Длинные линии (Линии с распределенными параметрами)

Линии с распределенными
параметрами
Вторичные параметры
Введение
• =
𝜗
𝑓
• -длина волны
• 𝜗-скорость распространения (скорость света 3 ∙ 108 м/с)
• 𝑓- частота сигнала, Гц
Волновые эффекты начинают учитывать при длине
линии составляющей четверть длины волны
Введение
Например: 1)частота сигнала 50 Гц, значит длина волны
𝜗
𝑓
3∙108
=6
50
= =
тыс. км, следовательно волновые эффекты будут
значимыми при длине линии от 1 500 км
2) частота радиосигнала 100 МГц, значит длина волны
𝜗
𝑓
3∙108
=3
100∙106
= =
м, следовательно волновые эффекты будут
значимыми при длине линии от 75 см
К вопросу о падающих и отраженных
волнах
Первичные (удельные) параметры линий
•R0
(Ом/км),
L0
(Гн/км),
G0
(См/км),
C0
(Ф/км) –
Параметры, включенные непосредственно в дифференциальные
уравнения длинных линий
Вторичные параметры
• Волновое сопротивление
• Коэффициент распространения
• Коэффициент затухания, фазы
Волновое сопротивление
𝑍в = 𝑍в ⋅ 𝑒
=
𝑗𝜙в
=
𝑍0
=
𝑌0
𝑅0 + 𝑗𝑤𝐿0 𝑈пр
𝑈от
=
=−
𝐺0 + 𝑗𝑤𝐶0
𝐼пр
𝐼от
Коэффициент распространения
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 =
𝑍0 ⋅ 𝑌0 ,
, (Нп/км) – коэффициент
затухания (ослабления)
, (рад/км) – коэффициент фазы
Основное телеграфное уравнение
sh 𝛾 𝑥 =
𝑒
𝛾𝑥
−𝑒
2
- гиперболический синус
−𝛾𝑥
сh𝛾𝑥 =
𝑒
𝛾𝑥
+𝑒
2
−𝛾𝑥
- гиперболический косинус
Однородная линия без
потерь при гармонических
напряжениях и токах
10
Линией без потерь считается линия, у которой
G0 << C0
, поэтому
R0 << L0
R0  0 G0  0
,
11
и
Тогда
Z 0  jL0
Z В  ZВ 
Y 0  jC0
Z0
Y0

L0
  Z 0 Y 0  j L0C0
12
C0
Таким образом
   L0C0
v   1

L0C0
0
2
2


  L0C0
13
Амплитуды падающей и
отраженной волн напряжения и
тока вдоль линии меняться не будут
=0
(
)
14
Будет изменяться фаза
напряжения и тока вдоль
линии (  0)
15
Поскольку
 v
и
не зависят от

, то линия без потерь является
линией без искажений
16
Так как
ch x  ch  jx   cos x
sh x  sh  jx   j sin x
17
Тогда основные уравнения однородной линии без потерь при отсчете
конца линии будут следующими
18
x
от
U x   U 2  cosx  jZ В  I 2  sin x

 I x   j  U 2  sin x  I  cosx
2

ZВ

19
Для любого момента времени распределение напряжения и тока вдоль линии в
функции
x
является гармоническим
20
а)
t=t1
u i
u( x, t1 )
i( x, t1 )
x
0
l
21
а)
t=t2
u i u ( x , t2 )
i( x , t2 )
x
0
l
22
Комплекс входного
сопротивления линии
U1
Z H  j  Z В  tg l
Z вх   Z В 
I1
Z В  j  Z Н  tg l
где
U2
ZН 
I2
- сопротивление
нагрузки
Режимы однородной линии
без потерь
24
Проанализируем для комплексов действующих значений
напряжений и токов с использованием основных
уравнений
1 I1

U1

1
I (x )

U (x )

I2 2

U2
x
l
25

2
ZН
1. Режим холостого хода,
когда
ZН = и I2 = 0
26
U x   U 2  cos x

 I x   j  U 2  sin  x

ZВ

( хх )
Z вх   j  ZВ ctgl
27
Стоячие волны – это результат наложения падающих и отраженных волн с
одинаковой амплитудой
При стоячих волнах активная мощность в любой точке линии равна нулю
При стоячих волнах пучности и узлы неподвижны и сдвинуты друг относительно
друга на
28
Построим графики для действующих значений
U x   U 2  cosx



U
 I x   2  sin x

ZВ
29
U I
U (x)
U1
x
I1
U2
U2
I (x )

l
30
4
0
ZВ
2. Режим короткого
замыкания, когда
и U2 = 0
31
ZН = 0
 U x   j  Z В  I 2  sin  x

 I x   I 2  cos x
( кз )
Z вх 
32
j  ZВ  tg l
В линии – стоячие волны
Действующие значения:
U x   Z В  I 2  sin x

 I x   I 2  cosx
33
U I
U1
x
I2  ZВ
U (x)
I1
I (x )
I2
l

0
34
4
3. Режим реактивной
нагрузки, когда ZН = jXH ,
U2 = jXHI2 , tg σ 
35
XH
ZB
sin x   



U
x

U

2

sin 



cos

x


 I x   I 2 

cos
36
Входное сопротивление
( р)
Z вх 
tg l  
j XH 
tg 
37
В линии – стоячие волны
Действующие значения:

sin x   
U x   U 2 
sin 




cos

x


 I x   I 
2

cos
38
а) индуктивная нагрузка
(XH > 0,  > 0)
U I
U1
x
I1
U 2 sin 
U (x)
I
cos

2
U2
I (x )
I2

l
39
4
0
б) емкостная нагрузка
(XH < 0,  < 0)
U I
x
U1
I1
U 2 sin 
U (x)
I 2 cos 
I (x )

l
40
U2
I2
4
0
4. Режим согласованной
нагрузки, когда
Z H  ZB 
41
L0
C0
jx



U
x

U

e
2


jx

 I x   I 2  e
42
(с)
Z вх  Z В
Стоячих волн нет
Действующие значения:
U x   U 2

 I x   I 2
43
U1
I1
U ( x) U 2
I ( x)  I 2
x
U I
U2
I2
0
l
44
5. Режим активной нагрузки,
когда
Z H  RH  Z B
45



ZB
 sinx 
U x   U 2   cosx  j 
RH






R
 I x   I   cosx  j  H  sinx 
2 


ZB


46
Стоячих волн нет
Действующие значения:
2

ZB
2
2
U x   U 2  cos  x  2  sin  x
RH


2

RH
2
2
 I x   I 2  cos  x  2  sin  x
Z
B

47
а)
RH < ZB
U1
U I
U (x)
U2
I2
I1
I (x )
x

l
48
4
0
б)
RH > ZB
U (x)
U1
x
I1
U I
U2
I (x )
I2

l
49
4
0
Если
то
и
l 
RH  10  Z B
,
4
U1 Z B

 0,1
U 2 RH
I1 RН

10
I2 ZВ
- четверть волновой
трансформатор
50