Понятие производной функции

Понятие производной функции
До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной»
точке . Но ведь в качестве
интервала!
можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ
Из этих соображений в равенстве
рассматриваемого
проведём замену
и
получим
. А это ни что иное, как обозначение производной
котором я упомянул на первом же уроке по технике дифференцирования.
,о
Символ
используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное
дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе
решения дифференциальных уравнений.
Естественно, и в самом определении производной в
точке
заменим
на
К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции
:
по
закону
ставится в соответствие другая функция
которая называетсяпроизводной функцией (или просто производной).
,
Производная
характеризует скорость изменения функции
. Каким
образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую
точку области определения функции
данной точке. Тогда:
1) Если
, то функция
. Пусть функция дифференцируема в
возрастает в точке
. И, очевидно,
существуетинтервал (пусть даже очень малый), содержащий точку
функция
2) Если
, на котором
растёт, и её график идёт «снизу вверх».
, то функция
содержащий точку
вниз»).
убывает в точке
, на котором функция
. И существует интервал,
убывает (график идёт «сверху
3) Если
, то бесконечно близко около точки
функция
сохраняет
свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в
критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.
Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»?
Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя
функцию
, мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной
функции
. А что, кстати, понимается под словом «производная»?
Функция
произошла от функции
.
Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела
, зависящий от времени , и
функцию скорости движения данного тела
. Функция
характеризует
скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной
функции
по времени:
. Если бы в природе не существовало понятия
«движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость
тела».
Ускорение тела
– это скорость изменения скорости,
поэтому:
. Если бы в природе не существовало исходных понятий
«движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы
и производного понятия «ускорение тела».
Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных? Невероятно,
но все они появились благодаря единственной формуле:
как это происходит, мы начнём разбирать прямо сейчас.
.И
Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй,
первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте –
вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть
зашифрованное послание для вашего преподавателя =)
Пример 1
Используя определение производной, доказать, что производная константы равна
нулю.
Функция-константа имеет вид
, и графически – это семейство прямых,
параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему
Изобразим, например, график функции
.
:
Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке.
Ни вверх и не вниз.
Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим
произвольное значение
приращение:
, в котором, понятно,
. Придадим аргументу
. Функция всё время постоянна, поэтому
приращение функции:
точке:
и
. По определению производной в
Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число
,
равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.
Поскольку в качестве точки
получим:
можно взять любое «икс», то проведём замену
и
.
Пример 2
Найти производную функции
по определению.
Рассмотрим произвольное значение
Зададим аргументу приращение
, в котором
и вычислим соответствующее значение
функции:
функцию
.
(обычная алгебра – в
вместо «икса» подставили
и раскрыли скобки).
Вычислим приращение функции:
По определению производной в точке:
Поскольку в качестве
можно взять любое значение
, то
.
О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она
отрицательна, а значит, функция
убывает на всей области определения.
И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в
какой бы точке мы ни находились, предельное отношение
неизменным:
будет
Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые
производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём
производную «быстрым» способом:
Теперь вам должно быть понятно происхождение и весь неформальный смысл
полученного результата.
Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что
производная линейной функции
равна её угловому коэффициенту:
.
В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение
прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение
данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим
две линейные функции
и найдём их производные:
Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области
определения (графики идут «снизу вверх»). Кроме того, не забываем, что производная
– это мера скорости изменения функции. Поскольку
функция
, то
растёт быстрее (причём, значительно) функции
соответственно, график
, и,
намного более крут.
Факт тривиален, но озвучу: касательная к графику линейной функции в каждой точке
совпадает с самим графиком данной линейной функции.
Заключительная демонстрационная задача, думаю, развеет все оставшиеся
непонятки:
Пример 3
Найти производную функции
Рассмотрим произвольную точку
Зададим приращение
по определению.
и соответствующее значение
и вычислим значение функции в точке
.
:
Найдём приращение функции:
По определению производной в точке:
Поскольку в качестве
определенияфункции
можно рассмотреть любую точку
, то проведём замену
области
и получим
Проверим результат «лёгким» способом:
Исходная функция
и её производная
– это две совершенно
разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь:
.
На интервале
производная отрицательна:
об убывании функции
на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт
сверху вниз. А на интервале
линия), значит, функция
При
(красная линия), что говорит
производная положительна:
(зелёная
растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.
производная равна нулю:
. Найденное значение показывает,
что скорость изменения функции
в точке
равна нулю (функция не
растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.
Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график
функции
!
И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой
некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько
значений производной:
Таким образом, в точке
функция
убывает, в точке
сохраняет
скорость постоянной, а в точках
– растёт. Причём
, поэтому
можно сказать (опять даже не зная чертежа!), что в окрестности точки
график
функции
идёт вверх круче, чем вблизи точки
.
Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла
наклона касательной к графику функции в данной точке. Не поленюсь, применю
формулу
четыре раза:
2.3. Основные правила и формулы дифференциального
исчисления. Производные элементарных функций.
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по
определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на
таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным
исключением является экспоненциальная функция
, которая превращается сама
в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Обозначения: Производную обозначают
или
.
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать
лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это
две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить
наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных
функций, особенно:
производную константы:
, где
– постоянное число;
производную степенной функции:
, в частности:
,
,
.
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о
производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна
производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с
двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные
формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы
сталкиваемся с производными.
В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении
производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица
производных элементарных функций.
В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
, где
– постоянное число (константа)
Пример 2
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас
Решаем:
.
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак
производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место,
заодно избавляясь от скобок:
Готово.
2) Производная суммы равна сумме производных
Пример 3
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда
выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки
всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно
представить в виде
, а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх.
Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители
(числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не
переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными
функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная
найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида
желательно снова представить в виде корней, степени с
отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не
делать, ошибкой не будет.
Пример 4
Найти производную функции
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока).
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула
состоит в том, что:
…., но неожиданность
Я не буду объяснять, почему именно так, наша задача научиться решать производные,
а не разбираться в теории.
Пример 5
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице
производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Пример 6
Найти производную функции
В данной функции содержится сумма
и произведение двух функций –
квадратного трехчлена
и логарифма
. Со школы мы помним, что
умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования
произведения:
Теперь для скобки
используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались
только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие
функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные
вроде
не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно
решаются устно, и сразу записывается, что
.
Пример 7
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?!
Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и
справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае
замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за
знак производной:
Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не
выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и
затрудняет решение.
Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление.
Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала
применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых
выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь,
Вы уже немного освоились в производных:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Время от времени встречаются хитрые задачки:
Пример 10
Найти производную функции
Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать
правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет
смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула
совсем не хочется.
достаточно громоздка, и применять ее
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:
Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:
Готово.
Пример 11
Найти производную функции
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем
экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
Произведение все-таки дифференцировать проще:
Пример 12
Найти производную функции