Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
Тема 6.
Линейные уравнения и неравенства.
Линейным уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестная переменная
находится в первой степени.
Пример: 6𝑥 + 12 = 7 или 4(2 − 3𝑥) = −7𝑥 + 10.
Любое линейное уравнение нужно привести к виду 𝑎𝑥 = 𝑏, а затем число 𝑏 разделить на число
𝑎. Получившийся результат и будет решением уравнения.
Как это всё сделать? Работаем по алгоритму.
Пусть дано уравнение 4(2 − 3𝑥) = −7𝑥 + 10.
Раскрываем скобки: 8 − 12𝑥 = −7𝑥 + 10
Шаг 1. Раскрыть скобки, если они есть.
Шаг 2. Перенести неизвестные в левую
сторону, а известные в правую. Другими Было: 8 − 12𝑥 = −7𝑥 + 10
словами, иксы с иксами, числа с числами. При Стало: −12𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8
переносах обязательно меняем знаки.
Шаг 3. Привести подобные слагаемые.
Было: −12𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8
Стало: −5𝑥 = 2
Шаг 4. Находим икс.
Было: −5𝑥 = 2
Стало: 𝑥 = 2 ∶ (−5)
𝑥 = −0,4
Есть дробные линейные уравнения. Их по возможности стараемся решить пропорцией. Ну или
можно привести к общему знаменателю, если так легче.
𝑥−5
=5
𝑥−9
𝑥−5 5
=
𝑥−9 1
𝑥 − 5 = 5𝑥 − 45
Любое число можно
представить в виде дроби со
знаменателем 1.
𝑥 − 5𝑥 = 5 − 45
−4𝑥 = −40
𝑥 = 10
1(𝑥 − 5) = 5(𝑥 − 9)
Линейные неравенства решаются точно также, только используются знаки неравенств.
Различия – это изменение знака неравенства при делении или умножении на отрицательное
число и решением является промежуток, а не что-то конкретное, как в уравнении.
Решим два неравенства:
3𝑥 + 18 > 0
3𝑥 > −18
𝑥 > −18: 3
𝑥 > −6
Здесь ничего не меняется, т.к. делим на
положительное число 3.
На числовой прямой отмечаем все значения
иксов, которые больше -6:
−3𝑥 + 18 > 0
−3𝑥 > −18
𝑥 > −18: (−3)
𝑥<6
Здесь знак поменялся, т.к. делим на
отрицательное число -3.
На числовой прямой отмечаем все значения
иксов, которые меньше 6:
−6
6
Ответ: (-6; +∞)
Ответ: (-∞; 6)
1
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
Линейные уравнения.
𝟏) 6𝑥 + 18 = 0;
𝟒) 2(7 + 9𝑥) = −6𝑥 + 2;
𝟐) 6 + 3𝑥 = 4𝑥 − 1;
𝟑) − 1 + 2𝑥 = 10𝑥 + 3;
𝟓) 9 + 2(2𝑥 + 1) = 1;
𝟔) (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 8)2 .
Дробные уравнения, сводящиеся к линейным.
𝟏) 𝑥 +
𝑥
3
= 8;
𝟒) 8 + 𝑥 =
𝟐) 𝑥 +
𝑥+2
7
;
𝟓)
𝑥
12
=−
13
4
10
5
=− ;
𝑥+6
3
;
𝟑)
𝟔)
2
𝑥
8
+
11
𝑥−5
𝑥
7
=− ;
6
3
=
5
𝑥 − 11
.
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
Линейныe неравенства.
1. Укажите решение неравенства
−3 − 𝑥 ≥ 𝑥 − 6.
1) (−∞; 1,5]
2) [1,5; +∞)
3) (−∞; 4,5]
4) [4,5; +∞)
4. Укажите решение неравенства
𝑥 − 1 ≤ 3𝑥 + 2.
−1,5
1)
2)
0,25
3)
4)
−1,5
0,25
2. Укажите решение неравенства
−3 − 3𝑥 > 7𝑥 − 9.
5. Укажите решение неравенства
3 − 2(𝑥 − 3) > 18 − 5𝑥.
1) (0,6; +∞)
2) (−∞; 1,2)
1)
2)
3) (1,2; +∞)
4) (−∞; 0,6)
3. Укажите решение системы неравенств
𝑥 − 4,3 ≥ 0
{
𝑥 + 5 ≤ 10
1) (−∞; 4,3] ∪ [5; +∞)
3) [5; +∞)
2) [4,3; 5]
4) [4,3; +∞)
−3
3)
4)
3
−3
3
6. Укажите решение системы неравенств
−12 + 3𝑥 > 0
{
9 − 4𝑥 > −3
3
4
1)
3)
2)
4) решений нет
3
3
4
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
Большая практика.
1) − 2𝑥 − 3 = 1;
2) 8𝑥 − 5 = 10𝑥;
3) 2(𝑥 − 7) = 3;
4) (𝑥 + 5)2 = (𝑥 − 8)2 ;
5) (𝑥 + 1)2 = (2 − 𝑥)2 ;
6) 6𝑥 − 8(−7 + 9𝑥) = −2𝑥 − 8;
7) 𝑥 +
𝑥
5
=−
𝑥
𝑥
6
12
10) +
24
5
;
+𝑥=−
8)
35
4
;
𝑥
6
11)
+
𝑥
𝑥
10
+
=
𝑥
16
15
9) 3 −
;
+𝑥=
35
;
𝑥
= 𝑥;
5
4𝑥 + 4
9𝑥
12)
+5=
;
8
7
7
15
15)
=
;
𝑥 − 15 𝑥 − 7
5
18)
= 2;
𝑥−4
10
5
= ;
𝑥−4 2
1
1
16)
+
= 0;
𝑥−5 𝑥+3
11 2
22
12
12
14)
=− ;
𝑥+5
5
2
17)
= −5;
𝑥−6
19) 5𝑥 − 2 < 0;
20) − 30𝑥 − 6 ≤ 0;
21) 7𝑥 + 2 > 23;
22) − 2𝑥 + 7 > 6;
23) − 13𝑥 − 13 ≥ −3𝑥;
24) 5(−9 + 𝑥) < 4;
25) 3(4𝑥 + 1) > 8𝑥;
26) − 2(2𝑥 − 3) > −𝑥;
27) − 9(7 + 𝑥) − 3𝑥 ≥ −9;
2𝑥 ≥ −6
28) {
;
𝑥>4
𝑥 + 1,8 ≤ 0
29) {
;
𝑥 + 0,5 ≤ −0,5
−35 + 5𝑥 > 0
30) {
.
6 − 3𝑥 > −3
13)
4
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
5
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
Домашнее задание.
1. Решите уравнения и неравенства. В неравенствах ответ запишите в виде промежутков.
1) 6𝑥 + 18 = 0;
2) − 5𝑥 − 9 = −6;
3) 10𝑥 + 1 = 6𝑥;
4) 5𝑥 − 3 = −10𝑥;
5) 5(𝑥 − 9) = −2;
6) − 7 = 5(𝑥 + 5);
7) (𝑥 − 6)2 = (𝑥 − 3)2 ;
8) (7 − 𝑥)2 = (𝑥 + 3)2 ;
9) (𝑥 + 9)2 = (10 − 𝑥)2 ;
10) − 8𝑥 + 4(7 + 8𝑥) = 4𝑥 + 7;
11) − 𝑥 + 2(7 − 9𝑥) = 𝑥 − 4;
12) − 7𝑥 + 9(2 + 𝑥) = −4𝑥 + 3;
𝑥
𝑥
𝑥
14) 𝑥 +
15) 6 −
7 2
7
11
11
19)
=
;
𝑥−2
2
1
1
22)
+
= 0;
𝑥+7 𝑥−3
𝑥 9
= ;
2 2
𝑥
𝑥
19
17) +
=− ;
8 11
11
6
2
20)
=− ;
𝑥+9
3
3
23)
= −10;
𝑥−3
25) 10𝑥 + 2 > 0;
26) − 10𝑥 − 8 ≤ 0;
27) − 5𝑥 + 2 > 11;
28)4𝑥 + 5 > 2;
29)8𝑥 − 9 ≥ −8𝑥;
30) 8(3 + 𝑥) < −2;
31) 6(5 + 𝑥) > −3;
32) − 4(−𝑥 − 2) > −6 − 4𝑥;
33) − 5(−1 + 𝑥) + 3𝑥 ≥ −7;
−2𝑥 < 4
34) {
;
−5𝑥 ≤ −3
𝑥 + 3 ≥ −2
35) {
;
𝑥 + 1,1 ≥ 0
−12 + 3𝑥 > 0
36) {
.
9 − 4𝑥 > −23
13) 𝑥 +
16)
𝑥
+
3
𝑥
= −12;
=
18
;
6
=
;
2 3
𝑥
𝑥
16
18) +
=
;
6 10 15
7
14
21)
=
;
𝑥 − 14 𝑥 − 7
8
24)
= 1;
𝑥−4
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
7
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
2. В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены
по банкам случайным образом. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите
вероятность того, что Аля не найдет приз в своей банке.
3. Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок,
из них 3 - синие, 14 – зеленые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к
платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.
4. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,15.
Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта
ручка пишет хорошо.
5. Два угла в треугольнике равны 23 и 62 градусам. Найдите третий угол.
6. Один из углов ромба равен 75 градусам. Найдите больший угол этого ромба.
7. Вычислите:
(
1,75
1
7 42
+
) : ( : ).
1 1
1
13 39
2+2
+
15 25
8
Васильева Анна Андреевна
Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6.
8. Найдите площади изображенных фигур (используй справочные материалы).
9
