Deter

1-Mavzu.
Determinantlar va ularning hossalari. Asosiy tushuncha va ta’riflar. Determinantlarni
hisoblash. Determinantlarning xossalari. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar. Yuqori
tartibli determinant haqida tushuncha
Dars rejasi:
1. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar.
2. Determinantlarning asosiy xossalari.
3. Determinantlarni hisoblash usullari.
Endi matritsaning determinanti tushunchasini kiritamiz.
 а 11

 а 21
а 12 
 kvadrat matritsaga mos keluvchi ikkinchi tartibli determinant deb quyidagicha
а 22 
aniqlanuvchi songa aytiladi:
det A  А 
а11
а12
а 21
а 22
 а11 а 22  а 21 а12
(1)
 1 2
 matritsaning determinantini hisoblang.
Misol . А  

3
4


det A  А 
1
2
3 4
 1  4  (3)  2  10 .
Yuqoridagi singari 3-tartibli kvadrat matritsaning determinantini ko’ramiz:
а11 а12 а13
а 21 а 22 а 23  а11 а 22 а 33  а12 а 23 а 31  а13 а 21 а 32  а 31 а 22 а13  а 21 а12 а 33  а 32 а 23 а11 (2)1
а 31 а 32 а 33
3-tartibli determinantni hisoblashning bu usuli “uchburchak usuli” deyiladi va bu usulni quyidagi
shakl yordamida aks ettirish mumkin:
  
  
  
   =    -   
  
     
(3)
Yuqoridagilardan ko’rinib turibdiki, biz determinant tushunchasini faqat kvadrat
matritsalar uchun kiritamiz.
1-ma’ruzada transponirlangan matritsa tushunchasini kiritgan edik. Berilgan matritsaga
mos determinantni ham transponirlash mumkin.
n-tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
1
S.M.Blinder, Guide to Essential Math. Academic Press, London ,2008.164- 167 bet.
 а11

 a 21
A=  ...

a
 n1
а12 ... а1n 

a 22 ... a 2 n 
... ... ... 

a n 2 ... a nn 
(4)
Bu matritsaning determinanti
a11 a12 ... a n1
det A 
a 21 a 22 ... a n 2
...
... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn
ko’rinishda bo’ladi.
Determinantlar, xossalari, hisoblash.2
nxn ta elementdan tuzilgan, kvadrat jadval ko’rinishidagi, ikki vertikal kesma orasiga
olingan
ifoda
tartibli determinant,
sonlari esa
determinant elementlari deyiladi.
Gorizantal qatorlar yo’llar (satrlar), vertikal qatorlar ese ustunlar deyiladi.
Birinchi indeksii bo’lgan elementlar i-yo’l (satr) elementlari, ikkichi indeksi j bo’lgan
elementlar esa j-ustun elementlari deyiladi.
Masalan, a34 element 3-yo”l (satr), 4-ustunda joylashgan. a11, a22,…,ann joylashgan
dioganal determinant bosh dioganali, ikkichi dioganal esa yordamchi dioganal deyiladi.
,
tartibli
element joylashgan yo’l va ustun o’chirilsa, (
determinantda
determinant hosil bo’lib, uni
minori deyiladi va
soni esa
2
harfibilanbelgilanadi.
elementalgebraikto’ldiruvchisideyiladi.
S.M.Blinder, Guide to Essential Math. Academic Press, London ,2008.164- 167 bet.
) tartibli
Masalan,
bo’lsa,
Kelgusida yo’l satr uchun o’rinli munosabatlarni ixtiyoriy qator uchun deb ataymiz.
Teorema.
1. Ixtiyoriy qator elemenlarini o’z algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yig’indisi
determinant qiymatiga teng.
2. Ixtiyoriy qator elementlari parallel qator elementlari algebraik to’ldiruvchilariga
ko’paytmalari yig’indisi nolga teng.1
, 0=
,
bunda, S=1…n≠k
Isbot. Soddalik uchun isbotni 3-tartibli determinantlar uchun keltiramiz (3-yo’l
elementlarini tanladik).
+
Masalan,
tengliklarni
ham shunday tekshirish mumkin.
Misol.
Natija 1.Determinant biror qatori barcha elementlari nol bo’lsa, determinant qiymati
nolga teng.
Natija 2. Agar determinantda bosh dioganal bir tarafida turgan elementlar nol bo’lsa,
determinant qiymati bosh dioganal elementlari ko’paytmasiga teng.
Isboti yoyish teoremasidan kelib chiqadi.
Determinantlarning asosiy xossalari:
10. Determinant transponirlash natijasida o’zgarmaydi. Boshqacha aytganda, transponirlangan
matritsaning determinanti berilgan matritsa determinantiga teng.
20. Agar determinantning satrlaridan biri noldan iborat bo’lsa, bunday determinant nolga teng
bo’ladi.
30. Agar bir determinant ikkinchisidan uning ikkita satrining o’rnini almashtirish orqali hosil
qilingan bo’lsa, u holda birinchi determinantning barcha elementlari teskari ishora bilan ikkinchi
determinantning ham elementlari bo’ladi, ya’ni ikkita satrining o’rni almashishidan determinant
faqat ishorasini o’zgartiradi.
40. Ikkita bir xil satrga ega bo’lgan matritsaning determinanti nolga teng.1
50. Agar determinantning ixtiyoriy satri elementlari biror k songa ko’paytirilsa, u holda
determinantning o’zi ham shu songa ko’pay tiriladi.
60. Agar biror determinantning ikkita satri proportsional bo’lsa, bunday detetminant nolga teng.
70. Agar n- tartibli determinant i-satrining barcha elementlari ikkita qo’shiluvchining yig’indisi
аij   j   j j  1, n
ko’rinishda berilgan bo’lsa, u holda determinant shunday ikkita
determinantning yig’indisiga teng bo’ladiki, bu determinantlarning i-satridan boshqa satrlari
berilgan determinantning satrlari bilan bir xil bo’lib, ulardan birining i-satr elementlari
 j elementlardan, ikkinchisining i-satridagi elementlari esa  j elementlardan iborat bo’ladi,
ya’ni
а 11
а 12
....
a 1n
a 11
a 12
....
....
....
....
...
...
...  n   n .   1
2
1  1  2   2
....
.....
....
....
...
...
a n1
a n2
....
a nn
a n1
an2
... a 1n
a 11
a 12
...
...
...
...
...  n   1
2
...  n
...
...
...
...
...
...
... a nn
a n1
an2
... a 1n
...
...
... a nn
Agar har qanday j (j≠i) nomerli satr uchun shunday kj son topish mumkin bo’lsaki, j satrni kj ga ko’paytirib, so’ngra i - satrdan boshqa hamma satrlarni qo’shib, i - satrni hosil qilsak,
u holda determinantning i - satrini uning qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi .
80. Satrlaridan biri qolgan satrlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat determinant nolga teng.
90. Agar determinantning satrlaridan biriga uning boshqa satrining mos elementlarini biror songa
ko’paytirib qo’shilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi. 3
Determinant biror a ik elementining M ik minori deb, shu determinantdan a ik element
turgan satr va ustunni o’chirish natijasida hosil bo’lgan determinantga aytiladi.
3
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag
GmbH,Munchen, 2010.252-256 bet.
Determinant a ik elementining algebraik to’ldiruvchisi quyidagicha aniqlanadi
Aik   1
ik
M ik .
Agar (4) kvadrat matritsaning determinantini 1-satr elementlari bo’yicha yoysak, u quyidagiga
teng bo’ladi:
a 11
a 12
... a n1
a 21
a 22
... a n 2
...
...
a n1
an2
...
 a 11 A11  a 12 A12  ...  a 1n A1n .
...
... a nn
Endi ixtiyoriy tartibli determinantni hisoblashning ikkita usulini keltiramiz:
1.
Determinant tartibini pasaytirish usuli – determinant biror qatori elementlarining bittasidan
boshqalarini oldindan nolga aylantirib, shu qator bo’yicha yoyish usuli.
Misol.
1
2
3 2
2 1 0
1
3
1
2
2 1 2
0
4
2 1 0

1
1
2
3 2
3
4
1
2
2 1 2
0

0
0
0
5
0
3 2
11
6
1
2
0
1 2
0
1
 1   1
1 4
5
0
3
11
6
1
0
1 2
 5  6  2  3  11 ( 1 )  5  32
2.
Determinantni uchburchak ko’rinishga keltirish usuli. Bunda determinant elementlari
ustida shunday almashtirish bajariladiki, bu almashtirish natijasida determinantning bosh
diagonalidan bir tomonda yotuvchi hamma elementlari nolga aylantirilib, determinant
uchburchak shaklga keltiriladi va u bosh diagonali elementlari ko’paytmasiga teng:
в11
в12
... в1n
0
в 22
... в 2 n
...
...
...
0
0
... в nn

Misol.
1
2
3
4
0
2
4
3
0
0
5
8
3 6
9 0

...
 в11  в 22  ...  в nn .
1 2 3
4
0 2 4
3
0 0 5
8
 1  2  5  12  120 .3
0 0 0 12
Bu determinantning birinchi satrini 3 ga ko’paytirib to’rtinchi satriga qo’shdik, natijada
asosiy diagonaldan pastdagi elementlarning barchasi nolga teng bo’ldi.
Birlik matritsaning determinanti birga teng, ya’ni det E  1.
Teskari matritsani topish.
3
S.M.Blinder, Guide to Essential Math. Academic Press, London ,2008.164- 167 bet.
Dastlab,
matritsa
shartga
teskari
matritsanitopamiz.
ko’ra,
Busistemalarniechib,
,
Bunda,
Demak,
y=
, z=
, u=
, ekanliginitopamiz.
algebraik to’ldiruvchilari.
lar esa
matritsaga
teskari
matritsa
ko’rinishidabo’larekan.
Har qanday hosmas
kvadrat matritsani teskarisi mavjud, yagona va
bunda
Isbot.
ni ham E gatengliginitekshirishimizmumkin.4
Agar
AS
farqli
S
S
ham
teskari
bo’lsa,
S
Bu tengliklardan
bo’lsa,
kelib chiqadi.
mavjudbo’lmasligiravshan.
dan
Misol. 1). A
kelibchiqadi.
gateskarimatrissa toping.
ekanligidan teskari matritsa mavjud va yagona.
,
4
bo’lganligiuchun
S.M.Blinder, Guide to Essential Math. Academic Press, London ,2008.164- 167 bet.
yani
2).
ga teskar imatritsa toping.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.3
Demak ,
Tayanch iboralar:
Determinant, algebraikto'ldiruvchi, minorlar.
Nazorat savollari.
1.
Determinant deb qanday songa aytiladi?
2.
Determinantning xossalarini aytib bering.
3.
Determinant hisoblashning qanday usullarini bilasiz?
4.
Algebraik to’ldiruvchinima?
5.
Minorlar nima?
Foydalanilgan adabiyot:
1. S.M.Blinder,Guide to Essential Math. (164-167betlar).
2. JohnR.Fanchi,Math Refresher for scientists and engineers.
3. GerdBaumann, Mathematics for Engineers II. (236-247 va 252-256 betlar).
4. Yo.U. Soatov Oliy matematika 1-2 qism 1995y
5. I.G‘.G‘aniev va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013.
6. I.G‘. G'aniev va boshq. Oliy matematikadan masalalar to’plami. 1-qism. Toshkent- 2008,
2009.
3
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag
GmbH,Munchen, 2010.236-247 bet.