3 ВВЕДЕНИЕ Сейчас при изучении математических дисциплин широко применяются средства вычислительной техники, позволяющие существенно повысить интеллектуальные возможности человека. В полной мере это относится и к курсу «Математические основы теории систем», который является трамплином для глубокого освоения и понимания теории автоматического управления. Научиться оперировать абстрактными математическими понятиями и понять их физический смысл может помочь применение компьютерных технологий, позволяющих в интерактивном режиме проводить анализ динамических систем. Основной целью данного учебного пособия является привить навыки работы студентов с системой MathCad, позволяющей решать широкий спектр математических проблем и, в частности, задач теории автоматического управления. После изучения основ работы с системой математического проектирования (MathCad), студенты должны выполнить лабораторные, контрольные и курсовые работы, посвященные моделированию и анализу работы динамических систем. Учитывая это, учебное пособие построено следующим образом. В первой части изложены основы работы с пакетом Mathcad 8.0. Максимальный уклон сделан на освоение приемов работы с Mathcad, которые позволят самостоятельно выполнять математические расчеты, которые наиболее часто встречаются в практике теории автоматического управления. Для контроля усвоения полученных знаний в конце раздела приводится перечень контрольных вопросов. Во второй части приводятся задания на выполнение курсовых и контрольных работ, а также лабораторный практикум. 4 1. ПРИНЦИПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В MATHCAD 1.1. ИНТЕРФЕЙС СИСТЕМЫ MATHCAD 8. 0 1.1.1. История создания и возможности системы В настоящее время для выполнения научно-технических расчетов широко применяются математические программные системы: Eureka, PC MatLAB, MathCad, Maple V, Mathematica 2 или 3 и др. Большое число подобных разработок свидетельствует о значительном интересе к ним во всем мире и бурном развитии компьютерных математических систем. Широкую известность и заслуженную популярность еще в середине 80-х годов приобрели интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCad, разработанные фирмой MathSoft (США). И сейчас они остаются единственными математическими системами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений. Так что системы MathCad вполне оправдывают аббревиатуру CAD (Computer Aided Design), говорящую о принадлежности к наиболее сложным и продвинутым системам автоматического проектирования — САПР. Можно сказать, что MathCad — своего рода САПР в математике. С момента своего появления системы класса MathCad имели удобный пользовательский интерфейс — совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. У этой системы есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Словом, система MathCad ориентирована на массового пользователя. MathCad — математически ориентированная универсальная система. Помимо собственно вычислений она позволяют решать задачи, которые с трудом поддаются текстовым редакторам или 5 электронным таблицам. С ее помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, а также облегчить набор самых сложных математических формул и представить результаты в изысканном графическом виде. В последнее время особый интерес проявляется к системам компьютерной алгебры, способным выполнять не только числовые, но и аналитические вычисления. Однако прошло много лет, прежде чем серьезные системы символьной математики (компьютерной алгебры) появились на персональных компьютерах. К ним можно отнести новое поколение систем MathCad под Windows и ряд других математических систем, таких как Derive, Maple V и Mathematica 2 и 3. Применение их облегчает выполнение самых сложных математических, статистических и финансово-экономических расчетов. Отличительной чертой интегрированной математической системы MathCad является подготовка документов, которые объединяют задание исходных данных, математическое описание их обработки и результаты вычислений (в виде числовых данных, таблиц и графиков). Вид документа в MathCad почти ничем не отличается от вида научной статьи. Удачно решена в MathCad проблема передачи изменений числовых данных в формулах по всей цепочке вычислений. 1.1.2. Запуск и окончание работы с Mathcad Система Mathсad может запускаться несколькими способами. Самый простой из них основан на вызове главного меню Windows c помощью кнопки Пуск и сводится к выполнению следующих действий (рис. 1): нажать кнопку Пуск; в открывшемся главном меню Windows выбрать раздел Программы; в появившемся меню раздела Программы выбрать папку с Mathсad; в папке Mathсad двойным щелчком мыши по ярлыку Mathсad 8 запустить программу. 6 При нормальной загрузке системы экран должен иметь вид, показанный на рис.2. Для окончания работы с Mathсad необходимо применить команду Выход из меню Файл или нажать комбинацию клавиш ALT+F4. Рис.1. Запуск Mathсad с главного меню Windows 1.1.3. Главное меню После запуска системы на экране появится окно (рис. 2), которое содержит ряд структурных элементов: заголовок окна; меню; панель инструментов; рабочая область, строка состояния. Дадим характеристику каждому элементу окна: Строка заголовка окна Меню Содержит название программы и имя файла. Содержит несколько разделов меню, в которых собраны близкие по функциональному назначению команды. Панель Панель, содержащая кнопки, меню и инструментов другие элементы управления, обеспечивающие быстрый запуск команд меню. Рабочая об- Содержит таблицы, формулы, резульласть таты вычислений и другие объекты. Полосы Позволяют просматривать невидимую Прокрутки на экране часть документа. Строка Горизонтальная полоса вдоль нижнего 7 состояния Название программы и имя файла края экрана, в которой выводятся сведения о командах, кнопках панели инструментов и других параметрах. Меню Кнопки управления окном Панели инструментов Рабочая область Строка состояния Полосы прокрутки Рис 2. Вид окна Mathсad после загрузки системы По умолчанию на экран выводится две панели инструментов — Стандартная и Форматирования, которые следуют за строкой меню. Основную часть окна занимает область редактирования, набора математических символов и выполнения вычислений — рабочая область. Большинство функций и режимов Mathcad можно выполнять, выбирая соответствующую команду из пункта Главного меню или щелкая по кнопке на панели инструментов. Панель 8 инструментов содержит кнопки для активизации наиболее часто используемых команд и режимов. Помещая указатель мыши на какую-либо кнопку на панели инструментов, можно получить подсказку с описанием назначения кнопки. На экран можно выводить те или иные панели инструментов и перемещать их в удобное место, изменяя размеры. Как это делается, будет рассмотрено ниже. Дадим краткую характеристику разделам меню: Файл Содержит команды, обеспечивающие открытие, создание или сохранение документа. Здесь можно задать параметры страницы, произвести просмотр документа перед печатью и вывести его на печать. Команда Выход служит для окончания работы. Правка Включает блок команд по редактированию текста, математических символов или другого объекта. Содержит команды по поиску и/или замене информации. Вид Управляет индикацией панелей инструментов, задает рабочую область. Вставка Позволяет вставлять в документ дополнительные элементы и объекты. Формат Обеспечивает изменение формата основных элементов документа. МатемаОбеспечивает выполнение различных математитика ческих режимов и задание единиц измерения. Символы Содержит набор команд и опций, реализующих выполнение аналитических вычислений. Окно Позволяет работать сразу с несколькими документами одновременно. ? Позволяет запустить справочную систему для получения сведений о тех или иных режима работы Mathcad. 9 1.1.4. Панели инструментов Панели инструментов дублируют основные режимы и команды главного меню и служат для быстрого запуска наиболее применимых и используемых функций и режимов. Доступные панели можно включить или выключить с помощью опции Панели инструментов из меню Вид. На рис. 3 представлены все панели инструментов, доступные с помощью этой опции. По умолчанию при загрузке системы на экран выводится 2 панели — Стандартная и Форматирования. Стандартная панель инструментов содержит набор кнопок и может быть разделена на ряд зон (рис. 4): Зона работы с файлами включает в себя следующие кнопки: 1. Новый — создание нового документа с очисткой окна редактирования. 2. Открыть — загрузка ранее созданного документа из диалогового окна. 3. Сохранить — запись текущего документа с его именем. 4. Печать — распечатка документа на принтере. Рис. 3. Панели инструментов Mathсad 10 5. Просмотр — предварительный просмотр документа. 6. Проверка орфографии. 7. Вырезать — перенос выделенной части документа в буфер обмена с очисткой этой части документа. 8. Копировать — копирование выделенной части документа в буфер обмена с сохранением выделенной части документа. 1 2 12 13 3 4 5 14 15 16 6 7 8 9 17 18 29 20 10 11 Рис.4. Стандартная панель инструментов 9. Вставить — перенос содержимого буфера обмена в окно редактирования на место, указанное курсором мыши. 10. Отменить — отмена предшествующей операции редактирования. 11. Возврат — возврат к предыдущей операции. Зона размещения блоков Документы состоят из различных блоков: текстовых, формульных, графических и т. д. Блоки просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет справа налево и снизу вверх. Две операции размещения блоков представлены кнопками следующей группы 12. Выровнять по горизонтали — блоки выравниваются по горизонтали. 13. Выровнять вниз — блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз. Зона операций с выражениями Формульные блоки часто являются вычисляемыми выражениями или выражениями, входящими в состав заданных пользователем новых функций. Для работы с выражениями служат кнопки: 11 14. Вставка функции — вставка функции из списка, появляющегося (Вставить функции) в диалоговом окне. 15. Вставить единицы — вставка единиц измерения. 16. Вычислить — вычисление выделенного выражения. 17. Вставить гиперссылку — обеспечивает создание гиперссылки. 18. Вставить компонент — открывает окно Мастера, дающего удобный (Мастер компонентов) доступ ко всем компонентам системы. Зона управления ресурсами Заключительная зона из двух кнопок обеспечивает обращение к центру ресурсов системы и к встроенной справочной базе данных системы: 19. Центр ресурсов — дает доступ к центру ресурсов. 20. Справка — дает доступ к ресурсам справочной базы данных системы. Панель Форматирования аналогична соответствующей панели системы Word (рис. 5) и служит для форматирования текста. Рис. 5. Панель инструментов Форматирование На экран можно выводить также любые панели, необходимые для работы. На рис. 6 показана панель набора математических символов. С их помощью можно вводить в документы практически все известные математические символы и операторы. Применение панелей для выбора шаблонов математических знаков очень удобно, поскольку не надо запоминать разнообразные сочетания клавиш, используемые для ввода специальных математических символов. Любую панель с математическими знаками можно переместить в удобное место экрана, уцепившись за ее верхнюю часть курсором мыши. Перемещая панель, левую клавишу мыши нужно держать нажатой. В верхнем левом углу каждой наборной панели помещена единственная маленькая 12 кнопка с жирным знаком минуса, служащая для устранения панели с экрана, как только она становится ненужной. Большинство кнопок на панелях (рис. 6) выводят общепринятые и специальные математические знаки и операторы, помещая их шаблоны в место расположения курсора в документе. Ниже будут изложены принципы вставки в документ различных математических шаблонов и правила их заполнения. 1.2. ПРИЕМЫ РАБОТЫ С MATHCAD 1.2.1. Создание формул и их вычисление В простейшем случае работа с системой Mathсad сводится к подготовке в окне редактирования задания на вычисление и к установке форматов для их результатов. Для этого используются различные приемы подготовки блоков. Рассмотрим сначала методы работы с вычислительными блоками. В дальнейшем поговорим о вводе текстовых блоков с комментариями и блоков с графикой. Арифметические инструменты Операторы отношения Построение графиков Векторные и матричные операторы Операторы математического анализа Символические операторы Символы греческого алфавита Рис. 6. Панель Математика Формулы могут набираться несколькими способами: с помощью клавиатуры; с помощью панелей, содержащих шаблоны. Рассмотрим второй подход. Проследим последовательность действий на примере набора следующей формулы 13 7 4 sin( 2t )dt. 0 Итак, 2.1. В меню Вид активизируем команду Панели инструментов и в появившемся справа меню этой команды щелкаем по панели Математика (рис. 3). 2.2. В появившейся на экране панели Математика щелкаем по кнопкам Операторы математического анализа и Арифметика . При этом на экране появятся соответствующие панели. 2.3. Щелкаем мышью ту позицию на экране, куда надо вставить формулу. Эта позиция на экране отмечается красным крестиком. 2.4. На панели Матанализ нажимаем кнопку определенного интеграла. При этом в позицию курсора будет вставлен шаблон определенного интеграла, который содержит черные квадратики — поля для вставки выражений или других шаблонов, а также пределов интегрирования. 2.5. Сначала вводим пределы интегрирования 0 и 7. 2.6. Затем вводим подынтегральную функцию. Для этого устанавливаем курсов в соответствующую область интеграла и на панели Арифметика n щелкаем по шаблону . 2.7. Теперь заполняем соответствующие области согласно формуле. Для набора греческих символов нажимаем кнопку на панели Математика. 14 Таким образом, набор выражения закончен. С ним можно выполнять различные действия: а) скопировать и вставить в другую формулу; б) представить в виде формулы — присвоить какой-либо переменной и применять ее в дальнейшем вместо громоздкого интеграла, например w : 7 4 sin( 2t )dt; 0 в) немедленно вычислить значение интеграла. Здесь возможно применять следующие два адекватных способа: нажать клавишу “=” после набора интеграла (после выполнения действия 2.7). При этом интегралу будет присвоено численное значение 7 4 sin( 2t )dt 5,135 2,127i. 0 Примечание. Нажатие клавиши «=» сразу приводит к непосредственному вычислению выражения, если в пункте меню Математика включена опция Автоматическое вычисление. В противном случае необходимо нажать функциональную клавишу F9. если выполнено действие б), т.е. интегралу присвоено символьное значение, то необходимо набрать w=. Таким же образом можно набрать и другие формулы. Если при наборе формулы допущена ошибка, то ее можно отредактировать. Для этого необходимо нажать: DEL, чтобы удалить символ перед курсором; BSC, чтобы удалить символ слева от курсора; CTRL+Z, чтобы отменить предыдущие действия. Применение клавиатуры для набора некоторых операторов приведено в табл. 1. 15 Таблица 1 Операция Комбинация клавиш 1 2 Сложение с переносом Ctrl+Enter Сложение + Деление / Возведение в степень ^ Факториал ! Абсолютная величина | Умножение * Отрицание или вычитание Присвоение значения : Произведение Ctrl+Shift+3 Произведение по дискретному ар- # гументу $ Суммирование по дискретному аргументу Квадратный корень \ Корень n-ной степени Ctrl+\ Оператор суммирования Ctrl+Shift+4 Дифференцирование ? Производная n-ного порядка Ctrl+? Интегрирование & 1.2.1.1. Вычисление формул с помощью дискретного аргумента В Mathсad одно и то же выражение можно вычислять по нескольким значениям независимой переменной (для набора значений). Например, необходимо составить таблицу для вычисления функции sin(t4) при следующих значениях t=0,3,6,9. Нетрудно заметить, что t представляет набор дискретных значений. Для их задания в Mathсad применяется следующая формула d := firstval, nextval .. lastval где firstval — первое значение, принимаемое дискретной переменной; 16 nextval — второе значение, принимаемое дискретной переменной. Но это не величина шага изменения d. Шаг вычисляется следующим образом: delta= nextval — firstval. Если nextval не задано, то шаг равен 1, если lastval firstval delta ; 1, если lastval firstval lastval — граничное значение дискретной переменной. На основе этой формулы снача4 sin t ла задаем значения для переменной t 0 3 9 t. Для набора символа .. надо нажать 0 клавишу “;” на клавиатуре. Итак, -0.63 t=0,3..9. 0.996 Здесь шаг равен 3-0=3. Затем 0.977 вводим функцию sin(t4) и ее вычисляем (нажимаем клавишу “=” на клавиатуре). При этом на экране появляется таблица значения непосредственно под функцией. 1.2.1.2. Преобразование выражений Что делать, если набрано выражение, а необходимо было ввести некоторую функцию от этого выражения? Самое простое удалить выражение и снова все набрать, но это неэффективно. Есть более рациональный путь преобразования выражения в аргумент функции. Итак, пусть набрано выражение 2 2 x 4r , а необходимо задать функцию 23 c 3 x 4r . Для вы23 c полнения преобразования применяем следующую процедуру. 2.8. С помощью мыши выделяем выражение. 2.9. Нажимаем “’”, чтобы заключить выражение в скобки. 2.10. Нажимаем Insert, чтобы перейти в начало выражения. 2.11. Вводим или выбираем на панели необходимую функцию. 17 1.2.1.3. Присвоение значения переменной и ввод функции Как присвоить значение переменной? Для этого надо: 2.12. Сначала ввести имя переменной, например S. 2.13. Затем нажать клавишу “:”. 2.14. Ввести требуемое значение. Примечание. Все переменные и функции, присутствующие во введенном выражении, должны быть определены заранее. В противном случае переменные, значения которых не определены к моменту вычисления выражения, будут отмечены на экране дисплея негативным изображением. Ввод функции требует выполнения следующих действий. 2.15. Ввести в рабочий документ имя функции и левую скобку, например, F(. 2.16. Ввести список аргументов, отделяя их друг от друга запятыми, и закончить его правой скобкой F(r,d). 2.17. Ввести двоеточие ":", что приведет к появлению знака присваивания ":=" и следующего за ним поля ввода F(r,d):=. 2.18. Набрать в поле ввода выражение F(r,d):= r2+2*d. 1.2.2. Текстовый редактор Текстовый редактор позволяет задавать текстовые комментарии. Они делают документ с формулами и графиками более понятным. В простейшем случае для открытия текстового редактора достаточно ввести символ " (двойная кавычка). В появившийся прямоугольник можно начать вводить текст. В текстовом блоке курсор имеет вид красной вертикальной черточки и отмечает место ввода. Текст редактируется общепринятыми средствами: перемещением места ввода клавишами управления курсором, установкой режимов вставки и замещения символов (клавиша Insert), стиранием (клавиши Del и Backspace), выделением, копированием в буфер обмена, вставкой из буфера и т. д. 18 1.2.3. Выделение и редактирование объектов При редактировании математических выражений важной возможностью является выделение их целиком или в виде отдельных фрагментов. По существу это означает замену одномерного маркера в виде синей вертикальной черты на двумерный в виде выделяющего часть выражения синего уголка. Для выделения с помощью мыши достаточно установить текстовый курсор мыши на начало выделяемого фрагмента, нажать левую клавишу мыши и, удерживая ее, двигать маркер к концу выделяемого фрагмента. Выделенный текст маркируется темным фоном. Выделение надписей обычно производится с целью изменения стиля, размера и типа шрифтов. Для этого достаточно выделить надпись и сменить шрифт или его параметры. Для изменения параметров шрифта применяется панель Форматирования или команда Текст из меню Формат. Выделения в математических выражениях, хотя и напоминают выделения в тексте, все же является более сложным. Обычно выделения в выражениях отмечаются синим уголком. Он указывает направление ввода. Выделение фрагментов математических выражений необходимо для изменения шрифтов, которыми набирается выражение. Например, для изменения шрифта в математических формулах достаточно выделить одну букву, установив выделение в виде жирной вертикальной черты сразу после буквы. Затем можно воспользоваться средствами модификации шрифтов. Следует отметить, что изменение параметров и типов шрифтов для определенных объектов (например, переменных или констант) действует глобально. Так, если увеличить размеры обозначения какой-либо переменной, то все обозначения других переменных тоже будут увеличены. Выделенный блок или фрагмент можно удалить, скопировать и вставить в место, отмеченное курсором. 19 1.2.4. Основы работы с блоками документов. Выделение блоков В Mathсad документ состоит из отдельных блоков. Они могут быть различного типа: тексты (комментарии), формулы, графики, таблицы и т. д. Каждый блок занимает в текущем окне определенную область прямоугольной формы. Для конструирования блоков служат три встроенных в систему редактора: текстовый, формульный и графический. Для выделения блоков можно применить 2 способа (они работоспособны и в Word). Первый из них основан на следующей процедуре: установить курсор мыши вне блока; нажать левую кнопку мыши и удерживая ее, перемещать мышь, постепенно охватывая выделяемые блоки. При этом блоки будут охвачены пунктирными линиями; отпустить кнопку мыши. С выделенными блоками можно выполнять различные действия, отмеченные в §1.2.3. Кроме этого, их можРис.7. Меню Вставка но перемещать по экрану как единый блок. Второй способ основан на применении клавиши SHIFT, более удобен и сводится к следующему: a) щелкнуть мышью по первому выделяемому блоку; b) нажать клавишу SHIFT на клавиатуре и, не отпуская ее, последовательно щелкать мышью по выделяемым блокам. 1.3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В MATHCAD 1.3.1. Меню Вставка Установка любого объекта в окно редактирования называется вставкой. Mathсad реализует различные механизмы вставки — 20 от просто вывода шаблона до вставки объекта, созданного в другом приложении, через буфер обмена. В версии Mathсad 8.0 все виды вставок выполняются с помощью команд меню Вставка. При активизации этого раздела появляется ниспадающее меню со следующими операциями (рис. 7): Графика — вставка шаблонов графики; Матрица (Ctrl+ M) — вставка шаблонов матриц и векторов; Функция... (Ctrl+ F) — вставка шаблонов встроенных функций; Единицы... (Ctrl+ U) — вставка единиц измерений размерных величин; Рисунок (Ctrl+ T) — вставка шаблона импортируемого рисунка; Математическая область — вставка в текстовую область шаблона математической области; Текстовая область — вставка текстовой области; Разрыв страницы — вставка линии разрыва страницы; Ссылка — вставка обращения к заданному файлу активизацией кнопки; Компонент — вставка других компонентов системы; Объект — вставка объекта с установлением динамической связи с порождающим его приложением. Из всех команд меню Вставка ниже основное внимание будет уделено разделу График. 1.3.2. Создание графиков Для создания графиков в системе Mathсad применяется команда График. Она позволяет выбрать ряд стандартных шаблонов для построения графиков. Это (рис. 8) графики на плоскости в декартовой или полярной системе координат; трехмерные поверхности, графики уровней и т.д. Основное внимание будет уделяться обеспечению простоты задания графиков и их модификации с помощью соответствующих опций. Большинство параметров, необходимых для построения графиков, по умолчанию задается автоматически. Поэтому для начального построения графика того или иного вида достаточно задать тип графика. Рассмотрим процесс создания графика в декартовой системе координат — опция X-Y Зависимость. 21 Рис. 8. Опции команды График меню Вставка 1.3.2.1. Создание двумерного графика с помощью опции X-Y Зависимость Графики в системе Mathсad могут иметь различные размеры и перемещаться в окне редактирования документа. Для наиболее распространенных графиков в декартовой и полярной системах координат предусмотрен упрощенный способ их построения (задание шаблона) без предварительного задания функции и ранжирования независимой переменной. На одной графической плоскости можно одновременно построить несколько графиков от одной и той же независимой переменной. Процесс создания графика рассмотрим на примере построения графика функции f(t)=exp(-|sin2t|/4t). Он сводится к следующему. 3.1. Устанавливаем курсор в ту позицию на экране, где должен размещаться график. 3.2. Активизируем опцию X-Y Зависимость команды График меню Вставка. При этом на экране появляется шаблон плоского двумерного графика с областями для ввода независимой переменной по оси абсцисс и функции по оси ординат. 3.3. Устанавливаем курсор в область ввода независимой переменной под осью абсцисс и вводим t. 3.4. Устанавливаем курсор справа от оси координат и вводим функции exp(-|sin2t|/4t). 3.5. Нажимаем Enter или =, чтобы вывести график. 22 В одной декартовой области можно вывести несколько графиков от одной и той же независимой переменной. Делается это следующим образом. При выполнении шага 3.4 после ввода функции exp(-|sin2t|/4t) необходимо набрать запятую на клавиатуре. При этом слева от оси координат появится область для ввода новой функции. Данный процесс можно продолжить. Для вывода кривых функции выполняем шаг 3.5. Графики будут построены линиями разного типа и цвета. Есть и другой способ построения графика. Можно вначале записать функцию, а затем вывести шаблон графика. Быстрая клавиша для вывода шаблона графика — @. Сделаем ряд замечаний относительно рассмотренных способов построения графиков. 1. Графики в Mathсad обычно строятся по векторам или матрицам, поэтому рассмотренный способ не всегда является эффективным. 2. При указанном упрощенном способе график строится для следующего диапазона изменения независимой переменной [-10, 10]. В дальнейшем путем форматирования этот диапазон, а также другие параметры графической облаРис.9. Диалоговое окно команды сти можно измеФорматирование текущего графика нить. График можно представить в виде набора ряда атрибутов или объектов, которые можно изменять по своему усмотрению. К ним можно отнести 23 оси, диапазон изменения независимой или зависимой переменных, тип графика, цвет линии и так далее. Чтобы внести какие-либо изменения в тот или иной атрибут, надо просто дважды щелкнуть мышью в любом месте графической области или, что адекватно, нажать правую кнопку мыши и в появившемся на экране контекстно-независимом меню выбрать команду Формат. При этом на экране появится диалоговое окно Форматирование текущего графика (рис. 9). Это окно содержит 4 раздела или их еще называют вкладки. Рассмотрим их основные функции и назначение. Оси X-Y служит для задания основных параметров оси: шкалы обычной или логарифмической; вспомогательных линий, которые облегчают определение координат графика (не путать с параметром Автосетка, который задает разбивку оси на интервалы с принятым шагом); нумерации — обеспечивает возможность изменения пределов изменения переменных на осях; размер сетки — количество интервалов, на которое разбивается ось. След служит для задания типа линия и графика, который отображает функцию. Метка позволяет задать название осей графика. 1.3.2.2. Задание границ на осях Чтобы изменить границы на осях, установленные в Mathсad по умолчанию, необходимо щёлкнуть в поле ввода для границ на осях (крайние черные квадратики). После выделения этого квадратика синим цветом можно вводить новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Затем нажимаем клавишу F9, чтобы произвести пересчет графика в новых пределах, или нажимаем Enter. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически со значениями, принятыми по умолчанию. Рекомендация. Вначале всегда рекомендуется использовать автоматическое масштабирование и только 24 потом изменять масштабы на более подходящие. Графические области можно перемещать по полю окна документа и изменять их размеры. Для этого надо выделить график, щелкнув по нему мышью. Затем установить курсор на границу области, чтобы он принял форму руки и, нажав левую кнопку мыши, отбуксировать график в новую позицию документа. Размеры графической области изменяются стандартным образом. Для этого область сначала выделяется (обрамляется рамкой с черными квадратиками), затем устанавливается указатель мыши на один из квадратиков, чтобы он принял форму , и затем с помощью нажатой левой кнопки мыши изменяются размеры в нужном направлении. Изменять размеры можно в двух плоскостях. 1.3.2.3. Считывание координат графика Mathсad позволяет считывать координаты любой точки на графике. Для этого необходимо выполнить следующие действия: щёлкнуть правой кнопкой мыши по графику, чтобы выделить его и вывести контекстно-независимое меню; в появившемся меню выбрать опцию Трассировка. При этом на экране отобразится окно X-Y Trace, которое содержит поля для отображения считываемых значений координат; щелкнуть левой кнопкой мыши по графику. При этом в графической области появится перекрестье с отметкой значений на осях. Нажав левую кнопку мыши и перемещая с ее помощью перекрестье по кривой, можно производить считывание координат графика, текущие значения которых будут заноситься в соответствующие поля "X-Значение" и "Y-Значение" окна X-Y Trace. Флажок След точек данных позволяет автоматически следовать по линии кривой графика; после окончания операции можно закрыть окно трассировки. 25 1.3.2.4. Выбор областей графика для просмотра Опция Масштаб контекстно-независимого меню обеспечивает увеличение тех или иных элементов графика с целью их детального рассмотрения. При этом на экране появляется диалоговое окно X-Y Zoom. Имеется возможность как самому выбрать кластер (подобласть) для детального изучения (переключиться в область графика и с помощью мыши выделить кластер, а затем, нажав кнопку Масштаб+, вывести увеличенный элемент области на экран), так и самостоятельно выбрать фрагмент области, чтобы его рассмотреть. Для этого сначала надо нажать кнопку Обзор, затем переключиться в графическую область и выбрать кластер области с помощью мыши. После этого с помощью кнопок в окне X-Y Zoom произвести увеличение или уменьшение выделенного элемента области. 1.4. РАБОТА С МАТРИЦАМИ И ВЕКТОРАМИ 1.4.1. Установка шаблона матриц и векторов Как известно, матрица представляет массив данных. В Mathсad использует одномерные массивы — векторы или двумерные — собственно матрицы. Матрица характеризуется числом строк и числом столбцов. Элементами матриц могут быть числа, константы, переменные, математические выражения. Соответственно матрицы могут быть численными и символьными. Для создания матриц применяется команда Матрица из меню Рис. 10. Диалоговое окно Вставка или комбинация клавиш Вставить матрицу CTRL+M. При запуске данной команды на экране появится диалоговое окно (рис.10), в котором необходимо задать параметры шаб- 26 лона для набора матрицы соответствующей размерности. Их необходимо ввести в полях Строки и Столбцы. После нажатия кнопки Вставить или OK шаблон матрицы будет вставлен в документ. Место вставки элементов матрицы обозначается черным квадратиком. Для переключения между элементами шаблона можно применять клавиши управления курсором или мышью выделять соответствующий элемент. Если закончить ввод элементов матрицы до полного заполнения шаблонов, то один из незаполненных квадратиков примет красный цвет, тем самым система выдаст сообщение об ошибке. В диалоговом окне Вставить Матрицу имеются 2 кнопки Вставить и Удалить. Кнопка Вставить при уже введенном шаблоне позволяет постепенно увеличивать размеры матрицы на количество элементов, которое указано в полях окна (рис. 10). Кнопка Удалить выполняет действие, противоположное операции Вставить, т.е. позволяет уменьшить размер шаблона матрицы. Как и в математике, положение каждого элемента матрицы характеризуется индексированной переменной и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой — номер столбца. Для обращения к элементу массива прежде всего надо ввести имя массива, а затем указать его положение путем введения значений индексов. Первый индекс обозначает номер строки, а второй — номер столбца. Набор элемента n21 матрицы n осуществляется по следующей схеме: вводим имя матрицы n; нажимаем клавишу “[“ на клавиатуре, чтобы начать набор индекса; вводим первый индекс 2 — номер строки, затем нажимаем клавишу “,”, чтобы отделить друг от друга индексы; вводим второй индекс 1 — номер столбца. Вектор является частным случаем матрицы. 1.4.2. Преобразование структуры матриц В Mathсad имеется ряд функций, которые позволяют выполнять некоторые действия по изменению структуры матрицы. К 27 ним можно отнести как объединение нескольких матриц в одну по вертикали, горизонтали, так и удаление столбцов или целых блоков. 1.4.2.1. Объединение матриц Для расширения матрицы A за счет добавления к ней матрицы B могут применяться следующие функции: 1.4.2.2. Вставка или удаление элементов матрицы Для удаления столбцов или строк матрицы необходимо: 4.1. Установить курсор на тот элемент матрицы, начиная с которого надо выполнить операцию удаления. 4.2. Нажать CTRL+M или запустить команду Матрица из меню Вставка. 4.3. В появившемся на экране диалоговом окне Вставить Матрицу задать количество столбцов и строк, подлежащих удалению. 4.4. Нажать кнопку Удалить, что приведет к удалению соответствующего количества строк и столбцов. 4.5. Закрыть диалоговое окно. Замечание. Процесс удаления выполняется согласно следующей схеме: столбцы вправо от текущего элемента, строки вниз. 28 Пример. Имеется матрица 4х4. Надо удалить подматрицу 2х2, начиная с элемента 11. Направление удаления столбцов Текущий элемент (действие 1)) Направление удаления строк 00 01 02 03 10 11 12 13 00 03 20 21 22 23 30 33 30 31 32 33 Результат Рис.11. Процесс удаления подматрицы 2х2 Аналогично выполняется вставка подматрицы. При этом матрица расширяется в направлениях, противоположным тем, что указаны на рис.11. 1.4.2.3. Извлечение подматрицы Для получения фрагмента матрицы A~ из матрицы A применяется функция submatrix(A,ir,irk,jc,jck), которая возвращает подматрицу, состоящую из всех элементов, которые содержатся в строках с ir по irk и столбцах с jc по jck массива A. Если необходимо извлечь отдельную строку или столбец, для этого надо применить следующие процедуры. 4.6. Для столбца: а) набрать имя матрицы, из которой извлекается столбец (например, W); б) указать в качестве верхнего индекса номер извлекаемого столбца, набрав на клавиатуре CTRL+6, или применить шаблон M из панели Матрицы и в появившемся поле для индекса ввести соответствующее значение; в) нажать “=” или ENTER, чтобы распечатать значение столбца; 4.7. Для строки: транспонировать матрицу с помощью соответствующего шаблона из панели Матрицы или применяя комбинацию клавиш CTRL+1; 29 затем применить действия б), в), указанные выше. 1.4.3. Работа с матрицами Матрицы имеют широкое применение в различных областях знаний. Такие понятия как собственные числа матрицы, норма матрицы, след матрицы имеют соответствующую техническую интерпретацию. Поэтому их надо уметь определять. Матрицы широко применяются для решения системы алгебраических уравнений. Начнем именно с них. 1.4.3.1. Решение алгебраических уравнений Пусть надо решить матричное уравнение WX=B. Процесс решения сводится к следующему. 4.8. Вводим квадратную невырожденную матрицу W, применяя действия, описанные выше. 4.9. Вводим вектор-столбец B. 4.10. Присваиваем вектору X выражение: набираем X:=A-1 *B. 4.11. Выводим значение полученного вектора X: набираем X=. 1.4.3.2. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы Для определения собственных значений и собственных векторов матрицы в Mathсad имеются встроенные функции: Eigenvec(M,z) — возвращает нормированный собственный вектор матрицы M, соответствующий собственному значению z; Eigenvals(M) — возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M. Здесь М — матрица, для которой ищутся значения, а z может быть действительным или комплексным. Пример. Найти собственные числа и собственные вектора матрица 30 1 4 5 W 2 5 2 . 3 2 8 Сначала находим собственные числа: набираем eigenvals(W)= и получаем - 1.111 eigenvals(W ) 11.948 . 3.163 Затем находим собственные вектора для каждого собственного значения. Например, для значения 3.163 набираем eigenvec(W, 3.163)= и получаем - 0.137 w1 - 0.802 . 0.582 1.4.3.3. Умножение, сложение и вычитание матриц Эти операции выполняются стандартным образом. Например, найти W2. 1.5. ВЫПОЛНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В MATHCAD 1.5.1. Возможности символьного процессора В Mathсad имеется специальный процессор для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше база данных в этом ядре, тем более широкий спектр задач позволяет решать символьный процессор. Ядро символьного процессора системы Mathсad представляет собой упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software, у кото- 31 рой MathSoft (разработчик Mathсad) приобрела лицензию на его применение. Операции, относящиеся к работе символьного процессора, реализуются с помощью команд меню Символы. Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться — для этого надо выделить выражение. С помощью меню Символы можно производить различные действия над аналитическими выражениями: команда Упростить упрощает сложные математические выражения, т.е. сокращает подобные слагаемые, приводит к общему знаменателю, использует основные тригонометрические тождества и т.д. (например а+2а=3а). Примеры применения этой команды: cos ( t ) 2 sin ( t ) 2 1 s (s 2 2 4 x y (y 2 x) ( x y ) ; 2 x x) ( s 2 1 x) команда Фактор представляет выражение в виде сомножителей; команда Подобные служит для выделения подобных членов; команда Расчеты служит для выполнения расчетов с символьными переменными. Рассмотрим сначала работу с символьными выражениями на примере вычисления производных и интегралов, а затем перейдем к рассмотрению некоторых команд этого меню. Примечание. Для выполнения символьных вычислений с помощью команд меню Символы необходимо явно указывать выражение. Недопустимо, например, вводить некоторую функцию пользователя F(x) и пытаться найти ее производные или интеграл. 32 1.5.2. Вычисление производных В Mathсad реализовано вычисление как аналитических значений для выражений, содержащих производные, так и получение численных значений для них. Для набора шаблона производной может применяться кнопка Матанализ на панели Математика, а также клавиши на клавиатуре: для набора производной первого порядка необходимо нажать клавишу “?”; для набора производной n-го порядка необходимо нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+?. В результате на экране появятся следующие шаблоны: d d . d d Данные шаблоны заполняются стандартным образом. Например, а) d tan x e dx 2x , 2 d 2x tan x e d t2 б) . Для получения аналитического значения производной необходимо: 1) набрать выражение, например а); 2) нажать SHIFT+F9, чтобы выполнить операцию символьного вычисления, или применить опцию Символические команды Расчеты из меню Символы. Например, для выражения а) получим 2 d tan dx x exp( 2x) 1 1 tan x = 2 exp( 2 x) 2 tan x exp( 2 x) . x Если необходимо определить численное значение производной, то сначала надо указать точку, в которой вычисляется производная. После этого нажать клавишу “=”или F9, чтобы вычислить значение производной. Например, для функции 33 d f( x) 2 x exp ( 2 x) tan d x2 в точке x=7 получаем f(x)=-2,668.10-6. Производные высших порядков можно вычислять, последовательно применяя производную первого порядка. 1.5.3. Вычисление интегралов Система Mathсad содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенными численными методами. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа. Однако команда Упростить применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Примеры вычисления интегралов: b 1 2 x dx 3 a 1 x b 3 1 3 a 3 , 2y t dtds = 0 x 4 2 4 2 2 2 y y x x x 2 y y x x 3 3 3 3 . Рассмотрим теперь некоторые операции по преобразованию символьных выражений. 1.5.4. Команда Расширить Действие операции Расширить в известном смысле противоположно действию операции Упростить. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т.д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что 34 действие этой операции противоположно действию операции Упростить. К примеру, операция Упростить преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо. При преобразовании выражений команда Расширить старается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т.д. Примеры действия операции Расширить: sin ( 2 x) = 2 sin ( x) cos ( x) (x r ) ( x cos ( 4 s ) = 1 n n 2 = 2 r) = x 2 r 8 cos ( s ) 1 (n) 2 4 , , 8 cos ( s ) 2 1 , . Последний пример показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения. 1.5.5. Команда Фактор Операция Фактор (разложить на множители) используется для факторизации, т.е. разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений, например, наглядно представляет полином через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Примеры применения операции: 35 123456 x n 3 6 x = 2 6 2 2 3 643 ; a 11 x 0 4 6 (x = n) n b (x = 2 (a b) ( a b) ; 1 ) ( x 2 ) ( x 3) ; = 1 n( n 2 2 x 1) . 1.5.6. Команда Подобные Команда Подобные применяется для разложения выражения по определенному базису, который задает пользователь, если такое преобразование возможно, то выводится эквивалентное представление. В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису. Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция от ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной, имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени. Прежде чем применять данную опцию, необходимо выделить переменную, по которой необходимо произвести разложение. Примеры применения операции Подобные показаны в табл. 2. Таблица 2 выражение (a+b)5 разложение по переменной b 5 4 2 3 3 2 4 5 b 5a b 10a b 10a b 5a b a по переменной a 5 a 4 2 3 3 2 4 5 5b a 10b a 10b a 5b a b 1.5.7. Команда Коэффициенты полинома Операция служит для вычисления коэффициентов полинома и применяется, если заданное выражение является полиномом (степенным многочленом) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом является вектор с коэффициентами полинома. Опция Коэффициенты по- 36 линома полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии. Примеры применения опции Коэффициенты полинома показаны ниже w 3 2 4 x 4 d x исходное выражение x c коэффициенты по переменным x и w: w c 3 2 x 4 x 4 d x 4 d 1 . 4 c 1 1.5.8. Команда Переменные Содержит группу опций, реализующих выполнение символьных операций над выражениями, у которых выделена переменная, по отношению к которой выполняется операция. Для запуска какой-либо операции надо установить курсор на этой переменной, а затем выбрать опцию, чтобы выполнить действие. Само выражение выделять не надо, поскольку указание в нем на переменную является одновременно и указанием на само выражение. Если выражение содержит другие переменные, то они рассматриваются как константы. Изучим операции этой группы, начиная с операции дифференцирования. 1.5.8.1. Дифференцирование по заданной переменной Нахождение символьного значения производной — одна из самых распространенных задач в аналитических вычислениях. Операция Дифференциалы возвращает символьное значение производной выражения по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка (выше 1) надо повторить вычисления необходимое число раз. При дифференцировании выражений, производная которых вычисляется, могут стоять и встроенные в систему специальные математические функции. Примеры работы опции приведены ниже: 37 исходное выражение cos ( 2 y ) n sin tan x ; вычисленная производная по y: 2 sin n tan x sin( 2 y ) ; вычисленная производная по x n 1 cos tan x 2 1 tan xn n 2 xn n cos ( 2 y ) . x tan x 1.5.8.2. Интегрирование по заданной переменной Другая не менее важная операция при символьных вычислениях — нахождение интегралов (или первообразных) для аналитически заданной функции. Для этого используется опция Интеграция команды Переменные из меню Символы. Данная операция возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной курсором ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией. Работа с этой опцией аналогична операции Дифференциалы. Примеры работы опции приведены ниже: а) исходное выражение sin cos ( 2 y ) n tan x ; вычисление неопределенного интеграла по y 1 sin( 2 y ) sin n tan x ; 2 результат, возвращаемый Mathсad при интегрировании выражения а) по x (интеграл система не берет) sin n tan x cos ( 2 y ) d x ; 38 б) исходное выражение 3 ln x ; вычисление неопределенного интеграла по x 3 x ln( x) 3 x; в) исходное выражение 3 ln( x) ; вычисление неопределенного интеграла по x 3 2 ln( x) x 3 x ln( x) 6 x ln( x) 6 x; г) исходное выражение sin ( x) ; вычисление неопределенного интеграла по x x Si( x) . 1.5.8.3. Опция Вычислить команды Переменные. Решение алгебраических уравнений Если задано некоторое выражение F(x) и отмечена переменная х, то операция Вычислить возвращает символьные значения указанной переменной х, при которых F(x) =0. Это очень удобно при решении алгебраических уравнений, например, квадратных и кубических, или для вычисления корней полинома. При усложнении математической зависимости, например, переходе от квадратного полинома к кубическому, усложняется получаемое выражение. Mathсad представляет выражение в компактной форме без общепринятой математической символики. Сам результат заносится в буфер обмена. С помощью команды Вставить меню Правка можно перенести решение в основное окно системы, но оно уже будет представлено в виде текстового комментария, а не математического выражения, пригодного для дальнейших преобразований. Впрочем, часть его можно (опять-таки с помощью буфера обмена) ввести в формульные блоки для последующих преобразований и вычислений. Ниже приведены примеры нахождения корней некоторых уравнений. 39 Выражение a x 2 4 x Результат корни b x c 9 x 3 31 x 2 1 b ( 2a ) b 2 4a c 1 b ( 2a ) b 2 4a c корни (-4, -3, -1+2i, -1-2i) Для проверки приведены результаты факторизации 2 ( x 4) ( x 3) x 2 x 5 . 59 x 60 1.5.8.4. Подстановка для заданной переменной (опция Замена) Опция Замена возвращает новое выражение, полученное путем подстановки на место указанной переменной некоторого другого выражения. Последнее должно быть подготовлено и скопировано (операциями Вырезать или Копировать) в буфер обмена. Наряду с получением результата в символьном виде эта команда позволяет найти и числовые значения функции некоторой переменной путем замены ее на числовое значение. Примеры работы опции приведены ниже: Выражение 3 2 x s x c Результат Подстановка x w d дает (w d) 3 s ( w d ) x=23 дает 12167 529 s 2 c; c. Подстановка и замена переменных довольно часто встречаются в математических расчетах, что делает эту операцию весьма полез- 40 ной. Кроме того, она позволяет перейти от символьного представления результата к числовому. 1.5.8.5. Разложение в ряд Тейлора по заданной переменной Для разложения выражения по некоторой переменной в ряд Тейлора применяется опция Разложить на составляющие команды Переменные меню Символы. Для разложения выражения в ряд система запросит указать количество членов ряда. Последовательность действий по разложению выражения в ряд Тейлора: набрать выражение, например, sin(2x); выделить переменную, по которой производится разложение, например, x; активизировать опцию Разложить на составляющие команды Переменные. В появившемся диалоговом окне Разложить задать количество чле-нов ряда (n), например, 12; после нажатия кнопки ОК на экране появится результат разложения. Примеры работы опции: Выражение Результат разложение sin( 2 x) n=12 2 x 4 3 4 5 8 7 4 9 8 11 x x x x x ; 3 15 315 2835 155925 n=4 2 x d ( x) sin ( x) x 4 3 x ; 3 разложение n=6 1 1 2 1 4 x x . 6 120 41 На рис.12 приведены результаты аппроксимации функции d(x). Разложение функции в ряд, кроме чисто теоретического результата, имеет также практическое применение. В частности, приближенное представление функции позволяет вычислить интеграл от нее, если аналитическое выражение в квадратурах для интеграла получить нельзя. sin( x) d( x) d1( x) 1 x 1 1 4 x 120 2 x 6 1.05 0.66 d( x ) d1( x ) 0.28 0.11 0.5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Рис. 12 1.5.8.6. Нахождение преобразования Лапласа Прямое и обратное преобразование Лапласа от функции находится с помощью опций Лапласа и Лапласа Обратное команды Преобразование меню Символы. Прямое преобразование Лапласа определяется следующим образом. 1. Набрать выражение, от которого надо найти преобразование, например cos( t ) sin( t ) . 2. Выделить переменную, по которой находится преобразование (в нашем случае t). 3. Выполнить Символы Преобразование Лапласа, т.е. активизировать опцию Лапласа команды Преобразование из меню Символы. В результате получим s . s 2 2 s 2 2 42 Обратное преобразование выполняется аналогично, только вместо выделения t надо выделить s и затем выполнить Символы Преобразование Лапласа Обратное. 1.5.9. Символьные операции с матрицами Символьный процессор системы Mathсad позволяет в аналитическом виде выполнять наиболее распространенные матричные операции — транспонирование и обращение матриц, а также вычисление их детерминанта. Эти операции реализуются с помощью опций Транспонирование, Инвертирование и Определитель. Если элементы матрицы — числа, то выполняются соответствующие операции в числовой форме. Замечание. 1. Перед применением этих опций матрицу необходимо выделить. 2. Опция Инвертирования (обращения матрицы) применима только к квадратной матрице. При обращении матриц порядка больше, чем 3x3, результаты получаются очень громоздкими. Пример. Имеется матрица q w e y t r . a s d Выполним операцию транспонирования. Для этого выделяем матрицу; выполняем: Символы Матрицы Транспонирование. В результате получаем q y a w t s . e r d Аналогично применяются опции Инвертирование и Определитель. Если необходимо сложить, умножить или вычесть две символьные матрицы, то их сначала надо выделить, а затем вы- 43 полнить Символы Расчеты Символические, чтобы получить результат. Например, вычисление разности матриц q w e q y a y t r w t s a s d e r d 0 дает: w y w a e y e a r s 0 s r . 0 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СИСТЕМ Рассмотрим решение математических задач по теории систем в среде Mathсad. 2.1. Численное решение векторного дифференциального уравнения методом Эйлера Рассматривает стационарная динамическая система X AX Bu , (1) где X R 2 , u R — вход системы, u(t ) sin(0.5t ) cos(2t ) . Матрица A и вектор B имеют вид 1 0 0 B A 1 . , 2 3 Решение ищется на интервале [0; 8] с шагом h =0.1 с. Начальные условия X (0) 0 1T . Этапы решения задачи в Mathсad 1.1. Задаем начальные условия и исходные данные: шаг по времени и интервал, на котором ищется решение h 8 0.1 N h ; и текущий номер итерации (дискретное время) i:= 0.. N; задаем параметры системы: ui sin ( 0.5 h i ) cos ( 2 h i ) A 0 1 2 3 B 0 1 ; 44 задаем начальные условия X10 0 ; X20 1 где X1, X2 — переменные состояния. 1.2. Выполняем промежуточные вычисления: 1 0 I ФА I A h. 0 1 1.3. Записываем итерационную процедуру решения X1i 1 X1i ФА B ui h. X2i 1 X2i Выводим графики полученных решений (рис. 13-16). 0.5 0.3 0.1 X1 i 0.1 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 0.3 0.5 i Рис. 13. Изменение X1(t) 2.2. Определение весовой функции и времени переходного процесса Эта задача решается аналогичным образом, только надо положить u(t)0. Так как необходимо найти решение векторного уравнения, приведенного в §2.1, то надо выполнить следующие действия: 2.1. Ввести вектор с переменными X11, X21 и присвоить им начальные значения 45 X11 1 X21 0 0 0 ; 1 0.75 0.5 0.25 X2 i 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0.25 0.5 0.75 1 i Рис. 14. Изменение X2(t) 2.2. Составить итерационную процедуру решения уравнения h N 0.1 X11 i X21 i 1 1 8 h C ; i:= 0.. N; X11i X21i . 2.3. Вывести график переходного процесса (рис. 17). Используя этот график, можно определить время переходного процесса в системе. Для этого надо выполнить следующие действия. 2.4. Щелкнуть правой кнопкой мыши по области, содержащей график переходного процесса. 2.5. В появившемся на экране контекстно-независимом меню выбрать команду Трассировка. Выполнить действия, указанные в 1.3.2.3.