Конспект Элементы высшей математики Матрицы

Тема: Матрицы и определители.
Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Обозначения:
A
- матрица размерности m x n
m n
 a11 a12

 a21 a22
A  (aij )  
mn
...
...

a
 m1 am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
a ij
- элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца, где i = 1,2…m;
а j = 1,2…n
- матрица размерности m x n
Две матрицы называются равными, если у них одинаковая размерность и совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной.
Пример:
0  2
 1


A   2 4
5 
 0 3 1 


- квадратная матрица размерности 3х3
Элементы матрицы aij , у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными.
Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она
называется единичной.
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.
1

0
E 
...

0

 b11 
 
b 
B   21 

 
b 
 n1 
0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ...

0 ... 1 
- единичная матрица
- матрица-столбец
0

0
 ...

0

0 ... 0 

0 ... 0 
... ... ...

0 ... 0 
A  (a11 a12 ... a1n )
- нулевая матрица
- матрица-строка
С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.
Например: Распределение ресурсов по отраслям экономики
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл. энергия
8
7.2
Труд. ресурсы
5
3
Водные ресурсы
4.5
5.5
Эту зависимость можно представить в виде матрицы:
 8 7.2 


A  5
3 
3 2
 4.5 5.5 


Где элемент aij показывает, сколько i-го ресурса потребляет j-отрасль. Например, a32 показывает, сколько
воды потребляет сельское хозяйство.
Тема: Действия над матрицами.
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Полученные
произведения образуют итоговую матрицу.
Пусть дана матрица:
A  (aij )
mn
A B
Умножаем ее на число λ:
Где каждый элемент матрицы В:
Где:
bij    aij
i  1,2...m
j  1,2...n
Например: Умножая матрицу
 2 3 0

A  
 1 0 4
на число 2, получим:
 2  2 3 2 0  2  4 6 0
  

A  2  
 1 2 0  2 4  2   2 0 8 
2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент
которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.
Пусть даны матрицы:
A  (aij )
Складываем их: A + B = C
B  (bij )
Аналогично этому проводится вычитание матриц.
Где каждый элемент матрицы С:
cij  aij  bij
Решение:
 2 1 3

A  B  
 2 5 6
 0  2 3

B  
1 5 2
 2 3 0

A  
 1 0 4
Пример. Найти сумму и разность матриц:
 2 5  3

A  B  
0  5 2 
3. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой
матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.
Пусть даны матрицы:
A  (aij )
Умножаем их:
mk
A B  C
mk k n
i  1,2...m
mn
B  (bij )
j  1,2...n
k n
Где каждый элемент матрицы С:
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aik bkj
1

B  1
0

 2 3 0

A  
 1 0 4
Пример. Найти произведение матриц:
0

4
2 
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно, их произведение существует:
 2 1  3 1  0  0 2  0  3  4  0  2   5 12 
  

A  B  
23 32
 1 1  0 1  4  0 1  0  0  4  4  2   1 8 
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
 1  2  0 1

B  A   1  2  4 1
32 23
 0  2  2 1

1 3  0  0
1 0  0  4   2
 
1 0  4  4    6
0  0  2  4   2
1 3  4  0
03 40
Умножение матриц в общем случае некоммутативно:
3
3
0
0

16 
8 
A B  B  A
Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) А+В=В+А;
2) (А+В)+С=А+(В+С);
3) λ(А+В)= λА+λВ;
4) А(В+С)=АВ+АС;
5) А(ВС)=(АВ)С;
4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.
 a11 a12

a22
a
A   21
mn
...
...

a
 m1 am 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... amn 
 a11

a
T
A   12
nm
...

a
 1n
a21 ... am1 

a22 ... am 2 
... ... ... 

a2 n ... amn 
Cвойства операции траспонирования:
1) (АТ)Т=А;
2) (А+В)Т=АТ+ВТ;
3) (λА)Т= λАТ;
4) (АВ)Т=ВТАТ;
Пример. Транспонировать матрицу:
1 4 7


A   2 5 8
 3 6 9


 1 2 3


A   4 5 6
7 8 9


T
Решение:
Тема: Определители. Свойства определителей.
Определителем (детерминантом) матрицы n-го порядка называется число:
2 
a11 a12
a21 a22
a11
a12
 3  a21 a22
a31 a32
 a11a22  a12a21
2 









 n  det A 
a11
a12
...
a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2
... ann
a13
a23  a11a22a33  a21a32a13  a12a23a31 
a33  a13a22a31  a32a23a11  a21a12a33
Правило Сарруса:
Правило треугольника:
«-»
«+»
Примеры:
1)
3)
3 2
1
5
 3  5   2 1  15  (2)  17
cos x  sin x
sin x
cos x
 cos x  sin x  1
2
2
2)
4)
cos x sin x
sin x
log 2 32
cos x
 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x
log 3 27
log 4 16 log 5 125

5 3
2 3
 15  6  9
...
Свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его транспонировать:
det A 
det AT 
3
5
2 4
3 2
5
4
det A  det AT
 12   10  22
 12   10  22
2. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак на противоположный:
3
5
 12   10  22
2 4
2
4
3
5
 10  12  22
3. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя:
a11
ka12
a21
ka22
k
a11
a12
a21
a22
;
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю:
1
1
3
1
1
3
 4 3 6  6 3 4  0
2 1 4
5. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен
нулю:
6. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой
определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых
слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.
a11 ... a1 j  b1 j
... a1n
a21 ... a2 j  b2 j
... a2 n
...
...
...
an1 ...
...
anj  bnj
...

... ann
2 1 4
a11 ... a1 j
... a1n
a21 ... a2 j
... a2 n
...
...
...
...
an1 ... anj
2 2 1 4
...

... ann
2 2 4
a11 ... b1 j
... a1n
a21 ... b2 j
... a2 n
...
...
...
...
an1 ... bnj
...
... ann
2 1 4
7 2 3  7 3 1 3  7 3 3  7 1 3
7 5 5
7 23 5
7 2 5
7 3 5

 
38
60
98
7. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки
(или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.
8. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
a11
0
a21 a22
a31 a32
0
a11
a12
a13
0  0
a33
0
a22
0
a23  a11  a22  a33
a33
Привести определитель к треугольному виду и вычислить его:
Тема: Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором Mij элемента aij det D называется такой новый определитель, который получается из данного
вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца содержащих данный элемент.
Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43
1
2
3
4
1
0 1 5 2
3 2 1 4
1
1
3
2
4
1
4
2
4
M 43  0  1 2  16
M 31   1 5 2  36
1 3 2
M 22  3  1 4  28
1 3 2
3 2
3
3
2
4
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij det D называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком 1
i j
Aij   1
i j
т.е
a11
 M ij
a12
a13
det D  a21 a22
a31 a32
a23
a33
A12   1
1 2
 M12  1
a21 a23
A22   1
2 2
a31 a33
 M 22 
a11
a13
a31 a33
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения
равна этому определителю.
n
det D  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   aik Aik , i  1,..., n
разложение по i-ой строке:
k 1
n
разложение по j-му столбцу: det D  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj   akj Akj ,
j  1,..., n
k 1
Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.
1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:
det D  a31 A31  a32 A32  a33 A33  a34 A34 = a31  14  M 31  a32  15  M 32 
2
3
4
1
3
1
2
4
7
1
1
1
4
2
4
1
2
5
3
  1   1  0  1 2  4   1  0  1 5  3  36  2  2  4  4 11  56
1 1 2
1 1 3
6
7
2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:
4
5
det D  a11 A11  a21 A21  a31 A31  a41 A41  a11   1  M 11  a21   1  M 21  a31  1  M 31  a41  1 M 41 
2
3
4
0 1 5 2
3 2 1 4
 a33  1  M 33  a34  1 M 34  3   1   1 5 2  2   1  0 5 2 
1 3 2
1 3 2
6
3
3 2
1
 1  1  2
1
2
5
2
2
3
4
2
3
4
2
3
4
 1 4  0   1  2  1 4  3   1   1 5 2  1  1   1 5 2 
3 2
1 3 2
1 3 2
2 1 4
3
4
5
 20  0  3  36  32  56
Основные методы вычисления определителя:
1. разложение определителя по элементам строки или столбца;
2. метод эффективного понижения порядка;
3. приведение определителя к треугольному виду.
Метод эффективного понижения порядка:
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, сделав
в каком-либо ряду все элементы, кроме одного, равными нулю.
1 5 1
 4 1  1  2
1
2
5 2  4 14  56
6 1
Вычислить определитель приведением его к треугольному виду:
1
 4
2
2
0 1 1
0 0 2
0
0
3
5
 4 14  56
11
0 7
Тема: Обратная матрица
Определение. Матрица называется обратной к квадратной матрице, если:
Обратная матрица обозначается символом: A1
A  A 1 A 1 A  E
A B  B  A  E
Примечание. Операция деления для матриц не определена. Вместо этого предусмотрена операция
обращения (нахождения обратной) матрицы.
Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы,
называется союзной матрицей.
 A11

A   A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 

A23 
A33 
1
A 
 AT ;
det A
1
Формула для нахождения обратной матрицы:
 A11
1 
A 
 A12
det A 
 A13
1
Алгоритм нахождения:
1. Находим определитель матрицы «А». Он должен быть отличен от нуля.
2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.
3. Составляем союзную матрицу и транспонируем ее.
A 1
4. Подставляем результаты п.1 и п.4 в формулу обратной матрицы.
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:
1 2
A

3 4
Решение. Действуем по алгоритму.
1 2
1. Находим определитель матрицы:
det A =
3 4
= 4- 6 = - 2
Определитель отличен от нуля det A № 0 , следовательно, обратная матрица существует.
2. Находим алгебраические дополнения:
~  4  3
3. Составляем союзную матрицу: A  

 2 1 
4. Записываем обратную матрицу по формуле: A 1
1  4 2 
1
 A T   

2  3 1 
det A
5. Проверка. Воспользуемся определением обратной матрицы и найдем произведение:
A1  A 

1  4 2   1 2 
1  4  1   2   3 4  2   2   4    1    2 0    1 0 



   
2  0  2   0 1 
2  3 1   3 4 
2   3  1  1  3  3  2  1  4 
A21
A22
A23
A31 

A32 
A33 
2. Линии первого порядка
Уравнением линии на плоскости (уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому
удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует линия на плоскости (поверхность в
пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению.
Прямая на плоскости. Основные уравнения
Основные уравнения прямой на плоскости:
M 0 ( x0 ; y0 )
1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору (нормальный
вектор) N  A; B A( x  x0 )  B( y  y0 )  0
N  A; B
M 0 ( x0 ; y0 )
2. Общее уравнение прямой: Ax  By  C  0
N  A; B - вектор нормали
3. Уравнение прямой «в отрезках»:
x y
 1
a b
4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 ( x0 ; y0 ) параллельно заданному вектору s  m; n
x  x0 y  y0

- каноническое уравнение
m
n
s  m; n
- направляющий вектор
s  m; n
5. Параметрические уравнения
 x  mt  x0

 y  nt  y0
M 0 ( x0 ; y0 )
6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 )
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
s  M 1M 2
M 2 ( x2 ; y 2 )
M 1 ( x1 ; y1 )
7. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 ( x0 ; y0 ) с заданным угловым коэффициентом
y  y0  k ( x  x0 )
k  tg
Угловой коэффициент k - это тангенс угла наклона прямой.
Угол  отсчитывается от положительного направления оси OX
8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y  kx  b