Гришин Зачет по аналитической геометрии.1 семестр 2009

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)
С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Москва 2009
УДК 514.7(075)
БДК 22.151.5я7
З-39
Гришин С.А., Мустяца С.В., Петрова М.А., Садекова Е.Х. Зачет по аналитической геометрии.
1 семестр. — М.: МИФИ, 2009.— 36 с.
В настоящем издании приведены варианты зачетных заданий для студентов, обучающихся аналитической геометрии в первом семестре, на всех факультетах МИФИ.
Они могут быть использованы преподавателями для приема зачетов по дисциплине «Аналитическая
геометрия», проведения межсеместрового контроля успеваемости студентов, контрольных работ, а также студентами для подготовки к сдаче зачетов по данному предмету.
Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ.
© Московский инженерно-физический институт
(государственный университет), 2009.
Редактор Е.Е. Шумакова.
Оригинал макет подготовлен Гришиным С.А.
Подписано в печать 22.05.2009. Формат 60×84 1/16.
Печ.л. 2.25. Уч.-изд.л. 2.25. Тираж 100 экз.
Изд. № 025-1. Заказ №
Московский инженерно-физический институт (государственный университет),
115409, Москва, Каширское ш.31.
Типография МИФИ
Содержание
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр ............................................................................................. 4
Список рекомендуемой литературы ........................................................................................................... 34
3
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 1
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
2.
вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ABCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора
3.
4.
7.
8.
Для заданных матриц
6.
и
. Представить
равна 2. Найти: 1) длину вектора ;
2) угол между вектором и вектором
; 3) площадь треугольника ABE.
Найти вектор длины 3, перпендикулярный вектору
и вектору с началом в точке
концом в точке
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
и составляющей угол 600 с прямой
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости
и проходящей через точку
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
5.
,
и
решить матричное уравнение:
.
4
и
, параллельной вектору
и перпендикулярной плоскости
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 2
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
2.
середина стороны CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора
равна 2. Найти: 1) длину вектора ;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
,
2) угол между вектором и вектором
3) площадь четырехугольника FMDE.
Найти координаты точки N – конца вектора длины
с началом в точке
векторам
и
.
Написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка
перпендикулярной прямой
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости
точки
и
.
Написать уравнение прямой, проходящей через две точки
и
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
,
5
и
, где М –
, перпендикулярного
и
и проходящей через
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 3
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
,
и
, где N –
середина стороны DE, а M – точка пересечения продолжений сторон AB и CD. Представить вектор в виде
линейной комбинации векторов
и .
2.
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора
2) угол между вектором и вектором ; 3) площадь треугольника MND.
3.
Найти вектор , компланарный векторам
и
, если известно, что его длина равна
, а проекция на ось
равна 1.
Найти угол между высотой и медианой треугольника АВС, проведенных из вершины , если
,
и
.
Написать уравнение плоскости, параллельной двум векторам
и
и проходящей
через начало координат.
4.
5.
6.
Пересекаются ли прямые
и
7.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8.
Для заданных матриц
и
равна 4. Найти: 1) длину вектора ;
?
решить матричное уравнение:
6
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 4
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
2.
пересечения продолжений сторон АВ и EF. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1). Длина вектора равна 1. Найти: 1) длину вектора ;
2) угол между вектором и вектором ; 3) площадь треугольника MBD.
3.
4.
5.
6.
Найти вектор , перпендикулярный вектору
и имеющий проекцию на ось
, равную 1.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
равноудалены.
Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости
расстоянии 2 от начала координат.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и
7.
8.
,
,
составляющий
так, что точки
7
, где М – точка
угол в 450 с вектором
и
от нее
и находящейся на
и параллельную двум прямым
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
и
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 5
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
вектор в виде линейной комбинации векторов
2.
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной
между вектором
3.
4.
5.
6.
Найти вектор
8.
и
. Представить
. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол
; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах
, перпендикулярный вектору
и компланарный векторам
и .
и
, если известно, что его длина равна
.
Написать уравнение прямой, относительно которой точки
и
находятся на
одинаковом расстоянии.
и точку
.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ось
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
и перпендикулярной двум прямым
и
7.
и вектором
,
и .
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
8
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 6
1.
2.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
,
и
, где М – точка
пересечения продолжений сторон BC и DE, N – точка пересечения продолжений сторон АВ и CD. Представить
вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 3. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
вектором
и вектором ; 3) площадь треугольника BEN.
4.
Найти вектор , перпендикулярный вектору
и образующий равные углы с векторами
и
, если известно, что его длина равна
.
Написать уравнение биссектрис углов, образованных прямыми
и
.
5.
Написать уравнение плоскости, содержащей ось
6.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
3.
и
и отстоящей от точки
и параллельную двум прямым
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
7.
9
на расстоянии
,
.
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 7
1.
2.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
,
и
, где М – точка
пересечения продолжений сторон CD и FE . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и
.
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 2. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
вектором
3.
4.
5.
6.
Найти
и вектором ; 3) модуль векторного произведения векторов
вектор
перпендикулярный
двум
векторам
и .
и
если
параллелепипеда, построенного на векторах ,
и равен 28.
Написать уравнение прямой, все точки которой равноудалены от двух параллельных прямых
и
.
Написать уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от двух параллельных плоскостей
и
.
Написать уравнение плоскости, содержащей прямую
и параллельной прямой
.
7.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
и решить матричное уравнение:
8. Для заданных матриц
10
.
,
объем
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 8
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
2.
вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 1. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
вектором
и вектором ; 3) модуль векторного произведения векторов
и
. Представить
.
единичный вектор
, составляющий равные углы с векторами
,
и
.
4. Дан параллелограмм ABCD с вершинами
,
,
и
. Написать уравнение прямой,
относительно которой все его вершины равноудалены.
5. Написать уравнение плоскости, содержащей ось
и равноудаленной от двух точек
и
.
6. Найти координаты точки, симметричной точке
относительно плоскости
.
7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
,
3.
Найти
и
,
11
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 9
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
2.
пересечения продолжений сторон CD и FE. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 2. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
3.
4.
5.
6.
вектором и вектором ; 3) площадь треугольника ACM.
Даны три вектора
и
построенного на векторах
,
и
.
Дан параллелограмм ABCD с вершинами
,
проведенной из вершины A на сторону ВС.
Даны четыре точки
,
,
и
прямой
и равноудаленной от всех четырех точек.
Найти координаты точки, симметричной точке
и
,
Найти
и
параллелепипеда,
. Написать уравнение прямой высоты,
Написать уравнение плоскости, параллельной
относительно прямой
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
7.
12
объем
, где М – точка
,
.
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 10
1.
ABCDEF – правильный шестиугольник. Рассматриваются векторы
,
и
, где М – точка
пересечения продолжений сторон BC и DE, а N – точка пересечения продолжений сторон AF и BC.
Представить вектор в виде линейной комбинации векторов
2.
3.
4.
5.
ADCDEF – правильный шестиугольник (см. задачу 1) со стороной 1. Найти: 1) длину вектора
; 2) угол
между вектором и вектором ; 3) площадь четырехугольника ABMF.
Даны три вектора
,
и
. При каком значении вектор
будет
перпендикулярен вектору ?
Дан треугольник ABC с вершинами
,
и
. Написать уравнение прямой биссектрисы угла
при вершине А.
Даны три точки
,
и
. Написать уравнение плоскости, параллельной АС и
вектору
6.
и .
и равноудаленной от точек A, B и C.
Найти проекцию прямой
на плоскость
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц
и решить матричное уравнение:
.
7.
13
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 11
1.
ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы
2.
Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны:
вектора
; 2) угол между вектором
и
,
, где М – середина стороны ВС.
. Найти: 1) длину
и вектором ; 3) площадь параллелограмма, построенного на векторах
и .
3.
4.
5.
6.
Даны три вектора
,
и
. Найти вектор , перпендикулярный векторам
и
, такой, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
и , равна
.
Дан треугольник ABC с вершинами
,
и
. Написать уравнение прямой медианы
треугольника, проведенной из вершины B, и найти угол между этой медианой и биссектрисой угла А.
Написать уравнение плоскости, все точки которой равноудалены от двух плоскостей
и
.
Найти уравнение прямой, симметричной прямой
относительно плоскости
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
7.
14
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 12
1.
ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы
2.
BC, N – середина стороны CD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны:
. Найти: 1) длину
вектора ; 2) угол между вектором
3.
4.
5.
6.
Даны три вектора
,
и
,
, где М – середина стороны
и вектором ; 3) площадь четырехугольника AMCN.
и
. Найти вектор
, коллинеарный вектору
, такой, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен 9.
Дан треугольник ABC с вершинами
,
и
. Точки
и симметричны вершинам A и C
относительно прямых BC и АВ. Написать уравнение прямой
.
Найти угол, который составляет плоскость, проходящая через точки
,
и
, с
координатной плоскостью ZOY.
Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
и
7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8. Для заданных матриц
и
.
решить матричное уравнение:
15
,
.
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 13
1.
ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы
2.
ВС. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны:
вектора
3.
; 2) угол между вектором
Даны три вектора
и
,
4.
. Найти: 1) длину
и вектором ; 3) модуль векторного произведения
и
,
и
,
5.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
составляющую угол 450 с плоскостью
.
6.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и , равна
7.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8.
Для заданных матриц
решить матричное уравнение:
16
и
, если известно, что
. Написать уравнение прямой, симметричной
параллельно вектору
перпендикулярно прямой
.
и
и .
. Найти вектор , компланарный векторам
, и такой, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
проекция вектора на ось OZ равна 1.
Дан треугольник ABC с вершинами
прямой АВ относительно прямой АС.
, где М – середина стороны
.
,
и
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 14
1.
ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы
2.
сторон АВ, BC и CD соответственно. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и .
ABCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны:
. Найти: 1) длину
3.
4.
5.
6.
вектора
; 2) угол между вектором
векторах
и .
и вектором
и
,
, где М, N и P – середины
; 3) площадь параллелограмма, построенного на
Даны три вектора
,
и
. Найти вектор длины 3, компланарный
векторам
и
и перпендикулярный вектору .
Дан треугольник ABC с вершинами
,
и
. Написать уравнение прямой, симметричной
прямой медианы, проведенной из вершины A, относительно прямой ВС.
Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями
и
.
Написать уравнение прямой перпендикуляра, опущенного из точки
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
7.
17
,
на прямую
.
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 15
1.
2.
ABCD – прямоугольник. Рассматриваются векторы
,
и
, где точки М и N расположены
на стороне BC так, что
. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов и
.
ADCD – прямоугольник (см. задачу 1), длины сторон которого равны:
вектора
векторах
3.
; 2) угол между вектором
. Найти: 1) длину
и вектором ; 3) площадь параллелограмма, построенного на
и .
Даны три вектора
,
и
. Найти вектор , перпендикулярный оси
,
компланарный векторам
и
и имеющий проекцию на вектор
равную .
Дан треугольник ABC с вершинами
,
и
. Написать уравнение прямой средней линии
треугольника, параллельной стороне АС, и найти расстояние между этой прямой и стороной АС.
5. Две параллельные плоскости
и
пересекают плоскость
по двум параллельным прямым. Найти расстояние между этими прямыми.
6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
и параллельной двум плоскостям
и
.
7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
,
4.
18
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 16
1.
В прямоугольном параллелепипеде
2.
, где E – середина ребра
. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов ,
В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:
.
рассматриваются векторы
1) длину вектора ; 2) угол между вектором
векторах ,
3.
4.
5.
6.
и
,
и .
Найти:
и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на
и .
Даны три вектора
,
и
. Найти вектор , если известно, что его
проекции на векторы
,
и
равны
,
и
соответственно.
Дан четырехугольник ABCD с вершинами
,
,
и
. Через точки B и D
проведены прямые, перпендикулярные диагонали АС. Написать уравнения этих прямых и найти расстояние
между ними.
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной двум плоскостям
и
и проходящей через точку
.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
и прямую
7.
19
.
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 17
1.
В прямоугольном параллелепипеде
, где E – середина ребра
2.
рассматриваются векторы
. Представить вектор
и
,
в виде линейной комбинации векторов ,
В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:
1) длину вектора ; 2) угол между вектором
векторах ,
и .
. Найти:
и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на
и .
5.
Даны три вектора:
,
и
. Найти вектор , компланарный с
векторами
и , имеющий проекции на векторы
и , равные
и
соответственно.
Дан четырехугольник ABCD с вершинами
,
,
и
. Точки
и
.
симметричны точкам B и C относительно диагоналей АС и BD . Написать уравнение прямой
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости
, параллельной вектору
6.
Найти координаты точки пересечения прямой
3.
4.
и проходящей через точку
.
и плоскости
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
7.
20
,
.
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 18
1.
В прямоугольном параллелепипеде
, где M, E, N и P – середины ребер
2.
рассматриваются векторы
,
и
,
,
и
. Представить вектор
в виде линейной
комбинации векторов , и .
В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:
1) длину вектора
на векторах
,
. Найти:
; 2) угол между вектором
и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной
и
. Найти вектор , компланарный с векторами
и .
3.
Даны три вектора
4.
и , перпендикулярный вектору , если известно, что объем пирамиды, построенной на векторах , и
равен 4.
Прямые
и
являются диагоналями параллелограмма. Точки
и
лежат на противоположных его сторонах. Написать уравнения сторон параллелограмма, содержащих
точки M и N.
,
5.
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной
и
.
6.
Найти расстояние между параллельными прямыми
7.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график: 4
8.
Для заданных матриц
и
вектору
, равноудаленной от точек
и
решить матричное уравнение:
21
.
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 19
1.
В прямоугольном параллелепипеде
, где M, Е и N – середины ребер
2.
1) длину вектора
4.
5.
6.
и
и
,
соответственно. Представить вектор
линейной комбинации векторов , и .
В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:
векторах ,
3.
рассматриваются векторы
,
;
2) угол между вектором
и вектором ;
в виде
. Найти:
3) объем пирамиды, построенной на
и .
Даны три вектора
,
и
. Найти вектор , перпендикулярный векторам
и , проекция которого на вектор
равна
.
Прямые
и
являются диагоналями квадрата со стороной
. Написать
уравнения сторон квадрата.
Написать уравнение плоскости, параллельной вектору
, проходящей через точку
и
равноудаленной от точек
и
.
Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
и
.
7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
22
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 20
1.
В прямоугольном параллелепипеде
, где E и M – середины ребер
2.
4.
5.
. Представить вектор
; 2) угол между вектором
и
и вектором
. Найти:
3) объем пирамиды, построенной на
векторах , и .
Три вектора
,
и
имеют общее начало. Вычислить площадь
треугольника, вершины которого совпадают с концами этих векторов.
Прямые
и
являются диагоналями параллелограмма с вершинами
. Написать уравнения сторон параллелограмма, если площадь его равна 16 .
и
Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости
, проходящей через точку
и удаленной от начала координат на расстояние
6.
,
в виде линейной комбинации векторов
, и .
В прямоугольном параллелепипеде (см. задачу 1) длины ребер равны:
1) длину вектора
3.
рассматриваются векторы
и
.
Написать уравнение прямой, параллельной прямым
ними плоскости, все точки которой равноудалены от прямых
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8. Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
и
и
.
7.
23
, лежащей в одной с
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 21
1.
2.
3.
4.
5.
6.
В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы
параллельных прямых
7.
8.
и
,
, где E, M и N –
середины ребер DB, BC и AC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника
ABC – прямой, длины ребер равны:
. Найти: 1) длину вектора
2) угол
между вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .
Три вектора
,
,
и вектор
имеют общее начало.
Найти объем пирамиды, вершины которой совпадают с концами векторов
.
В треугольнике АВС заданы уравнения стороны
и стороны
, а также
медианы
. Найти уравнение стороны АС.
Заданы две параллельные плоскости
и
. Написать уравнение
плоскости, параллельной заданным, не лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два
раза больше, чем до другой.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
такую, что каждая точка пары
и
равноудалена от этой плоскости.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
.
24
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 22
1.
В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы
2.
середины ребер DB и AD. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника
ABC – прямой, длины ребер равны:
между вектором
и вектором
и
,
. Найти: 1) длину вектора
3) объем параллелепипеда, построенного на векторах ,
3.
Три вектора
4.
Найти параметр , если известно, что объем пирамиды с вершинами в концах векторов
В треугольнике АВС заданы уравнения высот
и
вершин B и C, а также координаты вершины
. Найти уравнение стороны ВС.
,
и вектор
,
5.
Написать уравнение плоскости, параллельной вектору
длине равные 3 и 4 соответственно.
6.
При каком значении
7.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
8.
, где M и E –
прямые
и
.
25
2) угол
и .
имеют общее начало.
, отсекающей на осях
пересекаются?
,
равен 3.
, проведенных из
и
отрезки, по
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 23
1.
В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы
2.
центры тяжести треугольников АВС и DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов ,
и .
В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника
4.
5.
, где E и M –
. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
ABC – прямой, длины ребер равны:
3.
и
,
вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .
Три вектора
,
,
имеют общее начало в точке О. Найти площадь
полной поверхности пирамиды с вершинами в концах векторов ,
,
и точке О.
В треугольнике АВС заданы уравнения медианы
и высоты
,
проведенных из вершины A, а также координаты вершины
. Найти уравнение стороны АВ.
Заданы две параллельные плоскости
и
. Написать уравнение
плоскости, лежащей между ними, и такой, что расстояние до одной из них в два раза больше, чем до другой.
6.
Найти расстояние от точки
до прямой
7.
8.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
.
.
26
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 24
1.
В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы
2.
N – середины ребер АС, AB и BC. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника
ABC – прямой, длины ребер равны:
между вектором
3.
4.
5.
6.
, где P, M и
. Найти: 1) длину вектора
и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах ,
; 2) угол
и .
Три вектора
,
,
имеют общее начало в точке О. Найти вектор с
началом в точке О, симметричный вектору
относительно плоскости векторов
и .
В треугольнике АВС прямая
является медианой и высотой, проведенной из вершины
A. Ось ОХ является прямой медианы, проведенной из вершины
Найти уравнение АС.
Треугольная пирамида задана вершинами
,
,
и
. Написать уравнение
плоскости, проходящей через середины ребер AD и BD параллельно ребру CD.
Написать уравнение плоскости, каждая точка которой равноудалена от двух параллельных прямых
и
7.
8.
и
,
.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
.
27
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 25
1.
В треугольной пирамиде ABCD рассматриваются векторы
и
,
, где E – центр
6.
тяжести треугольника DBC . Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
В треугольной пирамиде ABCD (см. задачу 1) ребро AD перпендикулярно плоскости ABC, угол B треугольника
ABC – прямой, длины ребер равны:
. Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между
вектором и вектором ; 3) объем пирамиды, построенной на векторах , и .
Три вектора
,
,
имеют общее начало в точке O. Вектор
симметричен вектору
относительно прямой, содержащей вектор
. Вектор
симметричен вектору
относительно прямой, содержащей . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .
Точки
,
и
являются серединами сторон АВ, BC и АС треугольника АВС. Найти
уравнения сторон треугольника.
Треугольная пирамида задана вершинами
,
,
и
. Написать уравнение
плоскости грани ADC и найти двугранный угол при ребре DC.
Написать уравнение прямой, каждая точка которой равноудалена от трех точек
,
и
7.
8.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
2.
3.
4.
5.
.
28
.
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 26
1.
В треугольной призме
2.
M – середины ребер
и
. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 1, а ее высота равна 3. Найти:
1) длину вектора
3.
4.
5.
6.
7.
8.
рассматриваются векторы
; 2) угол между вектором
и вектором
и
,
, где E и
3) объем пирамиды, построенной на
векторах , и .
Три вектора
,
,
имеют общее начало в точке O и концы в точках
A, B и C соответственно. Точка M – середина отрезка OC. Найти площадь треугольника АВМ.
Точки
и
являются серединами сторон АВ и АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны
BC, если заданы координаты вершины
При каком значении α плоскость
отсекает от координатных осей треугольную
пирамиду объема 25?
Написать уравнение плоскости такой, что каждая точка прямых
равноудалена от этой плоскости.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
29
и
,
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 27
1.
В треугольной призме
M
2.
– середины ребер
4.
5.
6.
7.
8.
, а N – центр грани
,
. Представить вектор
и
, где E и
в виде линейной
комбинации векторов , и .
Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 4. Найти:
1) длину вектора
3.
рассматриваются векторы
и
; 2) угол между вектором
и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного
на векторах , и .
Три вектора
,
,
имеют общее начало в точке O и концы в точках
A, B и C соответственно. Точки М и N – середины отрезков BC и ОС. Найти площадь треугольника AMN.
Точка
– середина стороны АС треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, если заданы
координаты вершин
и
.
При каких значениях
,
плоскость
проходит через точку
и
перпендикулярна плоскости
?
Треугольная пирамида задана своими вершинами
,
,
и
. Написать
уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины D.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
,
30
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 28
1.
В треугольной призме
2.
середина ребра AB. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 3. Найти:
рассматриваются векторы
1) длину вектора
на векторах ,
3.
4.
; 2) угол между вектором
и
,
и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного
и .
В треугольной призме
известно, что
,
,
. Через
середины ребер АВ и АС параллельно
проведена плоскость. Найти площадь сечения призмы.
Точки
и
являются вершинами треугольника АВС, а прямая
– его медианой.
Написать уравнение прямой АС, если площадь треугольника АВС равна 11.
5.
При каких значениях , плоскость
координатных осей пирамиду объемом 36?
6.
При каких значениях ,
прямая
параллельна вектору
перпендикулярна плоскости
7. Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
8.
, где E –
Для заданных матриц
и
.
решить матричное уравнение:
31
,
и отсекает от
?
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 29
1.
В правильной треугольной призме
рассматриваются векторы
, где M, N и P – центры боковых граней
2.
на векторах ,
4.
5.
6.
7.
8.
и
,
и
, а E – центр тяжести основания
АВС. Представить вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 1. Найти:
1) длину вектора
3.
,
; 2) угол между вектором
и вектором ; 3) объем параллелепипеда, построенного
и .
В треугольной пирамиде ABCD известно, что
,
,
. Через
середины ребер DB и DC параллельно ребру AD проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды.
Прямые
,
и
являются средними линиями треугольника
АВС. Написать уравнение сторон треугольника АВС.
При каких значениях , плоскости
и
параллельны?
Треугольная пирамида задана своими вершинами
,
,
и
. Найдите
угол между прямой DC и плоскостью основания АВС.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
,
32
Зачет по аналитической геометрии. 1 семестр
Вариант 30
1.
В правильной треугольной призме
, где M и N – центры граней
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
рассматриваются векторы
и
,
и
, а E – центр тяжести основания АВС. Представить
вектор в виде линейной комбинации векторов , и .
Сторона основания правильной треугольной призмы (см. задачу 1) равна 2, а ее высота равна 1.
1) длину вектора 2) угол между вектором и вектором
3) объем пирамиды
.
Найти:
В треугольной пирамиде ABCD известно, что
,
,
Через
середины ребер AD, AB и AC проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды.
Точки
и
являются вершинами треугольника АВС, а прямая
– его высотой.
Написать уравнение прямой ВС, если площадь треугольника АВС равна 15.
При каких значениях , плоскость
перпендикулярна плоскости
и удалена от начала координат на расстояние
?
Написать
уравнение
прямой,
пересекающей прямые
перпендикулярной им.
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график:
.
Для заданных матриц и решить матричное уравнение:
33
и
,
и
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре. М.: Наука, 1987.
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1985.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1985.
34