куляр булгандагина турридан-турри билиб булади ва бундай
^олларда берилган турри чизиц орцали шарга уринма текислик
утказиш >;еч цандай цийинчилик турдирмайди. Берилган MN
чизиц V текисликка перпендикулярдир, шунинг учун у орцали
шарга уринма булиб утган Р ва Q текисликлар >$ам фронтал
проекцияловчи текисликлар булади.
IX б о б . СИ РТ Н И Н Г ТЕКИСЛИК ВА ТУГРИ Ч И ЗИ Ц
БИЛ АН КЕСИЛИШ И
54-§. Айланиш сиртининг текислик билан кесилиши
Сиртнинг текислик билан кесилишидан ^осил булган чизиц
кесувчи текисликда ётган текис эгри чизиц булади. Бу эгри
чизицнинг проекцияларини эпюрда ясаш учун, одатда, унга
оид бир неча нуцтанинг проекциялари топилиб, сунгра у л а р ­
нинг бир номлилари лекало билан узаро туташтирилади.
Кесим чизигининг цациций куриниши эпюрни цайта тузиш
усулларининг бири ёрдами билан ясалиши мумкин.
Дар цандай сиртнинг текислик билан кесишув ч и з и р и н и
ясашда ёрдамчи кесувчи текисликлар усули умумий усул ^исобланади. Бу усулни тубандагича тушуниш керак:
берилган сирт ва кесувчи
текислик бир неча ёрдамчи
текислик билан кесилади.
Дар цайси ёрдамчи текис­
лик сиртни, умуман, бирор
эгри чизиц буйича, кесув­
чи текисликни эса турри
чизиц буйича кесади. Агар
/ бу эгри чизиц билан турри
X
чизиц кесишса, уларнинг
кесишув нуцталари излан­
ган кесим
чизигига
оид
умумий нуцталар булади.
Бу умумий усулдан фойдаланилганда, ёрдамчи ке­
сувчи текисликлар шундай
олиниши керакки, улар бе­
рилган сиртни айланалар
ёки, имкони булса, турри
чизицлар буйича кесадиган
булсин.
155-шаклда
айланиш
сирти билан фронтал про­
екцияловчи Р текисликнинг
155- ш акл
кесишув
чизирини
ясаш
www.ziyouz.com kutubxonasi
курсатилган. Ердамчи текисликлар айланиш сиртининг уцига
перпендикуляр цилиб утказилган. Айланиш сиртининг уци Н
текисликка перпендикуляр булгани учун сиртнинг ёрдамчи те­
кисликлар билан кесилишидан >;осил булган айланаларнинг
горизонтал проекциялари узларига тенг айланалар булади. Ёр­
дамчи текисликлар берилган кесувчи Р текислик билан V те­
кисликка перпендикуляр булган горизонтал чизицлар буйича
кесишади. Бу горизонталлар билан тегишли айланаларнинг
кесишув нуцталари изланган кесим чизигига оид нуцталар
булади.
156-шаклда шар сиртнинг умумий вазиятдаги Q текислик билан
кесилишидан цосил булган айлананинг проекцияларини ясаш курса­
тилган. Бунинг учун, V текислик кесувчи Q текисликка перпенди­
куляр булган янги Vl текислик билан алмаштирилган (0 1Х 1-L QH)
ва шарнинг янги фронтал проекцияси чизилган (унинг маркази Ог
нуцтада). Шарнинг кесими а[ Ь{ кесмага тенг диаметрли айлана булади. Бу айлана Н ва V те­
кисликларга эллипслар тарзи­
да проекцияланади. Г оризонтал проекцияда эллипснинг
кичик уци ab II 0 1Х 1 булади,
катта уци (de) эса ab кесма­
нинг уртасидан утади ва ке­
сим айланасининг диаметрига
тенг булади {de = а[ Ь” ).
Фронтал проекциядаги эл­
липснинг кичик уцини топиш
учун горизонтал проекцияда­
ги эллипсга уринма цилиб
фронталлар утказилади. Улар­
нинг эллипс маркази (с') ор­
цали Qv изга перпендикуляр
цилиб утказилган энг катта
циялик чизиги билан кеси­
шув нуцталари (5', 6') эллипс
кичик уцининг учлари була­
ди. Эллипснинг катта уци с'
орцали утган
фронталдир,
унинг узунлиги кесим айлана­
сининг диаметрига тенг (k't'=
= de = а\ b\).
Бу ерда кесим чизигининг
куринар- куринмаслиги контур
айланасига боглиц
булади.
Уриниш нуцталарининг аниц
урни экваторни ёки бош меридианни (V текисликка парал-
www.ziyouz.com kutubxonasi
лел) утказиш йули би­
лан топилади. Масалан,
горизонтал проекцияда5
текисликдаги экваторда
ётган /, 2 нуцталар эллипсни куринар ва куринмас цисмларга була­
ди; фронтал проекциядаги уринма 3', 4' ну^талар эса бош меридионал
текислик (унинг изи 5 2Я)
утказиш йули билан топилган.
Агар ихтиёрий айла­
ниш сирти билан уму­
мий вазьятдаги текис­
ликнинг кесишув чизи­
рини ясаш керак булса,
проекция текисликларини алмаштириб, кесувчи
текисликни 155- шаклда
тасвирланган проекция­
ловчи вазиятга келтириб
олиш тавсия цнлинади.
Айланиш
сиртларининг текислик
билан
кесишув чизотини ясаш
масаласи
деталларнинг
чизмаларини чизишда куп
учрайди. Мисол тарицасида, 157-шаклда айла­
ниш сиртлари ва парал­
157- шакл
лел иккита текис шакл
билан чегараланган деталнинг (серьганинг) каллаги тасвирланган.
Текис шакллар айланиш сиртининг фронтал текисликлар билан ке­
силишидан хосил булган; улар узаро тенгдир. Шаклнинг контури
эгри чизиц булиб, унинг 5', 5' нуцталардан пастки цисми ва бириктириш ёйигача булган юцориги цисми диаметри 5 — 5 кесмага
тенг айлананинг ёйидир, чунки деталнинг каллаги сфера шаклидадир. Фронтал проекциядагу энг юцориги V нуцта деталнинг
уцида, сиртнинг цилиндрик цисмидан пастки цисмига утиш ч и з и р и да (Pv текисликда) булади. Оралицдаги бошца нуцталар деталнинг
уцига перпендикуляр горизонтал текисликлар (Q^, Rv, • • •) ёрда­
мида топилади.
www.ziyouz.com kutubxonasi
55* §. Чизи^ли сиртнинг текислик билан кесилиши
Ясовчилари турри чизиклар булган сиртнинг текислик би­
лан кесишув чизигини ясаш учун, ю^орида баён ^илинган ёр­
дамчи кесувчи текисликлар усулидан таищари, турри чизик;
билан текисликнинг кесишув нук;таларини топиш усулидан ^ам
фойдаланиш мумкин. Бу усулни тубандагича тушуниш керак:
олдин берилган сиртнинг бир неча ясовчи турри чизиги белгиланади; сунгра д;ар бир ясовчи турри чизи^ билан кесувчи те­
кисликнинг учрашув нуцтаси
топилади; топилган ну^талар
тартибли равишда узаро туташтирилса, изланган кесим чизиги
^осил булади.
158ш аклда Н текисликда турган турри доиравий цилиндр­
нинг умумий вазиятдаги Р текислик билан кесилиши тасвир­
ланган. Цилиндр ясовчиларининг Р текислик билан учрашув
www.ziyouz.com kutubxonasi
«укталари шу нукталар ор^али утган фронтал текисликлар
ёрдами билан топилган.
Масалан, цилиндрнинг АВ (ab, а'Ь') ясовчисидан утган Q2 текис­
лик Р текисликни унинг MN (тп, т'п') фронтали буйича кесиб,
K(k', k) нуцтани ^осил ^илади. Кесим шаклининг х,ациций курини­
шини ясаш учун Р текисликни проекциялар текисликларидан бири­
га жипслаштириш керак.
159-шаклда асоси дойра булган эллиптик цилиндрнинг умумий
вазиятдаги Р текислик билан кесишув чизиги проекцияларини ясаш
курсатилган. Бунинг учун аввал V текисликни Р га перпендикуляр
булган янги Vt текислик билан алмаштирамиз (0lX l JLPH) ва Р текисликнинг янги Pv изини ^амда цилиндрнинг янги фронтал проек- циясини ясаймиз. Бу ма^садда Pv изда ихтиёрий бирор N (п, п)
нуцта олиб, унинг янги фронтал nj проекциясини топамиз. Бу нуц-
www.ziyouz.com kutubxonasi
та ва 0 1Х ] уцидаги PXi нуцта орцали P v утади. 0 1Х 1 уцида ци­
линдрнинг изидаги (асосидаги) нуцталарнинг проекциялари
2[‘
. . . , 6\ булади. Бу нуцталардан утган ясовчиларнинг проекцияла­
рини чизиш учун уларнинг бирида ихтиёрий М (т\ т) нуцта оламиз ва унинг янги фронтал т[ проекциясини топамиз, бу т'х нуц­
та ва шу нуцта ётган ясовчининг изи (4\) орцали ясовчининг проек­
циясини утказамиз. Бошца ясовчилар унга параллел булади.
Янги Vx-LH системада изланган кесим шаклининг фронтил
пвоекцияси Pv изда, aj, b\, . . . , k\ кесма тарзида ^осил була­
ди. Нуцталарни цилиндрнинг тегишли ясовчиларига кучириш йули
билан олдин кесим чизигининг горизонтал проекцияси а'Ь'с' . . . эллипсни, кейин эса фронтал проекцияси а' Ь' с'... эллипсни ясаймиз.
Бу ерда кесим шаклининг хациций куринишини ясаш учун Н
текисликни Р га параллел h \ текислик билан алмаштириб, V1-L H1
системага утиш цулайдир.
56- §. Конус кесимлари
Иккинчи тартибли конус сиртнинг текислик билан кесили­
шидан ^осил буладиган чизицлар конус кесимлар дейилади.
Бу чизицлар жумласига айлана, эллипс, парабола, гипер­
бола ва икки кесишган тугри чизиц киради.
Ясашни осонлаштириш
мацсадида, иккинчи тартибли ко­
нуснинг хусусий тури булган тугри доиравий конус оламиз ва
унинг цандай текислик
билан кесилганда юцорида айтилган чизицлардан цайси
бири ^осил
булишини
куриб чицамиз.
1.
Агар кесувчи те­
кислик конуснинг уцига
перпендикуляр булса, ке­
сим чизиги айлана бу­
лади (1 6 0 -шакл, а ).
2. Агар текислик ко­
нуснинг учидан утнб, ик­
ки ясовчиси буйича кесиб тушса, кесим чизиги
икки кесишган тугри чи­
зиц булади (160-шакл, б).
3. Агар текислик ко­
нуснинг уцига OFM3 булИШ
билан бирга, унинг х;амма
ясовчиларини кесиб утса,
кесим чизиги эллипс бу­
лади (160- шакл, в).
www.ziyouz.com kutubxonasi
4. Агар кесувчи текислик конуснинг ясовчиларидан бирига
параллел булса, кесим чизиги парабола булади (1 6 0 -шакл, г).
5. Агар кесувчи текислик конуснинг икки яссовчисига па­
раллел булса, кесим чизиги гипербола булади. Хусусий ^олда
бундай кесувчи текислик конуснинг уцига параллел булиши
мумкин (160 шакл, д).
М аълумки, конус сирт чизицли сиртлардандир. Шунга кура,
конус сирт билан ^ар цандай текисликнинг кесишув чизигини
ясаш учун унинг бир неча ясовчиси кесувчи текислик билан
учрашув нуцталарини топиб, сунгра уларни тартибли равишда
узаро туташтириш керак.
Тубанда конус кесимларидан эллипснинг, параболанинг ва
гиперболанинг проекцияларини ^амда уларнинг ^ациций куринишларини ясашга мисоллар келтирилган.
1.
Э л л и п с . 161-шаклдаги горизонтал проекциялар текислигида турган тугри доиравий конуснинг сиртини фронтал про­
екцияловчи Р текислик эллипс буйича кесади. Бу эллипснинг
www.ziyouz.com kutubxonasi
фронтал проекцияси кесувчи текисликнинг фронтал изида Г
2' кесма, горизонтал проекцияси эса эллипс булади. Горизонтал
проекциядаги эллипсга оид нуцталарни топиш учун конуснинг
ясовчиларидан фойдаланилган. Фронтал проекциялари конус
уцининг фронтал проекциясига тугри келган 3', 4' нуцталарнинг горизонтал 3, 4 проекцияларигина конуснинг сиртини уша
нуцталардан утган айлана буйича кесувчи Q текислик ёрдам и­
да топилган.
Кесим шаклининг ^ациций куриниши (эллипс) Р текислик­
ни Я текисликка жипслаштириш йули билан ясалган.
Кесим чизиги — эллипснинг ^ациций куринишини унинг
катта ва кичик уцлари буйича ясаш ^ам мумкин. Эллипснинг
катта уци Г, 2' кесмага тенг, эллипснинг кичик уци катта уцининг. уртасидан утган кесим айланасининг ватарига (5, 6 га)
тенг булади.
2.
П а р а б о л а . 162- шаклдаги Я <текисликда турган д о ­
иравий конуснинг сиртини фронтал проекцияловчи Р текислик
парабола буйича кесади. Параболанинг фронтал проекцияси
www.ziyouz.com kutubxonasi
кесма булади ва текис­
ликнинг фронтал изига'
турри келади, горизонтал
проекцияси эса парабо­
ла булади. Бу ерда параболанинг горизонтал про­
екцияси конусниннг сир­
тини айланалар буйича
кесадиган ёрдамчи те­
кисликлар
воситасида
ясалган.
3.
Г и п е р б о л а . 163шаклдаги доиравий ко­
нуснинг сиртини фронтал
текислик (ЯЦК) гипер­
бола буйича кесади, чун­
ки кесувчи текислик ко­
нуснинг /4S ва BS ясов­
чиларига ^амда уцига
параллелдир.
Гиперболанинг гори­
зонтал проекцияси ке^
сувчи текисликнинг изи'
га турри келади ( 1—2
кесма), фронтал проек„
цияси эса ^ацик,ий к$фи—И, ниши булади. Гипербо­
ланинг учини (Q' ну^тани) топиш учун унинг
горизонтал
проекцияси
(О нукта 90° га айлан163-ш акл
тирилиб, четки j4S ■ясовчига келтирилади, кейин
0 1 0'i буйича 0' топилади. Гипербола мав^ум уцига нибатан
симметрик жойлаш ган икки тармок;дан иборат булади. Гипер­
боланинг иккинчи тармори конуснинг иккинчи палласи билан
Р текисликнинг кесишувидан >;осил булади (конуснинг иккинчи
палласи эпюрда курсатилм аган).
Агар конусни кесувчи текислик умумий вазиятдаги текис­
лик булса, проекциялар текисликларини алмаштириш йули
билан эпюрни 161 — 163-шакллардаги куринишлардан бирига
келтириш, кейин эса кесим чизигини ясаш тавсия цилинади;
164-шаклда излари (Pv, Рн) ор^али берилган умумий вазиятда­
ги текислик билан турри доиравий конуснинг кесилишидан хосил
булган эллипснинг проекцияларини ва ^а^иций куринишини ясаш
курсатилган.
Кесим шаклининг проекцияларини ясаш фрэнтал проекциядаги
энг ю^ориги нуцта 1' ни ва энг паетки нуцта 2’ ни апшулашдан
www.ziyouz.com kutubxonasi
164- шакл
бошланган. Бунинг учун конуснинг уцидан утган ва кесувчи те­
кисликнинг горизонтал изига перпендикуляр булган горизонтал
проекцияловчи Q текислик утказилган. Q текислик конусни Л5 (as,
a's') ва BS(bs, b's') ясовчилари буйича, Р текисликни эса MN (тп,
т'п’) чизиги буйича кесади. Ясовчиларнинг фронтал проекциялари
(a's', b's') билан т’п' кесишиб, изланган / ' ва 2' нуцталарни бера­
ди; кейин улар буйича горизонтал проекциядаги 1 ва 2 нуцталар
аницланади. / ' — 2' ва 1 — 2 кесмаларни тенг цисмларга булувчи
О' ва О нуцталар кесим шаклининг проекциялари—эллипсларнинг
марказларидир.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Фронтал проекциядаги эллипснинг куринган цисмини куринмаган цисмидан ажратувчи 5' ва б' нуцталарни аницлаш учун конус­
нинг уцидан утган ва V текисликка параллел булган ёрдамчи R
текислик утказилган (RH — бу текисликнинг изи). R текислик конусни V текисликка параллел (контур) ясовчилар буйича, Р текис­
ликни EF фронтали буйича кесади. Ясовчиларнинг фронтал проек­
циялари билан фронталнинг фронтал проекцияси кесишиб, изланган
5' ва 6' нуцталарни беради; улар буйича горизонтал проекциядаги
5 ва 6 нуцталар аницланади.
Кесим чизигининг бошца оралицдаги нуцталарини топиш учун
конуснинг уцига перпендикуляр булган горизонтал текисликлардан
фойдаланиш цулай, чунки бундай текисликлар конусни айланалар
буйича, Р текисликни эса унинг горизонталлари буйича кесади. Ёр­
дамчи горизонтал текисликлар шундай утказилиши керакки, улар­
нинг фронтал излари Г ва 2' нуцталар орал иг ида жойлашсин. 164шаклда иккита шундай текислик ёрдамида туртта нуцтанинг проекцияларини (3, 3'; 4, 4'\ 7, 7'; 8, 8') топиш курсатилган; текисликлардан биттаси О нуцта орцали утказилган (Tv — бу текисликнинг
изи), шунга кура топилган 3 — 4 кесма Р текислик билан конус­
нинг кесилишидан хосил буладиган эллипснинг кичик уци ва айни
вацтда шу эллипс горизонтал проекциясининг кичик уцидир. Гори­
зонтал проекциядаги эллипснинг катта уци 1 — 2 кесмадир.
1' — 2' ва 3 ' —-4’ кесмалар фронтал проекциядаги эллипснинг
цушма диаметрларидир.
Кесим шакли — эллипснинг ^ациций куриниши Р текисликни Н
текисликка устма- уст тушириш усули билан ясалган. Эллипс катта
( / 0 — 2о) ва кичик (30 — 40 = 3 — 4) уцлари буйича ясалиши хам
мумкин.
57- §. Сиртнинг турри чизиц билан кесилиши
Турри чизиц билан ^ар цандай сиртнинг кесишув нуцтала­
рини топиш масаласи сирт билан текисликнинг кесишув чизигини ясаш масаласи каби булади ва ясаш принципи жи^атидан
олганда, текислик билан турри чизицнинг учрашув нуцтасини
топишдан фарц цилмайди.
Умуман, бу м асала тубандагича ечилади:
1. Берилган турри чизиц орцали ёрдамчи текислик утказилади.
2. Сирт билан ёрдамчи текисликнинг кесишув ч и з и р и я с а ­
лади.
3. Ясалган кесим ч и з и р и билан берилган турри чизицнинг
кесишув нуцталари белгиланади. Бу нуцталар изланган нуц­
талар, яъни сирт билан турри чизицнинг кесишув нуцталари
булади.
Маълумки, турри чизиц орцали исталганча текислик утк а­
зиш мумкин. Лекин ёрдамчи текислик сифатида берилган тур­
ри чизиц орцали шундай текислик утказиш керакки, у билан
www.ziyouz.com kutubxonasi