Автономная некоммерческая организация высшего образования «МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра экономики и управления Форма обучения: заочная ВЫПОЛНЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Математика Группа 22М513в Студент Д.В.Еленич МОСКВА 2023 Номер 1 деление комплексных чисел 1.1 1 + 2𝑗 (1 + 2ⅈ)(3 − 4ⅈ) (1 + 2ⅈ)(3 − 4ⅈ) 3 − 4ⅈ + 6ⅈ + 8 11 + 2ⅈ = = = = 3 + 4ⅈ (3 + 4ⅈ)(3 − 4ⅈ) 9 + 16 9 + 16 25 1.2 (√3 + √2ⅈ)2 3 + 6ⅈ − 2 1 + 6ⅈ = = = = 3+2 3+2 5 √3 − √2ⅈ (√3 − √2ⅈ)(√3 + √2ⅈ) √3 + √2ⅈ (√3 + √2ⅈ)(√3 + √2ⅈ) Номер 2 пределы 2𝑛 3 + 𝑛 𝑛 3𝑛 5 𝑥−∞ 𝑛 +𝑛 2𝑛+3 2.1 lim 3𝑛+5 = lim 𝑥−∞ 3 ∞ 5 𝑥−∞ 3+∞ = lim 2+ 2 2 = lim 3 = 3 𝑥−∞ 2.2 lim (√3𝑛 + 1 − √𝑛 + 2) = 𝑥−∞ (√3𝑛+1−√𝑛+2)(√3𝑛+1+√𝑛+2) 3𝑛+1−𝑛−2 2𝑛−2 lim = lim = lim = (√3𝑛+1+√𝑛+2) 𝑥−∞ 𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2) 𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2) 2𝑛 2 lim 𝑛 − 𝑛 𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2) 𝑛2 = 𝑛2 2 lim 𝑥−∞ (√3𝑛+1+√𝑛+2) 𝑛2 = 2 lim 0 = ∞ 𝑥−∞ 𝑛2 Номер 3 ряды 3.1 По признаку Даламбера ∑∞ 𝑛=1 lim 𝑛−∞ 𝑛3 3𝑛 1 = lim 𝑛−∞ 1 (𝑛+1)3 3𝑛+1 𝑛3 3𝑛 = lim 𝑛−∞ (𝑛+1)3 3𝑛3 = lim ∞ 𝑛−∞ ∞ = lim 𝑛−∞ 𝑛3 𝑛3 3𝑛3 𝑛3 = = 3 ⇒ 𝑙 < 1, следовательно ряд сходится 3 3.2 По признаку Коши 𝑛 𝑛 ∞ ∑𝑛=1 ( ) 2𝑛+1 lim 1 1 𝑛−∞ 2+𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = lim √(2𝑛+1) = lim (2𝑛+1) = lim = lim 𝑛−∞ 1 1 𝑛−∞ 2 𝑛−∞ 𝑛−∞ 𝑛 𝑛 2𝑛 𝑛 = = 2 ⇒ 𝑙 < 1, следовательно ряд сходится Номер 4 производные 4.1 y = sin(ln 𝑥 ) 1 (ln 𝑥)′ = 𝑥 sin(ln 𝑥 )′ = sin(𝑦) = cos(𝑦) = cos(ln 𝑥 ) 1 𝑦 ′ = 𝑥 cos( ln 𝑥) 4.2 6 𝑦 = ln √𝑥 ′ 6 1 ( √𝑥 ) = 6 𝑥 1 −1 6 ′ 6 1 = 6𝑥 − 5 6 1 (ln √𝑥 ) = ln 𝑦 = 𝑦 = 𝑦′ = 1 6 √𝑥 ∗ 1 1 6 6 √𝑥 5 = 1 1 6 6 √𝑥 5 6 √𝑥 = 6𝑥 Номер 6 частные производные 6.1 1 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 4 cos 𝑥 𝑧𝑥′ 1 1 1 ′ 1 3 1 3 sin 𝑥 (− 𝑥 4 cos 𝑥 + cos(𝑥)2 𝑥 3 ) = 𝑦4 𝑧𝑦′ 1 sin 𝑥 1 = 𝑦 4 (𝑥 3 cos 𝑥) = 𝑦 4 (− 𝑥 4 ∗ cos 𝑥 + cos(𝑥)2 ∗ 𝑥 3 ) = 1 1 1 ′ 1 − 3cos 𝑥+xsin 𝑥 𝑥 4 cos(𝑥)2 𝑦 4 1 1 1 = 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (𝑦 4 ) = 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (− 𝑦 5 ) = − 𝑥 3 cos 𝑥𝑦 5 ′ 𝑧𝑥𝑦 ′ 𝑧𝑦𝑦 = − 3cos 𝑥+xsin 𝑥 𝑥 4 cos(𝑥)2 1 1 ′ ∗ (𝑦 4 ) = 1 ′ 3cos 𝑥+xsin 𝑥 𝑥 4 cos(𝑥)2 𝑦 5 1 = 𝑥 3 cos 𝑥 ∗ (− 𝑦 5 ) = 𝑥 3 cos 𝑥𝑦 6 − 3cos 𝑥+xsin 𝑥 ′ 1 = 𝑦 4 ( 𝑥 4 cos(𝑥)2 ) = 𝑦 4 ((− 3cos 𝑥 + xsin 𝑥) ∗ ′ 1 1 2𝑥 sin 𝑥−4 cos 𝑥 ) = ((3 sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥) ∗ ) 𝑥 4 cos(𝑥)2 𝑦4 𝑥 5 cos 𝑥 3 2𝑥 2 sin 𝑥 2 −6𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥+𝑥 2 cos 𝑥 2 +12cos 𝑥 2 ′ 𝑧𝑥𝑥 1 𝑥 5 cos 𝑥 3 6.2 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧𝑥′ = 𝑦 ∗ 𝑥 𝑦 𝑧𝑦′ = 𝑥 𝑦 ln 𝑥 ′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑦𝑥 𝑦 ln 𝑥 ′ 𝑧𝑥𝑥 = 𝑦2𝑥 𝑦 = ′ 𝑧𝑦𝑦 = 𝑥 𝑦 ln 𝑥 ∗ ln 𝑥 = 𝑥 𝑦 (ln 𝑥)2 Номер 7 сумма матриц 7.1 1 2 −1 2 А =( )𝐵 =( ) 3 4 1 4 1−1 2+2 0 4 𝐶 =А+𝐵 =( )=( ) 3+1 4+4 4 8 7.2 −8 −3 −1 −1 А =( )𝐵 =( ) −2 −6 −1 −1 −8 − 1 −3 − 1 −9 −4 𝐶 =А+𝐵 =( )=( ) −2 − 1 −6 − 1 −3 −7 Номер 8 произведение матриц 8.1 0 1 2 5 А =( )𝐵 =( ) −2 3 0 1 0∗2+1∗0 0∗5+1∗1 0 1 𝐶 =А∗𝐵 =( )=( ) −2 ∗ 2 + 3 ∗ 0 −2 ∗ 5 + 3 ∗ 1 −4 −7 8.2 6 2 0 −6 А =( )𝐵 =( ) 3 8 5 7 6 ∗ 0 + 2 ∗ 5 6 ∗ (−6) + 2 ∗ 7 10 −22 𝐶 =А∗𝐵 =( )=( ) 3 ∗ 0 + 8 ∗ 5 3 ∗ (−6) + 8 ∗ 7 40 −38 Номер 9 определитель матрицы 9.1 3 1 А =( ) 2 3 ≜3∗3−1∗2=7 9.2 3 6 А =( ) 5 7 ≜ 3 ∗ 7 − 6 ∗ 5 = −9 Номер 10 система уравнений 10.1 7𝑥 + 2𝑦 = 15 { 𝑥 − 2𝑦 = 7 { 𝑥= 15−2𝑦 7 𝑥 − 2𝑦 = 7 7𝑥 + 2𝑦 = 15 7𝑥 + 2𝑦 = 15 7∗7 {15 − 2𝑦 {15 − 16𝑦 => 𝑦 = − + 15 16 − 2𝑦 = 7 =7 7 7 𝑦 = 18,0625 15−2𝑦 𝑥= 7 15−2∗18,0625 { => 𝑥 = = −3,018 7 𝑥 − 2𝑦 = 7 Ответ: 𝑦 = 18,0625, 𝑥 = −3,018 10.2 9𝑥 = 11𝑦 + 5 { 6𝑦 = 12𝑥 − 8 11𝑦+5 𝑥= 9 { 6𝑦 = 12𝑥 − 8 𝑥= 11𝑦+5 9 { 11𝑦+5 6𝑦 = 12 ∗ −8 9 11𝑦+5 { 𝑥= 9 1,3333 => 𝑦 = 126 , 𝑦 = 0,011 6𝑦 − 132𝑦 = −1,3333 11∗0.11+5 𝑥 = = 0,69 9 Ответ: 𝑦 = 0,011, 𝑥 = 0,69 Номер 11 смешанное произведение 11.1 а = (1; −2; 1), 𝑏 = (2; 1; −2), 𝑐 = (1; 1; 1) 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑧 [a x b] ∗ c = ( 𝑏𝑦 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑥 + ( 𝑏𝑥 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑦 + (𝑏𝑥 1 + (−4) ∗ 1 + 3 ∗ 1 = −6 11.2 𝑎𝑦 𝑏𝑦 ) 𝑐𝑧 = −5 ∗ а = (1; 1; 2), 𝑏 = (1; −1; 3), 𝑐 = (−2; −2; 2) 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑧 [a x b] ∗ c = ( 𝑏𝑦 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑥 + ( 𝑏𝑥 𝑏𝑧 ) 𝑐𝑦 + (𝑏𝑥 (−2) + 1 ∗ (−2) + (−2) ∗ 2 = −16 𝑎𝑦 𝑏𝑦 ) 𝑐𝑧 = 5 ∗ Номер 5 интегралы 5.1 𝑥 cos 2𝑥 cos 2𝑥 ∫ 𝑥 3 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > = 2 + ∫ 2 ∗ 2 3𝑥 𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > = ∫ 6𝑥 ∗ sin 2𝑥 3𝑥 3 sin 2𝑥 4 6𝑥 cos 2𝑥 8 4 + + 𝑥 cos 2𝑥 + 2 4 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > = 6𝑥 cos 2𝑥 8 3 sin 2𝑥 +∫ 6cos 2𝑥 8 𝑑𝑥 = 𝑥 cos 2𝑥 2 + 3𝑥 3 sin 2𝑥 2 3𝑥 3 sin 2𝑥 4 − + + 8 5.2 ∫ 𝑥 2 2𝑥 𝑑𝑥 =< ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 > = < ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 >= 𝑥2𝑥 𝑙𝑛2 2∗2𝑥 + ln 23 𝑥 2 2𝑥 ln 2 − 𝑥2𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 2 2𝑥 ln 2 2∗2𝑥 +∫ 2𝑥 − ∫ ln 2 ∗ 2𝑥𝑑𝑥 = ln 22 𝑑𝑥 = 𝑥 2 2𝑥 ln 2 −