⋅τ 0
2
2⋅m0
e 0⋅τ 0
e 20⋅n⋅τ 0
, а σ =e 0⋅n⋅μ=
.
2⋅m0
2⋅m0
Если времена свободного пробега распределяются между нулем и бесконечностью
−t
статистически по формуле: w  t = 1 ⋅e 0
τ0
τ0
, то среднюю скорость следует определять по
формуле:
∞
∞
∞
e 0⋅E 1
e 0⋅E
−t
t
−t
t
⟨V  t ⟩=∫ V  t ⋅w t  dt=∫
⋅t⋅ ⋅exp
 dt=
⋅τ 0∫ ⋅exp
d 
=
τ0
τ0
m0
τ0
τ0
0
0 m0
0 τ0
e⋅τ
 =μ⋅E

= 0 ⋅E
m0
В результате получаем: μ=
2
e 0⋅τ 0
e 0⋅n⋅τ 0
и σ =e 0⋅n⋅μ=
.
m0
m0
7
1.2. Типичное значение электропроводности металла составляет
Считая концентрацию электронов равную
28
−3
5⋅10 м
108 Ом−1 м−1 .
, оценить время релаксации
электронов по энергии.
Решение
Используя формулу (1.11) с учетом τ =τ 0 , получим σ =
τ=
e 20⋅n⋅τ
, тогда:
m0
σ⋅m0 108⋅9,1⋅10−31
=
=7⋅10−14 с≈10−13 с .
2
−19 2
28
e 0⋅n  1,6⋅10  ⋅5⋅10
1.3. Подвижность электронов в чистом германии при комнатной температуре
составляет 0, 39 м 2 В−1 с −1 . Какова длина свободного пробега электронов в решетке
германия?
Сколько
постоянных
решетки( d =5,67 Å )
электронов
проходит
без
столкновений?
Решение
Длина свободного пробега по формуле (1.9) равна λ≈V T⋅τ 0 . Оценивая тепловую
скорость
VT≃

электрона
при
комнатной
температуре
по
(1.8)

3⋅k⋅T
3⋅1, 38⋅10−23⋅300
5
−1
=
=1, 17⋅10 м⋅с ∗ , а время свободного пробега по
m0
9,1⋅10−31
величине подвижности (1.11)
τ 0=
μ⋅m0 0, 39⋅9,1⋅10−31
=
=2,2⋅10−12 c ,
−19
e0
1,6⋅10
8
получим для длины свободного пробега:
λ≃V T⋅τ 0=1, 18⋅105⋅2,2⋅10−12=2,6⋅10−7 м=2600 А̊ .
Без столкновений электрон пройдет путь
λ
d
=
2600
5,67
≈500 постоянных решетки.
1.4. Какая концентрация примеси введена в монокристалл кремния марки КЭФ-40?
(КЭФ-«кремний электронный, легированный фосфором»; цифра 40 выражает его удельное
сопротивление в Ом·см.)
Решение:
−1
−1
Используя формулу (1.7), получим ρ=σ = e⋅N Д⋅∣μ n∣ .
Концентрация
N Д=
фосфора,
то
есть
концентрация
донорной
примеси:
1
1
=
=1, 25⋅10 20 м−3 .
ρ⋅e⋅∣μn∣ 0,4⋅1,6⋅10−19⋅0,125
(использовано в системе СИ табличное значение подвижности электронов в кремнии
2
−1 −1
∣μn∣=1250 м В с
2
=0, 125 м В
−1 −1
с
).
1.5. В полупроводниках μ p ∣μ n∣ , а концентрации электронов и дырок связаны
2
соотношением n⋅p=n i . Если несколько увеличить концентрацию дырок по сравнению с
собственной, легируя кристалл акцепторной примесью, то вклад электронов в электропро-
9
водность уменьшится. Определите, при какой концентрации акцепторной примеси
электропроводность
кристалла
минимальна.
Вычислите
значение
максимального
удельного сопротивления германия при комнатной температуре.
2 −1 −1
2 −1 −1
19 −3
Дано: ∣μn∣=0,37 м В с , μ p =0,17 м В с , n i=2,5⋅10 м
Ответ: N A=ni

∣μ n∣
μp
=3,7⋅1019 м−3 , ρmax =0, 47Ом⋅м .
1.6. Докажите, что при функции распределения по временам свободного пробега
w  t =
1
−t
⋅e 0
τ0
τ0
среднее время свободного пробега
⟨ t⟩=τ 0 , в соответствующем
−x
распределении по длинам свободного пробега w  x  = 1⋅e 0
λ
λ
величина средней длины
свободного пробега ⟨ x ⟩=λ .
1.7. Каково среднее время свободного пробега дырок в чистом кремнии при
2
−1 −1
комнатной температуре, если μ p =0, 048 м В с
?
−13
Ответ: τ 0 =2,7⋅10 c .
1.8. Сколько постоянных решетки( d =5, 43 Å ) проходит электрон в чистом кремнии
при комнатной температуре без столкновений с решеткой?
Ответ: ~150 постоянных решетки.
10
1.9. Определить дрейфовую скорость электронов в металле, если плотность
электрического
тока
−2
j=1000 А⋅м
,
а
концентрация
28
электронов
−3
n=5⋅10 м
.
Выполняется ли в этом случае закон Ома? Сколько постоянных решетки проходит
электрон, дрейфуя по кристаллу, за 1 с? ( d =5 Å ).
V d =1, 25⋅10−7 м⋅с−1
Ответ:
Путь 250 постоянных решетки.
V T =1, 18⋅105 м⋅с−1 ,
1.10. Собственный германий содержит 4,5⋅1028 атомов на 1м 3 .При температуре
300 К из каждых 2⋅109 атомов один ионизован. Определите удельное сопротивление
2
−1 −1
собственного германия ( ∣μn∣=0,39 м В с
2
−1 −1
, μ p =0,19 м В с
).
Каково станет удельное сопротивление германия, если ввести в кристалл 1 атом
сурьмы на каждые 108 атомов германия?
−1
−1
ρi =4, 87⋅10 Ом⋅м =48 ,7Ом⋅см ,
Ответ:
n-тип.
ρ= ρn =3, 56⋅10−2 Ом⋅м−1=3,56 Ом⋅см.
1.11. Какова доля электрического тока, переносимого дырками
j
 j p jn  :
а) в
чистом германии, б) в чистом кремнии, в) в кремнии марки КЭФ с концентрацией фосфора
20
−3
10 м
?
Ответ: а) 33%; б) 28%; в) 5,5⋅10−7 %.
1.12. Какова энергия активации проводимости в кремнии, если при T=500 К?
Объясните связь энергии активации проводимости с шириной запрещенной зоны E g ,
изменяющейся с температурой по закону:
11
E g  T  =E g0α⋅T , E g0=1, 21 эВ .
Ответ: δE a =0, 605 эВ , δE a =
E g0
2
.
Раздел 2. Электронные состояния и движение электронов в идеальном и
реальном кристалле
Одноэлектронное уравнение Шредингера для электрона в идеальном кристалле имеет
вид:
{
−
}
2
ℏ
ΔU  r  ψ k  r  =E  k  ψ k  r 
2⋅m
(2.1)
Оператор потенциальной энергии U  r  в (2.1) – периодическая функция с периодом,
равным вектору трансляции кристалла n :
U  r  n  =U  r  ;
(2.2)
n =n 1 a 1 n 2 a 2 n3 a 3 ;

(2.3)
где a 1 , a 2 , a 3 -базисные векторы решетки кристалла;
n 1 , n2 , n 3 -целые числа, выражающие координаты атомов решетки кристалла.
Из свойства (2.2) следует, что решение уравнения (2.1) представляет волну Блоха с
периодической амплитудой ϕ k  r  :
12

ψ k  r  =ϕ k  r ⋅e i k , r
ϕ k  r  =ϕ k  r n 
}
(2.4)
удовлетворяющую условию периодичности в пространстве волновых векторов k с
периодом 2π b .
ψ k  r =ψ k 2π b  r  ,
(2.5)
где b =m1 b 1m 2 b 2 m3 b 3 –есть вектор трансляции в обратной решетке кристалла,
имеющей базисные векторы b 1 , b 2 , b3 , а координаты узлов обратной решетки m1 , m2 , m3 целые числа.
Собственные значения энергии электрона в кристалле E  k  соответствует
состояниям с волновыми функциями ψ k  r  (2.4 и 2.5) и также периодичны с периодом
2π b : E  k 2π b  =E  k  .
b 1=
где
[ a 2 a3 ] , b = [ a 3 a 1 ] , b = [ a1 a 2 ]
V
2
V
V =a
1 [ a
 2 a3 ]=a
2 [ a
3 a
1 ] = a
3 [ a
1 a
 2 ] –объем
3
V
,
элементарной
(2.6)
ячейки
решетки
кристалла.
Объем k -пространства, в котором волновая функция электрона ψ k  r  и его энергия
Е  k  совершают полный период своего изменения, называется зоной Бриллюэна, она
содержит все неэквивалентные состояния электрона.
При симметричном определении зоны Бриллюэна относительно точки k =0 границы
первой зоны Бриллюэна заданы неравенством:
13
−π bi ≤ k i π bi
(2.7)
Из выражений (2.5), (2.6), (2.7) следует, что форма и симметрия зоны Бриллюэна
соответствует форме и симметрии элементарной ячейки обратной решетки: первая зона
Бриллюэна – это элементарная ячейка в пространстве обратной решетки кристалла,
растянутом в 2π раз.
Для графического построения зон Бриллюэна можно воспользоваться правилом ячеек
Вигнера-Зейтца для решетки, обратной к данной. Для построения ячейки Вигнера-Зейтца с
центром в некоторой точке решетки (в данном случае – это некоторый узел обратной
решетки) нужно провести прямые, соединяющие эту точку со всеми ближайшими точками
решетки, после чего построить плоскости, перпендикулярные к этим прямым и делящие их
пополам, и выбрать наименьший многогранник, ограниченный построенными плоскостями
и содержащий исходную точку. Увеличив размеры этого многогранника в 2π
раз,
получим 1 зону Бриллюэна. Проводя аналогичные построения для следующих по
удаленности узлов обратной решетки, получаем вторую, третью и т. д. зоны Бриллюэна.
Объемы всех зон Бриллюэна равны между собой.
Волновой вектор κ определяет длину волны де-Бройля λ: κ = 2π /λ. Длина волны деБройля электрона в квантовомеханическом состоянии со средней энергией E — важный
параметр полупроводника. Зонная структура материала не зависит от размеров твердого
тела, если его размеры значительно превышают длину волны де-Бройля.
Основным свойством закона дисперсии E  k  электрона в кристалле является зонный
вид спектра в
k -пространстве( чередующиеся разрешенные и запрещенные зоны
энергии), что следует из решения уравнения (2.1) методами: а) квазисвободного электрона
14
(слабая связь U  r  электрона с кристаллом) и б) квазисвязанного электрона ( сильная
связь электрона с атомами кристалла).
Вводя понятие квазиимпульса р электрона в кристалле, связанного с волновым
вектором k
р=ℏ⋅
k , теория квазисвободного электрона приводит к
соотношнием
параболическому(как у свободного электрона) виду закона дисперсии E  р  =
для
k -пространства в окрестности экстремумов энергии
E 0 ( E min
или
р2
, что
2m ∗
E max
в
разрешенных зонах энергии) имеет вид:
E  k  −E 0 =
ℏ 2⋅ k − k 0 2
2m ∗
,
(2.12)
Где m ∗ –тензор эффективной массы электрона, определяемый соотношением:
[
1 d 2 E  k 
m = 2⋅
ℏ
d k 2
∗
−1
]

1 ∂2 E
, т. е. mij = 2⋅
ℏ ∂ k j ∂k i
−1

(2.13)
Поверхности постоянной энергии E  k =const в окрестности экстремумов энергии
E 0 –эллипсоиды (в общем случае) с полуосями:
ai=

2  E−E 0  mi
ℏ2
,
(2.14)
где mi –диагональные компоненты тензора эффективной массы (2.13) (тензор m∗
приведен к диагональному виду).
15
Связь зонного спектра электронов в кристалле с энергетическим спектром атомов, из
которых состоит кристалл, определяет теория квазисвязанного электрона:

E j 
k  =E aj C j ∑ A j  l  e i k , j ,
(2.15)
l
где j –номер разрешенной зоны энергий;
E aj –энергия дискретного уровня энергии с номером j для изолированного атома;
C j –средняя энергия j -х электронов в кристалле;
A j  l  –обменная энергия взаимодействия j -х электронов в атомах, находящихся на
расстоянии l ;
l –все возможные векторы трансляции в решетке кристалла, проведенные от
данного атома ко всем остальным( l принимает N-1 значений, если N- число атомов в
кристалле).
Таким образом, разрешенная зона E j  k  в (2.15) содержит N близко расположенных
подуровней энергии. Так как величина A  l  быстро уменьшается с ростом длины вектора
l , то при расчете в (2.15) достаточно вместо N-1 члена суммы
членов с наименьшим
∑
l
взять только сумму
l , соответствующими ближайшим соседним атомам
в
элементарной ячейке кристалла.
После расчета
E j  k 
по (2.15) можно, используя (2.13) и (2.14), вычислять
эффективную массу электронов и анализировать форму поверхностей постоянной энергии
16
в окрестности минимума и максимума энергии в разрешенной зоне, скорость электронов
1 dE
V= ⋅
и другие параметры.
ℏ d
k
Формулу (2.15) расчета закона дисперсии E  k  можно использовать для расчета
зонного спектра и эффективных масс в экстремальных точках функции
E  k  для
конкретных типов кристаллической решетки:
1) Простой кубической решетки,
2) Объемно-центрированной решетки,
3) Гранецентрированной решетки,
Расчетные формулы приведены с учетом вклада в
∑ Ai l ⋅e i k l
l
слагаемых,
соответствующих ближайшим соседним атомам. Получим соответствующие законы
дисперсии:
1)
E i  k  =E aj C j2A cos k x acos k y acos k z a  ,
где: E aj - уровень энергии в атоме
a - постоянная кристаллической кубической решетки
A - обменная энергия.
2)
E i  k  =E aj C j8Acos
kx a
2
cos
kya
2
cos
kz a
2
17
3)
E i  k  =E aj C j4A[ cos
kxa
2
cos
k ya
2
cos
k xa
2
cos
kza
2
cos
k ya
2
cos
kz a
2
]
n
Энергию ионизации ΔE D донорных состояний можно определить по формуле
водородоподобной модели ( n –квантовое число, n=1,2 ,3. .. ).
ΔE Dn =E c−E Dn =13,6
m∗n 1 1
 эВ
m0 ε 2 n 2
(2.16)
n
∗
∗
Энергия ΔE A акцепторных состояний находится аналогично с заменой m n на m p
–эффективную массу дырки.
По аналогичной водородоподобной модели можно рассчитать энергии экситонов локальные состояния электронов, в которых
E экс
находятся вблизи дна зоны
проводимости. Экситон рассматривается как связанная пара электрон-дырка с массой
−1
μ¿экс = m ¿n−1 m ¿p−1 
и энергией связи ΔE экс :
∗
n
n
ΔE экс
=E c−E экс
=13,6
μ экс 1 1
 эВ .
m0 ε 2 n 2
(2.17)
1 
 2
Зная энергии E экс и E экс , можно определить энергию связи экситона ΔE экс  n=1 .
4  2
E экс −E 1

экс 
3
(2.18)
E g =E iэкс ΔE экс .
(2.19)
ΔE экс =
и ширину запрещенной зоны:
18
Водородоподобная модель в кристалле для мелких локальных состояний применима,
если боровский радиус орбиты электрона в ней a б много больше постоянной решетки d
;условие
a б >> d
должно проверяться для правомерности применимости «метода
эффективной массы».
Для доноров:
a Дn =0,53
m0
0
ε⋅n 2  A  .
∗
(2.20)
mn
∗
Для расчетов a б для акцепторных или экситонных состояний нужно заменить m n
∗
∗
на m p или μэкс .
Если концентрация примеси N Д или N A настолько велика, что волновые функции
соседних примесных состояний электронов перекрываются, то локальные уровни энергии
E Д или E A в запрещенной зоне расщепляются в примесную зону, и энергия ионизации
ΔE Д  А начинает уменьшаться и может стать равной нулю(перекрытие примесной зоны с
зоной проводимости). Критическую концентрацию примеси
N Д  крит
образования
примесной зоны можно оценить, приравнивая боровский радиус H-модели примесного
состояния к среднему расстоянию между атомами примеси:
−1
 N Д  крит  
3
≃a б  Д 
ЗАДАЧИ
2.1. Найти волновую функцию и энергию электрона в свободном пространстве.
19
Решение
Уравнение Шредингера для свободного электрона получим из (2.1), положив
U  r  =0 .
ℏ2
  k  ψ k  r  .
−
Δψ k  r  = E
2m
Переписывая
2
2
это
уравнение
в
координатах,
получим:
2
∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ
2 mE
 2  2 =− 2 ψ  x , y , z  .
2
∂x
∂y
∂z
ℏ
ψ  x , y , z =C⋅e ℘ , r=C⋅e ℘1, x ℘ 2, y℘ 3, z
Искомое решение в виде
подставляем в
2
2
2
предыдущее уравнение и получаем характеристическое уравнение: ℘1 ℘ 2 ℘3 =−
∣℘∣
 2 =−
2 mE
2
ℏ

2 mE
2 mE
=±i∣k∣ .
, ℘=±i
2
ℏ
ℏ2
i k ,r
Полученное решение ψ k  r =C 1 e
−i k , r
C 2 e
- есть суперпозиция двух волн де
Бройля, распространяющихся в направлениях k и −k , имеющих одинаковую энергию
E, определяемую соотношением

2 2
2 mE 
k  = ℏ k - параболический закон
=∣
k
∣
,
т.
е.
E

2m
ℏ2
дисперсии, четная функция волнового вектора
k , непрерывный спектр энергий.
2
∣ψ k  r ∣ =const для любой из двух полученных волн де Бройля, то есть свободный
электрон с одинаковой вероятностью может быть найден в любой точке пространства.
20
2.2 Найти состояния (волновые функции и энергию) электрона, локализованного в
одномерном «потенциальном пике» с бесконечно высокими стенками: U  x  =0 для
0xa и U  x  =∞ для x≤0 и x≥a .
Решение
Внутри «потенциального ящика» уравнение Шредингера имеет вид, аналогичный
задаче 2.1(с учетом одномерности).
−
2
ℏ ∂ψ  x 
= Eψ  x  .
2m ∂ x
Локализация электрона в «ящике» требует граничных условий ψ  0 =ψ  a =0 . Ищем
решение ψ  x 
в виде линейной комбинации ψ  x  = Asin kx B cos kx . Подстановка
k 2=
решения в исходное уравнение дает
E  k =
2 mE
, откуда имеем закон дисперсии
2
ℏ
ℏ2 k 2
. С учетом граничного условия ψ  0 =0
2m
получаем В=0, учет второго
граничного условия ψ  a  =0 требует, чтобы k⋅a=πn , где n=1,2 ,3. .. - целые числа.
Тогда волновая функция должна иметь вид ψ  x  = Asin
πn
x.
a
Из условия нормировки волновой функции (внутри «ящика» с вероятностью
нахождения электрона равной 1) получим:
a
a
a


πn
1
πn
a
1=∫∣ψ∣ dx=∫ A sin
xdx=A 2∫ 1−cos 2
x dx=A2 .
a
a
2
0
0
0 2
2
2
2
21
Откуда: A=

2
.
а
Таким образом, решение имеет вид квантовых дискретных состояний:

2
πn
sin
x
a
a
ℏ2 k 2
ℏ2 π 2
ℏ2
E n=
∣ πn = 2 n2= 2 n2
2m k= a 2a m
2a m
ψ n  x=
}
Квантовое число n=1,2 ,3. ..
Если локализовать электрон в потенциальной яме, сплошной спектр энергии
ℏ 2 k2
превращается в набор дискретных уровней E n  E 1 , E 2 , E 3 ,. ..  , расстояние
E  k =
2m
между которыми увеличивается как n 2 .
Заметим, что условия этой задачи U  ±∞ =∞ отличаются от задачи об энергиях
электрона в атоме. В известной задаче квантовой механики об атоме водорода электрон
находится в потенциальной яме U  r  0 (Кулоновское притяжение), а U ±∞ =0 , т.е.
при r =∞ электрон свободен. В атоме водорода поэтому получается E n ≈
1
и уровни
n2
энергии сближаются с ростом квантового числа n и при n  ∞ спектр переходит в
сплошной.
2.3. Построить первые три зоны Бриллюэна для двумерной квадратной решетки с
базисным вектором a .
Решение:
22
Строим пространство обратной решетки, растянутое в 2π раз. Из выражения (2.6)
следует, что элементарной ячейкой этой решетки будет квадрат со стороной
2π
.
a
Выбираем за центр зоны Бриллюэна некоторый узел этой решетки и строим ячейку
Вигнера-Зейтца: строим векторы к ближайшим узлам(1- координационная сфера-кружки
на рис.2.1).
Через середины этих векторов проводим линии, им перпендикулярные(для
двумерного
случая
перпендикулярные
плоскости
заменяются
перпендикулярными
линиями). Область, заключенная между этими линиями- квадрат со стороной
2π
,
a
представляет собой 1 зону Бриллюэна.
Для построения 2 зоны Бриллюэна берем узлы второй координационной
сферы(отмечены эллипсами на рис.2.1) и выполняем аналогичные построения. Получаем
еще один квадрат, в два раза большего размера, описанный вокруг 1 зоны Бриллюэна.
Часть этого квадрата, оставшаяся за вычетом площади 1 зоны Бриллюэна, представляет
собой 2 зону Бриллюэна.
Для построения 3 зоны используем узлы 3 координационной сферы(отмечено на
рисунке треугольниками) и проведенные линии от 1 и 2 координационных сфер.
23
Рисунок 2.1. Первые три зоны Бриллюэна в двумерной кубической решётке.
2.4. Решить задачу о состояниях электрона, локализованного в трехмерной
прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, симметрично
расположенной относительно начала координат:
a
b
c
U  r =0 при ∣x∣ 2 , ∣y∣ 2 , ∣z∣ ;
2
a
b
c
U  r =∞ при ∣x∣≥ 2 , ∣y∣≥ 2 , ∣z∣≥ 2 .
2
2
2
π 2 ℏ 2 n 1 n 2 n3 n ; n ; n =1,2 ,3 , . ..
Ответ: E n n n =
   ; 1 2 3
1 2 3
2m a 2 b 2 c 2
24
ψ nr n
n
1 2 3
=ψ n  x ψ n  y ψ n  z  ,
1
3
22
33
где
ψ n ( x) =
1
{
  
  
2
cos
a
2
sin
a
πx
n , n =1,3 ,5 ,
a 1 1
πx
n , n =2,4 ,6 , 
a 1 1
а функции ψ n2  y  и ψ n 3  z  однотипны с ψ n1  x  .
2.5. Построить первые две зоны Бриллюэна для двумерной прямоугольной решетки с
базисом: а) аx=а, ау=2а; б) аx=а, ау=3а
2.6. Определить спектр энергии внутри разрешенной зоны Е( k ), ширину
разрешенной зоны и эффективную массу на дне и наверху зоны для ГЦК решетки в
приближении
квазисвязанного
электрона.
Используйте
формулу
преобразования
косинусов:
1
cos α⋅cos β=  cos α −β cos  α β 
2
Ответ:
E j  k =E aj C j4A
ak
ak
ak
ak
ak
ak
aa
0  cos x cos y cos x cos z cos y cos z 
22
2
2
2
2
2
2
ΔE jразр . =16 A a a 0 ;
22
25
ℏ2
m xx =m yy =m zz =± 2 .
8a A
Недиагональные компоненты m* равны 0.
2.7. Используя водородоподобную модель примесных состояний, рассчитайте для
арсенида галлия энергии ионизации ΔE D , A донорных и акцепторных состояний и их
∗
боровские радиусы ( m n =0, 066 m0 ; m p =0, 48 m 0 ; ε=13 ,1 ).
а) Применима ли Н-модель к примесным состояниям в арсениде галлия?
б) Какова критическая концентрация образования примесной зоны в арсениде
галлия?
Ответ: а) Применима для донорных состояний.
23 −3
26 −3
б) N Dкритич =8,6∗10 м , N Акритич =3,6∗10 м .
2.8. Из низкотемпературных спектров оптического поглощения, снятых для
кристаллов CdS, было определено, что энергия квантов света, необходимых для
1 
возбуждения экситонов в основном состоянии (n=1), равна E экс =2, 5537 эВ , а для
 2
возбуждения экситонов в состоянии с квантовым числом n=2 она равна E экс =2, 5758 эВ .
Определите по этим данным, используя формулы водородоподобной модели:
а) энергию связи экситонов ΔЕ экс
б) ширину запрещенной зоны Е g
26
∗
∗
в) эффективную массу дырок в сернистом кадмии m p ( m n =0.205 m0 , ε=8, 46 )
Ответ: а) ΔЕ экс =0,0294 эВ
б) Е g =2,5831 эВ
∗
в) m p =0,64 m0 .
Раздел 3. Статистика равновесных носителей заряда
Концентрацию электронов в зоне проводимости определяет интеграл:
Ec max
n=
∫
g c  E  f n  E ,T  dE
Ec min
,
(3.1)
где g c  E  - функция плотности состояний в зоне проводимости (определяет число
состояний, приходящееся на единичный интервал изменения энергии);
f n  E , T  -функция
распределения
электронов
по
состояниям
(определяет
вероятность того, что состояние Е при температуре Т занято электроном) выражается
функцией Ферми-Дирака:
1
f n  E , T = f Фn− Д  E ,T =
e
где энергия Ферми
F
E −F
kT
1
,
(3.2)
представляет энергию уровня, вероятность заполнения
которого равна ½.
27
Для невырожденного электронного газа можно функцию Ферми-Дирака (3.2)
приближенно заменить на более удобную в расчетах функцию Максвелла-Больцмана:
f
n 
Ф− Д
−
 E , T ∣ E −F >> kT ≃e
E −F
kT
= f Мn−Б  E , T 
(3.3)
Система электронов в зоне проводимости будет невырожденной, если выполнено
условие Ес>F+kT; аналогично для невырожденной системы дырок в валентной зоне
получим F+kT>Ev. Таким образом, в невырожденном полупроводнике уровень Ферми
находится в запрещенной зоне и не доходит, по крайней мере, на кТ до Е с и Еv. Отсюда
следует, что в невырожденном полупроводнике число электронов (дырок) должно быть
значительно меньше, чем эффективное число состояний в зоне проводимости
N c (или
N v -в валентной зоне).
Концентрации электронов и дырок можно рассчитать по формулам:
n=N c F 1/2 
F −E c
kT
; p=N v F 1/2 
E v− F
kT
,
(3.4)
∞
где F 1/2  ξ =
2
x 1/ 2 dx
–интеграл Ферми (табулирован);
∫
 π 0 e x−ξ 1
Nc и Nv –эффективные числа состояний в зоне проводимости и валентной зоне
соответственно.
N c =2 
N v =2 
2πm dn kT
ℏ2
2πmdp kT
ℏ
2
3/2 =4,831∗10 21 
mdn 3/2 3/2 −3
 T ,м ;
m0
3 /2=4,831∗1021 
mdp 3/2 3/2 −3
 T ,м ;
m0
(3.5)
28
где эффективная масса плотности состояний для электронов mdn выражается через
∗
значения компонент mL и mt тензора m n ;
3
m dn= M 2 m t2 m L ,
где М-число долин в зоне проводимости. Масса плотности
состояний для дырок mdр выражается через массы mрт и mрл тяжелых и легких дырок:
2/3
m dp= m3/рт2m3/2
.
рл 
(3.6)
Приближенные оценки (ошибка менее 3%) интегралов Ферми (3.6) в случае
невырожденного (а) и слабо вырожденного (б) полупроводника приводят к выражениям
для расчета n и p:
{
{
−
Ec−F
}
}
а  N c e kT ,−∞F E c−3 kT
n≃
;
Nc
б  Ec−
, E c −3 kT F E c 1,3 kT
F
e kT 0, 27
−
F −Ev
а  N v e kT , ∞F E v 3 kT
p≃
;
N
б  Fv− Ev
, E v 3 kT  F E v −1,3 kT
e kT 0, 27
(3.7)
(3.8)
Решение уравнения электронейтральности в собственном полупроводнике (n=p) дает
выражение для уровня Ферми F i  T  (для невырожденного полупроводника).
F i  T =E v 
E g T  kT N v
E T  3 kT mdp

ln
=E v  g

ln
.
2
2
Nc
2
4
mdn
(3.9)
Концентрация электронов в собственном полупроводнике ni:
29
Eg  T 
−
2 kT
n i  T = N c N v e
−
= AT 3/2 e
Eg 0
2 kT
=4, 831∗10 21 
mdn mdp
m20
−
3 /4 T 3/2 e
Eg 0αT
2kT
 м−3 =
(3.10)
;
21
где А=4, 831∗10 
mdn mdp
m02
3/ 4

−
e
α
2k
 м−3  ;
E g  T = E g0 αT - линейный вид температурной зависимости ширины запрещенной
зоны;
E g0 –экстраполированное к нулю температур по линейному закону значение
ширины запрещенной зоны, α=
dE g T 
dT
0 .
По температурной зависимости собственной концентрации носителей заряда ni(T)
можно найти ширину запрещенной зоны, а именно ее параметр Еg0.
E g0=−2k
d  ln ni T −3/2 
.
d  1/ T 
(3.11)
В примесном полупроводнике, содержащем легирующую примесь одного типа
(например, донорную с концентрацией ND , с энергией ионизации ΔE D и фактором
вырождения g), зависимость концентрации основных носителей (в данном случае
электронов) имеет обычно три области: 1-ионизации примеси; 2-плато концентрации
(n=ND), где вся примесь истощена (ионизована полностью); 3-собственной проводимости,
где ni>>ND и поэтому n=ni . (см. рис 3.1)
30
.Рис.3.1. Температурная зависимость концентрации электронов вдонорном
полупроводнике.
Для расчета концентрации неосновных носителей заряда (в данном случае - дырок)
2
используется соотношение np=ni (в невырожденном полупроводнике), откуда:
p  T =
Вычисление
концентрации
n 2i T 
.
n T 
носителей
заряда
(3.12)
и
положение
уровня
Ферми
выполняется с помощью условия электронейтральности, имеющего для донорного
полупроводника вид:
n= pN D = p p D ,
(3.13)

где N D = p D –концентрация ионизованных доноров или дырок на донорном уровне;
31
ND
p D=
ge
F− E D
kT
(3.14)
1

Для областей 1 и 2 выполняется соотношение p << N D , поэтому (3.13) переходит в
n≃ p D , а так как в области 2 N D = N D , то для области 2 получим n=ND (плато
концентрации).
В области 1 получим:
ΔE D

N c N D − 2 kT
;
n T =
e
g
F T =E c −
(3.15)
ΔE D kT
N

ln D
2
2
gN c
(3.16)
Для расчета n(T) в переходных областях: а) от 1 к 2 и б) от 2 к 3 можно использовать
соответственно:
n 1и2 =
n  2и3 =
2N D

N
ΔE D
1 1 4g D exp 

Nc
kT
ND
2

1 14
n2i
N 2D

;
(3.17)
(3.18)
Для вычисления критических переходных температур Т 1 и Т 2 можно использовать
условия:
32
1) Для Т 2
n  T 2 =n∣F =Ed =
(температура истощения примеси) из 3.17 следует по условию:
Nd
,
g 1
Откуда:
−
Nce
ΔE d
kT 1
=
Nd
g 1
(3.17А)
2) Для Т 2 (температура перехода к собственной проводимости) из 3.18 следует
условие
n  T 1 = p  T 1 N d , которое при равном вкладе собственной и примесной
проводимости дает выражение:
n i  T 1 =  2 N d
Расчетные
формулы
(3.13-3.18)
аналогично
(3.18A)
могут
быть
представлены
для
акцепторного полупроводника. Если в полупроводник введены оба типа примеси (и
доноры, и акцепторы), то такой полупроводник называется скомпенсированным. Степень
компенсации определяют величиной отношения меньшей концентрации к большей. Так
для частично скомпенсированного n – типа степень компенсации:
k n=
NA
1
ND
(3.19)
Для частично компенсированного р–типа:
k p=
ND
1
NA
(3.20)
33
При полной компенсации N D= N A , но это условие оказывается весьма трудно
достижимо практически. Реально мы всегда имеем дело с частично компенсированными
полупроводниками с той или иной степенью компенсации. В случае частично
компенсированных полупроводников на плато концентрации (область 2 на рис. 3.1)
получаем
n=N D− N A
(n-тип) или
p=N A− N D
(р-тип). Для области 3, где
полупроводник практически собственный, все остается по-прежнему. А в области 1
применяются две расчетные формулы в зависимости от степени компенсации:
ΔE D

N c  N D− N A  − 2 kT
при k n << 1
n=
e
g
N  N −N A  −
n= c D
e
gN A
ΔE D
kT
при k n ~ 1
(3.21)
(3.22)
При повышенной концентрации основной легирующей примеси полупроводник
может оказаться вырожденным. Из (3.16) видно, что с увеличением N D при низких
температурах, пока величина N c 
ND
 N c≈T 3/2  , может получиться F −E c kT . Если
g
принять, что критическая концентрация примесного вырождения N Dкритич соответсвует
условию E=F c , то для N Dкритич получим:
N Dкритич  м−3 =10 28,5 
m dn 3/ 2
  ΔE D 3/2
m0
(3.23)
Соответствующая этому условию температура:
m 0 N D , м−3 2/3
T ∣F =F max =8, 15


mdn 1024
(3.24)
34
Вычисление положения уровня Ферми  F  в полупроводниках n− или p− типа
проводимости в зависимости от температуры и концентрации носителей заряда  n или p  ,
определенных из формул (3.17) и (3.18) ( или аналогичных этим в случае расчета p  T  ), а
также из другого набора формул, указанных на рис 3.1 в различных температурных
интервалах, можно провести в соответствии с формулами (3.7) или(3.8).
n-тип:
E c −F T =k 0 T ln
N c T 
;
n T 
(3.25)
p-тип:
F T −E v=k 0 T ln
N v T 
.
p T 
(3.26)
Эти расчеты соответствуют невырожденным полупроводникам (формулы) в пунктах
а) для (3.7) и для (3.8).
В случае слабого вырождения (практически это можно примерно оценить при
приближении значении n 0 T 0 =N d ~ N c  T 0  или p 0 T 0 =N a ~ N v T 0  .
В случаях сильного  F−E c5k 0 T  или  E v− F >> 5k 0 T  можно найти положение
уровня Ферми из формул:
p-тип:
E v−F
p=N v
3  π k0 T
4
3 /2
 
n-тип:
F −E c
n=N c
3 π k 0T
4
;
(3.27)
.
(3.28)
3/2
 
ЗАДАЧИ
35
3.1. Постройте графики функций распределения Ферми-Дирака и МаксвеллаБольцмана на одном чертеже, откладывая на оси абсцисс величину энергии, отсчитанную
от уровня Ферми в единицах к 0Т. При каком положении уровня Ферми ошибка от замены
f Ф− Д = f М − Б будет менее 5%?
Решение:
Используя формулы (3.2) и (3.3), составим таблицу.
E−F
kT
−
f М − Б =e
E −F
kT
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
20,085
7,389
2,718
1
0,368
0,135
0,0498
0,953
0,881
0,731
0,5
0,269
0,119
0,0474
2007,5
738,7
198,7
50
36,8
13,4
5,1
1
f Ф− Д =
e
E−F
kT
1
∣ f Ф− Д − f М −Б∣
,%
f Ф− Д
Рис. 3.2. График функций распределения f Ф− Д  E , T  и f М − Б  E ,T 
36
При E−F 3 kT ошибка менее 5%.
3.2. Холловские измерения показали, что собственная концентрация носителей заряда
при температуре 300 К составляла 2,34*10 19м-3, а при Т=400 К ni=1,6*1021м-3. Какова
ширина запрещенной зоны этого полупроводника? Из какого материала сделан образец?
Решение:
−3/ 2
= f  1/T  должна быть
В соответствии с (3.10) графиком функции ln  ni T
прямая линия с тангенсом угла наклона к оси абсцисс: tg ϕ =−
E g0
. Для прямой линии
2k
величина производной в формуле (3.11) может быть найдена как отношение конечных
приращений. Тогда:
21
E g0=−2k
Δ ln n i T
Δ  1/T 
−3/2

ln
=−2∗8. 62∗10−5
1. 5
1,6∗10 ∗300
2,34∗1019∗4001,5
=0, 785 эВ
1 /400−1 /300 
E g0 =0.785 эВ. Это германий, так как E g  T = 0, 785−4,2∗10−4 T  эВ .
3.3. Рассчитайте собственную концентрацию и положение уровня Ферми в i-Si при
температуре Т=300 К.
−4
( m dn=1,08 m0 ; m dp=0, 59 m0 ; E g T = 1, 206−3,8∗10
T  , эВ ).
Решение:
В соответствии с (3.10) и (3.9) получим:
37
21
n i  300 =4, 831∗10 1, 08∗0,59 
=3,1∗10 22 300 1,5 exp −
0,75
∗300
1,5
3,8∗10−4
1, 206
exp
 exp−
=
−5
2∗8, 62∗10
2∗8,62∗10−5∗300
6995 ,4
=1,2∗10 16 м−3 ;
T
−4
1, 206−3,8∗10 ∗300
0, 59
0, 75∗0,026 ln
=E V 0,546−0, 012=
2
1, 08
=E V 0, 534 эВ .
F i  300 =E V 
3.4. В образце германия марки ГЭС-0,1 измеренное при Т=300 К значение
подвижности основных носителей получилось равным 0,37 м2В-1с-1. Каковы в нем
концентрации электронов и дырок и положение уровня Ферми?
Решение:
Марка материала ГЭС-0,1 означает, что это “германий электронный, легированный
сурьмой”, с удельным сопротивлением ρ=0,1 Ом*см=10-3 Ом*м. По формуле ДрудеЛоренца (1.7) получим:
n=
σ
1
1
=
= −3
=1,7∗10 22 м−3 .
−19
eμ n ρeμn 10 ∗1,6∗10 ∗0,37
Концентрация дырок по (3.12) и (3.10):
0
n2i 1
mdn mdp 0,75 −α2k − Eg
21
2kT 2
p= =  4,831∗10  2
 e
e
=
n n
m0
0, 785
= 1,7∗10 22 −1  1, 76∗10 22∗300 1,5 exp−
2 =
−5
2∗8,62∗10 ∗300
22 −1
19 2
16 −3
= 1,7∗10   2, 34∗10  =3,2∗10 м .
38
Положение уровня Ферми из (3.7,а) и (3.5) можно определить:
Nc
=0, 026 ln 1,7∗10 22 −1∗4, 831∗1024∗
n
1,5
 0,56  ∗ 300 1,5 =0,167 эВ.
E c−F =kT ln
3.5 В монокристалл антимонида индия введена акцепторная примесь-цинк, с
концентрацией NA=1021м-3 и энергией активации
Δ E A =0, 008 эВ . Какая концентрация
дырок и уровень Ферми будут в этом образце при температуре жидкого азота (Т=78 К)?
Решение:
Для расчета концентрации основных носителей заряда необходимо знать, на каком из
участков 1, 2 или 3 (рис. 3.1) температурной зависимости ln p= f 
1

T
находится точка Т=78 К. Вычислим значение температуры Т 1=Тi (температура начала
истощения примеси) и Т2=Т3 (температура перехода из области плато концентрации к
собственной проводимости).
1) Расчет Т2. Если выбрать в качестве критерия для определения Т 2 условие ni(T2)=NA,
то температура Т2 дает точку пересечения двух зависимостей p=ni(T) и p=NA, но эта точка
не лежит на графике lnp=f(1/T), а находится ниже его. Правильнее будет исходить из
уравнения электронейтральности, которое в окрестности Т2 должно иметь вид:
p(T2)=NA+n(T2).
Так как в области 2 p=NA (n<<NA) и в области 3 p=n=ni (NA<<n), то в качестве
критерия перехода от 2 к 3 области можно выбрать Т 2, при которой NA=n(T2), тогда
39
получим: p(T2)=NA+NA=2NA. В соответствии с (3.18) для дырок в точке Т 2 можно записать:
p  T 2 =
учетом
NA
2

 1 1
(3.10)
4n 2i  T 2 
N 2A
=2N A , что можно преобразовать к виду N A=ni T 2 /  2. С
для
10 21=  2 −1∗4,831∗1021 
заданных
mdn mdp
0,75 T 1,5
2 exp 
m20
=  2 −1∗5, 76∗1020 T 1,5
2 exp−
условий
задачи
можно
записать:
ΔE
α
exp − g0 =
2k
2 kT 2
0, 258
.
2∗8, 62∗10−5 T 2
Это уравнение приводится к виду:
1,5 ln T 2 =0, 8982
1496 ,5
T 2 , откуда Т2=210 К.
2) Расчет Т1. Выберем в качестве критерия условие, что при Т=Т 1 уровень Ферми
пересекает уровень ЕА. Тогда аналогично (3.14) получим:
NA
p  T 1 =n A=
2e
E A− F
kT
1
∣F =E = N A
3
A
1
Сравнивая полученный результат с аналогичной для дырочного полупроводника
формулой (3.17), получим:
2N A
1
p  T 1 = N A =
, что преобразуется к виду:
3
1 18N A / N V exp  ΔE A /kT 1 
40
3= N A / N V  exp ΔE A /kT 1  , подставляя Nv(T1) в соответствии с (3.5), по заданным
условиям
3=
получим:
10 21
4,831∗10 21 
mdp 3/2 3/2
 T1
m0
exp 
0,008

2∗8, 62∗10−3 T 1 .
Упрощая, получим при mdp=0,18m0:
0,1015+1,5lnT1=46,404/T1, откуда Т1=12,1 К.
Так как заданная в условии температура Т=78 К, то 12,1<T<210 К, что соответствует
области 2, где p=NA=1021м-3.
Положение уровня Ферми найдем по (3.8,а).
F −E V =kT ln
NV
p
=8, 62∗10−5∗78 ln
4, 831∗10 21 0, 181,5∗7,81,5
=3,7∗10−2 эВ .
21
10
3.6. При какой концентрации фосфора кремний марки КЭФ будет вырожденным?
Какой температуре соответствует T ∣F max ?
(mdn=1,08m0, Δ ED=0,044 эВ).
Решение:
28 ,5
1,5
1,5
26 −3
По выражению (3.23) N Dкритич =10  1, 08  0, 044  =3,3∗10 м .
По (3.24) T ∣F max =8,5 1, 08−1 
3,3∗10 26 2/3
 =360 K .
1024
41
3.7. Сравните ошибку в определении функции распределения δf =
ошибку при оценке концентрации
δn=
∣ f Ф− Д  f М −Б∣
и
f Ф− Д
∣nФ− Д nМ − Б∣
, получаемую при использовании
nФ− Д
формул для невырожденного полупроводника ( n М − Б , f М − Б ), если F=Ec.
Ответ: Завышение значений на δf =100%, δn =30,7%.
3.8. По измерениям эффекта Холла обнаружено, что в собственном германии при
Т=400 К концентрация носителей заряда 1,38*1021 м-3. Полагая, что для ширины
запрещенной
зоны
справедлива
зависимость
Eg(T)=(0,785-4*10-4T)эВ,
найдите
произведение масс плотности состояний mdpmdn=?
Ответ:
mdp m dn
m20
=0, 208 .
3.9. При нагревании в собственном антимониде индия уровень Ферми сдвигается к
зоне проводимости, так как mdn<mdp (mdn=0,013m0, mdp=0,18m0). Найдите, при какой
температуре Твыр наступит собственное вырождение (F=Ec), какова при этом будет
концентрация электронов и дырок?
Ответ: Твыр=464,5 К; ni=5,5*1022 м-3.
Указание: Используйте при расчете ni таблицу интегралов Ферми или формулу
(3.7,б).
42
3.10. 1) Рассчитайте концентрацию электронов и дырок и положение уровня Ферми в
кремнии КДБ легированном бором до концентрации NB=1023 при комнатной температуре
(300 К) и температуре Т=200 К.
2) Как изменятся эти величины, и какова будет степень компенсации, если в этот
кристалл ввести компенсирующую примесь фосфора до концентрации Np=9*1021 м-3?
Энергия ионизации бора в кремнии Δ E A=0, 045 эВ , m dp=0, 59 m 0 .
Ответ: 1) При Т=300 К, р=1023 м-3, n=1,4*109м-3.
F∣300=E V 0, 122 эВ (0,122 эВ).
Т=200 К, р=1023м-3, n=3,2*10-2м-3.
F∣200=E V 0, 069 эВ .
2) При Т=300 К, р=9,1*1022 м-3, n=1,58*109м-3.
F∣300=E V 0, 013 эВ .
Т=200 К, р=9,1*1022м-3, n=3,5*10-2м-3.
F∣200=E V 0, 071 эВ .
Степень компенсации Кр=0,09<<1. Заданные точки Т=300 К и Т=200 К находятся в
случаях 1) и 2) на плато концентрации дырок.
43
3.11. Рассчитайте долю легких дырок от полной их концентрации в Ge и Si?
Изменится ли эта величина при изменении температуры или уровня легирования
(полупроводник невырожден)?
Ответ:
pл
pл
100 =5 Ge  ;
100 =17  Si  .
рл рT
рл рT
3.12. Определить температурный интервал области плато истощения примеси для
арсенида галлия, легированного цинком с концентрацией NA=1021. Энергия ионизации
атомов цинка Δ E A =0, 08 эВ , ширина запрещенной зоны в арсениде галлия изменяется по
−4
закону: E g  T = 1,519−
2
5, 45∗10 T
эВ .
T 204
Какова концентрация дырок и электронов в этом материале при Т=300 К.
Ответ: 60 К<T<785 K.
p=1021м-3, n=5,9*103м-3.
3.13. Найдите критические концентрации вырождения NDкритич
и NАкритич для
антимонида индия, считая величины mn=0,013m0, mp=0,6m0, независящими от уровня
легирования, а энергии ионизации примесей Δ E D=0, 0007 эВ , Δ Е А=0,002 эВ .
Ответ: NDкритич=8,7*1020м-3,
NАкритич=1,3*1024м-3.
3.14. Сколько фосфора надо добавить в кремний марки КДВ-0,1, чтобы удельное
электросопротивление увеличилось в 10 раз?
44
Указание: задача имеет два решения — компенсация с сохранением типа
электропроводности и компенсация со сменой типа электропроводности.
Ответ:N1 = 1,34 1017 см-3 (материал n-типа); N2 = 1,17 1017 см-3 (материал p- типа).
Раздел 4. Процессы в полупроводниках, содержащих избыточные концентрации
Δn и Δ p .
В полупроводнике, находящемся в состоянии термодинамического равновесия при
температуре T, существуют равновесные концентрации электронов n 0 T 
и дырок
p 0 T  , обусловленные примесной и собственной тепловой генерацией носителей заряда.
При внешних воздействиях(облучение светом, быстрыми частицами, воздействие
сильного электрического поля, и т.д.) в полупроводнике нарушается баланс между
процессами генерации и процессами рекомбинации носителей заряда(межзонные переходы
электронов или переходы с участием локальных уровней в запрещенной зоне). Это
приводит к возникновению неравновесных концентраций электронов
n=n 0 Δ n и дырок p= p0 Δ p ( Δ n , Δ p -избыточные концентрации), величина
которых зависит от времени.
Для количественного описания процессов, связанных с генерацией и рекомбинацией
неравновесных
носителей
заряда
в
полупроводниках
используются
уравнения
непрерывности:
∂n
1
=Gn −R n − div j n  ;
∂t
e
(4.1)
45
∂p
1
=G p −R p − div  j p  ;
∂t
e
(4.2)
Где G , R - эффективные скорости генерации и рекомбинации носителей заряда,
а последние слагаемые в выражениях (4.1), (4.2) учитывают изменение концентраций
электронов и дырок в результате протекания тока в полупроводнике.
Если плотность тока в полупроводнике равна нулю, то при включении внешнего
возбуждения
концентрация
носителей
заряда
увеличивается.
Закон
изменения
концентрации во времени можно определить из решения уравнений (4.1) и (4.2):
∂n ∂  Δn 
=
=G n −R n .
∂t
∂t
(4.3)
Δn
Если рекомбинация линейная, то скорость рекомбинации Rn = τ
n
определяется
временем жизни электронов τ n , которое, а) является постоянной величиной при низком
уровне возбуждения( Δ n << n0 ), б) в общем случае зависит от величины избыточной
концентрации Δn . Решая уравнение (4.3) относительно избыточной концентрации
электронов, получим:
Δ n t =G n τ n  1−e
−t
τn
.
(4.4)
После выключения внешнего возбуждения преобладают процессы рекомбинации, и
концентрация электронов уменьшается, стремясь к своему равновесному значению.
Если основным механизмом рекомбинации является межзонная рекомбинация, то
скорости рекомбинации электронов и дырок и их избыточные концентрации одинаковы:
46
Rn =R p =γ  np−n 0 p 0  , ∆n = n – n0 = ∆p
(4.5)
где γ - коэффициент межзонной рекомбинации.
При высоком уровне возбуждения ( n 0 , p 0 << n, p ) и тогда R -квадратичная функция
избыточной концентрации:
R≈γ Δ n2 .
При низком уровне возбуждения ( Δ n , Δ p << n0 , p 0 ) в полупроводнике p-типа:
R≈γ Δ n p0
Δ n  t  =Δ n 0  exp−
t
1
 , τ n=
τn
γp 0 ;
(4.6)
t
1
 , τ p=
τp
γn 0 .
(4.7)
В полупроводнике n-типа:
Δ p  t  =Δ p  0 exp−
В случае предельно высокого уровня возбуждения ( Δ n , Δ p >> n0 , p 0 ) (квадратичная
рекомбинация) закон изменения избыточной концентрации неэкспоненциален:
Δ n  t =
Δ n  0
.
1γ⋅Δ n c ⋅t
(4.8)
При наличии в запрещенной зоне полупроводника локальных уровней, связанных с
дефектами кристаллической решетки, рекомбинация избыточных носителей заряда
осуществляется путем их захвата локальными центрами. В простейшем случае
47
невырожденного полупроводника с одним типом рекомбинационных уровней с энергией
E t , концентрация которых N t существенно меньше концентраций свободных носителей
заряда(модель Холла-Шокли-Рида):
Rn =R p =
γ n γ p  n⋅p−n0⋅p 0 
;
γ n  n 0 n 1Δ n γ p  p 0  p 1Δ p
τ n =τ p =τ n0
p 0 p1 Δ p
n n Δ n
τ p0 0 1
;
n0  p0 Δ n
n0  p0 Δ n
(4.9)
(4.10)
1
1
где τ n0= γ N , τ p0 = γ N -время жизни электронно-дырочных пар при низком
n t
p
t
уровне возбуждения в полупроводниках p- и n-типах соответственно;
γ n=S n v T , γ p =S p v T - коэффициенты захвата электронов и дырок;
S n , S p -сечения захвата электронов и дырок локальными центрами;
vT =

n 1=
E −E C
E −E t
1
1
и g
N C exp t
 , p 1= gN V exp V
 - с точностью до множителей
g
g
kT
kT
3 kT
- средняя тепловая скорость свободных носителей заряда;
m0
концентрации электронов и дырок при совпадении уровня Ферми с уровнем E t ;
g -фактор вырождения рекомбинационного уровня.
ЗАДАЧИ
48
4.1. Свет падает на тонкую полупроводниковую пластинку, генерируя свободные
электроны со скоростью G n=10 23
м−3
с
22 −3
. Концентрация электронов в темноте n 0 =10 м
. Каково время жизни электронов, если проводимость пластин увеличилась на 0,1%?
Решение:
Согласно формуле (4.4) при освещении концентрация свободных электронов
увеличивается и при t >> τ n достигает стационарного значения Δn ст =G n τ n .
Проводимость пластины в темноте и при освещении можно представить в виде:
σ 0 =en0 μ n ;
σ =en μn =e  n 0 Δn ст  μ n .
Тогда отношение проводимостей:
G τ
σ n0  Δn ст
=
=1 n n .
σ0
n0
n0
Для времени жизни электронов получим:
n
σ
1022
−1 0 =10−3⋅ 23 =10−4 c .
σ0
Gn
10
 
τ n=
4.2. В полупроводниковом кристалле под действием импульса света с длительностью
Δ t >> τ n возникает равномерно распределенная по объему избыточная концентрация
20
−3
Δ n=10 м
. Считая, что уровень возбуждения невысок и рекомбинация межзонная,
49
определить время жизни τ n и скорость генерации G n , если известно, что через 3⋅10−6 c
после выключения света избыточная концентрация уменьшилась в 10 раз.
Решение:
При низком уровне возбуждения после выключения освещения ( t=0 ) избыточная
концентрация уменьшается по экспоненциальному закону (4.6). Поэтому:
Δ n  0
t
=exp   ;
τn
Δ nt
−6
τ n=
t
3⋅10
=
=1,3⋅10−6 c
.
Δ n  0  ln 10
ln
Δ nt
Нарастание избыточной концентрации после включения света в момент времени
t=0 определяется выражением (4.4):
−t
τn
Δ n  t  =G n τ n  1−e  .
Учитывая, что длительность импульса света Δ t >> τ n , в стационарных условиях(
t  ∞ ) получим:
Δ n ст=G n τ n ;
G n=
−3
Δ nст 10 20
25 м
=
=7,7⋅10
.
τn
с
1,3⋅10−6
50
18 −3
4.3. В полупроводнике p-типа имеются рекомбинационные центры с N t =10 м
и
локальным уровнем
Et
вблизи середины запрещенной зоны. Измерения времени
показали, при низком уровне возбуждения
−7
τ n =10 c , а при предельно высоком
τ n =3⋅10−7 c . Определить коэффициенты и сечения захвата электронов и дырок при
T=300K.
Решение:
В модели Холла-Шокли-Рида время жизни электронно-дырочных пар определяется
по формуле (4.10). При низком уровне возбуждения в полупроводнике p-типа с
рекомбинационном уровнем вблизи середины запрещенной зоны:
p 0 >> Δ n , Δ p , n 0 , n1 , p 1 ;
τ 0 ≃τ n0=
γ n=
1
γn N t ;
1
1
м3
= −7 18 =10−11
.
τ 0 N t 10 ⋅10
с
При высоком уровне возбуждения:
Δ n , Δ p >> n0 , p 0 , n1 , p 1 ;
τ ∞=τ n0τ p0=
γ p=
1
1

γn N t γ p N t ;
3
1
1
−12 м
= 18
=5⋅10
.
N t  τ ∞ −τ n0  10 ⋅2⋅10−7
с
51
Теперь легко определить сечение захвата, полагая m∗n =m∗p=m0 :
S n=
S p=
γn
γ
10−11
= n =
≃8,6⋅10−17 м 2
−5
vT
;
3 kT 1,17⋅10
m0

γp
vT
=
γp

3 kT
m0
=
5⋅10−12
≃4,3⋅10−17 м2
−5
.
1, 17⋅10
4.4. В полупроводниковой пластине под действием света происходит однородная по
объему генерация избыточных электронов. В момент времени t=0 свет выключается.
Определить время жизни электронов τ n и значение избыточной концентрации Δ n в
момент
времени
19
−3
Δ n  0  =10 м
t 1=10−3 c ,
если
известно,
что
уровень
, начальная скорость уменьшения концентрации
возбуждения
∂n
=−1023
∂ t 0 
низкий,
м−3
с
.
−4
14 −3
Ответ: τ n =10 c , Δ n  t 1  =4,5⋅10 м .
−5
4.5. В момент времени t 1=10 c после включения равномерной по объему образца
генерации электронов избыточная концентрация
19
−3
Δ n t 1 =10 м
, а при
t >> τ n
достигает значения Δ n=1020 м−3 . Считая, что уровень возбуждения низкий, определить
скорость генерации и время жизни электронов.
Ответ: G n=1, 05⋅10 24
м−3
с
, τ n =9,5⋅10−5 c .
52
4.6. В полупроводниковом образце избыточная концентрация электронов в момент
выключения
22
возбуждения
−3
Δ n  0  =10 м
.
Определить
коэффициент
межзонной
рекомбинации, если известно, что в момент времени t=10−6 c избыточная концентрация
уменьшилась в два раза  Δ n >> n 0  .
Ответ: γ =10−16
4.7.
В
м3
с
.
образце
n-Ge
22
−3
( N d =10 м , Δ Ed =0,01 эВ )
имеются
простые
18 −3
рекомбинационные центры с N t =10 м , E t =E c−1 эВ . При T=300K и низком уровне
−4
инжекции τ p =10 с . Определить сечение захвата дырок.
−20
Ответ: S p =5⋅10
2
м .
4.8. В образце n-Ge избыточные носители заряда рекомбинируют через просты
N t =10 17 м−3 , расположенные в верхней половине
рекомбинационные центры с
запрещенной зоны. Определить положение рекомбинационного уровня, если известно, что
−5
−6
τ  300 K  =10 с , τ  200 K =3⋅10
−16
S p =10
c , уровень возбуждения низкий, сечение захвата дырок
2
см не зависит от температуры.
Ответ: E t =E C −0, 09 эВ .
Часть 5: Подвижность носителей заряда.
Рассеяние носителей заряда в полупроводниках.
При действии внешних сил (электрические и магнитные поля, градиенты
температуры или давления т.д.) на твердые тела, содержащие свободные носители заряда
53
(электроны и дырки), возникают различные кинетические явления, связанные с переносом
электрического заряда (плотность тока j ) и переносом энергии (плотность потока энергии
w
 ).
Это
эффекты
электропроводимости,
теплопроводности,
термоэдс,
гальваномагнитные, термомагнитные и др. эффекты.
При измерении свойств полупроводниковых материалов, характеризующих эти
эффекты, чаще используются постоянные поля, и в кристалле за очень короткое время
(порядка
времени
релаксации) устанавливается
стационарное
состояние,
которое
соответствует равнодействию ускоряющих внешних сил и процессов рассеяния носителей
заряда. Обобщенное время релаксации τ  к  является постоянной спада для зависимости

Δf  r , 
k , t = f  r , 
k ,t  − f 0  
k =[ f  r , 
k ,0 − f 0  
k  ]⋅exp−t / τ  k  , где
f  r , k , t  -неравновесная
функция распределения по состояниям электронов (или дырок), а
f 0 -равновесная
функция (т.е. функция Ферми-Дирака).
Все
физические
параметры
полупроводниковых
материалов
(удельная
электропроводимость, коэффициент Холла, термоэдс т.п.) связаны с характеристиками
рассеяния. В расчетных формулах это связь с подвижностями электронов
 μ p ,
 μn 
и дырок
которые выражаются через усредненные по энергии с учетом переноса вдоль
действия внешних сил времени релаксации: для электронов- ⟨τ n ⟩ и для дырок- ⟨τ p ⟩ , а
∗
∗
также массы проводимости: для электронов- m nc и дырок- m pc :
μn =
e 0 ⟨ τ n⟩
m∗nc
;
μ n=
e 0 ⟨τ p ⟩
m∗pc
(5.1)
Здесь e 0 =1.6.10-19 Кл – заряда электрона.
54
Масса проводимости для электронов:
[
m∗nc=
1 −1
m 2m−1
t 
3 l
−1
]
,
(5.2)
Где ml -продольная компонента, а mt - поперечная компонента тензора эффективной
∗
массы электронов m n .
Масса проводимости для дырок, как правило, скалярная величина и при решении
∗
задач достаточно хорошим приближением является равенство для дырок m pc ≃m pt , где
∗
m pt - эффективная масса «тяжелых» дырок.
При скалярной массе электронов (что соответствует прямозонным полупроводникам)
∗
∗
получим m nc=mn .
Наибольший вклад при вычислении подвижности дают два механизма рассеяния:
а) Тепловые колебания решетки (т.к.р.) – «фононное» или «решеточное» рассеяние и
б) рассеяние на ионах примеси (главным образом, это ионы легирующих примесей (и.п.)).
Вероятность рассеяния на единице пути задается обратной длиной свободного
пробега λ−1 .
При независимом действии различных механизмов рассеяния суммарная длина
свободного пробега λ общ вычисляется по формуле:
1
λобщ
=∑
i
1
1
1
≈

λi λt . k . p. . λ u . n. .
(5.3)
55
В теории рассеяния для статических рассеивающих центров (ионы примесей,
нейтральные атомы примеси, дислокации, дефектно-примесные комплексы и т.п.) оценка
λ i дается через интегральное сечение рассеяния S i и концентрацию центров рассеяния
Ni :
λ i= S i N i −1
(5.4)
Для рассеяния на ионах примесей (и.п.) теория Конуэлл-Вайскопфа (К.-В.) дает
формулу:
S u . n .=πb 2max =
π −2/3
N
4
(5.5)
где b- т.н. прицельное расстояние, равное половине среднего расстояния между
ионами примеси с концентрацией N.
Тогда получим для вычисления λ и . п. формулу:
λ u . n.=
π −2/3 −1 4 −1/ 3
N
N = N
4
π
(5.6)
Для рассеяния на тепловых колебаниях решетки (т.к.р.) в рамках элементарной
теории электропроводимости можно принять приближенно равенство обобщенного
среднего времени релаксации ⟨τ ⟩ и времени свободного пробега τ 0 ; например, для
электронов:
⟨ τ n ⟩=
μ n⋅m∗nc
;
e0
τ 0n ≃
λ
,
V tn
(5.7)
56
Откуда:
λ t . k . p.≃V tn ⟨ τ n ⟩
(5.8)
Для оценки средней тепловой скости достаточно полагать: V tn ≃

3 kT
.
m ∗nc
Приводимые в справочниках для различных полупроводников эмпирические данные
о температурной зависимости подвижностей для электронов μn  T  и для дырок μ p  T  в
виде «решеточной» подвижности:
μT . K . P .  T  =μ  300 
Позволяют найти (с учетом V ~ T
t
1
2
a
 
T
300
(5.9)
) зависимость λ T . K . P .  T  в виде:
 
T
λ T . K . P .  T = λT . K . P .  300 
300
a
1
2
(5.10)
Уравнение, полученное по формуле (8.3) для равного вклада механизмов рассеяния
(t.к.р.) и (и.п.) с учетом (8.6) и (8.10) имеет вид λ и . п.  N и . п. =λ t. k . p.  T  , то есть:
−1
 
4
T
N и . п.3 = λt . k . p .  300 
π
300
a
1
2
(5.11)
Задавая значение температуры кристалла Т из уравнения (5.11) можно получить
критическую концентрацию ионов N и . п . кр . , соответствующую положению «ступеньки»
57
подвижности на кривых μобщ .  N и . п.  при T=const. (критической концентрации ниже
которой рассеянием на ионах примеси можно пренебречь).
Задавая значения Nи.п. в кристалле (по условию задачи) и решая уравнение (5.11)
относительно T, можно найти значение Тmax на оси температур для зависимости
подвижности от температуры типа «колокол» подвижности для функции μобщ .  Т  при
Nи.п.=const. .
Если выполнена оценка величины Tmax, то значение μmax  T  = μобщ  T max  можно
оценить по формуле:
1
μmax  T  = μ T . K . P .  T max 
2
(5.12)
где µt.k.p.(Т) можно взять в соответствии с (2.9) из справочных данных.
1
μ общ
≈
1
μ t . k . p.  T 

1
μ и. п .  Т , N и . п. 
(5.13)
Для вычисления подробного хода графиков µобщ(Т) – «колокол подвижности» и
µобщ(Nи.п.) – «ступеньки подвижности» можно воспользоваться общей теорией рассеяния на
ионах примесей Брукса-Херринга (учтено экранирование кулоновского взаимодействия
ионов примеси и свободных носителей заряда).
μ Б .− Х .  Т , N и . п .=

3. 68⋅10
N и . п.
20
     [ 
2
1 ε
T
⋅ 2⋅
⋅
16
100
z
3
2⋅
m∗c
0 . 434⋅β 2Б .− Х .
log  1 β 2Б .− Х . −
m0
1 β 2Б .− Х .
−1
]
(5.14)
58
 
∗
18
m
Где: β Б .− Х .= ε ⋅ Т ⋅ c ⋅ 2. 08⋅10
16 100 m0
n

(5.15)
Или упрощенной формулой по теории Конуэлл-Вайскопфа (без учета эффекта
экранирования):

μ К .−В .=
3. 68⋅10
N и. п .
20
     [
2
1 ε
T
⋅ 2⋅
⋅
100
z 16
3
2⋅
m∗c
log  1 β 2К .−В . 
m0

1 ε T 2 . 35⋅1019
где β К .−В .= ⋅ ⋅
z 10 100
N и . п.
−1
]
(5.16)
1

3
(5.17)
Расчет вклада рассеяния на т.к.р. ) можно приближенно провести по эмпирическим
справочным зависимостям типа (5.9) для электронов (или дырок).
ЗАДАЧИ.
5.1.Максимальная подвижность электронов в полупроводнике наблюдается при 300 К
и равна 1500 см2/В*с. Чему будет равна подвижность в этом материале при 500К и 150 К?
2
2
Ответ: μn  500=1149 см / В⋅с ; μn  150=943 см / В⋅с
5.2. Методом эффективной длины свободного пробега определить температуру
максимума подвижности в кремнии КЭФ 20.
Ответ: 298 К.
59
5.3. Методом эффективной длины свободного пробега определить предельную
концентрацию примеси в кремнии n и p типа при комнатной температуре, при которой
будет доминировать механизм рассеяния на длинноволновых акустических фононах.
Ответ: 2* 1014 см-3 .
5.4. Максимальная подвижность электронов в полупроводнике равна 500 см 2/Вс.
Чему будет равна подвижность в этом материале, если концентрация ионизированной
примеси увеличится в 10 раз?
5.5. В полупроводнике подвижность дырок при рассеянии на ионах примеси равна
2000 см2/Вс, а при рассеянии на акустических фононах - 3000 см 2/Вс. Определить полную
подвижность и время релаксации по импульсам, если m* =0,56 m0 .
5.6. На образце в виде диска Корбино измеряется сопротивление. Сопротивление
возросло на 5% в магнитном поле 2,0 Тл. Рассчитать величину подвижности материала,
если измеряли германий марки ГЭС 0,1.
Указание: доминирующий механизм рассеяния определить, используя формулу (5.11)
Ответ: μd =0, 83
м2
В⋅с
Часть 6: Кинетические явления в полупроводниках.
Кинетические явления – это явления переноса свободными электронами (дырками)
при действии внешних полей заряда и энергии, приобретаемой в этих полях. В этом
разделе рассматривается действие электрического поля E , магнитной индукции B и
60
градиента температуры ∇ T , а также совместное действие различных комбинаций этих
полей.
Рассматриваются стационарные (то есть при действии постоянных внешних полей)
кинетические
явления,
которые
описываются
количественно
через
удельные
характеристики – коэффициенты.
Эти коэффициенты определяются свойства («способность») полупроводниковых
материалов в отношении различных кинетических явлений:
σ - удельная электропроводность; j=σ⋅E ,
1.
где j- плотность электрического тока в электрическом поле E .
χ - удельная теплопроводность; ϖ =− χ ∇ T ,
2.
где ϖ -плотность потока тепла при градиенте температур ∇ T .
α Т - дифференциальная термоэдс; E α =α Т ∇ Т ,
3.
где E α - термоэлектрическое поле, возникающее в кристалле при градиенте
температуры ∇ Т .
4.
R H - коэффициент Холла; E H = R H [ B , j ] ,
где E H - холловское электрическое поле, возникающее в кристалле,
плотность
электрического
тока,
B-
магнитная
индукция
j-
(условие
возникновения эффекта Холла: j⊥ B ).
5.
протекании
H - коэффициент магнитосопротивления, возникающего в кристалле при
электрического
тока
в
поперечном
магнитном
поле
В;
61
Δρ В =ρ В − ρ0 =
ρВ− ρ0
=HB 2 , где
ρ0
ρ0 - исходное удельное сопротивление,
ρB - при
действии магнитного поля B .
6.
E
E
AE - коэффициент Эттингсгаузена; ∇ T = A [ j⋅B ] ,
где ∇ T E - градиент температур Эттингсгаузена, возникающий (совместно с
эффектом Холла) при протекании электрического тока
j , и действии
перпендикулярной магнитной индукции B .
Выше перечислены кинетические явления, для которых представлены примеры
расчетов и задачи, касающиеся практического применения этих дефектов. Приведем
основные расчетные формулы, полученные при решении кинетического уравнения
Больцмана.
6.1. Электропроводность.
Чаще в задачах электропроводность и ее тип задается (или определяется
экспериментально). В общем случае проводимость полупроводников – биполярна, то есть
суммируются вклады электронов и дырок (обычно - учитывается вклад только «тяжелых»
дырок): σ =σ n σ p .
σ T =e n T  μn  T e p  T  μ p  T 
(6.1)
Вклад первого и второго слагаемого в формуле (6.1) должен быть оценен отдельно в
соответствии с условием легирования полупроводника (сколько и какой легирующей
примеси введено в кристалл). В разделе 1 предполагалось, что задача рассчитывается в
условии «плато» концентрации основных носителей заряда ( n=N d или p=N p и т.д.).
62
а) В этом разделе требуется произвести оценку положения точки n T  или p  T  на
 
10 3
графике ln n= f
T
 
10 3
(или ln p= f
), как это показано в разделе 3.
T
б) Требуется также оценить значения μn  T  (или μ p  T  ) в соответствии с вкладом
действующих механизмов рассеяния, как это показано в разделе 5.
1
1
1
=

μ общ  Т  μ ТКР Т  μи . п Т 
Подвижности носителей заряда ( μп
и
(6.2)
μ р ) связаны с временем релаксации
соотношением:
μn =
e τn
eτp
, μ p=
mnc
mp
(6.3)
В выражении (6.3) использовано значение m nc - «эффективная масса проводимости»
∗
для электронов, которая просто равна m n - эффективной массе (если она скалярная
величина) и задается выражением:
1
2
1
=

mnc m nt mnl
}
(6.4)
m nt - поперечная m∗n ; m nl - продольная m∗n .
6.2 Расчеты термоэдс.
Интегральная термоэдс U ТЭДС между точками 1 и 2, температура в которых Т 1 и Т2 ,
равна:
63
Т2
U ТЭДС =∫ α Т  αТ
(6.5)
Т1
Если α  Т  - слабое зависит от температуры, и можно считать α  Т ≈ const, то:
U ТЭДС =α  Т 1 −Т 2 =α⋅∇ Т
Если
термоэлектрическая
цепь
составлена
из
(6.6)
пары
веществ,
имеющих
дифференциальные термоэдс α 1 и α 2 , то получим относительную термоэдс α 1,2 :
α 1,2 =α 2 −α 1
(6.7)
Для вычисления интегральной термоэдс U 1,2 в термоэлектрической цепи, для которой
разность температур в контактах (1-2) и (2-1) составляет Δ Т =Т 2−Т 1 , получим формулу:
U 1,2=α 1,2⋅Δ Т ,
(6.8)
которая справедлива при слабой зависимости при слабой зависимости α 1 и α 2 от
температуры (или при небольшом перепаде температур Δ Т ).
В случае монополярной проводимости в полупроводнике n- типа
α п <0, а в
полупроводнике р- типа α р >0.
Если полупроводник невырожден, то применима формула Писаренко:
α р Т =
{
}
k0 5
N T 
 pln v
, p=N A
e0 2
p T 
(6.9)
64
α n  Т =−
{
}
k0 5
N T 
 pln c
, n=N D
e0 2
n T 
(6.10)
Если величины р  Т  или n T  при «высоких» температурах «уходят» с плато
концентрации, то следует применять формулу для смешанной проводимости:
α  Т =
α р σ р −∣α n∣σ n
σ p σ n
(6.11)
В формулах (6.9) и (6.10) величина р- число, определяется из анализа механизма
рассеяния носителей заряда. Для рассеяния на тепловых колебаниях решетки (Т.К.Р):
р=−1/2 ; для рассеяния на ионах примеси (и.п): р =+ 3/2 .
В полупроводнике р- типа (основные носители дырки, а концентрация электронов
n T =
n 2i T 
. Тогда в общем случае для полупроводника р- типа (смешанная
p T 
проводимость):
α p e0 p T  μ p T −∣α n∣e0
α p T =
n 2i
μ T 
p T  n
2
n T 
e 0 p  T  μ p i
μ T 
p T  n
k 5
N  T  p T 
где∣α n∣= 0  pln 2c
,
e0 2
ni  T 
{
α p=
{
}
}
k0 5
N
 pln v
.
e 2
p T 
,
}
(6.12)
На графике температурной зависимости α р Т  в соответствии с (6.11) есть область
температур, где α р - монополярна ( α р σ р >>∣α n∣σ n ) и положительна.
65
В точке T инв , где α р σ р =∣α n∣σ n величине α р Т =0 и далее с ростом температуры Т,
делается отрицательной величиной и переходит в область собственной проводимости, где
п= р=пi . Тогда в собственном полупроводнике получим:
α ip α in b
1b
μ T 
b= n
,
μpT 
k 5
N T 
α ip = 0  pln v
e0 2
ni T 
α i Т =
{
α in =−
{
}
k0 5
N T 
 pln c
e0 2
ni T 
}
(6.13)
}
В случае сильно вырожденных полупроводников и металлов термоэдс можно
рассчитать по формуле:
2
π2 k T
α≈− ⋅ 0 ,
3 en F
(6.14)
где F- положение уровня Ферми относительно Ес (а n- типе) или Еv (в р- типе).
−6
Из формулы (6.14) можно получить оценку термоэдс металла: ( α м ~ 10
BK −1 ), что
значительно меньше, чем в невырожденном полупроводнике α п /п ~  10−3 −10−4  BK −1 .
Поэтому в термоэлектрической цепи, составленной из полупроводника и металла можно
считать:
α 1,2 =α м  Т −α п/п  Т ≈α п /п
(6.15)
Эффективность использования конкретного материала для термопреобразователей
задается параметром эффективности Z:
66
α2 σ α2
Z=
=
χ
ρχ
,
(6.16)
Где: α - термоэдс, σ - электропроводность, χ - теплопроводность.
Эффективность Z1,2 для термоэлектрической пары веществ 1 и 2 задается выражением:
α
Z=
[    ] [    
1,2 2
χ1
σ1
1/2
χ
 2
σ2
1/2 2
=
χ1
σ1
α 2 −α 1
1/2
χ
 2
σ2
1/2
]
(6.17)
6.3 Эффект Холла.
Рассмотрим эффект Холла в образце в форме «длинного» параллелепипеда с
размерами ( l : a :в ); обычно это соотношение соответствует (10:3:1), что позволяет считать
эквипотенциальные поверхности в области холовских контактов - плоскими.
67
L
b3245al 1
6
контактах (2-6) или (3-5) можно изменить холловскую разность потенциалов U H ; на
контактах (2-3) или (6-5) – при выключенном магнитном поле можно измерить разность
потенциалов U σ - для определения удельной электропроводности (аналог двухзондового
измерения удельного сопротивления). U σ =U 2,3=U 6,5 =Iρ
L
,
ab
1
I L
σ= = ⋅
ρ U σ ab
(6.18)
При включенном магнитном поле В, получим:
Е Н = RH [ B j ]  E H = R H B
I
BI
BI
 E H a=r H
U H = R H

ab
b
b
 RH =
UH
BI
(6.19)
b
Теория эффекта Холла дает выражение для коэффициента Холла RН :
2
2
r pμ p −nμn
RH=
¿
e  pμ nμ 2
p
n
(6.20)
68
Множитель r H - «холл-фактор» учитывает механизмы рассеяния носителей
заряда выражается через усредненные времена релаксации и принимает значения:
1)
Для невырожденных полупроводников в слабых магнитных полях при рассеянии на
акустических фононах, при рассеянии на ионах примеси ( μ Н В << 1 ):
r akф=
2)
3)
3π
315 π
≈1,18 , r и . п=
≈1,93 ;
8
512
(6.21)
Для «сильных» магнитных полей ( μ Н В >> 1 ):
r H ≡1 ;
(6.22)
r H =1
(6.23)
Для сильно вырожденных полупроводников:
Соответственно, в случае монополярной проводимости р- типа для коэффициента
Холла RHP получим:
R HP =+
rH
ep
R H  n =−
rH
en
(6.24)
(6.25)
В случае собственной проводимости имеем n= pn=n i и для коэффициента Холла
получим:
69
r H μ2p −μ 2n
μ
r μ p −μ n r 1−b
=
=
b= n
,
где
{ R H i  = e n
2
e 0 n i μ p μ n en i 1b
μp
0 i  μ p μ n 
 
(6.26)
Так как μn  μ p , то b1 и R H i 0 .
Так как с ростом температуры полупроводники и n- и p- типа переходят в область
собственной проводимости, то для температурной зависимости R H  Т  в образце р- типа в
соответствии с (6.25) получим уравнение для определения температуры инверсии знака
R H  Т  : R H  Т инв ≡0 .
pμ 2p =nμ 2n
Преобразуя для р- типа выражение (6.27) получим с учетом  n=
(6.27)
μn
n2i
и b=
):
μp
p
p  T инв =b T инв ⋅n i  T инв 
Для полупроводников А3В5 обычно выполняется условие b=
(6.28)
μn
>> 1 и, поэтому в
μp
соответствии с (6.28) получим p  T инв ≈ N A , т.е. T инв << T соб и точка инверсии попадает в
область «плато» концентрации, а коэффициент Холла RH для некоторой температуры Тmax
(Тсоб>Tmax>Tинв) приобретаем максимальное значение RH(max).
Можно получить величину холловской подвижности для электронов:
R Hn⋅σ n =
rH
e nμ n =r n μn = μ Hn
en
(6.29)
Аналогично для монополярной дырочной проводимости:
70
R Hp⋅σ p =
rH
ep
(6.30)
e pμ p =r p μ p = μ Hp
Таким образом, результаты измерений эффекта Холла и электропроводимости на
одном образце позволяет определить концентрацию носителей и их подвижность.
Величина произведения: μ Н В=tg ϕ n , где ϕ n - холловский угол. В случае малых
холловских углов, магнитное поле считается слабым, то есть выполняется условие:
μ Н В << 1
(6.31)
6.4 Магнитосопротивление (магниторезистивный эффект).
Эффект магнитосопротивления состоит в увеличении электросопротивления образца,
если при протекании электрического тока с плотностью j
действует перпендикулярно
магнитная индукция B , то есть ( j⊥ B ).
Коэффициент магнитосопротивления H
(называемый «коэффициентом Корбино»)
вводится соотношением:
Δρ B
=H ,
(6.31)
ρ B − ρ0
=HB 2
ρ0
(6.33)
ρ 0 B2
Или в другой форме:
Если наблюдать эффект магниосопротивления в образце, имеющем форму «длинного»
параллелепипеда
(см.раздел
«эффект
Холла»),
то
одновременно
с
эффектом
магнитосопротивления будет возникать частично компенсирующий его эффект Холла.
71
Сила Холла F H =e E H ( где E H - поле Холла) будет уравновешивать силу Лоренца
F л=е 0 [ ВV d ] , где V d - дрейфовая скорость носителей заряда. Распределение свободных
носителей заряда по скоростям имеет максимум в окрестности
V =V d . Более
«медленные» и более «быстрые» носители заряда будут продолжать отклоняться в разные
стороны перпендикулярно электрическому току и создавать градиент температуры ∇ Т Е
( эффект Эттингсгаузена). Таким образом вклад в магнитосопротивление дает та же доля
носителей, которая определяет эффект Эттингсгаузена. Расчет показывает, что отношение
E
эдс Эттингсгаузена U E=α T ΔT к эдс Холла U H составляет весьма малую величину (
≈10-4). В теории магниторезистивного эффекта анализируются две различные формы
образцов: 1) параллелепипед, и 2) диск Корбино, в котором электрический ток течет (по
направлению
или
против
радиусов),
а
магнитная
индукция
В
направлена
перпендикулярно плоскости диска, т.е. вдоль его оси.
При такой геометрии образца, которая была названа «диск Корбино», эффект Холла не
возникает (точнее по окружностям диска текут токи Холла, а эдс- равна нулю).
Таким
образом
исключается
действие
эффекта
Холла
на
эффект
магнитосопротивления. Это отражают расчетные формулы:
а) Для диска Корбино:
2
Н =Сμd
, где C=
⟨τ 3 ⟩
.
⟨τ ⟩ 3
(6.34)
При рассеянии: на т.к.р: (С-А2)=0,38
на и.п.: С=
15 π
=5, 90
8
72
б) Для образца- «длинного» параллелипипеда:
H =C −A2  , где C=
⟨τ3⟩
⟨ τ 2⟩
A=
=r H
;
⟨ τ ⟩3
⟨ τ ⟩2
(6.35)
При рассеянии: на т.к.р: (С-А2)=0,38
на и.п.: (С-А2)=2,98
Численные значения величин С и (С-А 2) найдены для условия «слабых» магнитных
полей: μ2 В 2 << 1.
Проводимость образца предполагалась монополярной (т.е. расчет проведен для n- или
р- типа с учетом вклада только основных носителей заряда).
Рассмотрим эффект магнитосопротивления в диске Корбино в случае смешанной
проводимости (в условиях «слабого» магнитного поля μВ << 1 ).
Обозначим характеристики различных носителей заряда (например: электронов
и
дырок, то есть легких и тяжелых) индексом α . Тогда для «слабых» магнитных полей
получим:
∑σαНα
Н=
α
∑ σα
(6.36)
α
Если формулу (6.36) записать для случая смешанной проводимости (один тип
электронов и один тип дырок), то получим:
Н=
C р рμ 3 −C n nμ
р
pμ p −nμn
n3
=
Cp μ 3p 1xb 3
1 xb3
=H p
pμ p 1xb
1xb
73
Здесь обозначения:
C p =C n =
⟨ τ 3p ⟩
⟨τ p ⟩
, x=
3
H p= μ 2 C
p
2
p =μ p
μ
n
, b= n
p
μp
⟨τ 3p ⟩
(6.37)
⟨ τ p ⟩3
¿}¿
¿¿
При этом итоговая формула:
H =H p

1xb 3
1 xb

(6.38)
Температурные зависимости кинетических эффектов.
Ln n
n=ni
n=ND2
ND2>ND1
n=ND1
103/T
103/Tсоб
103/Tист
Ln σ
ND2>ND1 (или NA2>NA1)
σ=σi
«2»
«1»
103/Tсоб
103/Tист
Ln |RH|
n-тип
103/T
ND2>ND1
103/Tсоб
«1»
«2»
103/Tист
74
103/T
NА2>NА1
Ln |RH|
p0=(p2>p1)
p – тип
«1»
«2»
103/Tсоб
103/Tист
α
103/T
Монополярная
Смешанная
«1»
NA1
*)–Область действия
формулы Писаренко
p – тип
NА2>NА1
NA2
*)
Tист
Tинв
αi(T)
T
ЗАДАЧИ.
6.1. Размеры образца для измерения эффекта Холла 5*1*5 мм 3. Индукция магнитного
поля - 1 Тл. Определить напряжение Холла в образце марки КДБ 20 при протекании тока
1мА.
Ответ: U Холла =4,6 В
75
6.2. На образце в виде диска Корбино измеряется сопротивление. Рассчитать, во
сколько раз возрастет удельное сопротивление образца КЭФ 0,1 в магнитном поле 2,5 Тл
при комнатной температуре.
Ответ:
ρB
=1,1
ρ0
6.3. Размеры образца электронного кремния для измерения эффекта Холла 2*1*6 мм 3.
Индукция магнитного поля - 2 Тл. Напряжение Холла в образце при протекании тока 10
мА - 50 мВ. Рассчитать концентрацию электронов.
Ответ: n=9,4⋅10 21 м−3
6.4. Размеры образца для измерения эффекта Холла 2*2*6 мм3. На образец подается
напряжение 0,2В. Напряжение Холла в поле 1,5 Тл 150 мВ. Рассчитать холловскую и
дрейфовую подвижности.
2
2
Ответ: μ х=160 см / В⋅с ; μ d =83 см / В⋅с
Часть 7: Оптические явления.
Спектральная объемная плотность энергии равновесного излучения абсолютно
черного тела согласно распределению Планка равна:
ρ v =
8 πν 2 hvn3
1
⋅ hv
3
c
e kT −1
(7.1)
где n-показатель преломления.
76
Рис.7.1. Схематическое представление условий возникновения спонтанного (а) и
вынужденного (б) излучениях и поглощения (в).
Формула Эйнштейна:
A g 1 B 12
ρ v =

e
B 21 g 2 B 21
E2−E1
kT
−1−1 ,
где А - коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, 
(7.2)
dN 2
dt
сп =−АN 2 .
В-коэффициент Эйнштейна для индуцированного поглощения.
B 21=B12  g 1 / g 2  ,
(7.3), (7.4)
A/ B 21=8πv 2 n3 v /c 3
Выражения (7.3) и (7.4) носят названия первого и второго соотношения Эйнштейна.
Вероятность индуцированных переходов:
3
W 21=
3
Ac
c
ρ v =
ρ v 
2 3
2 3
8πv n hv
8πv n hv τ сп
(7.5)
77
Для получения электролюминесценции необходимо, чтобы в процессе протекания
тока увеличивалась концентрация неравновесных неосновных носителей заряда (инжекция
ННЗ). Этот процесс идет эффективно в прямосмещенном p-n-переходе, когда приложенное
напряжение превышает контактную разность потенциалов. Для того, чтобы концентрация
основных носителей заряда при этом не уменьшалась, используют гетеропереходы двух
типов-с потенциальными ямами для электронов в n области или дырок в р области
(рис.7.3). При этом для носителей противоположного знака не должно быть препятствий
для инжекции. Излучение в таких структурах наблюдается в узкозонной части p-n
гетероперехода.
Таблица 7.1. Зонные параметры основных полупроводниковых материалов.
χ ,
Eg,
Материал
эВ
0
а, А
эВ
Si
1,12
4,01
5,431
Ge
0,66
4,13
5,658
GaAs
1,43
4,07
5,654
InP
1,26
5,34
5,869
InAs
0,36
4,90
6,057
InSb
0,17
4,59
6,479
GaP
2,20
4,30
5,451
GaSb
0,73
4,06
6,095
AlAs
2,16
2,62
5,659
AlSb
1,65
3,65
6,136
78
CdS
2,4
4,8
GaN
3,5
3,5
4H-SiC
3,24
3,23
3C-SiC
4,0
2,36
2H-SiC
3,20
3,33
6H-SiC
3,44
3,0
8H-SiC
3,57
2,86
15R-SiC
3,39
3,06
27R-SiC
3,33
3,13
ЗАДАЧИ.
7.1. Рассчитать долю вынужденного излучения с энергией квантов света, равных
ширине запрещенной зоны GaAs (1,45 эВ) при комнатной температуре в состоянии
теплового равновесия.
Ответ: η=5,14⋅10−3
7.2. Рассчитать максимальную энергию акустических фононов и число фононов с
этой энергией в кристаллах германия при 300 К. Характеристическая температура Дебая
равна 374 К.
Ответ: Е=0,032 эВ , N =9, 23⋅1015 см−3
79
7.3. Построить диаграмму p-n перехода системы p-GaAs (Ev - F = 0.1 эВ)- n-AlAs (F=E
c
-0.2 эВ)при нулевом и прямом смещении, равном 1.2ϕк . Можно ли использовать такой
гетеропереход для изготовления СИД и почему?
Ответ: Такую пару можно использовать для создания эффективного СИД, т.к. в p
области при прямом смещении образуется потенциальная я мА для дырок, при этом
инжекция электронов из n области осуществляется беспрепятственно.
7.4. Внутренний квантовый выход люминесценции определяется отношением
вероятности излучательной рекомбинации к сумме вероятностей излучательной и
безизлучательной
рекомбинации.
Определить
внутренний
квантовый
выход
люминесценции в сульфиде кадмия для различных центров излучательной рекомбинации,
если безызлучательное время жизни неравновесных носителей составляет 5*10 -9 с,
излучательные переходы наблюдаются при рекомбинации на свободных и связанных
экситонах. Время жизни свободных экситонов
10-5 с, связанных на нейтральных
акцепторах – 10-9 с, на нейтральных донорах – 5*10-10 с. Какой канал люминесценции
наиболее эффективен?
Ответ: η i=0, 91 , наиболее эффективна люминесценция на нейтральных донорах.
7.5. Вольт-амперная характеристика освещенного фотодиода задается формулой:
I=1,8*10-6 exp(eU/kT) – 4 1010 (A). Рассчитать величину сопротивления нагрузки, при
котором потребляемая от такого фотоэлектрического преобразователя электрическая
мощность будет максимальной.
Ответ: R=1, 95 Ом
80
7.6. Определить максимальную толщину образца, при которой освещение светом с
коэффициентом поглощения α= 50 см-1
создает однородную по объему генерацию
(интенсивность света на выходе из образца не менее 90% интенсивности на входе).
−2
Ответ: x max =1,05⋅10 см
7.7. Рассчитать энергию оптических фононов и число фононов с этой энергией в
кристаллах GaAs при 300 К. Характеристическая температура Дебая равна 408 К.
−3
22
−3
Ответ: E опт . фон.=0, 035 эВ⋅см ; N =1, 41⋅10 см
7.8. Рассчитать величину максимальной фотопроводимости в кремнии n типа (время
жизни неосновных носителей заряда 10 мкс) при освещении светом с коэффициентом
поглощения α= 200 см-1 и интенсивностью I = 1012 см-2 с-1 .
−6
−1
−1
Ответ: Δ σ max =1,15⋅10 Ом ⋅см
.
81