Титульный лист Работа 1 № 18. Задание. 1) Определить, какое равенство точнее. 13/7 = 1,857; √7 = 2,64. 2) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: а) в широком смысле 2,8867; δ = 0, 43%; б) в узком смысле 32,7486 (± 0, 0012). Определите абсолютную погрешность результата. 3) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле 0,0384; б) в широком смысле 63,745. РЕШЕНИЕ 1) Определить, какое равенство точнее. а1 =13/7 = 1,857; а2 = √7 = 2,64. 2 Находим значения данных выражений с бо́льшим числом десятичных знаков: а1 = 13/7 = 1,85714; а2 = √7 = 2,6457. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком: αа1 = |1,85714 − 1,857| ≤ 0,00015; αа2 = |2,6457 − 2,64| ≤ 0,0058. Предельные относительные погрешности составляют: δа1 = δа1= αа1 а1 ; 0,00015 1,857 δа2 = αа2 δа2 = 0,0058 а2 = 0,000081 = 0,008%; ; 2,64 = 0,000219 = 0,022%. Так как δа1 < δа2 , то равенство 13/7 = 1,857 является более точным. Ответ: равенство 13/7 = 1,857 является более точным. 2) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: а) в широком смысле 2,8867; δ = 0,43%. Пусть a = 2,8867; δ = 0,43%, тогда αа = a • δа αа = 2,8867 • 0,0043= 0,01241. В данном числе верными в широком смысле являются две цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти две цифры: а1 = 2,8; α а1 = 0,0867 + 0,01241 = 0,09911 < 0,1. Значит, и в округлённом числе 2,8 все две цифры верны в широком смысле. 3 б) в узком смысле 32,7486 (± 0,0012). Согласно условию, погрешность αа = 0,0012 < 0,05. Это означает, что в числе 32,7486 верными в узком смысле являются цифры 3, 2, 7. По правилам округления найдём приближённое значение числа, сохранив десятые доли: а1 = 32,7; α а1 = αа + ∆окр; α а1 = 0,0012 + 0,0486 = 0,0498 Так как α а1 < 0,05, то три оставшиеся цифры верны в узком смысле. Ответ: а) 2,8; αа 0,01241; б) 32,7; α = 0,0498. 3) Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле 0,0384. Так как все четыре цифры числа а = 0,0384 верны в узком смысле, то абсолютная погрешность αа = 0,00005. Относительная погрешность равна: δа = δа= αа а ; 0,00005 0,0384 = 0,001302 = 0,13%. б) в широком смысле 63,745. Так как все пять цифр числа а = 63,745 верны в широком смысле, то абсолютная погрешность αа = 0,001. Относительная погрешность равна: δа = αа а ; 4 δа= 0,001 63,745 = 0,000015 = 0,0015%. Ответ: а) αа = 0,00005; δа= 0,13%; б) αа = 0,001; δа= 0,0015% Использованная литература 1. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов: учеб. пособие /В.М. Вержбицкий. - М.: Высш. Шк., 2005. - 840 с. 2. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие / Е.А. Волков. – СПб.: Изд - во «Лань», 2008. – 256 с. 3. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие / Б.П. Демидович. – СПб.: Изд - во «Лань», 2009. – 665 с. 4. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учеб. пособие / Н.В. Копченова. - СПб.: Изд - во «Лань», 2009. - 368 c. 5. Кулакова, С.В. Численные методы: учеб. пособие / С.В. Кулакова. – Иваново: Из-во ИГХТУ, 2018. – 124 с. 5