Информатика 8 класс Тема: Круги Эйлера - Венна Основная цель: Познакомиться с методом решения задач теории множеств с использованием кругов Эйлера - Венна и составить сборник задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера - Венна. Выполнил: Студент группы МО-37 Иванов Юрий Сергеевич Содежание Уроки можно использовать для детей которым сложно будет решать, так и для тех с легкостью решают данные задачи(можно совместить 1 и 2 уроки, в зависимости от понимая материала детьми, а также провести контрольную на 4 уроке или перенести на другой урок) Урок 1: Основные понятия из теории множеств и введение в круги Эйлера – Венна. 1. Основные понятия из теории множеств (~5 минуты) 2. Операции с множествами(~15 минут) 3. Круги Эйлера(~25 минут) Если дети преуспели в понимании материала то можно показать им Задачу (Простую) и решить самостоятельно, а затем попросить кого-то из класса решить Задачу (Разминочную) у доски. А в конце пары задать домашнее задание из 2 урока Урок 2: Работа с кругами Эйлера – Венна 1. Задача (Простая) (~10 минут(логически) / ~10 минут(с помощью кругов) 2. Задача (Разминочная) (~10 минут) Если управились раньше то попросить 5-х учеников решить задачу из домашнего задания под номером 1.1 у доски, а второю задать домой Урок 3: Классические задачи. 1. Задача (Классическая) (если подробно рассказывать и решать задачу - ~20 минут, если же ученики все схватывают на лету то - ~ 10 минут) 2. Задача (На закрепление) (~15-25 минут в зависимоти от ученика) 3. Задача (с 4 сущностями) (~15-25 минут) Спросить у учеников как справились с д/з, если есть вопросы - то прорешать вместе. Показать решение классической задачи кругов Эйлера, а вторую задачу поручить кому-нибудь из учеников(желательно тем у кого возникают вопросы). Если остается время до конца урока показать как решается задача с 4 кругами, если же не остается то задать попытаться решить дома. Урок 4: Продвинутые задачи в кругах Эйлера – Венна 1. 1 Задачи по ЕГЭ(~10 минут) 2. 2 Задачи по ЕГЭ(~10 минут) 3. Как закончите решение задач провести контрольную(в зависимости от кол-ва времени задать решать 3 задачи(если осталось ~ мин 15) либо все 5 задач(если осталось ~25-30 минут до конца урока) Урок 1: Основные понятия из теории множеств и введение в круги Эйлера – Венна. Основные понятия из теории множеств Слово «множество» мы часто используем в своей повседневной жизни. Вместе с тем, множество – это одно из основных понятий, используемых в математике. Что же такое множество? В математике есть ряд понятий, которые не имеют определений. Они называются аксиоматическими, т.е они принимаются как исходные без доказательств. К числу таких понятий относится и понятие множество. Можно дать такое определение множества. Множество – это набор элементов, который принимается как нечто целое. Операции с множествами Как с объектами математики, с множествами можно выполнять определенные действия (операции) [1]. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие: Пересечение двух множеств A и B есть множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству B. Проще говоря, пересечение множеств – это общая часть множеств. Обозначается пересечение множеств значком . Например, есть множество A – это совокупность учащихся класса и множество B – это совокупность учащихся школы, занимающихся в спортивных секциях. Пересечением этих двух множеств будет множество C – совокупность учащихся данного класса, занимающихся в спортивных секциях. Математически запись выглядит следующим образом: C A B Объединение множеств – это множество, каждый элемент которого принадлежит либо множеству A, либо множеству B. Обозначается пересечение множеств значком . Т.е. в объединение множеств входят все элементы и множества A, и множества B. Например, пусть множество A – множество мальчиков класса, B – множество девочек класса, тогда объединением этих множеств будут все учащиеся данного класса. Математически это запишется следующим образом: C A B Разностью двух множеств A и B называют множество, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Причем, разность множеств B и A – это уже другое множество. Обозначается разность множеств значком \. При этом если B является подмножеством множества A, то разность A\B называется дополнением множества B до множества A [7]. Например, пусть А – множество учеников гимназии № 1, B – это множество школьников, посещающих бассейн. Тогда множество C является разностью множеств A и В и состоит из учеников гимназии № 1, которые не посещают бассейн, а множество D, являющееся разностью множеств B и A состоит из школьников, посещающих бассейн и не являющихся учащимися гимназии № 1. Математически запись выглядит следующим образом: C A\ B DB\A Круги Эйлера Круги Эйлера – это схематическое изображение в виде круга, которое позволяет более наглядно изобразить множества и отношения между ними. Эйлер впервые использовал круги в известных «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе...». Здесь он указывает, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Для решения целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею геометрического изображения с помощью кругов, и этот ряд включал не только задачи из теории множеств. Такое изображение получило название «круги Эйлера» [3]. Таким образом, некоторое множество можно изобразить в виде круга, а элементы множества при этом представляют собой множество точек, принадлежащих этому кругу. Рисунок 1. Представление множества в виде круга Эйлера. Проиллюстрируем с помощью кругов Эйлера высказывания и операции над множествами, изложенные. Рисунок 2. Элемент «а» принадлежит множеству A, а элемент «с» не принадлежит множеству А. Рисунок 3. Множество B, являющееся подмножеством множества A Пересечение двух множеств изображено на рисунке 4. Рисунок 4 Изображение пересечения двух множеств с помощью кругов Эйлера Рисунок 5. Объединение двух множеств Рисунок 6. Разность множеств А и В. Позже ряд математиков использовали идею Эйлера об использовании схематического изображения для отображения понятий. Но максимальное применение графических методов было предложено английским ученым-логиком Джоном Венном. Такой способ решения логических задач представлен им в книге «Символическая логика». Схемы получили название диаграмм Венна. Они используются для решения задач математической логики. Поэтому часто употребляется термин диаграммы Эйлера-Венна. При этом существуют различия между кругами Эйлера и диаграммами Венна. Оно состоит в том, что при использовании кругов Эйлера непересекающиеся множества изображаются непересекающимися кругами, а подмножество изображается кругом, вложенным в другой круг [5]. На этом уроке мы дали определение множества и представили как это множество выглядит на примере круга. Так же вспомнили какие бывают логические операции над множествами и как они выглядят на графике. На следующем уроке мы решим парочку несложных задач на понимание логики кругов и множеств. Домашним заданием будет – подробнее изучить логические операции над множествами, потому что на следующих уроках без них будет проблематично. Урок 2: Работа с кругами Эйлера – Венна На этом уроке мы рассмотрим практическое применение кругов Эйлера. Решим несколько несложных задач для понимая. Задача (Простая) В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Пушкин Лермонтов Пушкин | Лермонтов Найдено страниц (в тысячах) 3500 2000 4500 Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Пушкин & Лермонтов? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение: Видим, что по запросу "Пушкин" в поисковике нашлось 3500 страниц. По запросу "Лермонтов" - 2000 страниц. Запрос "Пушкин | Лермонтов" обозначает, что поисковик выдаст страницы, где есть слова про "Пушкина", и страницы, где есть слова про "Лермонтова", а так же могут быть страницы, где написано и про "Пушкина", и про "Лермонтова" одновременно. Если сложить страницы, в которых написано про "Пушкина" и про "Лермонтова" получается 3500 + 2000 = 5500 страниц. Но почему же при запросе "Пушкин | Лермонтов" получается меньше страниц, всего 4500 ? Этот факт обозначает то, что когда мы подсчитывали страницы про "Пушкина" (3500 страниц), мы подсчитали и те страницы, где было написано и про "Пушкина", и про "Лермонтова" одновременно. Тоже самое и для количества страниц, где написано про "Лермонтова" (2000 страниц). В этом числе находятся и те, в которых одновременно упоминается и про "Пушкина", и про "Лермонтова". В вопросе спрашивается, сколько страниц будет по запросу "Пушкин & Лермонтов". Это обозначает, что как раз нужно найти количество страниц, где будет одновременно написано и про "Пушкина", и про "Лермонтова". Отсюда получается: Пушкин & Лермонтов = (3500 + 2000) - 4500 = 5500 - 4500 = 1000 страниц. Это и будет ответ! Теперь решим эту задачу с помощью Кругов Эйлера! У нас всего есть две сущности: "Пушкин" и "Лермонтов". Поэтому рисуем два пересекающихся круга, желательно разными цветами. Объединение двух кругов в общую фигуру (левый нижний), показывает операцию "Пушкин | Лермонтов". Эта операция всегда стремится увеличить площадь, объединить площади других фигур! Обратите внимание, что круги пересекаются, из-за этого сумма площадей двух кругов по отдельности (3500 + 2000 = 5500) больше чем у фигуры, которая характеризует логическую операцию «ИЛИ» "Пушкин | Лермонтов" (4500). Нужно найти площадь фигуры Пушкин & Лермонтов. Данная логическая операция «И» стремится уменьшить площадь. Она обозначает общую площадь других фигур. Найдём сначала заштрихованную часть синего круга. Она равна: площадь фиолетовой фигуры (4500) минус площадь красного круга (3500). Теперь легко найти площадь золотистой фигуры. Для этого нужно от площади синего круга вычесть площадь заштрихованной части. Получается: Пушкин & Лермонтов (Количество страниц) = 2000 - 1000 = 1000 Получается, что по запросу Пушкин & Лермонтов будет найдено 1000 страниц. Ответ: 1000 Задача (Разминочная) В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Кокос | Ананас Кокос & Ананас Кокос Найдено страниц (в тысячах) 3400 900 2100 Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Ананас? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение: У нас две сущности: Кокос и Ананас. Нарисуем два круга Эйлера, которые пересекаются между собой. Так же отменим все имеющееся данные. Найдём заштрихованную часть левого круга. Весь левый круг 2100. Пересеченная область равна 900. Заштрихованная часть равна 2100 - 900 = 1200. После того, как нашли заштрихованную часть (такой полумесяц), можно найти уже площадь правого круга. Для этого нужно от площади левой фигуры отнять площадь заштрихованной части! Ананас (Количество страниц) = 3400 - 1200 = 2200 Ответ: 2200 На этом уроке мы рассмотрели две простые задачи на понимание логики задачи. Если вы поняли логику выполнения, то последующие задачи вам будет легче решать. На следующем уроке мы рассмотрим более классические задачи. Домашним заданием будет – закрепить знания решением типовых задач: Задача 1.1 Каждый из 35 семиклассников посещает, как минимум, одну из двух библиотек: им. Пушкина и им. Чехова. 25 человек посещает библиотеку им. Пушкина, 20 – библиотеку им. Чехова. Сколько семиклассников: 1. Посещают обе библиотеки? 2. Не посещает библиотеку им. Чехова? 3. Не посещает библиотеку им. Пушкина? 4. Посещает только библиотеку им. Чехова? 5. Посещает только библиотеку им. Пушкина? Решение(для учителя) Первый вопрос - ключевой к решению. Непросто понять, как соотнести 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе задается направление к решению: есть семиклассники, посещающие обе библиотеки. Нарисовав условие задачи с помощью кругов Эйлера, решение становится очень простым. Рисунок 1.1. Решение задачи 1.1 с помощью кругов Эйлера 1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – посещают обе библиотеки. На рисунке 1.1 это общая часть кругов. Определена единственная неизвестная величина. Теперь дальнейшее решение элементарно. 2. 35 – 20 = 15 (человек) – не посещают библиотеку им. Чехова. (На схеме левая часть левого круга) 3. 35 – 25 = 10 (человек) – не посещают библиотеку им. Пушкина. (На схеме правая часть правого круга) 4. 35 – 25 = 10 (человек) – берут книги только в библиотеке им. Чехова. (На схеме правая часть правого круга) 5. 35 – 20 = 15 (человек) – берут книги только в библиотеке им. Пушкина. (На схеме левая часть левого круга). Задача 1.2 Часть жителей жилого дома выписывают только газету «Ваша реклама», часть – только газету «Вечорка», а часть – обе газеты. Какая часть жителей дома выписывают оба издания, если на газету «Ваша реклама» из них подписаны 85%, а на «Вечорка» – 75%? Решение(для учителя) Рисунок 1.2. Решение задачи 1.2 с помощью кругов Эйлера Здесь нет принципиального отличия от решения задачи 1.1. На рисунке 1.1 заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%. Ответ: оба издания выписывают 60% жителей. Урок 3: Классические задачи. Спросить у учеников как они справились с домашним заданием, если возникли трудности в решении, то всем классом прорешать и разъяснить д/з. Когда закончите с д/з или если ученики справились с ним – приступить к задачам с тремя сущностями. Задача (Классическая) В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» - символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Найдено страниц (в тысячах) (Космос & Звезда) | (Космос & 1100 Планета) Космос & Планета 600 Космос & Планета & Звезда 50 Какое количество страниц (в тыс.) будет найдено по запросу Космос & Звезда? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение: В этой задаче у нас три сущности: Космос, Планета, Звезда. Поэтому рисуем три круга Эйлера, которые пересекаются между собой. Могут ли круги не пересекаться ? Могут! Если мы докажем, что площади по отдельности двух кругов в сумме дают площадь фигуры, которая получается при применении операции логического "ИЛИ". Теперь отметим на нашем рисунке запрос (Космос & Звезда) | (Космос & Планета). Сначала отменим для себя то, что находится в скобках. Первое Космос & Звезда Теперь отметим вторую скобку Космос & Планета. В выражении (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) две скобки соединяет знак логического "ИЛИ". Значит, эти две области нужно объединить! Область (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) отмечена фиолетовым цветом! Отметим Космос & Планета ещё раз, т.к. для этого выражения известно количество страниц. Площадь фигуры для выражения Космос & Планета & Звезда будет очень маленькая. Это общая часть для всех трёх кругов. Каждая точка этой фигуры должна одновременно быть в трёх кругах! Найти нужно Космос & Звезда. Отменим на рисунке ту область, которую нужно найти. Мы эту область уже отмечали. Теперь у нас есть все компоненты, чтобы решить эту задачу. Найдём заштрихованную область. Вся область Космос & Планета равна 600. А заштрихованная часть равна: область Космос & Планета (600) минус область пресечения 3-х кругов(50). Количество страниц в заштрихованной части = 600 - 50 = 550 Тогда область легко находится: область (1100) минус заштрихованная область (550). Количество страниц (при запросе Космос & Звезда) = 1100 - 550 = 550 Ответ: 550 Закрепляем материал по задачам на Круги Эйлера. Задача (На закрепление) В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Море & Солнце Море & Пляж Море & (Пляж | Солнце) Найдено страниц (в тысячах) 290 355 465 Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Море & Пляж & Солнце? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение: В задаче используются три сущности: Море, Пляж, Солнце. Поэтому нарисуем три пересекающихся круга Эйлера. Отметим все области для которых нам даны количество страниц. В начале отметим Море & (Пляж | Солнце). Для начало нарисуем область, которая в скобках (Пляж | Солнце) Теперь нужно очертить общую часть области и круга Море и получится Море & (Пляж | Солнце). Теперь отметим Море & Пляж. Теперь отметим Море & Солнце. Найти нужно ту область, которая получается в результате выделения общей части для всех трёх кругов! Найдём заштрихованную область! Количество страниц (в заштрихованной области) = = Количество страниц (В оранжевой области) - Море & Солнце = = 465 - 290 = 175 Чтобы найти искомую чёрную область, нужно из Море & Пляж (355) вычесть заштрихованную область (175). Количество страниц (Море & Пляж & Солнце) = = Море & Пляж (355) - Количество страниц (в заштрихованной области) 175 = = 355 - 175 = 180 Ответ: 180 Решим ещё одну тренировочную задачу из информатики на Круги Эйлера. Задача (с 4 сущностями) В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Запрос Найдено страниц (в тысячах) Англия & (Уэльс & 450 Шотландия | Ирландия) Англия & Уэльс & Шотландия 213 Англия & Уэльс & Шотландия 87 & Ирландия Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Англия & Ирландия? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение: Нужно нарисовать 4 пересекающихся круга. Сначала нарисуем три круга, как обычно, оставив немного места для четвёртого круга. Четвёртый круг для Ирландии нужно нарисовать так, чтобы он проходил через область (Англия & Уэльс & Шотландия). Это нам подсказывает сама таблица, где есть количество страниц для Англия & Уэльс & Шотландия, а так же для Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия. Нужно отметить на рисунке Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Это будем делать, как всегда поэтапно. Область Уэльс & Шотландия выглядит так: Добавим к этой области Ирландию через логическое "ИЛИ". Получается область (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Теперь нужно сделать операцию логического "И" получившийся области с "Англией". Тогда область Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) примет вид: Отметим Англия & Уэльс & Шотландия. Отметим Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия - это общая территория четырёх кругов. Область получается ещё меньше. Если взять точку в этой области, то мы будем находится сразу в четырёх кругах одновременно. Отметим то, что нужно найти Англия & Ирландия чёрным цветом. Искомую область легко найти, если из области вычесть самый маленький кусочек. Найдём, сколько страниц приходится на этот кусочек кусочек: Количество страниц = = Англия & Уэльс & Шотландия (213) - Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия (87) = 213 - 87 = 126 Найдём искомую область. Количество станиц = = Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) (450) = 450 - 126 = 324 Это и будет ответ! Ответ: 324. Если ученики понимают ход решения и могут логически построить цепочку действий – то это отлично! Значит пришло время действительно напрячь голову ученикам на следующем уроке. Урок 4: Продвинутые задачи в кругах Эйлера - Венна Пришло время порешать задачи из реального ЕГЭ по информатике. Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета: Запрос Суфле Корзина Эклер Суфле & Корзина Суфле & Эклер Корзина & Эклер Найдено страниц (в тысячах) 450 200 490 70 160 0 Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Суфле | Корзина | Эклер Решение: Видим, что у нас три поисковых разных слова, поэтому будет три разных круга Эйлера! Так же видим, что логическое "И" между словами Корзина и Эклер даёт 0 страниц. Это значит, что эти круги не пересекаются! Так же круги бы не пересекались, если бы операция логического "ИЛИ" совпадала бы с суммой этих кругов. Видим, что Суфле имеет с двумя кругами пересечения, а Корзина и Эклер не пересекаются. Отметим всё, что нам дано в условии. Объединение всех трёх кругов. Это то, что нужно найти. Искомая фигура складывается из заштрихованных областей и круга C! Площадь C круга мы знаем. Нужно найти площади заштрихованных частей. Левая заштрихованная область находится просто: Количество страниц (лев. заштрих. область) = = Эклер (490) - Суфле & Эклер (160) = 330 Так же найдём площадь правой заштрихованной области: Количество страниц (прав. заштрих. область) = = Корзина (200) - Суфле & Корзина (70) = 130 Теперь можно найти искомую область Количество страниц (Суфле | Корзина | Эклер) = = C круг (450) + лев. заштрих. область (310) + прав. заштрих. область (130) = = 450 + 330 + 130 = 910 Задача решена, можно писать ответ. Ответ: 910 Разберём ещё одну задачу из реального ЕГЭ уже 2020 года Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета: Запрос Аврора Крейсер Заря Аврора & Заря Заря & Крейсер Заря | Крейсер | Аврора Найдено страниц (в тысячах) 50 45 23 9 0 93 Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Аврора & Крейсер Решение: Количество страниц при запросе Заря & Крейсер равно нулю. Значит, эти два круга не будут пересекаться. Нарисуем все данные на рисунке. Нужно найти для начала заштрихованную правую часть. Количество страниц (для двух заштрих. частей) = З | К | А (93) - Красный круг (50) = 43 Левую заштрихованную область легко найти. Количество страниц (для левой заштрих. части) = Синий круг (23) - А & З (9) = 14 Тогда для правой заштрихованной области получается: Колич. страниц (для правой заштрих. части) = Колич. страниц (для двух заштрих. частей) (43) - Колич. страниц (для лев. заштрих. части) (14) = = 43 - 14 = 29 Тогда искомую область легко найти: Колич. страниц (А & K) = Зелёный круг (45) - Колич. страниц (для правой заштрих. части) (29) = 45 - 29 = 16 Ответ: 16 На этом всё! Пора устраивать контрольную работу по теме круги Эйлера-Венна.