МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага ТОЧЕЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ учебно-методическое пособие для аспирантов и соискателей по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика» Макеевка 2020 УДК 514.18 ББК 32.976-018.2 Б 90 Рецензенты: Ротков С.И., доктор технических наук, профессор (ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»); Панчук К.Л., доктор технических наук, профессор (ФГБОУ ВО «Омский государственный технический университет»). Утверждено на заседании методической комиссии кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» (протокол № 1 от 29.08.2019 г.). Рекомендовано к печати советом (учебно-методической комиссией) строительного факультета (протокол № 1 от 21.09.2019 г.). Б 90 Точечное исчисление: учебно-методическое пособие / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага. – Макеевка: ДОННАСА, 2020. – 244 с. Учебно-методическое пособие включает основные сведения и принципы работы с математическим аппаратом «Точечное исчисление», который разработан для моделирования и параметризации геометрических объектов любой сложности. Особенностью точечного исчисления является аналитическое описание геометрических объектов в виде точечных уравнений и вычислительных алгоритмов, инвариантное относительно параллельного проецирования, которое позволяет в рамках аффинной геометрии получить обобщение на многомерное пространство. Пособие сформировано таким образом, что на каждом этапе изучения материала, приводятся примеры решения задач аналитического определения геометрических объектов и их взаимного положения с учётом графических алгоритмов их построения. При этом решение одной и той же задачи может быть представлено различными способами, которые становятся доступными по мере изучения материала. Пособие предназначено для изучения одноимённой дисциплины в аспирантуре ДонНАСА по специальности 05.01.01, но будет также полезно всем, кто в научной деятельности и инженерной практике сталкивается с решением задач геометрического и компьютерного моделирования. © И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, 2020 © ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры», 2020 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 9 РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ...................................... 13 1.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА ............................................................................ 13 1.2. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕК............................................................................... 14 1.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ..................................... 15 1.4. ПАРАМЕТР ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ............................................... 18 1.5. ПОНЯТИЕ ПОКООРДИНАТНОГО РАСЧЕТА ТОЧЕК ........................... 19 1.6. ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ ................................. 20 1.7. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ ........................................................................................................ 23 1.8. ОСНОВЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ТОЧЕК ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ ЗАДАННЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ ............................... 27 1.8.1. Деление отрезка на k равных частей .................................................... 27 1.8.2. Точечная формула параллельного переноса ......................................... 28 1.8.3. Особые точки в треугольнике ................................................................ 30 1.8.3.1. Центр тяжести треугольника (центроид) ........................................... 31 1.8.3.2. Центр вписанной окружности ............................................................. 31 1.8.3.3. Центр описанной окружности и ортоцентр ....................................... 33 1.9. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА ..................... 36 1.9.1. Задание прямой АВ .................................................................................. 36 1.9.2. Задание плоскости АВС........................................................................... 37 1.9.3. Задание пространства ABCD .................................................................. 39 РАЗДЕЛ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ПЛОСКОСТИ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ............................................................................ 44 2.1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЧЕВЫ ........................................................................ 45 2.2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ ОТНОШЕНИЯМИ НА СТОРОНАХ СИМПЛЕКСА........................................................................................................ 46 3 2.3. ПОЛЯРНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ..................................................................................................... 48 2.4. БИРАДИАЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ..................................................................................................... 49 2.5. БИУГЛОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ..................................................................................................... 52 2.6. Параметризация плоскости тремя отношениями (избыточная параметризация) .................................................................................................... 53 2.4.1. Пучок прямых плоскости САВ с носителем M 0 ( p0 , q0 ) ...................... 53 2.4.2. Задание пучка прямых общего вида ...................................................... 54 2.4.3. Декартовая прямоугольная параметризация плоскости в симплексе САВ ...................................................................................................................... 58 2.7. ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ .................................... 59 2.8. МЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ТРЕХ ТОЧЕК ............................................. 62 2.8.1. Свойства метрического оператора трех точек ...................................... 65 2.8.2. Длина отрезка ........................................................................................... 66 2.8.3. Угол между прямыми .............................................................................. 66 2.9. МЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК .................................... 70 2.9.1. Свойства метрического оператора четырех точек ............................... 72 2.10. ВАЖНЫЕ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ S- и V-ТЕОРЕМЫ .. 72 2.10.1. S-теорема и ее геометрический смысл ................................................ 73 2.10.2. V-теорема и ее геометрический смысл ................................................ 78 2.11. ОБОБЩЕНИЯ К МНОГОМЕРНОМУ ПРОСТРАНСТВУ ...................... 79 2.12. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ............................................................................................................ 81 2.12.1. Взаимное положение прямых пространства ....................................... 81 2.12.2. Определение точки К пересечения прямых A1 A2 и A3 A4 принадлежащих плоскости САВ ...................................................................... 85 2.12.3. Определение точки К пересечения прямых CQ и DP принадлежащих пространству DABC ........................................................................................... 89 4 РАЗДЕЛ 3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 3-ПРОСТРАНСТВА ....................................................................... 92 3.1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПЛОСКОСТЯМ ГРАНЕЙ СИМПЛЕКСА........................................................................................................ 92 3.2. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА ... 93 3.3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ............................. 93 3.4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В САМОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ................................................................................................. 94 3.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ...................................................................................................... 96 РАЗДЕЛ 4. ТОЧКИ, РАСШИРЯЮЩИЕ МЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА (ТОЧКИ ВЫХОДА ИЗ ПЛОСКОСТИ) .............................................................. 98 4.1. ТОЧКА ВЫХОДА ИЗ ПЛОСКОСТИ АВС ................................................. 98 4.2. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ НАД ПЛОСКОСТЬЮ АВС ............................ 102 РАЗДЕЛ 5. КОНСТРУИРОВАНИЕ КРИВЫХ ПО ЗАДАННЫМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ АЛГОРИТМАМ ........................................................... 103 5.1. ОБОБЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ................................................................ 103 5.2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ . 104 5.3. ЗАДАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ ................................................................................................... 110 5.3.1. Плоские кривые с линейными функциями ......................................... 110 5.3.2. Плоские кривые с квадратичными функциями .................................. 111 5.4. ЗАДАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ..................................................................................................... 113 5.4.1. Задание эллипса в различных параметризациях ................................ 114 5.4.1.1. Эллипс с текущим параметром центрального угла ........................ 116 5.4.1.2. Эллипс с текущим параметром центрального радиуса .................. 121 5.4.1.3. Эллипс с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой ............................................................................................................... 122 5 5.4.1.4. Эллипс, полученный сжатием окружности к одному из ее диаметров.......................................................................................................... 123 5.4.1.5. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант первый).............................................................................................................. 125 5.4.1.6. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант второй) .............................................................................................................. 127 5.4.2. Задание гиперболы в различных параметризациях ........................... 131 5.4.2.1. Гипербола с текущим параметром центрального угла ................... 133 5.4.2.2. Гипербола с текущим параметром центрального радиуса ............. 134 5.4.2.3. Гипербола с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой ............................................................................................................... 135 5.4.3. Задание параболы в различных параметризациях ............................. 137 5.4.3.1. Задание параболы, как кривой одного отношения.......................... 137 5.4.3.2. Моделирование параболической дуги кривой 2-го порядка с несобственной точкой ..................................................................................... 138 5.4.4. Задание кривой 2-го порядка по пяти точкам..................................... 141 5.4.5. Определение дуги кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта ................................................................................................. 147 5.4.6. Кривая 2-го порядка в параметризации Чевы ..................................... 150 5.5. ЗАДАНИЕ КРИВЫХ 3-ГО ПОРЯДКА...................................................... 154 5.5.1. Точечное уравнение кривой Безье 3-го порядка ................................ 154 5.5.2. Точечное определение дуги обвода кривой 3-го порядка ................. 156 5.5.3. Определение кривой 3-го порядка пересечением поверхностей 2-го прядка с общей образующей .......................................................................... 158 РАЗДЕЛ 6. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА...................................................................................................... 165 6.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА ....................... 165 6.1.1. Метод подвижного симплекса одномерного пространства .............. 166 6.1.2. Метод подвижного симплекса двумерного пространства................. 167 6 6.1.3. Обобщение метода подвижного симплекса для многомерного пространства ..................................................................................................... 168 6.1.4. Пример моделирования поверхности трёх направляющих линий методом подвижного симплекса .................................................................... 170 6.2. ОБЩИЙ ПОДХОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ И ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К НИМ ............................................................................. 175 6.3. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОТСЕКА ПОВЕРХНОСТИ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ...................................................... 178 6.3.1. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной .............. 179 6.3.2. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой ............................................................................................................... 182 6.3.3. Конструирование отсека поверхности с кривой 3-го порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой ............................................................................................................... 187 6.3.4. Конструирование отсека поверхности с Б 2 кривой в качестве образующей ...................................................................................................... 192 6.3.5. Конструирование отсека поверхности с Б 3 кривой в качестве образующей ...................................................................................................... 196 6.4. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОТСЕКА ПОВЕРХНОСТИ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ....................................................... 200 6.4.1. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной .............. 201 6.4.2. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой ............................................................................................................... 204 7 6.4.3. Конструирование отсека поверхности с кривой третьего порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой ............................................................................................................... 207 6.4.4. Конструирование отсека поверхности с Б 2 кривой в качестве образующей ...................................................................................................... 212 6.4.5. Конструирование отсека поверхности с Б 3 кривой в качестве образующей ...................................................................................................... 215 6.5. ТОРСОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С РЕБРОМ ВОЗВРАТА В ВИДЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ БЕЗЬЕ 3-ГО ПОРЯДКА ........................ 218 6.6. КОНСТРУИРОВАНИЕ КАРКАСА ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ ПОКРЫТИЯ С ДВУМЯ КРАЕВЫМИ КОНТУРАМИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ПЛАНЕ ............................................................................ 222 6.6.1. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром вдоль малой оси плана покрытия .............................................................................. 223 6.6.2. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром, с двумя заданными углами примыкания конструктивных элементов оболочки ........................................................................................................... 227 6.7. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ......................................................................................................... 232 6.7.1. Конструирование замкнутых дуг кривых 3-го порядка .................... 233 6.7.2. Конструирование консольной поверхности типа крыла летательного аппарата ............................................................................................................ 237 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 240 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................... 241 8 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время во все без исключения сферы деятельности человека широкого внедряются компьютерные технологии, работа которых зачастую происходит в режиме реального времени, что предъявляет особые требования к созданию высококачественных программных продуктов. Компьютерная графика, не является исключением, а наоборот во многом задаёт тон во всех инженерных программных продуктах и комплексах моделирования объектов, процессов и явлений живой и не живой природы, техники, технологии, экономики, строительства и архитектуры. Это обусловлено тем, что основой всех существующих систем автоматизированного проектирования, а во многих случаях компьютерного и информационного моделирования, является геометрическая модель, от математического описания которой зависит эффективность всего программного пакета в целом. Математический разработан для аппарат решения «Точечное исчисление» инженерных задач (МАТИ) геометрического был и компьютерного моделирования, которые возникали, в первую очередь, в строительстве и архитектуре, и были направлены на моделирование оболочек пространственных конструкций закономерной и незакономерной формы, обладающих наперёд заданными свойствами. Тем не менее, вместе с его развитием, точечное исчисление (ТИ) показало свою эффективность при решении целого ряда инженерных и научных задач связанных с моделированием многофакторных процессов и явлений, топографических поверхностей и поверхностей конструктивных элементов летательных аппаратов, поверхностей рабочих органов машин и механизмов, обработки гиперколичественного множества точек и многое другое. Развитие ТИ послужило основой для создания геометрической теории многомерной интерполяции и аппроксимации; позволило обобщить метод наименьших квадратов и кинематический метод моделирования поверхностей на 9 многомерное пространство используя их геометрическую интерпретацию и эффективно использовать линейную, параболическую, эллиптическую, гиперболическую и другие виды интерполяции в многомерном пространстве. Всё это стало возможным благодаря возможности ТИ определять как непрерывные, так и дискретные, геометрические объекты вне зависимости от размерности пространства, в котором они находятся. Необходимость рассмотрения геометрических объектов вне зависимости от размерности пространства с использованием наглядности привело к созданию исчисления, основным элементом которого является точка. Само название «Точечное исчисление» возникло исходя из выбора основного формообразующего элемента – точки, а все геометрические объекты представляются как организованные множества точек. Подобная идея была предложена ранее Х. Штаудтом в проективной геометрии и получила название – вурф-исчисление. Таким образом ТИ в аффинном пространстве можно считать частным случаем вурф-исчисления в проективном пространстве. Отличительной особенностью ТИ являются специальные точечные уравнения геометрических объектов, которые представляются совокупностью математических операций над точками и функциями от параметров. Также ТИ можно рассматривать как результат синтеза векторного, барицентрического и тензорного исчислений, из которых оно на стадии формирования заимствовало идеи и методы определения геометрических объектов, и их аналитическое описание. Как было описано выше, геометрические объекты – это определенным образом организованные множества точек, которые необходимо определить вычислительными алгоритмами. Компьютер оперирует числами и операциями с ними. Чтобы использовать компьютерные технологии для моделирования геометрических объектов, точка представляется элементом арифметического пространства – как совокупность чисел, которые называем параметрами или координатами точки. В качестве наглядной модели геометрического представления заданных 10 точек арифметического пространства принимаем глобальную систему координат, предложенную Р. Декартом. В глобальной системе координат (первоначальной системе отсчета) выбираем необходимое число локальных систем, заданных симплексом точек геометрического алгоритма, в которых удобно работать, выбирая за основу аффинные вспомогательные подпространства. Точка представляется системой ее проекций на оси глобальной или локальной системы координат, что позволяет получать параллельные проекции геометрического объекта на подпространства и допускает покоординатный расчет геометрических объектов. При выходе в пространство размерности более трех вместо зрительной наглядности работает наглядность аналогии, обобщения и т.п. Фундаментальные результаты в форме вычислительных формул ТИ должны представляться в виде, допускающем обобщение в пространство более высоких размерностей. В данном издании читателю предлагается ознакомится с теоретическими основами и овладеть практическими навыками определения геометрических объектов в различных параметризациях и с учётом их взаимного положения в пространстве. В пособие вошли основные принципы параметризации геометрических объектов в ТИ, способы определения их метрических характеристик, базовые теоремы ТИ, точечные описания кривых 2-го и 3-го порядка и метод подвижного симплекса для моделирования поверхностей пространственных форм с помощью алгебраических кривых. Личный вклад каждого из соавторов при подготовке и издании текущего учебно-методического пособия является равноценным. Вопросы по теме: 1. Какой простейший геометрический объект принимается в качестве основного элемента МАТИ? 11 2. Какие более сложные геометрические объекты могут быть организованны множеством точек? 3. Какую роль призван играть компьютер при создании геометрических объектов методами ТИ? 4. Как компьютерные программы, оперирующие с числами и операциями с ними, могут формировать точки и более сложные геометрические объекты? 5. Какую возможность расчета геометрических объектов создают проекции точки на оси глобальной или локальной систем координат? 6. Какая наглядность доминирует при рассмотрении объектов при выходе в пространство размерности более трех? 7. В каком виде желательно результаты вычислительных формул ТИ? 12 представлять фундаментальные РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА Процесс мыслительной деятельности, а также результат мышления инженера связаны с изображениями. Современное развитие науки и производства требует таких темпов и такой точности, которые могут быть обеспечены только с использованием ЭВМ, воспринимающих информацию в числовом представлении. Следовательно, инженеру необходимо научиться мыслить вычислительными формулами, не теряя при этом геометрическую сущность инженерного мышления. Обучение этому является целью предлагаемого курса вычислительной геометрии. Эта цель будет осуществляться в каждом отдельном разделе и во всем курсе через уяснение трех основных необходимостей: 1. Необходимо уметь каждой геометрической операции поставить в соответствие вычислительную операцию. 2. Требуется переопределить систему геометрических операций задания объекта системой соответственных вычислительных операций, формируя его вычислительный алгоритм. 3. Научиться мыслить образно вычислительными формулами вплоть до окончательного результата, который переводится в привычное геометрическое изображение объекта с помощью ЭВМ, формируя его построением точек по вычисленным координатам в первоначальной (глобальной) системе координат. Окончательным продуктом вычислительной геометрии должен быть алгоритм последовательных вычислений, который может воспринять программист, переводящий этот вычислительный алгоритм на язык ЭВМ. 13 Вопросы по теме: 1. Как необходимо научиться мыслить инженеру в современный период компьютерных технологий? 2. Назвать и подробнее объяснить каждую из трех основных задач изучаемого курса «Вычислительная геометрия». 1.2. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕК Организуя множества точек в отрезки прямых, плоские фигуры, дуги кривых, отсеки поверхностей, можно составить различные геометрические объекты. Образующий элемент – точка, которая в различных ситуациях выполняет различные функции. И все же, во всех алгоритмах существуют точки, выполняющие сходные, навсегда определенные функции. Выделим общие и частные назначения точек, составляющих алгоритмы. Точки обозначаются большими латинскими буквами с индексами или без индексов внизу справа: A, B, C, ..., B3 , C2 , A1, Di , ..., M , O, E, E1, E3. Каждая точка находится в некотором пространстве размерности n . В предлагаемом изложении, для определенности, полагаем n = 3 , то есть все точки этого курса лекций расположены в привычном трехмерном пространстве. Это означает, что каждая точка определяется тремя координатами в некоторой глобальной декартовой системе координат: C ( xC , yC , zC ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), M ( x, y, z), E(1,1,1), E3 (0,0,1), O(0,0,0) . Обратим внимание. Все вычислительные формулы, полученные в точечном исчислении, справедливы как для n 3 , так и для n 3 . Среди множества точек, применяемых в ТИ, существуют особые точки, выполняющие в вычислительном алгоритме особые функции. Такие особые точки имеют собственные названия и особые, постоянно закрепленные за ними, обозначения. 14 Вопросы по теме: 1. Одинаковые или различные функции выполняют точки в ТИ при формировании отрезков прямых, плоских фигур, дуг кривых, отсеков поверхностей? 2. Существуют ли точки, несущие сходные, однажды определенные функции при формировании различных геометрических объектов? 3. Как принято обозначать точки МАТИ? Перечислите различные возможности. 4. Можно ли применять ТИ для формирования геометрических объектов на прямой линии, а на плоскости, а в пространстве? Можно применять ТИ при построении геометрических фигур в пятимерном пространстве? 5. Существуют ли в ТИ особые точки, выполняющие одинаковые функции при формировании различных геометрических объектов и в различных пространствах? 6. Существуют ли в ТИ точки с постоянно закрепленными именами? 1.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ O(0,0,0) – нулевая точка. Все ее координаты равны нулю. Начальная точка в глобальной декартовой прямоугольной системе координат (рис. 1.1). В ТИ играет роль нуля: A − O = A; A O = O A = O . E (1,1,1) – единичная точка. Все ее координаты равны единице. В ТИ играет роль единицы: A E = E A = A . E1 (1,0,0); E2 (0,1,0); E3 (0,0,1) – единичные точки осей декартовой системы координат. 15 Рисунок 1.1. Обозначение единичных точек в глобальной декартовой системе координат Для увязки вычислительных формул и геометрического изображения в пространстве фиксируется привычная глобальная декартовая система координат декартовым симплексом OE1E2 E3 (рис. 1.1). Взаимное положение вершин симплекса особое: OE1 = OE2 = OE3 = e – единица измерения по осям координат; OE1; OE2 ; OE3 взаимно перпендикулярные оси координат. В глобальной декартовой системе координат изображаются заданные точки и получают искомые геометрические объекты. В любой задаче существуют заданные точки. Это такие точки A( xA , yA , z A ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), , координаты которых заданы. M ( x, y, z ) – текущая точка. Это некоторая переменная точка, которая может занимать любое из положений некоторого геометрического объекта, формируя ее. Она «течет» по этому объекту заполняя ее точками до необходимой для практики плотности (густоты). Так, например, текущая точка M отрезка A1 A2 «течет» по отрезку, занимая любые положения от A1 до A2 . Точка M в вычислительном алгоритме выполняет роль пишущего (образующего) инструмента. Текущая точка M существует при описании прямой, плоскости, поверхности, объемной формы. Эта точка всегда имеет искомые координаты x, y, z и присутствует там, где необходимо образовать форму (или объект) своим «течением», движением. В ТИ вычислительная 16 формула явно или неявно выражает точку M через заданные точки и некоторые числа (параметры t , p, q, ), что очень удобно для использования ЭВМ. Соотношение M = f ( A, B, , t , u, ) , явно определяющее текущую точку M геометрического объекта с помощью заданных точек и параметров, называется точечным уравнением этого объекта. В ТИ геометрические объекты определяются точечными уравнениями. Для каждого геометрического объекта существует множество точечных уравнений, которые отличаются подбором параметров. Выбор параметров диктуется технологией моделирования геометрического объекта. Вопросы по теме: 1. Какую функцию в ТИ выполняет глобальная система координат OE1E2 E3 ? 2. Какую роль в ТИ играет каждая точка обозначения OE1E2 E3 ? 3. Какая точка играет роль единицы в ТИ? Обозначьте единичные точки на осях, на плоскостях, в 3-мерном пространстве (рис. 1.2). Рисунок 1.2. Единичный куб в глобальной декартовой системе координат 4. Какие точки называются заданными? 5. Какая точка получила название текущей точки? Дайте ее обозначение и укажите ее координаты. 17 6. В каком месте изображаемого объекта она находится? 7. Как называется число, обеспечивающее течение текущей точки? 8. Как задается геометрический объект в точечном исчислении? 9. Что представляет собой точечное уравнение геометрического объекта? 1.4. ПАРАМЕТР ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Особенностью ТИ является то, что формулы этого исчисления выражают искомую точку через заданные точки и числа (параметры). Точки n -мерного пространства будем изображать в декартовом симплексе OE1E2 E3 глобальной системы координат. Получать искомые формулы будем с помощью алгебраических (математических) операций над этими точками и числами. Принципиально важно, что полученные с помощью математических операций точки, после изображения их в глобальной системе координат, должны давать геометрическое решение поставленной геометрической задачи. Другими словами – геометрическая задача должна решаться вычислительными методами, и геометрическая составляющая решения ее, должна сводиться только к построению вычисленной точки по ее координатам. Точечная формула должна давать искомую точку, в которой определены ее n декартовых координат. Этого можно ожидать в том случае, если исчисление позволяет выполнять покоординатный расчет. Вопросы по теме: 1. Что является особенностью ТИ? 2. Геометрический объект конструируется с помощью математических операций над точками, а как представляется результат такого конструирования? 3. Обязательно ли точечная формула геометрического объекта должна обеспечиваться покоординатным расчетом? 18 1.5. ПОНЯТИЕ ПОКООРДИНАТНОГО РАСЧЕТА ТОЧЕК Пусть заданы две точки: A( xA , y A , z A , ) , B( xB , yB , zB , ) . Уравнение прямой AB имеет вид: x − xA y − yA z − zA = = = . Легко заметить xB − xA yB − y A zB − z A замечательную особенность этой формулы – идентичность выражений между знаками равенства независимо от размерности пространства. Если постоянное отношение разности координат точек принять в качестве параметра t : x − xA y − yA z − zA = = = = t , xB − xA yB − y A zB − z A (1.1) а затем ввести удобную символьную запись этой системы покоординатных выражений: M−A = t , то получим компактную запись уравнения прямой в B− A точечной форме. Обратим внимание, система покоординатных уравнений позволяет производить алгебраические операции в точечной форме: M−A = t M − A = ( B − A)t M = ( B − A)t + A . B− A Последнее точечное уравнение определяет точку A при значении t = 0 , точку B – при t = 1 , отрезок AB – при 0 t 1. Делаем вывод, что точечное уравнение отрезка обеспечивается специальным подбором параметра. Получение искомых точек с помощью точечных уравнений определяет МАТИ. Параметр должен обеспечивать идентичность математических операций с точками, т.е. с их координатами. Поскольку графическое изображение точки в декартовой системе координат основано на параллельном проецировании, то параметром t должен быть инвариант такого проецирования – простое отношение трех точек прямой. Представим наглядно последнее утверждение (рис 1.3): AM A1M1 Ay M y y − yA = = = =t. AB A1B1 Ay By yB − y A 19 Рисунок 1.3. Геометрический смысл покоординатного расчёта Нами зафиксированы значения параметра для разности ординат. Аналогично можно записать значения параметра для разностей любой n -ой координаты. Прямая AB определена двумя проекциями A1B1 , A2 B2 на координатные плоскости – начертательная геометрия, или тремя проекциями (на осях координат) – ТИ. Для начертательной геометрии – геометрии плоских проекций объект n -пространства определяется количеством (n − 1) проекций. Для ТИ объект определяется количеством n проекций. Вопросы по теме: 1. Что собой должен представлять параметр в точечном уравнении, чтобы он работал для каждой координаты отдельно, и при этом отображал необходимый геометрический объект пространства? 2. Какой инвариант параллельного проецирования является основополагающим в ТИ? 1.6. ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ ТИ основано на методе проекций. Особенность этого метода состоит в том, что определяется отдельно каждая проекция искомой точки на оси 20 глобальной декартовой системы координат. С параметром, определяющим искомую точку пространства, можно производить математические действия, которые идентичны аналогичным математическим действиям с проекциями искомой точки. Это возможно только при определенном выборе параметра. Поскольку декартовое отображение точки пространства и ее проекций на координатные плоскости и оси координат формируются только операцией параллельного проецирования, то параметр, определяющий точку в ТИ, должен быть инвариантом параллельного проецирования (простым отношением трех точек прямой). Основополагающее утверждение. Параметр, определяющий точку, должен явно или неявно являться значением простого отношения трех точек прямой. Определение. Простым отношением A1 A2 A3 трех точек A1, A2 , A3 прямой a является число, выражающее отношение двух направленных отрезков (рис. 1.4): A1 A2 A3 = A1 A3 A1 − A3 . = A3 A2 A3 − A2 Рисунок 1.4. Простое отношение трех точек прямой В практике вычислительной геометрии часто возникает необходимость преобразования простого отношения. Определение. Преобразованием простого отношения трех точек прямой называется операция определения численного значения простого отношения при перестановке точек в его обозначении. Для преобразования простого отношения достаточно знать два правила преобразования: 21 П1. При перестановке первых двух членов в простом отношении трех точек прямой его значение меняется на обратное: A1 A2 A3 = 1 1 . A2 A1 A3 = A2 A1 A3 A1 A2 A П2. При перестановке последних двух членов в простом отношении трех точек прямой его значение увеличивается на единицу с переменой знака: A1 A2 A3 = −(1 + A1 A3 A2 ) A1 A3 A2 = −(1 + A1 A2 A3 ) . Приведенные два формальных правила преобразования простого отношения трех точек прямой необходимы для отхода от зрительной наглядности (замена формальными операциями), которая отказывается служить в многомерной геометрии. Пример. Определить A3 A1 A2 если известно, что A2 A1 A3 = −3 . Решение: A3 A1 A2 = −(1 + A3 A2 A1 ) = −(1 + = −(1 + 1 )= A2 A3 A1 ) 1 1 3 ) = −(1 + )=− . −(1 + A2 A1 A3 ) −(1 − 3) 2 Вопросы по теме: 1. Какой инвариант параллельного проецирования является основополагающим в ТИ? 2. Что понимают под простым отношением трех точек прямой? 3. Значением простого отношения трех точек прямой является некоторое число, отражающее отношение длин некоторых отрезков. Зависит ли это число от положения точек в обозначении тройки точек прямой? 4. Как изменится значение простого отношения трех точек прямой при перестановке первых двух точек его обозначения? 5. Как изменится значение простого отношения трех точек прямой при перестановке последних двух точек его обозначения? 6. Сформулируйте два правила преобразования трех точек прямой. 22 7. Для решения каких задач удобно применять два формальных правила преобразования простого отношения трех точек? Задачи по теме: 1. Задано три точки A, B, C прямой. Создать всевозможные простые отношения из этих точек. Ответ: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA . 2. Задано: ABC = . Определить остальные значения из задачи 1. Ответ: ACB = −(1 + ), BAC = 1 , BCA = − 1+ , CAB = − 1 . , CBA = − 1+ 1+ 3. Задано: Точка B делит AC пополам. Определить ACB = ?, CBA = ?. Ответ: ACB = 1 → CBA = −2 . 4. Задано отношения: AB AC CB BA . Перезадать эти отношения , , , CA BC AC BC тройкой точек. Ответ: AB AC CB BA = BCA, = − ABC , = BAC , = − ACB . CA BC AC BC Поскольку простое отношение трех точек прямой является фундаментальным понятием ТИ при формировании параметров, то теоремы, с ним связанные, играют в нем особую роль – приведем формулировку некоторых из них. 1.7. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ О-теорема. Произведение простых отношений по замкнутому m стороннику, рассеченному прямой, равно единице при четном m и равно минус единице при нечетном m . 23 Пример. Пусть m = 4 , тогда для четырехсторонника рассеченного прямой a в точках A1 A2 A3 A4 , A12 , A23 , A34 , A41 (рис. 1.5), имеем соотношение: A1 A2 A12 A2 A3 A23 A3 A4 A34 A4 A1 A41 = (−1)4 = 1 . Рисунок 1.5. Пример использования О-теоремы для четырёхсторонника A1 A2 A3 A4 При m = 3 будем иметь частный случай, известный в геометрии как теорема Менелая. Теорема Чевы. На сторонах треугольника A1 A2 A3 отмечены точки B1, B2 , B3 – основания чевиан треугольника для точки B (рис. 1.6), тогда справедливо соотношение: A1 A2 B3 A2 A3 B1 A3 A1B2 = 1 . Рисунок 1.6. К теореме Чевы 24 Теорема Карно. Пусть алгебраическая кривая a порядка m не проходит через вершины трехсторонника ABC и пересекает стороны (рис. 1.7) AB в точках C1, C2 ,..., Cm ; BC – в точках A1, A2 ,..., Am ; CA – в точках B1, B2 ,..., Bm , тогда справедливо соотношение: ABC1 ABC2 ... ABCm BCA1 BCA2 ... BCAm CAB1 CAB2 ... CABm = (−1)m . Рисунок 1.7. К теореме Карно Если а является прямой линией, то получим теорему Менелая. Теоремы, которые функционально связывают простые отношения трех точек прямой, будут использоваться в ТИ. В проективной геометрии особую роль играет сложное (ангармоническое) отношение четырех точек прямой, которое является отношением двух простых и может служить параметром ТИ: ABCD = Ангармоническое ABC AC DB ( A − C ) ( D − B) = = . ABD CB AD (C − B) ( A − D) отношение четырех точек прямой является инвариантом центрального проецирования. Вопросы по теме: 1. Сформулировать О-теорему для 3-сторонника (теорему Менелая). 2. Изобразить и сформулировать теорему Чевы для центра тяжести треугольника ABC . 3. Сформулировать теорему Карно для кривой второго порядка. 25 4. Сформулировать теорему Карно для окружности. Изобразить рисунок. 5. Сформулировать теорему Карно для прямой линии. Изобразить рисунок. Задачи по теме: 1. Записать О-теорему для треугольников (рис. 1.8): AMP , AQC , BQM , BCP и для четырехугольника PMQC . Рисунок 1.8. К условию для решения задач 1, 2 2. Точки P, Q делят стороны AC, CB пополам (рис. 1.8). Определить простое отношение AQM трех точек прямой. Пример выполнения упражнения: Задано: AQ, BP – медианы треугольника ABC . Определить: BPM = ? Решение. По О-теореме для треугольника BPC имеем: BPM PCA CBQ = −1 . Из условия имеем: PCA = CQ PA 1 = 1 . Подставляем = − , CBQ = QB AC 2 1 полученные значения: BPM (− ) 1 = −1 → BPM = 2 . 2 26 Ответ: BPM = BM = 2. MP 1.8. ОСНОВЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ТОЧЕК ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ ЗАДАННЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ Рассмотрим несколько примеров геометрического и вычислительного определения точек геометрических фигур. 1.8.1. Деление отрезка на k равных частей Задача. На отрезке AB (рис. 1.9) определить точки, делящие его на k частей. Рисунок 1.9. Деление отрезка прямой АВ на k равных частей Внутри отрезка необходимо определить ( k − 1) точек M i равномерно расположенных между точками A и B . Определим отношение AM i i = , где AB k i – порядковый номер точки. Далее, используя ТИ, находим: i AM i A − M i i = = → ( A − B)i = ( A − M i )k → M i = ( B − A) + A , k AB A− B k где i = 0,1,2,..., k . При i = 0 будем иметь точку A , при i = k – точку B , промежуточные значения i определяют промежуточные точки деления. Пример решения задачи для углубленного усвоения Задано: B(110,20,50), A(10,20,30) . Определить: точки A1 ( x1, y1, z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ), A4 ( x4 , y4 , z4 ) , делящие отрезок AB на пять равных частей. 27 Решение. Применяем точечную формулу деления отрезка AB на пять частей: i Ai = ( B − A) + A , где i = 0,1,2,3,4,5 . 5 При i = 0 → Ai = A , при i = 5 → Ai = B . Далее имеем: A1 = B− A B− A B−A B−A + A, A2 = 2 + A, A3 = 3 + A, A4 = 4 + A. 5 5 5 5 Далее считаем отдельно xi , yi , zi : A1 A2 A3 A4 xi 20 + 10 = 30 40 + 10 = 50 60 + 10 = 70 80 + 10 = 90 yi 20 20 20 20 z1 4 + 30 = 34 8 + 30 = 38 12 + 30 = 42 16 + 30 = 36 На практике важно определить вычислительный алгоритм, который является основой расчетной компьютерной программы. Задача. Определить центр тяжести отрезка AB . Решение: Центр тяжести отрезка делит его пополам AT 1 A−T 1 A+ B = → = →T = . AB 2 A− B 2 2 Утверждение: Средина отрезка является среднеарифметической точкой его концов. 1.8.2. Точечная формула параллельного переноса Задача. По заданным вершинам A1, A2 , A3 параллелограмма A1 A2 A3 A (рис. 1.10) определить его четвертую вершину A . 28 Рисунок 1.10. Графическая интерпретация параллельного переноса отрезка прямой Решение: Диагонали параллелограмма точкой K делятся пополам: K= A + A2 A1 + A3 = → A = A1 + A3 − A2 . 2 2 Утверждение: Четвертая вершина параллелограмма равна сумме двух смежных вершин минус противоположную вершину. Пример решения задачи для углубленного усвоения Задано: ABC – основание треугольной призмы и точка определяющая ребро призмы AA (рис. 1.11). Рисунок 1.11. К задаче определения вершин наклонной призмы с помощью точечной формулы параллельного переноса Определить: две вершины B, C этой призмы. 29 A , Решение. Определяем четвертую вершину C параллелограмма CAAC по трем заданным: C = A + C − A . Аналогично из параллелограмма AABB находим: B = A + B − A . Задачи по теме: 1. Задано: ABC – три точки основания четырехугольного основания призмы ( ABCD .– параллелограмм) и точка A , определяющая ребро призмы AA . Определить: вершины D, B, C, D этой призмы. 2. Задано: Четырехугольник ABCD . Доказать: Четыре точки, делящие стороны четырехугольника пополам, образуют параллелограмм. 1.8.3. Особые точки в треугольнике Задача. Определить в каком отношении делится медиана треугольника ABC его центром тяжести. Решение: Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Из O -теоремы для треугольника ATC C имеем: ATC B TCCT CATB = −1. Поскольку, для медиан ATC = TC B, CTB = TB A , то ATC B = AB CT = −2; CATB = B = 1 . BTC TB A Подставляем эти значения: ATC B TC CT CATB = −1 → (−2) TC CT 1 → TCCT = 30 1 . 2 1.8.3.1. Центр тяжести треугольника (центроид) Задача. Определить центр тяжести треугольника ABC (рис. 1.12). Рисунок 1.12. Геометрическая схема определения центра тяжести треугольника Решение: Из предыдущей задачи имеем: TC CT = 1 TC − T 1 → = → T = 2(TC − T ) = T − C → 3T = 2TC + C. 2 T −C 2 Учитывая, что TC = Утверждение: A+ B A+ B +C , имеем T = . 2 3 Центр тяжести треугольника является среднеарифметической точкой его вершин. 1.8.3.2. Центр вписанной окружности Задача. Определить центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Решение. Из O -теоремы для треугольника AM C C (рис. 1.13) имеем: AM C B M CCM CAM B = −1 . 31 Рисунок 1.13. Окружность вписанная в треугольник Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные боковым сторонам: AM C l CM B l = ABM C = AC ; = CAM B = CB , MC B lCB M B A l AB где l AB , lCB , l AC – длины сторон треугольника ABC . Из первого соотношения имеем: AM C l AC A − M C l AC Al + Bl AC . = → = → M C = CB M C B lCB M C − B lCB lCB + l AC Учитывая правило П2 преобразования отношений, имеем: AM C B = −(1 + ABM C ) = −(1 + l AC ). lCB Подставляя значения отношений, имеем: AM C B M C CM CAM B = −1 → −(1 + l AC l l AB . ) M C CM CB = −1 → M C CM = lCB l AB lCB + l AC Из последнего соотношения имеем: M C CM = l AB M −M l AB → C = lCB + l AC M −C lCB + l AC AlCB + Bl AC −M lCB + l AC l AB . → = M −C lCB + l AC После преобразований окончательно получим: 32 M= AlCB + Bl AC + Cl AB . lCB + l AC + l AB (1.2) Утверждение: Центр вписанной в треугольник окружности является средневзвешенным его вершин и длин противоположных сторон. 1.8.3.3. Центр описанной окружности и ортоцентр Определение других важных точек треугольника подробно изложено в работе [5]. В частности, для ортоцентра H имеем точечную формулу, которую приводим без доказательства: H = A ctgB ctgC + B ctgA ctgC + C ctgA ctgB, (1.3) где ctgA, ctgB, ctgC – котангенсы углов при соответствующих вершинах треугольника ABC . Для центра OABC описанной вокруг треугольника окружности имеем точечную формулу: 2OABC = A(1 − ctgBctgC ) + B(1 − ctgActgC ) + C (1 − ctgActgB). (1.4) Вопросы по теме: 1. Как геометрически определяется центр тяжести треугольника (центроид)? 2. Сформулировать точечное соотношение между центроидом треугольника и его вершинами. 3. Как геометрически определяется центр вписанной в треугольник окружности? 4. Сформулировать точечное соотношение между центром вписанной в треугольник окружности и его сторонами. 5. Как геометрически определяется центр описанной вокруг треугольника окружности? 6. Как точечно определяется центр описанной вокруг треугольника окружности? 33 7. Как геометрически определяется ортоцентр треугольника? 8. Как точечно определяется ортоцентр треугольника? Задачи по теме: 1. Используя точечные формулы определения особых точек треугольника определить: особые точки равностороннего (равнобедренного) треугольника ABC . 2. Задано: Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C . Определить: точечную формулу центра описанной окружности. 3. Определить: ортоцентр прямоугольного треугольника. Эти и другие особые точки треугольника приведем в таблице 1.1. Таблица 1.1. Точечные уравнения особых точек треугольника. № п/п Название точек 1 Центр тяжести Геометрическая схема с обозначениями С Точечные уравнения T= A+ B +C 3 ТВ А 2 В ТС А Центр вписанной окружности ТА Т С /2 Al + BlCA + Cl AB P = BC lBC + lCA + l AB /2 Р /2 /2 В С 3 A sin 2 + B sin 2 + C sin 2 Центр Q= описанной sin 2 + sin 2 + sin 2 окружности 34 Q A В H = A ctg ctg + 4 Ортоцентр В Н + B ctg ctg + +C ctg ctg А С С lCA 5 Точка Лемуана L= Al + Bl + Cl 2 l + l + l AB 2 BC 2 BC 2 CA 2 CA lBC LB 2 AB L А LA LC В lAB С 6 Точка Нагеля NB Actg 2 + Bctg 2 + Cctg 2 N= ctg 2 + ctg 2 + ctg 2 N А NC NA В C 7 Точка Жергона GB Atg 2 + Btg 2 + Ctg 2 G= tg 2 + tg 2 + tg 2 А G GA B GC N – точка Нагеля, определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, и вневписанных окружностей. 35 G – точка Жергона, определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, со сторонами треугольника. 1.9. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА Чтобы определить вычислительную формулу геометрического объекта, необходимо определить функционально текущую точку M этого объекта через заданные точки и переменные параметры. Параметрами могут быть действительные числа явно или неявно представляющие простые отношения трех точек прямой. 1.9.1. Задание прямой АВ Пусть t = AM = − MBA – действительное число (рис. 1.14), тогда AB точечное соотношение M = ( B − A)t + A при t −; определяет прямую AB . При t = 0 → M A , при t = 1 → M B , при t 0,1 точечное соотношение определяет отрезок AB . Уравнение отрезка AB прямой удобно еще задавать в виде: M = At + Bt , t + t = 1 → t = 1 − t . Рисунок 1.14. Задание прямой в точечном исчислении Утверждение: Параметр t представляет собой ориентированную (направленную) длину отрезка AM измеренного единицей измерения AB . 36 1.9.2. Задание плоскости АВС Определим точку M плоскости ABC (рис. 1.15) тремя отношениями: p= MM A MM B MM C , тогда уравнение плоскости ABC принимает ;q= ;r= AM A BM B CM C вид: M = Ap + Bq + Cr , (1.5) где p + q + r = 1 . Рисунок 1.15. Задание плоскости АВС Соотношение p + q + r = 1 будем называть условием принадлежности точки M плоскости ABC . При положительном значении p, q, r уравнение определяет отсек (внутренность) треугольника ABC . После исключения параметра r уравнение плоскости принимает вид: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C. (1.6) Геометрически параметр p выражает направленную длину отрезка AM p , измеренную единицей AB , а q – длину отрезка AM q , измеренную единицей AC (рис. 1.16). Сравните координацию в общей декартовой системе координат известную из аналитической геометрии. 37 Рисунок 1.16. Геометрический смысл параметров p и q Если параметры p, q, r выразить через площади соответственных треугольников, получим другую (важную для практических приложений) форму уравнения плоскости (рис. 1.17): M= где p = ASMBC + BS AMС + CS ABM , SMBC + S AMС + S ABM (1.7) SMBC S S ; q = AMС ; r = ABM . S ABC S ABC S ABC Обратим внимание, что указанные площади можно заменить пропорциональными величинами (однородные параметры): M= Aa + Bb + Cc , a+b+c где a, b, c – действительные числа. Рисунок 1.17. Определение параметров p, q, r через площади треугольников 38 (1.8) Если a = b = c , будем иметь центр тяжести треугольника, если a, b, c пропорциональны длинам сторон lBC , l AC , l AB , получим центр вписанной окружности. 1.9.3. Задание пространства ABCD Определим точку M пространства ABCD (рис. 1.18) отношениями: p= MM A MM B MM C MM D , ,q= ,r= ,s= AM A BM B CM C DM D где точки M A , M B , M C , M D принадлежат соответствующим плоскостям граней пирамиды ABCD . Принимая указанные отношения в качестве параметров, получим уравнение пространства: M = Ap + Bq + Cr + Ds, (1.9) где p + q + r + s = 1. Исключая s , получим уравнение пространства с начальной точкой D : M = ( A − D) p + ( B − D)q + (C − D)r + D. (1.10) В этом случае параметры p, q, r можно рассматривать и как общие декартовые координаты в репере DABC (D – начало координат; DA, DB, DC – единицы измерения по осям). Рисунок 1.18. Задание пространства ABCD отношениями на гранях симплекса Однородное задание пространства (рис. 1.19): 39 M= Aa + Bb + Cc + Dd , a+b+c+d (1.11) где a = VMBCD , b = VAMCD , c = VABMD , d = VABCM . Рисунок 1.19. Геометрическая интерпретация однородного задания пространства Использование отмеченных объемов, на которые разбивает тетраэдр текущая точка M , полезно для решения практических задач. Задача. Определить центр тяжести T тетраэдра ABCD . Решение: Учитывая, что T разбивает объем тетраэдра на четыре равновеликие объемы, получим: VTBCD = VATCD = VABMD = VABCM = V → T = AV + BV + CV + DV A + B + C + D = . 4V 4 Задача. Определить центр K окружности, вписанной в тетраэдр ABCD . Решение: a = S BCD , b = S ACD , c = S ABD , d = S ABC → K= AS BCD + BS ACD + CS ABD + DS ABC , S BCD + S ACD + S ABD + S ABC где – радиус вписанной сферы; SBCD , S ACD , S ABD , S ABC – площади граней тетраэдра. 40 Вопросы по теме: 1. Привести точечное уравнение прямой AB . Какой геометрический смысл представляет параметр t в этом уравнении, в каких пределах он изменяется? 2. В каких пределах изменяется параметр t при задании отрезка AB ? 3. В каких пределах изменяется параметр t при задании луча AB ? 4. В каких пределах изменяется параметр t при задании луча BA ? 5. Какой геометрический смысл имеют параметры p и q в точечном уравнении прямой AB → M = Ap + Bq, где p + q = 1, как при этом называется условие p + q = 1? 6. Какой геометрический M = Ap + Bq + Cr , где объект p + q + r = 1? Как определяет называется уравнение соотношение p + q + r = 1 ? Какой геометрический смысл имеют параметры p, q, r ? Выразить параметры p, q, r через простые отношения трех точек прямой. 7. Дать уравнение плоскости с параметрами p, q, r , выраженными через площади, на которые текущая точка M делит треугольник ABC . 8. Что геометрически обозначают числа a, b, c в точечном уравнении плоскости ABC : M = 9. Какой Aa + Bb + Cc . a+b+c геометрический объект определяет уравнение M = Ap + Bq + Cr + Ds , где p + q + r + s = 1 ? Как называется соотношение p + q + r + s = 1? Какой геометрический смысл имеют параметры p, q, r ? Выразить параметры p, q, r, s через простые отношения трех точек прямой. 10. Дать уравнение пространства с параметрами p, q, r, s , выраженными через объемы, на которые текущая точка M делит тетраэдр ABCD . 11. Что геометрически обозначают числа уравнении пространства ABC : M = a, b, c, d Aa + Bb + Cc + Dd ? a+b+c+d 41 в точечном 12. Какой геометрический смысл принимают параметры p, q в p, r в q, r в уравнении плоскости M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . 13. Какой геометрический смысл принимают параметры уравнении плоскости M = ( A − B) p + (C − B)r + B . 14. Какой геометрический смысл принимают параметры уравнении плоскости M = ( B − A)q + (C − A)r + A . 15. Какой геометрический смысл принимают параметры p, q, r в уравнении пространства M = ( A − D) p + ( B − D)q + (C − D)r + D . Задачи по теме: Задача 1. Задано уравнение прямой в виде M = ( B − A)t + A . Проанализировать положение точки M относительно точек A, B (рис. 1.20) в зависимости от значений параметра t . Рисунок 1.20. Положение точки М в зависимости от значения параметра t Анализ. Учитывая геометрический смысл параметра t = MA , как BA отношение ориентированных (направленных) отрезков, делаем вывод: 1. Точка M принадлежит отрезку AB при значении параметра 0 t 1. 2. Точка M принадлежит лучу с началом в точке A с направлением BA при значении параметра t 0 . 3. Точка M принадлежит лучу с началом в точке B с направлением AB при значении параметра t 1 . Задача * 2. Задано уравнение M = Ap + Bq + Cr, p + q + r = 1. 42 плоскости в виде Проанализировать положение точки M , принадлежащей плоскости ABC (рис. 1.21). Указать области значений параметров p, q, r для каждого из отсеков I − VII этой плоскости. VII C IV III I A V B VI II Рисунок 1.21. Графическое условие к задаче 2 Задача ** 3. Проанализировать разбивку пространства, заданного симплексом ABCD на объемные отсеки. Задача 4. Используя уравнение 1.7 плоскости ABC (рис. 1.17), определить точку, для которой SMBC = S AMB = S ABM . Что это за точка? Задача * 5. Используя уравнение 1.7 плоскости ABC (рис. 1.17), определить точку, которая одинаково удалена от сторон треугольника. Что это за точка? Задача 6. Используя уравнение 1.11 пространства ABCD (рис. 1.19), определить точку, для которой a = b = c = d . Что это за точка? Задача * 7. Используя уравнение 1.11 пространства ABCD (рис. 1.19), определить точку, которая одинаково удалена от граней тетраэдра. Что это за точка? 43 РАЗДЕЛ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ПЛОСКОСТИ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Особенность ТИ состоит в том, что параметр, определяющий точку, должен быть инвариантом параллельного проецирования. Это важнейшее свойство математического аппарата является его отличительным свойством, которое позволяет покоординатный расчет. Нами рассмотрены: – каноническая параметризация плоскости CAB (рис. 2.1): M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C → M ( p, q) , где p = CP – аффинная координата точки М, измеренная единицей CA CA вдоль оси CA ; q= CQ – аффинная координата точки М, измеренная единицей CB CB вдоль оси CB . Рисунок 2.1. Каноническая параметризация плоскости CAB Каноническая – означает привычная (от слова канон), декартовая параметризация точки в локальной, общей декартовой системе координат с единичными векторами CA, CB . Числа p, q в ТИ являются не координатами, а параметрами. Названия координат оставлены для определения точек в глобальной прямоугольной декартовой системе координат: A( xA , y A , ), B( xB , yB , ), C( xC , yC , ), M ( x, y, ). – стандартная параметризация плоскости CAB (рис. 2.2): 44 M= Aa + Bb + Cc , a+b+c где a = SMBC , b = S AMC , c = S ABM . Рисунок 2.2. Стандартная параметризация плоскости CAB Стандартная параметризация плоскости имеет особое значение при введении в рассмотрение ТИ различных параметров, необходимых в практических приложениях. 2.1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЧЕВЫ Через текущую точку M плоскости ABC (рис. 2.3) проведем чевианы AM A , BM B и CM C . Согласно теореме Чевы имеем соотношение: ABM C BCM A CAM B = 1. Рисунок 2.3. Графическая схема к теореме Чевы Принимаем в качестве параметров, определяющих точку М, простые отношения трех точек прямой, входящие в соотношение Чевы: u v w = 1, 45 где u = ABM C ; v = BCM A ; w = CAM B . Определим уравнение плоскости при параметризации Чевы. Согласно О-теоремы для треугольника ABM A имеем: ABM C BM AC M A AM = −1 . Ко второму отношению применим правило П2 преобразования отношений: BM AC = −(1 + BCM A ) = −(1 + v) . Учитывая, что MAM A = − p , после преобразования третьего отношения в соотношении Чевы, имеем: M A AM = −(1 + M A MA) = −(1 + 1 1 1 p . ) = −(1 − ) = −(1 − )= MM A A 1 + MAM A 1− p 1− p Подставляя значения простых отношений в выражение О-теоремы, получим: u (1 + v) p 1 =1 p = . 1− p 1 + u + uv Аналогично с помощью О-теоремы для треугольника ВСМВ, получим: q= 1 u , uvw = 1 q = . 1 + v + vw 1 + v + uv Искомое уравнение плоскости в параметризации Чевы имеет вид: M= ( A − C ) ( B − C )u + +C, 1 + u + uv 1 + v + uv где u = ABM C ; v = BCM A . 2.2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ ОТНОШЕНИЯМИ НА СТОРОНАХ СИМПЛЕКСА В качестве параметров текущей точки M будем использовать отношения на сторонах симплекса: u= AM C BM A CM B = − M C BA, v = = − M ACB, w = = − M B AC . AB BC CA Для симплекса ABC (рис. 2.4) согласно теореме Чевы, справедливы соотношения: 46 ABM C BCM A CAM B = 1 . Рисунок 2.4. Параметризация плоскости отношениями на сторонах симплекса Выразим это соотношение через u, v, w . Преобразуя простые отношения трех точек прямой, получим: ABM C = −(1 + AM C B) = −(1 + 1 1 1 u ) = −(1 − ) = −(1 − )= . M C AB 1 + M C BA 1− u u Для параметризации теорема Чевы принимает вид: u v w = u v w. Определим точечное уравнение плоскости для параметризации отношений по сторонам симплекса. Из определения параметров находим: M C = Au + Bu, M A = Bv + Cv, M B = Cw + Aw . Далее имеем M = AM A BM B : M = (M A − A) + A = ( Bv + Cv − A) + A = A(1 − ) + Bv + Cv; 1 − v v 0 1 0 = w 0 w 1 − v w w =0→ = w . vw + w Искомое уравнение имеет вид: M = ( A − C) vw wv + (B − C) +C, vw + w vw + w где uvw = u v w . 47 2.3. ПОЛЯРНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ В классической полярной параметризации точку плоскости определяют угол , измеряемый от полярной оси, и расстояние , измеряемое от точкиполюса, расположенной на оси (рис. 2.5). Рисунок 2.5. Геометрическая схема полярной параметризации плоскости в точечном исчислении В симплексе CAB в качестве полярной оси выбираем направленную прямую CA (рис. 2.6), полюс – точка C , а = CM . Рисунок 2.6. Геометрическая схема полярной параметризации плоскости в симплексе CAB Поскольку M принадлежит плоскости CAB , то имеем: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . Учитывая, что p = S MBC b sin( − ) S a sin , q = AMC = , имеем: = SCAB ab sin S ABC ab sin sin( − ) sin + (B − C) +C = a sin b sin sin = ( A − C) (cos − tg sin ) + ( B − C ) + C, CA CB sin M = ( A − C) 48 (2.1) где a = CA , b = CB , = BCA . Задача. Повернуть точку A вокруг точки C в направлении точки B на угол . Решение: Принимая = CA из (2.1), получим решение задачи: M = ( A − C) = ( A − C) CA sin sin( − ) + (B − C) +C = sin CB sin sin( − ) sin sin + (B − C) + C, sin sin sin где = CAB, = ABC, = BCA . 2.4. БИРАДИАЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ Точку M в симплексе CAB (рис. 2.7) можно определить как точку пересечения двух окружностей с радиусами A , B . Такую параметризацию плоскости ABC будем называть бирадиальной. Особенностью такой параметризации является то, что, меняя значения радиусов местами, получим точку M , симметричную M относительно оси CH , проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно прямой AB . Более того, A , B определяют еще одну точку M , симметричную M относительно оси AB . Такие две точки различаются знаком перед значением площади треугольника MAB . Бирадиальную параметризацию ТИ удобно использовать для задания кривых с двумя осями симметрии. 49 Рисунок 2.7. Определение точки М в симплексе CAB с помощью бирадиальной параметризации Обозначая длины сторон треугольника ABC : a = BC , b = CA , c = AB , учитывая, что M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C , определяем: C2 = ( A − C ) p + ( B − C )q = b2 p 2 + a 2q 2 + 2CAB pq , 2 A2 = ( A − C )( p − 1) + ( B − C )q = b2 ( p − 1)2 + a 2q 2 + 2( p − 1)qCAB , 2 B2 = ( A − C ) p + ( B − C )(q − 1) = b2 p 2 + a 2 (q − 1)2 + 2CAB p(q − 1) . 2 Вычитая первое уравнение из второго и третьего, а затем из вновь полученных уравнений исключая C2 (рис. 2.8), получим: A B (CAB − b2 ) p + (a 2 − CAB )q = − BC p + BC q= 50 a 2 − b2 + A2 − B2 . 2 Рисунок 2.8. Взаимоувязка радиальных параметров в симплексе CAB Второе уравнение для определения параметров p, q следует из соотношения: r =1− p − q = S ABM . S ABC Из системы двух уравнений находим: BAC s ABM a 2 − b 2 + A2 − B2 A a 2 − b 2 + A2 − B2 B p = c 2 (1 − s ) − − BC p + BC q = 2c 2 2 ABC → A 2 2 2 2 s ABM p + q =1− q = BC (1 − s ABM ) + a − b + A − B s ABC c2 s ABC 2c 2 Бирадиальная параметризация плоскости в ТИ принимает вид: BAC s ABM a 2 − b 2 + A2 − B2 M = ( A − C ) 2 (1 − )− + c s ABC 2c 2 A BC s ABM a 2 − b 2 + A2 − B2 +( B − C ) 2 (1 − )+ + C. c s ABC 2c 2 Или, выражая через вершины симплекса ABC , получим: M = ( A − C) +( B − C ) A BC B AA 4 A2 B2 − ( A2 + B2 − BAA ) 2 BAC CBB − CAA + A2 − B2 (1 − ) − + BAA 2 BAA 4CBB CAA − (CBB + CAA − BAA ) 2 (1 − 4 − ( + − ) 2 A 2 B 2 A 2 B B 2 AA 4CBB CAA − (CBB + CAA − BAA ) 2 51 )+ C BB − + − + C. 2 BAA C AA 2 A 2 B (2.2) 2.5. БИУГЛОВАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ Параметризация плоскости двумя углами также удобна при конструировании кривых с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Точку M в плоскости ABC (рис. 2.9) определяем двумя полярными углами A , B с полюсов A, B . Учитывая, что M = ( A − C) SMBC S + ( B − C ) AMC + C , S ABC S ABC определим соответствующие отношения площадей: p= AM sin( − A ) SMBC BM sin( − B ) S . = , q = AMC = S ABC BA sin S ABC AB sin Рисунок 2.9. Определение точки М двумя полярными углами в симплексе CAB Используя теорему синусов, находим: BM MA AB BM sin A MA sin B . = = → = , = sin A sin B sin( A + B ) AB sin( A + B ) AB sin( A + B ) Подставляя значения полученных отношений, имеем: SMBC sin A sin( − B ) S AMC sin B sin( − A ) . = , = S ABC sin( A + B )sin S ABC sin sin( A + B ) Уравнение плоскости CAB в угловой параметризации имеет вид: M = ( A − C) sin A sin( − B ) sin B sin( − A ) + (B − C) + C. sin( A + B )sin sin sin( A + B ) 52 (2.3) 2.6. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПЛОСКОСТИ ТРЕМЯ ОТНОШЕНИЯМИ (ИЗБЫТОЧНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ) Определим текущую точку M плоскости CAB (рис. 2.10) тремя отношениями: u= AP CQ PM , v= , w= . AC CB PQ Рисунок 2.10. Геометрическая схема избыточной параметризации плоскости Системе трех отношений соответствует система трех линейных точечных уравнений: P = Au + Cu Q = Cv + Bv → M = ( A − C )uw + ( B − C )vw + C. M = Pw + Qw (2.4) 2.4.1. Пучок прямых плоскости САВ с носителем M 0 ( p0 , q0 ) Пусть u= AP AC (рис. 2.10) является параметром пучка, тогда P = ( A − C )u + C , далее 0 v 1 Q = PM 0 AC → u 0 1 =0→v = p0 q0 1 53 uq0 uq0 → Q = (B − C) + C. u − p0 u − p0 Далее находим: w = P − M 0 ( A − C )(u − p0 ) − ( B − C )q0 u − p0 = = uq0 P −Q u ( A − C )u − ( B − C ) u − p0 Ответ. Пучок плоскости CAB с носителем M ( p0 , q0 ) и параметром u= AP определяется системой линейных точечных уравнений: AC P = ( A − C )u + C q0u + B, Q = (C − B) u − p 0 p M = ( P − Q) 0 + Q u AP u = AC QB qu = 0 . CB u − p0 MQ p0 = PQ u 2.4.2. Задание пучка прямых общего вида В общем виде носителем пучка прямых плоскости CAB является кривая, а прямые пучка являются касательными к ней (рис. 2.11). Для его задания необходимо так подобрать функции u = u(t ), v = v(t ), w = w(t ) , чтобы прямая PQ была касательной к кривой в текущей точке M . Рисунок 2.11. Определение касательной к кривой в текущей точке M Продифференцируем кривую плоскости, заданной этими функциями: M = ( A − C )(−uw − uw) + ( B − C )(vw + vw) . 54 Известно, что если прямая PQ является касательной к кривой M в ее текущей точке, то она параллельна прямой OM . А это означает, что отношение отрезков этих прямых является инвариантом параллельного проецирования и может использоваться в ТИ: Q − P = kM . После подстановок и преобразований получим соотношение параметров для задания пучка общего вида: w= uv . uv − vu + v (2.5) Рассмотрим несколько примеров: u =v=t →w= t = t → M = ( A − C ) t 2 + ( B − C )t 2 + C . t − t +1 Утверждение. Если t = AP CQ PM = = , получим уравнение дуги AB AC CB PQ параболы с текущей точкой M с касательной PMQ и касательными AC, BC в точках A, B на концах дуги. u = v = f (t ) → w = ff = f → M = ( A − C )(1 − f )2 + ( B − C ) f 2 + C. ff − ff + f Утверждение. Если f (t ) = AP CQ PM = = , то получим дугу обвода AC CB PQ AMB с касательной PQ в текущей точке M . При f (t ) = sin 2 t следует: Следствие. Точечное уравнение M = ( A − C )cos4 t + ( B − C )sin 4 t + C определяет дугу обвода AB в плоскости ABC с касательной PQ в текущей точке M . Вопросы по теме: 1. Зачем необходимы дополнительные параметризации плоскости? 2. Что собой представляют параметры полярной параметризации? 55 3. Какую линию определит уравнение плоскости в полярной А, в полярной параметризации при = const , а при = const ? 4. Чему равны параметры для точек В, С параметризации? 5. При описании каких плоских кривых удобнее всего применять полярную параметризацию? 6. Что собой представляют параметры в параметризации Чевы? 7. Чему равно произведение параметров в параметризации Чевы? 8. Чему равны параметры для точек А, В, С в параметризации Чевы? 9. В каких случаях удобнее всего использовать параметризацию Чевы? 10. Сравните параметризацию Чевы и параметризацию плоскости отношениями на сторонах симплекса, что у них общего и в чем различия? Какую из этих параметризаций следует использовать для задания плоских дуг кривых? 11. Какие параметризации больше приспособлены для задания плоских кривых с двумя осями симметрии? 12. В чем сущность бирадиальной параметризации плоскости? 13. Задайте неявное уравнение эллипса в бирадиальной параметризации. 14. Задайте неявное уравнение окружности в бирадиальной параметризации. 15. В чем сущность биугловой параметризации плоскости? 16. Что общего и в чем различия в бирадиальной и в биугловой параметризациях? 17. Для каких задач необходима избыточная параметризация? 18. Чему равны параметры для точек А, В, С избыточной параметризации? 19. Задайте пучок прямых плоскости ABC с носителем в центре тяжести треугольника ABC . 56 20. Задайте пучок прямых плоскости ABC , носителем которого является парабола. Задачи по теме: Задача 1. В симплексе CAB определить точечное уравнение окружности радиусом = 10 с центром в точке C . Искомое уравнение задает полярная параметризация при подстановке = 10 : M = ( A − C) 10sin( − ) 10sin + (B − C) + C , где 0, 0 2 . b sin a sin Задача 2. Задать решение предыдущей задачи в равностороннем симплексе CAB со стороной, равной единице. В равностороннем симплексе со стороной, равной единице, имеем: 20sin( − ) 3 20sin 3 a = b = 1, = 60 ,sin = → M = ( A − C) + (B − C) +C, 2 3 3 где 0, 0 2 . Задача 3. В симплексе CAB построить равносторонний треугольник CAK . Для решения задачи необходимо в полярной параметризации принять sin( − ) 3 + (B − C) b 3 + C . = b , = → K = ( A − C) sin 2a sin 3 Задача 4. В симплексе CAB построить правильный k -угольник с центром C , одной из вершин которого является точка A . Принимая = 2 i в полярной параметризации при = b , получим k уравнение i -той вершины k -угольника, одной из вершин которого является точка A : 57 M = ( A − C) sin( k − 2 i 2 i ) b sin k k + C , i = 1,2,..., k . + (B − C) sin a sin 2.4.3. Декартовая прямоугольная параметризация плоскости в симплексе САВ Если точка плоскости задана прямоугольными декартовыми координатами x и y , а ее следует задать в симплексе CAB , то точку C следует взять за начало декартовой системы координат, ось абсцисс принимаем в направлении CA , а ось ординат перпендикулярно CA в сторону точки B (рис. 2.12). Рисунок 2.12. Декартовая прямоугольная параметризация плоскости в симплексе САВ В симплексе CAB ориентированные отрезки CH = x, HM = y . Точку будем искать в виде: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . Выразим p и q через x и y . По определению метрического оператора находим: CAM = bx = ( A − C ) ( A − C ) p + ( B − C )q = b2 p + CABq . Имеем первое уравнения для нахождения p и q : x = bp + aq cos . Определим удвоенную площадь треугольника AMC : 58 1 0 0 by = ab sin p q 1 − p − q = abq sin . 0 Откуда имеем: q = 0 1 y y x − yctg cos → p = , x = bp + . sin b a sin Утверждение. Декартовая прямоугольная параметризация плоскости в симплексе CAB имеет вид: M = ( A − C) x − yctg y + (B − C) +C , b a sin где x = CH , y = HM . 2.7. ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ Касательная к кривой M (рис. 2.13), как и любая прямая, определяется двумя точками. Естественно, одной из двух точек касательной принимается точка М. Вторая точка T для определения касательной МТ. Если обозначить производную dM = M , то точки M , T , M с нулевой точкой O образуют dt параллелограмм MTMO , следовательно T = M + M . Утверждение: Две точки M и M + M определяют касательную MT к кривой в ее текущей точке: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C, T = ( A − C )( p + p) + ( B − C )(q + q) + C . Определение. соответственная Текущая точка T точка «течет» M по «течет» по кривой, соответственной T = M + M , которую предлагаем назвать производной кривой M . 59 а кривой Рисунок 2.13. Определение касательной к кривой в ее текущей точке М Кривую можно задать как множеством точек, так и множеством прямых, ее огибающих. Так, например: – кривая задана множеством касательных PQ : P = ( A − C )u + C , Q = ( B − C )v + C , – эта же кривая задана множеством точек M : M = ( A − C) u 2v v 2u + (B − C) +C. uv + uv uv + uv Обратим внимание. P и Q являются проекциями кривой M на стороны симплекса CA и CB . Проецирование проведено не параллельными лучами, а пучком касательных. Определение. Проекцию кривой M на стороны симплекса CA, CB в направлении ее касательных предлагается назвать тангенциальным отображением кривой на стороны ее симплекса. 60 Точки и Q являются текущими точками тангенциального P отображения, они являются кривыми, расположенными в одномерных пространствах CA и CB . u 2v v 2u Если из системы уравнений = p, = q определить u и v , uv + uv uv + uv то получим: u = PC q CQ p = p− p , v= =q−q . AC q CB p Утверждение. Кривая M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C определяется q p касательными PQ , где P = ( A − C )( p − p ) + C , Q = ( B − C )(q − q ) + C . q p Вопросы по теме: 1. Что собой представляет направленный отрезок OM ? 2. Как названа кривая M + M ? 3. Какие две точки определяют касательную в текущей точке кривой? 4. Как называются кривые P и Q ? 5. Как отличить прямую CA от кривой P на одномерном пространстве CA ? 6. Определяют ли тангенциальные отображения кривой на стороны симплекса касательную к кривой в текущей ее точке? 7. Укажите точечные уравнения тангенциальных отображений кривой: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . 8. Укажите точечное уравнение кривой, тангенциальные отображения на стороны симплекса: P = ( A − C )u + C , Q = ( B − C )v + C . Задачи по теме: Задача 1. Кривая имеет точечное уравнение: M = ( A − C )cos + ( B − C )sin + C , 61 которая имеет где 0 2 . Исследовать эту кривую. Прежде всего, замечаем: = 0; 2 → M → A . Делаем вывод, что кривая замкнутая и проходит через точку A . При = → M 2C − A . Делаем вывод, что кривая проходит через точку, симметричную точке A относительно точки C . При = → M B . Делаем вывод, что кривая 2 3 → M = 2C − B . Делаем вывод, что 2 проходит через точку B . При = кривая проходит через точку, симметричную точке B относительно точки C . В общем случае, при значении и + получаем точки симметричные относительно точки C . Эта кривая с прямой пересекается в двух точках. Вывод. Данная кривая – эллипс. Параметром является угол с вершиной в точке, который отмеряется от прямой CA , причем MCA = . Взаимосвязь углов и выясним после введения метрики в ТИ. 2.8. МЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ТРЕХ ТОЧЕК Особенность ТИ состоит в том, что мерой (единицей измерения) геометрических объектов, расположенных в пространстве симплекса, является геометрический объект, образованный вершинами симплекса. Так, например, единицей измерения длин на прямой AB является длина отрезка AB ; единицей площади в плоскости ABC является площадь треугольника ABC ; единицей объема в пространстве ABCD служит объем тетраэдра ABCD и т.д. Историческая практика зафиксированные единицы измерения приняла постоянные, строго длины, площади, объема геометрических объектов. Чтобы ввести в рассмотрение эти постоянные единицы измерения, вводится понятие метрического оператора. Основу параметризации в ТИ составляют параметры текущей точки M: 62 – для прямой AB с текущей точкой M : M = Ap + Bq , p + q = 1, где p = MB AM , ,q = AB AB – для плоскости ABC : M = Ap + Bq + Cr , p + q + r = 1 , где p = MM A MM B MM C , ,q = ,r = AM A BM B CM C – для пространства ABCD : M = Ap + Bq + Cr + Ds, p + q + r + s = 1, где p = MM A MM B MM C MM D . , q= , r= , s= AM A BM B CM C DM D Во всех приведенных уравнениях параметры p, q, r, s представляют собой отношение отрезков прямой. В геометрии параллельных проекций играет большую роль не только отношение отрезков, как простое отношение трех точек прямой, но и произведение двух направленных отрезков прямой, как метрический оператор трех точек. Пусть заданы три точки A, B, C и точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB (рис. 2.14). Рисунок 2.14. Геометрическая интерпретация метрического оператора трёх точек Угол 0 (угол с вершиной A , измеряемый в направлении от точки B к точке C ) характеризует положение точки C относительно прямой AB . Так, например, при = 0 – точка C принадлежит прямой AB ; при 63 0 – точка C находится по одну, а при < 0 – по другую сторону от прямой AB . Окончательно можно предложить следующее определение метрического оператора трех точек. A Определение. Метрическим оператором BC (читается сигма BC при A ) называется действительное число, равное произведению длин направленных отрезков AH и AB : A BC = AH AB = ( B − A)(C − A). (2.6) Учитывая, что AH = AC cos будем иметь A BC = AC AB cos . (2.7) Утверждение. Произведение длин двух отрезков, выходящих из одной точки, на косинус угла между ними определяет метрический оператор, а на синус этого угла – площадь. Учитывая теорему косинусов для треугольника CAB , получим выражение метрического оператора через квадраты длин: A BC AB 2 + AC 2 − BC 2 = . 2 (2.8) Через координаты метрический оператор трех точек вычисляется по формуле: А ВС = ( B − A)(C − A) = = ( xB − xA )( xC − xA ) + ( yB − y A )( yC − y A ) + ( z B − z A )( zC − z A ). (2.9) Обратим внимание на то, что метрический оператор трех точек известен из математики как скалярное произведение двух векторов, образованных тремя точками. В геометрии проекций он позволяет нам решать метрические задачи. Прежде всего, отметим то, что положение точки H не меняется и тогда, когда точка C занимает любое другое положение на плоскости, перпендикулярной AB и проходящей через ту же точку H . Для треугольника ABC существуют три метрических оператора относительно каждой из его вершин: A BC = A = AB AHC = AC AH B ; BAC = B = BA BHC = BC BH A ; 64 CAB = C = CA CH B = CB CH A . Для работы с метрическими операторами очень полезно выделить их основные свойства. 2.8.1. Свойства метрического оператора трех точек 1. Перестановка местами нижних индексов в обозначении A A метрического оператора не меняет его численного значения ( BC ). = CB 2. Если нижние индексы в метрическом операторе трех точек одинаковы, то его численное значение равно квадрату длины отрезка. 3. Если верхний индекс в обозначении метрического оператора трех A точек совпадает с нижним, то его значение равно нулю ( BAB = AB = 0 ). 4. Квадрат длины стороны треугольника равен сумме двух метрических операторов, верхние индексы которых указывают на вершины, A определяющие эту сторону: ( A + B = BB = BAA = ( AB)2 ). 5. Треугольник ABC – прямоугольный, если метрический оператор при одной из его вершин равен нулю. Задачи по теме: Задача 1. Доказать справедливость свойств 1-5 метрического оператора трех точек. Задача 2 ** . Выяснить, что определяется соотношением из метрических операторов для симплекса ABC : A A BC BAC + BC CAB + CAB BAC = ? 65 2.8.2. Длина отрезка Из определения метрического оператора трех точек следует, что при совпадении точек H и B метрический оператор определит квадрат длины отрезка: A BB = AB . 2 2.8.3. Угол между прямыми AH = CA cos , получим значение Принимая во внимание, что косинуса угла, выраженного через метрические операторы: cos = A BC A BB B CC . (2.10) Задача. Заданы четыре точки A, B, C, D (рис. 2.15). Определить угол между прямыми AB и CD . Рисунок 2.15. Определение угла между прямыми AB и CD Анализ задачи. Заданные точки могут принадлежать одной плоскости, тогда прямые AB и CD могут пересекаться, пересекаться под прямым углом или быть параллельными. Если прямые параллельны, то угол между ними 66 равен нулю. Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90 . В общем случае, угол между прямыми, по определению, острый. Заданные точки могут не принадлежать плоскости, тогда прямые AB и CD скрещиваются, тогда для графического представления угла между ними выбирают произвольно его вершину K и из этой точки проводят стороны угла параллельно заданным прямым. CD Обратим внимание, что алгоритм построения искомого угла AB , предложенный на рисунке (рис. 2.15) справедлив, независимо от положения прямых AB и CD в пространстве. Решение. Предлагается следующий алгоритм решения задачи: 1. Для произвольной точки K строим точку B , как четвертую вершину параллелограмма BAKB : B = K + B − A . 2. Аналогично строим точку D : D = K + D − C . CD 3. Определяем cos AB через метрические операторы: CD cos AB = = KDB K DD K BB = ( D − K )( B − K ) C DD A BB ( K + D − C − K )( K + B − A − K ) A CDD BB = ( D − C )( A − B) A CDD BB = = . Окончательно имеем: CD cos AB = ( D − C )( A − B) C DD A BB . (2.11) Утверждение. Угол между прямыми AB и CD , вне зависимости от положения этих прямых в пространстве, измеряется точечной формулой: CD cos AB = ( D − C )( B − A) . DC BA Вывод. Угол между прямыми AB и CD зависит только от точек, определяющих прямые, и не зависит от вспомогательной точки K . Общепринято: 67 CD – если ( D − C )( B − A) > 0, то угол AB является искомым, CD – если ( D − C )( B − A) < 0, то искомым является угол ( − AB ), CD – если ( D − C )( B − A) = 0 , то искомый угол AB = 90 . В заключение изложения метрического оператора трех точек отметим, что с его помощью введено исчисление углов, которые не являются инвариантами ТИ и не могут вычисляться покоординатно, а требуют определенного смешения координат. Содержание такого смешения координат трех точек плоскости выражает метрику геометрии и отражено в определении метрического оператора. Задача. В треугольнике заданы вершины A, B, C . Определить его углы, длины сторон, площадь (рис. 2.16). Рисунок 2.16. Обозначение сторон и углов в треугольнике ABC Длины сторон: B A A a = CBB = CC , b = CAA = CC , c = BB = BAA . Углы треугольника: cos = A BC A A BB CC , cos = BAC B BAACC Площадь треугольника: 68 , cos = CAB CAACBB . 1 1 1 ( A ) 2 A A S ABC = bc sin = bc 1 − cos 2 = BB CC 1 − A BC A = 2 2 2 BB CC 1 A A A 2 BB CC − ( BC ) ; 2 1 B B 1 C C = AACC − ( BAC )2 = AA BB − (CAB )2 . 2 2 = S ABC Задача. Определить основания высот в треугольнике ABC (рис. 2.17). Рисунок 2.17. Определение оснований высот в треугольнике ABC Эта задача состоит перпендикуляра из точки из трех на задач: прямую: определить определить основание прямую, перпендикулярную заданной прямой. По определению метрического оператора, имеем: A BC = AH C AB, B AC A A BC AH C A − H C A BAC + B BC = H C B AB → B = = → HC = . A AC H C B H C − B BAC + BC Аналогично, получим: HA = A BCAB + C BAC ACAB + CCB , H = . B A CAB + BAC CAB + CB Обратим внимание. Знаменатель этих формул равен квадрату длины стороны треугольника, на которую опускается перпендикуляр. Учитывая это положение, можно получить другие полезные выражения для основания перпендикуляра из точки на прямую: 69 A A BAC + B BC A BAC + B(c 2 − BAC ) BAC HC = = = ( A − B) 2 + B , A BAC + BC c2 c CAB CAB H A = (B − C ) 2 + C, H B = ( A − C ) 2 + C . a b 2.9. МЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК По аналогии с метрическим оператором трех точек, введем понятие метрического оператора четырех точек A, B, C, D . Обозначим H D – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость ABC . При ребре AB точки H D и C образуют два треугольника ABH D и ABC (рис. 2.18). Рисунок 2.18. Геометрическая интерпретация метрического оператора четырех точек Определение. треугольников Произведение равно ориентированных метрическому оператору площадей четырех этих точек: AB CD = S ABH D S ABC . Аналогично, для треугольника ABC получим еще два метрических оператора: CA BC AD = S BCH A S BCD , BD = SCABD SCAD . Произведя триангуляцию треугольника ABC точкой H D , получим: 70 S ABC = S ABH D + SBCH D + SCAH D . Тогда, суммируя три метрических оператора, получим: AB CA 2 CD + BC AD + BD = S ABC , 2 где S ABC – квадрат площади треугольника. Из определения метрического оператора четырех точек следует, что при совпадении нижних индексов в обозначении метрического оператора четырех точек получим квадрат площади треугольника: AB CA 2 CC = BC AA = BB = S ABC . Объединяя два последних соотношения, получим: AB CA AB BC CA 2 CD + BC AD + BD = CC = AA = BB = S ABC . AB Учитывая, что S ABH D = S ABD cosCD , из определения метрического оператора четырех точек получим: BC BC AD = S ABC S BCD cos AD ; CA CA BD = S ABC SCAD cos BD ; AB AB CD = S ABC S ABD cos CD . Отсюда непосредственно следуют формулы определения двугранного угла в треугольной пирамиде ABCD : cos BC AD BC AD = ; s ABC sBCD cos CA BD CA BD = ; s ABC sCAD cos AB CD AB CD = . s ABC s ABD Сравните понятия метрических операторов трех и четырех точек, а также соответственные формулы, что даст возможность дальнейших обобщений в многомерное пространство. 71 2.9.1. Свойства метрического оператора четырех точек 1. Перемена местами верхних индексов в обозначении метрического оператора четырех точек не изменяет его значения: ijkl = klji . При перестановке местами верхних индексов площади треугольников, произведение которых определяет метрический оператор четырех точек, изменяют ориентацию одновременно, что не изменяет значения их произведения. 2. Перемена местами нижних индексов в обозначении метрического оператора четырех точек не меняет его значения: ijkl = ijlk . Утверждение свойства следует из того, что функция косинус является четной (изменение направления угла меняет его знак на противоположный, не изменяя косинуса этого угла). 3. Если нижние индексы в метрическом операторе четырех точек совпадают, то численное его значение равно квадрату площади треугольника: ijkk = Sijk2 . 4. Сумма метрических операторов четырех точек относительно сторон грани пирамиды численно равна площади этой грани: ijkl + iljk + kijl = Sijk2 . 2.10. ВАЖНЫЕ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ S- И V-ТЕОРЕМЫ Приведем без доказательства две важные теоремы ТИ, которые являются естественным обобщением пространство. 72 друг друга на многомерное 2.10.1. S-теорема и ее геометрический смысл Пусть в симплексе ABC (рис. 2.19) заданы точки: A1 ( p1, q1, r1 ); A2 ( p2 , q2 , r2 ); A3 ( p3 , q3 , r3 ) , следовательно: A1 = Ap1 + Bq1 + Cr1; A2 = Ap2 + Bq2 + Cr2 ; A3 = Ap3 + Bq3 + Cr3 . Рисунок 2.19. Геометрический смысл S – теоремы точечного исчисления Тогда справедливо следующее соотношение: p1 S123 = p2 S ABC p3 q1 r1 q2 r2 , q3 r3 (2.12) где S123 – площадь треугольника A1 A2 A3 (рис. 2.19); S ABC – площадь треугольника ABC . Поскольку pi + qi + ri = 1 , то любой столбец в определителе можно заменить столбцом единиц. Например: p1 S123 = p2 S ABC p3 73 q1 1 q2 1 . q3 1 Утверждение. Площадь треугольника A1 A2 A3 , измеренного единицей площади симплекса ABC , равна определителю третьего порядка, составленному из параметров его вершин (рис. 2.20). Рисунок 2.20. Определение точек треугольника A1 A2 A3 в симплексе ABC Задачи по теме: Задача 1. С помощью простых отношений трех точек прямой 1 = ABA1, 2 = BCA2 , 3 = CAA3 на сторонах треугольника ABC выбраны точки A1 , A2 , A3 . Определить соотношения площадей S123 и S треугольников A1 A2 A3 и ABC . Анализ задачи. На основании S -теоремы следует S123 = S , следовательно, для решения задачи необходимо найти определитель третьего порядка . Решение задачи. Согласно условию задачи, имеем: 1 = ABA1 = AA1 A − A1 A + 1B = → A1 = , A1B A1 − B 1 + 1 B + 2C C + 3 A A2 = , A3 = . 1 + 2 1 + 3 Тогда искомый определитель имеет вид: 74 . = 1 1 + 1 1 1 + 1 0 1 1 + 2 3 1 + 3 0 1 0 1 0 1 2 3 0 1 2 1 + 123 . = = 1 + 2 (1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 ) (1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 ) 0 1 1 + 3 Ответ задачи: S123 (1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 ) = S (1 + 123 ) . Задача 2. Рассмотреть задачу 1 для случая, когда A1 = At1 + Bt1 , A2 = Bt2 + Ct2 , A3 = Ct3 + At3 , где t1 = 1 − t1, t2 = 1 − t2 , t3 = 1 − t3 . Решение задачи. Представим параметры t1 , t2 , t3 через простые отношения трех точек прямой: AA1 = − A1BA, AB BA t2 = 2 = − A2CB, . BC CA t3 = 3 . CA t1 = Преобразуя простые отношения, выразим i через ti : 1 = ABA1 = −(1 + AA1B) = −(1 + Аналогично находим: 2 = 1 1 1 t ) = −(1 − ) = −(1 − )= 1 . A1 AB 1 + A1BA 1 − t1 t1 t2 t , 3 = 3 . t2 t3 Используя ответ задачи 1, находим: t t t tt t S123 (1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 ) = S (1 + 1 2 3 ) . t1 t2 t3 t1t2 t3 Ответ: S123 = S ( t1t2 t3 + t1t2t3 ) . Задача 3. Задана текущая точка M = Ap + Bq+ Cr симплекса ABC (рис. 2.21). 75 Определить соотношения образовавшихся площадей треугольников MBC, AMC, ABM , M AM B M C . Рисунок 2.21. Определение текущей точки M в симплексе АВС Решение задачи. Из предыдущего изложения параметризации плоскости через площади, следуют первые соотношения: p= MM A S MBC = → S MBC = pS , AM A S q= MM B S AMB = → S AMB = qS , BM B S r= MM C S ABM = → S ABM = rS . CM C S Ответ-1: Если в качестве единицы площади выбрать площадь S ABC треугольника ABC , то p = SMBC , q = S AMC , r = S ABM . Определим M A = BC AM . Операция пересечения прямых, принадлежащих плоскости, очень часто встречается в геометрических построениях. Рассмотрим подробно нахождение точки пересечения прямых: 1. Задаем точечное уравнение одной из пересекающихся прямых (например BC ): M A = B(1 − u) + Cu , где параметр u обеспечивает течение точки по прямой BC . 2. Определим такое значение u , при котором площадь треугольника AMM A (треугольник превращается в отрезок): 76 0 1− u u p q r = 0 → (1 − u )r = uq → u = 1 0 0 r . q+r 3. Подставляем значение u в уравнение прямой BC : MA = B q r +C . q+r q+r Аналогично определяем остальные две точки: r p +A , p+r p+r p q MC = A +B . p+q p+q MB = C Используя S -теорему, определим площадь S треугольника M AM B M C : 0 S p = S p+r p q+ p q q+r 0 q q+ p r q+r r 2 pqr 2 pq(1 − p − q) = = . p + r (q + r )( p + r )(q + p ) (1 − p )(1 − q )( p + q ) 0 Подставляем, полученные ранее значения параметров: S 2 pqr = . S ( p + q)(q + r )(r + p) Ответ-2: Если в качестве единицы площади выбрать площадь S ABC треугольника ABC , то площадь S треугольника M AM B M C , сопровождающего точку M = Ap + Bq + Cr , где p + q + r = 1 , определяется соотношением: S= 2 pqr . ( p + q)(q + r )(r + p) S 1 Если принять в этом соотношении p = q = r = , то получим S = , где 4 3 M – центр тяжести треугольника ABC . 77 2.10.2. V-теорема и ее геометрический смысл Пусть в симплексе ABCD (рис. 2.22) заданы точки A1 ( p1, q1, r1, s1 ) , A2 ( p2 , q2 , r2 , s2 ) , A3 ( p3 , q3 , r3 , s3 ) и A4 ( p4 , q4 , r4 , s4 ) . Рисунок 2.22. Геометрический смысл V – теоремы точечного исчисления Следовательно: A1 = Ap1 + Bq1 + Cr1 + Ds1; A2 = Ap2 + Bq2 + Cr2 + Ds2 ; A3 = Ap3 + Bq3 + Cr3 + Ds3 ; A4 = Ap4 + Bq4 + Cr4 + Ds4 . Тогда справедливо важное для практических приложений утверждение V –теоремы. Утверждение. Объем тетраэдра A1 A2 A3 A4 , измеренного единицей объема симплекса ABCD , равен определителю четвертого порядка, составленному из параметров его вершин: p1 q1 r1 s1 p V1234 = 2 VABCD p3 p4 q2 q3 r2 r3 s2 , s3 q4 r4 s4 где V1234 – объем тетраэдра A1 A2 A3 A4 (рис. 2.22); VABCD – объем симплекса ABCD . 78 (2.13) Поскольку pi + qi + ri + si = 1 , то любой столбец определителя можно заменить столбцом единиц. Например: p1 q1 r1 1 p V1234 = 2 VABCD p3 p4 q2 q3 r2 1 . r3 1 q4 r4 1 Значение определителя второго, третьего, четвертого порядков будем соответственно называть относительной длиной отрезка, относительной площадью треугольника, относительным объемом тетраэдра или мерой соответствующего симплекса. Абсолютные длина, площадь и объем измеряются единожды установленными единицами измерения, которые не претерпевают пропорционального воздействия пространства, и для их использования необходимо ввести метрику пространства. Задание для самостоятельных исследований. Проведите исследование соотношений объемов тетраэдров в симплексе с текущей точкой M = Ap + Bq + Cr + Ds, p + q + r + s = 1 и сравните с результатами задач п. 2.10.1. Задачи по теме: Задача 1. Определить объем тетраэдра A1 A2 A3 A4 , если A1 DA , A2 DB , A3 DC , A4 – центр тяжести треугольника A1 A2 A3 . Задача 2. Определить объем тетраэдра A1 A2 A3 A4 , вершины которого являются особыми точками граней симплекса ABCD . 2.11. ОБОБЩЕНИЯ К МНОГОМЕРНОМУ ПРОСТРАНСТВУ Если обозначить размерность пространства через n , тогда: 79 1. При n = 0 имеем 0-мерное пространство, которое геометрически отображается точкой. В таком пространстве ничего, кроме точки или множества совпавших точек, находиться не может. Никакое движение в таком пространстве осуществить невозможно. 2. При n = 1 имеем одномерное пространство, которое геометрически отражается двумя точками (например, симплекс AB ). В таком пространстве точка может осуществлять поступательное движение вдоль прямой линии, которую она при этом образует: M = Ap + Bq , где p + q = 1. Если в этом пространстве точку B принять за нулевую точку отсчета получим уравнение в виде M = ( A − B) p + B . В 1-мерном пространстве AB кроме точек можно рассматривать отрезки A1 A2 , а также взаимное положение точки и отрезка. 3. При n = 2 имеем двухмерное пространство, которое определяется симплексом ABC трех точек. Геометрически такое пространство известно как плоскость: M = Ap + Bq + Cr , где p + q + r = 1 . Принимая точку C в качестве точки отсчета, получим уравнение в виде: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . В 2-мерном пространстве можно рассматривать криволинейное движение точки (в частности, прямолинейное и круговое), появляется понятие угла, и множество новообразований, изучением которых занимается раздел геометрии – планиметрия. 4. При n = 3 имеем, привычное нам трехмерное пространство ABCD . M = Ap + Bq + Cr + Ds , где p + q + r + s = 1 . При начальной точке отсчета D уравнение принимает вид: M = ( A − D) p + ( B − D)q + (C − D)r + D . Возможности 3-мерного пространства настолько широки, что вмещают все объекты видимого нами мира. Возможно дальнейшее обобщение в многомерное пространство. Обобщая, можно сделать выводы: 1. Количество параметров n-пространства, определяющих его текущую точку, равно размерности пространства n . 80 2. Симплекс (количество независимых точек, определяющих пространство) n-пространства равно n + 1. 3. Многомерное оперирует n-пространство геометрическими образованиями размерности n . 4. Если Ai ( i = 0,1,2, , n ) образуют симплекс, то уравнение nn пространства имеет вид: M = Ati i , где 0 n t i = 1. Принимая A0 за начальную 0 точку отсчета (начало общей декартовой системы координат, а A0 Ai за n единичные векторы осей) получим уравнение в виде: M = ( Ai − A0 )ti + A0 , 1 где ti (i = 1,2, , n) – независимые параметры. 2.12. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Рассмотрим взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. 2.12.1. Взаимное положение прямых пространства Прямые и в пространстве, в самом общем случае, скрещиваются, образуя симплекс этого пространства. Если точки A1, A2 , A3 , A4 заданы в симплексе DABC : A1 ( p1 , q1 , r1 ) → A1 = ( A − D) p1 + ( B − D)q1 + (C − D)r1 + D, A2 ( p2 , q2 , r2 ) → A2 = ( A − D) p2 + ( B − D)q2 + (C − D)r2 + D, A3 ( p3 , q3 , r3 ) → A3 = ( A − D) p3 + ( B − D)q3 + (C − D)r3 + D, A4 ( p4 , q4 , r4 ) → A4 = ( A − D) p4 + ( B − D)q4 + (C − D)r4 + D, то объем пирамиды A1 A2 A3 A4 не равняется нулю (вершины пирамиды не принадлежат плоскости): 81 p1 q1 p 34 12 = 2 p3 q2 q3 p4 q4 r1 1 p1 − p4 r2 1 0 или p2 − p4 r3 1 p3 − p4 r4 1 q1 − q4 r1 − r4 q2 − q4 r2 − r4 0 . q3 − q4 r3 − r4 Для инженерной практики многомерного пространства положение прямых удобно характеризовать расстоянием между прямыми или ближайшими точками на прямых. Полезно иметь точечное соотношение их определения через заданные точки A1, A2 , A3 , A4 . Задача. Заданы точки A1, A2 , A3 , A4 (рис. 2.23). Определить на прямой A1 A2 точку H 12 , ближайшую к прямой A3 A4 . Рисунок 2.23. Геометрическая схема определения точки H 12 , ближайшей к прямой A3 A4 Анализ задачи. Ближайшие точки на прямых будут располагаться на общем перпендикуляре к этим прямым. Для нахождения параметра t искомой точки на прямой A1 A2 , используем следующий алгоритм: 1. Зададим текущую точку на прямой A1 A2 : M = A21t + A1 , где Aij = Ai − Aj – общепринятое в ТИ условное обозначение. 82 1 2. Определим основание перпендикуляра H 34 опущенного из точки M на прямую A3 A4 : A3 4M 3 + A43M 4 2 , где 4M 3 + 3M 4 = A3 A4 . H = 4 3 M 3 + M 4 1 34 3. Определим основание перпендикуляра H121 , опущенного из точки 1 на прямую A1 A2 : H 34 H = 1 12 A112H 1 + A212 H 1 34 34 A1 A2 2 1 1 A1A12 ( H 34 − A2 ) − A2A12 ( H 34 − A1 ) = A1 A2 A32 4M 3 + A423M 4 = A1A12 2 A3 A4 A1 A2 − A2A12 2 2 4 2 3 13 M 3 + 14 M 4 = A1 2 A3 A4 A1 A2 2 + A2 = 2 A31 4M 3 + A413M 4 2 2 A3 A4 A1 A2 123 4M 3 + 1243M 4 2 2 A3 A4 A1 A2 = . Для искомой точки основания H121 и M должны совпадать: 2 2 2 4 2 3 13 M 3 + 14 M 4 = t A3 A4 A1 A2 . 1 4 2 2 1 3 23 M 3 + 24 M 4 = t A3 A4 A1 A2 Суммируя эти два уравнения системы, получим тождество, следовательно, мы имеем не систему, а два вида одного и того же уравнения. Преобразуем это уравнение: 123 4M 3 + 1243M 4 + 1233M 4 − 1233M 4 = t A3 A4 A1 A2 → 2 2 → 123 A3 A4 + 3M 4 (124 − 123 ) = t A3 A4 A1 A2 → 2 2 2 → 123 A3 A4 + (124 − 123 )A43 ( A21t + A13 ) = t A3 A4 A1 A2 → 2 2 2 3 → 123 A3 A4 + (124 − 123 )(A43 A21t + 14 ) = t A3 A4 A1 A2 → 2 2 2 3 → 123 A3 A4 + (124 − 123 )14 = t A3 A4 A1 A2 − (124 − 123 ) 2 . 2 2 2 Из полученного уравнения находим параметр t для точки прямой A1 A2 ближайшей точки H 12 к прямой A3 A4 : 3 123 A3 A4 + (124 − 123 )14 2 t= A3 A4 A1 A2 − ( − ) 2 2 83 1 24 1 2 23 . Искомая точка определяется точечным уравнением: 3 123122344 + (124 − 123 )14 H = A21 + A1. 344122 − (124 − 123 )2 12 (2.14) Меняя индексы, получим ближайшую точку на прямой A3 A4 : H 34 341344122 + (324 − 341 )132 = A43 + A3 . 122344 − (324 − 341 )2 (2.15) Если точки H 12 , H 34 совпадают, то они определяют точку пересечения прямых, в противном случае это ближайшие точки на прямых, нахождение которых часто необходимо при решении прикладных задач. Для решения этой задачи можно использовать положение, что расстояние 1 1 2 ( H12 H 34 ) является минимальным. определения ближайших точек на прямых A1 A2 и Следовательно, для A3 A4 можно применить следующий алгоритм: 1. На прямых A1 A2 и A3 A4 зададим текущие точки M и N : M = A21u + A1 и N = A43v + A3 . 2. Определим квадрат расстояния между текущими точками: ( MN )2 = A21u + A13 − A43v = 2 3 = ( A1 A2 )2 u 2 + ( A1 A3 )2 + ( A3 A4 ) 2 v 2 − 2123u − 2A21 A43uv − 214 v. 3. Приравняем нулю частные производные этого квадрата расстояния: 2 1 2( A1 A2 ) u − 2 23 − 2A21 A43v = 0, 2 3 2( A3 A4 ) v − 2A21 A43u − 214 = 0. 4. Решаем полученную систему относительно параметров u и v : ( A1 A2 ) 2 u − A21 A43v = 123 → 2 3 ( − A A u + ( A A ) v = 21 43 3 4 14 3 123 ( A3 A4 ) 2 + 14 A21 A43 u = ( A A ) 2 ( A A ) 2 − (A A u ) 2 , 1 2 3 4 21 43 → 3 2 1 v = 14 ( A1 A2 ) + 23A21 A43 . ( A1 A2 ) 2 ( A3 A4 ) 2 − (A21 A43u ) 2 5. Подставляя значения u и v , окончательно находим: 84 3 123 ( A3 A4 )2 + 14 A21 A43 H = A21 + A1 , ( A1 A2 ) 2 ( A3 A4 ) 2 − (A21 A43 ) 2 1 12 (2.16) 3 14 ( A1 A2 ) 2 + 123A21 A43 1 H 34 = A43 + A3 . ( A1 A2 ) 2 ( A3 A4 ) 2 − (A21 A43 ) 2 Вывод. Каждому геометрическому алгоритму решения задачи соответствует свой вычислительный алгоритм. Задачи по теме: Определить геометрический смысл знаменателя в формулах (2.16). В инженерной практике возникает задача определения расстояния между скрещивающимися прямыми A1 A2 и A3 A4 . Можно предложить формулу определения такого расстояния без определения ближайших точек на этих прямых: d= 34 где 12 = 34 12 122344 − (A12 A34 )2 p1 q1 r1 1 p2 p3 q2 q3 r2 1 . r3 1 p4 q4 r4 1 = 34 12 122344 − (324 − 341 )2 , (2.17) 2.12.2. Определение точки К пересечения прямых A1 A2 и A3 A4 принадлежащих плоскости САВ Прямые A1 A2 и A3 A4 пересекаются, если они принадлежат одной плоскости ABC (рис. 2.24). 85 Рисунок 2.24. Пересечение прямых в симплексе CAB Пусть точки A1, A2 , A3 , A4 определены в симплексе CAB : A1 = ( A − C ) p1 + ( B − C )q1 + C , A2 = ( A − C ) p2 + ( B − C )q2 + C , A3 = ( A − C ) p3 + ( B − C )q3 + C , A4 = ( A − C ) p4 + ( B − C )q4 + C. Зададим текущую точку M прямой A1 A2 : M = A21 + A1 = ( A − C )( p21 + p1) + ( B − C )(q21 + q1 ) + C . Точка M при своем движении изменяет площадь треугольника MA3 A4 . В точке K эта площадь равна нулю. Следовательно, если определить эту переменную площадь и приравнять нулю, то получим соотношение для определения значения точки пересечения, а точка M совпадет с точкой K : p21 + p1 q21 + q1 1 p3 q3 1 = ( p21 + p1 )q34 − (q21 + q1 ) p34 + p3q4 − q3 p4 = 0. p4 q4 1 Из этого соотношения определяем: = q3 p4 − p3q4 − p1q34 + q1 p34 . p21q34 − q21 p34 Окончательно имеем: 86 K = ( A − C )( p21 +( B − C )(q21 q3 p4 − p3q4 − p1q34 + q1 p34 + p1 ) + p21q34 − q21 p34 q3 p4 − p3q4 − p1q34 + q1 p34 + q1 ) + C , p21q34 − q21 p34 где p21 = p2 − p1 ; q21 = q2 − q1 ; p34 = p3 − p4 ; q34 = q3 − q4 . При построении точки пересечения двух прямых, принадлежащих плоскости, можно использовать полученную формулу. Но при решении практических задач точки, определяющие прямые, занимают частное положение, и удобнее использовать не готовую формулу, а геометрический алгоритм ее получения. Задача. На сторонах симплекса CAB (рис. 2.25) заданы точки P = Au + Cu и Q = Cv + Bv . Рисунок 2.25. Определение точки пересечения прямых AQ и BP в симплексе CAB Определить точку K = QA PB . Если в симплексе CAB принять за начальную точку C , то получим P = ( A − C )u + C, Q = ( B − C )v + C . Внимание. Операция выбора формализована следующим образом: 87 начальной точки в симплексе - задано M = Ap + Bq + Cr + Ds , где p + q + r + s = 1 , - начальная точка D → M = ( A − D) p + ( B − D)q + (C − D)r + ( D − D)s + D , откуда имеем M = ( A − D) p + ( B − D)q + (C − D)r + D , - начальная точка C → M = ( A − C ) p + ( B − C )q + (C − C )r + ( D − C )s + D , откуда имеем: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + ( D − C ) s + C , - начальная точка B → M = ( A − B) p + ( B − B)q + (C − B)r + ( D − B)s + B , откуда имеем: M = ( A − B) p + (C − B)r + ( D − B)s + B , - начальная точка A → M = ( A − A) p + ( B − A)q + (C − A)r + ( D − A)s + A , откуда имеем: M = ( B − A)q + (C − A)r + ( D − A)s + A . После полезного отступления переходим к решению задачи: K = QA PB; K = (Q − A) + A = ( A − C )(1 − ) + ( B − C ) v + C ; P = ( A − C )u + C ; Q = ( B − C )v + C ; 1 − v 1 u 0 1 = − 1 − vu + u = 0 → = 0 1 1 u . 1 − vu Подставляя значение , находим: K = ( A − C) uv uv + (B − C) +C. 1 − vu 1 − vu Если точки P и Q согласовано перемещаются по сторонам симплекса, то точка K определит дугу AB параболического обвода, геометрический алгоритм построения которой известен из курса черчения (лекальные кривые). Принимая u = v = t , получим уравнение дуги: K = ( A − C) (1 − t )2 t2 + ( B − C ) +C, 1− t + t2 1− t + t2 88 где 0 t 1. 2.12.3. Определение точки К пересечения прямых CQ и DP принадлежащих пространству DABC В данном разделе рассмотрим вариант, когда известно, что прямые CQ и DP пространства DABC принадлежат плоскости DLC (рис. 2.26). Рисунок 2.26. Определение точки пересечения прямых в симплексе 3-мерного пространства Дано: точки A, B, C, D ; прямые L = Aw + Bw , P = Cu + Lu , Q = Lv + Dv . Определить: K = CQ DP в симплексе ABCD . Переводим в симплекс ABCD точки P и Q : P = Cu + Lu = Awu + Bwu + Cu , Q = Lv + Dv = Avw + Bvw + Dv. Внимание. При определении точки пересечения прямых необходимо выразить точки, определяющие прямые, в едином симплексе. Зададим текущую точку M на прямой QC : M = Q + C = Avw + Bvw + C + Dv . Когда площадь треугольника MDP равна нулю, параметр зафиксирует точку K = CQ DP . Но в пространстве имеем не три, а четыре 89 параметра, определяющие точку. Будем иметь не определитель третьего порядка, а матрицу с тремя строками и четырьмя столбцами: vw wu 0 vw wu u 0 0 v 0 . 1 Из этой матрицы можно составить четыре определителя третьего порядка. Каждый из этих определителей определяет проекцию пересекающихся прямых на одну из граней симплекса. Отношение = KQ CQ для прямой CQ будет равным на каждой невырожденной проекции. Вычеркивая первый столбец матрицы, определим отношение проекции пересекающихся прямых на грани BCD : vw wu 0 vw wu v vw 0 → wu 1 0 v u u 0 = 0 → uv = u → = 0 0 0 1 uv uv . = uv + u 1 − uv Подставляя значение, получим: M K=A uvw uvw uv uv . +B +C +D 1 − uv 1 − uv 1 − uv 1 − uv Или принимая точку D в качестве начальной, получим: K = ( A − D) Утверждение. uvw uvw uv + ( B − D) + (C − D) + D. 1 − uv 1 − uv 1 − uv При определении точки пересечения заведомо пересекающихся прямых пространства из матрицы параметров используем один определитель третьего порядка. Если принять u = u(t ), v = v(t ), w = w(t ) , точечное уравнение определит пространственную кривую, которая в общем случае будет линией двоякой кривизны. 90 Задачи по теме: Задача 1 ** . Исследовать вид и свойства кривых K при различных значениях функций u = u(t ), v = v(t ), w = w(t ) . Задача 2 *** . В симплексе A1 A2 A3 A4 точка I является центром тяжести (центроид) треугольника A1 A2 A3 , точка J – центроид треугольника A1 A2 A4 (рис. 2.27). Рисунок 2.27. Геометрическая схема для определения точечного уравнения кривой третьего порядка T A1 A2 , S = TJ A2 A4 , R = TJ A1 A4 , Q = TI A2 A3 , P = TI A1 A3 , M = SP RQ . Принимая в качестве параметра t = AT 1 , с помощью указанных A1 A2 многократных пересечений, получить уравнение алгебраической кривой третьего порядка. Исследовать эту кривую на прохождение через заданные точки. 91 РАЗДЕЛ 3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 3-ПРОСТРАНСТВА 3.1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПЛОСКОСТЯМ ГРАНЕЙ СИМПЛЕКСА Пусть 3-пространство определено симплексом ABCD . Тогда точка A1 = Ap1 + Bq1 + Cr1 + Ds1 принадлежит этому пространству, если p1 + q1 + r1 + s1 = 1. Также точка A1 может принадлежать рёбрам и граням симплекса ABCD . Например: – если p1 + q1 + r1 = 1 при s1 = 0 , точка A1 принадлежит плоскости ABC . – если p1 + q1 + s1 = 1 при r1 = 0 , точка A1 принадлежит плоскости ABD . – если p1 + r1 + s1 = 1 при q1 = 0 , точка A1 принадлежит плоскости ACD . – если q1 + r1 + s1 = 1 при p1 = 0 , точка A1 принадлежит плоскости BCD . Прямая линия принадлежит пространству в том случае, если две ее точки принадлежат этому пространству. Задача. Заданы точки A1 ( p1, q1, r1, s1 ); A2 ( p2 , q2 , r2 , s2 ) , принадлежащие пространству ABCD . Определить следы прямой A1 A2 на плоскостях граней симплекса ABCD . Решение: 1. Зададим текущую точку прямой A1 A2 : M = ( A2 − A1 )u + A1 . 2. Переходим к симплексу ABCD , подставляя значения A1 = Ap1 + Bq1 + Cr1 + Ds1 и A2 = Ap2 + Bq2 + Cr2 + Ds2 в уравнение прямой: M = A( p2 − p1 )u + p1 + B (q2 − q1 )u + q1 + C (r2 − r1 )u + r1 + D (s2 − s1 )u + s1 . 3. Для следа на плоскости ABC коэффициент при точке D равен нулю, следовательно u = s1 . Откуда имеем: s1 − s2 92 s H ABC = A ( p2 − p1 ) 1 + p1 + s1 − s2 s s + B (q2 − q1 ) 1 + q1 + C (r2 − r1 ) 1 + r1 . s1 − s2 s1 − s2 Или, упрощая, получим: p2 s1 − p1s2 q s −qs r s − rs + B 2 1 1 2 +C 2 1 1 2 . s1 − s2 s1 − s2 s1 − s2 H ABC = A 4. Аналогично определяем следы на остальных плоскостях граней симплекса: H ABD = A H ACD = A H BCD = B p2 r1 − p1r2 q r −qr s r −sr +B 21 12 +D 21 12, r1 − r2 r1 − r2 r1 − r2 p2 q1 − p1q2 r q − rq s q −sq +C 2 1 1 2 + D 2 1 1 2 , q1 − q2 q1 − q2 q1 − q2 (3.1) q2 p1 − q1 p2 r p −r p s p −s p +C 2 1 1 2 + D 2 1 1 2. p1 − p2 p1 − p2 p1 − p2 3.2. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА Пусть задана прямая AB и точка C на ней, тогда из определения угла между прямыми AB и AC , следует: cos = A BC A BB B CC A 2 A B . = 1 → ( BC ) = BB CC Утверждение. Точка C принадлежит прямой AB , если площадь A 2 A B треугольника ABC равна нулю, или выполняется условие: ( BC . ) = BB CC 3.3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ Точка может принадлежать плоскости или находится вне ее. Утверждение. Точка D принадлежит плоскости ABC , если объем пирамиды ABCD равен нулю: 93 – если точки заданы в прямоугольной декартовой системе координат A( xA , y A , z A ), B( xB , yB , zB ), C ( xC , yC , zC ), D( xD , yD , zD ) : xD xA yD yA zD 1 zA 1 xB xC yB yC zB 1 zC 1 x A − xD = xB − xD y A − yD yB − yD z A − zD zB − zD = 0 ; xC − xD yC − yD zC − zD – если точки заданы в общей декартовой системе координат (в симплексе DABC ) A( pA , qA , rA ), B( pB , qB , rB ), C( pC , qC , rC ), D( pD , qD , rD ) : pD pA qD qA rD 1 rA 1 pB pC qB qC rB 1 rC 1 p A − pD = pB − pD q A − qD qB − qD rA − rD rB − rD = 0 . pC − pD qC − qD rC − rD Обратите внимание. Несмотря на то, что объемы измеряются разными единицами, на основании V -теоремы условия принадлежности точки D в декартовом и общем симплексе идентичны. 3.4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В САМОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Размерность прямой равна единице, следовательно, размерность результата пересечения прямых в 3-пространстве равно минус единице (1 + 1 − 3 = −1 ). Это означает, что в самом общем случае прямые пространства (скрещиваются) не имеют общей точки. Пары точек, определяющие эти прямые, образуют симплекс пространства. Пусть в симплексе ABCD заданы прямые A1 A2 и A3 A4 : A1 ( p1 , q1 , r1 ) → A1 = ( A − D) p1 + ( B − D)q1 + (C − D)r1 + D; A2 ( p2 , q2 , r2 ) → A2 = ( A − D) p2 + ( B − D)q2 + (C − D)r2 + D; A3 ( p3 , q3 , r3 ) → A3 = ( A − D) p3 + ( B − D)q3 + (C − D)r3 + D; A4 ( p4 , q4 , r4 ) → A4 = ( A − D) p4 + ( B − D)q4 + (C − D)r4 + D. 94 Утверждение. Прямые A1 A2 и A3 A4 скрещиваются (определяют пространство) в том случае, если ранг матрицы p1 p 34 r12 = 2 p3 p4 q1 q2 q3 q4 r1 1 r2 1 , r3 1 r4 1 образованной параметрами точек A1, A2 , A3 , A4 , равен четырем: p1 q1 p = 2 p3 q2 q3 p4 q4 34 12 r1 1 p1 − p4 r2 1 0 или p2 − p4 r3 1 p3 − p4 r4 1 Утверждение. Прямые A1 A2 и q1 − q4 r1 − r4 q2 − q4 r2 − r4 0 . q3 − q4 r3 − r4 A3 A4 пересекаются (определяют плоскость) в том случае, если ранг матрицы r1234 , образованной параметрами точек A1, A2 , A3 , A4 , равен трем. Утверждение. Прямые A1 A2 и A3 A4 совпадают (определяют единую прямую) в том случае, если ранг матрицы r1234 , образованной параметрами точек A1, A2 , A3 , A4 , равен двум. Из определения угла между прямыми следует: Утверждение. Прямые AB и CD параллельны, если выполняется условие: CD CD AB = 0 → cos AB = ( D − C )( B − A) =1→ DC BA → ( D − C )( B − A) = DC BA = ( D − C )2 ( B − A) 2 . Утверждение. Прямые AB и CD взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда для точек, их определяющих, выполняется условие: ( D − C )( B − A) = 0. (3.2) Для скрещивающихся прямых важно знать положение ближайших точек на них и расстояние между ними, рассмотренное нами ранее. 95 3.5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Прямая может пересекать плоскость, быть ей параллельна или перпендикулярна. Пусть плоскость задана точками A1 ( p1, q1, r1 ); A2 ( p2 , q2 , r2 ); A3 ( p3 , q3 , r3 ) , а прямая двумя точками A4 ( p4 , q4 , r4 ); A5 ( p5 , q5 , r5 ) . Требуется определить точку K пересечения плоскости и прямой ( K = A1 A2 A3 A4 A5 ). Зададим прямую A4 A5 ее текущей точкой M с помощью переменного параметра u : M ( p54u + p4 , q54u + q4 , r54u + r4 ) . Составим определитель объема пирамиды MA1 A2 A3 : VMA1 A2 A3 = p54u + p4 p1 q54u + q4 q1 p2 p3 q2 q3 r54u + r4 1 r1 1 r2 r3 1 1 . Значение параметра u , при котором определитель равен нулю, определяет искомую точку M K . Если определитель равен нулю при любом u , то прямая A4 A5 принадлежит плоскости A1 A2 A3 . Если определитель равен числу, отличному от нуля (не зависит от u ), то прямая параллельна плоскости. Приравнивая нулю объем, определим u для точки K : u= pqr − ( p4 sqr + q4 srp + r4 s pq ) p54 sqr + q54 srp + r54 s pq , p1 q1 r1 где pqr = p2 p3 q2 r2 ; sqr = q2 r2 1 ; srp = r2 p2 1 ; s pq = p2 q2 1 . q3 r3 r3 1 p3 1 q3 1 q1 q3 r1 1 r1 r3 p1 1 p1 p3 q1 1 Точка K пересечения прямой A4 A5 с плоскостью A1 A2 A3 определяется точечным уравнением: 96 K = A45 p4 sqr + q4 srp + r4 s pq − pqr p45 sqr + q45 srp + r45 s pq + A5 . (3.3) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Пусть этими прямыми будут A3 A1 и A2 A1 , тогда условие перпендикулярности прямой A4 A5 и плоскости A1 A2 A3 принимает вид: ( A4 − A5 )( A3 − A1 ) = 0 . ( A − A )( A − A ) = 0 4 5 3 2 Плоскости пространства могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой. Анализ их взаимного положения сводится к анализу прямых одной плоскости по отношению к другой. Пусть первая плоскость задана точками A1 ( p1, q1, r1 ) , A2 ( p2 , q2 , r2 ) A3 ( p3 , q3 , r3 ) а вторая точками A4 ( p4 , q4 , r4 ), A5 ( p5 , q5 , r5 ), A6 ( p6 , q6 , r6 ) . Тогда определяя положение прямых A4 A5 , A4 A6 относительно плоскости A1 A2 A3 , делаем вывод о взаимном положении двух плоскостей. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости. 97 РАЗДЕЛ 4. ТОЧКИ, РАСШИРЯЮЩИЕ МЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА (ТОЧКИ ВЫХОДА ИЗ ПЛОСКОСТИ) Две одинаковым точки одинаковой числом многопараметрического мерности параметров. пространства пространства Если две отличаются точки хотя определяются A и бы одним B параметром, то они определяют симплекс одномерного подпространства (прямую AB ). Выбирая произвольно третью точку C , мы не можем быть уверенными, что она расширяет пространство до плоскости ABC (что она вышла за пределы прямой AB ). Возникает необходимость выбора точки С , находящейся заведомо вне прямой. Из изложенного ранее известно, что площадь треугольника ABC не должна равняться нулю. Важно формировать координаты точки C через заданные точки A, B и заданную площадь S ABC , тогда будем иметь точку C выхода из прямой AB на высоту h = 2S ABC . Для практической работы в AB пространстве более важно построение над плоскостью, а не над прямой. 4.1. ТОЧКА ВЫХОДА ИЗ ПЛОСКОСТИ АВС Пусть заданы точки A, B, C своими координатами в декартовой системе координат: A( xA , y A , z A ), B( xB , yB , zB ), C ( xC , yC , zC ) . Построим три проекции треугольника ABC на координатные плоскости. Для наглядности построим эти проекции на эпюре Г. Монжа (рис. 4.1). 98 Рисунок 4.1. Проекции треугольника ABC на эпюре Монжа На плоскости П1 имеем треугольник A1B1C1 с площадью S xy , на П2 – A2 B2C2 с площадью S zx , на П3 – A3 B3C3 с площадью S yz : xA 1 S xy = xB 2 xC yA 1 xA 1 zA 1 yB xB zB 1 . yC zA 1 1 , S zx = z B 2 1 zC xC yA 1 1 , S yz = yB 2 1 yC (4.1) zC 1 Определение. Точка S ABC (S yz , S zx , S xy ) , где координаты в линейных единицах численно равны соответствующим площадям, выраженным в квадратных единицах, называется точкой выхода из плоскости ABC . Точка выхода из плоскости в ТИ играет такую же роль, как векторное произведение в векторном исчислении. 99 Свойства точки S ABC (S yz , S zx , S xy ) выхода из плоскости ABC и ее геометрическая интерпретация: 1. Прямая OS ABC перпендикулярна плоскости ABC . 2. Длина отрезка OS ABC равна площади треугольника ABC ( OS ABC = S ABC ). Для практики построения геометрических объектов, расположенных над (под) плоскостью ABC удобно определить точку DABC (рис. 4.2) выхода из плоскости на заданное расстояние d : ODABC O − DABC d dS = = → DABC = ABC , OS ABC O − S ABC s ABC s ABC где S ABC (s yz , s zx , s xy ) , s ABC = ( s yz )2 + ( s zx )2 + ( s xy )2 , d – высота выхода из плоскости. Рисунок 4.2. Геометрическая схема определения точки выхода из плоскости на заданное расстояние Если M ( p, q) текущая точка плоскости, то точка M d выхода из нее на величину d вычисляется точечной формулой: M d = M + DABC = ( A − C ) p + ( B − C )q + S ABC 100 d s ABC +C. Задача. Определить вершины прямой треугольной призмы ABCAd Bd Cd высотой d , если точки A, B, C одного основания заданы. Анализ задачи. Учитывая геометрический смысл точки M d , делаем вывод, что искомые вершины являются точками выхода из точек A, B, C на высоту d призмы. Решение задачи. Точечные формулы определения искомых вершин имеют вид: Ad = A + d s ABC S ABC , Bd = B + d s ABC S ABC , Cd = C + d s ABC S ABC . Задача. Определить расчетную формулу вершины S пирамиды SABC высотой d , которая проецируется в точку тяжести заданного основания ABC . Анализ задачи. Искомая точка S является точкой выхода S d , расположенной над центром тяжести треугольника ABC . Решение задачи. Определяем центр T тяжести треугольника ABC : T= A+ B +C . 3 Находим искомую вершину пирамиды: S = T + Для примера координатный использования вычислительный точечных алгоритм d s ABC S ABC . формул определения сформируем вершины пригодный для использования компьютерных технологий. Пусть A( xA , y A , z A ), B( xB , yB , zB ), C ( xC , yC , zC ) , тогда находим: xT = xA + xB + xC y + yB + yC z +z +z , yT = A , zT = A B C . 3 3 3 Далее определяем координаты точки выхода из плоскости ABC : xA 1 s xy = xB 2 xC yA 1 xA 1 zA 1 yB xB zB 1 . yC zA 1 1 , s zx = z B 2 1 zC 101 xC yA 1 1 , s yz = yB 2 1 yC zC 1 S, Находим площадь треугольника ABC : s ABC = ( s yz )2 + ( s zx )2 + ( s xy )2 . Окончательно координаты искомой вершины определяются по формулам: xS = xT + d s ABC s yz , yS = yT + d s ABC s zx , zS = zT + d s ABC s xy . 4.2. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ НАД ПЛОСКОСТЬЮ АВС Точка выхода из плоскости на величину d позволяет зафиксировать точку D над плоскостью ABC по ее проекции DH на этой плоскости. Это дает возможность строить кривые по их ортогональной проекции на плоскости ABC . Пусть в этой плоскости задана кривая: M H = ( A − C ) p(t ) + ( B − C )q(t ) + C . Тогда точечное уравнение: M = M H + DABC = ( A − C ) p(t ) + ( B − C )q(t ) + xA 1 где S ABC (s , s , s ) , s = xB 2 xC yz zx xy xy yA 1 yB yC S ABC (s ) + (s ) + (s ) yz 2 zA 1 1 , s = zB 2 1 zC zx zx 2 xy 2 xA 1 xB xC d (t ) + C , yA 1 1 , s = yB 2 1 yC yz zA 1 zB 1 , zC 1 определяет кривую двоякой кривизны. Если в плоскости ABC задать окружность с центром C и радиусом : M H = ( A − C) sin( − ) sin + (B − C) +C, a sin b sin то уравнение M H = ( A − C) sin( − ) sin S ABC + (B − C) + d ( ) + C a sin b sin ( s yz )2 + ( s zx )2 + ( s xy )2 определяет линию на цилиндре. 102 РАЗДЕЛ 5. КОНСТРУИРОВАНИЕ КРИВЫХ ПО ЗАДАННЫМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ АЛГОРИТМАМ При конструировании криволинейных геометрических объектов основополагающую роль играют кривые линии или их дуги. Кривая единой формы может иметь различные точечные уравнения в зависимости от геометрического алгоритма ее построения и выбора параметра для определения ее текущей точки. Многообразие задания одной и той же кривой играет очень важную роль при конструировании геометрических объектов, явлений и процессов. Отношение сторон тригонометрические в прямоугольном функции. При треугольнике определяют параллельном проецировании прямоугольный треугольник не сохраняет прямого угла, но отношение сторон треугольника геометрических может объектов. быть Введем полезным понятие при конструировании отношения сторон ориентированного треугольника. 5.1. ОБОБЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Рассмотрим симплекс CAB с начальной точкой C и отношение сторон треугольника, определяющее этот симплекс (рис. 5.1). Рисунок 5.1. Отношение сторон в симплексе CAB 103 В прямоугольном треугольнике ( = + ) = 90 ) отношение сторон обозначается: QM sin QM CQ = = tg . = sin , = cos , CQ cos MC MC Определение. Для произвольного треугольника отношение сторон обозначим: MQ AC , QM sin QM CQ = = tg . = sin , = cos , CQ cos MC MC Определим значения обобщенных тригонометрических функций через параметры симплекса. Из теоремы синусов для треугольника, следует: QM sin sin = = sin = ; MC sin( − ) sin CQ sin( − ) sin( − ) = = cos = ; MC sin( − ) sin QM sin sin . = = tg = CQ cos sin( − ) С другой стороны, учитывая, что QM = bq, QC = ap, MC = b2q 2 + a 2 p 2 + 2abpq cos , имеем: sin bq = 2 2 , 2 2 sin b q + a p + 2abpq cos sin( − ) ap cos = =− 2 2 , 2 2 sin b q + a p + 2abpq cos sin = tg = sin bq =− . sin( − ) ap 5.2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 1. В симплексе CAB точки C, P, M , Q образуют параллелограмм (рис. 5.2). Определить точечное уравнение кривой M . 104 Рисунок 5.2. Геометрическая схема определения точечного уравнения кривой M Измеряем отрезок CP единицей измерения CA : p= CP P − C = → P = ( A − C ) p + C. CA A − C Измеряем отрезок CQ единицей измерения СВ: q= CQ Q − C = → Q = ( B − C )q + C . CB B − C С помощью параметра t организуем согласованное движение точек P и Q по сторонам CA и CB симплекса CAB : p = p(t ), q = q(t ) . Находим четвертую вершину M параллелограмма QCPM : M = ( A − C ) p(t ) + ( B − C )q(t ) + C. Утверждение. Точечное уравнение плоской кривой M = ( A − C ) p(t ) + ( B − C )q(t ) + C определяется как четвертая вершина параллелограмма QCPM , где P = ( A − C ) p(t ) + C и Q = ( B − C )q(t ) + C – параллельные проекции кривой M на стороны CA и CB соответственно в направлении BC и AC . Напоминаем. Это точечное уравнение покоординатных параметрических уравнений. 105 равносильно системе Согласование движений точек P и Q может быть различным, оно определяется графическим алгоритмом построения кривой. 2. Длина диагонали CM = = const параллелограмма QCPM определяет окружность с центром C и радиусом . Определить уравнение этой окружности. Определим зависимость между параметрами p и q : 2 = (CM )2 = (M − C )2 = ( A − C ) p + ( B − C )q = b2 p 2 + a 2q 2 + 2CAB pq. 2 Утверждение. Система M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C b2 p 2 + a 2q 2 + 2CAB pq = 2 и точечного неявного определяют уравнения числового окружность уравнения пространства, в котором заданы вершины A, B, C симплекса CAB . Неявные уравнения затрудняют переход к вычислительным алгоритмам и нежелательны в точечных алгоритмах решаемых задач. Из квадратного уравнения с неизвестным параметром q , имеем: −CAB p (CAB )2 p 2 − a 2 (b2 p 2 − 2 ) . q= a2 Утверждение. Уравнение окружности с центром C и радиусом имеет вид: −CAB p (CAB )2 p 2 − a 2 (b2 p 2 − 2 ) M = ( A − C) p + (B − C) +C , a2 где p = CP a . 2 2 C 2 CA a b − ( AB ) При выборе знака «+» имеем полуокружность по одну сторону с B от CA , при знаке « − » имеем оставшуюся полуокружность. 3. Длина диагонали CM = = const параллелограмма QCPM определяет окружность с центром C и радиусом (рис. 5.3). В качестве параметра выбрать угол . 106 Рисунок 5.3. Геометрическая схема определения окружности с центром C , радиусом и угловым параметром Используя обобщенные тригонометрические функции, имеем: CP = cos → p = cos b , CQ = sin → q = sin a . Переходим к обычным тригонометрическим функциям: p= cos b = sin sin sin( − ) , q= = . b sin a a sin Утверждение. Уравнение окружности с центром C и радиусом имеет вид: M = ( A − C) sin( − ) sin + (B − C) +C, b sin a sin где 0 2 . 4. Длина диагонали CM = = const прямоугольника QCPM определяет окружность с центром C и радиусом . В качестве параметра выбрать угол . В предыдущем уравнении окружности принимаем = 2 , получим: Утверждение. Уравнение окружности с центром C и радиусом в прямоугольном симплексе CAB имеет вид: M = ( A − C) cos b + (B − C) где 0 2 . 107 sin a +C, 5. В симплексе CAB задать точечное уравнение окружности с центром C0 = ( A − C ) p0 + ( B − C )q0 + C , и радиусом = C0 M . Зададим окружность N с центром C и радиусом (рис.5.4): N = ( A − C) cos b + (B − C) sin a +C. Рисунок 5.4. Геометрическая схема определения окружности с центром C0 и радиусом Определим четвертую вершину параллелограмма NCC0 M : M = N + C0 − C . Утверждение. Уравнение окружности с центром C0 ( p0 , q0 ) , радиусом , в симплексе CAB имеет вид: M = N + C0 − C = N = ( A − C ) cos + bp0 b + (B − C ) sin + aq0 a +C , где 0 2 . 6. В симплексе CAB задать уравнение окружности, с диаметром A1 A2 , где A1 ( p1, q1 ) , A2 ( p2 , q2 ) (рис.5.5). 108 Рисунок 5.5. Геометрическая схема определения окружности, с диаметром A1 A2 Уравнение будем искать в виде: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C . Центр C0 делит диаметр A1 A2 пополам: C0 = A1 + A2 p + p2 q +q = ( A − C) 1 + (B − C) 1 2 + C . 2 2 2 Для окружности с диаметром A1 A2 имеем A1M ⊥ A2 M , следовательно: ( M − A1 )( M − A2 ) = 0 → → ( A − C )( p − p1 ) + ( B − C )(q − q1 ) ( A − C )( p − p2 ) + ( B − C )(q − q2 ) = = b 2 ( p − p1 )( p − p2 ) + a 2 (q − q1 )(q − q2 ) + +CAB ( p − p1 )(q − q2 ) + (q − q1 )( p − p2 ) = 0. Утверждение. Уравнение окружности с центром C0 = A1 + A2 , где 2 A1 ( p1, q1 ), A2 ( p2 , q2 ) и радиусом , в симплексе CAB имеет вид системы: M = ( A − C ) p + ( B − C )q + C ; 2 2 b ( p − p1 )( p − p2 ) + a (q − q1 )(q − q2 ) + C + AB ( p − p1 )(q − q2 ) + (q − q1 )( p − p2 ) = 0. Определим уравнение этой же окружности, используя в качестве параметра MC0 A2 = . Рассмотрим один из способов решения этой задачи. Определим радиус окружности: 2 2 2 4 2 = ( A − C )( p2 − p1 ) + ( B − C )(q2 − q1) = b 2 p21 + a 2q21 + 2CAB p21q21 , 109 2 2 b2 p21 + a 2 q21 + 2CAB p21q21 , = 2 где p21 = p2 − p1, q21 = q2 − q1 . 5.3. ЗАДАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ Если функции ( t ) и ( t ) являются алгебраическими, то дугу АВ кривой будем называть алгебраической. Обратим внимание, что это понятие относится к виду точечного представления, а не к форме кривой. Так, например, один и тот же геометрический объект (например, эллипс) может определяться как алгебраическая, так и неалгебраическая кривая. 5.3.1. Плоские кривые с линейными функциями Если принять, что функции p ( t ) = at + b, q ( t ) = ct + d – линейные функции, тогда p ( t ) = a, q ( t ) = c, r ( t ) = − p ( t ) − q ( t ) = −a − c. Уравнение кривой M и ее тангенциальное отображение, принимает вид: M = ( A − C )( at + b ) + ( B − C )( ct + d ) + C , M = ( A − C ) a + bc − ad + ( B − C ) c − bc + ad + C , AB a+c a+c bc − ad + C, M BC = ( B − C ) − a bc − ad M = A − C + C. ( ) CA c (5.1) Тангенциальное отображение кривой M определяется через точки M AB , M BC и M CA , а это значит, что кривая M вырождается в прямую линию, а ее тангенциальное отображение представляет собой точки пересечения этой прямой со сторонами АВ, ВС и СА треугольника симплекса АВС. 110 Утверждение. Точечное уравнение кривой (5.1) с линейными функциями p ( t ) и q ( t ) определяет прямую линию со следами ad − bc a и bc − ad на сторонах ВС и СА треугольника симплекса АВС, соответственно. c 5.3.2. Плоские кривые с квадратичными функциями Пусть функции p ( t ) = a1t 2 + b1t + c1, q ( t ) = a2t 2 + b2t + c2 – квадратичные функции, тогда p ( t ) = 2a1t + b1, q ( t ) = 2a2t + b2 . Уравнение кривой M и ее тангенциальное отображение, через точку M CA , принимает вид: M = ( A − C ) ( a1t 2 + b1t + c1 ) + ( B − C ) ( a2t 2 + b2t + c2 ) + C , a2b1 − a1b2 ) t 2 − 2 ( a1c2 − a2c1 ) t + ( b2c1 − b1c2 ) ( + C. M CA = ( A − C ) 2 a t + b 2 2 Геометрический смысл ai , bi , ci неизвестен, что (5.2) затрудняет практическое применение полученной кривой. Проведем кривую (5.2) через точку A при значении t = 0 , тогда согласно свойствам кривой имеем: c1 = 1, c2 = 0 . При этом уравнение кривой принимает вид: M = ( A − C ) ( a1t 2 + b1t + 1) + ( B − C ) t ( a2t + b2 ) + C , a2b1 − a1b2 ) t 2 + 2a2t + b2 ( + C. M CA = ( A − C ) 2a2t + b2 (5.3) Проведем кривую (5.3) через точку B при значении t = 1 , тогда согласно свойствам кривой имеем: b1 = −a1 − 1, b2 = 1 − a2 . Уравнение кривой принимает вид: 111 a1 + b1 + 1 = 0, a2 + b2 = 1, откуда M = ( A − C ) ( a1t 2 − ( a1 + 1) t + 1) + ( B − C ) t ( a2t − a2 + 1) + C , − ( a2 + a1 ) t 2 + 2a2t + 1 − a2 + C. M CA = ( A − C ) 2 a t + 1 − a 2 2 (5.4) Проведем кривую (5.4) через точку C при значении t = tC , тогда имеем: a1 ( tC2 − tC ) = tC − 1 a1 = Окончательно, tC − 1 t , a2 ( tC2 − tC ) = −tC a2 = − 2 C . 2 tC − tC tC − tC уравнение кривой, проходящей через вершины симплекса АВС, принимает вид: t 2 − ( tC + 1) t + tC t −t + ( B − C )t C + C, M = ( A − C ) t t − 1 C C 2 ( t − tC ) + C. M = A − C ( ) CA tC ( tC − 2t ) (5.5) В общей форме: t 2 − ( tC + 1) t + tC t (t − t ) t ( t − 1) +B C +C , M = A t t − 1 t t − 1 ( ) C C C C M = A 2t − tC − 1 + B tC − 2t + C 2t − 1 . tC tC − 1 tC ( tC − 1) (5.6) Исследуем полученную кривую (5.6), проходящую через точку A при t = 0 , через точку при t = 1 и через точку C при t = tC . Из тангенциального отображения кривой M CA системы (5.5) следует, что при значении t = tC 2 кривая имеет касательную, параллельную CA . Подставляя это значение в уравнение кривой, получим точку, в которой происходит такое касание: M CA = ( A − C ) 2 − tC tC2 + (B − C) + C. 4 4 ( tC − 1) (5.7) Аналогично, из тангенциального отображения кривой M AB и M BC системы следует, что при значениях t = 1 2 и t= 1 + tC 2 кривая имеет касательные, параллельные сторонам АВ и ВС треугольника симплекса АВС. 112 Подставляя полученные значения t в уравнение кривой (5.5), получим точки, в которых происходит касание: M AB = ( A − C ) M BC = ( A − C ) 2tC − 1 2t − 1 + (B − C) C + C. 4tC 4 ( tC − 1) ( tC − 1)(1 − tC ) + 4tC (B − C) 1 + tC + C. 4 (5.8) (5.9) Полученные точки M CA , M AB и M BC на кривой M , являются точками экстремума относительно сторон СА, АВ и ВС треугольника симплекса АВС, соответственно. 5.4. ЗАДАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Кривые второго порядка занимают особое место в науке и технике. Оптические свойства этих кривых широко используются в светотехнике, акустике, электродинамике. Упомянутые свойства являются достоинством этих кривых, определяющих их выбор при формировании геометрии поверхностей в области строительства. Небесные тела вселенной имеют орбиты, приближенные к одной из кривых второго порядка. Инженерная практика показывает, что при задании поверхностей различных сооружений активно используются кривые второго порядка. Простановка размеров на чертежах таких сооружений осуществляется с учетом способа их возведения, а на отдельных их элементах – с учетом заводского способа изготовления. Математически, различным способам простановки размеров объекта соответствуют различные способы его параметризации. Возникает задача задания кривых второго порядка в различных параметризациях. Основными кривыми второго порядка, рассматриваемыми подразделе, являются: эллипс (окружность), гипербола и парабола. 113 в 5.4.1. Задание эллипса в различных параметризациях Вне зависимости от системы координат, как известно, эллипс определяется как геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (рис. 5.6) есть постоянное число 2а : F1M + F2 M = 2a, (5.10) где F1 и F2 – фокусы эллипса, расстояние между которыми обозначается через 2с и называется фокусным расстоянием; M – текущая точка эллипса; а – большая полуось эллипса CA2 . Рисунок 5.6. Определение эллипса в симплексе A2 B2С Точка С – середина отрезка F1F2 , соединяющего фокусы, называется центром эллипса, а вся прямая F1F2 называется его фокальной или первой осью. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к фокальной оси, называется второй (малой) осью эллипса. Точки A1, A2 , B1, B2 , пересечения эллипса с его осями, называются вершинами эллипса. Для эллипса известны соотношения: c = a 2 − b2 , где b − малая полуось эллипса и определяется как CB2 . 114 (5.11) Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и определяется выражением: e= c 1. a (5.12) Фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус параллельно малой оси): b2 p= . a (5.13) При заданном центре С и двух вершинах А и В эллипса (определяющих полуоси эллипса) в симплексе этих точек при BCA = 90 (рис. 5.7) справедливы точечные соотношения: F1 = ( A − C ) e + C , F2 = − ( A − C ) e + C , F1 + F2 = 2C , a = CA = C b = CB = C AA BB (5.14) = ( A − C ) = ( B − C ) . 2 , 2 Рисунок 5.7. Эллипс в симплексе CAB Точечное уравнение эллипса (окружности) может принимать различные формы в зависимости от выбора параметра, определяющего его текущую точку М. Каждая параметризация имеет свой класс задач, которые проще решаются именно при данной параметризации. Это требует поиска различных способов задания уравнения эллипса в ТИ. Рассмотрим несколько 115 основных графических способов построения эллипса, по которым зададим точечные уравнения кривой в различных параметризациях. 5.4.1.1. Эллипс с текущим параметром центрального угла Задача. Определить точечное уравнение эллипса с текущим параметром центрального угла (рис. 5.8). Рисунок 5.8. Задание эллипса через определение кривой Решение. По теореме косинусов, имеем: F1M = c 2 + 2 − 2c cos. 2 (5.15) Согласно определению эллипса (5.10), получим: ( 2a − F M ) 1 2 = c 2 + 2 + 2c cos. (5.16) Вычитая из (5.16) выражение (5.15), получим: 4a ( a − F1M ) = 4c cos , (5.17) Отсюда определяем F1M : a 2 − c cos F1M = . a Далее, подставляя F1M (5.18) из выражения (5.18) в (5.15), после преобразований, находим: = ab a 2sin 2 + b2cos 2 116 . (5.19) Используя полярную параметризацию плоскости, получим искомое точечное уравнение эллипса с текущим параметром угла и вершиной в центре эллипса: M= ( A − C ) bcos + ( B − C ) asin + C , a sin + b cos 2 2 2 2 (5.20) где 0; 2 – центральный угол эллипса, определяющий текущую точку M эллипса при полном обходе линии кривой. Задача. Определить точечное уравнение эллипса, ось которого расположена под углом к прямой общего положения. Решение. В плоскости CAB построим эллипс с центром C , осями CP = m , CQ = n . Большая ось CP образует с прямой AB угол (рис. 5.9). Рисунок 5.9. Построение эллипса под углом к прямой общего положения Для решения поставленной задачи необходимо определить по заданным условиям точки P и Q, а затем применить уравнение эллипса (5.20): M= ( P − C ) n cos + ( Q − C ) m sin + C . m2 sin 2 + n2 cos 2 117 Приступим к определению точки P . Из треугольника CAB определим: AK b CK b sin b sin = = → AK = → CK = → sin sin sin sin sin b sin b sin → K = ( A − C )(1 − ) + (B − C) + C. c sin c sin где 0 , = − − . После преобразований, точка К имеет вид: K = ( A − C) sin − b sin( + ) b sin( + ) + (B − C) +C, c sin c sin где − − − . Далее имеем: P = (K − C) m m sin m sin( + ) m sin( + ) + C = ( A − C )( − ) + (B − C) +C . CK b sin c sin c sin Точка P определена, приступим к определению точки Q . Для ее определения применим следующий геометрический алгоритм: 1. Повернем CA на в плоскости CAB , фиксируя A . 2. На прямой CA фиксируем CQ = n . Для второго пункта используем точечную формулу поворота на угол = + 2 = 3 − − в направлении точки B : 2 A= A= ( A − C ) s ABC + ( B − C ) s AAC s ABC + C, (C − A)a cos( + + ) + (C − B)b cos( + ) + C, a sin где sCAA = b2 sin = −b2 cos( + ) , sCAB = ab sin( − ) = ab cos( + + ) , , , – углы заданного треугольника ABC . 3. Определим точку Q : n Q = ( A − C) + C . b 118 Все точечные формулы получены, а это означает, что задача точечным исчислением решена. Представлять уравнение искомого эллипса единым точечным уравнением из-за его громоздкости и неудобства практического использования не имеет смысла. Удобнее задать его точечный алгоритм, который можно перевести в вычислительный компьютерный алгоритм. Точечный вычислительный алгоритм построения эллипса, ось которого расположена под углом к прямой общего положения 1. Исходные данные – A, B, C , , m, n . 2. P = ( A − C ) 3. Q = m sin sin( + ) m sin( + ) ( − ) + (B − C) +C. sin b c c sin n ( A − C )a cos( + + ) + (C − B)b cos( + ) +C, b a sin где , , – углы треугольника ABC . 4. M = ( P − C ) n cos + (Q − C ) m sin m2 sin 2 + n 2 cos2 +C , где 0 2 . В решении этой задачи использованы: специальные уравнения эллипса и прямой; метрический оператор для откладывания длин и углов; формула поворота на 90 . Эта задача приведена для того, чтобы продемонстрировать некоторые особенности ТИ: 1. МАТИ дает возможность решать задачи, для которых известен геометрический алгоритм их решения. 2. Для работы с этим аппаратом необходима специальная подготовка. 3. ТИ должно содержать точечные аналоги геометрических операций. 4. Для ТИ кривые должны задаваться специальными точечными уравнениями. 119 5. В сложных геометрических алгоритмах рациональнее подавать ответ точечным вычислительный алгоритмом решения задачи, а не единым громоздким уравнением, тем более что если в точечном уравнении нельзя исключить вспомогательные точки, то решение задачи нельзя представить уравнением. Из последнего пункта следует, что ТИ дает решение задачи (расчет точек кривой) и в том случае, когда кривую, заданную графическим алгоритмом, нельзя представить единым уравнением. Таблица 5.1. Эллипс в плоскости общего положения с различным углом наклона большей оси эллипса к прямой общего положения Значение угла Графическая интерпретация =0 = = 4 2 120 = 3 4 = В таблице синим треугольником показан заданный симплекс CAB . 5.4.1.2. Эллипс с текущим параметром центрального радиуса Задача. Получить точечное уравнение эллипса с текущим параметром центрального радиуса. Решение. Из ранее полученного соотношения (5.19) определим sin = x , тогда получим: 2 a 2 x2 + b2 (1 − x 2 ) = a 2b2 . (5.21) После преобразования (5.21), имеем: x = sin = 2 2 b2 ( a 2 − 2 ) 2 ( a 2 − b2 ) (5.22) . Далее, с учетом (5.22), определим: cos = 1 − 2 b2 ( a 2 − 2 ) 2 ( a 2 − b2 ) = a 2 ( 2 − b2 ) 2 ( a 2 − b2 ) . (5.23) После преобразования (5.20), с учетом (5.22) и (5.23), получим точечное уравнение эллипса с текущим параметром радиуса (рис. 5.8): M = ( A − C) 2 − b2 a 2 − b2 + (B − C) 121 a2 − 2 a 2 − b2 + C, (5.24) где b; a – центральный радиус эллипса, определяющий текущую точку M эллипса при обходе первой четверти кривой. Очевидно, что при изменении знака перед дробями в уравнении эллипса (5.24) с «+» на «–», получим уравнение эллипса в остальных трех четвертях. 5.4.1.3. Эллипс с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой Задача. Определить точечное уравнение эллипса с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой (рис. 5.10). Рисунок 5.10. Геометрическая схема определения эллипса с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой Решение. Из аналитической геометрии известно полярное уравнение эллипса: = F2 M = где p = e= p , 1 − ecos b2 – фокальный параметр эллипса; a c 1 – эксцентриситет кривой; a 0; 2 – угол с вершиной в фокусе эллипса, определяющий текущую точку M эллипса при полном обходе линии кривой. 122 Используя полярную параметризацию плоскости, зададим точечное уравнение эллипса, в симплексе точек ABF2 , через параметр угла (рис. 5.10): M = ( A − F2 ) apsin ( arccose − ) psin + ( B − F2 ) +F. (1 − ecos )( ab + cb ) (1 − ecos ) b 2 (5.25) После преобразования (5.25), получим точечное уравнение эллипса в симплексе точек ABF2 : M = ( A − F2 ) b ( bcos − csin ) bsin + ( B − F2 ) + F2 . a (1 − ecos )( a + c ) a (1 − ecos ) (5.26) После подстановки выражения фокуса F2 из (5.14) в (5.26), при заданном центре С и двух вершинах А и В эллипса в симплексе этих точек, при BCA = 90 (рис. 5.10), точечное уравнение эллипса примет вид: M = ( A − C) acos − a 2 − b2 a − a 2 − b2 cos + (B − C) bsin a − a 2 − b 2 cos + C, (5.27) где 0; 2 – угол с вершиной в фокусе эллипса, определяющий текущую точку M эллипса при полном обходе линии кривой. 5.4.1.4. Эллипс, полученный сжатием окружности к одному из ее диаметров Используя полярную параметризацию плоскости, зададим точечное уравнение окружности в симплексе точек АВС при BCA = 90 через параметр угла (рис. 5.11). 123 Рисунок 5.11. Геометрическая схема определения эллипса сжатием окружности Пусть радиус окружности CA = a и соответствует большой полуоси эллипса, тогда CB = b и соответствует малой полуоси эллипса, тогда: a P = ( A − C ) cos + ( B − C ) sin + C. b (5.28) Проведем из центра окружности произвольный луч, пересекающий эту окружность в точке P . Рассмотрим прямоугольный треугольник CQP : cos = CQ CQ = , CP CA (5.29) Тогда основание высоты треугольника PQ определяется: Q = ( A − C ) cos + C. (5.30) Определим текущую точку M эллипса, введя коэффициент сжатия: k= QM CN b = = . QP CP a (5.31) Применив выражение (5.31), получим: b M = ( P − Q ) + Q. a (5.32) Подставив выражения точек P и Q в выражение (5.32), получим точечное уравнение эллипса, построенного как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров, в симплексе точек АВС через параметр угла сжатия : 124 M = ( A − C ) cos + ( B − C ) sin + C, (5.33) где 0; 2 – угол сжатия (растяжения), определяющий текущую точку M эллипса при полном обходе линии кривой. Обратим внимание, что параметр в полученном уравнении эллипса относится к окружности радиуса а, которая сжимается в одном из направлений до малой полуоси b эллипса. В уравнении эллипса (5.33) полуоси не принимают участие, так как они определены точками A , B и C ( CA = a , CB = b ). 5.4.1.5. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант первый) Пусть заданы центр С эллипса и две его вершины А и В (определяющие половины сопряженных диаметров) в симплексе этих точек при произвольном значении BCA (рис. 5.12). Рисунок 5.12. Задание эллипса по паре сопряженных диаметров (вариант первый) Согласно графическому способу построения эллипса, введем одинаковый текущий параметр по сопряженным диаметрам эллипса для определения текущей точки М эллипса: t= CP NQ = . CB NB Откуда, получим точечные выражения: 125 (5.34) P = ( B − C )t + C, Q = ( B − N )t + N. (5.35) Учитывая, что N = A + B − C согласно правилу параллелограмма, имеем: Q = ( C − A ) t + A + B − C. (5.36) После преобразования (5.36), получим: Q = A(1 − t ) + B + C ( t − 1). (5.37) Вторая вершина эллипса, на большем сопряженном диаметре, определяется в виде: K = 2C − A. Введем дополнительный текущий параметр v для определения текущей точки M луча КР: M = ( P − K ) v + K. (5.38) Подставив выражения точек P и K в выражение (5.38), получим точечное уравнение луча КР: M = ( B − C ) t − C + A v + 2C − A. (5.39) Текущая точка M эллипса определяется как точка пересечения луча КР и отрезка QА, входящих в состав двух пучков. Для определения точки пересечения луча и отрезка, применим S-теорему ТИ: 1 0 0 1− t 1 t −1 v − 1 vt = 0, 2 − v − vt откуда получим: 2 − v − vt − vt ( t − 1) = 0. После преобразования, имеем: v= 2 . 1+ t2 126 (5.40) После подстановки выражения параметра v в выражение (5.40), точечное уравнение эллипса, построенного по паре сопряженных диаметров (вариант первый), примет вид: 1− t2 2t M = ( A − C) + (B − C) + C, 2 1+ t 1+ t2 (5.41) где t 0; 1 – параметр уравнения эллипса (отношение), определяющий текущую точку M эллипса при обходе четверти кривой. Очевидно, что при очередном (соответствующем) изменении знака перед дробями в уравнении эллипса (5.41) с «+» на «–», получим уравнение эллипса в остальных трех четвертях. Обратим внимание, что два сопряженных и перпендикулярных диаметра эллипса (при BCA = 90 , т.е. взаимно- C AB =0) называются его осями, а точки А и В – его вершинами. Следовательно, выбирая точку С за центр эллипса с BCA = 90 , получим еще одно уравнение эллипса, построенного по паре сопряженных диаметров, при заданных вершинах и центре эллипса. 5.4.1.6. Эллипс, построенный по паре сопряженных диаметров (вариант второй) Согласно графическому способу построения эллипса, представленному в работе, для построения эллипса должны быть даны (рис. 5.13): диаметр КА эллипса, направление касательных в концах этого диаметра, через отрезок BC (определяет направление второго сопряженного диаметра) и третья точка В, принадлежащая эллипсу. 127 Рисунок 5.13. Задание эллипса по паре сопряженных диаметров (вариант второй) В симплексе заданных точек АВК, зададим направление второго сопряженного диаметра через параметр: = KC . KA Тогда, получим выражение точки С, которая в паре с точкой В определяет направление второго сопряженного диаметра: C = ( A − K ) + K. Проведем луч NL параллельно второму сопряженному диаметру до пересечения с лучом КВ и отрезком ВА. Для этого введем текущий параметр, определяющий начало луча NL, а в дальнейшем и текущую точку М эллипса: t= KN . KA (5.42) После преобразования (5.42), получим: N = ( A − K )t + K. Рассмотрим параллелограмм CNLB. Согласно правилу параллелограмма, L = B + N − C . Тогда имеем: L = ( A − K )( t − ) + B. Точечное уравнение луча NL имеет вид: P = ( L − N )v + N, где v – параметр, определяющий текущую точку луча NL. 128 (5.43) После преобразования выражения (5.43), путем подстановки выражений точек N и L, получим: P = ( A − K )( t − v ) + ( B − K ) v + K . (5.44) Определим точку пересечения луча NL с отрезком ВА. По S-теореме для ABP, имеем: 1 0 1 0 1 1 = 0, t − v v 1 откуда, получим: 1 − v − t + v = 0. (5.45) После преобразования (5.45), имеем: v= t −1 . −1 Подставив выражение параметра v в выражение (5.44), получим точку пересечения луча NL с отрезком ВА: P =(A− K) t − 1− t + (B − K ) + K. 1− 1− (5.46) Определим точку пересечения луча NL с лучом КВ. Q = ( B − K ) v + K. (5.47) По S-теореме ТИ для BKQ, имеем: 0 1 1 0 0 1 = 0, t − v v 1 откуда, получим: t − v = 0. (5.48) После преобразования (5.48), имеем: v= t . После подстановки выражения параметра v в выражение (5.47), получим точку пересечения луча NL с лучом КВ: 129 Q = (B − K ) t + K. Согласно графическому способу построения эллипса, текущая точка M эллипса определяется как точка пересечения луча KP с отрезком QA. Точечное уравнение луча KP имеет вид: M = ( P − K )u + K , (5.49) где u – параметр, определяющий текущую точку M луча KP. После преобразования выражения (5.49), путем подстановки выражения точки P, получим: M =(A− K) (t − ) u + 1− (B − K ) (1 − t ) u + K . (5.50) 1− Определим точку пересечения луча KP с отрезком QA. По S-теореме для AQM, имеем: 1 0 0 1 t 1 = 0, ( t − ) u (1 − t ) u 1− 1− 1 откуда, получим: u= t (1 − ) . t − 2t + 2 После подстановки выражения параметра u в выражение (5.50), точечное уравнение эллипса, построенного по паре сопряженных диаметров (вариант второй), примет вид: M = ( A − K )t где t 0; 1 (t − ) t 2 − 2t + + ( B − K )t (1 − t ) t 2 − 2t + + K, – текущий параметр уравнения эллипса (отношение), определяющий текущую точку М эллипса при обходе линии кривой в двух верхних четвертях. Текущая точка М эллипса в двух нижних четвертях определяется через центр кривой; 130 − параметр, определяющий направление одного из сопряженных диаметров эллипса. Обратим внимание, что два сопряженных и перпендикулярных диаметра эллипса (при BCA = 90 , т.е. взаимно- C AB =0) называются его осями, а точки А и В – его вершинами. Следовательно, выбирая точку С за центр эллипса с BCA = 90 , получим еще одно уравнение эллипса, построенного по паре сопряженных диаметров, при заданных вершинах и центре эллипса. 5.4.2. Задание гиперболы в различных параметризациях Вне зависимости от системы координат, гипербола определяется как геометрическое место точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2 есть положительное постоянное число 2а : F2 M − F1M = 2a, (5.51) где F1 и F2 – фокусы гиперболы, расстояние между которыми обозначается через 2с и называется фокусным расстоянием (рис. 5.14); M – текущая точка гиперболы; а – первая полуось гиперболы CA . Рисунок 5.14. Определение гиперболы в симплексе САВ 131 Точка C – середина отрезка F1F2 (рис. 5.14), соединяющего фокусы, называется центром гиперболы, а вся прямая F1F2 называется ее фокальной или первой (действительной) осью. Прямая, проходящая через центр гиперболы перпендикулярно к фокальной оси, называется второй (мнимой) осью. Точка А, пересечения гиперболы с ее действительной осью, называется вершиной гиперболы. Для гиперболы известны такие соотношения: c = a 2 + b2 , где b − мнимая полуось гиперболы и определяется как CB . Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и определяется выражением: e= c 1. a Фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус параллельно мнимой оси): b2 p= . a При заданном центре C , вершине A гиперболы и точке В (определяющих полуоси гиперболы – основной прямоугольник кривой) в симплексе этих точек при BCA = 90 (рис. 5.14) справедливы такие точечные соотношения: F1 = ( A − C ) e + C , F2 = − ( A − C ) e + C , F1 + F2 = 2C , a = CA = C b = CB = C AA BB (5.52) = ( A − C ) = ( B − C ) . 2 , 2 Точечное уравнение гиперболы может принимать различные формы в зависимости от выбора параметра, определяющего ее текущую точку М. Каждая параметризация имеет свой класс задач, которые проще решаются 132 именно при данной параметризации. Это требует поиска различных способов задания точечного уравнения гиперболы в ТИ. Рассмотрим основной графический способ построения гиперболы, который вытекает из определения, по которому зададим точечные уравнения кривой в различных параметризациях. 5.4.2.1. Гипербола с текущим параметром центрального угла Задача. Определить точечное уравнение гиперболы с текущим параметром центрального угла (рис. 5.15). Рисунок 5.15. Задание гиперболы через определение кривой Решение. По теореме косинусов, имеем: F1M = c 2 + 2 − 2c cos. 2 (5.53) Согласно определению гиперболы (5.51), получим: ( 2a + F M ) 1 2 = c 2 + 2 + 2c cos. (5.54) Вычитая из (5.54) выражение (5.53), получим: 4a ( a + F1M ) = 4c cos , (5.55) c cos − a 2 F1M = . a (5.56) откуда, имеем: Далее, после подстановки выражения (5.56) в (5.53) и преобразований, находим: 133 = ab b cos − a sin 2 2 2 2 (5.57) . Используя полярную параметризацию плоскости, получим точечное уравнение гиперболы с текущим параметром угла с вершиной в центре кривой: M= где ( A − C ) bcos + ( B − C ) asin + C , (5.58) b2cos 2 − a 2sin 2 b b b b 0; arcsin − arcsin ; + arcsin 2 − arcsin ; 2 c c c c – центральный угол гиперболы, определяющий текущую точку M гиперболы при полном обходе линии кривой. 5.4.2.2. Гипербола с текущим параметром центрального радиуса Задача. Определить точечное уравнение гиперболы с текущим параметром центрального радиуса. Решение. Из ранее полученного соотношения (5.57) определим sin = x , тогда получим: 2 b2 (1 − x2 ) − a 2 x 2 = a 2b2 . (5.59) После преобразования (5.59), получим: x = sin = 2 2 b2 ( 2 − a 2 ) 2 ( a 2 + b2 ) (5.60) . Далее, с учетом (5.60), определим: cos = 1 − 2 b2 ( 2 − a 2 ) 2 ( a 2 + b2 ) = a 2 ( 2 + b2 ) 2 ( a 2 + b2 ) . (5.61) После преобразования (5.58), с учетом (5.60) и (5.61), получим точечное уравнение гиперболы с текущим параметром радиуса (рис. 5.15): 134 A − C ) 2 + b2 ( B − C ) 2 − a 2 ( M= + a 2 + b2 a 2 + b2 + C, (5.62) где b; a – центральный радиус гиперболы, определяющий текущую точку М гиперболы при обходе первой четверти кривой. Очевидно, что при изменении знака перед дробями в уравнении гиперболы (5.62) с «+» на «–», получим уравнение гиперболы в остальных трех четвертях. 5.4.2.3. Гипербола с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой Задача. Определить точечное уравнение гиперболы с текущим параметром угла с вершиной в фокусе кривой. Решение. Из аналитической геометрии известно полярное уравнение гиперболы: = F1M = p , 1 − ecos b2 где p = – фокальный параметр гиперболы (рис. 5.16); a e= c 1 – эксцентриситет кривой; a b b 0; arcsin 2 − arcsin ; 2 – угол с вершиной в фокусе c c гиперболы, определяющий текущую точку M правой ветви кривой. 135 Рисунок 5.16. Геометрическая схема задания гиперболы через определение кривой Используя полярную параметризацию плоскости, зададим точечное уравнение гиперболы в симплексе точек ABF1 через параметр угла (рис. 5.16): b b 2 + c 2 psin arcsin − b2 + c2 + (1 − ecos )( cb − ab ) M = ( A − F1 ) + ( B − F1 ) b 2 + c 2 psin (1 − ecos ) b b +c 2 2 (5.63) + F1. После преобразования (5.63), точечное уравнение гиперболы в симплексе точек ABF1 примет вид: M = ( A − F1 ) b ( bcos − csin ) bsin + ( B − F1 ) + F1. a (1 − ecos )( c − a ) a (1 − ecos ) (5.64) После подстановки выражения фокуса F1 из (5.52) в (5.64), при заданном центре C , вершине A гиперболы и точке В (определяющих полуоси гиперболы – основной прямоугольник кривой), в симплексе этих точек при BCA = 90 (рис. 5.16), точечное уравнение гиперболы примет вид: M = ( A − C) a 2 + b2 − acos a − a + b cos 2 2 + (B − C) bsin a − a + b cos 2 2 + C, (5.65) b b где 0; arcsin 2 − arcsin ; 2 – угол с вершиной в фокусе c c гиперболы, определяющий текущую точку M правой ветви кривой. 136 5.4.3. Задание параболы в различных параметризациях Парабола, благодаря своим оптическим свойствам, занимает особое место в геометрическом моделировании отсеков поверхностей пространственных форм. Более того, параболические дуги являются эффективным инструментом параболической интерполяции и аппроксимации многофакторных процессов и явлений. Раскрыть особые возможности параболы можно благодаря использованию точечных алгоритмов их формообразования в плоскости общего положения. 5.4.3.1. Задание параболы, как кривой одного отношения Рассмотрим известный алгоритм построения параболы, как кривой одного отношения, по двухзвенной ломаной Бернштейна A1 A2 A3 . На звеньях A1 A3 и A2 A3 выберем точки B1 и B2 однозвенной ломаной, на которой фиксируем текущую точку кривой М (рис. 5.17). A3 B2 M B1 A1 A2 Рисунок 5.17. Геометрическая схема определения параболы, как кривой одного отношения Так как точки B1 , B2 и М делят звенья ломаной в одном и том же отношении t , то искомая кривая − парабола, является кривой Безье. Система линейных точечных уравнений, определяющих точку М, имеет вид: 137 B1 = A1t + A3t , B2 = A3 t + A2t , M = B t + B t, 1 2 (5.66) где t = 1 − t – дополнение параметра t до 1. Исключая промежуточные точки B1 и B2 , получим уравнение M = A1t 2 + 2 A3tt + A2t 2 , (5.67) параболы: где t 0; 1 − параметр, определяющий текущую точку М кривой. Следует определенная отметить, точечным что полученная уравнением (5.67), параболическая кривая, является обвода, дугой проходящей через точки A1 , A2 , и имеющей касательные A1 A3 и A2 A3 в этих точках. 5.4.3.2. Моделирование параболической дуги кривой 2-го порядка с несобственной точкой Известно, что парабола 2-го порядка однозначно определяется четырьмя точками, три из которых непосредственно принадлежат параболе, а четвёртая определяет направление ветвей параболы и является несобственной. Определим дугу параболы в симплексе ABC . В соответствии с геометрической схемой (рис. 5.18), дуга параболы будет проходить через точки A, C , C, B . Точка C является несобственной и определяет направление ветвей параболы. 138 N K C M C A T TC B Рисунок 5.18. Геометрическая схема конструирования дуги параболы 2-го порядка Несобственную точку C определим как направление прямой CTC : TC = ( B − A)tC + A. В соответствии с геометрической схемой (рис. 5.18) прямые AK и TC C параллельны. Тогда треугольники ABK и BCTC аффинно-равны и образуют соответствующие соотношения: tC = TC A CK C−K −t 1 = → = tC → K = B C + C , BA BK B−K tC tC где tC = 1 − tC . В качестве текущего параметра принимаем параметр t , который определяется следующим соотношением: t= TA T−A → = t → T = ( B − A)t + A. BA B−A Согласно геометрической схеме (рис. 5.18) прямые KTC и TN параллельны. Учитывая, что треугольники AKTC и ATN аффинно-равны, получим следующие соотношения: KTC TC A = . NT TA Из соотношения (5.68) определим точку N : 139 (5.68) K − TC TC − A = → N −T T−A ( K − TC )(T − A) →N = + T. TC − A (5.69) Подставляем значения точек K , T и TC в уравнение (5.69) и после некоторых преобразований, получим уравнение точки N : N=A (tC − t ) −t t + B +C . tC tC tC tC Учитывая особые условие принадлежности точки N к плоскости ABC , получим: N = ( A − C) (tC − t ) −t + ( B − C ) + C. tC tC Аналогичным образом из подобия треугольников ABN и BTM , получим следующее соотношение: TB MB = . AB NB (5.70) Подставляем значения точек N , T в соотношение (5.70) и после некоторых преобразований, получим уравнение точки M : Утверждение. Дуга параболы 2-го порядка, которая определяется точками A, C , C, B , описывается уравнением: M=A t (tC − t ) t (t − tC ) tt +B +C = tC tC tC tC t (t − t ) t (t − tC ) = ( A − C) C + (B − C) + C. tC tC (5.71) где A, C, B – точки, через которые проходит дуга параболы; 0 t 1 – текущий параметр, который определяет дугу параболы; t = 1 − t – дополнение параметра t до единицы; tC – значение параметра, который определяет несобственную точку дуги параболы; tC = 1 − tC – дополнение параметра tC до единицы. 140 Представим уравнение (5.71) в параметрическом виде. Тогда для трёхмерного пространства, получим систему параметрических уравнений: t (tC − t ) t (t − tC ) + ( xB − xC ) + xC , xM = ( x A − xC ) t t C C t (tC − t ) t (t − tC ) + ( yB − yC ) + yC , yM = ( y A − yC ) t t C C t (t − t ) t (t − tC ) + ( z B − zC ) + zC . zM = ( z A − zC ) C tC tC Для практического использования полученное уравнение можно 1 упростить, если принять параметр tC = . Это позволяет наилучшим образом 2 приспособить точку C к дискретной выпуклости. Тогда уравнение (5.71) принимает следующий вид: M = ( A − C ) t (1 − 2t ) + ( B − C )t (2t − 1) + C. С учётом покоординатного расчёта для трёхмерного пространства, получим систему параметрических уравнений: xM = ( x A − xC ) t (1 − 2t ) + ( xC − xB )t (1 − 2t ) + xC , yM = ( y A − yC ) t (1 − 2t ) + ( yC − yB )t (1 − 2t ) + yC , z = ( z − z ) t (1 − 2t ) + ( z − z )t (1 − 2t ) + z . A C C B C M 5.4.4. Задание кривой 2-го порядка по пяти точкам Кривая 2-го порядка, в общем случае, определяется пятью точками, лежащими в одной плоскости (рис. 5.19). 141 В R E M V C UC U UE UB D A UA UD S Рисунок 5.19. Геометрический алгоритм определения кривой второго порядка по пяти точкам К трем точкам A, B и C, которые определяют плоскость кривой, добавим еще две: D = ( A − C ) pD + ( B − C ) q D + C , (5.72) E = ( A − C ) pE + ( B − C ) q E + C . Пять точек кривой второго порядка определим естественными параметрами: A(1, 0) ; B ( 0, 1) ; C ( 0, 0 ) ; D ( pD , qD ) ; E ( pE , qE ). Через точки (5.72) проходит кривая 2-го порядка, которую геометрически определяет основная теорема для рядов и пучков второго порядка. Согласно этой теореме, имеем следующие точки пересечения (рис. 5.19): S = BE AD; V = SU CB; M = UE VD; U B = BE CA; U D = CA ED; R = CB ED; (5.73) U E = RS CA. Определим уравнение точки S. Введем вспомогательный параметр t для определения прямой AD, тогда получим: N = ( D − A) t + A. 142 (5.74) После преобразования (5.74), имеем: N = ( A − C )( pD − 1) t + ( B − C ) qDt + A = (5.75) = A ( pD − 1) t + 1 + BqDt + C ( t − pDt − qDt ) . Применим S-теорему ТИ для определения точки S в ∆ ABE : ( pD − 1) t + 1 pE 0 qDt 1 ( pD − 1) t + 1 − pE qE 1 = 0 → pE 1 0 0 q Dt − q E qE 1 → ( pD − 1) t + 1 − pE = 0 → t = 0 1 =0→ 0 pE − 1 . pD − 1 Окончательно, уравнение точки S имеет вид: S = ( A − C ) pE + ( B − C ) qD ( pE − 1) + C. pD − 1 (5.76) Введем текущий параметр u для определения текущей точки М кривой второго порядка, тогда получим точку U на прямой CA (рис. 5.19): U = ( A − C ) u + C. Определим уравнение точки V. Введем вспомогательный параметр t для определения прямой SU, тогда получим: N = ( S − U )t + U. (5.77) После преобразования (5.77), имеем: N = ( A − C )( pE t − ut ) + ( B − C ) qD ( pE − 1) t + ( A − C )u + C = pD − 1 q ( p − 1) = ( A − C )( pE t − ut + u ) + ( B − C ) D E t + C. pD − 1 Применим S-теорему для определения точки V в ∆UBC : pE t − ut + u 0 0 qD ( pE − 1) t 1 pD − 1 1 0 u . 1 = 0 pE t − ut + u = 0 t = u − pE 1 Окончательно, уравнение точки V имеет вид: 143 (5.78) V = (B − C) qD ( pE − 1) u + C. ( pD − 1)( u − pE ) (5.79) Определим уравнение точки М. Введем вспомогательный параметр t для определения прямой UE, тогда получим: N = ( E − U )t + U. (5.80) После преобразования (5.80), имеем: N = ( A − C )( pEt − ut ) + ( B − C ) qEt + ( A − C ) u + C = (5.81) = ( A − C )( pEt − ut + u ) + ( B − C ) qEt + C. Применим S-теорему для определения точки М в ∆UVD : pE t − ut + u 0 1 qD 1 qD ( pE − 1) u 1 =0→ ( pD − 1)( u − pE ) pD →t = qE t qD ( pD − pE ) u ( u − 1) . ( pE − u ) qD ( pE − pD ) u + ( pD − 1)( pE qD − pD qE ) Окончательно, точечное уравнение кривой второго порядка, проходящей через пять точек, имеет вид: qD ( pD − pE ) u ( u − 1) M = ( A − C) + u + qD ( pE − pD ) u + ( pD − 1)( pE qD − pD qE ) qE qD ( pD − pE ) u ( u − 1) +(B − C) + C. ( pE − u ) qD ( pE − pD ) u + ( pD − 1)( pE qD − pD qE ) (5.82) Задача. Определить значения текущего параметра u, при которых кривая 2-го порядка проходит через каждую из пяти точек. Решение. Из геометрического (рис. 5.18), видно: 1. U C C , тогда M C u = 0 . 2. U A A , тогда M A u = 1. 3. U B = BE CA или V B : 144 алгоритма построения кривой qD ( pE − 1) u = 1. ( pD − 1)( u − pE ) После преобразования, получим: u= pE (1 − pD ) . pE qD − pD − qD + 1 4. U D = CA ED . Определим выражение точки U D . Введем вспомогательный параметр t для определения прямой ЕD, тогда получим: N = ( D − E ) t + E. (5.83) После преобразования (5.83), имеем: N = ( A − C )( pDt − pEt + pE ) + ( B − C )( qDt − qEt + qE ) + C. (5.84) Применим S-теорему для определения точки U D в ∆ DCA : pD t − pE t + p E qDt − qE t + q E 1 1 0 1 = 0 → ( qD − qE ) t + q E = 0 → t = 0 0 1 qE . qE − qD Согласно (5.84), выражение точки U D имеет вид: q ( p − pE ) UD = ( A − C ) E D + pE + C. qE − qD Тогда выражение параметра u для прохождения кривой через точку D имеет вид: u= pE ( qE − qD ) − qE ( pE − pD ) . qE − qD 5. R = CB ED; U E = RS CA. Определим выражение точки R . Введем вспомогательный параметр t для определения прямой ЕD, тогда получим: N = ( D − E ) t + E. После преобразования (5.85), имеем: N = ( A − C )( pDt − pEt + pE ) + ( B − C )( qDt − qEt + qE ) + C. Применим S-теорему для определения точки R в ∆ EBC : 145 (5.85) pD t − pE t + p E qDt − qE t + q E 1 0 1 1 = 0 → pD t − pE t + p E = 0 → t = 0 0 1 pE . pE − pD Окончательно, выражение точки R имеет вид: p ( q − qE ) R = (B − C) E D + qE + C. pE − pD Определим выражение точки U E . Введем вспомогательный параметр t для определения прямой RS, тогда получим: N = ( S − R ) t + R. (5.86) После преобразования (5.86), имеем: q ( p − 1) pE ( qD − qE ) N = ( A − C ) p E t + ( B − C ) D E − − qE t + pE − pD p D − 1 p ( q − qE ) + E D + qE + C . pE − pD (5.87) Применим S-теорему для определения точки U E в ∆ SAC : p ( q − qE ) qD ( pE − 1) pE ( qD − qE ) − − qE t + E D + qE = 0 → p − 1 p − p p − p D E D E D ( pD − 1) pE ( qE − qD ) − qE ( pE − pD ) →t = 2 . pE qD − 2 pD pE qD + pD qD − pD qE + pD2 qE Согласно (5.87), выражение точки U E имеет вид: UE = ( A − C ) pE ( pD − 1) pE ( qE − qD ) − qE ( pE − pD ) + C. pE2 qD − 2 pD pE qD + pD qD − pD qE + pD2 qE Тогда, выражение параметра u для прохождения кривой через точку E , имеет вид: u= Полученное pE ( pD − 1) pE ( qE − qD ) − qE ( pE − pD ) . pE2 qD − 2 pD pE qD + pD qD − pD qE + pD2 qE точечное уравнение (5.88) кривой (5.88) 2-го порядка, проходящей через заданные пять точек, дополняет понятие такой кривой в ТИ. 146 5.4.5. Определение дуги кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта Как известно, кривая 2-го порядка однозначно определяется пятью точками, пятью касательными или комбинациями точек и касательных. Рассмотрим алгоритм построения кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта (рис. 5.20). В данном случае дуга кривой 2-го порядка проходит через точку A и точку B , также она имеет две касательные в этих точках – AC и BC . Чтобы однозначно определить дугу кривой 2-го порядка зададим ещё одну точку K , через которую она будет проходить. Для удобства точку K будем определять отношением на медиане, которое известно в литературе под названием инженерного дискриминанта. Рисунок 5.20. Геометрическая схема определения кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта Рассмотрим геометрическиий алгоритм определения кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта. В симплексе CAB построим медиану CT1 (рис. 5.20). Определим точку K с помощью параметра k : 147 K = (T1 − C )k + C . Для определения текущей точки дуги кривой M зададим на прямой AB параметрическую точку T : T = ( B − A) t + A. (5.89) Тогда на пересечении этой прямой CT с прямыми AK и BK получим соответственно точки P и Q . Текущую точку M определим пересечением прямых AQ и BP . Переходим к аналитическому описанию приведенного выше геометрического алгоритма построения дуги кривой 2-го порядка с помощью инженерного дискриминанта. Определим текущий параметр t из точечного уравнения (5.89): t= Рассмотрим AT = −TBA → TBA = −t. AB четырехугольник KPMQ , который образует гармоническое отношение четырех точек: ABTN = ABT = −1 → ABN = − ABT . ABN Используя правила преобразования простого отношения трех точек, получим: ABT = 1 1 1 1 t t =− =− =− = = → 1 1 1− t t BAT 1 + BTA 1+ 1+ TBA −t t t t → ABN = − → N = A −B . t 1 − 2t 1 − 2t Определим точку K в симплексе CAB : k k A+ B K = − C k + C = ( A − C ) + ( B − C ) + C. 2 2 2 Определим точку P пересечением прямых AK и CT . Откуда имеем: P = Cu + Tu = At u + Btu + Cu Площадь треугольника APK должна равняться нулю. В соответствии с S -теоремой ТИ, получим: 148 1 0 0 tu tu u = 0. k 2 k 2 k После некоторых преобразований получим уравнение точки P : P=A tk tk 2tk +B +C . 2tk + k 2tk + k 2tk + k Аналогичным образом определим точку M , как результат пересечения прямых KN и BP : M = Ku + Nu = A ku − 2tku + 2tu ku − 2tku − 2tu +B + Cku . 2 − 4t 2 − 4t Площадь треугольника BMP должна равняться нулю. В соответствии с S -теоремой ТИ, получим: 0 1 ku − 2tku + 2 tu 2 − 4t tk 2tk + k ku − 2tku + 2tu 2 − 4t tk 2tk + k 0 ku = 0. 2tk 2tk + k Окончательное уравнение дуги кривой второго порядка имеет вид: kt 2 kt 2 M = ( A − C) + (B − C) + C. k (1 − 2t )2 + 2tt k (1 − 2t ) 2 + 2tt (5.90) Рассмотрим некоторые свойства полученной дуги кривой. Изменяя инженерный дискриминант k , можно получить различные виды дуги кривой 2-го порядка. При k = 0,5 , точечное уравнение (5.90) будет иметь следующий вид: M = ( A − C ) t 2 + ( B − C )t 2 + C. Что соответствует точечному уравнению (5.67). Таким образом, при значении инженерного дискриминанта k = 0,5 получим дугу параболы (или 149 кривую Безье 2-го порядка). При 0 k 0,5 будем иметь дугу гиперболы, а при 0,5 k 1 – дугу эллипса. 5.4.6. Кривая 2-го порядка в параметризации Чевы Кривую 2-го порядка можно определить, как ряд точек пересечения пар проективно соответственных лучей двух пучков прямых первого порядка. Тогда для задания кривой 2-го порядка достаточно задать два пучка прямых и установить между ними проективное соответствие, указав три пары соответственных лучей. Для описания кривой 2-го порядка в ТИ удобнее установить проективное соответствие между двумя пучками прямых следующим образом (рис. 5.21). Рисунок 5.21. Геометрическая схема построения дуги кривой 2-го порядка Принимаем точку A1 за центр первого пучка, а точку А2 – за центр второго. Лучу А1 А2 первого пучка поставим в соответствие луч, касательный в А2 к строящемуся ряду 2-го порядка. Этим уже определяется плоскость кривой 2-го порядка. В этой плоскости через точку А1 проведём луч, касательный к строящемуся ряду как соответственный лучу А2 А1 второго 150 пучка. Эти касательные лучи пересекутся в точке А3 , чем и определяется симплекс А1 А2 А3 плоскости строящейся кривой. Заданием произвольной точки K в плоскости А1 А2 А3 строящейся кривой завершается формирование двух проективных пучков: А1 ( А1 А2 , А1 А3 , А1K ) А2 ( А2 А3 , А2 А1, А2 K ) . Точка М кривой 2-го порядка определяется как точка пересечения четвёртой пары проективно-соответственных лучей А1М1 и А2 М 2 . Проведём луч А1М1 , и на прямой А2 А3 определится сложное отношение четырёх точек А2 А3 K1М1 . На прямой А3 А1 также определится сложное отношение четырёх точек А3 А1K 2 М 2 . Если точка М принадлежит кривой 2-го порядка, то эти сложные отношения равны: А2 А3 K1М1 = А3 А1K2 М 2 . (5.91) Известно, что сложное отношение не изменяется от перестановки обеих пар составляющих его точек и от одновременной перестановки букв внутри каждой пары. Перестановка букв внутри одной пары изменяет сложное отношение на обратное. Полученное соотношение можем записать в виде: M1K1 А2 А3 = M 2 K2 А3 А1 . Если ввести проективный репер ZA3, X A1, Y A2, EK, то в проективных координатах полученное соотношение приобретает вид: M1E1ZY = M 2 E2 XZ = 1 1 →Y = , M 2 E2 ZX X а это и есть уравнение кривой 2-го порядка в проективных координатах. Для реализации алгоритма построения кривой 2-го порядка на основе аппарата ТИ определим аффинный параметр кривой в зависимости от положения забрасываемой точки K (пятый элемент – предыдущие четыре элемента это точки A1 и A2 – центры проективных пучков, и касательные в этих точках). С учетом ориентации отрезков обозначим: 151 23 = А2 А3 K1 , 31 = А3 А1K 2 , 12 = А1 А2 K3 , 23 = A2 A3M1 , 31 = A3 A1M 2 , 12 = A1 A2 M 3 . Из (5.91) имеем: A2 A3 K1 A3 A1K 2 = → 23 = 31 . A2 A3M1 A3 A1M 2 23 31 (5.92) Мы видим, что положение точки M 2 на прямой A3 A1 зависит от положения точки M 1 на прямой A2 A3 и от постоянного отношения k , при этом: k= 31 . 23 (5.93) Обратим внимание, что параметр k является параметром пучка кривых 2-го порядка, определяемого заданием двух касательных с точками прикосновения на них. Из (5.92) с учетом (5.93) получим: 31 = k 23. (5.94) 31 = k23 . На основании теоремы Чевы имеем 233112 = 1 , откуда, с учетом (5.94), получим: 12 = 1 k223 . Текущая точка M плоскости A1 A2 A3 определяется уравнением вида: M = А1 p + A2 q + A3r , где p + q + r = 1, При этом p = −MА1M1 , q = −MA2 M 2 , r = −MA3M 3 . Если точка M определяется точками M 1 и M 2 , то на основании теоремы Менелая получим: 152 p= 2331 , 1 + 23 + 2331 q= 1 , 1 + 23 + 2331 r= 23 1 + 23 + 2331 . Задание точки в параметризации по условию Чевы примет вид: M= 2331 A1 + A2 + 23 A3 . 1 + 23 + 2331 (5.95) С учётом (5.94) из (5.95) получим точечное уравнение кривой 2-го порядка: A1 − A3 ) k 232 + ( A2 − A3 ) ( M= +A. 1 + 23 + k 232 Подставляя в (5.96) значение 23 = (5.96) 3 t , где 1− t t – параметр, определяемый из отношения t = −M1 A3 A2 , получим: A1 − A3 ) kt 2 + ( A2 − A3 ) (1 − t )2 ( M= +A. 1 − t (1 − kt ) 3 (5.97) На практике представляет интерес определение текущей точки M кривой 2-го порядка по методу инженерного дискриминанта. В этом случае точка M 3 на прямой A1 A2 определяется параметром t3 , а точка M на прямой A3 M 3 определена параметром r . M = A1 (1 − t3 ) + A2t3 , M = M 3 (1 − r ) + A3r . Откуда: M = ( A1 (1 − t3 ) + A2t3 )(1 − r ) + A3r , где t3 = (1 − t ) 2 kt 2 + (1 − t ) 2 и r= (5.98) t (1 − t ) . 1 − t (1 − kt) Отметим, что мы имеем возможность определить не только положение точки M , но и построить касательную в каждой текущей точке. 153 На основании теоремы Паскаля для треугольника, вписанного в кривую 2-го порядка, определяем, что касательная должна пройти через ~ ~ точку M 3 на стороне A1 A2 , (рис. 5.21). Но точка M 3 определяется как четвёртая гармоническая к точкам A1 , A2 и M 3 на основании свойств ~ полного четырёхугольника, откуда 3 = −3 . Анализируя уравнение (5.97), отметим, что бесконечно удалённые точки кривой 2-го порядка мы получим при равенстве нулю знаменателя этого уравнения. Для этого необходимо определить корни квадратного уравнения: kt 2 − t + 1 = 0. (5.99) В нашем случае бесконечно удалённую точку параболы получим при k =0,25, и t =2. При этом из (5.98) t3 =0,5. Этому значению t3 отвечает и второе значение t3 =2 / 3, при котором r =0,5, то есть посредине медианы A3 M 3 . Эту точку обычно задают при построении обвода из дуг парабол по методу инженерного дискриминанта. Из анализа уравнения (5.99) следует, что гиперболы будут иметь место при k < 0,25, при k > 0,25 будут эллипсы. 5.5. ЗАДАНИЕ КРИВЫХ 3-ГО ПОРЯДКА Инженерная практика показала, что применение кривых второго порядка не всегда достаточно для формирования поверхности оболочек необходимой формы. В частности, осуществить запланированный перегиб кривой можно только или двумя дугами обвода кривых второго порядка или одной дугой обвода кривой третьего порядка. 5.5.1. Точечное уравнение кривой Безье 3-го порядка Задача. Определить точечное уравнение кривой Безье 3-го порядка. 154 Решение. В ТИ кривая Безье определяется исходя из геометрического алгоритма своего построения (рис. 5.22). Рисунок 5.22. Геометрическая схема определения дуги кривой Безье 3-го порядка Известно, что для кривой Безье справедливым является следующее соотношение: AP1 C1P2 C2 P3 PQ PQ Q M = = = 1 1 = 2 2 = 1 =t. AC1 C1C2 C2 B PP P2 P3 Q1Q2 1 2 Учитывая инвариантные свойства простого отношения трех точек прямой, получим: A − P1 C1 − P2 C2 − P3 P1 − Q1 P2 − Q2 Q1 − M = = = = = = t. A − C1 C1 − C2 C2 − B P1 − P2 P2 − P3 Q1 − Q2 Это соотношение приводит к системе линейных точечных уравнений: P1 = ( C1 − A ) t + A, P2 = ( C2 − C1 ) t + C1 , P = C − B t + C , ) 2 3 ( 2 Q1 = ( P2 − P1 ) t + P1 , Q = ( P − P ) t + P , 3 2 2 2 M = ( Q2 − Q1 ) t + Q1. Результатом решения этой системы является точечное уравнение дуги кривой Безье 3-го порядка: M = At 3 + 3C1t 2t + 3C2 tt 2 + Bt 3 , где t 0; 1 − параметр, определяющий текущую точку М кривой. 155 (5.100) 5.5.2. Точечное определение дуги обвода кривой 3-го порядка Рассмотрим точечное задание дуги обвода кривой 3-го порядка, которая может быть получена, как параллельная проекция на плоскость пространственной кривой двоякой кривизны. Такая проекция определяет дугу обвода кривой третьего порядка с двумя касательными на концах дуги обвода (рис. 5.23). Рисунок 5.23. Геометрическая схема определения дуги обвода кривой третьего порядка В симплексе ABCD рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид (5.100). Известно, что кривая двоякой кривизны (5.100) приходит через точку А при t = 0 и через точку D при t = 1 , AB – касательная в точке А, DC – касательная в точке D. Можно утверждать, что при t 0; 1 имеем пространственную одномерную дугу обвода. Если точки A, B, C и D принадлежат плоскости, то имеем плоскую кривую, которая известна как кривая Безье. Рассмотрим параллельную проекцию пространственной кривой на плоскость ABD и определим особенности такой проекции. Ссылаясь на свойства параллельной проекции, получим: – проекция проходит через точки А и D; – проекция останется касательной к АВ в точке А; – прямая DC1 будет касательной к проекции в точке D, если обозначить через C1 проекцию точки С на плоскость ABD. 156 Пусть в плоскости ABD задана произвольная точка C1 ( p1 , q1 ) точечным уравнением: C1 = ( A − D ) p1 + ( B − D ) q1 + D, где p1 , q1 – произвольные параметры, которые однозначно определяют направление СС1 параллельной проекции. Пространственная кривая (5.100) определяет двухпараметрическое множество дуг обводов AD с касательными AB и DC1 . Определим точечное уравнение этого множества дуг обводов. Четвертая вершина параллелограмма МСС1М1 определяется соотношением: М1 = М + С1 − С. (5.101) После преобразования (5.101), получим: M 1 = ( A − D ) t 3 + 3 ( B − D ) t 2t + 3 ( C − D ) tt 2 + D + + ( A − D ) p1 + ( B − D ) q1 + D − C = ( A − D ) ( t 3 + p1 ) + (5.102) + ( B − D ) ( 3t 2t + q1 ) + ( C − D ) ( 3tt 2 − 1) + D. Уравнение направления проецирования имеет вид: N = ( M1 − M ) u + M . (5.103) После подстановки (5.102) в (5.103), получим: N = ( A − D ) p1u + t 3 + ( B − D ) q1u + 3t 2t + (C − D ) 3tt 2 − u + D. Для определения u, используем V-теорему ТИ: p1u + t 3 q1u + 3t 2t 3tt 2 − u 1 1 0 0 1 0 0 1 = 0. 1 0 0 1 1 После преобразования (5.104), получим: p1`u + t 3 + q1u + 3t 2t + 3tt 2 − u + 1 = 0 → → u ( p1 + q1 − 1) = 1 − t 3 − 3t 2t − 3tt 2 → t3 →u = . p1 + q1 − 1 157 (5.104) Окончательно, дуга обвода AD определяется точечным уравнением: p1t 3 q1t 3 3 N = ( A − D) + t + ( B − D) + 3t 2t + p1 + q1 − 1 p1 + q1 − 1 t3 + ( C − D ) 3tt 2 − + D. p + q − 1 1 1 Поскольку дуга обвода принадлежит плоскости (5.105) ABD , то для вычислений удобно использовать точечное уравнение: p1t 3 q1t 3 N = ( A − D) + t 3 + ( B − D) + 3t 2t + D, p1 + q1 − 1 p1 + q1 − 1 (5.106) где t 0; 1 – текущий параметр; p1 , q1 – произвольные параметры, которые определяют множество дуг обводов и задают точку С1 касательной DC1 дуги обвода в плоскости ABD . Уравнение (5.106) равнозначно уравнению (5.105), так как сумма членов в трех квадратных скобках уравнения (5.105) равна единице. Полученное точечное уравнение (5.106), определяет множество дуг обводов кривых 3-го порядка, которое образуется соответствующей пространственной кривой (5.100), позволяет учитывать дополнительные наперед заданные условия при использовании кривых Безье. 5.5.3. Определение кривой 3-го порядка пересечением поверхностей 2-го прядка с общей образующей Из проективной геометрии известно, что линия пересечения поверхностей 2-го порядка – это кривая 4-го порядка, которая, в частном случае, может распадаться на две кривых 2-го порядка или на прямую и кривую 3-го порядка. Тогда, использовав две поверхности 2-го порядка с общей образующей, можно смоделировать кривую 3-го порядка, как результат их пересечения. 158 Пусть задан симплекс трехмерного пространства ABCD (рис. 5.24). В этом симплексе определим два конуса, как одной из наиболее простых линейчатых поверхностей 2-го порядка. Рисунок 5.24. Геометрическая схема моделирования дуги кривой 3-го порядка пересечением конусов 2-го порядка В качестве оснований обоих конусов будем использовать две дуги кривых 2-го порядка: APB и AQB . Вид дуги соответствующей кривой 2-го порядка определим с помощью инженерного дискриминанта: P = ( A − C) Q = ( A − C) f Pu 2 f P (1 − 2u ) + 2uu 2 fQ v 2 fQ (1 − 2v ) + 2vv 2 + (B − C) + (B − C) f Pu 2 f P (1 − 2u ) + 2uu 2 fQv 2 fQ (1 − 2v ) + 2vv 2 + C, (5.107) + C, где u = 1 − u , v = 1 − v . Обратим внимание, чтобы в соответствии с геометрической схемой (рис. 5.24) обеспечить пересечение прямых PD и NQ в пределах симплекса ABCD , параметр f P , который определяет отношение на медиане дуги APB , должен быть меньше параметра f Q , который определяет отношение на медиане дуги AQB . Причём, для существования дуги кривой 3-го порядка, исходные дуги кривых 2-го порядка не должны совпадать, т.е. f P fQ . Если 159 это условие выполняется, то текущая точка M будет находиться в пределах симплекса ABCD . Также для построения дуги кривой 3-го порядка необходимо согласовать текущих параметры u и v , которые определяют исходные дуги кривых 2-го порядку. Это необходимо, чтобы текущие P и Q находились в одной плоскости. Поскольку точки A , P и Q принадлежат одной прямой, то площадь треугольника APQ должна быть равна нулю. Исходя из этого условия согласуем текущие параметры u и v . В соответствии с S -теоремой ТИ, получим: 1 0 f Pu 2 f Pu 2 1 f P (1 − 2u ) + 2uu f P (1 − 2u ) + 2uu fQ v 2 fQ v 2 fQ (1 − 2v ) + 2vv fQ (1 − 2v ) + 2vv 2 2 2 2 1 = 0. (5.108) 1 Из выражения (5.108), после некоторых преобразований, получим: v= f P f Qu f P f Qu + f Q f Pu f P f Qu + f Q f Pu 0 → u , fQ f P (5.109) fQ f P − f P fQ где f P = 1 − f P , fQ = 1 − fQ , u = 1 − u . Из выражения (5.108) видно, что для обеспечения согласования параметров необходимо выполнение дополнительных условий: f P (1 − 2u ) + 2uu 0, 2 fQ (1 − 2v ) + 2vv 0. 2 (5.110) Преобразуем первое из этих неравенств: f Pu 2 + 2 f Puu + f Pu 2 0 → → ( 4 f P − 2 ) u 2 − ( 4 f P − 2 ) u + f P 0. 160 (5.111) Из неравенства (5.111) определим значения параметра u , которые не удовлетворяют условию (5.110): 1 1 u − 1 2 1 − 2 fP . (5.112) Подставив значение параметра v в условие (5.110) получим второе дополнительное условие, выраженное через параметр u : fQ ( fQ f Pu − f P fQu ) + 2 f P f Q f P f Quu 2 (f f u + f Q f Pu ) 2 0. (5.113) P Q Из неравенства (5.113) определим значения параметра u , которые не удовлетворяют второму условию (5.110): u f P ( f P fQ2 − f P fQ2 ) f P f P fQ fQ − fQ fQ2 f P2 + f P2 fQ2 − 2 f P f P f Q2 (5.114) . Переходим к дуге AQB . Подставив выражение (5.109) в уравнение (5.107), получим: Q = ( A − C) +(B − C) fQ2 f P2u 2 fQ2 f P2u 2 + f P2 fQ2u 2 + 2 ( f P − f P2 ) fQ2uu f P2 fQ2u 2 fQ2 f P2u 2 + f P2 fQ2u 2 + 2 ( f P − f P2 ) fQ2uu + (5.115) + C. В соответствии с геометрической схемой (рис. 5.23) один из конусов 2го порядка имеет вершину D , а второй вершину N . На прямой AD , которая является общей образующей для обоих конусов, определим точку N с помощью параметра n : DNA = DA 1 =− . AN n (5.116) После преобразований простого отношения трёх точек, получим уравнение точки N : N = ( D − A) n + A. 161 (5.117) В соответствии с теоремой О-теоремой ТИ (в данном случае она совпадает с теоремой Менелая), при рассечении треугольника DNM прямой APQ получим следующее соотношение: NMQ MDP DNA = −1. (5.118) Подставив выражение (5.116) в соотношение (5.118), получим: NMQ MDP = NQ MP N − Q M − P = = n. QM PD Q − M P − D (5.119) После преобразований (5.119) получим точечное уравнение дуги кривой 3-го порядка: M= nQ ( P − D ) + P ( N − Q ) . n( P − D) + ( N − Q) (5.120) Подставив точечные уравнения (5.107), (5.115) и (5.117) в уравнение (5.120) можно получить итоговое уравнение дуги кривой 3-го порядка, но полученное выражение будет большим и сложным, поэтому рациональней представить полученный результат в виде вычислительного алгоритма использовав сразу покоординатный расчёт. Причём для упрощения итоговых параметрических уравнений используем вместо симплекса ABCD декартовый симплекс OE1E2 E3 , для которого E1 (1;0;0 ) , E2 ( 0;1;0 ) , E3 ( 0;0;1) , O ( 0;0;0 ) . Вычислительный алгоритм моделирования дуги кривой 3-го порядка пересечением конусов 2-го порядка 1. Задаём значения параметров f P и f Q , определяющих вид исходных дуг кривых 2-го порядка. 2. Проверяем выполнение условий (5.112) и (5.114). 3. Определяем параметрические уравнения исходных дуг кривых 2-го порядка: Дуга E1PE2 : 162 f Pu 2 , xP = 2 f P (1 − 2u ) + 2uu f Pu 2 , yP = 2 f 1 − 2 u + 2 uu ( ) P 2 f Puu zP = . 2 f P (1 − 2u ) + 2uu Дуга E1QE2 : fQ2 f P2u 2 xQ = , fQ2 f P2u 2 + f P2 f Q2u 2 + 2 ( f P − f P2 ) f Q2uu f P2 fQ2u 2 , yQ = 2 2 2 2 2 2 2 2 f f u + f f u + 2 f − f f uu ( ) Q P P Q P P Q 2 ( f P − f P2 ) fQ2uu zQ = f 2 f 2u 2 + f 2 f 2u 2 + 2 f − f 2 f 2uu . ( P P) Q Q P P Q 4. Определяем точку N с помощью параметра n : xN = n , y N = 0, z = 0. N 5. Определяем параметрические уравнения дуги кривой 3-го порядка пересечением конусов 2-го порядка: nxQ xP + xP ( n − xQ ) , xM = nxP + ( n − xQ ) nyQ yP − yP yQ , yM = ny − y P Q nz z − z P zQ zM = Q P . nz P − zQ Обратим внимание, что для моделирования дуги кривой 3-го порядка могут быть использованы и другие поверхности 2-го порядка. 163 Задание для самостоятельных исследований. Определить точечное уравнение дуги кривой 3-го порядка пересечением двух гиперболических параболоидов с общей образующей. 164 РАЗДЕЛ 6. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ МЕТОДОМ ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА Как известно, кривой поверхностью называется геометрическое место (множество) последовательных положений линии, движущейся в пространстве. Рассмотрим кинематический способ образования поверхности, как один из способов задания поверхностей, основанный на непрерывном перемещении в пространстве некоторой линии по определенному закону. По виду образующей и закону ее перемещения поверхность, образованная кинематическим способом, относится к тому или другому классу. Конкретный вид образующей и конкретный закон ее перемещения выделяют данную поверхность однозначно из всего класса поверхностей, к которому она относится. В ТИ для реализации кинематического способа образования поверхности и моделировании его обобщения многофакторных на многомерное процессов и пространство явлений при посредством многомерной интерполяции и аппроксимации разработан специальный метод подвижного симплекса. 6.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПОДВИЖНОГО СИМПЛЕКСА Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. Simplex – простой) – геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. В общем случае, симплекс – это выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости n-мерного Евклидова пространства. Эти точки называются вершинами симплекса. Для ТИ вершины симплекса являются входными данными. Как видно из определения, симплекс напрямую связан с размерностью пространства, в котором рассматриваются геометрические объекты. Так симплекс двух точек образует одномерное пространство – линию. Симплекс трех точек образует двумерное пространство – плоскость. 165 Симплекс четырех точек образует трехмерное пространство – поверхность. Симплекс пяти точек образует четырехмерное пространство – гиперповерхность и т.д. Сущность этого метода состоит в возможности создания новых пространственных форм, используя геометрические объекты симплекса пространства, который сам движется в пространстве по каким-либо законам. Если симплекс пространства будет подвижным, т.е. каким-то образом перемещаться в пространстве, то он может стать прообразом новых пространственных форм. Предложенный метод по смыслу похож на кинематический способ образования пространственных форм. Однако он представляет собой более широкое понятие и допускает реализацию в пространствах высших размерностей. Далее на примерах рассмотрим, как можно использовать метод подвижного симплекса для образования новых пространственных форм. 6.1.1. Метод подвижного симплекса одномерного пространства Рассмотрим геометрический алгоритм образования такого простого и, вместе с тем, широко используемого пространственного образа, как окружность. Возьмем прямую – одномерный симплекс двух точек и будем вращать его вокруг одной из вершин симплекса, тогда вторая вершина опишет окружность. Таким образом, методом подвижного симплекса одномерного пространства можно задать окружность, причем положение этой окружности в пространстве более высоких размерностей будет зависеть от параметров (координат) вершин симплекса, заданного в определенном пространстве. Например, в подпункте 5.4.3.1 было рассмотрено задание параболы, как кривой одного отношения в соответствии с геометрической схемой конструирования параболы (рис. 5.17). В данном случае прямая B1B2 – одномерный симплекс двух точек B1 и B2 , двигалась по определенному 166 закону: вершина симплекса B1 двигалась по прямой A1 A3 в направлении к точке A3 , а вершина симплекса B2 двигалась по прямой A3 A2 в направлении к точке A2 . В свою очередь, в подвижном симплексе B1B2 двигалась точка M , также по определенному закону. Совокупность движения подвижного симплекса B1B2 и точки M в нем создало новый непрерывный геометрический объект – параболу второго порядка заданную в двумерном пространстве. К таким примерам можно подвести конструирование любой кривой линии в непрерывной геометрии, при условии существования непрерывного геометрического алгоритма конструирования кривой. Также можно отметить, что все многообразие движения одномерного симплекса сводится либо к вращению этого пространства вокруг одной из вершин симплекса (фиксируется одна из вершин симплекса), либо к движению всего симплекса (обоих вершин) в пространстве более высокой размерности (в частности, в двумерном пространстве) по определенному закону. В седьмом разделе было рассмотрено множество примеров использования метода подвижного симплекса одномерного пространства для конструирования дуг кривых второго и третьего порядка по известному геометрическому алгоритму образования кривых. 6.1.2. Метод подвижного симплекса двумерного пространства Для двумерного пространства, симплекс которого определяется тремя точками, движение симплекса может осуществляться тремя способами. В общем случае движение симплекса может осуществляться в трехмерном пространстве (или в пространстве более высоких размерностей) по определенному закону, когда все вершины симплекса двигаются независимо друг от друга. Если зафиксировать одну из вершин симплекса, то получим вращение этого симплекса вокруг точки – фиксированной вершины в трехмерном пространстве. Если зафиксировать две вершины симплекса, то 167 получим вращение симплекса вокруг оси в трехмерном пространстве, причем осью будет фиксированная сторона симплекса. Зададим в подвижном симплексе дугу кривой. Тогда, двигаясь совместно с симплексом, эта дуга опишет поверхность, т.е. двухпараметрическое множество, заданное в трехмерном пространстве. Причем один из параметров будет управлять движением симплекса в трехмерном пространстве, а второй – движением кривой в двумерном симплексе. Предложенный метод подвижного симплекса двумерного пространства может быть эффективно использован при конструировании поверхностей пространственных форм, особенно в строительстве и архитектуре, где при конструировании поверхностей оболочек необходимо соблюдение различных технических требований, описанных выше. Далее весь раздел посвящен аналитическому обоснованию метода подвижного симплекса для различных пространственных форм на примере нескольких практических задач. Таким способом проверяется устойчивость метода. 6.1.3. Обобщение метода подвижного симплекса для многомерного пространства Под многомерным пространством понимается пространство с размерностью больше трех. Симплекс такого пространства соответственно будет состоять минимум из четырех точек, и зависеть, непосредственно, от размерности самого пространства. Соответственно изменится и количество способов движения подвижного симплекса, которое зависит от количества зафиксированных (или, наоборот, подвижных) вершин симплекса. Например, для одномерного подвижного симплекса, у которого количество вершин, определяющих симплекс, равняется двум, количество способов движения 168 этого симплекса также равняется двум, для двумерного – трем, для трехмерного – четырем и т.д. Рассмотрим применение метода подвижного симплекса в ТИ. Точечные уравнения пространственных форм представляют собой арифметическую комбинацию вершин симплекса и функций (в частном случае, может быть действительное число) при них, которые определяют положение точки в пространстве выбранного симплекса. Вершины симплекса определяются параметрами (координатами), количество которых зависит от размерности пространства. А в зависимости от количества переменных параметров, которые входят в функции (или в функционалы) меняется и геометрическая однопараметрическое множество сущность – представленного линия, объекта: двухпараметрическое – поверхность, трехпараметрическое – гиперповерхность и т.д. Например, если полученное точечное уравнение кривой рассматривать в другом симплексе (поменять координаты вершин симплекса), то автоматически произойдет аффинное преобразование кривой. Изменение координат вершин симплекса, через которые задана кривая, геометрически означает перемещение кривой в трехмерном пространстве, что позволяет формировать поверхность, перемещением симплекса, порождая способ конструирования поверхности. По рекомендациям специалистов прикладной геометрии такой способ конструирования поверхностей получил название – метод подвижного (переменного) симплекса. Но по мере развития метода, стало ясно, что под подвижным симплексом можно понимать не только плоский (двумерный симплекс), но и симплекс любой размерности. А практическая реализация этого метода для многомерного пространства, возможна в ТИ, поскольку точечные уравнения допускают реализацию в пространствах высших размерностей. Эта особенность метода подвижного симплекса может быть, впоследствии, реализована для геометрического моделирования многопараметрических процессов и явлений. 169 6.1.4. Пример моделирования поверхности трёх направляющих линий методом подвижного симплекса Пусть задан пространственный симплекс DABC (рис. 6.1). В симплексе DABC заданы три направляющих линии – дуги кривых AA ' , DB и CC ' . Локальный симплекс N A N B NC движется по трём направляющим линиям. Соответственно точка N A движется по дуге AA ' , точка N B по дуге DB и точка N C по дуге CC ' . Если задать в подвижном симплексе N A N B NC кривую или дугу кривой, то получим поверхность, которая определяется тремя направляющими линиями и имеет наперёд заданные аффинносоответственные сечения. Кривая или дуга кривой, которая определяет форму сечения по своей сути является образующей линией такой поверхности. C NC C M NB B A D NA A Рисунок 6.1. Геометрическая схема моделирования поверхности трёх направляющих линий методом подвижного симплекса Чтобы легче определить точки A, C в пространстве симплекса DABC примем следующее условие. Пусть точки симплекс DABC до призмы, тогда AABD и A, C дополняют BCCD являются параллелограммами, для определения точек которых можно использовать точечную формулу параллельного переноса: A = A + B − D, C = B + C − D. 170 Направляющие линии подвижного симплекса определим с помощью функциональных зависимостей: f ( v ) − f ( 0) f (v ) − f ( 0) + C = ( B − D) + C, f (1) − f ( 0 ) f (1) − f ( 0 ) NC = ( C − C ) N A = ( A − A ) ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) + A = ( B − D) + A, (1) − ( 0 ) (1) − ( 0 ) N B = ( B − D) ( v ) − ( 0) + D, (1) − ( 0 ) где f = f (v), = (v), = (v) – произвольные непрерывные функции от параметра v . В симплексе N A N B NC зададим образующую отсека поверхности: M = ( N A − NC ) p(u) + ( N B − NC )q(u) + NC . После преобразований и подстановок получим искомое точечное уравнение поверхности трёх направляющих с аффинно-соответственными сечениями в симплексе DABC : ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) M = ( A − D ) p (u ) + ( B − D ) p (u ) + q (u ) + 1 − 0 1 − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f (v ) − f ( 0) + 1 − p u − q u ( ) ( ) ( ) + (C − D ) 1 − p (u ) − q (u ) + D. f (1) − f ( 0 ) (6.1) где 0 v 1 и 0 u 1 . Проанализируем полученное точечное уравнение. Произвольные непрерывные функции f = f (v), = (v), = (v) определяют три направляющих линии, по которым движется симплекс N A N B NC , а функции p ( u ) и q ( u ) определяют форму сечения N ( N A , N B , NC ) . Причём, в общем случае, скорость движения точек симплекса N A N B NC определяется выбором функций f = f (v), = (v), = (v) на каждой линии отдельно. Если эти функции будут одинаковыми f (v) = (v) = (v) , то получим параллельные друг другу аффинно-соответственные сечения. 171 Переходя от точечного уравнения (6.1) к системе параметрических уравнений для трёхмерного пространства получим: ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) p (u ) + q (u ) + xM = ( x A − xD ) p ( u ) + ( xB − xD ) 1 − 0 1 − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + f ( v ) − f ( 0 ) (1 − p ( u ) − q ( u ) ) + ( x − x ) 1 − p ( u ) − q ( u ) + x , C D D f (1) − f ( 0 ) ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) p (u ) + q (u ) + yM = ( y A − y D ) p ( u ) + ( y B − y D ) 1 − 0 1 − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f ( v ) − f (0) + 1 − p u − q u ( ) ( ) ( ) + ( yC − yD ) 1 − p ( u ) − q ( u ) + y D , f (1) − f ( 0 ) ( v ) − ( 0) ( v ) − (0) zM = ( z A − z D ) p ( u ) + ( z B − z D ) p (u ) + q (u ) + 1 − 0 1 − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f ( v ) − f (0) + 1 − p u − q u ( ) ( ) ( ) + ( zC − z D ) 1 − p ( u ) − q ( u ) + z D . f (1) − f ( 0 ) Если вместо общего симплекса DABC использовать декартовый симплекс OE1E2 E3 с началом координат в точке O , то при переходе от точечного уравнения (6.1) к системе параметрических уравнений получим более простые зависимости. Тогда точечное уравнение (6.1) в симплексе симплекс OE1E2 E3 будет иметь следующий вид: ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) M = ( E1 − O ) p ( u ) + ( E2 − O ) p (u ) + q (u ) + 1 − 0 1 − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + f ( v ) − f ( 0) 1 − p u − q u ( ) ( ) ( ) + ( E3 − O ) 1 − p (u ) − q (u ) + O. f (1) − f ( 0 ) А при переходе к системе параметрических уравнений получим: x = p (u ) , ( v ) − ( 0) ( v ) − ( 0) f (v ) − f (0) p (u ) + q (u ) + (1 − p (u ) − q (u ) ) , (6.2) y = 1 − 0 1 − 0 f 1 − f 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z = 1 − p ( u ) − q ( u ). 172 Рассмотрим пример формирования отсека поверхности трёх направляющих с аффинно-соответственными сечениями. 1. Задаём функции, которые определяют направляющие линии. Пусть функция ( v ) = v3 , тогда функционал будет равен: ( v ) − ( 0) 3 =v . (1) − ( 0 ) 2. Пусть функция ( v ) = v3 + v , тогда функционал будет равен: ( v ) − ( 0 ) v3 + v . = (1) − ( 0 ) 2 3. Пусть функция f ( v ) = v 2 − 1 , тогда функционал будет равен: f ( v ) − f ( 0) = v2 . f (1) − f ( 0 ) 4. Подставляем полученные зависимости в систему параметрических уравнений (6.2): x = p (u ) , v3 + v 3 q ( u ) + v 2 (1 − p ( u ) − q ( u ) ) , y = v p (u ) + 2 z = 1 − p ( u ) − q (u ). Теперь изменяя функции p (u ) и (6.3) q ( u ) , которые определяют образующую отсека поверхности, можно получить различные поверхности, которые будут иметь наперёд заданные аффинно-соответственные сечения. Результаты исследований некоторых функций представлены в таблице 6.1. Обратим внимание, что в данном случае были зафиксированы три направляющие линии, а менялся только характер сечения. Такой подход часто используют при исследовании многофакторных процессов и явлений. Можно наоборот, зафиксировать функции p ( u ) и q ( u ) , которые определяют характер сечения отсека поверхности плоскостью N ( N A , N B , NC ) , а исследовать изменение функций, определяющих направляющие линии опорных контуров поверхности. 173 Таблица 6.1. Примеры формирования отсеков поверхностей трёх направляющих линий. Значение функции Графическая визуализация отсека поверхности p = sin ( u ) q = u3 Значение функции Графическая визуализация отсека поверхности p = sin ( u ) q = cos ( u ) p = sin ( u 2 ) q = cos3 ( u ) p = sin 2 ( u ) q = ln ( u ) p = u3 q = u3 p = 1 − u3 q =u Задание для самостоятельных исследований. Определить точечные уравнения следующих линейчатых поверхностей с тремя направляющими: − косой цилиндр с тремя направляющими; − дважды косой цилиндроид; − дважды косой коноид; − однополосный гиперболоид. 174 6.2. ОБЩИЙ ПОДХОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ И ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К НИМ Из всего множества поверхностей выбираем те поверхности, которые по своей геометрической форме отвечают форме оболочки покрытия. Таким образом, принимаем положение образующей m (условный меридиан поверхности) поверхности в вертикальной плоскости β, а направляющей n (условная параллель поверхности) – в горизонтальной плоскости α (рис. 6.2). Рисунок 6.2. Схема формообразования поверхности оболочки покрытия Так как оболочка работает как единая пространственная конструкция, то все образующие поверхности должны сходиться в одной точке K – вершине поверхности оболочки, путем поворота образующей вокруг вертикальной оси z оболочки (рис. 6.2). Разнообразие поверхностей зависит от сочетания образующей и направляющей, а также от их параметров. Так как большинство оболочек покрытий имеет симметричный характер, то в качестве направляющей удобно брать замкнутую линию, например, кривую с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии – эллипс или, в частном случае, прямоугольник. В качестве образующих примем дуги обвода плоских кривых 175 2-го, 3-го порядка и Б к кривых 2-го и 3-го порядка для учета стрелы подъема и углов примыкания конструктивных элементов оболочки. Геометрической составляющей задания поверхности оболочки будет замкнутая линия n, расположенная в горизонтальной плоскости (прямоугольник, квадрат, эллипс, окружность). Стрелу подъема видимого контура определим вершиной оболочки – точкой K (рис. 6.3). Следовательно, изначально, конструируемая поверхность оболочки должна содержать заданную линию n и точку K. Рисунок 6.3. Схема задания симметричной поверхности оболочки покрытия Так как большинство оболочек имеет симметричный характер, то отдадим предпочтение замкнутой линии, которая имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Заданная точка K, должна находиться над центром симметрии линии плана. Поверхность оболочки разбивается плоскостями симметрии на четыре, зеркально расположенные, части. Достаточно определить четверть поверхности оболочки, так как остальные четверти будут зеркальными отражениями относительно плоскостей симметрии. Чтобы поверхность в заданной точке K не являлась особой, касательную плоскость в этой точке будем фиксировать горизонтально, чем назначим еще одно условие для конструируемых поверхностей. Обратим внимание, что в ТИ кривая n определяется текущей точкой N, и с этой кривой 176 будем выполнять действия как с точкой. Далее, задавая точку M условного меридиана через точки N и K, получим точечное уравнение или систему уравнений вычислительного алгоритма поверхности. При инженерном геометрической формы конструировании необходимо иметь оболочек определенной математическую модель проектируемой поверхности. К такой математической модели предъявляются следующие требования: – математически должна быть определена не вся поверхность оболочки, а только ее отсек, на котором находятся узлы конструкции этой оболочки. Модель, которая неуправляемо задает точки вне этого отсека, непригодна; – предпочтительнее вычислительный алгоритм, а не уравнение для получения точек на проектируемой поверхности оболочки. Уравнение позволяет исследовать поверхность на наличие определенных ее свойств (есть они в наличии или нет), а конструктору необходимо иметь заданные свойства на уже сформированной поверхности оболочки; – необходимо иметь такой алгоритм, который выделяет на отсеке точки, обладающие определенными свойствами, а не дает возможность выделять точки на отсеке и определять их свойства (есть таковые или нет); – поскольку пространственная конструкция оболочки, как правило, состоит из плоских конструкций, опирающихся на плоские формы, то алгоритмы конструирования плоских ее составляющих должны обладать ранее перечисленными свойствами; – пространственная форма должна включать заданные плоские формы в некоторых заданных взаимосвязях; – окончательно, математическая модель поверхности оболочки должна представлять собой строго организованный сетчатый линейный каркас или непрерывный точечный каркас поверхности с известными координатами точек, обладающий заданными свойствами. 177 Далее рассмотрим несколько примеров поверхностей оболочек в различных параметризациях на прямоугольном (квадратном) и эллиптическом (круговом) планах пространственной конструкции. 6.3. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОТСЕКА ПОВЕРХНОСТИ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ Рассмотрим геометрическое конструирование поверхности оболочки на прямоугольном плане, с заданной стрелой подъема и вертикальным сечением видимого контура поверхности оболочки (рис. 6.4). Рисунок 6.4. Схема задания отсека поверхности покрытия на прямоугольном плане по заданному углу наклона касательной (пример 1) Прямоугольный план определим прямоугольником ABCD в симплексе точек PBQ, с центром и двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, который расположен в горизонтальной плоскости. Стрелу подъема определим высотой h оболочки в ее вершине – в точке K. Вертикальное сечение оболочки зададим переменной образующей, в виде дуги обвода, в симплексе точек KTN. Так как рассматриваемые оболочки имеют симметричный характер, то поверхность оболочки разобьем плоскостями симметрии на четыре, зеркально расположенные, части. Как 178 отмечалось ранее, достаточно определить четверть поверхности оболочки, так как остальные четверти будут зеркальными отражениями относительно плоскостей симметрии. Чтобы поверхность в заданной точке K не являлась особой, касательную плоскость в этой точке будем фиксировать горизонтально, чем назначим еще одно условие для конструируемых поверхностей. Приведем несколько примеров поверхностей оболочек, в различных параметризациях, на прямоугольном (квадратном) плане. 6.3.1. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной Пусть даны вершины прямоугольного плана A, B, C и D, AB = 2b , BC = 2a , высота h оболочки и угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек PBQK (рис. 6.4): P ( a,0,0 ) ; B ( a, b,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . Сформируем прямоугольный план оболочки. Уравнение отрезка PB имеет вид: N = ( B − P)u + P, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка PB. Уравнение отрезка BQ имеет вид: N = (Q − B)u + B, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка BQ. Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей, в симплексе точек KTN, в виде дуги обвода кривой второго порядка – параболы, с горизонтальной касательной KT в вершине K оболочки и углом примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану в текущей точке N. Для этого создадим переменную дугу параболического обвода KN. 179 Определим выражение третьей точки симплекса KTN, точки T пересечения касательных KT и TN дуги обвода KN: htg T = N 1 − + K , ON где h – высота оболочки; – угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану. После преобразования, определим длину ON : – на участке PBO: ON = = O = NN ( B − P ) 2 N2 = ( B − P ) u + P = 2 u 2 + 2 P ( B − P ) u + P 2 = b 2u 2 + a 2 , – на участке BQO: ON = ( Q − B ) 2 u 2 + 2B (Q − B ) u + B 2 = = a 2u 2 − 2a 2u + a 2 + b 2 = a 2u 2 + b 2 . Подставив выражение точки Т в уравнение дуги параболического обвода KN (5.67), получим: M = Nv 2 + 2Tvv + Kv 2 = htg 2 = Nv 2 + 2 N 1 − vv + K ( v + 2vv ) = ON (6.4) htg = Nv v + 2 1 − v + Kv ( 2 − v ) . ON Далее, подставляя выражения N и ON в уравнение (6.4), получим систему точечных уравнений поверхности четверти оболочки, высотой h на прямоугольном плане ABCD: htg M = ( B − P ) u + P v v + 2 1 − b 2u 2 + a 2 v + Kv ( 2 − v ) , htg M = ( Q − B ) u + B v v + 2 1 − a 2u 2 + b 2 v + Kv ( 2 − v ) , 180 где u = 1 − u , v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; 1 . В координатной форме, на участках PBOK и BQOK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, соответственно, имеет вид: htg x = av v + 2 1 − 2 2 v , 2 b u + a htg y = buv v + 2 1 − v , 2 2 2 b u + a z = hv ( 2 − v ) , htg x = au v v + 2 1 − 2 2 v , 2 a u + b htg y = bv v + 2 1 − v , (6.5) 2 2 2 a u + b z = hv ( 2 − v ) , где u = 1 − u , v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; 1 . Из выражений (6.5) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении u = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. На поверхности полученной оболочки существуют два диагональных меридиана с особыми точками, как последствие прямоугольного плана, что вызывает нежелательные результаты при расчете такой оболочки на прочность. Варьируя углом , можно сгладить последствия прямоугольного плана. Таблица 6.2. Конструирование поверхности оболочки с кривой 2-го 2 Малая полуось b Высота оболочки h Большая полуось а порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной 4 3 Угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану Наглядное изображение поверхности оболочки 6 181 4 4 3 2 4 6 2 4 10 6 − 3 6 6.3.2. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой Пусть даны вершины прямоугольного плана A, B, C и D, AB = 2b , BC = 2a , высота h оболочки и параметры ka , kb , определяющие большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, соответственно, KE = ka a, KF = kbb (рис. 6.5). Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек PBQK: P ( a,0,0 ) ; B ( a, b,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . 182 Рисунок 6.5. Схема задания поверхности оболочки покрытия на прямоугольном плане по заданным параметрам эллиптической кривой (пример 2) Сформируем прямоугольный план оболочки. Уравнение отрезка PB имеет вид: N = ( B − P) atg + P, b b где 0; arctg – параметр, определяющий текущую точку N отрезка PB. a Уравнение отрезка BQ имеет вид: b N = ( Q − B ) 1 − ctg + B, a b где arctg ; – параметр, определяющий текущую точку N отрезка a 2 BQ. Сформируем вертикальное сечение оболочки переменной образующей, в симплексе точек KTN, в виде дуги обвода кривой второго порядка – параболы, с горизонтальной касательной KT в вершине K оболочки и вершиной симплекса горизонтальной на плоскости эллиптической вершины оболочки. переменную дугу параболического обвода KN. 183 кривой, Для расположенной этого в создадим Определим выражение третьей точки симплекса KTN, вершины T симплекса на эллиптической кривой при пересечении касательных KT и TN дуги обвода KN. Для этого определим выражения точек E и F, в симплексе которых зададим текущую точку T эллипса. Из рисунка 6.5 замечаем, что: KE KE = = ka → E − K = ( R − K )ka → OP KR → E − K = ( P + K − K )ka → → E = Pka + K ; F = Qkb + K . Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: T= ( E − K ) bcos + ( F − K ) asin + K , a sin + b cos 2 2 2 2 (6.6) где 0; – параметр, определяющий текущую точку T эллипса. 2 После подстановки выражений точек E и F в выражение (6.6), получим: T= Pkab cos + Qkb a sin a sin + b cos 2 2 2 2 + K. Окончательно, подставляя выражения точек Т и N в уравнение дуги параболического обвода KN (5.67), получим систему точечных уравнений поверхности четверти оболочки, высотой h на прямоугольном плане ABCD: atg 2 Pkab cos + Qkb a sin 2 M = ( B − P ) v + Pv + 2 vv + 2 2 2 2 b a sin + b cos b + Kv(2 − v), 0 arctg , 0 v 1; a M = (Q − B) a − bctg v 2 + Bv 2 + 2 Pkab cos + Qkb a sin vv + a a 2 sin 2 + b 2 cos 2 + Kv(2 − v), arctg b , 0 v 1. a 2 В координатной форме, на участках PBOK и BQOK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, соответственно, имеет вид: 184 abk cos vv, x = av 2 + 2 2 2 a 2 a sin + b cos 2 abkb sin 2 vv, y = atg v + 2 2 2 2 2 a sin + b cos z = hv ( 2 − v ) , (6.7) b где v = 1 − v , v 0; 1 , 0; arctg , a abk cos vv, x = bctg v 2 + 2 2 2 a 2 2 a sin + b cos abkb sin 2 vv, y = bv + 2 2 2 2 2 a sin + b cos z = hv ( 2 − v ) , (6.8) b где v = 1 − v , v 0; 1 , arctg ; . a 2 Из выражений (6.7) и (6.8) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. На поверхности полученной оболочки существуют два диагональных меридиана с особыми точками, как последствие прямоугольного плана, что вызывает нежелательные результаты при расчете такой оболочки на прочность. Прямоугольник, естественно, приближать к плавной замкнутой кривой, например, эллипсу. Варьируя параметрами ka и kb , определяющими большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, можно сгладить последствия прямоугольного плана. 185 Таблица 6.3. Конструирование поверхности оболочки с кривой 2-го порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической Большая полуось а Малая полуось b Высота оболочки h кривой Параметры k a и kb 2 4 3 ka=kb=1 2 4 3 ka=kb=3 2 4 3 ka=kb=2 2 4 10 ka=kb=1 Наглядное изображение поверхности оболочки 186 6.3.3. Конструирование отсека поверхности с кривой 3-го порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой Пусть даны вершины прямоугольного плана A, B, C и D, AB = 2b , BC = 2a ; высота h оболочки; параметры ka , kb , определяющие большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, соответственно, KE = ka a , KF = kbb ; параметры t1 , t2 , определяющие точки симплекса вертикального сечения KN оболочки (рис. 6.6). Рисунок 6.6. Схема задания поверхности оболочки покрытия на прямоугольном плане по заданным параметрам эллиптической кривой и параметрам t1 , t2 (пример 3) Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек PBQK: P ( a,0,0 ) ; B ( a, b,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . Сформируем прямоугольный план оболочки. Уравнение отрезка PB имеет вид: N = ( B − P) atg + P, b 187 b где 0; arctg – параметр, определяющий текущую точку N отрезка PB. a Уравнение отрезка BQ имеет вид: b N = ( Q − B ) 1 − ctg + B, a b где arctg ; – параметр, определяющий текущую точку N отрезка a 2 BQ. Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей, в симплексе точек KT2Т1N, в виде дуги обвода кривой третьего порядка – кривой Безье, с горизонтальной касательной KT2 в вершине K оболочки и вершиной симплекса на эллиптической кривой, расположенной в горизонтальной плоскости вершины оболочки. Для этого создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение третьей точки симплекса KTN, вершины T симплекса на эллиптической кривой при пересечении касательных KT и TN дуги обвода KN. Для этого определим выражения точек E и F, в симплексе которых зададим текущую точку T эллипса. Из рисунка 6.6 замечаем, что: KE KE = = ka → E − K = ( R − K )ka → OP KR → E − K = ( P + K − K )ka → → E = Pka + K ; F = Qkb + K . Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: T= ( E − K ) b cos + ( F − K ) a sin + K , a 2 sin 2 + b2 cos 2 (6.9) где 0; – параметр, определяющий текущую точку T эллипса. 2 После подстановки выражений точек E и F в выражение (6.9), получим: 188 T= Pkab cos + Qkb a sin a sin + b cos 2 2 2 2 + K. Определим выражения точек T1 и Т2 симплекса KT2Т1N, вертикального сечения KN оболочки, через параметры t1 , t2 : T1 = Nt1 + Tt1 , T2 = Tt2 + Kt2 , где t1 0; 1 , t2 0; 1 , – на участке PBOK: T1 = ( B − P ) atg t1 Pk bcos + Qkb asin + Pt1 + a t1 + Kt1 , b a 2sin 2 + b 2cos 2 T2 = Pkabcos + Qkb asin a 2sin 2 + b 2cos 2 t2 + K , – на участке BQOK: Pkabcos + Qkb asin a − bctg T1 = ( Q − B ) t + Bt + t1 + Kt1 , 1 1 a a 2sin 2 + b 2cos 2 T2 = Pkabcos + Qkb asin a 2sin 2 + b 2cos 2 t2 + K . Окончательно, подставляя выражения точек N, T1 и Т2 в уравнение дуги обвода кривой третьего порядка KN (5.100), получим систему точечных уравнений поверхности четверти оболочки, высотой h на прямоугольном плане ABCD: – на участке PBOK: atg 2 v ( v + 3t1v ) + Pv 2 ( v + 3t1v ) + b Pk bcos + Qkb asin +3 a vv ( t1v + t2v ) + Kv ( v 2 + 3vv + 3t1v 2 ) , 2 2 2 2 a sin + b cos M = ( B − P) b где v = 1 − v , 0; arctg , v 0; 1 , t1 0; 1 , t2 0; 1 , a – на участке BQOK: 189 a − bctg 2 2 M = (Q − B ) v ( v + 3t1v ) + Bv ( v + 3t1v ) + a Pk b cos + Qkb a sin +3 a vv ( t1v + t2v ) + Kv ( v 2 + 3vv + 3t1v 2 ) , 2 2 2 2 a sin + b cos b где v = 1 − v , arctg ; , v 0; 1 , t1 0; 1 , t2 0; 1 . a 2 В координатной форме, на участках PBOK и BQOK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, соответственно, имеет вид: abka cos x = av 2 ( v + 3t1v ) + 3 vv ( t1v + t2v ) , 2 2 2 2 a sin + b cos abkbsin 2 vv ( t1v + t2v ) , y = atg v ( v + 3t1v ) + 3 2 2 2 2 a sin + b cos z = hv ( v 2 + 3vv + 3t1v 2 ) , (6.10) b где v = 1 − v , 0; arctg , v 0; 1 , t1 0; 1 , t2 0; 1 , a abka cos 2 x = b ctg v v + 3 t v + 3 vv ( t1v + t2v ) , ( ) 1 2 2 2 2 a sin + b cos abkbsin y = bv 2 ( v + 3t v ) + 3 vv ( t1v + t2v ) , 1 2 2 2 2 a sin + b cos 2 2 z = hv ( v + 3vv + 3t1v ) . (6.11) b где v = 1 − v , arctg ; , v 0; 1 , t1 0; 1 , t2 0; 1 . a 2 Из выражений (6.10) и (6.11) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. На поверхности полученной оболочки существуют два диагональных меридиана с особыми точками, как последствие прямоугольного плана, что вызывает нежелательные результаты 190 при расчете такой оболочки. Прямоугольник, естественно, приближать к плавной замкнутой кривой, например, эллипсу. Варьируя параметрами ka и kb , определяющими большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, можно сгладить последствия прямоугольного плана. Изменяя параметры t1 и t2, определяющие точки T1 и Т2 симплекса KT2Т1N, вертикального сечения KN оболочки, можно регулировать «крутизну» условного меридиана поверхности вблизи вершины K оболочки, без учета ограничения на высоту h оболочки. Таблица 6.4. Конструирование поверхности оболочки с кривой третьего порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на Большая полуось а Малая полуось b Высота оболочки h эллиптической кривой Параметры k a и kb 2 4 3 ka=kb=1 2 4 3 ka=kb=3 Наглядное изображение поверхности оболочки 191 2 4 3 ka=kb=2 2 4 10 ka=kb=1 6.3.4. Конструирование отсека поверхности с Б 2 кривой в качестве образующей Пусть даны вершины прямоугольного плана A, B, C и D, AB = 2b , BC = 2a и высота h оболочки. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек PBQK (рис. 6.7): P ( a,0,0 ) ; B ( a, b,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . Сформируем прямоугольный план оболочки. Уравнение отрезка PB имеет вид: N = ( B − P)u + P, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка PB. Уравнение отрезка BQ имеет вид: N = (Q − B)u + B, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка BQ. 192 Рисунок 6.7. Схема задания поверхности оболочки покрытия на прямоугольном плане с помощью Б2 кривой (пример 4) Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей, в симплексе точек N1N2N, в виде дуги обвода Б 2 кривой, с горизонтальной касательной M1M2 в вершине K оболочки. Для этого создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение второй точки симплекса N1N2N, точки N1, симметричной точке N относительно вертикальной оси оболочки: – на участке PB: N1 = − N = ( P − B)u − P, – на участке BQ: N1 = − N = ( B − Q)u − B, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N1. Определим выражение третьей точки симплекса N1N2N, точки N2. Текущая точка M Б2 кривой, описывающей вертикальное сечение оболочки, пройдет через вершину K оболочки при горизонтальном 193 положении касательной M1M2, чему соответствует значение текущего параметра Б 2 кривой: v = NM1 1 1 OK . Тогда имеем: = = и N2 = 2K . 2 ON 2 NN 2 2 Окончательно, подставляя выражения точек N, N1 и N2 в уравнение дуги обвода Б 2 кривой KN, получим систему точечных уравнений поверхности четверти оболочки, высотой h на прямоугольном плане ABCD: M = ( B − P ) u + P (1 − 2v ) + 4 Kvv, M = ( Q − B ) u + B (1 − 2v ) + 4 Kvv, 1 где v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; . 2 В координатной форме, на участках PBOK и BQOK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, соответственно, имеет вид: x = a (1 − 2v ) , y = bu (1 − 2v ) , z = 4hvv, x = au (1 − 2v ) , y = b (1 − 2v ) , z = 4hvv, (6.12) 1 где v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; . 2 Из выражений (6.12) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении u = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. На поверхности полученной оболочки существуют два диагональных меридиана с особыми точками, как последствие прямоугольного плана, что вызывает нежелательные результаты при расчете такой оболочки на прочность. Варьируя высотой h оболочки, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов видимого контура оболочки к ее опорному краевому контуру. 194 Таблица 6.5. Конструирование поверхности оболочки с Б 2 кривой в качестве образующей Большая полуось a Малая полуось b Высота оболочки h 2 4 3 4 4 3 2 4 5 2 4 10 Наглядное изображение поверхности оболочки 195 6.3.5. Конструирование отсека поверхности с Б 3 кривой в качестве образующей Пусть даны вершины прямоугольного плана A, B, C и D, AB = 2b , BC = 2a , высота h оболочки и высота h2 симплекса точек N1N2N. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек PBQK (рис. 6.8): P ( a,0,0 ) ; B ( a, b,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . Рисунок 6.8. Схема задания поверхности оболочки покрытия на прямоугольном плане с помощью Б3 кривой (пример 5) Сформируем прямоугольный план оболочки. Уравнение отрезка PB имеет вид: N = ( B − P)u + P, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка PB. Уравнение отрезка BQ имеет вид: N = (Q − B)u + B, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N отрезка BQ. 196 Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей, в симплексе точек N1T2T1N (вершины ломаной Бернштейна), в виде дуги обвода Б 3 кривой, с горизонтальной касательной M1M2 в вершине K оболочки. Для этого создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение второй точки симплекса N1T2T1N, точки N1, симметричной точке N относительно вертикальной оси оболочки: – на участке PB: N1 = − N = ( P − B)u − P, – на участке BQ: N1 = − N = ( B − Q)u − B, где u 0; 1 – параметр, определяющий текущую точку N1. Определим выражения третьей и четвертой точек симплекса N1T2T1N, точек T1 и T2. Текущая точка M Б 3 кривой, описывающей вертикальное сечение оболочки, пройдет через вершину K оболочки при горизонтальном положении касательной M1M2, чему соответствует значение текущего параметра Б 3 кривой: v = 1 3h + 3h1 3h1 . Тогда имеем: h = 1 . = 2 8 4 T1 = ( N − N 2 ) h2 − h1 + N2 , h2 T2 = ( N1 − N 2 ) h2 − h1 + N2 , h2 где h2 – высота симплекса точек N1N2N, задающая угол наклона звеньев ломаной Бернштейна N1T2 и T1N, определяющей дугу обвода Б 3 кривой, к прямоугольному плану в точках N1 и N. Окончательно, подставляя выражения точек N, N1, T1, T2 и высоты h1 в уравнение дуги обвода Б 3 кривой KN, получим систему точечных уравнений поверхности четверти оболочки, высотой h на прямоугольном плане ABCD: 197 3 3 4h h 2 3 M = ( B − P ) u + P v − v + 3 − ( v − 3v + 2v ) + 4 N 2 vv, h2 h2 3 3 4h h 2 3 M = Q − B u + B v − v + 3 − v − 3 v + 2 v + 4 N vv, ( ) ( ) 2 h h 2 2 1 где v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; . 2 В координатной форме, на участках PBOK и BQOK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, соответственно, имеет вид: 3 3 4h 2 3 x = a v − v + 3 − v − 3 v + 2 v ) , ( h 2 4h y = bu v 3 − v 3 + 3 − ( v − 3v 2 + 2v 3 ) , h2 z = 4hvv, (6.13) 3 3 4h 2 3 x = au v − v + 3 − ( v − 3v + 2v ) , h2 4h y = b v 3 − v 3 + 3 − ( v − 3v 2 + 2v 3 ) , h2 z = 4hvv, (6.14) 1 где v = 1 − v , u 0; 1 , v 0; ; 2 h – высота (стрела подъема) оболочки; h2 – высота симплекса точек N1N2N, задающая угол наклона звеньев ломаной Бернштейна N1T2 и T1N, определяющей дугу обвода Б 3 кривой, к прямоугольному плану в точках N1 и N. Из выражений (6.13) и (6.14) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении u = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. На поверхности полученной оболочки 198 существуют два диагональных меридиана с особыми точками, как последствие прямоугольного плана, что вызывает нежелательные результаты при расчете такой оболочки на прочность. Варьируя высотой h2 симплекса точек N1N2N, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану, без учета высоты h оболочки. Таблица 6.6. Конструирование поверхности оболочки с Б 3 кривой в качестве образующей Большая полуось a Малая Высота полуось оболочки h b 2 4 6 4 4 6 2 4 15 2 4 3 Наглядное изображение поверхности оболочки 199 2 4 1 6.4. КОНСТРУИРОВАНИЕ ОТСЕКА ПОВЕРХНОСТИ ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ Рассмотрим геометрическое конструирование поверхности оболочки на эллиптическом плане, с заданной стрелой подъема и вертикальным сечением видимого контура поверхности оболочки. План определим эллипсом в симплексе перпендикулярными точек осями POQ, с симметрии, центром и двумя который взаимно расположен в горизонтальной плоскости. Стрелу подъема определим высотой h оболочки в ее вершине – в точке K. Вертикальное сечение оболочки зададим переменной образующей, в виде дуги обвода, в симплексе точек KTN. Так как рассматриваемые оболочки имеют симметричный характер, то поверхность оболочки разобьем плоскостями симметрии на четыре, зеркально расположенные, части. Достаточно определить четверть поверхности оболочки, так как остальные четверти будут зеркальными отражениями относительно плоскостей симметрии. Чтобы поверхность в заданной точке K не являлась особой, касательную плоскость в этой точке будем фиксировать горизонтально, чем назначим еще одно условие для конструируемых поверхностей. Приведем несколько примеров поверхностей оболочек, в различных параметризациях, на эллиптическом (круговом) плане. 200 6.4.1. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной Пусть даны вершины эллиптического плана P и Q, QO = b , PO = a , высота h оболочки и угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану (рис. 6.9). Рисунок 6.9. Схема задания поверхности оболочки покрытия на эллиптическом плане по заданному углу наклона касательной (пример 1) Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQK: P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ) . Сформируем эллиптический план оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a 2sin 2 + b2cos2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Сформируем вертикальное сечение оболочки переменной образующей, в симплексе точек KTN, в виде дуги обвода кривой второго порядка – параболы, с горизонтальной касательной KT в вершине K оболочки и углом 201 примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану в текущей точке N. Для этого создадим переменную дугу параболического обвода KN. Определим выражение третьей точки симплекса KTN, точки T пересечения касательных KT и TN дуги обвода KN: htg T = N 1 − + K , ON где h – высота оболочки; – угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану. После преобразования, определим длину ON : ON = O NN Pbcos + Qasin = N 2 = a 2sin 2 + b 2cos 2 ab = . 2 2 2 2 a sin + b cos 2 = Окончательно, подставляя выражения точек Т и N в уравнение дуги параболического обвода KN (5.67), получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h на эллиптическом плане POQ: htg a 2sin 2 + b 2cos 2 M= v v + 2 1 − ab a 2sin 2 + b2cos 2 Pbcos + Qasin v + Kv ( 2 − v ) . В координатной форме, на участке POQK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, имеет вид: htg a 2sin 2 + b 2cos 2 abcos x = v v + 2 1 − v , ab a 2sin 2 + b 2cos 2 htg a 2sin 2 + b 2cos 2 ab sin y = v v + 2 1 − v , (6.15) 2 2 2 2 ab a sin + b cos z = hv ( 2 − v ) , где v = 1 − v , 0; , v 0; 1 . 2 202 Из выражений (6.15) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. Варьируя углом , можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов видимого контура оболочки к ее опорному краевому контуру. Таблица 6.7. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго Большая полуось a Малая полуось b Высота оболочки h порядка в качестве образующей и с заданным углом наклона касательной Угол примыкания конструктив ных элементов оболочки к ее плану 2 4 3 6 4 4 3 6 2 4 3 2 4 10 − Наглядное изображение поверхности оболочки 3 6 203 6.4.2. Конструирование отсека поверхности с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой Пусть даны вершины эллиптического плана P и Q, QO = b , PO = a , высота h оболочки и параметры ka , kb , определяющие большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки соответственно, в горизонтальной плоскости вершины оболочки, KE = ka a, KF = kbb . Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQK (рис. 6.10): P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ). Рисунок 6.10. Схема задания поверхности оболочки покрытия на эллиптическом плане по заданным параметрам эллиптической кривой (пример 2) Сформируем эллиптический план оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 204 Сформируем вертикальное сечение оболочки переменной образующей, в симплексе точек KTN, в виде дуги обвода кривой второго порядка – параболы, с горизонтальной касательной KT в вершине K оболочки и вершиной симплекса горизонтальной на эллиптической плоскости вершины кривой, оболочки. расположенной Для этого в создадим переменную дугу параболического обвода KN. Определим выражение третьей точки симплекса KTN, вершины T симплекса на эллиптической кривой при пересечении касательных KT и TN дуги обвода KN. Для этого определим выражения точек E и F, в симплексе которых зададим текущую точку T эллипса. Из рисунка 6.10 замечаем, что: KE KE = = ka → E − K = ( R − K )ka → OP KR → E − K = ( P + K − K )ka → → E = Pka + K ; F = Qkb + K . Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: T= ( E − K ) b cos + ( F − K ) a sin + K , a sin + b cos 2 2 2 2 (6.16) где 0; – параметр, определяющий текущую точку T эллипса. 2 После подстановки выражений точек E и F в выражение (6.16), получим: T= Pkab cos + Qkb a sin a 2 sin 2 + b2 cos 2 + K. Окончательно, подставляя выражения точек Т и N в уравнение дуги параболического обвода KN (5.67), получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h на эллиптическом плане POQ: M= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 v2 + 2 Pbka cos + Qakbsin a sin + b cos 2 205 2 2 2 vv + Kv ( 2 − v ). В координатной форме, на участке POQK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, имеет вид: abcos x = v ( v + 2k a v ) , 2 2 2 2 a sin + b cos absin y = v ( v + 2 kb v ) , 2 2 2 2 a sin + b cos z = hv ( 2 − v ) , (6.17) где v = 1 − v , 0; , v 0; 1 . 2 Из выражений (6.17) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. Эллиптический план, естественно, приближать к плавной замкнутой кривой, например, эллипсу. Варьируя параметрами ka и kb , определяющими большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов видимого контура оболочки к ее опорному краевому контуру. Таблица 6.8. Конструирование поверхности оболочки с кривой второго порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической 3 Малая полуось b Высота оболочки h Большая полуось a кривой 4 3 Параметры k a и kb ka=kb= Наглядное изображение поверхности оболочки 1 2 206 3 4 3 ka=kb=1 3 4 3 ka=kb=3 3 4 10 ka=kb= 1 2 6.4.3. Конструирование отсека поверхности с кривой третьего порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на эллиптической кривой Пусть даны вершины эллиптического плана P и Q, QO = b , PO = a ; высота h оболочки; параметры ka , kb , определяющие большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, соответственно, KE = ka a , KF = kbb ; параметры t1 , t2 , определяющие точки симплекса вертикального сечения KN оболочки. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQK (рис. 6.11): P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ). 207 Рисунок 6.11. Схема задания поверхности оболочки покрытия на эллиптическом плане по заданным параметрам эллиптической кривой и параметрам t1 , t2 (пример 3) Сформируем эллиптический план оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a 2sin 2 + b2cos2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Сформируем вертикальное сечение оболочки переменной образующей, в симплексе точек KT2Т1N, в виде дуги обвода кривой третьего порядка – кривой Безье, с горизонтальной касательной KT2 в вершине K оболочки и вершиной симплекса горизонтальной на плоскости эллиптической вершины кривой, оболочки. Для расположенной этого в создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение третьей точки симплекса KTN, вершины T симплекса на эллиптической кривой при пересечении касательных KT и TN дуги обвода KN. Для этого определим выражения точек E и F, в симплексе которых зададим текущую точку T эллипса. Из рисунка 6.11 замечаем, что: 208 KE KE = = ka → E − K = ( R − K )ka → OP KR → E − K = ( P + K − K )ka → → E = Pka + K ; F = Qkb + K . Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: T= ( E − K ) b cos + ( F − K ) a sin + K , (6.18) a 2 sin 2 + b2 cos 2 где 0; – параметр, определяющий текущую точку T эллипса. 2 После подстановки выражений точек E и F в выражение (6.18), получим: T= Pkab cos + Qkb a sin a sin + b cos 2 2 2 2 + K. Определим выражения точек T1 и Т2 симплекса KT2Т1N, вертикального сечения KN оболочки, через параметры t1 , t2 : T1 = Nt1 + Tt1 , T2 = Tt2 + Kt2 , где t1 0; 1 , t2 0; 1 , T1 = Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 T2 = 2 t1 + Pkabcos + Qkb asin a sin + b cos 2 2 Pkabcos + Qkb asin a sin + b cos 2 2 2 2 2 2 t1 + Kt1 , t2 + K . Окончательно, подставляя выражения точек N, T1 и Т2 в уравнение дуги обвода кривой третьего порядка KN (5.100), получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h на эллиптическом плане POQ: 209 M= +3 Pb cos + Qa sin a 2 sin 2 + b 2 cos 2 Pkab cos + Qkb a sin a 2 sin 2 + b 2 cos 2 v 2 ( v + 3t1v ) + vv ( t1v + t2v ) + Kv ( v 2 + 3vv + 3t1v 2 ). В координатной форме, на участке POQK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, имеет вид: abcos x = v 2 ( v + 3t1v ) + 3ka vv ( t1v + t2v ) ) , ( a 2sin 2 + b 2cos 2 absin v 2 ( v + 3t1v ) + 3kbvv ( t1v + t2v ) ) , ( y = a 2sin 2 + b 2cos 2 z = hv ( v 2 + 3vv + 3t1v 2 ) , (6.19) где v = 1 − v , 0; , v 0; 1 , t1 0; 1 , t2 0; 1 . 2 Из выражений (6.19) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. Эллиптический план, естественно, приближать к плавной замкнутой кривой, например, эллипсу. Варьируя параметрами ka и kb , определяющими большую и малую ось эллиптической кривой, которая задает вершину симплекса вертикального сечения оболочки в горизонтальной плоскости вершины оболочки, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов видимого контура оболочки к ее опорному краевому контуру. Изменяя параметры t1 и t2, определяющие точки T1 и Т2 симплекса KT2Т1N, вертикального сечения KN оболочки, можно регулировать “крутизну” условного меридиана поверхности вблизи вершины K оболочки, без учета ограничения на высоту h оболочки. 210 Таблица 6.9. Конструирование поверхности оболочки с кривой третьего порядка в качестве образующей и с вершиной симплекса на Большая полуось a Малая полуось b Высота оболочки h эллиптической кривой 3 4 3 ka=kb= 3 4 3 ka=kb=1 3 4 3 ka=kb=3 3 4 10 ka=kb= Параметры k a и kb Наглядное изображение поверхности оболочки 1 2 1 2 211 6.4.4. Конструирование отсека поверхности с Б 2 кривой в качестве образующей Пусть даны вершины эллиптического плана P и Q, QO = b , PO = a ; высота h оболочки. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQK (рис. 6.12): P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ). Рисунок 6.12. Схема задания поверхности оболочки покрытия на эллиптическом плане с помощью Б2 кривой (пример 4) Сформируем эллиптический план оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей, в симплексе точек N1N2N, в виде дуги обвода Б 2 212 кривой, с горизонтальной касательной M1M2 в вершине K оболочки. Для этого создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение второй точки симплекса N1N2N, точки N1, симметричной точке N относительно вертикальной оси оболочки: N1 = − N = − Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 . Определим выражение третьей точки симплекса N1N2N, точки N2. Текущая точка M Б2 кривой, описывающей вертикальное сечение оболочки, пройдет через вершину K оболочки при горизонтальном положении касательной M1M2, чему соответствует значение текущего параметра Б 2 кривой: v = NM1 1 1 OK . Тогда имеем: = = и N2 = 2K . ON 2 NN 2 2 2 Окончательно, подставляя выражения точек N, N1 и N2 в уравнение дуги обвода Б 2 кривой KN, получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h на эллиптическом плане POQ: M= Pbcos + Qasin a 2sin 2 + b2cos 2 (1 − 2v ) + 4Kvv. В координатной форме, на участке POQK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, имеет вид: abcos (1 − 2v ) , x= 2 2 2 2 a sin + b cos absin (1 − 2v ) , y= 2 2 2 2 a sin + b cos z = 4hvv, (6.20) 1 где v = 1 − v , 0; , v 0; . 2 2 Из выражений (6.20) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы 213 поверхности) оболочки. Варьируя высотой h оболочки, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану. Таблица 6.10. Конструирование поверхности оболочки с Б 2 кривой в качестве образующей Большая полуось a Малая полуось b Высота оболочки h 3 4 3 4 4 3 3 4 5 3 4 10 Наглядное изображение поверхности оболочки 214 6.4.5. Конструирование отсека поверхности с Б 3 кривой в качестве образующей Пусть даны вершины эллиптического плана P и Q, QO = b , PO = a ; высота h оболочки и высота h2 симплекса точек N1N2N. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQK (рис. 6.13): P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ); K ( 0,0, h ). Рисунок 6.13. Схема задания поверхности оболочки покрытия на эллиптическом плане с помощью Б3 кривой (пример 5) Сформируем эллиптический план оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 215 Сформируем вертикальное сечение видимого контура оболочки переменной образующей в симплексе точек N1T2T1N (вершины ломаной Бернштейна), в виде дуги обвода Б 3 кривой, с горизонтальной касательной M1M2 в вершине K оболочки. Для этого создадим переменную дугу обвода KN. Определим выражение второй точки симплекса N1T2T1N, точки N1, симметричной точке N относительно вертикальной оси оболочки: N1 = − N = − Pbcos + Qasin a 2sin 2 + b2cos 2 , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Определим выражения третьей и четвертой точек симплекса N1T2T1N, точек T1 и T2. Текущая точка M Б 3 кривой, описывающей вертикальное сечение оболочки, пройдет через вершину K оболочки при горизонтальном положении касательной M1M2, чему соответствует значение текущего параметра Б 3 кривой: v = 1 3h + 3h1 3h1 . Тогда имеем: h = 1 . = 2 8 4 T1 = ( N − N 2 ) h2 − h1 + N2 , h2 T2 = ( N1 − N 2 ) h2 − h1 + N2 , h2 где h2 – высота симплекса точек N1N2N, задающая угол наклона звеньев ломаной Бернштейна N1T2 и T1N, определяющей дугу обвода Б 3 кривой, к эллиптическому плану в точках N1 и N. Окончательно, подставляя выражения точек N, N1, T1, T2 и высоты h1 в уравнение дуги обвода Б 3 кривой KN, получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h на эллиптическом плане POQ: M= Pbcos + Qasin 3 3 4h h v − v + 3 − ( v − 3v 2 + 2v3 ) + 4 N 2 vv. h2 h2 a 2sin 2 + b2cos 2 216 В координатной форме, на участке POQK, система точечных уравнений поверхности четверти оболочки, имеет вид: 3 3 ab cos 4h v − v + 3 − ( v − 3v 2 + 2v 3 ) , x = h2 a 2 sin 2 + b 2 cos 2 3 3 ab sin 4h y = v − v + 3 − ( v − 3v 2 + 2v 3 ) , h2 a 2 sin 2 + b 2 cos 2 z = 4hvv, (6.21) 1 где v = 1 − v , 0; , v 0; . 2 2 h – высота (стрела подъема) оболочки; h2 – высота симплекса точек N1N2N, задающая угол наклона звеньев ломаной Бернштейна N1T2 и T1N, определяющей дугу обвода Б 3 кривой, к эллиптическому плану в точках N1 и N. Из выражений (6.21) видно, что при значении v = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. Варьируя высотой h2 симплекса точек N1N2N, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов видимого контура оболочки к ее опорному краевому контуру, без учета высоты h оболочки. Таблица 6.11. Конструирование поверхности оболочки с Б 3 кривой в качестве образующей Большая полуось a Малая полуось b Высота оболочки h 3 4 6 Наглядное изображение поверхности оболочки 217 4 4 6 3 4 15 3 4 3 3 4 1 6.5. ТОРСОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С РЕБРОМ ВОЗВРАТА В ВИДЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ БЕЗЬЕ 3-ГО ПОРЯДКА Торсовой поверхностью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касающейся некоторой направляющей в виде пространственной кривой, которая является ребром возврата. Торсовая поверхность (рис. 6.14) может быть развернута в плоскость без складок и разрывов, получена изгибанием плоскости, что имеет большое значение при практическом применении такой поверхности. 218 Рисунок 6.14. Задание торсовой поверхности с ребром возврата в виде пространственной кривой двоякой кривизны Вид поверхности с ребром возврата зависит от вида самого ребра возврата. Определим торсовую поверхность по ребру возврата, которое представляет собой пространственную кривую двоякой кривизны и определяется уравнением: N = ( A − D ) u ( t ) + ( B − D ) v ( t ) + ( C − D ) w ( t ) + D, (6.22) где u ( t ) , v ( t ) , w ( t ) – произвольные функции от параметра t , сумма которых не равняется единице. Касательную в текущей точке кривой (6.22) определим точкой N и точкой пересечения касательной с плоскостью ABC – N ABC . Для задания касательной используем общее определение касательной в математическом анализе, как предел хорды при сближении ее концов. Принимая за начало хорды точку N на кривой, определим ее конец: N = ( A − D ) u ( t + t ) + ( B − D ) v (t + t ) + (C − D ) w (t + t ) + D. где t − приращение параметра t для определения конца хорды. Уравнение хорды имеет вид: N1 = ( N − N ) x + N = ( A − D ) u ( t + t ) − u ( t ) x + u (t ) + + ( C − D ) w ( t + t ) − w ( t ) x + w ( t ) + D. + ( B − D ) v ( t + t ) − v ( t ) x + v ( t ) + 219 (6.23) С помощью V-теоремы ТИ, найдем выражение параметра х точки пересечения хорды NN с плоскостью АВС: u ( t + t ) − u ( t ) x + u ( t ) v ( t + t ) − v ( t ) x + v ( t ) w ( t + t ) − w ( t ) x + w (t ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Тогда имеем: x = 1 1 = 0. 1 1 1− u − v − w . u ( t + t ) − u + v ( t + t ) − v + w ( t + t ) − w Подставляя выражение параметра х в уравнение хорды (6.23), получим ее след на плоскости АВС: ( u ( t + t ) − u ( t ) ) (1 − u − v − w) N ABC = ( A − D ) + u + u ( t + t ) − u ( t ) + v ( t + t ) − v ( t ) + w ( t + t ) − w ( t ) ( v ( t + t ) − v ( t ) ) (1 − u − v − w ) +( B − D) + v + u ( t + t ) − u ( t ) + v ( t + t ) − v ( t ) + w ( t + t ) − w ( t ) ( w ( t + t ) − w ( t ) ) (1 − u − v − w ) + (C − D ) + w + D. u ( t + t ) − u ( t ) + v ( t + t ) − v ( t ) + w ( t + t ) − w ( t ) Поделив числитель и знаменатель на t и перейдя к пределу при t → 0 , после преобразования, получим: N ABC = ( A − D ) + ( B − D) + (С − D ) u ( t ) v ( t ) + w ( t ) + u ( t ) 1 − v ( t ) − w ( t ) + v ( t ) u ( t ) + w ( t ) + v ( t ) 1 − u ( t ) − w ( t ) + w ( t ) u ( t ) + v ( t ) + w ( t ) 1 − u ( t ) − v ( t ) + D, u (t ) + v (t ) + w (t ) u (t ) + v (t ) + w (t ) u (t ) + v (t ) + w (t ) где u ( t ) , v ( t ) , w ( t ) − производные функций u ( t ) , v ( t ) , w ( t ) , соответственно, по параметру t. Принимая во внимание, что N ABC принадлежит плоскости АВС, получим уравнение: 220 N ABC = ( A − C ) +(B − C) u ( t ) v ( t ) + w ( t ) + u ( t ) 1 − v ( t ) − w ( t ) u (t ) + v (t ) + w (t ) v ( t ) u ( t ) + w ( t ) + v ( t ) 1 − u ( t ) − w ( t ) u (t ) + v (t ) + w (t ) + (6.24) + C. Уравнение (6.24) определяет множество точек на плоскости АВС, которые вместе с текущей точкой N пространственной кривой двоякой кривизны (6.22), определяют множество касательных, образующих торсовую поверхность. Задача. Определить в точечной форме и представить наглядное изображение торсовой поверхности, ребро возврата которой задано в виде пространственной кривой Безье в симплексе ABCD: N = At 3 + 3Bt 2t + 3Ctt 2 + Dt 3. Решение. Согласно (6.22), имеем: u ( t ) = t 3 , v ( t ) = 3t 2t , w ( t ) = 3tt 2 , откуда получим: u ( t ) = −3t 2 , v ( t ) = 3( −2tt + t 2 ) = 3t (1 − 3t ) , w ( t ) = 3( 2tt − t 2 ) = 3t ( 2 − 3t ) После подстановки функций и их производных в уравнение (6.24) для определения N ABC , получим точки пересечения касательных с плоскостью АВС: N ABC = ( A − C ) t 2 + 2 ( B − C ) tt + C. (6.25) Уравнение (6.25) определяет множество точек на плоскости АВС, которые вместе с текущей точкой N пространственной кривой Безье (5.100), определяют множество касательных, образующих торсовую поверхность. Наглядное изображение отсека торсовой поверхности приведено на рисунке 6.15. 221 Рисунок 6.15. Наглядное изображение отсека торсовой поверхности 6.6. КОНСТРУИРОВАНИЕ КАРКАСА ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ ПОКРЫТИЯ С ДВУМЯ КРАЕВЫМИ КОНТУРАМИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ПЛАНЕ Рассмотрим геометрическое конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с большим вырезом на эллиптическом плане, с заданной стрелой подъема и вертикальным сечением оболочки. План и вырез покрытия определим эллипсами в симплексах точек POQ и P1O1Q1, соответственно, с центрами и двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, которые расположены в горизонтальных плоскостях. Высоту h оболочки зададим через величину стрелы подъема. Вертикальное сечение оболочки зададим переменной образующей, в симплексе точек KTN. Так как рассматриваемые оболочки имеют симметричный характер, то поверхность оболочки разобьем плоскостями симметрии на четыре, зеркально расположенные, части. Достаточно определить четверть поверхности оболочки, так как остальные четверти будут зеркальными отражениями 222 относительно плоскостей симметрии. Приведем два примера поверхности оболочки покрытия с большим вырезом на эллиптическом плане. 6.6.1. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром вдоль малой оси плана покрытия Пусть даны вершины эллиптического плана (опорный краевой контур) P и Q, вершины эллиптического выреза (свободный краевой контур) P1 и Q1, QO = b , PO = a , Q1O1 = b1 , PO 1 1 = a1 , стрела подъема f оболочки (рис. 6.16). Рисунок 6.16. Формирование плана и разреза каркаса поверхности оболочки покрытия стадиона по заданным опорному краевому, свободному краевому и видимому контурам Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQP1O1Q1: P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ) ; P1 ( a1,0, h ) ; O1 ( 0,0, h ) ; Q1 ( 0, b1, h ) , где h – высота оболочки, которая определяется через величину стрелы подъема. Сформируем эллиптический опорный краевой контур оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с 223 вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 (6.26) , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Сформируем эллиптический свободный краевой контур оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (5.20), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: K= ( P1 − O1 ) b1cos + ( Q1 − O1 ) a1sin + O , 1 a12sin 2 + b12cos 2 (6.27) где 0; – параметр, определяющий текущую точку K эллипса. 2 Сформируем видимый контур оболочки (рис. 6.17), проходящий через малую ось эллиптического плана покрытия, в симплексе точек KTN. z Ki T ≡ Ti F Q1 O1 Mj M h Q ≡ Ni E y D O b – b1 Рисунок 6.17. Формирование вертикального сечения поверхности оболочки переменной образующей по заданному видимому контуру Видимый контур оболочки определим с помощью дуги кривой 2-го порядка – параболы, описывающей рациональную ось конструктивного элемента оболочки: 224 z= 4 fy ( L − y ) , L2 (6.28) где L = 2b – пролет оболочки покрытия в направлении малой оси плана; f = L 10 – стрела подъема оболочки покрытия. Зададим переменную дугу параболы KiNi путем сжатия дуги параболы (6.28) к вертикальной оси оболочки. Определим выражение точки E, принимая в качестве параметра t расстояние QE: t QE t = → E = ( D − Q) + Q. b − b1 QD b − b1 Из параллелограмма QDQ1T, определим: D = Q + Q1 − T . Далее, находим: 4 ft ( L − t ) L2 t(L − t) QF = 2 = . QT L 4 f ( b − b1 )( L − b + b1 ) ( b − b1 )( L − b + b1 ) Тогда, имеем: F = (T − Q ) t(L − t) + Q. ( b − b1 )( L − b + b1 ) Из параллелограмма MFQE, имеем: M = F + E −Q (6.29) Окончательно, подставляя выражения точек D, F и E в уравнение дуги параболы KN (6.29), получим: M = (T − Q ) t(L − t) t + ( Q1 − T ) + Q. b − b1 ( b − b1 )( L − b + b1 ) Перейдем к текущему симплексу KiTiNi. Уравнение переменной дуги параболы KiNi, полученной путем сжатия дуги параболы (6.29) к вертикальной оси оболочки, имеет вид: M i,j = ( Ni − Ti ) ( b − b1 )( L − b + b1 ) − t ( L − t ) + ( Ki − Ti )( L − b + b1 ) t + Ti , ( b − b1 )( L − b + b1 ) 225 (6.30) где t 0; b − b1 – параметр, определяющий текущую точку Mi,j дуги параболы текущего вертикального сечения оболочки; KiTiNi – точки симплекса текущего вертикального сечения оболочки, определяемые выражениями (6.26) и (6.27) через равный угол , путем вписания в эллипсы равнозвенных пространственных ломаных. Из выражений (6.26), (6.27) и (6.30) видно, что при значении t = const получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки. При значении = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки. Варьируя стрелой подъема f оболочки, можно регулировать угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану, и высоту h оболочки. Таблица 6.12. Поверхность оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром вдоль малой оси b1 Высота оболочки h a1 Малая полуось b Большая полуось a Малая полуось Большая полуось плана покрытия при изменении параметра стрелы подъема f оболочки 3 4 2 3 1 4 4 3 3 1 226 Наглядное изображение поверхности оболочки 4 4 2 3 1 3 4 2 2 1 3 4 1 2 1 2 1 3 4 2 1 1 6.6.2. Конструирование каркаса поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром, с двумя заданными углами примыкания конструктивных элементов оболочки Пусть даны вершины эллиптического плана (опорный краевой контур) P и Q, вершины эллиптического выреза (свободный краевой контур) P1 и Q1, QO = b , PO = a , Q1O1 = b1 , PO 1 1 = a1 , высота h оболочки и углы и 1 примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану и вырезу, соответственно. Рассмотрим поверхность четверти оболочки в симплексе точек POQP1O1Q1 (рис. 6.18): P ( a,0,0 ) ; O ( 0,0,0 ) ; Q ( 0, b,0 ) ; P1 ( a1,0, h ) ; O1 ( 0,0, h ) ; Q1 ( 0, b1, h ) . 227 z P1 T3 T1 O1 T2 Q1 K T h M O P x Q N y Рисунок 6.18. Схема задания поверхности оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане Сформируем эллиптический опорный краевой контур оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (2.40), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: N= Pbcos + Qasin a sin + b cos 2 2 2 2 (6.31) , где 0; – параметр, определяющий текущую точку N эллипса. 2 Сформируем эллиптический свободный краевой контур оболочки. Согласно точечному уравнению эллипса с текущим параметром угла с вершиной в центре эллипса (2.40), точечное уравнение четверти эллипса имеет вид: K= ( P1 − O1 ) b1cos + ( Q1 − O1 ) a1sin + O , a12sin 2 + b12cos 2 1 (6.32) где 0; – параметр, определяющий текущую точку K эллипса. 2 Сформируем видимый контур оболочки переменной образующей в симплексе точек KTN, в виде дуги обвода кривой второго порядка – параболы, с углами и 1 примыкания конструктивных элементов оболочки 228 к ее плану, в текущей точке N, и вырезу, в текущей точке K, соответственно. Для этого создадим переменную дугу параболического обвода KN (рис. 6.19). z T T 3 2 T K O1 α α T1 M 1 h O x N Рисунок 6.19. Формирование вертикального сечения поверхности оболочки переменной образующей по заданному видимому контуру Определим выражение третьей точки симплекса KTN, точки T пересечения касательных KT2 и T1N дуги обвода KN. Для этого определим выражения точек T1 и Т2: htg T1 = N 1 − + O1 , ON где h – высота оболочки; – угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану. После преобразования, определим выражение длины ON : ON = O NN Pbcos + Qasin = N 2 = a 2sin 2 + b2cos 2 2 ab . = 2 2 2 2 a sin + b cos KT3 tg1 T2 = O1 1 − + N, h (6.33) где h – высота оболочки; 1 – угол примыкания конструктивных элементов оболочки к ее вырезу. После преобразования, определим выражение длины KT3 : KT3 = ON − O1K = ab a 2sin 2 + b2cos 2 229 − a1b1 a1 sin 2 + b1 cos 2 2 2 . Окончательно, выражение точки T пересечения касательных KT2 и T1N дуги обвода KN: T= где ST2 KT1 T2 T2 T2 ( 1 = 2 KK T1T1 KT1 T2 T2 KK T1T1 NST2 KT1 + T1ST2 NK , ST2 KT1 + ST2 NK ( ) , 2 T2 − KT1 = ( K − T2 ) = ( xK − xT2 ) + ( yK − yT2 ) + ( zK − zT2 ) ; 2 2 2 2 = (T1 − T2 ) = ( xT1 − xT2 ) + ( yT1 − yT2 ) + ( zT1 − zT2 ) ; 2 2 2 2 = ( K − T2 )(T1 − T2 ) = = xK − xT2 )( x T1 ) ( − xT2 + yK − yT2 )( y T1 ) ( − yT2 + z K − zT2 )( z T1 ) − zT2 ; ( ) ; ST2 NK = 1 2 = ( K − N ) = ( xK − xN ) + ( yK − yN ) + ( zK − z N ) ; N KK T2T2 KT2 N N N N KK T2T2 − 2 N KT2 2 2 2 2 = (T2 − N ) = ( xT2 − xN ) + ( yT2 − yN ) + ( zT2 − z N ) ; 2 2 2 2 = ( K − N )(T2 − N ) = ( ) ( ) ( ) = ( xK − xN ) xT2 − xN + ( yK − yN ) yT2 − yN + ( zK − z N ) zT2 − z N . Окончательно, подставляя выражения точек K, T и N в уравнение дуги параболического обвода KN (5.67), получим точечное уравнение поверхности четверти оболочки, высотой h, с эллиптическим вырезом P1O1Q1 на эллиптическом плане POQ: M = Nv 2 + 2Tvv + Kv2 , где v = 1 − v , v 0; 1 , 0; . 2 Из выражений (6.31), (6.32) и (6.33) видно, что при значении v = const не получим горизонтальные сечения (условные параллели поверхности) оболочки, так как точка T, симплекса KTN, имеет различные высотные координаты в текущем вертикальном сечении оболочки. При значении 230 = const получим вертикальные сечения (условные меридианы поверхности) оболочки, проходящие через вертикальную ось оболочки. Варьируя углами и 1 , можно регулировать углы примыкания конструктивных элементов оболочки к ее плану и вырезу. Таблица 6.13. Поверхность оболочки покрытия с двумя краевыми контурами на эллиптическом плане и видимым контуром при изменении параметров углов и 1 примыкания конструктивных элементов оболочки к b1 3 4 2 3 9 3 4 2 3 0 3 4 2 3 6 4 4 3 3 9 1 231 Наглядное изображение поверхности оболочки Угол примыкания b Малая полуось a1 Большая полуось Большая полуось a Малая полуось ее плану и вырезу 3 4 1 2 1 2 9 3 4 2 1 9 6.7. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В инженерной практике встречается целый класс задач связанных построением обводов высших порядков гладкости (2 и более). Особенно эти задачи является актуальными там, где имеют место высокие скорости движения жидкости и газа. Существует огромное количество работ, посвящённых решению этой задачи, которые опираются на достаточно сложные алгоритмы, связанные с определением нужного количества производных в месте стыковки. Например, профилирование лопатки газотурбинного двигателя с помощью параболического обвода и кривых Безье 3-го порядка. В практике проектирования поверхности крыла летательного аппарата чаще всего используется профиль Жуковского. Общим недостатком всех этих методов является то, что кривая профиля представляется в виде кусочно-гладкой функции, состоящей из нескольких дуг, которые ещё нужно стыковать друг с другом как минимум по второму порядку гладкости, что требует достаточно больших и громоздких вычислений. Вместе с тем, можно эту задачу решить исключительно геометрически. Чтобы избежать необходимости стыковки дуг, с каким-либо порядком гладкости, достаточно сконструировать единую кривую, которая не только будет иметь необходимую форму, 232 но и обладать необходимыми аэродинамическими характеристиками без необходимости проведения громоздких вычислений. Для этого достаточно заложить все необходимые свойства изначально при конструировании такой кривой. Так для обеспечения порядка гладкости единой кривой, достаточно заложить, чтобы на необходимом участке дуга кривой была непрерывной и дифференцируемой, а также имела непрерывные производные. 6.7.1. Конструирование замкнутых дуг кривых 3-го порядка Кривая одного отношения получается при согласовании двух дуг кривых 2-го порядка с помощью одного и того же параметра в соответствии с геометрической схемой конструирования дуги кривой. При этом движение текущих точек исходных кривых 2-го порядка и текущей точки переменного отрезка прямой, соединяющего текущие точки исходных кривых 2-го порядка, согласовано с помощью одного и того же параметра, в качестве которого используется преобразованное простое отношение трех точек прямой. Используя встречное направление движения текущих точек исходных дуг кривых 2-го порядка, получим замкнутую дугу кривой 3-го порядка. Рассмотрим первую из геометрических схем конструирования дуги кривой 3-го порядка (рис. 6.20). Две дуги кривой 2-го порядка определяются в одном и том же симплексе АВС и одним и тем же параметром u, но разным отношением на медиане. При этом текущие точки движутся по встречным направлениям: точка Q от точки А к точке В, а точка Р от точки В к точке А (рис. 6.20). 233 Рисунок 6.20. Геометрическая схема №1 конструирования замкнутой кривой 3-го порядка Исходя из (5.90), получим точечные уравнения исходных дуг кривых 2го порядка для конструирования замкнутой кривой 3-го порядка: k Pu 2 k Pu 2 P = ( A − C) + (B − C) + C, k P (1 − 2u ) 2 + 2uu k P (1 − 2u ) 2 + 2uu Q = ( A − C) kQu 2 kQ (1 − 2u ) 2 + 2uu + (B − C) kQu 2 kQ (1 − 2u ) 2 + 2uu + C. Дуга кривой 3-го порядка образована движением текущей точки M (рис. 6.20) по переменному отрезку PQ : M = Pu + Qu. После подстановки и преобразований получим точечное уравнение замкнутой дуги кривой 3-го порядка, соответствующее геометрической схеме №1 (рис. 6.20): kQu 2u k P u 2u M = ( A − C) + + 2 2 k P (1 − 2u ) + 2uu kQ (1 − 2u ) + 2uu kQu 3 k Pu 3 +(B − C) + + C. 2 2 k P (1 − 2u ) + 2uu kQ (1 − 2u ) + 2uu Рассмотрим следующую геометрическую схему конструирования замкнутой дуги кривой 3-го порядка (рис. 6.21). Аналогично геометрической схеме №1 (рис. 6.20), в геометрической схеме №2 движение текущих точек исходных кривых 2-го порядка осуществляется по встречным направлениям. 234 Рисунок 6.21. Геометрическая схема №2 конструирования замкнутой кривой 3-го порядка Точечные уравнения направляющих исходных дуг кривых 2-го порядка имеют следующий вид: k Pu 2 k Pu 2 P = ( A − C) + (B − C) + C, k P (1 − 2u ) 2 + 2uu k P (1 − 2u ) 2 + 2uu Q = (C − A) kQu 2 kQ (1 − 2u ) 2 + 2uu + ( B − A) kQ u 2 kQ (1 − 2u ) 2 + 2uu + A. Тогда точечное уравнение искомой дуги кривой 3-го порядка, геометрическая схема которой представлена на рисунке 6.21, имеет следующий вид: kQu ( u 2 + u 2 ) k P u 2u M = ( A − C ) u + − + 2 2 k P (1 − 2u ) + 2uu kQ (1 − 2u ) + 2uu kQu 3 k Pu 3 +(B − C) + + C. 2 2 k P (1 − 2u ) + 2uu kQ (1 − 2u ) + 2uu В обоих точечных уравнениях параметры kP и kQ определяют вид исходных дуг кривых 2-го порядка. Изменяя эти параметры в пределах от 0 до 1, получим различные вариации формы гипотетического профиля крыла летательного аппарата. Визуализации результатов конструирования замкнутых дуг кривых 3го порядка по геометрических схемам №1 и №2 представлена в таблице 6.14. 235 Таблица 6.14. Графическая визуализация замкнутых дуг кривых 3-го порядка Вид исходной Значения № дуги параметров п/п кривой 2формы го порядка Эллипс kP = 0,8 Парабола kQ = 0,5 Эллипс kP = 0,9 Эллипс kQ = 0,6 Парабола kP = 0,5 Эллипс kQ = 0,8 Гипербола kP = 0,2 Эллипс kQ = 0,8 Графическая визуализация дуги к3п в зависимости от геометрической схемы конструирования кривой Схема профиля №1 Схема профиля №2 (рис. 6.20) (рис. 6.21) 1 2 3 4 В таблице 6.14 приведены лишь некоторые возможные комбинации исходных дуг кривых 2-го порядка, которые определяются параметрами kP и kQ. Как видно из таблицы 6.14, эти параметры определяют геометрическую форму профиля поверхности, а, следовательно, и её аэродинамические свойства. Для описания формы профиля крыла летательного аппарата наиболее подходящими являются следующие пределы изменения параметров 236 формы: 0,1 kP 0,4 и 0,6 kQ 0,9 . Следует также отметить, что при исследовании влияния параметров kP и kQ дуги замкнутой кривой на её форму, были зафиксированы координаты точек симплекса ABC , которые также в ТИ являются не только параметрами положения, но и параметрами формы. Поэтому возможны и другие комбинации параметров формы kP и kQ совместно с другими комбинациями координат точек симплекса. 6.7.2. Конструирование консольной поверхности типа крыла летательного аппарата Рассмотрим геометрическую схему конструирования консольной поверхности типа крыла летательного аппарата (рис. 6.22). Рисунок 6.22. Геометрическая схема конструирования поверхности крыла летательного аппарата Дополним симплекс ABCD до призмы ABCDB ' C ' (рис. 6.22). Определим точки B ' и C ' в симплексе ABCD используя точечную формулу параллельного переноса: B ' = B + D − A; C ' = C + D − A. Для удобства моделирования поверхности, определим точки P и R одним и тем же параметром p на соответствующих прямых: P = ( D − B ') p + B ' = Dp + B ' p; R = ( B '− C ') p + C ' = B ' p + C ' p. 237 Точку Q определим как пересечение прямых PC ' и DR в локальном симплексе B ' C ' D с помощью S-теоремы ТИ: p2 pp p2 Q=D 2 + B' 2 +C' 2 . p +p p +p p +p Далее переходим от локального симплекса B ' C ' D к глобальному симплексу ABCD простой заменой точек в соответствующих уравнениях. В итоге получим: P = − Ap + Bp + D. p pp p2 Q = −A 2 +B 2 +C 2 + D. p +p p +p p +p Для построения поверхности крыла летательного аппарата воспользуемся методом подвижного симплекса. С учётом значений точек P и Q, определим переменный симплекс NANBNC системой линейных точечных уравнений. Движение точек переменного симплекса по соответствующим прямым (рис. 6.22) согласовано с помощью параметра v: N = Av + Dv ; A N B = − Apv + B ( v + pv ) + Dv ; 2 N = − A pv + B ppv + C p + pv + Dv . C p2 + p p2 + p p2 + p Теперь в переменном симплексе задаём профиль поверхности, используя одну из замкнутых дуг кривых 3-го порядка, полученных выше. Таким образом, получим отсек поверхности крыла летательного аппарата как двухпараметрическое множество точек, которое определяется четырьмя точками симплекса A, B, C, D и тремя параметрами формы. Два из них (kP и kQ) определяют геометрическую форму профиля сечения поверхности, а параметр p определяет, насколько уменьшится (или увеличится) размер симплекса B ' C ' D (рис. 6.22) по сравнению с параллельным ему симплексом ABC и, следовательно, насколько уменьшится (или увеличится) профиль сечения поверхности. В общем случае параметр p изменяется в пределах от 238 нуля до единицы, но для моделирования поверхности крыла летательного аппарата целесообразно принимать его в пределах от 0,3 до 0,7, в зависимости от требуемых аэродинамических характеристик. Рассмотрим визуализацию полученного отсека поверхности крыла летательного аппарата (табл. 6.15). Для построения модели приняты следующие координаты точек симплекса: A(0;0;0), B(1;0;0), C(0,5;0;1) и D(0;50;0). Масштабный параметр p = 0,4 . Таблица 6.15. Визуализация геометрической модели поверхности крыла летательного аппарата Вид исходной Значения № дуги кривой параметров п/п 2-го формы порядка Эллипс kP = 0,8 Парабола kQ = 0,5 Эллипс kP = 0,9 Эллипс kQ = 0,6 Парабола kP = 0,5 Эллипс kQ = 0,8 Гипербола kP = 0,2 Эллипс kQ = 0,8 Визуализация геометрической модели поверхности типа крыла в зависимости от геометрической схемы конструирования профиля Схема профиля №1 Схема профиля №2 (рис. 6.20) (рис. 6.21) 1 2 3 4 239 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключении, в первую очередь, хотелось бы вспомнить людей, которые помимо авторов пособия принимали активное участие в становлении и развитии МАТИ: Бездитный А.А., Верещага В.М., Воронова О.С., Горягин Б.Ф., Давыденко И.П., Егорченков В.А., Крысько А.А., Кучеренко В.В., Малютина Т.П., Найдыш А.В., Найдыш В.М., Полищук В.И. и Чернышева О.А. Стараниями этих учёных-геометров, инженеров и архитекторов были получены важные теоретические и прикладные результаты, систематизированные и представленные в данном издании. На текущий момент ТИ является математическим аппаратом, ещё требующим систематизации накопленных знаний и дальнейшего развития аксиоматической базы, но, как следует из приведенных в пособии примеров, наиболее эффективно оно может быть использовано как инструмент инженерной геометрии для определения геометрических объектов с наперёд заданными характеристиками и по наперёд заданным условиям, учитывающим как геометрические свойства конструируемых объектов, так и их взаимное положение в пространстве. Ещё не раскрыты полностью его возможности в области проективной и дифференциальной геометрии, теории функции комплексных и гиперкомплексных переменных; требуют решения многие задачи геометрического моделирования поверхностей и тел с нужной параметризацией и с наперёд заданными геометрическими свойствами, многофакторных процессов и явлений. Перспективным видится использование ТИ в компьютерной графике и виртуальной реальности. Поэтому главным направлением перспективных исследований авторам видится как дальнейшее расширение теоретических и прикладных инструментов ТИ и его популяризация путём решения широкого круга важных инженерных и научных задач прикладного характера. 240 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры / П.С. Александров. – М.: Наука, 1968. – 912 с.: ил. 2. Балюба, И.Г. Вычислительная геометрия в точечном исчислении: конспект лекций для студентов инженерных специальностей / И.Г. Балюба, С.Л. Корнилов, Т.П. Малютина. – Макеевка.: ДГАСА, 1996. – 52 с. 3. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. – Макеевка: МИСИ, 1995. – 227 с. 4. Балюба, И.Г. Метод подвижного симплекса при конструировании 2поверхностей многомерного пространства / И.Г. Балюба [и др.] – Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць. – К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України. – Т.1. – С.310-318. 5. Балюба, И.Г. Точечное исчисление геометрических форм и его место в ряду других существующих исчислений / И.Г. Балюба [и др.] // Компьютерно-интегрированные технологии: образование, наука, производство. – Луцк: ЛНТУ, 2011. – №6. – С. 24-29. 6. Балюба, И.Г. Точечное исчисление: [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с. 7. Балюба, І.Г Основи математичного апарату точкового числення / І.Г. Балюба, В.І. Поліщук, Т.П. Малютіна – Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2005. – Вип. 4. – Т.29. – С. 22-30. 8. Бездітний, А.О. Варіативне дискретне геометричне моделювання на основі геометричних співвідношень у точковому численні Балюби-Найдиша: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / А.О. Бездітний. – Мелітополь, 2012. – 191 с. 241 9. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с. 10.Бумага, А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. … канд. техн. наук.: 05.23.05 и 05.01.01. / А.И. Бумага. – Макеевка, 2016. – 164 с. 11.Введение в математический аппарат БН-исчисление / Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. // Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». – Пермь: ПНИПУ, 2017. – Вып. 4. – С. 76-82. 12. Воронова, О.С. Вычислительные алгоритмы и программные средства геометрического моделирования многофакторных тепломассообменных процессов: дис. … канд. техн. наук.: 05.13.18. / О.С. Воронова. – Донецк, 2020. – 190 с. 13.Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский – М.: Наука, 1966. – 872 с. 14.Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Глаголев Н.А. – М.: Высшая школа, 1963. – 344 с. 15.Горягин, Б.Ф. Кривая 2-го порядка в точечном описании / Б.Ф. Горягин. – Прикладная геометрия и инженерная графика. – Мелитополь: ТГАТА, 1998. – Вып.4. – Т.4. – С. 23-26. 16.Горягин, Б.Ф. Описание некоторых проективных соответствий в точечном исчислении. Специальный комплексный чертеж симплекса и его применение / Б.Ф. Горягин. – Современные проблемы геометрического моделирования. – Харьков: ХДУХТ, 2007. – С.145-150. 17.Давыденко, И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. – Макеевка, 2012. – 186 с. 242 18.Єгорченков, В.О. Наукові основи формування комфортного середовища в будівлях за динамічними параметрами природного освітлення: дис. … докт. техн. наук.: 05.23.03 / В.О. Єгорченков. – К.: КНУБА, 2019. – 378 с. 19.Клейн, Ф. Высшая геометрия / Клейн Ф. – М.: ГОНТИ, 1939. – 399 с. 20.Конопацький, Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні Балюби-Найдиша: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Є.В. Конопацький. – Мелітополь, 2012. – 164 с. 21.Крысько, А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. … канд. техн. наук.: 05.23.01 и 05.01.01. / А.А. Крысько. – Макеевка, 2016. – 191 с. 22.Кучеренко, В.В. Формалізовані геометричні моделі нерегулярної поверхні для гіперкількісної дискретної скінченої множини точок: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / В.В. Кучеренко. – Мелітополь, 2013. – 234 с. 23.Малютина, Т.П. Интерпретация вычислительной геометрии плоских фигур в точечном исчислении: дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Т.П. Малютина. – Макеевка, 1998. – 227 с. 24.Моденов, П.С. Аналитическая геометрия / Моденов П.С. – М.: Издательство Московского университета, 1969. – С. 230-242. 25.Найдыш, В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г. Балюба, В.М. Верещага. Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.: КНУБА, 2012. – Вып. 90. – С. 210-215. 26.Савелов, А.А. Плоские кривые / Савелов А.А. – М.: ГИФМЛ, 1960. – 291 с. 27.Смогоржевский, А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. – М.: ФМГ, 1961. – 409 с. 243 28.Уокер, Р. Алгебраические кривые / Уокер Р.; пер. с англ. А.И. Узкова. – М.: Иностранная литература, 1952. – 236 с. 29. Чернышева, О.А. Вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности: дис. … канд. техн. наук.: 05.13.18. / О.А. Чернышева. – Донецк, 2019. – 150 с. 30.Четверухин, Н.Ф. Введение в высшую геометрию / Четверухин Н.Ф. – М.: ГУПИ, 1934. – 183 с. 31.Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия / Четверухин Н.Ф. – М.: ГУПИМП РСФСР, 1961. – 360 с. 32.Яглом, И.М. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии / И.М. Яглом, В.Г. Ашкинузе. – Ч.1. – М.: ГУПИМП, 1962. – 247 с. 244 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ» Учебное издание ТОЧЕЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Балюба Иван Григорьевич, д.т.н., профессор Конопацкий Евгений Викторович, к.т.н., доцент Бумага Алла Ивановна, к.т.н., доцент «Специализированные информационные технологии и системы» Подписано к печати 20.06.2020 г. Формат 60х84 1/16 Усл. печ. листов 14.18. Печать лазерная. Тираж 150 экз.