Задачи

Задача №1
Магазин продовольственных товаров предлагает своим посетителям
дисконтную карту за 200 рублей. При наличии карты
каждая покупка обходится покупателю на 5% дешевле. Срок действия
карты -1 месяц.
A) Приобретет ли такую дисконтную карту постоянный покупатель
магазина, если он посещает магазин 6 раз в месяц, делая каждый раз покупки
на 500 рублей?
Б) Если стоимость покупки при каждом посещении магазина постоянна
и составляет 500 руб. , то каким должно быть число посещений магазина,
чтобы покупателю было выгодно приобрести предлагаемую дисконтную
карту?
B) При каком минимальном значении стоимости покупок (она
предполагается фиксированной и одной и той же величине) покупатель не
откажется купить предлагаемую дискоитную карту, если в этом магазине он
делает покупки раз месяц?
Решение
а) Для решения этой части задачи нужно понять, какую выгоду
получает постоянный покупатель от использования дисконтной карты. Карта
стоит 200 рублей, и она позволяет получать скидку 5% на каждую покупку.
Если посетитель магазина совершает покупки на 500 рублей 6 раз в месяц, то
без карты он тратит 6 * 500 = 3000 рублей в месяц.
Если он приобретает карту за 200 рублей, то его расходы уменьшаются
на 5% каждый месяц. Общая стоимость его покупок составляет 3000 рублей.
С учетом скидки 5%, он тратит 3000 * 0.95 = 2850 рублей в месяц. Таким
образом, при использовании дисконтной карты он сэкономил 3000 - 2850 =
150 рублей в месяц.
Теперь нужно выяснить, окупятся ли затраты на карту за 200 рублей.
Чтобы это выяснить, нужно поделить стоимость карты на сумму
сэкономленных денег в месяц: 200 / 150 = 1.33. Отсюда следует, что затраты
на карту окупятся после 1.33 месяца. Так как срок действия карты составляет
1 месяц, то постоянный покупатель магазина не приобретет такую
дисконтную карту.
б) В этой части задачи нужно определить, сколько посещений магазина
понадобится, чтобы окупить затраты на карту за 200 рублей. Фиксированная
стоимость покупки составляет 500 рублей, и на каждую покупку с
использованием карты покупатель получает скидку 5%.
Значит, каждая покупка будет стоить 500 * 0.95 = 475 рублей при
использовании карты. Чтобы окупить затраты на карту в 200 рублей, нужно
совершить покупок на сумму 200 / (500 - 475) = 200 / 25 = 8.
То есть, чтобы покупателю было выгодно приобрести дисконтную
карту, он должен посетить магазин не менее 8 раз.
в) В этой части задачи нужно выяснить, при какой минимальной
стоимости покупок покупатель не откажется от покупки дисконтной карты.
Покупатель делает покупки раз в месяц, и срок действия карты также
составляет 1 месяц.
Пусть x - минимальное значение стоимости покупок. С использованием
карты покупатель получает скидку 5% на каждую покупку. Тогда каждая
покупка обходится ему на (1 - 0.05) * x = 0.95x рублей.
Затраты на карту составляют 200 рублей, и они должны окупиться
после 1 месяца. То есть, сумма сэкономленных денег должна быть не меньше
200 рублей.
Сумма сэкономленных денег равна разнице между стоимостью
покупок без карты и со скидкой: 200 = x - 0.95x.
Решая это уравнение, получаем: 0.05x = 200, x = 200 / 0.05 = 4000.
Таким образом, если стоимость покупок составляет не меньше 4000
рублей, то покупатель не откажется от покупки дисконтной карты.
Задача № 2
Иван намеривается купить подержанный импортный автомобиль. Он
должен затратить на поиски дешевого и качественного варианта 30 рабочих
дней . для чего хочет взять отпуск без сохранения заработка. У него есть
знакомый, которому он доверяет и который профессионально занимается
подбором подержанных автомобилей, но берет в качестве оплаты 10% от
стоимости автомобиля. Какова должна быть цена автомобиля для того, чтобы
рационально мыслящему Ивану стоило искать дешевый вариант самому,
если в день он зарабатывает 500 руб. ?
Решение
Первым шагом нужно определить, сколько времени Иван имеет в
наличии для поиска автомобиля самостоятельно. По условию, он может
выделить на это 30 рабочих дней. Значит, Иван будет искать автомобиль в
течение 30 дней.
Далее нужно учитывать, что на тот период, пока Иван будет искать
автомобиль, ему необходимо взять отпуск без сохранения заработка. Это
означает, что в течение этих 30 дней он не будет получать свою заработную
плату, что составляет 500 рублей в день.
Теперь рассмотрим второй вариант, когда Иван обратится к своему
знакомому, который профессионально занимается подбором подержанных
автомобилей, но берет в качестве оплаты 10% от стоимости автомобиля.
Чтобы рассчитать выгодность второго варианта, нужно найти такую
цену автомобиля, при которой комиссия знакомого будет меньше, чем
потери заработка Ивана за время поиска самостоятельно.
Пусть Х - стоимость автомобиля, при которой рационально Ивану
обратиться к своему знакомому. Тогда комиссия знакомого будет составлять
0.1Х.
За 30 дней самостоятельного поиска Иван потеряет 30 * 500 = 15000
рублей.
Чтобы было выгоднее обратиться к знакомому, необходимо, чтобы
комиссия знакомого была меньше потерь Ивана за время поиска:
0.1Х < 15000
Теперь можно найти Х:
Х < 15000 / 0.1
Х < 150000
Таким образом, чтобы рационально Ивану обратиться к своему
знакомому, стоимость автомобиля должна быть менее 150 000 рублей.
Итак,
если
Ивану
нужно
затратить
30
рабочих
дней
на
самостоятельный поиск автомобиля и он зарабатывает 500 рублей в день, а
его знакомый-профессионал берет 10% от стоимости автомобиля, то
рационально Ивану обратиться к знакомому, если стоимость автомобиля не
превышает 150 000 рублей.
Задача 3
Учительница хочет купить 2 кг. конфет. Существует два магазина, где
она может это сделать. В одном магазине конфеты стоят 260 руб. за кг, и их
можно купить без очереди, в другом - 200 руб, за кг., но необходимо отстоять
0,75 часов в очереди. Известно, что у нее есть возможность дополнительного
заработка. Определите ставку почасовой оплаты труда этой работы, при
которой она не откажется выбрать дорогой магазин.
Решение
Для решения этой задачи, нужно сначала определить дополнительный
заработок учителницы, при котором она согласится выбрать дорого магазин.
Пусть ставка почасовой оплаты труда учителницы равна Х руб/час.
Тогда время, которое она потратит на ожидание в очереди во втором
магазине, можно выразить как (0,75 * Х) рублей.
В первом магазине она сможет купить конфеты без очереди, но по цене
260 руб/кг. То есть, она потратит всего 2 * 260 = 520 рублей.
Во втором магазине она сможет купить конфеты по цене 200 руб/кг, но
должна будет потратить время на ожидание. Стоимость конфет во втором
магазине составит 2 * 200 = 400 рублей, а время, которое она потратит на
ожидание, составит (0,75 * Х) рублей.
Теперь, чтобы выбрать дорогой магазин, учителнице необходимо,
чтобы суммарные затраты во втором магазине были не больше, чем в первом:
400 + (0,75 * Х) ≤ 520
Подставим значения и решим неравенство:
0,75 * Х ≤ 520 - 400
0,75 * Х ≤ 120
Х ≤ 120 / 0,75
Х ≤ 160
Таким образом, ставка почасовой оплаты труда учителницы должна
быть не больше 160 руб/час, чтобы она выбрала дорогой магазин.
Задача 4
Небольшое островное государство производит только два продукта:
кокосы и киви. Главный экономист острова анализирует границу годовых
возможностей своего государства, представленные в виде таблицы.
Кокосы, тыс. т 90
80
60
35
0
Киви, тыс. т
10
20
30
40
0
Дайте графическое представление КПВ данного острова.
Заполните
пропуски
в
приведенном
ниже
тексте,
предприняв
необходимые расчеты:
«Максимальное количество кокосовых орехов, которое может быть
собрано на острове, составляет_____ тыс. т. При производстве 60 тыс. т
кокосов не может быть собрано более ______ тыс. т киви. Альтернативной
стоимостью увеличения производства киви с 20 до 30 тыс. т в год будет
уменьшение производства кокосов на ______ тыс. т в год.
При производстве 30 тыс. т кокосов и 30 тыс. т киви выпуск кокосов
может быть увеличен до ______ тыс. т. Максимальная альтернативная
стоимость производства 1т
Решение
Дайте графическое представление КПВ данного острова.
Второе задание - заполнить пропуски в предложенном тексте,
предприняв необходимые расчеты.
1. Максимальное количество кокосовых орехов, которое может быть
собрано на острове, составляет 90 тыс. т. (максимальное значение в таблице
соответствует 90 тыс. т).
2. При производстве 60 тыс. т кокосов не может быть собрано более 20
тыс. т киви. (по графику видно, что при 60 тыс. т кокосов на границе КПВ
соответствующая точка находится на уровне 20 тыс. т киви).
3. Альтернативной стоимостью увеличения производства киви с 20 до
30 тыс. т в год будет уменьшение производства кокосов на 35 тыс. т в год.
(для решения этого задания необходимо найти коэффициент наклона кривой
КПВ в данной точке. Коэффициент наклона определяется как отношение
изменения производства кокосов к изменению производства киви. В данном
случае, при движении от точки (20,30) к точке (30,40), изменение
производства кокосов составляет -10 тыс. т, а изменение производства киви
составляет +10 тыс. т. Поэтому коэффициент наклона равен -10/10 = -1. Так
как мы увеличиваем производство киви на 10 тыс. т, то соответственно
производство кокосов должно уменьшиться на 10 тыс. т. Что и требуется
заполнить в пропуске).
4. При производстве 30 тыс. т кокосов и 30 тыс. т киви выпуск кокосов
может быть увеличен до 40 тыс. т. (на графике видно, что при 30 тыс. т
кокосов на границе КПВ соответствующая точка находится на уровне 40 тыс.
т киви).
5. Максимальная альтернативная стоимость производства 1т кокаосов
составляет 1 киви. (данную величину можно рассчитать как отношение
изменения производства киви к изменению производства кокосов. По
графику можно определить, что при изменении производства кокосов на 10
тыс. т (например, с 20 до 30 тыс. т) производство киви изменится на +10 тыс.
т. Таким образом, альтернативная стоимость производства 1 т кокосов равна
10/10 = 1 киви).
В результате, ответы на пропуски в тексте будут:
- Максимальное количество кокосовых орехов, которое может быть
собрано на острове, составляет 90 тыс. т.
- При производстве 60 тыс. т кокосов не может быть собрано более 20
тыс. т киви.
- Альтернативной стоимостью увеличения производства киви с 20 до
30 тыс. т в год будет уменьшение производства кокосов на 10 тыс. т в год.
- При производстве 30 тыс. т кокосов и 30 тыс. т киви выпуск кокосов
может быть увеличен до 40 тыс. т.
- Максимальная альтернативная стоимость производства 1т кокаосов
составляет 1 киви.
Задача №5
В стране А выпускаются два вида товаров: тостеры и
компьютеры. Варианты производства представлены в таблице:
Варианты
Тостеры
(тыс. шт.)
100
90
70
40
1
2
3
4
5
Постройте
Компьютеры (тыс.
шт.)
0
10
20
30
40
0
кривую
производственных
возможностей
страны
А,
откладывая по вертикальной оси тостеры, а по горизонтальной – компьютеры.
Покажите на графике, какой из следующих вариантов производства
является возможным, невозможным, эффективным, неэффективным:
а) 80 тыс. шт. тостеров и 20 тыс. шт. компьютеров;
б) 50 тыс. шт. тостеров и 22 тыс. шт. компьютеров;
в) 20 тыс. шт. тостеров и 35 тыс. шт. компьютеров;
г) 60 тыс. шт. тостеров и 30 тыс. шт. компьютеров.
Как изменится положение кривой производственных возможностей,
если?: а) повысится уровень квалификации рабочих в обеих отраслях;
б) увеличится занятость в производстве компьютеров за счѐт
привлечения иностранных рабочих;
в)
в
производстве
тостеров
станут
применять
инновационное
оборудование;
г) к власти в стране придѐт диктаторский режим, который запретит
использовать новые технологии при производстве компьютеров и тостеров.
Чему
равны
альтернативные
производства компьютеров:
а) с 20 тыс. шт. до 30 тыс. шт.;
б) с 10 тыс. шт. до 40 тыс. шт.;
в) с 30 тыс. шт. до 40 тыс. шт.
издержки
(стоимость)
увеличения
Решение
Используем данные таблицы для построения кривой производственных
возможностей.
Кривая производственных возможностей имеет выпуклую форму, так
как альтернативная стоимость увеличения производства компьютеров на
каждую следующую единицу возрастает вследствие того, что ресурсы,
используемые в этих отраслях, не являются взаимозаменяемыми.
Рис. Кривая производственных возможностей
На рисунке отмечены варианты:
1. вариант «а» невозможен, так как лежит за пределами границы
производственных возможностей;
2.вариант «б» неэффективен, так как находится внутри площади
производственных
возможностей,
но
ниже
линии
границ,
что
свидетельствует о том, что либо не все ресурсы задействованы, либо они
используются неэффективно;
3.вариант «в» возможен и эффективен, так как находится на границе
производственных возможностей;
4.ювариант «г» невозможен, так как лежит за пределами границы
производственных возможностей.
Пусть
первоначальное
положение
кривой
производственных
возможностей — АА1.
а) кривая займет положение BB1;
б) кривая займет положение АС;
в) кривая займет положение DA1;
г) положение кривой АА1 не изменится, так как существующий
технологический уровень будет заморожен.
Рис.Варианты изменения кривой производственных возможностей .
Альтернативная стоимость увеличения производства компьютеров:
с 20 тыс. штук до 30 тыс. штук — 30 тыс. тостеров;
с 10 тыс. штук до 40 тыс. штук — 90 тыс. тостеров;
с 30 тыс. штук до 40 тыс. штук — 40 тыс. тостеров.
11
Задача № 6
На сколько процентов возрастет объем выпуска продукции (в
соответствии с уравнением количественной теории денег), если номинальное
соответствии с уравнением количественной теории денег), если номинальное
предложение денег увеличится на 10% в год, уровень цен вырастет на 8%, а
скорость обращения денег увеличится на 5%
Решение
Для
решения
этой
задачи
можем
использовать
уравнение
количественной теории денег:
M*V=P*Q
Где:
- M представляет номинальное предложение денег
- V представляет скорость обращения денег
- P представляет уровень цен
- Q представляет объем выпуска продукции
Обозначим:
- M0 - начальное номинальное предложение денег
- V0 - начальная скорость обращения денег
- P0 - начальный уровень цен
- Q0 - начальный объем выпуска продукции
Таким образом, у нас есть начальные значения и значения, которые
увеличиваются со временем.
Из дано мы знаем, что:
M = M0 * (1 + 0.1) (номинальное предложение денег увеличится на
10% в год)
P = P0 * (1 + 0.08) (уровень цен вырастет на 8%)
V = V0 * (1 + 0.05) (скорость обращения денег увеличится на 5%)
Мы хотим найти, на сколько процентов изменится объем выпуска
продукции, то есть:
Q / Q0 = (M * V) / (M0 * V0)
12
Подставляя значения, получаем:
Q / Q0 = [(M0 * (1 + 0.1)) * (V0 * (1 + 0.05))] / (M0 * V0)
Упрощая выражение, получим:
Q / Q0 = (1 + 0.1) * (1 + 0.05)
Q / Q0 = 1.1 * 1.05
Q / Q0 = 1.155
Таким образом, объем выпуска продукции возрастет на 15.5%
(округляя до одного знака после запятой).
Задача № 6
Найдите эластичность спроса по доходу, сделайте выводы на
основании имеющихся данных (I*, Q*- доходы и спрос после изменения
цен).
I*
I (доход)
500
Q*
Q (спрос)
600
20
15
Решение
Для решения данной задачи нам необходимо найти эластичность
спроса по доходу. Эластичность спроса по доходу определяет, насколько
процентное изменение дохода влечет за собой процентное изменение спроса.
Для расчета эластичности спроса по доходу используется следующая
формула:
Эластичность спроса по доходу = ((q* - q) / q) / ((i* - i) / i)
где:
q - исходный уровень спроса
q* - новый уровень спроса
i - исходный уровень дохода
i* - новый уровень дохода
Дано:
i = 500
13
i* = 600
q = 20
q* = 15
Подставляем значения в формулу:
Эластичность спроса по доходу = ((15 - 20) / 20) / ((600 - 500) / 500)
Выполняем вычисления:
Эластичность спроса по доходу = (-5 / 20) / (100 / 500)
Эластичность спроса по доходу = -0.25 / 0.2
Эластичность спроса по доходу = -1.25
Исходя из полученного значения эластичности спроса по доходу,
можно сделать вывод о том, что спрос на данный товар является
инеластичным по доходу. Это означает, что изменение дохода на 1%
приведет к изменению спроса на товар на 1.25%, в противоположном
направлении.
Таким образом, в данном случае можно сказать, что товар является
нормальным, так как с увеличением дохода с 500 до 600, спрос на товар
снизился с 20 до 15.
14