Лабораторная работа №6. Задачи с параметром Решим задачи графическим методом в геометрической среде программы GeoGebra. Задание 1. Метод сечений. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 − 8𝑥 = 2|𝑥 − 𝑎| − 16 имеет ровно три различных решения. Решение. 1. Перепишем уравнение в виде (𝑥 − 4)2 = 2|𝑥 − 𝑎|. построим графики функций: 𝑦 = (𝑥 − 4)2 𝑦 = 2 |𝑥 − 𝑎 | . ! Возведение в степень – сочетание клавиш Shift+6 (на английской раскладке). !Функция модуль: abs(). 2. Замечание. При помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок – точку на горизонтальном отрезке, которая может менять своё значение (в данном случае ползунок – это различные значения параметра a). Двигая ползунок непосредственно вправо или влево, меняем расположение графика функции 𝑦 = 2|𝑥 − 𝑎| и определяем количество общих точек графиков функций. 3. Инструментом пересечение отметьте точки пересечения двух графиков функции, щелкнув вначале на 1 график, а потом на 2 график. Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях. 1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1). 2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2, рис. 3). В первом случае 𝑎 = 4, и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Ответ: 3,5; 4; 4,5. Задание 2. Координатно-параметрический метод Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение x x a 0 ? 2 1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - Полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а. 2. В строке ввода вводим функцию a x x . После нажатия на клавишу Enter график сразу появится в области графического представления и панели объектов. 2 Выделите вершину параболы: вторая координата – это 𝑎 = −0,25, при котором уравнение имеет единственное решение/ Таким образом: при 𝑎 = −0.25 уравнение имеет одно решение, при 𝑎 > −0.25 уравнение имеет два решения, при 𝑎 < −0.25 уравнение не имеет решений, Задание 3. Координатно-параметрический метод Исследовать число решений уравнения 2 x 4 x a значение параметра а в зависимости от величины действительного параметра а. 1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси Ох и Оа. 2. Постройте график функции 𝑎 = |2 ∙ |𝑥 | − 4| − 𝑥. 3. Далее, при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок, обозначенный b, который будет определять значение изменяемого параметра a. 4. Набираем в строке ввода функцию a1(x)=b; 5. В зависимости от принимаемых параметром b значений, будем получать различное количество решений уравнения 2 x 4 x a . Так, при b 2 прямая a1(x) не имеет общих точек пересечения с графиком функции 2 x 4 x a следовательно, решений нет. При b 2 прямая a1(x) и график функции 2 x 4 x a имеют одну точку пересечения, следовательно, уравнение 2 x 4 x a имеет одно решение. При 2 b 2 прямая a1(x) пересекается с графиком функции 2 x 4 x a в двух точках. Следовательно при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка 2;2 уравнение 2 x 4 x a имеет ровно два решения. При b 2 прямая a1(x) пересекается с графиком функции 2 x 4 x a в трёх точках следовательно, уравнение имеет три решения. При 2 b 4 прямая a1(x) имеет с графиком функции 2 x 4 x a четыре общие точки. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка 2;4 уравнение имеет четыре решения. При b 4 прямая a1(x) имеет с графиком функции 2 x 4 x a три точки пересечения, а следовательно три решения. И, наконец, при b 4 прямая a1(x) имеет с графиком функции 2 x 4 x a две точки пересечения. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка 4; уравнение имеет два решения. Ответ: при при при при при a 2 – решений нет; a 2 – три решения; 2 a 4 – четыре решения; a 4 – три решения; a 4 – два решения. Задание 3. Метод следов для решения неравенств Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства √5 − 𝑥 + |𝑥 + 𝑎| ≤ 3 является отрезок. Перепишем неравенство в виде √5 − 𝑥 ≤ 3 − |𝑥 + 𝑎|. Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства. Из рисунков видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при 𝑎𝜖(−8; 4). Заметим, что при 𝑎 = −2 решением кроме отрезка будет еще и точка 𝑥 = 5, что противоречит условию (рис. 5). Рассмотрим случай касания (рис. 6): 𝑓 ′ (√5 − 𝑥) = − 1 2√5−𝑥 = −1 ⇔ 5 − 𝑥 = 0,25 ⇔ 𝑥 = 4,75, тогда 1 𝑔(4,75) = ⇔ 0,5 = 3 − (4,75 + 𝑎) ⇔ 𝑎 = −2,25. 2 Итак, интервал (−2,25; −2] не удовлетворяет условию задачи. Замечание. Аналогично, как и в предыдущем примере, двигаем ползунок до тех пор, пока график функции 𝑦 = √5 − 𝑥 будет лежать ниже графика функции 𝑦 = 3 − |𝑥 + 𝑎| или иметь с ним общие точки для всех х таких, которые принадлежат некоторому отрезку (принадлежащему области определения функции 𝑦 = √5 − 𝑥 ) оси абсцисс. Ответ: (−8; −2,25] ∪ (−2; 4). 1. 2. 3. 4. Задания для самостоятельной работы Найдите все значения а при каждом из которых график функции 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − |𝑥 2 + 2𝑥 − 3| − 𝑎пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках. Указание: постройте два графика 𝑓1(𝑥 ) = 𝑥 2 − |𝑥 2 + 2𝑥 − 3| и 𝑓2(𝑥 ) = 𝑎, где а – ползунок. Определите, при каких значениях параметра а уравнение |𝑥 − 2| = 𝑎 ∙ log 2(𝑥 − 2)имеет ровно два решения. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 𝑎𝑥 + √3 − 2𝑥 − 𝑥 2 = 4𝑎 + 2 имеет единственный корень. Найти решение неравенства при всех значениях параметра a: 𝑎𝑥 2 + 3𝑥 − 𝑎 − 3 ≥ 0
