Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Национальный исследовательский университет ИТМО»
Факультет программной инженерии и компьютерной техники
Отчёт
По расчётно-графической работе №4
Вариант: 5
Выполнили:
Козодой А.С.
Аскаров Э.Р.
Преподаватель:
Труфанова А.А.
г. Санкт-Петербург
2023 г
4i
π i 4i
(−1) =(e ) =e
√1
−4 π
№1
№2
3
z=|z|∗(cos ϕ +i sin ϕ )
1=cos 0+i sin 0
|z|=1
ϕ =0
ϕ +2 π k
ϕ +2 π k
+i sin
)
√3 z= √3 |z|(cos
3
3
2π k
2π k
3
)+i sin(
), k∈[0.. n−1]
√ 1=cos(
3
3
k=0: =1
1
3
k=1: =− +i √
2
2
1 √3
k=2: =− −i
2
2
|z−i|<2
{0<Im
z<2
№3
№4
В окрестности точки z 0 =0 функция аналитическая, значит выполняются условия КошиРимана:
∂u ∂ v
=
∂x ∂ y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
2
2
u(x , y)=x − y −2 y
∂u
∂u
=2 x ,
=−2 y−2
∂x
∂y
∂v
=2 x
∂y
v=∫ 2 x dy=2 xy +C 1 ( x)
{
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
2 y+C 1 ' ( x)=2 y+2
C 1 ' ( x)=2
C 1 ( x)=2 x +C 2
v=2 xy +2 x +C 2
f ( z0 )=f (0)=0
2
2
2
(0 −0 −2∗0)+i(2∗0 −2∗0+C 2 )=0
C 2=0
v=2 xy +2 x
∫
№5
z e dz , ABC – ломаная, z A =i, z B =1 , z C =0
3
z4
ABC
4
4
3
z , e z - всюду аналитические функции, значит z 3 e z также всюду аналитическая
∫ z3 e z dz= 14 ∫ e z d (z 4)= 14 (∫ e z d( z 4)+∫ e z d (z 4 ))
ABC
ABC
AB
BC
AB:
4
4
1
4
∫ e d (z )=∫ e d ( z )=e
z4
4
AB
z4
4
4
1
|i =e−e=0
z4
i
BC:
∫e
BC
∫
ABC
z4
0
d ( z )=∫ e d( z )=e
4
z4
4
0
|1=1−e
z4
1
1
z e dz= (1−e)
4
3
z4
3 z−36
4
3
2
z +3 z −18 z
Особые точки: z 4 +3 z 3 −18 z 2=0
2
2
z (z +3 z−18)=0
2
z (z +6)( z−3)=0
z 1,2=0, z 3 =−6 , z 4 =3
Области аналитичности:
1. 0<|z|<3
2. 3<|z|<6
3. |z|>6
№6
3 z−36
A
B
=
+
(z +6)( z−3) z +6 z−3
A( z−3)+B( z+6)
3 z−36
=
( z+6)( z−3)
( z+6)( z−3)
A +B=3
// z
⇒ A+ B=3 ⇒ A=6
−3 A+6 B=−36 // 1
A−2 B=12
B=−3
3 z−36
1 6
3
1
1
1
−
)= 2
+
4
3
2= 2 (
z+6
z−3
z
z +3 z −18 z z
z 1−(− ) 1− z
6
3
{
{
(
{
)
Рассмотрим область 0<|z|<3:
(
)
n
n
n−2
n−2
∞
∞
∞
1 6
3
1
1
1
1 ∞
z
z
z
z
(
−
)=
+
=
(
(−
)
+
(
)
)=
+
∑
∑
2
2
2 ∑
n ∑
n
z
+6
z−3
z
z
6
3
z
z 1−(− ) 1−
z n=0
n=0
n=0 (−6)
n=0 3
6
3
Рассмотрим область 3<|z|<6:
(
)
n
n
n−2
n+1
∞
∞
1 6
3
1
1
1
1 ∞
z
3 ∞ 3
z
3
(
−
)=
−
=
(
(−
)
−
(
)
)=
+
∑
∑
∑
∑
2
2
2
n
n+3
z n=0 z
z z +6 z−3 z 1−(− z ) z (1− 3 ) z n=0 6
n=0 (−6)
n=0 z
6
3
z
Рассмотрим область |z|>6:
(
)
n
n+ 1
∞
(−1) 6
1 6
3
1
1
1
1 6 ∞
6 n 3 ∞ 3 n
(
−
)=
−
=
(
(−
)
−
(
)
)=
∑
∑
∑
2
2
2
z n=0 z
z z +6 z−3 z z (1−(− 6 )) z (1− 3 ) z z n=0 z
z n+3
n=0
6
z
3
z
№7
sin( π z)
f ( z)= 3
( z −1)2
Особые точки: ( z3 −1)2=0
3
z −1=0
3
z =1
3
3
z =|z |∗(cos ϕ +i sin ϕ )
1=cos 0+i sin 0
|z3|=1
ϕ =0
√3 z3=√3 |z 3|(cos ϕ +23 π k +i sin ϕ +23π k )
2π k
2π k
z=cos(
)+i sin(
), k∈[0..2]
3
3
k=0: z=1 - изолированная особая точка, полюс 1 порядка
1 √3
k=1: z=− +i
- изолированная особая точка, полюс 1 порядка
2
2
1
3
k=2: z=− −i √ - изолированная особая точка, полюс 1 порядка
2
2
№8
3
2
∮ 2 z +32zz5−2 dz
|z|=3
Особая точка z=0 - полюс порядка 5
k −1
k
d (f ( z)( z−z 0 ) )
1
Res z =
lim
k−1
(k −1)! z→ z
dz
3
d 4 (z3 + z 2−1)
1
2
1
Res 0= lim
= lim 0=0
4
4! z→0
24
z→ 0
dz
3
2
∮ 2 z +32 zz5−2 dz =2 π i∗Res0 f ( z)=2 π i∗0=0
|z|=3
№9
0
0
∞
+∑
n=0
3n+1
z n+3
2π
∫ 2+ √dt3 sin t
0
z=e
it
1
z z2 −1
sin t=
=
2i
2iz
dz
dz=i z dt , dt=
iz
2
2
z −1 4 zi+ √ 3 z − √ 3
2+ √ 3 sin t=2+ √ 3
=
2 iz
2 zi
2 dz
∮ (4 zi+ 3 z2− 3) =2 ∮ 4 zi+ dz
√
√
√ 3 z 2− √ 3
|z|=1
|z|=1
Найдем особые точки:
√ 3 z2 +4 zi− √ 3=0
−4 i± √−16+12 −4 i±2 i −2i±i
z=
=
=
2 √3
2 √3
√3
z 1=−√ 3i - вне области |z|≤1
i
z 2=−
- полюс
√3
1
1
Res i f (z )= lim
=
−
2i
i √ 3 z +3 i
√3
z→−
z−
√3
2∮
|z|=1
dz
1
=2∗2 π i =2 π
2
2i
4 zi+ √ 3 z − √ 3