Нахождение оригинала по изображению

Нахождение оригинала
по изображению
• Нахождение оригинала с помощью теории
вычетов
• Нахождение оригинала с помощью таблицы и
свойств преобразования Лапласа
Элементы операционного исчисления
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
1
Схема курса
ОРИГИНАЛ
ИЗОБРАЖЕНИЕ
СВОЙСТВА
Преобразование Лапласа
1. Линейность
2. Подобие
3. Запаздывание
4. Смещение
5. Дифференцирование оригинала
6. Дифференцирование изображения
7. Интегрирование оригинала
8. Интегрирование изображения
9. Умножение изображений
10. Умножение оригиналов
ТАБЛИЦА
оригинал-изображение
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
ОРИГИНАЛ
Теория вычетов
ПРИЛОЖЕНИЯ
Линейные дифференциальные уравнения
Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
2
Схема раздела
ИЗОБРАЖЕНИЕ
НАХОЖДЕНИЕ
ОРИГИНАЛА
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ
ВЫЧЕТОВ
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
ОРИГИНАЛ
НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА
С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦЫ
И СВОЙСТВ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
3
Теорема обращения
преобразования Лапласа
Если f(t) – оригинал, являющийся дополнительно на каждом
отрезке кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной
функцией, то в любой точке своей непрерывности f(t) равна
γ + i∞
1
pt
f (t ) =
F
p
e
dp
(
)
∫
2π i γ −i∞
где интеграл вычисляется вдоль любой прямой Re p = γ > s0
и понимается в смысле главного значения,
s0 – показатель роста оригинала f(t)
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
4
Первая теорема разложения
Если функция F(p) аналитична в бесконечно удаленной
точке р=∞, F(∞)=0 и имеет в ее окрестности
лорановское разложение вида
c0 c1 c2
cn
F ( p ) = + 2 + 3 + ... + n +1 + ...
p p
p
p
то оригиналом F(р) служит функция
cn n
c1
c2 2
f (t ) = c0 + t + t + ... + t + ...
1!
2!
n!
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
5
Пример
Пользуясь первой теоремой разложения,
найти оригинал f(t), соответствующий
изображению (условия теоремы выполнены)
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
6
Решение
Разложим функцию в ряд
Переходя к оригиналу, получим
(t>0)
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
7
Пример
Пользуясь первой теоремой разложения,
найти оригинал f(t), соответствующий
изображению
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
8
Решение
Разложим функцию в ряд
Переходя к оригиналу, получим
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
9
Вторая теорема разложения
Пусть изображение F(p) является
дробно-рациональной функцией F ( p) =
(дробь правильная и несократимая),
где A( p ), B ( p )
A( p )
B( p)
- многочлены от p ,
p1 , p2 ,..., pn - полюсы этой функции (простые или кратные),
тогда оригинал дроби имеет вид
n
A( p)
F ( p) =
÷ f (t ) = ∑ res ⎡ F ( pk )e pk t ⎤
⎣
⎦
B( p)
k =1
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
10
Вторая теорема разложения.
Случай кратных корней
Корни р1, p2,... ,рn знаменателя В(р) имеют
кратности m1,m2,... ,mn
n
A( p)
F ( p) =
÷ f (t ) = ∑ res ⎡ F ( pk )e pk t ⎤
⎣
⎦
B( p)
k =1
mk −1
⎡
1
d
pk t
mk pt A( p ) ⎤
res ⎡⎣ F ( pk )e ⎤⎦ =
lim
( p − pk ) e
⎢
m
−
1
(mk − 1)! p → pk dp k ⎣
B ( p ) ⎥⎦
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
11
Вторая теорема разложения.
Случай простых корней
Корни р1, p2 ,... , рn знаменателя В(р) простые
n
A( pk ) pk t
A( p )
F ( p) =
÷ f (t ) = ∑
e
B( p)
B′( pk )
k =1
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью теории вычетов
12
Нахождение оригинала
по изображению
• Нахождение оригинала с помощью теории
вычетов
• Нахождение оригинала с помощью таблицы и
свойств преобразования Лапласа
Элементы операционного исчисления
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
13
Теорема
Каждая правильная рациональная дробь может быть
единственным образом представлена в виде суммы
элементарных дробей четырех видов
A
A
2.
1.
, k ∈ N, k ≥ 2
k
p−a
( p − a)
3.
4.
Bp + C
p 2 + bp + c
, b 2 − 4c < 0
Bp + C
(p
2
+ bp + c
)
k
, b 2 − 4c < 0, k ∈ N , k ≥ 2
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
14
Соответствие
изображений и оригиналов
1.
2.
A
÷ Ae at
p−a
A
( p − a)
k
k −1
t
÷ Ae at
( k − 1)!
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
15
Продолжение
3.
Bp + C
Bp + C
b
b2
2
=
=
=
,
−
=
ω
=
a
c
2
2
2
2
4
p + bp + c ⎛
b⎞
b
⎜ p+ ⎟ +c−
2⎠
4
⎝
Bp + C
B( p + a) + C − Ba
=
=
=
2
2
2
2
( p + a) + ω
( p + a) + ω
=B
p+a
( p + a ) + ω2
Bp + C
p + bp + c
2
2
÷ Be
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
− at
+
ω
(C − Ba)
2
ω
p
a
+
(
) + ω2
C − Ba − at
e sin ωt
cos ωt +
ω
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
16
Пример
Найти оригинал f(t), соответствующий
изображению
F ( p) =
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
2
p ( p 2 + 2 p − 8)
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
17
Решение. Способ 1
Свойство линейности и таблица изображений
2
2
A
B
C
F ( p) =
=
= +
+
2
p ( p + 2 p − 8) p ( p + 4)( p − 2) p p + 4 p − 2
2 = A( p + 4)( p − 2) + Bp ( p − 2) + Cp ( p + 4)
1
1
p = 0 ⇒ 2 = −8 A ⇒ A = − , p = 2 ⇒ 2 = 12C ⇒ C =
4
6
1
p = −4 ⇒ 2 = 24 B ⇒ B = −
12
1 1 1 1
1 1
1
1
F ( p) = −
−
+
÷ f (t ) = − 1 − e−4t + e 2t
4 12
4 p 12 p + 4 6 p − 2
6
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
18
Способ 2
По второй теореме разложения
A = 2, B = p3 + 2 p 2 − 8 p, B′ = 3 p 2 + 4 p − 8
p = 0, p = 2, p = −4 - простые корни знаменателя
2 −4t 2 2t
1 −4t 1 2t
0t
2
1
f (t ) = − e + e + e = − + e + e
8
4 12
24
12
6
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
19
Пример
Найти оригинал по его изображению
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
20
Решение. Способ 1
Свойство линейности и таблица изображений
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
21
Способ 2
Применим вторую теорему разложения
корни знаменателя p1 =2i, p2 =-2i
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
22
Пример
Найти оригинал, если изображение
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
23
Решение. Способ 1
Применим вторую теорему разложения
р1=1 - простой корень знаменателя,
р2=0 - кратный корень (m=3)
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
24
Способ 2
Применим свойство линейности и таблицу изображений
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
25
Способ 3
Изображение представим в виде произведения
где
По теореме о свертке
© В.В. Филатов, В.И. Бутырин, А.В. Гобыш, 2011
Нахождение оригинала с помощью таблицы …
26