Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) ФАКУЛЬТЕТ «СПЕЦИАЛЬНОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ» КАФЕДРА «РАКЕТНО – КОСМИЧЕСКИЕ КОМПОЗИТНЫЕ КОНСТРУКЦИИ» РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ НА ТЕМУ: «Оптимизация углов армирования ортотропного материала в задаче топологической оптимизации» Студент СМ13–21М _________________ П.А. Косых (Подпись, дата) Руководитель курсовой работы _________________ (Подпись, дата) 2023 г. А.В. Азаров Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой __________ (Индекс) ______________ С.В. Резник « _____ » ____________ 20 ____ г. ЗАДАНИЕ на выполнение курсовой работы по дисциплине «Информационные технологии в разработке новой техники» Студент группы СМ13–21М Косых Павел Андреевич Тема курсовой «Оптимизация углов армирования ортотропного материала в задаче топологической оптимизации» Направленность КР (учебная, исследовательская, практическая, производственная, др.) ___________________учебная_______________________________ Источник тематики (кафедра, предприятие, НИР) ______кафедра_______________ График выполнения работы: 25% к ___ нед., 50% к ___ нед., 75% к __ нед., 100% к ___ нед. Задание Сформулировать постановку задачи оптимизации углов армирования ортотропного материала, разработать и реализовать несколько методов решения данной задачи, провести их сравнительный анализ. Оформление курсовой работы: Расчетно-пояснительная записка на _____ листах формата А4. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Дата выдачи задания « ___ » ____________ 20__ г. Руководитель курсовой работы _________________ А.В. Азаров (Подпись, дата) Студент _________________ П.А. Косых (Подпись, дата) Примечание: Задание оформляется в двух экземплярах: один выдается студенту, второй хранится на кафедре. 2 Оглавление ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 4 Постановка задачи оптимизации схемы армирования .............................. 5 Модель ортотропного материала ................................................................. 8 Построение матрицы жесткости конечного элемента ............................... 9 Решение задачи топологической оптимизации для конструкции из изотропного материала ......................................................................................... 14 Оптимизация схемы армирования с учетом главных напряжений ........ 16 Оптимизация схемы армирования градиентным методом...................... 23 ВЫВОДЫ ..................................................................................................... 32 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................... 33 3 ВВЕДЕНИЕ Развитие технологий 3D-печати композитом, наполненным непрерывными армирующими волокнами [1,2], позволяет проектировать и производить композитные конструкции сложной формы близкой к оптимальной. Возможность варьировать угол армирования материала внутри одного слоя приводит к наиболее рациональному использованию свойств анизотропии и уменьшению массы конечного изделия. Принципиальная возможность управлять углом укладки волокна изделия в каждой его точке не только позволяет реализовать наилучшую схему армирования (СА), соответствующую прикладываемым нагрузкам, но и ставит перед проектировщиком задачу выбора этой оптимальной схемы. Один из подходов к решению этой задачи – совместное рассмотрение проблемы топологической оптимизации (ТО) и проблемы определения наилучшего угла армирования в каждой точке изделия. Будем называть эту задачу задачей определения оптимальной СА. Как известно, топологическая оптимизация – итеративный процесс, в котором каждый последующий шаг приближает конструкцию к оптимуму. В связи с этим наиболее очевидный способ решения задачи определения оптимальной СА – определение наилучшего распределения углов армирования ортотропного материала в каждой итерации ТО. Эта концепция была реализована множеством исследователей. В работе [3] метод штрафования промежуточных плотностей (SIMP-метод) был дополнен ориентацией углов армирования вдоль главных напряжений. В работе [4] можно найти описание метода Level-Set, в котором оптимизируется изделие из ортотропного материала и производится ориентация углов армирования материала вдоль контура получившейся топологии. Работы [5-7] описывают алгоритм ТО, включающий в себя градиентные методы оптимизации углов армирования. Также можно выделить методы, где определение углов армирования происходит посредством выбора из дискретного набора наилучшего угла [8,9]. 4 В данной курсовой работе будет рассмотрена постановка задачи определения оптимальной СА, описаны методы решения этой задачи, основанные на ориентации углов армирования вдоль главных напряжений и оптимизации распределения углов армирования при помощи градиентных методов, а также проведено сравнение данных подходов. Целью данной курсовой работы является снижение массы силовых изделий, производимых по технологии 3D-печати, а также увеличение эффективности этих изделий за счет выбора оптимальной схемы армирования, то есть определения наилучшего распределения углов ориентации ортотропного материала в изделии в соответствии с прикладываемыми механическими нагрузками. В курсовой работе решаются следующие задачи: 1. Постановка задачи оптимизации СА; 2. Решение задачи оптимизации СА путем ориентирования углов армирования вдоль главных напряжений; 3. Решение задачи оптимизации СА с применением градиентного метода; 4. Сравнение рассмотренных методов. Постановка задачи оптимизации схемы армирования Приведем описание постановки задачи оптимизации СА. Эта задача является расширением задачи ТО для ортотропных материалов и имеет с ней много общего. Пусть для изделия из ортотропного материала ищется оптимальная по некоторому критерию конструкция Ω с границей Г внутри рабочей области D, для которой определены места креплений и приложения нагрузки. Данная конструкция находится под воздействием объемных сил f(x) и поверхностных сил t(x), где x – вектор координат точки. Под действием приложенных сил 5 возникает поле перемещений u(x). Решение ищется в виде распределения материала и углов его армирования внутри области D. В качестве целевой функции будем использовать податливость конструкции, то есть энергию ее деформации. Таким образом минимизация податливости является критерием оптимальности полученного решения. За ограничение задачи оптимизации примем максимальный объем конструкции. Запишем выражение для податливости l(u), которая определяется через работу внешних сил над упругим телом: 𝑙(𝑢) = ∫ 𝑓𝑢dΩ + ∫Г 𝑡𝑢dГ. (1) Ω Также запишем выражение для потенциальной энергии деформации a(u,u): a(u, u) Eijkl ( x) ij (u) kl (u)d , (2) 1 ui u j – линейные деформации тела, Eijkl (x) – тензор упругих где ij (u ) 2 x j xi постоянных. Так как тело, форма которого подвергается оптимизации, находится в равновесии с действующими на него нагрузками, условие равновесия необходимо также включить в ограничения задачи оптимизации. Как было сказано ранее в основе оптимизации СА лежит процесс топологической оптимизации. В данной работе для реализации ТО выбран SIMP-метод. Подробное описание этого метода можно найти в работах [10,11]. В оригинальном методе оптимизация конструкции происходит за счет варьирования одной проектной переменной – распределения плотности 𝜌(𝑥). В предложенном в данной работе подходе к решению задачи оптимизации СА добавляется ее одна проектная переменная армирования 𝜃(𝑥). 6 – распределение углов Запишем как будет выглядеть модель, описывающая свойства материала в зависимости от проектных переменных: 𝜃 (𝜃), 𝑝 > 1, 𝐸ijkl (𝑥, 𝜃) = 𝜌(𝑥)𝑝 𝐸ijkl 0 < 𝜌min ≤ 𝜌(𝑥) ≤ 1, 𝜋 𝜋 − ≤ 𝜃 ≤ , 𝑥 ∈ Ω, 2 2 (3) где ρ(x) – плотность материала, изменяющаяся в пределах от 1 до ρmin – значения, близкого к нулю (но не равного нулю, чтобы обеспечить разрешимость системы уравнений); p – коэффициент штрафа; 𝜃 – угол армирования материала. С учетом введенных целевой функции, ограничений и модели поведения материала, постановка задачи оптимизации СА принимает следующий вид: min 𝑙(𝑢) 𝑢∈U так чтобы: 𝑎𝐸 (𝑢, 𝑣) = 𝑙(𝑣), для всех 𝑣 ∈ 𝑈, 𝜃 𝐸ijkl (𝑥, 𝜃) = 𝜌(𝑥)𝑝 𝐸igkl (𝜃), 𝑝 > 1, (4) ∫ 𝜌(𝑥) dΩ ≤ 𝑉; 0 < 𝜌min ≤ 𝜌 ≤ 1; Ω 𝜋 𝜋 ≤𝜃≤ . 2 2 Данную задачу, как и задачу ТО, удобнее всего решать с помощью метода − конечных элементов (МКЭ). Для того, чтобы избежать сложностей с формированием глобальной матрицы жесткости и нумерацией узлов и элементов, будем рассматривать задачи с простой прямоугольной формой рабочей области D и простыми граничными условиями (ГУ). Конечноэлементную сетку (КЭС) будем строить из квадратных четырехузловых элементов. Решать рассматриваемую задачу будем в пакете MATLAB. В текущей работе рассмотрены два типа оптимизируемых конструкций, которые стали классическими для задач ТО: консольно закрепленная балка, нагруженная на свободном конце, и балка, опертая с концов на шарниры и 7 нагруженная по центру. Для последней задачи часто выполняется оптимизация только половины балки в силу ее симметричности, поэтому ГУ для такой балки выглядит как шарнир с одной стороны и запрет на горизонтальные перемещения с другой. Будем называть первую задачу задачей о консольной балке, а вторую – о шарнирной. Схемы этих задач изображены на рисунке 1. Рисунок 1 – Типичные схемы задач ТО: а) консольная балка; б) шарнирная балка Модель ортотропного материала Приведем описание свойств ортотропного материала для лучшего понимания предложенных алгоритмов решения задачи оптимизации СА. Как известно, механические свойства ортотропного материала можно описать следующим набором характеристик: модуль упругости вдоль направления армирования E1, модуль упругости в направлении, перпендикулярном армированию E2, коэффициенты Пуассона η12 и η21, модуль сдвига G12. Для описания свойств в матричном виде вводятся матрица 8 жесткости K12 и матрица податливости S12. Матрица податливости легло записывается через перечисленные выше упругие характеристики: 𝐒12 1 𝐸1 𝜂12 = − 𝐸1 ( 0 𝜂21 𝐸2 1 𝐸2 0 − 0 0 . (5) 𝐺12 ) Данная матрица характеризует механические свойства монослоя ортотропного материала в системе координат (СК), совпадающей с его главными осями ортотропии (СК монослоя композита). Матрица жесткости определяется как обратная к матрице податливости: 𝐊12 = 𝐒12 −1 . (6) При повороте СК, относительно которой определяются свойства материала, то есть при переходе от СК композита к, например, глобальной СК пользуются следующими соотношениями: 𝐊 xy = 𝐓1 𝐊12 𝐓1 T , 𝐒xy = 𝐓2 𝑺12 𝐓2 T , (7) где Kxy, Sxy – матрицы жесткости и податливости соответственно в глобальной СК; T1, T2 – матрицы поворота, определяемые следующим образом: c2 𝐓1 = (s 2 sc 2 s2 −2sc 2 c 2sc ), 2 −sc c − s 2 2 c s −sc 2 𝐓2 = ( s 2 c sc ), 2sc −2sc c 2 − s 2 где c = cos(θ), s = sin(θ). (8) Построение матрицы жесткости конечного элемента Рассмотрим процесс построения матрицы жесткости конечного элемента, моделирующего ортотропные свойства. 9 Разобьем исследуемую область на 4-х узловые конечные элементы (КЭ) (рисунок 2). Выполним переход от реального КЭ к его идеализированной модели. Введем локальную СК идеализированного элемента, отличную от глобальной СК. Обозначим локальные координаты через 𝜉 и 𝜂. Рисунок 2 – Переход к идеализированному КЭ Рассматриваемый нами 4-х узловой КЭ в идеализированном виде имеет квадратную форму с центром в начале координат. Пусть сторона квадрата идеализированного элемента имеет длину равную 2. Для того, чтобы можно было любую величину, определенную лишь в узлах элемента, найти с помощью интерполяции в любой его точке, введем функции формы. Билинейные функции формы для идеализированного КЭ имеют достаточно простой вид: 1 𝑁1 (𝜉, 𝜂) = (1 − 𝜉)(1 − 𝜂) 4 1 𝑁2 (𝜉, 𝜂) = (1 + 𝜉)(1 − 𝜂) 4 1 𝑁3 (𝜉, 𝜂) = (1 + 𝜉)(1 + 𝜂) 4 1 𝑁4 (𝜉, 𝜂) = (1 − 𝜉)(1 + 𝜂) 4 10 (9) Координаты точки внутри элемента в глобальной СК могут быть найдены через координаты его узлов следующим образом: 4 4 𝑥 = ∑ 𝑁𝑖 𝑥𝑖 ; 𝑦 = ∑ 𝑁𝑖 𝑦𝑖 . i=1 (10) i=1 Частные производные по локальным координатам 𝜕 𝜕𝜉 , 𝜕 𝜕𝜂 имеют следующий вид: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝜉 = 𝜕 𝜕𝑥 [𝜕𝜂] [𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝜉 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝜂] [𝜕𝑦] (11) Или в матричной форме: 𝜕 𝜕 =𝐉 , 𝜕𝛏 𝜕𝐱 (12) где J – якобиан отображения из реального конечного элемента в идеализированный. Каждый узел имеет две степени свободы, соответственно каждый элемент имеет 8 степеней свободы. Запишем перемещения узлов элемента, которые возникают вследствие приложения к телу нагрузки, в виде вектора ue: 𝐮e = [𝑢1 𝑣1 … 𝑢4 𝑣4 ]T , (13) где ui – линейные перемещения вдоль оси ξ, vi – линейные перемещения вдоль оси η. Также как и координаты, перемещения в произвольной точке внутри элемента можно определить путем интерполяции по узловым значениям: 4 4 𝑢(𝜉, 𝜂) = ∑ 𝑁i 𝑢i ; 𝑣(𝜉, 𝜂) = ∑ 𝑁i 𝑣i , i=1 (14) i=1 где 𝑁i (𝜉, 𝜂) – функция формы элемента. Эти выражения можно объединить, записав их в матричной форме: 11 𝐮(𝜉, 𝜂) = [ 𝑁1 0 0 0 0 𝑁1 𝑁2 0 … 𝑁4 0 e ] 𝐮 = 𝐍𝐮e , 0 𝑁2 0 … 𝑁4 (15) 𝐍(ξ, η) – матрица, содержащая функции формы. Рассмотрим поле деформаций, которое является производным от поля перемещений. Компоненты этого поля определяются следующим образом: 𝜀𝜉 = 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ; 𝜀𝜂 = ; 𝛾𝜉𝜂 = + . 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉 (16) С учетом (15) и (16) деформации в точке 𝛆(𝜉, 𝜂) в матричной форме имеют вид: 𝜕𝑁1 𝜕𝑁2 𝜕𝑁4 0 0 … 0 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑁1 𝜕𝑁2 𝜕𝑁4 𝛆= = 0 0 𝐮𝑒 = 𝐁𝐮𝑒 0 … 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑁1 𝜕𝑁1 𝜕𝑁2 𝜕𝑁2 𝜕𝑁4 𝜕𝑁4 + … [𝜕𝜂 𝜕𝜉] [ 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉 ] 𝜕𝑢 𝜕𝜉 𝜕𝑣 𝜕𝜂 (17) B (ξ, η) – матрица производных функций формы. Как известно, полную потенциальную энергию механической системы П можно определить как: П = 𝑎(𝑢) − 𝑙(𝑢). (18) Определим вид этого выражения в матричной форме. Для этого запишем работу внешних сил над элементом le через векторы перемещений: 𝑙 𝑒 = ∫ ℎ𝐮T 𝑓dΩe + ∫ ℎ𝐮T 𝑡dГe = 𝐮eT 𝐅 e , Ωe (19) Г𝑒 где f(ξ, η) – поле объемных сил, действующее внутри элемента, t(ξ, η) – поле поверхностных сил, действующее на границе элемента, h – толщина элемента, 𝐅 e – вектор сил, приложенных к элементу и распределенных между его узлами: 𝐅 𝑒 = ∫ ℎ𝐍 T 𝑓dΩe + ∫ ℎ𝐍 𝑇 𝑡dГe . Ωe Гe 12 (20) Из выражения (19) видно, что работа внешних сил над элементом равна сумме работ узловых сил по перемещению этих узлов в направлении действия сил (в соответствии с определением произведения вектора-строки на вектор столбец). Теперь выразим через вектор перемещений элемента его потенциальную энергию деформации: 𝑎e = ∫ ℎ𝛆T 𝐊𝛆dΩe , (21) Ωe где K(ξ, η) – матрица жесткости ортотропного материала в точке, записанная в той же СК, что и деформации 𝛆. Расписав деформации 𝛆 в соответствии с (17), получаем: 𝑎e = ∫ ℎ𝐮e T 𝐁 T 𝐊𝐁𝐮e dΩe = 𝐮e T 𝐆e 𝐮e . (22) Ωe e Тогда матрица жесткости элемента 𝐆xy , учитывая соотношения для поворота СК (7), в глобальной СК будет выражаться через следующий интеграл: e 𝐆xy = ∫ ℎ𝐁 T 𝐊 xy 𝐁dΩe = ∫ ℎ𝐁 T 𝐓1 𝐊 𝟏𝟐 𝐓1 T 𝐁dΩe . Ωe (23) Ωe Заменим малую произвольную область конечного элемента dΩe на малый элемент его объема dV: dV = ℎdet𝐉d𝜉d𝜂. (24) Здесь detJ – определитель якобиана. Чтобы избавиться от необходимости взятия интеграла, воспользуемся квадратурами Гаусса. Для этого при рассмотрении квадратной области достаточно вычислить значения подынтегральной функции лишь в четырех точках и просуммировать полученные значения с учетом весовых коэффициентов. Координаты точек, для которых необходимо произвести вычисления: 𝜉, 𝜂 = ± 1 . Все весовые коэффициенты в данном случае равны √3 13 единице. Получаем окончательное выражение для матрицы жесткости элемента: e 𝐆xy 1 T 1 = ∫ ℎ𝐁 𝐓1 𝐊 𝟏𝟐 𝐓1 𝐁dΩ = ∫ ∫ ℎ𝐁 T 𝐓1 𝐊 𝟏𝟐 𝐓1 T 𝐁det𝐉d𝜉d𝜂 = T e Ωe −1 −1 2 (25) 2 = ℎ ∑ ∑ 𝐁 T 𝐓1 𝐊 𝟏𝟐 𝐓1 T 𝐁det𝐉 . i=1 i=1 Данное выражение позволяет определить матрицу жесткости КЭ при любом угле армирования в глобальной СК. Решение задачи топологической оптимизации для конструкции из изотропного материала Прежде чем начать решать задачу оптимизации СА, приведем описание решения задачи ТО для изотропного материала методом штрафования промежуточных плотностей. Постановка данной задачи приведена ниже. min l (u ); a(u, v) l (v); 0 Eijkl ( x) ( x) p Eijkl , p 1; ( x)d V , 0 min ( x) 1, (26) Приняв, что в силу условия равновесия a(u,u)=l(u), а объем оптимизированной конструкции равен максимально допустимому, введем множитель Лагранжа Λ, а также функцию L, минимум которой соответствует минимальной податливости. L a(u, u ) ( x)d V . 14 (23) В этой функции первое слагаемое соответствует минимизируемой величине, второе слагаемое необходимо для удовлетворения ограничения по объему. Приравнивание первой производной по плотности к нулю дает: Eijkl ij (u) kl (u) . (24) Для промежуточных значений плотности ( min ( x) 1 ) можно записать как: 0 p ( x) p1 Eijkl ij (u) kl (u) . (25) Отсюда видно, что левая часть равна значению удельной энергии деформации домноженной на коэффициент p ( x) p 1 . В предположении, что высокая энергия деформации элемента соответствует его низкой жесткости, запишем схему обновления плотностей на i-ой итерации: max (1 ) i , min если i Bi max 1 i , min i 1 min (1 ) i ,1 если min (1 ) i ,1 i Bi i Bi в остальных случаях. 0 Bi i1 p ( x) p1 Eijkl ij (u) kl (u). (6) (7) Здесь Bi используется как коэффициент для оценки жесткости элемента, а Λi устанавливает уровень энергии деформации на текущей итерации. Ясно, что оптимальное значение Bi = 1 для каждого элемента. Согласно схеме (6) плотность элемента увеличивается при недостаточной жесткости элемента (при Bi > 1) и уменьшается при завышенной жесткости. При этом не допускается выход плотности из установленных границ. Параметр ζ контролирует максимальное приращение плотности, которое может произойти за одну итерацию, а параметр η определяет степень влияния Bi на плотность. Стандартные значения для ζ и η равны 0,5 и 0,2 соответственно. 15 Множитель Лагранжа Λ характеризует удельную энергию деформации всей конструкции. Увеличение этого множителя приводит к большей деформации конструкции и, в соответствии с выражением (7), к уменьшению ее жесткости и занимаемого объема. Так как множитель Λ может быть произвольным, для каждой итерации необходимо определить такое его значение, которое бы отвечало условию ограничения объема. Интеграл от поля плотностей является непрерывной и монотонно убывающей функцией множителя Λ, поэтому можно определить его значение, например методом бисекции. Для реализации этого метода необходимо на каждой итерации выполнять еще один цикл, внутри которого ищется значение Λi, удовлетворяющее ограничению по объему. Оптимизация схемы армирования с учетом главных напряжений Теперь рассмотрим проектировании силовых решение задачи конструкций оптимизации проектировщик СА. При неминуемо сталкивается с проблемой определения наиболее рационального набора конструктивных элементов. Часто при оптимизации конструкции она приобретает стержневой вид (рисунок 3) и оптимизируемыми параметрами становятся характеристики этих стержней и их взаимное расположение. Такой вид конструкций хорошо подходит для изготовления методом 3D-печати с армированием непрерывными волокнами. 16 Рисунок 3 – Стержневая конструкция При определении схемы армирования изделия, изготавливаемого путем 3D-печати непрерывными волокнами, наиболее важными вопросами являются вопросы о рациональном расположении армирующих волокон с точки зрения прикладываемых нагрузок и с точки зрения тех ограничений, которые накладывает технология изготовления. К таким ограничениям, например, можно отнести конечный нерегулируемый диаметр армирующих волокон, невозможность пересечения траекторий волокон в пределах одного слоя. Также следует учитывать низкие прочностные показатели печатного материала при работе на сдвиг, снижение прочностных характеристик печатного материала в местах резких поворотов траекторий армирующих волокон, а также в местах их разреза. Места, где можно ожидать снижение свойств печатного материала, представлены на рисунке ниже. 17 Рисунок 4 – Области поворота траекторий армирования Таким образом, проектируя изделие, следует стремиться к такой его форме, которая бы обеспечивала наиболее прямые траектории укладки армирующих волокон и которая бы не предполагала частого разрезания волокна. В изделиях такой формы преобладает работа волокон на растяжениесжатие, а работа на сдвиг сводится к минимуму. Известно, что решения задачи ТО чаще всего приводят к стержневой структуре оптимизируемых конструкций. Это позволяет свести задачу оптимизации СА к решению задачи ТО в изотропной постановке и последующей ориентации траекторий армирования вдоль образовавшихся стержней. Однако такой подход не может гарантировать оптимальности решения, так как не учитывает ортотропные свойства материала на стадии ТО. Для учета ортотропии во время процесса оптимизации будем решать задачу ТО для ортотропного материала, задавшись какой-либо начальной ориентацией одинаковой для всей конструкции. Далее во время оптимизации на каждой итерации будем изменять ориентацию каждого элемента в соответствии с каким-либо условием оптимальности, то есть для каждого i-го распределения плотностей ρi(x) будем определять наилучшее распределение углов армирования 𝜃i (x). Выполнять это действие будем сразу после обновления плотностей по схеме 10. Примем, что наилучший угол армирования 𝜃(x) в точке x равен углу, вдоль которого ориентировано большее по модулю главное напряжение, возникающие в данной точке конструкции под действием заданных нагрузок. Действительно, в случае одноосного напряженного состояния, которое характерно для стержневых конструкций, волокно, ориентированное вдоль линии действия больших главных напряжений, воспринимает наибольшее сжимающее или растягивающее усилие, а значит наиболее полно реализует свои свойства при заданных нагрузках. 18 Покажем, каким образом можно определить направление ориентации главных напряжений в конструкции. Определив вектор деформаций в центре элемента в соответствии с 17, можем найти напряжения в этой же точке по закону Гука: 𝛔xy = 𝐊 xy 𝛆xy 𝜎x = [ 𝜎y ]. 𝜏xy (8) Заметим, что все величины приведены в глобальной СК, матрица жесткости Kxy получена из матрицы K12 связанной с главными осями ортотропии. Теперь определим значения двух главных напряжений [12]: 1 1 2 2 ; 𝜎1 ′ = (𝜎x + 𝜎y ) + √(𝜎x − 𝜎y ) + 4𝜏xy 2 2 (9) 1 1 2 2 . 𝜎2 ′ = (𝜎x + 𝜎y ) − √(𝜎x − 𝜎y ) + 4𝜏xy 2 2 Из значений главных напряжений можем определить тангенс углов наклона нормалей площадок, в которых возникают главные напряжения 𝜎1′ и 𝜎2′ соответственно: tg𝛼1′ = tg𝛼2′ = 𝜎1′ − 𝜎x ; 𝜏xy (10) 𝜎2′ − 𝜎x . 𝜏xy Как известно напряжения 𝜎1′ и 𝜎2′ действуют в перпендикулярных направлениях. Обратим внимание, что обозначения осей 1'-2', совпадающих с направлением действия главных напряжений, имеют знак штриха, означающий, что их направление на момент определения главных напряжений 19 не обязательно совпадает с направлением главных осей ортотропии материала 1-2. Однако сразу после определения главных напряжений и направления их осей 1'-2' направление осей 1-2 становится таким же. В этом и заключается оптимизация распределения углов армирования конструкции. Таким образом можем записать следующее условие оптимальности для углов армирования: 𝜎1′(2′ ) − 𝜎x 𝜃 = atan ( ), 𝜏xy (11) где из 𝜎1′ и 𝜎2′ выбирается максимальное по модулю напряжение. Для иллюстрации работы данного метода приведем решения задачи оптимизации СА, полученные с его помощью. В качестве тестовых задач рассмотрим задачи оптимизации консольной и шарнирной балок. Характеристики ортотропного материала приведены в таблице 1. Толщина балок составляет 5 мм. Консольная балка имеет длину 150 мм и высоту 50 мм. Шарнирная – 150 мм и 60 мм соответственно. Размер КЭС для консольной балки составляет 150x50 конечных элементов, для шарнирной – 150x60. Радиус фильтрации rmin= 1,5 мм, коэффициент штрафа p = 3, параметры ζ и η равны 0,2 и 0,5 соответственно. Во всех случаях расчета установлено ограничение объема в половину от начального. Для каждого расчета установлено максимальное количество итераций – 100. Начальный угол армирования сонаправлен с осью x, то есть составляет 0 ̊. На рисунке 5 приведены полученные решения. Решение представлено в виде векторного поля, где каждому КЭ соответствует вектор, имеющий ту же ориентацию, что и материал КЭ, и длина которого пропорциональна значению плотности КЭ. 20 Таблица 1 – Характеристики ортотропного материала Характеристика, обозначение Модуль упругости E1, ГПа Модуль упругости E2, ГПа Модуль сдвига G12, ГПа Коэффициент Пуассона, η12 Коэффициент Пуассона, η21 Значение 56,6 4,0 0,5 0,4000 0,0283 Рисунок 5 – Решение, полученное для консольной балки Рисунок 6 – Решение, полученное для шарнирной балки 21 Приведем также значения целевой функции и количество итераций, затраченных на решение, в качестве параметров, по которым будем судить об эффективности метода. Получившиеся значения приведены в таблице 2. Таблица 2 – Результаты расчета Параметр Целевая функция, Н·мм Количество итераций Консольная балка 677 70 Шарнирная балка 776 80 Из полученных решений видно, что представленный метод решения предлагает адекватные схемы армирования. Получившиеся в результате конструкции представляют из себя стержневые системы. Главная ось ортотропии материала направлена вдоль стержней и не претерпевает резких поворотов при переходе от элемента к элементу, что обеспечивает работу материала только на растяжение или сжатие. Исключением являются места пересечения стержней, где материал имеет более сложное НДС. В таких местах имеет место значительное изменение угла армирования. Чтобы выполнить печать подобного участка, необходимо прибегнуть либо к резкому изменению траектории укладки волокна, либо к разрезанию одного из пересекающихся волокон. Оба варианта приводят к снижению прочности данного участка. Описанная проблема снижения прочности в местах пересечения стержней является общей для всех методов оптимизации СА, в которых не учитываются ограничения, накладываемые технологией печати на форму изделия. В качестве решения данной проблемы можно предложить проведение оптимизации не углов армирования отдельных элементов, а целых траекторий армирования. Такой подход позволил бы учесть снижение прочности в местах пересечения стержней. Другим подходом к решению данной проблемы является проведение оптимизации двухслойной конструкции, в которой один слой работает только 22 на растяжение, а другой – на сжатие. При данном подходе пересекающиеся стержни лежат в разных слоях, и в местах их пересечений траектории армирования остаются прямолинейными и непрерывными. Минусом такого подхода является то, что совместность работы слоев такой конструкции обеспечивается лишь межслоевой связью, которая, как правило, не обладает высокой прочностью. Еще одним недостатком метода оптимизации СА по главным напряжениям является невозможность проведения оптимизации с учетом нескольких случаев нагружения. Действительно, в каждом случае нагружения решение представляет из себя уникальное распределение углов армирования и плотностей. На данный момент нет четкого понимания, по какому принципу можно было бы совместить разные решения. Оптимизация схемы армирования градиентным методом Прежде чем описать градиентный метод решения задачи оптимизации СА дадим пояснения к основным понятиям из области математического программирования. Функцию, минимизация или максимизация которой является критерием оптимальности, называют целевой функцией. Изменяемые в процессе оптимизации величины, влияющие на значение целевой функции и входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации, а соотношения, которые устанавливают пределы возможного изменения этих параметров – ограничениями. В контексте рассмотрения задач оптимизации является важным понятие выпуклой функции, то есть такой функции f, для которой на множестве Ω ⊂ R𝑛 выполняется следующее условие: 𝑓(𝜆𝐱1 + (1 − 𝜆)𝐱 2 ) ≤ 𝜆𝑓(𝐱1 ) + (1 − 𝜆)𝑓(𝐱 2 ), (12) где 𝐱1 , 𝐱 2 ∈ Ω – точки в векторном пространстве, 𝜆 ∈ (0,1). Данная запись означает, что для выпуклой функции f отрезок, соединяющий две точки, лежит 23 не ниже, чем соответствующая дуга графика. На рисунке 7 приведен пример выпуклой (а) и невыпуклой (б) одномерной функции. Рисунок 7 – Примеры выпуклой (а) и невыпуклой функции Важность понятия выпуклой функции обуславливается следующим свойством этого класса функций: если функция f является выпуклой на множестве Ω ⊂ Rn , то эта функция в любой точке локального минимума достигает наименьшего в Ω значения. Таким образом для выпуклой функции любой минимум является глобальным, что значительно облегчает задачу оптимизации. Для невыпуклой же функции нахождение минимума не гарантирует нахождение наименьшего на всем исследуемом участке значения. Введем условие, характеризующее критические точки функции. Под критическими будем понимать такие точки, в которых вектор-градиент функции обращается в нуль. Точка x0 критическая если: ∇f(𝐱 0 ) = 0. (13) Для выпуклой функции любая критическая точка является точкой глобального минимума, то есть для решения задачи оптимизации такой функции достаточно найти точку, удовлетворяющую условию (37). В случае невыпуклой функции это условие может соответствовать локальным и глобальным экстремумам, а также седловым точкам. На данный момент существует несколько подходов к решению задач оптимизации, которые можно разделить на несколько классов: 24 1. Методы нулевого порядка, то есть методы, основанные только на информации о значении целевой функции в отдельных точках; в случае одномерной оптимизации сюда можно отнести оптимальный пассивный поиск, методы дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи; 2. Методы первого порядка – такие методы, в которых помимо значений целевой функции используются еще значения первой ее производной; градиентные методы можно отнести к этому классу; 3. Методы второго порядка используют для поиска минимума значения целевой функции, а также первую и вторую производные от нее. Приведем описание общего принципа работы градиентных методов оптимизации. Целью любого метода оптимизации является построение такой последовательности точек x0, x1, … xi, которая подчиняется следующему условию: f(𝐱 0 ) > f(𝐱 0 ) > . . . > f(𝐱 i ) >. . ., (14) то есть каждый последующий член этой последовательности меньше предыдущего. Такую последовательность называют релаксационной. При этом переход от точки к точке происходит согласно выражению: 𝐱 i+1 = 𝐱 i + 𝑡i 𝐝i , (15) где di – направление спуска, а ‖𝑡i 𝐝i ‖ – величина спуска. Различные вариации градиентного метода оптимизации отличаются процедурой выбора направления и величины спуска. Одним из наиболее очевидных направлений спуска является то, которое сонаправлено с вектором антиградиента, то есть с вектором обратным градиенту. Тогда выражение 39 принимает следующий вид: 𝐱 i+1 = 𝐱 i − 𝑡i ∇f(𝐱 i ). (40) Согласно выражению выше, для определения последующей точки релаксационной последовательности необходимо для текущей точки определить производные по всем компонентам вектора xi, составить из этих 25 производных вектор градиента, а затем сделать шаг в направлении противоположном полученному градиенту. Величину шага можно принять за константу, или определять ее для каждой итерации, например, из решения задачи одномерной оптимизации. Релаксационная последовательность, полученная с помощью градиентного метода, представлена на рисунке 8. Рисунок 8 – Иллюстрация градиентного метода оптимизации Ясно, что градиентные методы будут приводить к точке глобального минимума в том случае, если оптимизируемая функция является выпуклой. В случае же невыпуклой функции решение может сойтись к любой другой критической точке, где градиент, а значит и величина спуска, обращаются в нуль. Рассмотрим задачу оптимизации угла армирования ортотропного элемента, нагруженного силами Fx, Fy, Fxy. Начальная ориентация элемента – 𝜃0 . В качестве целевой функции выберем податливость элемента, то есть его энергию деформации: T 𝑙 = 𝛆Txy 𝐊 xy 𝛆xy = 𝛆12 𝐊12 𝛆12 . 26 (41) Рисунок 9 – Пластина, с оптимизируемым углом армирования Пусть Fx = 100 Н, Fy =50 Н, Fxy = 200 Н. Построим график зависимости целевой функции от угла армирования 𝜃. Видно, что функция не является выпуклой и имеет два минимума с учетом ее периодичности. Можно сделать вывод, что при оптимизации угла градиентным методом, результат зависит от начального приближения. Рисунок 10 – Зависимость целевой функции от угла армирования Определим производную целевой функции от угла армирования. Примем, что СК 1-2 связанная с направлением армирования, является 27 неподвижной, а глобальная СК x-y поворачивается. В таком случае матрица жесткости K12 остается неизменной, а деформации изменяются по соотношению: 𝛆12 = 𝐓𝟐−1 𝛆xy = 𝐓1T 𝛆xy . (42) Запишем выражение для производной целевой функции по углу армирования: T d𝑎 d𝛆12 d𝛆12 T = 𝐊12 𝛆12 + 𝛆12 𝐊12 = d𝜃 d𝜃 d𝜃 = 𝛆Txy = Заметим, d𝐓1 d𝐓1T T T 𝐊 𝐓 𝛆 + 𝛆xy 𝐓1 𝐊12 𝛆 = d𝜃 12 1 xy d𝜃 xy (43) d𝐓1 d𝐓1T T 𝐊 𝐓 + 𝐓1 𝐊12 ) 𝛆xy . d𝜃 12 1 d𝜃 𝛆Txy ( что справедливым также является предположение о неподвижности глобальной СК x-y и поворачивающейся СК 1-2, связанной с осью ортотропии материала. В таком случае деформации остаются неизменными, а целевая функция изменяется за счет изменения упругих свойств материала. Производная матрицы жесткости Kxy по углу армирования запишется следующим образом: d𝐊 xy d𝐓1 d𝐓1T T = 𝐊 𝐓 + 𝐓1 𝐊12 . d𝜃 d𝜃 12 1 d𝜃 Определив производную матрицы перехода (44) d𝐓1 d𝜃 , как производную по каждому компоненту этой матрицы, запишем вид получившейся матрицы: −2sc d𝐓1 = ( 2sc d𝜃 c 2 − s2 2sc −2sc s2 − c 2 −2(c 2 − s 2 ) 2(c 2 − s 2 ) ). −4sc (45) Таким образом схема обновления угла армирования для решения задачи оптимизации градиентным методом имеет следующий вид: 𝜃i+1 = 𝜃i − 𝑡i d𝑎i . d𝜃i 28 (46) Проварьируем начальный угол 𝜃0 и занесем в таблицу 3 результаты расчета, то есть угол, к которому сошлось решение, и значение целевой функции, соответствующее этому углу. Видно, что результат решения задачи оптимизации угла армирования зависит от выбора начального приближения. Таблица 3 – Решения задачи оптимизации угла армирования Начальный угол 𝜃0 , град Оптимальный угол 𝜃 ∗ , град Значение целевой функции, a -90 -60 -30 0 30 60 90 -49 -49 -49 42 42 42 -49 19,9 19,9 19,9 5,8 5,8 5,8 19,9 Теперь рассмотрим задачу оптимизации СА, дополнив решение задачи ТО определением оптимального распределения углов армирования градиентным методом. Запишем схему обновления угла армирования для элемента: 𝜃i+1 = min (𝜃i − 𝑚, max (𝜃i − d𝑙 𝑡 , 𝜃 + 𝑚 )). d𝜃 𝑙 i (47) В приведенной схеме установлено ограничение на максимальное изменение угла армирования m, а значение величины спуска контролируется постоянным коэффициентом t и величиной обратной энергии деформации элемента 1/l, введенной для стабилизации процесса оптимизации. Обновление угла армирования по приведенной выше схеме происходит на каждой итерации процесса оптимизации сразу после обновления плотностей. Также как и плотности элементов, углы армирования подвергаются осреднению с соседними элементами для достижения более однородной структуры конструкции. 29 Приведем результаты, полученные с помощью данного метода на рисунках 11-12 и в таблице 4. Тестовые задачи и их условия для данного метода аналогичны задачам из предыдущего пункта. Рисунок 11 – Решение, полученное для консольной балки Рисунок 12 – Решение, полученное для шарнирной балки Таблица 4 – Результаты расчета Параметр Целевая функция, Н·мм Количество итераций Консольная балка 1083 84 30 Шарнирная балка 1022 100 Видно, что данный метод предлагает более податливые конструкции, чем предыдущий. На рисунках 11-12 видно, что часть стержней имеют неудачную ориентацию элементов. Это связано с невыпуклостью задачи оптимизации и наличием нескольких минимумов целевой функции. Для решения данной проблемы можно предложить рассматривать несколько начальных точек при выполнении оптимизации и выбирать тот угол армирования, который обеспечивает наименьшее значение целевой функции. Данный метод хоть и обеспечивает более податливые решения по сравнению с методом, основанным на главных напряжениях, имеет больший потенциал при оптимизации конструкций, имеющих несколько случаев нагружения. Структура данного метода позволяет выполнять оптимизацию таких конструкций. Однако для обеспечения приемлемости получаемых решений необходимо модифицировать метод, таким образом, чтобы решить проблему невыпуклости целевой функции. 31 ВЫВОДЫ В данной работе была рассмотрена задача оптимизации СА. Была сформулирована постановка данной задачи, приведены основные теоретические сведения, необходимые для ее решения. Было рассмотрено два подхода к решению данной задачи: решение, основанное на главных напряжениях, возникающих в конструкции, и решение методом градиентного спуска. Была описана принципиальная схема представленных методов. Данные методы были реализованы в программном комплексе MATLAB, результаты расчетов были представлены в работе. По результатам расчетов обнаружены проблемы, возникающие при данных подходах, предложены пути их решения. Сделан вывод о том, что в текущей реализации более удачным является подход, основанный на главных напряжениях. 32 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ [1] Adumitroaie, A. Novel Continuous Fiber Bi-Matrix Composite 3-D Printing Technology / A. Adumitroaie, F. Antonov, A. Khaziev, A. Azarov // Materials. – 2019. – 12 – 3011. [2] 3D Printing Carbon Fiber and Other Composites [Электронный ресурс] // Markforged. URL: https://markforged.com/resources/learn/design-for-additivemanufacturing-plastics-composites/understanding-3d-printingstrength/3d-printing-carbon-fiber-and-othercomposites#:~:text=Carbon%20fiber%2C%20fiberglass%2C%20and %20Kevlar,easy%20to%20snap%20if%20bent (дата обращения: 22.06.2023). [3] Safonov AA (2019) 3d topology optimization of continuous fiber reinforced structures via natural evolution method. Compos Struct 215:289–297 [4] Papapetrou V.S., Patel C., Tamijani A.Y. Stiffness-based optimization framework for the topology and fiber paths of continuous fiber composites. Composites Part B, 2020. doi: 10.1016/j.compositesb.2019.107681 (дата обращения 09.03.2023). [5] Федулов Б.Н., Федоренко А.Н., Антонов Ф.К., Ломакин Е.В. Алгоритм топологической оптимизации конструкции, выполненной из анизотропного материала с учетом параметров ориентации армирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 3. С. 182–189. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.3.17 [6] Moter, A. E. Topology and printing orientation optimization of orthotropic material for additive manufacturing // Graduate program in mechanical engineering York university Toronto, Ontario. – 2021. – 126 p. 33 [7] Schmidt, M.-P. Structural topology optimization with smoothly varying fiber orientations / M.-P. Schmidt, L. Couret, C. Gout, C. B. W. Pedersen // Structural and Multidisciplinary Optimization. – 2020. [8] Stegmann J., Lund E. Discrete material optimization of general composite shell structures., International Journal for Numer-ical Methods in Engineering, 2005, vol. 62, no. 14, pp. 2009-2027. [9] Zhou K., Li X. Topology optimization of structures under multiple load cases using a fiber-reinforced composite material model., Computational Mechanics, 2006, vol. 38, no. 2, pp. 163-170. [10] Bendsoe M.P., Sigmund O. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications. New York, Springer Verlag, 2003, 271 p. [11] Косых П.А. оптимизации // Теория и анализ методов топологической Инженерный журнал: Наука и инновации – 2023. – № 4. [12] Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 560 с. 34