Электрические цепи постоянного тока §4. Простые электрические цепи постоянного тока 4.1. Понятие электрической цепи Выше было показано, что электрический ток проводимости, который нас интересует в наибольшей степени, возникает в проводящих средах, организованных таким образом, что для носителей тока, приходящих в движение под действием электрического поля, создаваемого источником, имеется замкнутый путь, называемый электрической цепью. Отталкиваясь от этой общей посылки, вытекающей из материала предыдущих параграфов, обратимся к определению электрической цепи, узаконенному электротехническим ГОСТ 19880-74: электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об ЭДС, токе и напряжении. Любой электрической цепи и каждому её элементу в отдельности присущи три основополагающие характеристики, которые будем называть параметрами: сопротивление R, индуктивность L и ёмкость С. Сопротивление характеризует способность цепи преобразовывать электромагнитную энергию тока в тепловую. Индуктивность характеризует способность цепи накапливать энергию магнитного поля. Такой способностью обладает любой проводник с током или система проводов. Ёмкость характеризует способность цепи накапливать энергию электрического поля. Такой способностью обладают любые два провода, разделённые диэлектриком, например, провода линии передачи. К устройствам и объектам, о которых говорится в определении, среди прочего оборудования относятся три обязательные составляющие любой электрической цепи: источники электроэнергии, приёмники (потребители) электроэнергии и соединительные линии (линии передачи). И с т о ч н и к и (генераторы, аккумуляторы, термопары, фотоэлементы и др.) служат для создания электродвижущей силы путём преобразования тех или иных видов энергии (механической, химической, тепловой, световой и др.) в электрическую. П р и ё м н и к и служат для обратного преобразования электрической энергии в другие виды энергии, отвечающие конкретным потребностям заказчиков электроэнергии: механическую, тепловую, световую, химическую. С о е д и н и т е л ь н ы е л и н и и предназначены для передачи и распределения электроэнергии. Они выполняются в виде электрических проводов и кабелей. На практике при анализе электрических цепей широко пользуются их графическим изображением, называемым электрической схемой. На схеме с помощью условных обозначений изображаются элементы, составляющие электрическую цепь, при этом они размещаются так, чтобы создавалось наглядное представление о порядке их соединения. Простейшая электрическая цепь содержит один источник и один приемник (рис.10). Рис.10 Источники безотносительно к их природе будем обозначать на схемах окружностью со стрелкой (рядом или внутри), показывающей направление действия ЭДС. При необходимости могут применяться дополнительные буквенные обозначения источников: в общем случае – G ; для источников ЭДС и источников тока – соответственно буквы E и J (рис.11). Приёмники, называемые также потребителями или нагрузкой, в общем случае будем изображать прямоугольником. Рис.11 На схеме, приведенной на рис.10, кроме самих источника и приёмника обозначены цифрами их зажимы: 1–2 и 3–4. Между зажимами 1–3 и 2–4 показана двухпроводная соединительная линия передачи. Линия и присоединённая в её конце нагрузка образуют вместе внешнюю цепь. Электрические цепи условно делят на простые и сложные. К простым относят цепи, содержащие один источник и один или несколько приемников, соединенных между собой так, что независимо от количества и взаимного расположения приемников их можно путем преобразований схемы свести к последовательно-параллельному соединению. Если цепь с одним источником имеет структуру, которая не позволяет получить схему последовательнопараллельного соединения приёмников, или если цепь содержит несколько независимых источников при любом количестве и любой схеме подключения приёмников, ее будем называть сложной. 4.2. Ток в электрической цепи Под действием электродвижущей силы Е источника в электрической цепи возникает и поддерживается электрический ток I . Величина или, что то же, «сила тока», протекающего по проводнику, определяется количеством электрических зарядов, проходящих через поперечное сечение проводника в единицу времени. Ток, н е и з м е н н ы й во времени, называется постоянным. Единицей измерения электрического тока является ампер (А): I Q Кл =А, t с следовательно, 1 А = 1 Кл / 1 c. Заметим, что термин «сила тока», рекомендуемый ГОСТом, имеет исторические корни. Когда Г.Ом искал связь между величиной тока и напряжением, он брал проводник и присоединял его концы к батарее. Над проводником размещалась магнитная стрелка – один из первых электроизмерительных приборов. Эксперименты Ома показывали, что угол отклонения стрелки был пропорционален количеству элементов батареи, подключенной к концам проводника, и обратно пропорционален длине проводника. Так как угол отклонения зависит от силы, приложенной к стрелке, стали пользоваться термином «сила тока», что само по себе неправильно, поскольку речь идет о величине тока, то есть количестве электричества (заряда), переносимого в единицу времени. Если величина тока м е н я е т с я во времени, то электрическим током сквозь некоторую поверхность называют предел отношения электрического заряда ΔQ , переносимого сквозь эту поверхность в течение промежутка времени Δt , к величине этого промежутка, когда последний стремится к нулю: i lim t 0 Q t dQ . dt Заметим, что значения меняющихся во времени электрических величин в произвольный момент времени, называемые мгновенными значениями, принято обозначать строчными буквами. Поэтому в последнем случае для тока использовано обозначение i. П о л о ж и т е л ь н ы м считается направление тока, в котором перемещаются положительные заряды, то есть направление, противоположное движению электронов (от положительного зажима источника к отрицательному для внешней части цепи). Электрический ток есть величина с к а л я р н а я . Практические задачи привели к необходимости ввести в рассмотрение векторную величину – плотность тока. В общем случае она определяется как предел отношения тока Δ i сквозь элемент поверхности Δ s, нормальный к направлению движения заря- женных частиц, к этому элементу, когда последний стремится к нулю: j lim s0 i s di . ds Вектор j имеет направление, совпадающее с направлением движения положительно заряженных частиц. Если он составляет с положительной нормалью к поверхности угол α, то di j cos αds jds , весь же ток, проходящий сквозь поверхность конечных размеров s , i j cos αds jds. s s Если плотность тока во всех точках поверхности одинакова по величине и составляет с нормалью к поверхности один и тот же угол, можно написать: I j cos α ds js cos α . S Если j совпадает с нормалью, то I=js (1.13) Последнее условие соблюдается при постоянном во времени токе, протекающем по проводам, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (А/м2). В пространстве, в котором существует электрический ток, можно провести ряд линий таким образом, чтобы векторы плотности тока были касательными к этим линиям во всех их точках. Такие линии называются линиями тока. Известно, что плотность тока при постоянной температуре проводника пропорциональна напряжённости электрического поля. При этом в изотропной среде вектор плотности тока совпадает по направлению с вектором напряжённости электрического поля, и линии тока совпадают с силовыми линиями поля. На основании сказанного для плотности тока можно написать: j γ E. (1.14) Коэффициент пропорциональности γ в этом выражении называется 1 ρ = , обратудельной электрической проводимостью вещества. Величину γ ную удельной проводимости, называют удельным электрическим сопротивлением вещества. 4.3. Электрическое сопротивление Прохождение тока в цепи связано с затратой энергии, которая доставляется в цепь источником и преобразуется в ней в тепло или в другие виды энергии (механическую, химическую, световую и др.). Элемент цепи, в котором происходит н е о б р а т и м ы й процесс преобразования электрической энергии в тепловую, называется резистором. Основным параметром резистора является его с о п р о т и в л е н и е . Сопротивлением обладают не только резисторы, но и другие элементы цепи, в том числе источники и линии передачи. Правильно будет сказать, что практически все устройства, применяемые в электротехнике, в большей или меньшей степени обладают сопротивлением. Чем больше сопротивление проводника, тем больше при равных прочих условиях ослабляется в нём ток. Если рассмотреть металлический провод длиной l , имеющий площадь поперечного сечения s, то его сопротивление l R ρ . s В этом выражении (1.15) ρ – упомянутое в предыдущем параграфе удельное электрическое сопротивление. Электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом), следовательно, единицей измерения ρ Rs l будет Ом · м2/м = Ом · м. Такая единица не- достаточно наглядна, поэтому допускается применение удобной внесистемной единицы, которая получается, если сечение провода измерять не в квадратных метрах, а в квадратных миллиметрах. Тогда ρ = Ом · мм2/м. Отсюда следует, что удельное сопротивление – это сопротивление в омах такого электрического провода, длина которого 1 м и поперечное сечение 1 мм2. Зная ρ , легко сравнивать различные проводящие вещества, применяемые в электротехнике, по их электропроводности. Лучшей электропроводностью обладают серебро (ρ = 0,0165 Ом · мм2/м) и медь (ρ = 0,0172 – 0,0175 Ом · мм2/м). Это обусловило их широкое применение в изделиях, предназначение которых предполагает минимальную сопротивляемость протекающему по ним току, например, в проводах и кабелях (медь), электрических контактах (медь, серебро). В электротехнических устройствах, применяемых в промышленности и в бытовых изделиях некорабельного предназначения довольно активно используется также алюминий, удельное сопротивление которого больше, чем у меди (ρ = 0,028 Ом · мм2/м), но низкая по сравнению с медью стоимость обусловила его широкое применение в береговых условиях.. Иногда для ответственных контактов электромагнитных реле применяется золото, которое не окисляется и поэтому всегда обеспечивает высококачественное контактное соединение. Электрическое сопротивление золота выше, чем у серебра и меди: ρ = 0,024 Ом · мм2/м, однако для получения неизменно надёжного контактного соединения главным становится высокая химическая устойчивость золота. Низкой электропроводностью обладают сплавы, применяемые для изготовления реостатов и нагревательных устройств: нихром ( ρ = 1,1 Ом · мм 2/м), фехраль ( ρ = 1,4 Ом · мм2/м) и др. 1 Величина G , обратная сопротивлению, называется электрической R проводимостью. Проводимость измеряется в сименсах ( См ). Повышение температуры проводящих устройств сказывается на их проводимости: у металлов она уменьшается, у проводящих жидкостей и графита (угля) увеличивается. Это объясняется особенностями микроструктуры тех или иных проводящих веществ. Относительное приращение сопротивления большинства металлических проводников при изменении температуры в пределах 100ºС пропорционально изменению температуры. Следовательно, R R 2 R1 α , 2 1 R R1 откуда R2 R1 R1α 2 1 . (1.16) Здесь R1 и R2 – сопротивления при температурах Θ1 и Θ2 ; α – температурный коэффициент сопротивления, представляющий со- бой относительное изменение электрического сопротивления при повышении температуры на 1ºС. Для металлов α > 0 , для угля и электролитов α < 0 . Например, температурный коэффициент меди α = 0,004 1/град, то есть при изменении температуры медного провода на 1ºС его сопротивление изменится на 0,4% ; для угля (графита) α = – 0,0005 1/град. Рассмотренное влияние температуры на величину электрического сопротивления металлов используется на практике для измерения температуры устройств, объектов и сред. В ряде случаев это влияние, как отрицательное явление, приходится учитывать при разработке электротехнических устройств. Пример 1. При температуре окружающей среды Θ1 = 20ºС сопротивление медной обмотки электродвигателя, не включенного в сеть, R1 = 2,24 Ом. После двух часов работы двигателя сопротивление той же обмотки возросло до значения R2 = 2,8 Ом. Определить температуру обмотки двигателя после двух часов работы. Из выражения (16) имеем: R R 2, 8 2,4 20 61, 7∘ C. 2 αR1 1 0, 004 2,4 1 2 4.4. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля – Ленца В основе принципа действия любого источника электроэнергии лежит использование какой-либо неэлектрической (механической, химической, тепловой) энергии (см. §2, п.2.4), в результате чего возникают сторонние силы, обеспечивающие непрерывное разделение зарядов. Работа Аи по перемещению электрического заряда Q в источнике за время t, совершаемая этими силами, равна энергии Wи , полученной за счет преобразования других видов энергии. Поэтому можно записать: Aи Wи EQ EIt Эта электрическая энергия посылается источником во внешнюю цепь, где она на всех участках цепи преобразуется в другие виды энергии. Работа Апр по перемещению заряда в приёмнике (сюда же отнесём и соединительные провода) или равная ей энергия Wпр , преобразуемая в приёмнике в другой вид энергии, Aпр Wпр UQ UIt. Здесь U – напряжение на приёмнике. Разность Wи – Wпр = Wo представляет собой энергию, преобразуемую в тепло в источнике питания. Согласно двум предыдущим выражениям можно записать: EIt UIt E U It WО. Обозначим E – U = Uo , тогда W0 = U0 I t. Здесь U0 – напряжение, теряемое внутри источника. Таким образом, напряжение на приёмнике меньше ЭДС источника на величину Uo . Работа A, отнесённая к промежутку времени t, в течение которого она выполняется, называется мощностью: P A . t (1.17) Тогда для мощности, развиваемой источником, можно записать: Pи EIt EI , t аналогично для мощности, потребляемой приемником, P пр UIt t EI , и мощности, теряемой в источнике (мощности потерь), P0 = U0 I . В соответствии с законом сохранения энергии Pи = Рпр + P0 . Единицей измерения мощности является ватт (Вт): 1Дж 1В1А1с 1Вт 1В1А. Следовательно, 1Вт – это мощность, развива1с 1с емая током в 1 А при напряжении 1В. При прохождении тока по участку цепи с сопротивлением R происходит преобразование электрической энергии в тепловую. Если процесс преобразования длился t секунд, то для энергии можно записать: W=I2Rt. Это выражение представляет собой закон Джоуля – Ленца. Из выражения (17) следует: A = P t, значит, единицей измерения электрической энергии (работы) является ватт-секунда (Вт · с) или джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Вт · 1 с = 1 Вт·с. На практике чаще применяют более крупную единицу измерения энергии – киловатт-час (кВт·ч): 1 кВт·ч = 3.6 · 106 Вт·с. Преобразование электрической энергии в тепло находит полезное применение в нагревательных и осветительных устройствах. В большинстве остальных случаев выделение тепла в элементах электрической цепи является непроизводительным расходом (потерей) энергии, снижающим КПД используемой установки. Кроме того, тепло вызывает нагревание электрооборудования, что ограничивает его нагрузку (ток). При перегрузках температура может превысить допустимую норму нагрева оборудования, что опасно для электрической изоляции. §5. Законы электрических цепей 5.1. Закон Ома Возвращаясь к соотношению (14), перепишем его в следующем виде: E ρ j. (1.18) Представим себе отрезок провода АВ длиной l и сечением s , по которому под действием стационарного электрического поля E протекает постоянный ток I . В этом частном, но важном для практики случае напряжённость электрического поля во всех его точках одинакова, в силу чего уже известное соотношение B →→ U Edl , A связывающее напряжённость E и разность потенциалов (напряжение) U между точками А и В (см. зависимость (9)), упрощается: U = E l. Отсюда, с учётом выражений (1.13) и (1.14), получаем: U E ρI , l s U ρ I. s и Поскольку ρl s l R есть электрическое сопротивление рассматриваемого отрезка провода (см. выражение (1.15)), то U=RI или I U R где G 1 R U G , – электрическая проводимость провода. Два последних соотношения выражают закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС. Заметим, что исходное выражение (1.18), связывающее j и E , называется законом Ома в дифференциальной форме. Используя соотношения, выражающие закон Ома, можно из уже известной формулы P = U I получить ещё два выражения для мощности электрической цепи, которые широко применяются на практике: P I 2R и P U 2G U2 . R Рассмотрим теперь участок цепи А – В, содержащий ЭДС (см. рис.12). Рис.12 Определим напряжение UAB = U при наличии электродвижущей силы E. Для этого выразим потенциал точки А через потенциал точки В, считая, что ток течёт вверх. Возьмём промежуточную точку С. Её потенциал φС относительно точки В выражается соотношением: φ С = φВ – Е, относительно же точки А потенциал φС = φА – RI. Отсюда φА – RI = φВ – Е или φА – φВ = RI – Е = UAB. Поскольку UAB = U, из последнего соотношения получаем: I UE . R Если рассматриваемый участок является частью какой-либо сложной электрической цепи, содержащей другие источники, то направление тока на участке не обязательно совпадает с направлением ЭДС на нём. Оно будет обусловлено совокупным действием всех источников, входящих в электрическую цепь. В этом случае I UE . R (на рис.12 направление тока показано штриховой стрелкой вниз). Объединяя последние формулы в одну, получаем закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: I U E . R (1.19) ЭДС берётся со знаком «плюс», если её направление совпадает с направлением тока, и со знаком «минус», если направления ЭДС и тока противоположны Для определения тока в простейшей замкнутой цепи (рис.13) используется ещё одна формула, выражающая закон Ома. Рис.13 Учтём внутреннее сопротивление источника резистором R o , вынеся его во внешнюю цепь. ЭДС источника в этом случае будет равна разности потенциалов (т.е. напряжению) между точками А и В на его зажимах: Е = φА – φВ = UAВ . Сопротивление R всей замкнутой цепи в целом будет складываться из сопротивления её внешней части Rвнеш = Rл + Rнагр и внутреннего сопротивления источника Ro : R = Rвнеш + Ro . Тогда для тока цепи, U согласно полученному выше выражению закона Ома: I , можно запиR сать: E U AB . I = Ro Rвнеш Ro Rл Rнагр R U (1.20) Последнее соотношение представляет собой закон Ома для замкнутой электрической цепи. 5.2. Законы Кирхгофа Рассматриваемые в настоящем параграфе законы электротехники являются теоретической базой для расчёта электрических цепей. Под расчётом цепей обычно понимают определение токов по заданным ЭДС источников и параметрам элементов цепи: сопротивлениям резисторов, емкостям конденсаторов и индуктивностям катушек. Применяя закон Ома, можно рассчитать лишь простейшую цепь. Для расчёта разветвлённых и сложных электрических цепей дополнительно используют еще два положения, устанавливающие связь между токами, ЭДС и напряжениями, которые сформулировал Г.Кирхгоф и которые утвердились в электротехнике как законы (правила), носящие его имя. Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис14. Рис.14 По признакам, указанным в п.4.1, её следует отнести к сложным цепям. Составными элементами такой цепи являются в е т в ь , у з е л и к о н ту р . Ветвью называется участок цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток. Число ветвей будем обозначать буквой p. Узел – это точка, в которой сходятся не менее трех ветвей. Число узлов будет обозначать буквой q. Контуром называется любой замкнутый путь по ветвям схемы. Количество контуров обычно обозначается буквой n. Рассматриваемая цепь содержит пять ветвей ( p = 5 ), три узла ( q = 3 ) и шесть контуров ( n = 6 ). Все возможные контуры цепи показаны на рис. 15 геометрическими фигурами, графическое изображение которых соответствует очертаниям реальных контуров схемы. Рис.15 Электрическая цепь, изображаемая таким упрощенным способом, называется топологической схемой, а её структурные составляющие: ветвь, узел, контур – топологическими элементами. Рассмотрим некоторый узел, в котором сходятся токи I 1 , I 2 , I 3 , . . . , I n (рис. 16). Рис.16. Связь между этими токами устанавливается первым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Приведенной формулировке соответствует следующая математическая форма записи: n I k 1 k 0. Первый закон Кирхгофа вытекает из физического представления о таком движении зарядов в цепи, при котором они не накапливаются ни в одном из узлов. Вследствие того, что при расчёте сложных цепей обычно заранее не известно действительное направление токов в ветвях, предварительно задаются у с л о в н о п о л о ж и т е л ь н ы м и направлениями токов, обозначая их стрелками на схеме. Если в результате расчёта какой-либо ток получится отрицательным, это будет означать, что его фактическое направление в данной ветви противоположно выбранному условно положительному. Зададимся направлениями токов в ветвях схемы, изображённой на рис.17. Тогда, считая положительными токи, входящие в узел, и отрицательными выходящие из него, на основании первого закона Кирхгофа, например, для узла А следует записать: – I1 + I3 – I5 – I2 = 0 . Будем полагать, что приёмниками в рассматриваемой цепи являются резисторы с сопротивлениями R1 , R2 , R3 , . . . При протекании тока на каждом из них в соответствии с законом Ома создается напряжение Uk = Rk Ik . Довольно часто, говоря о напряжении на элементах цепи, применяют термин «п а д е н и е н а п р я ж е н и я », тождественный термину «напряжение», но иногда более наглядный, чем первый. Вместе с тем применительно к нагрузке всегда говорят «напряжение на нагрузке» (а не падение напряжения). Вернемся снова к рис. 17 и выберем любой из шести контуров, обозначенных выше. В общем случае в контур могут входить один или несколько источников и ряд приёмников, на которых создаются напряжения (падения напряжений) протекающими по ним токами. Связь между электродвижущими силами источников и падениями напряжения на приёмниках устанавливается вторым законом Кирхгофа, который формулируется следующим образом: во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма электродвижущих сил равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур. Если контур образован m ветвями цепи с сопротивлениями Ri , по которым протекают токи Ii и содержит n источников с ЭДС Ek , то математически приведенная формулировка записывается так: n E R I . m k 1 k i i i1 Составляя уравнения в соответствии с этой записью, предварительно задаются направлением обхода контура, показывая его дуговой стрелкой внутри контура. При этом ЭДС и токи, направления которых совпадают с направлением обхода, считают положительными, а те из них, направления которых противоположны направлению обхода, отрицательными. Выбрав в качестве иллюстрации внешний контур рассматриваемой схемы (см.рис.14), составим для него уравнение согласно второму закону Кирхгофа, выбрав направление обхода по часовой стрелке: E1 – E2 = R1I1 + R4I4 – R2I2 . Аналогично могут быть составлены уравнения для любого другого контура заданной цепи. Если контур не содержит ни одной ЭДС, то в соответствующей части уравнения ставится ноль. В научной и учебной литературе уравнения, полученные на основании второго закона Кирхгофа, нередко называют у р а в н е н и я м и р а в н о в е с и я между ЭДС и напряжениями цепи или уравнениями состояния цепи. Часто на электрических схемах не показывают источники питания, ограничиваясь изображением зажимов цепи с обозначением напряжения между ними (рис. 17,а). Рис 17 Возникает естественный вопрос, в какой части уравнения следует учитывать это напряжение, поскольку оно не является падением напряжения, определённым ранее как произведение тока и сопротивления. В этом отношении нет четкого правила, разные авторы поступают по-разному. В настоящем пособии оно будет учитываться в той части уравнения, где суммируются ЭДС источников питания. Такой учёт представляется более логичным, чем другой вариант. Действительно, добавим к исходной схеме ветвь, содержащую источник с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Ro , который объективно и создает напряжение на зажимах цепи. Составим уравнение равновесия для внешнего контура преобразованной схемы (рис. 17,б), включающего источник с внутренним сопротивлением Ro и резисторы R1 , R3 , R4 . Направления токов в ветвях соответствуют направлению ЭДС. При обходе контура по часовой стрелке получим: E = RoI1 + R1I1 + R3I3 + R4I4 . Перенесём падение напряжения RoI1 в источнике в левую часть этого уравнения. Тогда с учётом, что I1 и I4 – один и тот же ток, получим: E – RoI1 = (R1+ R4)I1 + R3I3 . Разность E – RoI1 представляет собой напряжение на зажимах генератора E – RoI1 = E – Uo = U, которое одновременно является напряжением на зажимах внешней цепи, то есть U = (R1+ R4)I1 + R3I3 . Отсюда видно, что напряжение, подобно ЭДС, определяет состояние цепи, устанавливая токи в ветвях, и по этой причине его целесообразно учитывать в уравнениях равновесия так же, как ЭДС. Однако для соблюдения правила знаков его направление нужно сориентировать по направлению ЭДС, мысленно перевернув стрелку вверх, и, составляя уравнение равновесия, брать в расчёт это направление. Попутно заметим, что предпоследнее соотношение, записанное в общем случае в виде функции U = f ( I ): U = E – RoI , называется уравнением источника ЭДС или внешней характеристикой источника. Оно представляет собой линейную зависимость, показывающую, как уменьшается напряжение на зажимах источника по мере увеличения тока в цепи. §6. Расчёт простых электрических цепей. 6.1. Расчёт простых электрических цепей при последовательном, параллельном и смешанном соединении приёмников Приёмники электроэнергии в простых электрических цепях могут соединяться последовательно, параллельно или последовательно-параллельно (смешанное соединение). Последовательным называется такое соединение, при котором через все приёмники проходит один и тот же ток (рис.18). Рис.18 Предположим, что к зажимам изображенной на рисунке цепи, состоящей из n отдельных приемников с сопротивлениями R1, R2, . . . , Rn, приложено напряжение U. Под действием этого напряжения по цепи протекает ток I. В соответствии со вторым законом Кирхгофа U U1 U 2 ... U n R1I R2 I ... Rn I R1 R2 ... Rn I RI , где R R1 R2 ... Rn – эквивалентное сопротивление цепи. Таким образом, эквивалентное сопротивление цепи при последовательном соединении приёмников равно сумме сопротивлений этих приёмни- ков. Напряжения на приёмниках распределяются прямо пропорционально их сопротивлениям. Умножим приведенное выше уравнение состояния цепи на ток I : UI R I 2 R I 2 ... R I 2. 1 2 n В полученном соотношении произведение UI в левой части представляет собой мощность P, потребляемую всей цепью. Суммируемые произведения сопротивлений на квадрат тока являются мощностями P1 , P2 ,..., Pn , потребляемыми отдельными приемниками: P P1 P2 ... Pn . Параллельным называется такое соединение приёмников, при котором все они подключены к одной паре узлов и, следовательно, находятся под одним и тем же напряжением (рис.19). Рис.19 Изображенные на рисунке схемы параллельного соединения приёмников в электрическом отношении эквивалентны. Предположим, что к цепи с n параллельно соединенными приёмниками, проводимости которых G1, G2 ,...,Gn , подведено напряжение U. Под действием этого напряжения по ветвям цепи будут протекать токи I1, I2 ,..., I n , а ток I в неразветвлённой части схемы в соответствии с первым законом Кирхгофа будет равен их сумме: I I1 I2 ... In . . Учитывая, что согласно закону Ома I1 G1U , I2 G2U , ... , In GnU , получим: I G 1 U G 2U ... GnU G1 G 2 ... Gn U GU , (1.21) где G G1 G2 ... Gn – эквивалентная проводимость цепи. Таким образом, эквивалентная проводимость всей цепи при параллельном соединении приёмников равна сумме проводимостей этих приёмников. При параллельном соединении токи ветвей пропорциональны их проводимостям. Рассмотрим частный, но важный для практики случай параллельного соединения двух резисторов с сопротивлениями R1 и R2 (рис.20,а) Рис.20 Здесь G G1 G2 или 1 R 1 R1 1 R2 , откуда эквивалентное сопротивле- ние цепи R R1 R2 R1 R2 . Эта формула широко используется при расчёте цепей. Рассматривая цепь с параллельным соединением двух приёмников R1, R2, полезно остановиться на случае, когда известен ток I в её неразветвленной части (рис.20,б) и требуется определить токи в ветвях. Существуют формулы, позволяющие сделать это, не прибегая к дополнительным расчётам. Для узла А имеем: I I1 I2 . Кроме того, U = R1 I1 I1 I2 = R2 I2, откуда R R2 и I 2 I1 1 . Подставляя эти значения в исходное соотношение, соответR2 R1 ственно получим: I I2 R2 I2 R1 и R I I1 I1 1 , R2 отсюда I2 I R1 R1 R2 и I1 I R2 R1 R2 . (1.22) Вернёмся к уравнению (1.21). Умножив его на U, получим: UI G1U 2 G2U2 ... GnU 2 U 2 U 2 ... U 2 R1 R2 Rn или P P1 P 2 ... Pn . Таким образом, мощность цепи при параллельном соединении приёмников равна сумме мощностей отдельных приёмников, так же как и при последовательном их соединении. Сочетание последовательного и параллельного соединения приемников в одной цепи называется смешанным соединением. При расчёте цепей со смешанным соединением приемников комбинируются соотношения, полученные для каждого из двух рассмотренных видов соединения. Порядок расчёта удобно проследить на конкретном примере. Предположим, что известны сопротивления резисторов в цепи, изображённой на рис.21, и напряжение на её зажимах. Требуется определить токи в ветвях. Рис.21 Общая идея расчета заключается в том, что путём поэтапного объединения параллельно и последовательно включённых резисторов с помощью полученных выше формул, находят эквивалентное сопротивление всей цепи в целом. Ток I U R , протекающий по эквивалентному сопротивлению R, будет одновременно током неразветвлённой части заданной цепи: I = I1. Зная ток I1, легко определить падение напряжения на резисторе R1, ближайшем к зажимам цепи, как произведение R1 I1, после чего находится напряжение между узлами А и В: UАВ = U – R1 I1. Это даёт возможность определить токи в резисторах R2 и R3, используя закон Ома: I2 U AB , R2 I 3 U AB R3 R45 . Поступая аналогично для элементов цепи, находящихся справа от узлов А и В, определяют падение напряжения в резисторе R3 и напряжение на участках между узлами С и D: UCD = UАВ – R3 I3, после чего вычисляют токи: I4 U U CD ; I 5 CD . R5 R4 6.2. Баланс мощностей Рассмотрим простейшую электрическую цепь, содержащую источник питания с внутренним сопротивлением R0 и нагрузку с сопротивлением Rнг (рис.22). Рис.22 Сопротивление каждой соединительной линии сосредоточим в отдельных элементах, представленных на схеме в виде резисторов Rл/2. Их сумма даёт полное сопротивление линии передачи Rл . В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать: E R0 I RЛ I RНГ I R0 I RЛ I U . Умножив это уравнение на I, получим: EI R I 2 R I 2 UI 0 Л или PИ P0 PЛ PНГ . Здесь Pи = E I – мощность, развиваемая источником; ΔP0 = R0I2 – часть мощности, которая теряется в источнике, рассеиваясь в виде тепла; ΔPл – часть мощности, которая теряется в проводах, также рассеиваясь в виде тепла; Pнг = U I – мощность, потребляемая нагрузкой. Последние два уравнения представляют собой так называемый баланс мощностей, который в общем виде формулируется так: в обособленной электрической цепи сумма электрических мощностей источников равна электрической мощности всех приёмников цепи. Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии и часто применяется для проверки правильности произведенного расчёта цепи. §7. Расчёт сложных электрических цепей постоянного тока 7.1. Применение законов Кирхгофа для расчёта сложных цепей Цепь, содержащая узлы, то есть точки, в которых сходится не менее трех ветвей, является разветвлённой. Если разветвленная цепь содержит два или более источников в разных ветвях, ее называют сложной, несмотря на то, что расчет такой цепи может быть достаточно простым. К сложным принято также относить цепи с одним источником, если приёмники, входящие в цепь, нельзя свести к последовательному или параллельному соединению. Про- стейшие неразветвленные цепи, содержащие один или несколько приёмников в последовательном соединении, могут быть рассчитаны с помощью одного только закона Ома. Все остальные требуют для расчета, кроме того, применения одного или обоих законов Кирхгофа. Таким образом, понятие «разветвлённая электрическая цепь» является обобщающим и объединяет все цепи, кроме простейших. Простые разветвлённые цепи были рассмотрены в предыдущих параграфах. Здесь же остановимся на анализе и расчёте сложных разветвлённых цепей, которые чаще будем называть просто сложными. Расчёт любой сложной электрической цепи можно произвести, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа и решив её. Законы Кирхгофа позволяют получить систему p независимых линейных алгебраических уравнений, в которой q – 1 уравнений составлены по первому и остальные p – (q – 1) по второму закону. Решив её, можно определить токи во всех p ветвях заданной цепи. Однако вручную достаточно легко решается система, порядок которой не превышает трёх. В более сложных случаях целесообразно применение ЭВМ, для которых разработаны соответствующие программы. Можно также использовать специальные расчётные методы, позволяющие тем или иным путем упростить задачу. В силу того, что с помощью законов Кирхгофа, в принципе, может быть решена любая задача расчёта электрической цепи, будем этот метод называть общим. Его применение рассмотрим на примере конкретной электрической цепи, изображенной на рис.23. Рис.23 Заданная цепь содержит четыре источника питания и шесть приёмников. Известны величины и направления электродвижущих сил, а также сопротивления приёмников. Необходимо найти токи в ветвях. Решение задачи следует начинать с подсчета числа ветвей p в цепи, определяющего общее количество уравнений, и количества узлов q , по которому устанавливается, сколько из них нужно составить по первому закону Кирхгофа (то есть q - 1 уравнений) и сколько по второму (то есть p – (q – 1)). Следующий этап – выбор условно положительных направлений токов в ветвях. Если электрическая цепь содержит не один, а несколько источников питания, указать заранее истинное направление токов в ветвях не представляется возможным. Поэтому для каждой ветви его выбирают произвольно, помечая стрелками. Отметим еще раз: если в результате расчета какие-либо токи получились со знаком «минус», это значит, что их истинное направление противоположно выбранному условно положительному. Далее также произвольно выбираются направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа. На схеме их обозначают дуговыми стрелками внутри соответствующих контуров. Закончив перечисленные предварительные операции, приступают к составлению уравнений. Схема, изображенная на рисунке, имеет шесть ветвей и четыре узла, следовательно, по первому закону Кирхгофа нужно составить 4 – 1 = 3 уравнения и оставшиеся 6 – (4 – 1) = 3 – по второму. Пометим соответствующими стрелками выбранные направления токов в ветвях и направления обхода каких-либо трех контуров (обычно берут наиболее наглядные). Формулируя первый закон Кирхгофа, мы договорились считать токи, входящие в узел, положительными и выходящие из узла – отрицательными. Поэтому для узлов А, В и С заданной цепи получим соответственно следующие уравнения: I1 – I2 + I5 = 0; – I1 – I3 + I4 = 0; I2 + I3 – I6 = 0. Напомним также, что при обходе контура по дуговой стрелке в процессе составления уравнений по второму закону Кирхгофа считают положительными ЭДС и токи, направления которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными – те из них, направления которых противоположны направлению обхода. С учётом сказанного для контуров I, II и III соответственно получим: – E1 – E4 = – R1I1 – R4I4 + R5I5 ; E1 – E2 + E3 = R1I1 + R2I2 – R3I3 ; – E3 +E4 = R3I3 + R6I6 + R4I4 . Используя те или иные приемы, полученную систему шести уравнений нетрудно свести к системе третьего порядка относительно любых трех токов. Решив ее, получают значения этих токов, после чего вычисляют остальные три, вернувшись к исходным уравнениям для узлов. Завершая вопрос о расчёте электрических цепей общим методом, коротко остановимся на подсчете баланса мощностей между источниками и приемниками, который, как и в случае простых цепей, является одним из критериев правильности произведенного расчёта. Поскольку сложная цепь содержит обычно несколько источников, то при составлении баланса подсчитывается суммарная мощность всех источников, которая сравнивается с суммарной мощностью всех приемников. Если задача расчета решена правильно, эти мощности будут одинаковы. Суммируя мощности источников, необходимо обращать внимание на взаимные направления ЭДС и токов в этих источниках. Если их направления совпадают, мощность EI берется со знаком «плюс», если не совпадают, – со знаком «минус». 7.2. Принцип и метод наложения Для линейных электрических цепей можно сформулировать так называемый принцип наложения, согласно которому ток любой ветви электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых в этой ветви каждой из ЭДС цепи в отдельности. Он справедлив для всех линейных электрических цепей. Принцип наложения в полной мере применим также и к напряжениям, поскольку напряжения на отдельных участках цепи пропорциональны соответствующим токам. Вместе с тем его нельзя применять в отношении мощностей, так как последние являются квадратичными (следовательно, нелинейными) функциями токов. Из принципа наложения вытекает метод наложения, применяемый для расчета сложных цепей. Рис.24 Он заключается в расчленении задачи на ряд более простых, каждая из которых решается при учёте лишь одной ЭДС. Например, схему, изображенную на рис.24 можно заменить двумя простыми: с ЭДС E1 (рис.25,а) и E2 (рис.25,б): рис.25 В первой из них токи легко определяются следующим образом: E1 I 1 RR R 2 3 1 R2 R3 ; I I 2 1 R3 R2 R3 R2 ; I I 3 1 , R2 R3 во второй I 2 R2 E2 R3 R1 ; I 1 I 2 ; I 3 I 2 , R1R3 R 1 R3 R 1 R3 R1 R3 Здесь для определения токов I 2 , I 3 , I1 ,I 3 использованы соотношения (1.22). Фактические токи в ветвях получают наложением одного результата на другой, то есть алгебраическим суммированием токов одноименных ветвей: I1 I1 I 2 ; I 2 I 2 I 2 ; I 3 I 3 I 3 . Аналогичная задача для цепи с тремя источниками решается расчленением исходной схемы на три простые, каждая из которых включает только одну ЭДС. Расчёт данным методом электрической цепи с четырьмя и более источниками в разных ветвях становится слишком громоздким и поэтому нецелесообразен. 7.3. Метод двух узлов На практике встречаются электрические цепи, которые имеют всего два узла, объединяющие несколько ветвей (пример на рис. 26). Рис.26 Рассмотрим топологическую схему подобной цепи (см.п.5.2), содержащую n ветвей (рис. 27). Рис.27 Ограничиваясь пятью ветвями, запишем без вывода выражение для потенциала узла 1 (φ1), полагая потенциал нижнего узла равным нулю (φ о = 0): φ1 G E G E G E G E G E I I II I Здесь II III III IV IV G G G G G II III IV V V . V GI ,GII ,GIII ,GIV ,GV – проводимости ветвей; EI ,EII ,EIII ,EIV , EV – ЭДС источников, включённых в ветвь. Это значение потенциала численно равно напряжению между узлами 1 и 0: U10 = φ1 – φ0 = φ1 , так как φ0 = 0. На схемах узлы обычно обозначают буквами а и b (или А и В) и напряжение Uab между ними называют узловым. Переходя к общему случаю схемы с n ветвями, будем иметь следующее выражение для узлового напряжения: n U ab E G E G ... E G 1 1 2 2 G 1 G 2 ... Gn n E G k n k k 1 n G . (1.23) k k 1 Знаки в числителе устанавливают, сообразуясь с конкретной схемой: если направления ЭДС и тока ветви совпадают, берётся «плюс», в противном случае – «минус». Зная узловое напряжение, легко определить токи в ветвях по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС (см.выражение 1.19). Например, для ветви m ток Im Gm Em Uab Em Uab . R m Рассмотренный способ расчета получил название метода двух узлов. Применяя его, целесообразно во избежание ошибок придерживаться следующей последовательности действий. 1) обозначить узлы схемы буквами а и b и стрелками показать условно положительные направления токов в ветвях, выбрав их одинаковыми для всех ветвей; 2) по формуле (1.23) рассчитать узловое напряжение ( Uab , если для токов выбрано направление к узлу а, или Uba, если выбрано направление к узлу b). В результате расчёта узловое напряжение может получиться как положительным, так и отрицательным. В последнем случае его направление будет противоположно предписываемому выбранной вначале последовательностью индексов а и b, то есть Uba = – U ab и, соответственно, U ab = – Uba ; 3) рассчитать токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, учитывая, что ток обусловлен алгебраической суммой заданной ЭДС в ветви и рассчитанного узлового напряжения. Направление тока будет совпадать с направлением большей по модулю из названных величин. В ветвях, не содержащих источника, направление тока совпадает с направлением узлового напряжения. 7.4. Эквивалентные преобразования трёхлучевой звезды и треугольника Трёхлучевой звездой и треугольником в электротехнике называют два способа соединения трёх ветвей. При соединении звездой (рис. 28,а) ветви тремя концами объединяются в одну общую точку « 0 », а тремя оставшимися включаются в ту или иную электрическую цепь. При соединении треугольником (рис. 28,б) ветви образуют замкнутой контур, подключаемый к какой-либо цепи посредством точек их соединения между собой. Рис.28 Не следует думать, что схема соединения звездой или треугольником графически всегда изображается соответствующими геометрическими фигурами. На рис. 28,в даны примеры тех же соединений, что и на рис. 28,а,б, но в другой геометрической интерпретации. В обоих примерах принципы соединения элементов остаются одинаковыми. Часто расчёт электрических цепей, содержащих указанные соединения, упрощается, если один из способов заменить другим. Осуществляя такую замену, нужно знать соотношения, по которым производится пересчёт сопротивлений ветвей, с тем чтобы замена была эквивалентной. Замена будет э к в и в а л е н т н о й , если вследствие её проведения токораспределение всей остальной цепи не изменится, то есть не изменятся, в частности, токи, подходящие к узлам 1, 2, 3. Приведём без вывода соотношения, по которым пересчитываются сопротивления нагрузки для эквивалентной замены треугольника и звезды. Со- противления R1, R2, R3 лучей эквивалентной звезды при известных сопротивлениях R12, R23, R31 ветвей треугольника вычисляют по формулам: R1 R12 R31 ; R12 R23 R31 R 2 R23R12 R31R23 ; R 3 R12 R23 R31 R12 R23 R31 . (1.24) Для обратной замены пользуются формулами: R12 R1R2 R2 R3 R3 R1 R3 ; R23 R1 R2 R2 R3 R3R1 R1 ; R31 R1R2 R2 R3 R3 R1 R2 .(1.25) Звезда и треугольник являются примерами т р ё х п о л ю с н и к а , то есть такой схемы, которая имеет три вывода (полюса) для внешних присо- единений. Различают активные трёхполюсники, содержащие источники, и пассивные – без источников. Приведенные соотношения справедливы специальных курсах четырёхполюсники. ТОЭ для пассивных изучают также трёхполюсников. В двухполюсники и