Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
реклама
Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И МЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _________________С.Г. Дембицкий "_____"__________________20___ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Направление подготовки 080100 – ЭКОНОМИКА Профиль подготовки Финансы и кредит Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная, очно-заочная, заочная Рекомендовано Ученым советом НОУ ВПО «МПСУ» (протокол № ___ от 20__ г.) Одобрено кафедрой ____________________ (протокол № ____ от 20__ г.) Зав.кафедрой __________________________ Москва 2012 Иволгина С.В. доцент кафедры математических методов и моделей в экономике Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра». Программа для студентов, обучающихся по направлению 080100 - «Экономика» профиль подготовки «финансы и кредит»— М.: Московский психолого-социальный университет, кафедра «Математические методы и модели в экономике», Дисциплина «Линейная алгебра» является обязательной дисциплиной, входящей в программу обучения в Московском психолого-социальном университете по математическому циклу, в рамках специальности «Финансы и кредит». В рабочей программе дисциплины представлены требования к уровню освоения дисциплины, тематический план изучения дисциплины, варианты задач и контрольных работ по отдельным темам для самостоятельного изучения и методические указания по решению задач по темам, вопросы для подготовки к зачету и экзамену. Рецензент: Балдин К.В. – д.э.н., зав. кафедрой «Математические методы и модели в экономике». 2 1. Цели освоения дисциплины Курс «Линейная алгебра» входит в программу обучения в Московском психолого-социальном университета при изучении дисциплин «математического цикла» ФГОС ООП по направлению «Экономика». Его цель – структуризация мышления и развитие логических способностей студентов, усвоение всех необходимых сведений и методов расчетов, которые в дальнейшем используются как в общепрофессиональных дисциплинах, так и в предметах специализации. Достижение указанной цели возможно при решении следующих задач: овладение базовыми разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования экономических задач; определение и упорядочение необходимого объема информации при постановке, реализации и обработке итоговых результатов математической модели экономической задачи; овладение прикладными расчетными приемами по реализации вычислительных аспектов математических задач; освоение навыков использования справочной и специальной литературы. 2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ООП) бакалавриата Дисциплина «Линейная алгебра» относится к математическому циклу ООП. Изучение данного курса предполагает наличие базовых знаний, полученных студентами в процессе освоения школьного курса математики Курс «Линейная алгебра» является основой изучения комплекса математических и экономических дисциплин, предусмотренных программой обучения студентов по направлению «Экономика», профилю «Финансы и кредит», таких как: «Теория вероятностей и математическая статистика», 3 «Математический анализ», «Методы оптимальных решений», «Статистика», «Менеджмент», «Логистика», «Эконометрика», «Финансовая математика», а также служит основой финансовых и актуарных вычислений в различных дисциплинах. 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Линейная алгебра» В результате освоения дисциплины «Линейная алгебра» формируются часть компетенций ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10, ПК-12, ПК-14, ПК-15 Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки «Экономика». В результате освоения дисциплины обучающийся должен: знать: способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12) ; уметь: способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально- экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1); способен на основе типовых нормативно-правовой базы социально-экономические методик и действующей рассчитать показатели, экономические и характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2); 4 способен выполнить необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3); способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5); способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические эконометрические модели, анализировать и и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6); способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10); Способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4); Способен использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-12); владеть: владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13); 5 4. Структура и содержание дисциплины «Линейная алгебра» Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц (180 часа). Очная форма обучения (срок обучения 4 года) Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Из них аудиторные занятия № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е с т р В С Е Г О Л е к ц и и 1 Элементы теории множеств 1 13 2 Комплексные числа 1 23 Матрицы 1 18 Определители 1 18 4 72 18 3 4 ИТОГО 5 6 Решение систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Линейные формы. Линейная зависимость и независимость. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера- 2 40 2 68 5 5 4 6 6 Ла бо ра то р. пр ак ти ку м П ра кт ич ес к. за ня ти я/ се м и на р ы И нт ер ак ти в С а м ос то ят ел ьн ая ра бо та К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я р а б о т а Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) 8 опрос 12 6 опрос, решение индивидуальных заданий 6 опрос, решение индивидуальных заданий 8 6 опрос, решение индивидуальных заданий 36 18 зачет 20 опрос, решение индивидуальных заданий 48 опрос, решение индивидуальных заданий 8 14 14 6 Капелли. 2 28 68 180 30 64 ВСЕГО Заочная форма обучения (срок обучения 5 лет) 86 ИТОГО 108 12 экзамен Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Из них аудиторные занятия № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е с т р В С Е Г О 1 Элементы теории множеств 3 13 2 Комплексные числа 3 23 Матрицы 3 18 Определители 3 18 3 40 3 68 3 4 5 6 Решение систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Линейные формы. Линейная зависимость и независимость. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли. Л е к ц и и 0,5 0,5 1 1 1 2 Ла бо ра то р. пр ак ти ку м П ра кт и че ск .з ан ят ия / се м и на р ы 1 1 1 1 2 4 И нт ер ак ти в С а м ос то ят ел ьн ая ра бо та К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я р а б о т а Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) 11,5 опрос 21,5 опрос, решение индивидуальных заданий 16 опрос, решение индивидуальных заданий 16 опрос, решение индивидуальных заданий 37 опрос, решение индивидуальных заданий 62 опрос, решение индивидуальных заданий 7 180 ИТОГО 6 10 экзамен 164 Заочная форма обучения (срок обучения 4 года) на базе СПО Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Из них аудиторные занятия № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е с т р В С Е Г О 1 Элементы теории множеств 2 13 2 Комплексные числа 2 23 Матрицы 2 18 Определители 2 18 2 40 2 68 3 4 5 6 Решение систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Линейные формы. Линейная зависимость и Л е к ц и и 0,5 Ла бо ра то р. пр ак ти ку м П ра кт и че ск .з ан ят ия / се м и на р ы 0,5 1 0,5 0,5 1 1,5 0,5 0,5 1 2,5 И нт ер ак ти в С а м ос то ят ел ьн ая ра бо та К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я р а б о т а Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) 12 опрос 22 опрос, решение индивидуальных заданий 17 опрос, решение индивидуальных заданий 17 опрос, решение индивидуальных заданий 38 опрос, решение индивидуальных заданий 64 опрос, решение индивидуальных заданий 8 независимость. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли. 180 ИТОГО 4 6 экзамен 170 Заочная форма обучения (срок обучения 3.5 года) Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Из них аудиторные занятия № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е с т р В С Е Г О 1 Элементы теории множеств 2 13 2 Комплексные числа 2 23 Матрицы 2 18 Определители 2 18 3 4 Л е к ц и и 0,5 Ла бо ра то р. пр ак ти ку м П ра кт и че ск .з ан ят ия / се м и на р ы 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 И нт ер ак ти в С а м ос то ят ел ьн ая ра бо та К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я р а б о т а Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) 12 опрос 22 опрос, решение индивидуальных заданий 17 опрос, решение индивидуальных заданий 17 опрос, решение индивидуальных заданий 9 5 6 Решение систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Линейные формы. Линейная зависимость и независимость. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли. ИТОГО 2 40 2 68 1,5 180 4 1 38 опрос, решение индивидуальных заданий 2,5 64 опрос, решение индивидуальных заданий 6 170 экзамен 1 Заочная форма обучения (срок обучения 3 года) на базе ВПО (экзамен) 170 часов – уже изучено и переаттестовано. Содержание курса ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Основные виды числовых множеств в математике. ТЕМА 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные определения. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Равенство. Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Факториал и операции с ним. Использование комплексных чисел как необходимый элемент при изучении ряда разделов математики. 10 ТЕМА 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителя. Метод треугольника. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Свойства определителей. Определители п-го порядка. Определители как вспомогательный материал, облегчающий запись и анализ ряда операций (обратная матрица, преобразование уравнений кривых и т.п.). ТЕМА 4. МАТРИЦЫ Основные определения. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами. Транспонирование и его свойства. Обратная матрица: определение, свойства. Понятие о собственных числах и векторах матрицы. Ранг матрицы. ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Решение систем линейных уравнений (СЛУ) по формулам Крамера. Решение СЛУ методами Гаусса и Жордана – Гаусса. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы. ТЕМА 6. РАНГ МАТРИЦЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ. КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. Определение ранга матрицы. Различные способы вычисления ранга матрицы. Понятие линейной формы. Линейная зависимость и независимость. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Использование теоремы Кронекера – Капелли для исследования систем линейных уравнений, т.е. выяснения совместности системы. 11 5. Образовательные технологии Комплексное изучение учебной дисциплины «Линейная алгебра» предполагает овладение материалами лекций, учебной литературы, творческую работу студентов в ходе проведения практических, а также систематическое выполнение заданий для самостоятельной работы студентов. В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студента к практическим занятиям. Основной целью практических занятий является контроль степени усвоения пройденного материала, закрепление материала и развитие навыка самостоятельного решения задач. При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет обеспечивается значительно активизировать следующими процесс предоставляемыми обучения. Это возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. Получение знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio при проведении занятий по данной изучаемой дисциплине возможно с помощью специального обучающего курса на электронном носителе, который можно получить на факультете экономики, менеджмента и международного туризма. 12 6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины 6.1. Виды самостоятельной работы и формы контроля 13 6.2. ТЕМАТИКА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ N Наименование тем темы 1. 2. 3. 4. 5. 6 Содержание самостоятельной работы Форма контроля Элементы теории множеств Решение задач на действия над множествами Контрольная работа, математический диктант Комплексные числа Решение задач на операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах Контрольная работа, математический диктант, индивидуальные задания Определители Вычисление определителей методом треугольника. Нахождение миноров, алгебраических Контрольная работа, дополнений. индивидуальные Вычисление задания определителей по теореме Лапласа, по свойствам определителей, методом дописывания столбцов Матрицы Алгебраические операции над Контрольная работа, матрицами. Нахождение индивидуальные обратной матрицы, задания ранга матрицы Решение систем линейных уравнений Решение СЛУ по формулам Крамера, методами Гаусса и Жордана – Гаусса, с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. вычисление ранга матрицы. Линейные формы. Линейная зависимость и независимость. Различные способы вычисления ранга матрицы. Линейная зависимость и независимость. Использование теоремы Кронекера – Капелли Контрольная работа, индивидуальные задания 14 Контрольная работа, индивидуальные ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Решение задач на действия над множествами. ТЕМА 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. 2. Решение задач на операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. 3. Факториал и операции с ним. ТЕМА 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1. Определители 2-го и 3-го порядка. 2. Вычисление определителей методом треугольника. 3. Нахождение миноров, алгебраических дополнений. 4. Вычисление определителей по свойствам определителей, методом дописывания столбцов (строк). 5. Вычисление определителей по теореме Лапласа. ТЕМА 4. МАТРИЦЫ 1. Алгебраические операции над матрицами. 2. Нахождение обратной матрицы. ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Решение СЛУ по формулам Крамера. 2. Решение СЛУ методами Гаусса и Жордана – Гаусса. 3. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы. ТЕМА 6. РАНГ МАТРИЦЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ . КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ 15 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. 1. Вычисление ранга матрицы различными способами. 2. Линейная зависимость и независимость. 3. Использование теоремы Кронекера – Капелли для исследования систем линейных уравнений, т.е. выяснения совместности системы и решение этих систем в случае совместности. 6.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАМ ТЕМА 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Вычислить определители: а) 1 0 2 0 2 0 2 0 3 б) 1 5 2 0 7 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 3 1 2 3 3 1 6 1 2 в) г) 1 2) Решить уравнение а) 3) Решить уравнение а) 1 1 4 5 2 1 x 1 0 5 ; б) 4 3 x 2x3 2; 3x б) 3 1 5 2 0 1 0 2 1 3 6 2 9 8 3 4 5 2 1 4 sin x 1 Решить неравенство: 3 2 1 x 2 0. 1 2 1 а) 1 1 5 3 1 0 5 1 0 . cos x 2 0 x 2 x 2 x2 1 4) 4 x б) 3x 4 2x 14 . в) 1 ТЕМА 4. МАТРИЦЫ 1) Найти матрицу С = А – 5В, если А = 1 2 1 A 0 1 4 2) и 1 1 3 2 ; В= 5 1 4 . 2 21 0 B . Вычислить C3A2B 3 2 2 16 3) Найти матрицу С = 2А – 3В, если А = 1 2 4) Вычислить: а) 2 1 1 0 1 2 3 2 3 0 1 2 3 3 4 1 3 · 1 2 2 1 1 1 2 3 3 · 1 4 4 7 1 2 3 6 4 3 5 2 1 3 в) В= 2 1 3 . 2 б) 5 0 2 3 2 1 1 3· 3 1 1 2 3 2 1 4 г) 4 · 1 5) Вычислить: а) в) 4 · 6 3 1 5 2 ; 2 4 3 · 6 5 0 2 3 4 1 5 3· 3 1 1 2 9 6 6 4 б) 6 2 7 4 2 1 1 г) 2 3 0 1 2 3 3 6 1 5 · 3 2 2 5 0 1 2 3 4 5 1 1 2 2 3 · 1 4 2 1 3 1 2 1 · 6) Найти значение многочлена Р(х) от матрицы А: а) Р(Х) = х3 –3 х + 1 . А = 1 1 2 . 3 б) Р(Х) = х3 –3 х. А 7) Найти матрицу Х, для которой A2X3B, если 3 1 3 1 0 1 3 1 3 0 1 1 0 A1 3 1; B3 3 1. 2 1 0 4 1 2 8) Найти А·В 9) Показать, 2 1 1 4 2 0 1 , B 1 и В·А, если A 1 1 1 2 1 что данная матрица A 0 1 0 3 . 1 0 3 4 является корнем ( X ) X 6 X 8 X 9 многочлена P . S 3A2B - симметрическая, 10) Показать, что матрица 3 если 1 1 2 A3 3 6 ; 2 2 3 2 4 3 5 B 3 1 4. 5 8 1 5) Вычислить ранг матрицы 17 а) 3 1 1 3 1 6 1 1 3 б) 2 3 4 1 1 1 2 1 3 5 9 0 3 1 1 в) 1 1 2 2 3 4 2 1 3 2 4 4 1 2 2 6 1 2 3 4 2 1 0 3 ТЕМА 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1) Решить систему уравнений тремя способами: пользуясь формулами Крамера; методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса); методом обратной матрицы. 1) 3x15x23x3 46 x12x2 x3 8 x 7x 2x 5 1 2 3 3) x14x22x3 0 3x15x2 x3 21 3x x x 4 1 2 3 5) 3x1 x2 2x3 11 2x12x2 3x3 9 x 5x 8x 23 1 2 3 2) x346 5x19x214 x17x25x3 11 5x21 x35 1 x227 4x17x2 2x3 0 2x13x24x3 16 3x 8x 7x 22 1 2 3 4) 6) 5x16x23x3 12 2x15x2 x3 9 4x 3x 2x 15 1 2 3 18 7) 2x13x24x3 15 x1 x25x3 16 3x 2x x 5 1 2 3 9) 5x119x2 x3 0 2x1 5x2 x3 6 8x 31 1 x24x3 35 8) x113 x24x310 12 x3 0 7x19x211 12 x215 x37 x117 10) 8x1 x23x3 22 4x1 x26x3 1 13x x 18x 5 1 2 3 2) Исследовать и решить 2x3yz5 2) 3) x2y3z4. 3x y2z5 x2y3z 4 x2y3z 4 5) 2xyz 3 6) 2xyz 3 . 3x3y2z 7 3x3y2z 0 2x3y7 1) 3x4y2 2x y 5 x 3z 16 . 5y z 10 2x3y6 4x6y5 4) 3x5y7zt 0 5x7yz3t 4 7) x3y5z7t 12 7xy3z5t 16 3. Найти обратную матрицу к данным матрицам: 1) А = 3 1 5 1 3 1 2 0 2 2 1 3 2) В = 4 8 5 4 7 1 3 5 1 3) С = 1 2 1 1 1 1 1 1 4) 2 Д = 2 1 4 2 3 3 а) 3 4 А 9 8 б) А 0 0 1 3 1 0 1 1 3 в) С = 3 1 1 3 1 6 1 1 3 4. Решить системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы: 19 x1 x2 x3 3 1) 2x1 x2 x3 11 x x 2x 8 1 2 3 2x13x2x360 3x14x23x350 5) x x x 20 1 2 3 x12x2x3 8 2) 2x13x23x3 5 3x 4x 5x 10 1 2 3 3x1x2 9 x12x2 x3 5 3x 4x 2x 13 1 2 3 3) 2x1 2x2 x3 6 3x2 4x3 6 x x 1 1 3 4) ТЕМА 6. РАНГ МАТРИЦЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ . КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. 1. Вычислить ранг матрицы: 5 6 2 1) А1 = 4 1 5 2 6 1 1 3 7 2 5 1 0 4 8 3 = 3 6 104 7 5 1 0 3 0 2 4) А4 = 1 3 1 3 1 0 2) А2 = 1 5 1 6 3 0 4 6 5) 0 5 1 4 1 2 1 4. 1 3 4 6 2 4 А5 = 0 2 3) А3 1 3 1 7 5 3 5 3 3 3 2 2 4 0 3 5 Исследовать системы уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли и в случае их совместности найти решение либо методом Гаусса, либо методом Жордана-Гаусса. 1) 3x1 2x2 x3 5 x1 x2 x3 0 ; 4x x 5x 3 1 2 3 x1 2x2 3x3 14 3x 2x x 10 2 3 1 3) x1 x2 x3 6 2x 3x x 5 1 2 3 x1 x2 3 x 3 x 5 x 7 x 9 x 1 1 2 3 4 5 x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 2) 1 2 3 4 5 2 x 11 x 12 x 25 x 22 x 4 1 2 3 4 5 x1x2 x3 x4 0 x 2x 2x x 5 1 2 3 4 4) 2x1x2 3x3 2x4 1 x12x2 3x3 6x4 10 20 2x1 3x2 x3 x4 3 2x1x2x3x4 1 3x x 2x 4x 8 1 2 3 4 5) 6) x2 x32x4 2 x1 x2 3x3 2x4 6 2x 2x 3x 3 1 2 4 x1 2x2 3x3 5x4 3 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 x3 2x4 6 2x x 3x 2x 1 x 2x x 6 1 2 3 4 1 2 4 7) . 8) x1 x2 2x4 6 x2 x3 3x4 16 2x1 3x2 2x3 6 3x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 2x3 x4 1 x 3x x x 0 1 2 3 4 9) . 4x1 x2 x3 x4 1 4x1 3x2 4x3 x4 2 6.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ПО ПОДГОТОВКЕ И ПРОВЕДЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ ЛЕКЦИЙ Лекция (от лат. lectio – чтение) – систематическое, последовательное и ясное изложение преподавателем учебного материала или какого-либо научного вопроса. При необходимости может сопровождаться демонстрацией слайдов и фильмов. Как одна из организационных форм и методов обучения традиционна для высшей школы. Лекция – экономный по времени способ сообщения студентам значительного объема информации. В среднем учебная лекция занимает 1,5 – 2 часа. Основными современными требованиями, предъявляемыми к лекции, являются: целостное и систематическое изложение материала, его научность, 21 доступность, органичная связь с другими видами учебных занятий. Лекция должна иметь: четкую структуру и логику раскрытия последовательно изучаемых вопросов; иметь законченный характер освещения определенной темы (проблемы), связь с предыдущим материалом; быть доказательной и аргументированной, содержать достаточное количество примеров, обоснований, доказательств; ставить перед студентами вопросы для размышления; лектор должен уметь пробуждать интерес к знаниям, стимулировать к самостоятельной работе; лектору необходимо уметь удерживать внимание аудитории, его речь должна быть культурной, т.е. отличаться смысловой точностью и грамматической правильностью; он должен владеть специальной терминологией и уметь ее разъяснять. От лектора требуется не только четкое и логически связное изложение содержания предмета, но и умение направить и стимулировать слушателей к активной мыслительной работе. Восприятие лекции слушателями зависит от качества материала. Главное в лекции – умение активизировать познавательную деятельность слушателей, добиться ответной мыслительной реакции. Лекция призвана подтолкнуть студентов к размышлению, подсказать направления самостоятельной работы, побудить к действию. В каждой лекции должны быть неразрывно объединены два начала образовательное и воспитательное. В лекции не должно быть ничего лишнего, все направляется на достижение поставленной цели, на раскрытие основной идеи, на доказательство того или иного положения. Существенное значение имеет использование на лекции средств обратной связи различной степени сложности. Обратная связь выступает как способ для лектора получать представление о ходе усвоения материала и активности аудитории. Подготовка лекции - это процесс, включающий в себя сбор, накопление и 22 распределение материала по времени, продумывание логического построения лекции, выделение наиболее важных моментов из всего материала. Лекция должна аккумулировать все накопленные материалы, так или иначе относящиеся к теме. Процесс подготовки к лекции индивидуален и во многом зависит от сложности темы, подготовленности преподавателя, особенностей учебной группы. Однако, несмотря на это, можно выделить основные этапы в процессе подготовки, характерные для лекции по любому учебному предмету. К ним относятся: изучение исходной документации; разработка замысла лекции и выбор целесообразной методики; оформление лекции, репетиция. Структура лекции: название темы; указание времени на лекцию в целом, вводную часть, основную часть, заключение; вводная часть; основная часть; краткие выводы по каждому из вопросов; заключение; список использованной литературы. К исходной документации, которой обязан руководствоваться преподаватель, относится программа учебной дисциплины, учебники и учебнометодические пособия, частные методики преподавания дисциплины, расписание занятий со студентами. При разработке замысла лекции одной из важных задач преподавателя является постановка учебной проблемы. Умение найти основную идею в каждой лекционной теме имеет решающее значение для ее успеха. Как правило, тема лекции определена учебной программой данной дисциплины. Она обязательна для преподавателя. Изменения в названии темы, постановке учебных вопросов обязательно обсуждаются на кафедре и только после соответствующего утверждения вносятся коррективы. 23 Самостоятельно изменять их формулировку преподаватель не имеет права. Его право – выбирать содержание, соответствующее теме и учебным вопросам, а также методы, ведущие к достижению оптимального результата познавательной деятельности студентов. При выборе методов преподаватель исходит из соображения педагогической целесообразности и учета состава студенческой аудитории. При разработке структуры лекции важно смоделировать эффект ее воздействия, расчленить учебный материал на модули, логически увязанные друг с другом, сформулировать основные идеи и выводы по каждому учебному вопросу и теме в целом; надо так подойти к собранному материалу и так знать его, чтобы найти каждому учебному модулю его логическое место. Логическая стройность, соразмерность и взаимосвязь отдельных частей ведет к четкости ее изложения, ясности освещения вопроса, облегчает ее понимание студентами. Оформление лекции заключается, как правило, в разработке ее полного текста или плана-конспекта. Полный текст лекции необходим при чтении лекции по особо важному учебному материалу. В плане-конспекте дается краткое содержание излагаемых вопросов, фактический материал, выводы и обобщения, пометки о времени и месте демонстрации средств наглядности, а также другие пометки, необходимые преподавателю в ходе чтения лекции. В отдельных случаях преподаватель составляет краткий план лекции, включая в него обязательные входные данные и перечень вопросов с распределением их по времени. Вводная часть (введение). Вступление (введение) определяет не только тему и план, но и цель лекции. Оно призвано заинтересовать и настроить аудиторию на слушание материала. На лекции преподавателю необходимо сначала установить контакт с аудиторией, затем, не торопясь, четко и ясно, назвать тему лекции, дать студентам записать ее. Далее перейти к изложению вводной части, в которой определяется место темы в изучаемом курсе и ее значение для практической деятельности студентов, проинформировать о распределении времени на тему. Если это не 24 первая лекция по теме, то преподаватель должен связать ее с предшествующей лекцией. Далее следует перечислить учебные вопросы и дать возможность студентам записать их. Проведение лекции может предусматривать различные варианты ее начала, однако в целом вводная ее часть должна четко ориентировать студентов в рамках рассматриваемой проблемы, а также указать на то, что они должны усвоить на лекции, чему конкретно научиться. Вводная часть лекции не должна занимать более 5 – 7 минут. Темп ее изложения, как правило, выше темпа изложения содержания учебных вопросов, что заставляет обучаемых психологически собраться и сосредоточиться. Важное условие успеха преподавателя на лекции – интонация, выразительность его речи, оптимальность ее ритма и темпа, включение элементов юмора. Определяя темп речи, преподаватель должен учитывать, что студенты записывают только то, что преподаватель подчеркивает голосом, разрядкой речи, педагогическими паузами и повторами отдельных положений, приглашением обучаемых к тому, чтобы они запомнили то или иное положение, выделенное преподавателем. Заключительная часть. Заключение в структуре лекции имеет также большое значение, т.к. именно оно позволяет подвести итоги сказанному, поставить перед студентами необходимые задачи, указать на связь с последующим учебным материалом и порядок подготовки к следующему занятию, ответить на вопросы, возникшие за время лекции. После ответов на возникшие вопросы лектор заканчивает занятие. Необходимо помнить, что к важнейшим преимуществам лекционного обучения относится то, что лектору можно задать вопрос и тут же получить ответ. После того, как на поступивший вопрос дан полный и достаточно обоснованный ответ, преподавателю после лекции следует обдумать, почему заданы такие вопросы, и внести необходимые коррективы в текст лекции. Лекторское мастерство преподавателя, как и его знания, оттачиваются в результате ежедневного труда. Для этого требуется тщательный анализ 25 результатов каждой прочитанной лекции, как по ее содержанию, так и по форме изложения. ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Специфика этого вида занятий (семинаров) состоит в выполнении самостоятельно или под руководством преподавателя заданий и является активной формой учебных занятий. Практические занятия призваны развивать и закреплять у студентов навыки самостоятельной работы, применять полученные на лекциях знания. В ходе семинара вырабатывается умение формулировать, обосновывать и излагать собственное суждение по обсуждаемому вопросу, умение отстаивать свои взгляды, а также углубляются и закрепляются знания, полученные на лекциях и в ходе самостоятельной работы. Во всех случаях семинары выполняют познавательную, воспитательную и контрольную функции, т.е. в ходе подготовки и проведения семинара студенты приобретают более глубокие знания, существенно расширяется их представление об изучаемом предмете, приобретается способность свободно оперировать понятиями и терминами, ранее им незнакомыми. В ходе семинара преподаватель изучает обучаемых, степень усвоения ими материала. Семинары выполняют также и функцию контроля: преподаватель составляет суждение об уровне знаний обучаемых, получает представление о сильных и слабых сторонах их подготовки – все это дает возможность преподавателю своевременно оказать необходимую помощь слабо успевающим студентам. Разумеется, что всего этого удастся достичь только в случае высокой активности студентов, которая напрямую зависит от уровня их подготовленности, а также от умения преподавателя создать атмосферу раскованности, взаимопонимания и взаимодоверия. К традиционным семинарам в высшей школе относят: 26 занятия, основная цель которых – углубленное изучение определенного систематического курса и тематически связанного с ним; занятия, предназначенные для основательной проработки отдельных, наиболее важных и типичных в методологическом отношении тем курса или отдельной темы; Основные функции практического (семинарского) занятия: Познавательная функция. Семинар позволяет организовать творческое, активное изучение теоретических и практических вопросов, установить непосредственное общение преподавателя со студентами, формирует самоконтроль за правильным пониманием изучаемого материала со стороны студентов, расширяет и закрепляет знания, навыки и умения. Воспитательная функция. Семинар осуществляет связь теоретических знаний с практикой, усиливает обратную связь субъекта и объекта воспитания, дает возможность преподавателю изучить индивидуальные особенности каждого студента. Функция контроля. Семинар позволяет проконтролировать уровень знаний, навыков и умений студентов, качество их самостоятельной работы. Подготовка семинара. Работу к организации данного вида занятий преподаватель начинает с определения исходных данных. К ним относятся: тема, вопросы, определенные учебной программой, состав студентов и уровень их подготовки, время и продолжительность занятия, возможности учебно-материальной базы. При разработке исходных данных преподаватель руководствуется учебной программой, которая регламентирует глубину и направленность обучения. Учебные и воспитательные цели преподаватель формулирует исходя из темы, педагогических задач и уровня подготовки студентов. Изучив общие положения и методическую литературу по предмету, преподаватель начинает непосредственную подготовку к занятию. При выборе методов преподаватель исходит из содержания вопросов, подготовленности 27 студентов, целей занятий и возможностей учебно-материальной базы. Необходимо стремиться к тому, чтобы избранные методы обучения и методические приемы способствовали углубленному изучению предмета, а также прививали практические навыки. При расчете учебного времени необходимо учитывать содержание учебных вопросов и цель занятия – чего хочет добиться преподаватель от студентов: овладения ими знаниями или знаниями, навыками и умениями. При подготовке к семинару преподаватель должен подобрать ряд примеров, на которых можно отработать лекционный материал, показать практическое значение темы, тщательно продумать порядок их на занятии. Обязательно необходимо подобрать задания разной сложности (от простого к сложному), а также более сложные задания для сильных студентов. Затем ему необходимо отобрать наглядные определить технические средства пособия для обучения практического и изучить занятия, правила их использования на занятии. Особенно тщательно продумывается задание на самоподготовку студентам, разрабатывается план семинарского занятия. Преподаватель контролирует подготовку студентов к семинару, оказывает им помощь. При личной подготовке к семинарскому занятию преподаватель детально разбирается в теме, просматривает литературные источники, которые рекомендовал для изучения студентам, просматривает систему наглядности на предстоящем занятии. По итогам личной подготовки преподаватель составляет план-конспект. Он является основным рабочим документом преподавателя и определяет направление и ход занятия. Обычно план-конспект составляется в произвольной форме, должен быть прост и удобен для использования на занятии. В нем, как уже отмечалось ранее, должно быть отражены: тема занятия; учебные и воспитательные цели; время, отводимое на занятие; учебные вопросы и распределение времени; метод проведения занятия; место проведения занятия; материальное обеспечение; руководства и пособия; порядок проведения занятия. 28 Перед проведением занятия преподаватель может проверить качество подготовки студентов к занятию. ТЕСТИРОВАНИЕ Контроль в виде тестов может использоваться после изучения каждой темы курса. Итоговое тестирование можно проводить в форме: компьютерного тестирования, т.е. компьютер произвольно выбирает вопросы из базы данных по степени сложности; письменных ответов, т.е. преподаватель задает вопрос и дает несколько вариантов ответа, а студент на отдельном листе записывает номера вопросов и номера соответствующих ответов. Для достижения большей достоверности результатов тестирования следует строить текст так, чтобы у студентов было не более 40 – 50 секунд для ответа на один вопрос. Итоговый тест должен включать не менее 60 вопросов по всему курсу. Значит, итоговое тестирование займет целое занятие. Оценка результатов тестирования может проводиться двумя способами: 1) по 5-балльной системе, когда ответы студентов оцениваются следующим образом: - «отлично» – более 90% ответов правильные; - «хорошо» – более 80% ответов правильные; - «удовлетворительно» – более 70% ответов правильные. Студенты, которые правильно ответили менее чем на 70% вопросов, должны в последующем пересдать тест. При этом необходимо проконтролировать, чтобы вариант теста был другой; 2) по системе зачет-незачет, когда для зачета по данной дисциплине достаточно правильно ответить более чем на 70% вопросов. Чтобы выявить умение студентов решать задачи, следует проводить текущий контроль (выборочный для нескольких студентов или полный для всей группы). Студентам на решение одной задачи дается 15 – 20 минут по 29 пройденным темам. Это способствует, во-первых, более полному усвоению студентами пройденного материала, во-вторых, позволяет выявить и исправить ошибки при их подробном рассмотрении на семинарских занятиях. 6.5.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ Самостоятельная работа студентов в ходе семестра является важной составной частью учебного процесса и необходима для закрепления и углубления знаний, полученных в период сессии на лекциях, семинарах, а также для программой индивидуального и изучения рекомендованной дисциплины литературой. в соответствии Самостоятельная с работа выполняется в виде подготовки домашнего задания. Контроль за качеством самостоятельной работы может осуществляться с помощью устного опроса на лекциях или семинарах, группового решения задач, проведения коллоквиума, проверки письменных контрольных работ. Устные формы контроля помогут оценить понимание студентами материала (применение теорем, свойств), умение передать нужную информацию, грамотно использовать математические термины. Письменные работы помогут преподавателю оценить насколько студенты владеют материалом, умение пользоваться свойствами, теоремами, методами решения задач. В ходе написания контрольной работы студент приобретает навыки самостоятельной работы с научной, учебной и специальной литературой, учится анализировать источники и грамотно излагать свои мысли. 6.6. КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ СМЕТОДИЧЕСКИМИ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Определители второго и третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Определение. Определителем второго порядка, который соответствует 30 a a 11 12 ( 2 ;2 ) квадратной матрице второго порядка A , называется число, a a 21 обозначаемое символом a a 11 12 a21 a22 Это иллюстрируется схемой: Пример. a a a a 11 22 21 12 . и равное: Таким образом, по определению 22 a a 11 12 a a a a 11 22 21 12 . a21 a22 * * * * = * * * * – * * * * . 2 3 2 ( 1 ) 4 ( 3 ) 10 . 4 1 Следует отметить, что прямоугольным (не квадратным) матрицам определители не соответствуют. Определение. Определителем третьего порядка, который соответствует a a a 11 12 13 A ( 3 ; 3 ) a a a 21 22 23 квадратной матрице третьего порядка a a a 31 32 33 называется a11 a12 a13 число, обозначаемое символом a21 a22 a23 и равное: a31 a32 a33 a a a 11 22 33 + a12a23a31+ a21a32a13– a31a22a13– a21a12a33– a32a23a11 При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться «правилом треугольника», которое вытекает из приведенной формулы и символически записывается в виде: + + – – – – Пример. 31 1 2 3 2 1 4 5 3 2 = (–1)·1·2 + 2·4·5 + (–2)·(–3)·3 –5·1·3 – (–2)·2·2 –(–3)·4·(–1) = = –2 + 40 + 18 – 15 + 8 – 12 = 37. Можно указать еще одно правило вычисления определителя третьего порядка, которое является более простым. Символически оно записывается в виде: – здесь к таблице, из которой составлен определитель, приписывается еще раз первый, а затем второй столбец. Пример. Вычислить определитель: 2 1 4 3 2 5 1 3 6 . 2 1 42 1 Решение. 3 2 53 2 = 1 3 61 3 = 2·(–2)·6 + (–1)·5·1 + 4·3·(–3) – 4·(–2)·1 – 2·5·(–3) – (–1)·3·6 = = –24 – 5 – 36 + 8 + 30 + 18 = –9. Определение. Минором Мij элемента aij квадратной матрицы А(п;п) называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания в нем строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Для определителя второго порядка : М11 = а22; М12 = а21; М21 = а12; М22 = а11. Пример. 2 1 3 4; М11 = –4; a a 11 12 : a21 a22 М12 = 3; М21 = 1; М22 = – 2. Для определителя третьего порядка a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 : М11 a22 a32 a23 a33 ; a21 М12 = a31 a23 a33 и т. д. 32 Пример. ∆= Найти М13 и М32 4 3 0 1 4 5 2 3 для определителя третьего порядка 2 . Решение. М13 = 0 1 5 2 = 0 + 5 = 5; М32 = 4 2 0 4 = – 16 – 0 = – 16. Определение. Алгебраическим дополнением Аij квадратной матрицы А(п;п) элемента аij называется минор этого элемента Mij, умноженный на число (–1)i+j , т.е. Аij = (–1)i+j · Mij . Таким образом, если сумма индексов i+j элемента аij четная, то алгебраическое дополнение к этому элементу по знаку совпадает с его минором, т.е. Аij = Mij; если же сумма индексов i+j элемента аij нечетная, то алгебраическое дополнение к этому элементу противоположно по знаку с минором этого элемента, т.е. Аij = –Mij. Пример. Найти А11 и А22 для определителя ∆ : 2 3 4 5 . Решение. А11 =М11=5; А21= – М21= – (–3) = 3. Пример . Найти А23 и А31 для определителя ∆ = 5 4 3 2 1 5 0 2 4 . Решение. А23 =– М23 = – А31 = М31 = 5 4 0 2 4 3 1 5 = – (10 – 0) = – 10. = 20 + 3 = 23. Перейдем непосредственно к методу Крамера. Система трех линейных уравнений с тремя переменными х, у, z имеет вид a11xa12ya13zb1 : a21xa22ya23zb2 . a xa ya zb 31 32 33 3 Рассмотрим определители 33 a11 a12 a13 b 1 a21 a22 a23 x b2 a31 a32 a33 b3 a12 a13 a22 a23, a11 b 1 y a21 b2 a32 a33 a31 b3 a13 a11 a12 b1 a23 , z a21 a22 b2 . a33 a31 a32 b3 Возможны случаи : 1) ∆ 0 - система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера: x y z x y . z 2) Если ∆ = 0, но хотя бы один из ∆x , ∆y не равен нулю, то система уравнений не имеет решений. 3) Если ∆ = ∆х = ∆у =0, то система уравнений имеет бесчисленное множеств решений. Решим теперь методом Крамера систему уравнений : 3x1x2 2x3 6 4 5x13x2 2x3 4x 2x 3x 2 2 3 1 Решение. 1. Находим главный определитель системы 3x1x2 2x3 6 4: 5x13x2 2x3 4x 2x 3x 2 2 3 1 3 1 2 5 3 2 3 ( 3 ) ( 3 ) 1 2 4 5 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 3 ) ( 2 ) 5 1 ( 3 ) ( 2 ) 2 3 ∆= 4 2 3 27 8 20 24 15 12 58 Так как главный определитель системы не равен нулю, она имеет единственное решение. 2. Находим вспомогательные определители: x1 , Определитель x получается из главного определителя ∆ 1 x2 , x3 . путем замены в 34 нем первого столбца на столбец свободных членов. 6 1 2 x1 = 4 32 54 4 16 12 12 24 58 . 2 2 3 Определитель x2 получается из главного определителя ∆ путем замены в нем второго столбца на столбец свободных членов. 36 2 x2 = 5 42 36 48 20 32 90 12 174 . 4 2 3 Определитель x3 получается из главного определителя ∆ путем замены в нем третьего столбца на столбец свободных членов. 31 6 3 4 18 16 60 72 10 24 0 x3 = 5 . 4 2 2 x x x 3 1 2 3. По формулам Крамера: x1 = 1 ; x2 = 3 ; x3 = 0 . Проверка. 3∙1 + 3 – 2∙0 = 6 – верно 5∙1 – 3∙3 + 2∙0 = – 4 – верно 4∙1 – 2∙3 – 3∙0 = – 2 – верно. Решим теперь эту же систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных). Пояснение данного метода решения мы будем вести на конкретном 3x1x2 2x3 6 примере: 5x13x2 2x3 4. Из первого уравнения выразим неизвестное x2 и 4x 2x 3x 2 2 3 1 подставим в остальные уравнения. (т.к выражение любого другого неизвестного сопряжено с возникновением дробей.) Будем иметь: x 6 3 x 2 x 2 1 3 5 x 3 ( 6 3 x 2 x ) 2 x 4 1 1 3 3 4 x 2 ( 6 3 x 2 x ) 3 x 2 1 1 3 3 x2 63x1 2x3 x1 6x3 14 14 10 x1 7x3 10 Попутно замечаем, что обе части второго уравнения можно сократить на 35 общий множитель 2. Выразим из второго уравнения неизвестное x3 и подставим в третье уравнение. x2 63x1 2x3 x2 6 3x1 2x3 7 7 x x 7 x 3 x 7 3 1 1 3 3 3 10x 7x 10 7 7 1 3 10x1 7 x1 10 3 3 x 2 6 3x1 2 x3 7 7 x3 x1 3 3 19 19 x 1 3 3 x2 631203 7 7 x3 1 0 . 3 3 x1 1 Метод обратной матрицы. Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если А· А–1= А–1· А = Е, где Е – единичная матрица. ( для матрицы третьего порядка она имеет вид : Е = 1 0 0 0 1 0 0 0 . 1 Отметим, что Обратную матрицу имеют только квадратные матрицы, у которых определитель не равен нулю. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя a11x1a12x2a13x3b1 a21x1a22x2a23x3b2. неизвестными в общем виде: axa x ax b 311 322 333 3 a11 a12 a13 Введем матрицы Aa21 a22 a23, a a a 31 32 33 x1 X x2 , x 3 b1 B b2 . b 3 В матричной форме система принимает вид: А · Х = В, откуда Х = А –1 · В и, следовательно решение системы сводится к нахождению матрицы А–1. Дадим схему нахождения матрицы А–1: 1. вычисляется определитель А матрицы А (если он равен нулю, то 36 обратной матрицы не существует). 2. вычисляются алгебраические дополнения Aij ко всем элементам аij матрицы A; и составляется матрица А* из алгебраических дополнений; 3. составляется матрица А*T — транспонированная к матрице А* (матрица, получающаяся из матрицы А * заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А*); 4. каждый элемент матрицы А *T делится на определитель ∆ 0. Итак, окончательно А–1 = A11 1 A12 ... A 1n A21 ... An1 A22 ... An2 ... ... ... . A2n ... Ann Решим нашу систему методом обратной матрицы. 3x1x2 2x3 6 Пример. 5x13x2 2x3 4. 4x 2x 3x 2 2 3 1 3 1. Находим определитель системы: ∆ = 1 5 3 2 2 58 4 2 3 . Определитель системы не равен нулю, следовательно обратная матрица существует. 2. Находим алгебраические дополнения: 3 2 А 13 11 ; 2 3 5 2 А 23 12 ; 4 3 5 3 А 2 13 ; 4 2 1 2 А 7 21 2 3 ; 3 2 А 1 22 ; 4 3 3 1 А 10 23 ; 4 2 1 2 А 4 31 ; 3 2 3 2 А 16 32 ; 5 2 3 1 А 14 33 . 5 3 3. Составляем матрицу из алгебраических дополнений: А = * 2 13 23 7 1 10 . 4 16 14 4. Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений : 37 А*т = 5. 4 13 7 23 1 16 . 2 10 14 Разделив каждый элемент транспонированной матрицы на 13 7 4 1 –1 23 1 16 . определитель, получим обратную матрицу: А = 58 2 10 14 Далее необходимо перемножить две матрицы А–1 и В. В отличие от операций сложения (вычитания) и умножения на число, операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным способом. Можно говорить о произведении прямоугольных матриц А и В в том случае, если число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В, причем число строк матрицы А·В равно числу строк матрицы А, число же столбцов матрицы А·В равно числу столбцов матрицы В. Правило умножения матриц можно сформулировать следующим образом: чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и k-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i -й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы k-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Умножив слева обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов, получим искомую матрицу – столбец неизвестных задачи. X= А–1 6 78288 58 1 1 1 13 7 4 1 23 1 16 ∙ 4 = 138 ∙В= 58 = 174 = 3 4 32 0 2 10 14 2 58 58 124028 0 x1 1 x2 3 . x3 0 Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Критерий совместности системы линейных уравнений. 38 Рассмотрим матрицу размерности тxп вида А(т; п) a11 a12 a21 a22 = ... ... a m1 am2 ... a1n ... a2n ... ... . ... amn Возьмем натуральное число к такое, что k ≤ т и k ≤ п. Выделим в матрице А какие либо k строк и k столбцов. Тогда образуется квадратная матрица k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Число всех миноров различных порядков даже в матрице небольшой размерности может быть велико. Например, матрица а11 а21 А(4;5) = а 31 а 41 а12 а13 а14 а15 а22 а23 а24 а25 а32 а33 а34 а35 имеет 5 миноров 4-го поряд., 40 миноров а42 а43 а44 а45 3-го, 60 миноров 2-го и 20 миноров 1-го Определение: Рангом матрицы А(т;п) называется наибольший порядок ее не равных нулю миноров. Ранг матрицы А обозначается RangA или r(А). Из этого определения следует, что для вычисления ранга матрицы необходимо вычислить все миноры всех порядков матрицы А(m;п), отобрать из них неравные нулю и установить, какой среди них имеет наибольший порядок. Однако такой способ вычисления ранга матрицы является непригодным изза громоздкости вычислений, так как у матрицы имеется много миноров. Например, у матрицы А(4;5) имеется 125 миноров. В связи с этим возникает вопрос о более коротком способе вычисления ранга матрицы. Один из таких способов основан на теореме об окаймлении. Теорема об окаймлении: Если в матрице А(т;п) имеется минор порядка r, не равный нулю, а все его окаймляющие миноры порядка (r +1) равны нулю, то ранг матрицы А(т;п) равен r т.е. RangA=r. Из этой теоремы вытекает практическое правило вычисления ранга матрицы: находим в матрице какой-либо минор М ≠ 0 и вычисляем все его окаймляющие миноры. Если все они равны 0, то ранг матрицы равен порядку минора М. Если окажется какой-либо не равный 0 минор М', то дальнейшее 39 вычисление окаймляющих миноров прекращаем и переходим к окаймлению минора М’ т.е. повторяем описанный цикл вычислений. Пример. Вычислить Рассмотрим, например, M = ранг матрицы 3 0 0 5 1 3 = 2 5 А(4;5) 2 3 9 4 0 5 4 1 3 2 1. 3 2 3 0 0 = – 15 0. Это значит, что Rang А ≥ 2. Возьмем далее три минора третьего порядка M1, М2 и М3 , окаймляющих минор М: Вычисляем М1 = 1 3 0 3 0 5 2 3 2 = 30 – 18 + 15 = 27 (0). Следовательно, Rang А ≥ 3. Так как М1≠ 0, то остальные два окаймляющих миноров вычислять не надо. Будем теперь рассматривать окаймляющие миноры четвертого порядка для миноpa M1 их два: N1 = 1 2 3 0 1 3 0 9 3 4 0 5 3 0 5 4 2 1 3 2 2 3 2 1 5 3 2 3 5 2 3 0 и N2 = Так как N1 = 31(≠ 0), то RanqA ≥ 4 и минор N2 считать не нужно. А так как миноров 5-го порядка в матрице А нет, то RanqA=4. Пример 2. Найти ранг матрицы А= 1 2 3 4 1 2 4 5. 1 10 1 2 Решение. Нетрудно заметить, что максимальный порядок определителя, который можно составить из элементов данной матрицы, равен 3. Таких определителей (миноров) в данной матрице имеется четыре. Если мы покажем, что хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен 3. Однако в нашем примере (легко в этом убедиться самостоятельно) все данные определители 3-го порядка равны нулю. Следовательно, Rang А<3. Будем рассматривать теперь определители (миноры) 2-го порядка. Если мы покажем, что хотя бы один их них не равен нулю, то ранг матрицы А, согласно определению, будет равен 2. Рассмотрим, например, определитель, стоящий в левом верхнем углу матрицы: 1 2 2 2 4 1 2 0. Следовательно, согласно 40 определению, RangA=2. Рассмотренные методы вычисления ранга матрицы, основанные на непосредственном его определении и теореме об окаймлении, являются практически непригодными для матриц высоких порядков из-за громоздкости (трудоемкости) вычислений. Поэтому сформулируем теорему, позволяющую универсальным методом вычислять ранг матрицы любого порядка. Теорема: Ранг матрицы не меняется, если: 1. все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот; 2. переставить местами две любые строки (столбца); 3. умножить (сократить) каждый элемент любой строки (столбца) на один и тот же множитель, не равный нулю; 4. сложить (вычесть) элементы какой-либо строки (столбца) с соответствующими элементами любой другой строки (столбца), умноженными на одно и то же ненулевое число. Пример 3. Вычислить ранг матрицы А = окончательную матрицу 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 8 13 3 1 3 5 1 0 5 6 4 1получим 10 12 8 2 2 1 0 0 0 . 0 Единицы в этой матрице уже нельзя убрать с помощью последней теоремы о ранге. Число этих единиц равно трем, следовательно Rang А =3 (в левом верхнем углу есть ненулевой определитель третьего порядка ). Линейные формы. Линейная зависимость и независимость. Рассмотрим систему «m» линейных уравнений с «n» неизвестными a x a x2... a b 11 1 12 1 nx n 1 a21 x a22 x2... a2nxn b 1 2 .......... .......... .......... .......... ...... am1x am2x2... amn xn b 1 n 41 Назовем всякое выражение вида f1 a1x1 + a2x2 +. . . + anxn , где a1, a2, an — постоянные коэффициенты, линейной формой «n» неизвестных х1, х2, ..., хn и введем следующее определение: Определение. Линейные формы f1, f2, ..., fm называются линейно зависимыми, если можно подобрать такие постоянные числа c1, с2, ..., сm не равные нулю одновременно, что имеет место тождество: c1f1 + с2f2 + ...+ сm fm =0. Если же это тождество возможно только в том случае, когда все коэффициенты c1, с2, ..., сm равны нулю, то формы f1, f2, ..., fm называются линейно независимыми. Из определения линейной зависимости можно сделать вывод: Если линейные формы f1 f2, ..., fm , линейно зависимы, то хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных форм. Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов линейных форм f1, f2, ..., fm равен «r », где «r ≤ т», то существует «r» линейно независимых форм от которых линейно зависят все остальные формы. Понятие ранга матрицы применяется для исследования совместности системы линейных уравнений. Пусть дана система (1) т линейных уравнений с п переменными (х1, х2, ..., хn): Основная и расширенная матрицы этой системы: А(т; п) a11 a12 a21 a22 = ... ... a m1 am2 ... a1n ... a2n ... ... , ... amn a11 a21 А(т; п+1) = ... a m1 b 1 a22 ... a2n b2 ... ... ... . am2 ... amn bm a12 ... a1n Критерий совместности системы линейных уравнений выражается в теореме Кронекера-Капелли. Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы А равен рангу расширенной матрицы С, т.е. Rang A=Rang С. Если при этом: 42 1) Rang А = Rang С = п (п - число переменных в системе уравнений), то система уравнений (1) имеет единственное решение. 2) (Rang А= Rang С)<п, то система (1) имеет бесчисленное множество решений. Если же Rang A ≠ Rang С, то система уравнений (1) несовместна. Обратно: пусть матрицы А и С имеют одинаковый ранг. Покажем, что система уравнений в этом случае совместна. Пример 1. Исследовать x3xn2x52 x12x23 3 x1x25x33 x4x56 на совместность и в случае 2x1x22x32x43 x58 совместности найти ее решение. Вычислим ранг матрицы А(3;5) Получим : 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , единицы убрать не сможем, след., ее ранг равен 2. Вычислим ранг расширенной матрицы С(3;6) = 1 23 1 2 2 3 15 3 16 .Он 2 1 2 2 3 8 равен 3 (найдите самостоятельно). 3) т.к. r(А) r(С), то система решений не имеет. Пример 2. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение Решение: 1) r(A)=r(C)=3 (найдите самостоятельно), следовательно система имеет единственное решение. 2) Отбрасывая четвертое уравнение, как линейно-зависимое относительно первых трех, можно решить систему первых трех уравнений с тремя неизвестными либо по правилу Крамера, либо методом обратной матрицы. Ответ. x1 10 1 2 x2 , x3 . , 7 7 7 Вообще говоря, решать вопрос о том, какое уравнение отбрасывать, а какое оставлять, следует из тех соображений, чтобы оставшаяся система была более 43 простой (поскольку при вычислении ранга матрицы есть некоторый произвол в занулении строк). Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти ее решение x1 x2 x3 x4 1 x1 x2 x3 x4 0 . 1 x1 x2 2x3 2x4 2 r(A)=r(C)=2. Следовательно, система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесч. мн. решений. Для нахождения общего вида этого множества решений отбрасываем 3-е уравнение как линейно-зависимое от первых двух. В результате получим систему 2-х уравнений с четырьмя неизвестными: x1x2x3x41 . x x x x 0 1 2 3 4 3) Поскольку неизвестных больше, чем уравнений, необходимо неизвестные разделить на базисные (их ровно столько, сколько уравнений) и свободные (их число равно разности между общим числом неизвестных и числом базисных неизвестных). Возникает вопрос: какие именно неизвестные брать в качестве базисных, а какие в качестве свободных? Ответ таков: в качестве базисных можно брать те неизвестные, у которых определитель из числовых коэффициентов при них не равен 0. Например, в нашей системе в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х1 и х3, т. к. 1 1 1 1 = –2( 0), либо неизвестные х1 и х4, т. к. 1 1 1 1 = 2( 0). Данный вопрос решается из экономических соображений в каждой конкретной задаче (какие неизвестные мы будем задавать сами, а какие получать из них). Считаем, например, переменные х1 и х3 базисными (основными), а, следовательно, переменные х2 и х4 свободными. Тогда система уравнений 44 x1x3x2x41 примет вид: x1x3x2x4 4) Придавая свободным неизвестным произвольные действительные значения х2 =u и х4 = v, где u, v R, получим x1x3uv1 . После сложения x1x3uv 1 двух уравнений получим: 2х1=2и +1 или х1= и + 2 . После подстановки 1 значения х1, например, во 2-е уравнение получим: и + 2 – x3= и – v или x3= v x1 u x2 u 1 + 2 . Окончательно: x v 3 x v 4 1 2 1 2 , где и, v R. 5) Частные решения мы можем получать, придавая «и» и «v» произвольные действительные значения. Например, при 1 1 x ; x 0 ; x ; x 0 1 2 3 4 и = 0 и v=0 будем иметь: — 2 2 частное решение системы. Решение систем линейных уравнений по методу обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса и Жордана-Гаусса. 2x3y2z 9 1.: x2y3z 14. 3x4yz 16 X = A–1· B = 13 14 5 9 1 104 8 · 14 6 1 2 1 16 = 70208 126 12 181416 12 1 1 · 9056128 = · 18 6 6 = 45 2 3 2 . Ответ. x = 2; y = 3; z = –2. x1x2 x3 3 2.: 2x1 x2 x3 11. x x 2x 8 1 2 3 1 –1 X=A ·B= 1 3 5 1 2 1 · 2 3 3 1 3 11 8 = 3 3316 20 3 22 24 5 1 1 9 11 8 = 10 · · 5 5 = 4 2 1 . Ответ. x1 = 4; x2 = 2; x3 = 1. Задача. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок. При этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем сырья на 1 день заданы в таблице: Вид Нормы расхода сырья на одну пару, сыр ья усл. ед. Сапоги сырья Кроссов ки Расход на Ботинк день, и 1 усл. ед. S1 5 3 4 2700 S2 2 1 1 900 S3 3 2 2 1600 Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 пар сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида получим систему: 5x13x24x32700 2x1x2x3900. 3x2x 2x 1600 1 2 3 46 Решим с помощью обратной матрицы. –1 Тогда X = A · B. –1 X=A ·B 0 2 1 1 1 Т 1 А А * · 1 2 1 1 1 2700 3 · 900 1 1600 2 0 1 2 = 1 1 = x1 5 3 4 2700 А 2 1 1, X x 2 , B 900 . 3 2 2 1600 x 3 1 3 1 = 2 0 1 2 1 1 1 3 . 1 1800 1600 0 200 2700 1800 4800 = 300 2700 200 900 1600 . Ответ. x1 = 200; x2 = 300; x3 = 200. Т.о. фабрика ежедн. выпуск. 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок. 3. Вычислить ранг А 1 2 = 3 4 4. Вычислить ранг А чем 3 4 2 0 0 0 4 0 0 0 0 0. = 3 0 0 0 7 5. Вычислить ранг А= Прежде 5 4 6 8 10 6 9 12 15. 8 12 16 20 2 0 2 4 5 3 4 2 3 рассматривать ранг равен 1 . ранг равен 2. 2 7 10 0 5 3 5.ранг 2 3 1 3 0 последующие равен 4. примеры, приведем без доказательства формулировку одной теоремы из теории определителей, которая будет полезна в дальнейших рассуждениях. Теорема. Определитель вида: a11 a12 a13 a14 ... a1n 0 a22 a23 a23 ... a2n 0 0 a33 a34 ... a3n 0 0 0 a44 ... a4n ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... ann равен ... произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.a11, a22, a33 ...a·nn. В этом определителе все элементы стоящие под главной диагональю равны нулю. В дальнейшем такие определители и соответствующие им матрицы мы будем называть определителями и матрицами треугольного вида. 47 6. Исследовать систему уравнений 2x1x2 5x3 1 x12x2 4x3 1 с x x x 2 1 2 3 помощью теоремы Кронекера-Капелли. Вычислим ранги основной А = С = 2 1 5 1 1 2 4 1 1 1 1 2 2 1 1 5 2 4 1 1 1 и расширенной 1 1 1 2 5 Получим матрицу: 0 1 3 1 , 0 0 0 1 r(А)=r(С)=3. Следовательно, система совместна и имеет единственное решение. 2) Данный алгоритм вычисления ранга матрицы позволяет находить и само решение системы. Ведь в результате эквивалентных преобразований, система x1 x2 x3 2 5 приняла вид: x2 x3 1 . Окончательно: х1 = –1; x2 = 1; х3 = 0. 3 x3 0 7. Исследовать систему уравнений 4x12x2 3x3 2 2x18x2 x3 8 с помощью теоремы 9x x 8x 0 1 2 3 Кронекера-Капелли. Вычислим ранги А Получим 4 = 2 9 2 8 1 3 1 8 1 3 2 4 0 14 518 . 0 0 0 18 и расширенной 4 2 С= 9 2 8 1 3 2 1 8 . 8 0 r(А) =2, r(С)=3, следовательно система несовместна, т.е. не имеет решения. Следует отметить, что если в результате эквивалентных преобразований расширенной матрицы у нас получится строка вида 0 · x1 +0 · x2 + ...+ 0 · хn = b, 48 где b 0, то такая система решений иметь не будет и дальнейшее вычисление рангов матриц следует немедленно прекратить. 8. Исследовать 2x1x2 5x3 1 x12x2 4x3 1 .Получим: x x x 2 1 2 3 1 1 12 0 1 1 1 0 0 0 0 r(А) =r(С) = 2, . бесчисл. мн.решений. В результате эквивалентных преобразований система приняла вид: x1x2x32 . Возьмем, x2x31 1 1 0 1 например, в качестве базисных x1 и х2 (т.к. =1 0), а, следовательно, неизвестное х3 будет свободным. Перепишем систему в виде: x1x2x32 . x2x31 x1x2 u2 Полагая х3 =u, где u R, получим: x2 u1 и, следовательно, выражая из первого уравнения неизвестное x1, получим: x1 = х2 + и –2 = и + 1 + и – 2 = 2и – 1. Окончательно, бесчисленное множество решений системы запишется в x1 2u 1 виде: x2 u 1 , x u 3 где и R. Полагая, например, и = 0, получим частное решение системы: x1 = – 1; х2 = 1; х3 = 0. x1 x2 x3 x4 4 2x x 3x 2x 1 1 2 3 4 9. Исследовать систему . Вычислим ранги основной А x1 x3 2x4 6 3x1 x2 x3 x4 0 49 1 1 1 1 2 1 3 2 = 1 0 1 2 3 1 1 1 Получим 1 0 0 0 и расширенной С = 4 1 1 1 3 0 1 2 5 . 0 0 1 4 1 1 1 1 1 1 4 2 1 3 2 1 1 0 1 2 6. 3 1 1 1 0 1 Замечаем, что r(А)=r(С)=4 единственное решение. x1 x2 x3 x4 4 x x x 3 2 3 4 Система приняла вид: x3 2x4 5 x4 4 Далее, поднимаясь вверх по системе, можно было бы последовательно находить значения неизвестных х3, х2 и х1, а, следовательно, и само единственное решение системы. Данный алгоритм нахождения решения системы уравнений носит в литературе название «Метод Гаусса» или «Метод последовательного исключения неизвестных». Мы же в концовке этого примера и при решении следующего дадим модификацию «Метода Гаусса», который называется «Метод Жордана-Гаусса» и имеет широкое распространение при решении задач линейного программирования симплексным методом. Получим матрицу: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 .Система 1 4 x1 x 2 приняла вид: x3 x 4 1 2 3 , т.е. мы 4 сразу нашли решение системы (1; 2; 3; 4). 10. Исследовать с помощью т. Кронекера-Капелли и в случае совместности найти решение методом Жордана-Гаусса. 50 3x1 x2 x3 2x5 18 2x 5x x x 7 1 2 4 5 x1 x4 2x5 8 . Итак, х1 = 5; х2 = 4; х3 = 3; х2 = 1; х1 = 2 . 2x x x x 10 1 3 4 5 x1 x2 3x3 x4 1 6.7.ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ 1. Понятия множества и подмножества. 2. Способы задания множеств. 3. Операции над множествами. 4. Основные виды числовых множеств в математике. 5. Основные определения. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Равенство. 6. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. 7. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. 8. Факториал и операции с ним. 9. Определители. Вычисление определителя. Метод треугольника. 10.Свойства определителей. 11.Миноры, алгебраические дополнения. 12.Теорема Лапласа. 13.Определители п-го порядка. 14.Матрица. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами. 15.Обратная матрица. 6.8.ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ 1. Понятия множества и подмножества. 2. Способы задания множеств. 3. Операции над множествами. 51 4. Основные виды числовых множеств в математике. 5. Основные определения. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Равенство. 6. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. 7. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. 8. Факториал и операции с ним. 9. Определители. Вычисление определителя. Метод треугольника. 10.Свойства определителей. 11.Миноры, алгебраические дополнения. 12.Теорема Лапласа. 13.Определители п-го порядка. 14.Матрица. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами. 15.Обратная матрица. 16.Ранг матрицы. 17.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) по формулам Крамера. 18.Решение СЛУ методами Гаусса и Жордана – Гаусса. 19.Решение СЛУ с помощью обратной матрицы. 20.Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. 6.9.УРОВЕНЬ ТРЕБОВАНИЙ К ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ Итоговый контроль проводится в форме экзамена (устно или письменно в виде ответов на вопросы билета). Для сдачи экзамена необходимо знать подробные ответы на вопросы. При этом оценка знаний студентов осуществляется как по 5-балльной системе, так и в баллах в комплексной форме с учетом: оценки за работу в семестре; контрольных работ; оценки по итогам промежуточного контроля (зачеты); 52 оценки итоговых знаний в ходе экзамена. Ориентировочное распределение максимальных баллов по видам отчетности представлено в таблице. N п/п ВИДЫ ОТЧЕТНОСТИ 1 Оценка работы в семестре Баллы 10 2 Контрольные работы 20 3 Зачеты 20 4 Результаты экзамена 50 Итого 100 Оценка знаний по 100-балльной шкале в соответствии с установленными критериями реализуется следующим образом: менее 51 балла – «неудовлетворительно»; от 51 до 69 баллов – «удовлетворительно»; от 70 до 85 баллов – «хорошо»; свыше 86 баллов – «отлично». 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) «Линейная алгебра» 7.1. Основная литература 1. Красс М.С. Математика в экономике: Учеб. – М.:ИД ФБК-ПРЕСС, 2005. 2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 3. Солодовников А.С. Математика в экономике: Учеб. – М.: Финансы и статистика, 2005 4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 2007. 53 5. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006. 6. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006. 7. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2005. 8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. Т. 1–2. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. 9. Трофимов В.В., Данко С.П. Математика: Учеб. пособие. – М.: МарТ, 2007. 10. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – М.: Физматлит, 2007. 11.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Оникс, 2007. 12.Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2005. 7.2. Дополнительная литература 1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2004. 2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х томах. – М.: ТетраСистемс, 2004. 3. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2005. 4. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2001. 5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учеб. – М.: ДИС, 2004. 6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964. 7. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ИНФРА-М, 2005. 54 8. Конюховский Л.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: ПИТЕР, 2000. 9. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. для вузов. – М: ЮНИТИ, 2002. 10.Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. 11.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. – М.: Наука, 1967. 12.Сборник задач по высшей математике для экономистов /Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. 13.Сборник задач по математике для втузов. Т. 1–2 /Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. 7.3. Программное обеспечение и интернет-ресурсы 1. allmatematika.ru 2. mathnet.spb.ru 3. www.exponenta.ru 4. www.math.ru 5. economictheory.narod.ru 6. ecsn.ru 7. ecsocman.edu.ru 8. microeconomics.ucoz.ru 9. rbc.ru/economics/economist/ 10. vlib.ustu.ru/rosec/ 11.www.consultant.ru 12.www.e-rej.ru 13.www.expert.ru 14.www.mybiz.ru 15.www.vopreco.ru 55 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Линейная алгебра» Рекомендуются инновационные компьютерные технологии, основанные на операционных системах Windows, Linux, Open Sourse, а также интернетресурсы (сайты образовательных учреждений, ведомств, журналов, информационно-справочные системы, электронные учебники). При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет обеспечивается значительно активизировать следующими процесс предоставляемыми обучения. Это возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. 56
