Уилкинс

3.2.
Схлопывание металлического
упругопластического кольца
под действием продуктов детонации
(лагранжев метод Уилкинса)
Как известно из физики взрыва, одним из этапов функционирования кумулятивного заряда (рис. 3.8, а) является схлопывание металлической облицовки кумулятивной выемки в
результате ее обжатия под действием продуктов детонации
взрывчатого вещества (далее для краткости — продукты детонации) (рис. 3.8, 6). Такой процесс предшествует образованию кумулятивной струи, параметры движения и состояния которой (начальные радиус, скорость, градиент осевой
скорости, температура) определяются параметрами схлопывающейся облицовки. В силу этого обстоятельства определение основных параметров схлопывающейся облицовки представляет самостоятельный интерес.
В случае осесимметричного кумулятивного заряда движение продуктов детонации и материала облицовки обладает
осевой симметрией и поэтому должно исследоваться в рамках решения двумерной осесимметричной т - 2 - [задачи нестационарной газовой динамики и динамики упругопластической среды. Однако в первом приближении можно исследовать схлопывание элемента металлической облицовки в рамках одномерной осесимметричной нестационарной г - {-задачи
(рис. 3.8, в). В этом случае предполагается, что выполняется гипотеза, плоских сечений, элемент облицовки имеет кольцевую форму (Ёо — начальный наружный радиус, 60 — начальная толщина) и окружен кольцевым слоем взрывчатого
вещества (Ао — внутренний радиус примыкающей к облицовке части кумулятивного заряда, К. — наружный радиус
кумулятивного заряда). Предполагается также, что движение
как материала кольца, так и продуктов детонации происходит
лишь
в радиальном
направлении:
® = %;7* = ит",
где т’ —
Радиальный базисный вектор, у, — единственная отличная от
нуля радиальная компонента вектора скорости. Ясно, что для
математического описания такого движения наиболее удобна
241
2
Рис.
8
3.8.
К
постановке
одномерной
осесимметрич-
ной задачи о схлопывании металлического упругопластического кольца под действием продуктов детонации:
а — схема кумулятивного заряда с металлической облицовкой кумулятивной выемки; б — характер движения продуктов детонации и материала облицовки при функционировании кумулятивного заряда; в — расчетная схема для исследования схлопывания элемента металлической облицовки в
рамках решения одномерной осесимметричной нестационарной задачи
цилиндрическая система координат (т, 8, 2). В этой системе
координат % 7 0, %4 = 9, = 0, а все параметры движения и
состояния зависят лишь от одной радиальной координаты и
времени: и = (т, #), р = р(т, ®), р = р(т, #), Е = Е(т, $) ит.п.
242
Ясно также, что при предполагаемом отсутствии зависимости параметров движения и состояния от осевой координаты
; и угловой координаты д и при отсутствии движения вдоль
этих направлений, по существу, рассматривается радиальное
движение произвольного плоского сечения бесконечно длинной
в осевом направлении цилиндрической оболочки, окруженной
таким же бесконечно длинным слоем взрывчатого вещества.
В рамках одномерной модели схлопывания элемента, металлической облицовки для взрывчатого вещества примем гипотезу
мгновенной детонации и будем считать, что в начальный момент времени {# = 0 из взрывчатого вещества образуется сильно сжатый газ с параметрами мгновенной детонации: и = 0,
р =
Ровв,
Р
=
РМД
=
Ровв.22 /8,
Е
=
0,
где
Ровв,
р,
9
—
соответственно начальная плотность взрывчатого вещества,
скорость детонации и удельная теплота взрыва заряда взрывчатого вещества.
Особенности напряженно-деформированных состояний
взаимодействующих деформируемых сред, а также принцип
задания лагранжевых линейных и лагранжевых массовых координат выявляются при рассмотрении рис. 3.9, где показана
произвольная индивидуальная частица сплошной среды, ограниченная координатными поверхностями цилиндрической системы координат, в начальный ($ = 0) и произвольный ($ > 0)
моменты времени.
{>0
#=0
6.Я
62
я
А
Рис.
3.9.
К
выявлению
%
особенностей
пе
напряженно-де-
формированных состояний взаимодействующих деформируемых сред при их одномерном осесимметричном
течении и к принципу задания лагранжевых линейных
и лагранжевых массовых координат
243
Будем
считать,
в начальный
что
момент
расстоянии
"|
выделенная
времени
находится
= А, имеет
ность ро и массу 4т|
‚
„=
индивидуальная
толшину
от
оси
симметрии
АЙ, начальную
(Е 49) аЕ агро.
42
частица,
на
плот-
При решении од-
номерных плоских задач массы индивидуальных частиц обычно рассматриваются как погонные (см. раздел 1.1), а в случае
одномерных осесимметричных течений они относятся к единице длины вдоль оси 2 и к единице угла 0:
4т, = т], ‚ , 42 / (4249) = рва
Начальное
частицы
значение
"|
=
эйлеровой
А является
= ро? 2). — (3.27)
координаты
значением
индивидуальной
ее лагранжевой
ли-
нейной координаты, погонная масса частицы 4т представляет
собой дифференциал лагранжевой массовой координаты, сама
же лагранжева массовая координата
2 _
ры
В
т =—
]
Ко-6о
6
2
0-8)
при
К
<
Ко,
2
ат
=—
ром
Е?
(Во - 60)?
0 -— (№0
0)
2
2
+
в
+ Ровв——5—^ при > Во
по физическому смыслу является не изменяющейся во времени
погонной массой, заключенной между внутренней поверхно-
стью кольца с лагранжевой линейной координатой (№о — 60) и
данной индивидуальной частицей (где ром — начальная плотность материала облицовки). Не изменяется во времени и масса индивидуальной частицы 4т, и в произвольный момент
времени { текущее значение плотности частицы р, расстояние от нее до оси симметрии т (текущее значение эйлеровой
координаты данной частицы) и толщина 4т оказываются взаимосвязанными между собой:
ат = татр.
244
(3.28)
На рис. 3.9 видно, что координатные линии цилиндрической системы координат определяют главные оси тензора
деформаций. Действительно, в процессе движения происходит изменение длин материальных отрезков радиального и
тангенциального направлений, материальные отрезки осевого
направления не изменяют своей длины, а углы между материальными отрезками всех трех направлений не изменяются,
т.е. сдвиговые деформации в выбранной системе координат
отсутствуют. Тензоры деформаций и скоростей деформаций
в соответствии с геометрическим смыслом компонент тензора
деформаций характеризуются следующими матрицами:
Е
в-[:]
При отсутствии сдвиговых деформаций в выбранной системе координат в индивидуальных частицах сплошной среды не
будут возникать и касательные напряжения, а ограничивающие данную частицу площадки, совпадающие с координатными поверхностями цилиндрической системы координат, будут
являться главными площадками для тензора напряжений (0)
и девиатора напряжений (До). Поэтому тензор напряжений,
девиатор напряжений и шаровой тензор напряжений (5) будут характеризоваться следующими матрицами:
ы-[:]
Оо
(2%;
=
0
0
0
ПО
0
0
ПО.
245
выэ-[2
При этом напряженное состояние материала, кольца, будет характеризоваться тензором напряжений 0;; = 501; + Пой =
= -29:; + оц» а тензор напряжений в продуктах детонации (идеальная среда) будет являться шаровым: 0%; = бо; =
= -29:;.
Приведем теперь систему уравнений, описывающую одномерное осесимметричное динамическое деформирование материала кольца и продуктов детонации в том виде, который
используется при последующем численном решении задачи с
помощью сеточного лагранжева метода сквозного счета — метода Уилкинса.
Как известно из механики сплошных сред (см. том 1,
главу 4), при постановке задачи динамики упругопластической среды составляемая для описания движения система
уравнений имеет вид
а
я + РУ = 0;
4%;
> = У;с7;
АЕ
р Е
::
1
8) = 5 (Ув; +Ур);
а Ро:
4
2]
(3.29)
.
+ 2САБс;
=2С
(Е
— 29:
=
1 4
=24
р=рР(р, Е);
о) = _ 9) + Вау;
3
01)7 .
А =
52°"
246
(+
ев)
;
Система уравнений
(3.29) включает
(в порядке следования)
дифференциальные уравнения законов сохранения массы, импульса (в пренебрежении объемными силами), энергии (в
адиабатическом приближении), кинематические соотношения,
уравнения пластического течения Прандтля — Рейсса, уравнение состояния, взаимосвязь тензора напряжений, шарового
тензора и девиатора напряжений и соотношение для определения скалярного множителя А, участвующего в записи уравнений Прандтля — Рейсса и зависящего от удельной мощности
пластического деформирования.
Система уравнений (3.29) записана в тензорной форме,
справедливой для течения любой геометрии и в любой системе координат. С помощью операций тензорного анализа,
(см.
том1, главу 1) из нее может быть получена, система уравнений для рассматриваемого одномерного осесимметричного течения в цилиндрической системе координат. Так,
дифференциальное уравнение неразрывности при %; = и # 0,
19 =. = 0 примет вид
ар
затем оно может
быть
ди
(+)
и\
_
=0
преобразовано
как
4(1/р) _ 1 0(ы)
@
рт
д
и с учетом (3.28) окончательно представлено в лагранжевых
массовых координатах через величину относительного удельного объема:
ау
— =
д(ит)
3.30
где относительный удельный объем У = (1/р) / (1/0) =
= ро/р = 1/7 — величина, обратная относительной плотности
7 = р/ро. Из трех дифференциальных уравнений движения
при одномерном течении среды имеет смысл лишь уравнение
247
движения в радиальном направлении. Это уравнение в принятой цилиндрической системе координат с учетом особенностей
напряженного состояния можно представить в виде
рам4 — 007,
9-08.
дт
т
(3.31)
Для записи уравнения (3.31) использованы полная (индивидуальная, субстанциональная) производная по времени 4и/4
(определяет ускорение индивидуальной точки сплошной среды) и частная производная до: /дт радиальных напряжений по
эйлеровой координате г. При реализации лагранжева, подхода,
к описанию
движения
эти
частные
производные
определяются
для каждой индивидуальной точки среды, для чего необходимо
знать
текущие
изменяются
в
значения
соответствии
их
с
эйлеровых
координат,
дифференциальным
4_
@_
и.
которые
уравнением
(3.32)
Уравнение энергии определяет скорость изменения удельной (отнесенной к единице массы среды) внутренней энергии
Е индивидуальных частиц сплошной среды в зависимости от
удельной мощности деформирования. Как известно из механики сплошных сред (см. том1, главу 2), удельная мощность деформирования представляется в виде суммы двух составляющих, одна из которых связана с изменением объема
(или плотности) частиц, а другая — с их формоизменением.
Поэтому уравнение энергии может быть записано в виде
аЕ
@&
О'Ёз; _
р
р 4р
РУё,;
[2%
р
°
с учетом особенностей напряженно-деформированного состояния
может
быть
представлено
как
4Е _ _ 4(1/р) + Потёт + БовЁ0
в
248
Ра
р
и при
ема
использовании
примет
величины
окончательный
и
объ-
(3.33)
где Еу = Еро — удельная внутренняя энергия,
единице начального объема среды.
Для одномерного осесимметричного течения
упрощаются и кинематические соотношения —
ваемом случае имеют смысл лишь выражения
отнесенная к
Тангенциальной
у
удельного
+ Бовёв),
ной,
=
относительного
вид
+У (Ротёг
и осевой
компонент
существенно
в рассматридля радиаль-
тензора
скоростей
деформаций:
,
ди
ё; = р;
сом,
ёв = =}
_
= 0.
(3.34)
Физико-механические свойства материала кольца, и продуктов детонации определены с помощью уравнений, описывающих их физическое поведение (способность деформируемой
среды сопротивляться изменению объема или плотности частиц) и механическое поведение (способность деформируемой
среды сопротивляться формоизменению частиц).
Физическое поведение в общем случае описывается урав-
нением состояния р = р(р, Е) (или р = р(р, Т), р = р(р, 5)).
Для простоты будем считать, что расширение продуктов детонации в процессе метания кольца происходит изоэнтропически (в сочетании с гипотезой мгновенной детонации это вполне приемлемое предположение, так как в этом случае в газе
не распространяются ударные волны). Тогда физическое поведение продуктов детонации может быть охарактеризовано
уравнением изоэнтропы
р= Аввр* = Аввриввт,,
(3.35)
где для конденсированного взрывчатого вещества к = 3, константа Авз определяется из условия мгновенной детонации
Рмд = Аввр’вв, а, относительная плотность 7 = р/ровв.
При
описании физического поведения материала кольца, будем исходить из известного из физики взрыва факта: при давлении
249
менее 50 ГПа металлы имеют весьма близкие значения ударной адиабаты, изоэнтропы и изотермы (частные следствия
уравнения состояния соответственно на фронте ударной волны, при постоянной энтропии и при постоянной температуре).
При нагружении металлической облицовки взрывом давление
не превышает указанного верхнего предела, что дает основание рассматривать материал кольца как баротропную среду и
с приемлемой точностью описывать его физическое поведение
с помощью уравнения ударной адиабаты в форме Тэта:
р= Ам [(р/ром)" — 1] = Аы(1” - 1),
где константы,
= 30,2 ГПа,
например
для меди,
имеют
п = 4,8, а под относительной
значения
плотностью
(3.36)
Ам
=
пони-
мается величина 17 = р/ром.
Механическое поведение газообразных продуктов детонации описывается в рамках модели идеальной среды. Такая
среда не оказывает сопротивление формоизменению и независимо от деформаций и скоростей деформаций характеризуется
тензорным определяющим уравнением (Д.) = 0. В продуктах
детонации реализуется напряженное состояние всестороннего
сжатия 0; = 04 = 09: = -р, и приведенные выше уравнения
движения (3.31) и энергии (3.33) приобретают характерный
для газа вид.
Механическое поведение материала кольца следует описывать в рамках модели упругопластической среды по теории
пластического течения, так как схлопывание металлического
кольца при нагружении его продуктами детонации сопровождается сложными волновыми процессами и происходит при
больших конечных деформациях.
На рис. 3.10 показана диаграмма, характеризующая сопротивление материала кольца формоизменению. В качестве
такой диаграммы выбрана одна из самых простых идеализированных диаграмм — диаграмма идеальной упругопластической среды, для которой существует упругий участок 0М!1,
а пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности ассоциированы с одним и тем же значением от — пределом текучести при одноосном растяжении. Для материала,
250
=]
Рис.
3.10.
Диаграмма
механического
по-
ведения материала кольца, рассматриваемого в рамках модели идеальной упругопластической среды
механическое поведение которого характеризуется такой диаграммой, в качестве критерия пластичности выступает кри-
терий Мизеса о; = от или Т›(П)о) = РР;
= (2/3)а2, гле
Т›(Ре) — второй основной инвариант девиатора, напряжений.
Рассматриваемому одномерному осесимметричному течению
отвечает запись критерия пластичности Мизеса в виде
22, + 02, + 02, = 2,
(3.37)
и именно таким образом взаимосвязаны между собой компоненты девиатора напряжений при пластическом деформиро-
вании материала кольца (участки М1 Ма, М2 М4 на рис. 3.10).
При деформировании в упругом режиме (на участках 0М1,
М2 Му, МзЗМ2
с; < от) компоненты девиатора напряжений
в материале кольца удовлетворяют условию
02, + 025+ 02, :<3 2 02.
(3.38)
В процессе деформирования материала кольца изменение
компонент девиатора напряжений во времени характеризуется уравнениями пластического течения Прандтля
— Рейсса,
которые в нашем случае принимают следующий вид:
251
Аб
и
_.[.
ТАУ).
49
1 ау
12 +2САРев=26 (: - та):
4:4 +о23
д
А,)с:
=24
(.
(6.
1
—
ти)
где скалярный множитель А определяется
стью пластического деформирования:
=
а, Е)
@),
(3.39)
,
удельной
мощно-
(рег 2) + рвё) + Резё))
&)
—
Пластические
составляющие
(3.40)
компонент
тен-
зора, скоростей деформаций. В частности, при работе материала. в упругой области (3.38) скалярный множитель Л = и
уравнения Прандтля — Рейсса (3.39) сводятся к чисто упру-
гому уравнению механического поведения ((По) = 2С (О.)),
записанному
в скоростной
дифференциальной
форме.
Замыкают систему уравнений, описывающую динамическое деформирование материала кольца и продуктов детонации, соотношения взаимосвязи компонент тензора напряжений, шарового тензора и девиатора напряжений:
т =
-Р+
Пок;
9 = -Р+
Под.
(3.41)
Постановка одномерной осесимметричной задачи о схлопывании металлического кольца под действием продуктов детонации завершается формулировкой начальных и граничных
условий.
Начальные условия для продуктов детонации (лагранжевы линейные координаты частиц Ку < В < В., см. рис. 3.8, в)
задаются в соответствии с принятой гипотезой мгновенной детонации, а начальные условия для материала кольца (лагранжевы линейные координаты частиц Во — до < В < Во) со
ответствуют условиям покоя, отсутствия деформаций и внутренних напряжений. При {$ = 0 имеем:
252
для Во < Е<
В:
и=0;
т=В;
У = ровв/р
= 1;
РЕРМд = Ровв2?/8;
Бу = @ровв;
для в -&5< < В
и=0;
р
=
Дог
(3.42)
т=Е;
=
од
У = рм/р=1;
= Оо:
= 0;
Ру
= 0.
Граничные условия для рассматриваемой задачи следует
задавать на трех поверхностях: на внутренней поверхности
кольца
(В
=
Во - 40), на наружной
поверхности
кольцево-
го слоя продуктов детонации (А = А.) и на границе раздела,
продукты детонации — металл (В = Во). При решении этой
задачи внутреннюю и наружную поверхности вполне можно
рассматривать как свободные, пренебрегая поверхностными
силами атмосферного давления. В таком случае компоненты
тензора напряжений на поверхности взаимосвязаны между собой и с компонентами единичного вектора, нормали п = п7т;
к поверхности как 0;;17 = 0.
Учитывая, что единичный
вектор нормали к цилиндрической поверхности имеет лишь
одну отличную от нуля радиальную компоненту (п’ = 1,
п = п? = 0), а также принимая во внимание особенности
напряженного состояния материала кольца и поля давления
продуктов детонации, приходим к следующей форме представления динамических граничных условий на внутренней поверхности кольца, и на наружной поверхности кольцевого слоя
продуктов детонации:
для
В = Ко - 60
для В = Вз
(3.43)
Граничные условия для А = Ку на границе раздела продукты детонации — металл (на контактном разрыве) относятся к условиям смешанного типа. У частиц металла, и газа, находящихся в контакте, одинаковы скорости движения (условие
253
«прилипания»), а векторы полных напряжений равны по модулю
и противоположны
тона).
ла
и
поля
давления
линдрическая
форме
для
по
направлению
(третий
закон
Нью-
С учетом особенностей напряженного состояния металгаза
и
поверхность
представления
ориентации
с
осью 2)
граничных
границы
приходим
условий
раздела
к
(ци-
следующей
на границе
раздела,
А = Ко:
им = УПД;
Отым = -РПЛ,
(3.44)
где им и огм — скорость и радиальное напряжение металла, на
границе раздела; пд и рпд — массовая скорость и давление
продуктов детонации на границе раздела.
Таким образом, система уравнений (3.30)—(3.41) с начальными условиями (3.42) и граничными условиями (3.43) и
(3.44) описывает
схлопывание
металлической
облицовки
под
действием давления продуктов мгновенной детонации и является физико-математической моделью этого процесса, в рамках
одномерного приближения.
Следует отметить, что при численном решении задач механики упругопластических сред достаточно часто используют упрощенный метод решения уравнений пластического течения
Прандтля
— Рейсса
(3.39), применяя
так
называемую
процедуру приведения вектора девиатора напряжений на круг
текучести. Поясним сущность упрощенного метода решений
уравнений
Прандтля
— Рейсса
и обоснуем
его.
С этой
це-
лью предварительно определим понятия «девиаторная плоскость», «круг текучести», «вектор девиатора, напряжений »,
«вектор среднего напряжения». Эти понятия вводятся при
рассмотрении пространства главных напряжений 01, 02, 3, В
котором представляются возможные напряженные состояния
упругопластической среды (см. том 2).
На рис. 3.11 в пространстве главных напряжений введена
декартова прямоугольная система координат, по осям которой откладываются возможные значения главных напряжений
01 = 0т, 02 = 04, 03 = 0.. Здесь же показан цилиндр Мизеса, т.е. поверхность пластичности согласно критерию Мизеса
д; = от (или критерию (3.37)). Как известно, точки внутри
254
друг
текучести
%
ПЛОЕКОСтЬ
$: + 9,+ 6. =0
9:
Рис. 3.11.
Изображенные в пространстве главных
напряжений гидростатическая ось, поверхность пластичности согласно критерию Мизеса, девиаторная
плоскость, круг текучести:
© — вектор, соответствующий произвольному напряженному состоянию идеальной упругопластической среды; Р —
вектор, соответствующий шаровому тензору; О). — вектор,
соответствующий девиатору напряжений
цилиндра соответствуют упругим состояниям упругопластической среды, точки на поверхности цилиндра — пластическим состояниям, при этом для идеальной упругопластической
среды, диаграмма механического поведения которой показана
на рис. 3.10, выход за пределы цилиндра Мизеса исключен.
Произвольное напряженное состояние материала кольца,
в декартовой прямоугольной системе координат (от, 0%, 9.)
пространства главных напряжений может быть изображено
вектором в = 01.1 + 0%1 + о.Ё (далее для краткости использован условный термин «вектор напряженного состояния»)
(см. рис. 3.11). В связи с представлением тензора напряжений
в виде суммы шарового тензора и девиатора напряжений вектор напряженного состояния также может быть представлен
в виде суммы двух векторов: © = Ох + Р, где Ох = Поз +
+2).в7+ Рое.К — вектор, соответствующий девиатору тензо-
ра напряжений (далее использован условный термин «вектор
255
девиатора, напряжений»), а Р=0(1+1+
К) = -р(1+1+К)
— вектор с модулем |0|\/З, соответствующий шаровому тензору (далее — вектор среднего напряжения). Очевидно, что
вектор среднего напряжения Р направлен по гидростатиче-
ской оси с единичным вектором нормали п = ($+7-+ Е) / УЗ, а
вектор девиатора напряжений
До перпендикулярен
этой оси,
так как Оо -т = (Рог + Оед + Бо.) /УЗ = Т(Ро)/УЗ = 0,
где Т()ое) — первый основной инвариант девиатора напряжений.
Плоскость ог + 0у + 9. = 0, проходящая через начало координат декартовой прямоугольной системы координат пространства главных напряжений перпендикулярно гидростатической оси, называется девиаторной плоскостью (см.
рис. 3.11). Все возможные векторы девиатора напряжений Ох,
удовлетворяя условию Дог + Дед + По. = 0, находятся в этой
плоскости, и их выход за ее пределы исключен. Девиаторная
плоскость пересекается с цилиндром Мизеса, по кругу текучести радиусом А = вт\/ 2/3, равным радиусу цилиндра. Круг
текучести в девиаторной плоскости показан на рис. 3.12, где
точка 0 соответствует началу координат, а проекции координатных осей пространства главных напряжений ориентированы под углом 120° друг к другу.
Рис. 3.11 и 3.12 наглядно подтверждают известное утверждение о том, что гидростатическое давление р не оказывает
влияния на выполнение критерия пластичности Мизеса (3.37).
Рис. 3.12.
Круг
текучести
в
девиаторной плоскости и траектории крайней точки векто-
ра
девиатора
упругом
(0М:,
пластическом
формировании
256
напряжений
М2Мз,
МзМ})
(М! М2, ММ.)
материала
при
и’
де-
Действительно, выполнение критерия пластичности Мизеса
соответствует выходу на поверхность пластичности крайней
точки вектора напряженного состояния с с координатами ог,
09, 02. Ясно, что вектор среднего напряжения Р, коллинеарный гидростатической оси, не оказывает влияния на приближение
крайней
точки вектора напряженного
состояния
в
к поверхности пластичности, а этот процесс контролируется
и определяется только вектором девиатора напряжений Пс:
выполнению критерия пластичности Мизеса отвечает выход
крайней
точки вектора До
на круг текучести.
При
пласти-
ческом деформировании идеальной упругопластической среды, происходящем при постоянном значении интенсивности
напряжений о; = от (постоянное выполнение критерия пластичности Мизеса (3.37)), крайняя точка вектора О. будет
перемешаться по кругу текучести, а при упругом деформировании — внутри круга текучести (см. соответствующие
точки 0, Му, Мо, М3, М},
М4 на рис. 3.10 и 3.12).
Приведенные рассуждения создают основу упрошенного
метода решения уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса (3.39). Перепишем
ар.
ИТ.
+
+2)
о
эти уравнения в виде
=2С
т ау
|&=—
'
ЗУ 4&/’
где $ = г, 6, 2. Согласно этим уравнениям приращения компонент АД)х.; вектора, девиатора, напряжений за малый промежуток времени ДЁ определяются как
др; = АР® — САРА,
(3.45)
где
—
ДО.(е) =2С
(: 1
ЗУ
д
—
4
(3.46)
приращения компонент вектора девиатора напряжений, какими они были бы при упругой работе материала. Соотношение
(3.46) эквивалентно уравнению А(До) = 2СА(Ш.), определя-
ющему механическое поведение упругой среды и записанному
в прирашениях. Из уравнения (3.45) следует, что при пластическом деформировании упругопластической среды (Л # 0)
9 — 2728
257
истинные приращения компонент АД)о; вектора девиатора напряжений
отличаются
от предсказанных
Ар)
в предполо-
жении упругой работы на величину, пропорциональную компонентам До; вектора девиатора напряжений. Отсюда разность истинного приращения вектора девиатора напряжений
и приращения вектора девиатора напряжений в предположении упругой работы материала есть вектор, коллинеарный самому вектору девиатора напряжений:
ДО, = АР — 2СААШ..
(3.47)
Соотношения (3.45)—(3.47) в сочетании с критерием пластичности Мизеса (3.37) позволяют простым путем решать урав-
нения
пластического
течения
Прандтля — Рейсса,
по суше-
ству заменяя их решением уравнений (3.46) для упругой среды
с последующей проверкой выполнения критерия пластичности
Мизеса (3.37) и приведением в случае необходимости вектора
девиатора напряжений на круг текучести.
На рис. 3.13 в девиаторной плоскости проиллюстрирован
упрощенный метод решения уравнений Прандтля — Рейсса
для двух типовых случаев — наличия пластического течения
(а) и упругой работы материала (6). Будем считать, что в
а
Рис.
3.13.
К обоснованию
упрощенного
ния
5
решения
Прандтля —
вычислительной
уравнений
тече-
Рейсса:
а — пластическое деформирование;
ние
258
процедуры
пластического
б — упругое деформирова-
момент времени { материал находится в упругом состоянии,
вектор девиатора напряжений До с компонентами До; находится внутри круга текучести радиусом В = вт\/ 213. Предположим, что в течение промежутка времени Д{ материал работает упруго, вектор девиатора напряжений получает при-
рашение
ДОу’
с компонентами
е
р( ) = Рое+ Ар)
вора
е
(3.46), становится
и имеет компоненты
р)
выполнения критерия пластичности
равным
е
= Эа; + др®. )
Мизеса (3. 37)
по отношению к компонентам ре °) позволяет установить, верно ли сделанное предположение об упругой работе материала.
При выполнении условия
(+ (2) +(08 <
2
2
материал действительно работает упруго и вектор девиатора
напряжений к моменту времени # = #+ ДЁ имеет значение
О! = ре)
с компонентами
противоположном
(ву
2’, = р)
случае при
(см.
рис. 3.13, 6).
В
+8 >
вектор «упругого» девиатора напряжений ре) выходит за,
круг текучести, что говорит о пластическом деформировании
материала, в течение промежутка времени ДФ и о необходимо-
сти использования уравнений пластического течения (3.45),
(3.47) для определения вектора девиатора напряжений О, к
моменту времени # = {+ ДЕ (см. рис. 3.13, а). Ясно, что крайняя точка вектора, О’, должна находиться на круге текучести,
и ее положение определяется пересечением вектора, ре) сэтим
кругом. Фактически вектор О’ получается путем уменьшее
у
ния вектора, р) и каждой его компоненты пропорционально соотношению радиуса круга текучести и модуля вектора
«упругого»
9*
девиатора напряжений
у
е
Ох:
259
=
от
у 2р)
329
р. = 0(®)
0
(3.48)
91
2/3
(ое) (58) + (8)
2
2
2
На рис. 3.13, а видно, что определенный таким образом
вектор девиатора напряжений О’, вполне удовлетворяет ураз-
нениям Прандтля — Рейсса: разность истинного приращения
вектора
девиатора
напряжений
А..
шения его «упругого предсказания»
=
О, - О; и
др“)
прира-
оказывается кол-
линеарной самому вектору девиатора напряжений О’,. Описанный выше метод упрощенного решения уравнений пластического течения Прандтля
— Рейсса обычно называют процедурой приведения вектора девиатора напряжений на круг
текучести, ассоциируя его с завершающей стадией определения компонент девиатора напряжений. Эта процедура довольно проста и удобна и в большинстве случаев используется
при численном исследовании динамического деформирования
упругопластических тел.
Перейдем теперь к рассмотрению алгоритма численного решения задачи о схлопывании металлического кольца под
действием продуктов детонации с помощью метода Уилкинса.
В основе этого метода лежит схема «крест» с псевдовязкостью. Поэтому с его помощью удобно рассчитывать течения
с ударными волнами, а также с имеющимися контактными
разрывами и границами с динамическими граничными усло-
виями (за счет использования «фиктивных» ячеек).
На рис. 3.14 в плоскости изменения независимых перемен-
ных (В, #) показана, разностная сетка, вводимая на этапе построения дискретных аналогов сплошных сред, участвующих
в рассматриваемом процессе, и на этапе дискретизации по времени. Присвоим координатный индекс 1 = 1 узлу сетки, расположенному на левой внутренней границе кольца. Узел на
260
АЯ
А
_&
$ й+
у
Г,
>
|
Е
Д 1
+
|
|
|
+4
|
|
я
|
|
|
|
+
|
1
ЕТ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#—
:
;
Е
<>
=
|
1+7
АВА АОИ
М
-
{+42
ПИ
ПО
ЧО ПИ
рр,
РЁ Еу, В16)
4 _
<
7
О
——
ячейка
РИ
о
——
-
|
-|
-|
1
условия
Начальные
0.0)
(т= ь
< Фиктивиая >
И
+
|
Рис. 3.14. Разностная сетка метода Уилкинса для расчета параметров схлопывания металлического
кольца под действием продуктов детонации с шаблонами для аппроксимации дифференциальных
уравнений и вычисления значений сеточных функций
ИРА.
(тр=0 бр =0)
-121-н---- о
Ячейки продуктой детонации
Ячейки кольца
< Фиктивная» ячейки
1
97
НР:
|
ее › (258):+12
9---|-
|
|
12
=)
д
|
=Г:
|
у
7
УХ
|
>_
1+
Е
1
и}
А
Е-
т
=>
г
Е
|
|
7-В
1-ГЕ--
- 1%
А
+
т”
—
261
границе раздела будет характеризоваться номером $ = М, а
правый граничный узел — номером 1 = М. При такой индексации узлов сетки по координате на материал кольца приходится М - 1 ячеек, а на продукты детонации — М - М ячеек.
Для простоты будем считать, что сетка является равномерной по лагранжевой линейной координате Ё и характеризуется шагом
АЕ=
Тогда
лагранжевы
1 <:< М и
6%
_ Ез- Ко
М-1
линейные
их начальные
М-М`
координаты
эйлеровы
всех
узлов
координаты
сетки
определятся
как
Е; = то = В + АЕ(#- М).
Например, при: =1
+ =М
Вм =
Е..
(3.49)
А! = Во - 00, при: = М
Вм = В, при
Будем обозначать ячейки сетки по коорди-
нате дробными индексами (полуцелые точки по координате).
Например, индекс $ + 1/2 соответствует ячейке между узламиф и:-+ 1, при 1 = 1 дробный индекс указывает на левую
приграничную ячейку, при $ = 0 — на примыкающую к левой
границе «фиктивную»
ячейку, при 1 = М -1 — на правую
приграничную ячейку, при 1 = М -- на «фиктивную» ячейку,
примыкающую к правой границе. Каждая ячейка сетки является разностным аналогом индивидуальной частицы и имеет
определенную массу (шаг сетки по лагранжевой массовой координате — разностный аналог дифференциала лагранжевой
массовой координаты), которая вычисляется на основании вы-
ражения (3.27) как
82.
— 82
=—
при1 <<
20м
М -1
(для металла),
Вт
Ровв— 5
В,
при М
<<
М-1
(для продуктов детонации).
262
Сетка по времени определяется совокупностью целых временных слоев {; и полуцелых временных слоев {;+1/2, при
этом различают шаг перехода, с одного целого временного слоя
на другой Д4;. 1/2 = {+1 -1; (индекс временного шага 7 + 1/2
является средним между номерами целых временных слоев) и
шаг перехода, с одного полуцелого временного слоя на другой
А;
= 1;41/2- 18-112 (индекс шага ] является средним между
номерами полупелых слоев). Совокупность целых и полуцелых точек по координате и по времени задает «шахматную»
разностную сетку. На такой сетке эйлеровы координаты определяются в узлах на целых временных слоях (27), скорости
—
Также
в узлах,
но на полуцелых
временных
слоях
+1/2
(“+
3
/
) .
все параметры состояния — в центрах ячеек на целых временных слоях (у, р, ог, Оов, Оо», Ву)!+1 в) ‚ псевдовязкость и
компоненты тензора скоростей деформаций — в центрах ячеек
на полуцелых временных слоях (в р , (1, 0, Ё В о ).
Приведем теперь конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие решаемую задачу о схлопывании металлического кольца под действием продуктов детонации (система
уравнений (3.30)—(3.41) с начальными условиями (3.42) и граничными условиями (3.43) и (3.44)), придерживаясь последовательности, обычно используемой при вычислениях в программах численного расчета. Характерные узлы сетки и используемые для аппроксимации дифференциальных уравнений шаблоны показаны на рис. 3.14.
Начальные условия задаются в группах узлов на начальном временном слое } = 0 и на ближайшем к нему
«фиктивном»
полуцелом
временном
слое
с индексом
—1/2.
Необходимость ввода такого «фиктивного» временного слоя
обусловлена используемой «шахматной» разностной сеткой.
В соответствии с начальными условиями (3.42) начальные
значения сеточных функций должны задаваться следующим
образом:
263
=;
У
1
и? = О при1 << М
(во всех узлах сетки);
1/2
= 1,
(Рот,
ое,
при 1 <: <
0
Ро:):+1/2
М -1
=
(во всех ячейках сетки);
0 при 1 <: < М - 1
(Бу) 12 =
1
0
0
(в ячейках,
принадлежащих
материалу кольца),
Оровв при М < {< М - 1 (в ячейках,
принадлежащих газу);
0 при 1<:<М-1,
НМ
> | ровв?/8 при М <ё< М-1;
рб
11/2
ра
Ровв при М << М-1.
(3.51)
Дифференциальное уравнение движения (3.31) аппроксимируется на девятиточечном шаблоне, обозначенном на
рис. 3.14 как «и» (шаблон для расчета массовой скорости).
Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид
:+1/2
И
- и
‚1/2
/
_
7
(9+); +112
АУ
_
7
(9*); 1/2
фе
+87,з
— (3.52)
где
)
2 [р
72
(я = 91)
2
1
+ 2:12 (И
при 2 <1< М - 1
=42
2
[ар
2
у
(На - "|
(во всех внутренних узлах),
:—
при? = 1
(мня
(в левом граничном узле),
1
1
:—
(в правом граничном узле);
264
2
- ")
1
(о*
2
т
98)! 12
(7 + м) [2 "
при 2 <:<
87 = {
(* — 981412
2
2
(И
+ "!) [2
М-1,
(о — 08) 12
при {= 1,
2
2:1 12 (Мн
11
+ ") [2
(2: -в в)! 12
при
# = М;
| 2:—1/2 (7 +" _ ‚) /2
[
;
- (а
+
1-—1/2
р)
+ (Ре
при 1 <: < М
- 1 (во
всех
внутренних ячейках),
(9);-+1/2 = } Оприё=0
7
=
(в левой «фиктивной»
ы
х.
У
ячейке),
0 при : = М (в правой «фиктивной»
ячейке);
х
.
.
;—1/2
(в) =- (Мар + чар) + (Ровуьць
При
вычислении
условий см.
Ф
1515-Е
$+1/2 на границах
Учитываются динамические граничные у омвия
(3.43).
В
«фиктивных» ячейках, примыкающих к внутренней поверхности кольца и наружной поверхности кольцевого слоя
продуктов детонации, полагаются равными нулю их масса
(плотность р) и радиальные напряжения о’ (обоснование использования «фиктивных» ячеек для расчета динамических
граничных
значений
.
и (в)!
подробнее в разделе 2.1.5).
Конечно-
разностное уравнение (3.52) решается для всех узлов разностНОЙ
сетки,
рости
р
у-1/2
в результате
на
чего
последующем
определяется
временном
поле
массовой
ско-
слое.
265
Следующим этапом вычислений при решении задачи
является расчет новых значений эйлеровых координат г] +1
всех узлов 1 < {< М сетки. Расчет проводится по конечноразностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение закона изменения текущих значений координат (3.32) на «вертикальном» шаблоне, обозначенном на
рис. 3.14 как «т»:
НН -я
— +2.1+1/2
41; 41/2
(3.53
1
В дальнейших вычислениях используются также значения эйлеровых координат на полуцелом временном слое, которые
определяются простым усреднением новых и прежних значеНИЙ:
ты
г
(9
+1) /2.
Рассчитанные
скорости
+
1/2
=
и! +1/2
позволяют
И ТЬ
и
эйлеровы
новое
поле
координа-
относительно-
го удельного объема уч
+1 р. или плотности р /з путем решения конечно-разностного уравнения неразрывности.
Это
конечно-разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.30) на, шаблоне «крест» (шаблон «У, 4»
на, рис. 3.14) и имеет вид
„7+1
АИ
А1;41/2
Учи
С
-
учетом
ляют
ную
У
0
О
плотность
т
7+1
Ру+1/2
= = 60 41/2
для
27=1 / м
у7+мы г
и
удельного
дальнейших
1/2
/
71/2
7;
И
объема
УИ
вычислений
. (3.54)
опреде-
относитель-
непосредственно
плотность
а, также объем на полуцелом времен-
,7+1/2
_ ( Учи
1+1
41/2
=
Скорости
ч
т+1/2
относительного
необходимые
ном слое
7+1/2 „7+1? _ ил+2
=
12
+ У
эйлеровы
) / 2.
координаты
+ 12
ПОЗВОЛЯ-
ют также рассчитать компоненты тензора, скоростей деформаций (3.34), необходимые для разностного решения уравнения
266
энергии (3.33) и уравнений пластического течения (3.39). Для
такого расчета используется «горизонтальный» шаблон, обозначенный на рис. 3.14 как «ё»:
и? _ +?
(&
)7+1/2
—
м1
7/12
7+2
Т.+1
м,
.
_ „7+1? ’
п"
+1/2
11/2
‚ \7+1/2
1/2
ен
г
+
Ни?
(3.55)
}
_
(=) 41/2 = 0.
Следует отметить, что расчет скоростей деформаций необходим лишь для ячеек 1 <$< М-1, принадлежащих материалу
кольца (скорости деформаций входят в уравнения пластиче-
ского течения
Прандтля
— Рейсса).
Для продуктов детона-
ции, являющихся идеальной средой, такая необходимость отсутствует: напряженное состояние всестороннего равноосного
сжатия газа в ячейках М < : < М - 1 определяется и в отсутствие информации о скоростях деформаций.
Однако для
упрощения алгоритма и расчетной программы можно проводить сквозной расчет скоростей деформаций для всех ячеек
1<:< М - 1, а особенности механического поведения взаимодействующих сред учитывать на последующем этапе — этапе
решения уравнений Прандтля — Рейсса.
Численное решение уравнений пластического течения
Прандтля — Рейсса проводится в соответствии с обоснованной выше упрощенной процедурой (шаблон «Еу, р, Оо» на
рис. 3.14). Сначала исходят из предположения, что материал
В течение шага сетки по времени Дт; 1 [2 работает упруго,
и в соответствии с «чисто упругим» уравнением механического поведения (3.46) определяют предварительные значения
компонент девиатора напряжений:
(е)\ 7+1
(2%)
+26
_
1
= (Рейне +
.
\7
р
2
Ао
7+1
7
41/2 = У 41/2
71+1/2
ЗУ +112
)
(3.56)
267
где К — свободный индекс, принимающий любое из значений
К = т, 0, 2. Затем по вычисленным предварительным значениям проверяют выполнение критерия пластичности Мизеса,
(3.37). При выполнении условия
+1
р)
|(
12
ре)
$). +]
у+т
12
( ое
41
р(®)
ы
12
( яя а
2
д2
<32т
предположение об упругой работе материала в течение шага,
сетки по времени Д{;_.1/2 верно и «упругое предсказание»
определяет истинные компоненты девиатора напряжений:
=
(Рот
(29
+12 —
1/2’
(РН,+1 = _ (2%(2) ) ар
м
_
(3.57)
(ре)
(Родные = (29)
В
противоположном
ре)
Пот
7+1
случае,
12
(е)
Ре
+
#41/2
при
7+1
.
12
(е)
|(2е:
+
{41/2
7+1
).
"2
#412
2 д?
бт,
3
в течение шага, сетки по времени дь +1/2 происходит упругопластическое деформирование материала, и компоненты девиатора напряжений определяются в соответствии с процедурой
приведения вектора девиатора, напряжений на круг текучести:
(Рок)
+1
_
(е)
= (2%)
1
бт\/2/3
х
У
7+1
12 (29) 741
25)
97 1 14-1/2 +9
{1/2
12
+
(3.58)
ужа
12’
(25
52); #41/2
где К = г, 0, 2. Обратим внимание на то, что при задании
модуля сдвига С’ = 0 в результате решения уравнений пластического
268
течения
получаем
(е)
(29).
2+1
1+1/2
=
(р
(е)
99
2).
7+1
/3+-1/2
=
=
1-1
е
2)
3+1/2
=
0, что
соответствует
механическому
пове-
дению продуктов детонации.
Поэтому и расчет компонент
девиатора напряжений может проводиться сквозным образом
с соответствующим заданием модуля сдвига:
С # 0 при
1<:<
М -1С=д0при
М << М-1.
Следующими этапами расчета являются определения полей удельной внутренней энергии и давления. Если в качестве уравнений состояния продуктов детонации и материала кольца выбраны уравнение (3.35) изоэнтропы и уравнение
(3.36) ударной адиабаты в форме Тэта, то давления в ячейках,
принадлежалцих материалу кольца и продуктам детонации,
определяются по уже вычисленным значениям относительной
плотности т /2 = 1 / и:
;
+1
Аввобвв (Ио)
н/о
+1 =
м (#1 )"
_ 1]
Е
при1 << М-1,
.
при М <:<
(3.59)
М- 1.
Удельная внутренняя энергия определяется по конечно-разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение энергии (3.33), при этом используются уже вычисленные значения
7+1.
Уна
РН
(о
(: +12.
(Вкл;
= [Ро
+ (Рок) и
/2.
где К = т, 9. Конечно-разностное уравнение энергии принимает вид
+1
(Еу), 1/2 = (Вия
1+1/2 Т
о
+ ре
А Р141/2
=
+12
9;-++1/2
+1
(и,
(ЕН+ (рН
- У)
+
Авар (3.60)
269
и должно рассчитываться для всех ячеек 1 <: < М - 1 сетки.
При этом для продуктов детонации (М <<
М-1) при
Дог = Од = Пс. = 0 это уравнение сводится к виду
2+1
)
—
(Еу); 1/2 - (Ву) $+1/2
_
еА
ти | +
е
е
ненй | (унь Ур).
Следует отметить, что в общем случае уравнения состояния деформируемых сред могут задаваться в более сложном
виде, например в калорической форме: р = р(р, Еу) = А(1) +
+ В(п)Еу, где А(п) и В(1) — функции относительной плотности 7 = р/ро. Тогда вычисление удельной внутренней энергии
и давления несколько усложняется.
нение энергии принимает вид
(Буй,
Конечно-разностное урав-
- (Бу) 12 =
А (т 1)
+В
(+ ,)
(ВУ
+ 212
ах
2
х (У
7+1
+1
7+1/2
7
+ (^Еф); 41/2,
У)
-
(3.61)
где
1+1
7+1
+1
А (®Н») +8 (пыл) (Вуз=РИН
искомое
давление,
=
1-+1/2
[рН
1+1/2
(&,);4+1/2
+ (р
приращение
по времени
270
(3.62)
а
1+1/2 _
(АЕф); 1172
—
удельной
1; 1/2.
работы
+1/2
Нь
+
+1/2
вн
формоизменения
41,112
за шаг
сетки
Уравнение энергии (3.61) может быть разрешено относительно искомой удельной внутренней энергии, и в результате
эта величина вычисляется из выражения
(ВУ
(Ву)! 1/2 + (АЕъ)
—
в( 7+1
1+
А(т)
7;-+1/2
2
+12
(у
у
+4412
(у
11/2
5 (9
1+
Е
‚7
141/2 —
|
-
)
(141/212
2
_
че
'1+1/2
|
( м
)
‚
(3.63)
= У)
а уже затем по уравнению состояния (3.62) определяется давление рн 12:
Входящая в конечно-разностные уравнения движения
(3.52) и энергии (3.60) сеточная функция псевдовязкости
‚+1/2
и
вычисляется
по
удельного объема У.
скорости
7+1
определяется
7
О при У; 1/2 — Уча
9;-.1/2
реа
=
ул?
относительного
Для варианта квадратичной
кости эта сеточная функция
(2.25) как
7+1/2
изменения
(и
7+1
У
21:1
х
:
\?
= У 1/2
у?
/27112
с
2 0,
_ ин)’
1+1/2
псевдовяз-
в соответствии
(3.64)
7+1
при У; 1/2
у
Узлуа < 6,
где Ак = 4 — коэффициент квадратичной псевдовязкости (см.
подробнее в разделе 2.1.2); 22
и
м
1/2
+1/2
= ИН
1+1/2
значение плотности материала в ячейке; р
— характерный размер ячейки.
— текущее
11/2
_ г +1/2
— А
271
Завершающим этапом построения разностной схемы для
решения задачи о схлопывании металлического кольца под
действием продуктов детонации является определение шагов
сетки по времени:
Д;
= 1412 6-12
(шаг перехода, с одного
полуцелого временного слоя на другой используется в конечноразностном уравнении движения); ДЁ;, 1/2 = $;41 - $ (шаг
перехода с одного целого временного слоя на другой используется в прочих конечно-разностных уравнениях). Временной
шаг 4+,
1/2 определяется в соответствии с условием устойчивости Куранта (1.50), (1.52) по известным параметрам на
временном
кам
слое
7
как
минимально
допустимый
по
всем
ячей-
сетки:
д 41/2 = < и
Мы-“
с
3.65
(3.65)
1+1/2
где С] +1/2 — сеточная функция, определяющая местную скорость звука в материале кольца или в продуктах детонации.
Скорость звука в газе при известной изоэнтропе опре-
деляется как С?
=
упругопластической
от
сжимаемости,
моизменению
дольная
С
=
но
—
Эр»
среде
и
от
(см.
том
скорость
звука
способности
в металле
скорость
звука
\/9Р/Эв] , +46/(Зр).
ния сжимаемости
также
При
В сжимаемой
зависит
не
только
сопротивляться
максимальная
зависит
2).
из
и от
возможных
модуля
использовании
продуктов детонации
форпро-
сдвига
С:
для описа-
и металла уравнений
(3.35) и (3.36) (являющихся, по существу, уравнениями изоэнтроп) выражение для вычисления местной скорости звука в
различных
ячейках примет
следующий
;
1
АввЁ (2.1)
Снт
=
Амп (1.1/2)
ром
\”
,
при М <: <
б
:4
7
р! 112
при 1 <<
272
вид:
М-1.
М-1,
(3.66)