Симметрия относительно точки Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. a А1 А1 О А А Симметрия относительно прямой Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a (ось симметрии), если прямая a проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. Симметрия относительно плоскости Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А1 О А Центр, ось, плоскость симметрии фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, говорят, что она Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью,то плоскостью) обладает центральной (осевой, симметрией. Фигура может симметрии, если каждая точказеркальной) фигуры симметрична относительно иметь один илиточке несколько центров симметрии (осей симметрии, нее некоторой той же фигуры. плоскостей симметрии). Ось симметрии Центр симметрии А1 А О Плоскость симметрии a А О А1 А О А1 Теорема Эйлера Для любого выпуклого многогранника с числом вершин В (e), числом граней Г (f) и числом рёбер Р (k) выполняется равенство: В + Г − Р = 2 𝑒+𝑓−𝑘 =2 𝑛 − число рёбер каждой грани 𝑚 −число рёбер, сходящихся в каждой вершине. 𝑓𝑛 = 2𝑘 т.к. каждое ребро принадлежит двум граням 𝑚𝑒 = 2𝑘 т.к. каждое ребро содержит две вершины Используя теорему Эйлера можно найти число граней, рёбер и вершин многогранника. 𝑓= 4𝑚 2𝑚 + 2𝑛 − 𝑚𝑛 𝑘= 2𝑚𝑛 2𝑚 + 2𝑛 − 𝑚𝑛 𝑒= 4𝑛 2𝑚 + 2𝑛 − 𝑚𝑛 Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число рёбер. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° Угол правильного 𝑛 −угольника равен: 180° (𝑛 − 2) 𝛽= 𝑛 Сколько граней при вершине может быть у правильного многогранника, и какими многоугольниками могут быть грани? При вершине m n-угольников Сумма углов при вершине Название многогранника Грани треугольники 3 треугольника 3 ∙ 60 = 180; 180° < 360° Тетраэдр (четырёхгранник) 4 треугольника 4 ∙ 60 = 240; 240° < 360° Октаэдр ( восьмигранник) 5 треугольников 5 ∙ 60 = 300; 300° < 360° Икосаэдр ( двадцатигранник) Грани четырёхугольники 3 четырёхугольника 3 ∙ 90 = 270; 270° < 360° Гексаэдр ( шестигранник) Грани пятиугольники 3 пятиугольника 3 ∙ 108 = 324; 324° < 360° Додекаэдр ( двенадцатигранник) У правильного ТЕТРАЭДРА - грани – правильные треугольники; - в каждой вершине сходятся по три ребра; - не имеет центра симметрии. - три оси симметрии; прямая, проходящая через середину двух противоположных рёбер. - шесть плоскостей симметрии; плоскость, проходящая через ребро, перпендикулярно к противоположному ребру. У правильного ГЕКСАЭДРА ( КУБА ): - грани – квадраты; - в каждой вершине сходятся по три ребра; - один центр симметрии; точка пересечения диагоналей. - девять осей симметрии: прямые проходящие через середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани (6 шт.) прямые проходящие через центры противоположных граней (3 шт.) - девять плоскостей симметрии. плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. У правильного ОКТАЭДРА - грани – правильные треугольники; - в каждой вершине сходятся по четыре ребра; - один центр симметрии; точка пересечения осей симметрии; - девять осей симметрии: прямые, проходящие через противолежащие вершины (3 шт.) прямые проходящие через середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани (6 шт.) - девять плоскостей симметрии: плоскости, проходящие через каждые четыре вершины, лежащие в одной плоскости. (3 шт.); плоскости, проходящие через две вершины не принадлежащие одной грани, и середины противоположных рёбер (6 шт.) У правильного ДОДЕКАЭДРА - грани – правильные пятиугольники; - в каждой вершине сходятся по три ребра; - один центр симметрии; точка пересечения осей симметрии; - пятнадцать осей симметрии: прямые проходящие через середины противоположных параллельных рёбер. - пятнадцать плоскостей симметрии: плоскость, проходящая в каждой грани через вершину и середину противолежащего ребра. У правильного ИКОСАЭДРА - грани – правильные треугольники; - в каждой вершине сходятся по пять рёбер; - один центр симметрии; точка пересечения осей симметрии; - пятнадцать осей симметрии: прямые проходящие через середины противолежащих параллельных рёбер. - пятнадцать плоскостей симметрии: плоскости, проходящие через четыре вершины, которые лежат в одной плоскости, и середины противоположных рёбер. октаэдр икосаэдр гексаэдр Додекаэдр 3 3 3 4 6 4 1800 4 3 4 6 12 8 2400 5 3 5 12 30 20 3000 3 4 3 8 12 6 2700 3 5 3 20 30 12 3240 Сумма плоских углов при каждой вершине Количество Граней (Г (f )) Количество рёбер Р (k) Количество вершин В (e) Рёбер при вершине (m) Рёбер каждой грани (n) грань Используя формулы Эйлера заполните таблицу. Граней при вершине Квадрат Правильный треугольник тетраэдр Правильный пятиугольник Название правильного многоугольника Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; Куб – самая устойчивая из фигур – землю; Октаэдр – воздух. огонь земля воздух вода Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. вселенная Многогранники в природе, химии и биологии Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Кристалл пирита— природная модель додекаэдр. Кристаллы поваренной соли передают форму куб. Монокристалл алюминиевокалиевых квасцов имеет форму октаэдра. Сурьменистый сернокислый натрий – тетраэдра. Хрусталь (призма) Молекула метана имеет форму правильного тетраэдра. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Многогранники в искусстве гравюра «Меланхолия» Альбрехт Дюрер 1514 На переднем плане картины изображен додекаэдр. «Тайная Вечеря» Сальвадор Дали 1955г. Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр. Спасибо за внимание!
