Министерство науки и высшего образования РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Омский государственный технический университет» Кафедра «Нефтегазовое дело, стандартизация и метрология» РЕФЕРАТ по дисциплине «Метрология, стандартизация, сертификация» Тема: «Виды измерений и подходы к обработке результатов измерений» Выполнил: студент гр. УТС-221 Касса Вадим Петрович __________________________ Проверил: проф., д.н. каф. НГДСиМ Варепо Л.Г. __________________________ Омск – 2023 Содержание Введение ................................................................................................................... 2 1.История измерений .............................................................................................. 3 1.1 История измерительных систем ...................................................................... 3 1.2 История средств измерений ............................................................................. 4 2. Виды измерений .................................................................................................. 6 2.1 Основные понятия и термины в области метрологии ................................... 6 2.2 Классификация измерений ............................................................................... 8 2.3 Методы измерений .......................................................................................... 12 2.4 Виды средств измерений ................................................................................ 13 2.5 Классификация погрешностей измерений ................................................... 16 3.Обработка результатов измерений ................................................................... 19 3.1. Общие сведения.............................................................................................. 19 3.2. Обработка результатов прямых многократных измерений ....................... 19 3.3 Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений 23 3.4. Обработка результатов прямых многократных неравноточных измерений ................................................................................................................................. 27 3.5. Обработка прямых однократных измерений .............................................. 31 3.6. Обработка результатов косвенных измерений ........................................... 34 3.7. Обработка результатов совместных измерений ......................................... 37 Заключение ............................................................................................................ 44 Библиографический список ................................................................................. 45 1 Введение В условиях рыночной экономики метрология, стандартизация и сертификация становятся теми инструментами, использование которых позволяет производителю обеспечить качество выпускаемой продукции, работ и услуг, конкурентоспособность и эффективность производства. Целью изучения дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» является формирование у студентов знаний, умений и навыков в указанных областях деятельности с целью обеспечения более высокой эффективности работы. Знания в области метрологии, стандартизации и сертификации в одинаковой степени важны как для специалистов, производящих продукцию, так и для специалистов по реализации продукции и менеджеров. Измерения – один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука, техника и промышленность не могут существовать без них. Каждую секунду в мире производятся многие миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечения безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важных целей. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля. Диапазон измеряемых величин и их количество постоянно растет. С ростом диапазона измеряемых величин возрастает и сложность измерений. Они, по сути дела, перестали быть одноактным действием и превратились в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента, обработки и интерпретации полученной информации. Поэтому следует говорить об измерительных технологиях, понимаемых как последовательность действий, направленных на получение измерительной информации требуемого качества. Другой фактор, подтверждающий важность измерений, их значимость. Основой любой формы управления, анализа, прогнозирования, планирования, контроля или регулирования является достоверная исходная информация, которая может быть получена только путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Естественно, что только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений. Сотрудничество с зарубежными странами, совместная разработка научно-технических программ требуют взаимного доверия к измерительной информации. Ее высокое качество, точность и достоверность, единообразие принципов и способов оценки точности результатов измерений имеют первостепенное значение. [1] 2 1.История измерений Самые ранние зарегистрированные системы мер и весов возникли в 3 или 4 тысячелетии до нашей эры. Даже самые ранние цивилизации нуждались в измерениях для целей сельского хозяйства, строительства и торговли. Ранние стандартные единицы могли применяться только к одному сообществу или небольшому региону, при этом каждая область разрабатывала свои собственные стандарты длины, площади, объема и массы. Часто такие системы были тесно привязаны к одной области использования, так что меры объема, используемые, например, для сухого зерна, не были связаны с мерами для жидкостей, и ни одна из них не имела какой-либо конкретной связи с единицами длины, используемыми для измерения ткани или земли. С развитием производственных технологий и растущей важностью торговли между сообществами и, в конечном итоге, по всей Земле, стандартизация мер и весов стала критически важной. Начиная с 18 века были разработаны модернизированные, упрощенные и единые системы мер и весов, в которых основные единицы определялись все более точными методами науки метрологии. Открытие и применение электричества стало одним из факторов, побудивших разработку стандартизированных единиц, применимых на международном уровне. Рисунок 1 - Деталь стержня длиной в локоть в Египетском музее (Турин) Официальные системы измерения для крупных обществ можно сгруппировать в исторические системы, которые относительно стабильны с течением времени, включая: вавилонскую систему, египетскую систему, филетерианскую систему эпохи Птолемеев, олимпийскую систему Греции, римскую систему, британскую систему и метрическую систему. 1.1 История измерительных систем Самые ранние известные единые системы измерений, по-видимому, были созданы где-то в 4-м и 3-м тысячелетиях до нашей эры древними народами Месопотамии, Египта и долины Инда, а также, возможно, Элама в Персии. Ранние вавилонские и египетские летописи, а также еврейская Библия указывают на то, что длина сначала измерялась предплечьем, кистью или пальцем, а время измерялось периодами обращения солнца, луны и других небесных тел. Когда было необходимо сравнить вместимость таких 3 емкостей, как тыквенные горшки, глиняные или металлические сосуды, их наполняли семенами растений, которые затем подсчитывали для измерения объемов. Когда были изобретены средства для взвешивания, эталонами служили семена и косточки.[2] Например, карат – международная единица, используемая для указания массы драгоценных камней, был получен из семян рожкового дерева.[3] Рисунок 2 - Плод рожкового дерева 1.2 История средств измерений В повседневной жизни точное измерение не имеет значения. Деревянной чаши может быть достаточно, чтобы равномерно разделить зерно, но ученым, интересующимся размером микроскопических объектов, нужны точные инструменты. Простые или сложные, на протяжении всей истории существовали измерительные инструменты для самых разных целей. Самым старым стандартным измерительным инструментом, возможно, является мера зерна: в древние времена в качестве стандартных единиц массы использовались фиксированные количества зерен, таких как пшеница или ячмень. Итак, посмотрим на изобретение и историческое развитие измерительных инструментов. В научных экспериментах или исследованиях измерения должны проводиться с соответствующим уровнем строгости и точности, чтобы гарантировать надежность результатов. Ученым нужны измерительные инструменты, в которых используются общепринятые стандартные единицы, чтобы получить приемлемые пределы погрешности. Сегодня почти все страны используют Международную систему единиц (СИ) – современную форму метрической системы – которая была введена в 1960 году. Концепция стандартизированных единиц измерения получила более широкое распространение в конце 18 века. Метрическая система, которая ввела десятичную систему измерения, была официально принята во Франции в 1795 году, а затем распространилась во многих частях мира, предоставив универсальный стандарт измерения. 4 Измерительная рейка – 2650 г. до н.э. Рисунок 3 - Измерительная рейка Слиток из медного сплава, обнаруженный в Ниппуре, является старейшим измерительным стержнем и одним из старейших известных измерительных инструментов. Утверждается, что брусок использовался в качестве эталона и был создан около 2650 г. до н. э. Это градуированное правило со странной маркировкой было основано на шумерском локте, длина которого составляла около 518,5 мм (20,4 дюйма). Римский угольник – I век до н.э. Рисунок 4 - Римский угольник Римский угольник был важным измерительным инструментом для римских строителей, позволяя им создавать идеально квадратные блоки. Пример ниже взят из древнего города Геркуланума в Италии. Они помещали квадрат на поверхность и рисовали линию, затем поворачивали его и проводили сверху еще одну линию, чтобы получился квадрат под углом 90 градусов. Штангенциркуль – 17 век. Рисунок 5 - Штангенциркуль В 1631 году Пьер Вернье изобрел скользящую шкалу, позволяющую производить небольшие измерения с высокой точностью. Принцип шкалы 5 Вернье используется без изменений для ее современных аналогов. Микрометр – 18 век Рисунок 6 - Измерительный прибор-микрометр Уатта Изобретенные в 18 веке первые микрометры открыли эру точного машиностроения; эти регулируемые винтообразные устройства позволяли точно измерять небольшие длины. Измерение производилось в месте соприкосновения винта с измерительным устройством. Микрометр Уатта датируется 1776 годом и, вероятно, является первым винтовым микрометром, когда-либо созданным.[4] 2. Виды измерений 2.1 Основные понятия и термины в области метрологии Метрология − наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности; подразделяется на теоретическую, прикладную и законодательную. Теоретическая метрология занимается вопросами фундаментальных исследований, созданием системы единиц измерений, физических постоянных, разработкой новых методов измерения. Прикладная (практическая) метрология занимается вопросами практического применения в различных сферах деятельности результатов теоретических исследований в рамках метрологии. Законодательная метрология включает совокупность взаимообусловленных правил и норм, направленных на обеспечение единства измерений, которые возводятся в ранг правовых положений (уполномоченными на то органами государственной власти), имеют обязательную силу и находятся под контролем государства. Объектами метрологии являются единицы величин, средства измерений, эталоны, методики выполнения измерений. Традиционным объектом метрологии являются физические величины. Физическая величина – одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них. 6 Измерение − совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу величины, обеспечивающих нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей в явном и неявном виде и получение значения этой величины. В метрологии измерение, по существу, является процессом нахождения физической величины опытным путем с помощью средств измерительной техники. Погрешность измерений − разность между результатом измерений и истинным значением измеряемой величины. Средство измерения − техническое средство, предназначенное для измерений, имеющее нормированные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или)хранящее единицу величины, размер которой принимается неизменным в пределах установленной погрешности в течение известного интервала времени. Эталон единицы величины − средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения единицы величины, кратных или дольных ее значений с целью передачи ее размера другим средствам измерений данной величины. Единство измерений — состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах величин или в значениях по установленным шкалам измерений, а показатели точности измерений не выходят за установленные границы.[10] Обеспечение единства измерений является одной из главных задач метрологии. Первым условием обеспечения единства измерений является представление результатов измерений в узаконенных единицах, которые были бы одними и теми же всюду, где проводятся измерения и используются их результаты. В России, как и в большинстве других стран, узаконенными являются единицы величин Международной системы единиц, принятой Генеральной конференцией по мерам и весам, рекомендованные Международной организацией законодательной метрологии. Рисунок 7 - Международная организация законодательной метрологии Второе условие единства измерений – погрешность измерений не превышает (с заданной вероятностью) установленных пределов. Погрешности измерений средства измерений указываются в придаваемом к нему техническом документе – паспорте, ТУ и пр. Метрологическая служба – это сеть организаций, отдельных организаций или отдельных подразделений, на которые возложена ответственность за обеспечение единства измерений.[5] 7 2.2 Классификация измерений Рисунок 8 - Классификация измерений Измерение — определение значения физической величины экспериментальным путём. Измерение — это познавательная процедура, включающая определение характеристик материальных объектов с помощью соответствующих измерительных приборов.[6] Измерение — это совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины. Примеры измерений: 1. В простейшем случае, прикладывая линейку с делениями к какой-либо детали, по сути, сравнивают ее размер с единицей, хранимой линейкой, и, произведя отсчет, получают значение величины (длины, высоты, толщины и других параметров детали). 2. С помощью измерительного прибора сравнивают размер величины, преобразованной в перемещение указателя, с единицей, хранимой шкалой этого прибора, и проводят отсчет. Определение понятия «измерение» удовлетворяет общему уравнению измерений, что имеет существенное значение в деле упорядочения системы понятий в метрологии. В нем учтена техническая сторона (совокупность операций), раскрыта метрологическая суть измерений (сравнение с единицей). От термина «измерение» происходит термин «измерять», которым широко пользуются на практике. Все же иногда применяются такие термины, как «мерить», «обмерять», «замерять», «промерять», которые не вписываются в систему метрологических терминов. Их применять не следует. 8 Не следует также применять такие выражения, как «измерение значения» (например, мгновенного значения напряжения), так как значение величины — это уже результат измерений. Вид измерений - часть области измерений, имеющая свои особенности и отличающаяся однородностью измеряемых величин.[12] Подвид измерений - часть вида измерений, выделяющаяся особенностями измерений однородной величины (по диапазону, размеру и др.). Например, при измерении мощности выделяют измерения больших мощностей (тысячи кВт), средних (десятки Вт), малых (единицы Вт) и сверхмалых мощностей (доли мкВт). [7] Существует несколько видов измерений. При классификации их обычно исходят из характера зависимости измеряемой величины от времени, вида уравнения измерений, условий, определяющих точность результата измерений, и способов выражения этих результатов. Все измерения в зависимости от способа получения результата наблюдения делятся на прямые, косвенные, совокупные, совместные. Прямые измерения — измерения, при которых искомое значение физической величины получают непосредственно по показаниям прибора. Примеры прямых измерений: 1. Измерение длины детали микрометром. 2. Измерение силы тока амперметром. 3. Измерение массы на весах. Рисунок 9 - Измерение длины детали микрометром Косвенные измерения — измерения, при которых определение искомого значения физической величины производится на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. Примером косвенного измерения является определение предела прочности материала при растяжении σв по результатам прямых измерений силы F в момент разрушения образца и диаметра цилиндрического образца d, связанных с пределом прочности σв формулой 4∗𝐹 𝜎В = (1) 𝜋∗𝑑 2 Совокупные измерения — проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих 9 величин в различных сочетаниях. Для определения значений искомых величин число уравнений должно быть не меньше числа величин. Пример — значение массы отдельных гирь набора определяют по известному значению массы одной из гирь и по результатам измерений (сравнений) масс различных сочетаний гирь. Рисунок 10 - Совокупные измерения Совместные измерения — проводимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для определения зависимости между ними. Пример — измерение длины металлического стержня и температуры, при которой производится измерение, для определения зависимости между длиной стержня и температурой. В зависимости от числа измерений последние подразделяются на однократные и многократные. Однократные измерения — измерения, выполняемые один раз. На практике в основном выполняются именно однократные измерения. Например, измерение конкретного момента времени по часам обычно производится один раз. Многократные измерения — измерения физической величины одного и того же размера, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений, т.е. состоящие из ряда однократных измерений. На практике многократными измерениями считаются четырех- и более кратные измерения, поскольку в этом случае возможна статистическая обработка полученных результатов наблюдений для уменьшения случайной составляющей погрешности измерения. По условиям проведения измерений измерения делятся на равноточные и неравноточные. Равноточные измерения — измерения какой-либо величины, выполненные одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях с одинаковой тщательностью. Неравноточные измерения — измерения какой-либо величины, выполненные различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных условиях. Неравноточные измерения обрабатываются по методике, отличной от методики обработки равноточных измерений. По зависимости изменения искомой величины во времени измерения делятся на статические и динамические. 10 Статические измерения — измерения физической величины, принимаемой в соответствии с конкретной измерительной задачей за неизменную на протяжении времени измерения. Примеры: 1. Измерение длины детали при нормальной температуре. 2. Измерение размеров земельного участка. Динамические измерения — измерения изменяющейся по размеру физической величины. По практическому назначению измерения подразделяются на технические и метрологические. Рисунок 11 - Техническое и метрологическое измерение Технические измерения — измерения, выполняемые рабочими средствами измерений. Метрологические измерения — измерения, выполняемые с помощью эталонов для воспроизведения единицы величины и передачи ее размера нижестоящим по поверочной схеме средствам измерений. По способу выражения результата измерения делятся на абсолютные и относительные. Абсолютные измерения — измерения, основанные на прямых измерениях одной или нескольких основных величин и (или) использовании значений физических констант. Пример абсолютных измерений — измерение силы F = mg основано на измерении основной величины —массы т и использовании физической постоянной g (в точке измерения массы). Относительные измерения — измерения отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы, или измерение изменения величины по отношению к одноименной величине, принимаемой за исходную. Пример — измерение активности радионуклида в источнике по отношению к активности радионуклида в однотипном источнике, аттестованном в качестве эталонной меры активности.[8] 11 2.3 Методы измерений Метод измерений — это прием или совокупность приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей в соответствии с реализованным принципом измерений. Метод измерений обычно обусловлен конструкцией средства измерений. В соответствии с РМГ 29-2013 различают следующие методы измерений. 1. Метод непосредственной оценки — метод измерений, при котором значение величины определяют непосредственно по показаниям средства измерений. 2. Метод сравнения с мерой — метод измерений, в котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой. Примеры: Измерение массы на рычажных весах с уравновешиванием гирями (мерами массы с известным значением). Измерение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнением с известной ЭДС нормального элемента. 3. Нулевой метод измерений — метод сравнения с мерой, в котором результирующий эффект воздействия измеряемой величины и меры на прибор сравнения доводят до нуля. Пример — измерения электрического сопротивления мостом с полным его уравновешиванием. 4. Метод измерения замещением — метод сравнения с мерой, в котором измеряемую величину замещают мерой с известным значением величины. Пример — взвешивание с поочередным помещением измеряемой массы и гирь на одну и ту же чашку весов (метод Борда). 5. Метод измерения дополнением — метод сравнения с мерой, в котором значение измеряемой величины дополняется мерой этой же величины с таким расчетом, чтобы на прибор сравнения воздействовала их сумма, равная заранее заданному значению. 6. Дифференциальный метод измерения — метод измерений, при котором измеряемая величина сравнивается с однородной величиной, имеющей известное значение, незначительно отличающееся от значения измеряемой величины, и при котором измеряется разность между этими двумя величинами. Пример — измерения, выполняемые при поверке мер длины сравнением с эталонной мерой на компараторе. 7. Контактный метод измерений — метод измерений, основанный на том, что чувствительный элемент прибора приводится в контакт с объектом измерения. Примеры: Измерение диаметра вала измерительной скобой или контроль проходным и непроходным калибрами. Измерение температуры тела термометром. 12 Рисунок 12 - Измерение измерительной скобой 8. Бесконтактный метод измерений — метод измерений, основанный на том, что чувствительный элемент средства измерений не приводится в контакт с объектом измерения. Примеры: Измерение температуры в доменной печи пирометром. Измерение расстояния до объекта радиолокатором. В зависимости от измерительных средств, используемых в процессе измерения, различают: инструментальный метод; экспертный метод, который основан на использовании данных нескольких специалистов (например, в квалиметрии, спорте, искусстве, медицине); эвристические методы, которые основаны на интуиции. Широко используется способ попарного сопоставления, когда измеряемые величины сравниваются между собой попарно, а затем производится ранжирование на основании результатов этого сравнения; органолептические методы оценки, которые основаны на использовании органов чувств человека (осязания, обоняния, зрения, слуха, вкуса). Например, оценка шероховатости поверхности по образцу зрительно или на ощупь.[9] 2.4 Виды средств измерений К средствам измерительной техники относятся средства измерений и их совокупности (измерительные системы, измерительные установки), измерительные принадлежности, измерительные устройства. Чтобы оценить метрологические характеристики (МХ) средства измерения (СИ), необходимо определить его вид, поскольку для разных СИ используют различные характеристики и их комплексы. [11] Средствами измерений называются технические средства, предназначенные для измерений, имеющие нормированные метрологические характеристики, воспроизводящие и (или) хранящие единицу физической величины, размер которой принимают неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение известного интервала времени. По конструктивному исполнению, форме предоставления измерительной информации, функциональному назначению средства измерений 13 подразделяются на меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки, измерительные системы. Мера физической величины — это средство измерений, предназначенное для воспроизведения и (или) хранения физической величины одного или нескольких заданных размеров, значения которых выражены в установленных единицах и известны с необходимой точностью. Различаются следующие разновидности мер: однозначная мера — мера, воспроизводящая физическую величину одного размера (например, гиря 1 кг); многозначная мера — мера, воспроизводящая физическую величину разных размеров (например, штриховая мера длины); набор мер — комплект мер разного размера одной и той же физической величины, предназначенных для применения на практике как в отдельности, так и в различных сочетаниях (например, набор концевых мер длины); магазин мер — набор мер, конструктивно объединенных в единое устройство, в котором имеются приспособления для их соединения в различных комбинациях (например, магазин электрических сопротивлений). При оценивании величин по условным (неметрическим) шкалам, имеющим реперные точки, в качестве «меры» нередко выступают вещества или материалы с приписанными им условными значениями величин. Так, для шкалы Мооса мерами твердости являются минералы различной твердости. Приписанные им значения твердости образуют ряд реперных точек условной шкалы. Измерительный преобразователь — техническое средство с нормированными метрологическими характеристиками, служащее для преобразования измеряемой величины в другую величину или измерительный сигнал, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи. Например, термопара в термоэлектрическом термометре, электропневматический преобразователь. Рисунок 13 – Измерительные преобразователи Измерительный преобразователь входит в состав какого-либо измерительного прибора (измерительной установки, измерительной системы и др.) или применяется вместе с каким-либо средством измерений. По характеру преобразования различаются аналоговые, цифроаналоговые, 14 аналого-цифровые преобразователи. По месту в измерительной цепи различаются первичные и промежуточные преобразователи. Выделяются также масштабные и передающие преобразователи. Измерительный прибор — средство измерений, предназначенное для получения значений измеряемой физической величины в установленном диапазоне. По способу индикации значений измеряемой величины измерительные приборы разделяются на показывающие и регистрирующие. По действию измерительные приборы разделяются на интегрирующие и суммирующие. Различаются также приборы прямого действия и приборы сравнения, аналоговые и цифровые приборы, самопишущие и печатающие приборы. Измерительные установки — это совокупность функционально объединенных мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей и других устройств, предназначенная для измерений одной или нескольких физических величин и расположенная в одном месте. Например, установка для измерений удельного сопротивления электротехнических материалов, установка для испытаний магнитных материалов. Измерительные системы — совокупность функционально объединенных мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей, ЭВМ и других технических средств, размещенных в разных точках контролируемого объекта и т.п. с целью измерений одной или нескольких физических величин, свойственных этому объекту, и выработки измерительных сигналов в разных целях. В зависимости от назначения измерительные системы разделяются на измерительные информационные, измерительные контролирующие, измерительные управляющие системы и др. Измерительная система, перестраиваемая в зависимости от изменения измерительной задачи, называется гибкой измерительной системой (ГИС). Примеры: Измерительная система теплоэлектростанции, позволяющая получать измерительную информацию о ряде физических величин в разных энергоблоках. Она может содержать сотни измерительных каналов. Радионавигационная система для определения местоположения различных объектов, состоящая из ряда измерительно-вычислительных комплексов, разнесенных в пространстве на значительное расстояние друг от друга. По уровню автоматизации средства измерений подразделяют на три группы: неавтоматические средства измерений; автоматические средства измерений — средства измерений, производящие без непосредственного участия человека измерения и все операции, связанные с обработкой результатов измерений, их регистрацией, передачей данных или выработкой управляющего сигнала; 15 автоматизированные средства измерений — средства измерений, производящие в автоматическом режиме одну или часть измерительных операций. По отношению к измеряемой физической величине средства измерений делятся на основные и вспомогательные: основные средства измерений — средства измерений той физической величины, значение которой необходимо получить в соответствии с измерительной задачей; вспомогательные — это средства измерений той физической величины, влияние которой на основное средство измерений или объект измерения необходимо учесть для получения результатов измерения требуемой точности. 2.5 Классификация погрешностей измерений Рисунок 14 - Классификация погрешностей измерений При проведении многократных измерений одной и той же величины одним и тем же средством измерения с одинаковой тщательностью в одинаковых условиях измерения в общем случае каждый раз получаются различные значения измеряемой величины. Данное обстоятельство обусловлено несовершенством средств и методов измерений, которые искажают истинное значение измеряемой величины. Для количественной оценки указанных несовершенств введено понятие «погрешность измерений», при этом чем меньше погрешность, тем выше точность измерений. Погрешность измерения — это отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Истинное значение величины — значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном 16 отношении соответствующую физическую величину. Истинное значение физической величины может быть соотнесено с понятием абсолютной истины. Оно может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений. Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоретических исследованиях. На практике используют действительное значение величины хд, в результате чего погрешность измерения Δхизм определяют по формуле ∆𝑥изм = 𝑥изм − 𝑥д , (2) где хизм — измеренное значение величины. Действительное значение величины — значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. На точность измерений оказывают влияние большое количество погрешностей, которые принято классифицировать по следующим признакам. По характеру проявления погрешности подразделяются на случайные, систематические и грубые. Случайная погрешность — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины. Систематическая погрешность — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Грубая погрешность — это случайная погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от других результатов этого ряда. По форме числового выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой (2) и выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность не в полной мере характеризует точность измерений. Например, измерения величин x1 = 500 мм и x2 = 1 мм с при одной и той же погрешности Δ = 0,05 мм в первом случае имеют достаточно высокую точность, а во втором — низкую. Поэтому введено понятие относительной погрешности. Относительная погрешность — это погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины: 17 (3) Относительная погрешность является наглядной характеристикой точности результата измерения. Однако она не всегда пригодна для нормирования погрешности средств измерения. В этом случае используется приведенная погрешность. Приведенная погрешность — это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Условно принятое значение величины называют нормирующим значением. Часто за нормирующее значение принимают верхний предел измерений. Приведенную погрешность обычно выражают в процентах: (4) где xN — нормирующее значение. По виду источника выделяют субъективную погрешности. инструментальную, методическую и Инструментальная погрешность измерения — погрешность измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений. Методическая погрешность — составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений. Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, и влияния других факторов, не связанных со свойствами используемого средства измерения, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации, действия которых следует вводить поправки. Методическая погрешность иногда называют теоретической погрешностью. Субъективная погрешность — это погрешность измерения, обусловленная индивидуальными особенностями оператора. По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины погрешности делятся на аддитивные, мультипликативные, нелинейные. Аддитивные погрешности Δа — это погрешности, не зависящие от значения измеряемой величины. Мультипликативные погрешности Δм — погрешности, которые прямо пропорциональны значению измеряемой величины. Нелинейные погрешности Δн — погрешности, имеющие нелинейную зависимость от значений измеряемой величины (рис.15). 18 Рисунок 15 - Аддитивная (а), мультипликативная (б), нелинейная (в) погрешности 3.Обработка результатов измерений 3.1. Общие сведения Основной задачей любого измерения является извлечение количественной информации о физической величине с заданной точностью и достоверностью. Поскольку при измерениях всегда присутствуют случайные погрешности, то обработка полученных результатов наблюдений производится с помощью теории вероятности и математической статистики. В результате статистической обработки, которая выполняется с целью уменьшения случайной составляющей погрешности измерения, определяется доверительный интервал, внутри которого с некоторой доверительной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Обработка прямых однократных измерений более проста, при этом на практике точность однократных измерений, как правило, определяется точностью используемых средств измерений. 3.2. Обработка результатов прямых многократных измерений Последовательность обработки результатов наблюдений состоит из ряда этапов. 1. прямых многократных Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений На этом этапе определяется среднее арифметическое значение 𝑥̅ измеряемой величины, СКО результатов наблюдений Sx. В соответствии с критериями, исключаются грубые погрешности, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. 2. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей Здесь по результатам измерений и проведенным расчетам строится гистограмма или полигон распределения результатов наблюдений. По виду построенных зависимостей оценивается закон распределения результатов измерений. 3. Оценка закона распределения по статистическим критериям 19 При числе измерений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется. 4. Определение доверительных границ случайной погрешности Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находится квантильный множитель 𝑧𝑝 при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности ∆= ±𝑧𝑝 ∗ 𝑆𝑥̅ ⋅ Здесь S𝑥̅ — СКО среднего арифметического значения. При n < 30 часто используется распре-деление Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности ∆𝑐 = ±𝑡𝑝 ∗ 𝑆𝑥 /√𝑛. Здесь 𝑡𝑝 — коэффициент Стьюдента, приведенный в таблице 22, n — количество измерений Таблица 22 5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Под этими границами понимаются найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. На практике, как правило, границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. 20 6. Определение измерения доверительных границ погрешности результата Данная операция осуществляется путем суммирования границ случайной составляющей S𝑥̅ и границ неисключенной систематической составляющей θ в зависимости от соотношения θ/ S𝑥̅ . 7. Запись результата измерения Результат измерения записывается в виде 𝑥 = 𝑥̅ ± ∆𝑝 при доверительной вероятности Р = Рд. Пример. Произвести обработку результатов измерений, данные которых представлены в таблице 23. Таблица 23 1. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений Определяется среднее арифметическое значение результатов измерений: (5) Среднее квадратическое отклонение результатов измерения: (6) Производится проверка наличия грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона. Составляется вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012. Находится расчетное значение критерия для значения 36,012: 21 (7) Как следует из таблицы 16, по этому критерию результат 36,012 не является промахом при всех уровнях значимости. 2. Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей При числе измерений меньше 30 предварительная распределения результатов наблюдений не производится. 3. вида Оценка закона распределения по статистическим критериям При n<15 принадлежность нормальному не проверяется. 4. оценка экспериментального распределения к Определение доверительных границ случайной погрешности При числе измерений n = 11 используется распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности ∆𝑐 = ±𝑡𝑝 ∗ 𝑆𝑥 /√𝑛 Коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Р д = 0,95 и при n = 11 равен 2,23 Тогда доверительные границы случайной погрешности: (8) 5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Границы неисключенной систематической погрешности θ принимаются равными пределам допускаемых основной и дополнительной погрешностей средства измерения. Допустим, что для используемого прибора допускаемая погрешность Δ = ± 0,4 мкм, тогда θ = Δ. 6. Определение измерения доверительных границ погрешности результата Согласно ГОСТ 8.207-76 погрешность результата измерения определяется по следующему правилу. Если границы неисключенной систематической погрешности 𝜃 < 0,8 ∗ 𝑠𝑥̅ , то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. В данном случае θ = 0,4 мкм или 0,0004 мм, а (9) 22 т. е. соотношение 𝜃 < 0,8 ∗ 𝑠𝑥̅ выполняется, поэтому систематической погрешностью можно пренебречь и за доверительные границы погрешности результата измерения принимаются доверительные границы случайной погрешности ∆𝑝 = ±∆𝑐 7. Запись результата измерения Результат измерения −𝑥 = 𝑥̅ ± ∆𝑝 = 36,0090 ± 0,0012 при доверительной вероятности Р = 0,95. 3.3 Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений Равноточные измерения — это ряд измерений физической величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений и в одних и тех же условиях. При обработке нескольких рядов измерений вначале производится проверка их на равноточность. Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов наблюдений, вычисляются эмпирические дисперсии для каждого ряда 𝜎12 = 𝑛 1 (𝑥 −𝑥̅ )2 ∑𝑖=1 𝑖 𝑛1 −1 𝑛 и 𝜎22 = 2 (𝑥 −𝑥̅ )2 ∑𝑖=1 𝑖 𝑛2 −1 Затем находится дисперсионное отношение 𝐹 = чтобы 𝜎12 > 𝜎22 . 𝜎12 𝜎22 . (10) , которое составляется так, Измерения считаются равноточными, если F не попадает в критическую область, т. е. F < 𝐹𝑞 . Значение 𝐹𝑞 для различных уровней значимости q и степеней свободы k 1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1 выбирается из таблицы критерия Фишера. Пример. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии наблюдений по n = 18 результатов наблюдений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 24. Вычислить результат многократных измерений. 23 Таблица 24 Экспериментальные данные обрабатываются в каждой j-ой серии отдельно. 1. Определяются оценки результата измерения xj и среднеквадратического отклонения SX: (11) (12) Обнаруживаются и исключаются промахи для первой се-рии. Для этого вычисляется: (13) При доверительной вероятности Р = 0,95, с учетом q = 1 – Р находится соответствующее ей теоретическое (табличное) значение βq = 2,387. Сравнивается βI с βq. Так как βI > βq, то данный результат измерения 𝑥 18 является промахом, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений. 24 (14) Для n = 17 определяется βq = 2,383. Сравнивается βI с βq. Так как βI < βq, больше ошибочных результатов нет. Обнаруживаются и исключаются промахи для второй серии: (15) Для n = 18 определяется βq = 2,87. Сравнивается βII с βq. Так как βII > βq, то данный результат измерения 𝑥 18 является промахом, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений. (16) Для n = 17 определяется βq = 2,383. Сравнивается βII с βq. Так как βII < βq, больше ошибочных результатов нет. 2. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов измерений по составному критерию. Проверяя критерий 1, вычисляются отношения: (17) При доверительной вероятности P1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1, по таблице 9 определяются квантили распределения 𝑑1−0,5𝑞1 = 0,715 и 𝑑0,5𝑞1 = 0,907. Сравниваются dI и dII с 𝑑1−0,5𝑞1 и 𝑑0,5𝑞1 . Так как 𝑑1−0,5𝑞1 <dI, dII < 𝑑0,5𝑞1 , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности 25 результата измерения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Проверяя критерий 2, задается доверительная вероятность Р2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 17 определяются по таблице 10 значения m1 = m2 = 1и Р* = P** = 0,98. Для вероятности Р* = 0,98 из таблицы 12 для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) определяется значение t = 2,33 и рассчитывается: (18) (19) Так как не более 1 разности |xI – x| превосходит Е по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. 3. Проверяется значимость различия средних арифметических серий по алгоритму. Для этого вычисляются моменты закона распределения разности: (20) (21) При доверительной вероятности Р = 0,95, определяется из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t), значение t = 1,96. Сравнивается |G| с t ⋅ SG. Так как |G| = 0 ≤ t ∙ SG = 0,32, то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимым. 4. Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму. Для этого определяется значение (22) При доверительной вероятности Р = 0,95, определяется из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера Fq = 2,33. Сравнивается F с Fq. Так как F < Fq, то серии с до-верительной вероятностью Р считаются равнорассеянными. Так как серии однородны (равнорассеяны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения объединяются в единый 26 массив и выполняется обработка по алгоритму как для одной серии. Для этого определяется оценка результата измерения и среднеквадратического отклонения по формулам: (23) (24) При доверительной вероятности Р = 0,95, определяется из таблиц распределения Стьюдента значение tp для числа степеней свободы: (25) тогда tp = 2,086. 5. Определяется доверительный интервал: (26) 6. Записывается результат измерения: (27) 3.4. Обработка результатов прямых многократных неравноточных измерений Неравноточные измерения — это ряд измерений, выполненных различными поточности средствами измерений и (или) в несхожих условиях. Неравноточные измерения обрабатываются с целью получения результата измерений только в том случае, когда невозможно получить ряд равноточных измерений. Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов наблюдений, вычисляются эмпирические дисперсии для каждого ряда по зависимостям(8): 𝜎12 = 𝑛 1 (𝑥 −𝑥̅ )2 ∑𝑖=1 𝑖 𝑛1 −1 𝑛 и 𝜎22 = 2 (𝑥 −𝑥̅ )2 ∑𝑖=1 𝑖 Затем находится дисперсионное отношение 𝐹 = чтобы 𝜎12 > 𝜎22 . 27 𝑛2 −1 𝜎12 𝜎22 . , которое составляется так, Измерения считаются неравноточными, если F попадает в критическую область, т. е. F > 𝐹𝑞 . Значение Fq для различных уровней значимости q и степеней свободы k 1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1 выбирается из таблицы критерия Фишера. Пример. При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по n = 16 результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 25. Определить результат многократных измерений. Экспериментальные данные обрабатываются в каждой j-ой серии отдельно. Таблица 25 1. Определяются оценки результата измерения xj и среднеквадратического отклонения SX по зависимостям: (28) (29) Обнаруживаются и исключаются промахи для первой серии. Для этого вычисляется: (30) Задается доверительная вероятность Рд = 0,95 и с учетом q = 1 – Рд находится соответствующее ей теоретическое (табличное) значение βq = 2,13. 28 Сравнивается βI с βq. Так как βI > βq, то данный результат измерения 𝑥 12 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений: Для n = 15 определяется βq = 2,15. Сравнивается βI с βq. Так как βI < βq, больше ошибочных результатов нет. Обнаруживаются и исключаются промахи для второй серии: (31) Для n = 16 определяется βq = 2,13. Сравнивается βII с βq. Так как βII > βq, то данный результат измерения 𝑥 12 является промахом, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений: (32) (33) Для n = 15 определяется βq = 2,15. Сравнивается βII с βq. Так как βII < βq, больше ошибочных результатов нет. 2. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов измерений по составному критерию. Проверяя выполнение критерия 1, вычисляются отношения: (34) 29 Задается доверительная вероятность P1 – 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1, по таблице 9 определяются квантили распределения 𝑑1−0,5𝑞1 = 0,715 и < 𝑑0,5𝑞1 = 0,907. Сравниваются dI и dII с 𝑑1−0,5𝑞1 и 𝑑0,5𝑞1 . Так как 𝑑1−0,5𝑞1 <dI, dII < 𝑑0,5𝑞1 , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Проверяя выполнение критерия 2, задается доверительная вероятность Р2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 15 определяются по таблице 10, значения m1 = m2 = 1 и Р* = P** = 0,98. Для вероятности Р* = 0,98 из таблицы 12 для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t), определяется значение t = 2,33и рассчитываются: (35) (36) Так как не более одной разности |𝑥1 − 𝑥̅ | превосходит Е по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. 3. Проверяется значимость различия средних арифметических значений измеряемой величины нескольких серий измерений по алгоритму. Для этого вычисляются моменты закона распределения: (37) (38) При доверительной вероятности Р = 0,95, определяется из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t), значение t = 1,96. Сравнивается |G| с t ⋅ SG. Так как |G| = 0,51 < t ∙ SG = 0,76, то различия между средними арифметическими в обеих сериях с доверительной вероятностью Р можно признать незначимым. 4. Проверяется равнорассеянность результатов измерений в сериях по алгоритму. Для этого следует определить значение: (39) При доверительной вероятности Рд = 0,95, определяется из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения 30 вероятности Фишера Fq = 2,44. Сравнивается F с Fq. Так как F > Fq, то серии с доверительной вероятностью Рд считаются неравноточными. 5. Для удобства обработки результатов неравноточных измерений вводятся весовые коэффициенты 𝑝𝑖 = μ2 σ2𝑖 , где μ2 — некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение близким к единице; Sj — СКО j-ой серии, μ2 σ2𝑖 было (40) 6. Находится весовое среднее𝑋̅p: (41) 7. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляется по формуле (42) 8. Находится среднее квадратическое отклонение весового среднего: (43) 9. Результат измерения представляется в виде (44) 3.5. Обработка прямых однократных измерений Прямые многократные измерения относятся в основном к лабораторным измерениям. Для производственных условий более характерны однократные измерения. Прямые однократные измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Прямые однократные измерения возможны лишь при определенных условиях: 1) объем априорной информации об объекте измерения такой, что определение измеряемой величины не вызывает сомнений; 31 2) изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены; 3) средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам. За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95. Методика обработки результатов прямых однократных измерений приведена в рекомендациях Р 50.2.038-2004 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений». Данная методика применима при выполнении следующих условий: составляющие погрешности известны, случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные систематические, заданные своими границами θ — равномерно. Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются: 1) погрешности средства измерений метрологическим характеристикам; (СИ), рассчитываемые по их 2) погрешность используемого метода измерений; 3) погрешность оператора. Названные составляющие могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей. При наличии нескольких систематических погрешностей доверительная граница результата измерения рассчитывается по формуле 𝜃(𝑃) = 𝑘√∑𝑛𝑖=1 𝜃𝑖2 (45) где k — коэффициент, зависящий от P, равный 0,95 при P = 0,9 и 1,1 при P = 0,95. Случайные составляющие погрешности результата измерения выражаются либо СКО Sx, либо доверительными границами. В первом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности результата прямого однократного измерения определяется через его СКО: 𝜀(𝑃) = 𝑧𝑝/2 ∗ 𝑆𝑥 (46) где 𝑧𝑝/2 — точка нормированной функции Лапласа, при вероятности Pд. При доверительной вероятности Рд = 0,95 𝑧𝑝/2 принимается равным 2, при Р = 0,99 𝑧𝑝/2 = 2,6. 32 Если СКО определены экспериментально при небольшом числе измерений (n < 30), то в данной формуле вместо коэффициента 𝑧𝑝 следует использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу измерений. Найденные значения θ и ε(P) используются для оценки погрешности результата прямого однократного измерения. Суммарная погрешность результата измерения определяется в зависимости от соотношения θ и 𝑆𝑥 . Если 𝜃 𝑆𝑥 < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения доверительные границы случайных погрешностей. Если 𝜃 𝑆𝑥 > 8, то случайными погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погрешностей. Если 0,8 ≤ 𝜃 𝑆𝑥 ≤ 8, то доверительная граница погрешности результата измерений вычисляется по формуле ∆𝑝 = 𝐾[𝜃(𝑝) + 𝜀(𝑝)] (47) где K — коэффициент, значение которого для доверительной вероятности 0,95 равно 0,76; для доверительной вероятности 0,99 значение коэффициента K равно 0,83 Пример. При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения x=10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений: класс точности средства измерений 0,2; пределы измерений 0...50; значение аддитивной поправки θа = — 0,5, СКО Sx = 0,01. Решение 1. 2. Анализируется имеющаяся априорная информация: имеется класс точности средства измерения, аддитивная поправка, СКО, при измерении получено значение: x = 10. За пределы неисключенной систематической погрешности принимаются пределы допускаемой абсолютной погрешности прибора, которые находятся как (48) где xN — нормирующее значение, в данном случае равное диапазону измерения средства измерения xN = 50; γ — нормируемый предел допускаемой приведенной погрешности, которая определяется из класса точности средства измерения γ = 0,2%: 33 Таким образом, θ = ±0,10. 3. Находятся измерения: границы случайной составляющей погрешности (49) 4. Определяется суммарная погрешность результата измерения. Так как θ>8Sx, то за границы суммарной погрешности принимаются границы неисключенной систематической погрешности: Δp = ±0,10. 5. Вносится в результат измерения поправка: (50) 6. Записывается результат измерения: 3.6. Обработка результатов косвенных измерений При косвенных измерениях физическая величина Y, значение которой надо определить, является известной функцией f ряда других величин — аргументов x1, x2, ..., xn. Данные аргументы находятся прямыми многократными измерениями, а величина Y вычисляется по формуле 𝑌 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). (51) В качестве результата косвенного измерения рассматривается оценка величины Y, определяемая подстановкой в (51) оценок аргументов этой функции. Каждый из аргументов измеряется в результате прямых многократных измерений с некоторой погрешностью Δx, вносящей определенный вклад в результат косвенного измерения. Полагая, что погрешности Δx малы, можно записать: 𝑑𝑌 = ∑𝑚 𝑖=1 где каждое слагаемое 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖 , (52) ∆𝑥𝑖 представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью Δx измерения величины xi. Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей. 34 Пример. При многократных измерениях независимых величин U и I получено по 18 результатов наблюдений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 26. Определить электрическое сопротивление R = f (U, I), если R = U/I. Таблица 26 Обработка результатов косвенного измерения производится по следующему алгоритму. Обрабатываются результаты прямых многократных измерений напряжений и тока. 1. Определяется оценки результатов измерения U, I, среднего квадратического отклонения результатов измерения SU и SI: (53) (54) Исключаются грубые погрешности: (55) При доверительной вероятности Р = 0,95, с учетом q = 1 – Р находится соответствующее ей критическое (табличное) значение βqU = 2,72. Сравнивается βU с βqU. Так как βU > βqU, то данный результат измерения U18 является ошибочным, он должен быть отброшен. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов измерений: 35 Для n = 17 определяется βqU = 2,71. Сравнивается βU с βqU. Так как βU < βqU, больше грубых погрешностей нет. Обнаруживаются и исключаются грубые погрешности при измерении тока: (56) Для n = 18 определяется βqI = 2,72. Сравнивается βI с βqI. Так как βI > βqI, то данный результат измерения I12 является промахом и отбрасывается из результатов наблюдений. После этого повторяются вычисления для сокращенной серии результатов наблюдений. Для n = 17 определяется βqI = 2,71. Сравнивается βI с βqI. Так как βI < βqI, больше промахов нет. 2. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий оставшихся результатов наблюдений по составному критерию. Проверяя критерий 1, вычисляются отношения: (57) При доверительной вероятности P1 = 0,98 и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 по таблице 9, определяются квантили распределения 𝑑1−0,5𝑞1 =0,715 и 𝑑0,5𝑞1 = 0,907. Сравниваются dU и dI с 𝑑1−0,5𝑞1 и 𝑑0,5𝑞1 . Так как 𝑑1−0,5𝑞1 <d1,d2<𝑑0,5𝑞1 , то гипотеза о нормальном законе распределения для обеих серий согласуется с экспериментальными данными. Проверяя критерий 2, задаются доверительной вероятно-стью Р2 = 0,98 и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 с учетом n = 17 определяются по таблице 10, значения m1 = m2 = 1 и 𝑃1∗ = 𝑃2∗ = 0,98 . Для вероятности Р* = 0,98 из таблицы 12 для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t), определяется значение t = 2,33 и рассчитывается: 36 (58) (59) Так как не более одной разности 𝑄𝐼 − 𝑄̅ превосходит Δ по обеим сериям, то гипотеза о нормальном законе распределения результатов наблюдений согласуется с экспериментальными данными. 3. Определяется оценка среднего R: (60) 4. Находятся частные погрешности результата косвенного измерения: (61) (62) (63) (64) 5. Находится суммарная погрешность результата косвенного измерения: (65) 6. Записывается окончательный результат: 3.7. Обработка результатов совместных измерений Совместные измерения — одновременные измерения нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Эти измерения характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают с помощью системы уравнений, в которых эти величины связаны с другими величинами, определяемыми методами простых или косвенных измерений. Уравнение совместного измерения можно представить, как 𝐹𝐼 (𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) = 𝑙, (66) 37 где х, у, z, l — измеряемые величины; А, В, С — величины, которые необходимо определить. Для нахождения, например, двух неизвестных величин можно провести два измерения и, составив систему из двух уравнений (66), получить их решения. Однако такой способ нахождения неизвестных величин неизбежно даст большие погрешности в определении этих величин. Поэтому для повышения точности результата измерения проводятся 𝑛 ≫ 𝑚 измерений, где m — число неизвестных величин. Наибольшее распространение при обработке совместных и совокупных измерений нашел метод наименьших квадратов (МНК). При проведении п измерений величин х, у, z, ... и подстановке их в уравнение (11) получается система из n уравнений: 𝐹𝐼 (𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 , … ) = 𝑙, (67) в которых точное равенство невозможно из-за того, что измеряемые величины входят в каждое из уравнений (66) с погрешностями. Предполагается, что А, В, С, ... — наилучшие приближения к истинным значениям неизвестных А, В, С, ...Поскольку эти оценки определены со своими погрешностями, то каждое из уравнений (67) будет обращаться в тождество, если к правой части добавить некоторое слагаемое υ i, называемое остаточной погрешностью условных уравнений: 𝐹𝑖 (Ã, 𝐵̃, 𝐶̃ , … ) − 𝐿𝐼 = υ𝑖≠0 , (68) В системе п условных уравнений (68) А, В, С, ... —оценки величин А, В, С, ..., которые будут определены ниже в результате предложенного метода обработки результатов измерений. Особенность системы уравнений (68) состоит в том, что невозможно подобрать для всех уравнений значения υi, такие, чтобы выполнялись все уравнения одновременно. Поэтому рассматриваются методы одновременной минимизации остаточных погрешностей. В соответствии с МНК оценки Ã, 𝐵̃, 𝐶̃ , … выбирают таким образом, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, т. е. минимизировать величину: (69) Очевидно, что минимум V будет иметь место при равенстве нулю всех частных производных искомых величин одновременно, т. е. при (70) 38 Полученная система из m нормальных уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомых величин. Дисперсия условных уравнений будет равна: (71) а СКО результатов измерений искомых величин при этом могут быть определены: (72) где D — определитель (детерминант) системы (70); A11, А22, A33, ..., Amm — алгебраическое дополнение элементов детерминанта 𝐴𝑖𝑘 = (−1)𝑖+𝑘 𝐷𝑖𝑘 , 𝐷𝑖𝑘 — минор определителя, полученный вычеркиванием i-й строки и k-го столбца. При обосновании МНК в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям: значения аргументов известны точно; результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии; погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение. При этих условиях МНК дает несмещенные оценки искомых неизвестных в зависимости (11), имеющие минимальные дисперсии. Однако на практике перечисленные условия выполняются далеко не всегда. В частности, кроме случайных составляющих погрешностей имеют место также и систематические составляющие погрешности. МНК используется также и для обработки неравноточных измерений. Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строятся на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном п–т, или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными. Рассмотрим случай равноточных измерений y и x, связанных линейным уравнением: y = a + bx. (73) Искомыми величинами являются а и b. Равноточность предполагает, что для всех результатов измерений l значений уi и хi их дисперсии не зависят от величин у и х. Кроме того, предполагается, что значение хi задается в серии изме-рений точно, а учитывается только погрешность определения уi, в 39 состав которой входит и погрешность, связанная с заданием величин хi. Подставив в (18) измеренные значения, получается система уравнений: (74) Для получения условных уравнений в виде (68) к каждому из уравнений (67) добавляются (или вычитаются —это все равно) остаточные погрешности υi. После этого составляются соотношения типа (69): (75) Для отыскания минимума функции V определяются частные производные по искомым неизвестным а и b: (76) После упрощения получается система нормальных уравнений: (77) Эти уравнения приводятся к виду, удобному для вычисления неизвестных с помощью определителя: (78) В обозначениях Гаусса система (78) будет иметь вид: (79) Решая (78) относительно неизвестных а и b, получится: 40 (80) (81) Формулы (80) и (81) принимают более простой вид, если ввести средние значения х и у: (82) Тогда (83) (84) Доверительные интервалы (абсолютные погрешности) для a и b оцениваются по формулам: (85) (86) где 𝑡𝑝,𝑛−2 — коэффициент Стьюдента, определяемый для числа (n – 2) и заданной вероятности P. Пример. Найти температурную зависимость электрического сопротивления проволоки, предполагая, что данная зависимость имеет вид 41 R = R0 + αt. (87) Результаты измерения электрического сопротивления (Ri) проволоки при разных температурах (ti) приведены в таблице 27 во втором и третьем столбцах. В следующих столбцах таблицы помещены результаты некоторых промежуточных вычислений. При этом введены обозначения: (88) Для определения параметров R0 и α в (87) применяется метод наименьших квадратов. Используя выражение (84), находится: (89) Тогда (90) Оцениваются погрешности полученных значений α и R0, используя соотношения (86) и (87): (91) Таблица 27 42 (92) Таким образом, окончательный результат представляет собой: (93) (94) (95) 43 Заключение Таким образом, измерения играют важную роль в нашей жизни, помогая нам понимать мир вокруг нас, контролировать процессы и принимать обоснованные решения. Существует множество видов измерений, каждый из которых имеет свои особенности и применения. От классических физических измерений до более современных методов в области информационных технологий, измерения помогают нам получать точные и надежные данные. При обработке результатов измерений важно учитывать выбранный метод, статистическую обработку данных, а также оценку погрешностей. Это помогает минимизировать ошибки и обеспечивать высокую достоверность полученных результатов. С развитием технологий появляются новые инструменты и методы анализа данных, что позволяет нам получать более полную информацию из измерений. Инженеры, ученые, медики и многие другие специалисты используют измерения и их обработку для решения сложных задач и совершенствования технологий. Правильное проведение и анализ измерений способствует развитию науки и техники, улучшению качества продукции и обеспечению безопасности в различных сферах деятельности. Таким образом, понимание различных видов измерений и методов их обработки является ключевым компонентом успешного научного и инженерного исследования, а также производственной деятельности. Эти знания помогают нам делать более точные прогнозы, улучшать качество жизни и содействуют прогрессу человечества. 44 Библиографический список 1. Учебные издания : [сайт]. Москва, 1997– URL: https://books.ifmo.ru/file/pdf/779.pdf (дата обращения: 17.10.2023). Текст: электронный. 2. Wikipedia : [сайт]. Сан-Франциско, 2001– URL: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_measurement#:~:text=The%20earli est%20recorded%20systems%20of,lengths%2C%20areas%2C%20volumes %20and%20masses (дата обращения: 19.10.2023). - Текст: электронный. 3. La Vivion : [сайт]. Москва, 2013– URL: https://lavivion.ru/articles/ves-irazmer-brillianta-4cs-carat/ (дата обращения: 17.10.2023). - Текст: электронный. 4. Malevus : [сайт]. Сан-Хосе, 2022– URL: https://malevus.com/history-ofmeasurement/ (дата обращения: 18.10.2023). - Текст: электронный. 5. Рязанова, Т. В. Метрология, стандартизация и сертификация на водном транспорте : учебное пособие / Т. В. Рязанова. — Керчь : КГМТУ, 2021. — 85 с. — Текст : электронный // Лань : электроннобиблиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/261587 (дата обращения: 19.10.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей. 6. ShowSlide : [сайт]. Санкт-Петербург, 2023– URL: https://showslide.ru/metrologiya-osnovnie-ponyatiya-opredeleniya-250608 (дата обращения: 19.10.2023). - Текст: электронный. 7. Система управления обучением ФГАОУ ВО «СГЭУ» : [сайт]. Ростовна-Дону, 2005– URL: https://lms2.sseu.ru/pluginfile.php/84084/mod_resource/content/2/%D0%98 %D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1 %8F%20%D0%A3%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2.pdf (дата обращения: 21.10.2023). - Текст: электронный. 8. Пухаренко, Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация. Интернет-тестирование базовых знаний : учебное пособие / Ю. В. Пухаренко, В. А. Норин. — 3-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 308 с. — ISBN 978-5-8114-2184-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/205964 (дата обращения: 22.10.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей. 9. MOODLE-Виртуальная среда обучения КНИТУ : [сайт]. Казань, 2000– URL: https://moodle.kstu.ru/mod/book/tool/print/index.php?id=73634 (дата обращения: 23.10.2023). - Текст: электронный. 10.Кайнова, В. Н. Метрологическая экспертиза и нормоконтроль технической документации / В. Н. Кайнова, Е. В. Зимина, В. Г. Кутяйкин ; Под ред В. Н. Кайнова. — 4-е изд., стер. — СанктПетербург : Лань, 2023. — 500 с. — ISBN 978-5-507-46207-0. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/302291 (дата обращения: 28.10.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей. 45 11.Буракова, М. А. Теоретические основы и методы стандартизации, метрологическое обеспечение и контроль качества объектов машиностроения : учебное пособие / М. А. Буракова. — Ростов-наДону : РГУПС, 2022. — 188 с. — ISBN 978-5-88814-973-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/220112 (дата обращения: 29.10.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей. 12.Коржов, В. И. Метрология, стандартизация и сертификация : учебник / В. И. Коржов. — Новочеркасск : Новочерк. инж.-мелиор. ин-т Донской ГАУ, 2022. — 232 с. — ISBN 978-5-907391-63-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/320846 (дата обращения: 30.10.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей. 46