Министерство образования Российской Федерации Иркутский государственный технический университет Загибалов А.В. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАСЕЧЕК Методические указания по выполнению практических работ для студентов, обучающихся по направлению: 130400 «Горное дело», специальности: 130402 «Маркшейдерское дело» форма обучения: заочная Иркутск 2007 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ .............................................................. 3 2 ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3 3 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ .............................................................................. 4 4 НКТОВ ВСТАВЛЯЕМЫХ В ТРИАНГУЛЯЦИЮ ОБРАТНОЙ ЗАСЕЧКОЙ, ПРЯМОЙ ЗАСЕЧКОЙ И ПОЛНОЙ ВСТАВКОЙ ........................................................................................... 5 4.1 ПОГРЕШНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО МНОГОКРАТНОЙ ЗАСЕЧКОЙ ВПЕРЕД ....................................................................... 5 4.2 ПОГРЕШНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО МНОГОКРАТНОЙ ЗАСЕЧКОЙ НАЗАД ...................................................................... 12 4.3 ПОГРЕШНОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛНОЙ ВСТАВКИ ОДНОЙ ТОЧКИ В МАЛУЮ МАРКШЕЙДЕРСКУЮ ТРИАНГУЛЯЦИЮ ................................................................................................... 17 2 ВВЕДЕНИЕ Перечень и тематика практических работ. Рекомендуется следующие практические работы: Оценка точности пунктов вставляемых в триангуляцию обратной засечкой, прямой засечкой и полной вставкой 2. Задания на практические работы. Каждый студент получает индивидуальное задание у преподавателя, полученное путем моделирования на ЭВМ. Работа выполняется на листах формата А4 в письменном или машинописном (компьютерный набор) виде. Работа может быть представлена в электронном виде в формате Microsoft Excel на дискете или по электронной почте. К отчету обязательно прилагается распечатка исходных данных. 1. 1 Цели и задачи дисциплины Математический анализ точности геодезических засечек является специальным курсом при подготовке горных инженеров по специальности «Маркшейдерское дело». Цель изучения дисциплины состоит в формировании у студентов систематизированного комплекса базовых профессиональных знаний по маркшейдерскому делу. Основной задачей дисциплины является ознакомление студентов с методами анализа маркшейдерских работ, предвычисления точности их выполнения и выбора необходимых технологий маркшейдерских работ при обеспечении производственной деятельности пред-приятий горнодобывающей промышленности и строительства подземных сооружений. 2 Требования к уровню освоения дисциплины После изучения дисциплины студенты должны: иметь представление: об области применимости тех или иных положений и методов в маркшейдерии. об основных нормативных документах в маркшейдерии (инструкциях, правилах); знать: теорию оценки погрешности функции общего вида неизвестных случайных величин. причины происхождения элементарных ошибок при угловых и линейных измерениях. теорию накопления погрешностей в свободных полигонометрических, буссольных и нивелирных ходах. классификацию сбоек и порядок маркшейдерских работ при сбойках (при проведении выработок встречными забоями). возможности имеющихся на кафедре пакетов программ для предрасчета погрешностей основных маркшейдерских работ. уметь: определять фактические погрешности угловых и линейных измерений; сопоставлять результаты предрасчетов с требованиями инструкции и техническими допусками и решать задачи выбора инструментов и методов измерений; производить предрасчет погрешности положения последней точки полигонометрических, буссольных (гиротеодолитньх) и нивелирных ходов; производить предрасчет ожидаемых погрешностей при сбойках горизонтальных выработок в пределах одной и из разных шахт; 3 выполнять анализ соединительных съемок, предрасчет погрешности ориентирносоединительных съемок; производить оценку точности маркшейдерско-геодезических засечек. Для освоения дисциплины рекомендуются учебники и учебные пособия из фонда библиотеки: Основная литература: 1. Геодезия и маркшейдерия : учеб. для вузов по специальности "Физ. процессы горн. или нефтегазового пр-ва". направления подгот. дипломир. специалистов "Горн. дело" / В.Н. Попов [и др.] ; под ред. В.Н. Попова, В.А. Букринского. - 2-е изд., стер. М. : Изд-во Моск. гос. горн. ун-та, 2007. – 452 с. : a-ил. - (Высшее горное образование) 2. Загибалов А.В. Маркшейдерия. Математический анализ точности маркшейдерских работ : учеб. пособие для вузов по специальности 130402 "Маркшейд. дело" / А.В. Загибалов, А. Л. Охотин. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2005. - 183 с. : aa-ил Дополнительная литература : 1. Ворковастов К.С. Маркшейдерские работы при освоении россыпей / К.С. Ворковастов, Э.А.Васильева. - М. : Недра, 1981. - 272 с. : a-ил 2. Маркшейдерское дело : учеб. для вузов по спец. "Маркшейд. дело. " В 2ч. /И.Н. Ушаков, Д.А. Казаковский, Г.А. Кротов Ч. 1.. - 3-е изд. перераб. и доп.. - М. : Недра, 1989. - 310 с. : a-ил. - (Высшее образование) 3. Маркшейдерское дело : учеб. для спец. "Маркшейдерское дело" / Д.Н. Оглоблин, Г.И. Герасименко, А.Г. Акимов. - 3-е изд., перераб. и доп.. - М. : Недра, 1981. - 704 с. : a-ил 3 Общие положения методических указаний по изучению дисциплины Последовательность изучения тем дисциплины определяется расположением их в лекционном материале. При освоении дисциплины студент должен: 1. Регулярно посещать лекции; 2. Во время лекции оформлять конспект лекций, в который должны входить основные положения раскрываемой темы, на которые делает акцент преподаватель; 3. При подготовке к контрольной работе или тестированию по определённой преподавателем теме студент должен самостоятельно повторить пройденный теоретический материал, используя свой конспект лекций; 4. Студент должен ответить на контрольные вопросы (метод самоконтроля), представленные для каждой темы – лекции в методических указаниях: 5. При подготовке к промежуточному контролю студент должен использовать основную учебную литературу [1-2] и по выбору дополнительную [1-3]. Приобретённые в результате самоподготовки знания оцениваются по итогам ответов на контрольные вопросы. 4 4 Оценка точности пунктов вставляемых в триангуляцию обратной засечкой, прямой засечкой и полной вставкой Цель задания: научиться выполнять ктов вставляемых в триангуляцию обратной засечкой, прямой засечкой и полной вставкой. Исходные данные: Каждый студент получает у преподавателя индивидуальное задание, полученное путем моделирования на ЭВМ. Краткие сведения по выполнению задания. 4.1 Погрешность положения пункта, определяемого многократной засечкой вперед Уравнивание многократной засечки вперед методом посредственных наблюдений может быть выполнено как по углам, так и по направлениям. Рис. 1 Найдем наибольшую и наименьшую погрешности и кривую средних ошибок для пункта N, определяемого многократной засечкой вперед с n твердых пунктов и уравненного по направлениям. Начальные уравнения погрешностей, устанавливающие зависимость между изменением дирекционных углов направлений с твердых пунктов А, В, С, D (рис. 1) на определяемый пункт N и координатами определяемого пункта, в градиентах дирекционных углов приведены в табл. 1. Таблица 1 Твердые пункты Начальные уравнения погрешностей Вес 1 A 1 1 Σ уравнение 1 B 1 1 Σ уравнение …………. ………….………….………….………….…………. …… …………. ………….………….………….………….…………. …… 5 Здесь — градиент направления ; размерность градиента выражается секун- дой, деленной на сантиметр ("/см), т. е. . Дирекционные углы 1, 2, 3,……и расстояния S1, S2, S3 . . . (в метрах) на пункт N для наших целей достаточно определить графически; z — поправки к среднему значению ориентирных углов; l — свободные члены уравнений погрешностей; v — поправки в наблюденные направления; хN, yN — поправки к „приближенно" вычисленным координатам хN и уN пункта N. При решении задачи по предвычислению погрешности положения пункта значения z, v. не определяются. Решая начальные уравнения погрешностей под условием минимума [vv], находим значения коэффициентов [aa], [bb] и [аb], которые будут равны: Дирекционный угол 0, ориентирующий большую ось среднего квадратического эллипса погрешностей, согласно известной формуле напишем в таком виде: Дирекционный угол 0 находим графо-аналитическим путем, построением инверсионного1 квадратического полигона по двойным дирекционным углам и квадратам градиентов. В нашем случае таким вектором обратной длины является градиент, а направлением вектора — дирекционный угол. Предположим, что имеем ряд твердых пунктов А, В, С…. с которых измерены направления на точку N, определяемую засечкой вперед (рис. 2а); по чертежу вставки пункта определяем (в километрах) S1, S2, S3, S4 и дирекционные углы. Находим градиенты q1, q2, q3, q4 дирекционных углов. Построение инверсионной фигуры NА'В'С'D' (рис. 26) выполняем следующим образом: Инверсией называется такое преобразование (пространственное или плоскостное), когда каждой точке пространства или плоскости с радиусом-вектором г приводится в соответствие точка с радиусом-вектором того же направления, но обратной длины. 1 6 а б в Рис. 2 через произвольно взятую точку N проводим направления 1, 2, 3, 4 под дирекционными углами 1, 2, 3, .., на которых откладываем в удобном для построения масштабе значения найденных градиентов q1, q2, q3... Многоугольник NА'В'С'D' является инверсионной фигурой нашей сети. Затем строим инверсионный квадратический полигон по сторонам, равным квадратам градиентов и удвоенным дирекционным углам 2 1, 2 2, 2 3,….. (рис. 2в). Дирекционный угол замыкающего вектора A0D0 равен 2 0, т. е. равен двойной величине дирекционного угла, ориентирующего большую полуось среднего квадратическогс эллипса погрешностей. Порядок откладывания сторон при построении квадратического инверсионного полигона безразличен, но замыкающий вектор A0D0 должен быть направлен от начальной к конечной точкам инверсионного полигона. Определив дирекционный угол большой полуоси, находим значение большой A и малой B полуосей среднего квадратического эллипса согласно формулам: где П—периметр квадратического полигона; A0D0 — его замыкающая (находится графически по рис. 2в). [F2] — сумма квадратов площадей инверсионных треугольников (рис. 26) (во всех сочетаниях из n направлений на определяемую точку N по два): Согласно рис. 2б ных треугольников: . Это будут квадраты следующих площадей инверсион- Определив наибольшую и наименьшую средние квадратические ошибки в положении пункта, нетрудно построить кривую средних ошибок (кривую точностей). Уравнение кривой в полярных координатах имеет следующий вид: 7 где р —- радиус-вектор кривой; — угол между большой осью эллипса и радиусом р. Графически векторы р можно найти из следующего построения (рис. 3). Полуосями А и В проводим четверти окружностей. Под углами 1=30° и 2=60° (интервал в 30° вполне достаточен для графического построения кривой) проводим направления аа' и bb', соединяя их проекции, а0а'0 и b0b'0 на осях X и Y прямыми, как показано на рис. 16-3, находим значение радиусов-векторов p1, и p2. Полученные полярные координаты (А, 0), (р1, 1=30°), (р2, 2=60°), (В, 0±90°) дают возможность построить одну из ветвей кривой, а следовательно, и всю кривую средних ошибок (рис. 4). Кривая средних ошибок (кривая точности) позволит найти среднюю квадратическую ошибку точки N в координатах XN и YN. Рис. 3 Погрешность в дирекционном угле направления CN вследствие ошибки в положении точки N будет равна: Погрешность в длине DN выразится отрезком Nd. Примечание. Положение твердых точек С и D считается безошибочным. При непосредственном измерении отдельных углов при твердых точках на определяемый пункт начальные уравнения погрешностей в градиентной форме напишем в таком виде: Рис. 4 …………………………………………. …………………………………………. Решая начальные уравнения погрешностей при условии найдем значения коэффициентов [aa], [bb] и [аb]. Имеем: 8 Делая подстановку в формулы, определяющие элементы среднего квадратического эллипса погрешностей, получим: где m0 — средняя квадратическая ошибка угла, которая находится из результатов уравнивания или при предвычислении погрешностей, дается согласно заданию. Уравнивание тригонометрических сетей по направлениям строго соответствует теории ошибок и способу наименьших квадратов, чего нельзя оказать про уравнивание сети по углам. В этом случае строгость уравнивания несколько нарушается – следовательно, строгий способ уравнивания по направлениям при тех же исходных данных должен дать меньшие средние квадратические ошибки в положении пункта, чем но углам. Пример 1. Для производства маркшейдерских работ на Ш. №7 выполнена вставка засечкой вперед подходной точки Ш №7 (рис. 5) в сеть триангуляции 3-го класса. Исходные координаты твердых пунктов безошибочны. Средняя квадратическая ошибка угла соответствует единице веса m0=+3". Необходимо найти наибольшую и наименьшую средние квадратические ошибки, средние квадратические ошибки уравненных значений координат пункта Ш №7, погрешность дирекционного угла (Ш №7 — К) и стороны К – Ш №7 (см. рис. 25). С плана вставки пункта Ш №7 (по рис. 5) графически находим дирекционные углы и расстояния S и далее градиенты q и их квадраты. Рис. 5 Таблица 2 9 № направлений Дирекционные углы, град Расстояния, S, м Градиенты q” q2 2 град 1 141 1800 1,15 1,32 282 2 111 1500 1,38 1,90 222 3 13 1200 1,72 2.96 26 4 334 1250 1,65 2,72 308 [q2]=8,90 По дирекционным углам и градиентам q строим инверсионную фигуру Ш№7, О', К', Р', U' в масштабе 2,5 :1 (рис. 6) и по двойным дирекционным -углам 2 и q2 строим инверсионный квадратический полигон A0 1, 2, 3 D0 в масштабе 1 см— 1,5 см2 (рис. 6). Периметр инверсионного квадратического полигона, согласно рис. 6, равен 13,61 см2, замыкающая равна 4,71 см2. Дирекционный угол замыкающей 2 0 = 313°, дирекционный угол большой полуоси А 1 = 156030'(аналитическое решение дает 1 = 156°50') и малой полуоси В 2 = 1- 90° = 66°30'. Определяем большую и малую полуоси эллипса погрешностей: где [F2] – сумма квадратов площадей инверсионных треугольников, число которых равно , где n – число направлений, наблюденных с твердых пунктов на определяемую точку. В нашем случае n = 4, т. е. . Это дает, согласно рис. 5, следующие квадраты площадей инверсионных треугольников: Графически по рис. 5 определяем площади инверсионных треугольников и получаем следующую таблицу (табл. 3). Делая подстановку, получим: Рис. 6 Откуда A0=±2,08 см=±20,8 мм; B0=±1,04 см=±10,4 мм. Согласно полученным значениям большой А0 и малой В0 полуосей эллипса погрешностей и дирекционного угла 1 строим в масштабе 1:1 средний квадратический эллипс погрешностей (рис. 7). 10 Для определения средних квадратических ошибок mх и my координат уравненного пункта Ш №7, а также ошибок дирекционного Таблица 3 угла и расстояния с пункта К на Ш № 1, построим кривую средних ошибок, уравнение которой в № 2 2 полярной системе координат выражается следуF, см F площадей ющим образом: 1-2 0,41 0,1681 1-3 0,76 0,5776 1-4 0,21 0,0441 Вектор р находим графически для 1 = 300 и 2 = 60°( рис. 8). Найденные значения векторов р поз2-3 1,19 1,4161 воляют построить кривую средних ошибок. По2-4 0,76 0,5776 строение выполняем в масштабе 1:1(рис. 7) и 3-4 0,87 0,7569 2 графически определяем средние квадратические [F ]=3,5104 2 ошибки координат пункта Ш № 7 8*[F ]= 28,3232 mх = ± 18,7 мм; mх = ± 13,6 мм. Рис. 7 Рис. 8 Погрешность дирекционного угла m стороны К-Ш № 7 Погрешность в стороне К-Ш№ 7 mS = + 17 мм. Обобщим полученные результаты. Наибольшая средняя квадратическая ошибка в положении пункта Ш №7 11 A0=mмакс=±20,8 мм; а наименьшая: B0=± mмин=±10,4 мм. Средние квадратические ошибки координат X и Y mх = ± 18,7 мм; mх = ± 13,6 мм. Средняя квадратическая ошибка в положении пункта: Погрешность в стороне К Ш№7 и угла mS = + 17 мм; m =±2",6 при условии, что координаты твердых пунктов безошибочны. 4.2 Погрешность положения пункта, определяемого многократной засечкой назад Уравнивание многократной засечки назад методом посредственных (косвенных) измерений может быть выполнено по углам и направлениям. Начальные уравнения погрешностей с определяемой точки на твердые пункты (внутренние направления) в градиентной форме напишем в следующем виде: …………………………………………………. Здесь так же, как и в многократной засечке вперед, q – градиенты соответствующих направлений; хM, yM — поправки в приближенно вычисленные координаты определяемого пункта; zM — ориентирная поправка в направление; l — свободный член начальных уравнений; v — поправки в наблюденные направления. Если уравнивание засечки назад ведется по углам, то для получения начальных уравнений погрешностей необходимо из каждого последующего начального уравнения погрешностей вычесть предыдущее, что исключит неизвестную поправку zM ………………………….……………………………………………. Число преобразованных уравнений будет равно числу измеренных на пункте М углов. Коэффициенты и ных поправках хM и yM можно представить в таком виде: 12 при неизвест- В преобразованном виде коэффициенты при неизвестных поправках в координаты пункта М представляют проекции на оси X и Y — замыкающей градиентного треугольника с обратным знаком (рис. 9). Обозначая замыкающую градиентного треугольника через градиент угла и через T — дирекционный угол градиента q , получаем следующие уравнения: …………………………………………. Решая преобразованные уравнения при условии ………=min получим (как и для многократной засечки вперед, уравненной по углам) следующие формулы для элементов среднего квадратического эллипса погрешностей: где П — периметр квадратического инверсионного полигона, который в дальнейшем назовем квадратическим полигоном 2-го рода; [F2] —сумма площадей инверсионных треугольников, стороны которых являются градиентами углов. Построение инверсионного квадратического полигона 2-го рода выполняется по квадратам градиентов углов q2 и двойным дирекционным углам Т этих градиентов. Дирекционный угол замыкающей построенного полигона даст двойной дирекционный угол 2 0 - большой полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей, а длина замыкающей , суммированная со сторонами полигона, П — периметр квадратического полигона. Находим градиенты q1, q2, q3...направлений, исходя из расстояний Рис. 9 МА, МВ, МС..., взятых с чертежа вставки пункта (рис. 10). Найденные значения градиентов откладываем в крупном масштабе по направлениям на соответствующие твердые пункты. Соединяя точки А', В' и С', определяем по чертежу величину градиентов углов q , q , q и их дирекционные углы T , T , T . 13 По удвоенным дирекционным углам 2T , 2T , 2T и квадратам строим так же, как и в засечке вперед, квадратический инверсионный полигон 2-го рода. Дирекционный угол замыкающей квадратического полигона 2-го рода образует двойной дирекционный угол 2 0 большой полуоси среднего квадратиРис. 10 ческого эллипса погрешностей, а длина его замыкающей позволяет определить П — периметр полигона и, следовательно, найти значение числителя для малой полуоси эллипса. Площади F инверсионных треугольников, образованных градиентами углов, можно найти графически по рис. 16-10 или аналитически по известным формулам. Если в многократной засечке назад имеем n измеренных углов при определяемой точке М, то имеем n градиентов углов, а площадей F инверсионных треугольников согласно формуле Так, например, если в точке М измерено три угла , , , то градиентов углов будет три, а площадей инверсионных треугольников , а именно F , F , F . Если точки А', В', С' располагаются на одной прямой, задача по вставке точки засечкой назад выполнена быть не может, так как [F2] = 0; геометрически это означает, что определяемая точка М и твердые пункты А', В', С' лежат на одной окружности. Это вытекает как следствие известной теоремы, согласно которой инверсией круга является прямая, расстояния до которой от определяемой точки равны градиентам направлений. Пользуясь этой теоремой, легко решить задачу о наивыгоднейшем расположении определяемой точки относительно трех твердых пунктов при решении простой засечки назад — достаточно только на чертеже графическим путем, найти положение определяемого пункта (фиг. 30) и затем, измерив расстояния S1, S2, S3 до твердых точек, отложить значения на соответствующих направлениях (рис. 11), чтобы по площади инверсионного треугольника 2-го рода можно было решить вопрос о наивыгоднейшем расположении определяемой точки: инверсионная рис. 12 показывает, что точка М лежит на окружности. 14 Рис. 11 Рис. 12 Пример 1. Для производства последующих маркшейдерских работ на шахте № 7 выполнена вставка подходной точки № 7. Пункт № 7 (рис. 13) вставляется в сеть триангуляции 4-го класса многократной засечкой назад. Исходные координаты твердых пунктов безошибочны, средняя квадратическая ошибка измерения углов, как и в засечке вперед, принята равной m0 =±3",0. Необходимо найти наибольшую и наименьшую средние квадратические ошибки и средние квадратические ошибки по направлениям координатных осей/ По измеренным углам при определяемой точке № 7 графически находим положение пункта № 7 относительно твердых пунктов и определяем дирекционные углы и расстояния S и далее по расстояниям S вписываем в табл. 4 градиенты. Рис. 13 Таблица 4 № направлений Дирекционные углы град. Расстояния, км Градиенты 1 154 1,25 1,64 2 193 1,20 1,70 3 291 1,50 1,39 15 4 321 1,80 1,14 По дирекционным углам и градиентам q в масштабе 1 см — 0,75"/см строим инверсионную рис. 34 и определяем графически градиенты углов: К'О'=q 0, К'Р'=q 0, Р'U'=q 0. Дирекционные углы этих градиентов равны ТК'О', TК'Р', и TР'U'. Площади F инверсионных треугольников, обозначенные на рис. 14 штриховкой, образованы градиентами углов. Общее число таких площадей треугольников определится по формуле где m — число измеренных углов при определяемой точке. Данные, полученные графически по рис. 14, заносим в табл. 5 Рис. 14 Таблица 5 № линий q( , , ) q2( , , ) T 2T F F2 № треугольников 1,10 1,21 260° 160° 1,23 1,5129 0 0 2,35 5,52 335° 310° 0,85 0,7225 0 0 0 0,71 0,50 55° 110° 0,15 0,0225 0 0 0 [q2]= 7,23 [F2]= 2,2579 W=3,50 Согласно данным табл. 15 по q2 и 2T строим инверсионный квадратический полигон A0C0D0B0 в масштабе 1см – 0,8”/см (рис. 15). Замыкающая инверсионного полигона W=A0B0=3,50, а дирекционный угол замыкающей =2 0=304° ( 0=152°). 0 16 По указанным выше формулам находим большую A и малую B полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей откуда A=±23 мм; В=±13 мм. Рис. 15 Согласно полученным данным, 0=152°, A=±23 мм и В=±13 мм, в масштабе 1:2 строим средний квадратический эллипс погрешностей (см. рис. 13), характеризующий ошибку положения пункта № 7. 4.3 Погрешность положения пункта, определяемого в результате полной вставки одной точки в малую маркшейдерскую триангуляцию Предположим, что сеть из п твердых пунктов А, В, С и одного определяемого пункта М (рис. 16) уравнивается по углам, как это обычно принято делать для малых триангуляций. Найдем для пункта М элементы, характеризующие средний квадратический эллипс погрешностей и кривую средних ошибок. Для внешних направлений, т. е. направлений с твердых пунктов на определяемую точку М, располагаем следующей системой начальных уравнений при непосредственном измерении углов. ………………………………………. где q1, q2, q3 градиенты дирекционных углов; l1, l2, l3... свободные члены начальных уравнений. Решая систему начальных уравнений при условии [vv]=min, получаем следующую систему нормальных уравнений: Рис. 16 Переходим к начальным уравнениям для внутренних направлений, т.е. к уравнениям с определяемой точки на твердые .пункты: …………………………………………. 17 где q , q , q — градиенты углов , , при определяемой точке. Решая систему уравнений при условии, что ………=min Соединив нормальные уравнения, получим следующую систему уравнений Дирекционный угол большой полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей можно найти так же, как и для засечек, а именно Иначе говоря, для определения дирекционного угла 2 0 среднего квадратического эллипса погрешностей необходимо построить квадратический инверсионный полигон по квадратам градиентов сторон q1, q2, q3 и квадратам градиентов углов q , q , q и дирекционным углам 2 и 2T, причем безразлично, в какой последовательности вести построение сторон. Дирекционный угол-замыкающей даст 2 0 — двойной дирекционный угол большой полуоси. Инверсионный полигон будет иметь n+m сторон, где п — число направлений на твердые пункты, m — число измеренных углов при определяемой точке. Большая и малая полуоси квадратического эллипса погрешностей Количество инверсионных для определения площадей равно Рис. 17 треугольников Пример. Для производства последующих маркшейдерских работ на шахте № 7 выполнена полная вставка подходной точки № 7 (рис. 17). После выполнения уравнительных вычислений необходимо найти: наибольшую и наименьшую ошибки в положении пункта № 7, средние квадратические ошибки в координатах пункта, среднюю квадратическую ошибку в положении пункта и погрешность дирекционного угла направления на отвес. Средняя квадратическая ошибка угла из результатов уравнивания равна m0= + 3"0. Графически с плана триангуляции (рис. 17) или из координатной ведомости выбираем дирекционные углы направлений с определяемого пункта № 7 и расстояния S. Определяем градиенты сторон q (табл. 6). Таблица 6 18 № направлений 1 2 3 4 Дирекционные углы, град. 321 291 193 154 Расстояния S, м 1800 1500 1200 1250 Градиенты q" /см 1,15 1,38 1.72 1.65 По дирекционным углам и градиентам q строим инверсионную фигуру (рис. 18) и графически определяем градиенты углов q и их дирекционные углы T (табл. 7). Таблица 7 № направлений Дирекционные углы T, град. 235 155 80 0 0 0 Градиенты q" /см 0.71 2.35 1.10 Рис. 18 Для определения дирекционного угла 0 большой полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей и замыкающей находим квадраты градиентов сторон q1, q2, q3 и квадратам градиентов углов q , q , q и двойные дирекционные углы 2 и 2T (табл. 8). По данным таблицы 15 строим квадратический инверсионный полигон (рис. 19) (по дирекционным углам 2 и 2T и квадратам градиентов сторон q1, q2, q3 и квадратам градиентов углов q , q , q ). Замыкающая инверсионного полигона =W=8,64 и дирекционный угол замыкающей 2 0=310°Угол 0 большой полуоси эллипса 0= 155°. Рис.19 Таблица 8 № направлений 1 q" /см q2 и T, град 2 и 2T, град 1,15 1,32 321 282 19 2 3 4 1,38 1,90 1,72 2,96 1,65 2,72 0,71 0,50 2,35 5,52 1,10 1,21 2 [q ]=16,13 0 0 0 291 193 154 235 155 80 222 26 308 110 310 160 Переходим к определению площадей F инверсионных треугольников. Число таких площадей равно где n = 4- число направлений на твердые пункты, m = 3- число углов при определяемой точке. Отсюда В таблице 9 приведены графически определенные площади инверсионных треугольников и их квадраты. Таблица 9 № направлений 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 0 0 F F2 0,41 0,76 0,21 1,19 0,76 0,87 0,85 0,1681 0,5775 0,0441 1,4161 0,5776 0,7569 0,7225 № направ лений 0 0 0 0 01 02 03 04 01 F F2 0,15 1,23 0,41 0,41 0,43 0,58 0,38 0,0225 1,5129 0,1681 0,1681 0,4849 0,3364 0,1444 № направ лений 02 03 04 01 02 03 04 F F2 1,19 1,4161 1,19 1,4161 0,07 0,0049 0,57 0,3249 0,48 0,2304 0,87 0,7569 0,87 0,7569 2 [F ]=11,9064 Определяем размеры большой A и малой B полуоси среднеквадратического эллипса погрешности: откуда полуоси эллипса равны A=±15,4 мм; В=±8,5 мм. Для определения средних квадратических ошибок mx и my в координатах пункта № 7, наименьшей ошибки дирекционного угла направления на отвес и погрешности расстоя- 20 ния, построим кривую средних ошибок, уравнение которой в полярной системе координат выражается: Графическое определение р для углов нений. 1 = 30° и 2 = 60° (рис. 20) не требует пояс- Рис. 20 Рис. 21 По этим данным в масштабе 2:1 строим (рис. 21) кривую средних ошибок и по ней определяем погрешности в координатах пункта № 7: mx7=±14,0 мм; my7=±9,7 мм. Анализ средних квадратических ошибок дирекционных углов дает наименьшую ошибку в дирекционном угле для стороны № 7-и: Линейная ошибка направления № 7-и равна mS = +14,5 мм. Указания по оформлению отчета. Работа выполняется на листах формата А4 в письменном или машинописном (компьютерный набор) виде. Работа может быть представлена в электронном виде в формате Microsoft Excel на дискете или по электронной почте. К отчету обязательно прилагается распечатка исходных данных. 21