393

Содержание
Задача 1. Определение внутренних усилий, напряжений и перемещений в
поперечных сечениях бруса ................................................................................... 3
Задача 2. Подбор сечений стержней из расчета на прочность ........................... 7
Задача 3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Определение размеров поперечного сечения различной формы ..................... 10
Задача 4. Расчет диаметра заклепки исходя из условий прочности на срез и
смятие. Подбор ширины соединяемых листов исходя из условия прочности на
растяжение ............................................................................................................. 13
Задача 5. Кручение вала круглого поперечного сечения .................................. 16
Список литературы ............................................................................................... 21
2
Задача 1. Определение внутренних усилий, напряжений и перемещений
в поперечных сечениях бруса
Вариант 11. Дано:
Решение:
Для определения внутренних усилий разбиваем стержень на участки.
Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие
изменению
площади
поперечного
сечения
и
местам
приложения
сосредоточенных сил. Определяем, что стержень необходимо разбить на пять
участков.
Проведем сечение I-I (рис. 1а). Отбросим нижнюю часть стержня и её
действие заменим нормальной силой N1. Запишем уравнение равновесия,
проецируя все силы на ось стержня:
3
, откуда
.
На участке 1-2 нормальная сила N1 постоянна по величине.
Проведем сечение II-II (рис.1б) и, отбрасывая верхнюю часть стержня,
заменяем её действие нормальной силой N2. Проецируем все силы на ось
стержня:
, откуда
.
Аналогично находим нормальные силы в сечении III-III (рис.1в):
, откуда
.
В сечении IV-IV (рис.1г):
, откуда
,
и в сечении V-V (рис.1д):
,
.
Рис.1. Схема расчета стержня
4
Рис. 2. Эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений
Откладывая в масштабе значение нормальных сил N1, N2, N3, N4, N5 в
пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил
(рис.2а). Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка –
растяжение, а «минус» – сжатие. Для построения эпюры нормальных
напряжений, воспользуемся формулой:
Определим напряжение для каждого участка:
,
,
,
,
.
В масштабе откладываем значение напряжений и определяем, что
максимальное значение напряжения достигает на участке I (рис. 2б).
Для построения эпюры перемещений воспользуемся формулой:
5
.
Расчёт начинаем с участка V, так как перемещение в заделке
отсутствует. Определим изменение длин каждого из участков:
,
,
,
,
.
Перемещение участка V:
,
участка IV:
,
участка III:
,
участка II:
,
участка I:
.
В масштабе откладываем значение перемещений (рис. 2в).
6
Задача 2. Подбор сечений стержней из расчета на прочность
Вариант 11. Дано:
Решение:
1. Для определения продольных сил в стержнях АВ и СВ вырезаем узел
с шарниром В. Изображаем (рис. 3) действующие на шарнир активные
силы: F1 (направлена от узла В, так как пружина растянута) и F2 (сила
натяжения троса); а также продольные силы N1 и N2 направленные вдоль
стержней ВА и ВС соответственно полагая, что стержни растянуты.
7
Рис. 3. Шарнир СВ указанием внешних и внутренних
сил.
Принимаем точку В за начало координат и проводим
через нее координатные оси x и y.
Составляем уравнения равновесия для плоской системы сходящихся
сил:
Знак «+» перед N2 говорит о том, что стержень ВС на самом деле
растянут.
Знак «–» перед N1 говорит о том, что стержень ВА на самом деле сжат.
Решение необходимо проверить, проведя новую координатную ось
через линию действия силы F2,
.
Значит решение выполнено верно.
2. Находим площади поперечных сечений:
,
8
Определяем диаметр стержня АВ круглого поперечного сечения.
Полученный диаметр округляем до ближайшего стандартного значения
по ГОСТ 6636-69.
Выбираем
.
Выбираем по ГОСТ 8240-89 размер швеллера, из которого следует
изготовить стержень ВС. Наиболее близки по площади поперечного сечения
швеллеры с номерами: № 6,5 с
и№8с
3. Определяем недогрузку или перегрузку для стержней.
Расчетное напряжение 1:
.
Недогрузка
,
что приемлемо.
Расчетное напряжение 2 для швеллера № 6,5:
Перегрузка
что не приемлемо.
Расчетное напряжение 2 для швеллера № 8:
9
.
Недогрузка
что приемлемо. Хотя необходимо стремиться к обеспечению недогрузки
конструкции не более 5%.
Задача 3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Определение размеров поперечного сечения различной формы
Вариант 11. Дано:
10
Решение:
1. Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:
 МD = 0; - M1 + F2  CD + M2 + RB  BD - F1 OD = 0;
RB 
M 1  F2  CD  M 2  F1  OD 20  30  6  10  18  15

 10кН
BD
10
Σ·MB = 0; - F1 OB + M2 - F2  BC - RD  BD - M1 = 0;
RD 
M 2  F2  BC  M 1  F1  OB 10  30  4  20  18  5

 22кН
BD
10
Проверяем правильность найденных результатов:
 Fi y = 0; - F1 + RB+ F2 +RD = -18+10+30-22 = 0
Условие равновесия  Fi
y
= 0 выполняется, следовательно, реакции
опор найдены верно.
При построении эпюр используем только истинные направления
реакций опор.
2. Делим балку на участки по характерным сечениям O, B, C, D (рис. 4).
Рис. 4 - Схема истинных реакций балки и участков
3. Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Qy и
строим эпюру слева направо (рис. 5):
QОпр   F1  18кН
QВлев   F1  18кН
QВпр   F1  RB  18  10  8кН
QCлев   F1  RB  18  10  8кН
QСпр   F1  RB  F2  18  10  30  22кН
QDлев   F1  RB  F2  18  10  30  22кН
11
Рис. 5 - Эпюра поперечных сил
4. Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента
Мх и строим эпюру (рис. 6):
МО  0
М В  F1  ОB  18  5  90кН  м
М Слев   F1  ОС  RB  BC  18  9  10  4  122кН  м
М Спр   F1  ОС  RB  BC  М 2  18  9  10  4  10  112кН  м
М Dлев   F1  ОD  RB  BD  М 2  F2  CD  18 15  10 10  10  30  6  20кН  м
Рис. 6 - Эпюра изгибающих моментов
5. Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на
изгиб:

М X max
   , отсюда
WX
WX 
M X max
 

122 103
 762,5 10 6 м 3
160 10 6
а) сечение – прямоугольник
12
Используя формулу WX 
b3
b  h2
и учитывая, что h = 1,5b, находим
6
6  WX
6  762,5 10 6
3
 0,127 м  127 мм
2,25
2,25
h = 1,5b = 1,5  127 = 190,5 мм
б) сечение – круг
Используя формулу WX 
d 3
32  WX

3
 d3
32
и учитывая, что h = 1,5b, находим
32  762,5 10 6
 0,198 м  198 мм
3,14
Задача 4. Расчет диаметра заклепки исходя из условий прочности на срез
и смятие. Подбор ширины соединяемых листов исходя из условия
прочности на растяжение
Вариант 11. Дано:
13
14
Решение:
1. Определить количество заклепок из расчета на сдвиг (рис. 7).
Рис. 7
Условие прочности на сдвиг:
z - количество заклепок.
Откуда
Таким образом, необходимо 6 заклепок.
2. Определить количество заклепок из расчета на смятие. Условие
прочности на смятие:
Таким образом, необходимо 4 заклепки.
Для обеспечения прочности на сдвиг (срез) и смятие необходимо 6 заклепок.
Для удобства установки заклепок расстояние между ними и от края
листа регламентируется. Шаг в ряду (расстояние между центрами) заклепок
3d; расстояние до края 1,5d. Следовательно, для расположения шести заклепок
диаметром 16 мм необходима ширина листа 288мм. Округляем величину до
300мм (b = 300мм).
15
3. Проверим прочность листов на растяжение. Проверяем тонкий лист.
Отверстия под заклепки ослабляют сечение, рассчитываем площадь листа в
месте, ослабленном отверстиями (рис. 8):
Рис. 8.
Условие прочности на растяжение:
73,53 МПа < 160 МПа. Следовательно, прочность листа обеспечена.
Задача 5. Кручение вала круглого поперечного сечения
Вариант 11. Дано:
16
Решение:
1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как
алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC,
CD, DE
.
Отсюда определим момент X
17
Х = 1178,125 Нм
2) Строим эпюру крутящих моментов MК (см. рис.8).
Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае
защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы
представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно
воздействие крутящий момент МЕ, который определим из уравнения
равновесия:
; МЕ – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0
МЕ = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм
При построении эпюры крутящих моментов МК применяем метод
сечений для каждого из четырех участков.
Для участка DE:
Нм
;
Рис. 8
Для участка CD:
Нм
;
18
Для участка ВС:
Нм
;
Для участка АВ:
Нм
;
3) Определяем диаметр вала
Из эпюры максимальный МК = 1221,875 Нм на участке DE. На этом
участке возникает максимальное касательное напряжение
, где WP –
момент сопротивления сечения
Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала
0,043 м или 43 мм,
Согласно условиям задачи, принимаем d = 45 мм.
4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в) для всех участков по
формуле
.
Выбираем начало координат в точке Е.
Участок DE:
Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного
сечения Е, будет
, где
;
при z = 0 φ = 0;
при z = a = 1,9 м
19
= – 0,071 рад.
Участок CD:
,
где
при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;
при z = (a + b) = 3,1 м
= – 0,046 рад.
Участок BC:
, где
при z = (а + b) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;
при z = (a + b +c) = 4,5 м
= – 0,068 рад.
Участок AB:
,
где
при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;
при z = (2a + b + c) = 6,4 м
= 0 рад.
5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE
=
= 0,037 рад/м
20
Список литературы
1. Сопротивление материалов: учебное пособие для студентов втузов / под
ред. Костенко Н.А. - М: Высшая школа, 2004. - 430 с.
2. Сопротивление материалов: учебное пособие / Н.А. Костенко, С.В.
Балясникова, Ю.Э. Волошановская и др.; под ред. Н.А. Костенко. - М.:
Директ-Медиа, 2014. - 485 с. - [Электронный ресурс]. - URL: //
biblioclub.ru/index.php?page=book&id=226084
3. Копнов В.А., Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов. Руководство
для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических
работ. - М.: Высшая школа, 2005. - 351 с.
4. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: изд. МГТУ, 2003. - 591 с.
21