Вводная лекция
4 сентября 2023 г.
Элементы математической логики
Определение. Высказывание — повествовательное предложение, имеющее истинностное значение:
истинно, или ложно. Высказывания обычно обозначают буквами латинского алфавита:
A = «5 > 3» , B = «4 – корень уравнения x 2 − 3x − 4 = 0» , C = «синус – четная функция» и т. п.
Из нескольких высказываний с помощью логических операций можно строить новые, более сложные
высказывания. Используются следующие операции:
• Отрицание: A («не A»);
• Конъюнкция: A ∧ B («A и B»);
• Дизъюнкция: A ∨ B («A или B»);
• Импликация: A ⇒ B («если A, то B»);
• Эквиваленция: A ⇔ B («A эквивалентно B», или «A тогда и только тогда, когда B»).
Определяются логические
операции с помощью
таблиц истинности:
A
A
и
л
л
и
A
и
и
л
л
B
и
л
и
л
A∧B
и
л
л
л
A∨B
и
и
и
л
A⇒B
и
л
и
и
Некоторые формулы математической логики, которые будут использоваться в дальнейшем:
• A ∧ B = A ∨ B , A ∨ B = A ∧ B – законы де Моргана;
• A⇒B =A∧B.
(Проверьте самостоятельно с помощью таблиц истинности)
A⇔B
и
л
л
и
Определение. Предикат – повествовательное предложение, истинностное значение которого зависит
от одной, или нескольких переменных (Например: x > 0, x 2 + y 2 < 1 и т. п.). (Функция одной, или
нескольких переменных, принимающая значения истинно, или ложно, в зависимости от их значений.)
Определение. Область истинности предиката - множество значений переменной (переменных), при
которых предикат принимает значение «истинно».
Для описания области истинности предиката часто используются кванторы:
• Квантор всеобщности: ∀ – для любого (any);
∃! означает «существует единственный»
• Квантор существования: ∃ – существует (exists).
С помощью кванторов и предикатов можно строить сложные высказывания. Наиболее часто в
формулировках различных математических предложений встречаются следующие две конструкции:
∀ x ∈ X P(x)
и
∃ x ∈ X P(x) ,
где X – некоторое множество, P(x) - предикат.
Очень часто мы будем использовать следующие формулы:
∀ x ∈ X P(x) = ∃ x ∈ X P(x) ,
∃ x ∈ X P(x) = ∀ x ∈ X P(x) .
Пример.
1) Высказывание «∀ x ∈ N x четно» ложно, т. к. истинно противоположное:
∀ x ∈ N x четно = ∃ x ∈ N x нечетно (действительно, x = 3 ∈ N нечетно.)
2) Высказывание «∃ x ∈ {n ∈ N | n < 17} x | 17» ложно, т. к. истинно противоположное:
∃ x ∈ {n ∈ N | n < 17} x | 17 = ∀ x ∈ {n ∈ N | n < 17} x - 17
Строение теоремы
Обычно теорема имеет вид: Р. Ч. A ⇒ B (∗), где разъяснительная часть содержит описание
объектов, о которых идет речь (обычно в ней вводятся необходимые обозначения), а импликативная
часть содержит высказывания: A – условие теоремы и B – заключение теоремы.
Изменяя импликативную часть прямой теоремы (∗), получаем новые теоремы:
• Р. Ч. B ⇒ A — обратная к (∗) теорема;
•
Р. Ч.
A ⇒ B — противоположная к (∗) теорема;
•
Р. Ч.
B ⇒ A — обратная к противоположной к (∗) теорема.
Пример. Пусть x0 ∈ R, f (x) - дифф-мая на R функция.
Теорема (прямая) x0 - точка лок. экстр. f (x) ⇒ f 0 (x0 ) = 0 .
Теорема (обратная) f 0 (x0 ) = 0 ⇒ x0 - точка лок. экстр. f (x) .
Теорема (противоположная) x0 не является т. лок. экстр. f (x) ⇒ f 0 (x0 ) 6= 0 .
Теорема (обратная к противоположной) f 0 (x0 ) 6= 0 ⇒ x0 не является т. лок. экстр. f (x) .
Здесь верны прямая и обратная к противоположной теоремы.
Обратная и противоположная теоремы не верны. Это можно
обосновать с помощью КОНТРПРИМЕРА: f (x) = x 3 строго возрастающая функция на R, поэтому x0 = 0 не является точкой
экстремума, при этом f 0 (x) = 3x 2 ⇒ f 0 (x0 ) = f 0 (0) = 0.
y
0
x
C помощью таблиц истинности можно
проверить, что
• обратная теорема эквивалентна
противоположной;
• прямая теорема эквивалентна
обратной к противоположной.
A
B
A⇒B
B⇒A
A
B
A⇒B
B⇒A
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
и
и
и
л
и
л
л
и
и
л
и
л
и
и
и
л
и
и
л
и
и
Если A ⇒ B , то говорят:
• A - достаточное условие для B.
(достаточно, чтобы A было истинно – тогда истинно и B);
• B - необходимое условие для A
(истинность A а не обходится без истинности B: как только истинно A, B тоже истинно);
Если одновременно истинны прямая и обратная теоремы, то их обычно объединяют в одну:
Р.Ч.
A⇔B
Такую теорему называют критерий. При этом говорят: «B является необходимым и достаточным
условием для A», или «A верно тогда и только тогда, когда верно B».
Пример.
Теорема (Критерий прямоугольного треугольника).
Треугольник с длинами сторон a, b и c является прямоугольным (с гипотенузой c) ⇔ c 2 = a2 + b 2 .
Множества и операции над ними
Множеством будем называть любую совокупность объектов. Это неопределяемое понятие (в рамках
«наивной» теории множеств).
Множество можно задать перечислив его элементы, например:
A = a1 , a2 , . . . , an , B = 4,
,2 ,
или указав характеристическое свойство (свойства), например:
A = x ∈ N x < 17 , B = (x, y ) x, y ∈ R , x 2 + y 2 < 1 .
df
a ∈ A ⇔ a является элементом множества A (a принадлежит A).
df
(⇔ - «по определению означает»).
Для множеств определены отношения ⊆ , ⊂ , = :
df
• A⊆B ⇔
∀x ∈A
x ∈ B (A — подмножество B, A вложено в B) ,
df
• A⊂B ⇔
A⊆B ∧ ∃x ∈B
x∈
/ A (A — собственное подмножество B) ,
df
• A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A (A и B равны, совпадают) .
Отметим следующие свойства отношения ⊆:
• ∀ A A ⊆ A (рефлексивность) ;
• ∀ A,B ,C
A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (транзитивность) .
Операции над множествами:
df
n
df
n
A∩B =
A∪B =
x x ∈A∧x ∈B
o
x x ∈A∨x ∈B
o
A
B
A
B
A
B
A
B
– пересечение A и B :
– объединение A и B :
n
o
df
/ B – разность A и B :
A\B = x x ∈A∧x ∈
df
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A) – симметрическая разность A и B :
∅ – пустое множество (множество, не содержащее элементов).
A ∩ B = ∅ – множества A и B не имеют общих элементов (непересекающиеся множества).
Полагают ∀ A 6= ∅ ∅ ⊂ A.
Если все множества, которые рассматриваются в том или ином контексте, являются подмножествами
некоторого фиксированного множества, то это множество называют универсальным множеством.
Будем обозначать такое множество символом U.
Например, если мы работаем с различными множествами действительных чисел, то U = R.
U
A
df
A = U \ A – дополнение A (до U) .
A
Свойства операций над множествами:
Для любых множеств A, B, C справедливы равенства:
1 A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ B = B ∪ A — коммутативность;
2 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) ;
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) — ассоциативность;
3 (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) ;
4 A ∪ A = A;
A ∩ A = A;
5 A ∪ ∅ = A;
A ∩ ∅ = ∅;
6 A∪B =A∩B;
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C ) .
A ∩ B = A ∪ B — законы де Моргана.
Классификация множеств
Определение. Множество вида X = {x1 , x2 , ..., xn } . называется конечным
Множества, не являющиеся конечными называются бесконечными.
Множества
Конечные множества можно сравнивать между собой по количеству
Конечные
Бесконечные
элементов. Для определения количества элементов конечного множества достаточно их занумеровать, то
есть определить взаимно-однозначное соответствие между элементами множества и номерами –
1, 2, . . . , n. Это дает общую идею сравнения множеств (в том числе и бесконечных) по «запасу
элементов». Она реализуется с помощью функций.
Функции
Определение. Пусть X и Y – множества. Функция (отображе-
X
Y
f
ние) f : X → Y это правило, которое каждому элементу множе→
x1
y1
ства X (области определения f ) ставит в соответствие некоторый
x2
единственный элемент множества Y .
y2
Если y = f (x), говорят: y является образом элемента x, а x –
x3
прообразом y при отображении f .
o
n
df
• Область определения f : D(f ) =
x ∈ X ∃ y ∈ Y y = f (x) .
n
o
df
• Множество значений f : E (f ) =
y ∈ Y ∃ x ∈ X y = f (x) .
n
o
df
• Образ множества X ⊆ D(f ) при отображении f : f (X ) =
f (x) x ∈ X .
n
o
df
• Прообраз множества X ⊆ E (f ) при отображении f : f −1 (X ) =
x f (x) ∈ X .
X
x1
Y
y1
x2
x3
y2
n
o
Определение. Графиком функции f называется множество Γ(f ) := (x, y ) x ∈ D(f ) ∧ y = f (x)
y
y
Пример.
1 ,
f (x) = 2 ,
−1 ,
если x = 0 ,
если x = 1 ,
если x = 2 .
D(f ) = {0, 1, 2} ,
2
2
1
1
0
0
2 x
2 x
1
1
E (f ) = {−1, 1, 2} .
−1
−1
График наглядно представляет свойства функции. С его помощью удобно решать разные задачи.
Например,
y
y
f(
x)
f (X )
x)
f(
• E (f ) – проекция Γ(f ) на OY .
=
=
E (f )
y
– находить образ
множества X при
отображении f :
y
– находить D(f ) и E (f ).
Действительно, из определения
Γ(f ) следует, что:
• D(f ) – проекция Γ(f ) на OX ,
x
x
X
D(f )
y
x)
x)
f(
f(
x
f −1 (X )
=
=
X
y
y
– находить прообраз
множества X при отображении f :
y
– находить промежутки возрастания и убывания, точки локального
экстремума функции f :
f↑
xmax
f↑
f↓
xmin
x
Определение. Пусть f : X → Y — отображение.
• Если E (f ) = Y , то f называется сюръекцией, или отображением на множество Y ;
• Если ∀ x1 , x2 ∈ X
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) , то f называется инъекцией;
• Если f одновременно инъективно и сюръективно, оно называется биекцией, или
взаимно-однозначным отображением.
• f : R → R не является сюръекцией:
E (f ) 6= R ;
Пример. Рассмотрим функцию f (x) = sin x.
• f : R → [−1; 1] – сюръекция:
y
1
E (f ) = [−1; 1] ;
• f : R → [−1; 1] не является инъекцией:
0
0 6= π ∧ sin 0 = sin π = 0 ;
x
π
π
π
3π
3π
−π
−2π
2π
−
− 2
2
2
2
−1
• f : − π ; π → [−1; 1] – инъекция;
2 2
• f : − π ; π → [−1; 1] – биекция.
2 2
Определение. Пусть f : X → Y – биекция. Тогда существует f −1 : Y → X обратная к f функция:
∀ x ∈ Y f −1 (x) = y , где y ∈ X такой, что f (y ) = x.
Пример. Для f : − π2 ; π2 → [−1; 1], где f (x) = sin x , f −1 (x) = arcsin x.
Классификация множеств (продолжение)
Определение. Множества X и Y называются эквивалентными (равномощными), если существует
биекция f : X → Y . При этом пишут X ∼ Y .
Таким образом, множество X конечно ⇔ ∃ n ∈ N : X ∼ {1, 2, . . . , n} .
Свойства отношения эквивалентности множеств:
1 ∀X
X ∼ X — рефлексивность;
2 ∀ X ,Y
X ∼ Y ⇒ Y ∼ X — симметричность;
3 ∀ X ,Y ,Z
(X ∼ Y ∧ Y ∼ Z ) ⇒ X ∼ Z — транзитивность.
Определение. Множество X называется счетным, если X ∼ N.
Пример. N, Z = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , Q =
m
n
Действительно,
• N ∼ N;
m ∈ Z , n ∈ N – счетные множества.
• перенумеровать элементы Z можно, например, следующим образом:
x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = −1 , x4 = 2 , x5 = −2 , . . . , x2n = n , x2n+1 = −n , . . . ;
• элементы Q можно записать в таблицу и перенумеровать, например, по следующей схеме:
...
−3
...
−
...
...
...
−
−
3
2
3
3
3
4
−2
−
−
−
2
2
2
3
2
4
...
−1
0
1
2
3
−
−
−
1
0
1
2
3
2
2
2
2
2
1
0
1
2
3
3
3
3
3
3
1
0
1
2
3
4
4
4
4
4
...
...
...
...
...
...
...
Свойства счетных множеств:
1
2
3
4
Существует счетное подмножество любого бесконечного множества ;
Произвольное непустое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно;
Объединение и разность любых счетного и конечного множеств счетно;
Объединение счетной совокупности конечных множеств конечно или счетно;
Действительно, если
Xk ∞
– набор множеств, где Xk = xk1 , xk2 , . . . , xkn
k=1
k
, то элементы объединения
∞
S
Xk можно
k=1
перенумеровать в следующем порядке: x11 , x12 , . . . , x1n1 , x21 , x22 , . . . , x2n2 , . . . , xk1 , xk2 , . . . , xkn , . . . , удаляя, если
k
{z
}
{z
} |
|
|
{z
}
X2
X1
Xk
нужно, повторяющиеся элементы. При этом либо начиная с некоторого номера k среди элементов множества Xk мы
∞
∞
S
S
перестанем встречать новые элементы, так что
Xk окажется конечным, либо этого не произойдёт, так что
Xk
k=1
k=1
окажется счётным.
5 Объединение конечной совокупности счетных множеств счетно;
Пусть
n
S
Xk nk=1 – набор множеств, где Xk = xk1 , xk2 , . . . , xkn , . . . . Перенумеровать элементы объединения
Xk
k
k=1
можно, например, следующим образом:
x11 , x21 , . . . , xn1 , x12 , x22 , . . . , xn2 , x13 , x23 , . . . , xn3 , . . . , вычёркивая, если встречаются, повторяющиеся элементы.
{z
} |
|
{z
} |
{z
}
1-е эл-ты
2-е эл-ты
3-и эл-ты
x11 x12 x13 x14 . . .
6 Объединение счетной совокупности счетных множеств счетно.
Xk ∞
– набор множеств, где Xk = xk1 , xk2 , . . . , xkn , . . . .
k=1
k
∞
S
Доказать что объединение
Xk счётно можно, записав элементы
Пусть
k=1
множеств Xk в таблицу по строкам, и занумеровав их, например, по
следующей схеме:
x21
x22
x23
x31
x32
...
x41
...
...
...
Множества
Конечные
(!)
Бесконечные
Счётные
Существуют бесконечные множества,
не являющиеся счетными.
?
Предложение. (0; 1) N .
Доказательство. Предположим (0; 1) ∼ N. Тогда существует биекция f : N → (0; 1).
Пусть
f (1) = 0,a11 a12 a13 . . . a1n . . . ,
f (2) = 0,a21 a22 a23 . . . a2n . . . ,
f (3) = 0,a31 a32 a33 . . . a3n . . . ,
...
f (n) = 0,an1 an2 an3 . . . ann . . . ,
...
цифра ank ∈ {0; 1; 2; . . . ; 9} – k-й знак после запятой в десятичной записи
числа f (n) . Поскольку f — биекция, f (n) | n ∈ N = (0; 1), то есть, в
правых частях равенств представлены все действительные числа интервала
(0; 1). Покажем, что на самом деле это не так. Для любого n ∈ N выберем
цифру bn ∈ {1; 2; . . . ; 8} так, чтобы bn 6= ann . Пусть b = 0,b1 b2 b3 . . . .
Это число из интервала
(0; 1), при этом оно не совпадает ни с одним из
элементов множества f (n) | n ∈ N .
Полученное противоречие доказывает предложение.2
Определение. Если X ∼ (0; 1), то говорят, что X имеет мощность континуум.
Примеры множеств мощности континуум
a
x− a
y
y
1
f (x)
0
x
a
† f (x) = tg x
осуществляет
биекцию
π π
− ;
на R:
2 2
• (a; +∞) имеет мощность
континуум;
y = tg x
y
• R имеет мощность
континуум;
−
= b
x
b
y
y = ex
+a
• Любой интервал имеет мощность континуум;
x −a
† ∀ (a; b) ⊂ R функция f (x) =
осуществляет биекцию
b−a
(a; b) на (0; 1):
† f (x) = e x + a осуществляет
биекцию R на (a; +∞)
f (x)
x
f (x)
x
a
x
x
• Любой полуинтервал в R имеет мощность континуум.
y
1
† Рассмотрим полуинтервал (a; b].
x −a
осуществляет биекцию (a; b] на (0; 1], достаточно
b−a
доказать, что (0; 1] ∼ (0; 1).
Так как f (x) =
Возьмём функцию f (x) = x, которая отображает (0; 1] на себя.
x
1
0
Переопределим её в точках множества
щим образом:
x ,
f (x) =
1
n+1 ,
2
1
2n
1
n = 0, 1, 2, . . .
2n
1
если x = n , n = 0, 1, 2, . . .
2
если x ∈
/
y
n = 0, 1, 2, . . .
следую-
,
1
1
2
1
4
...
x
0 ... 1
4
1
2
Эта функция осуществляет биекцию (0; 1] на (0; 1).
Используя идею этого примера можно построить биективное отображение отрезка на интервал,
замкнутого луча на открытый луч.
Отсюда следует вывод:
Любой промежуток в R имеет мощность континуум
1
Множество R и его подмножества
11 сентября 2023 г.
Множество действительных чисел R
Считаем известными из школьного курса математики
• свойства операций сложения + и умножения · и свойства отношения порядка ≤ на R;
• тот факт, что действительные числа представимы в виде десятичных дробей, причем x ∈ Q ⊂ R
тогда и только тогда, когда x представимо в виде конечной или периодической десятичной дроби,
а x ∈ R \ Q (т. е. является иррациональным числом) тогда и только тогда, когда x представимо в
виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Особо отметим следующее свойство:
Аксиома полноты R: ∀ X , Y ⊂ R X ≤ Y ⇒ ∃ c ∈ R X ≤ {c} ≤ Y
неравенство X ≤ Y , где X и Y – множества, означает ∀ x ∈ X , y ∈ Y : x ≤ y . Например, [−1; 0] ≤ [0; 2]
и (−∞; 1) ≤ [2; +∞) – верные неравенства, а (−1; 1) ≤ [0; 3] – неверно .
(!) Заметим, что свойством полноты не обладает Q.
Пример. Рассмотрим множества X = x ∈ Q | x ≥ 0 ∧ x 2 ≤ 2 , Y = x ∈ Q | x ≥ 0 ∧ x 2 ≥ 2 . Можно
доказать, что верно неравенство√X ≤ Y , но не существует c ∈ Q, такого, что X ≤ {c} ≤ Y (этим
свойством обладает только c = 2 ∈ I = R \ Q).
Точные границы множеств
Определение.
• Число M называется верхней границей множества X ⊆ R, если ∀ x ∈ X x ≤ M .
• Множество X ⊆ R называется ограниченным сверху, если существует верхняя граница X .
1
0
Пример. Для [0; 1) любое M ≥ 1 является верхней границей:
Таким образом, [0; 1) – ограничнное сверху множесво.
Любое M < 1 не является верхней границей [0; 1) т. к. выполняется отрицание:
0
M
x
M 1
∀ x ∈ [0; 1) x ≤ M ⇔ ∃ x ∈ [0; 1) x > M:
† Символом ВГ(X ) будем
обозначать совокупность всех верхних границ множества X .
Например, ВГ [0; 1) = [1; +∞).
• Число M называется нижней границей множества X ⊆ R, если ∀ x ∈ X x ≥ M .
• Множество X ⊆ R называется ограниченным снизу, если существует нижняя граница X .
Пример. Для [0; 1) любое M ≤ 0 является нижней границей:
M
0
1
Таким образом, [0; 1) – ограничнное снизу множесво.
Любое M > 0 не является нижней границей [0; 1) т. к. выполняется отрицание:
x
0 M
1
∀ x ∈ [0; 1) x ≥ M ⇔ ∃ x ∈ [0; 1) x < M:
† Символом НГ(X ) будем
обозначать совокупность всех нижних границ множества X .
Например, НГ [0; 1) = (−∞; 0].
• Множество X ⊆ R называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.
Например, [0; 1) – ограниченное множество.
X ⊆ R ограничено ⇔ ∃ m , M ∈ R ∀ x ∈ X
m≤x ≤M ⇔ ∃M>0 ∀x ∈X
|x| ≤ M .
Примеры.
1. X =
n
x=
1
2n
o
n∈N .
– ограниченное множество.
o
n
2. X = x = 21n n ∈ Z .
11
1
0...8 4 2
11
Тогда ВГ(X ) =
1
0...8 4 2
1
2
1
2
4 ...
; +∞ , НГ(X ) = (−∞; 0];
Тогда ВГ(X ) = ∅, НГ(X ) = (−∞; 0];
– неограниченное множество (ограниченное снизу).
Определение.
df
• y = max X (наибольший элемент мн-ва X ⊆ R) ⇔
y ∈X ∧ ∀x ∈X
df
• y = min X (наименьший элемент мн-ва X ) ⇔ y ∈ X ∧ ∀ x ∈ X
x ≤y;
x ≥y.
Примеры.
• X = [0; 1). Тогда min X = 0, max X – не существует:
@ y = max X ⇔ ∃ y ∈ X ∀ x ∈ X x ≤ y ⇔ ∀ y ∈ X ∃ x ∈ X x > y
• X = x = 1n n ∈ N . Тогда max X = 1 , min X не существует;
2
2
@ y = min X ⇔ ∃ y ∈ X ∀ x ∈ X x ≥ y ⇔ ∀ y = 21n ∈ X ∃ x =
• X = x = 1n n ∈ Z . Тогда min X и max X не существуют.
2
1
2n+1
0
x
y 1
;
x <y.
Таким образом: существуют ограниченные сверху множества, не имеющие максимального элемента и
ограниченные снизу множества, не имеющие минимального элемента.
Предложение.
• Если множество X ограничено сверху, то существует min ВГ(X );
• Если множество X ограничено снизу, то существует max НГ(X ).
Доказательство. X ≤ ВГ(X ) и НГ(X ) ≤ X ⇒ (по аксиоме полноты R)
⇒ ∃ m, M ∈ R : НГ(X ) ≤ {m} ≤ X ∧ X ≤ {M} ≤ ВГ(X ) ⇒ m ∈ НГ(X ) ∧ M ∈ ВГ(X ). При этом
m = max НГ(X ), M = min ВГ(X ). 2
Определение.
• Если множество X ограничено снизу, то наибольшую из его нижних границ называют точной
нижней границей и обозначают inf X (инфимум);
• Если множество X ограничено сверху, то наименьшую из его верхних границ называют точной
верхней границей и обозначают sup X (супремум).
Определения точных границ можно записать с помощью кванторов и неравенств:
A = sup X ⇔ (∀ x ∈ X
df
x ≤ A) ∧ (∀ ε > 0 ∃ x ∈ X
x > A − ε) ;
df
x ≥ A) ∧ (∀ ε > 0 ∃ x ∈ X
x < A + ε) .
A = inf X ⇔ (∀ x ∈ X
• Если множество X не ограничено сверху (ВГ(X ) = ∅), пишут sup X = +∞;
• Если множество X не ограничено снизу (НГ(X ) = ∅), пишут inf X = −∞.
Примеры.
• sup[0; 1) = 1, inf[0; 1) = 0;
inf X
sup X
0
1
inf X sup X
• sup x =
1
2n
n ∈ N = 12 , inf
• sup x =
1
2n
n ∈ Z = +∞, inf
x=
1
2n
x=
n ∈ N = 0;
1
2n
...1 1 1
084 2
n ∈ N = 0;
inf X
...1 1 1
084 2
sup X = +∞
1
2
4
...
.
Справедливы следующие утверждения:
• ∃ max X ⇒ sup X = max X ; ∃ min X ⇒ inf X = min X ;
• sup X ∈ X ⇔ ∃ max X ; inf X ∈ X ⇔ ∃ min X .
Арифметические операции над множествами в R:
∀ X , Y ⊂ R, α ∈ R
df
X + Y = {x + y | x ∈ X , y ∈ Y } ,
df
αX = {αx | x ∈ X } .
Примеры: [−1; 1] + [2; 3] = [1; 4] ; [0; 2) + (1; 3] = (1; 5) ; 2 · [1; 2) = [2; 4) ; (−2) · [1; +∞) = (−∞; −2] .
Свойства sup и inf: Если точные границы X ⊆ R и Y ⊆ R конечны, то ∀ α, β > 0
sup αX + βY = α sup X + β sup Y ,
inf αX + βY = α inf X + β inf Y ,
(Докажите это самостоятельно)
1.
2.
sup αX − βY = α sup X − β inf Y ,
inf αX − βY = α inf X − β sup Y
Окрестности
(
Напомним, что для a, b ∈ R расстояние между a и b: ρ(a, b) =
Определение. Пусть x0 ∈ R , ε > 0.
a−b,
b − a = −(a − b) ,
a ≥ b,
a<b
)
= |a − b|.
df • ε-окрестность точки x0 : Sε (x0 ) =
x ∈ R |x − x0 | < ε = (x0 − ε; x0 + ε) . (ε – радиус окр-ти.)
◦
df • Проколотая ε-окрестность x0 : S ε (x0 ) =
x ∈ R 0 < |x − x0 | < ε = (x0 − ε; x0 ) ∪ (x0 ; x0 + ε) .
◦
Sε (x0 )
x0 − ε
x0
S ε (x0 )
x0 − ε
x0 + ε
x0
x0 + ε
Принадлежность числа x той, или иной ε-окрестности числа x0 характеризует степень близости x к x0 :
Sε (x0 ) состоит из всех чисел, которые лежат на расстоянии меньшем, чем ε от числа x0 .
Принадлежность x проколотой окрестности числа x0 означает, кроме того, что x 6= x0 .
Расширенная числовая прямая: R := R ∪ {∞, +∞, −∞}.
(!) ∞, +∞, −∞ не числа, поэтому для них не определены арифметические операции, однако, определены
Окрестности бесконечностей:
df
df
df
Sε (+∞) = {x ∈ R | x > ε} , Sε (−∞) = {x ∈ R | x < −ε} , Sε (∞) = {x ∈ R | |x| > ε} = Sε (−∞) ∪ Sε (+∞) .
Sε (+∞)
0
ε
Sε (−∞)
−ε
Sε (∞)
0
−ε
0
ε
Проколотые окрестности бесконечностей совпадают с обычными.
Предложение. Пересечение окрестностей одной точки является окрестностью этой же точки:
Sε1 (x0 ) ∩ Sε2 (x0 ) = Smin{ε1 ,ε2 } (x0 ) (верно и для проколотых окр-тей) ,
Sε1 (∞) ∩ Sε2 (∞) = Smax{ε1 ,ε2 } (∞) .
Характеристика положения точки x0 ∈ R по отношению к множеству X ⊆ R:
Определение.
df
• x0 ∈ R – внутренняя точка множества X ⇔
∃ ε > 0 Sε (x0 ) ⊆ X
x0 = 0 ∈ X не является
Sε (0)
внутренней точкой X ,
x
0 0
1
0
т. к. ∀ ε > 0 Sε (0) * X .
df
• x0 ∈ R – граничная точка X ⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ Sε (x0 ) x ∈ X ∧ ∃ x ∈ Sε (x0 ) x ∈
/X
Внутренними точками
множества X = [0; 1)
являются все x0 ∈ (0; 1).
Sε (x0 )
Sε (0)
Sε (1)
Граничными
точками
множества X = [0; 1)
0
1
x2 ∈X x3 ∈X x4 ∈X
x1 ∈X
/
/
являются 0 и 1:
x0 не является граничной точкой X ⇔ ∃ ε > 0 ∀
df
• x0 ∈ R – изолированная точка множества X ⇔
Все точки множества X =
изолированными:
x=
1
n
Других граничных
Sε (x1 ) Sε (x2 )
Sε (x3 )
точек у множества
x1 0
x2
1 x3
X = [0; 1) нет:
x ∈ Sε (x0 ) x ∈
/ X ∨ ∀ x ∈ Sε (x0 ) x ∈ X .
◦
◦
x0 ∈ X ∧ ∃ S ε (x0 ) S ε (x0 ) ∩ X = ∅
◦
n∈N
1
S ε n1
являются
1
n+1
1
n
1
n−1
◦
df
• x0 ∈ R – предельная точка множества X ⇔
∀ ε > 0 ∃ x ∈ X x ∈ S ε (x0 )
1
◦
Любое x0 6= 0 не является
X =
x=
n∈N
S (0)
−ε ε
ε
предельной точкой X т. к.
n
◦
имеет единственную пре0 1 n> 1
n
ε
∃ε>0∀x ∈X x ∈
/ S ε (x0 ).
дельную точку x0 = 0:
◦
1
n+1
◦
S ε n1
S ε(x0 )
1
n
x0
1
n−1
Предельными точками
X = [0; 1) являются все
x0 ∈ [0; 1]:
◦
◦
0
Любое x0 ∈
/ [0; 1] не является предельной точкой X т. к.
◦
S ε(0) S ε(x0 )
x0
S ε(1)
Sε (x1 )
◦
1
x1 0
∃ε>0∀x ∈X x ∈
/ S ε (x0 ).
Предельная точка множества может быть бесконечностью. Например, x0 = ∞ является предельной
точкой множества N:
◦
∀ ε > 0 ∃ x ∈ X x ∈ S ε (∞):
−ε
0
1
Sε (x2 )
1 x2
ε
2 ... n − 1 n n + 1...
С помощью введенных выше понятий определяют следующие типы подмножеств R:
Определение. Множество X называется
• открытым, если все его точки являются внутренними;
• замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки;
• промежутком, если ∀ x1 , x2 ∈ X x1 < x2 ⇒ ∀ x ∈ R (x1 < x < x2 ⇒ x ∈ X ) .
† Промежутками являются отрезки [a, b], интервалы (a, b), полуинтервалы [a, b) и (a; b], лучи (a, +∞),
(−∞, a), [a, +∞), (−∞, a] и само R.
† Среди промежутков открытыми множествами являются интервалы (a, b), лучи вида (a, +∞) и
(−∞, a), а также, R; замкнутыми – отрезки [a, b], лучи вида [a, +∞) и (−∞, a], а также, R;
полуинтервалы вида [a, b) и (a; b] не являются ни открытыми, ни замкнутыми множествами.
Предел функции в точке
18 сентября 2023 г.
Свойство функции f (x) иметь предел A в точке x0 характеризует ее поведение вблизи этой точки
следующим образом: когда x принимает значения, близкие к x0 , соответствующие значения f (x)
оказываются близкими к A. Это формализуется в виде следующего определения.
Определение (Коши). Пусть x0 ∈ R — предельная точка D(f ), A ∈ R.
◦
df
lim f (x) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ D(f ) : x ∈ S δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε (A)
x→x0
• Говорить о пределе функции f (x) в точке x0 можно только если сколь угодно близко к ней есть
точки, в которых функция определена. Поэтому в определении требуется чтобы x0 была
◦
предельной точкой D(f ) x0 – предельная точка D(f ) ⇔ ∀ δ > 0 ∃ x ∈ D(f ) x ∈ S δ (x0 ) .
x0 ∈ R, A ∈ R
f (x0 )
y
f (x
y =
)
A+ε
A
A−ε
x
x0 −δ x0 x0 +δ
• Предел функции f (x) в точке x0 характеризует поведение функции вблизи этой точки и не зависит
от f (x0 ). Это достигается за счет того, что в определении требуется чтобы f (x) ∈ Sε (A)
выполнялось для x, принадлежащих подходящей проколотой δ-окрестности точки x0 .
• В определении предела величины x0 и A могут быть как конечными, так и бесконечностями.
y
y
x0 ∈ R, A = ∞
y
x0 = ∞, A = ∞
x0 = ∞, A ∈ R
ε
x0 +δ
ε
A+ε
A
x
x0 −δ
δ
x0
x
−ε
−δ
x
−δ
A−ε
−ε
δ
x2 + 5
= 1.
x→−1 x 2 + 4x + 9
x2 + 5
Требуется доказать: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R 0 < |x + 1| < δ ⇒
−
1
<
ε
.
x 2 + 4x + 9
2
x +5
5ε
Доказательство. Пусть ε > 0. Возьмём δ =
. Пусть x ∈ R и 0 < |x + 1| < δ. Тогда 2
−1 =
4
x + 4x + 9
2
2
x + 5 − x − 4x − 9
−4x − 4
4|x + 1|
4|x + 1|
4
4 5ε
=
= 2
=
≤
< δ= ·
= ε. 2
x 2 + 4x + 9
x + 4x + 9
(x + 2)2 + 5
5
5
5 4
Пример. Доказать, пользуясь определением предела по Коши, равенство lim
В дальнейшем мы часто будем использовать следующее свойство модуля: ∀ a, b ∈ R |a + b| ≤ |a| + |b|
Из этого свойства следует ∀ a, b ∈ R |a − b| ≥ |a| − |b| ≥ |a| − |b|
Действительно, |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|.
2x + 3
= 2.
x −1
2x + 3
−2 <ε .
x −1
Пример. Доказать, пользуясь определением предела по Коши, равенство x→∞
lim
Требуется доказать: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R \ {1}
|x| > δ ⇒
2x + 3
5
+ 1. Пусть x ∈ R \ {1} и |x| > δ. Тогда
−2 =
ε
x −1
5
5
5
5
2x + 3 − 2x + 2
=
≤
<
=
= ε. 2
=
|x − 1|
|x| − 1
δ−1
5/ε
x −1
Доказательство. Пусть ε > 0. Возьмём δ =
Определение (Гейне). Пусть x0 ∈ R – предельная точка D(f ), A ∈ R.
lim f (x) = A
x→x0
df
⇔
∀ {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 }
lim xn = x0 ⇒
n→∞
lim f (xn ) = A) .
n→∞
Теорема. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f )
(K )
◦
x ∈ S δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε (A)
∀ {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 }
⇔
(Γ)
lim xn = x0 ⇒
n→∞
lim f (xn ) = A)
n→∞
Доказательство. (K ) ⇒ (Γ). Пусть {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 } и lim xn = x0 . Докажем lim f (xn ) = A.
n→∞
n→∞
Возьмем ε > 0. Пользуясь условием (K), выберем δ > 0 так, чтобы
◦
∀ x ∈ D(f ) : x ∈ S δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε (A) .
(1)
Пользуясь определением предела последовательности, выберем N ∈ N так, чтобы ∀ n > N xn ∈ Sδ (x0 ).
◦
Так как {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 }, будет выполняться ∀ n > N xn ∈ S δ (x0 ). Отсюда и из условия (1) следует
что ∀ n > N f (xn ) ∈ Sε (A). Таким образом, доказали:
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N f (xn ) ∈ Sε (A) , то есть
lim f (xn ) = A .
n→∞
(Γ) ⇒ (K ). Предположим, что (Γ) верно, а (K ) неверно, то есть
◦
∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ∈ D(f )
x ∈ S δ (x0 ) ∧ f (x) ∈
/ Sε (A)
Возьмем такое ε > 0. Для каждого δn =
◦
1
, n ∈ N, выберем xn ∈ D(f ) так, чтобы
n
xn ∈ S δn (x0 ) ∧ f (xn ) ∈
/ Sε (A) . Построили {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 }, так, что lim xn = x0 . Значит, по условию
n→∞
(Γ), lim f (xn ) = A ⇒ ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N f (xn ) ∈ Sε (A). Противоречие ⇒ (K ) верно. 2
n→∞
Определение предела по Гейне удобно использовать для доказательства того, что предел не существует.
Предложение (следствие определения предела по Гейне)
∃ {xn′ }, {xn′′ } ⊆ D(f ) \ {x0 }
lim xn′ = lim xn′′ = x0 ∧ lim f (xn′ ) ̸= lim f (xn′′ )
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
⇒ ∄ lim f (x) .
x→x0
π
+ 2πn. Тогда lim xn′ = lim xn′′ = ∞. При
n→∞
n→∞
2
′
этом, sin xn′ = 0, sin xn′′ = 1, значит, lim sin xn = 0 ̸= lim sin xn′′ = 1. Следовательно ∄ lim sin x.
Пример. Рассмотрим x→∞
lim sin x. Пусть xn′ = πn, xn′′ =
n→∞
n→∞
x→∞
1
1
1
. Тогда lim xn′ = lim xn′′ = 0. При
Пример. Рассмотрим lim sin . Пусть xn′ = , xn′′ = π
n→∞
n→∞
x→0
πn
+
2πn
x
2
1
1
1
1
1
этом, sin ′ = 0, sin ′′ = 1, значит, lim sin ′ = 0 ̸= lim sin ′′ = 1. Следовательно ∄ lim sin .
n→∞
n→∞
x→0
xn
xn
xn
xn
x
y
1
График функции y = sin x1 :
−2
−1
0
−1
1
2
x
Определение (Предел функции в точке по подмножеству)
Пусть M ⊆ D(f ), x0 предельная
df
точка M, A ∈ R.
A = lim f (x) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ M
x→x0
x∈M
◦
x ∈ S δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε (A)
.
Теорема. ∃ x→x
lim f (x) = A ⇔ ∀ M ⊆ D(f ) [такого, что x0 пред. точка M] lim f (x) = A .
x→x
0
x∈M
0
Определение (Односторонние пределы)
df
• f (x0 + 0) =
df
• f (x0 − 0) =
lim
x→x0
x∈(x0 ;+∞)∩D(f )
f (x) – правосторонний предел f в точке x0 ∈ R
lim
x→x0 +0
lim
x→x0
x∈(−∞;x0 )∩D(f )
f (x) – левосторонний предел f в точке x0 ∈ R
lim
x→x0 −0
f (x) ,
f (x) .
Определения односторонних пределов можно сформулировать на языке окрестностей (по Коши):
df
• f (x0 + 0) = A ⇔
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f ) 0 < x − x0 < δ ⇒ f (x) ∈ Sε (A) ;
df
• f (x0 − 0) = A ⇔
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f )
− δ < x − x0 < 0 ⇒ f (x) ∈ Sε (A) .
◦
x ∈R
0 < x − x0 < δ = (x0 ; x0 + δ) = S δ (x0 ) ∩ (x0 ; +∞) – правосторонняя δ-окрестность точки x0 ;
x ∈R
− δ < x − x0 < 0 = (x0 − δ; x0 ) = S δ (x0 ) ∩ (−∞; x0 ) – левосторонняя δ-окрестность точки x0 .
◦
y
Пример.
1 ,
df
f (x) = sgn x = 0 ,
−1 ,
1
x > 0,
x = 0,
x < 0,
f (0 − 0) = −1 ,
−2
−1
0
1
2 x
f (0 + 0) = 1.
−1
Теорема (критерий существования предела через односторонние)
∃ lim f (x) = A ∈ R ⇔
x→x0
∃ f (x0 + 0) ∧ ∃ f (x0 − 0) ∧ f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = A .
Доказательство. (⇒) Следует из связи между пределом функции в точке и пределами по
подмножествам.
(⇐) Пусть ε > 0. Выберем δ1 > 0 и δ2 > 0 так, чтобы для любого x ∈ D(f ) выполнялись импликации
0 < x − x0 < δ1 ⇒ f (x) ∈ Sε (A) ∧
− δ2 < x − x0 < 0 ⇒ f (x) ∈ Sε (A) .
◦
Положим δ = min{δ1 , δ2 }. Тогда для любого x ∈ S δ (x0 ) либо 0 < x − x0 < δ1 , либо −δ2 < x − x0 < 0,
следовательно, f (x) ∈ Sε (A).
Таким образом, доказано ◦
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f ) x ∈ S δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε (A) . То есть lim f (x) = A . 2
x→x0
Пример. Для f (x) = sgn x выполняется f (0 − 0) ̸= f (0 + 0) , следовательно, ∄ lim f (x).
x→0
Определение.
Точные границы
функции наn множестве: o
n
o
df
df
inf f (x) = inf f (x)
X
x ∈X
,
sup f (x) = sup f (x)
x ∈X
.
X
Теорема Вейерштрасса (о монотонной функции). Пусть функция f (x) монотонна на (a; b), где
a, b ∈ R. Тогда cуществуют f (a + 0) и f (b − 0). При этом
inf f (x) ,
f (a + 0) = (a;b)
y
f ↑ на (a; b) ⇒
sup f (x)
(a;b)
f (b − 0) = sup f (x) .
(a;b)
f (a + 0) = sup f (x) ,
(a;b)
inf f (x)
f ↓ на (a; b) ⇒
(a;b)
a
f (b − 0) = inf f (x) .
(a;b)
y
(x )
y =f
y
sup f (x)
(a;b)
=
f(
x)
inf f (x)
bx
(a;b)
a
b x
(!) Заметим, что a, b, inf f (x) и sup f (x) могут быть конечными, а могут быть равны +∞ или −∞.
(a;b)
(a;b)
Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы. Пусть f ↑ на (a; b), a, b ∈ R и
inf f (x) = A ∈ R. Докажем, что f (a + 0) = A.
(a;b)
n
o
Пусть ε > 0. По определению inf f (x) x ∈ (a; b) найдётся x0 ∈ (a; b) такое, что A ≤ f (x0 ) < A + ε.
Положим δ = x0 − a. Тогда 0 < x − a < δ ⇒ a < x < x0 ⇒ A − ε < A ≤ f (x) ≤ f (x0 ) < A + ε, т. е.
f (x) ∈ Sε (A).
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ (a; b) 0 < x − a < δ ⇒ f (x) ∈ Sε (A) .
(Докажите остальные утверждения и рассмотрите другие возможные случаи самостоятельно)
Свойства предела функции в точке
25 сентября 2023 г.
Всюду далее мы полагаем по умолчанию, что функции, о которых идет речь определены на некоторой
проколотой окрестности точки x0 . Тогда определение предела по Коши можно сформулировать
◦
df
следующим образом: lim f (x) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ∈ Sε (A).
x→x0
Теорема 1 (о
единственности предела).
A, B, x0 ∈ R,
A = lim f (x) ∧ B = lim f (x)
x→x0
x→x0
⇒ A=B.
Доказательство. Рассмотрим случай A, B, x0 ∈ R. Предположим A ̸= B (A < B). Пусть ε =
◦
◦
B −A
.
2
Возьмем δ1 > 0 и δ2 > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) f (x) ∈ Sε (A) ∧ ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) f (x) ∈ Sε (B) (такие δ1
и δ2 существуют по определению предела). Тогда
◦
◦
◦
∀ x ∈ S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ) f (x) ∈ Sε (A) ∧ f (x) ∈ Sε (B). Но тогда
B −A
A+B
B −A
A − ε < f (x) < A + ε = A +
=
=B−
= B − ε < f (x) < B + ε. Противоречие.
2
2
2
Следовательно, A = B. 2
Доказательство. Пусть ε > 0. Возьмем δ1 > 0 так, что ∀ x
◦
◦
◦
)
x)
f (x
f (x) = g (x).
Выберем по определению предела δ2 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) f (x) ∈ Sε (A). Пусть
◦
y
g(
x→x0
◦
∈ S δ1 (x0 )
y
x→x0
y =
◦
∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) = g (x) ⇒ ∃ lim f (x) = A ⇒ lim g (x) = A
=
Теорема 2 (о переходе к пределу в равенстве (о локальности предела))
A
◦
S δ (x0 ) = S δ1 (x0 )∩ S δ2 (x0 ). Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) g (x) = f (x) ∈ Sε (A). Таким образом,
◦
доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) g (x) ∈ Sε (A). 2
0
x0 −δ x0 x0 +δ
x
Определение. Функция называется ограниченной, если ∃ M > 0 ∀ x ∈ D(f ) |f (x)| ≤ M .
y
Пример. Функция f (x) = sin x ограничена,
т. к. ∃ M = 1 ∀ x ∈ R | sin x| ≤ 1.
−π
1
π
0
x
−1
y
M+1
M
1
не ограничена,
x
1
1
т. к. ∀ M > 0 ∃ x ∈ D(f ) |f (x)| > M
x = M+1
, f M+1
=M +1 .
Пример. Функция f (x) =
0
1
M+1
−M
Определение. Функция f называется локально ограниченной в точке x0 , если
◦
∃ δ > 0 , M > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) |f (x)| ≤ M
(функция ограничена на некоторой окрестности точки x0 ).
x
Действительно, каким бы ни были M > 0 и δ > 0,
◦
1
1
можно
взять x ∈ S δ (0) так, чтобы было |x| < M
и
Пример. f (x) = локально ограничена в любой
x
1
>
M:
тогда
будет
выполняться
|f
(x)|
=
точке x0 ̸= 0.
x
y
y
M
f (x0 )
0
x0
◦
M
x
S δ (x0 )
0
−M
◦
1
S δ (x0 ) M
При этом она не является локально ограниченной в
точке x0 = 0, т. к.
◦
∀ M > 0, δ > 0 ∃ x ∈ S δ (0) |f (x)| > M .
−M
x
lim f (x) = A ∈ R, то функция f (x) - локально ограничена в точке x0 .
Теорема 3 Если ∃ x→x
0
◦
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0 и выберем δ > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ∈ Sε (A) .
◦
Возьмем M > 0 такое, что Sε (A) ⊂ [−M; M], тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) |f (x)| ≤ M. Таким образом, доказали:
◦
∃ δ > 0 , M > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) |f (x)| ≤ M . 2
Обратная теорема не верна!
y
1
Контрпример: f (x) = sin x1 ограничена
глобально, т. е. на всей D(f ) = R \ {0} .
−2
0
−1
1
2
x
Следовательно f (x) локально ограничена в
любой точке, в частности, в точке x0 = 0.
При этом ∄ lim sin x1 .
x→0
−1
Теорема 4 (о перенесении неравенства между пределами на функции)
lim f (x) = A ∧ lim g (x) = B ∧ A < B
x→x0
x→x0
Доказательство. Возьмем ε =
⇒
◦
∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) < g (x)
B −A
.
2 ◦
◦
Выберем δ1 > 0 и δ2 > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) f (x) ∈ Sε (A) ∧ ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) g (x) ∈ Sε (B) .
◦
◦
◦
◦
Пусть S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ∈ Sε (A) ∧ g (x) ∈ Sε (B) .
◦
B −A
A+B
B −A
=
=B−
= B − ε < g (x) < B + ε . 2
Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) A − ε < f (x) < A + ε = A +
2
2
2
y
Следствие 1.
A+ε=B−ε=
y = g (x
)
B+ε
B
A+B
2
A
y =
A−ε
◦
(<)
(<)
lim f (x) > 0 ⇒ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) > 0.
x→x0
)
f (x
Утверждение вытекает из теоремы, если взять
g (x) ≡ 0.
Следствие 2.
0
x0 −δ1 x0 x0 +δ1
x0 −δ2 x0 +δ2
x
◦
lim f (x) ̸= 0 ⇒ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ̸= 0.
x→x0
Теорема 5 (о предельном переходе в неравенстве)
◦
∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ≤ g (x) ∧ ∃ lim f (x) = A ∧ ∃ lim g (x) = B
x→x0
x→x0
⇒ A≤B.
Доказательство. (От противного) Предположим, что выполнено условие теоремы и A > B. Тогда (по
◦
теореме о перенесении неравенства между пределами на функции) ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) > g (x), но
это противоречит условию, следовательно, утверждение теоремы верно. 2
◦
Замечание. ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) < g (x) ∧ ∃ lim f (x) = A ∧ ∃ lim g (x) = B ⇒ A ≤ B .
x→x0
x→x0
Т. е. при переходе к пределу в строгом неравенстве, получается, вообще говоря, нестрогое. Например, в
◦
любой S δ (0) выполнено −x 2 < x 2 , при этом lim −x 2 < lim x 2 неверно, т. к. оба предела равны 0.
x→0
x→0
Теорема 6 (о пределе промежуточной функции) Пусть A ∈ R ∪ {−∞; +∞}.
◦
∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ≤ φ(x) ≤ g (x) ∧ ∃ lim f (x) = A ∧ ∃ lim g (x) = A
x→x0
f (x) ≤ φ(x) ≤ g (x)
⇒ ∃ lim φ(x) = A.
x→x0
x→x0
Доказательство. Пусть ε > 0. Пользуясь определением предела, выберем δ1 > 0
◦
◦
так, что ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) f (x) ∈ Sε (A), а δ2 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) g (x) ∈ Sε (A).
◦
A
Пусть δ3 > 0 такое, что ∀ x ∈ S δ3 (x0 ) f (x) ≤ φ(x) ≤ g (x).
◦
◦
◦
◦
◦
Пусть S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩
S δ2 (x0 ) ∩ S δ3 (x0 ). Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 )
f (x) ∈ Sε (A)
g (x) ∈ Sε (A)
⇒ φ(x) ∈ Sε (A) т. к. Sε (A) – промежуток.
f (x) ≤ φ(x) ≤ g (x)
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) φ(x) ∈ Sε (A) . 2
Теорема 7 (об арифметике предельного перехода)
Пусть ∃ lim f (x) = A ∈ R ∧ ∃ lim g (x) = B ∈ R, тогда
x→x0
x→x0
1 ∀ α, β ∈ R ∃ lim αf (x) + βg (x) = αA + βB ,
x→x0
2 ∃ lim f (x) · g (x) = A · B ,
x→x0
f (x)
A
=
.
g (x)
B
Доказательство. 1. Пусть ε > 0. a) Если α = β = 0, утверждение очевидно.
b) Если α ̸= 0, а β = 0, пользуясь определением предела, выберем δ > 0 так, что
◦
◦
ε
ε
. Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) αf (x) − αA = |α| f (x) − A < |α|
= ε.
∀ x ∈ S δ (x0 ) |f (x) − A| <
|α|
|α|
3 Если B ̸= 0, то ∃ lim
x→x0
◦
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) αf (x) ∈ S ε (αA).
c) Если α ̸= 0 и β ̸= 0, пользуясь определением предела, выберем
◦
ε
,
δ1 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) |f (x) − A| <
◦
◦
◦
2|α|
Пусть δ > 0 такое, что S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ).
◦
ε
.
δ2 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) |g (x) − B| <
2|β|
◦
Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 )
αf (x) + βg (x) − αA + βB = α f (x) − A + β g (x) − B ≤
≤ |α| f (x) − A + |β| g (x) − B < |α|
ε
ε
ε
ε
+ |β|
= + = ε.
2|α|
2|β|
2
2
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S(x0 ) αf (x) + βg (x) ∈ Sε αA + βB .
2. Пусть ε > 0. a) Пусть один из пределов равен нулю, например, B = 0. Возьмём такие M > 0 и δ1 > 0,
◦
что ∀ x ∈ S(x0 ) |f (x)| ≤ M (они существуют, т. к. f (x) локально ограничена в точке x0 ). Пользуясь
◦
ε
. Пусть δ > 0 такое, что
определением предела, возьмём δ2 > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S 2 (x0 ) |g (x)| <
M
◦
◦
◦
◦
ε
S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x) <
· M = ε.
M
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x) ∈ Sε (0).
b) Пусть A ̸= 0 и B ̸= 0. Для выбора δ > 0 воспользуемся оценкой f (x)g (x) − AB =
|
{z
}
= f (x)g (x)−Ag (x)+Ag (x)−AB ≤ f (x)g (x)−Ag (x) + Ag (x)−AB = |g (x)| f (x) − A + |A| g (x) − B (∗)
| {z }
|
{z
}
Т. к. g (x) локально ограничена в точке x0 , возьмём M > 0 и δ1 > 0 так, чтобы выполнялось
◦
∀ x ∈ S δ1 (x0 ) |g (x)| < M. Пользуясь определением предела, выберем δ2 > 0 так, чтобы
◦
◦
ε
ε
, и δ3 > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S δ3 (x0 ) g (x) − B <
. Пусть δ > 0 такое,
∀ x ∈ S δ2 (x0 ) f (x) − A <
2M
2|A|
◦
◦
◦
◦
◦
(∗)
что S δ (x0 ) = S δ1 (x0 )∩ S δ2 (x0 )∩ S δ3 (x0 ). Тогда ∀x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x)−AB ≤ |g (x)| f (x)−A +|A| g (x)−B <
ε
ε
ε
ε
<M·
+ |A| ·
= + = ε.
2M
2|A|
2
2
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x) ∈ Sε (AB).
3. Пусть lim f (x) = A ∈ R ∧ lim g (x) = B ∈ R ∧ B ̸= 0.
x→x0
x→x0
1
1
= .
a) Докажем что lim
x→x0 g (x)
B
Пусть ε > 0. Без ограничения общности, пусть B > 0. По следствию из теоремы о перенесении
неравенства между пределами на функции, g (x) > 0 на некоторой окрестности точки x0 . Более того,
"
#
3B
B
◦
0
B
3B
2
2
B
x
можем взять δ1 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) g (x) ∈ SB/2 (B) ⇔
< g (x) <
.
2
2
◦
εB 2
Пользуясь определением предела, выберем δ2 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) g (x) − B <
.
2
◦
◦
◦
Пусть δ > 0 такое, что S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда
2
εB
g (x) − B
B − g (x)
=
< 22 = ε.
B
g (x)B
g (x)B
2
◦
1
1
∈ Sε
.
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 )
g (x)
B
b) Из доказанного в п. a) и доказанной теоремы о пределе произведения следует, что
f (x)
1
1
A
= lim f (x) ·
существует и равен A ·
= .2
lim
x→x0 g (x)
x→x0
g (x)
B
B
◦
∀ x ∈ S(x0 )
1
1
−
g (x)
B
=
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x0 ∈ R, если x→x
lim f (x) = 0 .
0
Функция f (x) называется бесконечно большой в точке x0 ∈ R, если lim f (x) = ∞.
x→x0
• Одна и та же функция может быть б. м. в одной точке и б. б. в другой;
1
Пример. Функция f (x) = является бесконечно малой в точке ∞ и бесконечно большой в точке 0.
x
• Последовательность {xn } называется б. м., если lim xn = 0 и б. б., если lim xn = ∞.
n→∞
n→∞
1
Пример. xn = – б. м., xn = n – б. б.
n
Из теорем о свойствах функций, имеющих конечный предел в точке, вытекают следующие теоремы о
бесконечно малых.
Теорема. Если функция f (x) бесконечно малая в точке x0 , то она является локально ограниченной в
точке x0 .
Теорема (об арифметике б. м.). Пусть f (x) и g (x) бесконечно малые функции в точке x0 ∈ R,
тогда
1 ∀ α, β ∈ R αf (x) + βg (x) – бесконечно малая функция в точке x0 ;
2 f (x) · g (x) - бесконечно малая функция в точке x0 .
Теорема (о произведении б. м. на локально ограниченную) Пусть функция f (x) – бесконечно
малая в точке x0 ∈ R, а функция g (x) локально ограничена в точке x0 , тогда f (x) · g (x) является
бесконечно малой в точке x0 .
◦
Доказательство. Пусть ε > 0. Возьмём M > 0 и δ1 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) |g (x)| ≤ M (по
◦
ε
(по определению
определению локальной ограниченности), а δ2 > 0 так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 ) |f (x)| <
M
◦
◦
◦
предела функции в точке). Пусть δ > 0 такое, что S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда
◦
ε
∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x) < M ·
= ε.
M
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x)g (x) ∈ Sε (0). 2
• Если f (x) б. б. в точке x0 ∈ R, то она не является локально ограниченной в этой точке;
(Докажите это самостоятельно)
• Обратное утверждение неверно.
1
1
Пример. f (x) = sin .
x
x
f (x) не является локально ограниченной в точке 0 т. к. какой бы ни была константа M > 0, в любой
◦
1
S δ (0) найдётся точка xn = π
, где f (xn ) = π2 + πn > M.
+ πn
2
1
lim xn = 0 ∧ lim f (xn ) = 0 ̸= ∞.
lim f (x) ̸= ∞ т. к., например, ∃ {xn } ⊂ D(f ) \ {0} xn =
n→∞
n→∞
x→0
πn
Теорема (о связи бесконечно малой и бесконечно большой в одной точке функций)
1
является бесконечно малой в точке x0 .
f (x)
◦
1
2. Если f (x) бесконечно малая в точке x0 ∈ R и f (x) ̸= 0 на некоторой S δ (x0 ), то
является
f (x)
бесконечно большой в точке x0 .
◦
◦
1
Доказательство. 1. Пусть ε > 0. Выберем δ > 0 так, что ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) > . Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 )
ε
◦
1
1
1
< ε. Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 )
< ε, т. е. lim
= 0.
x→x0 f (x)
f (x)
f (x)
◦
◦
1
2. Пусть ε > 0. Выберем δ > 0 так, что ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) ̸= 0 ∧ f (x) < . Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 )
ε
◦
1
1
1
> ε, т. е. lim
= ∞. 2
> ε. Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 )
x→x0 f (x)
f (x)
f (x)
1. Если f (x) – бесконечно большая в точке x0 ∈ R, то
Теорема (о представлении функции, имеющей конечный предел в точке)
lim f (x) = A ∈ R ⇔ ∃ α(x) – б. м. в точке x0 функция, такая, что f (x) = A + α(x).
x→x0
Доказательство.
(⇐) очевидно следует из теоремы об пределе суммы.
(⇒) Пусть lim f (x) = A ∈ R. Положим α(x) = f (x) − A. Тогда lim α(x) = 0 ∧ f (x) = A + α(x). 2
x→x0
x→x0
Сравнение бесконечно малых
f (x)
нельзя
g (x)
0
(не выполнены условия теоремы о пределе частного) Говорят: имеет место неопределенность
0
1
Пример. Рассмотрим функции f1 (x) = x , f2 (x) = 2x , f3 (x) = x 2 , f4 (x) = x sin . Все они являются б. м.
x
f2 (x)
f3 (x)
f1 (x)
f4 (x)
= 2 , lim
= 0 , lim
= ∞ , lim
не существует.
в точке 0. При этом lim
x→0 f1 (x)
x→0 f1 (x)
x→0 f3 (x)
x→0 f1 (x)
Если f (x) и g (x) б. м. в точке x0 функции, то в общем случае ничего сказать о lim
x→x0
Определение. Пусть f (x) и g (x) бесконечно малые в точке x0 функции.
f (x)
f (x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем g (x) в точке x0 , если lim
= 0.
x→x0 g (x)
обозначение: f (x) = o g (x) , x → x0 – f (x) есть o-малое от g (x) при x → x0 .
f (x)
f (x) и g (x) называются эквивалентными бесконечно малыми в точке x0 , если lim
= 1.
x→x0 g (x)
обозначение: f (x) ∼ g (x) , x → x0 .
f (x)
= c ̸= 0.
g (x)
f (x)
f (x) и g (x) являются несравнимыми бесконечно малыми в точке x0 , если lim
не существует.
x→x0 g (x)
f (x) и g (x) являются сравнимыми бесконечно малыми в точке x0 , если lim
x→x0
f (x)
= ∞, то из теоремы о связи между
g (x)
бесконечно малой и бесконечно большой в одной точке функциями следует g (x) = o f (x) , x → x0 .
• Заметим, что равенство g (x) = o f (x) не имеет смысла, если не указано, в какой точке оно
рассматривается. Например,
x 2 (x − 1)
x
= lim
= 0, но
x 2 (x − 1) = o x(x − 1)2 , x → 0 ⇐ lim
x→0 x(x − 1)2
x→0 x − 1
x(x − 1)2
x −1
x(x − 1)2 = o x 2 (x − 1) , x → 1 ⇐ lim 2
= lim
= 0.
x→1 x (x − 1)
x→1
x
• Равенство g (x) = o f (x) , x → x0 «читается» только слева направо.
Например, равенство o(x) = x 2 , x → 0 неверно, так как, хотя x 2 = o(x) , x → 0, в то же время
x 3 = o(x) , x → 0, x sin x = o(x) , x → 0 и т. п.
• Если f (x) и g (x) – б. м. в точке x0 функции и lim
x→x0
Техника вычисления пределов
2 октября 2023 г.
Теоретические основы техники вычисления lim f (x)
x→x0
1 Использование свойства непрерывности функции f (x) в точке x0 ;
• Определение. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 ∈ R, если
∃ lim f (x) ∧ lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
•
x→x0
Теорема. Любая элементарная функция f (x) непрерывна в любой предельной точке D(f ),
принадлежащей D(f ).
√
√
x +2−2
7+2−2
1
Пример. lim
=
= .
x→7
x −2
7−2
5
2 Использование теорем о пределах:
• об арифметике предельного перехода;
• о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших;
h
i
sin x
1
Пример. x→∞
lim
= lim sin x · = огр. · б.м. = 0.
x→∞
x
x
3 Если
«не работают» средства из пп. 1 и 2, говорят, что имеет место неопределённость, например,
0 h∞i
,
, [∞ − ∞] , [0 · ∞] и другие. Тогда используют различные приёмы разрешения
0
∞
неопределённостей. Базовыми являются:
• простейшие (арифметические);
• с использованием т. н. замечательных пределов.
Простейшие приёмы разрешения неопределённостей
x 2 + 4x − 12
0
2+6
8
2
(x − 2)(x + 6)
x +6
=
= lim
= lim 2
=
=
= .
x→2
x→2 (x − 2)(x 2 + 2x + 4)
x→2 x + 2x + 4
x3 − 8
0
4+4+4
12
3
√
√
√
0
( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)
x +2−4
x +2−2
√
√
=
= lim
= lim
=
2 lim
x→2
x→2 (x − 2)( x + 2 + 2)
x→2
0
x −2
(x − 2)( x + 2 + 2)
x −2
1
1
√
= lim
= lim √
= .
x→2 (x − 2)( x + 2 + 2)
x→2
4
x +2+2
h∞i
2 + x32 − x14
2 + б.м.
2
2x 4 + 3x 2 − 1
=
=
lim
= lim
= .
3 lim
1
4
5
1
x→∞ 3 −
x→∞ 3 + б.м.
x→∞ 3x 4 − x 3 + 4x 2 − 5x + 1
∞
3
+
−
+
x
x2
x3
x4
√
√
2
2
2
p
x +x −x
x +x +x
x + x − x2
√
= lim √
=
4
lim
x 2 + x − x = [+∞ − (+∞)] = lim
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x2 + x + x
x2 + x + x
h
i
x
∞
1
1
= lim √
=
= lim q
= .
x→+∞
x→+∞
1
∞
2
x2 + x + x
1+ x +1
1
lim
• Заметим, что ситуации [+∞ + (+∞)] и [−∞ + (−∞)] не являются неопределённостями.
Теорема. Пусть x0 ∈ R, x→x
lim f (x) = lim g (x) = +∞ (−∞). Тогда lim f (x) + g (x) = +∞(−∞).
x→x
x→x
0
0
0
◦
ε
2
и
Пусть S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) + g (x) >
ε
2
Доказательство. Пусть ε > 0. Выберем δ1 > 0 и δ2 > 0 так, чтобы ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) f (x) >
◦
∀ x ∈ S δ2 (x0 ) g (x) >
ε
.
2
◦
◦
◦
◦
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) + g (x) ∈ Sε (+∞) 2
◦
+
ε
2
= ε.
Утверждение доказанной теоремы кратко записывают в виде символических формул:
[+∞ + (+∞)] = +∞ , [−∞ + (−∞)] = −∞
Пример. lim
x→−∞
p
x 2 + x − x = [+∞ + (+∞)] = +∞.
p
p
1
• В силу того, что lim
x 2 + x − x = предел lim
x 2 + x − x не существует. Это следует
x→∞
x→+∞
2
из следующего очевидного утверждения:
Предложение. x→∞
lim f (x) = A ∈ R ⇔
lim f (x) = A ∧
x→+∞
lim f (x) = A.
x→−∞
Отметим ещё несколько символических формул, которые мы будем использовать:
[∞ + (лок. огр.)] = ∞ , [+∞ + (лок. огр.)] = +∞ , [−∞ + (лок. огр.)] = −∞
(Самостоятельно сформулируйте и докажите соответствующие теоремы)
• Простейшие приёмы разрешения неопределённостей «работают» не всегда.
Примеры: lim
x→0
sin x
=
x
0
tg x
0
arctg x
0
, lim
=
, lim
=
.
x→0 x
x→0
0
0
x
0
Замечательные пределы
Теорема (Первый замечательный предел)
lim
x→0
sin x
=1
x
sin x
sin x
чётная, поэтому достаточно доказать что lim
= 1.
x→0+0 x
x
π
Пусть x ∈ 0;
. Рассмотрим единичную окружность с центром (0; 0) на координат2
ной плоскости. Отложим от положительного направления оси абсцисс угол x радиан.
Рассмотрим треугольник OAB, сектор круга OAB и треугольник OCB. Имеют место
вложения: △OAB ⊆ сект. OAB ⊆ △OCB ⇒ S△OAB ≤ Sсект. OAB ≤ S△OCB ⇔
1
1
1
sin x
x
tg x
⇔ OA · OB · sin x ≤ OA2 · x ≤ OB · CB ⇔
≤ ≤
⇔ sin x ≤ x ≤ tg x.
2
2
2
2
2
2
Доказательство. Функция
C
A
x
O
B
1
Отметим следующее отсюда неравенство ∀ x ∈ R | sin x| ≤ |x| (∗) Переходя к обратным величинам,
получим:
1
cos x
1
sin x
x
x 2
|x|2
≥ ≥
⇒ cos x ≤
≤ 1 (∗∗) . Из неравенств 0 ≤ 1 − cos x = 2 sin2 ≤ 2 ·
=
, по
sin x
x
sin x
x
2
2
2
теореме о пределе промежуточной функции, следует lim (1 − cos x) = 0, т. е. lim cos x = 1. Поэтому, по
x→0
x→0
теореме о пределе промежуточной функции, из равенства (∗∗) следует lim
x→0
sin x
= 1. 2
x
Следствия из первого замечательного предела:
1
tg x
sin x
= lim
·
=1
x→0
x→0 x
x→0 x
cos x
!
arcsin x
arcsin x
t
1
arcsin x = t
2 lim
= 1 ⇐ lim
=
= lim
= lim sin t = 1
x = sin t
x→0
x→0
t→0 sin t
t→0
x
x
t
!
t
1
arctg x
arctg x
arctg x = t
= lim
= lim tg t = 1
=
3 lim
= 1 ⇐ lim
x = tg t
t→0 tg t
t→0
x→0
x→0
x
x
t
!2
2 sin2 x2
sin x2
1
1 − cos x
1
1
1
−
cos
x
4 lim
=
⇐ lim
= lim
=
lim
=
x
x→0
x→0
x→0
x2
2
x2
x2
2 x→0
2
2
1
lim
tg x
=1
x
⇐
lim
Первый замечательный предел и его следствия можно записать в терминах эквивалентности б. м.:
y
y = tg x
y =x
1 sin x ∼ x , x → 0 ,
y
y = arcsin x
y =x
y = arctg x
y = sin x
2 tg x ∼ x , x → 0 ,
3 arcsin x ∼ x , x → 0 ,
4 arctg x ∼ x , x → 0 ,
x
x
y
y =
5 1 − cos x ∼
x2
, x → 0.
2
x2
y = 1 − cos x
2
1
x
0
Пользуясь первым замечательным пределом и его следствиями получаем асимптотические формулы:
1 sin x = x + o(x) , x → 0 ,
sin x − x
sin x
Действительно, sin x − x = o(x) , x → 0 т. к. lim
= lim
−1 =1−1=0
x→0
x→0
x
x
y
y =x
o(x) {
при x → 0
Эта формула даёт качественную
оценку поведения погрешности
приближения функции y = sin x
функцией y = x при x → 0.
Геометрическая иллюстрация:
y = sin x
x
Аналогично получаются формулы
2 tg x = x + o(x) , x → 0 ,
tg x
tg x − x
tg x − x = o(x) , x → 0 т. к. lim
= lim
−1 =1−1=0
x→0
x→0
x
x
3 arcsin x = x + o(x) , x → 0 ,
arcsin x − x
arcsin x
arcsin x − x = o(x) , x → 0 т. к. lim
= lim
−1 v =1−1=0
x→0
x→0
x
x
4 arctg x = x + o(x) , x → 0 ,
arctg x − x
arctg x
arctg x − x = o(x) , x → 0 т. к. lim
= lim
−1 =1−1=0
x→0
x→0
x
x
x2
5 cos x = 1 −
+ o(x 2 ) , x → 0 .
2
cos x − 1 −
2
x
2
cos x − 1 −
= o(x ) , x → 0 т. к. lim
x→0
x2
2
x2
2
= lim
x→0
cos x − 1
1
+
x2
2
1
1
= − + = 0
2
2
Степенно-показательная функция:
df
y = f (x)g (x) = e g (x) ln f (x)
Область определения:
n
x ∈ D(f ) ∩ D(g )
o
f (x) > 0 .
Пусть x0 ∈ R, lim f (x) = a, lim g (x) = b. Тогда
x→x0
x→x0
• ∀ a > 0, b ∈ R lim f (x)g (x) = ab ;
x→
(следует из непрерывности функций y = ln x и y = e x во всех точках из их областей определения)
(
(
−∞ 0,
a > 1,
+∞ , a > 1 ,
• a+∞ =
a
=
+∞ , 0 < a < 1 .
0,
0 < a < 1,
lim e x = +∞ и lim e x = 0, получаем:
h
ix→−∞
a > 1, b = +∞ ⇒ lim g (x) ln f (x) = + ∞ · ln a = +∞ ⇒ lim e g (x) ln f (x) = +∞ ,
x→x0
∨
x→x0
0
h
i
0 < a < 1, b = +∞ ⇒ lim g (x) ln f (x) = + ∞ · ln a = −∞ ⇒ lim e g (x) ln f (x) = 0 ,
x→x0
∧
x→x0
h
i 0
a > 1, b = −∞ ⇒ lim g (x) ln f (x) = − ∞ · ln a = −∞ ⇒ lim e g (x) ln f (x) = 0 ,
x→x0
∨
x→x0
0
h
i
0 < a < 1, b = −∞ ⇒ lim g (x) ln f (x) = − ∞ · ln a = +∞ ⇒ lim e g (x) ln f (x) = +∞.
Используя свойства экспоненты
y =
ex
y
1
0
x
x→x0
x→+∞
∧
0
y
x→x0
ln x
y =
• [1∞ ] и 00 – неопределённости т. к.
– в первом случае lim g (x) ln f (x) = [∞ · 0],
x→x0
– во втором lim g (x) ln f (x) = [0 · ∞].
x→x0
0
1
x
Бином Ньютона:
(a + b)n =
n
X
Cnk ak b n−k , Cnk =
k=0
df
• n! = 1 · 2 · · · · · n
n!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
(биномиальные коэффициенты)
k!(n − k)!
k!
Договорённость :
n-факториал
df
0! = 1 .
В развёрнутом виде: (a + b)n = Cn0 b n + Cn1 ab n−1 + Cn2 a2 b n−2 + . . . + Cnn−1 an−1 b + Cnn an .
n
z
}|
{
При раскрытии скобок в выражении (a +
= (a + b)(a + b) . . . (a + b) мы получаем всевозможные
произведения, состоящие из множителей, взятых по одному из каждой суммы в скобках. При этом
произведение вида ak b n−k получается, когда из k сумм (a + b) мы берём a, а из оставшихся n − k сумм
берём b. Коэффициент Cnk выражает число способов, которыми можно выбрать те k сумм вида (a + b)
из имеющихся n, из которых берём a. Номера этих сумм образуют сочетание из n элементов
{1, 2, . . . , n} по k. В комбинаторике так называют произвольный неупорядоченный k-элементный набор,
состоящий из попарно различных элементов некоторого n-элементного множества.
Для вычисления биномиальных коэффициентов на практике используют треугольник Паскаля:
Справедливы равенства:
C10 C11
1
1
C20 C21 C22
1
2
1
∀ n ∈ N Cn0 = Cnn = 1 ,
1
3
3
1
C30 C31 C32 C33
⇒
1
4
6
4
1
C40 C41 C42 C43 C44
k+1
1
5
10
10
5
1
C50 C51 C52 C53 C54 C55
∀ n, k ∈ N , k ≤ n Cn+1
= Cnk + Cnk+1
и т. д.
и т. д.
(проверьте самостоятельно)
b)n
Пример. (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .
Число e
df
lim 1 +
Определение. e =
n→∞
1
n
n
(∗)
Такое определение корректно т. к. справедлива
Теорема Предел (∗) существует.
1 n
1 n
возрастает. Действительно, 1 +
1+
=
n
n
1
n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1
n(n − 1) . . . 1 1
= 1+n· +
+
+... +
+···+
=
n 2! n2
3! n3
k! nn
nk n!
1
1
1
1
2
1
1
2
n−1
1−
+
1−
1−
+ ... +
1−
1−
... 1 −
.
=1+1+
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
При увеличении nувеличивается
число слагаемых (их n + 1), которые положительны, при этом
k
множители вида 1 −
также увеличиваются.
n
Действительно,
Последовательность
x
ограничена.
n
1
1
1
1
2
1
1
2
n−1
≤
xn = 1 + 1 +
1−
+
1−
1−
+ ··· +
1−
1−
... 1 −
2!
n
3!
n
n
n!
n
n n
1 n
1− 2
1
1
1
1
1
1
1
1
≤1+1+
≤1+
= 3.
+
+ ··· +
≤ 1 + 1 + + 2 + 3 + · · · + n−1 = 1 +
2!
3!
n!
2
2
2
2
1 − 12
1 − 12
n
1
По теореме Вейерштрасса возрастающая и ограниченная последовательность xn = 1 +
сходится. 2
n
1 nk
Предложение. Если ∀ k ∈ N nk ∈ N ∧ lim nk = ∞, то lim 1 +
= e.
k→∞
k→∞
nk
Доказательство. Последовательность xn =
1
Теорема (второй замечательный предел)
Доказательство. Докажем, что
lim (1 + x) x = e
x→0
1
lim (1 + x) x = e, используя определение предела по Гейне.
x→0+0
1
−−−−→ +∞.
Пусть lim xk = 0 ∧ ∀ k ∈ N xk > 0, т. е. xk −−−−→ 0 + 0 (сходится к нулю справа). Тогда
k→∞
k→∞
x
k k→∞
1
1
1
1
1
≤
<
+ 1 = nk + 1 ⇒
∀ k ∈ N nk =
< xk ≤
. При этом nk ∈ N ∧ lim nk = ∞.
k→∞
xk
xk
xk
nk + 1
n
nk
k
1
1 nk +1
1
xk
Справедливы следующие оценки: 1 +
≤ (1 + xk ) ≤ 1 +
(∗). При этом
nk + 1
nk
nk
nk +1 −1
1
1
1
lim 1 +
= lim 1 +
1+
= e,
k→∞
k→∞
nk + 1
nk + 1
nk + 1
|
{z
}|
{z
}
↓
↓
e
1
1 nk
1
1 nk +1
= lim 1 +
1+
= e.
lim 1 +
k→∞
k→∞
nk
nk
nk
|
{z
} | {z }
↓
↓
e
1
По теореме о пределе промежуточной функции (последовательности), из оценки (∗) и этих равенств
1
следует lim (1 + xk ) xk = e. Следовательно,
k→∞
Аналогично доказывается равенство
1
lim (1 + x) x = e.
x→0+0
1
lim (1 + x) x = e. 2
x→0−0
• Предел
1
lim (1 + x) x представляет собой неопределённость [1∞ ] и используется для разрешения
x→0+0
таких неопределённостей.
2x + 1 3x+5
Пример. x→∞
lim
= [1∞ ]
2x + 3
= lim
x→∞
(2x + 3) − 2
2x + 3
3x+5
= lim
x→∞
⇐ lim
x→∞
h∞i
2+
2x + 1
=
= lim
x→∞ 2 +
2x + 3
∞
2x+3 !− 2(3x+5)
2
1−
2x + 3
| {z }
−
2
2x+3
=e
1
x
3
x
!
=1
3x+5
x→∞ 2x+3
−2 lim
=
3+ 5
x
x→∞ 2+ 3
x
−2 lim
=e
= e −3 .
↓
0
Следствия из второго замечательного предела
1
0
ln(1 + x)
=
= lim ln(1 + x) x = ln e = 1
x→0
x→0
x→0
x
0
!
t
1
ex − 1
0
ex − 1
ex − 1 = t
= lim
= lim ln(1+t) = 1
2 lim
=1 ⇐
lim
=
=
x = ln(1 + t)
t→0 ln(1 + t)
t→0
x→0
x→0
x
x
0
t
!
α
α
α
ln(1+x)
(1 + x) − 1
0
ln(1 + x)
(1 + x) − 1
e
−1
3 lim
=α ⇐
lim
=
= lim
·α ·
=α .
x→0
x→0
x→0 α ln(1 + x)
x
x
0
x
| {z }
|
{z
}
1
lim
ln(1 + x)
=1 ⇐
x
lim
↓
1
Эти следствия можно записать в виде эквивалентностей:
1 ln(1 + x) ∼ x , x → 0 ,
2 ex − 1 ∼ x , x → 0 ,
3 (1 +
x)α
− 1 ∼ αx , x → 0 .
↓
1
В виде асимптотических формул:
1 ln(1 + x) = x + o(x) , x → 0 ,
2 e x = 1 + x + o(x) , x → 0 ,
3 (1 + x)α = 1 + αx + o(x) , x → 0 .
Непрерывность
9 октября 2023 г.
Определение. f (x) называется непрерывной в точке x0 , если ∃ x→
lim f (x) ∧ lim f (x) = f (x0 ) .
x
x→ x
0
0
Можно сформулировать эквивалентные определения непрерывности:
• по Коши:
df
f (x) непрерывна в точке x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D(f ) |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε (∗);
• по Гейне:
df
f (x) непрерывна в точке x0 ⇔ ∀ {xn } ⊆ D(f )
lim xn = x0 ⇒
n→∞
lim f (xn ) = f (x0 ) (∗∗).
n→∞
Заметим, что в силу того, что непрерывная в точке x0 определена в этой точке и f (x0 ) является её пределом в этой точке, в
условии (∗) используется не проколотая δ-окрестность точки x0 , а в условии (∗∗) не требуется {xn } ⊆ D(f ) \ {x0 }.
Из теорем о свойствах предельного перехода, получаем
Локальные свойства функций, непрерывных в точке:
• Если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то она в этой точке локально ограничена;
• f и g непрерывны в точке x0 ∧ f (x0 ) < g (x0 ) ⇒ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f (x) < g (x) ;
◦
• ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ S δ (x0 ) : f (x) ≤ g (x) ∧ f и g непрерывны в точке x0 ⇒ f (x0 ) ≤ g (x0 );
• f непрерывна в точке x0 ∧ f (x0 ) ̸= 0 ⇒ ∃ δ > 0 f (x) сохраняет знак в Sδ (x0 );
• Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0 , то
1 ∀ α, β ∈ R αf (x) + βg (x) непрерывна в точке x0 ;
2 f (x) · g (x) непрерывна в точке x0 ;
f (x)
3 Если, кроме того, g (x0 ) ̸= 0, то
непрерывна в точке x0 ;
g (x)
Теорема (о непрерывности сложной функции) Пусть g (x) непрерывна
в точке x0 и g (x0 ) = y0 ;
f (x) определена на некоторой Sδ (y0 ) и непрерывна в точке y0 . Тогда f g (x) непрерывна в точке x0 .
Доказательство. Пусть ε > 0. Пользуясь непрерывностью f (x) в точке y0 и g (x) в точке x0 ,
• выберем δ1 > 0 так, что ∀ x ∈ Sδ1 (y0 ) f (x) ∈ Sε f (y0 ) ;
• выберем δ > 0 так, что ∀ x ∈ Sδ (x0 ) g (x) ∈ Sδ1 g (x0 ) = Sδ1 (y0 );
• Тогда ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f g (x) ∈ Sε f (y0 ) = Sε f (g (x0 )) .
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f g (x) ∈ Sε f (g (x0 )) . 2
Определение. Функция называется элементарной, если она может быть получена из основных
элементарных функций y = C (C ∈ R), y = x α (α ∈ R), y = ax , y = loga x (a > 0 ∧ a ̸= 1), y = sin x,
y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x с помощью конечного
числа операций сложения, умножения, деления, и взятия композици функций.
Теорема. Любая элементарная функция f (x) непрерывна во всех предельных точках D(f ),
принадлежащих этому множеству.
План доказательства:
1 Доказываем непрерывность основных элементарных функций.
Например, из неравенства 0 ≤ | sin x| ≤ |x|, полученного в ходе доказательства 1-го замечаетельного предела,
x + x0
x − x0
получаем оценку ∀ x, x0 ∈ R 0 ≤ sin x − sin x0 = 2 cos
· sin
≤ |x − x0 |, откуда по теореме о пределе
2
2
промежуточной функции следует lim sin x = sin x0 , т. е. функция y = sin x непрерывна в точке x0 .
x→x0
2 Используя теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций,
теорему о непрерывности композиции непрерывных функций и определение элементарной
функции, делаем вывод о непрерывности всех элементарных функций.
Отметим очевидное
Предложение. Если ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f (x) = g (x), то f непрерывна в т. x0 ⇒ g непрерывна в т. x0
Как следствие известного критерия существования предела функции в точке, получаем
Теорема (критерий непрерывности в терминах односторонних пределов)
f (x) непрерывна в точке x0 ⇔
∃ f (x0 + 0) ∧ ∃ f (x0 − 0) ∧ f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0 ) .
Точки разрыва и их классификация
Определение. x0 называется точкой разрыва f (x), если f (x) не является непрерывной в этой точке.
Из критерия непрерывности в терминах односторонних пределов следует
• x0 – точка разрыва f (x) ⇔
∄ f (x0 + 0) ∨ ∄ f (x0 − 0) ∨ f (x0 + 0) ̸= f (x0 ) ∨ f (x0 − 0) ̸= f (x0 ) .
С этим связана принятая классификация точек разрыва:
Определение. Точка разрыва x0 функции f (x) называется
• точкой разрыва I рода, если ∃ f (x0 − 0) ∧ f (x0 + 0) ∈ R. При этом
• если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то x0 называется точкой устранимого разрыва,
• если f (x0 − 0) ̸= f (x0 + 0), то x0 называтеся точкой разрыва типа «скачок».
Разность f (x0 + 0) − f (x0 − 0) называют величиной скачка в точке x0 .
• x0 называется точкой разрыва II рода f (x) если она не является для f (x) точкой разрыва I рода.
Для того, чтобы точка разрыва функции была точкой разрыва II рода достаточно чтобы хотя бы один из
односторонних пределов f (x0 + 0) и f (x0 − 0) либо не существовал, либо был бесконечным.
Примеры.
Функция непрерывна всюду в R \ {0}.
f (0 − 0) = −1 ,
y
1
1 ,
df
1 f (x) = sgn x = 0 ,
−1 ,
x > 0,
x = 0,
x < 0,
f (0 + 0) = 1.
−2
−1
0
1
2 x
−1
2 f (x) =
Значит x = 0 – точка разрыва I-го
рода типа «скачок». Величина скачка равна 2.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
x −1
=
=
, при x ̸= −1.
x(x + 1)
x
x2 + x
y
f (−1 − 0) = f (−1 + 0) = lim f (x) = 2.
x→−1
Следовательно x = −1 – точка разрыва I-го рода функции f (x)
устранимого типа.
2
Если функцию f (x) в её точке устранимого разрыва x0 доопределить (или переопределить), положив
1
f (x0 ) = lim f (x) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0),
x→x0
−2
−1
0
1
2
x
получится функция, непрерывная в точке x0 .
f (0 − 0) = +∞ , f (0 + 0) = +∞,
Следовательно x = 0 – точка разрыва II рода.
1
= ±∞,
x
1
π
получаем lim arctg = ± :
x→0±0
x
2
1
непрерывна на R \ {0}.
x
π
Пользуясь тем, что lim arctg x = ± ,
x→±∞
2
учитывая, что
3 f (x) = arctg
y
lim
x→0±0
y
π
2
0
π
2
0
x
x
−π
2
−π
2
1
Таким образом, x = 0 – точка разрыва f (x) = arctg I-го рода типа «скачок».
x
Величина скачка f (0 + 0) − f (0 − 0) = π.
y
1
4 f (x) = sin непрерывна на R \ {0}.
x
f (0 − 0) и f (0 + 0) не существуют.
Следовательно, x = 0 – точка разрыва
функции f (x) второго рода.
1
−2
−1
0
−1
1
2
x
1
5 f (x) = e x непрерывна на R \ {0}.
Пользуясь тем, что
lim e x = +∞, lim e x = 0,
x→+∞
x→−∞
Получаем:
1
lim
= +∞ ⇒ f (0 + 0) = e +∞ = +∞,
x→0+0 x
1
= −∞ ⇒ f (0 + 0) = e −∞ = 0,
lim
x→0−0 x
y
y =
ex
y
1
1
0
1
y =ex
x
0
1
Таким образом, x = 0 – точка разрыва второго рода функции f (x) = e x .
x
Для доказательства теорем о свойствах функции, непрерывной на множестве, понадобится несколько
вспомогательных утверждений.
Теорема (принцип вложенных стягивающихся отрезков)
Пусть [an ; bn ] – последовательность отрезков в R.
)
∞
• ∀ n ∈ N [an+1 ; bn+1 ] ⊆ [an ; bn ] (вложенные);
\
[an ; bn ] ∧ c = lim an = lim bn .
⇒ ∃! c ∈
• lim (bn − an ) = 0 (стягивающиеся),
n→∞
n→∞
n=1
n→∞
Доказательство. Рассмотрим множества A = {an | n ∈ N} и B = {bn | n ∈ N}. Пусть an ∈ A , bm ∈ B –
произвольные элементы этих множеств. Если n = m, то an ≤ bm т. к. это концы одного отрезка; если
n < m, то an ≤ am ≤ bm ≤ bn ; если m < n, то am ≤ an ≤ bn ≤ bm . В любом случае an ≤ bm , следовательно
∞
\
A ≤ B, а значит, по свойству полноты R, существует c ∈ R такое, что A ≤ {c} ≤ B ⇔ c ∈
[an ; bn ].
∞
n=1
\
Докажем единственность c. Предположим ∃ c ′ ∈ R c ′ ∈
[an ; bn ]. Тогда ∀ n ∈ N 0 ≤ |c − c ′ | ≤ bn − an .
n=1
Так как lim (bn − an ) = 0, переходя к пределу в этом неравенстве, получаем |c − c ′ | = 0, т. е. c ′ = c.
n→∞
Из того, что ∀ n ∈ N 0 ≤ |an − c| ≤ (bn − an ) ∧ 0 ≤ |bn − c| ≤ (bn − an ) и условия lim (bn − an ) = 0, по
n→∞
теореме о пределе промежуточной функции, получаем lim |an − c| = lim |bn − c| = 0, значит
lim an = lim bn = c. 2
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Теорема (Больцано–Вейерштрассa)
∀ {xn } ⊂ R {xn } ограничена ⇒ ∃ {xnk } ⊆ {xn } {xnk } сходится.
Доказательство. Пусть a, b ∈ R ∀ n∈ N a ≤xn ≤ b.
a+b
a+b
1) Рассмотрим отрезки a;
и
; b . Обозначим через [a1 ; b1 ] тот из них, который содержит
2
2
бесконечно много членов {xn } (по крайней мере один из этих отрезков обладает этим свойством т. к.
если каждый содержит лишь конечное множество членов последовательности, то и во всём [a; b]
содержится лишь конечное
xn1 ∈ [a1 ; b1 ] – произвольный член {xn }.
множество
её
членов). Пусть
a1 + b 1
a1 + b 1
2) Рассмотрим отрезки a1 ;
и
; b1 . Обозначим через [a2 ; b2 ] тот из них, который
2
2
содержит бесконечно много членов {xn }. Пусть xn2 ∈ [a2 ; b2 ] – член {xn } с номером n2 > n1 (такой член
последовательности существует т. к. [a2 ; b2 ] содержит бесконечно много членов {xn }).
и т. д.
ak−1 + bk−1
ak−1 + bk−1
k) Рассмотрим отрезки ak−1 ;
и
; bk−1 . Обозначим через [ak ; bk ] тот из них,
2
2
который содержит бесконечно много членов {xn }. Пусть xnk ∈ [ak ; bk ] – член {xn } с номером nk > nk−1 .
и т. д.
вложенных (по построению) стягивающихся
В результате построили
{xnk } ⊆ {xn } и последовательность
b−a
отрезков [ak ; bk ] bk − ak =
−−−−→ 0 . Из принципа вложенных стягивающихся отрезков следует
k→∞
2k
∞
\
∃! c ∈
[ak ; bk ]. При этом ∀ k ∈ N ak ≤ xnk ≤ bk ∧ lim ak = lim bk = c ⇒ lim xnk = c. 2
k=1
k→∞
k→∞
k→∞
Свойства функции, непрерывной на множестве
Определение. Функция f (x), называется непрерывной на множестве X ⊆ R, если она непрерывна в
каждой точке x ∈ X .
Множество всех функций, непрерывных на множестве X обозначают символом C (X ).
Например, C [a; b], C (R), C [0; +∞) и т. п.
1-я Теорема Вейерштрасса. f ∈ C [a; b] ⇒ f ограничена на [a; b] .
Доказательство. Предположим, что f ∈ C [a; b] и f не ограничена на [a; b].
f не ограничена на [a; b] ⇔ ∃ M > 0 ∀ x ∈ [a; b] |f (x)| ≤ M ⇔ ∀ M > 0 ∃ x ∈ [a; b] |f (x)| > M.
Пользуясь этим для каждого n ∈ N выберем xn ∈ [a; b] так, чтобы выполнялось |f (xn )| > n.
Последовательность {xn } ограничена. Возьмём {xnk } ⊆ {xn } так, что ∃ lim xnk = c ∈ R. По теореме
k→∞
Больцано–Вейерштрасса такая подпоследовательность существует. Так как ∀ k ∈ N a ≤ xnk ≤ b,
переходя к пределу в неравенстве при k → ∞, получаем a ≤ c ≤ b. f ∈ C [a; b] ⇒ f непрерывна в точке
c, поэтому lim xnk = c ⇒ lim f (xnk ) = f (c) ⇒ {f (xnk )} ограничена. Но, по построению, {f (xnk )} не
k→∞
k→∞
ограничена. Противоречие. Следовательно, предположение о неограниченности f на [a; b] неверно. 2
Существенность условий 1-й теоремы Вейерштрасса
y
• Требование непрерывности функции f существенно: функция,
определённая во всех точках отрезка [a; b] не обязательно
ограничена на этом отрезке.
На рисунке изображён график функции f (x), которая
определена всюду на [a; b], но, имея разрыв 2 рода в точке
c ∈ [a; b] с lim f (x) = ∞, не ограничена на [a; b].
f (c)
a
c
b
x→c
y
• Ещё одним существенным условием теоремы является
требование непрерывности функции f на отрезке. Если
отрезок заменить другим множеством, утверждение 1-й
теоремы Вейерштрасса перестанет быть верным.
На рисунке изображён график функции f ∈ C (a; b], которая не
ограничена на (a; b], так как f (a + 0) = +∞.
a
b
x
x
2-я Теорема Вейерштрасса. f ∈ C [a; b] ⇒ ∃ x1 , x2 ∈ [a; b] f (x1 ) = sup f (x) , f (x2 ) = inf f (x)
[a;b]
[a;b]
иначе говоря, существуют max f (x) и min f (x)
[a;b]
[a;b]
Доказательство. f ∈ C [a; b] ⇒, по 1-й теореме Вейерштрасса, f ограничена на [a; b] ⇒
⇒ sup f (x) ∈ R ∧ inf f (x) ∈ R. Пусть A = sup f (x). Докажем, что ∃ c ∈ [a; b] f (c) = A.
[a;b]
[a;b]
[a;b]
1
Пользуясь определением sup f (x), для каждого n ∈ N выберем xn ∈ [a; b] так, что f (xn ) > A −
n
[a;b]
это можно сделать т. к. A – наименьшая из верхних границ множества f (x) | x ∈ [a; b] .
Последовательность {xn } ограничена. Выберем сходящуюся {xnk } ⊆ {xn } (по теореме
Больцано–Вейерштрасса такая подпоследовательность существует). Пусть c = lim xnk . Переходя к
k→∞
пределу при k → ∞ в неравенстве ∀ k ∈ N a ≤ xnk ≤ b, получаем a ≤ c ≤ b, следовательно, f
непрерывна в точке c. Значит lim xnk = c ⇒ lim f (xnk ) = f (c). С другой стороны, из неравенства
k→∞
k→∞
1
∀ k ∈N A−
< f (xnk ) ≤ A, по теореме о пределе промежуточной последовательности, следует
nk
lim f (xnk ) = A. Значит f (c) = A.
k→∞
Аналогично доказывается существование точки отрезка [a; b], в которой f достигает inf f (x). 2
[a;b]
Существенность условий 2-й теоремы Вейерштрасса
• Требование непрерывности функции f существенно: функция,
определённая во всех точках отрезка [a; b] не обязательно
достигает на нём свои точные границы.
y
sup f (x)
[a;b]
f (c)
На рисунке изображён график функции f (x), которая
определена всюду на [a; b], но
a
∀ x ∈ [a; b] f (x) ̸= inf f (x) ∧ f (x) ̸= sup f (x).
[a;b]
[a;b]
c
x
b
inf f (x)
[a;b]
y
• Требование непрерывности функции f на отрезке также
существенно. Если отрезок заменить другим множеством,
утверждение 2-й теоремы Вейерштрасса перестанет быть
верным.
На рисунке изображён график функции f ∈ C (a; b) такой, что
∀ x ∈ [a; b] f (x) ̸= inf f (x) ∧ f (x) ̸= sup f (x).
[a;b]
sup f (x)
(a;b)
inf f (x)
(a;b)
[a;b]
a
b
x
Лемма о нуле непрерывной функции. f ∈ C [a; b] ∧ f (a) · f (b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a; b) f (c) = 0 .
Доказательство. Пусть
б. о. о. f (a) < 0 , f (b) > 0.
a+b
a+b
доказано). Если нет, то
Если f 2 = 0 , положим c = 2 (существование
a+b
a+b
1) Рассмотрим f 2 . если f 2 > 0 , положим [a1 ; b1 ] = a; a+b
,
2
если f a+b
< 0 , положим [a1 ; b1 ] = a+b
;b .
2
2
a1 +b1
1
Если f a1 +b
=
0
,
положим
c
=
(сущ-е
доказано). Если нет, то
2
2 a1 +b1 a1 +b1 1
.
2) Рассмотрим f a1 +b
>
0
,
положим
[a
;
b
]
=
a;
,
если
f
2
2
2
2 2
1
1
если f a1 +b
< 0 , положим [a2 ; b2 ] = a1 +b
;b .
2
2
. . . и т. д. . . .
k) Рассмотрим f
ak−1 +bk−1 .
2
Если f
ak−1 +bk−1 = 0,
2
ak−1 +bk−1 > 0,
2
ak−1 +bk−1 < 0,
2
ak−1 +bk−1
. Если нет,
2
a
+b
[ak ; bk ] = a; k−1 2 k−1 ,
ak−1 +bk−1 [ak ; bk ] =
;b .
2
положим c =
то
если f
положим
если f
положим
Таким образом, либо на некотором шаге этого процесса мы находим точку c ∈ [a; b], где f (c) = 0, либо,
выбирая каждый раз ту из половинок очередного отрезка, на концах которой функция принимает
значения разных знаков, получаем последовательность вложенных стягивающихся отрезков [ak ; bk ]
таких, что ∀ k ∈ N f (ak ) < 0 ∧ f (bk ) > 0 (∗), при этом lim ak = lim bk = c. Из принципа вложенных
∞
k→∞
k→∞
стягивающихся отрезков следует ∃ c ∈ ∩ [ak ; bk ]. Т. к. c ∈ [a; b], f непрерывна в этой точке, поэтому
k=1
lim ak = lim bk = c ⇒ lim f (ak ) = lim f (bk ) = f (c). Переходя к пределу в неравенствах (∗),
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
получим f (c) ≤ 0 ∧ f (c) ≥ 0 ⇒ f (c) = 0. Существование доказано. 2
Замечания
• Утверждение леммы согласуется с интуитивным представлением о
y
непрерывности функции на отрезке: график такой функции,
принимающей на концах отрезка значения разных знаков – линия,
a
которую можно провести на рисунке только «не отрывая ручку от
c
x
b
бумаги», в результате чего она обязательно по крайней мере один раз
пересечёт ось OX .
• Доказательство леммы носит конструктивный характер. Это позволяет использовать его для
приближённого решения уравнений вида f (x) = 0, если f – непрерывная на некотором промежутке
X ⊆ R функция (метод половинного деления). Если удаётся подобрать [a; b] ⊆ X так, чтобы
f (a) · f (b) < 0, из утверждения леммы следует, что внутри [a; b] имеется корень уравнения ((a; b)
тогда называют интервалом локализации корня). Реализуя далее процесс, описанный в
доказательстве, можно сузить интервал локализации, сделав его длину меньше любого наперёд
заданного ε. Взяв в качестве приближённого значения корня любое число из этого промежутка,
можно гарантировать, что погрешность приближения меньше ε.
• Существенно, также, требование
• Требование непрерывности функции f
непрерывности функции f именно на отрезке.
существенно. Разрывная на отрезке функция
Если отрезок заменить, например, интервалом,
может поменять знак не обращаясь в ноль:
утверждение перестанет быть верным:
y
y
a
b
x
a
b
x
y
Теорема Больцано–Коши (о промежуточном значении)
f ∈ C [a; b]
f (a) = A ∧ f (b) = B
)
(
⇒
B
C
A < B ⇒ ∀ C ∈ (A; B) ∃ c ∈ (a; b) f (c) = C ,
A > B ⇒ ∀ C ∈ (B; A) ∃ c ∈ (a; b) f (c) = C .
A
a
c
b
Доказательство. Пусть б. о. о. A < B, C ∈ (A; B). Рассмотрим функцию φ(x) = f (x) − C . Она
непрерывна на [a; b], φ(a) = A − C < 0, φ(b) = B − C > 0. Значит, по лемме о нуле непрерывной
функции ∃ c ∈ (a; b) φ(c) = 0 ⇔ f (c) − C = 0 ⇔ f (c) = C . 2
Следствие 1. f ∈ C [a; b] ⇒ f [a; b] = [m; M] , где m = inf f (x) , M = sup f (x) .
[a;b]
[a;b]
Доказательство. По 1-й теореме Вейерштрасса f ∈ C [a; b] ⇒ f ограничена на [a; b]. Следовательно
inf f (x) = m ∈ R ∧ sup f (x) = M ∈ R. Очевидно, f [a; b] ⊆ [m; M] . По 2-й теореме Вейерштрасса
[a;b]
[a;b]
∃ α, β ∈ [a; b] f (α) = m ∧ f (β) = M. Пусть без ограничения общности α < β. [α; β] ⊆ [a; b] ⇒ f ∈ C [α; β].
Тогда, по теореме Коши о промежуточном значении ∀ C ∈ (m, M) ∃ c ∈ (α; β) f (c) = C , значит
[m; M] ⊆ f [a; b] . Таким образом, f [a; b] = [m; M]. 2
Следствие 2. f ∈ C (X ) ∧ X — промежуток ⇒ f X — промежуток .
Доказательство. Пусть A, B ∈ f X , A < B. Т. д. ∀ C ∈ (A; B) C ∈ f X . Возьмём
α, β ∈ X f (α) = A, f (β) = B. Пусть без ограничения общности α < β. Так как X – промежуток,
значении
[α; β] ⊆ X , значит f ∈ C [α; β]. По теореме Коши о промежуточном
∀ C ∈ (A; B) ∃ c ∈ (α; β) ⊂ X f (c) = C . Значит C ∈ f X . 2
x
Теорема (о непрерывности обратной функции). Пусть X ⊆ R – промежуток, f ∈ C (X ) и f
строго монотонна на X . Тогда на промежутке Y = f (X ) определена, монотонна (с тем же характером
монотонности) и непрерывна обратная к f функция.
Доказательство. Существование f −1 на промежутке Y вытекает из биективности отображения
f : X → Y , осуществляемого строго монотонной функцией.
Пусть б. о. о. f строго возрастает на промежутке X . Возьмём x1 , x2 ∈ Y такие, что x1 < x2 . Пусть
y1 = f −1 (x1 ) , y2 = f −1 (x2 ). Если y1 > y2 , то x1 = f (y1 ) > x2 = f (y2 ) и мы получаем противоречие, так
что y1 < y2 , следовательно, f −1 строго возрастает на Y .
−1 непрерывна в точке x . Предположим, что это не так, т. е. x – точка
Пусть x0 ∈ Y . Докажем, что
0
0
f
разрыва f −1 . Пусть Y1 = x ∈ Y x < x0 , Y2 = x ∈ Y x > x0 .
Функция f −1 возрастает на Y = Y1 ∪ {x0 } ∪ Y2 . При этом она ограничена
сверху на Y1 и ограничена снизу на Y2 :
∀ x ∈ Y1 f −1 (x) < f −1 (x0 ) ,
∀ x ∈ Y2 f −1 (x) > f −1 (x0 ).
(1)
По теореме Вейерштрасса о пределе монотонной функции
∃ f −1 (x0 − 0) = sup f −1 (x) и ∃ f −1 (x0 + 0) = inf f −1 (x). Таким образом,
Y2
Y1
x0 – точка разрыва I-го рода функции f −1 . Из (1) следует неравенство
sup f −1 (x) ≤ f −1 (x0 ) ≤ inf f −1 (x), т. е. f −1 (x0 −0) ≤ f −1 (x0 ) ≤ f −1 (x0 +0).
Y1
Y2
y
−1
(x)
inf f
Y2
f −1 (x0 )
X
sup f −1 (x)
Y1
|
{z
Y1
|
}|
x0
{z
{z
}
Y2
Y
Т. к. x0 – точка разрыва f −1 , равенство невозможно, так что f −1 (x0 − 0) < f −1 (x0 ) < f −1 (x0 + 0) и,
значит, x0 – точка разрыва типа «скачок». В результате
f −1 не может принимать никаких значений,
принадлежащих интервалу f −1 (x0 − 0); f −1 (x0 + 0) ненулевой длины, кроме одного: f −1 (x0 ). Это
противоречит тому, что f −1 Y = X – промежуток. Значит предположение о разрыве f −1 (x) в точке x0
неверно. 2
}
x
Дифференциальное исчисление функций одной
действительной переменной
16 октября 2023 г.
Определение. Величину ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) называют
приращением функции f , вызванным приращением аргумента ∆x
в точке x0 .
y
f (x0 + ∆x) )
Определение. Функция f (x) называется дифференцируемой в
∆f (x0 )
точке x0 , если
f (x0 )
∃ A ∈ R, α(x) = o(x), x → 0 ∆f (x0 ) = A∆x + α(∆x), ∆x → 0.
∆x
z }| {
x0
x0 + ∆x
x
Кратко:
∃ A ∈ R : ∆f (x0 ) = A∆x + o(∆x), ∆x → 0.
(∗)
Определение. Если f (x) дифференцируема в точке x0 , т. е. выполнено (∗), главная (линейная) часть
df
приращения ∆f (x0 ) называется дифференциалом функции f в точке x0 : df (x0 ) = A∆x .
Пример. Докажем, пользуясь определением, дифференцируемость функции f (x) = x 2 в точке x0 = 2:
∆f (2) = f (2 + ∆x) − f (2) = (2 + ∆x)2 − 4 = 4∆x + ∆x 2 . Поскольку ∆x 2 = o(∆x) при ∆x → 0
∆x 2
т. к. lim
= 0 , дифференцируемость доказана. Видим, что df (2) = 4∆x.
∆x→0 ∆x
Теорема (о связи с непрерывностью) f (x) дифференцируема в точке x0 ⇒ непрерывна в точке x0 .
Доказательство. ∃ A ∈ R ∆f (x0 ) = A∆x + o(∆x), ∆x → 0 ⇒ lim ∆f (x0 ) = 0 ⇔
∆x→0
• Обратное утверждение неверно!
lim f (x) = f (x0 ). 2
x→x0
Пример. f (x) = |x| – функция, непрерывная в точке 0, но не дифференцируемая в этой точке.
Действительно, ∀ A ∈ R ∆f (0) − A∆x = f (∆x) − f (0) − A∆x = |∆x| − A∆x ̸= o(∆x) , ∆x → 0, т. к. !
∆f (0) − A∆x
|∆x| − A∆x
|∆x| − A∆x
lim
не существует. ⇐ lim
= 1 − A ̸= lim
= −1 − A
∆x→0
∆x→0+0
∆x→0−0
∆x
∆x
∆x
Определение. Производной функции f в точке x0 называется величина:
df
f ′ (x0 ) = lim
∆x→0
∆f (x0 )
=
∆x
x = x0 + ∆x
∆x = x − x0
= lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
, если предел существует и конечен.
x − x0
Теорема (о связи между дифференцируемостью и сущ-ем производной).
f (x) диференцируема в точке x0 ⇔ ∃ f ′ (x0 ) ∈ R.
Доказательство. ⇒ Пусть ∃ A ∈ R, α(x) = o(x), x → 0 так что ∆f (x0 ) = A∆x + α(∆x), ∆x → 0.
A∆x + α(∆x)
∆f (x0 )
α(∆x)
=
Тогда
=A+
−−−−→ A , т. к. α(∆x) = o(∆x), ∆x → 0.
∆x→0
∆x
∆x
∆x
⇐ Пусть существует f ′ (x0 ). Тогда α(∆x) = ∆f (x0 ) − f ′ (x0 )∆x = o(∆x) при ∆x → 0. Действительно,
α(∆x)
∆f (x0 ) − f ′ (x0 )∆x
∆f (x0 )
=
=
− f ′ (x0 ) −−−−→ f ′ (x0 ) − f ′ (x0 ) = 0 . 2
∆x→0
∆x
∆x
∆x
Значит ∆f (x0 ) = A∆x + o(∆x) , ∆x → 0, где A = f ′ (x0 ). 2
Следствие 1. Если f (x) - дифференцируема в точке x0 , то для константы A из определения
дифференцируемости верно равенство A = f ′ (x0 ).
Следствие 2. Дифференциал функции f (x) в точке x0 имеет вид df (x0 ) = f ′ (x0 )∆x.
При записи дифференциала принято вместо ∆x писать dx. Таким образом, df (x0 ) = f ′ (x0 )dx .
′
Отсюда происходит альтернативное обозначение производной: f (x0 ) =
df (x0 )
dx
Геометрический смысл дифференцируемости, производной и дифференциала
y
∆y
y = f (x)
′ (x 0
=f
∆y
{z
O′
z
0
x0
∆x
}|
tg α(∆x) =
∆f (x0 )
∆x
∆f (x0 )
∆x
|
α
f (x0 )
Если
•
•
•
α(∆x)
}
f (x0 + ∆x)
)∆x
{
tg α =
x
lim tg α(∆x) =
∆x→0
lim
∆x→0
∆f (x0 )
∆x
′
= f (x0 ) ∈ R
x0 + ∆x
функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то
ее график имеет невертикальную касательную в точке (x0 , f (x0 ));
f ′ (x0 ) - угловой коэффициент этой касательной;
касательная в точке (x0 , f (x0 )) к графику функции f , дифференцируемой в точке x0 , является
графиком дифференциала df (x0 ) в системе координат ∆xO ′ ∆y ∆y = f ′ (x0 )∆x ;
• уравнение касательной в системе координат XOY имеет вид y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )
Уравнение нормали к графику дифференцируемой функции
y
y
=
f(
x)
Прямая, проходящая через точку x0 , f (x0 ) , перпендикулярная касательной к графику функции в этой
точке, называется нормалью.
α+
2
α
f (x0 )
Угловой коэффициент нормали:
π
y−
′ x0
f (
)=
f (x 0
)(x
)
− x0
tg(α +
1
1
π
=− ′
.
) = − ctg α = −
tg α
f (x0 )
2
Следовательно, уравнение нормали имеет вид:
y − f (x0 ) = −
0
x
1
(x − x0 ) .
f ′ (x0 )
x0
Физический смысл производной:
Если функция представляет закон движения, т. е. f (x) – координата материальной точки в момент
времени x, то
• ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) – перемещение за промежуток времени [x0 ; x0 + ∆x],
∆f (x0 )
– средняя скорость движения на промежутке времени [x0 ; x0 + ∆x],
∆x
∆f (x0 )
• f ′ (x0 ) = lim
– мгновенная скорость движения в момент x0 .
∆x→0
∆x
•
Односторонние производные
Определение. Левосторонняя производная функции f в точке x0 : f−′ (x0 ) =
lim
∆x→0−0
∆f (x0 )
.
∆x
Геометрический смысл:
′ (x ) ∈ R.
угловой коэффициент левого касательного луча к графику функции в точке x0 , f (x0 ) , если f−
0
y
y
=
f(
x)
α(∆x)
′
tg α = f−
(x0 ) =
{
f (x0 + ∆x)
f (x0 )
}|
α
z
∆f (x0 )
z
x0 + ∆x
∆x
}|
{
x0
x
lim
∆x→0−0
tg α(∆x) =
lim
∆x→0−0
∆f (x0 )
∆x
Определение. Правосторонняя производная функции f в точке x0 : f+′ (x0 ) =
lim
∆x→0+0
∆f (x0 )
.
∆x
Геометрический смысл:
угловой коэффициент правого касательного луча к графику функции в точке x0 , f (x0 ) , если f+′ (x0 ) ∈ R.
y
=
f(
x)
y
tg α = f+′ (x0 ) =
α(∆x)
z
f (x0 + ∆x)
}|
z
x0
∆x
}|
∆f (x0 )
{
α
f (x0 )
{
x0 + ∆x
x
lim
∆x→0+0
tg α(∆x) =
lim
∆x→0+0
∆f (x0 )
∆x
Теорема (критерий дифференцируемости через односторонние производные)
Функция f (x) дифференцируема в точке x0 ⇔ существуют и равны и конечны односторонние
производные.
(Очевидное следствие критерия существования предела через односторонние пределы)
Геометрический смысл:
f(
x)
Дифференцируемость функции f (x) в точке x0 эквивалентна тому, что правый и левый касательные лучи
к графику функции в точке x0 , f (x0 ) лежат на одной невертикальной прямой (гладкость графика).
Отсутствие дифференцируемости функции f (x) в точке x0 может означать что:
• правый и левый касательные лучи к графику
• лежат на одной вертикальной прямой:
функции в точке (x0 , f (x0 )) не лежат на одной
(
(
прямой , т. е. имеет место излом графика
f+′ (x0 ) = +∞,
f+′ (x0 ) = +∞,
′ (x ) ∈ R, f ′ (x ) ̸= f ′ (x ) .
•
•
f+′ (x0 ), f−
0
+ 0
− 0
′ (x ) = +∞.
′
f−
f− (x0 ) = −∞.
0
y
y
y
=
y
y =
)
f (x
f (x0 )
f (x0 )
x0
f (x0 )
x0
x
f (x
y =
x
x0
x
)
Техника дифференцирования
Если в каждой точке x ∈ X ⊆ R существует f ′ (x), говорят: на множестве X определена производная
функции f (x), т. е. функция f ′ : x 7→ f ′ (x). Переход от f (x) к её производной f ′ (x) называется
дифференцированием.
Теорема. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в точке x0 , то:
′
1 ∀α, β ∈ R αf (x) + βg (x) дифференцируема в точке x0 и αf (x) + βg (x)
= αf ′ (x0 ) + βg ′ (x0 );
x=x0
′
2 f (x)g (x) дифференцируема в точке x0 и f (x)g (x)
= f ′ (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 ) ;
x=x0
3 Если g (x0 ) ̸= 0, то
f (x)
дифференцируема в точке x0 и
g (x)
f (x)
g (x)
′
=
x=x0
f ′ (x0 )g (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )
;
g 2 (x0 )
Если g (x) дифференцируема в точке x0 , а f (x) дифференцируема в точке y0 = g (x0 ), то
′
4 f g (x) дифференцируема в точке x0 и f g (x)
= f ′ (y0 )g ′ (x0 ) = f ′ g (x0 ) g ′ (x0 ) .
x=x0
Доказательство. Так как дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию её
производной в этой точке, доказываем существование производной.
′
αf (x0 + ∆x) + βg (x0 + ∆x) − αf (x0 ) + βg (x0 )
=
1. αf (x) + βg (x)
= lim
∆x→0
∆x
x=x0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
g (x0 + ∆x) − g (x0 )
= lim α
+β
= αf ′ (x0 ) + βg ′ (x0 ) ;
∆x→0
∆x
∆x
′
2. f (x)g (x)
= lim
x=x0
∆x→0
f (x0 + ∆x)g (x0 + ∆x) − f (x0 )g (x0 )
=
∆x
f (x0 + ∆x)g (x0 + ∆x) − f (x0 )g (x0 + ∆x) + f (x0 )g (x0 + ∆x) − f (x0 )g (x0 )
=
∆x
g (x0 + ∆x) − g (x0 )
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= f ′ (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 )
= lim
g (x0 + ∆x) + f (x0 )
∆x→0
∆x
∆x
= lim
∆x→0
(предел существует т. к. f и g дифференцируемы в точке x0 а значит, g непрерывна в этой точке).
3. Из непрерывности g (x) в точке x0 и свойства сохранения знака непрерывной функции следует:
g (x0 + ∆x) ̸= 0 при достаточно малых ∆x.
f (x0 + ∆x)
f (x0 )
−
g (x0 )f (x0 + ∆x) − f (x0 )g (x0 + ∆x)
g (x0 + ∆x)
g (x0 )
lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x g (x0 )g (x0 + ∆x)
g (x0 )f (x0 + ∆x) − g (x0 )f (x0 ) + g (x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 + ∆x)
=
∆x g (x0 )g (x0 + ∆x)
g (x0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) − f (x0 ) g (x0 + ∆x) − g (x0 )
=
= lim
∆x→0
∆x g (x0 )g (x0 + ∆x)
= lim
∆x→0
g (x0 )
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
g (x0 + ∆x) − g (x0 )
− f (x0 )
f ′ (x0 )g (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )
∆x
∆x
=
.
g (x0 )g (x0 + ∆x)
g 2 (x0 )
4. Рассмотрим приращение ∆f g (x0 ) = f g (x0 + ∆x) − f g (x0 ) . Обозначим ∆y = g (x0 + ∆x) − g (x0 ),
тогда g (x0 + ∆x) = y0 + ∆y . Пользуясь дифференцируемостью f в точке y0 и g в точке x0 , получаем:
∆f g (x0 ) = f (y0 + ∆y ) − f (y0 ) = f ′ (y0 )∆y + o(∆y ) = f ′ (y0 ) g (x0 + ∆x) − g (x0 ) + o(∆y ) =
= f ′ (y0 ) g ′ (x0 )∆x + o(∆x) + o(∆y ) = f ′ (y0 )g ′ (x0 )∆x + f ′ (y0 )o(∆x) + o(∆y ) = f ′ (y0 )g ′ (x0 )∆x + α(∆x) .
|
{z
}
α(∆x)
α(∆x)
o(∆x) o(∆y ) ∆y
Докажем, что α(∆x) = o(∆x) при ∆x → 0 :
= f ′ (x0 )
+
−−−−→ 0 .
∆x
∆x
∆y
∆x ∆x→0
| {z } | {z } |{z}
↓
0
↓
0
↓
g ′ (x0 )
Производные основных элементарных функций
!
∆f (x)
f (x + ∆x) − f (x)
C −C
=
=
= 0 −−−−→ 0
∆x→0
∆x
∆x
∆x
!
α
1 + ∆x
−1
∆f (x)
(x + ∆x)α − x α
αα
α−1
x
=
= xα
−
−
−
−
→
x
=
αx
(x
̸
=
0)
2 (x α )′ = αx α−1 , ⇐
∆x
∆x→0
∆x
∆x
x
·x
x
!
x+∆x
x
∆x
∆x
ln
a
∆f (x)
a
−a
a −1
e
−1
=
= ax ·
= ax ·
· ln a −−−−→ ax ln a
3 (ax )′ = ax ln a, ⇐
∆x→0
∆x
∆x
∆x
∆x · ln a
!
loga 1 + ∆x
ln 1 + ∆x
∆f (x)
loga (x + ∆x) − loga x
1
1
x
x
′
,⇐
=
=
= ∆x
−−−−→
4 (loga x) =
∆x→0 x ln a
∆x
∆x
∆x
x ln a
x ln a
x
1 (C )′ = 0,
⇐
f (x) ≡ C ⇒
5
6
7
8
!
sin ∆x
2 cos x + ∆x
∆f
(x)
sin(x
+
∆x)
−
sin
x
2
2
′
(sin x) = cos x, ⇐
=
=
−−−−→ cos x
∆x→0
∆x
∆x
2 ∆x
2
!
∆x
−2 sin x + 2 sin ∆x
∆f (x)
cos(x + ∆x) − cos x
2
(cos x)′ = − sin x, ⇐
=
=
−
−
−
−
→
−
sin
x
∆x→0
∆x
∆x
2 ∆x
2
!
′
1
sin x
cos x cos x − (− sin x) sin x
1
(tg x)′ =
,
(tg x)′ =
=
=
cos2 x
cos x
cos2 x
cos2 x
!
cos x ′
1
(− sin x) sin x − cos x cos x
1
(ctg x)′ = − 2 ,
(ctg x)′ =
=
=
−
sin x
sin x
sin2 x
sin2 x
Теорема (о производной обратной функции).Если функция f дифференцируема и строго
монотонна на интервале (a, b), то на (A, B) = f (a, b) определена и дифференцируема f −1 . При этом
′
1
∀ x ∈ (A, B) f −1 (x) = ′
, где y = f −1 (x) .
f (y )
Доказательство. По теореме о непрерывности обратной функции f −1 (x) определена и непрерывна на
(A, B). Пусть x0 ∈ (A, B), x0 + ∆x ∈ (A, B). Обозначим y0 = f −1 (x0 ), ∆y = f −1 (x0 + ∆x) − f −1 (x0 ). Тогда
y0 + ∆y = f −1 (x0 + ∆x), x0 = f (y0 ), следовательно, x0 + ∆x = f (y0 + ∆y ) и ∆x = f (y0 + ∆y ) − f (y0 ).
∆y
∆y
1
f −1 (x0 + ∆x) − f −1 (x0 )
=
=
= f (y +∆y )−f (y ) . Т. к. f −1 непрерывна на (A; B),
0
0
∆x
f (y0 + ∆y ) − f (y0 )
∆x
∆y
∆x → 0 ⇒ ∆y → 0. Переходя к пределу в полученном равенстве при ∆x → 0, получаем
′
1
f −1 (x)
= ′
.2
f (y0 )
x=x0
С помощью доказанной теоремы выводятся формулы производных обратных тригонометрических
функций.
Пусть y = f −1 (x) = arcsin x, x ∈ (−1; 1). Тогда x = f (y ) = sin y , y ∈ − π2 ; π2 . По формуле получаем:
′
1
1
1
1
∀ x ∈ (−1; 1) f −1 (x) = ′
=
= p
= √
. Таким образом,
2
f (y )
cos y
1
− x2
1 − sin y
9 (arcsin x)′ = √
1
1 − x2
Пусть y = f −1 (x) = arccos x, x ∈ (−1; 1). Тогда x = f (y ) = cos y , y ∈ (0; π). По формуле получаем:
′
1
1
1
1
∀ x ∈ (−1; 1) f −1 (x) = ′
=
= −p
= −√
. Таким образом,
2
f (y )
− sin y
1
− x2
1 − cos y
10 (arccos x)′ = − √
1
1 − x2
Пусть y = f −1 (x) = arctg x, x ∈ R. Тогда x = f (y ) = tg y , y ∈ − π2 ; π2 . По формуле получаем:
1
1
1
1
′
∀ x ∈ R f −1 (x) = ′
=
=
=
. Доказали:
f (y )
1/ cos2 y
1 + tg2 y
1 + x2
1
11 (arctg x)′ =
1 + x2
Пусть y = f −1 (x) = arcctg x, x ∈ R. Тогда x = f (y ) = ctg y , y ∈ (0; π). По формуле получаем:
′
1
1
1
1
∀ x ∈ R f −1 (x) = ′
=
=−
=−
. Доказали:
f (y )
1 + ctg2 y
1 + x2
−1/ sin2 y
1
12 (arcctg x)′ = −
1 + x2
Основные теоремы дифференциального исчисления
23 октября 2023 г.
Теорема (Ферма). Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b), то
f (x0 ) = max f (x)
x∈(a,b)
f (x0 ) = min f (x) ⇒ f ′ (x0 ) = 0
x∈(a,b)
Доказательство. Пусть f (x0 ) = max f (x) ⇒ ∀ x = x0 + ∆x ∈ (a, b) ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≤ 0.
x∈(a,b)
Тогда
∆f (x0 )
≤ 0 при ∆x > 0 ⇒ [∆x → 0 + 0] ⇒ f ′ (x0 ) = f+′ (x0 ) ≤ 0 ,
∆x
∆f (x0 )
′
(x0 ) ≥ 0 .
≥ 0 при ∆x < 0 ⇒ [∆x → 0 − 0] ⇒ f ′ (x0 ) = f−
∆x
Следовательно, f ′ (x0 ) = 0. 2
Геометрический смысл теоремы Ферма:
a
x0
b
x
a
x0
b
x
Теорема (Ролль).
f ∈ C [a, b] ,
∃ c ∈ (a, b) :
f дифференцируема на (a, b) , ⇒
′
f (c) = 0
f (a) = f (b)
Доказательство. f ∈ C [a, b] ⇒ по теоремам Вейерштрасса f ограничена на [a, b] и
∃ x1 , x2 ∈ [a, b] f (x1 ) = sup f (x) , f (x2 ) = inf f (x) .
[a,b]
[a,b]
1 случай. x1 и x2 - концы отрезка. Тогда f (x) = Const на [a, b] ⇒ ∀ x ∈ (a, b) f ′ (x) = 0 ⇒ c произвольная точка (a, b).
2 случай. Одна из точек, например, x1 лежит в (a, b). Тогда f (x1 ) = max f (x) ⇒ по теореме Ферма
(a,b)
f ′ (x1 ) = 0. Берем c = x1 . 2
Геометрический смысл теоремы Ролля:
a
c
b x
a
b x
a
c
b x
Существенность условий теоремы Ролля:
Теорема перестаёт быть верной, если отказаться от
требования непрерывности f (x) на отрезке [a; b], или
от требования дифференцируемости f (x) во внутренних точках отрезка.
a
b x
Теорема (Коши).
g , f ∈ C [a, b] ,
g , f дифференцируемы на (a, b)
⇒
∃ c ∈ (a, b) :
f (b) − f (a) g ′ (c) − g (b) − g (a) f ′ (c) = 0
Утверждение теоремы часто записывают в другой форме:
∃ θ ∈ (0, 1) :
f (b) − f (a) g ′ a + θ(b − a) − g (b) − g (a) f ′ a + θ(b − a) = 0 .
Доказательство. Рассмотрим φ(x) = f (b) − f (a) g (x) − g (b) − g (a) f (x). Она непрерывна на [a, b],
′
′
′
дифференцируема на (a, b), φ (x) = f (b) − f (a) g (x) − g (b) − g (a) f (x) , x ∈ (a, b) ,
φ(a) = f (b) − f (a) g (a) − g (b) − g (a) f (a) = f (b)g (a) − g (b)f (a) ,
φ(b) = f (b) − f (a) g (b) − g (b) − g (a) f (b) = f (b)g (a) − g (b)f (a) .
По теореме Ролля ∃ c ∈ (a, b) φ′ (c) = 0 ⇔ f (b) − f (a) g ′ (c) − g (b) − g (a) f ′ (c) = 0. 2
Следствие.
∃ c ∈ (a, b) :
g , f ∈ C [a, b] ,
′
g , f дифференцируемы на (a, b) , ⇒ f (b) − f (a)
f (c)
= ′
.
g ′ (x) ̸= 0 на (a, b)
g (b) − g (a)
g (c)
Действительно, при данных условиях g (a) ̸= g (b), так как если это не так, по теореме Ролля
∃ c ∈ (a; b) g ′ (c) = 0 – противоречие. В результате можем обе части равенства из утверждения теоремы
Коши разделить на g (b) − g (a) и на g ′ (c). 2
Это утверждение часто называют теоремой Коши об отношении приращений двух функций.
Теорема (Лагранж)
g , f ∈ C [a, b] ,
g , f дифференцируемы на (a, b)
⇒
∃ c ∈ (a, b) :
f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a)
Доказательство. Утверждение
теоремы получается
по теореме Коши,
если положить g (x) = x. Тогда
∃ c ∈ (a, b) f (b) − f (a) g ′ (c) − g (b) − g (a) f ′ (c) = f (b) − f (a) − (b − a)f ′ (c) = 0. 2
y
f (b) − f (a)
Геометрический смысл равенства
= f ′ (c):
b−a
Если выполнены условия теоремы, в некоторой точке c; f (c) , где
c ∈ (a; b), касательная
к Γ(f ) параллельна секущей, проходящей
через точки a; f (a) и b; f (b) .
f (b)
f (a)
a
• Также, как для теоремы Ролля,
существенными являются условия
непрерывности функции на [a; b] и
дифференцируемости на (a; b):
y
y
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
a
b x
c
a
b x
b x
Правило Лопиталя
Теорема. Пусть x0 ∈ R, f (x) и g (x) дифференцируемы и g ′ (x) ̸= 0 на некоторой проколотой
окрестности точки x0 .
Если lim f (x) = lim g (x) = 0, или lim f (x) = lim g (x) = ∞, то
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
f (x)
f ′ (x)
= A.
∃ lim ′
= A ∈ R ⇒ ∃ lim
x→x0 g (x)
x→x0 g (x)
• В условиях теоремы предел lim
x→x0
f (x)
представляет собой неопределённость вида
g (x)
h∞i
0
или
.
0
∞
◦
Доказательство. Пусть S δ′ (x0 ) – окрестность, где выполнены условия теоремы.
◦
1. Рассмотрим случай x0 ∈ R, lim f (x) = lim g (x) = 0. Пусть x ∈ S δ′ (x0 ) Доопределим функции f и g ,
x→x0
x→x0
положив f (x0 ) = g (x0 ) = 0. Тогда на отрезке [x0 ; x] или [x; x0 ], если x < x0 они удовлетворяют
условиям теоремы Коши, следовательно
f (x)
f ′ c(x)
f (x) − f (x0 )
.
∃ c = c(x) ∈ (x0 ; x) или c = c(x) ∈ (x; x0 ), если x < x0
=
= ′
g (x)
g (x) − g (x0 )
g c(x)
f (x)
Так как lim c(x) = x0 , переходя к пределу в равенстве, получаем lim
= A.
x→x0
x→x0 g (x)
2. Пусть x0 ∈ R, lim f (x) = lim g (x) = ∞. Пусть б. о. о. A ∈ R \ {0} и x → x0 + 0.
x→x0
x→x0
∗
′
∗
f ′ (c)
f (x) − f (x ∗ )
.
= ′
∗
g (x) − g (x )
g (c)
∗
По теореме Коши ∀ x, x ∈ (x0 ; x0 + δ ) ∃ c = c(x , x) ∈ (x; x )
f (x ∗)
f (x) 1 − f (x)
f (x) − f (x ∗ )
f ′ (c) 1 −
f (x)
⇒
С другой стороны,
=
= ′
∗)
∗
g
(x
g (x) − g (x )
g (x)
g (c) 1 −
g (x) 1 −
g (x)
представление, получим оценку:
g (x ∗)
1−
f (x)
f ′ (c) 1 − g (x)
−A = ′
∗) ± A
f
(x
g (x)
g (c) 1 −
1−
f (x)
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
−A ≤
◦
1−
f ′ (c)
−A
g ′ (c)
1−
◦
g (x ∗)
g (x)
+
f (x ∗)
f (x)
f ′ (x)
Пусть ε > 0. Выберем S δ1 (x0 ) так, чтобы ∀ x ∈ S δ1 (x0 ) выполнялось
g ′ (x)
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
c(x ∗ , x)
′
x0 x
x ∗ x0 + δ
(∗) . Используя это
1−
|A|
1−
−A <
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
−1
(∗∗)
ε
(a).
4
◦
Возьмём произвольное x ∗ ∈ S δ1 (x0 ) и, пользуясь тем, что lim f (x) = lim g (x) = ∞, а значит,
1−
lim
x→x0
1−
◦
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
∀ x ∈ S δ2 (x0 )
◦
x→x0
◦
◦
= 1, выберем S δ2 (x0 ) так, что ∀ x ∈ S δ2 (x0 )
1−
1−
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
1−
∈ S1 (1) ⇒
1−
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
1−
1−
◦
g (x ∗)
g (x)
f (x ∗)
f (x)
x→x0
− 1 < min
◦
ε
, 1 (b). Тогда
2|A|
◦
< 2 (c). Пусть S δ (x0 ) = S δ1 (x0 ) ∩ S δ2 (x0 ). Тогда
◦
∀ x ∈ S δ (x0 ) ∃ c = c(x ∗ , x) ∈ (x; x ∗ ) такое, что верно представление (∗), и, так как c ∈ S δ (x0 ), используя
f (x)
ε
ε
оценку (∗∗) и неравенства (a), (b) и (c), получим
− A < · 2 + |A| ·
= ε. 2
g (x)
4
2|A|
"
#
f 1t
f (x)
x = 1t
3. Пусть x0 = ∞, lim f (x) = lim g (x) = 0 (или ∞). Тогда lim
=
=
lim
.
x→∞
x→∞
x→∞ g (x)
t→0 g 1
t = x1
t
Функции f 1t и g 1t удовлетворяют условиям теоремы в некоторой окрестности нуля. При этом
1 ′
f ′ 1t
− t2
f ′ 1t
f 1t
f ′ (x)
=
lim
=
lim
= A. Поэтому, по доказанному в пп. 1 и 2,
lim
= lim ′
x→∞ g (x)
1
t→0 ′ 1
t→0 g ′ 1
t→0 g 1 ′
− t2
g t
t
t
f 1t
f (x)
lim
= lim
= A. 2
x→∞ g (x)
t→0 g 1
t
h∞i
loga x
Пример. Пусть α > 0, a > 1. Рассмотрим предел x→+∞
lim
=
. Применим правило Лопиталя:
α
x
∞
′
(loga x)
1/(x ln a)
1
loga x
lim
= lim
= lim
= 0 ⇒ lim
= 0.
x→+∞ (x α )′
x→+∞ αx α−1
x→+∞ αx α ln a
x→+∞ x α
h∞i
xα
Пример. Пусть α > 0, a > 1. Рассмотрим x→+∞
lim
=
. Применим правило Лопиталя:
x
a
∞
(
αx α−1
(x α )′
0 , если α ≤ 1 ⇒ исходный предел = 0 ,
= lim
= ∞
lim
x→+∞ ax ln a
x→+∞ (ax )′
, если α > 1 . Ещё раз дифференцируем числ. и знам.:
∞
(
α(α − 1)x α−2
(αx α−1 )′
0 , если 1 < α ≤ 2 ⇒ предыд. и исходный пределы = 0 ,
= lim
= ∞
lim
x→+∞
x→+∞ (ax ln a)′
, если α > 2 . и т. д.
ax (ln a)2
∞
За конечное число шагов ∀ α > 0 показатель степени в числителе понижается до нулевой или
xα
отрицательной, неопределённость исчезает. Следовательно, ∀ α > 0
lim
= 0.
x→+∞ ax
Определение. Пусть f (x) и g (x) – б. б. в т. x0 ∈ R. f (x) называется б. б. более высокого порядка,
g (x)
обозначение: f (x) ≫ g (x) , если lim
= 0.
x→x0 f (x)
• Из примеров, рассмотренных выше, получаем следующую шкалу бесконечно больших:
чем g (x) при x → x0
∀ a > 1, α > 0 loga x ≪ x α ≪ ax , x → +∞
.
h i
0
∞
• Правило Лопиталя применимо только для разрешения неопределённостей вида
;
и
0
∞
lim f (x)g (x) = 00 – неопределённость т. к. f (x)g (x) = e g (x) ln f (x) = e [0·∞]
Пример. lim x x = 00 x→x
x→0+0
0
h∞i
ln x
x
x ln x
lim x = lim e
. Рассмотрим lim x ln x = lim
=
.
x→0+0
x→0+0
x→0+0
x→0+0 1/x
∞
h
i
′
(ln x)
1/x
lim
= lim
= − lim x = 0 ⇒ Лопиталь ⇒ lim x ln x = 0 ⇒ lim x x = e 0 = 1.
x→0+0 (1/x)′
x→0+0 −1/x 2
x→0+0
x→0+0
x→0+0
• если предел lim
x→x0
f ′ (x)
f (x)
не существует, нельзя утверждать, что не существует lim
x→x0 g (x)
g ′ (x)
f ′ (x)
f (x)
= A ∈ R ⇒ ∃ lim
= A.
x→x0 g (x)
g ′ (x)
h∞i
x + cos x
=
.
Пример. Рассмотрим предел x→∞
lim
∞
x − cos x
1 + cosx x
(x + cos x)′
1 − sin x
x + cos x
не
существует.
lim
=
lim
Однако,
lim
=
lim
= 1.
x→∞ (x − cos x)′
x→∞ 1 + sin x
x→∞ x − cos x
x→∞ 1 − cos x
x
т. к. утверждение теоремы имеет вид
∃ lim
x→x0
Производные и дифференциалы высших порядков
Если производная f ′ (x) функции f (x) дифференцируема на множестве X ⊆ R, то производная функции
f ′ (x), определённая на X называется производной функции f (x) второго порядка или второй
′
df
производной функции f (x) (обозначение f ′′ (x)), т. е. f ′′ (x) = f ′ (x) .
′
df
Аналогично определяются производные 3-го и более высоких порядков: f (n) (x) = f (n−1) (x) .
n−1
d
f (x)
d n f (x) df d
Альтернативное обозначение:
=
.
dx n
dx
dx n−1
(n)
Если существует f (x0 ), говорят что функция f (x) n раз дифференцируема в точке x0 .
Дифференциалом n-го порядка функции f (x) в точке x0 называют степенную функцию приращения
df
независимой переменной dx, определённую равенством d n f (x0 ) = f (n) (x0 )dx n .
Формула Тейлора
Определение. Многочлен Tn (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
2
n!
#
n
X
f (k) (x0 )
k
(0)
или Tn (x) =
(x − x0 ) , где f (x) = f (x) называют многочленом Тейлора порядка n
k!
k=0
функции f (x) в точке x0 .
"
Разность между функцией и ее многочленом Тейлора в точке x0 : rn (x) = f (x) − Tn (x) называют
остаточным членом формулы Тейлора, а равенство f (x) = Tn (x) + rn (x) – формулой Тейлора n-го
порядка в точке x0 .
Остаточный член выражает погрешность приближения функции ее многочленом Тейлора.
Следующая теорема дает качественную характеристику остаточного члена. Она описывает его поведение
при фиксированном n и x → x0 .
Теорема (об остаточном члене формулы Тейлора в форме Пеано)Пусть функция f (x) n раз
члена формулы Тейлора n-го порядка в точке x0
дифференцируема в точке x0 . Тогда для остаточного
справедливо равенство rn (x) = o (x − x0 )n , при x → x0 . В результате, справедливо равенство –
формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n + o (x − x0 )n , x → x0 .
2
n!
d 2 f (x0 )
d (n) f (x0 )
+ ··· +
+ o dx n , dx → 0 .
В другой форме: f (x0 + dx) = f (x0 ) + df (x0 ) +
2
n!
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
0
rn (x)
f (x) − Tn (x)
=
lim
=
x→x0 (x − x0 )n
x→x0
(x − x0 )n
0
т. к. lim f (x) = f (x0 ) f (x) дифференцируема ⇒ следовательно непрерывна в точке x0 ,
x→x0
!
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
′
2
n
lim Tn (x) = lim f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )
= f (x0 ).
x→x0
x→x0
2
n!
Будем применять правило Лопиталя: Доказательство. Рассмотрим lim
(n)
f (x0 )
′
(x − x0 )n−1
f ′ (x) − f ′ (x0 ) + f ′′ (x0 )(x − x0 ) · · · + (n−1)!
f (x) − Tn (x)
0
(1) lim
=
′ = lim
n−1
n
x→x0
x→x
n(x
−
x
)
0
0
(x − x0 )
0
т. к. lim f ′ (x) = f ′ (x0 ) f ′ (x) дифференцируема ⇒ непрерывна в точке x0 , lim Tn′ (x) = f ′ (x0 ).
x→x0
x→x0
. . . и т. д. . . .
(n−1)
f (x) − Tn (x)
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) + f (n) (x0 )(x − x0 )
0
(n − 1) lim
= lim
=
=
(n−1)
x→x0
x→x0
n
n!(x
−
x
)
0
0
(x − x0 )
(n−1)
т. к. lim f (n−1) (x) = f (n−1) (x0 ) f (n−1) (x) диф-ма ⇒ непр. в точке x0 , lim Tn
(x) = f (n−1) (x0 ).
x→x0
x→x0
Применять "правило Лопиталя в условиях теоремы
больше нельзя f (n) существует только в т. x0 .
#
1
f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )
=
lim
− f (n) (x0 ) = f (n) (x0 ) − f (n) (x0 ) = 0.
n! x→x0
x − x0
По правилу Лопиталя, отсюда следует наше утверждение. 2
• Многочлен Тейлора n-го порядка даёт наилучшее локальное приближение функции многочленом
степени n.
n
X
Действительно, пусть Pn (x) =
ak (x − x0 )k – некоторый многочлен, отличный от многочлена Тейлора
k=0
f (x) − Pn (x)
̸= 0, т. е. погрешность приближения f (x)
(x − x0 )n
n
этим многочленом не является величиной o (x − x0 ) при x → x0 . Действительно,
m = deg (Tn − Pn ) ≤ n. Пусть Tn (x) − Pn (x) = bm (x − x0 )m + · · · + b"1 (x − x0 ) + b0 , bm ̸= 0. Тогда #
Tn (x) − Pn (x) + f (x) − Tn (x)
o (x − x0 )n
f (x) − Pn (x)
Tn (x) − Pn (x)
lim
=
lim
=
lim
=
+
x→x0
x→x0
x→x0
(x − x0 )n
(x − x0 )n
(x − x0 )n
(x − x0 )n
"
#
o (x − x0 )n
̸= 0 т. к. предел последнего слагаемого
= lim bm (x − x0 )m−n + + · · · + b0 (x − x0 )−n +
x→x0
(x − x0 )n
равен нулю, а предел суммы остальных равен ∞ или (при m = n и bm−1 = · · · = b0 = 0) bm ̸= 0.
n
X
f (k) (x0 )
Пример. f (x) = e x . Построим Tn (x) =
(x −x0 )k для n = 0, 1, 2
k!
k=0
n-го порядка функции f в точке x0 . Тогда lim
• T2 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
⇒ ex = 1 + x +
f ′′ (x0 )
x2
⇒
(x − x0 )2 = 1 + x +
2!
2
x2
+ o(x 2 ), x → 0.
2
=
y
y
в точке x0 = 0. ∀ n ∈ N f (n) (x) = e x ⇒ f (n) (0) = 1.
• T0 (x) = f (x0 ) = 1 ⇒ e x = 1 + o(x), x → 0;
• T1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) = 1 + x ⇒ e x = 1 + x + o(x), x → 0;
y =
ex
y =
T
T
2 (x
1(
)
x)
x→x0
y = T0 (x)
x
• Если в формуле Тейлора x0 = 0, то она называется формулой Тейлора–Маклорена:
f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f (n) (0) n
f ′′ (0) 2
x + ··· +
x + o(x n ) , x → 0 .
2
n!
Разложение по формуле Тейлора–Маклорена основных элементарных функций
1 ex = 1 + x +
x2
x3
xn
+
+ ··· +
+ o(x n ) , x → 0
2
3!
n!
"
#
⇐ ∀ n ∈ N f (n) (x) = e x ⇒ f (n) (0) = 1
"
(
#
x 2n+1
x3 x5
(−1)n cos x , k = 2n + 1 ,
+ −· · ·+(−1)n
+o(x 2n+2 ) , x → 0 ⇐ f (k) (x) =
(−1)n sin x , k = 2n
3! 5!
(2n + 1)!
"
(
#
x2
x4
x 2n
(−1)n sin x , k = 2n − 1 ,
3 cos x = 1 −
+
− · · · + (−1)n
+ o(x 2n+1 ) , x → 0 ⇐ f (k) (x) =
(−1)n cos x , k = 2n
2
4!
(2n)!
(k − 1)!
x3
x2
xn
4 ln(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1
+ o(x n ) , x → 0 ⇐ f (k) (x) = (−1)k−1
(1 + x)k
2
3
n
α(α
−
1)
α(α
−
1)
.
.
.
(α
−
n
+
1)
5 (1 + x)α = 1 + αx +
x2 + · · · +
+ o(x n ) , x → 0 ⇐
2
"
# n!
2 sin x = x −
⇐ f (k) (x) = α(α − 1) . . . (α − k + 1)(1 + x)α−k
Свойства символа o-малое: Пусть α(x) и β(x) – б. м. в точке x0 . Тогда
1 o(α)
± o(α) = o(α), x → x0 ;
f (x)±g (x)
f (x) g (x)
f (x), g (x) = o(α), x → x0 ⇒ f (x) ± g (x) = o(α), x → x0 т. к. lim
= lim
±
=0
x→x0
x→x0 α(x) α(x)
α(x)
o(α)
α
2
=o
, x → x0 ;
β
β
f (x)
α
f (x)/β(x)
f (x)
f (x) = o(α), x → x0 ⇒
=o
т. к. lim
= lim
=0
x→x0 α(x)/β(x)
x→x0 α(x)
β(x)
β
3 αo(β) = o(αβ), x → x0 ;
α(x)f (x)
f (x)
f (x) = o(β), x → x0 ⇒ α(x)f (x) = o (αβ) т. к. lim
= lim
=0
x→x0 α(x)β(x)
x→x0 β(x)
4 Если C = const ̸= 0, то C · o(α) = o(α), x → x0 ;
C · f (x)
f (x) = o(α), x → x0 ⇒ C · f (x) = o(α), x → x0 т. к. lim
=0
x→x0 α(x)
5 Если C = const ̸= 0, то o(C α) = o(α), x → x0 ;
f (x)
f (x)
f (x) = o(C α), x → x0 ⇒ f (x) = o(α), x → x0 т. к. lim
= C lim
=0
x→x0 α(x)
x→x0 C α(x)
6 o α + o(α) = o(α), x → x0 .
f (x)
т.
к.
lim
=
φ(x)
=
o(α),
x
→
x
∧
f
(x)
=
o(α
+
φ),
x
→
x
⇒
f
(x)
=
o(α)
0
0
x→x0 α(x)
f (x)
φ(x)
f (x)
α(x) + φ(x)
= lim
1+
= 0 · (1 + 0) = 0
= lim
·
x→x0 α(x) + φ(x)
x→x0 α(x) + φ(x)
α(x)
α(x)
• f (x) = o(1) , x → x0 ⇔ lim f (x) = 0.
x→x0
Раскрытие неопределённостей методом выделения главной части б. м.
Определение. Если бесконечно
малая в точке x0 ∈ R функция f (x) представлена в виде
f (x) = A(x − x0 )n + o (x − x0 )n , x → x0 , где A ̸= 0, то величину A(x − x0 )n называют главной частью
бесконечно малой f (x) в точке x0 .
Вычисление предела в любой точке x0 ∈ R с помощью подходящей замены переменной можно свести к
вычислению предела в нуле.
Пусть f (x) и g (x) – б. м. в точке 0 и для них справедливы представления: f (x) = Ax n + o x n , x → 0 и
m
m
g (x) = Bx + o x , x → 0, где A ̸= 0 и B ̸= 0, n, m ∈ N. Тогда
i
h
Ax n−m +o x n−m
если
n
>
m
=
= B0 = 0 ,
B+o 1
h
i
h i
Ax n + o x n
0
f (x)
A+o 1
= A = ∞,
=
если
m
>
n
=
= lim
lim
=
0
m−n +o x m−n
x→0 Bx m + o x n
x→0 g (x)
Bx
0
h
i
A+o 1
= A.
если n = m =
B
B+o 1
√
5
− x5
#
1−x −e
(1 +
= 1 + αx
o(x 2 ), x → 0
=
=
2
x→0
x2
e x = 1 + x + x2 +
1· −4
2
( )
2
4
1
1− x5 + 5 2 5 x 2 +o(x 2 ) − 1− x5 + x50 +o(x 2 )
− 50
− 50
x + o(x 2 )
1
1
= lim
=
lim
=
lim
−
+o(1)
=− .
x→0
x→0
x→0
x2
x2
10
10
x
√
√
5
x
5
1 − x − 1 − e− 5 − 1
− x5 + x5
1 − x − e− 5
• Заметим: lim
= lim
̸= lim
= 0.
2
2
x→0
x→0
x→0
x
x
x2
Пример. lim
"
x)α
α(α−1) 2
+
x +
2
o(x 2 ), x → 0
Следующая теорема дает количественную характеристику остаточного члена формулы Тейлора.
Теорема (об остаточном члене формулы Тейлора в форме Лагранжа) Пусть функция f (x)
n + 1 раз дифференцируема в некоторой Sδ (x0 ). Тогда
◦
f (n+1) (c)
∀ x ∈ S δ (x0 ) ∃ c ∈ (x0 , x) c ∈ (x, x0 )
rn (x) =
(x − x0 )n+1 . (∗)
(n + 1)!
◦
f (n+1) x0 + θ(x − x0 )
• Другая формулировка: ∀ x ∈ S δ (x0 ) ∃ θ ∈ (0, 1) : rn (x) =
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
Таким образом, справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
n
X
f (n+1) x0 + θ(x − x0 )
f (k) (x0 )
k
(x − x0 ) +
(x − x0 )n+1 , θ ∈ (0; 1)
f (x) =
k!
(n + 1)!
k=0
Доказательство. Функции rn (x) = f (x) − Tn (x) и G (x) = (x − x0 )n+1 n + 1 раз дифференцируемына
Sδ (x0 ), где выполнены условия теоремы ⇒ их производные до n-го порядка непрерывны на Sδ (x0 ) . При
(k)
этом ∀ k = 0, n rn (x0 ) = G (k) (x0 ) = 0, так как G (k) (x) = (n + 1)n . . . (n + 2 − k)(x − x0 )n+1−k ,
f (n) (x0 )
(k)
(k)
rn (x) = f (k) (x) − Tn (x) = f (k) (x) − f (k) (x0 ) + f (k+1) (x0 )(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n−k .
(n − k)! ◦
rn (x)
rn (x) − rn (x0 )
r ′ (c1 )
по т. Коши
Пусть x ∈ S δ (x0 ), б. о. о. x > x0 . Тогда
=
=
= n′
=
∃ c1 ∈ (x0 ; x)
(x − x0 )n+1
G (x) − G (x0 )
G (c1 )
(n+1)
′′
′
′
r (c2 )
rn
(cn )
rn (c1 ) − rn (x0 )
по т. Коши
по т. Коши
=
= n′′
= . . . и т. д. · · · =
= (n+1)
=
∃ c2 ∈ (x0 ; c1 )
∃ cn ∈ (x0 ; cn−1 )
G (c2 )
G ′ (c1 ) − G ′ (x0 )
G
(cn )
f (n+1) (cn )
. Полагая c = cn , получаем (∗). На каждом шаге условия теоремы Коши выполнены. 2
=
(n + 1)!
Пример. Оценим абсолютную погрешность приближённых формул для f (x) = e x :
x2
x2
x2
x3
x3
x4
= T2 (x), e x ≈ 1 + x +
+
= T3 (x) и e x ≈ 1 + x +
+
+
= T4 (x) при |x| < 0, 5.
2
2
6
2
6 24
Погрешность этих формул выражается остаточным членом формулы Тейлора –Маклорена :
ex ≈ 1 + x +
r2 (x) = f (x) − T2 (x), r3 (x) = f (x) − T3 (x) и r4 (x) = f (x) − T4 (x). Сделаем оценку абсолютной величины
погрешности, записав остаточный член в форме Лагранжа:
3
1
1
ec 3
f ′′′ (c) 3
• ∀ x ∈ (−0, 5; 0, 5) ∃ c ∈ (0; x) c ∈ (x; 0)
x < |x|3 < 4 =
;
x =
r2 (x) =
6
6
2
16
3!
ec 4
3
1
1
f (4) (c) 4
• ∀ x ∈ (−0, 5; 0, 5) ∃ c ∈ (0; x) c ∈ (x; 0)
x <
|x|4 < 7 =
;
r3 (x) =
x =
24
24
2
128
4!
f (5) (c) 5
ec 5
1
3
1
• ∀ x ∈ (−0, 5; 0, 5) ∃ c ∈ (0; x) c ∈ (x; 0)
x <
|x|5 <
=
.
r4 (x) =
x =
120
120
5 · 28
1280
5!
Теоремы, использующиеся при исследовании функции
для построения её графика
6 ноября 2023 г.
Асимптоты
Определения.
• Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой Г(f ), если
f (x) = ∞ ;
lim
x→x0 (±0)
• Прямая y = y0 называется горизонтальной асимптотой Γ(f ) при x → ±∞, если
lim f (x) = y0 ;
x→±∞
• Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой Γ(f ) при x → ±∞, если
lim f (x) − (kx + b) = 0 .
x→±∞
Теорема (Критерий существования наклонной
асимптоты) y = kx + b является наклонной асимптотой Γ(f ) ⇔
Доказательство. ⇒
lim
x→±∞
f (x)
=k
x
∧
lim (f (x) − kx) = b .
x→±∞
f (x) − (kx + b) = 0 ⇒ lim (f (x) − kx) = b ∧ lim
x→±∞
x→±∞
f (x) ± (kx + b)
f (x) − (kx + b)
b
0
b
= lim
= lim
+k +
=
+k +
= k.
x→±∞
x→±∞
x
x
x
∞
∞
⇐ Очевидно. 2
Пример. f (x) =
lim f (x) =
x→1
−2
lim
x→±∞
x2 + x − 4
2x − 2
. D(f ) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Граничные точки D(f ): 1, ±∞.
0
= ∞ ⇒ x = 1 – вертикальная асимптота Γ(f ).
lim f (x) = ∞ ⇒ исследуем на наклонную асимптоту:
=
lim
x→∞
lim
x→∞
y
x→∞
=
f (x)
=
x
1 + x1 − 42
x
2 − x2
=
1
2
= k.
x2 + x − 4 − x2 + x
2x − 2
=
lim
x→∞
lim
x→∞
f (x) − kx =
2x − 4
2x − 2
x2 + x − 4
lim
=
x
2x 2 − 2x
!
2
x +x −4
x
−
=
2x − 2
2
lim
x→∞
lim
x→∞
=1 ⇒ y =
x
2
f (x)
=
x→∞
+ 1 – наклонная асимптота.
0
1
x
Теорема
(достаточное условие строгой монотонности) Пусть f дифференцируема на (a, b).
(
∀ x ∈ (a; b) f ′ (x) > 0 ⇒ f (x) ↑ строго на (a; b) ,
∀ x ∈ (a; b) f ′ (x) < 0 ⇒ f (x) ↓ строго на (a; b) .
Доказательство. Пусть ∀ x ∈ (a; b) f ′ (x) > 0. Возьмём x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 . На отрезке [x1 ; x2 ]
выполнены условия теоремы Лагранжа, следовательно, ∃ c ∈ (x1 ; x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c)(x2 − x1 ) > 0 ⇒
⇒ f (x1 ) < f (x2 ). Доказали: f (x) ↑ строго на (a; b). Аналогично доказывается второе утверждение. 2
Тогда
Определение. x0 называется
• точкой локального максимума функции f (x), если ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f (x) ≤ f (x0 );
• точкой локального минимума функции f (x), если ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Sδ (x0 ) f (x) ≥ f (x0 );
◦
• точкой строгого локального максимума функции f (x), если ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) < f (x0 );
◦
• точкой строгого локального минимума функции f (x), если ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) > f (x0 ).
Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.
Теорема (Необходимое условие локального экстремума)
x0 – точка локального экстремума функции f (x) ⇒ ∄ f ′ (x0 ) ∨ f ′ (x0 ) = 0 .
Доказательство. Пусть x0 – точка локального максимума. Тогда f (x0 ) =
существует, по теореме Ферма f ′ (x0 ). 2
max
(x0 −δ;x0 +δ)
f (x). Если f ′ (x0 )
• На рисунке изображён график функции, для которой точки
x1 , x2 , x3 и x4 – точки локального экстремума, при этом
f ′ (x1 ) = f ′ (x4 ) = 0, а f ′ (x2 ) и f ′ (x3 ) не существуют.
x
x1
x2
x3
x4
Теорема (1-е достаточное условие локального экстремума)
◦
Пусть ∃ δ > 0 f (x) непрерывна на Sδ (x0 ) и дифференцируема
на S δ (x0 ). Тогда
∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′ (x) > 0 ∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) f ′ (x) < 0 ⇒ x0 – точка строгого локального максимума ,
∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′ (x) < 0 ∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) f ′ (x) > 0 ⇒ x0 – точка строгого локального минимума .
• Условия импликаций можно сформулировать: «если f ′ (x) меняет знак в точке x0 ».
◦
Доказательство. ∀ x ∈ S δ (x0 ), где выполнены условия теоремы, на отрезке с концами x0 и x выполнены
условия теоремы Лагранжа ⇒ ∃ c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1 f (x) − f (x0 ) = f ′ (c)(x − x0 ). Пусть
выполнено условие первой импликации. Тогда x < x0 ⇒ c < x0 ⇒ x − x0 < 0 ∧ f ′ (c) > 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) < 0.
x > x0 ⇒ c > x0 ⇒ x − x0 > 0 ∧ f ′ (c) < 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) < 0.
◦
В результате ∀ x ∈ S δ (x0 ) f (x) < f (x0 ). Аналогично доказывается вторая импликация. 2
•
Геометрический смысл условий теоремы: Функция меняет
y
характер монотонности в точке x0 .
• В условиях теоремы f (x) может быть не дифференцируемой в точке x0 .
• Непрерывность в f (x) в точке x0 существенна.
f (x0 )
◦
На рисунке изображён график функции, дифференцируемой на S δ (x0 ),
имеющей разрыв в точке x0 . Производная данной функции меняет знак
с «+» на «−» в точке x0 , тем не менее, x0 не является для f (x) точкой
локального максимума.
x0 − δ
x0
x0 + δ x
Теорема (2-е достаточное условие локального экстремума)
Пусть
f (x) дважды дифференцируема
в точке x0 . Тогда
f ′ (x0 ) = 0 ∧ f ′′ (x0 ) > 0 ⇒ x0 — точка строгого локального минимума ,
f ′ (x0 ) = 0 ∧ f ′′ (x0 ) < 0 ⇒ x0 — точка строгого локального максимума .
Доказательство. В условиях теоремы, по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в
f ′′ (x0 )
некоторой окрестности точки x0 f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + o (x − x0 )2 , x → x0 ⇒
2
f ′′ (x0 )
f ′′ (x0 )
⇒ f (x) − f (x0 ) =
(x − x0 )2 + o (x − x0 )2 = (x − x0 )2
+ o(1) , x → x0 . (∗)
2
2
′′
Пусть f (x0 ) > 0.
◦
f ′′ (x0 )
.
Возьмём ε =
По определению предела найдётся δ > 0 такое, что ∀ x ∈ S δ (x0 ) o(1) < ε.
′′
4
′′
◦
f (x0 )
f (x0 )
f ′′ (x0 ) f ′′ (x0 )
Тогда ∀ x ∈ S δ (x0 )
.
+ o(1) ∈ Sε
0
4
2
2
2
′′
h i
◦
f ′′ (x0 )
f (x0 )
Sε
Следовательно, ∀ x ∈ S δ (x0 )
+ o(1) > 0 ⇒ (∗) ⇒ f (x) − f (x0 ) > 0.
2
2
Таким образом, x0 – точка локального минимума f (x). Вторая импликация доказывается аналогично. 2
Геометрический смысл теоремы:
В условиях теоремы функция f (x) в точке x0 локально аппроксимируется
многочленом
Тейлора 2-го порядка. При этом касательная к Γ(f ) в точке
x0 ; f (x0 ) горизонтальна, так что график функции вблизи этой точки
f ′′ (x0 )
(x − x0 )2 .
похож на параболу, заданную уравнением y = f (x0 ) +
2
Знак f ′′ (x0 ) определяет направление её ветвей.
f ′′ (x0 ) > 0
f ′′ (x0 ) < 0
x0
x0
Вычисление односторонних производных
Для уточнения наклона ветвей графика функции в точках излома можно использовать следующее
утверждение.
Предложение.
1 Если f (x) непрерывна на [x0 ; x0 + δ) и дифференцируема на (x0 ; x0 + δ), то
∃ f ′ (x0 + 0) ⇒ ∃ f+′ (x0 ) ∧ f+′ (x0 ) = f ′ (x0 + 0).
2 Если f (x) непрерывна на (x0 − δ; x0 ] и дифференцируема на (x0 − δ; x0 ), то
′ (x ) ∧ f ′ (x ) = f ′ (x − 0).
∃ f ′ (x0 − 0) ⇒ ∃ f−
0
0
− 0
Доказательство. 1. ∀ x ∈ (x0 ; x0 + δ) на отрезке [x0 ; x] выполнены условия теоремы Лагранжа, поэтому
h
i
f (x) − f (x0 )
f ′ (c)(x − x0 )
= ∃ c ∈ (x0 ; x) =
= f ′ (c) (∗). Т. к. x → x0 + 0 ⇒ c → x0 + 0, при
x − x0
x − x0
x → x0 + 0 существует предел правой части равенства. Следовательно, существует предел левой части, т.
е. ∃ f+′ (x0 ). Переходя к пределу в равенстве (∗) при x → x0 + 0, получаем f+′ (x0 ) = f ′ (x0 + 0).
2. Доказывается аналогично. 2
Определение. Функция f (x) называется выпуклой вниз (вверх) на (a, b), где a, b ∈ R, если
∀ x1 , x2 ∈ (a, b),
f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x)
< 0 (> 0) .
x1 < x2 ∀x ∈ (x1 , x2 ) f (x) −
x2 − x1
f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x)
x2 − x1
– секущая к Γ(f ), проходящая
через точки
x1 , f (x1 ) и x2 , f (x2 ) .
• График функции y =
Геометрический смысл условия (∗): На любом интервале (x1 ; x2 ) ⊂ (a; b) Γ(f ) лежит ниже (выше) отрезка
секущей с концами (x1 , f (x1 )) и (x2 , f (x2 )).
y
y
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
a
b x
(∗)
a
b x
Теорема (достаточное условие
выпуклости)f ′′ (x) > 0 (< 0) на (a, b) ⇒ f выпукла вниз (вверх)на (a, b) .
Доказательство. Пусть f ′′ (x) > 0 на (a, b). Возьмём x1 , x2 ∈ (a; b). Пусть x1 < x2 , x ∈ (x1 ; x2 ).
f (x2 )(x − x1 ) + f (x1 )(x2 − x)
f (x)(x2 − x1 ) − f (x2 )(x − x1 ) − f (x1 )(x2 − x)
f (x) −
=
=
x2 − x1
x2 − x1
f (x) − f (x1 ) (x2 − x) − f (x2 ) − f (x) (x − x1 )
f (x)(x2 − x) + f (x)(x − x1 ) − f (x2 )(x − x1 ) − f (x1 )(x2 − x)
=
=
=
x2 − x1
x2 −
x1 ′
′
x1 c1 x c2 x2
f (c1 )(x − x1 )(x2 − x) − f (c2 )(x2 − x)(x − x1 )
a
b
по теореме Лагранжа
=
=
=
∃ c1 ∈ (x1 ; x), c2 ∈ (x; x2 )
x
−
x
2
1
f ′ (c1 ) − f ′ (c2 ) (x − x1 )(x2 − x)
f ′′ (c3 )(c1 − c2 )(x − x1 )(x2 − x)
+ − ++
по т. Лагранжа
=
=
=
=
< 0. 2
∃ c3 ∈ (c1 ; c2 )
x2 − x1
x2 − x1
+
Физический смысл достаточного условия выпуклости:
Если y = f (x) – закон одномерного движения, где x – время, то
f ′′ (x) – ускорение в момент x. Утверждение теоремы означает,
что график движения с положительным ускорением на интервале времени (a; b) является выпуклым вниз, а график движения
с отрицательным ускорением является выпуклым вверх.
y
y
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
bx
a
bx
a
Определение. x0 называется точкой перегиба функции f , если f дифференцируема в точке x0 и
∃ δ > 0 ∀x ∈ (x0 −δ, x0 ) f (x) < f (x0 )+f ′ (x0 )(x−x0 ) ∧ ∀x ∈ (x0 , x0 +δ) f (x) > f (x0 )+f ′ (x0 )(x−x0 ) , (1)
или
∃ δ > 0 ∀x ∈ (x0 −δ, x0 ) f (x) > f (x0 )+f ′ (x0 )(x−x0 ) ∧ ∀x ∈ (x0 , x0 +δ) f (x) < f (x0 )+f ′ (x0 )(x−x0 ) . (2)
• Условия (1) и (2) означают, что разность
f (x) − f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) меняет знак в
точке x0 . Геометрически это выражается в
том, что график функции f в точке (x0 , f (x0 ))
переходит с одной стороны касательной на
другую.
y
y
f (x0 )
f (x0 )
x0
x
x0
x
Теорема (Необходимое условие перегиба)
x0 – точка перегиба функции f
⇒
∄ f ′′ (x0 ) ∨ f ′′ (x0 ) = 0 .
Доказательство. Будем считать, что выполнено условие
∃ δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) f (x) < f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) ∧ ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) f (x) > f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) ,
Предположим, что f ′′ (x0 ) существует.
Тогда f ′ (x) существует в некоторой Sδ (x0 ). Пусть x ∈ Sδ (x0 ). Тогда
на отрезке [x0 ; x] или [x; x0 ] выполнены условия теоремы Лагранжа и, следовательно,
по т. Лагранжа
′
∃ c ∈ (x0 ; x) = f ′ (c)(x − x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) = f ′ (c) − f ′ (x0 ) (x − x0 ).
f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ) =
или ∈ (x; x0 )
f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 )
f ′ (c) − f ′ (x0 )
Разделим обе части равенства на (x − x0 )(c − x0 ):
=
. (∗).
(x − x0 )(c − x0 )
c − x0
′′
Так как x → x0 ⇒ c → x0 , предел правой части этого равенства при x → x0 равен f (x0 ).
При этом:
• при x0 < c < x левая часть равенства (∗) отрицательна, поэтому, переходя в нём к пределу при
x → x0 + 0, получаем f ′′ (x0 ) ≤ 0;
• при x < c < x0 левая часть равенства (∗) положительна, поэтому, переходя в нём к пределу при
x → x0 − 0, получаем f ′′ (x0 ) ≥ 0.
Следовательно, f ′′ (x0 ) = 0. 2
Теорема (Достаточное условие перегиба) Пусть функция f дифференцируема в точке x0 и
◦
дважды дифференцируема на некоторой S δ (x0 ). Тогда
∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′′ (x) > 0 ∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) f ′′ (x) < 0
∨
∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′′ (x) < 0 ∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) f ′′ (x) > 0
⇒ x0 – точка перегиба f .
◦
Доказательство. Пусть ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 ) f ′′ (x) > 0 ∧ ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) f ′′ (x) < 0. Пусть x ∈ S δ (x0 ).
Тогда
по т. Лагранжа
f (x)−f (x0 )−f ′ (x0 )(x −x0 ) = ∃ c1 ∈ (x0 ; x) = f ′ (c1 )(x −x0 )−f ′ (x0 )(x−x0 ) = f ′ (c1 )−f ′ (x0 ) (x −x0 ) =
или ∈ (x; x0 )
по т. Лагранжа
′′
= ∃ c2 ∈ (x0 ; c1 ) = f (c2 )(c1 − x0 )(x − x0 ). В результате получаем:
или ∈ (c1 ; x0 )
x ∈ (x0 − δ, x0 ) ⇒ x < c1 < c2 < x0 ⇒ f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) = f ′′ (c2 )(c1 − x0 )(x − x0 ) > 0 ,
∨
∧
0
0
∧
0
x ∈ (x0 , x0 + δ) ⇒ x0 < c2 < c1 < x ⇒ f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) = f ′′ (c2 )(c1 − x0 )(x − x0 ) < 0 .
∧
Таким образом, x0 – точка перегиба f (x). 2
• Геометрический смысл требования смены
знака f ′′ в точке x0 – состоит в изменении
направления выпуклости функции в этой
точке.
∨
0
0
y
+
⌣
f (x0 )
∨
0
y
f (x0 )
⌢
−
x0
x
+
⌣
⌢
−
x0
x
План полного исследования функции f (x) для построения её графика
1 Отмечаем такие свойства функции как чётность, нечётность (чётную или нечётную функцию
достаточно исследовать только при x ≥ 0, а далее достроить график, используя его
симметричность), периодичность (график периодической функции достаточно построить на
произвольном отрезке, длиной в основной период функции);
2 Находим D(f ). Если возможно, находим E (f ), отмечаем если функция ограничена (в частности,
сверху или снизу). Исследуем поведение функции в граничных точках D(f ) включая +∞ и
−∞, если D(f ) – неограниченное множество, при этом исследуем асимптотику Γ(f ) ;
3 Находим нули функции и промежутки знакопостоянства функции;
4 Строим эскиз графика;
5 Находим f ′ (x) и с её помощью уточняем наклон графика там, где это необходимо, определяем
промежутки монотонности функции и находим её точки локального экстремума;
6 Находим f ′′ (x) и с её помощью исследуем направление выпуклости и находим точки перегиба
Γ(f );
7 Делаем уточнённый чертёж.
Пример. f (x) = arcsin
2x
.
1 + x2
−2x
2x
= − arcsin
= −f (x) ⇒ Γ(f ) симметричен
1 + (−x)2
1 + x2
относительно начала координат. Далее исследуем функцию только при x ≥ 0.
(
2x
x 2 + 2x + 1 ≥ 0
2
2
2 D(f ) определяется условием −1 ≤
≤ 1 ⇔ −x − 1 ≤ 2x ≤ x + 1 ⇔
⇒
x 2 − 2x + 1 ≥ 0
1 + x2
⇒ D(f ) = R.
π
π
Функция ограничена: ∀ x ∈ R − ≤ f (x) ≤ .
2
2
Граничные точки D(f ): ±∞. Исследуем поведение функции в граничных точках D(f ).
2
2x
lim f (x) = 0 т. к. lim
= lim 1 x
= 0 ⇒ y = 0 – горизонтальная асимптота Γ(f ).
x→∞
x→∞ 1 + x 2
x→∞
2 +1
1 Функция нечётная: f (−x) = arcsin
x
3 Единственный ноль функции – точка x = 0. Промежутки знакопостоянства:
4 Строим эскиз графика, учитывая непрерывность функции всюду на R:
y
π
2
0
−π
2
x
−
0
+
x
′
1
1 + x 2 − 2x · x
1 − x2
·
=2· p
=
2
2
(1 + x )
(1 + x 2 )2 − 4x 2 1 + x 2
1 − x2
1
1 − x2
1 − x2
1
1
x
p
= 2· √
·
=
2
·
=
2
·
·
=
sgn
x
·
∀
x
=
̸
0
|1 − x 2 | 1 + x 2
|x|
1 − 2x 2 + x 4 1 + x 2
(1 − x 2 )2 1 + x 2
5 f ′ (x) =
arcsin
2x
1 + x2
Таким образом,
= q
1−
f ′ (x) =
1
4x 2
(1+x 2 )2
·2·
2
sgn(1 − x 2 ) при x ̸= ±1
1 + x2
f ′ (x)
+
f (x) 0
↗
∄
1
−
x
↘
В точке x = 1 выполнено необходимое условие локального экстремума ∄ f ′ (1) , а также 1-е
′
достаточное условие локального максимума f (x) меняет знак с «+» на «−» .
С помощью производной уточним наклон графика в точке x = 0: f ′ (0) = 2.
В точке x = 1 функция недифференцируема. Найдём угловые коэффициенты односторонних
касательных лучей в соответствующей точке графика:
′ (1) = f (1 − 0) = 1.
f+′ (1) = f ′ (1 + 0) = −1, f−
′
′
2
1
−2x
6 f ′′ (x) =
sgn(1 − x 2 )
= 2 sgn(1 − x 2 )
= 2 sgn(1 − x 2 )
.
2
2
1+x
1+x
(1 + x 2 )2
∄
4x
+
f ′′ (x)
−
x
Таким образом,
f ′′ (x) =
sgn(x 2 − 1) при x ̸= ±1
(1 + x 2 )2
0
1
Поскольку f ′′ (0) = 0 и f ′′ (x) меняет знак в точке 0, точка 0; f (0) = (0; 0) – точка перегиба Γ(f ).
7 Делаем уточнённый чертёж.
Результаты исследования:
x
0
(0; 1)
1
(1; +∞)
f (x)
0
↗
π
2
↘
f ′ (x)
2
+
∄
−
f ′′ (x)
0
∄
⌣
⌢
−
+
y
π
2
−1
0
−π
2
1
x
Вектор-функции и функции заданные параметрически
13 ноября
Определение. Отображение промежутка (a; b) ⊂ R, где a, b ∈ R в пространство геометрических
векторов t 7→ ⃗
r (t) называется вектор-функцией.
Пусть в пространстве зафиксирован ортонормированный базис i, j, k и для вектор-функции ⃗
r (t) , t ∈ (a; b)
имеет место равенство ⃗
r (t) = x(t)i + y (t)j
n + z(t)k, t ∈ (a; b).
o
Определение. Множество точек l = x(t), y (t), z(t) ∈ R3 t ∈ (a; b)
называется кривой.
⃗
r (a)
Кривую l называют годографом вектор-функции ⃗
r (t).
⃗
r (t)
Уравнение ⃗
r =⃗
r (t) , t ∈ (a; b) называют векторным представлением кривой l.
Совокупность уравнений
l
⃗
r (b)
x = x(t) ,
t ∈ (a; b)
y = y (t) ,
O
z = z(t) ,
называют параметрическим представлением кривой l.
Для вектор-функций можно определить понятия предела в точке, непрерывности и
дифференцируемости. Для этого определим понятие окрестности вектора в пространстве.
Определение. Sε (⃗r0 ) = ⃗r | |⃗r − ⃗r0 | < ε .
Определение. Пусть вектор-функция ⃗r = ⃗r (t) определена на промежутке (a; b), t0 ∈ (a; b).
◦
df
⃗
r0 = lim ⃗
r (t) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ t ∈ (a; b) t ∈ S δ (t0 ) ⇒ ⃗
r (t) ∈ Sε (⃗
r0 ) .
t→t0
◦
df
Эквивалентная формулировка: ⃗
r0 = lim ⃗
r (t) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ t ∈ T t ∈ S δ (t0 ) ⇒ |⃗
r (t) − ⃗
r0 | < ε .
t→t0
Поэтому очевидно, что ⃗
r0 = lim ⃗
r (t) ⇔ lim |⃗
r (t) − ⃗
r0 | = 0 .
t→t0
t→t0
На случай вектор-функций переносятся такие теоремы о свойствах предельного перехода как теорема о
единственности предела, о переходе к пределу в равенстве, о локальной ограниченности функции,
имеющей конечный предел, о пределе линейной комбинации функций. Можно доказать теорему о
пределе произведения и частного вектор-функции и скалярной функции.
Доказательство. ⇐ Из равенства
Лемма. Пусть ⃗r0 = x0 i + y0 j + z0 k,
q
2
2
2
⃗
r (t) = x(t)i + y (t)j + z(t)k, t ∈ (a; b). Тогда |⃗
x(t) − x0 + y (t) − y0 + z(t) − z0 (∗)
r (t) − ⃗
r0 | =
по теоремам о свойствах предела следует lim |⃗
r (t) − ⃗
r0 | = 0.
x0 = lim x(t) ,
t→t0
t→t0
⃗
r (t) − r0 |,
y0 = lim y (t) ,
⃗
r0 = lim ⃗
r (t) ⇔
|x(t) − x0 | ≤ |⃗
t→t0
t→t0
⇒ Следует из неравенств |y (t) − y0 | ≤ |⃗
r (t) − ⃗
r0 |,
z0 = lim z(t) .
t→t0
|z(t) − z0 | ≤ |⃗
r (t) − ⃗
r0 |,
(Покоординатный переход к пределу)
которые следуют из (∗). 2
Определение. Вектор-функция ⃗r (t) называется непрерывной в точке t0 , если t→t
lim ⃗
r (t) = ⃗
r (t0 ).
0
На случай вектор-функций переносятся многие теоремы о локальных свойствах непрерывных функций
одной переменной, аналоги теорем Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке.
Как следствие доказанной выше леммы, получаем
Предложение. Вектор-функция ⃗r (t) = x(t)i + y (t)j + z(t)k , t ∈ T непрерывна в точке t0 ∈ T тогда и
только тогда, когда функции x(t), y (t) и z(t) непрерывны в этой точке.
Определение. Вектор-функция ⃗r (t) называется дифференцируемой в точке t0 , если ее приращение в
этой точке представимо в виде ∆⃗
r (t0 ) = ⃗
a · ∆t + ⃗
b(∆t) , где ⃗
a – постоянный вектор, |⃗
b(t)| = o(t), t → 0.
Линейная часть приращения ⃗
a · ∆t называется дифференциалом вектор-функции ⃗
r (t) в точке t0 и
⃗
r (t0 + ∆t) − ⃗
r (t0 )
df
обозначается d⃗
r (t0 ). Производная вектор-функции ⃗
r (t) в точке t0 : ⃗
r ′ (t0 ) = lim
.
∆t→0
∆t
⃗r
(
t0
)
l
⃗
r (t0 + ∆t) − ⃗
r (t0 )
O
t)
⃗
r (t0 + ∆
⃗
r ′ (t0 )
⃗
r (t0 +∆t)−⃗
r (t0 )
∆t
Вектор ⃗
r ′ (t0 ) в точке с радиус-вектором ⃗
r (t0 ) направлен по касательной к кривой l – годографу
вектор-функции ⃗
r (t).
Физический смысл:
Если вектор-функция ⃗
r =⃗
r (t) – закон движения, где t – время, то её годограф – траектория движения,
⃗
r ′ (t)| – абсолютная величина скорости в момент t.
r ′ (t) – вектор скорости в момент t, его длина |⃗
Для вектор-функций остаются справедливыми теоремы о связи непрерывности и дифференцируемости,
о связи дифференцируемости и существования производной. При этом для дифференцируемой в точке
t0 вектор-функции ⃗
r ′ (t0 ) = ⃗
a , где ⃗
a – вектор из соотношения ∆⃗
r (t0 ) = ⃗
a · ∆t + ⃗
b(∆t) в определении
дифференцируемости. Таким образом, дифференциал дифференцируемой вектор-функции ⃗
r (t) в точке
t0 имеет вид: d⃗
r (t0 ) = ⃗
r ′ (t0 )dt .
⃗
r (t0 + ∆t) − ⃗
r (t0 )
x(t0 + ∆t) − x(t0 )
y (t0 + ∆t) − y (t0 )
z(t0 + ∆t) − z(t0 )
=
i+
j+
kи
∆t
∆t
∆t
∆t
леммы о покоординатном переходе к пределу вытекает следующее
Из равенства
Предложение. Вектор-функция ⃗r (t) = x(t)i + y (t)j + z(t)k , t ∈ (a; b) дифференцируема в точке
t0 ∈ (a; b) тогда и только тогда, когда функции x(t), y (t) и z(t) дифференцируемы в этой точке. При
этом ⃗
r ′ (t0 ) = ẋ(t0 )i + ẏ (t0 )j + ż(t0 )k .
Используя это предложение и свойства производных скалярных функций легко доказать следующие
свойства производной вектор-функции:
1 ∀ α, β ∈ R и дифференцируемых в точке t вектор-функций ⃗
r 1 (t) и ⃗
r 2 (t)
′
′
α⃗
r 1 (t) + β⃗
r 2 (t) = α⃗
r 1 (t) + β⃗
r ′2 (t) ,
2 ∀ дифференцируемых в точке t функции f (t) и вектор-функции ⃗
r (t)
′
′
′
f (t)⃗
r (t) = f (t)⃗
r (t) + f (t)⃗
r (t) ,
3 Для любых дифференцируемых в точке t вектор-функций ⃗
r 1 (t) и ⃗
r 2 (t)
′
1 ⃗
r 1 (t), ⃗
r 2 (t) = ⃗
r ′1 (t), ⃗
r 2 (t) + ⃗
r 1 (t), ⃗
r ′2 (t) ,
′
2 ⃗
r 1 (t) × ⃗
r 2 (t) = ⃗
r ′1 (t) × ⃗
r 2 (t) + ⃗
r 1 (t) × ⃗
r ′2 (t) ,
4 Для любой дифференцируемой в точке t вектор-функции ⃗
r (t) и любой дифференцируемой в точке
d
⃗
τ функции φ(τ ), такой, что t = φ(τ )
r φ(τ ) = ⃗
r ′ φ(τ ) φ′ (τ ) .
dτ
Определение. Кривая l называется непрерывной, если она имеет векторное представление ⃗r = ⃗r (t),
r (t) дифференцируема
t ∈ (a; b), где ⃗
r (t) – непрерывная на (a; b) вектор-функция. Если вектор-функция ⃗
и при этом ⃗
r ′ (t) ̸= ⃗0 во внутренних точках промежутка (a; b), то кривая l называется гладкой.
Кусочно-гладкой называют кривую, которую можно разбить на конечное число гладких кривых.
• Геометрический смысл условия ⃗
r ′ (t) ̸= ⃗0 состоит в том, что в точке с радиус-вектором ⃗
r (t)
существует ненулевой касательный вектор ⃗
r ′ (t) = ẋ(t)i + ẏ (t)j + ż(t)k к кривой l.
Гладкая кривая допускает бесконечно много различных представлений.
Определение. ⃗r = ⃗r 1 (t) , t ∈ (a1 ; b1 ) и ⃗r = ⃗r 2 (t) , t ∈ (a2 , b2 ) называются эквивалентными
представлениями гладкой кривой l, если существует непрерывно-дифференцируемая
строго-монотонная
функция φ : (a1 ; b1 ) → (a2 , b2 ) такая, что ⃗
r 1 (t) = ⃗
r 2 φ(t) , t ∈ (a1 ; b1 ).
Поскольку при этих условиях функция φ обратима, ⃗
r 2 (t) = ⃗
r 1 φ−1 (t) , t ∈ (a2 ; b2 )
Каждое представление гладкой кривой задает на ней направление обхода.
Представления ⃗
r =⃗
r 1 (t) и ⃗
r =⃗
r 2 (t) кривой l задают одно направление обхода, если ∀ M ∈ l с
радиус-вектором ⃗
r 1 (t1 ) = ⃗
r 2 (t2 ) выполнено ⃗
r ′1 (t1 ) ↑↑ ⃗
r ′2 (t2 ), противоположные, если ⃗
r ′1 (t1 ) ↑↓ ⃗
r ′2 (t2 ) .
(
y b
x = a cos t,
Пример.
t ∈ [0; 2π], a, b > 0 – параметрические уравнения
−a
a x
y = b sin t,
x2 y2
r =⃗
r (t) = a cos t i+b sin t j – векторное представление .
эллипса l : 2 + 2 = 1 ⃗
a
b
−b
⃗
r =⃗
r 1 (t) = a cos 2t i + b sin 2t j, t ∈ [0; π], ⃗
r =⃗
r 2 (t) = a cos t i − b sin t j, t ∈ [−2π; 0] – эквивалентные
⃗
⃗
представления эллипса l. Пусть M ∈ l, r (t) = r 1 2t = ⃗
r 2 (−t) – радиус-вектор этой точки t ∈ [0; 2π] .
⃗
r ′ (t) = −a sin t i + b cos t j, ⃗
r ′1 (t) = −2a sin 2t i + 2b cos 2t j ⇒ ⃗
r ′1 2t = −2a sin t i + 2b cos t j ↑↑ ⃗
r ′ (t).
′
′
′
⃗
r 2 (−t) = a sin t i − b cos t j ↑↓ ⃗
r (t). Таким образом, ⃗
r (t) и ⃗
r 1 (t) задают
r 2 (t) = −a sin t i − b cos t j ⇒ ⃗
одно направление обхода, а ⃗
r 2 (t) – противоположное.
Параметрическое задание функции
Определение. Пусть φ(t) и ψ(t) определены на (a; b) ∈ R, где
y
ψ (a; b)
(∗)
y
x, f (x) = g (y ), y
}
t ∈ (a; b)
{z
(
x = φ(t) ,
y = ψ(t) ,
|
a, b ∈ R. Если функция φ обратима на (a; b), то говорят, что уравнения
x
x
|
{z }
параметрически задают функцию y = f (x) = ψ φ−1 (x) на множестве
φ (a; b)
φ (a; b) . Если функция ψ(t) обратима на (a; b), то говорят, что урав
нения (∗) параметрически задают функцию x = g (y ) = φ ψ −1 (y ) на
t b t
a
множестве ψ (a; b) .
(
x = cos t ,
Пример. Уравнения
(∗∗) на промежутке [0; π], где обратим косинус, параметрически
y = sin t
√
задают функцию y = sin arccos x = 1 − x 2 , а на промежутке [− π2 ; π2 ], где обратим синус,
p
параметрически задают функцию x = g (y ) = cos arcsin y = 1 − y 2 . Графиками этих функций
являются соответственно верхняя и правая половины окружности x 2 + y 2 = 1, для которой уравнения
(∗∗) дают параметрическое представление. На промежутке [−π; 0], где обратная
функция это
√
к косинусу
− arccos x уравнения (∗∗) параметрически задают функцию y = sin − arccos x = − 1 − x 2 , а на
промежутке [ π2 ; 3π
], где обратная к синусу функщия это π − arcsin x, уравнения (∗∗) параметрически
2
p
задают функцию x = cos π − arcsin y = − cos arcsin y = − 1 − y 2 . Графиками этих функций
являются соответственно нижняя и левая половины окружности, заданной уравнениями (∗∗).
Переход от параметрического представления функции к явному далеко не всегда возможен, однако
можно дифференцировать параметрически заданную функцию, не переходя к явному представлению.
Теорема. Пусть функции φ(t) и ψ(t) дифференцируемы на (a; b). Тогда
(
• если φ′ (t) сохраняет знак на (a; b), то уравнения
x = φ(t) ,
y = ψ(t) ,
t ∈ (a; b) задают функцию
y = y (x), дифференцируемую на X = φ (a; b) , причём ∀ x = φ(t) ∈ X
• если ψ ′ (t) сохраняет знак на (a; b), то уравнения
(
x = φ(t) ,
y = ψ(t) ,
y ′ (x) =
y ′ (t)
.
x ′ (t)
t ∈ (a; b) задают функцию
x = x(y ), дифференцируемую на Y = ψ (a; b) , причём ∀ y = ψ(t) ∈ Y
x ′ (y ) =
x ′ (t)
.
y ′ (t)
Доказательство. Если φ′ (t) сохраняет знак на (a; b), то функция φ(t) монотонна и, следовательно,
обратима на этом промежутке, при этом, по теореме о дифференцируемости обратной функции
′
1
∀ x = φ(t) ∈ X φ−1 (x) = ′ . Поэтому для y = y (x) = ψ φ−1 (x) получаем: ∀ x = φ(t) ∈ X
φ (t)
′
′
ψ ′ (t)
y ′ (x) = ψ φ−1 (x)
= ψ ′ φ−1 (x) φ−1 (x) = ′
. Аналогично доказывается второе утверждение. 2
φ (t)
Поскольку производная параметрически заданной функции имеет параметрическое представление:
′ ′
(
′
ψ (t)
x = φ(t),
y ′ (x) t
φ′ (t)
′′
′
t
∈
(a;
b),
для
производной
второго
порядка
получаем:
y
(x)
=
=
ψ
(t)
φ′ (t)
φ′ (t)
y ′ (x) = φ′ (t) ,
Свойства параметрически заданных кривых на плоскости
(
x = φ(t),
Пусть кривая l задана на плоскости параметрическими уравнениями
y = ψ(t),
t ∈ R.
Предложение. Ветви кривой l, соответствующие t ∈ (0; +∞) и t ∈ (−∞; 0)
• симметричны относительно начала координат, если φ(t) и ψ(t) нечётны;
φ(−t), ψ(−t) =
− φ(t), −ψ(t) симметрична φ(t), ψ(t) относительно точки (0, 0)
• симметричны относительно оси OY , если φ(t) нечётна, а ψ(t) чётна;
φ(−t), ψ(−t) =
− φ(t), ψ(t) симметрична φ(t), ψ(t) относительно оси OY
• симметричны относительно оси OX , если φ(t) чётна, а ψ(t) нечётна;
φ(−t), ψ(−t) = φ(t), −ψ(t) симметрична φ(t), ψ(t) относительно оси OX
• совпадают, если φ(t) и ψ(t) чётны.
φ(−t), ψ(−t) = φ(t), ψ(t)
Асимптоты параметрически заданной кривой
• Если x(t) → x0 ∈ R ∧ y (t) → ∞ при t → t0 ± 0 или при t → ±∞, то прямая x = x0 –
вертикальная асимптота соответствующей ветви кривой;
• Если x(t) → ∞ ∧ y (t) → y0 ∈ R при t → t0 ± 0 или при t → ±∞, то прямая y = y0 –
горизонтальная асимптота соответствующей ветви кривой;
• Если x(t) → ∞ ∧ y (t) → ∞ при t → t0 ± 0 или при t → ±∞ и при этом
y (t)
→ k ∈ R ∧ y (t) − kx(t) → b ∈ R, то прямая y = kx + b – наклонная асимптота
x(t)
соответствующей ветви кривой.
План исследования параметрически заданной кривой на плоскости
1 Отмечаем, если функции x = φ(t) и y = ψ(t) обладают такими свойствами как четность,
нечётность, в связи с чем кривая обладает симметрией), периодичность;
2 Проводя неполное исследование, строим эскизы графиков функций x = φ(t) и y = ψ(t) находим
вертикальные и горизонтальные
асимптоты, промежутки монотонности и точки локального
экстремума φ(t) и ψ(t) ;
3 Строим эскиз кривой;
4 Исследуем асимптотику кривой;
5 Глядя на ветви кривой как на графики функций вида y = y (x) или x = x(y ) , заданных
′
′
параметрически, находим производные y = y (x) x = x (y ) и уточняем с их помощью наклон
кривой в тех точках, где это представляет интерес;
6 Находим y = y ′′ (x) и исследуем направление выпуклости ветвей кривой, находим ;
7 Делаем уточнённый чертёж.
1 + t2
1 + t3
, y =
.
t
t2
1 x(−t) = −x(t) ⇒ x(t) нечётная, y (t) – функция общего вида ⇒ кривая не симметричная.
Пример. l : x =
2 D(x) = D(y ) = R \ {0}. Функции не ограниченные.
lim x(t) = ∞ ⇒ t = 0 – вертикальная асимптота графика x(t).
▶
x
t→0
lim x(t) = ∞. Исследование на наклонную асимптоту не проводим .
2
t→∞
−
Нули и промежутки знакопостоянства x(t):
0
▶
t
1
′
−1
0
1
1
t2 − 1
(t − 1)(t + 1)
+
−
−
+t
=− 2 +1=
=
2
2
t
t
t
t
lim y (t) = ∞ ⇒ t = 0 – вертикальная асимптота графика y (t).
x ′ (t) =
−1
t
+
1
−2
+ t
y
t→0
−1
−
lim y (t) = ∞. Нули и пром-ки знакопостоянства y (t):
0
+
+ t
t→∞
y ′ (t) =
1
+t
t2
′
2
t3 − 2
=− 3 +1=
t
t3
+
√
3
0
−
√
3
2
√
3
t
(−∞; −1)
−1
(−1; 0)
0
(0; 1)
1
x
↗
−2
↘
∞
↘
2
↗
√
1+ 3 4
√
3
2
y
↗
0
↗
∞
↘
2
↘
3
√
3
(1;
2)
4
3
√
34
2
−1
t
3
1√
2
+ t
2
√
( 3 2; +∞)
≈ 2, 054
↗
≈ 1, 89
↗
3 Строим эскиз кривой:
√
3
t
(−∞; −1)
−1
(−1; 0)
0
(0; 1)
1
x
↗
−2
↘
∞
↘
2
↗
y
↗
0
↗
∞
↘
2
↘
(1;
√
3
2)
√
1+ 3 4
√
3
2
x0 =
y0 =
y
0
+
−
0
→
t
t
t =1
t
←
∞
−
≈ 1, 89
↗
∞
→
√
t = 32
t = −1
−2
↗
0
+
2
y0
4
≈ 2, 054
→
0
t
3
√
3
√
( 3 2; +∞)
2
x
2 x0
1 + t3
1 + t2
, y =
. при t → ±0 и при t → ±∞.
4 Исследуем асимптотику ветвей кривой l : x =
t
t2
3
1
y (t)
1+t
▶
lim
= lim
=
= ∞ ⇒ у этих ветвей наклонных асимптот нет.
t→0±0 x(t)
t→0±0 t(1 + t 2 )
0
1
h
i
+1
y (t)
1 + t3
∞
t3
▶
lim
= lim
=
=
lim
= 1 = k,
t→±∞ x(t)
t→±∞ t(1 + t 2 )
t→±∞ 1 + 1
∞
t2
2
3
1+t
1
1+t
1−t
1
lim y (t) − kx(t) = lim
−
−
= 0 = b.
= lim
= lim
2
2
2
t→±∞
t→±∞
t→±∞ t
t→±∞ t
t
t
t
Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота ветвей кривой при t → ±∞.
(t − 1)(t + 1)
t3 − 2
t3 − 2
y ′ (t)
= x ′ (t) =
; y ′ (t) =
=
.
5 Находим производную y ′ (x) = ′
2
3
t
t
t(t − 1)(t + 1)
x (t)
для ветвей кривой, являющихся графиками параметрически заданных функций вида y = y (x) .
x ′ (t)
t(t − 1)(t + 1)
Аналогично x ′ (y ) = ′
=
y (t)
t3 − 2
для ветвей кривой, являющихся графиками параметрически заданных функций вида x = x(y ) .
Видим:
y ′ (x)
x ′ (y )
√
t= 3 2
= 0 ⇒ в точке (x0 , y0 ) кривая имеет касательную, параллельную оси OX ;
= x ′ (y )
t=−1
оси OY .
= 0 ⇒ в точках (−2, 0) и (2, 2) кривая имеет касательные, параллельные
t=1
y
0
−
0
t
+
t
→
0
∞
+
2
y0
t
t =1
←
t
−2
→
√
t = 32
t = −1
−
∞
0
→
x
2 x0
′
y ′ (x) t
6 Найдём y ′′ (x) =
.
φ′ (t)
′
3
′
′
t3 − 2
t −2
3t 2 (t 3 − t) − (3t 2 − 1)(t 3 − 2)
y ′ (x) t =
=
=
=
t(t − 1)(t + 1)
t3 − t
(t 3 − t)2
3
2
3
2
5
3
5
3
2
−2t + 6t − 2
−2(t − 3t + 1)
3t − 3t − 3t + t + 6t − 2
= 2
= 2
.
=
t (t − 1)2 (t + 1)2
t (t − 1)2 (t + 1)2
(t 3 − t)2
x ′ (t) =
(t − 1)(t + 1)
⇒
t2
y ′′ (x) =
−2(t 3 − 3t 2 + 1)
.
(t − 1)3 (t + 1)3
Рассмотрим многочлен g (t) = t 3 − 3t 2 + 1. Заметим, что
g (−1) = −3 < 0, g (0) = 1 > 0, g (1) = −1 < 0, g (2) = −3 < 0, g (3) = 1 > 0. Так как g (t) – всюду
непрерывная функция, по лемме о нуле непрерывной функции, g (t) имеет три нуля:
−2(t − t1 )(t − t2 )(t − t3 )
t1 ∈ (−1; 0), t2 ∈ (0; 1) и t3 ∈ (2; 3). При этом y ′′ (x) =
.
(t − 1)3 (t + 1)3
Знак второй производной меняется следующим образом:
−1
+
−
t1
+
t2
−
1
+
t3
−
t
x
↗
−2
y
↗
0
1
√
(1; 3 2)
√
3
↘
↘
2
↗
x0
↗
↗
↘
↘
2
↘
y0
↗
↗
+
−
+
−
0
(0; t2 )
↘
↘
∞
↗
↗
∞
−
+
t2
y
0−
0
√
( 3 2; t3 )
2
+
t
t→
t = t2
2
y0
t =1
t = t3
√
t = 32
t = t1
t = −1
t
−2
←
y (x)
+
(t2 ; 1)
(t1 ; 0)
−
∞
′′
t1
∞
(−1; t1 )
+
−1
→
(−∞; −1)
t →0
+0
t
x
2 x0
t3
(t3 : +∞)
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый интегралы
20 ноября 2023 г.
Неопределённый интеграл
Определение. F (x) называется первообразной функции f (x) на пром-ке X , если ∀x ∈ X F ′ (x)=f (x).
Если промежуток X не указан, подразумевается вся область определения функции f (x).
Определение. Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество
всех
Z
первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначают символом
f (x) dx .
Z
n
o
Предложение. Если F (x) – первообразная функции f (x), то f (x) dx = F (x) + C C ∈ R . (∗)
функции f (x), то ∀ C ∈ R (F (x) + C )′ = F ′ (x) = f (x),
Доказательство. Если F (x) – первообразная
n
o Z
следовательно F (x) + C C ∈ R ⊆
f (x) dx.
Пусть F1 (x) и F2 (x) – первообразные f (x) на промежутке X . Обозначим Φ(x) = F1 (x) − F2 (x).
По
теореме Лагранжа ∀ x1 , x2 ∈ X ∃ c ∈ (x1 ; x2 ) Φ(x2 ) − Φ(x1 ) = Φ′ (c)(x2 − x1 ) = F1′ (c) − F2′ (c) (x2 − x1 ) =
= (f (c) − f (c))(x2 − x1 ) = 0 , т. е. Φ(x1 ) = Φ(x2 ). Таким образом, Φ(x) ≡ Const на промежутке X . Это
означает что любые две первообразные отличаются друг от друга на слагаемое константу, т. е.
Z
f (x) dx ⊆ {F (x) + C | C ∈ R} 2.
Z
Вместо равенства (∗) обычно пишут
f (x) dx = F (x) + C , где F (x) – некоторая первообразная f (x).
Вычисление неопределенного интеграла называется интегрированием. Техника интегрирования
основывается на свойствах неопределенного интеграла и использовании так называемых «табличных»
интегралов.
Свойства неопределенного интеграла
Z
Z
1
df (x) = f (x) + C .
⇐
Z
df (x) =
f ′ (x) dx = f (x) + C
Z
Z
f (x) dx = F (x) + C ⇒ d f (x) dx = d F (x) + C = F ′ (x) dx = f (x) dx
f (x) dx = f (x) dx. ⇐
Z
Таким образом, символы
и d обозначают взаимно-обратные операции – интегрирование и
Z
2 d
дифференцирование.
Z
3 (Линейность) ∀ α, β ∈ R
αf (x) + βg (x) dx = α
Z
Z
f (x) dx + β
(Очевидно).
g (x) dx
Табличные интегралы (Получаем, обращая формулы «табличных» производных)
Z
Z
x α+1
x α dx =
+ C , (α ̸= −1);
α+1
Z
dx
= ln |x| + C ;
x
1.
2.
Z
3.
ax dx =
ax
+C;
ln a
Z
4.
cos x dx = sin x + C ;
sin x dx = − cos x + C ;
Z
6.
dx
= − ctg x + C ;
sin2 x
Z
Z
5.
7.
dx
= tg x + C ;
cos2 x
√
8.
Z
9.
dx
1 − x2
(
=
dx
=
1 + x2
arcsin x + C ,
− arccos x + C ;
(
arctg x + C ,
− arcctg x + C .
Z
dx
1
1+x
= ln
+C;
1 − x2 Z 2
1−x
Z dx
1
1
1
dx
1
=
=
+
dx
=
ln
|1
+
x|
−
ln
|1
−
x|
+
C
2
(1 + x)(1 − x)
2
1+x
1−x
2
Z1 − x
p
dx
2
√
11.
= ln x + x ± 1 + C .
x2 ± 1
√
√
′
p
sgn x + x 2 ± 1
x
x2 ± 1 + x
1
√
√
ln x + x 2 ± 1
=
1+ √
=
= √
√
x + x2 ± 1
x2 ± 1
x + x2 ± 1 x2 ± 1
x2 ± 1
10.
Z
4
Свойство инвариантности интегральных формул:
Z
Z
f (x) dx = F (x) + C
⇒
f u(t) du(t) = F u(t) + C ∀ дифференцируемой функции u(t) (∗) .
Это свойство является следствием свойства инвариантности формы 1-го дифференциала:
df (x) = f ′ (x) dx ⇒ df u(t) = f ′ u(t) du(t) ∀ дифференцируемой u(t) (∗∗)
Доказательство. df u(t) = f ′ u(t) · u ′ (t) dt = f ′ u(t) du(t). Доказали (∗∗).
• Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы:
′
2
d f (x) = f ′′ (x) dx 2 , но d 2 f u(t) = f ′ u(t) · u ′ (t) dt 2 = f ′′ u(t) · u ′ (t) 2 + f ′ u(t) · u ′′ (t) dt 2 ̸=
2
2 2
′′
′′
′
Z ̸= f u(t) · du(t) = f u(t) · u (t) dt .
f (x) dx = F (x) + C ⇒ dF (x) = F ′ (x) dx = f (x) dx ⇒ dF u(t) = F ′ u(t) du(t) = f u(t) du(t) ⇒
h
i Z
f u(t) du(t) = F u(t) + C . 2
⇒ интегрируем обе части равенства =
Свойство инвариантности интегральных формул позволяет на основе табличных интегралов получать
новые.
Z
x3
Пример. Используя формулу x 2 dx = + C , получаем:
3
Z
Z
3
sin3 x
sin
x
•
sin2 x cos x dx =
+ C;
sin2 x d sin x =
+C ⇒
3
3
Z
Z
tg3 x
tg3 x
tg2 x
•
tg2 x d tg x =
+C ⇒
dx =
+ C;
3
cos2 x
3
Z
Z
3
2
3
ln x
ln x
ln x
•
ln2 x d ln x =
+C ⇒
dx =
+C
3
x
3
• и т. п.
Cведение интеграла к табличному через подведение функции под знак дифференциала
Z
Z
f (x) dx = F (x) + C ⇒
f u(x) u ′ (x) dx =
|
{z
Z
f u(x) du(x) = F u(x) + C
}
Подведение u(x) под знак дифференциала
• Если функция подведена под знак дифференциала, на неё можно смотреть как на независимую
переменную и использовать табличные интегралы.
Z
Z
arctg3 x
arctg2 x
=
arctg2 x d arctg x =
+ C.
Пример.
dx
3
1 + x2
Замена переменной в неопределённом интеграле
Z
Если
φ(x) dx = Φ(x) + C и f u(t) u ′ (t) = φ(t), то
Z
Z
Z
h
i
′
x = u(t)
f (x) dx =
=
=
f
u(t)
u
(t)
dt
φ(t) dt = Φ(t)+C = t = φ−1 (x) = Φ φ−1 (x) +C .
dx = u ′ (t) dt
Z
Z
Z
h
i Z ch t
ch t dt
dx
x = sh t
p
√
dt =
=
=
= ch2 t − sh2 t = 1 =
dt =
Пример. √ 2
dx = ch t dt
x +1
ch2 t
sh2 t + 1
t
−t
t
−t
ch t + sh t = e +e
= et
+ e −e
√
2
2
=t +C =
⇓
= ln x + x 2 + 1 + C .
p
t = ln ch t + sh t = ln sh t + sh2 t + 1
Z
Z
Z
Z
dx
sh t dt
sh t dt
x ≥ 0, x = ch t, t ≥ 0
√
p
√
Пример.
=
=
=
dt = t + C =
dt =
dx = sh t dt
2
x2 − 1
sh2 t
ch
p
pt −1 = ln(ch t + sh t) + C = ln ch t + ch2 t − 1 + C = ln x + x 2 − 1 + C , x ≥ 0.
Z
Z
Z
Z
dx
sh t dt
sh t
x = − ch t, t ≥ 0
√
p
√
=
При x ≤ 0
=−
=−
dt = − dt = −t + C =
dx = − sh t dt
x2 − 1
sh2 t
ch2 t − 1
p
p
1
2
2
+C =
− ln(ch t + sh t) + C = − ln ch t + ch t − 1 + C = − ln − x + x − 1 + C = ln √
2−1−x
x
√
p
2
x + x −1
= ln 2
+ C = ln − x − x 2 − 1 + C , x ≤ 0.
x − 1 − x2
Z
p
dx
√
В результате получаем:
= ln x + x 2 − 1 + C .
2
x −1
Интегрирование «по частям»
′
В основе этого приёма формула производной произведения: u(x)v (x) = u ′ (x)v (x) + u(x)v ′ (x).
′
Умножая обе части равенства на dx, получаем: u(x)v (x) dx = u ′ (x)dx v (x) + u(x) v ′ (x)dx, т. е. формулу
дифференциала произведения фунций:
d(uv ) = u dv + v du .
Интегрируя обе части равенства u dv = d(uv ) − v du, получаем формулу интегрирования «по частям»:
Z
Z
u dv = uv − v du
Пример.
Z
Z
x cos x dx =
Z
x d sin x = x sin x −
|{z} |{z}
|{z} |{z}
u
Пример.
Z
v
u
v
Z
ln x dx = x ln x −
Z
x d ln x = x ln x −
sin x d x = x sin x + cos x + C .
|{z} |{z}
v
u
x
dx = x ln x −
x
Z
dx = x ln x − x + C .
Определённый интеграл
τ
таких, что
Определение. Разбиением отрезка [a; b] называется множество точек τ = {xk }nk=0
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xnτ = b. Отрезок [xk−1 , xk ] называется k-м отрезком разбиения τ ,
df
∆xk = xk − xk−1 – длина k-го отрезка разбиения.
Через T [a; b] будем обозначать совокупность всех разбиений отрезка [a; b].
df
max ∆xk .
Определение. Диаметром разбиения τ называется величина |τ | =
k=1,nτ
τ
Пусть задано τ ∈ T [a; b] и пусть набор точек ξ̄ = {ξk }nk=1
взят так, что ξk ∈ [xk−1 , xk ], k = 1, nτ . Будем в
таком случае писать ξ̄ ,→ τ .
Пусть на отрезке [a; b] определена некоторая функция f (x).
Определение. Интегральной суммой, построенной для функции f по разбиению τ отрезка [a; b] и
df
набору точек ξ̄ ,→ τ называется величина στ (f , ξ̄) =
nτ
X
f (ξk )∆xk .
k=1
Определение (Интеграл Римана). Функция f (x) называется интегрируемой (по Риману)
на
отрезке [a; b], если ∃ I ∈ R ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ |τ | < δ ⇒ στ (f , ξ̄) − I < ε . (∗)
Zb
При этом число I называется интегралом от функции f (x) по отрезку [a; b]. Его обозначают
f (x) dx.
a
Интеграл является пределом интегральных сумм в смысле условия (∗) :
Zb
f (x) dx = lim στ (f , ξ̄)
|τ |→0
a
Определение интеграла можно сформулировать и на языке последовательностей:
Определение. Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если
∃ I ∈ R ∀ {τn } ⊂ T [a; b] ∀ {ξ̄n } (ξ̄n ,→ τn )
lim |τn | = 0 ⇒
n→∞
lim στn (f , ξ̄n ) = I
n→∞
.
Связь между этим определением и предыдущим такая же, как между определениями предела функции в
точке по Гейне и по Коши: эти определения эквивалентны.
Геометрический смысл интегральной суммы и интеграла.
τ
Пусть f (x) ≥ 0 на [a; b], τ = {xk }nk=0
∈ T [a; b], ξ̄ ,→ τ . Тогда k-е
nτ
X
слагаемое интегральной суммы στ (f , ξ̄) =
f (ξk )∆xk равно пло-
y
f (ξk )
k=1
щади прямоугольника, построенного на отрезке [xk−1 ; xk ] оси OX ,
высота которого равна f (ξk )
ξk
x
x0 x1 x2 ... xk−1 xk ...xnτ -1 xnτ
Определение интеграла можно сформулировать и на языке последовательностей:
Определение. Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если
∃ I ∈ R ∀ {τn } ⊂ T [a; b] ∀ {ξ̄n } (ξ̄n ,→ τn )
lim |τn | = 0 ⇒
lim στn (f , ξ̄n ) = I
n→∞
n→∞
.
Связь между этим определением и предыдущим такая же, как между определениями предела функции в
точке по Гейне и по Коши: эти определения эквивалентны.
Геометрический смысл интегральной суммы и интеграла.
Пусть f (x) ≥ 0 на [a; b], τ =
y
τ
{xk }nk=0
∈ T [a; b], ξ̄ ,→ τ . Тогда k-е
nτ
X
слагаемое интегральной суммы στ (f , ξ̄) =
f (ξk )∆xk равно плоk=1
щади прямоугольника, построенного на отрезке [xk−1 ; xk ] оси OX ,
высота которого равна f (ξk ), а интегральная сумма στ (f , ξ̄) равна
площади ступенчатой фигуры – объединения таких прямоугольников, построенных на отрезках разбиения τ .
ξn τ x
ξk
ξ1 ξ2
x0 x1 x2 ... xk−1 xk ...xnτ -1 xnτ
y
f (x)
Zb
В результате
f (x) dx = lim στ (f , ξ̄) равен площади криволиней|τ |→0
a
ной трапеции S =
n
(x, y )
S
o
a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f (x) .
dx
x
a
x
b
Физический смысл интеграла.
Определённый интеграл используется для выражения распределённых физических величин.
Пример. Масса с неравномерным одномерным распределением
Пусть распределение массы по отрезку [a; b] оси OX описывается линейной плотностью γ(x), x ∈ [a; b].
• Если γ ≡ Const, то γ – масса единицы длины, поэтому масса отрезка m = γ(b − a).
• Если γ ̸≡ Const, то m =
Zb
τ
γ(x) dx . Действительно, если τ = {xk }nk=0
– достаточно мелкое
a
разбиение [a; b], можно считать, что на k-м отрезке разбиения [xk−1 ; xk ] плотность γ(x) ≡ γ(ξk ),
где ξk ∈ [xk−1 ; xk ] – некоторая точка, и его масса mk ≈ γ(ξk )∆xk , причём точность приближения
Zb
nτ
nτ
X
X
mk ≈
γ(ξk )∆xk = στ γ, ξ̄ −−−−→
γ(x) dx.
тем лучше, чем меньше ∆xk . Получаем m =
k=1
k=1
|τ |→0
a
Пример. Найдём, пользуясь определением интеграла, значение
Z1
x dx.
0
Будем считать известным, что интеграл
существует. Так как по определению имеем:
Z1
∀ {τn } ⊂ T [0; 1] ∀ {ξ̄n } (ξ̄n ,→ τn ) lim |τn | = 0 ⇒ lim στn (f , ξ̄n ) =
x dx , возьмём τn = {xk }nk=0 ,
n→∞
n→∞
0
k −1
1
k
k
= , k = 1, n,
где xk = , т. е. разбиение на равные отрезки. Тогда ∆xk = xk − xk−1 = −
n
n
n
n
1
следовательно |τ | = max ∆xk = −−−−→ 0.
n n→∞
k=1,n
k −1 k
k
Возьмём ξ̄n = (ξ1 , . . . , ξn ) ,→ τn , где ξk = ∈ [xk−1 ; xk ] =
;
, k = 1, n. Тогда
n
n
n
n
n
n
n
X
X
X
X
1
1 (1 + n)n
1
1
1
k
k 1
=
= 2
k= 2 ·
= +
−−−−→ .
στn (f , ξ̄n ) =
f (ξk )∆xk =
f
2
n→∞ 2
n
n
n
2
2
2n
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
Z1
Таким образом,
x dx =
0
1
.
2
Условия существования интеграла
Теорема (Необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на отрезке, то
она на нем ограничена. Z
Доказательство. Пусть
b
f (x) dx = I . Предположим что f (x) не ограничена на [a; b]. Возьмем
a
произвольное ε > 0. Пользуясь определением, выберем δ > 0 так, чтобы выполнялось условие
∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ |τ | < δ ⇒ στ (f , ξ̄) − I < ε . (∗) Зафиксируем τ ∈ T [a; b] с |τ | < δ и возьмём
произвольный ξ̄ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξnτ } ,→ τ . Так как f (x) не ограничена на [a; b], то она не ограничена на
некотором отрезке разбиения τ . Пусть б. о. о. это [x0 ; x1 ]. Тогда ∀ M > 0 ∃ x ∈ [x0 ; x1 ] |f (x)| > M .
(n)
(n) Пользуясь этим построим последовательность точек ξ1 ∈ [x0 ; x1 ] так, что ∀ n ∈ N f ξ1
> n (∗∗) .
nτ
X
(n)
(n) Рассмотрим последовательность интегральных сумм στ f , ξ1 , ξ2 , . . . , ξnτ = f ξ1 ∆x1 +
f (ξk )∆xk .
k=2
(n)
Так как |τ | < δ, то в силу (∗) для любого n ∈ N στ f , ξ1 , ξ2 , . . . , ξnτ ∈ Sε (I ). В то же время из (∗∗)
(n)
следует что lim στ (f , ξ1 , ξ2 , . . . , ξnτ ) = ∞. Противоречие. 2
n→∞
• Обратная теорема не верна. Существуют ограниченные неинтегрируемые функции.
(
1, x ∈ Q,
всюду разрывная на R т. к. ∀ x0 ∈ R ∄ lim D(x)
Пример. Функция Дирихле: D(x) =
x→x0
0
, x∈
/ Q.
nτ
X
1 · ∆xk = b − a , если ξ̄ ⊂ Q ,
n
τ
X
k=1
∀ τ ∈ T [a; b] στ D, ξ̄ =
D(ξk )∆xk =
⇒ ∄ lim στ D, ξ̄ .
nτ
X
|τ |→0
k=1
0 · ∆xk = 0 , если ξ̄ ⊂ R \ Q.
k=1
Определённый интеграл. Достаточные условия существования
27 ноября 2023 г.
Суммы Дарбу
df
df
sup f (x), mk =
Определение. Пусть f (x) определена на [a; b], τ ∈ T [a; b], Mk =
[xk−1 ;xk ]
df
Верхняя сумма Дарбу: Sτ =
nτ
X
Mk ∆xk .
df
Нижняя сумма Дарбу: sτ =
k=1
nτ
X
inf
f (x).
[xk−1 ;xk ]
mk ∆xk .
k=1
Геометрический смысл: Если f (x) ≥ 0 на [a; b], то
y
• Sτ – площадь ступенчатой фигуры – объединения
прямоугольников с высотами Mk , построенных на отрезках
[xk−1n, xk ], содержащей криволинейную
o трапецию
S=
(x, y )
a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f (x) ,
x
x0
x1
x2
...
xnτ
x0
x1
x2
...
xnτ
y
• sτ – площадь ступенчатой фигуры – объединения
прямоугольников с высотами mk , построенных на отрезках
[xk−1 , xk ], содержащейся в S.
x
• Очевидно, ∀ τ ∈ T [a; b] sτ ≤ Sτ .
Свойства сумм Дарбу
Определение. Если τ1 , τ2 ∈ T [a; b] и τ1 ⊂ τ2 , то разбиение τ2 называют измельчением разбиения τ1 ,
или говорят, что разбиение τ2 вписано в разбиение τ1 .
Пусть функция f (x) определена на отрезке [a; b]. Тогда
1 ∀ τ1 , τ2 ∈ T [a; b] (τ1 ⊂ τ2 ⇒ Sτ1 ≥ Sτ2 ∧ sτ1 ≤ sτ2 ) .
Доказательство. Докажем первое неравенство (второе доказывается аналогично). Пусть [xk−1 ; xk ]
– отрезок разбиения τ1 , Mk ∆xk – соответствующее слагаемое Sτ1 . Существует две возможности:
▶ на (xk−1 ; xk ) нет точек разбиения τ2 . Тогда слагаемое Mk ∆xk входит и в Sτ2 . Mk
′ , . . . , x′
▶ на (xk−1 ; xk ) есть r точек разбиения τ2 . Пусть это xm
′
m+r −1 . Тогда
Mm
′
m+r
Mm+r
X
′
′
xk−1 = xm−1
, xk = xm+r
и в Sτ2 вместо Mk ∆xk входит
Mi′ ∆xi′ , где
i=m
Mi′ = sup f (x). При этом ∀i Mi′ ≤ Mk . ⇐ X ⊂ Y ⇒ sup X ≤ sup Y
′
x
[xi−1
;xi′ ]
m+r
m+r
m+r
X
X
X
... ′
′
′
xm−1
xm
xm+r
Следовательно
Mi′ ∆xi′ ≤
Mk ∆xi′ = Mk
∆xi′ = Mk ∆xk .
q
q
i=m
i=m
i=m
xk−1
xk
Таким образом, при переходе от Sτ1 к Sτ2 каждое слагаемое Mk ∆xk исходной суммы либо не
изменяется, либо заменяется на суммму нескольких слагаемых, значение которой не больше. 2
2 ∀ τ1 , τ2 ∈ T [a; b] sτ1 ≤ Sτ2 .
Доказательство. Пусть τ = τ1 ∪ τ2 . Тогда τ1 ⊂ τ ∧ τ2 ⊂ τ ⇒ sτ1 ≤ sτ ≤ Sτ ≤ Sτ2 2.
3 ∀ τ ∈ T [a; b] sτ = inf στ (f , ξ̄) ∧ Sτ = sup στ (f , ξ̄) .
ξ̄,→τ
ξ̄,→τ
Доказательство.
nτ
nτ
nτ
X
X
X
sup
f (x)∆xk = sup
f (ξk )∆xk ⇐ sup(X + Y ) = sup X + sup Y .
Sτ =
Mk ∆xk =
k=1
k=1 [xk−1 ;xk ]
ξ̄,→τ k=1
С использованием равенства inf(X + Y ) = inf X + inf Y , аналогично доказывается равенство для sτ .
Теорема (Критерий Дарбу): ∃
Zb
f (x) dx ⇔ lim (Sτ − sτ ) = 0
|τ |→0
a
Zb
Доказательство.
⇒ Пусть
f (x) dx = I , ε > 0. Пользуясь определением интеграла, выберем δ > 0
a
ε
ε
ε
⇔ I − < στ (f , ξ̄) < I +
.
3
3
3
ε
ε
Поскольку sτ = inf στ (f , ξ̄) ∧ Sτ = sup στ (f , ξ̄), из последнего нер-ва следует I − ≤ sτ ≤ Sτ ≤ I + ,
3
3
ξ̄,→τ
ξ̄,→τ
2ε
а значит 0 ≤ Sτ − sτ ≤
< ε. Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ τ ∈ T [a; b] |τ | < δ ⇒ Sτ − sτ < ε .
3
n
o
n
o
df
⇐
sτ τ ∈ T [a; b] ограничено сверху (например, любой из Sτ ) ⇒ I∗ = sup sτ τ ∈ T [a; b] ∈ R.
o
o
n
n
df
Sτ τ ∈ T [a; b] ограничено снизу (например, любой из sτ ) ⇒ I ∗ = inf Sτ τ ∈ T [a; b] ∈ R. При
так, что ∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ
|τ | < δ ⇒
στ (f , ξ̄) − I <
этом ∀ τ ∈ T [a; b] sτ ≤ I∗ ≤ I ∗ ≤ Sτ . Следовательно, 0 ≤ I ∗ − I∗ ≤ Sτ − sτ . Так как lim (Sτ − sτ ) = 0,
|τ |→0
переходя к пределу в этом неравенстве,
получаем I∗ = I∗ . Обозначим I = I∗ = I ∗ . Пусть ε > 0. Выберем
δ > 0 так чтобы ∀ τ ∈ T [a; b] |τ | < δ ⇒ |Sτ − sτ | < ε .
(
)
∀ τ ∈ T [a; b] sτ ≤ I ≤ Sτ
⇒ ∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ |τ | < δ ⇒ στ (f , ξ̄) − I < ε .
∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ sτ ≤ στ (f , ξ̄) ≤ Sτ
Zb
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ τ ∈ T [a; b] ∀ ξ̄ ,→ τ |τ | < δ ⇒ στ (f , ξ̄) − I < ε , т. е. ∃ f (x) dx. 2
a
df
Определение. Колебание функции f (x) на отрезке [a; b]: ω[a;b] (f ) =
|f (x1 ) − f (x2 )| .
sup
x1 ,x2 ∈[a;b]
df
Если задано τ ∈ T [a; b], будем обозначать ωk (f ) = ω[xk−1 ;xk ] (f ).
Справедливы равенства: ωk (f ) =
sup
|f (x1 ) − f (x2 )| =
x1 ,x2 ∈[xk−1 ;xk ]
=
sup
x∈[xk−1 ,xk ]
f (x) −
inf
x∈[xk−1 ,xk ]
(f (x1 ) − f (x2 )) =
sup
x1 ,x2 ∈[xk−1 ;xk ]
f (x) = Mk − mk ⇒ Sτ − sτ =
nτ
X
(Mk − mk )∆xk =
k=1
Zb
|τ |→0
a
Величина Sτ − sτ =
nτ
X
ωk (f )∆xk .
k=1
Следствие (Критерий Дарбу через колебания): ∃ f (x) dx ⇔ lim
Геометрический смысл критерия Дарбу:
nτ
X
nτ
X
ωk (f )∆xk = 0
k=1
y
ωk (f )∆xk равна площади объединения
k=1
прямоугольников вида [xk−1 ; xk ] × [mk ; Mk ], k = 1, nτ , содержащих график функции f (x) на [a; b]. Функция f (x) интегрируема
на [a; b] тогда и только тогда, когда эта площадь стремится к
нулю при |τ | → 0.
x
x0
x1
x2
...
xnτ
Для доказательства достаточного условия интегрируемости нам потребуется вспомогательный
математический аппарат.
Определение. f (x) называется равномерно непрерывной на множестве X ⊆ R, если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀ x ′ , x ′′ ∈ X
|x ′ − x ′′ | < δ ⇒
f (x ′ ) − f (x ′′ ) < ε
Сравним это определение с определением непрерывности f (x) в точке x0 .
f непрерывна в точке x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε, x0 ) > 0 ∀ x ∈ X |x − x0 | < δ ⇒
(∗)
f (x) − f (x0 ) < ε (∗∗)
Очевидно, что справедливо
следующее
Предложение. f (x) равномерно непрерывна на промежутке X ⇒ f (x) непрерывна на X
y
Геометрический смысл равномерной непрерывности:
ε
Для прямоугольника произвольной высоты ε можно выбрать
ширину δ так, чтобы можно было двигать его вдоль графика
функции f (x) на промежутке X таким образом, что график всегда пересекает только боковые стороны прямоугольника.
«крутизна» графика остаётся ограниченной
x
|δ
{z
X
}
f (x) не является равномерно непрерывной на множестве X ⇔
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀ x ′ , x ′′ ∈ X |x ′ − x ′′ | < δ ⇒ f (x ′ ) − f (x ′′ ) < ε ⇔
⇔ ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ′ , x ′′ ∈ X |x ′ − x ′′ | < δ ∧ f (x ′ ) − f (x ′′ ) ≥ ε
y
Геометрический смысл:
Можно задать высоту ε прямоугольника на плоскости XOY так, что какой
бы ни была его ширина δ, при движении прямугольника вдоль графика
функции f (x) в какой-то момент график перестанет проходить только через боковые стороны прямоугольника.
график содержит участки сколь угодно большой «крутизны»
1
Пример. Функция f (x) = не является равномерно непрерывной на
x
любом промежутке X вида (0; a]:
δ′
ε
δ
ε
|
} x
{z
X
y
1
1
не является равномерно
x
непрерывной на промежутках вида (0; a] и [a; 0).
Пример. f (x) = sin
−2
−1
0
−1
1
2
x
Теорема. f ∈ C [a; b] ⇒ f равномерно непрерывна на [a; b].
Доказательство. Предположим, что f ∈ C[a; b] и не является равномерно непрерывной
на [a; b], т. е.
выполняется ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ′ , x ′′ ∈ X |x ′ − x ′′ | < δ ∧ f (x ′ ) − f (x ′′ ) ≥ ε . Возьмём такое ε.
1
1
Для каждого δn =
выберем xn′ , xn′′ ∈ [a; b] так, чтобы |xn′ − xn′′ | <
∧ f (xn′ ) − f (xn′′ ) ≥ ε. Рассмотрим
n
n
′
′
последовательность {xn }. Она ограничена: ∀ n ∈ N a ≤ xn ≤ b, следовательно, по теореме
Больцано–Вейерштрасса ∃ {xn′ k } ⊆ {xn′ }, такая, что ∃ c = lim xn′ k ∈ R. При этом, переходя к пределу в
k→∞
неравенстве a ≤ xn′ k ≤ b, получаем a ≤ c ≤ b. Так как lim (xn′ k − xn′′k ) = 0, имеем lim xn′′k = c.
k→∞
k→∞
По условию f (x) непрерывна на [a; b] ⇒ в точке c, следовательно, lim f (xn′ k ) = lim f (xn′′k ) = f (c) ⇒
k→∞
k→∞
⇒ lim f (xn′ k ) − f (xn′′k ) = 0, но, по построению, ∀ k ∈ N f (xn′ k ) − f (xn′′k ) ≥ ε. Противоречие.
k→∞
Значит предположение об отсутствии равномерной непрерывности f (x) на [a; b] неверно. 2
• Для данной теоремы существенным является требование непрерывностии функции на отрезке.
Если отрезок заменить на другое множество, например, на интервал, утверждение перестанет быть
1
1
на (0; a); f (x) = sin на (0; a).
верным. Контрпримеры: f (x) =
x
x
Теорема (Достаточное условие интегрируемости). f ∈ C [a; b] ⇒ ∃
Zb
f (x) dx .
a
Доказательство. f ∈ C[a; b] ⇒ f равномерно непрерывна на [a; b]. Пусть ε > 0. Выберем δ > 0 так,
ε
чтобы ∀ x ′ , x ′′ ∈ [a; b] |x ′ − x ′′ | < δ ⇒ f (x ′ ) − f (x ′′ ) <
. Тогда
2(b − a)
ε
ε
∀ τ ∈ T [a; b] |τ | < δ ⇒ ∀ k = 1, nτ ωk (f ) =
sup
f (x ′ ) − f (x ′′ ) ≤
<
⇒
2(b − a)
b−a
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1 ;xk ]
n
n
n
τ
τ
τ
X
X
ε
ε X
ε(b − a)
⇒
ωk (f )∆xk <
∆xk =
= ε.
∆xk =
b
−
a
b
−
a
b−a
k=1
k=1
k=1
!
nτ
nτ
X
X
Доказали: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ τ ∈ T [a; b]
|τ | < δ ⇒
ωk (f )∆xk < ε , т. е. lim
ωk (f )∆xk = 0.
k=1
Zb
По следствию из критерия Дарбу, отсюда следует ∃
|τ |→0
k=1
f (x) ds. 2
a
• Обратная теорема неверна. Существуют разрывные интегрируемые функции. Это следует,
например, из следующей теоремы.
Теорема. f монотонна на [a; b] ⇒ ∃
Zb
f (x) ds.
a
Доказательство. Пусть б. о. о. f возрастает на [a; b]. Тогда ∀ τ ∈ T [a; b] получаем:
nτ
nτ
nτ
nτ
X
X
X
X
ωk (f )∆xk =
f (xk ) − f (xk−1 ) ∆xk ≤
f (xk ) − f (xk−1 ) |τ | = |τ |
f (xk ) − f (xk−1 ) =
k=1
k=1
k=1
k=1
= |τ | f (x1 ) − f (x0 ) + f (x2 ) − f (x1 ) + · · · + f (xnτ ) − f (xnτ −1 ) = f (xnτ ) − f (x0 ) |τ | = f (b) − f (a) |τ | −−−−→ 0.
|τ |→0
Следовательно, lim
|τ |→0
nτ
X
k=1
Zb
ωk (f )∆xk = 0. По критерию Дарбу отсюда следует ∃
a
f (x) dx. 2
Свойства определённого интеграла
4 декабря 2023 г.
Zb
= b − a.
1
a
Доказательство.
f (x) ≡ 1 ⇒ ∀ τ ∈ T [a; b], ξ̄ ,→ τ στ (f , ξ̄) =
nτ
X
f (ξk )∆xk =
nτ
X
k=1
∆xk = b − a −−−−→ b − a. 2
k=1
|τ |→0
Свойства интеграла, связанные с арифметическими операциями
2 Линейность. Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то ∀ α, β ∈ R αf (x) + βg (x) интегрируема на
Zb
Zb
Zb
αf (x) + βg (x) dx = α f (x) dx + β g (x) dx. (∗)
[a; b] и
a
a
a
Доказательство. ∀ τ ∈ T [a; b], ξ̄ ,→ τ στ (αf + βg , ξ̄) =
nτ
X
αf (ξk ) + βg (ξk ) ∆xk =
k=1
=α
nτ
X
k=1
f (ξk )∆xk + β
nτ
X
g (ξk )∆xk = αστ (f , ξ̄) + βστ (g , ξ̄) (∗∗).
k=1
При |τ | → 0 существует предел правой части, следовательно, существует предел левой части равенства
(∗∗), т. е. αf (x) + βg (x) интегрируема на [a; b]. Переходя в равенстве (∗∗) к пределу, получаем (∗). 2
3 Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на [a; b].
Доказательство. f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b] ⇒ ограничены на [a; b]. Пусть M > 0 такое, что
f (x ′ )g (x ′ ) − f (x ′′ )g (x ′′ ) =
∀ x ∈ [a; b] |f (x)| ≤ M ∧ |g (x)| ≤ M. Тогда ∀ x ′ , x ′′ ∈ [a; b]
′
′
′
′
′′
′
′′
′
′′
′′
= f (x )g (x )−f (x )g (x )+f (x )g (x )−f (x )g (x ) ≤ f (x )g (x )−f (x ′′ )g (x ′ ) + f (x ′′ )g (x ′ )−f (x ′′ )g (x ′′ ) =
= g (x ′ ) f (x ′ ) − f (x ′′ ) + f (x ′′ ) g (x ′ ) − g (x ′′ ) ≤ M f (x ′ ) − f (x ′′ ) + g (x ′ ) − g (x ′′ ) . Следовательно,
∀ k = 1, nτ ωk (f ·g ) =
sup
f (x ′ )g (x ′ )−f (x ′′ )g (x ′′ ) ≤ M sup
f (x ′ )−f (x ′′ ) + g (x ′ )−g (x ′′ ) ≤
′
′′
′
′′
x ,x ∈[xk−1 ;xk ]
x ,x ∈[xk−1 ;xk ]
≤M
sup
f (x ′ ) − f (x ′′ ) +
sup
g (x ′ ) − g (x ′′ ) = M ωk (f ) + ωk (g ) . Отсюда следует
′
′′
′
′′
x ,x ∈[a;b]
x ,x ∈[a;b]
!
nτ
nτ
nτ
X
X
X
ωk (f · g )∆x ≤ M
ωk (f )∆xk +
ωk (g )∆xk −−−−→ 0 по критерию Дарбу, т. к. f (x) и g (x)
k=1
k=1
k=1
|τ |→0
интегрируемы на [a; b]. Следовательно, левая часть неравенства при |τ | → 0 стремится к нулю. Значит,
по критерию Дарбу, f (x) · g (x) интегрируема на [a; b]. 2
4 Если f (x) интегрируема на [a; b] и
inf |f (x)| > 0, то
x∈[a;b]
Доказательство. Пусть
1
интегрируема на [a; b].
f (x)
inf |f (x)| = m. По условию m > 0. Тогда
x∈[a;b]
f (x ′ ) − f (x ′′ )
f (x ′ ) − f (x ′′ )
1
1
−
=
≤
⇒
′
′′
′
′′
f (x )
f (x )
m2
f (x )f (x )
1
1
1
1
1
⇒ ∀ k = 1, nτ ωk
=
sup
−
≤ 2
sup
f (x ′ ) − f (x ′′ ) = 2 ωk (f ) ⇒
′
f
f (x ′′ )
m x ′ ,x ′′ ∈[xk−1 ;xk ]
m
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1 ;xk ] f (x )
nτ
nτ
X
1 X
1
⇒
ωk
∆xk ≤ 2
ωk (f )∆xk −−−−→ 0 по критерию Дарбу, следовательно, при |τ | → 0
|τ |→0
f
m k=1
k=1
1
интегрируема на [a; b]. 2
стремится к нулю левая часть неравенства и по критерию Дарбу
f (x)
∀ x ′ , x ′′ ∈ [a; b]
Из свойств 3 и 4 следует следующее свойство:
5 Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b] и
inf |g (x)| > 0, то функция
x∈[a;b]
f (x)
также
g (x)
интегрируема на [a; b].
• Таким образом, совокупность всех интегрируемых на отрезке [a; b] функций замкнута относительно
арифметических операций.
Интеграл как функция отрезка.
6 Если f (x) интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом [c; d] ⊆ [a; b].
τ
Доказательство. Пусть τ = {xk }nk=0
∈ T [c; d]. Дополним его точками из [a; b] \ [c; d] до разбиения
nτ ′
nτ
X
X
τ ′ = {xk′ } ∈ T [a; b] так, чтобы |τ ′ | = |τ |. Справедливо неравенство
ωk (f )∆xk ≤
ωk (f )∆xk′ (∗)
k=1
k=1
все слагаемые первой суммы входят во вторую, при этом слагаемые сумм неотрицательны .
′
Если |τ | → 0, то |τ | → 0, при этом, по критерию Дарбу, правая часть (∗) стремится к нулю,
следовательно, левая часть также стремится к нулю и по критерию Дарбу f (x) интегрируема на [c; d]. 2
7 Если f (x) интегрируема на [a; c] и на [c; b], то она интегрируема на [a; b].
(
(
nτ1 df
|τ1 | ≤ |τ |,
τ1 = {xk′ }k=0
= τ ∩ [a; c] ∪ {c} ∈ T [a; c],
Доказательство. Пусть τ ∈ T [a; b]. Тогда
nτ2 df
′′
|τ
2 | ≤ |τ |.
τ2 = {xk }k=0 = τ ∩ [c; b] ∪ {c} ∈ T [c; b],
Если c = xi ∈ τ , то xn′ τ = x0′′ = xi и, значит,
1
nτ1
nτ2
nτ
nτ
i
X
X
X
X
X
ωk′ (f )∆xk′ +
ωk′′ (f )∆xk′′ , (∗)
ωk (f )∆xk =
ωk (f )∆xk +
ωk (f )∆xk =
k=1
k=1
где ωk′ (f ) =
′
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1
;xk′ ]
Если же
xn′ τ
1
nτ
X
=
x0′′
k=1
k=i+1
sup |f (x ′ ) − f (x ′′ )| и ωk′′ (f ) =
sup
′′ ;x ′′ ]
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1
k
a=x0 x1 x2
=c∈
/ τ , то
x0′
n
ωk (f )∆xk =
k=1
τ1
X
x1′
n
ωk′ (f )∆xk′ +
k=1
τ2
X
|τ1 | → 0 ∧ |τ2 | → 0
... xi−1 c xi xi+1
... x ′
n
x1′′
τ1-1
′
xn =x0′′
τ1
...
x2′′
...
xnτ =b
x
xn′′
τ2
ωk′′ (f )∆xk′′ + ωi (f )∆xi − ωn′ τ 1 (f )∆xn′ τ 1 − ω0′′ (f )∆x0′′ .
(∗∗)
k=1
n
▶ |τ | → 0 ⇒
k=1
|f (x ′ ) − f (x ′′ )|.
⇒
τ1
X
k=1
n
ωk′ (f )∆xk′ −−−−→ 0 ∧
|τ |→0
τ2
X
k=1
!
ωk′′ (f )∆xk′′ −−−−→ 0
|τ |→0
(∗ ∗ ∗)
т. к. f (x) интегрируема на [a; c] и [c; b].
▶ Пусть M > 0 такое, что ∀ x ∈ [a; b] |f (x)| ≤ M. f (x) интегрируема ⇒ ограничена на [a; b] и [c; d]
⇒ f (x) ограничена на [a; b] . Тогда ∀ x ′ , x ′′ ∈ [a; b] |f (x ′ )−f (x ′′ )| ≤ |f (x ′ )|+|f (x ′′ )| ≤ 2M ⇒ ∀[α; β] ⊆ [a; b]
′
′′
ω[α;β] (f ) = sup |f (x )−f (x )| ≤ 2M ⇒ ωi (f )∆xi ≤ 2M|τ |, ωn′ τ 1 (f )∆xn′ τ 1 ≤ 2M|τ |, ω0′′ (f )∆x0′′ ≤ 2M|τ |.
x ′ ,x ′′ ∈[α;β]
Из этих оценок и (∗ ∗ ∗) следует, что правые части равенств (∗) и (∗∗) стремятся к нулю при |τ | → 0, т. е.
nτ
X
ωk (f )∆xk −−−−→ 0 ⇒ f (x) интегрируема на [a; b] по критерию Дарбу. 2
k=1
|τ |→0
8 Аддитивность интеграла как функции отрезка: Если f (x) интегрируема на [a; b], то
Zb
Zc
Zb
∀ c ∈ (a; b)
f (x) dx =
f (x) dx + f (x) dx . (∗)
a
a
c
Zb
Доказательство. f (x) интегрируема на [a; b] ⇒ на [a; c] и на [c; b]. При этом
f (x) dx = lim στ (f , ξ̄),
|τ |→0
a
τ
где предел не зависит от устройства τ и выбора ξ̄ = {ξk }nk=1
,→ τ , поэтому можно б. о. о. считать,
τ
τ
τ
= τ1 ∪ τ2 , где τ1 = {xk }ik=1
c = xiτ ∈ τ . Тогда τ = {xk }nk=1
∈ T [a; c], τ2 = {xk }nk=i
∈ T [c; b]. Пусть
τ
iτ
nτ
ξ̄1 = {ξk }k=1 , ξ̄2 = {ξk }k=iτ +1 . Тогда στ (f , ξ̄) = στ1 (f , ξ̄1 ) + στ2 (f , ξ̄2 ) и, переходя к пределу в этом
равенстве при |τ | → 0, получаем (∗).
• Если принять естественные договоренности:
Za
Za
df
Z
df
f (x) dx = −
f (x) dx = 0 ,
a
b
f (x) dx, то можно
a
b
Zb
сформулировать более общее утверждение: ∀ a, b, c ∈ R
что
Zc
f (x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx
c
при условии, что f (x) интегрируема на большем из отрезков интегрирования.
Zc
Za
Zc
f (x) dx + f (x) dx ⇒
f (x) dx =
Действительно, пусть, например, b < a < c, тогда по доказанному
Zb
⇒ −
Zb
f (x) dx = −
c
Zc
f (x) dx ⇒
f (x) dx +
a
Zb
a
Zc
f (x) dx =
a
b
Zb
f (x) dx +
a
b
f (x) dx.
c
a
9 Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то она остается интегрируемой при изменении ее
значений в точках любого конечного подмножества [a; b], при этом значение интеграла не меяется.
Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай одной точки. Пусть б. о. о. это a:
(
f (x) , x ∈ (a; b] ,
f1 (x) =
y0 ̸= f (a) . Тогда ∀ τ ∈ T [a; b], ξ̄ ,→ τ στ (f , ξ̄) − στ (f1 , ξ̄) =
y0 ,
x =a
= f (ξ1 )∆x1 − f1 (ξ1 )∆x1 = f (ξ1 ) − f1 (ξ1 ) · |∆x1 | ≤ f (ξ1 ) + f1 (ξ1 ) |τ | ≤ 2M|τ | −−−−→ 0 ⇒
|τ |→0
Zb
⇒
στ (f , ξ̄) − στ (f1 , ξ̄) −−−−→ 0 ⇒ ∃
|τ |→0
lim στ (f1 , ξ̄) = lim στ (f , ξ̄) =
|τ |→0
|τ |→0
f (x) dx. 2
a
Следствием этого свойства является теорема, которая дает еще одно, более слабое, чем теорема об
интегрируемости непрерывной на отрезке функции, достаточное условие интегрируемости.
y
Определение Функция называется кусочно-непрерывной на [a; b], если она
непрерывна на этом отрезке всюду за исключением некоторого конечного множества точек, каждая из которых является точкой разрыва I-го рода.
Теорема. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
m−1
x Доказательство Пусть {xk }k=1 – точки разрыва f (x), лежащие в (a; b),
a
x1
x2
x0 = a, xm = b. Функция f (x) непрерывна на каждом из (xk−1 ; xk ), где k = 1, m.
b
Пусть fk (x) получена из f (x) продолжением по непрерывности с (xk−1 ; xk ) на [xk−1 ; xk ]. Тогда
fk ∈ C [xk−1 ; xk ] ⇒ интегрируема на [xk−1 ; xk ] ⇒ f (x), отличающаяся от fk (x) лишь, может быть, на
концах этого отрезка, также интегрируема на нём. Значит, по свойству 7, f (x) интегрируема на
m
[a; b] = ∪ [xk−1 ; xk ]. 2
k=1
Теорема (Лебег). Для того, чтобы функция была интегрируема на отрезке, необходимо и достаточно
чтобы она была на этом отрезке ограничена и множество ее точек разрыва имело меру 0.
Множество имеет меру 0, если для любого ε > 0 его можно покрыть конечной или счетной системой интервалов, сумма длин
которых меньше ε. При этом суммой бесконечного (счетного) набора слагаемых называют предел, к которому стремится
сумма первых n слагаемых этого набора, когда n → ∞
(Без доказательства)
Свойства интеграла, связанные с неравенствами
10 Если f (x) интегрируема на [a; b], то ∀ x ∈ [a; b] f (x) ≥ 0 ⇒
Доказательство. ∀ τ ∈ T [a; b] στ (f , ξ̄) =
|τ | → 0, получаем (∗). 2
Как следствие этого свойства получаем:
nτ
X
Zb
f (x) dx ≥ 0.
a
f (ξk )∆xk ≥ 0. Переходя к пределу в неравенстве при
k=1
11 Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то ∀ x ∈ [a; b] f (x) ≥ g (x)
Zb
⇒
Zb
f (x) dx ≥
a
• т. е. если на отрезке выполнено неравенство, его можно почленно проинтегрировать.
Zb
Доказательство. ∀ x ∈ [a; b] f (x) − g (x) ≥ 0 ⇒
f (x) − g (x) dx ≥ 0. 2
a
Zb
В частности:
m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M(b − a) , где m = inf f (x) , M = sup f (x) .
x∈[a;b]
a
x∈[a;b]
g (x) dx.
a
•
Zb
∀ x ∈ [a; b] f (x) ≥ 0 ∧ f (x) ̸≡ 0 на [a; b] ⇏
f (x) dx > 0
y
f (x0 )
a
Zb
Например, для f (x), график которой изображён на рисунке,
x
f (x) dx > 0.
a
a
x0
b
Однако, имеет место следующее свойство:
12
Zb
f (x) dx > 0
∀ x ∈ [a; b] f (x) ≥ 0 ∧ ∃ x0 ∈ [a; b] f (x0 ) > 0 ∧ f (x) непрерывна в точке x0 ⇒
a
f (x0 )
и выберем δ > 0, пользуясь
Доказательство. По условию lim f (x) = f (x0 ). Возьмём ε =
x→x0
2
определением предела, так, чтобы ∀ x ∈ [a; b] x ∈ Sδ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Sε f (x0 ) . Возьмём [α; β] ⊂ Sδ (x0 )
так, чтобы [α; β] ⊂ [a; b]. Тогда ∀ x ∈ [α; β] f (x) > f (x0 ) − ε =
Zb
f (x) dx =
a
Zβ
Zα
f (x) dx +
a
f (x) dx ≥
f (x) dx +
α
Zβ
Zb
β
f (x) dx ≥
α
f (x0 )
и мы получаем:
2
f (x0 )
(β − α) > 0. 2
2
Zb
13 Если f (x) интегрируема на [a; b], то |f (x)| интегрируема на [a; b] и
Zb
f (x) dx ≤
a
Доказательство. Пусть τ ∈ T [a; b]. ∀ x ′ , x ′′ ∈ [a; b] f (x ′ ) − f (x ′′ ) ≥
⇒ ∀ k = 1, nτ ωk |f | =
sup
f (x ′ ) − f (x ′′ ) ≤
sup
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1 ;xk ]
⇒
nτ
X
′
⇒
′′
f (x ) − f (x ) = ωk (f ) ⇒
nτ
X
ωk |f | ∆xk ≤
ωk (f )∆xk −−−−→ 0 ⇒ по критерию Дарбу, f (x) интегрируема на [a; b].
k=1
∀ ξ̄ ,→ τ
|τ |→0
k=1
σ(f , ξ̄) =
nτ
X
f (ξk )∆xk ≤
k=1
nτ
X
f (ξk ) ∆xk = σ(|f |, ξ̄). Переходя к пределу в этом неравенстве
k=1
при |τ | → 0, получаем (∗), 2
14
f (x ′ ) − f (x ′′ )
x ′ ,x ′′ ∈[xk−1 ;xk ]
|f (x)| dx . (∗)
a
Теорема о среднем. Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], g (x) не меняет знак на [a; b] и
Zb
∀ x ∈ [a; b] m ≤ f (x) ≤ M, то ∃ µ ∈ [m; M]
Zb
f (x)g (x) dx = µ
a
Zb
df
При g (x) ≡ 1: ∃ µ ∈ [m; M]
f (x) dx = µ(b − a). µ =
a
Zb
Если f ∈ C [a; b], то ∃ c ∈ (a; b)
a
g (x) dx .
a
1
b−a
Zb
среднее
f (x) dx − значение
f (x) на [a; b]
a
"Zb
#
Zb
f (x)g (x)dx = f (c) g (x)dx.
a
y
µ
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
x
a
c
b
Доказательство. • Если g (x) ≥ 0 на [a; b], то
Zb
Zb
Zb
∀ x ∈ [a; b] m ≤ f (x) ≤ M ⇒ mg (x) ≤ f (x)g (x) ≤ Mg (x) ⇒ m g (x)dx ≤ f (x)g (x)dx ≤ M g (x)dx (∗).
a
Zb
▶ Если
Zb
g (x)dx = 0, то
a
a
g (x)dx, где µ ∈ [m; M] – произвольное.
f (x)g (x)dx = 0 = µ
a
Rb
f (x)g (x)dx
a
Zb
▶ Если
a
Zb
Zb
g (x)dx, получаем m ≤
g (x)dx > 0, то, деля обе части (∗) на
a
a
Rb
g (x)dx
a
≤ M.
a
Zb
Zb
Zb
• Если g (x) ≤ 0 на [a; b] ⇒ mg (x) ≥ f (x)g (x) ≥ Mg (x) ⇒ m g (x)dx ≥ f (x)g (x)dx ≥ M g (x)dx (∗∗).
Zb
▶ Если
Zb
g (x)dx = 0, то
a
Zb
g (x)dx, получаем m ≤
g (x)dx < 0, то, деля обе части (∗∗) на
a
a
a
a
Rb
g (x)dx
a
Rb
g (x)dx
a
Rb
f (x)g (x)dx
Положим µ =
a
Rb
f (x)g (x)dx
a
Zb
▶ Если
a
g (x)dx, где µ ∈ [m; M] – произвольное.
f (x)g (x)dx = 0 = µ
a
a
Zb
Zb
. Тогда µ ∈ [m; M] и
Zb
f (x)g (x)dx = µ
a
g (x)dx.
a
≤ M.
Будем далее считать, что m = inf f (x), M = sup f (x). Пусть f ∈ C [a; b].
[a;b]
[a;b]
Zb
Докажем, что ∃ c ∈ (a; b) f (c) = µ, где µ ∈ [m; M] такое, что
Zb
f (x)g (x)dx = µ g (x)dx (∗).
a
a
• Если m = M, то f (x) ≡ Const ⇒ можно взять любое c ∈ (a; b).
• Если m < M, рассмотрим два случая:
▶ m < µ < M. Тогда по 2-й теореме Вейерштрасса ∃ α, β ∈ [a; b] f (α) = m, f (β) = M. Пусть б. о. о.
α < β. Тогда на [α; β] ⊆ [a; b] выполнены условия теоремы Больцано–Коши о промежуточном значении
Zb
⇒ ∃ c ∈ (α; β) ⊆ (a; b) f (c) = µ.
M − f (x) g (x)dx = 0. (∗∗)
▶ µ – один из концов отрезка [m; M]. Пусть µ = M. Из (∗) тогда следует
Zb
a
Предположим ̸ ∃ c ∈ (a; b) f (c) = M, т. е. ∀ x ∈ (a; b) f (x) < M (∗ ∗ ∗).
b−δ
Z
Zb
Воспользуемся тем, что
δ→0+0
b−δ
Z
Zb
a+δ
Z
g (x)dx =
g (x)dx +
g (x)dx −
a+δ
Zb
g (x)dx > 0.
a
b−δ
Z
g (x)dx и возьмём δ > 0 так, чтобы
g (x)dx = lim
a
Пусть б. о. о.
g (x)dx > 0.
a+δ
a+δ
Z
Zb
g (x)dx ≤ |g (x)| dx +
|g (x)| dx ≤ 2 max |g (x)|δ −−−−−→ 0
[a;b]
a
a+δ
df
(∗ ∗ ∗) ⇒ f (x0 ) = max
a
b−δ
b−δ
Z
b−δ
b−δ
Z
M − f (x) g (x)dx ≥ M − f (x0 ) g (x)dx > 0. Это
f (x) < M. Тогда
[a+δ;b−δ]
противоречит (∗∗). 2
a
a+δ
a+δ
δ→0+0
Свойства интеграла, связанные с четностью и нечетностью функции
Za
15 Если f (x) четна и интегрируема на [0; a], то она интегрируема на [−a; a] и
Za
f (x)dx = 2 f (x)dx. (∗)
−a
▶ Пусть τ ∈ T [−a; a], где −a = t0 < t1 < · · · < tm = 0 < · · · < t2m = a,
2m
X
−tk = t2m−k , и ξ̄ ,→ τ , где −ξk = ξ2m+1−k , получим στ (f , τ ) =
f (ξk )∆xk =
0
Геометрический смысл:
y
k=1
=
m
X
f (ξk )∆xk +
k=1
m
X
=2
m
X
f (ξ2m+1−k )∆x2m+1−k =
k=1
m
X
f (ξk )∆xk +
k=1
m
X
f (−ξk )∆xk =
k=1
x
f (ξk )∆xk . Переходя к пределу при |τ | → 0 получаем (∗). 2
a
−a
k=1
Za
15 Если f (x) нечетна и интегрируема на [0; a], то она интегрируема на [−a; a] и
f (x) dx = 0. (∗∗)
−a
▶ Пусть τ ∈ T [−a; a], где −a = t0 < t1 < · · · < tm = 0 < · · · < t2m = a,
2m
X
−tk = t2m−k , и ξ̄ ,→ τ , где −ξk = ξ2m+1−k , получим στ (f , τ ) =
f (ξk )∆xk =
Геометрический смысл:
y
k=1
=
=
m
X
f (ξk )∆xk +
m
X
k=1
k=1
m
X
m
X
k=1
f (ξk )∆xk −
k=1
f (ξ2m+1−k )∆x2m+1−k =
m
X
k=1
f (ξk )∆xk +
m
X
f (−ξk )∆xk =
k=1
f (ξk )∆xk = 0. При |τ | → 0 получаем (∗∗). 2
−a
x
a
Вычисление определённого интеграла
11 декабря 2023 г.
df
Теорема. Пусть f (x) интегрируема на [a; b]. Тогда ∀ c ∈ [a; b] функция F (x) =
Zx
f (t) dt (интеграл с
c
переменным верхним пределом) определена и непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех точках
x
′
Z
отрезка, где f (x) непрерывна, причем в этих точках выполнено равенство F ′ (x) = f (t) dt = f (x) .
c
Доказательство. Пусть x0 ∈ [a; b]. f (x) интегрируема ⇒ ограничена на [a; b]. Пусть M > 0 такое, что
Zx
Zx
Zx0
∀ x ∈ [a; b] f (x) ≤ M. Тогда ∀ x ∈ [a; b] F (x) − F (x0 ) =
f (t)dt − f (t)dt =
f (t)dt ≤
c
Zx
≤
f (t) dt ≤ M|x − x0 | −
−−−
→0 ⇒
x→x0
x0
c
lim F (x) = F (x0 ). Непрерывность доказана.
x→x0
x0
Пусть f (x) непрерывна в точке x0 . Тогда
x0Z+∆x
Zx0
1
f (x0 )
=
f (t)dt − f (t)dt −
∆x
∆x
c
=
1
|∆x|
x0
c
x0Z+∆x
f (t) − f (x0 ) dt ≤
x0
∆F (x0 )
F (x0 + ∆x) − F (x0 )
− f (x0 ) =
− f (x0 ) =
∆x
∆x
x0Z+∆x
x0Z+∆x
x0Z+∆x
1
dt =
f (t)dt −
f (x0 )dt =
|∆x|
1
|∆x|
sup
f (t) − f (x0 ) |∆x| =
t∈[x0 ;x0 +∆x]
т. к. lim f (t) = f (x0 ). Таким образом, lim
t→x0
x0
∆x→0
∆F (x0 )
= f (x0 ). 2
∆x
x0
sup
t∈[x0 ;x0 +∆x]
f (t) − f (x0 ) −−−−→ 0
∆x→0
Zx
df
Следствие. f ∈ C [a; b] ⇒ ∀ c, x ∈ [a; b] F (x) =
f (t)dt диф-ма на [a; b] и
c
Zx
d
d
F (x) =
f (t)dt = f (x).
dx
dx
c
y
f (ξ)
x+∆x
Z
по т. о среднем
∆F (x)
1
1
−−−→ f (x).
∆x = ∆x f (t)dt = ∃ ξ = x + θ∆x, = ∆x f (ξ)∆x = f (ξ) −
∆x→0
0
<
θ
<
1
x
x
a
x x + ∆x b
ξ
Следствие (Связь между определенным и неопределенным интегралами)
Zx
Z
Если f (x) непрерывна на промежутке X , то ∀ a ∈ X
f (t) dt + C , C ∈ R .
f (x) dx =
a
Теорема (Ньютон–Лейбниц). Если f ∈ C [a; b], то
b
Zb
b
, где F (x) – некоторая
f (x)dx = F (x)
a
a
df
= F (b) − F (a).
первообразная f (x), F (x)
a
Zx
Zb
f (t)dt + C ⇒ F (b) − F (a) =
Доказательство. F (x) =
a
Za
f (t)dt + C −
a
Zb
f (t)dt − C =
a
a
f (t)dt. 2
• Формула Ньютона–Лейбница остаётся верной и при более слабых условиях: f (x)
кусочно-непрерывна, F (x) непрерывна на [a; b] и F ′ (x) = f (x) всюду на [a; b] за исключением точек
разрыва f (x).
Пример.
Z1
d
1
arctg dx. Если формально использовать формулу Ньютона–Лейбница, получим:
dx
x
−1
Z1
d
1
1
arctg dx = arctg
dx
x
x
−1
1
=
−1
π π
π
d
1
1
− −
= . Но это неверно так как
arctg =
4
4
2
dx
x
1 + x12
−
1
x2
=
y
=−
1
⇒
1 + x2
Z1
d
1
arctg dx = −
dx
x
−1
Z1
−1
π
2
dx
= − arctg x
1 + x2
1
=−
−1
π
π
π
− =− .
4
4
2
y = arctg x1
π
4
−1
x
1
1
Ошибка происходит от того, что F (x) = arctg имеет разрыв 1-го рода в нуле.
x
−π
4
−π
2
y
1
arctg x ,
π
Если взять F (x) = 2 ,
arctg x1 + π,
x > 0,
x = 0, получим первообразную подинтегральx < 0,
1
π
3π
π
= −
=− .
ной функции, непрерывную на [−1; 1]. Для неё F (x)
4
4
2
−1
3π
4
π
2
y = F (x)
π
4
x
−1
1
Таким образом, вычисление определенных интегралов сводится к неопределенному интегрированию и
применению формулы Ньютона–Лейбница (если, конечно, интеграл «берущийся»). Рассмотрим
особенности таких приёмов как замена переменной и интегрирование по частям в случае определенных
интегралов.
{
x
=
x
X
φ(
t)
b
}|
Теорема (о замене переменной в определенном интеграле). Если
f (x) непрерывна на [a; b] ⊆ X , φ : T → X , φ(t) непрерывно-дифференцируема
Zb
Zβ
f (x) dx =
f φ(t) φ′ (t) dt .
на промежутке T и φ(α) = a, φ(β) = b, то
α
Доказательство. Пусть F (x) – первообразная f (x) на промежутке X . Тогда
′
F φ(t)
= f φ(t) φ′ (t) на промежутке T . В результате получаем:
Zβ
α
f φ(t) φ′ (t) dt = F φ(β) − F φ(α) = F (b) − F (a) =
Zb
a
z
a
t
α
|
{z
β}
T
f (x) dx. 2
a
• Замена переменной в определённом интеграле отличается от замены переменной в неопределённом
интеграле тем, что меняются пределы интегрирования. В результате не нужно делать обратную
замену.
Z4
Z3
Z3 x = (t − 1)2
x dx
(t − 1)3
1
dt = 2
t 2 − 3t + 3 −
dt =
Пример.
√ = dx = 2(t − 1) dt = 2
1+ x
t
t
1≤t≤3
0
1
1
3
3
2t
2
2
16
=
− 3t 2 + 6t − 2 ln t
= 18 − 27 + 18 − 2 ln 3 − + 3 − 6 = 6 − − 2 ln 3 =
− 2 ln 3.
3
3
3
3
1
Докажем с помощью замены переменной свойство определённого интеграла, связанное с
периодичностью подинтегральной функции.
16 Если периодическая f (x) с периодом T интегрируема на [a; a + T ], то она интегрируема на любом
Zd
[c; d] ⊂ R, при этом ∀ n ∈ Z
d+nT
Z
c
Zd
Доказательство. ▶
c
a+T
Z
f (x)dx, , ∀ a, c ∈ R
f (x)dx =
c+T
Z
f (x)dx .
f (x)dx =
a
c+nT
c
d+nT
d+nT
Z
Z
t = x + nT
=
dt = dx
f (t − nT )dt =
f (x)dx.
f (x)dx =
c + nT ≤ t ≤ d + nt
c+nT
c+nT
▶ Ипользуя это свойство и свойство аддитивности интеграла как функции отрезка, получаем:
a+T
Z
Zc
f (x)dx =
a
c+T
Z
+
a
c
Zc
a+T
Z
+
c+T
f (x)dx =
c+T
Z
a
c+T
Z
−
+
c
a+T
Zc
f (x)dx =
c+T
Z
a
Zc
−
+
c
c+T
Z
f (x)dx =
a
c
f (x)dx. 2
Из формулы интегрирования по частям для неопределённого интеграла и формулы Ньютона–Лейбница
очевидным образом следует
Теорема (интегрирование по частям для определенного интеграла).Пусть u(x) и v (x)
Zb
дифференцируемы на [a; b]. Тогда
Zb
b
−
u(x) dv (x) = u(x)v (x)
a
a
v (x) dv (x) .
a
• Отличие от неопределенного интеграла при интегрировании по частям состоит в том, что
внеинтегральное слагаемое оказывается константой.
π
Пример.
Z4
0
π
1
x cos 2x dx =
2
2
Z4
π
1
x d sin 2x = x 2 d sin 2x
2
2
0
π
π2
1
=
+
32
2
Z4
0
π
4
0
1
−
2
Z4
π
π2
sin 2x dx =
−
32
2
0
Z4
x sin 2x dx =
0
π
π2
1
x d cos 2x =
+ x cos 2x
32
2
π
4
0
1
−
2
Z4
cos 2x dx =
0
π2
1
+ 0 − sin 2x
32
4
π
4
=
0
π2
1
− .
32
4
Геометрические приложения определённого интеграла
Мера Жордана на плоскости
Символом m(A) будем обозначать площадь многоугольника A.
A
S
B
Определение. Множество S точек на плоскости называется измеримым
по Жордану,
если ∀ ε > 0 ∃ многоугольники A ⊆ S и B ⊇ S, такие, что
m B \ A < ε.
df
Если S измеримо по Жордану, величина µ(S) = sup m(A) = inf m(B),
A⊆S
B⊇S
где A и B – многоугольники.
• При таком определении любой многоугольник A оказывается измеримым по Жордану, при этом
µ(A) = m(A), так что понятие меры обобщает на случай произвольной (измеримой) фигуры
понятие площади.
• Совокупность всех измеримых по Жордану фигур на плоскости замкнута относительно операций
∪, ∩, \, над конечными наборами множеств.
• Мера Жордана обладает свойством аддитивности: ∀ S1 , S2 , измеримых по Жордану,
S1 ∩ S2 = ∅ ⇒ µ S1 ∪ S2 = µ(S1 ) + µ(S2 ).
y
Пусть интегрируемая на [a; b] функция f (x) ≥ 0 на [a; b]. По критерию Дарбу
Zb
f (x)dx = sup sτ = inf Sτ . При этом
∀ ε > 0 ∃ τ ∈ T [a; b] Sτ − sτ < ε,
τ ∈T [a;b]
a
sup
τ ∈T [a;b]
sτ ≤ sup m(A) и
A⊆S
inf
τ ∈T [a;b]
Отсюда следует, что S =
n
τ ∈T [a;b]
Sτ ≥ inf m(B), где A и B – многоугольники.
(x, y )
x
B⊇S
x0
x1
x2
...
xnτ
Zb
o
f (x)dx.
a ≤ x ≤ b ∧ 0 < y ≤ f (x) измеримо по Жордану и µ(S) =
и f2 (x) – интегрируемые на [a; b] функции (правильная относительно оси OX
Zb
криволинейная трапеция). Тогда µ(S) =
x =b
o
Следствие. Пусть S = (x, y ) a ≤ x ≤ b ∧ f1 (x) < y ≤ f2 (x) , где f1 (x)
x =a
a
n
y = f2 (x)
S
f2 (x) − f1 (x) dx .
y = f1 (x)
a
Действительно, возьмём C ∈ R так, чтобы f1n(x) + C ≥ 0 и f2 (x) + C ≥ 0 на [a; b] (сдвинем
фигуру S так,
o
чтобы она была выше оси OX ). Пусть S1 = (x, y ) a ≤ x ≤ b ∧ 0 < y ≤ f1 (x) + C ,
n
o
S2 = (x, y ) a ≤ x ≤ b ∧ 0 < y ≤ f2 (x) + C . Тогда S = S2 \ S1 и
Zb
µ(S) = µ(S2 ) − µ(S1 ) =
a
f2 (x) + C dx −
Zb
a
f1 (x) + C dx =
Zb
a
f2 (x) − f1 (x) dx.
x = f2 (y )
x = f1 (y )
Можно поменять ролями переменные x и y . Получим:
n
o
Следствие. Пусть S = (x, y ) a ≤ y ≤ b ∧ f1 (y ) < x ≤ f2 (y ) , где f1 (y )
y =b
и f2 (y ) – интегрируемые на [a; b] функции (правильная относительно оси OY
Zb
криволинейная трапеция). Тогда µ(S) =
f2 (y ) − f1 (y ) dy .
S
a
y =a
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = xe −x ,
касательной к графику, проходящей через точку перегиба и осью OY .
−x
−x = (1 − x)e −x , f ′′ (x) = −2e −x + xe −x = (x − 2)e −x ⇒
f ′ (x)
= e − xe
2
⇒ 2, 2 – точка перегиба. Уравнение касательной: y −f (2) = f ′ (2)(x −2) ⇔
e
4−x
2
1
.
⇔ y − 2 = − 2 (x − 2) ⇔ y =
e
e
e2
Z2 µ(S) =
0
=
9
− 1.
e2
4
x
− 2 − xe −x
e2
e
dx =
8
x2
− 2
2
e
2e
Z2
2
+
0
0
x de −x =
8
2
− 2 + x e −x
e2
e
y
S
x
0
Z2
2
−
0
y =
xe −x
0
e −x dx =
2
8
+ e −x
e2
2
=
0
Полярные координаты на плоскости
M
φ
φ=0
φ
=
4
π
φ= π
2
O
M
y
φ
=
ρ
3π 4
φ
φ
φ=π
2
O
4
3π
x
−
O
φ=0
)
ρ (φ
φ
=
Если на плоскости задана декартова система координат, часто используют полярную систему координат, в качестве
полюса которой берут точку (0, 0), а
в качестве полярного луча используют
положительную полуось OX . При этом
(
x = ρ cos φ ,
y = ρ sin φ .
ρ
Полярная система координат задаётся на плоскости полюсом O и полярным
лучом с вершиной в точке O. Положение точки M ̸= O на плоскости однозначно
⃗ и полярным лучом, ρ = OM
⃗ .
определяется парой (φ, ρ), где φ – угол между OM
Для полюса ρ = 0, φ не определено.
φ
=
π
−
4
φ = −π
2
Пример. Кривая, заданная в полярных координатах равенством
ρ = ρ(φ) = 1 + cos φ, называется кардиоидой.
φ=0
β
=
φ
ρ=
Фигура,
n заданная в полярных координатах
o равенством
S = (φ, ρ) α ≤ φ ≤ β ∧ 0 ≤ ρ ≤ ρ(φ) ,
называется криволинейным сектором.
ρ(
φ)
α
φ=
S
φ=0
O
=
α
ρ=
ρ(
φ)
Этот интеграл является пределом интегральных сумм вида
nτ
X
1 2
τ
∈ T [α; β], ξ̄ ,→ τ . Слагаρ (ξk )∆φk , где τ = {φk }nk=0
2
k=1
емые этих сумм равны площадям секторов кругов с радиусами ρ(ξk ) с центром O, ограниченных лучами φ = φk−1
и φ = φk . При |τ | → 0 объединение этих секторов даёт в
O
пределе µ(S).
Следствие.
Площадь
усечённого
криволинейного
сектора:
n
o
S = (φ, ρ) α ≤ φ ≤ β ∧ ρ1 (φ) ≤ ρ ≤ ρ2 (φ) :
µ(S) =
1
2
Zβ
α
φ
=
ξk
φk
φ
=
φ k−
1
α
φ=
φ=0
ρ=
ρ=
ρ22 (φ) − ρ21 (φ) dφ
=
φ
ρ1
(φ
)
β
ρ2 (φ)dφ .
=
Zβ
φ
1
2
ρ2
(φ
φ
меримая по Жордану. При этом µ(S) =
β
Можно доказать, что криволинейный сектор – фигура, из-
)
S
α
φ=
φ=0
O
φ= π
2
1
2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
ρ = 1 + cos φ, лежащей вне единичного круга с центром в точке O.
π
π
Z2
Z2
1
1
2
µ(S) =
(1 + cos φ) − 1 dφ =
2 cos φ + cos2 φ dφ =
2
2
−π
2
φ=0
O
−π
2
π
2
Z
=
π
2
Z 2 cos φ + cos2 φ dφ =
0
φ = −π
2
π
2
= 2 sin φ
0
2 cos φ +
0
π
1
+ + sin 2φ
4
4
π
2
=2+
0
π
.
4
1
1
+ cos 2φ dφ =
2
2
Объём тела вращения
Мера Жордана в трёхмерном случае определяется аналогично мере Жордана на плоскости. При этом за
основу берётся понятие объёма многогранника.
Пусть f (x) ≥ 0 на [a; b] – интегрируемая на этом отрезке nфункция. Рассмотрим тело Vox , полученное
o
вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции S = (x, y ) a ≤ x ≤ b ∧ 0 < y ≤ f (x) .
Можно доказать, что Vox измеримо по Жордану, при этом
y
y = f (x)
Zb
µ(Vox ) = π
S
a
x
a
f 2 (x)dx .
b
Интеграл в правой части равенства является пределом при |τ | → 0 интеnτ
X
τ
гральных сумм вида
πf 2 (ξk )∆xk , где τ = {xk }nk=0
∈ T [a; b],
k=1
τ
ξ̄ = {ξk }nk=1
,→ τ . Слагаемое πf 2 (ξk )∆xk такой суммы представляют собой
объём кругового цилиндра с радиусом основания f (ξk ) и высотой ∆xk , получающегося при вращении прямоугольника [xk−1 ; xk ] × [0; f (ξk )] на плоскости XOY вокруг оси OX .
y
y = f (x)
xk−1
a
xk
ξk
x
b
Пример. Найти объёмы тел Vox и Voy , получающихся при вращении
вокруг осей OX и OY соответственно области S, ограниченной графиком
функции y = sin x, прямой x = π2 и осью OX .
y
y = sin x
π
π
1
Z2
µ(Vox ) = π
S
x
π
sin2 x dx =
2
0
Z2
(1 − cos 2x) dx =
π2
π
− sin 2x
4
4
0
π
2
=
0
π2
.
4
π
2
Тело Voy представляет собой разность кругового цилиндра, получающегося при вращении вокруг оси OY
прямоугольника [0; π2 ] × [0; 1] и фигуры, ограниченной синусоидой, прямой y = 1 и осью OY . В
результате
π
π
Z2
Z2
Z1
x = arcsin y
π 2
π3
π3
2
2
y = sin x
=
− π x cos x dx =
− π x 2 d sin x =
µ(Voy ) = π
− π arcsin y dy =
4
4
2
dy
=
cos
x
dx
0
0
0
π
π3
=
− πx 2 sin x
4
+ 2π
0
π
2
= 2π sin x
= 2π.
0
Z2
π
2
0
π
π3
π3
x sin x dx =
−
− 2π
4
4
π
Z2
x d cos x = −2πx cos x
0
Z2
π
2
+ 2π
0
cos x dx =
0
Геометрические и физические приложения
определённого интеграла
18 декабря 2023 г.
Длина кривой
τ
∈ T [a; b]. Разбиению τ
Пусть кривая l задана представлением ⃗
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b], τ = {tk }nk=0
соответствует ломаная M0 M1 . . . Mnτ , где Mk – точка с радиус-вектором ⃗
r (tk ). Такая ломанная
называется вписанной в кривую l (будем использовать обозначение M0 M1 . . . Mnτ ,→ l). Длину ломаной
будем обозначать через |M0 M1 . . . Mnτ |.
Определение. Кривая l называется спрямляемой, если множество
|M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l ограничено. Длина спрямляемой кривой l определяется равенством
df
µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l .
Лемма.
⃗
r (t) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) ⇒ ∃ c ∈ (a; b) |⃗
r (b) − ⃗
r (a)| ≤ |⃗
r ′ (c)|(b − a).
Доказательство. Если ⃗
r (b) − ⃗
r (a) = ⃗0, утверждение очевидно (можно брать любое c ∈ (a; b)). Пусть
⃗
r (b) − ⃗
r (a) ̸= ⃗0. e⃗ ⇈ ⃗
r (b) − ⃗
r (a) , |⃗
e | = 1. Тогда
r (b), e⃗ − ⃗
r (a), e⃗ =
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| = ⃗
r (b) − ⃗
r (a), e⃗ = ⃗
Пусть f (t) = ⃗
r (t), e⃗
= f (t) удовлетворяет условиям = f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) = ⃗
r ′ (c), e⃗ (b − a) =
т. Лагранжа ⇒ ∃ c ∈ (a; b)
′ (c), e
⃗ (b − a) ≤ |⃗
r ′ (c)|(b − a) . 2
= |⃗
r ′ (c)| cos ⃗
r\
Теорема (о спрямляемости гладкой кривой).Гладкая кривая l, заданная векторным
представлением ⃗
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b], спрямляема. Для длины l справедливо неравенство
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| ≤ µ(l) ≤ max |⃗
r ′ (t)|(b − a) .
t∈[a;b]
r (tk ),
Доказательство. Для любой ломаной M0 M1 . . . Mnτ ,→ l, где Mk – точка с радиус-вектором ⃗
τ
r ′ (t) – непрерывная на [a; b] функция:
τ = {tk }nk=0
∈ T [a; b], получаем, пользуясь тем, что ⃗
nτ
X
∃ ck ∈ (tk−1 ; tk )
⃗
r (tk ) − ⃗
r (tk−1 ) ≤
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| = |M0 Mnτ | ≤ |M0 M1 . . . Mnτ | =
≤
k = 1, nτ
k=1
≤
nτ
X
′
′
|⃗
r (ck )|∆tk ≤ max |⃗
r (t)|
t∈[a;b]
k=1
n
nτ
X
k=1
∆tk = max |⃗
r ′ (t)|(b − a) ∈ R ⇒
t∈[a;b]
⇒ µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l
o
< ∞, т. е. кривая спрямляема 2
Лемма. Пусть s(t) – длина дуги кривой l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗r (a) (начала
кривой) до точки с радиус-вектором ⃗
r (t). Тогда s ′ (t) = |⃗
r ′ (t)| . (∗)
Доказательство. Для ∆s(t) = s(t + ∆t) − s(t) – длины дуги кривой l от точки с радиус-вектором ⃗
r (t)
r (t + ∆t) − ⃗
r (t) ≤ ∆s(t) ≤ max |⃗
r ′ (u)|∆t.
до точки с радиус-вектором ⃗
r (t + ∆t) выполняется ⃗
u∈[t;t+∆t]
⃗
r (t + ∆t) − ⃗
r (t)
∆s(t)
Разделим все части неравенства на ∆t:
≤
≤ max |⃗
r ′ (u)|. Переходя к
u∈[t;t+∆t]
∆t
∆t
пределу в этом неравенстве при ∆t → 0, получаем (∗). 2
Теорема. Пусть l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] – гладкая кривая. Тогда
Zb
µ(l) =
⃗
r ′ (t) dt =
Zb q
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt .
a
a
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗
r (a) до
Доказательство. Пусть s(t) – длина кривой l : ⃗
Zb
Zb
⃗
s ′ (t)dt =
точки с радиус-вектором ⃗
r (t). Тогда µ(l) = s(b) − s(a) =
r ′ (t) dt. 2
a
• Величину dl := |⃗
r ′ (t)| dt =
p
a
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt называют дифференциалом длины дуги.
y
1
2
2
2
Пример. Найти длину астроиды l : x 3 + y 3 = a 3 ⇔
(
x = a cos3 t,
y = a sin3 t.
1 x
p
x ′ (t) = 3a cos2 t(− sin t), y ′ (t) = 3a sin2 t cos t ⇒ dl = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt =
p
p
= 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t dt = 3a cos t sin t cos2 t + sin2 t dt =
= 3a cos t sin t dt.
π
π
π
Z2 q
Z2
Z2
µ(l) = 4
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt = 12a cos t sin t dt = 12a sin t d sin t = 6a sin2 t
0
0
0
π
2
= 6a.
0
Физические приложения определённого интеграла
Пусть некоторая физическая величина P является функцией отрезка, т. е. P : [α; β] 7→ P [α; β] ,
[α; β]subseteq[a; b] и обладает
свойством
аддитивности,
т. е.
∀ c ∈ (α; β) P [α; β] = P [α; γ] + P [γ; β] .
Теорема. Если существует p ∈ C [a; b] такая, что ∀ x ∈ [a; b] P [x; x + ∆x] = p(x)∆x + o(∆x), ∆x → 0,
Zb
то P [a; b] =
p(x) dx. (∗)
a
τ
Доказательство. Пусть τ = {xk }nk=0
∈ T [a; b]. P [a; b] = P
=
nτ
X
k=1
o(∆xk )
=0 ⇒
∆xk
lim
∆xk →0
p(xk )∆xk + o(∆xk ) = ⇒ o(∆xk ) = ∆xk αk (∆xk ),
где lim αk (∆xk ) = 0
nτ
∪ [xk−1 ; xk ]
k=1
=
nτ
X
P [xk−1 ; xk ] =
k=1
nτ
nτ
X
X
p(xk )∆xk +
∆xk αk (∆xk ). (∗∗)
=
k=1
k=1
∆xk →0
Имеем: lim
|τ |→0
nτ
X
k=1
Zb
p(xk )∆xk −−−−→
p(x) dx,
|τ |→0
a
nτ
X
k=1
∆xk αk (∆xk ) ≤ max αk (∆xk )
k=1,nτ
nτ
X
k=1
∆xk −−−−→ 0.
|τ |→0
Переходя к пределу в равенстве (∗∗), получаем (∗). 2
• Подинтегральное выражение dP(x) = p(x) dx называют дифференциалом физической величины
P.
R
Пример. Найти силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму полукруга радиуса R.
O
Давление на глубине h равно ρgh, где ρ – плотность воды, g – ускорение
свободного падения. Введём систему координат XOY и рассмотрим бесконечно тонкий слой стенки плотины, лежащий на глубине x, толщины dx.
x
x+dx
x
Сила, с которой вода давит на этот слой равна произведению ρgx на его площадь.
С точностью до
√
бесконечно малых более высокого порядка, чем dx, получаем: dF (x) = 2ρgx R 2 − x 2 dx. В результате
ZR p
ZR p
ZR
q
R
2ρg
2ρgR 3
x R 2 − x 2 dx = −ρg
R 2 − x 2 d(R 2 − x 2 ) = −
(R 2 − x 2 )3 =
.
F =
dF (x) = 2ρg
3
3
0
0
0
0
y