Загрузил cgi-bn

DMTA Programma kursa Morozov

реклама
Программа курса «Введение в теорию алгоритмов» для I потока I курса ММФ НГУ
2017/2018 учебный год, I семестр
1. Введение Понятие о множествах, их основные свойства, операции над ними. Некоторые
основные понятия в теории множеств (отношения, функции и т.п.). Алфавиты и языки,
длина слова, конкатенация слов, степени с натуральным показателем, звездочка Клини.
2. Введение в теорию графов Определение (неориентированного) графа. Смежность,
инцидентность. Степень вершины. Лемма о рукопожатии. Дополнительный граф. Матрица
смежности графа. Ориентированные графы. Ориентация дуги, полустепени захода и
исхода. Подграфы, остовные и порожденные подграфы. Маршрут. Цепь, простая цепь.
Свойства степеней матрицы смежности графа. Циклические маршруты. Циклы, простые
циклы. Достижимость для неориентированных и ориентированных графов. Связанность и
компоненты связанности. Сильная связанность для ориентированных графов. Важные
классы графов: полный (максимальное количество ребер), дерево (связанный с
минимальным количеством ребер; эквивалентные определения), двудольный.
Характеризация Кёнига двудольных графов.
3. Конечные автоматы Определение конечных автоматов. Их графическое изображение.
Языки, распознаваемые конечными автоматами. Лемма о накачивании и примеры её
использования. Недетерминированные конечные автоматы, недетерминированные
автоматы со скачками и их языки. Эквивалентность конечных автоматов,
недетерминированных конечных автоматов и недетерминированных автоматов со
скачками. Замкнутость конечно-автоматных языков относительно объединения,
пересечения, дополнения, конкатенации и звездочки Клини. Регулярные языки.
Определение. Совпадение классов регулярных и конечно-автоматных языков.
3. Теория алгоритмов Обсуждение свойств алгоритмических процессов. Определение
частично рекурсивных функций (ЧРФ). Операторы суперпозиции, примитивной рекурсии
и минимизации. Примитивно рекурсивные и общерекурсивные функции. Логические
связки и их значение. Вычислимые (рекурсивные) отношения и некоторые их свойства.
Кодирование конечных последовательностей. Минимашины (ММ). Совпадение классов
функций, вычислимых на ММ и класса частично рекурсивных функций. Тезис Чёрча.
Теорема о параметризации (s-m-n-теорема). Универсальные вычислимые функции.
Машины Тьюринга: определение функций, вычислимых на Машинах Тьюринга,
совпадение этого класса функций с классом ЧРФ.
Общее понятие о нумерации. Понятие об алгоритмически разрешимых и неразрешимых
проблемах. Неразрешимость проблемы остановки. Теорема Клини о неподвижной точке.
Теорема Райса. Неразрешимость проблемы распознавания свойств функций по задающим
их программам. Вычислимо перечислимые множества. Теорема о графике. Теорема Поста.
Список литературы
[1] Лекторская веб-страница курса с текстами некоторых тем:
http://www.math.nsc.ru/~asm256/TA
[2] Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М., Наука, 1987.
[3] А.Н.Мальцев, Алгоритмы и рекурсивные функции, М., Наука, 1986.
[4] В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич, Лекции по теории
графов, М.: Наука, 1990.
Темы семинаров
Введение Множества, отношения, функции, операции над языками. (2-3 семинара)
Введение в теорию графов Примеры на основные понятия. Решение занимательных
задач (1 семинар).
Конечные автоматы Построение конкретных автоматов, распознающих некоторые
простые языки. Доказательство автоматности и неавтоматности некоторых языков.
Построение эквивалентных детерминированных автоматов по недетерминированным. (3-4
семинара)
Теория алгоритмов Построение минимашин для конкретных функций (1 семинар).
Доказательство вычислимости (примитивной рекурсивности) для некоторых функций и
отношений (2 семинара).
Нумерации минимашин и доказательство вычислимости отношения T(a,x,y) (подробно
разобрать на семинаре доказательство теоремы) (1-2 семинара)
Построение машин Тьюринга для вычисления конкретных функций. (1 семинар)
Комбинирование машин Тьюринга (композиция, условный оператор, циклы) (1 семинар).
Планируется провести 2 контрольные работы.
Программу составил профессор, доктор физико-математических наук А.С.Морозов.
Скачать