Методические рекомендации на тему: «Логарифмы» Цели: - повторить, обобщить и систематизировать теоретический материал по теме «Логарифмы», обеспечить овладение всеми обучащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмов. - развивать мышление обучающихся, способности к само- и взаимоконтролю; - формирование навыков поиска рациональных путей решения, самообразование. - воспитывать сознательное отношение к изучению математики. Понятие о логарифме числа. 1. Логарифм. Задача нахождения показателя степени 𝑥 в примере 2𝑥 = 8 оказывается неразрешимой с применением известных шести математических действий. Определив тем не менее, что 𝑥 = 3, записать решение этой задачи с помощью известных математических знаков невозможно. Но эту задачу можно решить графическим способом. Для этого необходимо найти точки пересечения графиков 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = 8 (рис. 1). Это точка, имеющая координаты (3; 8). Графический способ иногда позволяет решить задачу, которую нельзя решить с помощью обычных математических приемов. В общем виде рассмотренный пример будет иметь вид 𝑎 𝑥 = 𝑏, где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. Это уравнение не имеет решений при 𝑏 ≤ 0 и имеет единственный корень 𝑥 в случае 𝑏 < 0. Этот корень называют логарифмом 𝑏 по основанию 𝑎 и обозначают 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, то есть: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑥. (1.1) Определение: Логарифмом числа 𝑏 по основанию 𝑎 называется показатель степени, в которую нужно возвести основание 𝑎, чтобы получить число 𝑏. Подставим в выражение 𝑎 𝑥 = 𝑏 в качестве 𝑥 его представление по (1.1). Тогда получим 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏. (1.2) Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Оно справедливо при 𝑏 > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. Пример 1. 1 Найдем значение: а) 𝑙𝑜𝑔3 27; б) 𝑙𝑜𝑔2 . 8 а) Заметим, что 27 = 33 , т.е. для того, чтобы получить число 27, надо 3 возвести в третью степень. Следовательно, 𝑙𝑜𝑔3 27 = 3. б) Заметим, что 1 8 1 = 2−3 , поэтому 𝑙𝑜𝑔2 = −3. 8 Пример 2. Найдем логарифм числа 64 по основанию 4. Заметим, что 43 = 64. Поэтому по определению логарифма 𝑙𝑜𝑔4 64 = 3. Пример 3. 1 1 4 2 Найдем 𝑥, такое, что: а) 𝑙𝑜𝑔16 𝑥 = ; б) 𝑙𝑜𝑔𝑥 5 = − . Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: 1 а) 𝑥 = 16𝑙𝑜𝑔16𝑥 = 164 = 2; 1 б) 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥5 = 5, т.е. 𝑥 −2 = 5, откуда 𝑥 = 5−2 = 1 . 25 2. Свойства логарифмов. Рассмотрим свойства логарифмов, которые используются при выполнении различных преобразований и решении уравнений. При любом 𝑎 > 0 (𝑎 ≠ 1) и любых положительных 𝑥 и 𝑦 выполняются равенства: 1. 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0. 2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1. 3. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦. 4. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦. 5. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑝 = 𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 для любого действительного p. Для доказательства правила 3 воспользуемся основным логарифмическим тождеством: 𝑥 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , 𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 . (1.3) Перемножая почленно эти равенства, получаем: 𝑥𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ∙ 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥+𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 , т.е. 𝑥𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥+𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 . Следовательно, по определению логарифма 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦. Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Правило 4 докажем вновь с помощью равенств (1.3): 𝑥 𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥−𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 , Следовательно, по определению 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦. Логарифм частного равен разности логарифмов. Для доказательства правила 5 воспользуемся тождеством 𝑥 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , откуда 𝑥 𝑝 = (𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 )𝑝 = 𝑎𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 . Следовательно, по определению 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑝 = 𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Отметим, что если 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1), то 𝑥 = 𝑦, т.е. если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами числа. Пример 4. Найдем значение выражения 𝑙𝑜𝑔8 2 + 𝑙𝑜𝑔8 32. Пользуясь третьим свойством логарифмов, преобразуем данное выражение: 𝑙𝑜𝑔8 2 + 𝑙𝑜𝑔8 32 = 𝑙𝑜𝑔8 (2 ∙ 32) = 𝑙𝑜𝑔8 64 = 2. Следовательно, 𝑙𝑜𝑔8 2 + 𝑙𝑜𝑔8 32 = 2. Пример 5. 5 Найдем значение выражения 𝑙𝑜𝑔2 5 − 𝑙𝑜𝑔2 . 8 Пользуясь четвертым свойством логарифмов, преобразуем данное выражение: 5 5 8 5 8 𝑙𝑜𝑔2 5 − 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔2 8 = 𝑙𝑜𝑔2 (5 ∙ ) = 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3. 5 5 Следовательно, 𝑙𝑜𝑔2 5 − 𝑙𝑜𝑔2 = 3. 8 Пример 6. Найдем 𝑥, если 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 50 + 𝑙𝑜𝑔5 2 − 𝑙𝑜𝑔5 4. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов: 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 50 + 𝑙𝑜𝑔5 2 − 𝑙𝑜𝑔5 4 = 𝑙𝑜𝑔5 50 ∙ 2 = 𝑙𝑜𝑔5 25, 4 т.е. 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔5 25 и поэтому 𝑥 = 25. Пример 7. Найдем 𝑥, если 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 2 𝑙𝑜𝑔6 3 + 3 𝑙𝑜𝑔6 2 − 𝑙𝑜𝑔6 3. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов: 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 32 + 𝑙𝑜𝑔6 23 − 𝑙𝑜𝑔6 3 = 𝑙𝑜𝑔6 т.е. 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 24 и поэтому 𝑥 = 24. Пример 8. 9∙8 = 𝑙𝑜𝑔6 24, 3 Найдем значение выражения 𝑙𝑜𝑔3 16 𝑙𝑜𝑔3 4 . Пользуясь пятым свойством логарифмов, преобразуем данное выражение: 𝑙𝑜𝑔3 16 𝑙𝑜𝑔3 42 2 𝑙𝑜𝑔3 4 = = = 2. 𝑙𝑜𝑔3 4 𝑙𝑜𝑔3 4 𝑙𝑜𝑔3 4 Следовательно, 𝑙𝑜𝑔3 16 𝑙𝑜𝑔3 4 = 2. Пример 9. Найдем значение выражения (𝑙𝑜𝑔3 2 + 3 𝑙𝑜𝑔3 0,25) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 28 − 𝑙𝑜𝑔3 7). Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем данное выражение: (𝑙𝑜𝑔3 2 + 3 𝑙𝑜𝑔3 0,25) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 28 − 𝑙𝑜𝑔3 7) = 25 3 = (𝑙𝑜𝑔3 2 + 𝑙𝑜𝑔3 ( ) ) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 28 − 𝑙𝑜𝑔3 7) = 100 1 3 = (𝑙𝑜𝑔3 2 + 𝑙𝑜𝑔3 ( ) ) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 28 − 𝑙𝑜𝑔3 7) = 4 = (𝑙𝑜𝑔3 2 ∙ 1 ) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 64 28 1 ) = (𝑙𝑜𝑔3 32) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 4) = 7 = (𝑙𝑜𝑔3 2−5 ) ∶ (𝑙𝑜𝑔3 22 ) == −5 𝑙𝑜𝑔3 2 2 𝑙𝑜𝑔3 2 5 = − = −2,5. 2 3. Логарифмирование. Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Если одночленное выражение составлено из положительных чисел с применением действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм такого выражения вычисляется с использованием основных свойств логарифмов (1-5). Пример 10. Прологарифмируем по основанию 3 при 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 выражения: а) 𝑥 = 𝑎3 27𝑏5 4 ; б) 𝑦 = 9 𝑏 2 √𝑎. а) Имеем 𝑎3 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3 ( ), 27𝑏 5 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑎3 − 𝑙𝑜𝑔3 27 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑏 5 , 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 3 𝑙𝑜𝑔3 𝑎 − 5 𝑙𝑜𝑔3 𝑏 − 3. б) Имеем 4 𝑙𝑜𝑔3 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3 (9 𝑏 2 √𝑎), 4 𝑙𝑜𝑔3 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑏 2 + 𝑙𝑜𝑔3 √𝑎, 𝑙𝑜𝑔3 𝑦 = 2 + 2 𝑙𝑜𝑔3 𝑏 + 1 4 𝑙𝑜𝑔3 𝑎. 4. Потенцирование. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием. Этим действием с использованием основных свойств логарифмов (1-5) по логарифму выражения восстанавливается само выражение. Приведем примеры таких действий. Пример 11. Определить 𝑥, 𝑦 и 𝑧, если: 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 3 𝑙𝑜𝑔6 4 + 4 𝑙𝑜𝑔6 21 − 𝑙𝑜𝑔6 19, 𝑙𝑜𝑔4 𝑦 = 2 1 𝑙𝑜𝑔4 12 + 𝑙𝑜𝑔4 25, 3 2 𝑙𝑜𝑔5 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑎 + 2 𝑙𝑜𝑔5 (𝑎 + 𝑏) − 𝑙𝑜𝑔5 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 > 𝑏). Решение. Имеем: 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 64 + 𝑙𝑜𝑔6 214 − 𝑙𝑜𝑔6 19, 𝑙𝑜𝑔6 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔6 64∙214 19 , следовательно, 𝑥 = 64∙214 19 2 ; 1 𝑙𝑜𝑔4 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 123 + 𝑙𝑜𝑔4 252 , 2 𝑙𝑜𝑔4 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 (123 ∙ 5), 2 следовательно, 𝑦 = 123 ∙ 5; 𝑙𝑜𝑔5 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔5 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔5 (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑙𝑜𝑔5 (𝑎 − 𝑏), 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏)2 𝑙𝑜𝑔5 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔5 , 𝑎−𝑏 следовательно, 𝑧 = 𝑎∙(𝑎+𝑏)2 𝑎−𝑏 . 5. Десятичные и натуральные логарифмы. Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10. Такой логарифм записывается следующим образом: 𝑙𝑔 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑎. Десятичные логарифмы чисел, составляющих некоторую степень числа 10, легко вычисляются, например, 100 = 1, 𝑙𝑔 1 = 0, 101 = 10, 𝑙𝑔 10 = 1, 102 = 100, 𝑙𝑔100 = 2, 10−1 = 0,1, 𝑙𝑔 0,1 = −1. Логарифмы остальных чисел определяются либо с помощью таблиц, имеющихся в различных справочниках, либо с применением микрокалькуляторов. Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где е – иррациональное число, приближенно равное 2, 718. Логарифм числа по основанию е записывается следующим образом: 𝑙𝑛 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏. Заметим, 𝑙𝑛 1 = 0, 𝑙𝑛 𝑒 = 1 (по основным свойствам логарифмов). 6. Логарифмические тождества. Выведем формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 . 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 (Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при 𝑥 > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1. ) По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 ), откуда 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎. Разделив обе части полученного равенства на 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎, приходим к нужной формуле. Пример 12. 1 Вычислить: а) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔125 5; б) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 1 . 16 2 Решение. а) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔125 5 = 𝑙𝑜𝑔5 5 1 𝑙𝑜𝑔5 125 = . 3 1 1 1 22 б) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 1 = = . 1 4 16 2 𝑙𝑜𝑔1 16 2 𝑙𝑜𝑔1 Докажем тождество 1 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0, 𝑥 > 0). 𝑘 Из основного логарифмического тождества (1.2) 𝑥 = (𝑎𝑘 )𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑥 , иначе 𝑥 = 𝑎𝑘𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑥 . Прологарифмировав это равенство по основанию 𝑎, получим: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑘𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 𝑘𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑥, Из чего и следует тождество (1.4). (1.4) Пример 13. Приведем 𝑙𝑜𝑔√2 𝑥 к основанию 2. По (1.4): 𝑙𝑜𝑔√2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔21⁄2 𝑥 = 2𝑙𝑜𝑔2 𝑥. Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же основанию, т.е. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0). (1.5) Из формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию следует, что 𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = , 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 что и требовалось доказать. Докажем тождество 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑥 𝑚 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0). Пусть 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑛, тогда 𝑎𝑛 = 𝑥; возведем это равенство в степень 𝑚: (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑥 𝑚 или (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑥 𝑚 , откуда 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑥 𝑚 , из чего и следует (1.6). Пример 14. 𝑙𝑜𝑔4 25 = 𝑙𝑜𝑔22 52 = 𝑙𝑜𝑔2 5. (1.6)