Геометрические и физические приложения
определённого интеграла
18 декабря 2023 г.
Длина кривой
τ
∈ T [a; b]. Разбиению τ
Пусть кривая l задана представлением ⃗
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b], τ = {tk }nk=0
соответствует ломаная M0 M1 . . . Mnτ , где Mk – точка с радиус-вектором ⃗
r (tk ). Такая ломанная
называется вписанной в кривую l (будем использовать обозначение M0 M1 . . . Mnτ ,→ l). Длину ломаной
будем обозначать через |M0 M1 . . . Mnτ |.
Определение. Кривая l называется спрямляемой, если множество
|M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l ограничено. Длина спрямляемой кривой l определяется равенством
df
µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l .
Лемма.
⃗
r (t) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b) ⇒ ∃ c ∈ (a; b) |⃗
r (b) − ⃗
r (a)| ≤ |⃗
r ′ (c)|(b − a).
Доказательство. Если ⃗
r (b) − ⃗
r (a) = ⃗0, утверждение очевидно (можно брать любое c ∈ (a; b)). Пусть
⃗
r (b) − ⃗
r (a) ̸= ⃗0. e⃗ ⇈ ⃗
r (b) − ⃗
r (a) , |⃗
e | = 1. Тогда
r (b), e⃗ − ⃗
r (a), e⃗ =
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| = ⃗
r (b) − ⃗
r (a), e⃗ = ⃗
Пусть f (t) = ⃗
r (t), e⃗
= f (t) удовлетворяет условиям = f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) = ⃗
r ′ (c), e⃗ (b − a) =
т. Лагранжа ⇒ ∃ c ∈ (a; b)
′ (c), e
⃗ (b − a) ≤ |⃗
r ′ (c)|(b − a) . 2
= |⃗
r ′ (c)| cos ⃗
r\
Теорема (о спрямляемости гладкой кривой).Гладкая кривая l, заданная векторным
представлением ⃗
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b], спрямляема. Для длины l справедливо неравенство
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| ≤ µ(l) ≤ max |⃗
r ′ (t)|(b − a) .
t∈[a;b]
r (tk ),
Доказательство. Для любой ломаной M0 M1 . . . Mnτ ,→ l, где Mk – точка с радиус-вектором ⃗
τ
r ′ (t) – непрерывная на [a; b] функция:
τ = {tk }nk=0
∈ T [a; b], получаем, пользуясь тем, что ⃗
nτ
X
∃ ck ∈ (tk−1 ; tk )
⃗
r (tk ) − ⃗
r (tk−1 ) ≤
|⃗
r (b) − ⃗
r (a)| = |M0 Mnτ | ≤ |M0 M1 . . . Mnτ | =
≤
k = 1, nτ
k=1
≤
nτ
X
′
′
|⃗
r (ck )|∆tk ≤ max |⃗
r (t)|
t∈[a;b]
k=1
n
nτ
X
k=1
∆tk = max |⃗
r ′ (t)|(b − a) ∈ R ⇒
t∈[a;b]
⇒ µ(l) = sup |M0 M1 . . . Mnτ | M0 M1 . . . Mnτ ,→ l
o
< ∞, т. е. кривая спрямляема 2
Лемма. Пусть s(t) – длина дуги кривой l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗r (a) (начала
кривой) до точки с радиус-вектором ⃗
r (t). Тогда s ′ (t) = |⃗
r ′ (t)| . (∗)
Доказательство. Для ∆s(t) = s(t + ∆t) − s(t) – длины дуги кривой l от точки с радиус-вектором ⃗
r (t)
r (t + ∆t) − ⃗
r (t) ≤ ∆s(t) ≤ max |⃗
r ′ (u)|∆t.
до точки с радиус-вектором ⃗
r (t + ∆t) выполняется ⃗
u∈[t;t+∆t]
⃗
r (t + ∆t) − ⃗
r (t)
∆s(t)
Разделим все части неравенства на ∆t:
≤
≤ max |⃗
r ′ (u)|. Переходя к
u∈[t;t+∆t]
∆t
∆t
пределу в этом неравенстве при ∆t → 0, получаем (∗). 2
Теорема. Пусть l : ⃗r = ⃗r (t), t ∈ [a; b] – гладкая кривая. Тогда
Zb
µ(l) =
⃗
r ′ (t) dt =
Zb q
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt .
a
a
r =⃗
r (t), t ∈ [a; b] от точки с радиус-вектором ⃗
r (a) до
Доказательство. Пусть s(t) – длина кривой l : ⃗
Zb
Zb
⃗
s ′ (t)dt =
точки с радиус-вектором ⃗
r (t). Тогда µ(l) = s(b) − s(a) =
r ′ (t) dt. 2
a
• Величину dl := |⃗
r ′ (t)| dt =
p
a
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt называют дифференциалом длины дуги.
y
1
2
2
2
Пример. Найти длину астроиды l : x 3 + y 3 = a 3 ⇔
(
x = a cos3 t,
y = a sin3 t.
1 x
p
x ′ (t) = 3a cos2 t(− sin t), y ′ (t) = 3a sin2 t cos t ⇒ dl = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt =
p
p
= 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t dt = 3a cos t sin t cos2 t + sin2 t dt =
= 3a cos t sin t dt.
π
π
π
Z2 q
Z2
Z2
µ(l) = 4
ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) dt = 12a cos t sin t dt = 12a sin t d sin t = 6a sin2 t
0
0
0
π
2
= 6a.
0
Физические приложения определённого интеграла
Пусть некоторая физическая величина P является функцией отрезка, т. е. P : [α; β] 7→ P [α; β] ,
[α; β]subseteq[a; b] и обладает
свойством
аддитивности,
т. е.
∀ c ∈ (α; β) P [α; β] = P [α; γ] + P [γ; β] .
Теорема. Если существует p ∈ C [a; b] такая, что ∀ x ∈ [a; b] P [x; x + ∆x] = p(x)∆x + o(∆x), ∆x → 0,
Zb
то P [a; b] =
p(x) dx. (∗)
a
τ
Доказательство. Пусть τ = {xk }nk=0
∈ T [a; b]. P [a; b] = P
=
nτ
X
k=1
o(∆xk )
=0 ⇒
∆xk
lim
∆xk →0
p(xk )∆xk + o(∆xk ) = ⇒ o(∆xk ) = ∆xk αk (∆xk ),
где lim αk (∆xk ) = 0
nτ
∪ [xk−1 ; xk ]
k=1
=
nτ
X
P [xk−1 ; xk ] =
k=1
nτ
nτ
X
X
p(xk )∆xk +
∆xk αk (∆xk ). (∗∗)
=
k=1
k=1
∆xk →0
Имеем: lim
|τ |→0
nτ
X
k=1
Zb
p(xk )∆xk −−−−→
p(x) dx,
|τ |→0
a
nτ
X
k=1
∆xk αk (∆xk ) ≤ max αk (∆xk )
k=1,nτ
nτ
X
k=1
∆xk −−−−→ 0.
|τ |→0
Переходя к пределу в равенстве (∗∗), получаем (∗). 2
• Подинтегральное выражение dP(x) = p(x) dx называют дифференциалом физической величины
P.
R
Пример. Найти силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму полукруга радиуса R.
O
Давление на глубине h равно ρgh, где ρ – плотность воды, g – ускорение
свободного падения. Введём систему координат XOY и рассмотрим бесконечно тонкий слой стенки плотины, лежащий на глубине x, толщины dx.
x
x+dx
x
Сила, с которой вода давит на этот слой равна произведению ρgx на его площадь.
С точностью до
√
бесконечно малых более высокого порядка, чем dx, получаем: dF (x) = 2ρgx R 2 − x 2 dx. В результате
ZR p
ZR p
ZR
q
R
2ρg
2ρgR 3
x R 2 − x 2 dx = −ρg
R 2 − x 2 d(R 2 − x 2 ) = −
(R 2 − x 2 )3 =
.
F =
dF (x) = 2ρg
3
3
0
0
0
0
y