Наша цель - найти вероятность того, что при трех бросаниях дважды наступит Очевидно, это событие можно представить в виде следовательно, его вероятность равна: Обобщая рассмотренный пример, будем исследовать случай, когда производится одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только два исхода Иными словами, некоторый опыт повторяется раз, причем в каждом опыте некоторое событие может появиться с вероятностью или не появиться с вероятностью (в рассмотренном примере мы , имели Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов Такое вероятностное пространство и носит название схемы Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного найти вероятность того, что при кратном повторении опыта событие наступит раз. Для большей наглядности условимся каждое наступление события рассматривать как успех, ненаступление как неудачу. Наша цель - найти вероятность того, что из опытов ровно окажутся успешными; обозначим это событие временно через Событие представляется в виде суммы ряда событий - вариантов события Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть (успех в 1,2, ..., опытах и неудача в остальных). Вообще, каждый вариант записывается в виде строки длиной в которой компонент суть а остальные компонент Число всех вариантов равно, очевидно, опытов равна а вероятность каждого варианта ввиду независимости Отсюда вероятность события равна Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от обозначим его Итак, Полученная формула носит название формулы Бернулли, а сами вероятности называются биномиальными вероятностями. Такое название связано с тем, что числа имеют непосредственное отношение к формуле бинома Ньютона. Полагая и записав формулу бинома в виде можно увидеть, что выражение для указанного бинома. Итак, Поскольку совпадает с членом то отсюда находим: (постарайтесь объяснить это равенство, исходя из теоретиковероятностных соображений!). Приведем несколько примеров на применение формулы Бернулли. Пример 1 Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза? Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность этого события в каждом опыте равна что Отсюда так Пример 2 Контрольная работа состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Учащийся не готов к контрольной и поэтому выбирает ответы наугад. Какова вероятность того, что он правильно ответит на вопросов Решение: Рассматривая выбор ответа на тот или иной вопрос как отдельное испытание, а получение правильного ответа как некоторое событие ("успех"), будем иметь: Наша задача - найти вероятности Имеем: Наибольшей из полученных вероятностей оказалась