Вариант 13
№ 2. Из множества натуральных чисел от 43 до 67 наудачу выбирают
одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?
Решение.
Всего в данном множестве 25 натуральных чисел: n = 25. Числа,
кратные 3 - {45; 48; … ; 66}: m = 8.
Найдём вероятность того, что произвольное число из множества
натуральных чисел от 43 до 67 делится на 3:
𝑃=
m
8
=
= 0,32
n 25
Ответ: 0,32.
№ 10. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в
коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в
каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями
оказаться любая из 10 принцесс.
У Маши уже есть семь разных принцессы из коллекции. Какова
вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся
купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?
Решение.
Рассмотрим первый возможный случай, что Маше придётся купить ещё
1 Киндер-сюрприз. У неё 7 разные принцессы из 10 уже есть, а 3 у неё нет.
Тогда у неё 3 шансов из 10 приобрести ту принцессу, которой ещё нет. Т.е.
вероятность первого случая 3:10=0,3.
Рассмотрим второй возможный случай. Маша купила один Киндер, а
там та принцесса, которая у неё уже есть, вероятность этого 7:10=0,7 (7
шансов из 10). Тогда Маша покупает ещё один Киндер и там та принцесса,
которой ещё нет, вероятность этого 3:10=0,3. Так как должно совершиться и
то и другое, то вероятность этого случая 0,7•0,3=0,21.
Нас спрашивают, какова вероятность, что произойдёт ИЛИ первый
случай ИЛИ второй случай? Так как у нас "ИЛИ", то вероятности этих двух
случаев складываем: 0,3+0,21=0,51.
Ответ: 0,51.
Вариант 14
№ 2. Из множества натуральных чисел от 62 до 79 наудачу выбирают
одно число. Какова вероятность, что оно делится на 2?
Решение.
Всего в данном множестве 18 натуральных чисел: n = 18. Числа,
кратные 2 - {62; 64; … ; 78}: m = 9.
Найдём вероятность того, что произвольное число из множества
натуральных чисел от 62 до 79 делится на 2:
𝑃=
m
9
=
= 0,5
n 18
Ответ: 0,5.
№ 10. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в
коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в
каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями
оказаться любая из 10 принцесс.
У Маши уже есть восемь разных принцессы из коллекции. Какова
вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся
купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?
Решение.
Рассмотрим первый возможный случай, что Маше придётся купить ещё
1 Киндер-сюрприз. У неё 8 разные принцессы из 10 уже есть, а 2 у неё нет.
Тогда у неё 2 шансов из 10 приобрести ту принцессу, которой ещё нет. Т.е.
вероятность первого случая 2:10=0,2.
Рассмотрим второй возможный случай. Маша купила один Киндер, а
там та принцесса, которая у неё уже есть, вероятность этого 8:10=0,8 (8
шансов из 10). Тогда Маша покупает ещё один Киндер и там та принцесса,
которой ещё нет, вероятность этого 2:10=0,2. Так как должно совершиться и
то и другое, то вероятность этого случая 0,8•0,2=0,16.
Нас спрашивают, какова вероятность, что произойдёт ИЛИ первый
случай ИЛИ второй случай? Так как у нас "ИЛИ", то вероятности этих двух
случаев складываем: 0,2+0,16=0,36.
Ответ: 0,36.
Вариант 15
№ 2. В группе туристов 25 человек. Их вертолётом доставляют в
труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором
вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист
Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
Решение.
Всего вертолет делает n = 25:5 = 5 рейсов. Требуется найти вероятность
того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта, то есть, число
благоприятных исходов m = 1 (один второй рейс). Получаем значение
искомой вероятности:
𝑃=
m 1
= = 0,2
n 5
Ответ: 0,2.
№ 10. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров.
Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что
окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Решение.
Выбор двух маркеров синего и красного цвета может быть в двух
порядках: (Синий, Красный) и (Красный, Синий). Всего маркеров 25.
Вероятность события (Синий, Красный):
𝑃(С, К) =
11 6
∙
= 0,11.
25 24
Вероятность события (Красный, Синий):
𝑃(К, С) =
6 11
∙
= 0,11.
24 25
Эти
два
события
несовместные,
т.к.
не
могут
происходить
одновременно. Поэтому вероятность того, что окажутся выбраны один синий
и один красный фломастер равна сумме вероятностей:
𝑃(С, К) + 𝑃(К, С) = 0,11 + 0,11 = 0,22.
Ответ: 0,22.
Вариант 16
№ 2. Автоматическая линия изготавливает Батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что
неисправная батарейка будет забракована, равна 0,97. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована
системой контроля.
Решение.
Неисправность при изготовлении - Р1.
0,03 - неисправны при изготовлении
1 - 0,03 = 0,97 - исправны.
Неисправность при контроле - Р2.
Р(А) = 0,03 * 0,97 + 0,97* 0,02 = 0,0291 + 0,0194 = 0,0485.
Ответ: 0,0485.
№ 10. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших
очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого
потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Рассмотрим все комбинации первых двух бросков. Из них нас
интересуют те, в которых сумма очков строго больше 6. Посчитаем наоборот
те пары, в которых сумма ≤ 6: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5);
(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2; 4);
(3, 1); (3, 2); (3, 3);
(4, 1); (4, 2);
(5, 1)
Таких пар 15 из 36. Затем долю таких пар вычтем из единицы, тогда
искомая вероятность равна:
1−
15
= 0,58.
36
Ответ: 0,58.
Вариант 17
№ 2. Автоматическая линия изготавливает Батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что
неисправная батарейка будет забракована, равна 0,97. Вероятность того, что
система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована
системой контроля.
Решение.
Неисправность при изготовлении - Р1.
0,02 - неисправны при изготовлении
1 - 0,02 = 0,98 - исправны.
Неисправность при контроле - Р2.
Р(А) = 0,02 * 0,97 + 0,98* 0,02 =0,0194+0,0196 = 0,039.
Ответ: 0,039.
№ 10. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших
очков не превысила число 7. Какова вероятность того, что для этого
потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Рассмотрим все комбинации первых двух бросков. Из них нас
интересуют те, в которых сумма очков строго больше 8. Посчитаем наоборот
те пары, в которых сумма ≤7: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2; 4); (2, 5);
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4);
(4, 1); (4, 2); (4, 3);
(5, 1); (5, 2);
(6, 1).
Таких пар 21 из 36. Затем долю таких пар вычтем из единицы, тогда
искомая вероятность равна:
1−
21
= 0,42.
36
Ответ: 0,42.
Вариант 18
№ 2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система
по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность
того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована
системой контроля.
Решение.
Неисправность при изготовлении - Р1.
0,04 - неисправны при изготовлении
1 - 0,04 = 0,96 - исправны.
Неисправность при контроле - Р2.
Р(А) = 0,04 * 0,95 + 0,96* 0,01 = 0,038 + 0,0096 = 0,0476.
Ответ: 0,0476.
№ 10. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших
очков не превысила число 8. Какова вероятность того, что для этого
потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение.
Рассмотрим все комбинации первых двух бросков. Из них нас
интересуют те, в которых сумма очков строго больше 8. Посчитаем наоборот
те пары, в которых сумма ≤8: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2; 4); (2, 5); (2, 6);
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5);
(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4);
(5, 1); (5, 2); (5, 3);
(6, 1); (6, 2).
Таких пар 25 из 36. Затем долю таких пар вычтем из единицы, тогда
искомая вероятность равна:
1−
Ответ: 0,28.
26
= 0,28.
36