М.А. НАЗАРОВ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Самара
Самарский государственный технический университет
2020
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К а ф е д р а механизации, автоматизации и энергоснабжения строительства
М.А. НАЗАРОВ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Самара
Самарский государственный технический университет
2020
Печатается по решению учебно-методической комиссии Академии строительства и архитектуры СамГТУ (протокол № 8 от 03.07.2020 г.).
УДК 69(075.8)
ББК 38я73
Н192
Назаров М.А.
Идентификация объектов управления: учеб. пособие / М.А. Назаров. –
Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2020. – 180 с.
ISBN 978-5-7964-2270-0
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство», профилю «Механизация и автоматизация строительства» при освоении дисциплины «Идентификация объектов управления»,
а также может быть полезно как дополнительный источник по дисциплине
«Автоматизация промышленных установок и технологических комплексов».
Рассмотрены основные методы идентификации объектов управления различных типов. Основное внимание уделено созданию математического описания,
синтезу структур и вычислительных моделей, идентификации с использованием
специализированных программных сред.
Может быть использовано при изучении дисциплин, связанных с идентификацией и автоматизацией технологических процессов и производств, студентами, обучающимися по направлению 08.04.01 «Строительство», профилям
«Комплексная механизация строительства» и «Теплогазоснабжение населённых
мест и предприятий».
Р е ц е н з е н т ы : канд. техн. наук, доцент кафедры «Электротехника»
СамГУПС А.А. Ионов,
канд. техн. наук, доцент кафедры «Механизация, автоматизация и энергоснабжение строительства» СамГТУ
А.С. Фадеев.
УДК 69(075.8)
ББК 38я73
Н192
ISBN 978-5-7964-2270-0
© М.А. Назаров, 2020
© Самарский государственный
технический университет, 2020
ВВЕДЕНИЕ
Решение задачи идентификации объектов управления и сопутствующих технических устройств является одним из важнейших этапов синтеза современных систем автоматизации [1]. Как известно [2-5],
в процессе математического моделирования могут быть использованы
аналитический и экспериментальный методы, а также их сочетание,
что является наиболее эффективным подходом.
Аналитическая идентификация подразумевает создание математической модели объекта управления на основе законов термодинамики, гидродинамики, механики и т.д. В этом случае главной задачей является определение физических законов, которые необходимо
применять в конкретном случае. При моделировании недостаточно
хорошо изученного объекта используют экспериментальные методы
идентификации. Они подразумевают изучение эмпирических данных,
полученных на реальной технологической установке или её аналоге,
специально созданном для проведения исследований. Наличие экспериментальной части требует знания определенных подходов к анализу
эмпирических зависимостей. При экспериментально-аналитическом
методе модель, полученная аналитическим путем, уточняется с помощью соответствующих экспериментов.
В настоящем учебном пособии рассмотрены понятия и задачи
идентификации объектов управления, особенности их математического моделирования. На конкретных примерах показаны подходы
к математическому описанию объектов управления как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами. Освещаются методы определения параметров типовых динамических звеньев и некоторых их сочетаний, встречающихся при описании экспериментальных
динамических характеристик. Приводятся примеры использования
современных программных средств решения задач идентификации.
3
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
1.1. ПОНЯТИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ И ЕГО
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. ВЫХОДНЫЕ КООРДИНАТЫ,
УПРАВЛЯЮЩИЕ И ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Объект управления – технологическая установка, процесс или их
множество, управление функционированием которых осуществляется
по определённым инструкциям и регламентам [6, 7].
Объект автоматизации – объект управления, подвергаемый
автоматизации.
Выходная координата характеризует текущее состояние объекта
управления [6].
Управляющее воздействие – сигнал, подаваемый на вход объекта управления и влияющий на выходную координату таким образом,
чтобы она соответствовала сигналу задания или достигала некоторого
оптимального значения [8].
Возмущающее воздействие – воздействие (чаще всего неуправляемое и неконтролируемое), нарушающее случайным образом требуемую функциональную зависимость между входной координатой
и выходным параметром, который в связи с этим отклоняется нежелательным образом от заданного значения [6, 9].
Промежуточные (внутренние) переменные характеризуют связи
между элементами внутренней структуры объекта управления и их
взаимовлияние. В некоторых случаях, когда невозможно непосредственно или менее удобно измерять выходную координату, для её
оценки часто используют одну из промежуточных переменных, функционально связанную с выходной [6].
Объект управления (ОУ) представим в виде обобщённой структурной схемы (рис. 1.1) [6, 10, 11], на которой указаны выходные координаты объекта x1, …, xn, возмущающие воздействия h1, …, hk, управляющие
воздействия u1, …, um, а также промежуточные (внутренние) переменные γ1, …, γr, составляющие векторы X, H, U и Г, соответственно.
Если параметры оператора, которым может быть описан объект
управления, не зависят от входного сигнала, то объект можно классифицировать как линейный, в противном случае – нелинейный.
4
Рис. 1.1. Обобщённая структурная схема
объекта управления
Объект управления, параметры которого не зависят от времени,
называют стационарным, в противном случае – нестационарным.
Объект управления с сосредоточенными параметрами (ОСП) –
объект, поведение которого однозначно характеризуется изменением
выходных координат во времени и описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений [12].
Объект управления с распределёнными параметрами (ОРП) – объект, который характеризуется изменением выходных координат как во
времени, так и по пространственным координатам, и описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями или системами уравнений различной природы [12].
Идентификация объекта управления – создание оптимальной
в определенном смысле математической модели объекта управления
по априорной и/или экспериментальной информации о его внутренних
процессах и устройстве, входных и выходных сигналах [9].
Математическая модель объекта управления – система математических соотношений, описывающих с определённой точностью
поведение объекта управления [8].
5
1.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
В зависимости от преследуемых целей при описании состава
и принципа действия промышленных установок и технологических
комплексов как объектов управления последние могут изображаться
в виде принципиальных, функциональных, структурных и расчётных
схем [13].
Схема – это документ, в котором с помощью условных изображений или обозначений показаны составные части объекта и связи между ними [14].
Принципиальная схема показывает полный состав элементов объекта и/или системы управления и подробно поясняет принцип их работы. На принципиальных схемах элементы изображают с помощью
условных графических изображений в соответствии с действующими
в настоящее время стандартами.
Функциональная схема детально разъясняет процессы, протекающие в отдельных элементах, функциональных группах, совокупности функциональных частей установки или установке в целом, отражает их взаимосвязи, образующие каналы определенного назначения,
и внешние воздействия [14].
Структурная схема отражает преобразование сигналов в объекте
или системе на уровне математических объектов – коэффициентов, алгебраических и дифференциальных уравнений, логических операций
и т.д., а также показывает точки приложения воздействий и возможные
пути распространения сигналов, осуществляющих взаимодействие
между элементами системы. Такие структурные схемы принято называть детализированными. Применяются также обобщенные структурные схемы, представляющие собой блок, у которого указываются
только входные (управляющие и возмущающие воздействия) и выходные координаты, а в некоторых случаях – ещё и промежуточные, однако функциональная связь между ними не отображается.
Элементы структурной схемы изображаются в виде прямоугольников с надписями (см. приложение 1), соответствующими используемым математическим операциям, а связи между ними – стрелками,
ориентированными в направлении передачи сигнала.
Структурная теория является базовой методикой изучения и конструирования систем автоматизации и позволяет в удобной форме
представить статику и динамику объектов управления со сложной
6
взаимосвязанной внутренней организацией, а также дает возможность упростить решение задачи анализа и синтеза их регулирующих
устройств с заранее установленными показателями качества функционирования [10].
Расчётная схема – это упрощенная, идеализированная схема,
которая показывает наиболее существенные особенности объекта
управления и отражает определяющие его поведение технологические
переменные и свойства установки или процесса (принятые во внимание при моделировании).
1.3. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Математическое моделирование объектов управления подразумевает составление уравнений, отражающих с некоторой точностью
и в заданном диапазоне параметров его реальное поведение. Выделяют два типа уравнений: уравнения статики (установившихся режимов)
и уравнения динамики (переходных режимов) объекта управления.
Уравнения статики, описывающие режимы, когда выходная и все
промежуточные координаты не изменяются во времени, обычно являются алгебраическими [15].
Динамические свойства технологического процесса или установки определяют характер протекания их переходных процессов от одного статического состояния к другому [16]. Анализ динамики объекта
управления обычно требует составления дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. При этом уравнения динамики
объектов с распределенными параметрами записываются в частных
производных. Также уравнения динамики называют уравнениями движения объекта.
Часто при составлении уравнений динамики объект управления
подвергается декомпозиции, то есть разбивается на элементы. Впоследствии на основании физического закона, который определяет протекающий в конкретном элементе процесс, составляется соответствующее уравнение. Объединенная система уравнений, полученных для
каждого элемента, описывает динамику объекта управления.
По сути составление дифференциального уравнения решает задачу определения математической зависимости между переменными
7
параметрами и их приращениями [17]. Однако обычно за счет предварительного учёта приращений сразу записывается дифференциальное уравнение. Например, представляя скорость как υ =
dx
dt
, опускается
запись в приращениях перемещения x и времени t, хотя они фактически учтены, так как:
υ=
dx
dt
∆x
,
∆ t →0 ∆t
= lim
то есть при составлении дифференциальных уравнений приращения
сразу же заменяются соответствующими дифференциалами.
Универсальных правил создания математического описания
не существует. В большинстве случаев методика математического моделирования объектов управления заключается в следующем:
1. Анализ технологического процесса (и / или конструкции установки).
2. Выделение объекта управления, определение выходных координат, управляющих и возмущающих воздействий.
3. Введение в рассмотрение обоснованных допущений и упрощений,
принимаемых при моделировании.
4. Составление расчетной схемы объекта управления.
5. Синтез системы уравнений (в том числе и дифференциальных),
описывающей динамику объекта управления.
6. Создание структурной схемы математической модели объекта
управления.
7. Создание вычислительной модели объекта управления.
8. Оценка адекватности модели.
9. Проведение вычислительных экспериментов по исследованию
динамических и статических свойств объекта управления.
Моделирование объектов управления с распределёнными параметрами требует дополнительных этапов, обусловленных необходимостью решения уравнений в частных производных с учётом заданных
начальных и граничных условий.
Широкое практическое применение нашла запись дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу. Во-первых, это даёт
возможность свести решение обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами к решению алгебраиче8
ских уравнений, а решение линейных дифференциальных уравнений
в частных производных (если присутствует производная только по одной пространственной координате) – к решению обыкновенных дифференциальных уравнений [18]. Во-вторых, позволяет легко учесть
начальные условия.
Следует отметить, что в дальнейшем при моделировании будем
считать начальные условия нулевыми. В таком случае, осуществляя
преобразование Лапласа, правомерно ввести замену операции дифференцирования по времени t:
d
dt
≡ p;
d
n
dt
n
≡ p ,
(1.1)
n
где p – оператор Лапласа; n – порядок производной.
Например, линейное дифференциальное уравнение:
2
a0 ⋅
d y (t )
dt
2
+ a1 ⋅
dy (t )
dt
+ a2 ⋅ y (t ) = b1 ⋅
du (t )
dt
+ b2 ⋅u (t ) + c0 ⋅ f (t )
с учётом (1.1) в изображениях по Лапласу примет вид:
a0 ⋅ p 2 ⋅ y ( p ) + a1 ⋅ p ⋅ y ( p ) + a2 ⋅ y ( p ) = b1 ⋅ p ⋅u ( p ) + b2 ⋅u ( p ) + c0 ⋅ f ( p ) .
При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор p рассматривают как алгебраический сомножитель, а произведение p y – как произведение, не обладающее свойством коммутативности (нельзя вместо p y записать y p) [19].
Основными критериями, характеризующими математические
модели объектов управления, являются [20]:
1) адекватность – способность математической модели воспроизводить необходимые свойства объекта управления в заданной
области изменения внешних параметров с допускаемой величиной погрешности;
2) точность воспроизведения необходимых свойств объекта
управления определяется степенью совпадения значений выходных параметров модели и реальной установки (технологического процесса); если точность воспроизведения необходимых
свойств объекта управления ниже некоторого заданного уровня, то модель не может считаться адекватной;
9
3) универсальность математической модели определяется числом
и составом учитываемых выходных координат, управляющих
и возмущающих воздействий, характеризует полноту отображения свойств реального объекта и определяет, насколько широкий класс объектов может быть описан моделью (как известно,
модель отражает лишь определённые, необходимые для достижения конкретных целей свойства объекта);
4) экономичность модели определяется затратами различного рода
ресурсов (материальных, временных, финансовых и т.д.) для её
реализации.
Адекватность и точность модели находятся в обратной зависимости с её универсальностью [20]. При этом высокие показатели этих
характеристик противоречат высокой экономичности, поэтому при
разработке математических моделей объектов управления стремятся
к наилучшему компромиссному варианту с точки зрения удовлетворения обозначенных требований.
1.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
КАК ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
1.4.1. Идентификация смешивающего теплообменника
как объекта управления
Рассмотрим работу смешивающего теплообменника (рис. 1.2),
представляющего из себя изолированный резервуар c рабочим объемом V, в который поступают две жидкости: одна имеет температуру 1,
вторая – 2. При этом их массовые расходы составляют G1 и G2, соответственно. Массовый расход отводимой смеси, имеющей температуру , определяется величиной G. Жидкостям соответствуют удельные
теплоёмкости c1, c2 и c. Перемешивание осуществляется с помощью
мешалки [18].
Динамика объекта управления характеризуется температурой
смеси , поэтому этот параметр принимаем за выходную координату.
Вектор управляющих воздействий включает расходы G1 и G2. Вектор
возмущений составляют температуры 1 и 2. Обобщенная структурная
схема объекта управления представлена на рис. 1.3.
10
Рис. 1.2. Расчётная схема смешивающего теплообменника
Рис. 1.3. Обобщённая структурная схема смешивающего теплообменника
как объекта управления
Введём несколько допущений:
1) считаем, что рассматриваемая установка обеспечивает идеальное перемешивание жидкостей, то есть температура вытекающей смеси равна средней температуре в резервуаре;
2) допускаем, что тепловые потери через стенки резервуара отсутствуют;
3) удельные теплоемкости смеси и её компонентов считаем постоянными;
4) общая масса mV смеси в рассматриваемом объёме V резервуара
остается постоянной, что обеспечивается равенством G = G1 + G2.
Исходя из приведённого описания и принятых допущений, можем
сказать, что разность энергии W12, поступившей с входными потоками
жидкостей во внутренне пространство резервуара, и энергии W, отве11
дённой из него с выходным потоком, за промежуток времени t приводит к изменению энергии в объёме V на величину W. Таким образом,
уравнение энергетического баланса для рассматриваемого объекта запишем в виде:
W = W12 − W = W1 + W2 − W,
(1.2)
где W12= W1 + W2.
Учитывая, что количество тепловой энергии, содержащееся в определенном количестве вещества, можно представить в виде произведения
его массы на удельную энтальпию (теплосодержание), запишем, что:
W = mV
h;
W1 = m1 h1;
W2 = m2 h2;
W = m h,
где mV = V; – плотность смеси; m1, m2 – массы жидкостей, поступивших в объём V за время t:
m1 = G1
t;
m2 = G 2
t;
m – масса смеси, извлечённой из объёма V за время t,
m=G
t;
h1, h2, h – удельные энтальпии жидкостей, поступивших в рабочий
объем, и извлекаемой смеси; h – приращение удельной энтальпии
смеси за время t.
Тогда уравнение (1.2) примет вид:
ρ ⋅V ⋅∆ h = G1 ⋅∆t ⋅h1 + G2 ⋅∆t ⋅h2 − G ⋅∆t ⋅h .
(1.3)
Так как в рассматриваемом случае теплообмен протекает без
изменения агрегатного состояния теплоносителей, то:
h=с
; h1 = с1 1; h2 = с2 2; h = с , (1.4)
где
– приращение температуры смеси за время t.
12
Подставляя (1.4) в (1.3), получим:
ρ⋅V ⋅c ⋅∆Θ= G1 ⋅∆t ⋅c1 ⋅Θ1 + G2 ⋅∆ t ⋅c2 ⋅Θ 2 − G ⋅∆ t ⋅c⋅Θ
или
ρ⋅V ⋅c ⋅
∆Θ
∆t
= G1 ⋅c1 ⋅Θ1 + G2 ⋅c2 ⋅Θ 2 − G ⋅c ⋅Θ .
Считая, что ∆t → 0 и lim
∆ t →0
∆Θ
∆t
=
dΘ
dt
, запишем дифференциальное
уравнение, моделирующее динамику изменения температуры смеси в
рассматриваемом смешивающем теплообменнике:
ρ⋅V ⋅c ⋅
d Θ (t )
dt
= G1 (t ) ⋅c1 ⋅Θ1 (t ) + G2 (t ) ⋅c2 ⋅Θ 2 (t ) − G (t ) ⋅c ⋅Θ(t ) ,
(1.5)
где t – время.
Уравнение (1.5) в операторной форме после некоторых преобразований примет вид:
Θ( p ) =
G1 ( p )⋅c1 ⋅Θ1 ( p ) + G2 ( p )⋅c2 ⋅Θ 2 ( p ) −G ( p )⋅c⋅Θ( p )
,
ρ⋅V ⋅c⋅ p
где p – оператор Лапласа.
Рис. 1.4. Структурная схема математической модели
смешивающего теплообменника как объекта управления
13
(1.6)
На основании уравнения (1.6) синтезируем структурную схему
математической модели смешивающего теплообменника как объекта
управления (рис. 1.4).
В данном примере при математическом моделировании этап,
включающий составление уравнений в приращениях, был отражён
в явном виде. В последующих примерах этот шаг будем опускать.
1.4.2. Идентификация резервуара с жидкостью
как объекта управления
Управление уровнем жидкости в резервуарах является распространённой задачей, решаемой в большинстве отраслей промышленности. Проанализируем динамику уровня x жидкости со свободной
поверхностью в резервуаре для двух случаев. В первом – истечение
жидкости обеспечивается работой насоса, во втором – действием
силы тяжести.
Первый случай. Рассмотрим установку (рис. 1.5, а), в которой необходимо управлять уровнем жидкости в резервуаре с поперечным сечением S0. В него втекает поток с массовым расходом G1, регулируемый
задвижкой З. Выходящий поток характеризуется массовым расходом
G2, величина которого зависит от режима работы насоса Н.
Рис. 1.5. Расчётные схемы резервуаров с жидкостью
как объектов управления
14
За выходную координату принимаем уровень x жидкости. Управляющее воздействие – расход G1, возмущение – расход G2. Обобщенная структурная схема объекта управления представлена на рис. 1.6.
Введём ряд допущений:
1) пренебрегаем влиянием соотношений площади свободной поверхности и размеров входных и выходных отверстий;
2) не учитываем инерционные свойства жидкости в резервуаре;
3) считаем, что плотность жидкости остаётся постоянной на всём
промежутке времени протекания процесса.
Рис. 1.6. Обобщённая структурная схема резервуара с жидкостью
как объекта управления
Жидкость занимает объём резервуара:
V (t ) = S0 ⋅ x(t ) .
При этом масса жидкости, находящейся в резервуаре:
m(t ) =V (t )⋅ρ= S0 ⋅ρ⋅ x(t ) .
(1.7)
Согласно закону сохранения массы вещества:
d m(t )
= G1 (t ) −G2 (t ) .
dt
(1.8)
Тогда, с учетом выражений (1.7) и (1.8), динамика уровня может
быть описана дифференциальным уравнением:
S0 ⋅ρ⋅
d x(t )
= G1 (t ) −G2 (t ) .
dt
15
(1.9)
Выполнив преобразование Лапласа, после некоторых модификаций получим:
x( p) =
G1 ( p ) −G2 ( p )
.
S0 ⋅ρ⋅ p
(1.10)
На основании уравнения (1.10) составим структурную схему
(рис. 1.7).
Рис. 1.7. Структурная схема математической модели резервуара с жидкостью
(в случае принудительного её истечения) как объекта управления
Второй случай. Теперь расход G2 определяется свободным истечением жидкости через отверстие площадью поперечного сечения S
в дне резервуара под действием силы тяжести (рис. 1.5, б).
Из гидравлики известно, что расход вытекающей через отверстия
жидкости под действием силы тяжести связан с уровнем в резервуаре
нелинейным соотношением [18]:
G2 (t ) = S ⋅ρ⋅µ⋅ 2⋅ g ⋅x(t ) ,
(1.11)
где – коэффициент, учитывающий характеристики выходного отверстия (величину сужения, форму и т.д.); g – ускорение свободного падения.
Подставляя (1.11) в (1.9), получим уравнение динамики уровня для
случая свободного истечения:
S0 ⋅ρ⋅
d x(t )
= G1 (t ) − S ⋅ρ⋅µ⋅ 2⋅ g ⋅x(t ) ;
dt
или в изображениях по Лапласу:
x( p) =
G1 ( p ) − S ⋅ρ⋅µ⋅ 2⋅ g ⋅x( p )
.
S0 ⋅ρ⋅ p
16
(1.12)
В этом случае объект управления представляет собой однопараметрическую систему с саморегулированием. Уравнение (1.12) позволяет синтезировать структурную схему (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Структурная схема математической модели резервуара с жидкостью
(в случае естественного её истечения) как объекта управления
1.4.3. Идентификация процесса вакуумирования
керамической массы как объекта управления
Применение вакуумирования керамической массы имеет большое
значение при формовании сырца кирпича. Как показывают исследования [21, 22], изделия, сформованные из деаэрированного сырья, обладают большей прочностью, меньшим количеством структурных трещин,
минимальными отклонениями геометрических размеров и хорошим
внешним видом. Этими факторами обусловлено широкое оснащение
шнековых прессов вакуум-камерами.
В работе [21, 22] показано, что незначительное отклонение величины разрежения Pв в вакуум-камере пресса может привести к выпуску
кирпича марки, по прочности ниже требуемой. Это служит причиной
увеличения экономических потерь предприятия.
Рассмотрим особенности вакуумирования керамической массы
с использованием пластинчато-роторного вакуумного насоса с масляным уплотнением (рис. 1.9) [21]. После перемешивания массы шнеки 1,
находящиеся на концах лопастных валов глиносмесителя 2, уплотняют
массу, создавая при этом пробку, препятствующую подсосу воздуха в вакуум-камеру 3, и подают ее к вращающимся ножам – фрезам 4, которые
измельчают перерабатываемую глину. В результате шихта в виде тонких
лент или жгутов, что облегчает деаэрацию, поступает в вакуум-камеру,
где во время падения в приемную коробку удаляются пузырьки воздуха.
17
Вакуумированная масса с помощью нагнетательных валков 5 захватывается шнеком 6 пресса и транспортируется к формующему звену.
Рис. 1.9. Расчётная схема процесса вакуумирования керамической массы
В верхней части вакуум-камеры расположено отверстие, сообщающееся с вакуум-насосом 7 при помощи всасывающего воздухопровода 8, на котором установлены фильтр 9 и вентиль 10. Откачанный воздух вытесняется в атмосферу через нагнетающий воздухопровод 11.
Ротор 12 вакуум-насоса приводится во вращение через клиноременную передачу 13 от электродвигателя 14.
Под объектом управления будем понимать процесс вакуумирования керамической массы, текущее состояние которого определяется значением Pв. За управляющее воздействие принимаем частоту 0
напряжения, питающего приводной двигатель, так как его угловая скорость дв определяет быстроту действия Sвн насоса.
Основным возмущением является изменение диаметра D всасывающего воздухопровода ввиду оседания на его стенках в процессе работы частиц глины и добавок (которые вносятся в шихту), содержащихся
в удаляемом воздухе. Кроме того, на разрежение Pв влияет производительность Qсм глиносмесителя, доля воздуха X в керамической массе на выходе
из него, доля воздуха Z, подсасываемого вместе с шихтой из смесителя,
и производительность Qш шнекового пресса. Требуется найти операторы
исследуемого объекта управления, связывающие выходные координаты
с управляющими и возмущающими воздействиями.
18
Обобщенная структурная схема объекта управления представлена
на рис. 1.10.
Рис. 1.10. Обобщённая структурная схема процесса вакуумирования
керамической массы как объекта управления
При моделировании введём ряд допущений и упрощений:
1) считаем, что поступающий и отбираемый воздух мгновенно
занимает весь объем вакуум-камеры и освобождает его, соответственно (то есть в первом приближении рассматриваем объект
с сосредоточенными параметрами);
2) принимаем, что попадающая в вакуум-камеру керамическая
масса полностью обезвоздушивается;
3) допускаем, что воздух, отбираемый из вакуум-камеры, имеет
температуру прогретой в глиносмесителе керамической массы;
4) принимая во внимание особенности конструкции установки
(которая предусматривает различного рода уплотнения, а также наличие пробок из керамической массы на выходе из глиносмесителя и в приемной коробке пресса), обеспечивающие
герметичность, считаем, что дополнительные подсосы воздуха
из окружающей среды отсутствуют;
5) считаем все механические элементы привода вакуумного насоса абсолютно жёсткими.
Процесс вакуумирования керамической массы характеризуется
динамикой разрежения Pв в вакуум-камере. На основании принятых
допущений этот процесс можно описать уравнением состояния газа,
которое применительно к рассматриваемому случаю запишем в виде:
[Pв (t ) − Pa ] ⋅ (Vвк − Vм (t )) =
mв (t )
⋅ R ⋅ Tв ,
µв
(1.13)
где Vвк – объем вакуум-камеры; Vм – объем керамической массы, находящейся в вакуум-камере; mв, в, Tв – масса, молярная масса, тем19
пература воздуха, находящегося в вакуум-камере; R – универсальная
газовая постоянная; Pа – атмосферное давление.
Изменение массы воздуха в вакуум-камере определяется расходами поступающего и отбираемого воздуха:
1 d mв (t )
⋅
= Qсм (t ) ⋅ [ X (t ) ⋅ Y (t ) + Z (t ) ] − Sвк (t ) ,
ρв (t )
dt
(1.14)
– плотность воздуха в вакуум-камере, ρв = f1 (Pв ) ;
(1.15);
Y – извлекаемая доля воздуха, находящегося в керамической массе на
выходе из глиносмесителя, Y = f 2 (Pв ) ;
(1.16);
Sвк – скорость разрежения вакуум-камеры [21],
в
Sвк (t ) =
1
1
+ W (t )
Sвн (t )
;
(1.17)
W – сопротивление всасывающего воздухопровода, W = f3 (ρв ) . (1.18)
Причем на основании работы [21]:
Sвн (t ) = k1 ⋅ k2 (t ) ⋅ ωвн (t ),
(1.19)
где k1 – конструктивный коэффициент; k2 – коэффициент, учитывающий влияние величины разрежения на производительность насоса,
(1.20)
k2 = f 4 (Pв );
– угловая скорость ротора вакуумного насоса,
вн
ωвн (t ) =
1
⋅ ωдв (t ) ;
i рп
(1.21)
iрп – передаточное число ременной передачи.
Динамику изменения объема керамической массы в вакуум-камере опишем дифференциальным уравнением:
dVм (t )
= Qсм (t ) ⋅ (1 − X (t ) ⋅ Y (t )) − Qш (t ).
dt
(1.22)
Для связи частоты 0 напряжения, питающего приводной двигатель, и его угловой скорости дв можно использовать известные динамические модели асинхронного двигателя (см. приложение 2).
20
Анализ представленных в работе [23] зависимостей для нахождения мощности, потребляемой приводным двигателем вакуумного
насоса, позволил определить оператор формирования момента нагрузки в виде выражения:
М н ( t) =
n ⋅ Pв (t )⋅Cг Pн
P (t )
⋅
⋅ n в −1 ⋅ξ1 ⋅ξ 2 + М тр ( t) ⋅ sign(ωвн ( t) )
n −1
Pн
Pв (t )
i рп
,
(1.23)
где n – коэффициент политропы сжатия воздуха; Cг – коэффициент,
обусловленный геометрическими характеристиками насоса; Pн – давление нагнетания; 1, 2 – постоянные коэффициенты; Mтр – момент,
обусловленный силами трения вращающихся элементов насоса.
Уравнения (1.13)-(1.23) представляют собой математическую модель
процесса вакуумирования керамической массы при производстве кирпича, которая связывает разрежение Pв с основным управляющим и возмущающими воздействиями.
Преобразуем уравнения (1.13)-(1.23) и запишем их в изображениях
по Лапласу, что упростит их дальнейшее использование [24]:
mв ( p ) ⋅ R ⋅ Tв
+ Pа ;
µв ⋅ (Vвк − Vм ( p ))
ρ ( p)
⋅ {Qсм ( p ) ⋅ [ X ( p ) ⋅ Y( p ) + Z( p )] − S вк ( p )} ;
mв ( p ) = в
p
−1
Sвк ( p ) = [1 Sвн ( p ) + W ( p )] ;
Sвн ( p ) = k1 ⋅ k2 ( p ) ⋅ ωвн ( p );
ωвн ( p ) = ωдв ( p ) ⋅ i рп−1
Q ( p ) ⋅ ( 1 − X ( p ) ⋅ Y( p )) − Qш ( p )
Vм ( p ) = см
;
p
ρв = f1( Pв ); Y = f 2 ( Pв );
W = f3 ( ρв , D ); k 2 = f 4( Pв ).
Pв ( p ) =
(1.24)
Выражение для определения момента нагрузки в изображениях:
М н ( p) =
n⋅Pв ( p)⋅C г Pн
P ( p)
⋅
⋅n в
−1 ⋅ξ1 ⋅ξ 2 + М тр ( p ) ⋅sign (ωвн ( p ) )
n −1
P
(
p
)
P
н
в
i рп
21
.
(1.25)
На основании полученных системы уравнений (1.24) и выражения
(1.25) синтезируем структурную схему (рис. 1.11) математической модели процесса вакуумирования керамической массы при производстве
кирпича как объекта управления [24].
Рис. 1.11. Структурная схема математической модели процесса вакуумирования
керамической массы как объекта управления
1.5. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
ПРОМЫШЛЕННЫХ УСТАНОВОК КАК ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
1.5.1. Уравнения движения электропривода
Электропривод представляет собой электромеханическую систему, основными элементами которой являются электромеханический
преобразователь и механические передачи, а значит, схематично может быть представлен совокупностью электродвигателя ЭД и механической части МЧ (рис. 1.12). Математическое описание используемых в промышленности электрических двигателей различного рода
достаточно хорошо разработано и представлено в большом количестве
источников (см. приложение 2). Кроме того, если различия в матема22
тических моделях электрической части приводов обусловлены видом
применяемого двигателя (двигателя постоянного тока, асинхронного
двигателя, синхронного двигателя и т.д.), то механические части установок имеют значительно больше вариаций, а иногда обладают уникальной конструкцией. Поэтому здесь ограничимся моделированием
только механической части привода.
Рис. 1.12. Основные части электропривода
Электроприводы с точки зрения механики движения их элементов
могут быть разделены на две категории [25]:
1. Электроприводы механизмов с прямолинейным движением. В этом
случае рассматриваются силы и линейные параметры (перемещение, линейная скорость, линейное ускорение), а основными величинами, характеризующими механизмы, являются масса, упругость,
демпфирование.
2. Электроприводы механизмов с вращательным движением. Здесь
анализируются моменты вращения и угловые единицы (угол, угловая скорость, угловое ускорение); характерные величины – момент
инерции, упругость, демпфирование.
При моделировании механической части электроприводов обозначенные величины позволяют учесть те или иные свойства объекта
управления [25]:
1) масса и момент инерции описывают элементы, имеющие инерцию;
2) упругость отражает действие восстанавливающей силы (аналогично процессу, протекающему в пружине);
3) демпфирование (вязкое трение) учитывает способность механического элемента рассеивать энергию (диссипация энергии).
Математическое описание механизмов с прямолинейным движением осуществляется с помощью уравнений равновесия сил, механизмов с вращательным движением – с помощью уравнений равновесия
моментов.
23
Структура механической части электропривода, свойства её элементов и принимаемые при математическом моделировании допущения и упрощения определяют тот или иной вид уравнений движения.
Рассмотрим эти уравнения для некоторых случаев вращательного движения.
1. Момент вращения приложен к телу, обладающему моментом
инерции (рис. 1.13, а).
Расчётную схему изобразим в виде, представленном на
рис. 1.13, б. Момент вращения М создает угловое ускорение
для тела с моментом инерции J. Навстречу моменту М действует
инерционный момент:
M J ( t) = J ⋅
где
и
d 2ϕ(t )
d ω(t )
=J⋅
= J ⋅ε( t) ,
2
dt
dt
– угол поворота и угловая скорость тела; t – время.
Очевидно, что момент M уравновешивается моментом MJ,
поэтому уравнение движения для рассматриваемой системы:
d 2ϕ(t )
d ω(t )
M(t ) = M J ( t) = J ⋅
=J⋅
= J ⋅ε( t) .
2
dt
dt
Рис. 1.13. Вращающееся тело, обладающее моментом инерции,
и его расчётная схема
2.
Момент вращения приложен к упругому элементу.
Если момент М приложен к валу и скручивает его, то вал стремится раскручиваться в обратную сторону, развивая момент МC,
обусловленный свойством его упругости.
Расчетная схема для рассматриваемого случая приведена на
рис. 1.14. Углы и 0 представляют положения двух концов упру24
гого элемента, измеренные от их соответствующих положений
равновесия. Восстанавливающий момент МC в соответствии с законом Гука определяется из уравнения:
M(t )= MC (t ) = С ⋅(ϕ(t ) −ϕ 0 (t )) = С ⋅∆ϕ(t ) ,
(1.26)
где С – коэффициент упругости (крутильная жесткость);
∆ϕ(t ) =ϕ(t ) −ϕ0 (t ) .
Если исходный конец вала неподвижен, то
ние (1.26) преобразуется к виду:
0
= 0 и уравне-
M C ( t) = С ⋅ϕ( t) .
Рис. 1.14. Расчётная схема упругого элемента
3.
Момент вращения приложен к демпфирующему устройству
(диссипативному элементу).
На схеме рис. 1.15 представлена расчетная схема вращающегося демпфирующего устройства (диссипативного механического звена) элементарного типа. Угловые положения и 0 обоих
концов устройства отложены от их соответствующих положений
равновесия. Когда к такому устройству приложен момент вращения М, создается противодействующий момент МD, равный произведению коэффициента демпфирования D на угловую скорость
одного конца демпфирующего устройства по отношению к другому. Это формулируется уравнением:
d ∆ϕ(t )
d ϕ(t ) d ϕ0 (t )
−
= D⋅(ω( t) −ω0 ( t)) . M(t ) = M D ( t) = D⋅
= D⋅
dt
dt
dt
(1.27)
Если исходный конец вала неподвижен, то уравнение (1.27) имеет вид:
M D (t ) = D⋅
d ϕ(t )
= D⋅ω(t ) .
dt
25
Рис. 1.15. Расчётная схема диссипативного элемента
4. Момент вращения приложен к упругому элементу с инерционной массой.
Проанализируем случай, когда момент M приложен к скручивающемуся валу (характеризуемому коэффициентом упругости C ), на
конце которого расположена масса с моментом инерции J (рис. 1.16).
Здесь из-за наличия упругого элемента законы изменения
углов поворота 0 первой (до скручивающегося вала) и второй
(после скручивающегося вала) частей системы не совпадают во
времени. Если зафиксировать угол , то изменение 0 возможно
в диапазоне
= − 0, определенном деформацией упругого элемента. Для математического описания движения в такой расчётной
модели упругий элемент мысленно разрезают, а к первой и второй
частям прикладывают равный и противоположно направленный
момент МC в скручивающемся вале. Система уравнений движения
для данного случая:
M( t) =С ⋅∆ϕ(t ) =MC ( t);
d 2ϕ(t )
M C (t ) = M J ( t) = J ⋅
.
dt 2
Рис. 1.16. Расчётная схема упругого элемента с инерционной массой
5.
Момент вращения приложен к элементу, обладающему упруго-диссипативными свойствами, с инерционной массой (рис. 1.17).
26
Для условий предыдущего случая с учетом диссипативных свойств
вала система уравнений движения имеет вид:
M(t )= MC (t )+ M D (t ) =С ⋅∆ϕ(t ) + D ⋅
d 2ϕ(t )
MCD (t ) = M J ( t) = J ⋅
.
dt 2
d ∆ϕ(t )
= M CD(t );
dt
Рис. 1.17. Расчётная схема упруго-диссипативного элемента с инерционной массой
Электроприводы промышленных установок и технологических
комплексов в большинстве случаев представляют собой сложные
многозвенные и многосвязные электромеханические системы. В связи
с этим синтез динамической модели целесообразно осуществлять
с учетом допущений и упрощений, не учитывая некоторые частные
особенности реального механизма.
Обычно стремятся к созданию наиболее простого математического
описания, удовлетворяющего принятому функционалу качества идентификации. Усложнение модели приводит к рассмотрению некоторого
количества дополнительных переменных (что не всегда обоснованно
и необходимо), тем самым усложняет расчёты и может внести дополнительные ошибки, которые, скорее всего, нивелируют ожидаемое повышение точности.
При рассмотрении расчётной схемы механической части привода
с одним звеном приведения, в которой координата и её производные
совпадают с координатой, однозначно определяющей положение механической системы в пространстве в любой момент времени, и её производными получаем одномассовую динамическую модель.
27
В случае учёта в расчётной схеме упругих свойств механических
звеньев, разделяющих инерционные части электропривода, модели
классифицируются как двухмассовые и многомассовые.
Анализ динамических свойств и составление уравнений движения механизмов с прямолинейным движением элементов производится с использованием приемов, аналогичных применяемым при исследовании механизмов с вращательным движением элементов. Если
в механизме присутствуют оба вида движения, то переход от одного
к другому осуществляется с помощью радиуса приведения .
1.5.2. Идентификация двухмассового электропривода
как объекта управления
Рассмотрим объект управления, под которым понимаем некоторую технологическую установку с электроприводом, включающим
двигатель Д, ременную передачу РП и рабочий орган РО (рис. 1.18).
Двигатель создает вращающий момент Mд, который приводит к повороту вала ротора и малого шкива ременной передачи на угол р.
В результате чего после ременной передачи с передаточным числом i
на рабочем органе установки возникает момент Mро, противодействующий моменту нагрузки Mн. Их разность обусловливает величину угла
поворота рабочего органа ро.
В качестве выходной координаты будем рассматривать угловую
скорость рабочего органа ро. Считаем, что установка приводится
асинхронным двигателем, поэтому управляющим воздействием является частота питающего напряжения 0. Возмущающее воздействие –
момент нагрузки Mн, приложенный к рабочему органу. При такой постановке задачи объект управления можно представить в виде обобщенной структурной схемы (рис. 1.19).
При составлении уравнений движения механической части рассматриваемого привода введем следующие упрощения и допущения:
1) считаем, что массы механических звеньев привода сосредоточены в их центрах масс;
2) учитываем упруго-диссипативные свойства только ременной
передачи, а все остальные элементы привода считаем абсолютно жесткими;
3) возможным проскальзыванием ремней передачи пренебрегаем;
4) допускаем, что в приводе отсутствуют потери на трение.
28
Рис. 1.18. Конструкция электропривода технологической установки
Рис. 1.19. Обобщённая структурная схема электропривода
технологической установки как объекта управления
Отметим, что ротор, шкивы ременной передачи и рабочий орган
характеризуются моментами инерции Jр, Jш1, Jш2 и Jро, соответственно; упруго-диссипативные свойства ремня учитываем коэффициентами жесткости C и демпфирования D. Определение моментов инерции,
коэффициентов жесткости и демпфирования можно осуществить в соответствии с рекомендациями, изложенными в приложениях 3 и 4.
29
Исходя из конструкции установки (рис. 1.18) и введенных допущений и упрощений, составим расчётную схему механической части
электропривода (рис. 1.20), изобразим в виде эквивалентной двухмассовой системы, имеющей две вращающиеся массы с моментами инерции J1 = J р + J ш1 и J 2 = J ш 2 + J ро .
Рис. 1.20. Расчётная схема механической части
электропривода технологической установки
На основании расчетной схемы составим систему уравнений, описывающую динамику рассматриваемой двухмассовой системы:
M д ( t) − J1 ⋅
d 2ϕр (t )
dt 2
M ро (t ) = M CD ( t) ⋅i;
= С ⋅∆ϕ( t) + D⋅
M ро (t ) − M н ( t) = J 2 ⋅
ωро (t ) =
d ϕро (t )
d 2ϕро (t )
dt 2
;
;
dt
ϕCD (t ) =ϕро (t )⋅i;
∆ϕ(t ) =ϕр (t ) −ϕCD (t );
ωр (t ) =
d ϕр (t )
dt
,
d ∆ϕ(t )
= M CD( t);
dt
(1.28)
где φCD – угол поворота вала после ремённой передачи; Δφ – эквивалентный угол скручивания; ωр – угловая скорость ротора двигателя;
t – время.
30
Перейдем к операторной форме записи системы (1.28):
M д ( p) − J1⋅ϕ р ( p)⋅ p 2 = С⋅∆ϕ( p) + D⋅ p⋅∆ϕ( p) =
= M CD ( p ) =∆ϕ( p )⋅С ⋅(TCD ⋅ p +1);
D
TCD = ;
C
M ро ( p ) = M CD ( p) ⋅i;
2
M ро ( p ) − M н ( p) = J 2 ⋅ p ⋅ϕро ( p);
ωро ( p) = p⋅ϕро ( p);
ϕCD ( p) =ϕро ( p)⋅i;
∆ϕ( p) =ϕр ( p) −ϕCD ( p);
ωр ( p) = p⋅ϕр ( p),
(1.29)
где TCD – постоянная времени, обусловленная упруго-диссипативными
свойствами ремённой передачи; p – оператор Лапласа.
Система уравнений (1.29) позволяет построить структурную схему математической модели электропривода (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Структурная схема математической модели электропривода
технологической установки как объекта управления
31
1.5.3. Идентификация двухмассового электропривода
с кривошипно-шатунным механизмом как объекта управления
(на примере автомата резки керамического бруса)
Производство керамического кирпича пластическим способом подразумевает формование его сырца на шнековом прессе. В процессе его
работы на выходе формующего звена образуется непрерывный брус
заданного сечения, который впоследствии разрезается на отдельные кирпичи. Некачественно выполненная резка может привести к возникновению брака, обусловленного несоответствием допустимым нормативами
[26] отклонениям по длине изделия, перпендикулярности смежных граней, плоскостности граней. Поэтому данный этап имеет большое значение. Непостоянство скорости бруса, которая обусловлена работой шнекового пресса, осложняет процесс и ухудшает результат резки [27].
В настоящее время на предприятиях по производству строительной керамики наибольшее распространение получили резательные
автоматы гильотинного типа. Рассмотрим принцип работы установки,
имеющей такую конструкцию. Подробно остановимся на кинематической схеме (рис. 1.22) вертикального возвратно-поступательно движущегося механизма резания.
Брус 1 непрерывно подается конвейером 2 к резательному автомату,
где разрезается на отдельные изделия 3 с помощью струны 4. В процессе рабочего хода (т.е. при резке бруса) струна движется со скоростью υр
(скоростью резания) и оказывает воздействие на брус с силой Fр резания, при этом керамической массой создается сила сопротивления Fс.
Резательный механизм приводится в движение с помощью двигателя
постоянного тока 5. Его вал через ременную передачу 6 соединен с кривошипом 7, при повороте которого на угол φк ползуны 8 перемещаются
на величину l по оси x. Движение на ползуны передается с помощью
кривошипа 9. Рама, на которой располагаются ползуны при рабочем
ходе, движется со скоростью υ бруса (при обратном – с некоторой скоростью υ0). В результате этого перемещения ось О1 крепления шатуна
к ползунковой части механизма смещается относительно оси O вращения
кривошипа. Величина смещения осей определяет величину эксцентриситета e, наличие которого позволяет классифицировать рассматриваемый кривошипно-шатунный механизм как дезаксиальный. Полученные
в результате резки отдельные кирпичи раздвигаются за счет разности
скоростей υ бруса и υ1 ленты конвейера 10 (υ1 > υ).
32
Рис. 1.22. Кинематическая схема автомата резки керамического бруса
Под объектом управления будем понимать процесс резания керамического бруса. Одной из основных задач автоматизации рассматриваемого технологического этапа является согласование скорости υр со
скоростью υ бруса. Поэтому за выходную координату принимаем скорость υр перемещения струны. В связи с тем, что механизм резания
33
приводится двигателем постоянного тока в качестве управляющего
воздействия, рассматриваем напряжение Uя якоря. Возмущающее воздействие – сила сопротивления резанию Fс, которая зависит от механо-физико-химических свойств бруса. Объект управления представим
в виде обобщенной структурной схемы (рис. 1.23).
Рис. 1.23. Обобщённая структурная схема
автомата резки керамического бруса как объекта управления
При составлении уравнений движения привода введем следующие
упрощения и допущения:
1) допускаем, что массы механических звеньев привода сосредоточены в их центрах масс;
2) учитываем упруго-диссипативные свойства только ременной
передачи, а все остальные механические элементы привода считаем абсолютно жесткими;
3) возможным проскальзыванием ремней передачи пренебрегаем;
4) допускаем, что в приводе отсутствуют потери на трение;
5) пренебрегаем инерционными свойствами шатуна ввиду малости кинетической энергии его вращательного и поступательного движений по сравнению с общим запасом кинетической
энергии всей механической системы;
6) учитывая, что диапазон горизонтальных перемещений рамы
незначителен, исключаем из расчета эксцентриситет e и рассматриваем кривошипно-шатунный механизм как аксиальный.
Ротор приводного двигателя, малый и большой шкивы ременной
передачи и кривошип характеризуются моментами инерции Jр, Jш1, Jш2
и Jк, соответственно, возвратно-поступательно движущиеся элементы
привода (включая ползуны, струну и ее крепежные конструкции) –
массой mп; упруго-диссипативные свойства ремня учитываем коэффициентами жесткости C и демпфирования D.
34
Радиус приведения ρ в кривошипно-шатунном механизме является переменной величиной, зависящей от положения элементов, и имеет
вид нелинейной периодической функции:
ρ(t ) = rк ⋅
sin (ϕк (t ) +β(t ))
,
cos(β(t ))
rк ⋅sin ϕк (t )
.
lш
где β(t ) = arcsin
(1.30)
Кроме того, нелинейность рассматриваемого процесса проявляется в том, что сила Fс сопротивления является квадратичной функцией
скорости υр резания и воздействует на привод только при резке бруса:
Fс (t ) = k x (t )⋅k s (t )⋅υр2 (t ),
(1.31)
где kx, ks – нелинейные коэффициенты, учитывающие положение на
оси x и направление движения струны, соответственно:
kс ∀ l (t )∈l1;(l1 + hк );
k x (t ) =
l
t
l
l
h
∀
∉
+
0
(
)
;
;
(
)
1 1 к
(1.32)
1 ∀ sign υр (t ) =1;
ks (t ) =
∀
υ
≠
0
sign
(
t
)
1;
р
(1.33)
kс – коэффициент пропорциональности, связывающий силу сопротивления и квадрат скорости резания; l1 – расстояние от верхнего «мертвого» положения (x = 0) центра ползунов до верхней горизонтальной
плоскости бруса; hк – высота бруса.
При моделировании будем учитывать влияние силы Fс с помощью
приведенного к кривошипу момента сопротивления:
М с (t ) = Fс (t )⋅ρ(t ) = Fс (t )⋅
rк ⋅sin (ϕк (t ) +β(t ))
.
cos(β(t ))
(1.34)
Перемещение струны от верхнего «мертвого» положения (x = 0) до
некоторого текущего положения определяется углом φк:
l (t ) = lш + rк − lш2 + rк2 ⋅sin 2 ϕк (t ) − rк ⋅cos ϕк (t ) ,
а скорость этого перемещения определяется как:
dl (t )
.
υр (t ) =
dt
(1.35)
(1.36)
Cоставим расчётную схему механической части электропривода
(рис. 1.24) в виде эквивалентной двухмассовой системы, имеющей вра35
щающуюся массу с моментом инерции J1 = J р + J ш1 и массу с переменным приведенным к кривошипу моментом инерции:
2
sin (ϕк (t ) +β(t ))
J 2 (t ) = J ш2 + J к + mп ⋅ρ2 (t ) = J ш2 + J к + mп ⋅rк ⋅
.
cos
β
(
t
)
(
)
(1.37)
Рис. 1.24. Расчётная схема механической части
электропривода автомата резки керамического бруса:
Mд, φр – вращающий момент и угол поворота вала приводного двигателя;
i – передаточное число ременной передачи; Mк – вращающий момент кривошипа
На основании расчетной схемы (рис. 1.24), принятых допущений
и высказанных выше замечаний составим систему уравнений, описывающую динамику рассматриваемой двухмассовой системы с кривошипно-шатунным механизмом:
d ∆ϕ(t )
t
=
M
(
);
CD
dt 2
dt
M к ( t) =M CD( t) ⋅i;
d
d ϕк (t )
M к ( t) −M с( t) = J 2( t) ⋅
=
dt
dt
2
2
d ϕ (t )
d sin (ϕк (t ) +β(t ))
d ϕк (t ) = к ⋅mп ⋅ rк ⋅
;
+ J 2 (t )⋅
dt
dt
dt 2
cos(β(t ))
ϕCD (t ) =ϕк (t )⋅i;
∆ϕ(t ) =ϕр (t ) −ϕCD (t );
d ϕр (t )
ωр (t ) =
.
dt
M д ( t) − J1 ⋅
d 2ϕр (t )
= С ⋅∆ϕ( t) + D⋅
36
(1.38)
Объединим уравнения (1.30)-(1.37) и систему (1.38) и перейдем
к операторной форме:
= MCD ( p ) =∆ϕ( p )⋅С ⋅(TCD ⋅ p +1);
D
TCD = ;
C
M к ( p) = M CD ( p) ⋅i;
2
sin (ϕк ( p) +β( p))
Mк ( p )− Mс ( p )− p ⋅ϕк ( p )⋅mп ⋅ p ⋅ rк ⋅
=
cos
(
)
β
p
(
)
= J 2 ( p )⋅ p 2 ⋅ϕк ( p );
r ⋅sin ϕк ( p )
;
β( p ) = arcsin к
l
ш
2
sin (ϕк ( p) +β( p))
J 2 ( p ) = J ш2 + J к + mп ⋅ rк ⋅
;
cos(β( p ))
rк ⋅sin (ϕк ( p ) +β( p ))
М с ( t) = Fс ( p) ⋅
;
cos(β( p ))
Fс ( p ) = k x ( p)⋅k s ( p)⋅υ2р ( p);
kс ∀ l ( p )∈l1;(l1 + hк );
k x ( p) =
0 ∀ l ( p)∉l1;(l1 + hк );
1 ∀ sign υр ( p ) =1;
ks ( p) =
0 ∀ sign υр ( p ) ≠1;
2
2
2
l ( p) = lш + rк − lш + rк ⋅sin ϕк ( p) − rк ⋅cosϕк ( p);
υр ( p ) = p⋅l ( p );
ϕCD (t ) =ϕк (t )⋅i;
∆ϕ(t ) =ϕр (t ) −ϕCD (t );
ωр ( p) = p ⋅ϕр ( p).
M д ( p) − p 2 ⋅ J1 ⋅ϕр ( p) = С ⋅∆ϕ( p) + D⋅∆ϕ( p) =
(1.39)
Система уравнений (1.39) позволяет построить структурную схему математической модели электропривода (рис. 1.25).
37
Рис. 1.25. Структурная схема математической модели
электропривода автомата резки керамического бруса как объекта управления
1.5.4. Идентификация трёхмассового электропривода
как объекта управления (на примере привода передвижения
мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом)
Рассмотрим привод передвижения мостового крана с тихоходным
трансмиссионным валом (рис. 1.26). Его основными составляющими
являются приводной асинхронный двигатель 1, установленный в средней части моста, двухступенчатый редуктор 2 и тихоходный транс38
миссионный вал 3. Трансмиссионный вал имеет промежуточные опоры 4 и выполнен из отдельных секций, соединенных между собой,
а также с концами выходного вала редуктора и валами ходовых колес
5 зубчатыми муфтами 6. Вал ротора двигателя и быстроходный вал редуктора соединены упругой втулочно-пальцевой муфтой с тормозным
шкивом 7.
Рис. 1.26. Кинематическая схема привода
передвижения мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом
В данном случае поведение объекта управления характеризуется
скоростью υ передвижения моста, поэтому этот параметр принимаем
за выходную координату. Управляющее воздействие – частота ω0 напряжения, питающего приводной асинхронный двигатель.
Возмущающее воздействие – момент нагрузки Mн, обусловленный
собственной массой крана, массой и колебаниями перемещаемого груза. Обобщенная структурная схема объекта управления представлена
на рис. 1.27.
Рис. 1.27. Обобщённая структурная схема привода передвижения
мостового крана как объекта управления
39
При составлении уравнений движения привода примем несколько
допущений:
1) допускаем, что массы механических звеньев привода сосредоточены в их центрах масс;
2) считаем, что наиболее существенно упруго-диссипативные свойства проявляются в упругой втулочно-пальцевой муфте и в секциях трансмиссионного вала ввиду значительной их длины; все
остальные механические элементы привода считаем абсолютно
жесткими;
3) принимаем, что механические характеристики обоих сторон
трансмиссионного вала и ходовых колёс идентичны, а нагрузка
на ходовые колёса распределяется равномерно;
4) допускаем, что во всех элементах привода, кроме ходовых колёс
и их подшипников, отсутствуют потери на трение.
Ротор приводного двигателя, упругая муфта, зубчатые муфты,
трансмиссионный вал, ходовое колесо характеризуются моментами
инерции Jр, Jум, Jзм, Jтв и Jк, соответственно, редуктор – приведённым
к его тихоходному валу моментом инерции Jп, поступательно движущийся мостовой кран (включая груз) – массой m; упруго-диссипативные свойства втулочно-пальцевой муфты учитываем с помощью коэффициентов жесткости C1 и демпфирования D1, упруго-диссипативные
свойства секций трансмиссионного вала – с помощью эквивалентных
коэффициентов жесткости C2 и демпфирования D2.
Cоставим расчётную схему механической части электропривода
(рис. 1.28) в виде эквивалентной трёхмассовой системы, имеющей вращающиеся массы с моментами инерции J1 = Jр + Jум и J2 = Jп + Jтв + Jзм.
Третью массу в связи с тем, что пары ходовых колес располагаются по
обе стороны от установленного в центре редуктора, учитываем двумя
параллельно расположенными массами с приведенными к ходовому
колесу моментами инерции, которые с учётом третьего допущения можем определить, как:
1
J 3 = J к + ⋅m⋅ Rк2 ,
2
1
2
где Rк – радиус ходового колеса. Здесь множитель « » учитывает, что
динамическая нагрузка, создаваемая массой m, как и нагрузочный момент Мн, равномерно распределены на обе стороны моста.
40
Рис. 1.28. Расчётная схема механической части электропривода передвижения
мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом
На основании расчетной схемы (рис. 1.28) с учетом введённых
в рассмотрение допущений составим систему уравнений, описывающую динамику рассматриваемого трёхмассового электропривода:
1
d 2ϕ3 (t )
d ∆ϕ34 (t )
⋅ M 3( t) − J 2 ⋅
=M 4( t);
= С2 ⋅∆ϕ34 ( t) + D2 ⋅
2
2
dt
dt
1
d 2ϕ4 (t )
M 4 ( t) − ⋅M н( t) = J 2 ⋅
;
2
2
dt
d ϕ4 (t )
ωк (t ) =
;
dt
υ(t ) =ωк (t )⋅ Rк ;
∆ϕ34 (t ) =ϕ3 (t ) −ϕ4 (t );
ϕ2 (t ) =ϕ3 (t )⋅i;
∆ϕ12 (t ) =ϕ1 (t ) −ϕ2 (t );
d ϕ (t )
ωр (t ) = 1 ,
dt
d 2ϕ1 (t )
d ∆ϕ12 (t )
M 1( t) − J1 ⋅
= С1 ⋅∆ϕ12 ( t) + D1 ⋅
=M 2( t);
2
dt
dt
M 3( t) =M 2( t) ⋅i;
41
(1.40)
где φ1, φ2, φ3, φ4 – углы поворота ротора двигателя, быстроходного
вала редуктора, трансмиссионного вала, ходовых колёс, соответственно; Δφ12, Δφ34 – углы скручивания упругой втулочно-пальцевой муфты
и трансмиссионного вала; M1, M2, M3, M4 – вращающие моменты на
валу двигателя, быстроходном и тихоходном валах редуктора, ходовых
колесах, соответственно; i – передаточное число редуктора; ωк, ωр –
угловые скорости ходовых колес и ротора двигателя.
Перейдем к операторной форме записи и преобразуем систему
(1.40) к виду, удобному для построения структурной схемы математической модели электропривода передвижения мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом:
= M 2 ( p ) =∆ϕ12 ( p )⋅С1 ⋅(T1 ⋅ p +1);
D
T1 = 1 ;
C1
M3 ( p ) = M 2 ( p) ⋅i;
1
2
⋅(M 3( p) − p ⋅ J 2 ⋅ϕ3( p)) = С2 ⋅∆ϕ34 ( p) + D2 ⋅ p⋅∆ϕ34 ( p)
2
= M 4 ( p) =∆ϕ34 ( p) ⋅С2 ⋅(T2 ⋅ p +1);
D
T2 = 2 ;
C2
1
M 4 ( p ) − ⋅M н ( p) = J 2 ⋅ p 2 ⋅ϕ4 ( p);
2
ωк (t ) = p⋅ϕ4 ( p );
υ( p ) =ωк ( p )⋅ Rк ;
∆ϕ34 ( p ) =ϕ3 ( p ) −ϕ4 ( p );
ϕ2 ( p ) =ϕ3 ( p )⋅i;
∆ϕ12 ( p ) =ϕ1 ( p) −ϕ2 ( p);
ω р ( p ) = p ⋅ϕ1 ( p ),
M 1( p) − J1 ⋅ϕ1( p) ⋅ p 2 = С1 ⋅∆ϕ12 ( p) + D1 ⋅ p⋅∆ϕ12 ( p) =
(1.41)
где T1, T2 – постоянные времени, обусловленные упруго-диссипативными свойствами упругой муфты и секций трансмиссионного вала,
соединенных зубчатыми муфтами.
42
Здесь углы поворота, углы скручивания, вращающие моменты
и угловые скорости заменены их изображениями, а оператор дифференцирования
d
заменён оператором p.
dt
На основании системы уравнений (1.41) синтезируем структурную
схему математической модели электропривода (рис. 1.29).
Рис. 1.29. Структурная схема математической модели привода передвижения
мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом как объекта управления
1.6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.6.1. Общие замечания
До настоящего момента мы рассматривали объекты управления
с сосредоточенными параметрами, не учитывая изменение переменных по пространственным координатам. Однако реальные объекты
43
управления характеризуются некоторым пространственным распределением характерных параметров, чем в некоторых случаях при построении адекватной модели невозможно пренебречь.
Как уже было сказано, динамика объектов управления с распределёнными параметрами может быть описана дифференциальными
уравнениями в частных производных. Такие уравнения важно классифицировать, так как к разным типам уравнений применяются различные подходы к их решению.
Одной из основных характеристик является порядок уравнения,
который определяется наивысшим порядком частных производных,
входящих в уравнение [28].
Уравнения в частных производных (как и производных функций одной независимой переменной) могут быть линейными и нелинейными [29].
В линейные уравнения зависимая переменная и все её частные производные входят линейным образом, а именно они не умножаются друг на
друга, не возводятся в степень и т.д. Линейным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида:
∂ 2u ( x,t )
∂ 2u ( x,t )
∂ 2u ( x,t )
∂u ( x,t )
∂u ( x,t )
A⋅
+ B⋅
+C ⋅
+ D⋅
+ E⋅
+ F ⋅u ( x,t ) = G , (1.42)
2
2
∂x
∂x ∂t
∂t
∂x
∂t
где A, B, C, D, E, F, G – константы или заданные функции переменных
x и t; u – переменная, зависящая от x и t.
Уравнение (1.42) называется однородным, если правая часть G(x,t)
тождественно равна нулю для всех x и t. В противном случае уравнение неоднородное.
Если A, B, C, D, E, F, G постоянны, то (1.42) является уравнением
с постоянными коэффициентами, иначе – уравнением с переменными
коэффициентами.
Линейные уравнения с частными производными второго порядка вида (1.42) принадлежат к одному из трёх типов: параболическому,
гиперболическому или эллиптическому [12, 29].
Уравнения параболического типа описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются условием B 2 − 4⋅ A⋅C = 0 .
Уравнения гиперболического типа описывают колебательные системы и волновые движения и определяются условием B 2 − 4⋅ A⋅C > 0 .
Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся процессы и определяются условием B 2 − 4⋅ A⋅C < 0.
44
В случае переменных коэффициентов тип уравнения может быть
различным в разных точках.
Здесь исследуем объекты управления с распределёнными параметрами, динамика которых может быть описана линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого и второго
(параболического типа) порядков с постоянными коэффициентами.
При этом ограничимся рассмотрением моделей, учитывающих распределение параметров только по одной пространственной координате.
Следует отметить, что в дальнейшем будем применять преобразование Лапласа, которое позволит перейти к решению обыкновенных
дифференциальных уравнений [30].
В следующих пунктах рассмотрим примеры моделирования объектов, динамика которых описывается следующими видами уравнений:
- п. 1.6.2 – линейными однородным и неоднородным дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка;
- п. 1.6.3 – линейным неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка;
- п. 1.6.4 – линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка;
- п. 1.6.5 – линейным неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.
1.6.2. Идентификация проточного резервуара
как объекта управления с распределёнными параметрами
Рассмотрим два случая математического моделирования проточного резервуара как объекта с распределёнными параметрами.
Первый случай. Проанализируем динамику проточного резервуара
длиной L (рис. 1.30), который полностью теплоизолирован, т.е. теплообмен с окружающей средой отсутствует. Состояние объекта характеризуется температурой Θ(x,t) жидкости в произвольном сечении x∈[0;L ] .
При моделировании также допускаем, что:
1) температура Θ имеет одинаковые значения в любой точке плоскости yz при определённом фиксированном значении координаты x, т.е. достаточно наблюдать динамику параметров только
по оси x;
2) резервуар представляет собой реактор идеального вытеснения,
поэтому не учитываем продольную теплопроводность;
45
3) скорость течения жидкости υ остается постоянной по координате x.
Рис. 1.30. Расчётная схема теплоизолированного проточного резервуара
как объекта управления с распределёнными параметрами
Динамика представленного объекта с учётом принятых допущений может быть описана следующим уравнением в частных производных первого порядка:
∂Θ( x,t )
∂Θ( x,t )
.
=−υ⋅
∂t
∂x
(1.43)
Применяя к уравнению (1.43) преобразование Лапласа, получим:
p⋅Θ( x, p ) =−υ⋅
d Θ( x, p )
dx
или
υ⋅
d Θ( x, p )
+ p ⋅Θ( x, p ) = 0 .
dx
(1.44)
Уравнение (1.44) является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение:
Θ( x, p ) = A⋅eσ⋅x ,
(1.45)
где A – постоянная интегрирования, определяемая граничным условием; σ – корень характеристического уравнения υ⋅σ+ p = 0,
σ=−
p
.
υ
46
(1.46)
С учётом (1.46) уравнение (1.45) примет вид:
Θ( x, p ) = A⋅e
p
− ⋅x
υ
.
Исходя из граничного условия при x = 0:
Θ(0, p ) =Θвх ( p),
где Θвх(p) – известная функция изменения во времени температуры входящей в резервуар жидкости, определим постоянную интегрирования.
Так как на этой границе e
p
− ⋅x
υ
= e0 =1, то:
A =Θ(0, p ) =Θвх ( p ) .
Можем записать функцию распределения температуры жидкости:
Θ( x, p ) =Θвх ( p)⋅e
−
p
⋅x
υ
=Θвх ( p)⋅WΘвх →Θ ( x, p),
где WΘвх →Θ ( x, p ) – передаточная функция, связывающая температуру
жидкости на входе с температурой в любом сечении резервуара,
Θ( x, p ) − υp ⋅x −τ ( x )⋅ p
;
WΘвх →Θ ( x, p ) =
=e
=e
Θвх ( p )
(1.47)
τ – время запаздывания,
x
τ( x) = .
υ
Как видно, выражение (1.47), описывающее динамику рассматриваемого объекта, представляет собой передаточную функцию звена
запаздывания. Т.е. изменение температуры жидкости на входе резервуара передается без искажений с задержкой по времени τ.
В частном интересующем нас случае для выходного сечения
x = L, учитывая, что температура жидкости на выходе резервуара
Θвых ( p ) =Θ( L, p ) :
Θвых ( p ) =Θвх ( p )⋅WΘвх →Θ ( L, p ) =Θвх ( p)⋅e − τ ( L ) ⋅ p ;
L
τ( L) = .
υ
47
Рассмотрим второй случай. Здесь найдём математическое описание аналогичного первому случаю проточного резервуара объемом V
(рис. 1.31), но в котором присутствует теплообмен через стенки с окружающей средой, имеющей температуру Θос(p).
Рис. 1.31. Расчётная схема неизолированного проточного резервуара
как объекта управления с распределёнными параметрами
Введём ряд допущений (некоторые из которых совпадают с первым случаем):
1) температура Θ имеет одинаковые значения в любой точке плоскости yz при определённом фиксированном значении координаты x,
т.е. достаточно наблюдать динамику параметров только по оси x;
2) резервуар представляет собой реактор идеального вытеснения,
поэтому не учитываем продольную теплопроводность;
3) скорость течения жидкости υ остается постоянной по координате x;
4) температура окружающей среды одинакова во всех точках пространства, а значит, не изменяется по координате x;
5) считаем, что стенки резервуара достаточно тонкие, поэтому пренебрегаем их теплоаккумулирующими свойствами;
6) допускаем, что коэффициент теплопередачи k не зависит от скорости υ;
7) принимаем, что теплоёмкость c и плотность ρ жидкости не зависят от её температуры.
В такой постановке задачи динамика объекта может быть описана
следующим уравнением:
∂Θ( x,t )
∂Θ( x,t ) k ⋅S
=−υ⋅
−
⋅[Θ( x,t ) −Θос (t )],
∂t
∂x
ρ⋅с⋅V
где S – площадь поверхности теплообмена.
48
Переходя к изображениям по Лапласу, получим:
p⋅Θ( x, p ) =−υ⋅
d Θ( x, p ) k ⋅ S
−
⋅[Θ( x, p ) −Θос ( p)].
ρ⋅с⋅V
dx
Или после некоторых преобразований:
υ⋅
d Θ( x, p )
k ⋅S
k ⋅S
+p+
⋅Θ
=
⋅Θос ( p) .
(
x
,
p
)
dx
ρ⋅с⋅V
ρ⋅с⋅V
(1.48)
Уравнение (1.48) представляет собой обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Общее
аналитическое точное решение такого уравнения является суммой вынужденной Θвын(p) и свободной Θсв(х,p) составляющих:
Θ( x, p ) =Θвын ( p ) +Θсв ( x, p) .
(1.49)
Вынужденная составляющая определяется правой частью уравнения (1.48). Так как Θвын(p) не зависит от переменной x, будем искать её
в виде константы:
Θвын ( p ) = A0 = const .
(1.50)
Для определения A0 подставим Θвын(p) в (1.48). Тогда:
k ⋅S
k ⋅S
p + ρ⋅с⋅V ⋅Θвын ( p ) = ρ⋅с⋅V ⋅Θос ( p) ,
откуда с учётом (1.50):
k ⋅S
1
ρ⋅с⋅V
A0 =Θвын ( p ) =
⋅Θос ( p) =
⋅Θос ( p ),
k ⋅S
1
T
⋅
p
+
p+
ρ⋅с⋅V
(1.51)
где T – постоянная времени,
T=
ρ⋅с⋅V
.
k ⋅S
Вид Θсв(х,p) определяется корнем характеристического уравнения,
соответствующего (1.48):
k ⋅F
υ⋅σ+ p +
= 0.
ρ⋅с⋅V
49
Его корень:
1
k ⋅S
.
σ=− ⋅ p +
υ ρ⋅с⋅V
Таким образом, свободная составляющая:
σ⋅x
Θсв ( x, p ) = A⋅e = A⋅e
1
k⋅S
− ⋅p +
⋅x
υ ρ⋅сV
⋅
.
(1.52)
Подставляя в (1.49) выражения (1.51) и (1.52), получим общее решение уравнения (1.48):
1
k⋅S
− ⋅p +
⋅x
1
υ ρ⋅сV
⋅
Θ( x, p ) =
⋅Θос ( p ) + A⋅e
.
T ⋅ p +1
(1.53)
Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся
граничным условием при x = 0:
Θ(0, p ) =Θвх ( p) .
Тогда уравнение (1.53) при x = 0 имеет вид:
Θ(0, p ) =Θвх ( p ) =
1
⋅Θос ( p ) + A .
T ⋅ p +1
Откуда:
A =Θвх ( p ) −
1
⋅Θос ( p ) .
T ⋅ p +1
(1.54)
Подставляя (1.54) в (1.53), получим:
1
k⋅F
− ⋅ p + ⋅ x
1
1
Θ( x, p ) =
⋅Θос ( p ) + Θвх ( p) −
⋅Θос ( p) ⋅e υ ρ⋅сV⋅
T ⋅ p +1
T ⋅ p +1
или после некоторых преобразований:
Θ( x, p ) = e
x
− ⋅p
υ
⋅e
x k⋅F
− ⋅
υ ρ⋅сV
⋅
x k⋅F
1 − υx ⋅ p − υ ⋅ ρ⋅сV⋅
⋅Θвх ( p ) +
⋅1− e
⋅e
T ⋅ p +1
⋅Θос ( p ) =
=WΘвх →Θ ( x, p )⋅Θвх ( p ) +WΘос →Θ ( x, p )⋅Θос ( p ) ,
(1.55)
где WΘвх→Θ ( x, p ) – передаточная функция, связывающая температуру
жидкости на входе с температурой в любом сечении резервуара:
x k⋅F
k⋅F
− τ ( x )⋅
Θ( x, p ) − υp ⋅x − υ ⋅ ρ⋅сV⋅
ρ⋅сV
⋅
;
WΘвх →Θ ( x, p ) =
= e ⋅e
= e − τ ( x )⋅ p ⋅e
Θвх ( p )
50
(1.56)
WΘос →Θ ( x, p ) – передаточная функция, связывающая температуру окружающей среды с температурой жидкости в любом сечении резервуара:
x k⋅F
1 − υx ⋅ p − υ ⋅ ρ⋅сV⋅
Θ( x, p )
=
⋅1− e
⋅e
WΘос →Θ ( x, p ) =
Θос ( p ) T ⋅ p +1
k⋅F
1 − τ ( x )⋅ p − τ ( x )⋅ ρ⋅сV⋅
=
⋅1− e
⋅e
T ⋅ p +1
=
.
Как видно, передаточная функция (1.56) отличается от передаточной функции (1.47) того же канала управления для первого случая
x k⋅F
− ⋅
υ ρ⋅сV
⋅
наличием комплекса e
, учитывающего тепловые потери в окружающую среду по длине резервуара.
Принимая обозначенный резервуар за объект управления, считаем
выходной координатой температуру жидкости на выходе резервуара
Θвых(p), управляющим воздействием – температуру Θвх(p), возмущением – температуру Θос(p). Обобщенная структура такого объекта управления представлена на рис. 1.32.
Рис. 1.32. Обобщённая структурная схема проточного резервуара
как объекта управления
Динамика интересующей нас выходной координаты будет определяться выражением (1.55) для сечения x = L:
Θвых ( p ) =Θ( L, p ) =
=WΘвх →Θ ( L, p )⋅Θвх ( p ) +WΘос →Θ ( L, p )⋅Θос ( p )
=e
−τ ( L ) ⋅ p
⋅e
−τ ( L ) ⋅
k⋅F
ρ⋅сV
⋅
k⋅F
1 −τ ( L )⋅ p −τ ( L )⋅ ρ⋅сV⋅
⋅Θвх ( p ) +
⋅1− e
⋅e
T ⋅ p +1
⋅Θос ( p ).
(1.57)
На основании уравнения (1.57) можем построить структурную
схему математической модели объекта управления (рис. 1.33).
51
Рис. 1.33. Структурная схема математической модели
проточного резервуара как объекта управления
1.6.3. Идентификация процесса увлажнения керамической массы
перед глинорастирателем как объекта управления
с распределёнными параметрами
В настоящее время на предприятиях по производству строительной керамики для перемешивания и гомогенизации керамической
массы большое распространение получили глинорастиратели [27, 31].
Рассмотрим процесс предварительного увлажнения керамической
массы перед глинорастирателем при производстве кирпича по схеме,
представленной на рис. 1.34 [32]. Керамическая масса с исходной влажностью wвх(t) при помощи ленточного питателя 1 транспортируется
вдоль его продольной оси x к глинорастирателю 2. При этом во время движения ленты (а следовательно, и глины) со скоростью υл масса
увлажняется путём добавления воды, поступающей через отверстия
перфорированной трубки 3. Массовый расход Gв(t) воды равномерно
распределён по всей длине L питателя. Керамическая масса, сбрасываемая с ленты питателя в чашу глинорастирателя имеет влажность
wвых(t). Состояние объекта характеризуется влажностью w(x,t) керамической массы в произвольном сечении x∈[0; L].
При математическом моделировании приведённого объекта целесообразно ввести ряд допущений:
1) при подаче воды в глину допускаем, что влага мгновенно и равномерно распределяется в сечении уz при любом фиксированном значении х, т.е. достаточно наблюдать динамику параметров только по оси x;
52
2) считаем, что плотность ρ керамической массы не изменяется
при вариации влажности сырья;
3) принимаем, что объём V глины, находящейся на ленте, остаётся
постоянным;
4) рассматриваем режим работы питателя, в котором скорость υл
ленты не изменяется;
5) допускаем, что расход керамической массы значительно больше
расхода добавляемой в неё воды.
Рис. 1.34. Расчётная схема процесса увлажнения керамической массы
перед глинорастирателем при производстве кирпича как объекта управления
с распределёнными параметрами
Учитывая принятые допущения, динамику изменения влажности
глины на ленте питателя вдоль оси x опишем уравнением массопереноса в движущемся потоке при отсутствии перемешивания, которое
для рассматриваемого процесса имеет вид:
∂ w( x, t )
∂ w( x, t ) Gв (t )
= −υл ⋅
+
.
∂t
∂x
V ⋅ρ
53
(1.58)
Принимая начальные условия нулевыми, используем математический аппарат преобразований Лапласа. Тогда уравнение (1.58) запишется в виде:
p ⋅ w( x, p ) = −υл ⋅
d w( x, p ) Gв ( p )
+
dx
V ⋅ρ
или
G ( p)
d w( x, p )
+ p ⋅ w( x, p ) = в
.
(1.59)
dx
V ⋅ρ
Уравнение (1.59) – это обыкновенное линейное неоднородное
дифференциальное уравнение первого порядка, общее аналитическое решение которого:
w( x, p ) = wвын ( p ) + wсв ( x, p ),
(1.60)
где wвын(p) и wсв(х,p) – вынужденная и свободная составляющие, соответственно.
υл ⋅
Вынужденная составляющая:
wвын ( p ) = A0 = const .
Для определения A0 подставим wвын(p) в (1.59). Тогда:
Gв ( p )
,
V ⋅ρ⋅ p
wвын ( p ) =
откуда:
A0 = wвын ( p ) =
Gв ( p )
.
V ⋅ρ⋅ p
(1.61)
Вид wсв(х,p) определяется корнем характеристического уравнения:
υл ⋅ σ + p = 0 .
Его корень:
p
σ=− .
υл
Таким образом, свободная составляющая:
σ⋅x
wсв ( x, p ) = A⋅e = A⋅e
−
x
⋅p
υл
.
(1.62)
Подставляя в (1.60) выражения (1.61) и (1.62), получим общее решение уравнения (1.59):
x
− ⋅p
1
w( x, p ) =
⋅Gв ( p ) + A⋅e υл .
V ⋅ρ⋅ p
(1.63)
Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся
граничным условием при x = 0:
w(0, p ) = wвх ( p ) .
54
Уравнение (1.63) для сечения x = 0 имеет вид:
w(0, p ) = wвх ( p ) =
1
⋅Gв ( p ) + A.
V ⋅ρ⋅ p
Откуда:
A = wвх ( p ) −
1
⋅Gв ( p ) .
V ⋅ρ⋅ p
(1.64)
Подставляя (1.64) в (1.63), получим:
x
− ⋅p
1
1
w( x, p ) =
⋅Gв ( p ) + wвх ( p ) −
⋅Gв ( p ) ⋅e υл
V ⋅ρ⋅ p
V ⋅ρ⋅ p
или после некоторых преобразований:
w( x, p ) = e
−
x
⋅p
υл
x
1 − υл ⋅ p
⋅wвх ( p ) +
⋅1− e
⋅Gв ( p ) =
V ⋅ρ⋅ p
=Wwвх → w ( x, p )⋅ wвх ( p ) +WGв → w ( x, p )⋅Gв ( p ) ,
(1.65)
где Wwвх → w ( x, p ) – передаточная функция, связывающая влажность
керамической массы на входе с влажностью в любом сечении слоя глины на питателе:
x
w( x, p ) − υл ⋅ p − τ ( x )⋅ p
Wwвх → w ( x, p ) =
=e
=e
;
wвх ( p )
τ – время запаздывания, τ( x) =
x
;
υл
WGв → w ( x, p ) – передаточная функция, связывающая расход воды с влажностью в любом сечении слоя глины на питателе:
x
w( x, p )
1 − υл ⋅ p
1
WGв → w ( x, p ) =
=
⋅1− e
⋅(1− e − τ ( x )⋅ p ) .
=
Gв ( p ) V ⋅ρ⋅ p
V ⋅ρ⋅ p
Проанализируем частный случай, когда за выходную координату
принимаем влажность wвых(p), управление которой осуществляется
путём изменения расхода Gв(p) воды с помощью регулируемого клапана. Основное возмущение – влажность wвх(p) глины, поступающей
на питатель. В такой постановке задачи структурная схема объекта
управления принимает вид, представленный на рис. 1.35.
55
Рис. 1.35. Обобщённая структурная схема процесса увлажнения
керамической массы перед глинорастирателем при производстве кирпича
как объекта управления
Динамика выходной координаты будет определяться выражением
(1.65) для сечения x = L:
wвых ( p ) = w( L, p ) =
=Wwвх → w ( L, p )⋅wвх ( p ) +WGв → w ( L, p )⋅Gв ( p ) =
= e − τ ( L ) ⋅ p ⋅ wвх ( p ) +
1
⋅(1− e − τ ( L ) ⋅ p )⋅Gв ( p ) .
V ⋅ρ⋅ p
(1.66)
На основании уравнения (1.66) синтезируем структурную схему
математической модели объекта управления (рис. 1.36).
Рис. 1.36. Структурная схема математической модели процесса увлажнения
керамической массы перед глинорастирателем при производстве кирпича как
объекта управления
56
1.6.4. Идентификация регенератора активного ила
как объекта с распределёнными параметрами
В настоящее время одной из актуальных и одновременно трудных
задач является определение наиболее эффективных методов и средств
управления сооружениями очистки сточных вод, так как именно от
их работы в значительной степени зависит экологическое состояние
множества водоемов и окружающей среды в целом [11, 33, 34]. Особенно сложен в этом отношении процесс биологической очистки жидких
отходов промышленных предприятий. Покажем подход к математическому описанию регенератора как динамического элемента системы
рециркуляции активного ила при биологической очистке сточных вод.
Биологическая очистка сточных вод представляет собой сложный
многостадийный технологический процесс, осуществляемый комплексом установок, состав которого индивидуален для каждого типа
стоков. В частности очистка высококонцентрированных сточных вод
предполагает осуществлять регенерацию активного ила [35]. Рассмотрим процесс обработки сточных вод промышленного предприятия
в аэротенке-смесителе с регенератором (рис. 1.37), которые реализованы в виде прямоугольного резервуара, разделенного перегородками
на три коридора [36]. Два крайних коридора отведены под аэротенки-смесители 1, которые характеризуются равномерными вдоль длинных сторон подачей с расходом Q сточной воды и отводом с расходом
Qи во вторичный отстойник иловой смеси. Центральный коридор выступает в качестве регенератора 2, где возвращаемый из вторичного
отстойника активный ил восстанавливает сорбционную и окислительную способности. Регенератор имеет центральный канал I, в начало
которого из вторичного отстойника сосредоточенно подается рециркуляционный ил расходом Qи.р с концентрацией Си.р.о(t), и два боковых
распределительных канала II, откуда равномерно вдоль длинных сторон коридора через придонные отверстия 3 ил нагнетается в коридоры
аэротенков-смесителей. Для снабжения микроорганизмов кислородом
и поддержания ила во взвешенном состоянии через блоки аэраторов 4
подается воздух – в аэротенки общим расходом Qв, а в регенератор –
расходом Qв.р (при этом в центральный канал поступает Qв.рI, в каждый
из распределительных – Qв.рII). Так как в регенератор не подаются сточные воды, в нём наблюдается более высокая концентрация активного
ила, чем в аэротенках.
57
Рис. 1.37. Расчётная схема регенератора активного ила
Синтез математической модели регенератора активного ила будем
осуществлять с учетом ряда допущений и упрощений:
1) допускаем, что концентрации ила в центральном и распределительных каналах имеют одинаковые значения в плоскостях yI zI
и yII zII при фиксированных значениях координат xI и xII, соответственно; поэтому будем наблюдать динамику параметров только по осям xI и xII;
2) принимаем, что обеспечиваются сосредоточенные подача иловой смеси из вторичного отстойника в центральный канал в точке xI = 0 и переток иловой смеси из центрального канала в распределительные в точке xII = 0;
3) считаем, что средние скорости течения иловой смеси υI в центральном и распределительных υII каналах остаются постоянными и не изменяются по координатам xI и xII;
4) аэрация иловой смеси осуществляется равномерно по объемам
каналов регенератора;
58
5) так как в регенераторе наблюдается слабый прирост биомассы
активного ила [37], допускаем, что концентрация ила в нем изменяется только при вариации Си.р.о(t).
Регенератор характеризуется динамикой пространственного распределения концентраций активного ила Си.р.I(xI,t) и Си.р.II(xII,t) в его каналах вдоль осей xI и xII. С учетом принятых допущений рассматриваемый процесс (как в центральном, так и в распределительных каналах)
можно описать однопараметрическим уравнением конвективной диффузии [36]:
∂Си.р.i ( xi , t )
∂t
= Di ⋅
∂ 2Си.р.i ( xi , t )
∂xi2
− υi ⋅
∂Си.р.i ( xi , t )
∂xi
,
(1.67)
где i ∈ I, II (I соответствует центральному каналу, II – распределительным); Di – коэффициент продольной турбулентной диффузии:
α3
α4
α5
L H f
Di = α 0 ⋅ υi ⋅ L ⋅ Re ⋅ Re ⋅ ⋅ ⋅ i ;
Bi Bi Bi
α1
1i
α2
2i
α0, α1, α2, α3, α4, α5 – постоянные величины; L и Bi – длина и ширина
канала; H – глубина слоя иловой смеси в регенераторе; f i – ширина
полосы аэрации в канале; Re1i – критерий Рейнольдса, определяемый
интенсивностью аэрации Ii и характеризующий турбулентность в поперечном сечении канала регенератора:
Re1i =
Ii ⋅ H
;
ν
ν – кинематическая вязкость иловой смеси;
Ii =
kвi =
kвi ⋅ Qв .р
Bi ⋅ L
=
kвi ⋅ Qв
;
Bi ⋅ L
Bi
; Re2i – критерий Рейнольдса, определяемый скоростью
BI + 2 ⋅ BII
течения жидкости:
υi ⋅ H
;
v
ki ⋅ Qи .р
Re2i =
υi =
Bi ⋅ H
;
kI = 1, kII = 0.5; xi – продольная координата i-го канала; xi ∈[0i ; L] .
59
Считая начальные условия нулевыми и применяя к уравнению
(1.67) преобразование Лапласа, получим [36]:
p ⋅ Си.р.i ( xi , p ) = Di ⋅
Di ⋅
dxi2
2
i
dx
− υi ⋅
dСи.р.i ( xi , p )
или
2
d Си.р.i ( xi , p )
d 2Си.р.i ( xi , p )
− υi ⋅
dСи.р.i ( xi , p )
dxi
dxi
− p ⋅ Си.р.i ( xi , p ) = 0 .
(1.68)
Уравнение (1.68) представляет собой обыкновенное линейное
однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее
решение имеет вид:
Си.р.i ( xi , p ) = Ai.1 ⋅ eσi .1 ( p )⋅xi + Ai.2 ⋅ eσi .2 ( p )⋅xi ,
(1.69)
где Ai.1 и Ai.2 – постоянные интегрирования.
Характеристическое уравнение (1.68):
Di ⋅ σi2 − υi ⋅ σi − p = 0 ,
а его корни:
υi + υi2 + 4 ⋅ Di ⋅ p
σi.1 ( p ) =
;
2 ⋅ Di
υi − υi2 + 4 ⋅ Di ⋅ p
σi.2 ( p) =
.
2 ⋅ Di
Для нахождения частного решения воспользуемся граничными
условиями, записанными в изображениях по Лапласу:
− Di ⋅
dСи.р.i ( xi , p )
dxi
xi =0i
dСи.р.i ( xi , p)
dxi
= υi ⋅ Си.р.вх.i ( p) − Си.р.i ( xi , p)
= 0.
xi = L
;
xi =0i
При этом Си.р.вх.I ( p ) = Си.р.о ( p ) и Си.р.вх.II ( p ) = Си.р.I ( L, p ).
Подставив выражение (1.69) в систему (1.70), получим:
− Di ⋅ [ Ai.1 ⋅ σi.1 ( p ) + Ai.2 ⋅ σi.2 ( p ) ] = υi ⋅ Си.р.вх.i ( p) − Ai.1 − Ai.2 ;
Ai.1 ⋅ σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L + Ai.2 ⋅ σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L = 0.
60
(1.70)
или
D
D
Ai.1 1 − i ⋅ σi.1 ( p ) + Ai.2 ⋅ 1 − i ⋅ σi.2 ( p ) = Си.р.вх.i ( p);
υi
υi
Ai.1 ⋅ σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L + Ai.2 ⋅ σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L = 0.
Решаем последнюю систему относительно Ai.1 и Ai.2 методом Крамера:
det
Си.р.вх.i ( p )
1−
Di
⋅ σi.2 ( p )
υi
σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L
;
Ai.1 =
Di
Di
1 − ⋅ σi.1 ( p) 1 − ⋅ σi.2 ( p)
υi
υi
det
σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L
0
det
1−
Di
⋅ σi.1 ( p )
υi
Си.р.вх.i ( p)
σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L
0
,
Ai.2 =
Di
Di
1 − ⋅ σi.1 ( p ) 1 − ⋅ σi.2 ( p)
υi
υi
det
σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L
где det – определитель матрицы.
После нахождения определителей и некоторых преобразований:
−σi.2 ( p ) ⋅ eσi .2 ( p )⋅L
;
Ai.1 =
p σi .1 ( p )⋅L
p σi .2 ( p )⋅L
+ σi.2 ( p ) + ⋅ e
σi.1 ( p ) + ⋅ e
υi
υi
σi.1 ( p ) ⋅ eσi .1 ( p )⋅L
Ai.2 =
.
p σi .1 ( p )⋅L
p σi .2 ( p )⋅L
+ σi.2 ( p ) + ⋅ e
σi.1 ( p ) + ⋅ e
υ
υi
i
(1.71)
(1.72)
Подставим (1.71) и (1.72) в (1.69):
Си .р .i ( xi , p ) =
σ i.1( p ) ⋅ eσ
⋅ eσ i .2 ( p )⋅xi − σ i.2 ( p ) ⋅ eσ i .2 ( p )⋅L ⋅ eσ i .1 ( p )⋅xi
.
p σ i .1 ( p )⋅L
p σ i .2 ( p )⋅L
+ σ i.2 ( p ) + ⋅ e
σ i.1( p ) + ⋅ e
υ
υi
i
i .1 (
p )⋅L
61
(1.73)
Выражение (1.73) позволяет получить изображения концентраций
Си.р.I(xI,p) и Си.р.II(xII,p) в любом произвольном сечении xI и xII каналов
регенератора в зависимости от концентраций Си.р.о(p) и Си.р.I(L,p). Откуда соответствующие передаточные функции:
Си.р.I ( xI , p )
Си.р.о ( p )
σI.1 ( p )⋅L +σI.2 ( p )⋅ xI
σ I .2 ( p )⋅L +σ I .1 ( p )⋅ xI
σI.1 ( p ) ⋅ e
− σ I .2 ( p ) ⋅ e
=
;
p σI.1 ( p )⋅L
p σI.2 ( p )⋅L
+ σI.2 ( p ) + ⋅ e
σI.1 ( p ) + ⋅ e
υI
υI
Си.р.II ( xII , p )
Wр.II ( xII , p ) =
=
Си.р.I ( L, p )
σII.1 ( p )⋅L +σII.2 ( p )⋅ xII
σII.2 ( p )⋅L +σII.1 ( p )⋅ xII
− σII.2 ( p ) ⋅ e
σ ( p) ⋅ e
.
= II.1
p σII.1 ( p )⋅L
p σII.2 ( p )⋅L
+ σ II.2 ( p ) +
σII.1 ( p ) +
⋅e
⋅e
υ
υ
II
II
W р.I ( xI , p ) =
=
Как было показано выше, переток активного ила из регенератора
в аэротенки осуществляется по всей длине распределительных каналов. С учетом того, что в переходных режимах концентрация Си.р.II очевидно будет отличаться по координате xII, определим концентрацию
активного ила в потоке, поступающем в аэротенк-смеситель, как среднее по длине L резервуара значение концентрации ила С и .р .II в распределительном канале регенератора. Передаточную функцию, соответствующую динамике этого параметра, определим как:
С и.р.II ( p ) 1 L
W р.II ( p ) =
= ⋅ ∫ Wр.II ( xII , p ) dxII =
Си.р.I ( L, p )
υII ⋅L
DII
L
υII ⋅L
DII
DII
σ ( p ) ⋅ (e − e
) −σ ( p ) ⋅(e − eσII.2 ( p )⋅L )
=
⋅
.
L ⋅ p σ ( p ) ⋅eσII.2 ( p )⋅L −σ ( p ) ⋅eσII.1 ( p )⋅L − p ⋅(eσII.1 ( p )⋅L − eσII.2 ( p )⋅L )
II.2
II.1
υII
2
II.1
σII.1 ( p )⋅L
0
2
II.2
(1.74)
Исходя из конструкции регенератора активного ила и технологических особенностей очистки сточных вод, динамика процесса может
быть описана передаточной функцией вида:
Wр ( p ) =
С и.р.II ( p)
Си.р.о ( p )
= Wр.I ( L, p ) ⋅
W р.II ( p ) ,
(1.75)
где Wр.I(L,p) – передаточная функция центрального канала регенератора, связывающая концентрацию ила Си.р.I на его выходе (т.е. на рас62
стоянии L от места подачи активного ила из вторичного отстойника)
с величиной Си.р.о:
Wр.I ( L, p ) =
Си.р.I ( L, p )
Си.р.о ( p )
==
L ⋅υI
DI
[σI.1 ( p ) −σI.2 ( p)]⋅e
.
p σI.1 ( p )⋅L
p σI.2 ( p )⋅L
+ σ I.2 ( p) + ⋅e
σI.1 ( p ) + ⋅e
υ
υI
I
(1.76)
Аналитические зависимости (1.74) и (1.76) представляют собой
трансцендентные передаточные функции [38], для дальнейшего использования которых при анализе объекта управления и синтезе систем
автоматизации технологического процесса биологической очистки
сточных вод существующими методами их целесообразно аппроксимировать набором типовых динамических звеньев. Методика решения
этой задачи будет представлена в следующих разделах.
1.6.5. Идентификация технологического процесса перемешивания
керамической массы в глиносмесителе как объекта управления
с распределёнными параметрами
Найдём математическое описание ещё одного процесса, являющегося элементом технологической цепочки производства кирпича, –
перемешивания керамической массы в глиносмесителе, который необходим не только для получения однородной смеси, но и для обеспечения стабильных значений её влажности и температуры.
Рассмотрим особенности подготовки керамической смеси в двухвальном лопастном глиносмесителе. Он представляет собой [39]
(рис. 1.38) корыто 1, плотно закрытое крышкой, имеющей специальный загрузочный люк 2, в который подается глина и добавочная вода.
Внутри корыта находятся смесительные валы 3 и гребень 4. Пар подводится трубопроводом 5 и равномерно распределяется по длине смесителя через отверстия в гребне. В каждом из валов 3 можно выделить
два участка: первый – он оснащен лопатками 6, расположенными по
винтовой линии, и второй – на нем размещены винтовые лопасти 7,
образующие непрерывный винт.
Под объектом управления будем понимать совокупность процессов доувлажнения, перемешивания и изменения температуры глиняной массы в смесителе по мере её перемещения со скоростью υx вдоль
оси x. Текущее состояние объекта определяется значениями влажно63
сти wс(x,t) и температуры Θс(x,t) керамической массы в произвольном
сечении x ∈[ 0; L ] .
Рис. 1.38. Расчётная схема процесса перемешивания керамической массы
в глиносмесителе как объекта управления с распределёнными параметрами
Считаем, что смеситель оснащен исполнительными устройствами,
позволяющими регулировать массовые расходы пара Gп(t) и добавочной воды Gдв(t). Их принимаем за управляющие воздействия на объект
автоматизации.
За основные возмущения принимаем влажность wгл(t) и Θгл(t) загружаемой глины. Требуется найти операторы исследуемого объекта
управления в виде передаточных функций, связывающие выходные
координаты с управляющими и возмущающими воздействиями.
При моделировании введем ряд допущений и упрощений:
1) принимаем, что скорость υx движения керамической массы остается постоянной вдоль оси x;
2) учитывая, что корпус смесителя оснащен теплоизоляционной рубашкой, пренебрегаем потерями теплоты в окружающую среду;
3) конструкция рассматриваемого смесителя обеспечивает сосредоточенную в пространстве подачу добавочной воды в точке
x = 0 и равномерно распределенную вдоль оси x подачу пара;
координата х отсчитывается от места загрузки массы в смеситель (х = 0), а место выхода массы из смесителя будет иметь
значение х = L;
4) температуру добавочной воды Θдв принимаем постоянной;
64
5) используем известное [39] допущение, что при вливании добавочной воды в сечении х = 0 происходит дискретное изменение
влажности wвх(t) и температуры Θвх(t) смеси на входе, определяемые выражениями:
Gгл ⋅ wгл (t ) + Gдв (t )
;
Gгл + Gдв (t )
G ⋅ c ⋅ Θ (t ) + G дв (t ) ⋅ cв ⋅ Θ дв
,
Θвх (t ) = гл гл гл
Gгл ⋅ cгл + G дв (t ) ⋅ cв
wвх (t ) =
где Gгл – массовый расход загружаемой глины плотностью ρгл;
cв и cгл – удельные теплоёмкости воды и глины;
6) учитывая, что объёмы вносимых в керамическую массу воды
и пара составляют незначительную долю общего объёма смеси, допускаем, что вариация влажности не приводит к изменению плотности ρс, удельной теплоёмкости cс и массового расхода Gс керамической смеси (т.е. cс = cгл = const, ρс = ρгл = const,
Gс = Gгл = const);
7) в рассматриваемой установке вода переходит из одного фазового состояния, кроме того, часть пара не конденсируется и уходит
в окружающую среду; это требует введения в математическое
описание ряда факторов, связанных с фазовым равновесием, что
значительно усложнило бы модель, поэтому здесь для упрощения обозначенные условия учтём некоторыми безразмерными
поправочными коэффициентами kпw и kпΘ;
8) допускаем, что температура и влажность смеси имеют одинаковые значения во всех точках плоскости уz при фиксированном
значении координаты х, т.е. достаточно наблюдать динамику
параметров только вдоль оси x.
Процесс перемешивания глиняной массы в смесителе характеризуется динамикой пространственного распределения влажности и
температуры смеси вдоль оси x. С учётом принятых допущений эти
процессы, применительно к равномерно распределённому по длине
смесителя характеру подачи пара, можно описать следующей системой дифференциальных уравнений массопереноса и теплопроводности в движущемся потоке [39]:
∂Θс ( x,t )
∂ 2 Θc ( x,t )
∂Θc ( x,t )
=λ x ⋅
− υ x ⋅cc ⋅ρc ⋅
+ q( x,t ),
сa ⋅
∂t
∂ x2
∂x
∂ wс ( x,t )
∂ 2 wс ( x,t )
∂ w ( x,t )
= Dx ⋅
− υx ⋅ с
+ u (t );
2
∂t
∂х
∂х
65
(1.77)
где Dx и λ x – коэффициенты продольного перемешивания и продольной
теплопроводности керамической массы; u – скорость изменения влажности керамической массы за счёт поступления пара:
u (t ) =
Gn (t )⋅knw
;
Vс ⋅ρс
q – объёмная тепловая мощность потока вносимого пара:
q ( x,t ) =
Gn (t )⋅knΘ ⋅[cn ⋅(Θ n −Θ к ) + r + cв ⋅(Θк −Θc ( x,t ))]
;
Vс
cп – удельная теплоемкость пара; Θк – температура конденсации пара;
r – удельная теплота парообразования; Vс – объём керамической массы, находящейся в смесителе; ca – усреднённая объёмная теплоёмкость
смесителя, cа = сm ⋅α m ⋅ρm + cс ⋅α с ⋅ρс ; сm и ρm – теплоёмкость и плотность
материала внутренних конструкций смесителя, соответственно; αm
и αс – доли общего объёма, занимаемые внутренними конструкциями
смесителя и керамической массой, соответственно.
Применяя к уравнению (1.77) преобразование Лапласа, получим:
2
d Θ c ( x, p )
d Θ c ( x, p )
− υ x ⋅cc ⋅ρc ⋅
+ q ( x, p ),
сa ⋅ p⋅Θс ( x, p ) =λ x ⋅
2
dx
dx
d 2 wс ( x, p )
d wс ( x, p )
p⋅ wс ( x, p ) = Dx ⋅
−
υ
⋅
+ u ( p );
x
d х2
dх
(1.78)
где
u ( p) =
q ( x, p ) =
Gn ( p )⋅kn w
Vс ⋅ρс
;
Gn ( p )⋅kn Θ ⋅[cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅(Θк −Θc ( x, p ))]
Vс
.
Найдём последовательно решения первого и второго уравнений
системы (1.78).
Первое уравнение (1.78) запишем в виде:
d 2 wс ( x, p )
d w ( x, p )
G ( p )⋅knw
.
− Dx ⋅
+υ x ⋅ с
+ p⋅ wс ( x, p ) = n
2
dх
dх
Vс ⋅ρс
66
(1.79)
Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка. Его общее аналитическое решение:
wс ( x, p ) = wвын ( p ) + wсв ( x, p ) ,
(1.80)
где wвын(p) и wсв(х,p) – вынужденная и свободная составляющие, соответственно.
Вынужденная составляющая определена в виде правой части
(1.79). Это константа:
wвын ( p ) = Aw.0 = const .
Для определения Aw.0 подставим wвын(p) в (1.79). Тогда:
Aw.0 = wвын ( p ) =
Gn ( p )⋅knw
.
Vс ⋅ρс ⋅ p
(1.81)
(1.82)
Свободная составляющая wсв(х,p) определяется корнями характеристического уравнения, соответствующего (1.79):
− Dx ⋅ σ2w + υ x ⋅ σ w + p = 0 .
Корни (1.83):
(1.83)
υ x + υ2x + 4 ⋅ Dx ⋅ p
σ w.1 ( p ) =
;
2 ⋅ Dx
υ x − υ2x + 4 ⋅ Dx ⋅ p
σ w.2 ( p ) =
.
2 ⋅ Dx
Свободная составляющая:
wсв ( x, p ) = Aw.1 ⋅ eσw.1 ( p )⋅x + Aw.2 ⋅ eσw.2 ( p )⋅x ,
(1.84)
где Aw.1 и Aw.2 – постоянные интегрирования.
При подстановке (1.81) и (1.84) в (1.80) общее решение примет вид:
wс ( x, p ) = Aw.0 + Aw.1 ⋅eσw.1 ( p )⋅x + Aw.2 ⋅eσw.2 ( p )⋅x .
(1.85)
Для нахождения частных решений уравнений (1.78) необходимо
воспользоваться граничными условиями [39] в начале и на выходе сме67
сителя, то есть при х = 0 и х = L. Применительно к первому уравнению
системы (1.78) в изображениях по Лапласу они имеют вид:
dwс ( x, p )
= υ x ⋅[ wвх ( p ) − wс ( x, p )] x =0 ;
dx
x =0
dwс ( x, p )
= 0.
dx
x= L
− Dx ⋅
(1.86)
Подставив (1.85) в систему (1.86), получим:
D
D
Aw.1 1 − x ⋅ σ w.1 ( p ) + Aw.2 ⋅ 1 − x ⋅ σ w.2 ( p ) = wвх ( p ) − Aw.0 ;
υx
υx
σ w .1 ( p )⋅L
σ w .2 ( p )⋅ L
Aw.1 ⋅ σ w.1 ( p ) ⋅ e
+ Aw.2 ⋅ σ w.2 ( p ) ⋅ e
= 0.
Решаем последнюю систему относительно Aw.1 и Aw.2 методом Крамера:
det
wвх ( p ) − Aw.0
1−
Dx
⋅ σ w.2 ( p )
υx
σ w.2 ( p) ⋅ eσw.2 ( p )⋅L
Aw.1 =
;
Dx
Dx
1−
⋅ σ w.1 ( p ) 1 −
⋅ σ w.2 ( p)
υx
υx
det
σ w.1 ( p ) ⋅ eσw.1 ( p )⋅L σ w.2 ( p) ⋅ eσw.2 ( p )⋅L
0
det
Aw.2
1−
Dx
⋅ σ w.1( p )
υx
wвх ( p ) − Aw.0
σ w.1( p ) ⋅ eσw.1 ( p )⋅L
0
.
=
Dx
Dx
1−
⋅ σ w.1( p ) 1 −
⋅ σ w.2 ( p )
υx
υx
det
σ w.1( p ) ⋅ eσw.1 ( p )⋅L σ w.2 ( p ) ⋅ eσw.2 ( p )⋅L
После нахождения определителей и некоторых преобразований:
Aw.1 =
Aw.2 =
[wвх ( p) − Aw.0 ]⋅σw.2 ( p)⋅eσ
σ w.2 ( p )⋅e
σ w .2 ( p )⋅L
−σ w.1 ( p )⋅e
σ w .1 ( p )⋅L
w .2 ( p )⋅L
D
+ x ⋅σ w.1 ( p )⋅σ w.2 ( p )⋅(eσw.1 ( p )⋅L − eσw.2 ( p )⋅L )
υx
[− wвх ( p) + Aw.0 ]⋅σw.1 ( p)⋅eσ
σ w.2 ( p )⋅e
σ w .2 ( p )⋅L
−σ w.1 ( p )⋅e
σ w .1 ( p )⋅L
w .1 ( p )⋅L
D
+ x ⋅σ w.1 ( p )⋅σ w.2 ( p )⋅(eσw.1 ( p )⋅L − eσw.2 ( p )⋅L )
υx
68
;
.
Так как σ w.1 ( p) ⋅σ w.2 ( p) = −
Aw.1 =
Aw.2 =
p
, то:
Dx
[wвх ( p) − Aw.0 ]⋅σw.2 ( p) ⋅ eσ
w .2 ( p ) ⋅ L
p σw.2 ( p ) ⋅L
p
− σ w.1 + ⋅ eσw.1 ( p ) ⋅L
σ w.2 + ⋅ e
υx
υx
[− wвх ( p) + Aw.0 ]⋅σw.1 ( p) ⋅ eσ
w .1 ( p ) ⋅ L
p σw.2 ( p ) ⋅L
p σw.1 ( p ) ⋅L
σ
+
⋅
−
σ
+
e
w.2
w.1
⋅e
υx
υx
;
(1.87)
.
(1.88)
Подставив (1.87) и (1.88) в (1.85), получим:
wс ( x, p ) = Aw.0 +
+
[wвх ( p) − Aw.0]⋅σw.2 ( p)⋅eσ
w .2 ( p ) ⋅L
p σw.2 ( p )⋅L
p
− σ w.1 + ⋅eσw.1 ( p )⋅L
σ w.2 + ⋅e
υx
υx
[− wвх ( p) + Aw.0]⋅σw.1 ( p)⋅eσ
w .1 ( p ) ⋅L
p σw.2 ( p )⋅L
p
−σ w.1 + ⋅eσw.1 ( p )⋅L
σ w.2 + ⋅e
υx
υx
⋅eσw.1 ( p )⋅x +
⋅eσw.2 ( p )⋅x .
(1.89)
С учётом (1.82) и после некоторых преобразований (1.89) примет вид:
σ w.2 ( p )⋅eσw.2 ( p )⋅L +σw.1 ( p )⋅x −σ w.1 ( p )⋅eσw.1 ( p )⋅L +σw.2 ( p )⋅x
wс ( x, p ) =
⋅wвх ( p ) +
p σw.2 ( p )⋅L
p σw.1 ( p )⋅L
− σ w.1 + ⋅e
σ w.2 + ⋅e
υx
υx
σ w.2 ( p )⋅eσw.2 ( p )⋅L +σw.1 ( p )⋅x −σ w.1 ( p )⋅eσw.1 ( p )⋅L +σw.2 ( p )⋅x Gn ( p )⋅knw
+ 1−
⋅
Vс ⋅ρс ⋅ p
p σw.2 ( p )⋅L
p σw.1 ( p )⋅L
− σ w.1 + ⋅e
σ w.2 + ⋅e
υ
υ
x
x
или
wс ( x, p ) =Wwвх →wc ( x, p )⋅ wвх ( p ) +WGп →wc ( x, p )⋅Gп ( p ) ,
где
– передаточная функция, связывающая влажность
керамической массы на входе с влажностью смеси в любом сечении
глиносмесителя,
69
σ w.2 ( p )⋅eσw.2 ( p )⋅L +σw.1 ( p )⋅x −σ w.1 ( p )⋅eσw.1 ( p )⋅L +σw.2 ( p )⋅x
;
Wwвх →wc ( x, p ) =
p σw.2 ( p )⋅L
p σw.1 ( p )⋅L
− σ w.1 + ⋅e
σ w.2 + ⋅e
υ
υx
x
(1.90)
где WGп →wc ( x, p ) – передаточная функция, связывающая расход пара
с влажностью смеси в любом сечении глиносмесителя:
k
WGп →wc ( x, p ) = 1−Wwвх →wc ( x, p ) ⋅ nw .
Vс ⋅ρс ⋅ p
По аналогичному алгоритму найдём решение второго уравнения
системы (1.78), которое представим в виде:
−λ x ⋅
Gn ( p )⋅kn Θ ⋅cв
d 2 Θ c ( x, p )
d Θ c ( x, p )
+υ
⋅
⋅ρ
⋅
+
⋅
+
c
с
p
x
a
c
c
⋅Θc ( x, p ) =
d x2
dx
V
с
=
Gn ( p )⋅kn Θ ⋅[cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅Θк ]
Vс
.
(1.91)
Уравнение (1.91) представляет собой обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее
решение:
Θс ( x, p ) =Θвын ( p ) +Θсв ( x, p) ,
(1.92)
где Θвын(p) и Θсв(х,p) – вынужденная и свободная составляющие, соответственно.
Вынужденная составляющая определяется видом правой части
(1.91) и является константой:
Θвын ( p ) = AΘ.0 = const .
(1.93)
Подставим Θвын(p) в (1.91) и найдём AΘ.0:
AΘ.0 =Θвын ( p ) =
=
Gn ( p )⋅kn Θ ⋅[cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅Θк ]
Vс ⋅сa ⋅ p + Gn ( p )⋅kn Θ ⋅cв
cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅Θк
.
Vс ⋅сa
cв ⋅
⋅ p +1
G
p
k
c
(
)
⋅
⋅
nΘ в
n
70
=
(1.94)
Так как все параметры (1.94), кроме Gп(p), определяющего динамические свойства, являются постоянными, имеет смысл Θвын(p) рассматривать как постоянную (относительно времени) величину, т.е.:
AΘ.0 =Θвын =
cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅Θк
.
cв
Свободная составляющая Θсв(х,p) определяется корнями характеристического уравнения, соответствующего (1.91):
G ( p ) ⋅ kn Θ ⋅ cв
−λ x ⋅ σΘ2 + υ x ⋅ cc ⋅ ρc ⋅ σΘ + сa ⋅ p + n
= 0 .
V
с
(1.95)
Корни (1.95):
Gn ( p ) ⋅ kn Θ ⋅ cв
υ x ⋅ cc ⋅ρc ⋅+ (υ x ⋅ cc ⋅ρc ) + 4 ⋅λ x ⋅ сa ⋅ p +
Vс
σΘ.1 ( p ) =
;
2 ⋅λ x
G
p
k
c
(
)
⋅
⋅
nΘ
в
υ x ⋅ cc ⋅ρc − (υ x ⋅ cc ⋅ρc ) 2 + 4 ⋅λ x ⋅ сa ⋅ p + n
Vс
σΘ.2 ( p ) =
.
2 ⋅λ x
2
Свободная составляющая:
Θсв ( x, p ) = AΘ.1 ⋅ eσΘ .1 ( p )⋅x + AΘ.2 ⋅ eσΘ .2 ( p )⋅x ,
(1.96)
где AΘ.1 и AΘ.2 – постоянные интегрирования.
Подстановка (1.93) и (1.96) в (1.92) позволяет записать общее решение в виде:
Θс ( x, p ) = AΘ.0 + AΘ.1 ⋅eσΘ .1 ( p )⋅x + AΘ.2 ⋅eσΘ .2 ( p )⋅x .
(1.97)
Применительно ко второму уравнению системы (1.78) в изображениях по Лапласу граничные условия имеют вид:
d Θ с ( x, t )
= υ x ⋅ cс ⋅ρс ⋅[Θвх (t ) −Θс ( x, t )] x =0 ;
dx
x =0
d Θ с ( x, t )
= 0.
dx
x= L
−λ x ⋅
71
(1.98)
Подставив (1.97) в систему (1.98), получим:
λx
λx
AΘ.1 1−
⋅σΘ.1 ( p ) + AΘ.2 ⋅ 1−
⋅σΘ.2 ( p) = Θвх ( p) − AΘ.0 ;
υ x ⋅ cс ⋅ρс
υ x ⋅ cс ⋅ρс
AΘ.1 ⋅σΘ.1 ( p ) ⋅ eσΘ .1 ( p )⋅L + AΘ.2 ⋅σΘ.2 ( p ) ⋅ eσΘ .2 ( p )⋅L = 0.
Решаем последнюю систему относительно AΘ.1 и AΘ.2 методом
Крамера:
det
Θвх ( p ) − AΘ.0 1 −
λx
⋅ σΘ.2 ( p )
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
σΘ.2 ( p ) ⋅ eσΘ .2 ( p )⋅L
AΘ.1 =
;
λx
λx
⋅ σΘ.1 ( p ) 1 −
⋅ σΘ.2 ( p )
1−
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
det
0
σΘ.1 ( p ) ⋅ eσΘ .1 ( p )⋅L
det
AΘ.2
1−
σΘ.2 ( p ) ⋅ eσΘ .2 ( p )⋅L
λx
⋅ σΘ.1 ( p ) Θвх ( p ) − AΘ.0
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
σΘ.1 ( p ) ⋅ eσΘ .1 ( p )⋅L
0
=
.
λx
λx
1−
⋅ σΘ.1 ( p ) 1 −
⋅ σΘ.2 ( p)
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
υ x ⋅ cс ⋅ ρс
det
σΘ.1 ( p) ⋅ eσΘ .1 ( p )⋅L
σΘ.2 ( p) ⋅ eσΘ .2 ( p )⋅L
После нахождения определителей и некоторых преобразований
с учётом того, что σΘ.1 ( p) ⋅σΘ.2 ( p) = −
G ( p ) ⋅ kn Θ ⋅ cв
1
⋅ сa ⋅ p + n
:
λx
Vс
[Θвх ( p) − AΘ.0 ]⋅σΘ.2 ( p)⋅eσ
AΘ.1 =
Θ .2 ( p ) ⋅L
;
Η ( p ) σΘ .1 ( p )⋅L
Η ( p ) σΘ .2 ( p )⋅L
− σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅e
υ
⋅
⋅ρ
υ
⋅
⋅ρ
c
c
x с
с
x с
с
σΘ .1 ( p ) ⋅L
[−Θвх ( p) + AΘ.0 ]⋅σΘ.1 ( p)⋅e
AΘ.2 =
,
Η ( p ) σΘ .1 ( p )⋅L
Η ( p ) σΘ .2 ( p )⋅L
− σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅e
υ x ⋅cс ⋅ρс
υ x ⋅cс ⋅ρс
где Η ( p) = сa ⋅ p +
Gn ( p ) ⋅ kn Θ ⋅ cв
Vс
.
72
(1.99)
(1.100)
Подставив (1.99) и (1.100) в (1.97), получим:
Θс ( x, p ) = AΘ.0 ++
+
[Θвх ( p) − AΘ.0]⋅σΘ.2 ( p)⋅eσ
Θ .2 ( p ) ⋅L
Η ( p ) σΘ .2 ( p )⋅L
Η ( p) σΘ .1 ( p )⋅L
−σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅e
υ x ⋅cс ⋅ρс
υ x ⋅cс ⋅ρс
[−Θвх ( p) + AΘ.0 ]⋅σΘ.1 ( p)⋅eσ
Θ .1 ( p ) ⋅L
Η ( p) σΘ .2 ( p )⋅L
Η ( p) σΘ .1 ( p )⋅L
− σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅e
υ
⋅
⋅ρ
υ
⋅
⋅ρ
c
c
x с
с
x с
с
⋅eσΘ .1 ( p )⋅x +
⋅eσΘ .2 ( p )⋅x .
(1.101)
С учётом (1.94) и после некоторых преобразований (1.101) примет вид:
Θ с ( x, p ) =
σΘ.2 ( p )⋅eσΘ .2 ( p )⋅L +σΘ .1 ( p )⋅x −σΘ.1 ( p )⋅eσΘ .1 ( p )⋅L +σΘ .2 ( p )⋅x
⋅Θвх ( p ) +
Η ( p ) σΘ .2 ( p )⋅L
Η ( p) σΘ .1 ( p )⋅L
−σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅ e
υ x ⋅cс ⋅ρс
υ x ⋅cс ⋅ρс
σΘ.2 ( p )⋅eσΘ .2 ( p )⋅L +σΘ .1 ( p )⋅x −σΘ.1 ( p )⋅eσΘ .1 ( p )⋅L +σΘ .2 ( p )⋅x
+ 1−
×
Η ( p ) σΘ .2 ( p )⋅L
Η ( p ) σΘ .1 ( p )⋅L
−σΘ.1 +
σΘ.2 +
⋅e
⋅e
υ
⋅
⋅ρ
υ
⋅
⋅ρ
c
c
x с
с
x с
с
×
cn ⋅(Θ n −Θк ) + r + cв ⋅Θк
.
cв
(1.102)
В случае с динамикой изменения температуры смеси воздействие
Gп(p) присутствует в комплексах σΘ.1(p), σΘ.2(p) и H(p), поэтому не
представляется возможным записать передаточные функции, связывающие температуру смеси с её температурой на входе и расходом пара.
Также отметим, что выражение (1.102), как и передаточная функция
(1.90), являются трансцендентными и для дальнейшего анализа объекта управления во временной области требуется их аппроксимация
набором типовых динамических звеньев. Кроме того, аппроксимация
позволит выявить зависимость статических и динамических свойств
объекта управления от параметра Gп(p).
С точки зрения технологии наибольший интерес представляет динамика влажности wвых ( p ) = wс ( L, p ) и температуры Θвых ( p ) =Θс ( L, p )
керамической массы на выходе рабочего объема глиносмесителя, поэтому эти параметры принимаем за контролируемые координаты объекта управления. Обобщённая структура представлена на рис. 1.39.
73
Рис. 1.39. Обобщённая структурная схема процесса перемешивания
керамической массы в глиносмесителе как объекта управления
1.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
1.7.1. Статические характеристики объектов управления
Как уже отмечалось, анализ объектов управления, а также других
элементов систем автоматизации, осуществляется не только для динамических режимов, но и для установившихся (статических). Установившимся режимом называют такое состояние объекта, при котором
все переходные процессы в объекте закончены.
Анализ установившихся режимов позволяет определить условия
достижения равновесных состояний, границы управляемости, а также
выявить статическую характеристику объекта или системы управления в целом.
Зависимость выходной координаты x(t) от управляющего u(t) или
возмущающего h(t) воздействия (в общем случае их будем называть
входными воздействиями и обозначать y(t)) в установившемся режиме
называется статической характеристикой объекта [6]. При этом следует отметить, что при построении статической характеристики как
зависимости выходной координаты от управляющего воздействия возмущение должно оставаться неизменным, т.е.:
x = f (u ), h = const ,
и наоборот: если строится зависимость выходной координаты от возмущающего воздействия, управляющее воздействие должно быть постоянным:
x = f (h), u = const .
74
По виду статических характеристик объекты управления и другие
элементы систем автоматизации подразделяют на линейные и нелинейные.
Для линейных статических характеристик (рис. 1.40) производная
выходной координаты по входной, а значит, и коэффициент передачи k
остаётся постоянным во всем диапазоне изменения входного сигнала:
dx
= k = const .
dy
Рис. 1.40. Линейная характеристика
Проанализируем объект, динамика которого может быть описана некоторым оператором M(t) (рис. 1.41). Проведём n экспериментов,
отличающихся величиной подаваемого на вход объекта ступенчатого
воздействия yn(t). Примем n ∈1,2, ...,6 , а yn (t ) = n ⋅ y1 (t ) ( y1 (t ) = y1 ⋅1(t ) ).
При этом на выходе будем наблюдать переходные процессы xn(t), каждый из которых имеет установившееся значение, равное xn0 (рис. 1.42).
Рис. 1.41. Обобщённая структурная схема динамического объекта,
описываемого оператором M(t)
75
Рис. 1.42. Переходные процессы в объекте, описываемом оператором M(t),
при различных величинах внешнего ступенчатого воздействия
Построим статическую характеристику объекта как зависимость
установившихся значений полученных переходных процессов от величины подаваемого на вход ступенчатого воздействия (рис. 1.43).
Рис. 1.43. Статическая характеристика объекта, описываемого оператором M(t)
76
Как видно из рис. 1.43, производная получившейся функциональной зависимости различна в каждой её точке, т.е.:
dx
= k = f ( y ).
dy
Таким свойством отличаются нелинейные статические характеристики, у которых коэффициент передачи k функционально связан
с величиной входного воздействия.
Нелинейные элементы подразделяют на несущественно нелинейные и существенно нелинейные [40].
Несущественно нелинейные статические характеристики представляют собой непрерывные кривые без изломов и аналитически
могут быть представлены одним уравнением. Примером такого типа
нелинейностей может служить кривая, приведённая на рис. 1.43.
Существенно нелинейные статические характеристики содержат
неоднозначность, разрывы, изломы и т.д. Такие зависимости нельзя
описать одним уравнением. Их аналитическое представление имеет
вид системы уравнений, описывающих отдельные участки нелинейности. Примером существенно нелинейных характеристик могут служить нелинейности типа зона нечувствительности, ограничение по
уровню, люфт, релейные характеристики.
1.7.2. Линеаризация математических моделей объектов управления
В предыдущем пункте были рассмотрены нелинейные статические характеристики, которыми может быть описано поведение объектов управления. Существуют также динамические нелинейности,
которые проявляют себя только в переходных режимах и зависят
от производных соответствующих параметров по времени [41].
В общем случае характеристики объектов управления и других элементов, входящих в систему автоматизации, являются нелинейными
функциями различных параметров. Иногда для упрощения исследования
объектов управления, а также при использовании аналитического подхода к настройке регуляторов систем автоматизации, осуществляют линеаризацию уравнений статики и динамики, описывающих поведение технологического процесса или установки. Линеаризация – это приближённая
замена нелинейной функции (уравнения) соответствующей линейной
функцией (уравнением) [41]. Линеаризованные модели отличаются неко77
торым искажением описываемых ими реальных явлений. Однако такой
подход вполне применим для решения многих задач автоматизации.
Здесь рассмотрим один из возможных способов линеаризации математических моделей несущественно нелинейных объектов управления. Известно [42], что наиболее целесообразным при анализе
и синтезе систем автоматического управления является использование линеаризации методом малых отклонений. Его суть заключается
в замене нелинейной характеристики объекта касательной к некоторой выбранной рабочей точке, которая соответствует определённому
установившемуся (равновесному) режиму. Этот метод применим, когда имеют место достаточно малые отклонения выходного параметра
объекта управления от значения, соответствующего установившемуся
режиму. Таким образом, точность линеаризации растёт с уменьшением величины отклонений.
Рассмотрим объект управления, выходная координата которого
является функцией f трёх переменных ξ, η и ν. Пусть некоторому рабочему равновесному режиму соответствует точка X0 с координатами
ξ0 = const, η0 = const и ν0 = const. Отклонения координат от значений
в равновесном состоянии обозначим через Δξ, Δη и Δν. Тогда текущие
значения координат могут быть записаны как:
а функция:
ξ = ξ0 + ∆ξ, η = η0 + ∆η, ν = ν 0 + ∆ν ,
f (ξ,η,ν) = f (ξ0 +∆ξ, η0 +∆η, ν 0 +∆ν) = f (ξ0 ,η0 ,ν 0 ) +∆f (∆ξ,∆η,∆ν). (1.103)
Следует отметить, что при использовании данного метода делается допущение о том, что отклонения Δξ, Δη и Δν соответствующих
координат достаточно малы.
Линеаризацию по методу малых отклонений уравнений в точке
X0 (которую называют точкой линеаризации) производят при помощи
формулы Тейлора, которая для трёх переменных ξ, η и ν имеет вид [15]:
∂f (ξ, η, ν)
∂f (ξ, η, ν)
∂f (ξ, η, ν)
f (ξ, η, ν) = f (ξ0 , η0 , ν 0 ) +
⋅∆ξ +
⋅∆η+
⋅∆ν +
∂ξ
∂η
∂ν
0
0
0
i
n
∂f (ξ, η, ν)
1
∂f (ξ, η, ν)
∂f (ξ, η, ν)
+∑ ⋅
⋅
∆ξ
+
⋅
∆η
+
⋅
∆ν
+ Rn+1.
∂ξ
∂η
∂ν
i =1 i !
0
0
0
Здесь индекс «0» указывает на то, что производная берётся в выбранной точке линеаризации.
78
Остаточный член Rn+1 позволяет оценить величину ошибки, возникающей в случае, когда в линеаризованном выражении учитывают только
первые члены разложения.
При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются членами первого порядка малости и пренебрегают остаточным членом, считая, что:
f (ξ,η,ν) ≈ f (ξ0 ,η0 ,ν 0 ) +
∂f (ξ,η,ν)
∂f (ξ,η,ν)
∂f (ξ,η,ν)
+
⋅∆ξ+
⋅∆η+
⋅∆ν .
∂ξ
∂η
∂ν
0
0
0
(1.104)
Выражение приращения Δf(Δξ,Δη,Δν) функции f определим как разность между текущим значением этой функции f(ξ,η,ν) и её значением
f(ξ0,η0,ν0) в фиксированной точке X0. Учитывая (1.103) и (1.104), запишем:
∆f (∆ξ,∆η,∆ν) = f (ξ,η,ν) − f (ξ0 ,η0 ,ν 0 ) =
∂f (ξ,η,ν)
∂f (ξ,η,ν)
∂f (ξ,η,ν)
⋅∆ξ+
⋅∆η+
⋅∆ν=
∂ν 0
∂ξ 0
∂η 0
=
= kξ ⋅∆ξ+ kη ⋅∆η+ kν ⋅∆ν,
(1.105)
∂f ( ξ ,η,ν )
∂f ( ξ ,η,ν )
∂f ( ξ ,η,ν )
=
k
,
,
=
k
ν
η
– постоянные коэф
∂ν
∂ξ
0
0
∂η 0
где kξ =
фициенты (коэффициенты линеаризации).
Заметим, что в результате линеаризации дифференциальных уравнений в окрестности координат равновесных состояний получаются
линейные дифференциальные уравнения, которые имеют нулевые начальные условия [42].
Приведём два примера линеаризации методом малых отклонений.
Пример 1.
Эмпирическая зависимость коэффициента консистенции μ1 керамической массы от её влажности w (рис. 1.44) описывается уравнением:
µ1( w ) = k1 ⋅ e − k2 ⋅w ,
где k1 = 221.5·104 Па·с; k2 = 18.
79
(1.106)
Линеаризуем зависимость (1.106) методом малых отклонений в рабочей точке с координатами μ1 = μ10 = 35269 Па·с и w = w0 = 0.23.
На основании (1.105) линеаризованное в обозначенной точке выражение (1.106) имеет вид:
∂µ ( w)
∆µ1 (∆w) = 1
⋅ ∆w = k w ⋅ ∆w ,
∂w 0
(1.107)
где Δμ1 – приращение коэффициента консистенции относительно μ10;
Δw – приращение влажности относительно w0; kw – постоянный коэффициент,
∂µ ( w)
= −k1 ⋅ k2 ⋅ e − k2 ⋅w0,
kw = 1
∂w 0
kw = −221.510
· 4 ⋅ 18 ⋅ e −18⋅0.23 = −634844.1 Па·с.
Рис. 1.44. Зависимость коэффициента консистенции
керамической массы от её влажности
Из рис. 1.44 видно, что при небольших отклонениях Δμ1 и Δw от μ10
и w0 прямая (1.107) практически не отличается от кривой (1.106).
80
Пример 2.
Математическое описание процесса вакуумирования керамической массы при производстве кирпича, приведённое в п. 1.4.3, является нелинейным, что осложняет его использование при аналитической настройке проектируемых систем автоматического управления
разрежением в вакуумной камере шнекового пресса, а значит, требует
линеаризации уравнений. Считая, что динамические свойства объекта
управления исследуются вблизи некоторой рабочей точки и параметры незначительно отклоняются от установившихся значений, для линеаризации уравнений используем метод малых отклонений. В качестве примера преобразуем уравнение, описывающее изменение массы
воздуха в вакуум-камере. Представим его в виде:
d mв (t )
= ρв (t ) ⋅ {Qсм (t ) ⋅ [ X (t ) ⋅ Y (t ) + Z (t ) ] − Sвк (t )} = Ψ (t ) .
dt
(1.108)
В результате линеаризованное уравнение (1.108) в приращениях
запишется как:
d ∆mв (t )
= k1 ⋅∆ρв (t ) + k2 ⋅∆Qсм (t ) + k3 ⋅∆X (t ) +
dt
+ k4 ⋅∆Y (t ) + k5 ⋅∆Z (t ) + k6 ⋅∆Sвк (t )
,
где символ «Δ» обозначает приращение соответствующей переменной.
Коэффициенты линеаризации:
∂Ψ (t )
k1 =
= Qсм0 ⋅ [ X 0 ⋅ Y0 + Z 0 ] − Sвк0 ;
∂ρв (t ) 0
∂Ψ (t )
k2 =
= ρв0 ⋅ [ X 0 ⋅ Y0 + Z 0 ] ;
Q
(
t
)
∂
см 0
∂Ψ (t )
k3 =
= Qсм0 ⋅ ρв0 ⋅ Y0 ;
∂
X
(
t
)
0
∂Ψ( t )
k4 =
= Qсм0 ⋅ ρв0 ⋅ X 0;
∂Y( t ) 0
81
∂Ψ (t )
k5 =
= Qсм0 ⋅ ρв0 ;
∂Z (t ) 0
∂Ψ (t )
k6 =
= −ρв0 .
∂
S
(
t
)
вк 0
Рассмотрим случай, когда необходимо линеаризовать уравнение
динамики в операторной форме. Запишем уравнение (1.108) в операторной форме после некоторых преобразований:
mв ( p ) =
ρв ( p ) ⋅ {Qсм ( p ) ⋅ [ X ( p ) ⋅ Y ( p ) + Z ( p ) ] − Sвк ( p )}
p
,
которое в приращениях примет вид:
∆mв ( p ) = W1 ( p ) ⋅∆ρв ( p ) + W2 ( p ) ⋅∆Qсм ( p ) + W3 ( p ) ⋅∆X ( p ) +
+ W4 ( p ) ⋅∆Y ( p ) + W5 ( p ) ⋅∆Z ( p) + W6 ( p) ⋅∆Sвк ( p) ,
где коэффициенты линеаризации представляют собой передаточные
функции:
∂m ( p ) Qсм0 ⋅ [ X 0 ⋅ Y0 + Z 0 ] − Sвк0 k1
W1 ( p ) = в
= ;
=
∂ρ
p
p
p
(
)
в
0
∂m ( p ) ρв0 ⋅ [ X 0 ⋅ Y0 + Z 0 ] k2
W2 ( p ) = в
= ;
=
∂
Q
(
p
)
p
p
см
0
∂m ( p ) Qсм0 ⋅ ρв0 ⋅ Y0 k3
W3 ( p ) = в
= ;
=
p
p
∂X ( p ) 0
∂m ( p ) Qсм0 ⋅ ρв0 ⋅ X 0 k4
W4 ( p ) = в
= ;
=
∂
Y
(
p
)
p
p
0
∂m ( p ) Qсм0 ⋅ ρв0 k5
W5 ( p ) = в
= ;
=
∂
Z
(
p
)
p
p
0
∂m ( p ) −ρв0 k6
W6 ( p ) = в
= .
=
p
p
∂Sвк ( p ) 0
82
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Что понимается под объектом управления?
Каким образом на объект управления влияют управляющие и возмущающие воздействия?
Что характеризуют промежуточные (внутренние) переменные объекта
управления?
В чём заключается отличие между объектами управления с сосредоточенными параметрами и объектами управления с распределёнными параметрами?
Что является целью идентификации объектов управления?
Дайте определение понятию «математическая модель объекта управления».
Что показывают принципиальные, функциональные, структурные и расчётные схемы?
Какие режимы описывают уравнения статики?
Какие типы уравнений описывают динамические свойства объектов управления?
Назовите типы линейных уравнений с частными производными второго
порядка.
Что такое статическая характеристика объекта управления?
Назовите виды статических характеристик объектов управления.
Что такое линеаризация, и для чего применяется эта процедура?
В чём заключается линеаризация методом малых отклонений?
83
2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
2.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Экспериментальная идентификация объектов управления подразумевает определение параметров модели путем анализа эмпирических данных. В данной главе рассмотрим подходы, применяемые
для определения свойств объектов управления по их динамическим
характеристикам, которые здесь будут приводиться без свойственных
экспериментальным данным помех. Для анализа используем два вида
динамических характеристик – кривые переходных процессов и амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ).
Напомним, что переходный процесс – это изменение во времени
выходной координаты динамического объекта или системы управления, при котором наблюдается переход от одного до некоторого другого установившегося состояния как реакция на приложенные воздействия (управляющие или возмущающие).
У линейных объектов при любых условиях работы переходные
характеристики одинаковы, то есть могут быть аппроксимированы
одной передаточной функцией. Для нелинейных же объектов вид
и параметры переходных процессов (а следовательно, вид и параметры передаточных функций, которыми они приближённо могут быть
описаны при определённых допущениях) зависят от режима работы,
величины и времени существования приложенного воздействия [43].
Обычно вывод объекта на рабочий режим требует приложения
большого внешнего воздействия, величина которого сопоставима с номинальным его значением (рис. 2.1). Часто наиболее интересен переходный процесс в объекте относительно некоторого установившегося рабочего режима как реакция на малое воздействие (не превышающее 10 %
от величины большого). Очевидно, что динамика в нелинейном объекте
управления в этих двух случаях будет отличаться, поэтому различают переходные процессы «в большом» и «в малом» (рис. 2.1). В последующих
пунктах раздела будут рассматриваться подходы к анализу переходных
процессов в объектах управления с целью их описания типовыми динамическими звеньями или набором таковых. Как известно, передаточная
84
функция является одним из видов линейных математических моделей,
поэтому применение их для описания нелинейных объектов представляет собой линеаризацию, правомерную для определённых условий. Ранее
при рассмотрении одного из подходов к линеаризации отмечалось, что её
точность достаточно высока при небольших величинах отклонений выходной координаты. В связи с этим можем сказать, что приёмы, которые
будут рассмотрены ниже, однозначно применимы для переходных процессов «в малом», а нелинейный объект управления в диапазоне режимов, близких к исходному, с допустимой погрешностью может рассматриваться как линейный и аппроксимироваться передаточной функцией.
Исследования нелинейных объектов «в большом» описываемыми ниже
методами представляется возможным лишь в некоторых частных случаях, когда предъявляются невысокие требования к точности модели или
когда некоторый набор типовых звеньев всё-таки позволяет с невысокой
погрешностью описать процесс. В большинстве же случаев при больших
внешних воздействиях нелинейный объект должен быть представлен
другого рода моделями с использованием соответствующих методов.
Проанализируем некоторый объект управления, в котором наблюдаются переходные процессы, являющиеся реакцией на ступенчатые
воздействия, подаваемые на его вход (рис. 2.1). В момент времени t′ = 0′
было подано большое ступенчатое воздействие величиной y0 (рассматриваем его в координатах y′-t′). В результате на выходе объекта в координатах x′-t′ наблюдается переходный процесс «в большом», после окончания которого параметр x′ приходит к некоторому установившемуся
значению x0. В момент времени t0 входное воздействие скачкообразно
увеличивается относительно y0 на некоторую малую величину, в результате возникшего переходного процесса «в малом» выходная координата
переходит к некоторому другому установившемуся значению. Как известно, передаточная функция записывается при нулевых начальных условиях процесса. В связи с этим переходный процесс «в малом» и малое
входное воздействие необходимо рассматривать в некоторых локальных
системах координат x = x′ – x0, y = y′ – y0, t = t′ – t0.
Исследование объектов управления также будем осуществлять
с помощью амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ).
АФЧХ представляет собой кривую в комплексных координатах, которая показывает изменение амплитуды и фазового сдвига выходного
сигнала линейного стационарного динамического объекта в зависимости от частоты входного гармонического воздействия.
85
Рис. 2.1. Переходные процессы в нелинейном объекте,
график изменения входного сигнала
86
Рассмотрим некоторый объект управления ОУ (рис. 2.2), на вход
которого последовательно подадим гармонические сигналы y(t) с одинаковой амплитудой Аy и начальной фазой φy, но с разными частотами
ωi ( i ∈1, 2 , ...,5):
y (t ) = Ay ⋅ sin(ωi ⋅ t + ϕ y ) .
При этом на выходе объекта установятся колебания той же частоты
[42], но с отличающимися от колебаний на входе амплитудой и фазой:
x(t ) = Axi ⋅ sin(ωi ⋅ t + ϕ xi ).
На рис. 2.2 показаны графики колебаний на входе y(t) и выходе x(t)
на различных частотах ωi. Можно заметить, что для каждой i-й частоты сигналы входа и выхода отличаются отношением амплитуд:
A(ωi ) =
Ax (ωi )
Ay
и фазовым сдвигом:
ϕ(ωi ) = ϕ y − ϕ x (ωi ) = ∆ti ⋅ ωi ,
где Δti – временной сдвиг между кривыми входного и выходного сигналов при частоте ωi; Ax (ωi ) ≡ Axi , ϕ x (ωi ) ≡ ϕ xi . В рассматриваемом примере ϕ y = 0 .
Используя информацию, представленную на рис. 2.2, изобразим
на комплексной плоскости (рис. 2.3) пять векторов длинами A(ωi). Угол
между вектором и действительной положительной полуосью соответствует фазовому сдвигу φ(ωi). Соединяя концы векторов, получаем
кривую (годограф), которая и представляет собой АФЧХ.
Далее приведём подходы к анализу объектов управления по их
динамическим характеристикам. При этом отметим, что рассматриваемые переходные процессы являются реакцией объекта на скачкообразное внешнее воздействие во всех случаях, кроме тех, когда
обговорено иное.
87
Рис. 2.2. Гармонические сигналы на входе и выходе объекта управления
88
Рис. 2.3. АФЧХ объекта управления
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ЗВЕНЬЕВ ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
2.2.1. Определение параметров апериодического звена
по динамическим характеристикам
Апериодическое звено имеет передаточную функцию [44]:
W ( p) =
1
,
T ⋅ p +1
(3.1)
где T – постоянная времени; p – оператор Лапласа.
Когда коэффициент передачи объекта не равен единице, передаточная функция (3.1) включает в себя безынерционное звено и принимает вид [41, 45]:
W ( p) =
где k – коэффициент передачи.
k
,
T ⋅ p +1
89
(3.2)
В общем случае задача сводится к определению параметров T и k.
Если задан переходный процесс, соответствующий апериодическому
звену (рис. 2.4), то приближенно величина его постоянной времени T
может быть определена как время, за которое выходная координата достигнет значения x(t ) = 0.63⋅ x уст (xуст – установившееся значение переходного процесса).
Коэффициент передачи k определяется как отношение установившегося значения xуст к сигналу y, поданному на вход звена:
k=
xуст
y
.
(3.3)
Рис. 2.4. Переходный процесс в апериодическом звене
Когда известна амплитудно-фазовая частотная характеристика
(АФЧХ) апериодического звена (рис. 2.5), величина постоянной времени определяется по выражению [44]:
T=−
tg ϕ(ωi )
,
ωi
где φ – фазовый сдвиг; ωi – заданная частота.
Тангенс фазового угла, соответствующего частоте ωi:
tg ϕ(ωi ) =
Q(ωi )
,
P(ωi )
где P(ωi), Q(ωi) – значения вещественной и мнимой части АФЧХ при
частоте ωi, соответственно.
90
Рис. 2.5. АФЧХ апериодического звена
Коэффициент передачи k совпадает со значением вещественной
частотной характеристики при частоте ω = 0, т.е.:
k = P (0) .
(3.4)
2.2.2. Определение параметров колебательного звена
по динамическим характеристикам
Колебательное звено с учетом коэффициента передачи имеет передаточную функцию [41, 45]:
W ( p) =
k
,
T ⋅ p + 2⋅ξ⋅T ⋅ p +1
2
2
(3.5)
где ξ – декремент затухания, 0 ≤ξ≤1.
Необходимо определить значения T, ξ и k. При анализе переходного процесса (рис. 2.6) постоянная времени и декремент затухания
колебательного звена определяются по соотношениям [44]:
t
ξ= − cos 1 ⋅π ;
t3 −t1
91
T=
t
t3 −t1
⋅sin 1 ⋅π,
π
t3 −t1
где t1 и t3 – моменты времени, соответствующие первому и второму пересечениям кривой переходного процесса установившегося значения.
Рис. 2.6. Переходный процесс в колебательном звене
Рис. 2.7. АФЧХ колебательного звена
92
Когда известны частотные характеристики (рис. 2.7), то искомые
параметры находятся по следующим выражениям [44]:
1
;
T=
ωT
ξ= −
P (0)
,
2⋅Q(ωT )
где ωT – частота, при которой вещественная частотная характеристика равна нулю, т.е. значение частоты, соответствующее пересечению
АФЧХ и мнимой оси.
Коэффициент передачи k определяется аналогично случаю с апериодическим звеном по выражениям (3.3) и (3.4).
2.2.3. Определение параметров форсирующих звеньев
по динамическим характеристикам
Форсирующим звеном первого порядка называется звено, передаточная функция которого имеет вид [41, 45]:
W ( p ) = k ⋅(T ⋅ p +1) .
(3.6)
При скачкообразном изменении входной величины на выходе
форсирующего звена первого порядка переходный процесс представляет собой мгновенный импульс с бесконечно большой амплитудой,
соответствующей бесконечно большой скорости изменения входной
величины в момент скачка, а затем выходная величина принимает
постоянное установившееся значение [45]. Площадь импульса равна
произведению k · T, установившееся значение – величине k.
АФЧХ форсирующего звена первого порядка параллельна положительной ветви мнимой оси (рис. 2.8). Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) форсирующего звена первого порядка равняется
величине коэффициента передачи при всех значениях частоты, а мнимая представляет собой прямую, проходящую через начало координат
(рис. 2.9), угол наклона которой определяется T.
Исходя из последнего утверждения постоянную времени определим по мнимой частотной характеристике (МЧХ) в соответствии с выражением:
∆Q
.
T=
∆ω
93
Коэффициент передачи k находится с использованием АФЧХ по
выражению (3.4).
Форсирующее звено второго порядка имеет передаточную функцию вида [41, 45]:
W ( p ) = k ⋅(T 2 ⋅ p 2 + 2⋅ξ⋅T ⋅ p +1) .
Рис. 2.8. АФЧХ форсирующего звена первого порядка
Рис. 2.9. МЧХ форсирующего звена первого порядка
94
(3.7)
Параметры T, ξ и k такого звена определяются по АФЧХ [44] (рис. 2.10):
1
;
ωT
P(0)
ξ=
.
2⋅Q(ωT )
T=
Коэффициент передачи находится, как и в предыдущих случаях.
Определение параметров по переходным процессам не представляется возможным.
Рис. 2.10. АФЧХ форсирующего звена второго порядка
2.2.4. Определение параметров звена запаздывания
по динамическим характеристикам
Звено запаздывания имеет передаточную функцию вида [41, 45]:
W ( p ) = k ⋅e −τ⋅ p .
(3.8)
На выходе такого звена наблюдается переходный процесс, повторяющий по форме входной сигнал, но увеличенный в k раз и сдвинутый во времени на величину запаздывания τ.
АФЧХ звена запаздывания (рис. 2.11) представляет собой окружность радиусом k. Динамический параметр звена – величина запаздывания определяется из соотношения [44]:
τ= −
ϕ(ωi )
,
ωi
где φi(ωi) – фазовый сдвиг при частоте ωi:
Q(ωi )
ϕ(ωi ) = arctg
.
P(ωi )
95
Рис. 2.11. АФЧХ звена запаздывания
2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ,
СОЕДИНЁННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО,
ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
2.3.1. Определение параметров элемента, состоящего из двух
апериодических звеньев, по динамическим характеристикам
Передаточная функция двойного апериодического звена имеет вид
[41, 45]:
W ( p) =
k
,
(T1 ⋅ p +1)⋅(T2 ⋅ p +1)
(3.9)
где T1, T2 – постоянные времени.
Определение постоянных времени такого элемента по графику переходного процесса (рис. 2.12, а) ведется в следующем порядке:
1. Определятся точка A перегиба кривой переходного процесса, которая, как известно, соответствует моменту времени t20, когда
96
d 2x
вторая производная 2 = 0 (см. рис. 2.12, в). Т.е. момент времени
dt
перегиба кривой переходного процесса tп = t20.
2. Находится сумма постоянных времени ∑T = T1 + T2, равная разности времени tп и времени tC, которое соответствует точке С пересечения касательной кривой переходного процесса в точке A
c xуст (рис. 2.12, а). Величину ∑T можно найти аналитически по
выражению:
ΣT =
где xп и
dx
dt t=tп
x уст − xп
,
dx
dt t=tп
– значение кривой переходного процес-
са (см. рис. 2.12, а) и её производная (см. рис. 2.12, б) в точке
перегиба.
3. Считая, что T1 > T2, определяем большую постоянную времени
как [44]:
β
−
T1 = 0.5+
0.75
⋅ΣT ,
2
α
где α и β – относительные динамические ошибки в моменты времени t = tп и t = 2·tп, соответственно:
α=
a
b
; β=
;
xуст
xуст
a и b – абсолютные динамические ошибки в моменты времени
t = tп и t = 2·tп (см. рис. 2.12, а).
4. Вычисляем меньшую постоянную времени T2:
T2 = ∑T – T1.
Если задана АФЧХ (рис. 2.13), то применяется подход, аналогичный процессу нахождения параметров колебательного звена.
97
Рис. 2.12. Динамические характеристики элемента,
состоящего из двух апериодических звеньев:
а – график переходного процесса; б и в – его первая и вторая производные, соответственно
98
Рис. 2.13. АФЧХ элемента, состоящего из двух апериодических звеньев
1. Находится сумма постоянных времени:
ΣT = −
P(0)
.
Q(ωT )⋅ωT
2. Определяется меньшая постоянная времени:
P(0) − P(0) 2 − 4⋅Q(ωT ) 2
T2 =−
.
2⋅Q(ωT )⋅ωT
3. Рассчитывается большая постоянная времени:
T1 = ∑T – T2.
Коэффициент передачи k находится по выражениям (3.3) и (3.4).
2.3.2. Определение параметров элемента, состоящего из
апериодического и колебательного звеньев,
по динамическим характеристикам
Передаточная функция элемента, состоящего из последовательно
соединенных апериодического и колебательного звеньев, имеет вид:
W ( p) =
k
,
(T1 ⋅ p +1)⋅(T ⋅ p 2 + 2⋅ξ⋅T2 ⋅ p +1)
2
2
где, как и ранее, 0 ≤ξ≤1.
99
(3.10)
Определение параметров такого элемента по графику переходного
процесса (рис. 2.14, а) ведется в следующем порядке:
1. График переходного процесса в рассматриваемом элементе состоит из экспоненциальной кривой и затухающего колебательного процесса. Считаем, что экспоненциальная составляющая xэ(t)
известна. Тогда по кривой xэ(t) определяем постоянную времени
апериодического звена T1 по методике, которая использовалась
ранее, принимая во внимание, что в общем случае экспоненциальная составляющая в начальный момент времени имеет значение xэ(0) ≠ 0 (рис. 2.14, а). Потому величина T1 будет соответствовать значению экспоненциальной составляющей, равному:
xэ (T1 ) = xэ (0) + 0.63⋅∆ x ,
где ∆ x = xуст − xэ (0).
2. Выбирается произвольный момент времени tk и по рис. 2.14, а
определяется параметр:
a = xэ (tk ) − xmin (tk ),
где xmin(tk) – величина огибающей снизу xmin(t) кривой x(t) переходного процесса в момент времени tk.
3. Находится величина:
tT =
где
dxmin
dt
t =tk
T1 ⋅a
dx
a + xmin (tk ) − xуст +T1 ⋅ min
dt
,
t =tk
– величина производной по времени огибающей снизу
в момент времени tk (см. рис. 2.14, б).
4. Вычисляется постоянная времени колебательного звена T2, как [44]:
T2 =
1
2
π 1
+
t2 −t1 tT
2
,
где t1 и t2 – абсциссы соответственно первой и второй точек
пересечения кривых x(t) и xэ(t) (рис. 2.14, а).
100
Рис. 2.14. Динамические характеристики элемента,
состоящего из апериодического и колебательного звеньев:
а – график переходного процесса; б – его первая производная
5. Определяется декремент затухания [44]:
T
ξ= 2 .
tT
При нахождении параметров рассматриваемого элемента по его
АФЧХ (рис. 2.15) запишем передаточную функцию (3.10) в виде
[44]:
k
W ( p) = 3 3 2 2
.
(3.11)
T03 ⋅ p +T02 ⋅ p +T01 ⋅ p +1
Связь ее параметров с частотной характеристикой определяется
следующими соотношениями [44]:
P (0)
T033 = −
;
2
2
ω1 ⋅(ω2 −ω1 )⋅Q(ω1 )
1
T022 = 2 ;
ω1
T01 =T033 ⋅ω22 ,
101
где ω1 – значение угловой частоты, при котором ВЧХ равна нулю;
ω2 – значение угловой частоты, отличное от нуля, при котором
МЧХ равна нулю; Q(ω1) – величина МЧХ при ω = ω1.
Рис. 2.15. АФЧХ элемента, состоящего из апериодического
и колебательного звеньев
Определение параметров T1, T2 и ξ по АФЧХ сопряжено с вычислением корней уравнения третьего порядка. Здесь ограничимся определением параметров T033 , T022 и T01.
Коэффициент передачи k находится, как в предыдущих случаях.
2.3.3. Определение параметров элемента,
состоящего из апериодического и интегрирующего звеньев,
по динамическим характеристикам
Передаточная функция элемента, состоящего из последовательно
соединенных апериодического и интегрирующего звеньев, имеет вид:
W ( p) =
k
.
(T ⋅ p +1)⋅ p
102
(3.12)
По графику переходного процесса такого звена (рис. 2.16) постоянная времени T апериодического звена будет определяться расстоянием
между асимптотой 1 и параллельной ей прямой 2, проходящей через
начало координат. Коэффициент передачи обусловливает наклон этих
прямых [46], поэтому:
k=
∆x
.
∆t
Рис. 2.16. Переходный процесс в элементе,
состоящем из апериодического и интегрирующего звеньев
По АФЧХ (рис. 2.17) постоянная времени находится как [44]:
T=
1
1
⋅
.
ωi tg ϕ(ωi )
(3.13)
Тангенс фазового угла вычисляется, как и ранее.
Произведение k ⋅T соответствует величине вещественной части
АФЧХ при нулевой частоте [46], однако для рассматриваемого элемента P (0) =∞ . Поэтому значение k следует определить по величине
вещественной части при минимальной приведенной частоте ωk (что не
приведет к большой погрешности результата) по выражению:
k=
P(ωk )
.
T
103
Рис. 2.17. АФЧХ элемента,
состоящего из апериодического и интегрирующего звеньев
2.3.4. Определение параметров элемента,
состоящего из двух апериодических и интегрирующего звеньев,
по динамическим характеристикам
Передаточная функция элемента, состоящего из последовательно
соединенных двух апериодических и интегрирующего звеньев, имеет
вид:
W ( p) =
k
.
(T1 ⋅ p +1)⋅(T2 ⋅ p +1)⋅ p
(3.14)
Установлено [44], что при нахождении постоянных времени по
графику переходного процесса (рис. 2.18) необходимо построить его
асимптоту, которая на оси абсцисс будет отсекать отрезок, равный
сумме постоянных времени апериодических звеньев ΣT =T1 +T2 . Считая величину T1 большей, определяем ее как:
ΣT
S ( ΣT ) 2
,
T1 =
+
−
k
2
4
где S – площадь, ограниченная осью абсцисс, кривой переходного процесса и его асимптотой (см. рис. 2.18).
104
Рис. 2.18. Переходный процесс в элементе,
состоящем из двух апериодических и интегрирующего звеньев
Рис. 2.19. АФЧХ элемента, состоящего из двух апериодических
и интегрирующего звеньев
При этом методика определения величины k аналогична методике
нахождения коэффициента передачи элемента, состоящего из апериодического и интегрирующего звеньев.
105
Меньшая постоянная времени T2 =ΣT −T1 .
(3.15)
При использовании АФЧХ (рис. 2.19) большая постоянная времени находится как:
T1 =
P (ωk ) − 2⋅ P(ω0 ) + P 2 (ωk ) − 4⋅ P(ω0 )⋅ P(ωk )
,
2⋅ P(ω0 ) ⋅ω02
где ω0 – значение частоты, при которой МЧХ равна нулю.
Для определения параметра T2 необходимо воспользоваться формулой (3.15).
Коэффициент передачи вычисляем по выражению:
k=
P(ωk )
.
ΣT
2.3.5. Определение параметров элемента, состоящего
из апериодического и идеального дифференцирующего звеньев,
по динамическим характеристикам
Передаточная функция элемента, состоящего из последовательно соединенных апериодического и идеального дифференцирующего
звеньев (такая комбинация называется реальным дифференцирующим
звеном), имеет вид:
W ( p) =
T2 ⋅ p
.
T1 ⋅ p +1
(3.16)
Постоянная времени T1 по кривой переходного процесса (рис. 2.20)
находится по правилам определения постоянной времени апериодического звена, а постоянная дифференцирования – как [44]:
T2 =T1 ⋅ x(0) ,
(3.17)
где x(0) – значение кривой переходного процесса в начальный момент
времени.
С помощью АФЧХ (рис. 2.21) постоянная времени T1 может быть
найдена по выражению (3.13), а [44]:
T2 =T1 ⋅ P (∞) ,
где P(∞) – значение ВЧХ при ω → ∞.
106
Рис. 2.20. Переходный процесс в элементе,
состоящем из апериодического и идеального дифференцирующего звеньев
Рис. 2.21. АФЧХ элемента,
состоящего из апериодического и идеального дифференцирующего звеньев
107
2.3.6. Определение параметров элемента, состоящего из
апериодического звена и форсирующего звена первого порядка,
по динамическим характеристикам
Передаточная функция элемента, состоящего из последовательно
соединенных апериодического звена и форсирующего звена первого
порядка, имеет вид:
W ( p) =
k ⋅(T2 ⋅ p +1)
.
T1 ⋅ p +1
(3.18)
Здесь кривая переходного процесса может быть двух типов (рис. 2.22):
1 – при T1 < T2; 2 – при T1 > T2. Постоянная времени T1 определяется
аналогично случаю с апериодическим звеном, но с учетом начальных
условий (см. рис. 2.22). Постоянная времени T2 вычисляется по формуле (3.17).
Рис. 2.22. Переходные процессы в элементах, состоящих из
апериодического звена и форсирующего звена первого порядка
АФЧХ рассматриваемого элемента (рис. 2.23) также может быть
двух видов в зависимости от условий, аналогичных для переходного
108
процесса. Анализ частотных характеристик позволяет определить параметры элемента по выражениям:
T1 =
1 P(0) − P(ωi )
⋅
;
ωi P (ωi ) − P(∞)
T2 =
T1 ⋅ P (∞)
,
P (0)
где ωi – произвольное значение угловой частоты.
Коэффициент передачи k определяется по (3.3) и (3.4).
Рис. 2.23. АФЧХ элементов, состоящих из апериодического
звена и форсирующего звена первого порядка
2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА ЗВЕНА
ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Рассмотрим методику определения порядка звена по графику
переходного процесса.
Звено первого порядка. Для установления принадлежности переходного процесса (рис. 2.24) звену первого порядка требуется выполнение двух условий: 1) необходимое условие – неравенство нулю первой производной переходной функции в начальный момент времени;
2) достаточное условие – соответствие кривой переходного процесса
109
экспоненциальной зависимости, для которой справедливо соотношение [44]:
xуст − x1
xуст − x2
=
xуст − x2
xуст − x3
.
В приведенной зависимости используются четыре значения выходной координаты (см. рис. 2.24), два из которых – x1 и x3 – соответствуют точкам, располагающимся от средней, имеющей величину x2,
на некоторых равных промежутках времени Δt.
Звенья порядка выше первого. Если такие звенья имеют монотонные переходные процессы (рис. 2.25), то эти кривые отклика обладают
единственной особенностью – наличием точки перегиба, которая имеет определенную связь с порядком звена.
В рассматриваемом случае порядок звена может быть определен
по величине x0, равной расстоянию между точкой А пересечения касательной, проведенной в точке B (xп; tп) перегиба кривой переходного
процесса, с осью ординат и горизонталью, проведенной на уровне точки B. Конкретному порядку n звена соответствует определенная величина x0 / xуст (табл. 2.1) [44].
Рис. 2.24. Проверка соответствия кривой переходного процесса звена
первого порядка экспоненциальной зависимости
110
Рис. 2.25. Динамические характеристики звена n-го порядка:
а – график переходного процесса;
б и в – его первая и вторая производные, соответственно
111
Таблица 2.1
Сопоставление отношения x0 / xуст с порядком звена n
x0 / xуст
0.3679
0.5412
0.6722
0.7816
0.8776
n
2
3
4
5
6
Величину отрезка x0 можно определить графически или по выражению:
x0 = tп ⋅
dx
.
dt t=tп
Наиболее просто порядок передаточной функции, которая не имеет
нулей, определяется по АФЧХ [44]. В этом случае порядок звена соответствует количеству квадрантов, которое проходит АФЧХ (рис. 2.26).
Рис. 2.26. АФЧХ звеньев различного порядка:
1, 2, 3, 4 – порядок звена
112
2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ,
ПОЛУЧЕННЫМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ОТЛИЧНЫХ ОТ ТИПОВЫХ
Рассмотрим динамические характеристики некоторых звеньев
в случае, когда время перехода входной координаты от начального до
конечного ее значения существенно по сравнению со временем переходного процесса. В этом случае для определения параметров передаточных функций используются методы, несколько отличные от тех,
которые применялись при исследовании реакции динамических звеньев на типовое ступенчатое воздействие.
Постоянную времени T апериодического звена при таком воздействии можно определить аналогично тому, как это выполняется при
ступенчатом воздействии, но за начало переходного процесса принять
момент времени t0, когда входная координата достигнет своего конечного значения (рис. 2.27) [44].
Рис. 2.27. Определение параметров апериодического звена
по графику переходного процесса при нетиповом входном воздействии:
1 – график переходного процесса;
2 – входное воздействие, умноженное на коэффициент передачи k
113
Определение постоянных времени T1 и T2, элемента, состоящего
из двух последовательно соединенных апериодических звеньев, в рассматриваемых условиях ведется в следующей последовательности:
1. По графику переходного процесса (рис. 2.28) таким же образом,
как и при ступенчатом воздействии, находится сумма постоянных времени ΣT =T1 +T2.
Рис. 2.28. Определение параметров двойного апериодического звена
по графику переходного процесса при нетиповом входном воздействии:
а: 1 – график переходного процесса; 2 – входное воздействие, умноженное
на коэффициент передачи k; б и в – первая и вторая производные графика
переходного процесса, соответственно
114
2. Вычисляется произведение постоянных времени по выражению:
ΠT =T1 ⋅T2 =
S −ΣT ⋅ x1
,
dx
dt t=t1
где S – площадь, ограниченная кривой переходного процесса,
функцией входного воздействия, умноженной на коэффициент
передачи k, и вертикалью, восстановленной в произвольный
момент времени t1 (см. рис. 2.28); x1 и
dx
– величина выходной
dt t=t1
координаты и ее производная в выбранный момент времени t1.
3. Определяется большая постоянная времени как:
ΣT + (ΣT ) 2 − 4⋅ΠT
.
T1 =
2
4. Находится меньшая постоянная времени:
T2 =ΣT −T1 .
Параметры колебательного звена определяются по выражениям
[44]:
T=
t3 −t1
1
⋅
;
π
1+ a 2
ξ= −
a
1+ a
2
,
где:
a=
π t −3⋅t1
t3 −t1
− tg ⋅ 3
;
t1 ⋅π
2
t
−
t
3
1
t1 и t3 – моменты времени, соответствующие первому и второму
пересечениям кривой переходного процесса установившегося
значения (см. рис. 2.29).
115
Рис. 2.29. Определение параметров колебательного звена
по графику переходного процесса при нетиповом входном воздействии:
1 – график переходного процесса; 2 – входное воздействие,
умноженное на коэффициент передачи k
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
Что такое переходный процесс?
В чём отличие переходных процессов «в большом» и «в малом»?
Что представляет собой и что показывает амплитудно-фазовая частотная
характеристика?
4. Запишите передаточные функции апериодического и колебательного звеньев.
5. АФЧХ звена запаздывания представляет собой окружность. Какой параметр передаточной функции звена запаздывания определяет радиус этой
окружности?
6. Чему равны первая и вторая производные переходной функции элемента,
состоящего из двух апериодических звеньев, в точке её перегиба?
7. Сколько квадрантов комплексной плоскости проходит АФЧХ элемента,
состоящего из последовательно соединённых апериодического и колебательного звеньев?
8. Какой параметр передаточной функции элемента, состоящего из последовательно соединенных апериодического и интегрирующего звеньев, характеризует наклон асимптоты переходной характеристики?
9. Сколько квадрантов комплексной плоскости проходит АФЧХ звена третьего порядка?
10. Приведите пример входного воздействия, отличного от типовых.
116
3. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
3.1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
В настоящее время наиболее эффективным и наиболее распространённым подходом к идентификации объектов управления является их
моделирование с использованием средств вычислительной техники.
Имеется достаточно широкий спектр программных средств, в той или
иной степени используемых для решения задач идентификации объектов управления.
В данной главе остановимся на рассмотрении системы технических
вычислений Matlab, которая дополняется большим количеством прикладных программ. В частности Matlab обладает широким функционалом для исследования динамических объектов и систем управления,
основным из которых является приложение Simulink [47]. Также стоит
отметить пакет System Identification Toolbox программы Matlab, который
содержит средства идентификации динамических объектов и систем на
основании наблюдаемых входных / выходных данных [48]. В качестве
вспомогательного инструмента расчётов и графического представления
результатов и их анализа будем использовать среду MathCAD [49].
В последующих пунктах главы 3 будет рассмотрена работа обозначенных программных средств на конкретном примере. Более подробная информация о пакете Simulink приводится в [47, 50], о пакете
System Identification Toolbox – в [48]. Основы работы с MathCAD изложены в [49].
3.2. АППРОКСИМАЦИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ ТИПОВЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ЗВЕНЬЯМИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию трансцендентных передаточных функций, полученных в п. 1.6.4 при математическом моделировании регенератора активного ила как объекта с распределёнными параметрами.
117
Как уже было сказано, передаточные функции (1.74) и (1.76) являются трансцендентными, что затрудняет их использование при синтезе систем автоматического управления технологическим процессом
биологической очистки сточных вод. Поэтому целесообразно аппроксимировать их набором типовых динамических звеньев. В этом случае
запишем, что передаточная функция (1.75):
W р ( p ) ≅ W р.Α ( p ) = W1 ( p ) ⋅ W2 ( p ) ,
(3.1)
где Wр.А(p), W1(p), W2(p) – типовые формы передаточных функций Wр(p),
Wр.I(L,p),
W р.II ( p ) , соответственно.
Переход к типовым передаточным функциям осуществим с использованием аппарата амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ). Проанализируем случай, характеризующийся исходными данными, представленными в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Параметры технологического процесса биологической очистки сточных вод
Параметр
i
I
II
L, м
60
H, м
5
Bi, м
4
1
Qи.р, м3/с
0.046
Qв, м3/с
0.5468
fi = Bi, м
4
1
kвi
2/3
1/6
Для определения точек на комплексной плоскости и дальнейшего построения АФЧХ центрального канала регенератора осуществим
замену оператора p в передаточной функции (1.76) на j·ω1 (где j – мнимая
единица, ω1 – частота). Расчёт и построение АФЧХ Wр.I(L, j·ω1) осуществим в программе MathCAD. Листинг представлен на рис. 3.1-3.3 (отметим, что Wр.I(L, j·ω1) ≡ Wр.I( j·ω1)). Отметим, что листинг, представленный на рис. 3.3, включает также передаточную функцию, полученную
118
в результате аппроксимации, и построенную с помощью неё АФЧХ.
Методика её определения представлена ниже.
Рис. 3.1. Листинг программы MathCAD для расчёта и построения АФЧХ
Wр.I( j·ω1) (начало)
119
Рис. 3.2. Листинг программы MathCAD для расчёта и построения АФЧХ
Wр.I( j·ω1) (продолжение)
Рис. 3.3. Листинг программы MathCAD для расчёта и построения АФЧХ
Wр.I(j·ω1) (окончание): Re – вещественная часть АФЧХ; Im – мнимая часть АФЧХ
120
Подбор передаточной функции, соответствующей выражению
(1.76), выполним с помощью пакета System Identification Toolbox программы Matlab. Здесь для идентификации будем использовать значения АФЧХ, но стоит отметить, что пакет System Identification Toolbox
может также работать с различными типами исходных данных –
переходные характеристики, логарифмические амплитудно-фазовые
характеристики.
После запуска Matlab до перехода к работе с System Identification
Toolbox в рабочей области «Workspace» главного окна (рис. 3.4) создадим две переменные «w1» и «WrI», соответствующие частоте ω1
и значениям АФЧХ Wр.I( j·ω1). Для этого устанавливаем курсор в области «Workspace», нажимаем правую кнопку мыши и в появившемся меню выбираем пункт «New». В результате появится переменная
«unnamed» (рис. 3.5), которую переименовываем в «w1». Далее дважды
нажимаем на созданную переменную, в результате чего открывается
таблица «Variable – w1» (рис. 3.6). Копируем в первый столбец этой
таблицы значения частоты ω1 из рабочего листа MathCAD (рис. 3.2).
После этого в столбце «Value» области «Workspace» появится размер
скопированного массива и тип данных (рис. 3.7).
Рис. 3.4. Создание переменных в рабочей области «Workspace»
главного окна Matlab
121
Рис. 3.5. Переименование переменных в рабочей области «Workspace»
главного окна Matlab
Рис. 3.6. Таблица данных переменной «w1»
122
Рис. 3.7. Массив данных переменной «w1»
Аналогичные действия производим для создания переменной
«WrI» (рис. 3.8), используя данные из рабочего листа MathCAD (рис. 3.2),
соответствующие значениям АФЧХ Wр.I( j·ω1).
После задания необходимых переменных перейдём к работе в пакете System Identification Toolbox, для запуска которого в главном окне
Matlab на панели приложений «APPS» (рис. 3.9) требуется нажать кнопку «System Identification» или в командном окне «Command Window»
ввести команду «ident» и нажать «Enter».
В появившемся диалоговом окне «System Identification» (рис. 3.10)
для загрузки данных, необходимых для анализа объекта в частотной
области, в верхнем левом углу из раскрывающегося списка «Import
Data» выберем вариант «Freq. domain data…». В результате появится
окно «Import Data» (рис. 3.11), в котором выбираем формат вносимых
данных («Data Format for Signals»). Для нашего случая, когда используются данные АФЧХ, из выпадающего списка (рис. 3.11) выбираем
вариант «Freq. function (Complex)». После этого в области «Workspace
variable» внесём названия созданных нами ранее в рабочей области
123
переменных: в поле отклика «Response» – переменную «WrI», в поле
«Frequency» – частоту «w1» (рис. 3.12). В области «Data information»
в поле «Data name» введём название создаваемого массива данных –
«Regenerator1». Нажимаем кнопку «Import» (рис. 3.12). Указанные действия приведут к появлению в одной из ячеек в левом верхнем углу окна
«System Identification» значка в виде цветной линии, сопровождающейся надписью «Regenerator1» (рис. 3.13), что говорит об успешной загрузке данных. Также в связи с тем, что загружен один массив данных, он
автоматически отобразится в ячейке рабочих данных «Working Data»
и в ячейке данных для проверки модели «Validation Data» (рис. 3.13).
Если по каким-то причинам требуется удалить загруженный массив
данных, то необходимо соответствующую ячейку, находящуюся под
меню «Import Data», захватить левой кнопкой мыши, перетащить на
значок
.
Далее необходимо в выпадающем списке «Estimate» (рис. 3.13) выбрать вид модели объекта управления. В нашем случае используем
вариант «Process Models…». В результате откроется соответствующее
окно (рис. 3.14).
Рис. 3.8. Массив данных переменной «WrI»
124
Рис. 3.9. Запуск пакета
System Identification Toolbox
Рис. 3.10. Диалоговое окно
«System Identification»
125
Рис. 3.11. Окно «Import Data»
Рис. 3.12. Внесение массивов данных
Рис. 3.13. Окно «System Identification» после загрузки массива данных
126
Инструмент «Process Models…» позволяет получить математическую модель в виде передаточной функции, соответствующей совокупности типовых динамических звеньев. В общем случае здесь можем
получить передаточную функцию, включающую безынерционное звено (коэффициент передачи), звено запаздывания, форсирующее звено
первого порядка, три апериодических звена (или одно колебательное
и одно апериодическое), интегратор.
В нашем случае исходя из анализа АФЧХ Wр.I(j·ω1) (рис. 3.3, красная
непрерывная кривая) предполагаем, что типовая форма передаточной
функции W1(p) центрального канала состоит из совокупности трёх апериодических звеньев и одного форсирующего звена первого порядка:
Wр.I ( L, p ) ≅W1 ( p ) =
Т рI.4 ⋅ p+1
(Т рI.1 ⋅ p+1 )⋅(Т рI.2 ⋅ p+1 )⋅(Т рI.3 ⋅ p+1 )
.
Рис. 3.14. Окно «Process Models»
при определении параметров передаточной функции W1(p)
127
(3.2)
Для определения параметров передаточной функции такого вида
в окне «Process Models…» (рис. 3.14) в области выбора количества полюсов «Poles» указываем «3», а в соседнем списке обозначаем, что все
полюса вещественные, т.е. выбираем пункт «All real». Такие настройки
приводят к появлению в передаточной функции трёх апериодических
звеньев. Учтём наличие форсирующего звена первого порядка, отметив пункт «Zero», соответствующий присутствию нулей.
В связи с тем, что нам известно значение коэффициента передачи, равного единице, в таблице параметров в столбце «Par» находим
«K» (рис. 3.14). В столбце «Value» соответствующей строки вносим
значение коэффициента – «1», а в столбце «Known» отмечаем его как
известный параметр. После этого, нажав на кнопку «Estimate», запускаем расчёт. В результате программа выдаёт значения искомых
параметров (рис. 3.15). Здесь Tр1 соответствует постоянной времени
TрI.1, Tр2 – TрI.2, Tр3 – TрI.3, Tz – TрI.4.
Рис. 3.15. Окно «Process Models» после определения параметров
передаточной функции W1(p)
128
129
Рис. 3.16. Варианты представления результатов идентификации
С учётом численных значений постоянных времени передаточная
функция (3.2) примет вид:
Wр.I ( L, p ) ≅W1 ( p ) =
−2456.6⋅ p+1
.
(15037.3⋅ p+1) ⋅(4603.2⋅ p+1) ⋅(4591.2 p+1)
(3.3)
Отметим, что информация о результатах расчётов отображается в ячейках, находящихся в правой верхней части окна «System
Identification». Например, результаты нашего расчёта отображены
с помощью значка в виде цветной линии с надписью «P3Z» в одной
из ячеек (рис. 3.16). Имеется возможность сравнить логарифмические
частотные характеристики, полученные на основе исходных данных
и модели. Для этого нужно выбрать пункт «Model output». Также имеется широкий спектр представления полученных результатов идентификации, например, в виде переходного процесса («Transient resp»)
и амплитудно-фазовых частотных характеристик («Frequency resp»).
Оценим качество проведённой аппроксимации путём сравнения
АФЧХ, построенных в программе MathCAD на основе исходных и модельных данных. Как видно из характеристик (рис. 3.3), имеет место
достаточное для решения инженерных задач качественное и количественное совпадение АФЧХ Wр.I( j·ω1) и W1( j·ω1), что свидетельствует об
адекватности проведённой аппроксимации.
Аппроксимацию передаточной функции (1.74) распределительного канала осуществим с использованием аналогичных подходов. Поэтому остановимся на рассмотрении только тех этапов, реализация которых предполагает наличие более или менее существенных отличий
в выполнении описанных ранее шагов аппроксимации в пакете System
Identification Toolbox и требующих дополнительных пояснений.
В передаточной функции (1.74) произведём замену оператора p на
j·ω2 (где ω2 – частота). Расчёт и построение АФЧХ
W р.II ( j·ω2 ) также
осуществим в программе MathCAD. Листинг представлен на рис. 3.17–
3.20 (
W р.II ( j·ω2 ) ≡ Wр.II( j·ω2)).
После загрузки переменных, соответствующих частоте ω2 и значениям АФЧХ Wр.II( j·ω2), в ещё одной ячейке в левом верхнем углу
окна «System Identification» появится значок в виде цветной линии
с определённой надписью (в нашем случае «Regenerator2») (рис. 3.21).
Для использования загруженных данных в качестве массива, по которому происходит идентификация, необходимо захватить ячейку
«Regenerator2», нажав на ней левой кнопкой мыши и не отпуская, переместить в ячейку «Working Data» (рис. 3.21).
130
Рис. 3.17. Листинг программы MathCAD
для расчёта и построения АФЧХ Wр.II( j·ω2) (начало)
Анализируя АФЧХ Wр.II( j·ω2) (рис. 3.19, красная непрерывная кривая), допускаем, что типовая форма передаточной функции W2(p) распределительного канала состоит из совокупности двух апериодических звеньев и одного форсирующего звена первого порядка:
W р.II ( p ) ≅ W2 ( p ) =
Т рII.3 ⋅ p+1
(Т рII.1 ⋅ p+1) ⋅ (Т рII.2 ⋅ p+1)
.
(3.4)
Переходим к инструменту «Process Models…» (рис. 3.22), в окне
которого в области «Poles» указываем «2», а в соседнем списке выби131
раем пункт «All real». Для введения в передаточную функцию форсирующего звена первого порядка отметим пункт «Zero».
Коэффициенту передачи «K» (рис. 3.22) в столбце «Value» таблицы
параметров присваиваем значение «1», а в столбце «Known» отмечаем его как известный параметр. Расчёт запускаем нажатием кнопки
«Estimate». В результате программа выдаёт значения искомых параметров (рис. 3.23). Здесь Tр1 соответствует постоянной времени TрII.1,
Tр2 – TрII.2, Tz – TрII.3.
Сравнение АФЧХ Wр.II( j·ω2) и W2( j·ω2) (рис. 3.19) показывает, что
имеет место их существенное расхождение. Корректируя постоянную
времени форсирующего звена и принимая её TрII.3 = 1310 с, добиваемся
удовлетворительной для наших целей сходимости (рис. 3.20) и делаем
вывод об адекватности математической модели распределительного
канала регенератора, полученной в результате идентификации.
Учитывая полученные результаты:
W р.II ( p ) ≅ W2 ( p ) =
1310 ⋅ p+1
.
(5387.4 ⋅ p+1) ⋅ (5295 ⋅ p+1)
(3.5)
Рис. 3.18. Листинг программы MathCAD для расчёта и построения АФЧХ
Wр.II( j·ω2) (продолжение)
132
Рис. 3.19. Листинг программы MathCAD для расчёта
и построения АФЧХ Wр.II( j·ω2) (продолжение)
Рис. 3.20. Листинг программы MathCAD для расчёта
и построения АФЧХ Wр.II( j·ω2) (окончание)
133
Рис. 3.21. Окно «System Identification» после загрузки второго массива данных
Рис. 3.22. Окно «Process Models» при определении параметров
передаточной функции W2(p)
134
Рис. 3.23. Окно «Process Models» после определения параметров
передаточной функции W2(p)
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ИНСТРУМЕНТОВ SIMULINK
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Проведем вычислительные эксперименты по исследованию динамики регенератора, в качестве математической модели которого используем передаточную функцию, полученную в результате аппроксимации выражений (1.74) и (1.76). С учётом найденных численных
значений постоянных времени передаточных функций (3.2) и (3.4) она
имеет вид:
Wр.Α ( p ) =
(−2456.6⋅ p+1) ⋅(1310⋅ p+1)
.(3.6)
(15037.3⋅ p+1) ⋅(4603.2⋅ p+1) ⋅(4591.2 p+1) ⋅( 5387.4⋅ p+1) ⋅(5295⋅ p+1)
Результаты получим в виде отклика рассматриваемого динамического объекта на ступенчатое воздействие.
135
Для проведения исследований воспользуемся одним из расширений пакета прикладных программ Matlab Simulink. Запуск его библиотеки осуществляется из главного окна Matlab с помощью нажатия на
кнопку «Simulink Library» панели «HOME» (рис. 3.24). В результате чего
откроется окно библиотеки Simulink (рис. 3.25). Перечень основных блоков библиотеки и их соответствие элементам структурных схем математических моделей объектов и систем управления приведён в Приложении 1. Нажатием на кнопку откроем окно для создания новой модели
(рис. 3.26) и сохраним её с названием «Regenerator». Отметим, что название файла модели Simulink должно начинаться с буквы и может состоять только из букв английского алфавита, цифр и символов нижнего подчеркивания. Использование пробелов не допускается. Также имя
файла не должно совпадать с ключевыми словами Matlab.
Рис. 3.24. Панель инструментов «HOME» главного окна Matlab
Рис. 3.25. Окно библиотеки Simulink
136
Используя блоки библиотеки Simulink, создадим вычислительную модель регенератора. Для их добавления необходимо из окна библиотеки перетащить (захватив левой кнопкой мыши) нужные блоки
в окно модели (рис. 3.26).
Рис. 3.26. Процедура переноса блока из библиотеки Simulink
в окно вычислительной модели
На вход модели будем подавать ступенчатый сигнал (рис. 3.27) вида:
0 ∀ t < 0;
Cи.р.о (t ) = 6 г л ∀ 0 ≤ t < 1.5 ⋅ 105 c;
5
6 ⋅ 1.1 = 6.6 г л ∀ t ≥ 1.5 ⋅ 10 c.
(3.7)
Рис. 3.27. Ступенчатое воздействие, подаваемое на вход вычислительной модели
137
Для реализации такого воздействия введём в модель блок «Step»
из раздела источников сигналов «Sources». Соответствие формируемого блоком «Step» сигнала выражению (3.7) обеспечивается следующими настройками параметров источника (рис. 3.28):
- время возникновения скачка «Step time»: 150000 с;
- начальное значение сигнала (до возникновения скачка) «Initial
value»: 6 г/л;
- конечное значение сигнала (после возникновения скачка) «Final
value»: 6·1.1 г/л (для демонстрации возможности записи численного значения параметра в настройках блока в виде математической
операции оно указано как произведение).
Остальные настройки оставляем по умолчанию.
Рис. 3.28. Окно настройки параметров блока «Step»
Передаточную функцию (3.6) представим совокупностью пяти
последовательно соединённых блоков «Transfer Fcn» из раздела
«Continuous». Следует обратить внимание, что в системе Matlab оператор p обозначается через s, т.е.:
s ≡ p.
138
Блок «Transfer Fcn» моделирует передаточную функцию в виде
отношения полиномов заданного порядка, коэффициенты которых задаются в виде двух векторов. Окно настройки параметров «Function
Block Parameters» открывается двойным щелчком левой кнопкой
мыши по блоку (рис. 3.29). Числителю передаточной функции соответствует строка «Numerator», знаменателю – строка «Denominator».
Коэффициенты полиномов указываются в этих сроках в квадратных
скобках через пробел в порядке убывания степеней оператора p, при
этом сам оператор не указывается (рис. 3.29). Обычно другие строки
окна «Function Block Parameters» оставляют неизменными.
Рис. 3.29. Окно настройки параметров блока «Transfer Fcn»
Заданная передаточная функция после нажатия на кнопку «OK»
отображается внутри блока. Если полиномы и числителя, и знаменателя слишком велики для отображения, то в блоке появляется выраnum( s )
жение вида den( s) . Похожие выражения появляются, если для отображения велик только числитель или только знаменатель. Эти ситуации
139
не влияют на вычисления, поэтому блок можно оставить в таком состоянии или при желании растянуть до того размера, пока полностью
не отобразится заданная передаточная функция.
Для отображения графика изменения выходной координаты во
времени, полученного в результате моделирования динамики объекта, используем блок виртуального осциллографа «Scope» из раздела
«Sinks».
После добавления всех необходимых элементов вычислительная
модель регенератора примет вид, представленный на рис. 3.30.
Рис. 3.30. Окно вычислительной модели Simulink
В рассматриваемом примере для сохранения полученных данных в виде графика используем один из подходов. Это потребует
определённых настроек параметров блока «Scope». Двойным щелчком левой кнопкой мыши по блоку открываем окно для отображения
переходных процессов (рис. 3.31). Виртуальный осциллограф имеет свою панель инструментов, на которой находим вкладку «View»
и в выпадающем меню выбираем «Configuration Properties…». В результате откроется соответствующее окно (рис. 3.32), где переходим
на вкладку «Logging». Чтобы данные сохранялись в рабочей области Matlab, отмечаем пункт «Log data to workspace». В поле «Variable
name» вносим название переменной, например, «Cir» (используются
буквы только английского алфавита). Из списка «Save format» возможных форматов сохраняемых данных выбираем формат массива
«Array», а затем нажимаем кнопку «OK».
140
Рис. 3.31. Окно блока «Scope» для отображения результатов моделирования
Рис. 3.32. Настройки сохранения результатов моделирования
141
Рис. 3.33. Переход к настройкам моделирования
Рис. 3.34. Настройки передачи результатов моделирования
в рабочую область Matlab
В меню «Simulation» окна модели выбираем пункт «Model
Configuration Parameters» (рис. 3.33). После открытия окна «Configuration
Parameters» (рис. 3.34) из списка, расположенного слева, выбираем
142
пункт «Data Import/Export» и исправляем некоторые из появившихся
настроек. Назначим имена массивов данных, которые появятся в рабочей области. В поле «Time» указываем «t» (массив времени), в поле
«Output» указываем «Cir» (массив значений выходной координаты).
При наличии отметки в пункте ограничения количества экспортируемых значений «Limit data points to last» её необходимо убрать. После
чего нажимаем кнопку «OK».
Рис. 3.35. Переходный процесс в объекте управления,
показанный с помощью блока «Scope»
В соответствующем поле окна модели введём необходимое время
расчёта, в нашем случае равное 300000 с (рис. 3.30). Нажав на кнопку «Run»
, запустим расчёт, после окончания которого в блоке
«Scope» отобразится переходный процесс (рис. 3.35) как реакция на
воздействие, формируемое блоком «Step». Также при этом в рабочей
области «Workspace» основного окна Matlab появятся массивы значений времени «t» и выходной координаты «Cir» (рис. 3.36). Для соз143
дания графика необходимо выделить последовательно массивы «t»
и «Cir» (обязательно в обозначенном порядке) путём нажатия на них
левой кнопкой мыши при нажатой клавише «Ctrl». Затем на вкладке
«PLOTS» (рис. 3.36) выбрать тип графика «plot». В результате появится окно с двумя графиками (рис. 3.37). График 1 – это интересующий нас переходный процесс, который отображался в блоке «Scope»,
а график 2 построен ввиду того, что массив «Cir» содержал также
и значения времени. График 2 необходимо удалить. Для настройки
отображения графика и плоскости и удаления графика 2 перейдём
в режим редактирования нажатием кнопки . Удалим лишний график, выделив его левой кнопкой мыши и нажав клавишу «Delete».
А также настроим отображение оставшегося графика и подпишем
оси (здесь на подробном изложении этих операций останавливаться
не будем). В результате он примет вид, представленный на рис. 3.38.
Для сохранения получившегося графика, например, в виде изображения формата JPEG (или какого-либо другого) необходимо на панели
выбрать «File → Save As…». После чего обозначить место, где файл
будет сохранён, ввести название и выбрать тип файла, нажать кнопку
«Сохранить».
Рис. 3.36. Создание графика переходного процесса
с использованием сохранённых в рабочей области Matlab
массивов данных
144
Рис. 3.37. Окно для отображения графиков
Рис. 3.38. Окно для отображения графиков в режиме их редактирования
145
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Каким образом строятся амплитудно-фазовые частотные характеристики
идентифицируемого объекта управления в программе MathCAD?
Назовите последовательность действий при переносе значений АФЧХ из
программы MathCAD в программу Matlab.
Назовите пакет программы Matlab, специально предназначенный для идентификации объектов управления.
Какие параметры используются для идентификации объекта управления по
АФЧХ в специальном пакете программы Matlab?
Назовите основные разделы библиотеки расширения Simulink пакета прикладных программ Matlab, предназначенные для моделирования динамики
объектов управления, и их назначение.
На основании какой схемы в Simulink строится вычислительная модель объекта управления?
Каким образом в вычислительной модели Simulink задаётся требуемая передаточная функция?
146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предприятия строительной отрасли и жилищно-коммунального
комплекса чаще всего представляют собой сложную цепочку технологических этапов, каждый из которых характеризуется множеством
параметров, а протекающие в применяемых установках процессы различной физической природы отличаются своей сложностью. Создание
эффективных систем автоматизации такими объектами требует знания их математических моделей, а также математического описания
сопутствующих технических устройств. В связи с этим решение задачи идентификации является актуальным направлением.
В учебном пособии изложены основы математического описания
объектов различного рода. На примерах моделирования технологических установок и процессов, встречающихся в строительной промышленности и жилищно-коммунальном хозяйстве, показаны подходы
к аналитической идентификации объектов управления.
Рассмотрены приёмы обработки эмпирических данных, используемые в процессе экспериментальной идентификации с целью получения необходимой информации об исследуемом динамическом объекте.
Решение конкретных задач идентификации демонстрирует возможности программных продуктов для моделирования динамики
объектов управления. Изложены подробные пошаговые алгоритмы
аппроксимации динамических кривых передаточными функциями,
их использования при проведении вычислительных экспериментов,
а также способы представления полученных результатов.
В приложении приведён необходимый материал для синтеза структурных схем математических моделей объектов управления и создания
вычислительных моделей, расчёта их основных параметров.
В целом учебное пособие способствует формированию у студентов компетенций, требуемых при работе в сфере автоматизации технологических процессов и установок.
147
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Алексеев, А.А. Идентификация и диагностика систем / А.А. Алексеев,
Ю.А. Кораблев, М.Ю. Шестопалов. – М.: Издательский центр «Академия»,
2009. – 352 с. – ISBN 978-5-7695-5708-8.
Игнатьев, А.А. Основы теории идентификации объектов управления: учеб.
пособие / А.А. Игнатьев, С.А. Игнатьев. – Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т,
2008. – 44 с. – ISBN 978-5-7433-1897-1.
Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей / А.Д. Мышкис. –
М.: ЛЕНАНД, 2016. – 200 с. – ISBN 978-5-9710-3260-1.
Моделирование систем / С.И. Дворецкий, Ю.Л. Муромцев, В.А. Погонин,
А.Г. Схиртладзе. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 320 с. –
ISBN 978-5-7695-4737-9.
Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович,
А.Д. Мышкис. – М.: ЛЕНАНД, 2016. – 600 с. – ISBN 978-5-9710-3238-0.
Андреев, С.М. Разработка и моделирование несложных систем автоматизации с учетом специфики технологических процессов / С.М. Андреев,
Б.Н. Парсункин. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 272 с. –
ISBN 978‑5-4468-1768-9.
Нестеров, А.Л. Проектирование АСУТП. Методическое пособие. В 2-х кн.
Кн. 1. / А.Л. Нестеров. – СПб: Издательство ДЕАН, 2010. – 552 с. – ISBN 978‑593630-797-3.
Энциклопедия кибернетики. В 2-х т. Т. 2 / Под ред. В.М. Глушкова. – Киев:
Главная редакция украинской советской энциклопедии, 1975. – 624 с.
Энциклопедия кибернетики. В 2-х т. Т. 1 / Под ред. В.М. Глушкова. – Киев:
Главная редакция украинской советской энциклопедии, 1975. – 608 с.
Назаров, М.А. Моделирование процесса аэрации сточных вод в сатураторе
поверхностного типа как объекта автоматизации / М.А. Назаров, М.С. Гунько, Д.В. Пушин // Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. – № 3. – С. 16-25.
Назаров, М.А. Технологический процесс биологической очистки сточных вод в аэротенке как объект управления / М.А. Назаров, Д.В. Пушин //
Механизация и автоматизация строительства: сборник статей. – Самара:
СамГТУ, 2018. – С. 165-169.
Рапопорт, Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами / Э.Я. Рапопорт. – М.: Высшая школа,
2003. – 299 с. – ISBN 5-06-004694-X.
Малафеев, С.И. Основы автоматики и системы автоматического управления / С.И. Малафеев, А.А. Малафеева. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 384 с. – ISBN 978‑5-7695-5295-3.
148
14. ГОСТ 2.701-2008 ГОСТ 2.701-2008 Единая система конструкторской документации (ЕСКД). Схемы. Виды и типы. Общие требования к выполнению
(с Поправкой). – М.: Стандартинформ, 2009. – 16 с.
15. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Кн. 1.
Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования / Под. ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1967. – 770 с.
16. Крутов, В.И. Основы теории автоматического регулирования / В.И. Крутов,
И.П. Спорыш, В.Д. Юношев. – М.: Машиностроение, 1969. – 360 с.
17. Пономарев, К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач / К.К. Пономарев. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962. –
184 с.
18. Чермак, И. Динамика регулируемых систем в теплоэнергетике и химии /
И. Чермак, В. Петерка, И. Заворка; Пер. с чеш. Ю.Ф. Кичатова, И.В. Шварца;
Под ред. Н.С. Райбмана. – М.: Мир, 1972. – 623 с.
19. Теория автоматического управления. В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем
автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова
и др.; под. ред. А.А. Воронова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк.,
1986. – 367 с.
20. Аристов, А.В. Математическое моделирование в электромеханике / А.В. Аристов, Л.К. Бурулько, Л.А. Паюк. – Томск: Томский политехнический университет, 2005. – 155 с.
21. Назаров, М.А. Математическое описание процесса вакуумирования керамической массы при производстве кирпича как объекта управления / М.А. Назаров,
А.М. Канцева // Традиции и инновации в строительстве и архитектуре. Строительные технологии: сборник статей / СГАСУ. Самара, 2016. – С. 455-460.
22. Назаров, М.А. Визуализация пространства технологических параметров
процесса формования керамической массы как объекта автоматизации производства кирпича / М.А. Назаров // Научная визуализация. – 2019. – Т. 11,
№ 5. – С. 70-82.
23. Фролов, Е.С. Механические вакуумные насосы / Е.С. Фролов, И.В. Автономова, В.И. Васильев. – М.: Машиностроение, 1989. – 288 с.
24. Назаров, М.А. Структурное моделирование процесса вакуумирования керамической массы как объекта автоматизации / М.А. Назаров // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-29: сб. трудов XXIX
Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.12. –Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т;
Санкт-Петербург: СПбГТИ(ТУ), СПбПУ, СПИИРАН; Самара: Самарск. гос.
техн. ун-т, 2016. – С. 51-53.
25. Гейлер, Л.Б. Основы электропривода / Л.Б. Гейлер. – Минск: Вышэйш. школа, 1972. – 608 с.
149
26. ГОСТ 530-2012 Кирпич и камень керамические. Общие технические условия. – М.: Стандартинформ, 2012. – 39 с.
27. Механическое оборудование и технологические комплексы / С.М. Пуляев
и др. – М.: МГСУ, 2015. – 480 с. – ISBN 978‑5-7264-1001-2.
28. Шарма, Дж. Н. Уравнения в частных производных для инженеров / Дж. Н. Шарма, К. Сингх. – М.: Техносфера, 2002. – 320 с. – ISBN 5-94836-004-0.
29. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников
и инженеров / С. Фарлоу. – М.: Мир, 1984. – 384 с.
30. Жученко, А.И. Динамика объектов с распределёнными параметрами /
А.И. Жученко, Н.А. Кубрак, И.М. Голинко. – Киев: НТУУ «КПИ», 2005. –
121 с. – ISBN 966-8555-27-9.
31. Богданов, В.С. Технологические комплексы и механическое оборудование предприятий строительной индустрии / В.С. Богданов, С.Б. Булгаков,
А.С. Ильин. – СПб: Проспект Науки, 2010. – 624 с. – ISBN 978-5-903090-46-4.
32. Назаров, М.А. Идентификация процесса подготовки керамической массы
в глинорастирателе при производстве кирпича / М.А. Назаров, В.С. Швечихин // Механизация и автоматизация строительства: сборник статей /
АСИ СамГТУ. Самара, 2016. – С. 22-25.
33. Мешенгиссер, Ю.М. Ретехнологизация сооружений очистки сточных вод /
Ю.М. Мешенгиссер. – М.: ООО «Издательский Дом «Вокруг цвета», 2012. –
211 с. – ISBN 978-5-9903646-1-5.
34. Очистка сточных вод / М. Хенце, П. Армоэс, Й. Ля‑Кур‑Янсен, Э. Арван. –
М.: Мир, 2006. – 480 с. – ISBN 5‑03‑003771-3.
35. Жмур, Н.С. Технологические и биохимические процессы очистки сточных
вод на сооружениях с аэротенками / Н.С. Жмур. – М.: АКВАРОС, 2003. –
512 с. – ISBN 5-901652-05-3.
36. Языкин, Д.А Математическое описание регенератора как динамического элемента системы рециркуляции активного ила при биологической
очистке сточных вод / Д.А. Языкин, М.А. Назаров // Механизация и автоматизация строительства: сборник статей. – Самара: СамГТУ, 2019. –
С. 144-149.
37. Конончук, Р.М. Исследование биохимической очистки сточных вод на базе
флокуляционной модели: автореф. дис. … канд. техн. наук / Р.М. Конончук. – Казань, 2000. – 19 с.
38. Мишунин, В.В. Системы автоматического управления и контроля с дробно-иррациональными передаточными функциями / В.В. Мишунин, В.Г. Рубанов. – Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2004. – 255 с.
39. Математическое описание процесса подготовки керамической массы
в двухвальном глиносмесителе как объекта управления / С.Я. Галицков,
К.А. Иванов, М.А. Назаров, П.А. Сабанов, Е.К. Пименов // Научное обозрение. – 2014. – № 6. – С. 84-89.
150
40. Евсюков, В.Н. Нелинейные системы автоматического управления / В.Н. Евсюков. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2007. – 172 с.
41. Савин, М.М. Теория автоматического управления / М.М. Савин, В.С. Елсуков, О.Н. Пятина; под ред. В.И. Лачина. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 469 с. –
ISBN 978-5-222-11274-8.
42. Андрюшин, А.В. Управление и инноватика в теплоэнергетике / А.В. Андрюшин, В.Р. Сабанин, Н.И. Смирнов. – Издательский дом МЭИ, 2011. –
392 с. – ISBN 978-5-383-00539-2.
43. Эрнст, А.Д. Электромеханические переходные процессы в электрических
системах / А.Д. Эрнст. – Нижневартовск: Изд-во НВГУ, 2013. – 130 с.
44. Власов-Власюк, О.Б. Экспериментальные методы в автоматике / О.Б. Власов-Власюк. – М.: Машиностроение, 1969. – 412 с.
45. Основы автоматического регулирования. Теория / под. ред. В.В. Солодовникова. – М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1954. – 1142 с.
46. Литвинов, А.П. Основы автоматики / А.П. Литвинов, С.П. Моржаков, Е.А. Фабрикант; под ред. В.А. Бесекерского. – М.: Машиностроение, 1967. – 272 с.
47. Дьяконов, В.П. Simulink 5/6/7: Самоучитель / В.П. Дьяконов. – М.: ДМКПресс, 2008. – 748 с. – ISBN 978-5-94074-423-8.
48. Дьяконов, В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем.
Специальный справочник / В. Дьяконов, В. Круглов. – СПб: Питер, 2002. –
448 с. – ISBN 5-318-00359-1.
49. Кудрявцев, Е.М. Mathcad 11: Полное руководство по русской версии / Е.М. Кудрявцев. – М.: ДМК Пресс, 2005. – 592 с. – ISBN 5‑94074-175-4.
50. Дьяконов, В.П. MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения / В.П. Дьяконов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: СОЛОН-ПРЕСС,
2008. – 800 с. – ISBN 978-5-91359-042-8.
51. Галицков, С.Я. Математическое описание промышленных объектов управления / С.Я. Галицков, К.С. Галицков, А.П. Масляницын. – Самара: СГАСУ,
2004. – 152 с.
52. Галицков, С.Я. Динамика асинхронного двигателя / С.Я. Галицков, К.С. Галицков, А.П. Масляницын. – Самара: СГАСУ, 2004. – 97 с.
53. Акимов, Л.В. Динамические параметры асинхронных двигателей частотно-регулируемых электроприводов / Л.В. Акимов, В.О. Котляров, Д.Г. Литвиненко // Электротехника и электромеханика. – 2011. – № 3. – С. 10-14.
54. Онищенко, Г.Б. Электрический привод / Г.Б. Онищенко. – М.: Издательский
центр «Академия», 2006. – 288 с. – ISBN 5-7695-2594-0.
55. Присмотров, Н.И. Динамика электромеханических систем / Н.И. Присмотров. – Киров: Науч. изд-во ВятГУ, 2018. – 291 с. – ISBN 978-5-98228-173-9.
56. Ильинский, В.С. Защита аппаратов от динамических воздействий /
В.С. Ильинский. – М.: Энергия, 1970. – 320 с.
151
57. Руденко, Р.Ф. Курсовое проектирование грузоподъёмных машин / Р.Ф. Руденко, М.П. Александров, А.Г. Лысяков. – М.: Машиностроение, 1971. – 464 с.
58. Ривин, Е.И. Динамика привода станков / Е.И. Ривин. – М.: Машиностроение, 1966. – 204 с.
59. Михайлов, О.П. Динамика электромеханического привода металлорежущих
станков / О.П. Михайлов. – М.: Машиностроение, 1989. – 224 с. – ISBN 5-21700449-5.
60. Ванин, В.А. Расчёт и исследование динамических характеристик приводов
металлорежущих станков / В.А. Ванин, А.Н. Колодин, В.Г. Однолько. – Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. – 120 с. – ISBN 978-5-8265-1103-9.
61. Коваль, А.С. Структурная схема механической подсистемы электропривода лифтов при учёте переменной длины канатов подвеса / А.С. Коваль,
Б.Б. Скарыно, Н.С. Лагун // Вестник Белорусско-Российского университета. – 2016. – № 2(51). – С. 130-138.
62. Теория, конструкция и расчёт строительных и дорожных машин / Л.А. Гоберман, К.В. Степанов, А.А. Яркин, В.С. Заленский; под. ред. Л.А. Гобермана. – М.: Машиностроение, 1979. – 407 с.
63. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. – М.: Машиностроение, 1981. – 456 с.
64. Артюнин, А.И. Особенности построения математических моделей в динамических взаимодействиях элементов обобщенного вида / А.И. Артюнин,
Р.С. Большаков // Математика, ее приложения и математическое образование: материалы V Международной конференции. – Улан-Удэ: Изд-во
ВСГУТУ, 2014. – С. 16-23.
65. Галицков, С.Я. Динамика электромеханических исполнительных устройств
систем прецизионных станков и роботов / С.Я. Галицков. – Куйбышев: Куйбыш. политехн. ин-т, 1989. – 108 с.
66. Потапов, К.Г. Исследование и разработка метода и средств оценки текущего
технического состояния главных приводов токарного оборудования на базе
фазохронометрического подхода: дис. … канд. техн. наук / К.Г. Потапов. –
М., 2015. – 189 с.
67. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. – Изд. 3,
доп. – М.: URSS, 2017. – 416 с. – ISBN 978‑5‑9710‑4573-1.
152
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
В табл. П1.1 приводятся основные элементы, используемые при синтезе
структурных схем математических моделей объектов управления, а также
соответствующие блоки вычислительных моделей, создаваемых в пакете Matlab
Simulink. Также обозначены разделы библиотеки Simulink, в которых находятся
те или иные блоки.
Таблица П1.1
Элементы структурных схем и вычислительных моделей
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Математические операции
Раздел «Math Operations»
Сложение
Sum
Вычитание
или
(–)
Умножение
Деление
Product
x
x
÷
Divide
153
Продолжение табл. П1.1
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Извлечение
квадратного корня
Sqrt
( )2
Возведение в
квадрат
или
Math Function
(square)
x
Экспонента
exp
Math Function
(exp – установлено
по умолчанию)
Натуральный
логарифм
ln
Math Function
(log)
Десятичный
логарифм
log
Math Function
(log10)
10( )
Math Function
(10^u)
Возведение
числа «10»
в степень, равную
входной величине
Возведение
входной величины
в переменную
степень
( )x
Math Function
(pow)
x
Величина,
обратная входной
( )–1
Math Function
(reciprocal)
Модуль
| |
Abs
154
(внешний
вид блока
в библиотеке)
Продолжение табл. П1.1
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Тригонометрическая функция
sin
Trigonometric
Function
Определение знака
переменной
sign
Sign
Умножение входной величины на
k
постоянный коэффициент, безынерционное звено
Динамические звенья
Апериодическое
звено
k
T⋅ p+ 1
Колебательное
звено
k
T ⋅ p + 2⋅ξ ⋅T ⋅ p + 1
Интегрирующее
звено
1
T⋅ p
Реальное
дифференцирующее звено
p
T⋅ p+ 1
Интегрирующее
звено
1
p
Идеальное
дифференцирующее звено
p
Реальное
дифференцирующее звено
p
T⋅ p+ 1
2
Gain
Раздел «Continuous»
Transfer Fcn
(в зависимости от
моделируемого
звена блок имеет
определённый,
различный для
каждого случая
внешний вид, по
умолчанию настроен на моделирование апериодического звена)
Integrator
Derivative
155
(внешний
вид блока
в библиотеке)
Продолжение табл. П1.1
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Звено запаздывания (с постоянной
e–τ · p
величиной времени запаздывания)
Звено запаздываe–τ · p
ния (с переменной
величиной времеτ
ни запаздывания)
Нелинейности
Ограничение
y
по уровню
y1
x2
(с постоянными
0 x1 x
y
порогами ограничений)
Зона нечувствительности
(с постоянными
границами)
Релейная
характеристика
Transport Delay
Variable Transport
Delay
Раздел «Discontinuities»
Saturation
y
x2
0 x1
y
y
Dead Zone
x
y1
0
x2 x1
Relay
x
y
x2
Люфт
Backlash
x1 x
Табличные данные
Раздел «Lookup Tables»
y
Использование
данных в табличной форме
0
x
1-D Lookup Table
или
y=f(x)
156
Продолжение табл. П1.1
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Раздел
«Logic and Bit Operations»
Логические операции
Логический
элемент
И
Logical Operator
Сравнение
входного параметра с постоянной
величиной
≤3
Compare To
Constant
x≤y
Relational Operator
Сравнение
переменных
x
y
Задание произвольной функции
Произвольная
функция
Раздел «User-Defined Functions»
y=f(x)
Fcn
Изменение маршрута сигналов
Раздел «Signal Routing»
Ключ
Switch
Источники сигналов
Постоянное
воздействие
Ступенчатое
воздействие
Линейно нарастающий сигнал
Синусоидальное
воздействие
Раздел «Sources»
1
Constant
На структурных
Step
схемах не обознаRamp
чаются или предSine Wave
ставляются
157
Окончание табл. П1.1
Операция /
оператор
Блок
структурной
схемы
Прямоугольные
импульсы
в виде задатчика
Конструктор
сигналов
Название блока
Блок
вычислительной вычислительной
модели Simulink модели Simulink
Pulse Generator
З
Signal Builder
Регистрация данных
Раздел «Sinks»
Виртуальный
осциллограф
Scope
Вывод текущего
На структурных
числового значения переменной схемах не обозначаются
Построение
графика зависимости одной переменной от другой
Display
XY Graph
В табл. П1.1 обозначены внешний вид и названия блоков из библиотеки
Simulink. Более подробная информация об их свойствах и настройках приводится в [47, 50].
158
Приложение 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ПРИВОДНЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
Двигатель постоянного тока (ДПТ). Математическое описание электромагнитных процессов ДПТ имеет вид [51]:
U я (t ) = Rя ⋅ I я (t ) + Lя ⋅
M д (t ) = C ⋅ Ф ⋅ I я (t ),
d I я (t )
+ C ⋅ Ф ⋅ ωр (t );
dt
(П2.1)
где Uя – напряжение, приложенное к якорной цепи ДПТ; Iя – ток, протекающий
по якорной цепи ДПТ; Rя и Lя – сопротивление и индуктивность якорной цепи
ДПТ, соответственно; C и Ф – конструктивный коэффициент и магнитный поток ДПТ, соответственно; ωр – угловая скорость ротора ДПТ; Мд – вращающий
момент ДПТ.
Вид уравнений динамики механической части электроприводов обусловлен её конструкцией, которая имеет множество вариантов в зависимости от вида
моделируемой установки. Поэтому уравнения для механической части здесь не
приводим, а методика их составления рассмотрена в п. 1.5.
Система (П2.1) в операторной форме после некоторых преобразований примет вид:
I я ( p ) = U я ( p ) − C ⋅ Ф ⋅ ωр ( p ) ⋅
M д ( p ) = C ⋅ Ф ⋅ I я ( p ),
kэ
;
Tэ ⋅ p + 1
(П2.2)
где Tэ – электромагнитная постоянная времени ДПТ,
Tэ =
Lя
;
Rя
kэ =
1
.
Rя
kэ – коэффициент передачи,
Используя систему уравнений (П2.2), синтезируем структурную схему
математической модели ДПТ (рис. П2.1).
159
Рис. П2.1. Структурная схема математической модели ДПТ:
МЧ – математическая модель механической части электропривода; Мн – момент нагрузки
Асинхронный двигатель (АД). Нелинейная модель АД приводится, например, в [52]. Если рассматривается динамика процесса при малых отклонениях
параметров относительно значений, соответствующих некоторому рабочему
режиму, возможно использование линеаризованной модели АД. Её структура
(рис. П2.2) приводится в [53], где электромагнитные процессы АД описываются
выражением:
M д ( p ) = ω0 ( p ) − pп ⋅ ωр ( p ) ⋅
β
,
Tэ ⋅ p + 1
где Мд – вращающий момент АД; ω0 – угловая частота напряжения, питающего
АД; pп – число пар полюсов АД; ωр – угловая скорость ротора АД; β – жёсткость
рабочего участка механической характеристики АД:
β=
Мк – критический момент АД,
2⋅ Mк ;
ωр0 ⋅ sк
М к = λ ⋅ М ном ;
λ – перегрузочная способность АД; Мном – номинальный момент АД; ωр0 – угловая скорость ротора АД в режиме идеального холостого хода; sк – критическое
скольжение на естественной механической характеристике АД:
)
(
sк = sном ⋅ λ + λ 2 − 1 ;
sном – номинальное скольжение АД; Tэ – электромагнитная постоянная времени АД:
Tэ =
1
ωэл0 ⋅ sк
160
;
ωэл0 – угловая скорость электромагнитного поля АД при номинальной линейной
частоте f0ном питающего напряжения:
ωэл0 = 2 ⋅ π ⋅ f 0ном .
Рис. П2.2. Структурная схема математической модели ДПТ:
МЧ – математическая модель механической части электропривода; Мн – момент нагрузки
161
Приложение 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
МЕХАНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Расчёт моментов инерции J механических элементов привода осуществляется в соответствии с формулами, приведёнными в табл. П3.1.
Составление расчётных схем механической части электропривода часто
требует приведения момента инерции одного звена к другому элементу привода.
Если вращающееся звено с моментом инерции J приводится к элементу, соединённому с ним через механическую передачу с передаточным числом i, то
приведённый момент инерции [54, 55], кг·м2:
J' =
J
.
i2
В случае приведения поступательного движения к вращательному:
Jпр = m · ρ2,
и приведения вращательного движения к поступательному [55]:
mпр =
J
,
ρ2
где m и Jпр – масса поступательно движущегося элемента, кг, и его приведённый
к вращательному движению момент инерции, кг·м2, соответственно; J и mпр –
момент инерции вращающегося элемента, кг·м2, и его приведённая к поступательному движению масса, кг, соответственно; ρ – радиус приведения, м.
Таблица П3.1
Моменты инерции механических элементов [56, 57]
Механический
элемент
Сплошной
цилиндр (вал)
или диск
Расчётная формула
момента инерции J,
кг·м2
Эскиз
r
x
x
162
1
⋅ m⋅ r 2
2
Продолжение табл. П3.1
Механический
элемент
Расчётная формула
момента инерции J,
кг·м2
Эскиз
x
r
1
1
⋅m⋅r 2 + ⋅m⋅l 2
4
12
Сплошной
цилиндр или диск
x
l
Полый
цилиндр (вал)
r1 r
2
x
r12 + r22
m⋅
2
x
x
r1
r2
Полый
цилиндр
m⋅
x
Конический вал
l
x r
x
163
3⋅r12 + 3⋅r22 + l 2
12
3
⋅m⋅r 2
10
Продолжение табл. П3.1
Механический
элемент
Расчётная формула
момента инерции J,
кг·м2
Эскиз
r2
Усеченный
конический вал
r
Барабан
x
x r1
x
x
3
r15 − r25
⋅ m⋅
10 r13 − r23
0.7⋅m⋅r 2
r
x
x
Шестерня
0.6⋅m⋅r 2
r
Шкив
x
x
164
Продолжение табл. П3.1
Механический
элемент
Расчётная формула
момента инерции J,
кг·м2
Эскиз
r
x
x
Блок
0.55⋅m⋅r 2
r2
Стержень 1
r1
x
r12 + r1 ⋅r2 + r22
= m⋅
3
x
Стержень 2
1 r23 − r13
⋅ m⋅
=
r2 − r1
3
r2 – r1
r2
r12 + r1 ⋅r2 + r22
m⋅
3
r1
x
x
Пластина
x
l
h
1
⋅m⋅(l 2 + h 2 )
12
x
165
Окончание табл. П3.1
Механический
элемент
Эскиз
Расчётная формула
момента инерции J,
кг·м2
Момент инерции
ц.т.
тела относительно 0
0
оси, параллельной
J 0 + m⋅ R 2
центральной, но
R
отстоящей от неё x
x
на расстояние R
x-x – ось вращения; ц.т. – центр тяжести; m – масса элемента, кг; r, r1, r2 – радиусы, м; l, h – линейные размеры, м; J0 – момент инерции тела относительно его
центральной оси 0-0, кг·м2.
Для определения приближённого значения приведённого к ротору двигателя момента инерции Jмех механической части электропривода (т.е. за исключением момента инерции Jр ротора двигателя) можно воспользоваться выражением:
Jмех = Jр ∙ (FI – 1),
где FI – коэффициент инерции, величина которого зависит от категории привода
в динамическом отношении (табл. П3.2).
Таблица П3.2
Коэффициент инерции [25]
Категория привода в динамическом отношении Коэффициент инерции FI
Лёгкая
1.2
Средняя
1.6
Тяжёлая
2.5
Весьма тяжёлая
4
166
Приложение 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЖЁСТКОСТИ
И ДЕМПФИРОВАНИЯ УПРУГО-ДИССИПАТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Жёсткость – способность твёрдого тела, конструкции или её элементов сопротивляться деформации, вызванной приложенным вдоль выбранного направления
усилием. Различают линейную и крутильную жёсткости.
Мерой сопротивления упругого тела деформации является коэффициент
жёсткости С (часто называют просто жёсткость).
Иногда используют величину, обратную жёсткости, которая называется
податливостью:
1
e= .
C
Крутильная жёсткость валов определяется по выражениям, приведённым
в табл. П4.1. Отметим, что при определении жёсткости вала шпоночные канавки
необходимо учитывать, только если они выходят из-под ступицы [58].
Крутильная жёсткость шлицевых и шпоночных соединений вал-ступица,
(Н·м)/рад [58, 60]:
d 2 ⋅l ⋅h⋅ z
Cшс =
,
kшс
где d – диаметр соединения (для шлицевых соединений – средний диаметр по шлицам), м; l – длина соединения, м; h – рабочая высота шлица (шпонки), м; z – число
шпонок (шлицев); kшс – коэффициент удельной контактной податливости, м3/Н: для
соединения с призматической шпонкой kшс = 6.5⋅10–11 м3/Н, для соединения с сегментной шпонкой kшс = 13.9⋅10–11 м3/Н, для шлицевого соединения kшс = 4.1⋅10–11 м3/Н.
Крутильная жёсткость шарнирных (карданных) муфт, (Н·м)/рад [58]:
Cмш =19.6⋅107 ⋅d 3 ,
где d – диаметр соединяемых валов, м.
Таблица П4.1
Крутильная жёсткость валов [55, 58-60]
Механический
элемент
Сплошной
круглый вал
Эскиз
D
Расчётная формула
крутильной жёсткости
вала Cв, (Н·м)/рад
π⋅G D 4
⋅
32 l
l
167
Продолжение табл. П4.1
Механический
элемент
Расчётная формула
крутильной жёсткости
вала Cв, (Н·м)/рад
Эскиз
π⋅G D 4
;
⋅
32 kк ⋅l
Сплошной
конический вал
D
D1
l
Вал с осевым
отверстием
D d
π⋅G D 4 − d 4
⋅
;
32
l
l
Вал
с эксцентричным
отверстием
Конический
вал
с отверстием
Ступенчатый
вал
e
D d
d D1
l
π⋅G D 4 − d 4
⋅
;
32 kк ⋅l
1 D
kк = ⋅ ×
3 D1
D D2
×1+ + 2
D1 D1
D2
D1
l1
π⋅G D 4 − d 4
⋅
;
32 kэ ⋅l
kэ – рис. П4.1
l
D
1 D
kк = ⋅ ×
3 D1
D D2
×1+ + 2
D1 D1
l2
168
π⋅G
1
⋅
;
32 l1 + l2 +λ
D14 D24
3
1 D1
⋅ 1−
λ≈
8⋅ D13 D1
Продолжение табл. П4.1
Механический
элемент
Расчётная формула
крутильной жёсткости
вала Cв, (Н·м)/рад
Эскиз
h
π⋅G D14
⋅ ;
32 l
Вал со
шпоночной
канавкой
l
D1 = D − 0.5⋅h
D
h
π⋅G D14
;
⋅
32 l
D1 = D −1.2⋅h
Вал с двумя
шпоночными
канавками
l
Шлицевый вал
D
D
π⋅G d 4
⋅
32 l
l
Вал
произвольного
сечения
Вал
с поперечной
прорезью
d
π⋅G F 4
⋅
32 4⋅ J p ⋅l
l
D
a
π⋅G D 4
;
⋅
32 kпр ⋅l
kпр – рис. П4.2
l
α
α
π⋅G D 4
;
⋅
32 kл ⋅l
Вал с лыской
l
D
169
kл – рис. П4.3
Окончание табл. П4.1
Механический
элемент
Расчётная формула
крутильной жёсткости
вала Cв, (Н·м)/рад
Эскиз
h1
π⋅G D 4
⋅
;
32 kш ⋅l
Вал со
шпонкой
l
Вал со втулкой
D
kш ≈1+10⋅
h1
D
π⋅G kвт ⋅ D 4
⋅
;
32
l
D d
l
d 4 Gвт d 4
⋅1−
kвт = 4 +
G D4
D
D, D1, D2, d – диаметры, м; l, l1, l2 – длины, м; G и Gвт – модули сдвига материалов
вала и втулки (табл. П4.2), соответственно, Па; h – глубина шпоночного паза, м;
h1 – высота шпонки, м; kк, kэ, kпр, kл, kш, kвт – безразмерные коэффициенты; Jp –
полярный момент инерции сечения, м4; F – площадь сечения, м2.
Рис. П4.1. Коэффициент kэ для расчёта крутильной жёсткости вала
с эксцентричным отверстием [58]
170
Рис. П4.2. Коэффициент kпр для расчёта крутильной жёсткости вала
с поперечной прорезью [58]
Рис. П4.3. Коэффициент kл для расчёта крутильной жёсткости вала с лыской [58]
Таблица П4.2
Свойства материалов [55]
Материал
Модуль продольной
упругости E, Па
Модуль сдвига G, Па
Углеродистая сталь
(2…2.1)·1011
8.1·1010
Хромоникелевая сталь
2.1·1011
8.1·1010
Чугун
Бронза фосфоритная
Латунь
Алюминий технический
(1.5…1.6)·1011
1.15·1011
(0.91…0.99)·1011
(0.7…0.75)·1011
4.5·1010
4.2·1010
(3.5…3.7)·1010
(2.6…2.7)·1010
171
Крутильная жёсткость кулачковых муфт, (Н·м)/рад [58, 60]:
Cкм =
Dср2 ⋅k2 ⋅ z ⋅h⋅b
4⋅k1
,
где Dср – средний диаметр муфты по кулачкам, м; z – число кулачков; b и h – рабочая ширина и высота кулачка, м; k1 – коэффициент контактной податливости,
k1 = (0.3…0.4)⋅10 –12 м2/Н; k2 – коэффициент, учитывающий фактическое количество кулачков, передающих крутящий момент, k2 = 0.3…0.5.
Крутильные жёсткости зубчатых и фрикционным муфт достаточно велики, поэтому в расчётах их можно не учитывать [58].
Крутильная жёсткость упругих втулочно-пальцевых муфт, (Н·м)/рад [58, 60]:
Cмвп =
K дин ⋅
(HSD)
3
3
⋅d max
0.16⋅10−5
,
где dmax – наибольший из диаметров соединённых валов, м; НSD – твёрдость резины по Шору:
Н = 7.4·HRD;
НRD – твёрдость резины по Роквеллу; Kдин – динамический коэффициент,
Kдин = 2…2.5.
Крутильная жёсткость муфт с резиновой звездочкой, (Н·м)/рад [58, 60]:
Cмз =
K дин ⋅
(HSD)
3
⋅ D 2.6
⋅ −5
k ⋅6.3110
,
где D – номинальный наружный диаметр муфты, м; k = 10 для D = 0.025…0.04 м;
k = 4.5 для D = 0.05…0.1 м.
Жёсткость зубчатой передачи, приведенная к крутильной, (Н·м)/рад [58, 60]:
b⋅ R 2 ⋅cos 2 α
Cзп =
,
kз
где b – рабочая ширина колеса, м; α – угол зацепления, рад; R – радиус начальной
окружности зубчатого колеса, расположенного на валу, к которому приводится
жёсткость передачи (для конических колёс – среднее значение радиуса), м; kз –
упругая деформация пары зубьев при действии единичного нормального давления, приложенного на единицу ширины зуба: для стальных прямозубых колёс
kз = 6⋅10 –11 м2/Н; для стальных косозубых колёс kз = 3.6⋅10 –11 м2/Н; для стальных
шевронных колёс kз = 4.4⋅10 –11 м2/Н.
172
Жёсткость ременной передачи, приведённая к крутильной, (Н·м)/рад [58, 60]:
a⋅ R 2 ⋅ F ⋅ E
,
Cрп =
lэф
где R – радиус шкива, к которому приводится крутильная жёсткость всей передачи, м; lэф – расчётная длина ветви между шкивами, м:
lэф = L + (R1 − R2 )
2
2
2
2⋅(R1 − R2 )
υ
+
⋅ π⋅(R1 + R2 ) +
;
100
L
υ – окружная скорость ремня, м/с; R1 и R2 – радиусы шкивов, м; L – межосевое
расстояние, м; F – площадь сечения ремня (табл. П4.3), м2; Е – модуль продольной упругости ремня (табл. П4.4), Па; a – коэффициент, учитывающий влияние
предварительного натяжения, сила которого составляет Р0 (если величина передаваемой нагрузки Р близка к 2·Р0 и при колебаниях периодически её превышает, можно принять a ≈ 1.5; если Р < 2·Р0 – а = 2; если Р > 2·Р0 – а = 1; для клиноременных передач при нормальной эксплуатации а = 2).
Таблица П4.3
Площадь сечения ремня
в зависимости от вида его профиля [55, 58]
Профиль ремня
О
А
Б
В
Г
Д
Е
Площадь сечения F, м2·10–5
4.7
8.1
13.8
23
47.6
69.2
11.7
Таблица П4.4
Свойства ремней [60]
Профиль
ремня
Плоский ремень
Зубчатый ремень
Клиновый ремень
Материал
Модуль
продольной
упругости Е, Па
прорезиненная ткань
(80…120)·106
хлопчатобумажная ткань
(30…60)·106
высокополимерные материалы
(2250…3800)·106
со стальным кордом
(6000…39000)·106
хлопчатобумажный корд
(80…120)·106
кордотканевые
(250…400)·106
шнуровой корд из волокна анид
(600…800)·106
173
Жёсткость цепной передачи, приведённая к крутильной, (Н·м)/рад [58, 60]:
F ⋅t ⋅ R 2
Cцп =
,
kц ⋅l
где R – радиус начальной окружности звёздочки на валу приведения, м; F – проекция площади опорной поверхности шарнира, м2:
F = l ⋅d ;
l – длина втулки для втулочно-роликовых цепей или ширина цепи для зубчатых
цепей, м; d – диаметр валика, м; t – шаг цепи, м; kц – коэффициент податливости:
для втулочно-роликовых цепей kц = (0.8…1)⋅10 –14 м3/Н, для зубчатых цепей kц =
= (2.0…2.5)⋅10 –14 м3/Н.
Линейная жёсткость каната, Н/м [61]:
Cк =
n⋅ F ⋅ E
,
L
где n – число канатов в ветви; F – площадь поперечного сечения каната, м2; E –
модуль продольной упругости материала каната (табл. П4.2), Па; L – длина соответствующей ветви каната, м.
Линейная «жёсткость» жидкости в гидроцилиндре, Н/м [62]:
kгц ⋅ Fп2 ⋅ Eж
Cгц =
,
Vж
где kгц – коэффициент, учитывающий вид гидроцилиндра: для гидроцилиндра
одностороннего действия kгц = 1, для гидроцилиндра двухстороннего действия
kгц = 2; Fп – площадь поперечного сечения поршня гидроцилиндра, м2; Eж – модуль продольной упругости жидкости, Eж = (15…20)·108 Па; Vж – объем жидкости
в гидроцилиндре, м3.
Линейная жёсткость цилиндрической винтовой пружины с круглым поперечным сечением витков, Н/м [62]:
G ⋅d 4
Cп = 3 ,
8⋅d в ⋅n
где G – модуль сдвига материала пружины (табл. П4.2); d – диаметр проволоки,
м; d – диаметр витка пружины, м; n – количество витков пружины.
Если необходимо привести вращающееся упругое звено к элементу, соединённому с ним через механическую передачу с передаточным числом i, то эта
операция осуществляется в соответствии с выражением:
С
C'кр = 2кр ,
i
174
где Cкр и C′кр– крутильная жёсткость звена и её приведённое значение, (Н·м)/рад,
соответственно.
Формулы приведения линейной жёсткости Cлин, Н/м, к крутильной Cкр.пр,
(Н·м)/рад:
Cкр .пр = Слин ⋅ρ2 ,
и приведения крутильной жёсткости Cкр, (Н·м)/рад, к линейной Cлин.пр, Н/м:
Cлин .пр =
Скр
ρ2
,
где ρ – радиус приведения, м.
При параллельном соединении j упругих элементов их эквивалентна
жёсткость составит [63, 64]:
Cэкв = ∑C j ,
j
где Cj – жёсткость j-го упругого элемента.
В этом случае при параллельном соединении, например, двух элементов
с жёсткостями C1 и C2:
Cэкв2 = C1 + C2 .
При последовательном соединении j упругих элементов [63, 64]:
1
1
=∑ .
Cэкв j C j
Тогда при последовательном соединении двух элементов с жёсткостями C1 и C2:
C ⋅C
Cэкв2 = 1 2 .
C1 + C2
Коэффициент демпфирования D элемента [65, 66] при крутильной деформации, (Н·м·с)/рад:
D=
ψ
⋅ Cкр ⋅ J пр ,
2⋅π
при деформации растяжения или сжатия, (Н·с)/м:
D=
ψ
⋅ Cлин ⋅mпр ,
2⋅π
где Jпр и mпр – момент инерции, кг·м2, и масса, кг, механических элементов, приведённые к упруго-диссипативному элементу, на котором рассматривается рассеивание (поглощение) энергии; ψ – коэффициент относительного рассеяния (поглощения) энергии соответствующего упруго-диссипативного элемента (табл. П4.5).
175
Таблица П4.5
Коэффициент относительного рассеяния
энергии материалов [58, 60, 63, 67]
Материал
Коэффициент относительного рассеяния энергии ψ
Сталь различных марок
Чугун серый
Медь
Латунь
Никель
Пробка
Дерево
Бетон
Железобетон
Стальной канат
Резина
0.01…0.02
0.23
0.33
0.01
0.03
0.04
0.07…0.14
0.26
0.25
0.28
0.6
В общем случае коэффициент относительного рассеяния (поглощения) энергии зависит от условий работы механического элемента, поэтому более точно
его значения можно определить по приведённым в [58, 63] данным.
Если вращающееся звено, которое характеризуется коэффициентом демпфирования D, приводится к элементу, соединённому с ним через механическую
передачу с передаточным числом i, то приведённый коэффициент демпфирования [55], (Н·м·с)/рад:
D' =
D
.
i2
В случае приведения поступательного движения к вращательному:
Dвр .пр = Dпост ⋅ρ2 ;
и приведения вращательного движения к поступательному [55]:
Dпост .пр =
Dвр
ρ2
,
где Dпост и Dвр.пр – коэффициент демпфирования поступательно движущегося элемента, (Н·с)/м, и его приведённое к вращательному движению значение, (Н·м·с)/
рад, соответственно; Dвр и Dпост.пр – коэффициент демпфирования вращающегося
элемента, (Н·м·с)/рад, и его приведённое к поступательному движению значение,
(Н·с)/м, соответственно; ρ – радиус приведения, м.
176
Эквивалентный коэффициент демпфирования параллельно соединённых j
элементов [63, 64]:
Dэкв = ∑ D j ,
j
где Dj – коэффициент демпфирования j-го элемента.
В этом случае при параллельном соединении, например, двух элементов
с коэффициентами демпфирования D1 и D2:
Dэкв2 = D1 + D2.
При последовательном соединении j элементов [63, 64]:
1
1
=∑ .
Dэкв j D j
Тогда при последовательном соединении двух элементов с коэффициентами
демпфирования D1 и D2:
Dэкв2 =
D1 ⋅ D2
.
D1 + D2
177
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................3
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ............4
1.1. Понятия объекта управления и его математической модели.
Выходные координаты, управляющие и возмущающие воздействия..................4
1.2. Способы представления объектов управления.......................................................6
1.3. Особенности математического моделирования объектов управления.................7
1.4. Идентификация технологических процессов как объектов управления................... 10
1.4.1. Идентификация смешивающего теплообменника
как объекта управления................................................................................ 10
1.4.2. Идентификация резервуара с жидкостью как объекта управления......... 14
1.4.3. Идентификация процесса вакуумирования
керамической массы как объекта управления............................................ 17
1.5. Идентификация электромеханических приводов
промышленных установок как объектов управления.......................................... 22
1.5.1. Уравнения движения электропривода......................................................... 22
1.5.2. Идентификация двухмассового электропривода
как объекта управления................................................................................ 28
1.5.3. Идентификация двухмассового электропривода
с кривошипно-шатунным механизмом как объекта управления
(на примере автомата резки керамического бруса)..................................... 32
1.5.4. Идентификация трёхмассового электропривода
как объекта управления (на примере привода передвижения
мостового крана с тихоходным трансмиссионным валом)........................ 38
1.6. Идентификация объектов управления с распределёнными параметрами......... 43
1.6.1. Общие замечания........................................................................................... 43
1.6.2. Идентификация проточного резервуара
как объекта управления с распределёнными параметрами...................... 45
1.6.3. Идентификация процесса увлажнения керамической массы
перед глинорастирателем как объекта управления
с распределёнными параметрами................................................................. 52
1.6.4. Идентификация регенератора активного ила
как объекта с распределёнными параметрами............................................ 57
1.6.5. Идентификация технологического процесса перемешивания
керамической массы в глиносмесителе как объекта
управления с распределёнными параметрами............................................ 63
1.7. Нелинейные объекты управления и линеаризация их математических моделей..... 74
1.7.1. Статические характеристики объектов управления.................................. 74
1.7.2. Линеаризация математических моделей
объектов управления..................................................................................... 77
2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
ПО ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ....................................................84
2.1. Динамические характеристики объектов управления.........................................84
2.2. Определение параметров типовых динамических звеньев
по динамическим характеристикам....................................................................... 89
178
2.2.1. Определение параметров апериодического звена
по динамическим характеристикам............................................................. 89
2.2.2. Определение параметров колебательного звена
по динамическим характеристикам............................................................. 91
2.2.3. Определение параметров форсирующих звеньев
по динамическим характеристикам............................................................. 93
2.2.4. Определение параметров звена запаздывания
по динамическим характеристикам............................................................. 95
2.3. Определение параметров типовых динамических звеньев,
соединённых последовательно, по динамическим характеристикам...................... 96
2.3.1. Определение параметров элемента, состоящего из двух
апериодических звеньев, по динамическим характеристикам................. 96
2.3.2. Определение параметров элемента, состоящего из апериодического
и колебательного звеньев, по динамическим характеристикам................. 99
2.3.3. Определение параметров элемента, состоящего из апериодического
и интегрирующего звеньев, по динамическим характеристикам........... 102
2.3.4. Определение параметров элемента, состоящего из двух апериодических
и интегрирующего звеньев, по динамическим характеристикам........... 104
2.3.5. Определение параметров элемента, состоящего из апериодического
и идеального дифференцирующего звеньев, по динамическим
характеристикам.......................................................................................... 106
2.3.6. Определение параметров элемента, состоящего из апериодического
звена и форсирующего звена первого порядка,
по динамическим характеристикам........................................................... 108
2.4. Определение порядка звена по динамическим характеристикам..................... 109
2.5. Определение параметров линейных звеньев
по динамическим характеристикам, полученным при воздействиях,
отличных от типовых............................................................................................. 113
3. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ...............................................117
3.1. Применение программных продуктов
для моделирования динамики объектов управления..........................................117
3.2. Аппроксимация трансцендентных передаточных функций типовыми
динамическими звеньями с использованием программных средств.................117
3.3. Применение инструментов Simulink
для моделирования динамики объектов управления......................................... 135
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................ 147
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................................................ 148
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................................ 153
Приложение 1. Основные элементы структурных схем
и вычислительных моделей.............................................................................................. 153
Приложение 2. Математические модели приводных электродвигателей................... 159
Приложение 3. Определение моментов инерции механических элементов................ 162
Приложение 4. Определение коэффициентов жёсткости и демпфирования
упруго-диссипативных элементов механических систем............................................. 167
179
Учебное издание
НАЗАРОВ Максим Александрович
Идентификация объектов управления
Редактор, корректор А.А. Сыромятников
Технический редактор Т.П. Клюкина
Подп. в печать 22.10.2020
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная
Усл. п. л. 10,46. Уч.-изд. л. 10,4
Тираж 50 экз. Рег. № 138/20
________________________________________________________________________________
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Самарский государственный технический университет»
443100, г. Самара, Молодогвардейская, 244. Главный корпус
Отпечатано в типографии
Самарского государственного технического университета
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8