Муниципальное общеобразовательное учреждение «Бозойская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа при ФКУ ОИК-1» ПРОЕКТ «МАТЕМАТИКА Т ФОКУСЫ» ПОДГОТОВИЛА УЧЕНИЦА 9 КЛАССА ХАМНАЕВА ЮЛИЯ РУКОВОДИТЕЛЬ: МАЛАХАНОВА ВАЛЕНТИНА ГЕОРГИЕВНА п. Бозой, 2019 год 1 Содержание 1. Введение………………………………………………………………........3 2. История возникновения математических фокусов………………………4 3. Математические фокусы – занимательно и полезно…..………………...5 4. Анкетирование……..………………………………………………..........13 5. Заключение ………………………………………………………………..14 6. Список использованной литературы……………………………….........15 2 «Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть» М.Башмаков Введение Ни математики, ни фокусники не придают особое значение математическим фокусам, так как математики рассматривают их как развлечение, а для фокусников – это скучное дело. Однако, математические фокусы обладают определённой привлекательностью. Математические фокусы - весьма необыкновенный метод демонстрации арифметических закономерностей. В математических фокусах объединено точность математики оригинальность занимательности. Многие из нас встречались с числовыми фокусами. Талант человека угадывать число, которое задумал другой человек, для многих покажется сверхспособностью. Но если знать тайну математического фокуса, то каждый из нас сможет стать «фокусником». Если весь алгоритм составить в виде алгебраического выражения с соблюдением всех правил выполнения математических операций, то секрет фокуса станет понятной. Цель работы: изучение математических фокусов. Задачи: 1. Изучить историю возникновения, классификацию математических фокусов. 2. Изучить наиболее интересные и полезные для учёбы фокусы. 3. Провести выбранные математические фокусы в классе и анкетирование по теме проекта. Объект исследования: математические фокусы, созданные свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях. 3 на Гипотеза: Если заинтересовать обучающихся математическими фокусами, то тем самым можно сформировать положительное отношение к предмету «Математика», повысить успеваемость и качество знаний. История возникновения математических фокусов. Математические фокусы возникли несколько тысяч лет до нашей эры. Родиной фокусов гипотетически является Древний Египет. С античных веков знакомы головоломки Пифагора и Архимеда. Леонтий Филиппович Магницкий в своей книге «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и воедино собрана и на две книги разделена…» первый упоминает о математических фокусах. Магницкий изучал математические фокусы для «утехи и, особенно для изощрения ума учащихся» Михаил Юрьевич Лермонтов интересовался математикой, он увлекался математическими фокусами, некоторые фокусы придуманы им. Фокус, придуманный великим русским поэтом: «Задумать любое число, прибавить к нему 25, прибавить еще 125, отнять 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Результат: 285» В основе всех математических фокусов лежат законы математики. Каждый фокусник должен знать свойства чисел, в чём и состоит секрет фокуса. Математические фокусы развивают мыслительные операции, полезны для людей любых возрастных групп. В данной работе я рассмотрела фокусы, которые на мой взгляд являются наиболее интересными и полезными для учеников. Существует три вида математических фокусов. Фокусы Фокусы с предметами мелкими Фокусы с Фокусы непосредственными расчетами 4 с таблицами готовыми Колода карт Предсказывание Календарь Игральные кости результата Циферблат часов Домино Угадывание Шашки номера Камешки Мгновенный даты, Таблицы рисунков или чисел устный счёт Математические фокусы – занимательно и полезно В данной работе я рассмотрела математические фокусы, которые на мой взгляд являются наиболее интересными и полезными для учеников. Угаданный день рождения Просим кого-нибудь про себя посчитать: 1. День своего рождения (про себя) умножить на два. 2. К результату прибавить 5. 3. Полученный результат умножить на 50. 4. Прибавить номер месяца, в котором родился. Попросите человека сказать число. Потом просто отнять 250 от получившегося, и готово. Получится 4 или 3 цифры. Первые 2 (может быть и одна цифра) - день, а две последние - месяц. Сколько тебе лет Задача: Предсказать возраст по размеру обуви. Выполните данные действия: Припишите 2 нуля справа к своему размеру обуви. Вычтите из полученного результата свой год рождения. Прибавьте к получившемуся числу текущий год. Посмотрите на последние две цифры результата - это и есть сколько вам лет в 2019 году. Сколько братьев и сестёр… Вы сможете угадать, сколько братьев, сестёр, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе! Пример 5 Допустим, у вашего приятеля: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2. Предложите приятелю: Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4 1. Умножить это число на 2: 4*2=8 2. Прибавить к произведению 3: 8 + 3=11 3. Умножить полученную сумму на 5: 11*5 = 55 4. Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58 5. Умножить полученную сумму на 10: 58*10 = 580 6. Прибавить бабушек и дедушек: 580 + 2 = 582 7. И, наконец, прибавить 125: 582 + 125 = 707 Закончив вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с дедушками! Для нашего примера 707 – 275 = 432 (братья – 4, сёстры – 3, бабушки и дедушки – 2) Исключения: 1. Если после вычитания числа 275 на табло появится двузначное число, значит, у вашего друга нет братьев. Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0. 2. Если после вычитания числа 275 на табло появится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер. Пример 2 = 002; Следовательно, число братьев равно нулю и число сестер также равно нулю. Магия числа 1089 Следующий трюк существует уже не одно столетие. Сделайте так, чтобы человек из аудитории достал ручку и бумагу: 6 1) и тайно записал трехзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (например, 851 или 973); 2) записал число в обратном порядке и вычел его из исходного числа; 3) к полученному ответу добавил его же, только в обратном порядке. В конце последовательности магическим образом появится ответ 1089, какое бы число ни выбрал доброволец. Экстрасенсорная математика Попросите добровольца в аудитории загадать любое число, состоящее из одной-двух цифр. Затем скажите, что никоим образом не можете знать, что это за число, и предложите сделать следующее. 1. Удвойте число. 2. Прибавьте 12. 3. Разделите сумму на 2. 4. Вычтите из нее исходное число. Спросите: «Думаете ли вы сейчас о цифре 6?» Опробуйте этот трюк сначала на себе и увидите, что данная последовательность вычислений всегда в итоге приводит к цифре 6, какое бы число вы изначально ни выбрали. При повторении данного приема попросите добровольца прибавить другое число на втором шаге (скажем, 18). Итоговый ответ будет половиной этого числа (а именно 9). Фокусы с уравнениями Фокусник предлагает выполнить программу действий. Затем он просит сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры. Команды Задумай число Язык алгебры х Прибавь 2 х+2 Умножь результат на 3 3х+6 7 Отними 5 3х+1 Отними задуманное число 2х+1 Умножь на 2 4х+2 Отними 1 4х+1 Команды Язык алгебры Задумай число Прибавь 2 Из первой колонки видно, что если вы задумали х, то после всех команд у вас должно получиться 4 х+1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно решает простое уравнение: 4х+1=49; От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12 (х=(49-1)/4=12). Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. Фокус с чётным числом Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число. Переведем команды на язык алгебры: 2n – четное число. После выполнения команд получаем: 2n*3 = 6n; 6n/2 = 3n; 3n*3 = 9n; 9n/9 = n; n. n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умножить на 2. Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа. Числа Фибоначчи 8 Ещё один вычислительный фокус состоит в почти мгновенном сложении любых десяти последовательных чисел Фибоначчи (ряд чисел, в котором каждое, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предшествующих). Этот фокус демонстрируют так: показывающий просит кого-нибудь записать друг под другом два любых числа, какие он пожелает. Допустим для примера, что были выбраны 8 и 5. Затем зритель должен сложить эти числа. Найденное таким образом третье число складывается со вторым (стоящим над ним), и получается четвертое число. Этот процесс повторяют до тех пор, пока в вертикальном столбце не окажется десять чисел: 8 5 13 18 31 49 80 129 209 338 Во время записывания чисел показывающий стоит, повернувшись спиной к зрителям. Когда все числа будут записаны, он поворачивается, проводит под колонкой цифр черту и, не задумываясь, подписывает сумму этих чисел. Чтобы получить эту сумму, ему просто нужно взять четвертое число снизу и умножить его на 11 - операция, которую легко можно проделать в уме). В нашем случае четвертым чис­лом будет 80, поэтому в ответе получится число 80, взятое 11 раз, т. е. 880. Мгновенное умножение Как умножать в уме любое двузначное число на 11? Это очень легко, если знаеть секрет. Представьте следующую задачу: 32 × 11 9 Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой. Вот и наше решение: 352 Что может быть легче? Теперь попробуйте 53 × 11 Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост: 583 Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно: 81 × 11? У вас получилось 891? Здорово! Допустим, задача такая: 85 × 11 Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135! Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935. Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 × 11. Так как 5 + 7 = 12, ответ: 627 Этот метод можно использовать для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11. Например, для задачи 314 × 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454. Возведение во вторую (в квадрат) и большие степени Квадрат числа — это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 × 7, то есть 49. Этот метод особенно легко применять, если число заканчивается на 5. 1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра. 2. Ответ заканчивается на 25. Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу большую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 × 4 = 12, следовательно, ответ — 1225. Таким образом, 35 × 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом: 35 × 35 3 × 4 = 12 10 5 × 5 = 25 Ответ: 1225 Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу большую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.) Так как 8 × 9 = 72 и 3 × 7 = 21, ответ — 7221. Подобным образом получаем из 84 × 86 = 7224. Попробуйте вычислить 26 × 24. С чего начинается ответ? С 2 × 3 = 6. Чем заканчивается? 6 × 4 = 24. Значит, 26 × 24 = 624. Использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10. Быстрые кубические корни Просим кого-нибудь выбрать двузначное число, но не называть его. Затем просим возвести это число в куб, то есть умножить само на себя трижды, используя калькулятор. Например, если секретное число 68, пусть доброволец вычислит 68 × 68 × 68 = 314 432 и назовет ответ. Как только он произнесет его вслух, вы можете мгновенно раскрыть секрет исходного числа — это кубический корень 68. Как это делается? Чтобы быстро вычислять кубические корни, нужно выучить кубы чисел от 1 до 10. 13 = 1 23= 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 216 73 = 343 11 83 = 512 93 = 729 103 = 1000 Если запомнить эти значения, вычислять кубические корни станет так же легко, как и назвать значение числа π. Приведем пример. Чему равен кубический корень из 314 432? Кажется, что это довольно сложное задание для начала, на самом деле оно довольно простое. Двигаемся постепенно. 1. Посмотрите на величину тысяч, 314 в данном примере. 2. Поскольку 314 лежит между 63 = 216 и 73 = 343, то кубический корень находится в диапазоне «60 плюс» (так как 603 = 216 000 и 703 = 343 000). Следовательно, первая цифра кубического корня будет 6. 3. Для определения последней цифры заметьте, что только куб числа 8 оканчивается на 2 (83 = 512), так что последней цифрой будет 8. Поэтому кубический корень из 314 432 равен 68. Три простых шага — и вы у цели. Обратите внимание, что каждая цифра от 0 до 9 появляется по одному разу в виде последней цифры куба. Чему равен кубический корень из 19 683? 1. 19 находится между 8 и 27 (23 и 33). 2. Следовательно, кубический корень лежит в диапазоне «20 плюс». 3. Последняя цифра в задаче 3, что соответствует 343 = 73, значит, 7 и будет последней цифрой. Ответ: 27. Надо обратить внимание а то, что наши выводы по поводу последней цифры работают только тогда, когда исходное число является кубом целого числа. Упрощенные квадратные корни Квадратные корни так же просто вычислить, если задан полный квадрат. Например, если кто-то сказал вам, что квадрат двузначного числа равен 7569, 12 то вы в состоянии мгновенно ответить, что исходное число (квадратный корень) равно 87. Вот как это делается. 1. Посмотрите на величину сотен (цифры, предшествующие последним двум) в данном примере. 2. Так как 75 находится между 82 (8 × 8 = 64) и 92 (9 × 9 = 81), то нам известно, что квадратный корень будет где-то в диапазоне «80 плюс». Следовательно, его первая цифра 8. Существует два числа, квадраты которых заканчиваются на 9: 32 = 9, 72 = 49. Поэтому последняя цифра квадратного корня должна равняться 3 или 7. Таким образом, квадратный корень равен либо 83, либо 87. Какой из них? 3. Сравните исходное число с квадратом числа 85 (который можно легко посчитать как 80 × 90 + 25 = 7225). Так как 7569 больше, чем 7225, квадратный корень будет большим числом, то есть 87. Рассмотрим ещё один пример. Чему равен квадратный корень из 4761? Поскольку 47 лежит между 62 = 36 и 72 = 49, ответ должен находиться в диапазоне «60 плюс». Если последняя цифра квадрата равна 1, то последняя цифра квадратного корня должна быть 1 или 9. Так как 4761 больше 652 = 4225, то квадратный корень должен равняться 69. Как и с предыдущим трюком для кубического корня, этот метод можно использовать только тогда, когда исходное число является полным квадратом. Анкетирование После демонстрации фокусов в своём 9 классе я провела анкетирование. Анкета состояла из следующих вопросов: 1. Заинтересовали ли Вас тема математических фокусов? 2. Будете ли Вы знакомить с фокусами своих друзей, родственников? 3. Если учитель иногда на уроках будет удивлять, показывая математические фокусы, станет ли урок интересней? 4. Если учитель иногда на уроках будет удивлять, показывая математические фокусы, станет ли урок интересней? 13 100% моих одноклассников на вопросы анкеты дали положительные ответы. Заключение Подводя итоги работы над изучением математических фокусов, учитывая результаты анкетирования, хочу сделать следующие выводы: 1. Существует огромное количество математических фокусов. 2. Математические фокусы основанные на свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях. 3. Математические фокусы способны сформировать положительное отношение к предмету «Математика», повысить успеваемость и качество знаний. 4. Уроки математики надо разнообразить математическими фокусами. 5. Меня заинтересовали математические фокусы. Работу над изучением данного вопроса я продолжу, попытаюсь создать задачник с математическими фокусами. 14 Список использованной литературы: 1. Игнатьев Е.И. Хрестоматия по математике – Ростовское книжное издательство,1995. 2. Кордемский Б.А. Математическая смекалка – Государственное издательство технико- теоритической литературы,1955. 3. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н. Задачи на смекалку – М.:Дрофа, 2006. открытыйурок.рф/статьи/568450/ znanio.ru/media/issledovanie_na_temu_matematichesk...e_fokusy-36871/44635 http://fokusy.kak-nauchitsya.ru/fokusy-s-kartami-obuchenie.html 15