Ларина Л Н Бродская Т А Шляхов А Т «Специальные главы математики» Учебное пособие по дисциплине

Н
АГ
Л.Н. Ларина, Т.А. Бродская, А.Т. Шляхов
И
Министерство образования и науки Республики Татарстан
Альметьевский государственный нефтяной институт
би
бл
ио
те
к
а
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
по дисциплине «Специальные главы математики»
ая
для подготовки бакалавров направлений:
140400 «Электроэнергетика и электротехника»,
140100 «Теплоэнергетика и теплотехника»,
220400 «Управление в технических системах»,
151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение
машиностроительных производств»,
220700 «Автоматизация технологических процессов и производств»
Эл
ек
тр
он
н
очной и очно-заочной форм обучения
Альметьевск 2013
УДК 517.2
Л-25
Ларина Л.Н., Бродская Т.А, Шляхов А.Т.
АГ
Н
И
Специальные главы математики: Учебное пособие по дисциплине
«Специальные главы математики» для подготовки бакалавров направлений:
140400 «Электроэнергетика и электротехника», 140100 «Теплоэнергетика и
теплотехника», 220400 «Управление в технических системах», 151900
«Конструкторско-технологическое
обеспечение
машиностроительных
производств», 220700 «Автоматизация технологических процессов и
производств» очной и очно-заочной форм обучения. - Альметьевск:
Альметьевский государственный нефтяной институт, 2013. -108 с.
би
бл
ио
те
к
а
Данное учебное пособие содержит краткий теоретический материал,
необходимый при изучении тем: «Элементы теории функции комплексного
переменного», «Элементы операционного исчисления», «Векторный анализ и
элементы теории поля». Пособие содержит достаточное количество примеров с
подробным решением. К каждому параграфу приведены задания для
самостоятельной работы.
Учебное пособие может быть использовано преподавателями для
проведения практических занятий и организации самостоятельной работы
студентов, организации контроля усвоения материала в условиях модульнорейтинговой системы обучения.
ая
Печатается по решению учебно-методического совета АГНИ.
Эл
ек
тр
он
н
Рецензенты:
Зарипова З.Ф.- к.п.н., доцент кафедры ВМ АГНИ
Филимонова М.Ю.- к.п.н., доцент, заведующий кафедрой ИГ АГНИ
Подписано в печать 26.02.2013 г.
Формат 60×84/16
Печать RISO
Объем 6,75 ус.печ.л.
Тираж 75 экз. Заказ № 35
ТИПОГРАФИЯ
АЛЬМЕТЬЕВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
НЕФТЯНОГО ИНСТИТУТА
423452, Татарстан, г. Альметьевск, ул. Ленина, 2
© Альметьевский государственный
нефтяной институт, 2013
2
Предисловие
Учебное пособие соответствует ФГОС ВПО и программе дисциплины
«Специальные главы математики» для подготовки бакалавров по направлениям
140400 «Электроэнергетика и электротехника», 140100 «Теплоэнергетика и
теплотехника», 220400 «Управление в технических системах», 151900
обеспечение
машиностроительных
220700
процессов
производств».
Цель данного учебного пособия – это краткое изложение
и
АГ
Н
производств»,
«Автоматизация
технологических
И
«Конструкторско-технологическое
теоретического материала и рассмотрение наиболее типичных задач с
задачам, которые
а
подробным решением. Основное внимание уделено
предоставить
большое
би
бл
ио
те
к
вызывают у студентов наибольшие затруднения. Авторы сочли разумным
количество
студентов.
задач
для
самостоятельной
работы
Охарактеризуем структуру пособия. Пособие содержит 4 главы, которые
разбиты на параграфы, а параграфы на пункты. При этом нумерация
параграфов строится таким образом: первые цифры представляют собой номер
ая
параграфа, а следующие цифры, отделенные от первых точкой, порядковый
номер. Например, §1.3 - это третий пункт первого параграфа. Каждый параграф
Эл
ек
тр
он
н
начинается с краткого изложения теоретического материала, который включает
важнейшие определения, формулы и теоремы. Далее рассматриваются задачи
на данную тему с подробным решением. В конце
каждого параграфа
предлагаются задания для самостоятельного решения с ответами. А также
приведены задания для контрольной работы.
Это учебное пособие будет полезно не только студентам, но и
преподавателям для проведения практических занятий и контрольных работ.
3
Содержание
Глава 1. Комплексные числа
§1. Комплексные числа.
Формы записи комплексных чисел………………6
1.1 Основные понятия……………………………………………………….. 6
1.2 Геометрическое изображение комплексных чисел……………………. 6
И
1.3 Формы записи комплексных чисел. ……………………………………..7
АГ
Глава 2. Функции комплексного переменного
Н
§2 .Действия над комплексными числами. …………………………………….10
§1. Основные понятия. Элементарные функции комплексного переменного..16
а
1.1. Основные понятия………………………………………………………..16
би
бл
ио
те
к
1.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного………17
1.3. Основные элементарные функции………………………………………18
§2. Производная функции комплексного переменного…………………………20
2.1. Определение. Условия Коши – Римана………………………………..20
2.2. Аналитическая функция………………………………………………...21
§3. Интегрирование функции комплексного переменного…………………… 23
3.1. Определение. Правила вычисления интеграла……………………….. 23
ая
3.2. Свойства интеграла………………………………………………………24
Эл
ек
тр
он
н
3.3. Теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница………………………….25
3.4 Интеграл Коши. Интегральная формула Коши………………………….27
§
4.
Контрольная
работа
по
теме:
«Теория
функций
комплексного
переменного»…………………………………………………………………….. 31
Глава 3. Элементы операционного исчисления
§1. Преобразование Лапласа. Нахождение изображений…………………….. 38
1.1.
Оригинал и преобразование Лапласа…………………………………38
1.2.
Свойства преобразования Лапласа……………………………………40
1.3.
Формулы соответствия. Таблица……………………………………...42
1.4.
Нахождение изображений……………………………………………..44
§2. Свёртка функций. Отыскание оригинала по изображению………………..53
2.1. Нахождение оригинала по заданному изображению………………….53
4
2.2. Свёртка функций и её изображение…………………………………..…..56
2.3. Оригиналы для дробно-рациональных выражений…………………...….60
§3. Приложения операционного исчисления………………………………..…...64
3.1. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений……..…….64
3.2. Решение интегральных уравнений…………………………………….…66
И
§4. Варианты самостоятельных работ по теме: «Элементы операционного
АГ
Глава 4. Векторный анализ и элементы теории поля
Н
исчисления»………………………………………………………………………..69
§1. Скалярное поле. ………………………………………………………………74
Основные понятия………………………………………………………74
1.2.
Линии уровня. Поверхности уровня…………………………………...74
1.3.
Производная по направлению………………………………………….75
1.4.
Градиент и его свойства………………………………………………...76
би
бл
ио
те
к
а
1.1.
§2. Векторное поле……………………………………………………………….. 79
2.1. Основные понятия. Векторные линии…………………………………...79
2.2. Дивергенция и ротор векторного поля…………………………………..80
2.3. Поток векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса…………….83
ая
2.4. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса...92
Эл
ек
тр
он
н
§3. Классы векторных полей……………………………………………………..101
3.1. Соленоидальное поле……………………………………………………..101
3.2. Потенциальное поле………………………………………………………101
3.3. Гармоническое поле………………………………………………………102
§ 4. Операторы Гамильтона и Лапласа…………………………………………..104
4.1. Векторные операции первого порядка…………………………………..104
4.2. Векторные операции второго порядка…………………………………..105
§5. Варианты самостоятельных работ по теме: «Элементы теории поля»……106
5
Глава 1. Комплексные числа
§1. Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел.
1.1. Основные понятия
Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x;y) действительных
И
чисел, записанных в виде z = x + iy , где i - мнимая единица.
Н
Если х=0, то число z = iy - число мнимое, если у=0, то число z = x -
АГ
действительное число. Это означает, что множество R является подмножеством
множества С всех комплексных чисел, т.е. R ⊂ C . Число x называется
а
действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а y -
би
бл
ио
те
к
мнимой частью, у=Jm z.
Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 и z2 = x2+iy2 называются равными тогда и
только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые
 x1 = x 2
.
 y1 = y 2
части, т.е. z1 = z 2 ⇔ 
Два комплексных числа z = x + iy , z = x − iy , отличающиеся только знаком
ая
мнимой части, называются сопряженными.
1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Эл
ек
тр
он
н
Всякое комплексное число
z = x + iy
можно изобразить точкой М(x;y)
плоскости Оxy, где х=Re z , у=Jm z.
у
у
М
r
φ
0
x
x
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа – комплексная
плоскость.
Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая.
6
Комплексное число z = x + iy можно изобразить с помощью радиус-вектора
r =О М =(х;у).
Длина вектора r , изображающего число z , называется модулем этого числа и
обозначается z или r .
х 2 + у 2 (1)
Н
r =z=
И
Модуль есть неотрицательное число, определяемое по формуле
АГ
Величина угла между положительным направлением оси Ох и вектором r ,
изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа,
− π p arg z p π
где arg z = ϕ - главное значение аргумента,
би
бл
ио
те
к
Argz = arg z + 2kπ , k = ±1, ± 2,......
а
Arg z. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 величина многозначная.
(или arg z ∈ [0; 2π ) ) .
1.3. Формы записи комплексных чисел
Запись z = x + iy (2) – алгебраическая форма комплексных чисел. Модуль r и
аргумент ϕ комплексного числа z можно рассматривать как полярные
координаты точки z. Отсюда x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . Таким образом, имеем
ая
тригонометрическую форму: z = r (cos ϕ + i sin ϕ )
Эл
ек
тр
он
н
где r = z , ϕ = arg z определяются из формул
tg ϕ =
y
. Так как - π < аrg z< π , то
x

arctg


ϕ = аrg z= arctg


arctg

y
, прих > 0
x
y
+ π , приx < 0, y > 0
x
y
− π , приx < 0, y < 0
x
Запись числа z = r ⋅ e iϕ (4) показательная форма:
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
(5) - формула Эйлера.
7
(3)
cos ϕ =
х
y
, sin ϕ = , или
r
r
Пример 1.
Комплексные числа изобразить вектором , записать в тригонометрической и
показательной формах.
а) z=3+3i
б) z=-1+i 3
в) z=-7i
г)-1
Решение:
π
.
4
Н
И
3
3
а) Находим r и ϕ ; х = 3, y = 3, z = 32 + 3 2 = 3 2 , ϕ = arctg =
π
б) x=-1, y= 3 , z = 1 + 3 = 2 , ϕ = arctg (− 3 ) + π =
2π
i

 = 2e 3 .

би
бл
ио
те
к
2π
2π

− 1 + i 3 = 2 cos
+ i sin
3
3

Значит,
2π
.
3
а
Значит,
АГ
i
π
π

3 + 3i = 3 2  cos + i sin  = 3 2 ⋅ e 4
4
4

π
− i

π
π
π 
в) r = 0 + 49 = 7, ϕ = − . Значит, − 7i = 7 cos −  + i sin  −   = 7e 2 .

2
y
3

2 
y
ая
Z=3+3i
φ
ϕ
Эл
ек
тр
он
н
3
0
2
y
у
3

x
а)
-1
0
ϕ
0
x
-7
б)
ϕ
x
-1
в)
x
0
г)
г) z = 1, ϕ = π , − 1 = cos π + i sin π = e iπ .
Пример
2.
Изобразить
на
комплексной
области
множества
удовлетворяющих неравенствам:
а) z =5
б) arg z =
π
3
в) 0 ≤ Jmz < 1,5
г) Re z > 1
Решение.
а) z = x 2 + y 2 = 5 , т.е. x 2 + y 2 = 25 – окружность с центром в (0,0) и R=5.
8
точек,
б) точки, аргумент которых равен
углом
π
, лежат на луче выходящем из т. (0,0) под
3
π
.
3
в) 0 ≤ Jmz < 1,5 ⇔ 0 ≤ y p 1,5 ⇔ 0 ≤ y < 1,5 - множество точек, расположенных
И
ниже прямой y = 1,5 и выше x=0.
Н
г) Re z > 1 или x f 1 – множество точек, расположенных справа от прямой x = 1 .
y
x
0
x
б)
1)
y
y
1,5
π
3
0
а
y
би
бл
ио
те
к
y
АГ
z ≤1
д) π
3π
 < arg z <
4
4
0
x
0
в)
1
x
0
г)
д)
Задания для самостоятельной работы
Эл
ек
тр
он
н
ая
1.Представить в тригонометрической форме комплексные числа.
а) -9
Ответ: 9(cos π + i sin π )
б) 4
Ответ: 4(сos0 0 + i sin 0 0 )
π
π
3
3
2π
2π
Ответ: 2 cos + i sin 
3
3 

в) 5 + i5 3
Ответ: 10(cos + i sin )
г) − 3 + i
д)1 + i 3
π
π
Ответ: 2 cos + i sin 
i −1
1+ i
π
π
Ответ:  cos + i sin 
е)


3
3
2
π
π
Ответ: 2 cos + i sin 
3
3

π
π
Ответ: 3 2  cos − i sin 
4
4

ж)1 + i 3
з) 3- 3i
9
2
x
2.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек
z, удовлетворяющих условию.
а) Jmz =
1
4
б) 2 ≤ z − 2i ≤ 4
И
в) z + i ≤ 2, Re z > 2
г)0< Jmz ≤ 5
д) z − 2 ≤ 1, z + 2 f 3
е) z ≥ 1, z p 2
ж) z ⋅ z p 3, Im z f −2 з) z − 2i ≤ 2, Re z f 0,5
Н
§2. Действия над комплексными числами
АГ
1) сложение
би
бл
ио
те
к
суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy 2 .
Свойства:
(1) называется
а
Число, определяемое равенством: z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + i( y1 + y 2 )
z1+z2 = z2+z1 - переместительное свойство
(z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) - сочетательное свойство
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 - неравенство треугольника
2) вычитание
Число, определяемое равенством z1 − z 2 = ( x1 − x 2 ) + i ( y1 − y 2 )
(2) называется
ая
разностью двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy 2 .
Эл
ек
тр
он
н
Модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между точками,
изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому равенство z − 2i = 1 определяет окружность с центром в z 0 = 2i и
радиусом 1.
Пример1.
(2 + 5i ) + (3 − 2i ) = (2 + 3) + i (5 − 2) = 5 + 3i
(2 + 5i ) − (3 − 2i ) = (2 − 3) + i (5 + 2) = −1 + 7i
3) умножение
Произведением чисел z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy 2 называется число
z1 z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )
Отсюда следует i 2 = −1
10
(3)
Пример 2. (2 − 3i )(−5 + 4i ) = −10 + 15i + 8i − 12i 2 = (−10 + 12) + i(15 + 8) = 2 + 23i .
Заметим, что
z z = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 (4)
Свойства:
1) z1 z2 = z2 z1 – переместительное;
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) – сочетательное;
z1 z 2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ 2 )) (5)
АГ
Пусть z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и z 2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) . Тогда
Н
И
3) z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3 – распределительное.
би
бл
ио
те
к
а
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули
перемножаются, а аргументы складываются.
Отсюда следует формула Муавра для возведения комплексных чисел в
натуральную степень.
z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) (6)
Пример 3.
Найти (1 + 3i )
9
ая
Решение: Запишем число z = 1 + 3i в тригонометрической форме.
Эл
ек
тр
он
н
r = 1 + 3 = 2 , ϕ = arctg 3 ⇒ ϕ =
π
π

z = 2 cos + i sin 
3
3

π
3
По формуле Муавра
9π
9π 

9
9
z 9 = (1 + 3i ) 9 = 2 9  cos
+ i sin
 = 2 (cos 3π + i sin 3π ) = 2 (−1) = −512 .
3
3 

4) деление
Частным двух комплексных чисел z1 и z 2 ≠ 0 называется число
z1
x + iy1 ( x1 + iy1 )( x 2 − iy 2 ) x1 x 2 + y1 y 2
y x − x1 y 2
= 1
=
=
+ i 1 22
2
2
2
z 2 x 2 + iy 2 ( x 2 + iy 2 )( x 2 − iy 2 )
x2 + y 2
x2 + y2
(7)
На практике частное находят путем умножения числителя и знаменателя на
сопряженный знаменатель.
11
Пример 4. Выполнить деление
1 + 3i
2+i
Решение:
1 + 3i 2 − i 2 + 6i − i − 3i 2 5 + 5i
⋅
=
=
= 1+ i
2+i 2−i
5
4 − i2
Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме,
Н
И
осуществляется по формуле:
АГ
z1 r1
= (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 )) (8)
z 2 r2
При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули
би
бл
ио
те
к
Пример 5. Выполнить деление
Решение.
а
делятся, а аргументы вычитаются.
1 + 3i
.
1+ i
Представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме:
π
π

1 + 3i = 2 cos + i sin ;
3
3

π
π

1 + i = 2  cos + i sin  . Тогда имеем:
4
4

Эл
ек
тр
он
н
ая
π
π

2 cos + i sin 
 π π 
1 + 3i
π
π 
3
3
 π π 

= 
= 2  cos −  + i sin  −   = 2  cos + i sin  .
π
π
1+ i
12
12 

 3 4 

 3 4
2  cos + i sin 
4
4

5) Извлечение корней
Пусть n – натуральное число.
Корнем n – степени из комплексного числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) называется
комплексное число
n
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ

z = n r (cos ϕ + i sin ϕ ) = n r  cos
+ i sin
n
n

где k = 0,1,2,…(n-1).
12

 , (9)

Пример 6. Найти значения
а) − 1 + i 3
б) 3 i
Решение: Запишем число (− 1 + i 3 ) в тригонометрической форме
a) -1+i 3 = − 1 + i 3 = 2 cos

2π
2π 
+ i sin
 . Тогда
3
3 
при k=1
4π
4π

z1 = 2  cos
+ i sin
3
3

би
бл
ио
те
к
 1
3 

i .
 = 2  − −
2
2



АГ
1
π
π
3 

z 0 = 2  cos + i sin  = 2  + i
;
2
2
3
3



а
при k=0
Н
И
2π
2π


+ 2πk
+ 2πk 

2
π
2
π


 ; где k = 0; 1.
− 1 + i 3 = 2 cos
+ i sin
+ i sin 3
 = 2  cos 3
3
3 
2
2







π
2
π
2
б) Представим в тригонометрической форме число i = cos + i sin .
3
π
π


+ 2πk
+ 2πk 

π
π
 , k=0,1,2.
+ i sin 2
i = 3 cos + i sin = 3 1 ⋅  cos 2
3
3
2
2






z 0 = cos
при k=1
z1 = cos
π
π
3
1
+ i sin =
+i ;
6
6
2
2
ая
при k=0
Эл
ек
тр
он
н
5π
5π
3
1
+ i sin
=−
+i ;
6
6
2
2
при k=2
z 2 = cos
3π
3π
+ i sin
= −i .
2
2
Пример 7. Решить уравнение z 2 + 16 = 0
Решение. z 2 + 16 = 0 ⇔ z = − 16 . Представим число -16 в тригонометрической
форме:
− 16 = 16(cos π + i sin π ) . Тогда
π + 2πk
π + 2πk 

z = 16 cos
+ i sin
 , где k = 0; 1 .
2 
2

При k=0
π
π

z 0 = 4 cos + i sin  = 4i ,
2
2

k=1
3π
3π 

z1 = 4 cos
+ i sin
 = −4i .
2
2 

13
Пример 8: Решить уравнение z 2 − 8i ⋅ z − 15 = 0 .
Решение:
D = (− 8i ) − 4(− 15) = −64 + 60 = −4 = 4i 2
2
z1, 2 =
8i ± 2i
;
2
z1 = 5i,
z 2 = 3i
i4 = 1,
i5 = i ,
Н
i 3 = −i ,
i 6 = −1 ,…
АГ
i 2 = −1
И
Замечания. Степени числа i .
би
бл
ио
те
к
а
Если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1.
Если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение
степени равно i.
Если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение
степени равно -1.
Эл
ек
тр
он
н
степени равно –i.
ая
Если при делении показателя степени на 4 остаток равен 3, то значение
Пример 9.
а) i 28 = 1
т.к. 28 : 4 = 7 .
б) i 33 = i
33 : 4 = 8 (ост.1) .
в) i 135 = −i
135 : 4 = 33 (ост.3) .
г) i 18 = −1
18 : 4 = 4 (ост.2) .
д) (i133 + i 115 + i 200 + i142 )⋅ (i17 + i 36 ) = 0
е) (i − i + 1 − 1) ⋅ (i + 1) = 0
ж) (i 36 + i 17 ) ⋅ i 23 = (1 + i ) ⋅ (− i ) = −i − i 2 = 1 − i
14
Задания для самостоятельной работы
Ответ: 10 + 11i
2) (2+i) (3-2i)
Ответ: 8 − i
3) (5+i)+(3-4i)
Ответ: 8 − 3i
4) (3-12i) 2
Ответ: − 135 − 72i
Ответ:
6)
2 − 3i
5+i
Ответ:
7) (2-i) 3
а
2 − i 1 + 3i
+
4 + 2i
4i
1 − 2i
9)
+ (1 + i ) 2
3−i
5 13
− i
4 20
1 3
Ответ: + i
2 2
Ответ:
(1 − i ) 2 5 − i
+
1+ i
4
би
бл
ио
те
к
11)
ая
1+ i
− (1 + 3i ) 2
3 − 2i
7 17
− i
26 26
Ответ: 2 − 11 i
8)
10)
8 1
+ i
13 13
Н
1 + 2i
2 + 3i
АГ
5)
И
1. Выполнить действия.
1) (4+i) (3+2i)
Ответ:
105 73
− i
13 13
Ответ:
1 5
− i
4 4
2 .Найти все значения корней.
Эл
ек
тр
он
н
а) 5 32
б) 6 64i
в) 3 2 + 2i
г) 3 + i 3
д) 3 − 3i
0 + 2kπ
0 + 2kπ 
Ответ: 2 сos
+ i sin
, k = 0;1;2;3;4
5
5 

π
π


+ 2kπ
+ 2kπ 

, k = 0,1,2,3,4,5
Ответ: 2 cos 2
+ i sin 2
6
6






π
π


+ 2kπ
+ 2kπ 

, k = 0,1,2
+ i sin 4
Ответ: 2 cos 4
3
3






π
π


+ 2kπ
+ 2kπ 

, k = 0; 1
Ответ: 4 12  cos 6
+ i sin 6
2
2






π
π


− + 2kπ
− + 2kπ 

, k = 0;1
Ответ: 3 2  cos 4
+ i sin 4
2
2






15
3.Вычислить
б) (1 − i)10
3
1
i+
2
2
Ответ: − 32i
в) (2 3 + 2i ) 3
Ответ: 64i
а) (сos6 0 + i sin 6 0 )10
3 − i 12
)
2
И
Ответ: 1
Ответ: − 16 − 16 3 i
е) (сos10 0 + i sin 10 0 ) 6
1
3
+i
2
2
1
3
Ответ: + i
16
16
4. Решить уравнения
а) 3z 2 − 6 z + 6 = 0
б) z 4 + 16 = 0
Ответ: z = 1 ± i
Ответ: z = 2 ± i 2 , z = − 2 ± i 2
1
8
2
г) 2 z − 8 z + 26 = 0
1
2
Ответ: z = 2 ± 3i
1
4
Ответ: z = − , z = ± i
3
4
Ответ: z = 2,5i, z = −2,5i
Ответ: z = −2i, z = 3 + i, z = − 3 + i
ая
в) z 3 + = 0
д) 4 z 2 + 25 = 0
е) 3z 3 − 24i = 0
а
2(сos30 0 + i sin 30 0 )
16(cos(−30 0 ) + i sin(−30 0 ))
би
бл
ио
те
к
ж)
Ответ:
АГ
д) (1 + i 3 ) 5
Н
г) (
Ответ:
Эл
ек
тр
он
н
Глава 2. Функции комплексного переменного
§1.Основные понятия. Элементарные функции комплексного
переменного.
1.1.Основные понятия
Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные
числа.
Числа z = x + iy , z ∈ D будем изображать точками комплексной плоскости z, а
числа ω = u + iv , ω ∈ E - точками комплексной плоскости ω .
Если каждому числу z ∈ D по некоторому правилу поставлено в соответствие
определенное число ω ∈ E , то говорят, что на множестве определена
однозначная функция комплексного переменного ω = f (z ) , которая отображает
множество D → E .
16
ν
y
x
υ
0
И
0
Н
Если каждому z можно поставить в соответствие несколько значений ω , то
АГ
функция ω = f (z ) называется многозначной.
Множество Е – область значений этой функции.
би
бл
ио
те
к
Функцию ω = f (z ) можно записать так:
а
Множество D – область определения ω = f (z ) .
f ( z ) = u + iv = f ( x + iy ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) ,
где u = u ( x; y ) = Re f ( z ) , v = v(x; y ) = Jmf (z ) ,
( x, y ) ∈ D
Таким образом, задание функции комплексного переменного
равносильно
заданию двух функций двух действительных переменных.
Пример 1. Найти Re f (z ) и Jmf (z ) ,
f ( z) = z 2 − 3
ая
Решение: f ( z ) = z 2 − 3 = ( x + iy ) 2 − 3 = x 2 − y 2 − 3 + 2 xyi , т.е. u = x 2 − y 2 − 3 , v = 2 xy .
Пример 2. Найти f (z ) , если Jmf (z ) = v( x; y ) = y; Re f ( z ) = u = x + 3 .
Эл
ек
тр
он
н
Решение: f ( z ) = u + iv = x + 3 + iy = ( x + iy ) + 3 = z + 3 .
1.2.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Пусть однозначная функция ω = f (z ) определена в некоторой окрестности
точки z 0 , исключая быть может саму точку z = z 0 . Под δ - окрестностью точки
z 0 комплексной плоскости понимают внутренность круга радиуса δ с центром
в точке z 0 .
Число А называется пределом функции ω = f (z ) в точке z 0 , если для
∀ε > 0, ∃δ > 0 , что для всех z ≠ z 0 , удовлетворяющих
выполняется f (z ) − A < ε .
17
неравенству z − z 0 < δ ,
Записывают так:
lim f ( z) = A
z → z0
Из определения следует, что если предел А существует, то существуют и
lim u( x, y ) = u
x → x0
y → y0
0
,
limν ( x, y) = ν
x → x0
y → y0
0
.
Свойства пределов.
z → z0
z→ z 0
Н
z → z0
И
1. lim (c1 f1 ( z ) ± c 2 f 2 ( z )) = c1 lim f1 ( z ) ± c 2 lim f 2 ( z ) .
z → z0
z → z0
f1 ( z)
f1 ( z ) zlim
→ z0
3. zlim
=
, если lim f 2 ( z ) ≠ 0 .
→ z0 f ( z )
z → z0
lim f 2 ( z )
2
z → z0
а
z → z0
АГ
2. lim ( f1 ( z ) ⋅ f 2 ( z )) = lim f1 ( z ) ⋅ lim f 2 ( z ) .
би
бл
ио
те
к
Функция ω = f (z ) называется непрерывной в точке z 0 , если lim f ( z ) = f ( z 0 ) .
z → z0
Определение непрерывности можно сформулировать так: Функция
f (z )
непрерывна в точке z 0 , если бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение функции: lim ∆f ( z ) = 0 .
z → z0
Функция f (z ) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке
Основные элементарные функции
Эл
ек
тр
он
н
1.3.
ая
этой области.
1. показательная
ω = e z = e x (cos y + i sin y )
2. логарифмическая
Lnz = ln z + i (arg z + kπ ) ,
Lnz = ln z + 2kπ i ,
где
ln z = ln z + i arg z
3. степенная
ω = zn
4. тригонометрические sin z =
5. гиперболические
e iz − e − iz
e iz + e − iz
sin z
cos z
, cos z =
, tgz =
, ctgz =
2i
2
cos z
sin z
shz =
e z − e−z
e z + e−z
shz
chz
, chz =
, thz =
, cthz =
,
2
2
chz
shz
shiz = i sin z , sin z = −ishiz , chiz = cos z
18
Задания для самостоятельной работы
Для данных функций найти их действительную часть и мнимую часть:
1. 3z 2 + 2 z + i .
Ответ:
u = 3 x 2 − 3 y 2 + 2 x,
v = 6 xy + 2 y + 1
u = x 3 − 3 xy 2 − 3 x,
v = 3x 2 y − y 3 − 3 y
3. 5 z − 3i .
u = 5 x,
v = 5y − 3
а
Ответ:
АГ
Н
Ответ:
И
2. z 3 − 3z
би
бл
ио
те
к
4. sin z
5. 2 z + z + 3
u = sin xchy,
v = − cos xshy
Ответ:
u = 3x + 3,
v= y
u = −3x 2 + 3 y 2 − 2 y + 5,
Ответ:
v = 2 x − 6 xy
ая
6. 2iz − 3z 2 + 5
Ответ:
Эл
ек
тр
он
н
Определить функцию f (z ) по заданным Re f ( z ) = u ( x; y ) и Im f ( z ) = v( x; y ) .
7. u = − y, v = x + 2 .
Ответ:
f ( z ) = i (2 − z )
Ответ:
f ( z) = i z 2
8. v = x − y , u = 2 xy
2
9. u =
2
x
y
, v= 2
2
x +y
x + y2
2
Ответ: f ( z ) =
1
z
10. u = chy cos x, v = − shy sin x
Ответ: f ( z ) = cos z = chiz
19
§2. Производная функции комплексного переменного
2.1. Определение. Условия Коши-Римана.
Пусть задана однозначная функция ω = f (z ) , которая определена в некоторой
окрестности точки z, включая саму точку.
∆z → 0
f ( z + ∆z ) − f ( z )
= f ′(z ) ,
∆z
точке
z
называется
предел
И
в
f (z )
Н
lim
функции
(1) если он существует, а функция f (z )
АГ
Производной
называется дифференцируемой в этой точке .
а
Из дифференцируемости f (z ) в некоторой точке z, следует её непрерывность в
би
бл
ио
те
к
этой точке.
Теорема:
Если функция f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) определена в некоторой окрестности
точки z = x + iy , причем в этой точке действительные функции u ( x, y ) и
ν ( x, y ) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции f (z ) в
точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись
∂u ∂v ∂u
∂v
=
;
=−
∂x
∂x ∂y ∂y
(2)
ая
равенства
Эл
ек
тр
он
н
Эти равенства называются условиями Коши-Римана. С учетом условий КошиРимана производную дифференцируемой функции f (z ) можно находить так:
f ′(z ) =
f ′(z ) =
∂u
∂v
+i
∂x
∂х
∂u
∂u
−i
∂x
∂y
f ′(z ) =
f ′(z ) =
∂ν
∂ν
+i
∂y
∂х
(3)
∂ν
∂u
−i
∂y
∂y
Правила дифференцирования
1. ( f1′ ( z ) ± f 2 ′ ( z ))′ = f1′ ( z ) ± f 2′ ( z )
2. ( f1′ ( z ) ⋅ f 2 ′ ( z ))′ = f1′ ( z ) ⋅ f 2 ( z ) + f1 ( z ) ⋅ f 2′ ( z )
20
′
 f 1 ( z )  f 1′ ( z ) f 2 ( z ) − f 2 ′ ( z ) f 1 ( z )
 =
3. 
( f 2 ( z )) 2
 f 2 ( z) 
4. ( f (ϕ ( z )))′ = f ϕ ′ (ϕ ) ⋅ ϕ z ′ ( z )
Условия
Коши-Римана
являются
необходимыми
условиями
И
дифференцирования.
1
,
z
(arcsin z )′ =
1
1− z2
(sin z )′ = cos z ,
(arccos z )′ = −
,
1
1− z2
∂U ∂U ∂V ∂V
,
,
,
непрерывны в точке
∂x ∂y ∂x ∂y
и условия
би
бл
ио
те
к
Если частные производные
(cos z )′ = − sin z ,
АГ
(ln z )′ =
(e z ) / = e z ,
а
( z n )′ = nz n −1 ,
Н
Производные элементарных функций:
Коши-Римана выполняются, то функция дифференцируема в этой точке.
2.2.
Аналитическая функция
Однозначная функция f (z ) называется аналитической в точке z, если она
дифференцируема в некоторой окрестности точки
условия Коши-Римана). Функция
z (т.е. выполнены
называется аналитической в
f (z )
ая
области D, если она дифференцируема в каждой точке z ∈ D .
Эл
ек
тр
он
н
Точки плоскости z, в которых функция
f (z )
аналитична, называются
правильными точками. Точки, в которых функция
f (z )
не является
аналитической, называются особыми точками этой функции.
Замечание:
Если
f (z ) = u ( x, y ) +iν ( x, y )
аналитична в D, то функции u ( x, y ) и ν ( x, y )
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 =0
∂х 2
∂у
удовлетворяют уравнению Лапласа
(4)
Функцию, имеющую непрерывные частные производные второго порядка и
удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармонической.
Функции u ( x, y ) и ν ( x, y ) - являются гармоническими.
21
Пример 1.
Является ли функция
f ( z) = z 2
аналитической. Найти её
производную.
Решение:
f ( z ) = z 2 = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + 2ixy ;
Т.о. u = x 2 − y 2 , ν = 2 xy . u x/ = 2 x, v y/ = 2 x; u y/ = −2 y, − v x/ = −2 y.
Условия выполняются во всех точках. Функция z 2 дифференцируема.
АГ
Н
И
( z 2 )′ = ( x 2 − y 2 )′x + i (2 xy )′x = 2 x + i 2 y = 29 x + iy ) = 2 z .
Пример 2. Найти аналитическую функцию по её заданной действительной
би
бл
ио
те
к
Решение: Функция u является аналитической.
а
части u = x 3 − 3xy 2 + 2 .
т.к. u xx// = 6 x; u yy// = −6 x ⇒ u xx// + u yy// = 0 .
∂u ∂ν
=
;
∂x ∂у
∂u
∂ν
= 3x 2 − 3 y 2 ⇒ ν = ∫ (3x 2 − 3 y 2 )dy = 3x 2 y − y 3 + ϕ ( x) .
= 3x 2 − 3 y 2 ; ⇒
∂x
∂у
∂u
∂ν
=−
;
∂y
∂x
∂u
= −6xy,
∂y
∂ν
= 6 xy + ϕ ′( x) . Тогда имеем
∂x
− 6 xy = −6 xy + ϕ ′( x) ⇒ ϕ ′( x) = 0 ⇒ ϕ ( x) = c, поэтому v = 3x 2 y − y 3 + c , следовательно
f ( z ) = x 3 − 3xy 2 + 2 + i (3x 2 y − y 3 + c) = x 3 − 3xy 2 + 2 + 3x 2 yi − y 3i + ci =
Эл
ек
тр
он
н
ая
( x + iy ) 3 + 2 + ic = z 3 + 2 + ic .
Задания для самостоятельной работы.
Дифференцируема ли функция
1. f ( z ) = 2 y + 3 xi
2. f ( z ) = i ( x 2 − y 2 ) − 2 xy
3. f ( z ) = e x cos y + ie x sin y
Ответ: нет
Ответ: да
Ответ: да
Найти производную функции
Ответ: 5.
4. f ( z ) = 5 z − 2i
5. f ( z ) = 3iz 2 + 5 z + 1
Ответ: 6iz + 5
3z
6. f ( z ) = 2e − 7
Ответ: 6e 3 z
7. f ( z ) = i cos z
Ответ: − i sin z
По данной действительной или мнимой части дифференцируемой функции
f (z ) найти саму эту функцию.
22
8. u ( x; y ) = 3 x + 4
9. v( x; y ) = 2 y 2 − 2 x 2 − 5
10. v( x; y ) = −3xy 2 + x 3 + 4 x
11. u ( x; y ) = y + x 2 − y 2 + 1
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
12. u ( x; y ) = e − y cos x − x
13. v( x; y ) = 2 xy − 3 .
14. u ( x; y ) = 2 x 2 − 2 y 2 + 6 .
Ответ: f ( z ) = e iz − z + iC
Ответ: f ( z ) = z 2 − 3i + C
Ответ: f ( z ) = 2 z 2 + 6 + iC
f ( z ) = 3z + iC + 4
f ( z ) = −2iz 2 − 5i + C
f ( z ) = iz 3 + 4i z + C
И
f ( z ) = z 2 − iz + 1 + iC
АГ
3.1. Определение. Правила вычисления интеграла
Н
§3. Интегрирование функции комплексного переменного
Кривая L называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся
би
бл
ио
те
к
а
касательную.
Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа
гладких дуг.
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в точке z 0 и
концом z определена функция f (z ) . Разобьем кривую L на n-частей точками
z 0 , z1 ,...z n −1
y
ук
сk
у к −1
zk
z n −1 z n
Эл
ек
тр
он
н
z k −1
ая
L
z1
z0
х к −1 х к
x
В каждой элементарной дуге z k −1 z k выберем произвольную точку С к и
составим интегральную сумму
S n = f ( z 0 )∆z 0 + f ( z1 )∆z1 + ... f ( z n−1) ∆z n−1 ⇒
n
∑ f (C
k =1
23
k
)∆z k , где ∆z k = z k − z k −1
Предел интегральной суммы при стремлении к 0 длины наибольшей из
элементарных дуг, называется интегралом от функции f (z ) по кривой L и
обозначается
∫
n
lim ∑ f (C k )∆z k = ∫ f ( z )dz
f ( z )dz ,
n →∞
l
Если
k =1
то
f (z ) = u ( x, y ) + iv( x; y ) ,
(1)
l
∫ f ( z)dz
сводится к двум криволинейным
И
l
l
l
(2)
АГ
∫ f ( z)dz = ∫ u( ху)dх - v( xy)dy + i ∫ν ( ху)dx + u ( xy )dy
Н
интегралам от действительных функций по формуле:
l
Если x = x(t ), y = y (t ) , где t1 ≤ t ≤ t 2 - параметрическое уравнение кривой L, то
l
а
(3)
би
бл
ио
те
к
∫
t2
f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) ⋅ z ′(t )dt
t1
3 .2. Свойства интеграла
1) ∫ dz = z − z 0
l
2) ∫ ( f1 ( z ) ± f 2 ( z ))dz = ∫ f1 ( z )dz ± ∫ f 2 ( z )dz
l
l
l
3) ∫ af ( z )dz =a ∫ f ( z )dz ,
l
а – комплексное число
ая
l
∫ f ( z)dz = − ∫ f ( z )dz ,
4)
l−
т.е. при перемене направления пути интегрирования
Эл
ек
тр
он
н
l
интеграл изменяет свой знак на противоположный
5)
∫ f ( z )dz = ∫ f ( z)dz + ∫ f ( z )dz , где
l
l1
∫= −∫
АВ
ВА
l = l1 ∪ l 2 . Т.е. интеграл по всему пути l равен
l2
сумме интегралов по его частям.
6) Если f ( z ) ≤ M во всех точках кривой L, то f ( z )dz ≤ Ml , где l – длина кривой
L.
1+ i
2
Пример 1. ∫ zdz = z
2
i
1+ i
i
=
(1 + i ) 2 i 2 1
− = +i
2
2 2
24
Пример 2. ∫ zdz , где L: x = cos t , y = sin t .
Так
как
z = x + iy, dz = dx + idy ,то
l
∫ ( x + iy )(dx + idy ) = ∫ xdx − ydy + i ∫ ydx + xdy =
∫ cos t (− sin t )dt − sin t cos tdt + i ∫ sin t (− sin t )dt + cos t cos tdt =
2π
sin 2t 
 cos 2t
∫0 cos 2tdt =  2 + i 2 
0
Пример3
∫
2π
= 0.
0
где l – отрезок прямой от точки z1 =0 до z 2 =3+2i.
z dz ,
Н
∫ − sin 2tdt + i
И
2π
АГ
e
Решение. Составим уравнение отрезка прямой, который проходит через точки
dy =
2
dx ;
3
x ∈ [0;3]
би
бл
ио
те
к
x y
2
= ; y= x
3 2
3
а
z1=(0;0); z2=(3;2).
z dz = ∫ x 2 + y 2 d ( x + iy ) = ∫ x 2 + y 2 dx + i
∫
3
=∫
0
3
4 2
13 2
13 x 2
x + x dx +i ∫
x ⋅ dx =
9
3
3
3 2
0
2
=
∫
x 2 + y 2 dy =
2 13 x 2
+i
9 2
0
3
3
=
0
13
13
3 13
⋅9 + i
⋅9 =
+ i 13.
6
9
2
Эл
ек
тр
он
н
Теорема Коши
ая
3.3. Теорема Коши. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f (z ) аналитична в односвязной области D, то интеграл от
этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D,
равен нулю, т.е.
∫ f ( z)dz =0
(4)
l
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.
Следствие
Если f (z ) - аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл от
неё не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь
от начальной точки z 0 и конечной точки пути интегрирования.
25
L2
z0
z
L1
И
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной и конечной точки
l
z
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz
АГ
∫
Н
пути интегрирования пользуются обозначением
z0
F ′( z ) = f ( z ).
би
бл
ио
те
к
а
Функция F(z) называется первообразной для f(z) в области D, если
Если известна одна из первообразных F(z), то все другие содержатся в
выражении F(z)+С, С – const.
Выражение F(z)+С называется неопределённым интегралом от функции
∫ f ( z )dz = F ( z ) + C
f (z ) ,
(5),
где F ′( z ) = f ( z ).
Также как и для действительных функций выполняется равенство
z
∫ f ( z )dz = F(z)-F( z
0
) (6)
формула Ньютона-Лейбница.
ая
z0
Эл
ек
тр
он
н
Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической
функции f (z ) применяются обычные формулы интегрирования
∫ e dz = e
z
z
+C,
Пример 4. Вычислить
∫ sin zdz = − cos z + C
dz
∫z−z
l
и т.д.
, где L – окружность с центром в т. z 0 , радиуса R,
0
обходимая против часовой стрелки.
Решение: Теорема Коши не применима, так как функция в т. z 0 не аналитична.
Запишем уравнение окружности в параметрической форме: x = x0 + R cos t ,
y = y 0 + R sin t , где 0 ≤ t ≤ 2π .
26
z = x + iy = ( x0 + iy 0 ) + R(cos t + i sin t ) = z 0 + Re it
Н
2π
2π
Пример 5. Вычислить
dz
∫ z − 4 , где С: эллипс
x = 3 cos t ,
Решение:
y = 2 sin t
би
бл
ио
те
к
С
АГ
i Re it
∫0 Re it dt = i ∫0 dt = 2π i
а
dz
∫l z − z 0 =
И
z0
Подынтегральная функция является аналитической в области,
ограниченной этим эллипсом, поэтому
dz
∫ z − 4 =0 по теореме Коши.
С
y
4
х
ая
3
Эл
ек
тр
он
н
3.4. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема:
Пусть
f ( z0 ) =
f (z )
1
2πi
аналитична в замкнутой области D. Тогда имеет место
f ( z)
∫z−z
l
dz
(7), где z 0 ∈ D любая точка внутри D, а интегрирование
0
по контуру L производится в положительном направлении.
Интеграл, находящийся в правой части называется интегралом Коши, а сама
эта формула называется интегральной формулой Коши.
Эта формула позволяет находить значения аналитической функции f (z ) в
любой точке z 0 , лежащей внутри области D через её значения на границе этой
области.
27
Интегральная формула Коши справедлива и для многосвязной области: каждый
из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.
Следствие
Для всякой дифференцируемой в точке
функции
f (z )
существуют
производные всех порядков, причем любая производная имеет вид:
И
n!
f ( z)
dz (8)
∫
2π i ( z − z 0 ) n +1
Н
f n ( z0 ) =
АГ
Формулы (7) и (8) можно использовать для вычисления интегралов по
замкнутым контурам.
0
l
dz
∫l z 2 + 4 , где
Пример 6 Вычислить
Решение: а) функция f (z ) =
теоремы Коши
∫z
l
y
Эл
ек
тр
он
н
-2i
б)L : z − i = 2
1
- аналитическая в области z ≤ 1 . В силу
z +4
2
ая
x
а ) L − окружность z = 1
dz
=0 .
+4
2
2i
x
(9)
би
бл
ио
те
к
l
2π i n
f ( z)
dz =
f ( z0 )
n +1
n!
0)
∫ (z − z
dz = 2π if ( z 0 )
а
f ( z)
∫z−z
б) В этой области z − i ≤ 2 находится точка z=2i, в которой знаменатель равен 0.
dz
dz
z + 2i
∫l z 2 + 4 = ∫ z − 2i ;
области.
∫z
l
функция
dz
= 2π
+4
2
f (z ) =
1
z + 2i
является аналитической в данной
1 π
 1 
i
= 2π i =

4i 2
 z + 2i  z = 2i
Пример7. Вычислить:
∫
cos z
dz
z =1 z 3
Внутри круга и на его границе z = 1 функция f ( z ) = cos z аналитична.
∫
z =1
2π i
cos z
cos z
(cos z )″
dz = ∫
dz =
3
2 +1
z
=
1
2!
z
z
= π i(− cos z )
z =0
28
z =0
= −π i
Задания для самостоятельной работы.
∫ (z
1.
+ 3)dz , где AB-отрезок прямой, соединяющий точки z A = 0, z B = 2 + i .
3
AB
17
+ 9i
4
2. ∫ (3i + z )dz, где AB -отрезок прямой от точки z A = 0 до точки z B = 1 − i
Ответ:
AB
Н
И
Ответ: 2i + 3
3. ∫ (2 z + z )dz, где а) AB -отрезок прямой от точки z A = 0, до z B = 1 + i .
AB
АГ
б) АВ- дуга параболы у = х 2 от точки z A = 0 до точки z B = 1 + i
Ответ: а) 1 − 2i
5
Ответ: −
∫ (z
5.
25 5
− i
6 3
dz , где AB-отрезок прямой, который соединяет точки z A = 0, z B = i .
AB
би
бл
ио
те
к
∫z
4.
а
б) −
2
1
6
+ 4iz )dz , где AB -отрезок прямой от точки z A = 2 до точки z B = 2i
AB
8
3
Ответ: − −
56
i
3
6. ∫ i zdz, если L − ломаная ОАВ с вершинами в точках
l
Z 0 = 0, Z A = i, Z В = 1 + i
ая
Ответ: 1 + i
7. ∫ f (z )dz, где f (z ) = x + y i, AB − отрезок прямой, соединяющей точки
2
Эл
ек
тр
он
н
AB
2
Z A = 1 + i, Z B = 2 + 3i
∫ (−iz
8.
2
)dz , где
Ответ: −
19
+ 9i
3
AB- отрезок прямой, соединяющей точки
AB
Z A = 2, Z B = 2 − i
Ответ: −
11
+ 2i
3
3
9. ∫ ( z + 2)dz
1+ i
Ответ: 8,5 − 3i
2 +i
10.
∫ ze dz
z
0
Ответ: e 2+i (1 + i)
29
11. ∫ zdz, где L-замкнутый контур
l
x = 2 cos t , y = 2 sin t
Ответ: 2π i
12. ∫ ( z − 6 z − 2)dz; где АВ – отрезок прямой, Z A = 3, Z B = 3 − i .
2
AB
Ответ:
где АВ – отрезок прямой, Z A = 1, Z B = 2i .
И
13. ∫ (6 z 5 − 2 z 3 − 1)dz;
34
i
3
где АВ: {y = x 2 ; Z A = 0, Z B = i }.
AB
Ответ: − 71,5 − 2i
АГ
14. ∫ (6 z 2 − 8 z )dz;
Н
AB
∫ z Im z dz;
15.
AB − отрезок прямой, Z A = 0, Z B = 1 + i .
AB
а
Ответ: − 4 − 4i
2
16.
2 z − 3 − 2i
∫ (z − 2i )( z + 4) dz,
би
бл
ио
те
к
Ответ: i
где L-окружность z = 3 .
l
Ответ: − 1,4π − 0,8π i
где L-эллипс x = 2 cos t , y = 3 sin t .
ая
dz
17. ∫
,
z
−
4
l
2 zdz
, где а) L-окружность z = 1,5
2
L ( z + 2)
18. ∫
Ответ: 0
Ответ: 4π i
Эл
ек
тр
он
н
б) L-окружность z = 3
19.
sin zdz
, где L-окружность z = 1
z −π
L
∫
Ответ: 0
dz
, где а) L-окружность z − 2 = 1
20. ∫ 2
L z −4
б) L-окружность z + 2 = 1
в) L- окружность z = 1,5
21.
Ответ: 0
∫ ( z − 1)
L
Ответ: 0,5π i
Ответ: - 0,5π i
Ответ: 0
2dz
, где а) L-окружность z − 1 = 0,5
3
⋅ ( z + 1) 2
б) L-окружность z + 1 = 0,5
в) L-окружность z = 0,5
3
πi
4
3
Ответ: - π i
4
Ответ:
Ответ: 0
30
§4. Контрольная работа по теме:
«Комплексные числа. Теория функции комплексной переменной»
Вариант 1
6
И
 3
2 − 3i
1
− i  ; в) cos(π + 3i ) .
; б) 
1. Вычислить: а)
4 + 3i
2
 2
2. Восстановить функцию f (z ) , если v = x 3 − 3 y 2 x .
е z dz
, где С: z + 1 = 2 .
( z + 2)
C
Н
3. Вычислить значение интеграла ∫
а
би
бл
ио
те
к
Вариант 2
АГ
4. Решить уравнение 32 z 5 − 243i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
1. Вычислить: а) (2i + 3) 3 − (2i − 3) 3 ; б) Ln( 3 + i); в) sin(3π + 2i );
2. Восстановить функцию f (z ) , если v = − x 2 + y 2 + 2 y + 1 .
cos zdz
, где С: z + i = 2 .
( z + 2i )( z − 2i )
C
3. Вычислить значение интеграла ∫
4. Решить уравнение 8 z 3 + 27i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Вариант 3
5 + 3i
2−i
+
; б) sh(3i ) в) Ln(2 + i );
2i
5 + 3i
2. Восстановить функцию f (z ) , если u = e − x cos y .
sh(iz )dz
, где С: z = 2 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
z ( z − 8)
C
Эл
ек
тр
он
н
ая
1. Вычислить: а)
4. Решить уравнение z 4 − 81i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
Вариант 4
3i
; б) Ln(−2 + 2i ); в) sin(3i );
4 + 2i
x
2. Восстановить функцию f (z ) , если Re f ( z ) = 2 2 + x .
x +y
(3 z + 4)dz
3. Вычислить значение интеграла ∫
, где С: z − 2 = 2 .
( z − 1)( z + 2)
C
1. Вычислить: а) (1 + 2i) 2 −
4. Решить уравнение 27 z 3 + 54i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Вариант 5
(3 + 3i )(5 − 2i )
; б) Ln( 3 − i ); в) ch(2i );
1+ i
2. Восстановить функцию f (z ) , если u = e − y cos x − x .
1. Вычислить: а)
31
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
e z dz
, где С: z + i = 2 .
z 3 ( z + i)
4. Решить уравнение z − 625i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
4
Вариант 6
(2 − 3i )(3 + 2i )
; б) Ln(3 + 4 i ); в) sin(2π + 2i );
1− i
2. Восстановить функцию f (z ) , если v = 2 yx − 2 y + 3 .
zdz
, где С: z + 1 = 3 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
2
C ( z − 1)
АГ
Н
И
1. Вычислить: а)
а
4. Решить уравнение z 3 = 27i и отметить корни на комплексной плоскости.
би
бл
ио
те
к
Вариант 7
i
π
2
1. Вычислить: а) sin(π + 2i) б) Ln(1 − 3 i); в) e ;
2. Восстановить функцию f (z ) , если Im f ( z ) = 2 xy + 2 x − 1 .
cos(3z )dz
, где С: z + π = 1 .
3
C (z + π )
3. Вычислить значение интеграла ∫
4. Решить уравнение
плоскости.
z 6 + 64i = 0
и отметить корни на комплексной
Вариант 8
Эл
ек
тр
он
н
ая
2 − 4i 
6
1. Вычислить: а) 
 б) Ln(5 + 5i ); в) (1 + i 3 ) .
 4 + 3i 
2. Восстановить функцию f (z ) , если u = y 3 − 3yx 2 .
sin zdz
3. Вычислить значение интеграла ∫
, где С: z + π = 2 .
2
C (z + π )
4. Решить уравнение z 3 + 8i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
Вариант 9
π
i
(2 − i )(3 + 4i )
1. Вычислить: а)
б) Ln(2 − 2 i); в) e 3 ;
3 − 2i
2. Найти вещественную и мнимую часть функции
f ( z ) = 2( z ) 2 + 3i + 4 .
zdz
, где С: z + 2i = 1,5 .
2
C ( z + 2i )
3. Вычислить значение интеграла ∫
4. Решить уравнение
плоскости.
z 2 + 25i = 0
и отметить корни на комплексной
32
Вариант 10
1. Вычислить: а) (4 − 2i) 3 б) Ln(3 − 4i); в) i135 ;
2. Найти вещественную и мнимую часть функции
f ( z) = ( z 2 ) + i ⋅ ( z ) 2 .
z 2 dz
1
, где С: z + i = .
2
2
C ( z + i)
3. Вычислить значение интеграла ∫
И
4. Решить уравнение z 3 − i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
π
2
1. Вычислить: а) (2 + 3i) 3 б) ch(ln 3 + i ); в) i 25 + 2i 6 − i 2 .
f ( z) =
2z + i
.
z − 3i
а
2. Найти вещественную и мнимую часть функции
АГ
Н
Вариант 11
би
бл
ио
те
к
z 2 dz
3. Вычислить значение интеграла ∫
, где С: z − 2i = 1,5 .
C ( z + i )( z − 2i )
4. Решить уравнение z 3 − 125i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Вариант 12
1. Вычислить: а)
(3 − 2i )
π
б) Ln(7 + 7 i); в) ch(3 + i);
5 + 3i
2
2
2. Найти вещественную и мнимую часть функции
f ( z ) = 2i ( z ) 3 − 3i + 4 .
2 zdz
, где С: z + i = 2 .
(
z
+
i
)
(
z
−
3
i
)
C
ая
3. Вычислить значение интеграла ∫
Эл
ек
тр
он
н
4. Решить уравнение z 2 − 1 − 3i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Вариант 13
(3 − 3i )
б) Ln( 8 + 8 i ); в) ch(ln 5 + 2π ⋅ i );
1 + 2i
2. Найти вещественную и мнимую часть функции f ( z ) = 3( z ) 3 + 4 z − 5 .
1. Вычислить: а)
2
2
e z dz
3. Вычислить значение интеграла ∫
, где С: z −1 + i =1.
C ( z − 1 + i)
4. Решить уравнение z 4 − 16i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
1. Вычислить: а)
Вариант 14
(2 − 5i )
π
б) sin(2π + i); в) ch( i);
− 3 + 4i
3
2
2. Найти вещественную и мнимую часть функции
33
f ( z) = 2z z + 1
.
z 2 dz
, где С: z + 2 + i = 2 .
2
C ( z + 2 + i)
3. Вычислить значение интеграла ∫
4. Решить уравнение
плоскости.
z
3
z
z 4 − 81i = 0 отметить корни на
комплексной
Вариант 15
(3 − 4i)
б) (3 + 7i)(6 − 2i ); в) ln(1 + i)
2 + 7i
2. Найти аналитическую функцию f (z ) , если ее действительная часть
Н
И
1. Вычислить: а)
АГ
u ( x , y ) = −2 x 2 + 2 y 2 − у .
3 z 2 dz
, где С: z + 2i = 1 .
2
C ( z + 2i )
а
3. Вычислить значение интеграла ∫
би
бл
ио
те
к
4. Решить уравнение z 3 − 64i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
Вариант 16
(2 + 3i )(1 − 6i )
б) (2 + i) 4 ; в) i 26 − i10 + i 13 ;
1 − 4i
2. Найти аналитическую функцию f (z ) , если ее действительная часть
1. Вычислить: а)
u ( x, y ) = x 2 − y 2 + xy и f (0) = 0.
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
z 3 dz
, где С: z = 2 .
z2 + 4
4. Решить уравнение z + 4i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
Эл
ек
тр
он
н
ая
2
Вариант 17
(2 + 3i )(2 + 2i )
б) (1 + 2i) 3 ; в) ln(3 − 3i);
6 − 7i
2. Найти аналитическую функцию f (z ) , если Re f ( z ) = − y 3 + 3 yx 2 − 3 .
1. Вычислить: а)
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
zdz
, где С: z − 4 i = 1
z + 16
2
4. Решить уравнение z − 8 i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
3
1. Вычислить: а)
Вариант 18
(1 − 3 i )(2 + 6 i )
б) (2 + 3 i) 3 ; в) ln(−3 + 3 i);
− 2 + 3i
2. Найти аналитическую функцию
f (z ) , если известна ее мнимая часть
v ( x, y ) = 3 x 2 − 3 y 2 + x + 4
34
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
4. Решить уравнение
плоскости.
z 2 dz
, где С: z + 2 = 2 .
z2 − 4
и отметить корни на комплексной
z − 32 i = 0
5
Вариант 19
аналитическую
функцию
f (z ) ,
если
ее
v ( x, y ) = 3 x 2 − 3 y 2 + 5
C
мнимая
часть
(iz )dz
, где С: z − 1 = 1 .
z − 4z + 3
2
а
3. Вычислить значение интеграла ∫
И
Найти
Н
2.
(−2 − 3 i )(8 + i )
б) Ln(3 + 3 i); в) (2 − 3 i ) 3 ;
2 + 3i
АГ
1. Вычислить: а)
4. Решить уравнение z + i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
би
бл
ио
те
к
3
Вариант 20
1. Вычислить:
2.
Найти
(3 + 7i )(2 − i )
б) (3 + 3 i) 3 ; в) ln(−1 − i);
3 − 3i
аналитическую
v ( x, y ) = 5 x 2 − 5 y 2 + x
функцию f (z ) ,
если
ее
мнимая
часть
sin zdz
, где С: z − i = 2 .
2
C ( z)
ая
3. Вычислить значение интеграла ∫
и отметить корни на комплексной
z 3 + 125 = 0
Эл
ек
тр
он
н
4. Решить уравнение
плоскости.
Вариант 21
(2 + 5 i )(9 − 8 i )
1
б) (2 + i ) 2 в) i 5 − 2i 20 + i 75 ;
3 + 4i
3
аналитическую функцию
f (z ) , если
1. Вычислить: а)
2.
Найти
ее
мнимая
часть
v( x, y ) = −5 xy + 3.
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
2izdz
, где С: z + 3 = 1,5 .
z + 4z + 3
2
4. Решить уравнение z + i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
4
Вариант 22
(3 + 5 i )(2 − 3 i )
1. Вычислить: а)
б)
3 + 4i
3
 2
2

 в) ln(3 + i );
+
i
 2

2


35
2. Найти аналитическую функцию
f (z ) , если ее действительная часть
u ( x, y ) = 6 x 2 − 6 y 2 + xy − 1.
sin zdz
, где С: z − i = 2 .
2
C ( z − i)
3. Вычислить значение интеграла ∫
И
4. Решить уравнение z 3 − 27 + 27 i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Н
Вариант 23
АГ
2
если
ее
мнимая
часть
а
1+ i 3 
2+i
 ; в) Ln(3 + 3 i );
б) 
1. Вычислить: а)

2
2−i


2. Найти аналитическую функцию
f (z ) ,
би
бл
ио
те
к
v ( x , y ) = −7 x 2 + 7 y 2 − 3 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
2e z dz
, где С: z = 1,5 .
z 2 − 2z
4. Решить уравнение z − 2 + 2 i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
2
Вариант 24
1. Вычислить: а)
z1
π
π
, если z1 = 3 + i; z 2 = cos + i sin ;
6
6
z2
π
3 
Найти
аналитическую
Эл
ек
тр
он
н
2.
ая
б) sin(π + 3 i ); в) Ln i ;
функцию
f (z ) ,
если
ее
мнимая
часть v( x, y ) = − x 2 + y 2 + 7 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
zdz
, где С: z − 2 = 1 .
z −4
2
4. Решить уравнение 8 z 3 + 1 = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
1.Вычислить:а)
Вариант 25
z1
2
2
cos 42 o + i sin 42 o
;
, если z1 = 2 + i; z 2 =
−
i; б)
2
2
z2
(cos 51o + sin 51o ) 2
в) Ln(9 + 9 i);
2. Найти аналитическую функцию
f (z ) , если ее действительная
u ( x , y ) = −4 x 2 + 4 y 2 + 3 y + 5 .
e iz dz
3. Вычислить значение интеграла ∫ 2
, где С: z − 2 i = 2 .
C z +4
36
часть
4. Решить уравнение 8 z 3 + 27 i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Вариант 26
1.Вычислить:а)
z1
π
π
, если z1 = (2 + 2i ) 5 ; z 2 = cos + i sin ; б)
z2
2
2
15
u ( x, y ) = 3 y 2 x − x 3 + 3 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
3 z 2 dz
, где С: z − 3 = 1 .
z2 − 9
а
часть
f (z ) , если ее действительная
АГ
2. Найти аналитическую функцию
Н
И
  π
 π 
 cos −  + i sin  −   ; в) Ln(7 + 4 i );
 4 
  4
4. Решить уравнение z + i = 0 и отметить корни на комплексной плоскости.
би
бл
ио
те
к
2
Вариант 27
π
 π
16 i sin + i cos 
z
π
π
6
6

1.Вычислить: а) 1 , если z1 = 3 − i; z 2 = cos + i sin ; б)
15
15
z2
( −1 + i 3 )
1
2
в) Ln( −
3
i );
2
2. Найти аналитическую функцию
ее мнимая
x
+ 3.
x + y2
ая
часть v( x, y ) =
f (z ) , если
2
2
Эл
ек
тр
он
н
3. Вычислить значение интеграла ∫
4. Решить уравнение z 6 =
C
zdz
, где С: z − 3 i = 1 .
z +9
2
1
i и отметить корни на комплексной плоскости.
64
Вариант 28
1.Вычислить: а)
z=
2 3 − 2i
(cos 72 o + i sin 72 o )(cos 41o + i sin 41o )
; б) (6 − 6i ) 2 ; в) Ln
.
o
o
cos 19 + i sin 19
(−1 + i )( 2 + 6i )
2.
Найти
аналитическую
функцию
f (z ) ,
если
ее
мнимая
часть
v ( x, y ) = 2 x + 2 y + 5 .
3. Вычислить значение интеграла ∫
C
2 zdz
, где С: z − 4 i = 1 .
z + 16
2
4. Решить уравнение z − (1 − i) = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
3
3
37
Вариант 29
π 
 π 
 + i sin  − ;
 12 
 12 
1.Вычислить: а) ( z1 z 2 ) 6 , если z1 = −2 + 2 3 i; z 2 = cos −
C
4. Решить уравнение 27 z 3 − i = 0
плоскости.
zdz
, где С: z + i = 1 .
z2 +1
Н
3. Вычислить значение интеграла ∫
f (z ) , если v( x, y ) = 3 xy + 6 x .
АГ
2. Найти аналитическую функцию
И
в) Ln(1 − i);
и отметить корни на комплексной
би
бл
ио
те
к
Вариант 30
а
б)
π
 π
2 3 sin + i cos 
6
6

  π
 π 
3  sin  −  + i cos −  
 6 
  6
z
2π
2π
1.Вычислить:а) 1 , если z1 = 4 cos + i sin ; z 2 = 1 − i; б) cos(8 − 8 3 i);
3
3 
z2

в) (6 − i) 2 (2 + i) 3 .
2. Найти аналитическую функцию f (z ) , если ее действительная часть
3
u ( x, y ) = − x 2 + y 2 + 5 y .
4 zdz
, где С: z − 3 i = 1 .
( z − 3 i )( z + 2)
C
3. Вычислить значение интеграла ∫
Эл
ек
тр
он
н
ая
4. Решить уравнение 3z 4 − 243 i = 0 и отметить корни на комплексной
плоскости.
Глава 3. Элементы операционного исчисления
§1. Преобразование Лапласа. Нахождение изображений
1.1. Оригинал и преобразование Лапласа
Определение.
Функция действительной переменной f (t ) является оригиналом, если
выполняются условия:
1. f (t ) – кусочно-непрерывная при t ≥ 0 (т.е. или непрерывная, или
имеет конечное число точек разрыва только I рода);
2. f (t ) = 0 при t < 0 ;
38
3. f (t ) ≤ M ⋅ eα t , где M f 0, α – постоянные.
Определение .
Функция комплексной переменной F ( p ) :
Н
называется преобразованием Лапласа функции f (t ) .
И
+∞ − p t
F ( p) = ∫ e
⋅ f (t ) dt , где p = a + i ⋅ b (1)
0
АГ
Несобственный интеграл в правой части - интеграл Лапласа, функция
F ( p ) – изображение по Лапласу. Несобственный интеграл сходится для всех
би
бл
ио
те
к
аналитической функцией в полуплоскости Re p f s .
а
значений p , удовлетворяющих условию Re p f s , а функция F ( p ) является
Обозначения:
f (t ) = F ( p )
F ( p ) = f (t )
F ( p ) ÷ f (t )
или f (t ) ÷ F ( p ).
ая
Будем в дальнейшем использовать последнее обозначение: F ( p ) ÷ f (t ),
Теорема [единственности изображения]
Эл
ек
тр
он
н
Если f (t ) ÷ F ( p ) и g (t ) ÷ F ( p ) , то f (t ) = g (t ) .
Операционное исчисление - это методы решения задач, основанные на
следующих этапах:
1) от искомых функций переходят к их изображениям;
2) над изображениями производят операции, соответствующие заданным
операциям над самими функциями;
3) получив результат действия над изображениями в виде изображений,
переходят к их оригиналам – искомым функциям.
Переход от оригиналов к изображениям и, наоборот проводят на основании
свойств преобразования Лапласа
и при помощи таблиц соответствия между
оригиналами и изображениями.
39
1.2. Свойства преобразования Лапласа
Пример 1. Найдем изображение функции f (t ) = e
at
, где a = const .
Решение.
1
.
p−a
Непосредственное вычисление интеграла Лапласа для
функций – занятие трудоёмкое. Поэтому для получения
пользоваться
Н
АГ
÷
а
at
би
бл
ио
те
к
Итак, e
И
+∞
+∞
e a t ÷ F ( p ) = ∫ e − p t ⋅ e a t dt = ∫ e − t ⋅ ( p − a ) dt =
0
0
+∞
+
∞


1
1
1
1
− t ⋅ ( p − a)

=−
⋅e
=−
⋅
=
.


t
⋅
p
−
a
(
)
p−a
p
−
a
p
−
a
0
e
0
более сложных
формул удобнее
свойствами преобразования Лапласа. Свойства преобразования
Лапласа приведены в Таблице 1.
Пусть f1 (t ) ÷ F1 ( p ); f 2 (t ) ÷ F2 ( p ); A, B, τ > 0, λ > 0 – постоянные.
Эл
ек
тр
он
н
ая
Свойства преобразования Лапласа
Таблица 1
название
формула
№
1
линейности
2
подобия
3
затухания
A ⋅ f1 (t ) + B ⋅ f 2 (t ) ÷ A ⋅ F1 ( p ) + B ⋅ F2 ( p )
f (λ t ) ÷
e
at
1  p
⋅ F 
λ λ 
⋅ f (t ) ÷ F ( p − a )
(смещения)
4
f (t −τ ) ÷ e
запаздывания
40
−p t
⋅ F ( p)
5
6
опережения
f (t + τ ) ÷ e
τ −p t

p τ 
⋅  F ( p) − ∫ e
⋅ f (t ) dt 
0


f ' (t ) ÷ p ⋅ F ( p ) − f (0 )
дифференцирования
оригинала
f ' ' (t ) ÷ p 2 ⋅ F ( p ) − p ⋅ f (0) − f ' (0)
И
…………………………………..
дифференцирования
изображения
а
оригинала
8
t
F ( p)
∫ f (t ) dt ÷
p
0
интегрирования
би
бл
ио
те
к
7
АГ
Н
f (n ) (t ) ÷ p n ⋅ F ( p ) − p n −1 ⋅ f (0 ) − p n − 2 ⋅ f ' (0 ) − ...




 n −1
 n −1

− p⋅ f 
(0 ) − f   (0 )
− t ⋅ f (t ) ÷ F ' ( p )
t 2 ⋅ f (t ) ÷ F ' ' ( p )
− t 3 ⋅ f (t ) ÷ F ' ' ' ( p )
……………………..
(−1)n ⋅ t n ⋅ f (t ) ÷ F n ( p )
интегрирование
изображения
свертывания
Эл
ек
тр
он
н
10
(умножения
изображений)
11
f (t ) +∞
÷ ∫ F ( z ) dz
t
p
ая
9
интеграл Дюамеля
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ÷ F1 ( p ) ⋅ F2 ( p )
где
t
t
f1 ∗ f 2 = f 2 ∗ f1 = ∫ f1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ ) dτ = ∫ f (t − τ ) ⋅ f (τ ) dτ
2
1
0
0
– свертка функций f1 и f 2 .
t '
p ⋅ F ( p ) ⋅ F ( p ) ÷ f (0) ⋅ f (t ) + ∫ f (τ ) ⋅ f (t − τ ) dτ =
1
2
1
2
2
2
0
t
'
= f (0) ⋅ f (t ) + ∫ f (τ ) ⋅ f (t − τ ) dτ
1
2
2
1
0
41
12
γ + i∞
f (t ) ⋅ f (t ) ÷
⋅ ∫ F (z ) ⋅ F ( p − z ) dz ,
1
2
1
2
2π i γ − i ∞
умножения
1
оригиналов
где интеграл в правой части называется сверткой
Н
И
изображений.
−e
2i
−i ω t
а
sin ω t =
iω t
би
бл
ио
те
к
Решение:
e
АГ
Пример 2. f (t ) = sin ω t. Найти: F ( p ).
Полагая в формуле (2) a = ± i ω и применяя свойство линейности, получим:
1  1
1  1  p + i ω − p + i ω 
ω
 = ⋅
sin ω t ÷
⋅ 
−
=
2 i  p − i ω p + i ω  2 i  p 2 − (i ω )2  p 2 + ω 2


Таким образом,
sin ω t ÷
.
⋅ sin ω t . Найти F ( p ) .
Эл
ек
тр
он
н
Решение:
at
p2 + ω 2
ая
Пример 3. f (t ) = e
ω
e a t ⋅ sin ω t = e a t ⋅ f (t ), где f (t ) = sin ω t.
По свойству затухания
e a t ⋅ f (t ) ÷ F ( p − a ) получим
e a t ⋅ sin ω t ÷
ω
( p − a )2 + ω 2
1.3. Формулы соответствия. Таблица
Приведем изображения
основных функций ( α и β - комплексные
числа, n- натуральное).
42
Формулы соответствия
1.
2.
3.
e
Изображения F ( p )
1
1
p
at
1
p−a
И
Оригиналы f (t )
ω
sin ω t
Н
№
Таблица 2
4.
cos ω t
АГ
p2 + ω 2
p
p + ω2
2
sh ω t
ω
p − ω2
6.
ch ω t
би
бл
ио
те
к
2
а
5.
p
p − ω2
2
ω
( p − a )2 + ω 2
7.
e a t ⋅ sin ω t
8.
e a t ⋅ cos ω t
9.
e a t ⋅ sin (ω t + ϕ )
10.
e a t ⋅ cos (ω t + ϕ )
( p − a ) ⋅ cos ϕ + ω ⋅ sin ϕ
( p − a )2 + ω 2
11.
t
1
p2
12.
tn
n!
p−a
( p − a )2 + ω 2
Эл
ек
тр
он
н
ая
ω ⋅ cos ϕ + ( p − a ) sin ϕ
( p − a )2 + ω 2
p n +1
13.
t n ⋅ eat
n!
( p − a )n+1
14.
t ⋅ sin ω t
2 pω
15.
(p
t ⋅ cos ω t
2
+ ω2
)
2
p2 − ω 2
(p
43
2
+ ω2
)
2
t ⋅ sh ω t
(p
t ⋅ ch ω t
17
2 pω
2
−ω2
)
2
p2 + ω 2
(p
2
−ω2
)
2
p−a
p
1 − eat
t
19.
sin t
t
arcctg p
20.
e at ⋅ shω t
ω
( p − a) 2 − ω 2
21.
e at ⋅ chω t
p−a
( p − a) 2 − ω 2
22.
e at ⋅ t ⋅ sin ω t
23.
e at ⋅ t ⋅ cos ω t
24.
t ⋅ e at
би
бл
ио
те
к
а
АГ
ln
И
18.
Н
16.
2ω ( p − a )
(( p − a ) 2 + ω 2 ) 2
( p − a) 2 − ω 2
(( p − a ) 2 + ω 2 ) 2
1
( p − a) 2
ая
1.4. Нахождение изображений
Эл
ек
тр
он
н
Покажем на примерах, как работают формулы соответствия из Таблицы 2
и свойства преобразования Лапласа (Таблица 1) при нахождении изображений
функций, которые не являются табличными.
а). Нахождение изображений функций непосредственно.
Пример 4. f (t ) = cos 2 t ;
F ( p) = ?
Решение:
Преобразуем по формуле тригонометрии:
cos 2 t =
1 + cos 2t 1 1
= + ⋅ cos 2t
2
2 2
В силу свойства линейности и формул (1) 1 ÷
44
p
1
, (4) cos 2 t ÷ 2
,
p
p +ω2
p
p2 + 2
1 1
1 1 1
1 2p2 + 4
Имеем: cos t = + ⋅ cos 2 t ÷ ⋅ + ⋅ 2
= ⋅
= 2
.
2 2
2 p 2 p + 4 2 p2 + 4 ⋅ p
p +4 ⋅p
2
Итак, F ( p ) =
(
(p
p2 + 2
2
)
+4 ⋅p
)
(
)
.
F ( p) = ?
И
Пример 5. f (t ) = cos 3 t ;
АГ
а
би
бл
ио
те
к
 1
1 1
cos 3 t = cos t ⋅ cos 2 t = cos t ⋅  + cos 2 t  = (cos t + cos t ⋅ cos 2 t ) =
 2
2 2
1 
1
1
 3
= ⋅  cos t + ⋅ (cos t + cos 3t ) = cos t + cos 3 t ÷
4
2 
2
 4
p
cos t ÷
p2 +1
p
p
p ⋅ ( p + 7)
3
1
÷
÷ ⋅
+ ⋅
=
p
4 p2 +1 4 p2 + 9 p2 +1 p2 + 9
cos 3 t ÷
p2 + 9
Н
Решение:
)(
(
cos 3 t ÷
(
)
p( p + 7 )
p2 + 1 p2 + 9
)(
)
Решение:
1
(формула 11)
2
p
Эл
ек
тр
он
н
t÷
ая
1
Пример 6. f (t ) = t + 2 sin 4 t + 4e −5 t ; F ( p ) = ?
3
e −5 t ÷
sin 4 t ÷
4
p 2 + 16
(формула 3)
1
(формула 2)
p+5
В силу свойства линейности имеем:
1
8
4
1
t + 2 sin 4 t + 4e −5 t ÷
+
+
3
3 p 2 p 2 + 16 p + 5
Пример 7. f (t ) = cos 3t ⋅ sin 5 t; F ( p ) = ?
Решение:
5 p 2 + 16 
1
1  8
2 


cos 3t ⋅ sin 5 t = (sin 8 t + sin 2t ) ÷ 
+
=
.

2
2 p 2 + 64 p 2 + 4  p 2 + 64  p 2 + 4 



 

45


Пример 8. f (t ) = 3t ; F ( p ) = ?
Решение:
Поскольку 3t = et ⋅ ln 3 , то 3t = et ⋅ ln t ÷
1
(формула 3).
p − ln 3
И
б) Нахождение изображений по свойству смещения.
АГ
f (t ) = e −2t ⋅ sin 3 t ⋅ sin 5t ; F ( p ) = ?
Решение:


1
(cos 2 t − cos 8 t ) ÷ 1  2 p − 2 p  .
2
2  p + 4 p + 64 

1
Тогда e −2t ⋅ sin 3 t ⋅ sin 5 t ÷ 
би
бл
ио
те
к
sin 3 t ⋅ sin 5 t =
а
Пример 9.
Н
e a t ⋅ f (t ) ÷ F ( p − a )
p+2
2  ( p + 2) + 4
2
−

;
( p + 2) + 64 
p+2
2
Пример 10. f (t ) = e 2 t ⋅ с h 3 t ; F ( p ) = ?
Решение:
p
p −9
формула (6)
2
5
( p + 3)
2
− 25
=
p
p
.= 2
2
p − 4p −5
( p − 2) − 9
Эл
ек
тр
он
н
e2t ⋅ с h 3t ÷
ая
с h 3t ÷
в)
Нахождение
изображений
по
свойству
дифференцирования
изображений.
Если f (t ) ÷ F ( p ), то
− t ⋅ f (t ) ÷ F ' ( p ) .
Пример 11. Найти изображение функции t ⋅ sh ( w ⋅ t ).
Решение.
1)
sh ( w ⋅ t ) ÷
w
,
p 2 − w2
то
по

 0 − w ⋅ (2 p )
w
 =
− t ⋅ sh ( w ⋅ t ) ÷  2
,
2 
2
2 2
p
−
w


p −w
'
(
)
46
свойству
8
таблицы
1.
то t ⋅ sh ( w ⋅ t ) ÷
(p
2 pω
2
−w
)
2 2
(доказали формулу 16).
.
Пример 12. f (t ) = t ⋅ e 2t
1
p−2
то
по
свойству
дифференцирования
изображения
получим:
И
Решение: e 2t ÷
1
p +1
//
 − 2p
 1 
 = 
t ⋅ sin t ÷ F ' ' ( p ) =  2
 p2 +1 2
 p + 1

=
(
)
2
(
)
− 2 p2 +1 − 2 p ⋅ 2 p2 +1 ⋅ 2 p
(p
2
)
+1
АГ
.
( формула (3))
2
2
(
( p − 2 )2
би
бл
ио
те
к
Пример 13. f (t ) = t 2 ⋅ sin t.
Решение: sin t ÷
1
а
t ⋅ e 2t ÷
Н
/
 1 
1
 = −
− t ⋅ e ÷ 
тогда искомое изображение имеет вид:
( p − 2 )2
 p −2
2t
4
=
)
/

 =


(− 2 p − 2 − 8 p ) = − 2(1 + 5 p ) .
( p + 1)
( p + 1)
2
2
2
2
3
2
3
Ответ: t ⋅ cos t ÷
Нахождение
изображений
Эл
ек
тр
он
н
г)
ая
2
данных
оригиналов
по
(
− 2 1+ 5p2
(p
2
)
+1
3
).
свойству
интегрирования оригиналов.
t
F ( p)
∫ f (t )dt ÷ p , где f (t ) ÷ F ( p ).
0
t
Пример 14. ∫ cos t dt
0
Решение.
a) cos t ÷
t
p
F ( p)
p
p
1
= F ( p ), то ∫ cos t dt ÷
=
:p=
=
2
p
0
p 2 +1
p 2 +1
p p 2 + 1 p + 1


47
t
1
.
б) решим непосредственно ∫ cos t dt = sin t ÷
2
p +1
0
t
Пример 15. ∫τ ⋅ sh3τ dτ
0
Решение.
И
p 2 − 32
3
p2 − 9
=
Н
3
а) sh3t ÷
/
а
АГ
/ 0 − 3 ⋅  p 2 − 9 
 3 
6p

 = − 3⋅ 2 p = −
 =
б) − t ⋅ sh3t ÷ F ' ( p ) = 

2
2
2
2
 p 2 − 9
 p 2 − 9
 p 2 − 9
 p −9












6p
t ⋅ sh3t ÷
 p 2 − 9




2
= F ( p)
би
бл
ио
те
к
(применили свойство дифференцирования изображения), тогда
t
6p
6p
6
F ( p)
в) ∫τ ⋅ sh3τ dτ ÷
=
:p =
=
;
2
2
2
p
0
 2 − 9
 p 2 − 9 ⋅ p  p 2 − 9
p








ая
t
Пример 16. ∫τ 2 ⋅ e3τ dτ
0

Эл
ек
тр
он
н
Решение.
а) Применим формулу 13 соответствия:
t n ⋅ e at ÷
t 2 ⋅ e3t ÷
n!
( p − a )n+1
2!
( p − 3)2+1
=
2
( p − 3)3
= F ( p );
(n = 2; a = 3)
t
F ( p)
2
б) ∫τ 2 ⋅ e3τ dτ ÷
=
.
3
p
0
p( p − 3)
48


д) Нахождение изображений по свойству интегрирования изображения.
f (t ) ∞
÷ ∫ F ( p )dp.
p
t
1 − cos t
.
t
И
Пример 17. Найти изображение оригинала f (t ) =
Н
Решение.
1 − cos t ÷
АГ
Найдем изображение числителя:
1
p
−
= F ( p ).
p p2 +1
би
бл
ио
те
к
а
1) Применим свойство интегрирования изображения. Тогда
М
∞  1
p 
1
1 − cos t ∞


÷ ∫ F ( p )dp = ∫  −
dp = lim  ln p − ln p 2 + 1 
=

t
2 
М →∞

p
p  p p 2 + 1
p


= lim  ln
М →∞

− ln
ая
1⋅ М
1
М ⋅ 1+
М2
Эл
ек
тр
он
н
= lim ln
М →∞
М



p 
= lim  ln

p 2 + 1  p М →∞
= ln
1
1+ 0
+ ln
p
p2 +1
p2 + 1
= ln 1 + ln
p


p
М
− ln
=
2
2
М +1
p + 1 
= lim ln
М →∞
p2 + 1
= ln
p
Пример 18. Найти изображение оригинала f (t ) =
1
1
1+
М2
p2 + 1
.
p
cos 2t − cos 3t
.
t
Решение.
1) Находим изображение числителя:
cos 2t − cos 3t ÷
p
p
−
= F ( p)
2
2
p +4 p +9
2) Применим свойство интегрирования изображения:
49
+ ln
p2 +1
p
=
∞ p
M  p
p 
p 
cos 2t − cos 3t ∞
÷ ∫ F ( p )dp = ∫ 
−
dp
=
lim
dp =
−
∫
t
M →∞ p  p 2 + 4 p 2 + 9 
p
p  p 2 + 4 p 2 + 9 

M
1
M
1
lim  ln p 2 + 4  − ln p 2 + 9   = lim  ln p 2 + 4 − ln p 2 + 9  =
M →∞ 2 
M →∞
 2 
 p
p
И

p2 + 4 
p2 + 4
M2 +4
− ln
=
−
=
ln
1
ln

2
2
2
M +9
p + 9 
p +9
Н
= lim ln
M →∞
M


= lim  ln
p 2 + 9 p M →∞
p2 + 4
АГ
=
би
бл
ио
те
к
а
p2 + 9
p2 + 9
= 0 + ln
= ln
.
2
2
p +4
p +4
Задания для самостоятельной работы.
Найти изображения следующих оригиналов, используя таблицу и свойства
преобразования Лапласа:
Эл
ек
тр
он
н
2. f (t ) = cos 4t
ая
1. f (t ) = 2
Ответ:
2
p
Ответ:
p
p + 16
2
3. f (t ) = e 2t
Ответ:
1
p−2
Ответ:
1
p2
Ответ:
3
p −1
+
p + 1 ( p − 1) 2 + 9
Ответ:
8
2
− 3
p −4 p
4. f (t ) = t
5. f (t ) = 3e − t + e t cos 3t
6. f (t ) = 4sh 2t − t 2
7. f (t ) = te 2t − sin 3t
50
2
Ответ:
1
3
− 2
2
( p − 2)
p +9
8. f (t ) = 2 −t + 1
Ответ:
1
1
+
p + ln 2 p
Ответ:
1 p
p 
+ 2
 2

2  p + 4 p + 16 
Ответ:
1 p
p 
− 2
 2

2  p + 4 p + 36 
И
9. f (t ) = cos t cos 3t
АГ
а
Ответ:
( p − 2) 2 − 9
(( p − 2) 2 + 9) 2
Ответ:
2
( p − 1) 2 − 1
Ответ:
( p − 4) 2 + 2
( p − 4) ( p − 4) 2 + 4
би
бл
ио
те
к
Используя теорему смещения, найти изображение
11. f (t ) = te 2t cos 3t
Н
10. f (t ) = sin 4t sin 2t − t sin t
12. f (t ) = e t sh 2t
13. f (t ) = e 4t cos 2 t
−t
14. f (t ) = te sin 2t
ая
Ответ:
[
4( p + 1)
[( p + 1)
2
+4
]
]
2
Эл
ек
тр
он
н
Используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображение
функций
15. f (t ) = t 2 cos 2t
Ответ:
2 p 3 − 24 p
( p 2 + 4) 3
Ответ:
24 p ( p 2 − 1)
( p 2 + 1) 4
16. f (t ) = t 3 sin 3t
17. f (t ) = tsh3t
Ответ:
6p
( p − 9) 2
2
18. f (t ) = tch2t
p2 + 4
Ответ: 2
( p − 4) 2
51
19. f (t ) = te t sin t
2p − 2
( p − 2 p + 2) 2
Ответ:
2
20. f (t ) =
sin t
t
π
− arctg p
2
Ответ:
Н
1 − cos t
t
АГ
21. f (t ) =
p2 +1
p
Ответ: ln
а
e 2t − 1
t
би
бл
ио
те
к
22. f (t ) =
Ответ: ln
23. f (t ) =
И
Используя теорему об интегрировании изображения, найти изображение
функции
cos 3t − cos t
t
Ответ:
p
p−2
1 p2 +1
ln
2 p2 + 9
Используя теорему об интегрировании оригинала, найти изображение функции
t
24. ∫ τ sin 2τ dτ
ая
0
Эл
ек
тр
он
н
t
Ответ:
4
( p + 4) 2
2
25. ∫ τ cos 3τ dτ
0
t
∫τ
26.
2
p2 − 9
Ответ:
p ( p 2 + 9) 2
e 2τ dτ
0
Ответ:
2
p( p − 2) 3
t
27. ∫ τ cos 2 τ dτ
0
Ответ:
52
1 1
p2 − 4 
+


2  p 3 p ( p 2 + 4) 2 
§2. Свёртка функций. Отыскание оригинала по изображению
2.1. Нахождение оригинала по заданному изображению
Рассмотрим случай, когда изображение F ( p ) - правильная рациональная
дробь. В этом случае функция F ( p ) может быть разложена на сумму
элементарных дробей. Тогда задача сводится к нахождению оригинала для
И
каждого слагаемого.
2p −3
;
( p − 1) p 2 + 4 p + 7
(
Найти: f (t ) = ?
)
АГ
F ( p) =
Н
Пример 1.
а
Решение:
Итак,
би
бл
ио
те
к
p 2 + 4 p + 7 = 0 ⇒ D = 16 − 28 < 0 ⇒ действительных корней нет.
A
Bp + C
2p −3
=
+ 2
.
2
( p − 1) p + 4 p + 7 p − 1 p + 4 p + 7
(
)
Приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю и
приравниваем числители дробей полученного равенства. Получим:
(
)
2 p − 3 = A p 2 + 4 p + 7 + Bp( p − 1) + C ( p − 1)
Неизвестные
(1)
А, В, С найдем, приравнивания коэффициенты при
ая
одинаковых степенях переменной p .
p
A+ B = 0
p1 4 A − B + C = 2 ⇔
p 0 7 A − C = −3
Эл
ек
тр
он
н
2
1
12
1
B=
.
12
29
C=
12
A=−
1
29
p+
2p −3
1
1
12 = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ p + 29 .
Итак,
=− ⋅
+ 12
2
2
12 p − 1 p + 4 p + 7 12 p − 1 12 p 2 + 4 p + 7
( p − 1) p + 4 p + 7
(
)
p 2 + 4 p + 7 = ( p + 2 ) + 3. Тогда:
2
p + 29
( p + 2)
2
+3
=
( p + 2) + 27 = p + 2 +
27
.
2
2
( p + 2 ) + 3 ( p + 2 ) + 3 ( p + 2 )2 + 3
Окончательно имеем:
p+2
2p −3
1
1
1
27
1
= ⋅
+ ⋅
+
⋅
.
2
2
( p − 1) p + 4 p + 7 12 p − 1 12 ( p + 2) + 3 12 ( p + 2)2 + 3
(
)
53
Найдём оригиналы для каждой дроби:
1
÷et
p −1
(формула 2)
( p + 2)
2
+3
1
( p + 2)
2
+3
÷ e − 2 t ⋅ cos 3 t
(формула 8)
÷ e − 2 t ⋅ sin 3 t
(формула 7)
И
p+2
Н
Следовательно:
(
АГ
2p −3
1
1
27 − 2 t
÷ ⋅ e t + ⋅ e − 2 t cos 3 t +
⋅ e ⋅ sin 3 t.
2
12
12
( p − 1) p + 4 p + 7 12
)
5
;
( p + 3) 3
f (t ) = ?
би
бл
ио
те
к
F(p) = F ( p) =
а
Пример 2.
Решение: Воспользуемся формулой (13):
t n ⋅ e at ÷
1
( p − a )n+1
÷
t n ⋅ e at
.
n!
7⋅
1
( p − 2)5
( p − a)
÷7⋅
n +1
;
1 4 2t
7 4 2t
⋅t ⋅e =
⋅t ⋅e .
4!
24
Эл
ек
тр
он
н
Следовательно
ая
откуда
n!
Задания для самостоятельной работы.
Найти оригиналы для следующих изображений:
1. F ( p) =
2. F ( p) =
3. F ( p) =
3
5
7
+ 3 +
p p
p +1
5
2
Ответ: 3 + t 2 + 7e −t .
4
8
−
5
( p + 3)
( p − 4) 4
Ответ:
3p +1
p2 + 9
1 − 3t 4 4 2
e t − t + 7e 4 t t 3 .
6
3
1
3
Ответ: 3 cos 3t + sin 3t .
54
4. F ( p) =
5p − 3
p2 − 4
3
2
Ответ: 5ch2t − sh 2t .
5. F ( p) =
p
p + 2p + 2
2
Ответ: e −t (cos t − sin t ) .
3− 4p
p + 4p +8
И
6. F ( p) =
2
7. F ( p) =
Н
11

sin 2t − 4 cos 2t  .
2

АГ
Ответ: e −2t 
3
5
7
+ 3 +
p p
p +1
5
2
8. F ( p) =
9. F ( p) =
p+2
p3
Ответ: t + t 2 .
3p − 4
( p − 1)( p − 2)
10. F ( p) =
би
бл
ио
те
к
а
Ответ: 3 + t 2 + 7e −t .
Ответ: e t + 2e 2t .
2 p +1
p2 − p
Ответ: 3e t − 1 .
6 p2 − p − 6
p3 − p 2 − 6 p
ая
2 p3 + p2 + 2 p −1
p4 −1
Ответ: e t + e −t + sin t .
Эл
ек
тр
он
н
11. F ( p) =
12. F ( p) =
13. F ( p) =
Ответ: 1 + 2e −2t + 3e 3t .
p3 + p2 −1
p4 − p3
Ответ:
1 2
t + et + t .
2
3p2 − 2 p + 5
14. F ( p) = 3
p − 2 p2 + 5p
Ответ: 1 + e t sin 2t + 2e t cos 2t .
p2 − p +1
15. F ( p) = 2
( p − 1) 2
Ответ:
55
1 t 3 −t
te + te .
4
4
16. F ( p) =
2 p3 + p2 + 2 p −1
p4 −1
Ответ: e t + e −t + sin t .
17. F ( p) =
1
( p − 1)( p − 2)( p − 3)
Ответ:
И
2+ p
( p + 1)( p − 2)( p 2 + 4)
19. F ( p) =
1 2 t 1 −t 1
1
e − e − cos 2t − sin 2t .
6
15
10
5
АГ
Ответ:
Н
18. F ( p) =
1 t
1
e − e 2 t + e 3t .
2
2
p
( p + 1) 2
2
1
t sin t .
2
20. F ( p) =
21. F ( p) =
p +1
( p − p )( p 2 − 5 p + 6)
2
p
p −1
4
Эл
ек
тр
он
н
ая
22. F ( p ) =
1
( p − 4)( p − 1)
2
би
бл
ио
те
к
а
Ответ:
(
)
Ответ:
1 −2t
e + 3e 2t − 4e t .
12
Ответ:
1
(4e 3t − 9e 2t + 6e t − 1) .
6
Ответ:
1
( sht − cos t ) .
2
2.2. Свёртка функций и её изображение
f (t )∗ f (t ) ÷ F ( p ) ⋅ F ( p )
1
2
1
2
t
t
где f (t ) ∗ f (t ) = f (t ) ∗ f (t ) = ∫ f (t − τ ) ⋅ f (τ ) dτ = ∫ f (t − τ ) ⋅ f (τ ) dτ
1
2
2
1
1
2
2
1
0
0
Пример 3. Найти свертку функций f1 (t) и f 2 (t) и ее изображение, если
f (t ) = e t и
1
f (t ) = t .
2
Решение: 1-ый способ. Используя таблицу изображения функций, имеем:
1
f (t ) = e t ÷
и
1
р −1
1
. Тогда по теореме о свертке получаем
f (t ) = t ÷
2
р2
56
et ∗ t ÷
1
1
1
. Это изображение свертки. Сама свертка может
⋅
=
р − 1 р 2 р 2 ⋅ ( р − 1)
быть
найдена
1
р 2 ⋅ ( р − 1)
=
следующим
образом.
1
1
1
методом
− −
р −1 р р2
Разложим
на
неопределенных
простейшие
дроби
коэффициентов.
По
И
Таблице 3 находим оригинал данного изображения, который и будет сверткой:
АГ
Н
1
1
1
− −
÷ et − 1 − t = et ∗ t .
р −1 р р2
2-ой способ. Вычислим свертку функций, пользуясь определением
e ∗ t = ∫ e t ⋅ (t − τ )dτ .
t
∫e
t
⋅ (t − τ )dτ = (t − τ ) ⋅ e
t t
0
0
по
Таблице
e t ∗ t = −t + e t − 1 ÷ −
частям:
− ∫ e t dt = −t + e t − 1 . Таким образом, e t ∗ t = −t + e t − 1 .
0
Теперь
по
би
бл
ио
те
к
Интегрируем
0
t
а
t
t
1
находим
изображение
свертки
1
1
1
+
− .
2
p −1 p
p
1
1
1
+
− .
2
p −1 p
p
ая
t
t
Ответ: e ∗ t = −t + e − 1 ÷ −
Эл
ек
тр
он
н
Пример 4. Найти свертку функций f1 (t) и f 2 (t) и ее изображение, если
f (t ) = e 2t и
1
f (t ) = cos t .
2
Решение:
1
f (t ) = e 2t ÷
и
1
р−2
получаем
e 2t ∗ cos t ÷
Найдем
изображение
p
.
f (t ) = cos t ÷
2
р2 + 1
Тогда
свертки.
по
1
p
p
.
⋅
=
р − 2 р 2 + 1 ( р 2 + 1) ⋅ ( р − 2)
дробь простейшие дроби:
57
теореме
Далее,
Имеем:
о
свертке
раскладываем
2
1
2
p+
p
5 + 5 =−2⋅ p + 1⋅ 1 + 2⋅ 1 ÷
= 5
p−2
5 p2 + 1 5 p2 + 1 5 p − 2
p2 + 1
( р 2 + 1) ⋅ ( р − 2)
2
1
2
÷ − cos t + sin t + e 2t
5
5
5
2
1
2
Ответ: e 2t ∗ cos t = − cos t + sin t + e 2t
5
5
5
И
−
p
;
( p 2 + 1) 2
p
1
p
= 2
⋅ 2 ;
2
( p + 1)
p +1 p +1
Решение: Представим F ( p) =
1
и
p +1
2
p
p +1
2
2
би
бл
ио
те
к
Функции
являются изображениями функций sin t и cost
соответственно. По теореме о свертке имеем:
свёртку функций:
t
АГ
f (t ) = ?
а
F ( p) =
Н
Пример 5. Найти оригинал изображения, пользуясь теоремой о свертке:
p
÷ sin t ∗ cos t . Найдем
( p + 1) 2
2
sin t ∗ cos t = ∫ sin τ ⋅ cos(t − τ )dτ =
ая
0
t
Эл
ек
тр
он
н
1
1
1
1
(sin t + sin(2τ − t ))dτ = (τ sin t − cos(2τ − t )) t0 = t sin t
∫
20
2
2
2
Следовательно,
p
1
÷ t sin t .
2
2
( p + 1)
2
Задания для самостоятельной работы
Найти свёртку функций.
1. f (t ) = 1, g (t ) = 2 .
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = 2t .
2. f (t ) = 1, g (t ) = t .
1
2
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = t 2 .
3. f (t ) = sin t , g (t ) = cos t .
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = t sin t .
58
4. f (t ) = e t , g (t ) = e 2t .
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = e 2t − e t .
5. f (t ) = cos t , g (t ) = t .
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = 1 − cos t .
6. f (t ) = t , g (t ) = t .
1
6
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = t 3 .
И
7. f (t ) = 3, g (t ) = e t .
Н
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = 3(e t − 1) .
8. f (t ) = e t , g (t ) = e t .
9. f (t ) = sin 3t , g (t ) = sin 2t .
1
5
АГ
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = te t .
би
бл
ио
те
к
10. f (t ) = t 2 , g (t ) = te t .
а
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = (sin 2t − sin 3t ) .
Ответ: f (t ) ∗ g (t ) = 6 + 4t + t 2 − 6e t + 2te t .
Найти изображение свёрток функций.
11. f (t ) = sin t , g (t ) = sin 2t .
ая
12. f (t ) = e 3t , g (t ) = t 2 .
Ответ: F ( p) =
2
.
( p + 1)( p 2 + 4)
Ответ: F ( p) =
2
.
p − 3 p3
Ответ: F ( p) =
6
.
p ( p 2 + 1)
Ответ: F ( p) =
p
.
( p − 1) 2
2
4
Эл
ек
тр
он
н
13. f (t ) = cos t , g (t ) = t 3 .
3
14. f (t ) = sht , g (t ) = cht .
2
Найти свёртку функций и её изображение.
15. f (t ) = 1, g (t ) = e t .
f (t ) ∗ g (t ) = e t − 1;
Ответ:
.
1
F ( p) = 2
p −p
59
16. f (t ) = e 3t , g (t ) = e 5t .
1 5t
(e − e 3t );
2
.
1
F ( p) =
( p − 3)( p − 5)
f (t ) ∗ g (t ) =
Ответ:
17. f (t ) = t 2 , g (t ) = cos 2t .
1
(1 + 2t − 2t 2 − cos 2t − sin 2t );
4
.
2p − 4
F ( p) = 5
p + 4 p3
Н
Ответ:
И
f (t ) ∗ g (t ) =
АГ
18. f (t ) = t , g (t ) = te t .
би
бл
ио
те
к
19. f (t ) = sin t , g (t ) = sin t .
а
f (t ) ∗ g (t ) = 2 + t − 2e t + te t ;
Ответ:
.
1
F ( p) = 2
2
p ( p − 1)
1
1
sin t − t cos t ;
2
2
.
1
F ( p) = 2
( p + 1) 2
f (t ) ∗ g (t ) =
Ответ:
20. f (t ) = t , g (t ) = t sin t .
ая
f (t ) ∗ g (t ) = 2 − 2 cos t − t sin t ;
Ответ:
.
2
F ( p) =
2
2
p( p + 1)
Эл
ек
тр
он
н
2.3. Оригиналы для дробно-рациональных изображений
Номер
Изображение
Таблица 3
Оригинал
1
1
p−a
eat
2
1
1 + ap
1 −a
⋅e
a
3
1
p( p − a )
1 at
e −1
a
4
1
t ⋅ eat
t
(
( p − a )2
60
)
ea t − ebt
a−b
1
( p − a )( p − b )
7
p
−
(1 + a t ) e a t
( p − a )2
8
ae a t − be b t
a−b
p
( p − a )( p − b )
b + cp
9
c ⋅ cos(a t ) +
b + cp
(åàt − 1 − at )
a2
1
p 2 ( p − a)
1
12
( p − a )( p − b )2
e at − (1 + (a − b)t )ebt
(a − b )2
1
( p − a )( p − b)( p − c )
e at
ebt
e ct
+
+
(b − a )(c − a ) (a − b)(c − b ) (a − c )(b − c )
1
1 2 at
⋅t ⋅e
2
ая
13
b
sh (a t )
a
би
бл
ио
те
к
c ⋅ ch (a t ) +
p2 − a2
11
b
sin (a t )
a
а
p2 + a2
10
b 
b
+ c +  ⋅ eat
a 
a
И
b + cp
p( p − a )
Н
6
АГ
5
Эл
ек
тр
он
н
14
( p − a )3
( p − a )( p − b )2
ae at − (a + (a − b)t )ebt
(a − b)2
16
p
( p − a )( p − b)( p − c )
ae at
bebt
cect
+
+
(b − a )(c − a ) (a − b)(c − b ) (a − c )(b − c )
17
p
( p − a )3
2

 t + at e at

2 


1
p p 2 + a 2 
1
(1 − cos(at ))
2
a
p
15
18


61
1
p p 2 − a 2 
1
(cos(at ) − 1)
a2
1
b
 −bt

− cos(at ) + sin(at )
e
a

a2 + b2 


1
( p + b) p 2 + a 2 

( p + b)2
b2 a2 − b2
+
cos(at ) + 2b ⋅ sin(at )
2
2
a
a
И
21

p p 2 + a 2 
22

Н

  at   at 
 at 
 at  
 ch






 
sin
−
sh
cos



  2  2
3
 

 2
 2 
a ⋅ 2 
1
1
p4 + a4
24
1
1
p4 − a4
2a 3
 at   at 
1
sh

sin
a2  2   2 
p
p4 + a4
25
p
1
2a 3
p4 − a4
26
1
27
1
2
2a 3
ая
 p2 + a2 




2a 3
Эл
ек
тр
он
н
2
28
1
 sh (at ) sh (bt ) 
−


b 
a 2 − b2  a
1
1
 p 2 − a 2  p 2 − b 2 






30
(at ⋅ ch(at ) − sh (at ))
 sin (bt ) sin (at ) 
−


a 
a 2 − b2  b
1
 p 2 + a 2  p 2 + b 2 






29
(ch(at ) − cos(at ))
(sin(at ) − at ⋅ cos(at ))
1
1
 p2 − a2 




(sh(at ) − sin(at ))
би
бл
ио
те
к
23
АГ
20
а
19
 sh (at ) sin (bt ) 
−


b 
a2 + b2  a
1
1
 p 2 − a 2  p 2 + b 2 






62
 p2 + a2 




2
1
sin (at )
2a
2
1
sh (at )
2a
p
32
 p2 − a2 




p
p p 2 − a 2 

а

би
бл
ио
те
к
34
1
p p 2 + a 2  p 2 + b 2 
1
1  cos(at ) cos(bt ) 
+
−


2
2
2
2
2
a b
a −b  a
b2 
1
p p 2 − a 2  p 2 − b 2 
1
1  ch (at ) ch (bt ) 
+
−


a 2b 2 a 2 − b 2  a 2
b2 
1
1 

2 2
 3 − a t  sin (at ) − 3at ⋅ cos(at )



8a 5 

36
2
1 
at

1 − ch (at ) − sh (at )
2

a4 

АГ

Н
p p 2 + a 2 
35
2
1 
at

1 − cos(at ) − sin (at )
2

a4 
p
33

37




3
ая
 p2 + a2 




1 

2 2
 3 + a t sh (at ) − 3at ⋅ ch (at )
5
8a
1
38
3
Эл
ек
тр
он
н
 p2 − a2 




t
p
39
 p2 + a2 




8a 3
3
 p2 − a2 




[sin(at ) − at ⋅ cos(at )]
t
p
40
8a 3
3
[at ⋅ ch(at ) − sh(at )]
Пример 6. По данному изображению найти оригинал
а) F ( p) =
И
p
31
2 + 3p
p2 + 4
b) F ( p ) =
1
( p − 1)( p − 2)( p − 4)
Решение. Воспользуемся Таблицей 3.
63
c) F ( p) =
p
.
( p − 2)( p − 3) 2
а) F ( p) =
2 + 3p
p2 + 4
b=2
c=3
÷ 3 cos 2t + sin 2t .
a2 = 4
используем формулу 9
b)
И
Н
1
( p − 1)( p − 2)( p − 4)
АГ
F ( p) =
a =1
b=2
c=4
формула 13
a=2
b=3
формула 15
÷ 2e 2 t − ( 2 − t ) e 3 t .
би
бл
ио
те
к
p
с) F ( p) =
( p − 2)( p − 3) 2
а
et
e 2t
e 4t
e t e 2t e 4 t
÷
+
+
= −
+
.
(2 − 1)(4 − 1) (1 − 2)(4 − 2) (1 − 4)(2 − 4) 3
2
6
§3. Приложения операционного исчисления
3.1.
Решение
задачи
уравнений.
Коши
для
линейных
дифференциальных
Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными
ая
коэффициентами – одно из важнейших применений операционного исчисления:
Алгоритм решения:
К обеим частям данного уравнения применяем оператор Лапласа:
Эл
ек
тр
он
н
1.
x(t ) ÷ x( p ), y(t ) ÷ y ( p ). Получаем уравнение, линейное относительно x( p ) (или
y( p ) ) – операторное уравнение.
2.
Решив операторное уравнение, получаем решение в виде изображения
x( p ) (или y( p ) ).
3.
По найденному изображению находим оригинал х(t ) (или у (t ) ).
Необходимо помнить:
x' (t ) ÷ p ⋅ x( p ) − x(0)
x' ' (t ) ÷ p 2 ⋅ x( p ) − p ⋅ x(0) − x' (0)
x' ' ' (t ) ÷ p 3 ⋅ F ( p ) − p 2 ⋅ f (0) − p ⋅ f (0) − f ' ' (0) и т.д.
64
Пример 1. Операционным методом решить задачу Коши:
y ' '+ y ' = 6 ⋅ e −t ; y (0) = 3; y ' (0) = 1.
Решение: Пусть y(t ) ÷ y( p ), (или y ÷ y ).
1. Применим оператор Лапласа к обеим частям уравнения, тогда :
И
y' (t ) ÷ p ⋅ y (0) − y (0) = p ⋅ y − 3
e −t ÷
6 ⋅ e −t ÷
6
;
p +1
а
1
;
p +1
АГ
Из таблицы 1:
Н
y' ' (t ) ÷ p 2 ⋅ y ( p ) − p ⋅ y (0) − y' (0) = p 2 ⋅ y − 3 p − 1
p 2 ⋅ y − 3 p −1+ y =
y ⋅  p 2 + 1 =


би
бл
ио
те
к
Таким образом, данное уравнение примет операторный вид:
6
,
p +1
или
6
+ 3 p +1 .
p +1
2. Решим это уравнение :
6 + 3 p2 + p + 3 p +1 3 p2 + 4 p + 7
2


=
y ⋅  p + 1 =


p +1
p +1
ая
3 p2 + 4 p + 7
y=
- решение – изображение.
( p + 1) ⋅  p 2 + 1

Эл
ек
тр
он
н

3. Найдем
y(t ) - решение-оригинал. Для этого разложим
простейшие дроби:
3p2 + 4 p + 7
Bp + C
A
=
+
( p + 1) ⋅ p 2 + 1 p + 1 p 2 + 1
(
)
(
)
3 p 2 + 4 p + 7 = A ⋅ p 2 + 1 + Bp ⋅ ( p + 1) + C ⋅ ( p + 1)
М.Ч.З.: p = −1 ⇒ 6 = 2 A ⇒ A = 3
2 3= A+ B⇒ B =0
М.Н.К.: p
p 4= B+C⇒C =4
65
y( p ) на
Итак,
3p2 + 4 p + 7
3
4
=
+
÷ 3e −t + 4 sin t.
( p + 1) ⋅ p 2 + 1 p + 1 p 2 + 1
(
)
Ответ: y(t ) = 3e −t + 4 sin t.
y (t ) находится под знаком
Н
Уравнения, в которых неизвестная функция
И
3.2. Решение интегральных уравнений
В
некоторых
случаях
интегральные
уравнения
АГ
интеграла, называются интегральными.
могут
быть
решены
рода:
t
∫ f1(t − τ ) ⋅ y (τ )dτ = f (t )
0
би
бл
ио
те
к
а
операционным методом. Например, уравнения Вольтерра первого и второго
- первого рода
t
∫ f1(t − τ ) ⋅ y (τ )dτ + f (t ) = y(t ) - второго рода.
0
f1 (t ) ∗ y (t ) .
ая
Интеграл в левой части уравнения есть свертка функций
Эл
ек
тр
он
н
Напомним свойство свертывания:
t
∫ f1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ )dτ ÷ F1 ( p ) ⋅ F2 ( p )
.
0
или f1 * f 2 ÷ F1 ( p ) ⋅ F2 ( p )
(
)
Применив преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, получим
операторное
уравнение:
F1 ( p) ⋅ Y ( p) + F ( p ) = Y ( p ) . Отсюда находим
неизвестную функцию Y ( p ) , а затем и соответствующий ей оригинал.
Пример 2. Решить интегральное уравнение:
t
∫ sh 2(t − τ ) ⋅ y(τ )dτ = y (t ) − 2t
0
Решение: Интеграл в левой части есть свертка двух функций:
66
y(t ) и ch 2t.
т.к. sh2t ÷
Пусть y (t ) ÷ y( p );
2
1
и по теореме свертывания
; t÷
p2 − 4
p2
t
2
⋅ y ( p ), тогда исходное уравнение преобразуется к
∫ sh2(t − τ ) ⋅ y (τ )dτ ÷ 2
p
4
−
0
И
2
2
⋅ y( p ) = y( p ) −
,
p2 − 4
p2
откуда
Н
виду:
би
бл
ио
те
к
а
АГ
2
8 1 8
1
− 2 p2
2
8
y( p ) =
=
−
=
+ ⋅
− ⋅
÷
p 2 (6 − p 2 ) p 2 − 6 p 2 ( p 2 − 6) p 2 − 6 6 p 2 6 p 2 − 6
2
4
8
2
4
sh 6 t + t −
sh 6 t =
sh 6 t + t
6
3 6 6
3 6
3
Ответ: y(t ) =
4
sh 6 t + t.
3 6
3
2
Задания для самостоятельной работы
Средствами операторного исчисления решить линейные дифференциальные
уравнения ( всюду x = x(t ) ):
Ответ: x(t ) = 2e −3t .
ая
1. x / + 3 x = 0, x(0) = 2
Эл
ек
тр
он
н
2. x / − 4 x = 1 − 4t , x(0) = 1
Ответ: x(t ) = e 4t + t .
3. x / + x = 2 cos t , x(0) = 0
Ответ: x(t ) = sin t + cos t − e − t .
4. x // + 4 x / − 5 x = 0, x(0) = 3, x / (0) = −3
Ответ: x(t ) = 2e t + e −5t .
5. x // − 6 x / + 9 x = 0, x(0) = 0, x / (0) = 2
Ответ: x(t ) = e 3t − te 3t .
6. x // + 4 x = 0, x(0) = 1, x / (0) = 6
Ответ: x(t ) = 3 sin 2t + cos 2t .
7. x + x − 2 x = 1, x(0) = 0, x (0) = −2
//
/
/
1
2
Ответ: x(t ) = e −2t − .
8. x // − 3x / + 10 x = 9 sin t − 3 cos t , x(0) = 0, x / (0) = −2
Ответ: x(t ) = e 2t − e 5t + sin t .
9. x // − 4 x / + 4 x = 4t , x(0) = 4, x / (0) = 7
Ответ: x(t ) = 3e 2t + t + 1 .
67
10. x // + 2 x / + x = t + 2, x(0) = 0, x / (0) = 2
Ответ: x(t ) = te t + t .
11. x // − 2 x / + 5 x = 1 − t , x(0) = 0, x / (0) = 0
Ответ: x(t ) =
3 1
3
4
− t − e t cos 2t + e t sin 2t .
25 5
25
25
12. x // − x / = e t , x(0) = 4, x / (0) = 4
Ответ: x(t ) = 3e t + te t + 1 .
14. x − x = 2sht , x(0) = 0, x (0) = 1
/
АГ
Ответ: x(t ) = tcht .
15. x + x = 0, x(0) = 2, x (0) = 1, x (0) = 1
///
//
/
Н
Ответ: x(t ) = 1 − 2 cos t .
//
И
13. x // + x = 1, x(0) = −1, x / (0) = 0
//
16. x /// + x / = 0, x(0) = 1, x / (0) = 2, x // (0) = 3
а
Ответ: x(t ) = 1 + 2t + e −t .
би
бл
ио
те
к
Ответ: x(t ) = 4 + 2 sin t − 3 cos t .
Решить интегральные уравнения.
t
17. ∫ e t −τ x(τ ) dτ = sin t .
0
Ответ: x(t ) = cos t − sin t .
t
18. ∫ cosτ ⋅ x(t − τ ) dτ = sin t .
0
Ответ: x(t ) = 1 .
t
ая
19. ∫ cos(t − τ ) ⋅ x(τ ) dτ = t 2 .
1
3
Ответ: x(t ) = 2t + t 3 .
Эл
ек
тр
он
н
0
t
20. ∫ e 2(t −τ ) x(τ ) dτ = t 2 e t .
0
Ответ: x(t ) = 2te t + t 2 e t .
t
21. ∫ (t − τ ) x(τ ) dτ − x(t ) = − cos t .
0
1
2
Ответ: x(t ) = (cos t + cht ) .
t
22. x(t ) = ∫ e t −τ x(τ ) dτ + cos t .
0
2
5
3
5
1
5
Ответ: x(t ) = e 2t + cos t + sin t .
t
23. ∫ (t − τ ) 2 x(τ ) dτ − 2 x(t ) + 2e t = 0 .
0
68
1
3
Ответ: x(t ) = te t −
2
3 3
e
−
t
2
t 3 
.
⋅ sin 

2


t
24. x(t ) = 1 +
1
(t − τ ) 3 x(τ ) dτ .
∫
60
1
2
t
1
6
∫ sh(t − τ ) x(τ ) dτ + x(t ) = t .
25.
Ответ: x(t ) = t − t 3 .
26. ∫ ch(t − τ ) x(τ ) dτ = sht .
Ответ: x(t ) = 1 .
АГ
0
t
27. ∫ chτ ⋅ x(t − τ ) dτ = t .
Ответ: x(t ) = 1 −
1
2
1
2
би
бл
ио
те
к
28. ∫ x(τ ) ⋅ x(t − τ ) dτ = sin t − t cos t .
0
t2
.
2
а
0
t
Н
0
t
Ответ: x(t ) = ± sin t .
§4. Задания для самостоятельной работы по теме:
«Элементы операционного исчисления»
Вариант 1
2. F ( p) =
F ( p) = ?
p
;
p − 2p + 5
2
ая
1. f (t ) = cos t;
2
f (t ) = ?
Эл
ек
тр
он
н
3. x // − 2 x / − 3x = e 3t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант 2
1. f (t ) = t 2 + t ⋅ cos 3t;
2. F ( p) =
p−3
;
p 2 + 25
F ( p) = ?
f (t ) = ?
3. x // + x / − 2 x = e −t ; x(0) = 0; x / (0) = 1 .
1. f (t ) = sin 2 t;
2. F ( p) =
Вариант 3
F ( p) = ?
p
;
p − 2p + 5
2
И
Ответ: x(t ) = (cht + cos t ) .
f (t ) = ?
3. x // + 2 x / − 3x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
69
Вариант 4
t
1. f (t ) = ∫ sin 2τ dτ ;
F ( p) = ?
0
2. F ( p) =
p+3
;
p + 2 p2 + 3p
f (t ) = ?
3
И
3. x / + x = e 5t ; x(0) = 0; .
2. F ( p) =
F ( p) = ?
3
;
( p + 4) 2
АГ
1. f (t ) = 2t 2 − cos 5t;
f (t ) = ?
2
би
бл
ио
те
к
а
3. x / − 9 x = e 2t ; x(0) = 1; .
Вариант 6
sin 2 t
;
t
2
2. F ( p) = 3 ;
p −8
1. f (t ) =
F ( p) = ?
f (t ) = ?
3. x // + x / − 2 x = e t ; x(0) = −1; x / (0) = 0 .
Вариант 7
2p
;
p2 + 5
f (t ) = ?
Эл
ек
тр
он
н
2. F ( p ) =
F ( p) = ?
ая
1. f (t ) = t ⋅ cos 4t;
3. x // − 4 x / + 3x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
1. f (t ) = 2 cos t + 3t − 2;
2
2. F ( p) =
p
;
( p + 4) 2
2
Вариант 8
F ( p) = ?
f (t ) = ?
3. x // + x / − 2 x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 1 .
1. f (t ) = e 3t ⋅ cos 5t;
2. F ( p) =
p −1
;
p − 2p + 5
2
Н
Вариант 5
Вариант 9
F ( p) = ?
f (t ) = ?
3. x // − 4 x / + 3x = e 2t ; x(0) = 0; x / (0) = 1 .
70
Вариант 10
1. Найти свёртку функций t ∗ сos 2 t и её изображение.
2. F ( p) =
1
;
( p − 4)( p − 1)
f (t ) = ?
2
3. x // − 4 x / + 5 x = 0; x(0) = 0; x / (0) = 1 .
И
Вариант 11
1. f (t ) = ∫ sin(t − τ ) ⋅ e 4 τ dτ ;
Н
t
АГ
F ( p) = ?
0
2. F ( p) =
1
;
p + 4p +3
f (t ) = ?
2
би
бл
ио
те
к
а
3. x / + x = 1; x(0) = 1; .
Вариант 12
1. f (t ) = cos 2t ⋅ cos 6t ;
2. F ( p) =
F ( p) = ?
2
;
( p + 9) 2
f (t ) = ?
2
3. x / + x = t 2 ; x(0) = 1; .
Вариант 13
2. F ( p) =
p +1
;
p + 3p − 4
2
F ( p) = ?
f (t ) = ?
ая
1. f (t ) = sin 3t ⋅ sin 4t ;
Эл
ек
тр
он
н
3. x // + x / + x = 7e 2t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант 14
t
1. f (t ) = ∫ (t − τ ) 2 ⋅ eτ dτ ;
F ( p) = ?
0
2. F ( p) =
p
;
( p + 1)( p 2 + p + 1)
f (t ) = ?
3. x // + x = 6e −t ; x(0) = 3; x / (0) = 1 .
1. f (t ) = sin 3t ⋅ cos 5t;
2. F ( p) =
F ( p) = ?
6
6p
+ 2
;
p + 4 p − 25
2
Вариант 15
f (t ) = ?
3. 2 x // + 3x / + x = 3e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
71
Вариант 16
1. f (t ) = te ;
2t
2. F ( p) =
F ( p) = ?
16
;
( p + 4) 2
f (t ) = ?
2
3. x // − 3x / + 2 x = 12e 3t ; x(0) = 2; x / (0) = 6 .
sin 3t − sin t
;
t
3p
2. F ( p) = 2
;
( p + 9) 2
Н
F ( p) = ?
АГ
f (t ) = ?
3. x // + 3x / + 3x = 6e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
би
бл
ио
те
к
Вариант 18
1. f (t ) = t 2 cos 3t;
F ( p) = ?
3p − 2
3
+
;
f (t ) = ?
2. F ( p) = 2
p +4 p−2
3. x // + 2 x / = sin t; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант 19
1. Найти изображение свёртки t ∗ cos 5t ;
4
;
p − 3p − 4
2
f (t ) = ?
ая
2. F ( p) =
Эл
ек
тр
он
н
3. x // − 4 x / + 4 x = 1; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант 20
1. Найти изображение свёртки сos3t ∗ sin t .
2. F ( p) =
а
1. f (t ) =
И
Вариант 17
4− p
6
;
−
2
p +4 p−7
f (t ) = ?
3. x / + 2 x = t 2 ; x(0) = 0; .
F ( p) = ?
2− p
p
2. F ( p) = 2
+
;
p + 3 p + 1 ( p + 2) 2
Вариант 21
1. f (t ) = e 4t − 3t 3 ;
f (t ) = ?
3. x // − x / − 2 x = 1; x(0) = 0; x / (0) = 1 .
72
Вариант 22
1. f (t ) = t 2 ⋅ sin 3t;
F ( p) = ?
p
3
− 2
;
f (t ) = ?
2. F ( p) = 2
p +5 p −4
3. x // − 2 x / − 3x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
4p
2
− 2;
p − 25 p
АГ
f (t ) = ?
2
3. x / − 4 x = 2; x(0) = 2; .
Вариант 24
би
бл
ио
те
к
cos 4t − cos t
;
F ( p) = ?
t
p−2
3
2. F ( p) = 2
−
;
f (t ) = ?
p + 3p + 8 p − 2
1. f (t ) =
3. x // + x = e −t ; x(0) = 3; x / (0) = 0 .
Вариант 25
1. f (t ) = e ⋅ cos t;
2t
2
F ( p) = ?
2 p +1
p2 − 4
2. F ( p) = 2
−
;
p + 3 p + 4 ( p 2 + 4) 2
f (t ) = ?
Эл
ек
тр
он
н
ая
3. 2 x // + 3x / + x = e −t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
1. f (t ) = ch2t ⋅ cos 3t;
2. F ( p) =
Вариант 26
F ( p) = ?
p −9
p
+ 2
;
2
2
( p + 9)
p − 25
2
f (t ) = ?
3. x // + x / + x = e −t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
1. f (t ) = cos 5t − 2t 3 − 7;
F ( p) = ?
p−3
2
− 2;
2
p + 25 p
f (t ) = ?
2. F ( p) =
Вариант 27
3. x // + x / − 6 x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант 28
1. f (t ) = cos 3t ⋅ sin 4t;
а
2. F ( p) =
F ( p) = ?
Н
1. f (t ) = t − 2e + cos 5t ;
И
Вариант 23
−t
3
F ( p) = ?
73
2. F ( p) =
5
p
− 2
;
p −6p + 5 p −9
f (t ) = ?
2
3. x // + 2 x / − x = 3; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Вариант29
F ( p) = ?
p
1
2. F ( p) = 2
− ;
f (t ) = ?
p − 4p + 9 p
И
1. f (t ) = sht ⋅ cos t ;
Вариант 30
p−7
5
+ 2
;
2
p + 5 p − 16
а
2. F ( p) =
F ( p) = ?
f (t ) = ?
би
бл
ио
те
к
1. f (t ) = 3 − sin 5t + t 3 ;
АГ
Н
3. x // − 2 x / + x = e 2t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
3. x // + 3x / − x = e t ; x(0) = 0; x / (0) = 0 .
Глава 4. Векторный анализ и элементы теории поля
§1. Скалярное поле
1.1.Основные понятия
Эл
ек
тр
он
н
ая
Полем называется область V пространства, в каждой точке которой
определено значение некоторой величины.
Поля разделяют на скалярные и векторные
Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с
каждой точкой М которой связано определенное значение некоторой
скалярной физической величины U=U(М)
Если функция (М) (М)) не зависит от времени, то скалярное (векторное)
поле – стационарное.
Поле,
которое
меняется
с
течением
времени,
называется
нестационарным.
Рассмотрим стационарные поля. Если V- область трехмерного пространства, то
скалярное поле u = u(хуz) можно рассматривать как функцию трех переменных.
Если u = u(ху) –то поле плоское.
1.2 Линии уровня. Поверхности уровня
Линией уровня плоского скалярного поля называется совокупность точек
плоскости , в которых функция этого поля имеет одинаковые значения.
74
Линия уровня , во всех точках которой функция поля u(xy) имеет одно и то же
значение C , определяется уравнением
Поверхностью уровня пространственного скалярного поля называется
совокупность точек пространства, в которых функция этого поля имеет
одинаковые значения т.е.
Н
И
Пример 1. Для скалярного поля u= 1 − х 2 − у 2 − z 2 поверхностями уровня
является множество концентрированных сфер с центрами в точке О(0;0;0) .
1 − x 2 − y 2 − z 2 =c
а
АГ
Через каждую точку проходит только одна поверхность (линия) уровня . Они
заполняют всю рассматриваемую область и не пересекаются между собой .
Пример 2. u (xy ) = 4 − х 2 − у 2 ;
би
бл
ио
те
к
4 − х2 − у2 = с
При c = 0; x 2 + y 2 = 4;
c = 1; x 2 + y 2 = 3.
1.3.Производная по направлению
Производной от функции u = u(M) в точке М по направлению l
U (M 1 ) − U (M )
∂U
∆U
= lim
= lim
или
∂l ∆l →0 ∆l M 1 → M
MM 1
∂U ∂U
∂U
∂U
=
cos α +
cos β +
cos γ (1)
∂l
∂x
∂y
∂z
x
y
z
где l = x i + y j + z k cos α = ; cos β = ; cos γ = ;
l = x2 + y2 + z2 .
l
l
l
Эл
ек
тр
он
н
ая
называется предел
Производная по направлению l характеризует скорость изменения функции в
точке М по этому направлению.
Если
∂U
∂l
∂U
0, - функция возрастает в направлении l
∂l
∂U
0, - функция убывает
∂l
- мгновенная скорость изменения функции U.
Чем больше мгновенная скорость, тем быстрее изменяется U.
Замечания
1.В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет
по любому направлению.
75
производную
2. Производные функции u(xyz) по положительным направлениям осей
координат равны её частным производным: U x/ , U y/ , U z/ .
Производные по прямо противоположным направлениям отличаются только
знаком.
2
3
U y/ = 2 y − 4 z
U y/
M
U = − 4y
/
z
U
Следовательно,
/
z M
∂U
∂l
=0
= -6
= -4
АГ
M
а
U x/
1
.
3
= − 16
би
бл
ио
те
к
U x/ = 2 x
2
3
Н
Решение: MM 1 = (2;2;1) , cos α = , cos β = , cos γ =
в точке М(0,1,2) в
И
Пример 3. Найти производную функции u = − x 2 + y 2 − 4 yz
направлении от этой точки к точке М1(2,3,3).
0 - функция убывает.
3
M
Пример 4. Найти производную функции U = x 2 + y 2 в точке А (3;4) по
направлению биссектрисы первого координатного угла.
Решение. Находим частные производные функции U и вычисляем их значения
в точке А:
∂U
=
∂x
x
x2 + y2
;
∂U
=
∂y
y
x2 + y2
.
∂U
∂x
A
3 ∂U
= ;
5
∂y
A
4
= .
5
Эл
ек
тр
он
н
ая
Подставляя в формулу, найдем производную функции U в точке А по любому
направлению l
∂U 3
4
= cos α + cos β .
∂l
5
5
Найдем cos α ; cos β .
Для биссектрисы первого координатного угла: α = 45 0 ; β = 45 0 .
∂U 3 2 4 2 7 2
= ⋅
+ ⋅
=
∂l
5 2 5 2
10
Ответ:
7 2
.
10
1.4. Градиент скалярного поля и его свойства
Градиентом функции u =u(M) в точке M(x;y;z) называется вектор,
координаты которого равны соответствующим частным производным
∂U
∂U
,
,
∂x
∂y
∂U
, взятым в точке M(x;y;z).
∂z
∂U ∂U ∂U
Обозначение : gradU =  , ,  или
 ∂x ∂y ∂z 
76
gradU =
∂U
∂U
∂U
⋅i +
⋅ j+
⋅k
∂x
∂y
∂z
(2)
Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна
2
(3)
Н
2
И
2
 ∂U   ∂U   ∂U 
 + 
gradU = 

 + 
 ∂x   ∂y   ∂z 
АГ
Градиент - есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции
Пример 5. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция
10
x + y2 + z2 +1
при переходе точки М (х;у;z) через точку М0(-1; 2; -2).
Решение:
а
2
gradU =
би
бл
ио
те
к
U (M ) =
− 20( xi + y j + z k )
;
( x 2 + y 2 + z 2 + 1) 2
gradU ( M 0 ) =
gradU ( M 0 ) =
(
1
i − 2 j + 2k
5
)
.
1
4
4
3
+
+
= .
25 25 25 5
Свойства градиента
10. grad (c1 ⋅ U 1 + c 2 ⋅ U 2 ) = c1 ⋅ grad U 1 + c 2 ⋅ grad U 2 ,
где с1, с2 = const.
ая
20. grad (U ⋅ v ) = v ⋅ grad U + U ⋅ grad v
 U  v ⋅ grad U − U ⋅ grad v
=
v2
v
Эл
ек
тр
он
н
30. grad 
40. grad F (U ) = F (U ) ⋅ grad U
/
Пример
величину
и
направление
градиента
поля
u = x + 2 y + 3 z + xy + 3 x − 2 y − 6 z в точке O(0;0;0) . В какой точке градиент поля
равен нулю.
2
Найти
6.
2
2
Решение.
gradU =
∂U
∂U
∂U
i +
j +
k ;
∂x
∂y
∂z
∂U
= 2x + y + 3 ;
∂x
∂U
= 4y + x − 2;
∂y
∂U
∂x
= −2 ;
= 3;
0
∂U
∂y
0
∂U
= 6z − 6 ;
∂z
∂U
=-6;
∂z 0
77
gradU (O) = 3i − 2 j − 6k .
3
cos α =
9 + 4 + 36
=
−2
3
6
; cos β =
; cos γ = − .
7
7
7
gradU (O) = 7 .
АГ
Н
И
gradU = 0 ⇒ (2 x + y + 3)i + (4 y + x − 2) j + (6 z − 6)k = 0 . Откуда
2 x + y = 3 = 0
 x = −2


4 y + x − 2 = 0 ⇒  y = 1
 6z − 6 = 0
 z =1


Ответ: М(2,1,1)
би
бл
ио
те
к
а
Задания для самостоятельной работы
1. Найти производную функции U = x 2 + y 2 − 4 yz
направлении от этой точки к точке M 1 (2;3;3) .
в точке
Ответ: −
1
4
M (0;1;2)
в
16
.
3
1
9
2. Найти производную функции U = x 2 + y 2 − z 2 в точке M (2;3;1) в
направлении вектора a(4;−3;0) .
Ответ:
2
.
5
ая
3. Найти производную функции U = x 2 y + 2 y 2 z − xyz 2 в точке M (0;1;1) в
направлении от этой точки к точке M 1 (2;0;1) .
Эл
ек
тр
он
н
Ответ: −
6
5
.
Вычислить градиент скалярного поля в точке
4. U = e xy − yz 2 ; M (0;1;2)
Ответ: {1;−4;−4}
5. U = 4 − x − y + z ; M (3;2;1)
2
2
2
Ответ: {− 6;−4;2}
6. U = x 2 + y 2 + z 2 ; M (−1;2;0)

Ответ: −

7. U = 4 ln(3 + x 2 ) − 8 xyz; M (1;1;1)
1
5
;

;0
5 
2
Ответ: {− 6;−8;−8}
8. U = ln( x + y 2 + z 2 ); M (1;−3;4)
78
1 1
1
Ответ:  ;− ;− 
6
10
10 
9. U = arctg ( x + 2 y + z ); M (1;1;0)
2
1 1
Ответ:  ; ;0
);
11. U = ln (x ⋅ sin y − z 2 ) ;
l = (0; 2; − 1) .
l = (3; 0; 1) .
12. U = e sin (4 y −9 zx ) ;
(
)
13. U = cos 7 x ⋅ ln z − 3 y 2 ;
§2.
Н
l = (1; − 2; 3) .
АГ
−9 yz
Векторное поле
l = (− 1; 0; 2 ) .
а
3
би
бл
ио
те
к
10. U = e cos (2 x
∂U
в направлении l
∂l
И
Вычислить grad U(M) и
10 5 
2.1.Основные понятия. Векторные линии
Векторным полем называется плоская или пространственная область, с
каждой точкой М которой связано определенное значение некоторой
векторной физической величины = M)
а( М ) = P( xyz )i + Q( xyz ) j + R( xyz )k (1)
Эл
ек
тр
он
н
ая
Рассмотрим простейшую геометрическую характеристику векторного поля.
Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в
каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора
(М)
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую
замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Векторные линии поля (1) описываются системой дифференциальных
уравнений:
dx
dy
dz
=
=
P( x; y; z ) Q( x; y; z ) R ( x; y; z )
(2)
Пример 1. Найти векторные линии поля a = 9 zi − 4 y k .
Решение. Так как P( x; y; z ) = 0 , то dx = 0
дифференциальное уравнение векторных линий
при x = c .
Решая дифференциальное уравнение, получим
79
и следовательно,
x = c.
И
4 ydy + 9 zdz = 0,
4 y 2 9z 2
+
=c
2
2
4 y 2 + 9 z 2 = c1
т.е 
x = c2

2.2. Дивергенция и ротор векторного поля
АГ
Н
И
Это и есть векторные линии.
Дивергенцией векторного поля a = P( x; y; z )i + Q( x; y; z ) j + R( x; y; z )k в точке М
(M)
а
∂P ∂Q ∂R
+
+
и обозначается div
∂x ∂y ∂z
би
бл
ио
те
к
называется скаляр вида
div a ( M ) =
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x ∂y ∂z
(3)
Свойства:
1.Если – постоянный вектор, то div a = 0 .
2. div(c ⋅ a) = c ⋅ div a, c = const .
Эл
ек
тр
он
н
ая
3. div (a + b ) = div a + div b , то есть дивергенция суммы двух векторных функций
равна сумме дивергенций векторных функций.
4.Если U – скалярная функция, a – вектор, то div (U ⋅ a ) = U ⋅ div a + a ⋅ gradU .
Если div a( M ) f 0 ,то точка М – источник
div a( M ) p 0 , то точка М – сток.
Абсолютная величина div (M) характеризует мощность источника или стока.
В этом ее физический смысл.
Если в объеме V , ограниченном замкнутой поверхностью S нет ни источников,
ни стоков, то div a = 0 .
Векторное поле, в каждой точке которого div a = 0
называется
соленоидальным ( или трубчатым).
Пример 2. Найти дивергенцию векторного поля a = x i + y j + z k .
Решение. div a = 1 = 1 = 1 = 3 .
Каждая точка поля является источником постоянной мощности.
80
Ротором ( или вихрем) векторного поля a = P( x; y; z )i + Q( x; y; z ) j + R( x; y; z )k
называется вектор
 ∂Q ∂P 
 ∂R ∂Q 
 ∂P ∂R 
 ⋅ k (4)
 ⋅ i + 
rot a ( M ) = 
−
−
−
 ⋅ j + 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
 ∂y ∂z 
И
k
∂
∂z
R
Н
j
∂
∂y
Q
АГ
i
∂
или rot a( M ) =
∂x
P
Пример 3. Найти ротор векторного поля a = xy 2 i − 2 yz j + 3z 2 k в точке M (1;1;0) .
 ∂Q ∂P 
 ∂R ∂Q 
 ∂P ∂R 
 ⋅ k .
 ⋅ i + 
−
−
−
 ⋅ j + 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
 ∂y ∂z 
j
k
∂
∂
∂y ∂z
Q R
i
∂
rot a ( M ) =
∂x
xy 2
би
бл
ио
те
к
i
∂
Или rot a( M ) =
∂x
P
а
Решение. rot a( M ) = 
j
k
∂
∂
= (0 + 2 y )i − (0 − 0) j + (0 − 2 xy )k = 2 yi − 2 xy k .
∂y
∂z
− 2 yz 3z 2
rot a(1;1;0) = 2 i − 2k .
ая
Свойства:
Эл
ек
тр
он
н
1. если a – постоянный вектор, то rot a = 0 .
2. rot (c ⋅ a ) = c ⋅ rot a, c − const
3. rot (a + b) = rot a + rot b
4. U –скалярная функция, а( М ) − векторная, то rot (U ⋅ a) = U ⋅ rot a + gradU × a .
Задания для самостоятельной работы.
Найти div a (M ) .
1. a = ( x + xz )i + ( y + z ) j + ( z − x 2 )k
M (1;−1;1) .
Ответ: 4.
2. a = x 2 i + y 2 j + z 2 k
M (1;01) .
Ответ: 4.
81
3. a = ( x + yz )i + ( xz − y ) j + z 2 k
M (2;−2;2) .
Ответ: 4.
4. a = ( x + xy 2 )i + ( y − yx 2 ) j + ( z − 3)k
M (−3;4;−7) .
Ответ: 10.
И
M (3;−2;1) .
Н
5. a = ( x + z )i + ( y + z ) j + ( z − x − y )k
M (4;2;0) .
7. a = y 2 x i − yx 2 j + k
Ответ: 3.
M (2;1;−3) .
8. a = ( x + xy 2 )i + ( y − yx 2 ) j + z k
Эл
ек
тр
он
н
Ответ: -3.
M (1;−2;2) .
Ответ: 6.
M (1;1;1) .
Ответ: 3.
ая
9. a = x i + ( y + yz 2 ) j + ( z − zy 2 )k
10. a = xyz i − x 2 z j + 3 k
би
бл
ио
те
к
а
6. a = ( x + z )i + y j + ( z − x 2 )k
АГ
Ответ: 3.
M (3;1;2) .
Ответ: 2.
Найти ротор векторного поля в точке М.
11. a = ( yz − x) i + ( xz + y ) j + ( x 2 + z )k ,
M (2; − 2; 2)
Ответ: − 2 i − 6 j .
12. a = (3x − 2 z ) i + ( z − y ) j + (1 + z )k ,
M (1; 3; − 1)
Ответ: − i − 2 j .
82
π
M (1;1; )
2
13. a = (ln y + 7 x) i + (sin z − 2 y ) j + (e y − z )k ,
Ответ: e i − k .
14. a = yx i + zy j + xz k ,
M (2;1; 0)
Н
M (−1; 2; 0)
АГ
15 . a = ( y 2 + z + x 3 ) i + ( x + z 2 + y 3 ) j + ( x 2 + z 3 + y )k ,
И
Ответ: − i − 2k .
Ответ: i − 3 j − 3k .
16. a = yx 2 i + zy 2 j + x 2 z k ,
а
M (2; 0;1)
би
бл
ио
те
к
Ответ: − 4 k − j .
17. a = ( xz + x) i + ( z + y ) j + (− x 2 + z )k ,
M (1; − 1;1)
18. a = (2 y 2 z − 3x) i + ( x 3 z − 2 y ) j + (3 yx 2 + 2 yz )k ,
Ответ: 2 i + 3 j .
M (0; − 1; 3)
Ответ: 6 i + 2 j + 12k .
ая
M (1; − 1;1)
Ответ: 2 k − i .
Эл
ек
тр
он
н
19. a = xy 2 i − zy j + z 2 k ,
2.3.
Поток векторного поля . Формула Остроградского-Гаусса
Пусть векторное поле образовано вектором
= P(x;y;z) + Q(x;y;z)
Будем считать
вектором скорости
стационарно. Поток проходит через
n = {cos α , cos β , cos γ } – единичный вектор
поверхности.
83
+ R(x;y;z)
потока жидкости, которая движется
некоторую поверхность S . Пусть
нормали к рассматриваемой стороне
И
П = ∫∫ а ⋅ n dS
(5)
би
бл
ио
те
к
а
S
АГ
Н
Потоком вектора а через поверхность S называется интеграл по
поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный
вектор нормали к S.
В теории поля поверхностный интеграл 1 рода от скалярного
произведения a ⋅ n (т.е. поверхностный интеграл 2 рода) определяет поток
векторного поля a = (Р(х, у, z), Q(х, у, z), R(х, у, z)) через двустороннюю
поверхность S в направлении n :
П = ∫∫ a ⋅ n dS =
S
∫∫
Dxy
v r
F ⋅n
cos γ
z= z( x, y )
dxdy (6)– формула потока векторного поля
ая
После введения понятия градиент, вектор нормали n к поверхности
Эл
ек
тр
он
н
S может быть вычислен следующим образом:
n=±
gradF (М )
,
gradF (М )
(7)
где F ( x; y; z ) = 0 – уравнение поверхности S .
Замечание. Знак выбирается таким образом, чтобы получить нормаль именно к
выбранной стороне поверхности. В случае замкнутой поверхности выбирают
внешнюю нормаль
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов 1 и 2 рода
П = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
(8)
S
П - величина скалярная, равная объему жидкости, которая протекает через
площадь за единицу времени.
84
При этом, если S – замкнутая поверхность, ограничивающая областьV, и если
интеграл (4) берется по внешней стороне S, то величина П называется потоком
вектора изнутри поверхности S, она дает разность между количеством
жидкости, вытекшей из области V и втекшей в эту область за единицу времени.
Н
И
0 из области V вытекает жидкости больше, чем в нее втекает.
При П
Это значит, что внутри имеются дополнительные источники.
При П 0 из области V вытекает жидкости меньше, чем втекает. Внутри
имеются стоки, которые поглощают жидкость.
АГ
При П = 0 из области V вытекает столько же, сколько в нее втекает.
би
бл
ио
те
к
а
через часть
Пример 4. Найти поток векторного поля a = xi + y j + z k
2
2
поверхности x + y = 1 , вырезаемую плоскостями z = 0 и z = 2 (нормаль
внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
Решение. 1. Нормаль к поверхности, заданной уравнением
F ( x; y; z ) = 0 , определяется так: n = ±
gradF ( x; y; z )
gradF ( x; y; z )
.
В нашем случае F ( x; y; z ) = x 2 + y 2 − 1 и, следовательно, n = ±
{x; y;0}
x2 + y2
Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с ОХ при x f 0 ,
т.е cos α f 0 при x f 0 и тупой угол с ОХ при x p 0 , т.е cos α p 0 при x p 0
выбираем знак «+».
3. Находим скалярное произведение
ая
(a ⋅ n) = P( x; y; z) x + Q( x; y; z) y = x ⋅ x + y ⋅ y =
x +y
2
Эл
ек
тр
он
н
2
3.
x +y
2
2
x2 + y2
П = ∫∫ (а ⋅ n)dS = ∫∫ x 2 + y 2 dS
S
S
 x = ρ cos ϕ
 y = ρ sin ϕ
4. Вводим цилиндрические координаты 
z=z

dS = ρ dϕ dz
 ρ =1
В этих координатах поверхность задается так: 0 ≤ ϕ ≤ 2π
 0≤ z≤2

имеем
П=
∫∫
S
2π
2
0
0
x + y dS = ∫∫ dϕ dz = ∫ dϕ ∫ dz = 4π .
2
2
D
85
Пример 5.
Вычислить поток вектора a = yz i − x j − y k через полную поверхность конуса
z 2 = x 2 + y 2

z = 2
х2 + у2 = 4
а
2
n2
би
бл
ио
те
к
0
у
1
x
Поверхность S сложная, разбиваем её на две части:
S1 – плоскость, основание конуса
S2 – боковая поверхность конуса.
ая
1) Вычислим П1 – поток через S1.
Эл
ек
тр
он
н
а) n1 = k = (0,0,1), значит cos γ = 1
б) проекция на ХОУ: х2 + у2 = 4
в) уравнение поверхности S1: z = 2
Тогда П1 = ∫∫a ⋅ n1dσ = ∫∫ a ⋅ n1 dxdy = a ⋅ n = (yz ;−x;− y)⋅ (0,0,1) = − y; cosγ
cosγ
S1
Dxy
перейдем к полярным
координатам
= − ∫∫ y z =1 dxdy = − ∫∫ ydxdy =
x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ
D
D
xy
Н
у
D xy :
АГ
n1
S:
И
z
xy
=
x 2 + y 2 = 4 ⇒ ρ = 2; I = ρ
2π
2π
 ρ3 
= − ∫∫ ρ sin ϕ ρdϕdρ = − ∫ sin ϕ dϕ ∫ ρ dρ = − ∫ sin ϕ  
 3 
0
0
0
D xy
2
2
dϕ =
2
86
0
=1 =
2
х
=−
2π
8
8
8
2π
sin ϕ dϕ = cosϕ 0 = (cos 2π − cos 0 ) = 0
∫
30
3
3
2) Вычислим П2 – поток через S2.


x
y
−z


n2 = ±
=±
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


2 (x + y + z )
 x +y +z x + y +z x + y +z 
АГ
(2 x,2 y,−2 z )
И
gradF
; F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2 .
gradF
Н
а) n2 = ±
Нормаль к боковой поверхности конуса образует тупой угол с осью ОZ, значит,
би
бл
ио
те
к
а
cos γ p 0 .Следовательно ,


x
y
z

;
;−
n2 = 
2
2
2 
 x 2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2
x +y +z 

б) проекция на ХОУ – окружность х2 + у2 = 4
в) уравнение поверхности S2: z2 = х2 + у2, или z = x 2 + y 2 (для верхнего
полупространства).
x2 + y2 + z2
;
cos γ =
ая
yz ⋅ x − xy + yz
Эл
ек
тр
он
н
a ⋅ n2 =
z
x +y +z
2
2
2
.
x2 + y2 + z2
a ⋅ n2
xyz − xy + yz
xy
=
⋅
= y ( x + 1) − ;
2
2
2
cos γ
z
z
x +y +z
a ⋅ n2
cos γ
П2 =
= y ( x + 1) −
z= x + y
2
2
∫∫ a ⋅ n2 dσ =
S2
∫∫
D
xy
xy
z
= y ( x + 1) −
z= x2 + y 2
a ⋅ n2
cosγ
z = z ( x, y )
dxdy =
xy
x2 + y2
.

xy
 y(x + 1) −
∫∫
2

x + y2
D
xy 
87

dxdy =


перейдём к полярным
координатам

ρ 2 sin ϕ cos ϕ 
 ⋅ ρ dϕ dρ =
=
= ∫∫  ρ 2 sin ϕ cos ϕ + ρ sin ϕ −
x = ρ cosϕ; y = ρ sin ϕ D 
ρ

xy
0 ≤ ρ ≤ 2; 0 ≤ ϕ ≤ 2π
1
1
ρ 3 sin 2ϕ dϕ dρ + ∫∫ ρ 2 sin ϕ dϕ dρ − ∫∫ ρ 2 sin 2ϕ dϕ dρ =
∫∫
2D
2D
D
xy
2π
2π
2
2
2π

 3
dϕ + sin ϕ  ρ
∫0  3

0 

2
2π
2π
2π
2π

 3
dϕ − 1 sin 2ϕ  ρ

 3
2 ∫0
0 

2

dϕ =

0 
2
Н
АГ
2π
 ρ4
1
= ∫ sin 2ϕ 
 4
2 0

=
2π
2
1
1
sin 2ϕ ∫ ρ 3 dρ + ∫ sin ϕ ∫ ρ 2 dρ − ∫ sin 2ϕ dϕ ∫ ρ 2 dρ =
∫
2 0
2 0
0
0
0
0
а
=
xy
И
xy
би
бл
ио
те
к
=
4
8
8
sin 2ϕ dϕ + ∫ sin ϕ dϕ − ∫ sin 2ϕ dϕ =
∫
2 0
30
6 0
8
8
2π
2π
2π
= − cos 2ϕ 0 − cosϕ 0 − cos 2ϕ 0 =
3
12
= − (cos 4π − cos 0 ) −
8
(cos 2π − cos 0) − 2 (cos 4π − cos 0) = 0 .
3
3
3) П = П1 + П2 = 0
ая
Ответ: 0.
В рассмотренном примере поток через полную поверхность конуса
Эл
ек
тр
он
н
(замкнутую поверхность) можно вычислить и по формуле ОстроградскогоГаусса .
П=
 ∂P
∂Q
∂R 
∫∫ a ⋅ n d S = ∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z dxdydz
S
(
(9)
V
)
a = yz i − x j − y k ;
∂P ∂( yz )
=
= 0;
∂x
∂x
∂Q ∂(− x )
=
= 0;
∂y
∂y
∂R ∂(− y )
=
=0
∂z
∂z
Получаем П = 0.
Пример 6. Найти поток векторного поля a = ( y 2 + z 2 )i + ( xy + y 2 ) j + ( xz + z )k
через замкнутую поверхность, являющуюся полной поверхностью цилиндра
x 2 + y 2 = 1, z = 0, z = 1 ( нормаль внешняя).
88
Решение.1. Вычислим дивергенцию векторного поля:
div a =
∂ ( y 2 + z 2 ) ∂ ( xy + y 2 ) ∂ ( xz + z )
+
+
= 2x + 2 y + 1
∂x
∂y
∂z
2.Форма области такова, что удобно перейти к цилиндрическим координатам
Н
И
 x = ρ cos ϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π


 y = ρ sin ϕ ⇒  0 ≤ ρ ≤ 1
 z=z
 0 ≤ z ≤1


АГ
3.Вычисляем поток по формуле П = ∫∫∫ div a dx dy dz .
V
∫∫∫ (2 x + 2 y + 1)dxdydz = ∫∫∫ (2 ρ cos ϕ + 2ρ sin ϕ + 1) ρ dρ dϕ dz .
V
V
1
2π
1
0
0
0
би
бл
ио
те
к
V/
а
∫∫∫ (2 ρ cos ϕ + 2 ρ sin ϕ + 1)ρ dϕ dρ dz = ∫ dz ∫ dϕ ∫ ρ (2ρ cos ϕ + 2 ρ sin ϕ + 1)dρ =
1
1
2π
 ρ3
ρ3
ρ2 
2
1
2
∫0 dz ∫0 dϕ 2 3 cos ϕ + 2 3 sin ϕ + 2  = ∫0 dz ∫0  3 cos ϕ + 3 sin ϕ + 2 dϕ =
0
1
2π
2
1 
2
∫0 dz 3 sin ϕ − 3 cos ϕ + 2 ϕ 
1
2π
0
 2 2

= ∫  − + + π dz = π ∫ dz = π z
3 3

0
0
1
1
1
0
=π
Ответ: П = π единиц потока .
Задания для самостоятельной работы
ая
Найти поток векторного поля a через часть плоскости p, расположенную в
Эл
ек
тр
он
н
первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz ).
1. a = − x i + 2 y j + z k ,
2. a = x i + y j ,
3. a = x i + y j ,
p : x + 2 y + 3z = 1 .
Ответ:
1
.
18
Ответ:
1
.
3
p : x + y + z = 1.
p : x + y + 2z = 1 .
Ответ:
4. a = y j + z k ,
1
.
6
p : 2x + 2 y + z = 1.
Ответ:
89
1
.
8
5. a = 2 x i + z k ,
p : x + y + z = 1.
1
.
2
Ответ:
2
.
3
p : x + y + z = 1.
Н
И
6. a = ( x − 2 z ) i + (3z − 4 x) j + (5 x + y )k ,
Ответ:
a через часть поверхности S , вырезаемую
АГ
Найти поток векторного поля
 x2 + y2 = 1 
S :
.
 z = 0, z = 3
7. a = x i + y j + 2 z k
би
бл
ио
те
к
4
а
плоскостями z = a, z = b (нормаль внешняя).
Ответ: 6π .
 x2 + y2 = 4 
S :
.
 z = 2, z = 5
8. a = x i + y j + x 2 y z k
Ответ: 24π .
 x2 + y2 = 3 
S: 
.
 z = 2, z = 4
9. a = x i + y j + x k
Эл
ек
тр
он
н
10. a = ( x − 3 y ) i + (3x + y ) j + z 2 k
11. a = x i + y j + sin 2 z k
12. a = x i + y j + xz k
2
13. a = ( x + zy ) i − ( xz − y ) j + x k
Ответ: 12π .
 x2 + y2 = 5 
S :
.
 z = 0, z = 2
ая
2
Ответ: 20π .
 x2 + y2 = 4 
S :
.
 z = 1, z = 3
Ответ: 16π .
 x2 + y2 = 9 
S :
.
 z = 0, z = 3
Ответ: 54π .
 x2 + y2 = 4 
S :
.
 z = 0, z = 2
Ответ: 32π .
90
Найти поток векторного поля
плоскостью
a через часть поверхности S , вырезаемую
внешняя
z = 0, ( z ≥ 0) (нормаль
к
замкнутой
поверхности,
образуемой данными поверхностями).
14. a = x i + ( y + z ) j + ( z − y )k ,
S : x2 + y2 + z2 = 9
Н
S : x2 + y2 + z2 = 4
АГ
15. a = ( x + x 2 z ) i + y j + ( z − x 3 )k ,
И
Ответ: 54 π .
S : x2 + y2 + z2 = 1
би
бл
ио
те
к
16. a = ( x + yz ) i + y j + ( z − xy)k ,
17. a = ( x + yz 2 ) i + y j + ( z − x y z )k ,
18. a = ( x + yz ) i + ( y − xz ) j + z k ,
а
Ответ: 16 π .
Ответ: 2 π .
S : x2 + y2 + z2 = 9
Ответ: 54 π .
S : x2 + y2 + z2 = 4
S : x2 + y2 + z2 = 4
ая
19. a = x i + ( y + y 2 z 2 ) j + ( z − zy 3 )k ,
Ответ: 16 π .
Эл
ек
тр
он
н
Ответ: 16 π .
20. a = ( x + x 2 y ) i + ( y − x 3 ) j + z k ,
S : x2 + y2 + z2 = 1
Ответ: 2 π .
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную
заданными поверхностями(нормаль внешняя).(Формула Остроградского).
21. a = ( xy 2 + yz ) i + ( x 2 y + z 2 ) j + ( x 2 +
z3
)k ,
3
S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z = 0 ( z ≥ 0)
Ответ:
91
2
π.
5
22. a = ( y + z 2 ) i + ( x 2 + 2 yz ) j + ( y 2 + 2 z 2 )k ,
S : x 2 + y 2 = 1 − z , z = 0 ( z ≥ 0)
Ответ: π .
23. a = (3x 2 + y ) i + ( x 2 − 2 x 2 y + z ) j + ( x 2 − y 2 )k ,
S : x 2 + y 2 = 1, z = 0, z = 1
1
2
S : x 2 + y 2 = 4, z = 0, z = 1
Н
24. a = ( xy + y 2 + z ) i + ( x 2 z + yz ) j + ( x 2 + xz )k ,
И
Ответ: − π .
АГ
Ответ: 2 π .
S : x2 + y2 = z2 , z = 4
би
бл
ио
те
к
а
25. a = ( x 2 + y 2 + z 2 ) i + ( xy + z ) j + ( x + 3 z )k ,
26. a = ( z 2 + xz ) i + ( xy − z 2 ) j + y z k ,
S : x 2 + y 2 = 1, z = 0, z = 2
Ответ: π .
S : x2 + y2 + z2 = 1
Ответ:
4
π.
5
ая
27. a = xy 2 i + yz 2 j + zx 2 k ,
Ответ: 64 π .
Эл
ек
тр
он
н
2.4. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса
Пусть векторное поле образовано вектором a = Pi + Q j + R k .
L – линия с определённым направлением.
r = xi + y j + z k – радиус – вектор точки М, которая описывает эту линию.
Линейным интегралом векторного поля a вдоль линии L называется
криволинейный интеграл
∫ a d r = ∫ P dx + Q dy + R dz ;
L
(10)
L
Если вектор τ = (сosα , cos β , cos γ ) − единичный вектор касательной к L
в точке М(х, у, z), то линейный интеграл может быть записан другими
способами:
∫ a d r = ∫ a ⋅τ dl = ∫ (P ⋅ cosα + Q ⋅ cos β + R ⋅ cos γ ) dl . (11)
L
L
L
92
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного
произведения a ⋅ d r , ( d r - касательная к L) называется циркуляцией
вектора a вдоль L
Ц = ∫ a ⋅ dr
(12)
L
АГ
Н
И
Если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция –это работа силы
a (М) поля при перемещении материальной точки вдоль L.
Вычисление линейного интеграла
би
бл
ио
те
к
а
1 случай:
х = х
 у = y(x )
. Тогда,
Линия L задана уравнениями 
z = z(x )

a ≤ x ≤ в
в
[
]
/
/
∫ a d r = ∫ P(x, y (x ), z(x )) + Q(x, y(x ), z (x )) ⋅ y (x ) + R(x, y(x ), z(x )) ⋅ z (x ) dx .
L
a
2 случай:
Эл
ек
тр
он
н
ая
 х = х(t )
 у = y (t )
. Тогда,
Линия L задана параметрически: 
z = z (t )

t1 ≤ t ≤ t 2
∫ a d r = ∫ [P(x(t ), y(t ), z(t )) ⋅ x (t ) + Q(x(t ), y(t ) z(t )) ⋅ y (t ) + R(x(t ), y(t ), z(t )) ⋅ z (t )] dt
t2
/
L
/
/
t1
Замечания.
1) Если L – плоская линия, то вычисления проводят по этим же формулам,
полагая:
z = 0, если L лежит на плоскости ХОУ;
у = 0, если L лежит на плоскости ХОZ;
х = 0, если L лежит на плоскости УOZ;
93
2) При изменении направления линии L линейный интеграл меняет знак на
противоположный:
∫ a dr = − ∫ a dr .
АВ
ВА
Пример7. Вычислить циркуляцию поля вектора a = x j вдоль окружности
x = a cos t , y = a sin t .
a2
Решение. Ц = ∫ xdy = a ∫ cos tdt =
2
L
0
2π
Пример
циркуляцию
векторного
поля
вдоль периметра треугольника АВС, где
2
.
Н
0
АГ
Вычислить
a = ( x − 2 z )i + ( x + 3 y + z ) j + (5 x + y )k
A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1) .
Решение. Согласно формуле Ц = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
би
бл
ио
те
к
L
а
8.
∫ (1 + cos 2t )dt = π a
2
И
2π
2
Ц = ∫ ( x − 2 z )dx + ( x + 3 y + z )dy + (5 x + y )dx = ∫ + ∫ +
AB
BC
∫
CA
Эл
ек
тр
он
н
ая
На отрезке АВ: x + y = 1, z = 0 .
0
3
∫ =∫ ( x − 0)dx + ( x + 3 − 3x + 0)(−dx) + 0 = 2
AB
1
На отрезке ВС: y + z = 1, x = 0 .
0
∫ = ∫ (0 − 2 + 2 y)0 + (0 + 3 y + 1 − y )dy + (0 + y)(−dy) = −
BC
1
На отрезке СА: z + x = 1, y = 0 .
1
∫ =∫ ( x − 2 + 2 x)dx + 0 − 1(5x + 0)(−dx) = − 3
CA
0
94
3
2
Следовательно, Ц =
∫
ABCA
=
∫+ ∫ + ∫=
AB
BC
CA
3 3
− − 3= −3 .
2 2
Вычисление циркуляции по формуле Стокса
Линейный интеграл векторного поля a = (P(x, y, z ), Q(x, y, z ), R(x, y, z )) по
замкнутому контура L называется циркуляцией этого поля:
L
Н
L
И
Ц = ∫ a d r = ∫ P dx + Q dy + R dz .
по формуле Стокса :
 ∂R
∂Q 
 ∂P
∂R 
 ∂Q
∂P 
АГ
Кроме непосредственного способа вычисления, циркуляцию можно вычислить
S
би
бл
ио
те
к
L
а
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫  ∂y − ∂z dydz +  ∂z − ∂x dxdz +  ∂x − ∂y dxdy
Ц = ∫ a d r = ∫∫ rot a ⋅ n dS , (13)
S
Эта формула показывает:
S
Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора
этого вектора
через поверхность S, лежащую в поле вектора
и
ограниченную контуром L (вращательная способность поля).

x2 + y2 + z2 = 9 

x2 + y2 = 9 
Эл
ек
тр
он
н
L = ( x, y, z ) :
ая
Пример 9. Найти модуль циркуляции векторного поля a = yi − xz j + xy k вдоль
замкнутого контура.

Решение: 1. В данном случае L – окружность x 2 + y 2 = 9 , лежащая в плоскости
z = 0 . Направление обхода контура L – против часовой стрелки, если смотреть
из конца вектора k .

2. Выберем поверхность S, натянутую на контур L S = ( x; y; z ) :

z=0 

x + y 2 = 9
2
3. Согласно выбранному направлению контура нормаль к S одна и та же в
каждой точке и равна k
4. Находим
i
∂
rot a =
∂x
y
j
∂
∂y
− xz
k
∂
= 2 x i − y j + (−1 − z ) k .
∂z
xy
5. Вычисляем rot (a ⋅ n) = (2 xi − y j + (−1 − z )k , k ) = −1 − z .
6. Находим циркуляцию по формуле Стокса
95
x = ρ cos ϕ
0≤ρ ≤3
2π
3
z
dS
z
dxdy
y
d
−
−
=
−
−
=
⇒
≤
≤
=
−
(
1
)
(
1
)
ρ
sin
ϕ
0
ϕ
2
π
ϕ
z =0
∫∫S
∫∫2
∫0 ∫0 ρ dρ =
2
x + y p9
dxdy = ρdρdϕ
Ц=
−
2π
ρ2 3
9
∫0 2 0 dϕ = − 2 ϕ
2π
= −9 π .
0
И
Ответ: |Ц| = 9 π .
Пример 10.
АГ
Н
Найти циркуляцию векторного поля a = (y i + z 2 j + 2 x 2 k ) вдоль контура L – линии
Решение:
I способ [непосредственное вычисление]
би
бл
ио
те
к
Разобьем весь контур на три части: L = АВ + ВС + СA .
а
пересечения плоскости х +2 у + z = 4 c координатными плоскостями.
Тогда, Ц = ∫ a d r + ∫ a d r + ∫ a d r = Ц 1 + Ц 2 + Ц 3
АВ
ВС
СА
z
С
4
В
2
Эл
ек
тр
он
н
А
у
ая
0
4
х
СA : y = 0
4
x+z =4
2x3
Ц 3 = ∫ a d r = ∫ у dx + z 2 dy + 2 x 2 dz =
= ∫ 2 x 2 ⋅ (− 1) dx = −
0≤x≤4
3
СA
СA
0
z = 4− x
Итак, Ц1 + Ц2 + Ц3 = − 4 −
Ответ: Ц = –
32 128
172
−
=−
.
3
3
3
172
.
3
96
4
=−
0
128
;
3
II способ [вычислим по формуле Стокса]
В качестве S рассматриваем плоскость: F (х, у, z ) = x + 2 y + z − 4 ;
Ц = ∫∫ rot a ⋅ n dS
σ
АГ
 1 2 1 
;
;
= 

 6 6 6
би
бл
ио
те
к
а
Спроецируем S на плоскость ХОУ:
 1 2 1 
1
;
n = 
;
;
 , т.е. cos γ =
6
 6 6 6
у
Dxy
х+2у=4
2
х
4
Эл
ек
тр
он
н
ая
0
i j k
∂ ∂ ∂
rot a =
= i ⋅ (− 2 z ) − j ⋅ (4 x − 0 ) + k ⋅ (− 1) = (− 2 z; − 4 x; − 1) ;
∂x ∂y ∂z
2)
y z 2 2x 2
3)
(
)
 1
2 1 
2z − 8x − 1
1
=−
(8 x + 1 + 2 z ) ;
rot a ⋅ n = − 2 z; − 4 x; − 1 ⋅ 
;
;
=
−

6
6
6
6
6


4)
Ц = ∫∫ rot a ⋅ n dS = −
σ
Н
вектор n образует с коорди 1; 2; 1)
(
grad ( x + 2 y + z − 4)
n=±
=±
= натными осями острые углы, . =
grad ( x + 2 y + z − 4)
6
cos α > 0, cos β > 0, cos γ > 0
И
1)
1
6
⋅ ∫∫
Dxy
(8 x + 1 + 2 z )
cos γ
z =4− x − 2 y
dx dy =
97
8x + 1 + 8 − 2 x − 4 y
=−
⋅ ∫∫
dx dy = − ∫∫ (6 x − 4 y + 9)dx dy = − ∫ dx
1
6 D
0
D
4
1
xy
xy
1
2− x
2
∫ (6 x − 4 y + 9)dy =
0
6
4
(
− ⋅∫ 6 xy − 2 y + 9 y
2
)
1
2− x
2
0
И
0
4
 7 x 3 23x 2
172
 7 2 23


+
+ 10 x  = −
dx = − ∫  − x +
x + 10 dx = −
2
2
4
3

0
 6
0
4
172
.
3
АГ
Н
Ответ: Ц = –
Задания для самостоятельной работы
L : x = 2 cos t ,
y = sin t , z = 1 .
би
бл
ио
те
к
1. a = y i − z 2 j + x 2 y k ,
а
Найти циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура t ∈ [0; 2π ].
Ответ: − 2 π
2. a = − x 2 y i + 4 j + x 2 z k ,
L : x = 2 cos t ,
y = 2 sin t , z = 4 .
Ответ: 18 π
3. a = x 3 i − z 2 j + y k ,
L : x = cos t ,
y = 2 sin t , z = 2 cos t .
Эл
ек
тр
он
н
4. a = −2 z i − x 2 j + z k ,
ая
Ответ: − 4 π
5. a = y 2 i − z j + y k ,
6. a = x 3 i − y 2 j + y k ,
7. a = y i − x j + y 4 k ,
L : x = 2 cos t ,
y = 2 sin t , z = sin t .
Ответ: 4 π
L : x = 5 cos t ,
y = 2 sin t , z = 2(1 − cos t ) .
Ответ: − 8 π
L : x = cos t ,
y = 3 sin t , z = cos t − sin t .
Ответ: − 3π
L : x = 2 cos t ,
y = sin t , z = 5 cos t .
Ответ: π
98
8. a = z i − x j + zy k ,
L : x = cos t ,
y = 6 sin t , z = 3 .
Ответ: − 6 π
9. a = − x 2 i + 5 j + y k ,
L : x = cos t ,
y = 5 sin t , z = 3 cos t .
L : x = cos t ,
y = sin t , z = 2 − cos t − sin t .
Н
10. a = 4 y i + x j + y k ,
И
Ответ: − 15 π
АГ
Ответ: − 2 π
Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура:
11. a = ( xz + y ) i + ( yz − x) j ,
би
бл
ио
те
к
а
(формула Стокса)
 x 2 + y 2 = 1,
L: 
.
 z =3 
Ответ: 2 π
12. a = ( x − y ) i + x j − z k ,
 x 2 + y 2 = 1,
L: 
.
 z=2 
Эл
ек
тр
он
н
13. a = x 2 z i − y j + y k ,
ая
Ответ: 2 π
14. a = y i + − x j + xz k ,
15. a = y i − xz j + xy k ,
 x 2 + y 2 = 1,
L: 
.
 z=2 
Ответ: 0
 z = 2( x 2 + y 2 ) + 1,
L: 
.
z=3


Ответ: 2 π
 x 2 + y 2 = 9, 
L:  2
.
2
2
 x + y + z = 9
Ответ: 9 π
Найти циркуляцию векторного поля a по контуру треугольника АВС, где
99
16. a = ( x + y )i + ( x − z ) j + ( y + z )k
A(0;0;0; ), B(0;1;0), C (0;0;1)
Ответ: 1.
17. a = ( x + 3 y + 2 z )i + (2 x + z ) j + ( x − y )k
A(2;0;0; ), B(0;3;0), C (0;0;1)
A(0;0;0; ), B(0;1;0), C (0;0;1)
Н
18. a = ( x − 2 z )i + ( x + 3 y + z ) j + (5 x + y )k
И
Ответ: -5
19. a = ( x − y )i + ( y − z ) j + ( z − x)k
A(1;0;0; ), B(1;1;0), C (1;0;1)
АГ
Ответ: 3.
би
бл
ио
те
к
а
Ответ: 1,5.
20. a = ( x − 2 y − z )i + ( x − z ) j + ( x + y )k
A(1;0;0; ), B(0;1;0), C (0;0;1)
Ответ: 1,5.
§ 3. Основные классы векторных полей и их свойства
3.1.Соленоидальное поле
Эл
ек
тр
он
н
Свойства:
ая
Векторное поле a называется соленоидальным, если во всех точках
его div a = 0 .
1. В соленоидальном поле
поток вектора через любую замкнутую
поверхность равен нулю ( соленоидальное поле не имеет источников и
стоков).
2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля,
т.е. если div
= 0, то
такое поле , что
=rot
– векторный
потенциал поля .
3. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение
векторной трубки сохраняет постоянное значение (интенсивность трубки)
100
3.2.Потенциальное поле
Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если во
всех точках поля ротор равен нулю.
Свойства:
И
1. Потенциальность поля а : a = grad U
Н
2. Отсутствие вихря: rot a = 0
∫
АNВ
=
∫
АМВ
а
4. Независимость интеграла от формы пути:
АГ
3. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю: Ц = 0
би
бл
ио
те
к
5. Линейный интеграл равен разности потенциалов: ∫ a d l = U (B ) − U ( A)
AB
6. Линейный интеграл – есть функция полного дифференциала:
Р dx + Q dy + R dz = dU .
В случае потенциального поля линейный интеграл не зависит от
формы пути, а лишь от выбора начальной и конечной точек. Потенциал этого
M
M0
Эл
ек
тр
он
н
ая
поля определяется по формуле: U (М ) = ∫ a d r , или
x
y
z
x0
y0
z0
U = ∫ P ( x, y 0 , z 0 ) dx + ∫ Q( x, y, z0 )dy + ∫ R( x, y, z )dz + C , (1)
где M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) − произвольная точка в пересечении областей определения
функций Р = Р( x, у, z ) , Q = Q( x, y, z ) и R = R ( x, y, z ) ; C = const .
Пример 1. Установить потенциальность поля a = ( yz − 2 x)i + ( xz − 2 y ) j + xy k
и найти его потенциал.
101
Решение
i
∂
rot a =
∂x
yz − 2 x
j
∂
∂y
xz − 2 y
k
∂
= ( x − x)i − ( y − y ) j + ( z − z )k = 0
∂z
xy
x
y
z
0
0
0
U ( xyz ) = ∫ (−2 x)dx + ∫ (−2 y )dy + ∫ xydz = − x 2 − y 2 + xyz + C
И
y 0 = 0, z 0 = 0 − произвольная точка
Н
x0 = 0,
АГ
3.3. Гармоническое поле
Пример
би
бл
ио
те
к
а
Векторное поле а называется гармоническим, если оно
одновременно потенциальное и соленоидальное, т. е rot a = 0, div a = 0 .
Проверить,
2.
гармоническое.
что
векторное
поле
rot a = 0
Решение.
Поле гармоническое, если 
div a = 0
3
2
1
.
a=
3
xi + y j + z k
(x
2
3
3
(x + y + z ) − x ⋅ 2x ⋅ (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 + (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − ⋅ 2 y 2
2
2
div a =
+
2
2
2 3
(x + y + z )
2
2
2
3
2
2
Эл
ек
тр
он
н
2
ая
3
(x + y + z ) − 2z ⋅ ⋅ (x 2 + y 2 + z 2 ) 2
2
+
=
2
2
(x + y + z 2 )3
2
=
1
2
( x + y + z ) (3 x 2 − 3 x 2 + 3 y 2 − 3 y 2 + 3 z 2 − 3 z 2 )
=0
(x 2 + y 2 + z 2 )3
2
2
2
 ∂Q ∂P 
 ∂R ∂Q 
 ∂P ∂R 
 ⋅ k
 ⋅ i + 
rot a( M ) = 
−
−
−
 ⋅ j + 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
 ∂y ∂z 
1
1
 ∂R ∂Q  − 3 zy ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 + 3 zy ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
 =

= 0⋅
−
(x 2 + y 2 + z 2 )3
 ∂y ∂z 
1
2
1
2
 ∂P ∂R  − ( x + y + z ) ⋅ 3 xz + 3 xz ( x + y + z )
−
=0

⋅ =
(x 2 + y 2 + z 2 )3
 ∂z ∂x 
2
2
2
2
1
2
2
1
 ∂Q ∂P  − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 3 xy + 3 xy ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2

⋅ =
−
=0
(x 2 + y 2 + z 2 )3
 ∂x ∂y 
Т.е. rot a = 0 ,следовательно, поле гармоническое.
102
+ y2 + z2
)
3
-
Задания для самостоятельной работы
Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.
1. a = (2 x + yz )i + xz j + ( yx + 2 z )k
И
Ответ: U = x 2 + xyz + z 2 + C .
АГ
Н
2. a = x 2 i + y 2 j + z 2 k
1
3
а
Ответ: U = ( x 3 + y 3 + z 3 ) + C .
би
бл
ио
те
к
3. a = ( z − 2 x)i + ( z − 2 y ) j + ( y + x)k
Ответ: U = xz + yz − x 2 − y 2 + C .
4. a = (2 x + yz )i + xz j + ( yx + 2 z )k
Ответ: U = x 2 + xyz + z 2 + C .
5. a = y 2 z 3 i + (2 xyz 3 + z 2 ) j + (3 y 2 z 2 x + 2 yz + 1)k
ая
Ответ: U = xy 2 z 3 + yz 2 + z + C .
6. a = ( y + z )i + ( x + z ) j + ( y + x)k
Эл
ек
тр
он
н
Ответ: U = xy + xz + yz + C .
7. a = 6 xyi + (3 x 2 − 2 y ) j
Ответ: U = 3x 2 y − y 2 + C .
8. a = (2 xy + 3 y 2 + 9 y )i + ( x 2 + 6 xy + 9 x) j
Ответ: U = x 2 y + 3xy 2 + 9 xy + C .
Проверить, что векторное поле является соленоидальным.
9. a = 4 xyzi − y 2 z j + ( yz 2 )k
10. a = ( xy)i + (− y − x) j + ( z − yz )k
103
11. a = x 2 yz i + 2 xyz j + (− z 2 yx − xz 2 )k
12. a = ( y 2 + z 2 )i + (− xy − z 3 ) j + ( y 2 + xz )k
13. a = ( x 2 − yz + 2)i − 2 xy j + ( yx 3 − 1)k
И
14. a = x 2 y i + ( y 2 z − y 2 x) j + ( yx − yz 2 )k
Н
Показать, что векторное поле является гармоническим.
АГ
15. a = ( y + z )i + ( x + z ) j + ( y + x)k
16. a = (−2 x + yz )i + ( xz + 2 y ) j + yxk
би
бл
ио
те
к
а
§ 4. Операторы Гамильтона и Лапласа
4.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка.
Основные дифференциальные операции над скалярным и векторным полем
grad U, div , rot – векторные операции 1 порядка . Эти операции удобно
записать с помощью оператора Гамильтона ∇ =
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
производится по обычным
ая
набла)
Символическое «умножение» вектора на U или
правилам векторной алгебры, а « умножение»
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
Эл
ек
тр
он
н
понимается как взятие частной производной от этих величин
∂
∂
∂ 
∂U
∂U
∂U
1.∇U =  i +
j + k  ⋅ U =
i+
j+
k = gradU
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂x
∂
∂
∂ 
∂P ∂Q ∂R
2.∇ a =  i +
j + k  Pi + Q j + R k =
+
+
= div a
∂y
∂z 
∂x ∂x ∂z
 ∂x
(
i
∂
3.∇ × a =
∂x
P
j
∂
∂y
Q
)
k
∂
= rot a
∂z
R
4.2. Векторные операции второго порядка
104
(1)
на U,P,Q,R –
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю
получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор,
тогда получаются дифференциальные операции второго порядка div grad U, rot
,rot rot
 ∂2
∂2 
∂2
∂ 2U
∂ 2U
∂ 2U
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
+ 2 + 2
∂x 2
∂y
∂z
АГ
divgradU = ∆U =
Н
1.div grad U = ∇(∇U ) = (∇∇ )U =  2 + 2 + 2 U = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
Правая часть – оператор Лапласа скалярной функции
И
, div rot
grad U, grad div
(2)
би
бл
ио
те
к
а
2. rot grad U = ∇ × (∇U ) = (∇ × ∇)U = 0 ,
т.к. векторное произведение 2-х одинаковых векторов равна нулю. Это
означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
(
)
grad div a = ∇ ∇ ⋅ a =
3.
4.
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
div a i +
div a j +
div a k =
∂x
∂y
∂z
 ∂ 2 P ∂ 2Q ∂ 2 R   ∂ 2 P ∂ 2Q ∂ 2 R   ∂ 2 P ∂ 2Q ∂ 2 R 
 2 +
i + 
j+
k
+
+
+
+
+
∂x∂y ∂z∂x   ∂x∂y ∂y 2 ∂y∂z   ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2 
 ∂x
div rot a = ∇ ⋅ (∇ × а) = 0 , т.к смешанное произведение трех векторов, из
5.
(
ая
которых два одинаковые, равно 0. Это значит, поле вихря – соленоидальное.
) (
)
rot rot a = ∇ × ∇ × а = ∇ ∇ ⋅ а − (∇ ⋅ ∇ )а = graddiv a − ∆ a
т.к двойное векторное
Эл
ек
тр
он
н
произведение обладает свойством:
(
)
a× b×c = b⋅a ⋅c − c ⋅a ⋅b.
Здесь ∆ a = ∆Pi + ∆Q j + ∆R k
векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к
вектору a .
§5. Задания для самостоятельной работы по теме:
105
« Элементы теории поля »
→
→
→
→
Даны векторное поле a = P i + Q j + R k и плоскость
Ax + By + Cz + D = 0 (p),
которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть
S - основание пирамиды, принадлежащее плоскости (p);
λ
- контур,
ограничивающий S ; n - нормаль к S , направленная вне пирамиды V.
Н
Требуется вычислить:
И
→
АГ
→
→
n.
→
а
1. Поток векторного поля a через поверхность S в направлении нормали
би
бл
ио
те
к
2. Циркуляцию векторного поля a по замкнутому контуру
теорему Стокса.
→
3. Поток векторного поля a
λ , применив
через полную поверхность пирамиды,
применив теорему Остроградского.
(p): 3 x + 2 y − z = 6 .
1. a = ( x − 2 y ) j ;
(p): x + y + 2 z − 2 = 0
3. a = (2 x − z )i + ( y − x) j + ( x + 2 z )k ;
(p): x − y + z − 2 = 0
4. a = ( x + y + z )i + 2 z j + ( y − 7 z )k ;
(p): 2x + 3 y + z − 6 = 0
Эл
ек
тр
он
н
ая
2. a = (2 z − x)i + ( x − y ) j + (3 x + z )k ;
→
→
→
→
→
→
(p): 3x − 2 y + 2 z − 6 = 0
5. a = ( x + y ) i + ( y + z ) j + (2 x + 2 z ) k ;
→
→
(p): x − 2 y + 2 z − 2 = 0
6. a = 4 z i + ( x − y − z ) j + (3 y + z ) k ;
→
→
→
→
(p): x + 4 y + 5 z − 8 = 0
7. a = (2 z − x ) i + ( x + 2 z ) j + 3 z k ;
→
→
→
→
(p): 2 x + y + 7 z − 4 = 0
8. a = 4 z i + ( x − y − z ) j + (3 y + 2 z ) k ;
→
→
→
→
(p): 3x + 2 y + 4 z − 6 = 0
9. a = (2 z + x) i + ( x − 3z ) j + ( y + z ) k ;
→
→
→
→
→
→
(p): x + 2 y + 2 z − 2 = 0
10. a = ( x − 2 z ) i + ( y − 2 z ) j + (2 x − y + 2 z ) k ;
→
→
(p): 2 x + y + z − 2 = 0
11. a = ( y − z ) i + (2 x + y) j + ( x + y + z ) k ;
106
→
→
(p): 2 x + y + 2 z = 2
→
→
→
→
(p): 3 x + 2 y + z = 6
13. a = ( x + z 2 ) i + xz j + 2 xy k ;
→
→
→
→
→
→
(p): 2 x + 2 y + z = 2
→
→
(p): x + 3 y + 2 z = 6
→
→
(p): x + 2 y + 2 z = 2
14. a = y 2 z i + x 2 j + ( xy − 2 z ) k ;
15. a = 2 yz i + ( x 2 + 2 y ) j + xy k ;
→
→
→
→
16. a = yz i + ( xz 2 + 6 y) j + y 2 k ;
→
→
(p): 2 x + y + 3 z = 6
→
→
→
АГ
17. a = yz i + 2 xz j + ( y 2 + 3z ) k ;
→
(p): x + 2 y + z = 2
→
(p): 2 x + 2 y + z = 4
→
→
→
→
→
→
20. a = z 2 i + ( xz + 3 y) j + x 2 y k ;
→
→
→
→
21. a = 2 yz i + ( x 2 + y ) j + xy k ;
→
→
→
→
→
→
ая
Эл
ек
тр
он
н
→
(p): x + 2 y + 2 z = 4
(p): x + 3 y − 2 z = 12
23. a = ( z − 2 x) i ;
→
(p): x + y + 2 z = 2
(p): 2 x − y + 6 z = 6
22. a = (2 y + z ) k ;
24. a = (2 z + y ) i ;
би
бл
ио
те
к
→
а
18. a = ( yz + 3x) i + z 2 x j + y 2 k ;
19. a = ( x + z 2 ) i + xz j + 2 xy k ;
(p): 3 x + y + 4 z = 12
(p): 2 x + y + 5 z = 10
25. a = (3 y + 2 z ) k ;
→
→
(p): x + 2 y − 4 z = 8
26. a = ( x − 3 y ) i ;
→
→
(p): − x + y + 3 z = 6
27. a = (2 y + 3x) j ;
→
→
(p): 2 x − 3 y + z = 12
28. a = (3 y + z ) k ;
→
→
(p): x + 2 y − 2 z = 8
→
→
(p): 2 x + 2 y + 3z = 6
29. a = (− x + 4 y ) i ;
30. a = (2 x + 3z ) k ;
И
→
Н
→
12. a = z 2 i + ( xz + y ) j + x 2 y k ;
107
ЛИТЕРАТУРА
1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс/К.Н.Лунгу и др.;
под ред. С.Н.Федина.-6-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2007.-592 с.
2.
Краснов М.Л., Киселёв А.И.; Макаренко Г.И.Задачи и упражнения
«Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория
Операционное
исчисление.
Теория
Издательство «Наука», 1968.
устойчивости».
–М:
Густав Дёч «Руководство к практическому применению преобразования
а
4.
Н
переменного.
Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. «Функции комплексного
АГ
3. Араманович И.Г.
И
устойчивости». – М: Издательство «Наука», 1981.
би
бл
ио
те
к
Лапласа» (перевод с немецкого Г.А. Вольперта). – М: «Государственное
издательство физико-математической литературы», 1960.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., и др. Высшая математика в упражнениях и
задачах.часть2., - М: «Высшая школа», 2001.
6. Зимина О.В.. Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. – М:
Эл
ек
тр
он
н
ая
«ФИЗМАТЛИТ», 2001.
108