Случайные события. Вероятности и частоты Сегодня мы с вами поговорим о том, что такое теория вероятностей и что она изучает. На уроке под словом событие мы с вами будем понимать – любое утверждение о результате опыта, правильность которого возможно проверить. Иногда про события мы можем сказать, что они точно произойдут, иногда что они точно не произойдут. Но так бывает редко, чаще всего мы не можем точно утверждать ни одно, ни другое. Вопрос 1. Как вы думаете, что значит случайное событие? Давайте, рассмотрим на примерах. Если мы стреляем по мишени в тире, мы можем попасть или промахнуться. Заранее мы не можем предугадать исход. Также, когда мы бросаем игральный кубик, мы не можем утверждать, что выпадет. Не можем точно сказать превысит ли выпавшее количество очков на кубике число 3. В данных случаях мы можем только предполагать, что случится. В жизни мы сталкивались с такими фразами, как вероятность дождя завтра, вероятность выигрыша в лотерею, орёл и решка выпадают с вероятностью 50 на 50. Слайд 2. Все вышеперечисленные события в теории вероятностей называются случайными событиями. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Случайное событие не зависит от воли человека, оно происходит в следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Вопрос 2. Опираясь на определение, приведите случайных событий из вашего жизненного опыта? Изучением возможности наступления или не наступления случайного события занимается наука – теория вероятностей. Слайд 3. Теория вероятностей – это область математики, которая изучает случайные события и общие свойства событий, процессов. В теории вероятностей эксперименты называются опытами, а возможные результаты – исходами. Слайд 4. Кроме случайных событий, о наступлении или не наступлении которых мы не можем сказать точно, существуют также достоверные и невозможные события. Событие, которое не может произойти, называется невозможным событием. Событие, которое происходит всегда, называется достоверным событием. Например, если мы подбросим футбольный мяч, то он упадет на землю – это достоверное событие. А вот событие – подброшенный мяч улетел в космос, является невозможным. Мяч всегда будет падать на землю, а не улетать в космос, так как существует сила земного притяжения. Слайд 5. Если мы с вами рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты, то в данном случае у нас два исхода – выпадет орел, выпадет решка. Ситуации, когда монетка укатилась или встала на ребро, мы не будем рассматривать в нашем опыте. В данном случае у нас возможны следующие события: Случайные события: выпал орел; выпала решка. Достоверные события: выпадет или орел, или решка. Невозможные события: выпадет одновременно и орел, и решка. примеры vk.com/math_for_teacher Слайд 6. Вопрос 3. Приведите примеры достоверных и невозможных событий из вашего жизненного опыта. Слайд 7. В теории вероятностей события обозначаются большими буквами латинского алфавита – A, B, C … Также могут использоваться индексы – 𝐴" , 𝐴# , 𝐴$ … Вопрос 4. Если вы отправляетесь в поход в лес, какие случайные, невозможные и достоверные события могут произойти или не произойти? Слад 8. Вероятность события А – это отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов. 𝑚 𝑃 (𝐴 ) = 𝑛 где 𝑃(𝐴) – это вероятность события А; m – число исходов благоприятствующих событию А; n – общее число исходов. Исходя из определения, значение вероятности события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. 0 ≤ 𝑃 (𝐴 ) ≤ 1 Свойства вероятности: 1) Вероятность достоверного события 𝐴 равна 1. 𝑃(𝐴) = 1 2) Вероятность невозможного события 𝐴 равна 0. 𝑃(𝐴) = 0 Задание 1. Распределите следующие события по трем категориям – случайные, достоверные и невозможные события. 1) 2) 3) 4) 5) Попадание мяча в корзину при броске. Солнце восходит каждое утро. Выигрыш 1.000.000 рублей в лотереи. Человек сможет прожить жизнь без кислорода. Положительное число при умножении на положительное число дает отрицательное число. 6) Появление грозы во время пикника. 7) Человек сможет ходить по воде без какой-либо поддержки. 8) Возникновение аварии на дороге. 9) 30 февраля вода закипит при температуре 100°С. 10) Вытягивание одной карты из колоды. Когда мы говорим о случайных событиях, мы не можем заранее сказать произойдет оно или нет. В таких случаях мы говорим о шансах наступления такого события. Разберем с вами два понятия частота и вероятность события, которые помогут нам определять шансы наступления события. Рассмотрим пример с подбрасыванием монеты, в данном случае возможно два исхода выпадение орла или выпадение решки. Шансы, что выпадет орел равны 1 к 2. Это будет называться вероятностью события – выпадение орла при однократном подбрасывании монеты. Рассмотрим определение вероятности, но перед эти введем обозначение для событий. Вероятность события определяется математически, и, как правило, оценивается до проведения испытания или даже без его фактического проведения. Слайд 9. Используя формулу, рассчитаем вероятность события А – выпал орел при однократном подбрасывании монеты. Всего исходов 2: выпал орел, выпала решка. Количество благоприятствующих исходов событию А: 1 " Тогда 𝑃(𝐴) = # или 𝑃(𝐴) = 0,5. Слайд 10. Рассмотрим другой опыт с подбрасыванием монеты. В результате 100 подбрасываний орел выпал 57 раз, решка 43. Тогда отношение числа тех опытов, в которых выпал орел, к общему числу проведенных опытов в данном случае равно 57 = 0,57 100 Число 57 будет называться частотой данного события. Число 0,57 будет называться относительной частотой события. vk.com/math_for_teacher Слайд 11. Частота события – это число, показывающее сколько раз в испытании произошло это событие. Относительная частота события – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически 1 произведенных испытания – 2 , где m – частота события, n – число всех испытаний. Слайд 12. Вопрос 5. Чем отличается вероятность события от относительной частоты события? Сравните данные на слайде. Отличие заключается в том, что относительная частота использует данные, полученные на практике, а вероятность события – это математическая модель реальных ситуаций. Важно понимать, что данные для относительной частоты мы получаем в ходе эксперимента, а для нахождения вероятности мы берем данные из сконструированной идеальной ситуации. При проведение большого числа опытов относительная чистота события почти совпадает с вероятностью события. Это называется статистической устойчивостью. Вывод: относительная частота определяется для реальных событий, а вероятность события – для теоретической модели этих событий. Задание 2. Виктор купил 5 лотерейных билетов для участия в конкурсе, в котором разыгрывается квартира. Найдите вероятность того, что Виктор выиграет квартиру, если на сайте конкурса написано, что у них 1.200.000 проданных лотерейных билетов. Слайд 13. События, которые имеют почти нулевую вероятность называются маловероятными. Задание 3. Изучите таблицу 1 и выполните задание. Оценка «2» «3» «4» «5» Иванов 0 0 0 6 Сидоров 0 0 3 2 Петров 2 3 4 4 Овечкин 3 5 2 3 Толкунов 5 3 1 0 Таблица 1. Оценки группы по предмету «Физическая культура» за 1 четверть. Ответьте на вопросы. 1) Найдите относительную частоту события Сидоров получил «2». 2) Найдите относительную частоту события Иванов получил «5». 3) Сравните относительную частоту получения «3» для Овечкина и Толкунова. Задание 4. Два брата стреляли в тире, Миша сделал 7 выстрелов и попал 4 раза, а Дима сделал 11 выстрелов и попал 5 раз. Кто из них лучше стреляет? Для ответа на вопрос используйте относительную частоту. После выполнения задания стоит обратить внимание учеников, что если бы не знали, сколько выстрелов сделал каждый брат, а знали бы только количество попаданий, то мы бы дали неправильный ответ на вопрос: «Кто лучше стреляет?». Используя относительную частоту попадания сделать вывод намного проще и правильнее. Задание 5. Был проведен эксперимент: из обычной колоды из 36 карт, доставали одну карту из колоды 600 раз, в 18 случаях достали туз пик. На сколько относительная частота события достать туз пик отличается от вероятности данного события? (*После того как карту доставали из колоды, её убирали обратно в колоду. Вероятность выбрать любую карту одинаковая). Вопрос 6. Приведите примеры маловероятных событий. vk.com/math_for_teacher