МАИ

Метод анализа иерархий
Опыт использования методов математического моделирования и
компьютеров в
различных сферах целенаправленной человеческой
деятельности привел к пониманию многих принципиальных трудностей,
возникающих при их внедрении в реальную практику, сотканную из
непрерывной череды актов принятия решений. Оказалось, что лицо,
принимающее решение, при принятии решения учитывает огромное число
разнообразных показателей, представить которые в виде единственного
критерия удается только в редких случаях. Стало ясно, что методики
естественных
наук,
успешно
применявшиеся
при
моделировании
технологического уровня социально-экономической системы, совершенно
недостаточно для решения более сложных проблем, которые по сути своей
многокритериальны. При поиске "наилучшего" плана или альтернативы
существенное значение имеют факторы, не поддающиеся формализации
(социальные, организационные, политические, психологические и т. п.).
Поэтому руководитель (ЛПР), анализирующий решение, предложенное ему
специалистом по математическому моделированию, и понимающий, что
неформализуемые факторы могут оказать более сильное воздействие на
результат, чем, например, оптимальное распределение ресурсов, склонен
отнестись скептически к такому решению, не учитывающему ясные для ЛПР
возможности повышения эффективности принимаемых решений. Если, кроме
того, учесть, что ЛПР обычно имеет в голове (но не в модели!) огромное число
ограничений, которые он не хотел бы нарушить, то станет ясно, почему он
склонен принять собственное решение, отличное от полученного с помощью
компьютера.
Один из способов практического преодоления перечисленных трудностей
состоит во включении ЛПР в процесс построения моделей и принятия решений
на их основе. Для этого предназначены человеко-машинные (имитационные)
системы. Одним из классов таких систем являются системы поддержки
принятия решений (СППР), в рамках которых опыт и неформализованные
знания ЛПР сочетаются с математическим исследованием.
Метод анализа иерархий (МАИ)
СППР, основанная на методе анализа иерархий (МАИ), является простым
и удобным средством, которое поможет структурировать проблему, построить
набор альтернатив, выделить характеризующие их факторы, задать значимость
этих факторов, оценить альтернативы по каждому из факторов, найти
неточности и противоречия в суждениях ЛПР/эксперта, проранжировать
альтернативы, провести анализ решения и обосновать полученные результаты.
СППР МАИ может использоваться при решении следующих типовых
задач:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
• оценка качества организационных, проектных и конструкторских
решений;
• определение политики инвестиций в различных областях;
• задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных
производств, пунктов обслуживания);
• распределение ресурсов;
• проведение
анализа
проблемы
по
методу
"стоимостьэффективность";
• стратегическое планирование;
• проектирование и выбор оборудования, товаров;
• выбор профессии, места работы, подбор кадров.
Основные положения метода анализа иерархий были разработаны
известным американским математиком Т.Л.Саати и опубликованы в 1977г.
Томас Саати является одним из самых ярких представителей прикладной
науки. Об этом говорят не только его математическая эрудиция и глубина новых
теоретических результатов, но и диапазон приложений. Он был прав,
предпослав к одной из своих монографий эпиграф: "Я люблю обе стороны
математики: чистую - как возвышенный уход от реальности, прикладную - как
страстное стремление к жизни".
МАИ используется для решения слабо структуризованных и
неструктуризованных проблем. Методология решения таких проблем опирается
на системный подход, при котором проблема рассматривается как результат
взаимодействия и, более того, взаимозависимости множества разнородных
объектов, а не просто как их изолированная и автономная совокупность.
2.1. Основные принципы МАИ
Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления:
один - умение наблюдать и анализировать наблюдения, другой - способность
устанавливать отношения между наблюдениями, оценивая уровень
(интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее
восприятие наблюдаемого.
На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы
три принципа, реализация которых и является содержанием МАИ:
• принцип идентичности и декомпозиции;
• принцип дискриминации и сравнительных суждений;
• принцип синтеза.
2.1.1. Принцип идентичности и декомпозиции
Реализация этого принципа осуществляется на первом этапе применения
МАИ, в котором предусматривается структурирование проблемы в виде
иерархии. Иерархия строится с вершины - это общая цель или фокус проблемы.
В общем случае целей может быть несколько. За фокусом следует уровень
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на
субкритерии, за которыми следует уровень альтернатив. ЛПР при построении
иерархии вынужден вникнуть в проблему. От этого этапа во многом зависят
конечные результаты принятия решений.Формирование множества альтернатив
и критериев осуществляется с учетом рекомендаций. Этап является
неформализуемым.
Пример
При обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей была
сформулирована цель - покупка дома. Обсуждались и другие цели решения
этой проблемы (например, ремонт имеющегося жилья). Из каталога были
отобраны три наиболее предпочтительных дома (варианты А, В, С), которые и
были осмотрены семьей непосредственно. Для выбора окончательного
варианта она решила воспользоваться методом анализа иерархий. Итогом
первого этапа МАИ, который явился результатом семейного обсуждения, стала
следующая иерархия:
Иерархия проблемы улучшения жилищных условий
Иерархия - есть определенный тип системы, основанный на
предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные
множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов
другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы следующей
группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые
уровнем, кластером, стратой) независимые. Рассмотрим общий вид иерархии.
Общий вид иерархии
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим
образом. На множестве объектов i = {1,2,...,N} определяется иерархическая
структура путем задания орграфа G = (i,W), W ⊂ i × i, который :
a) разбивает вершины на непересекающиеся уровни :
b) (i,j)∈W означает, что вес Zi объекта i непосредственно зависит от веса Zi
объекта j ;
c) если (i,j) – дуга графа G, т. е. (i, j)∈W, то объекты i и j находятся на
смежных уровнях, т. е. найдется такое k, что i ∈ Vk+1, j ∈ Vk
d) веса Zi объекта i ∈ Vk+1 определяются через веса Zj вершин множества
Li = {j | (i,j) ∈ W} ⊆ Vk, в которые ведут дуги из вершины i с помощью
феноменологически вводимой зависимости:
, где ϑij - вес дуги (i,j) .
2.1.2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
Данный принцип реализуется на втором этапе МАИ. Суть его заключается
в том, что, используя суждения ЛПР/эксперта и определенные алгоритмы их
обработки, устанавливаются веса ϑij дуг (i,j)∈W и веса Zj объектов первого
уровня ( j ∈ V1 ). Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за
1 ( Z1 = 1).
Суждения ЛПР/эксперта являются результатом исследования его
структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных
сравнений, содержание которого состоит в следующем. Пусть задано некоторое
фиксированное множество объектов
, которые сравниваются
попарно с точки зрения их предпочтительности, желательности, важности и т. п.
.
Результаты записываются в виде матрицы парных сравнений
Результат сравнения отражает не только факт, но и степень (силу,
интенсивность и т.п) превосходства. При этом используется шкала
относительной важности, выбор которой зависит от следующих требований:
• шкала должна давать возможность улавливать различия в
ощущениях людей, когда они проводят сравнение;
• диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соответствовать
результатам когнитивной психологии.
Удовлетворяет этим требованиям шкала, приведенная в табл.
Шкала относительной важности
Количественная
оценка Качественная
оценка Пояснения
интенсивности
интенсивности
относительной важности относительной важности
Равный
вклад
двух
1
Равная важность
объектов
3
Умеренное превосходство Опыт и суждения дают
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
одного над другим
легкое
превосходство
одного
объекта
над
другим
Опыт и суждения дают
Существенное
или сильное
превосходство
5
сильное превосходство
одного
объекта
над
другим
Один
объект
имеет
настолько
сильное
Значительное
7
превосходство, что оно
превосходство
становится
практически
значительным
Очевидность
превосходства
одного
Очень
сильное
9
объекта
над
другим
превосходство
подтверждается наиболее
сильно
Промежуточные решения
Применяются
в
2,4,6,8
между двумя соседними
компромиссном случае
суждениями
Если
объекту
i
при
сравнении с объектом j
приписывается одно из
Обратные
величины приведенных выше чисел,
приведенных выше чисел то
действию
j
при
сравнении
с
i
приписывается обратное
значение
Из шкалы следует свойство гомогенности (однородности) объектов. Это
свойство соответствует способности людей сравнивать объекты, которые не
слишком сильно отличаются друг от друга. Гомогенность существенна для
сравнения объектов одного порядка, т.к. человеческий разум склонен к
допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда
эта несопоставимость большая, объекты располагаются в отдельные кластеры
сравниваемых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.
Пример
Рассмотрим метод парных сравнений на примере покупки дома.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Иллюстрация к методу парных сравнений
Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве
вариантов А, В, С относительно критерия - размера дома. Лучше всего эту
задачу свести к заполнению таблицы:
Матрица парных сравнений
Размер дома
Вариант А
Вариант В
Вариант С
Вариант А
1
3
1/5
Вариант В
1/3
1
7
Вариант С
5
1/7
1
Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в
рассматриваемую вершину. Элементы таблицы rij, i, j = 1, 3 являются
количественной оценкой интенсивности предпочтения i - го объекта,
находящегося в i - й строке, относительно j - гo объекта, находящегося в j - м
столбце, в соответствии с вышерассмотренной шкалой. При этом сравнении
ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько один вариант
(например А) превосходит по размеру другой вариант (например С)? Ответом
ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было следующее суждение:
существенное или сильное превосходство.
Таким же образом осуществляется оценка предпочтений ЛПР/эксперта
относительно остальных критериев путем заполнения еще пяти аналогичных
матриц размерностью 3x3. После чего метод парных сравнений
распространяется на множество самих критериев относительно Цели - покупки
дома. В этом случае ЛПР/эксперту задается следующий вопрос: насколько
важнее один критерий (например, размер дома) для Реализации цели по
сравнению с другим (например, финансовые условия)? Как следует из
иерархии, размерность этой таблицы 6x6.
Принимая во внимание свойство матрицы, т. е.:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
и, как следствие, rii =1, количество вопросов равно n*(n-1)/2
Формализацией понятия непротиворечивости для метода парных
сравнений является выполнение следующего равенства:
r*ij = r*ik ⋅ r*kj ∀i,j,k (1)
где r*ij - это элементы матрицы полученные в результате идеально
согласованного эксперимента. Соотношение (1) соответствует правилу
логического вывода, которое в этом случае формулируется следующим
образом: если i-й объект предпочтительнее k-го объекта на r*ik и k-й объект
предпочтительнее j-го объекта на r*kj , то i-й объект предпочтительней j-го
объекта на r*ij, причем r*ij = r*ik ⋅ r*kj .
Теорема. Если матрица R* обладает свойством (1), то тогда существуют
такие числа ϑ*i > 0, что имеет место равенство:
(2)
отождествляются с весами дуг (это множество W в графе
Числа
G) либо с весами объектов первого уровня (это Zi, i ∈ V1).
Матрица R* имеет единичный ранг,
, собственный вектор
матрицы, где n - соответствующее ей собственное число.
Действительно,
(3)
Практически добиться полной согласованности (т.е. непротиворечивости)
суждений ЛПР/эксперта далеко не всегда возможно. Поэтому в общем случае rij
будут отклоняться от "идеальных"
, вследствие чего соотношения 1, 2,
3 не будут иметь место.
Для дальнейшего анализа полезными являются следующие два факта из
теории матриц:
• Во-первых, если λ1, ..., λn , являются собственными числами матрицы
R и если
. Согласно этому утверждению, если
имеет место (3) (т.е. матрица является идеально согласованной), то все
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
собственные
числа
ее
-
нули,
за
исключением
одного,
равного
n.
• Во-вторых, если элемент положительной обратносимметричной
матрицы R незначительно изменить, то собственные числа этой матрицы
также изменятся незначительно, т.е. они являются непрерывными функциями
ее элементов.
Объединяя эти результаты, находим, что при малых изменениях rij от r*ij
наибольшее собственное число λmax (практически получаемой матрицы R при
использовании метода парных сравнений) остается близким к n, a остальные
собственные значения - близкими к нулю.
Отсюда можно сформулировать следующую задачу: для нахождения
весов дуг или объектов первого уровня по полученной в результате метода
парных сравнений матрице R необходимо определить собственный вектор ,
соответствующий максимальному собственному числу, т.е. решить уравнение :
(4)
Так как малые изменения в
вызывают малое изменение
λmax, отклонение последнего от n является мерой согласованности. Она может
быть выражена с помощью индекса согласованности (ИС):
(5)
Если ИС≤ 0,1, то практически считается, что мера согласованности
находится на приемлемом уровне.
Индекс согласованности матрицы парных сравнений, элементы которой
сгенерированы случайным образом, называется случайным индексом (СИ).
Ниже представлена таблица соответствия порядка и среднего значения СИ,
определенная на базе 100 случайных выборок.
Таблица средних значений СИ
Порядок
матрицы
СИ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,00
0,00
0,58
0,9
1,12
1,24
1,32
1,41
1,45
1,49
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется
отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10
считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно
определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально проведенного
эксперимента (метода парных сравнений), а ОС указывает, на сколько
оцениваемая степень согласованности сходится со степенью согласованности
самого неидеально проведенного эксперимента.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую
часть метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном
процессе изменения и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100%
согласованности, так как суждения могут измениться после того, как проблема
решена). Но надежные решения не могут быть приняты без приемлемого
уровня согласованности.
Существуют два метода решения уравнения R⋅V = λmax⋅V .Это прямой и
итерационный.
Рассмотрим прямой метод. Проверим алгоритм данного метода. R идеально согласованная матрица, т. е.
1. Определим среднее геометрическое каждой строки R:
2. Вычислим сумму средних геометрических:
3. Разделим среднее геометрическое каждой строки R на сумму средних
геометрических строк:
т. е. получили нормированное значение собственного вектора.
Для получения λmax выполним следующие шаги:
1. Определим сумму элементов для каждого столбца матрицы R:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2. Определим скалярное произведение векторов:
что соответствует максимальному собственному числу для идеально
согласованной матрицы.
Итерационный метод основан на следующей теореме:
Для положительной квадратной матрицы R собственный вектор V,
соответствующий максимальному собственному значению λmax, с точностью до
постоянного сомножителя C определяется по формуле:
где e = (1, 1, ..., 1)T - единичный вектор
k = 1, 2, 3,… показатель степени
C – константа
Т – знак транспонирования
Вычисление собственного вектора V производится до достижения
заданной точности:
eT⋅|V(l) - V(l-1)| ≤ξ
где l – номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2 и т.
д.
ξ - допустимая погрешность
С достаточной для практики точностью принимается равной 0,01
независимо от порядка матрицы.
Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:
λmax = eT⋅R⋅V
2.1.3. Принцип синтеза
Реализация принципа синтеза составляет содержание третьего этапа.
Искомые веса объектов определяются последовательно, начиная со второго
уровня иерархии в соответствии с решающим правилом
(9)
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Фрагмент иерархии
Веса объектов, принадлежащих уровню альтернатив, можно считать как
результат измерения их в шкале отношений в диапазоне [0,1].
Согласованность всей иерархии С определяется по следующему
выражению:
(10)
где D = I / Vm; ИСi, СИi, - соответственно индекс согласованности и
случайный индекс таблицы парных сравнений, рассмотренной относительно iго объекта. Если i ∈ V1 и i > 1, то для ∀i ∈ V1 ИСi = ИС1 и СИi = СИ1; ИС1 и СИ1
- соответствующие параметры таблицы парных сравнений, которая была
сформирована для определения весов объектов первого уровня.
Приемлемым является значение С меньше или равное 10%. В противном
случае качество суждений следует улучшить. Возможно, следует пересмотреть
формулировку вопросов при проведении парных сравнений. Если это не
поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно
структурировать.
2.2. Общая оценка МАИ как метода принятия решений
Принятие решений складывается в многодисциплинарную область
исследований, в которой работают психологи, математики, программисты,
экономисты, инженеры. Отметим, что эта многодисциплинарность является как
бы переходным этапом к появлению новой дисциплины, в рамках которой
специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из
приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам, ранее
не изучавшимся.
Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному
обоснованию методов принятия решений:
1. В МАИ способы получения информации от ЛПР/эксперта
соответствуют данным когнитивной психологии о возможностях человека
перерабатывать информацию. Действительно, гомогенность и принцип
иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения
оценок с психометрическими возможностями человека.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2. В МАИ имеется возможность проверки информации, полученной от
ЛПР/эксперта на непротиворечивость, посредством индекса и отношения
согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии.
3. Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы
на основе информации, полученной от ЛПР/экспертов. Так, анализ весов
объектов по нисходящим уровням иерархии позволяет понять, как получено то
или иное значение веса.
4. Математическая правомочность решающего правила в МАИ
прозрачна и базируется на методе собственных значений и принципе
иерархической композиции, имеющих четкое математическое обоснование.
Таким образом, МАИ удовлетворяет четырем основным критериям
обеспечивающим всестороннюю научную обоснованность метода принятия
решений.
2.3. Вопросы применения МАИ
Решающим преимуществом МАИ над большинством существующих
методов оценивания альтернатив является вклад в анализ структуры проблемы
и отчетливое выражение суждений.
Сложность, как было уже отмечено, характеризуется большим числом
взаимодействий между многими субъективными и объективными факторами
различного типа и степени важности, а также группами людей с различными
целями и противоречивыми интересами. Эти факторы определяют вероятность
или невозможность выбора одной из альтернатив, которая приемлема для всех
с определенной степенью компромисса.
Чтобы разобраться с этой сложностью, нужна систематическая процедура
для представления групп, их целей, критериев и поведения, обусловленных
этими целями, альтернативных исходов и ресурсов, распределяемых по этим
альтернативам. В МАИ эта процедура сводится к построению иерархии
проблемы.
Общая цель (фокус) проблемы (например, выбор наилучшего автомобиля,
построение наилучшей системы, распределение ресурса в соответствии с
важностью) является обычно высшим уровнем иерархии. За фокусом следует
уровень наиболее важных критериев (таких, как стоимость, стиль,
комфортабельность и размеры автомобиля, или же в планировании прибыльность инвестиции, конкуренция и т.д.). Каждый из критериев может
разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив,
число которых может быть очень большим.
Как будет показано, в некоторые иерархии может быть включен уровень
действующих сил (акторов), который расположен ниже уровня общих критериев.
Уровень определяет, какой из акторов наибольшим образом воздействует на
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
исход. За этим уровнем для каждого актора следует уровень целей акторов, за
которым следует уровень политик акторов, и далее - уровень альтернативных
исходов.
В общем, декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мыслей
ЛПР (его концепции решения проблемы), интуиции и опыта.
2.3.1. Некоторые типовые примеры
С целью иллюстрации этапов МАИ рассмотрим задачу о выборе работы.
Пример 1
Со студентом, только что получившим диплом, беседовали о трех
возможных местах работы (А, Б и В). Он решил использовать МАИ для
осуществления выбора. В результате первого этапа применения МАИ была
получена следующая иерархия.
Иерархия проблемы выбора работы
Уровень цели:
1. Удовлетворение работой.
Уровень критериев:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2. Исследовательская работа;
3. Рост;
4. Доходы;
5. Коллеги;
6. Местонахождение;
7. Репутация.
Уровень альтернатив:
8. А;
9. Б;
10. В.
Выполнение второго этапа связано с заполнением нижеприведенных
таблиц по методу парных сравнений с применением шкалы относительной
важности. В результате обработки таблиц получаем собственные вектора,
которые определяют веса соответствующих дуг.
Матрица парных сравнений к примеру 1
Удовлетворение Исследоработой
вание
Исследование 1
Рост
1
Доходы
1
Коллеги
1/4
Местонахожден
1
ие
Репутация
2
Рост
Доходы Коллеги
1
1
1/2
1/4
1
2
1
1/5
4
4
5
1
Местонахождение
1
1
3
1/3
1/2
1/2
1/2
1/3
Собственный
вектор
21=0,16
31=0,19
41=0,19
51=0,05
1
1/3
3
1
1
61=0,12
2
2
3
1
1
71=0,30
Репутация
λmax = 6,35; ИС = 0,07; ОС = 0,06.
В таблице пары критериев сравниваются с точки зрения их
относительного вклада в общее понятие "удовлетворение работой". Задавался
вопрос: который из заданной пары критериев представляется вносящим
больший вклад в понятие "удовлетворение работой" и насколько? Например,
число 5 в третьей строке и четвертом столбце показывает, что "доходы"
намного важнее, чем "общество коллег".
В следующей таблице представлены результаты парных сравнений
относительно соответствующих критериев.
Матрицы парных сравнений к примеру 1
Исследов
А
ание
В
С
Собственн
ый
Рост
вектор
A
B
C
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Собственный
вектор
А
1
1/3 1/2 ϑ82=0,16
В
3
1
1/7 ϑ92=0,59
С
2
1/3 1
ϑ102=0,25
λmax = 3,05; ИС = 0,025; ОС = 0,04
Собственн
Доходы А
В С ый
вектор
А
1
5
1
ϑ84=0,45
В
1/5 1
1/5 ϑ94=0,09
С
1
5
1
ϑ104=0,46
λmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0
МестоСобственн
нахожден А
В С ый
ие
вектор
А
1
1/2 1
ϑ86=0,25
В
2
1
2
ϑ96=0,50
С
1
1/2 1
ϑ106=0,25
λmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0
A
1
1
1
ϑ83=0,33
B
1
1
1
ϑ93=0,33
C
1
1
1
ϑ103=0,33
λmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0
Коллеги
A
B
C
Собственный
вектор
A
1
9
7
ϑ85=0,77
B
1/9 1
1/5 ϑ95=0,05
C
1/7 5
1
ϑ105=0,17
λmax = 3,21; ИС = 0,105; ОС = 0,18
Репутация A
B
C
Собственный
вектор
A
1
6
4
ϑ87=0,69
B
1/6 1
1/3 ϑ97=0,09
C
1/4 3
1
ϑ107=0,22
λmax = 3,05; ИС = 0,025; ОС = 0,04
Результатом третьего этапа (синтеза) является определение весов
согласно соотношению (9). Так как уровень 1 имеет одну цель, то Z1 =
1. Отсюда:
Z2 = ϑ21⋅Z1 = 0,16;
Z3 = ϑ31⋅Z1 = 0,19;
Z4 = ϑ41⋅Z1 = 0,19;
Z5 = ϑ51⋅Z1 = 0,05;
Z6 = ϑ61⋅Z1 = 0,12;
Z7 = ϑ71⋅Z1 = 0,30;
Вычислив веса критериев, переходим к вычислению весов альтернатив
(т.е. объектов третьего уровня):
Z8 = ϑ82⋅Z2 + ϑ83⋅Z3 + ϑ84⋅Z4 + ϑ85⋅Z5 + ϑ86⋅Z6 + ϑ87⋅Z7 = 0,16⋅0,16 + 0,33⋅0,19 +
0,45⋅0,19 + 0,77⋅0,05 + 0,25⋅0,12 + 0,69⋅0,3 = 0,45
Z9 = ϑ92⋅Z2 + ϑ93⋅Z3 + ϑ94⋅Z4 + ϑ95⋅Z5 + ϑ96⋅Z6 + ϑ97⋅Z7 = 0,59⋅0,16 + 0,33⋅0,19 +
0,09⋅0,19 + 0,05⋅0,05 + 0,05⋅0,12 + 0,09⋅0,3 = 0,25
.....
Таким образом, в конечном счете альтернатива А имеет вес 0,45, Б - 0,25
и В - 0,3.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Пример 2
Задача определения приоритетов отраслей промышленности. Она
возникает при распределении энергии для нескольких крупных потребителей в
соответствии с их общим вкладом в реализацию различных целей общества.
Иерархия решения этой задачи имеет следующий вид:
Иерархия задачи определения приоритетов отраслей промышленности
Первый уровень иерархии имеет одну цель: общее благосостояние
страны (1).
Второй уровень иерархии имеет три цели: сильная экономика (2),
здравоохранение (3) и национальная оборона (4). Приоритеты этих целей
получаются из таблицы парных сравнений относительно цели первого уровня.
Объектами третьего уровня являются отрасли промышленности (5,6,7,8).
Задача заключается в определении влияния отраслей промышленности на
общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень.
Пример 3
Применение МАИ для сравнительного анализа различных технических
систем. Например, необходимо осуществить оценку четырех современных
систем аккумулирования энергии на основе шести критериев. Соответствующая
иерархия имеет следующий вид:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Иерархия сравнительного анализа технических систем
В таблице представлены результаты парных сравнений относительно
соответствующих критериев.
В качестве критериев принимались следующие:
2. Экологический.
3. Экономический.
4. Социальный.
5. Выбор места.
6. Время, требуемое для постройки.
7. Совместимость с энергосистемой.
Множество систем аккумулирования энергии включало:
8. Накопление сжатого воздуха.
9. Подземная гидроаккумуляция.
10. Электрические батареи.
11. Накопление энергии водорода.
Матрица парных сравнений к примеру 3
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
1
5
1/2
3
2
1/2
1/5
1
1/7
1/2
1/3
1/7
2
7
1
5
2
1
1/3
2
1/5
1
1/2
1/5
1/2
3
1/2
2
1
1/3
2
7
1
5
3
1
λmax = 6,05; ИС = 0,01; ОС = 0,01.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Собственный
вектор
0,09
0,42
0,05
0,25
0,14
0,05
После проведения этапа синтеза получено следующее ранжирование
аккумулирующих систем:
• электрические батареи - 0,36;
• накопление сжатого воздуха - 0,26;
• накопление энергии водорода - 0,24;
• подземная гидроаккумуляция - 0,14.
2.3.2. Анализ "Стоимость-эффективность"
Рассматривается задача принятия решения на множестве планов или
каких-либо проектов. Классический подход основан на оценке каждого проекта с
точки зрения издержек (т.е., сколько необходимо сделать инвестиций для
реализации рассматриваемого проекта) и с точки зрения доходов, которые
можно получить при их реализации. Сравнение альтернативных проектов
сводится к сравнению объемов доходов в расчете на единицу ресурса (т.е.
издержек). Этот метод известен как анализ "стоимость-эффективность".
Пример 1
Решение задачи ранжирования проектов А, В, С при традиционном
подходе может быть сведено в таблицу:
Классический подход к задаче «стоимость-эффективность»
Проект
Издержки
Доходы
А
B
C
500
250
600
1000
750
1300
Доходы/
издержки
2
3
2,1
Ранжирование
3
1
2
При решении этой задачи возникают следующие особенности:
• отношение доходов к издержкам, оцениваемое в стоимостном
выражении, по существу не является объективной мерой качества проекта:
неясно, как, например, оценивать в деньгах выгоды и издержки неосязаемых
остей (т.е. проблема измерения качественных факторов);
• известно также, что доходы и издержки распределяются по многим
сферам - социальным, экономическим, политическим, управленческим - и их
взаимосвязь влияет на оценку альтернатив.
Применение МАИ позволяет снять эти проблемы. В этом случае требуется
построить две иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми
же альтернативами на нижнем уровне. Таким образом, получают два вектора
приоритетов - доходов и издержек. Затем вычисляют отношения доходов к
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
издержкам для каждой альтернативы. Наибольшее значение из этих отношений
и определяет лучший проект.
Пример 2
Предприниматель решил открыть производство в другой стране с целью
получения доступа к зарубежным рынкам и снижения издержек производства за
счет более низкой оплаты труда за рубежом. Потенциальные издержки такого
решения включают следующие факторы: некоторая потеря контроля за
управлением, преобладание неквалифицированной рабочей силы, риск
изменения политических и экономических условий в этой стране. Предположим,
что предприниматель провел предварительный анализ и сократил множество
альтернатив до четырех стран: А, В, С, D. Иерархии выгод и издержек
приведены на рисунках.
Иерархия выгод размещения предприятия за рубежом
Критерии и субкритерии:
2. Экономические выгоды.
3. Управленческие выгоды.
4. Дешевая рабочая сила.
5. Финансовая помощь страны-хозяина.
6. Близость к рынку.
7. Сила валюты страны-хозяина.
8. Знание местных условий рынка.
9. Несущественное вмешательство государства.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
10. Надежность транспортных средств.
Альтернативы:
11. А; 12. В; 13. С; 14. D.
Иерархия издержек размещения предприятия за рубежом
Критерии и субкритерии:
2. Экономические издержки.
3. Управленческие издержки.
4. Высокая стоимость сырья.
5. Большие местные налоги.
6. Высокие тарифы на импортируемые материалы.
7. Слабая подготовка персонала.
8. Политическая нестабильность.
9. Участие местных управленцев.
10. Языковые и культурные барьеры.
Альтернативы:
11. А; 12. В; 13. С; 14. D.
Здесь не приводятся соответствующие матрицы, т.к. мы уже знакомы с
техникой парных сравнений и вычислением локальных и глобальных
приоритетов. Заметим, что факторы, включенные в иерархии, не исчерпывают
всей проблемы. Они просто наводят на мысль о подходе к решению проблемы.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Критерии для выгод и для издержек необязательно противоположны друг другу,
но они должны различаться.
При проведении парных сравнений в иерархии издержек нужно помнить,
что высокое место альтернативы при ранжировании отражает большие
"издержки", связанные с ней. В данном примере можно поставить вопрос
следующим образом: в какой из двух сравниваемых стран ниже уровень
квалификации рабочих и насколько? Об этом упоминается потому, что в
иерархиях, которые до сих пор обсуждались, более высокий ранг альтернативы
означал более высокий уровень желательности сравниваемых с ней элементов.
В иерархии издержек ранжирование отражает прямо противоположное
свойство.
Пример 3
Правительственное
агентство,
обладающее
полномочиями
на
строительство мостов, туннелей и т. д., должно решить вопрос о строительстве
туннеля или моста через реку; переправу через нее в настоящее время
обслуживает частный паром.
Факторы, влияющие на выгоды и издержки переправы через реку,
представлены соответственно двумя иерархиями. Эти факторы делятся на три
категории: экономические, социальные и экологические. Решение принимается
в зависимости от отношения выгод к издержкам.
Иерархия выгод
Цель иерархии:
1. Выгоды переправы через реку.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Критерии и субкритерии:
2. Экономические.
3. Социальные.
4. Окружающая среда.
5. Время.
6. Доход.
7. Торговля.
8. Работа по строительству.
9. Безопасность и надежность.
10. Связи.
11. Гордость общины.
12. Комфорт.
13. Доступность.
14. Эстетика.
Альтернативы:
15. Мост
16. Туннель.
17. Существующий паром.
Иерархия издержек
Цель иерархии:
1. Издержки переправы через реку.
Критерии и субкритерии:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
2. Экономические.
3. Социальные.
4. Экологические.
5. Капиталовложения.
6. Эксплуатация и текущий ремонт.
7. Прекращение паромного бизнеса.
8. Изменение стиля жизни
9. Раскол людей.
10. Передислокация людей.
11. Повышение вредных выбросов.
12. Загрязнение воды из-за моста.
13. Нарушение экологии.
Альтернативы:
14. Мост.
15. Туннель.
16. Существующий паром.
Кроме ранжирования альтернатив по отношению выгод к издержкам
используются также и другие решающие правила. Одно из них формулируется
следующим образом: наилучшая альтернатива - это альтернатив с наивысшим
общим приоритетом издержек, если для всех других альтернатив
дополнительные издержки, связанные с переходом к каждой из них не будут
компенсированы выгодами от этого перехода.
Обоснование правила состоит в том, что при сравнении двух или более
альтернатив не важны абсолютные значения соответствующих выгод и
издержек. Представляются более важными их относительные значения т. е.
сравниваются приращения выгод с приращениями издержек. Таким образом,
сдвиг из существующего состояния А к состоянию В, которое представляется
"лучшим", правомочен только тогда, когда дополнительные издержки,
связанные с продвижением из состояния А к состоянию В, подтверждаются
выгодами от этого сдвига.
2.3.3. Маркетинговые исследования
МАИ
идеально
подходит
для
решения
задачи
определения
инвестиционной политики фирмы. Большинство методов, применяемых к
подобному классу задач, базируется на небольшом количестве априорно
выбранных критериев, и хотя они и позволяют описать текущее состояние
деятельности фирмы, но не обеспечивают явных решающих правил
планирования инвестиционной политики. Кроме того, они не учитывают такой
важной для определения текущей управленческой ситуации характеристики, как
риск. Напротив, МАИ обеспечивает ясные указания для распределения
ресурсов и возможность обоснования полученного распределения.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Пример 1
Компания X является быстрорастущей фирмой, специализирующейся на
продаже страховых полисов на автомобили и недвижимость людям старше 50
лет. Перед компанией встал вопрос о направлении будущего развития:
• продолжать ли сосредоточивать усилия на продаже страховок и
только в пределах данного рыночного сегмента или
• осуществить капиталовложения в другие виды продукции и рынки
сбыта
Кроме того, поскольку фирма начинала с почтовых операций, должна ли
она и далее использовать только те продукты и рынки, которые легко
достижимы с помощью почты, или ей следует развивать новые каналы
распространения (дистрибутивные средства связи), такие как телефонная
связь, сеть магазинов, связь через агентов и т.д.
Администрацией был использован МАИ. Иерархия, разработанная
совместно с президентом компании, представлена на рисунке:
Иерархия выработки концепции развития компании
В ней используется 3 основных уровня.
• Первый уровень - внешние сценарии. Среди них различают:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
1. оптимистический сценарий - соответствует благоприятному
окружению, т.е. малый риск и внешние условия соответствуют получению
высоких прибылей;
2. status quo - сохранение текущего состояния;
3. пессимистический сценарий - соответствует неблагоприятному
окружению, т.е. большой риск и внешние условия соответствуют
получению низких прибылей.
• Второй уровень - цели компании: критерии для оценки альтернатив.
Их было определено 5:
4. Уровень рентабельности.
5. Увеличение объема продаж (рост сбыта).
6. Сохранение доли на рынке.
7. Стабильность.
8. Спрос на товары.
• Третий уровень - альтернативы. На этом уровне представлены
альтернативы, используемые и неиспользуемые в настоящее время фирмой в
ее целях, а именно:
9. Дистрибутивные средства связи.
10. Рынки сбыта.
11. Потенциально возможные виды выпускаемой продукции.
Эти альтернативы детализируются на следующие уровни. Поскольку
полученная информация о планах фирмы является коммерческой тайной, то
истинные
альтернативы
зашифрованы
в
символьном
виде:
12. D1.
16. R1.
18. Р1.
13. D2.
17. R2.
19. Р2.
14. D3.
15. D4.
20. РЗ.
21. Р4.
Разработав многоуровневую структуру, президент компании произвел
заполнение всех возможных таблиц парных сравнений, пользуясь шкалой
относительной важности. После проведения третьего этапа МАИ получены
следующие результаты:
1. Ресурсы будут распределяться пропорционально приоритетам: 0,45 развитие (используемых и новых) дистрибутивных средств 0,35 -для развития
(используемых и новых) сегментов рынка 0,22 - для (производимых и новых)
продуктов
2. Полученная вероятность исходов каждого из трех сценариев:
0,2 - оптимистический
0,3 - status qvo
0,5 - пессимистический
3. Относительная важность (веса) критериев:
0,24 - уровень рентабельности
0,18 - увеличение сбыта
0,22 - сохранение доли на рынке
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
0,26 - стабильность
0,10 - уровень спроса.
Результаты ранжирования показали, что рекомендуемый способ
распределения
ресурсов
значительно
отличается
от
той
модели
распределения, которая используется фирмой в настоящее время. Это
заставило президента переоценить перспективы фирмы.
Пример 2
Решение задачи, которая сводится к вопросу: сколько и какую продукцию
выпускать фирме при ограниченных ресурсах, чтобы обеспечить максимальную
выгоду.
Пусть у предприятия имеется несколько производственных линий. Каждой
производственной линии ставится в соответствие приоритет Сj полученный из
иерархического анализа таких факторов:
• ожидаемая рентабельность;
• стратегическая важность сохранения доли на рынке товара,
выпускаемого на j - й линии;
• разнообразие выпускаемой продукции j - й линии.
Приоритет Cj и представляет собой численное значение "выгодности" j - й
линии.
Изначально экономика производства предполагается такой, что в партии
товара должно присутствовать фиксированное число единиц продукции,
произведенной на каждой линии производства. Эта партия может
соответствовать выпуску за один день, как, например, в случае частично
автоматизированного производства одежды. При этом раскрой осуществляется
программируемым оборудованием; изменение программы и материалов
производится по вечерам, когда остальное производство не работает.
Производство меньшего количества единиц продукции, чем это воз можно за
полный рабочий день, - дорогая субоптимальность. Поэтому администрация
рассматривает только такие партии, производство которых занимает полный
рабочий день.
необходимо несколько
Для каждой потенциальной партии одежды
видов ресурсов
. Ресурсами считается не только сырье, но и наличие
работников
для
обслуживания,
управленческого
персонала,
специализированного оборудования. Таким образом, задача распределения
заключается в выборе тех производственных линий, которые получат
максимальный общий приоритет (т.е. общую выгоду) при ограничениях,
соответствующих наличным ресурсам. Формально это можно записать
следующим образом:
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com
при условиях
где aij - количество i-го ресурса, необходимого для j-й партии одежды.
Пожалуйста, зарегистрируйте свою копию pdfFactory Pro www.pdffactory.com