Reja O‘zgaruvchan massali jismning harakati-fayllar.org (1)

Reja: O‘zgaruvchan massali jismning harakati
Mavzu: O‘zgaruvchan massali jismning harakati
Reja:
1. O‘zgaruvchan massali jismning harakati
2. O`zgaruvchan massali jism harakati qonunining
soddalashtirilgan natijasi
O`zgaruvchan massali jismlar harakati.
Mexanikani o`rganishda fizikaning saqlanish qonunlari deb ataluvchi eng muhim qonunlarini
o`rganamiz. Bular energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni. Ilgarilanma
mexanikaviy harakat ikki o`lchovga: mϑ impuls va energiyaga ega ekanligi to`g`risidagi faktlar
Dekart bilan Leybnislar orasida, bu kattaliklardan qaysi biri harakat o`lchovi hisoblanishi
to`g`risidagi tarixiy tortishuvga olib keldi. Energiyaning saqlanish va bir turdan ikkinchi turga
aylanish qonuni ochilmaguncha bu tortishuv hal bo`lmas edi. Mexanikaviy energiyaning boshqa
turdagi energiyaga aylanish qonuni analiz qilingandan so`ng, bu tortishuvni F.Engels o`zining
“Tabiat dialektikasi” nomli kitobida yorqin yozgan edi.
“Shunday qilib, -deb yozgan edi F.Engels, -haqiqatdan ham mexanikaviy harakat ikki xil
o`lchamga ega ekanligini ko`rdik... Agar mavjud mexanikaviy harakat shunday ko`chirilsa-ki,
bunda u mexanikaviy harakat sifatida saqlansa, u holda bu harakat massani tezlikka ko`paytmasi
formulasiga muvofiq uzatiladi. Agar bu harakat shunday uzatilsa-ki, bunda u potensial energiya,
issiqlik, elektr va hokazolar shaklida qayta namoyon bo`lib, mexanik harakat sifatida yo`qolsa
yoki bir so`z bilan aytganda, bu harakat qandaydir boshqa formadagi harakat miqdori dastlabki
harakatlanayotgan massa va tezlik kvadratiga ko`paytmasiga proporsional. Umuman aytganda, mexanikaviy harakatning o`zi bilan o`lchanadigan mexanikaviy harakatdir; ma’lum miqdordagi
boshqa harakat formasiga aylanish xususiyati bilan o`lchanadigan mexanikaviy harakatdir.
Aylanma harakat uchun mexanikaviy harakat o`lchovi, mexanikaviy harakatning o`zi bilan
o`lchanadigan jismning impuls momenti hisoblanadi.
Mexanikada impuls, impuls momenti va energiyadan tashqari saqlanuvchi kattalik jismning
massasidir.
Ma’lumki, massa-jismning inertlik o`lchovidir. Boshqa saqlanish qonunlari bilan keyinroq
tanishamiz.
Saqlanish qonunlari tabiatning eng umumiy qonunlariga taalluqli. Suyuqlik va gazlar uchungina
haqiqiy bo`lgan Paskal qonunidan, qo`llanilish sohasi chegaralangan Om qonunidan va boshqa
shunga o`xshash qonunlardan tashqari energiya, impuls va impuls momentining saqlanish
qonunlari hozirgi kunda ma’lum bo`lgan barcha fizikaviy protsesslarda bajariladi.
Energiya impuls va impuls momentining saqlanish qonunlarini dinamika qonunlarining davomi
sifatida hosil qildik. Biroq, bu qonunlar Nyuton dinamikasi qonunlarini qo`llab bo`lmaydigan
vaqtda ham bajariladi.
Masalan, yorug`lik tezligiga yaqin tezlik bilan harakatlanganda Nyuton qonunlari buziladi. Biroq
bu holda ham saqlanish qonuni bajariladi. Nyuton qonunlarini atom ichidagi zarralar harakatini
bayon qilish uchun ham qo`llab bo`lmaydi, biroq saqlanish qonuni atom ichidagi protsesslarda
ham to`griligicha qoladi.
Fizikaning asosiy kursida dinamika qonunlarini o`rganishda o`zgarmas kuch ta’siri ostida
bo`lgan m massali jismning harakat qonunini topishni o`rgandindingiz. Jismga kattaligi va
yo`nalishi vaqt o`tishi bilan o`zgaruvchi kuch ta’sir etgan holda mexanikaning to`g`ri
masalalarini taqribiy yechish usullaridan biri bilan siz ushbu kitobdagi 18-§ da va 5-laboratoriya
ishini bajarishda tanishgansiz. Endi uchinchi mumkin bo`lgan holni-o`zgaruvchan massali
jismning harakatini qarab chiqamiz. Masalan, raketaning harakat tezligini va koordinatasini
aniqlashda xuddi shunday masalani yechishda to`g`ri keladi. O`zgaruvchan massali jismlarning
harakati to`g`risidagi masalani implsning saqlanish qonunini qo`llash asosida yechish mumkin
ekan.
O`zgaruvchan massali jismlar harakatining qonunini birinchi marta Peterburg universitetining
professori I.V.Mishcherskiy va taniqli rus olimi K.E.Sialkovskiylar tekshirganlar.
1897-yilda I.V.Mishcherskiyning “O`zgaruvchan massali nuqtaning dinamikasi” nomli
monografiyasi chop etildi. Bunda o`zgaruvchan massali jismlar harakatining asosiy tenglamasi
keltirib chiqarilgan.
O`zgaruvchan massali jism harakati qonunining soddalashtirilgan natijasini quyidagicha keltirish
mumkin. Faraz qilaylik, Yerdan va boshqa osmon jismlaridan yetarlicha uzoqlikda massasi
yonilg`isi bilan birga bo`lgan raketa turgan bo`lsin. Agar barcha osmon jismlarining raketaga
ta’siri hisobga olinmasa, u holda “raketa-yonilg`i” jismlar sistemasi berk hisoblanadi.
Klassik mexanikada, harqanday moddiy nuqtaning yoki sistema zarrachalarining massalari
harakat mobaynida o’zgarmas deb hisoblanadi. Lekin, ayrim hollarda sistemani yoki jismni
tashkil etuvchi qismlarining massalari [bazibir qism (massa)larni sistemaga tashqaridan
qo’shilishi yoki undan olib tashlanishi hisobiga] o’zgaruvchan bo’lishi mumkin; natijada
sistemaning umumiy massasi o’zgaruvchan bo’ladi.
Shunga o’xshagan, ya’ni sistemaga massalarni qo’shilishi yoki undan olib tashlanishiga oid
masalalarni ilgari ham ko’rib o’tgan edik (masalan, 126, 127 va dagi 86 masalalarga qarang). Bu
paragrafda, amaliy muhim masala, ya’ni zarrachalarni jismga muntazam ravishda qo’shilib yoki
undan ayrilib turishiga oid bo’lgan masalalarni ko’rib o’tamiz. Massasi M bo’lgan jismga
moddiy zarrachalarning vaqt mobaynidagi muntazam ravishda qo’shilib yoki undan ayrilib turish
hisobiga o’zgarishi, massasi o’zgaruvchan jism deb ataladi. O’zgaruvchan massali jism uchun:
M=F(t), bo’ladi. Bu erdagi F(t)- vaqtning uzluksiz funktsiyasi.
Agar bunday jism faqat ilgarilanma harakatda bo’lsa (yoki aylanma harakati e’tiborga olinmasa),
bunday jismni massasi o’zgaruvchan moddiy nuqta deb hisoblash mumkin.
294 shakl.
Raketaning harakati. Vaqt mobaynida massasi muntazam ravishda kamayib boruvchi jismning
harakatini, amaliy muhim bo’lgan raketaning harakati misolida ko’rib o’tamiz va uni massasi
o’zgaruvchan moddiy nuqta deb hisoblaymiz. YOnuvchi ma’sulotlarning raketadan chiqarib
yuborilishdagi nisbiy (raketa korpusiga nisbatan) tezligini -bilan belgilaymiz. YOnuvchi
ma’sulotlarni raketaga ko’rsatadigan bosim kuchlarini tenglamadan chiqarib yuborish uchun, uni
ichki kuchga aylantirish lozim bo’ladi. Buning uchun, ixtiyoriy t -vaqtda raketani va undan dt
vaqt oralig’ida chiqarib yuborilayotgan yonilg’i ma’sulotlarining zarrachalarini yagona sistema
deb hisoblaymiz (294 shakl), dt- vaqt ichida, raketadan chiqarib yuborilgan  -ga teng bo’lgan
massani dM bilan belgilaymiz. M kamayuvchi massa bo’lganligi sababli, dM
Ushbu sistema uchun (20) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin: d=dt, (24) bu
yerda - raketaga qo’yilgan tashqi kuchlarning geometrik yig’indisi.
Agar raketaning tezligi-, dt vaqt ichida d -qiymatga o’zgarsa, u holda ko’rilayotgan sistemaning
harakat miqdori, Md elementar orttirma oladi. Zarrachaning t -vaqtdagi (zarracha hali raketadan
ajralgan emas) harakat miqdori  -bo’ladi, va tHdt vaqtdagi harakat miqdori  (+) bo’ladi,
chunki zarracha qo’shimcha -tezlik oladi. Demak, dt vaqt ichida zarrachaning harakat miqdori
=-dM (=-dM) qiymatga o’zgaradi. Butun sistemaning harakat miqdori esa d=Md-dM ga
o’zgaradi. Ushbu qiymatni (24) tenglamaga qo’ysak va tenglamani ikkala tomonini dt ga bo’lib
yuborsak: M=+ (25) tenglama, o’zgaruvchan massali nuqta harakatining differentsial
tenglamasi, yoki Meshcherskiy tenglamasining vektor ko’rinishi deb ataladi.
Ushbu tenglamadagi oxirgi yig’indining o’lchov birligi kuchdan iborat bo’lganligi uchun, uni
harfi bilan belgilasak, (25) tenglamaning boshqacha ko’rinishini yozamiz: M=+ (26) . Shunday
qilib, reaktivlik effekti shundan iborat ekanki, raketaning harakatida unga qo’shimcha
ravishda, reaktivlik kuchi deb ataluvchi -kuchi ta’sir etar ekan.
dM/dt -ning son qiymati, vaqt birligi ichida sarflangan yoqilg’ining massasiga teng bo’ladi, ya’ni
yonilg’i massasining sekundlik sarfi Gc ga teng bo’ladi.
Shunday qilib, ishoralarni e’tiborga olgan holda yozsak: =- Gc, Bundan,=-Gc (27) bo’ladi,
ya’ni reaktivlik kuchi, yoqilg’i massasining sekundlik sarfini, yoqilg’i ma’sulotlarining nisbiy
tezligiga bo’lgan ko’paytmasiga teng ekan, va shu nisbiy tezlikka qarama-qarshi yo’nalgan
bo’lar ekan.
O’zgaruvchan massali jism harakatining boshqacha ayrim ko’rinishlari. Agar, massasi M -ga
teng bo’lgan jism, unga muntazam ravishda tashqaridan kelib qo’shiladigan moddiy zarrachalar
hisobiga, uning massasi ortib (dM/dt>0) borsa, unday jismni ham massasi o’zgaruvchan jism deb
hisoblanadi. Unga tashqaridan kelib qo’shilayotgan moddiy zarrachalarning nisbiy tezligini
avvalgidek -harfi bilan belgilasak, uning harakati ham (25) va (26) tenglamalar orqali yoziladi,
lekin dM/dt>0 bo’lganligi uchun, (27) formula teskari ishora oladi, ya’ni: =Gc, va nihoyat,
sistemaga muntazam ravishda tashqaridan moddiy zarrachalar kelib qo’shilib tursa, va undan
ham moddiy zarrachalar ajralib chiqib tursa, (26) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
=-1G1s+2G2s bu erdagi, 1 va2-lar ayrilayotgan va qo’shilayotgan moddiy zarrachalarning
tegishlicha nisbiy tezliklari; G1s va G2s-lar esa har sekunddagi ajralayotgan va qo’shilayotgan
zarrachalarning massalari.
Bunday sistemaga, atmosferadan havoni so’rib olib yoqilg’i ma’sulotlari bilan aralashtirib,
so’ngra ularni birgalikda yondirish natijasida harakatga teskari tomonga otib yuboruvchi havoreaktiv dvigateli o’rnatilgan samolyot misol bo’lishi mumkin. Tashqariga otib yuborilayotgan
yoqilg’i ma’sulotlarining ulushi juda kichkina (2 -3 % dan oshmaydi) bo’lgani uchun, amalda
G1s= G2s= Gs deb qabul qilinadi. Undan tashqari, qo’shilayotgan havo massasining nisbiy
tezligi 2=- bo’ladi, bu erdagi -samolyotning tezligi. U holda, 1= deb hisoblab, -kuchining vektori
va uning moduli uchun quyidagi ifodani yozamiz: = -Gs(+), F= Gs(u-v)
Reaktivlik kuchining modulini aniqlashda, -(samolyotning) tezligini va (otib yuborilayotgan
havoning) -tezligini o’zaro qarama-qarshi yo’nalishda olinadi.
Yuqoridagi formula, suvni so’rib va qayta chiqarib yuboruvchi gidro reaktiv dvigatellar uchun
ham o’rinli hisoblanadi.
Ts i o l k o v s k i y f o r m u l a s i. Tashqi kuchlarning bosh vektori =0 deb, hamda otib
yuborilayotgan moddiy zarrachalarniing nisbiy tezligi -ni o’zgarmas deb hisoblab, raketaning
faqat reaktivlik kuchi ta’siridagi harakatini ko’rib chiqamiz. Harakatning yo’nalishi
bo’yicha x koordinata o’qini yo’naltiramiz (294 shakl). U holda vxhv, uxh-u bo’ladi, va =0
ekanligini e’tiborga olsak, (25) tenglamaning x o’qidagi proektsiyasi, quyidagi ko’rinishda
bo’ladi: M=-u yoki dV=-u
Boshlang’ich holatdagi massa M=M0, va tezlik =0 bo’lib, u Ox o’qi bo’ylab yo’nalgan ekanligini
e’tiborga olgan holda, yuqoridagi tenglamani integrallasak: v=v0+uln(M0/M) (28)
Raketaning korpusini uning ichidagi jihozlar bilan birgalikdagi massasini Mk-bilan, va jami
yoqilg’ining massasini Myo -bilan belgilaylik. U holda, M0 =Mk+ Myo bo’ladi, va jami yoqilg’i
yonib tamom bo’lgandagi raketaning massasi Mk -ga teng bo’ladi. Ushbu qiymatlarni (28) ga
qo’ysak, jami yoqilg’i yonib tamom bo’lgandagi (aktiv uchastkaning oxiridagi tezlik deb
ataluvchi)raketaning tezligini ifodalovchi Tsiolkovskiy formulasini keltirib chiqamiz:
v=v0+uln(1+Myo/Mk) (28)
Ushbu natija tortilish kuchi maydonidan tashqaridagi havosiz fazodagi harakat uchun o’rinli
hisoblanadi. (28) formuladan ko’rinib turibdiki, raketaning chegaraviy tezligi: 1) uning
boshlang’ich tezligi v0; 2) yongan gazlarni raketaning soplosidan chiqib ketishidagi nisbiy tezligi
u-ga; 3) yonilg’ining nisbiy zapasi Myo/Mk (Tsiolkovskiy soniga)-ga bog’liq bo’lar ekan. Eng
ajoyib fakt shundan iboratki, yonilg’ining eng so’nggi yonish davridagi raketa dvigatelining
ishlash rejimi, ya’ni yonilg’ining qanchalik tez yoki sekin yonishi, raketaning tezligiga ta’sir
ko’rsatmas ekan.
Tsiolkovskiy formulasining eng muhim ahamiyati shundan iboratki, kosmik parvozlar uchun
kerak bo’ladigan katta tezliklarni qanday yo’llar bilan olish usullarini ko’rsatib beradi. Bular,
Myo/Mk , u va v0 -larni oshirishdan iborat bo’lib, uning eng effektiv yo’li u va v0 -larni oshirish
hisoblanadi. Myo/Mk va u-ni oshirish uchun, raketaning konstruktsiyasini yaxshilash va
yonilg’ining sifatini oshirish talab etiladi. Suyuq yoqilg’idan foydalanish evaziga nisbiy tezlikni
u=30004500 m/s ga etkazish mumkin bo’ladi.
Lekin, bir pog’onali raketalar uchun Myo/Mk -ning qiymati, kosmik parvoz uchun etarli
darajadagi tezlikni bera olmaydi (§98 ga qarang). Kosmik parvoz uchun etarli darajadagi
tezliklarni olish uchun, qo’shma (ko’p pog’onali) raketalardan foydalaniladi, va har bir pog’ona
uning ichidagi yoqilg’i yonib tamom bo’lishi bilan, avtomatik ravishda raketadan ajratib
tashlanadi. Natijada, har bir keyingi pog’ona uchun, oldingi pog’onadan olingan tezlik
(boshlang’ich) qo’shimcha tezlik bo’lib xizmat qiladi.
Shu kabi, ko’p pog’onali raketa yordamida erning birinchi sun’iy yo’ldoshlari (1957 yil, 3
oktyabrda va 4 noyabrda) uchirilgan edi. Undan keyingi ko’plab uchirilgan boshqa kosmik
obhektlar va shu qatorda kosmonavtlar joylashgan kosmik kemalar ham, ko’p pog’onali raketalar
yordamida osmonga ko’tarilgan.
1. Nyuton mexanikasida jism massasi uning tezligiga bog’liq
emas deb hisoblanadi. Ammo bu hamma joyda jism
harakati davomida har doim uning massasi o'zgarmasligini
belgilmaydi. U tashqi muhit bilan jism orasida modda
almashinuvi, ya'ni, harakatlanayotgan jism tarkibining
o'zgarishi hisobiga o'zgarishi mumkin. Masalan,
aylanayotgan g’altak massasi kabelni o'ralayotgan yoki
undan bo'shatib olinayotganlgiga mos ravishda ortadi yoki
kamayadi. Raketada zaxiraga olingan yoqilg’i maxsuloti
yonib bo'lgandan so'ng dvigatelning soplosi orqali tashlab
yuboriladi va raketa massasi sekin-asta kamayib boradi.

1. Nyuton mexanikasida jism massasi uning tezligiga bog’liq emas deb hisoblanadi.
Ammo bu hamma joyda jism harakati davomida har doim uning massasi o'zgarmasligini
belgilmaydi. U tashqi muhit bilan jism orasida modda almashinuvi, ya'ni,
harakatlanayotgan jism tarkibining o'zgarishi hisobiga o'zgarishi mumkin. Masalan,
aylanayotgan g’altak massasi kabelni o'ralayotgan yoki undan bo'shatib olinayotganlgiga
mos ravishda ortadi yoki kamayadi. Raketada zaxiraga olingan yoqilg’i maxsuloti yonib
bo'lgandan so'ng dvigatelning soplosi orqali tashlab yuboriladi va raketa massasi sekinasta kamayib boradi.
O'zgaruvchan massali moddiy nuqta dinamikasining asosiy tenglamasini (shuningdek, jismning
ilgarilanma harakat tenglamasini) birinchi bo'lib I.V.Mesherskiy (1897) topgan. Sistemaning P
impulsini kichik dt vaqtdagi o'zgarishini o'zgaruvchan massali ilgarilanma harakatlanayotgan
jism va shu vaqt ichida undan ajralayotgan (yoki unga birlashayotgan) zarracha uchun
quyidagicha yozamiz:
Bu yerda m va V - lar jismning t vaqt momentidagi massa va
tezliklari; dm va dv - kichik dt vaqt oraligidagi ularning
o'zgarishlari; V1 - ajraluvchi zarraning ajralgandan keyingi
(ularning umumiy massasi - dm>0) yoki birlashuvchi
zarraning birlashguncha (ularning umumiy massasi dm0)
yoki birlashuvchi zarraning birlashguncha (ularning
umumiy massasi dm
munosabatni impulsning o'zgarish qonuni quyidagi
formulaga ga qo'yib, Mesherskiy tenglamasini olamiz:
3. Vektor kattalik
kuch birligiga ega bo'lib, uni reaktiv kuch deyiladi. U
jismdan ajraluvchi yoki unga birlashuvchi zarrachalarning
mexanik ta'sirlarini xarakterlaydi (masalan, raketadan oqib
chiqayotgan gaz oqimini raketaga ta'siri).
Reaktiv kuchdan foydalanib uchish apparatlarini yaratish
g’oyasini aytilganiga ancha bo'lid. Shunday qilib, 1881 yil
revolyutsioner narodnik N.M.Kibalchich shox Aleksandr II
ni o'ldirishda ayblanib, uni qatl etishdan oldinroq u
tyurmada bo'lganda reaktiv uchuvchi apparatlarini
loyixasini tuzdi. Ammo bu loyixa tyurma arxivida yo'qolib
ketdi va birinchi bo'lib faqat 1918 yilda chop etildi.
Atoqli olim va kashfiyotchi K.E.Tsiolovskiy butunlay
xayotini raketa texnikasi va raketani planetalararo
aloqalarda qo'llash masalalariga bag’ishladi. 1903 yildayoq
u o'zining chop etilgan maqolasida raketa harakat
nazariyasini asoslari va suyuq yoqilg’i reaktiv dvigateli
(SYoRD) to’g’risida chuqur fikrlar aytgan. Havo reaktiv
dvigateli nazariyasini birinchi bo'lib B.S.Stechkin (1924)
ishlab chiqdi va chop etdi.
4. 1903 yilda Tsiolkovskiy birinchi bo'lib, faqat birgina
SYoRD ning tortish reaktiv kuchi ta'sirida ya'ni, xavo
harshligi va gravitatsiya kuchlari bo'lmaganda xarakatlanib
raketa erishishi mumkin bo'lgan maksimal tezlikni
hisoblash formulasini chop etdi.
Mesherskiyning (26) tenglamasidan Ftashq=0, raketa
harakati uchun quyidagi tenglamani yozamiz:
bu yerda U-raketaga nisbatan o'lchangan, raketa soplosidan
oqib chiqayotgan yonish maxsulotining oqim tezligi.
Agar raketaning boshlang’ich tezligi nolga teng,
trayektoriya - to’g’ri chiziq bo'lsa, u holda tezlik V va U - lar
o'zaro harama-harshi tomonga yo'naladi. formuladan
raketa harakati yo'nalishiga proektsiyada quyidagini
olamiz:
yoki
Agar m0 - raketaning boshlang’ich massasi, m*=m0 - mt hamma yoqilg’i yonib bo'lgandan keyingi natijada dvigatel
ishlab bo'lgandan keyingi raketaning oxirgi massasi (mt raketaning boshlang’ich paytidagi yoqilg’i va oksidlovchi
modda bilan to'lqizib qo'yilgandagi yig’indi massasi), u
holda raketaning maksimal tezligini formula so`nggida
chiqqan qiymatni integrallash yo'li bilan topish mumkin:
Bu formulani Siolkovskiy formulasi deyiladi, maks raketaning xarakteristik tezligi deyiladi. Haqiqatan Yerning
tortishi va atmosferaning aerodinamik harshiligining
ta'sirida yoqilg’i to'liq yonib bo'lgan paytda va dvigatelning
ishlashi to'xtaganda raketaning tezligi deyarli xarakteristik
tezlikdan kichik.
Qator texnik qiyinchiliklar tufayli reaktiv va raketa
texnikasining keng-ko'lamda o'sishi faqat ikkinchi jahon
urushi davrida va asosan urush tamom bo'lgandan keyin
boshlandi. Reaktiv dvigatellarni aviatsiyada qo'llash
samolyotlarning tezligini, uchish uzoqligini va yuk ko'tarish
kabi xususiyatlarini bir necha marta ko'paytirish imkonini
berdi.
Raketa texnikasi, uning asosida Yer sun'iy yo'ldoshlari,
boshqariladigan kosmik kemalar, arbital va planetalararo
stantsiyalarni uchirish mumkinligiga asos bo'lib qoldi.
http://fayllar.org