Уравнения математической физики конспект лекций

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
Сибирский государственный индустриальный университет
Кафедра прикладной математики и информатики
Уравнения математической физики
Конспект лекций
Новокузнецк
2017
УДК 517.9 (07)
У 681
Рецензент
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры естественно-научных дисциплин имени профессора В.М.
Финкеля СибГИУ
В.В. Коваленко
У 681 Уравнения математической физики: конспект лекций / Сиб.
гос. индустр. ун-т; сост.: В.В.Варламов. – Новокузнецк : Изд.
центр СибГИУ, 2017. – 56 с.
В конспекте лекций представлен материал по изучению
дисциплины «Уравнения математической физики». Конспект
предназначен для обучающихся по направлению подготовки 01.03.02
«Прикладная математика и информатика», а также может быть
рекомендован для обучающихся других направлений.
Печатается по решению Совета
Института фундаментального образования
(протокол № 1 от 25 сентября 2017 г.)
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................4
1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ..........................................................................................5
1.1 Общие понятия .................................................................................................. 5
1.2 Задача Коши....................................................................................................... 6
1.3 Линейные однородные уравнений первого порядка ..................................... 7
1.4 Квазилинейные уравнения первого порядка ................................................ 10
1.5 Геометрическая интерпретация, задача Коши ............................................. 11
2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ........................................................................................14
2.1 Основные типы уравнений математической физики .................................. 14
2.2 Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка ....... 15
3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ ....................................................................................19
3.1 Решение Даламбера......................................................................................... 19
3.2 Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
................................................................................................................................. 22
3.3 Краевые и начальные условия. Задача Коши ............................................... 24
3.4 Метод разделения переменных (метод Фурье). ........................................... 26
3.5 Задача Штурма-Лиувилля. ............................................................................. 27
3.6 Неоднородное уравнение колебаний струны ............................................... 33
4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ...................................................................................36
4.1 Постановка краевой задачи для уравнения теплопроводности.................. 37
4.2 Решение уравнения теплопроводности......................................................... 38
4.3 Решение неоднородного уравнения теплопроводности.............................. 43
5. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА...........................................................................................................46
5.1 Задача Дирихле для круга............................................................................... 48
5.2 Интеграл Пуассона.......................................................................................... 51
5.3 Задача Неймана для круга .............................................................................. 52
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...............................................................................................................54
3
ВВЕДЕНИЕ
Конспект лекций «Уравнения математической физики»
содержит основные теоретические сведения и задачи курса
математической физики. Особое внимание уделяется четкости
математической постановки задачи, а также ее физической
интерпретации. Отмечаются свойства решений, основанные на
фундаментальных
законах
механики
и
термодинамики.
Рассматриваются основные понятия и определения, связанные с
уравнениями с частными производными и вопросы приведения к
каноническому виду линейных уравнений второго порядка. Перед
изучением данного курса требуется знание курсов математического
анализа,
функционального
анализа,
обыкновенных
дифференциальных уравнений, теории вероятностей, а также курса
общей физики. Изложение ведется на уровне математической
строгости, достаточном для решения прикладных задач в удобном
для усвоения материала будущими инженерами.
Конспект лекций состоит из пяти разделов, куда входят:
1. Основные типы уравнений математической физики.
2. Классификация уравнений с частными производными 2-го
порядка.
3. Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных.
4. Уравнение теплопроводности.
5. Уравнение Лапласа.
При изучении данной темы можно пользоваться рекомендуемой
литературой.
4
1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.1 Общие понятия
Пусть имеется функция u независимых переменных x1 , x 2 ,..., x n .
Уравнением с частными производными называется соотношение,
связывающее переменные x1 , x 2 ,..., x n , функцию u и все ее частные
производные до некоторого порядка
F ( x 1 ,..., x n , u, u x ,..., u x , u x x , u x x ,...) = 0.
(1.1)
Порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение.
Функция u = u( x1 ,..., x n ) называется решением уравнения (1.1), если
при подстановке ее в это уравнение оно обращается в тождество при
допустимых значениях аргументов. Совокупность всех решений
уравнения называется общим решением.
Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными
производными для функции, зависящей от двух переменных u = u( x , y ) .
1
n
1 1
1 2
Пример 1.1. Пусть дано уравнение u x = 0 . Это уравнение
фактически означает, что функция u( x , y ) не зависит от x .
Следовательно,
решениями
являются,
например,
функции
2
y
u( x , y ) = y + 2 y, u( x , y ) = e + sin y . Общее решение: u( x , y ) = C ( y ) , где C –
произвольная функция одной переменной y .
Пример 1.2. Рассмотрим уравнение u x = f ( x , y ) . Для нахождения
решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной x
(1.2)
∫ u x dx = ∫ f ( x, y)dx + C .
При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому
произвольная постоянная C в (1.2) может зависеть от y . Тем самым
общее решение имеет вид:
u( x , y ) = ∫ f ( x , y )dx + C ( y ).
Пример 1.3. Пусть дано уравнение u xy = 0 . Из примера 1.1 следует,
что u y = C ( y ) . Решая это уравнение аналогично тому, как решалось
уравнение в примере 1.2, будем иметь
5
u( x , y ) = ∫ C ( y )dy + C 1 ( x ).
Обозначим
C 2 ( y ) = ∫ C ( y )dy .
Тогда общее решения примет вид
u( x , y ) = C 1 ( x ) + C 2 ( y ) .
Заметим, что в отличие от общего решения обыкновенного
дифференциального уравнения, зависящего от произвольных
постоянных, общее решение уравнения с частными производными
зависит от произвольных функций.
1.2 Задача Коши
Будем рассматривать случай, когда искомая функция u зависит от
двух переменных x , y . Тогда уравнение первого порядка будет иметь
вид
F ( x , y, u, u x , u y ) = 0.
(1.3)
Всякое решение уравнения (1.3) u = u( x , y ) будем называть
интегральной поверхностью (график решения – поверхность в
пространстве с координатами x , y , u ).
Для того, чтобы из совокупности всех решений уравнений (1.3)
выделить некоторое частное решение, формулируется задача Коши:
найти решение уравнения (1.3), удовлетворяющее условию
u( x , y ) | x = x 0 = ϕ ( y ) ,
где
- некоторая заданная функция.
Обозначим через l кривую в пространстве
уравнениями
ϕ ( y)
x = x 0 , u = ϕ ( y ).
x, y, u ,
задаваемую
(1.4)
Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди
всех интегральных поверхностей найти ту, которая проходит через
заданную кривую l .
Можно поставить более общую задачу Коши, не ограничивая
кривую l видом (1.4), а беря произвольную пространственную
кривую. Если обозначить через λ проекцию кривой на плоскость
( x , y ) , то эта задача Коши может быть сформулирована следующим
образом: найти решение уравнения (1.3), удовлетворяющее условию
u( x , y ) |( x , y )∈λ = ϕ ( x , y ).
6
1.3 Линейные однородные уравнений первого порядка
Уравнение с частными производными называются линейными,
если искомая функция u( x , y ) и ее частные производные входят в
уравнение линейно. Таким образом, линейное уравнение первого
порядка имеет вид
A( x , y )u x + B( x , y )u y + C ( x , y )u = f ( x , y ) ,
(1.5)
где A, B, C и f - заданные функции. Если f ( x , y ) = 0 , то уравнение
называется однородным.
Отметим, что основные свойства линейных уравнений с
частными производными во многом аналогичны свойствам
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Так,
например, линейная комбинация решений однородного уравнения
тоже является решением этого уравнения. Общее решение
неоднородного уравнения может быть представлено в виде
некоторого частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения.
Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение
вида
A( x , y )u x + B ( x , y )u y = 0.
(1.6)
Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
 dx
 dt = A( x , y ),

 dy = B( x , y ),
 dt
(1.7)
которую будем называть характеристической системой для уравнения
(1.6), а всякое решение x(t ), y(t ) этой системы назовем
характеристикой.
Функция ϕ ( x , y ) , не сводящаяся тождественно к постоянной, или
равенство ϕ ( x , y ) = C называется первым интегралом системы (1.7),
если при подстановке в нее любого решения системы получается
постоянная величина, зависящая лишь от выбора решения.
7
Теорема 3.1. Пусть ϕ ( x , y ) = C есть первый интеграл системы
(1.7). Тогда функция u = ϕ ( x , y ) удовлетворяет уравнению (1.6).
Доказательство. Подставим в первый интеграл системы (1.7)
какое-либо решение x(t ), y(t ) этой системы. Получим
ϕ ( x (t ), y (t )) = C .
Возьмем производную по
t от обеих частей этого
dϕ ( x (t ), y (t ))
dx
dy
= ϕx
+ϕy
≡ 0.
dt
dt
dt
Поскольку
имеем
x ( t ), y( t )
равенства
- решения характеристической системы (1.7),
ϕ x A( x, y ) + ϕ y B ( x, y ) = 0.
В силу того, что последнее равенство выполнено для любого решения
системы (1.7), оно справедливо для любых x, y , входящих в область
определения. Тем самым функция ϕ удовлетворяет уравнению (1.6).
Теорема доказана.
Можно доказать и обратное утверждение.
Теорема 3.2. Пусть функция u = ϕ ( x , y ) удовлетворяет уравнению
(1.6). Тогда ϕ ( x , y ) = C есть первый интеграл системы (1.7).
Доказательство. Подставим в функцию ϕ ( x , y ) какое-нибудь
решение системы (1.7) x(t ), y(t ) и возьмем полную производную по t
dϕ ( x (t ), y (t ))
dx
dy
= ϕx
+ϕy
= ϕ x A( x , y ) + ϕ y B ( x , y ).
dt
dt
dt
Поскольку
ϕ
- решение уравнения (1.6), имеем
dϕ ( x (t ), y (t ))
= 0.
dt
Следовательно,
ϕ ( x (t ), y (t )) = C ,
а это и означает, что
Теорема доказана.
ϕ ( x, y) = C
есть первый интеграл системы (1.7).
Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность
понятий первого интеграла системы (1.7) и решения уравнения (1.6).
Если ϕ ( x , y ) = C - первый интеграл системы (1.7), то произвольная
функция F (ϕ ) является также первым интегралом этой системы.
8
Следовательно, по теореме 3.1 F (ϕ ) удовлетворяет уравнению (1.6)
при произвольной достаточно гладкой функции F .
Можно показать, что при выполнении некоторых условий всякое
решение уравнения (1.6) может быть представлено в виде u = F (ϕ ) .
Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение
уравнения (1.6), надо составить характеристическую систему (1.7) и
найти первый интеграл этой системы. Общее решение уравнения (1.6)
будет
u = F (ϕ ),
где
F
- произвольная функция.
Пример 3.1. Рассмотрим уравнение
xu x + yu y = 0.
(1.8)
Характеристическая система для этого уравнения:
 dx
 dt = x ,

 dy = y .
 dt
(1.9)
Решение этой системы (характеристики) имеет вид
 x = C 1 e t ,

 y = C 2 e t .
Первым интегралом системы (1.9) является функция
ϕ ( x, y) =
y
x
.
Следовательно, общее решение уравнения (1.8) будет
 y
u( x , y ) = F   ,
x
т.е. произвольная однородная функция переменных
x, y .
Для нахождения первого интеграла характеристической системы
(1.7) можно исключить переменную t и получить обыкновенное
дифференциальное уравнение
dy B ( x , y )
.
(1.10)
=
dx
A( x , y )
Если y = y( x , C ) - общее решение этого уравнения, то выразим
произвольную постоянную C через x, y и получим первый интеграл
системы (1.7) ϕ ( x , y ) = C . Аналогично поступим, если будет найден
общий интеграл уравнения (1.10) F ( x , y, C ) = 0.
9
Пример 3.2. Рассмотрим уравнение
yu x − xu y = 0.
(1.11)
Характеристическая система будет иметь вид
 dx
 dt = y ,

 dy = − x .
 dt
(1.12)
Исключим переменную
t
из этой системы
dy
x
=− .
dx
y
Разделяя переменные, получим
ydy = − xdx .
Проинтегрировав это уравнение, находим его общий интеграл
x2 + y2 = C.
Это соотношение одновременно является первым интегралом для
системы (1.12). Заметим, что характеристиками в данном случае
будут являться окружности с центром в начале координат. Итак,
общее решение уравнения (1.11) имеет вид
u( x , y ) = F ( x 2 + y 2 ).
1.4 Квазилинейные уравнения первого порядка
Квазилинейным
уравнение вида
уравнением
первого
порядка
называется
A( x , y , u)u x + B( x , y , u)u y = C ( x , y , u).
(1.13)
Заметим, что линейное уравнение (1.5) является частным случаем
квазилинейного уравнения, в которое функция u может входить и
нелинейно.
Будем искать решение уравнения (1.13) в виде неявной функции
ϕ ( x , y , u) = C ,
где
C
–
произвольная
постоянная.
дифференцирования неявной функции имеем
ux = −
Согласно
правилу
ϕy
ϕx
, uy = −
.
ϕu
ϕu
Подставляя эти выражения в (1.13) , получим для
A( x , y , u)ϕ x + B( x , y , u)ϕ y + C ( x , y , u)ϕ u = 0.
10
ϕ
уравнение
(1.14)
Это уравнение отличается от уравнения (1.13) лишь тем, что
коэффициенты и искомая функция ϕ , входящие в него, зависят от
трёх переменных x, y, u . Поэтому уравнение (1.14) решается
аналогично уравнению (1.13). Для этого рассматривается
характеристическая система, состоящая уже из трёх уравнений
 dx
 dt = A( x , y , u),

 dy
 = B( x , y , u),
 dt
 du
 dt = C ( x , y , u).

(1.15)
Если
ϕ 1 ( x , y , u) = C 1 ; ϕ 2 ( x , y , u ) = C 2
(1.16)
- два независимых (под независимостью понимается разрешимость
относительно каких-либо двух из переменных x, y, u равенства (1.16))
интеграла системы (1.15), то общее решение уравнения (1.14), а
значит, и решение исходного уравнения (1.13) в виде неявной
функции, будет иметь вид
(1.17)
ϕ = F (ϕ 1 , ϕ 2 ),
где F - произвольная функция своих аргументов.
1.5 Геометрическая интерпретация, задача Коши
Пусть в пространстве с координатами
направлений
( x , y , u)
задано поле
( A( x , y , u), B( x , y , u), C ( x , y , u)),
т.е. в каждой точке пространства мы имеем направление, у которого
направляющие косинусы пропорциональны A, B, C . Это поле
направлений определяет семейство линий, таких, что любая линия
семейства имеет в каждой своей точке касательную, совпадающую с
направлением поля в этой точке. Это семейство линий получается в
результате
интегрирования
системы
обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx
dy
du
,
=
=
A( x , y, u) B ( x , y, u) C ( x , y, u)
которая, если обозначить через dt общую величину написанных трех
отношений, переходит в систему (1.15).
11
Если имеется некоторая поверхность u = u( x , y ) , то величины u x , u y
и − 1 пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой
поверхности. Таким образом, уравнение (1.13) выражает условие
перпендикулярности нормали и поверхности u = u( x , y ) с направлением
поля, т.е. уравнение (1.13) сводится к требованию, чтобы в каждой
точке искомой поверхности u = u( x , y ) направление, определяемое
полем ( A, B, C ) , находилось в касательной плоскости к поверхности.
Пусть некоторая поверхность u = u( x , y ) состоит из характеристик
системы (1.15). Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к
характеристике, проходящей через эту точку, лежит в касательной
плоскости к поверхности, и следовательно, эта поверхность
удовлетворяет уравнению (1.13), т.е. является интегральной
поверхностью этого уравнения.
Можно показать, что верно и обратное: если некоторая гладкая
поверхность (предполагается существование и непрерывность
производных u x , u y ) удовлетворяет уравнению (1.13), то ее можно
полностью заполнить характеристиками.
Из (1.17) следует, что общее уравнение интегральных
поверхностей для уравнения (1.13) будет иметь вид:
F (ϕ 1 , ϕ 2 ) = 0
(1.18)
(постоянную C можно не писать в силу произвольности F ).
Если выбрать некоторую функцию F , а поверхность (1.18) будет
геометрическим местом тех характеристик системы (1.15), у которых
значения постоянных в равенствах (1.16) связаны соотношением:
F (C 1 , C 2 ) = 0.
(1.19)
Решение уравнения (1.13) становится, вообще говоря, однозначно
определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность
проходила через заданную в пространстве кривую l , т.е. если решать
задачу Коши. Искомая поверхность будет образованна теми
характеристиками, которые выходят из точек кривой l .
Исключительным является тот случай, когда сама кривая l
является характеристикой. В этом случае через линию l проходит,
вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей.
Пример 5.1. Рассмотрим уравнение
xuu x + yuu y = −( x 2 + y 2 ).
(1.20)
Соответствующая характеристическая система будет такова:
12
 dx
 dt = xu,

 dy
 = yu,
 dt
 du
2
2
 dt = −( x + y ).

(1.21)
Из первых двух уравнений имеем
dx dy
.
=
x
y
Отсюда
ln y = ln C 1 x
, что равносильно соотношению
y
= C1 .
x
(1.22)
Чтобы найти второй интеграл системы (1.21), разделим последнее ее
уравнение на второе:
du
x2 + y2
.
=−
dy
yu
Пользуясь равенством (1.22), получаем
du
x2 + y2
.
=−
C 1 dx
C 1 xu
Отсюда
udu = − x (1 + C 12 )dx .
Интегрируя это равенство, имеем
u 2 + x 2 (1 + C 12 ) = C 2 .
Подставив
C1
из (1.22), получим второй интеграл
x 2 + y2 + u2 = C2 .
(1.23)
Уравнения (1.22) определяют плоскости, проходящие через ось
Ou , а уравнения (1.23) – сферы с центром в начале координат. Тем
самым характеристики системы (1.21) – это семейство окружностей,
лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале
координат. Общее решение уравнения (1.20) будет
y

(1.24)
F  , x 2 + y 2 + u 2  = 0,
x
где
F

– производная функция двух аргументов.
Пример 5.2. Решим задачу Коши для уравнения (1.20). Среди
интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту, которая
проходит через прямую
x = 1, y = u.
(1.25)
Исключим x, y и u из уравнений (1.23), (1.24) и (1.25).
13
Уравнения (1.22) и (1.25) дают
x = 1,
y = C1 , u = C1 .
Подставляя в уравнение (1.23), получаем
1 + 2C 12 − C 2 = 0.
Таким образом,
F (C 1 , C 2 ) = 1 + 2C 12 − C 2 .
Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид
2
 y
1 + 2  − ( x 2 + y 2 + u 2 ) = 0.
 x
Пример 5.3. Будем искать интегральную поверхность для
уравнения (1.11), проходящую через окружность x 2 + y 2 = 1 в
плоскости ( x , y ) . Из общего решения (1.13) видно что таковой будет
любая поверхность
u = F ( x 2 + y 2 ) − F (1).
Например, параболоид
u = x2 + y2 −1
или конус
u=
x 2 + y 2 − 1,
наконец, просто плоскость u = 1 . Неоднозначность решения связана
здесь с тем, что заданная кривая, через которую должна проходить
интегральная поверхность, является характеристикой.
2. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2.1 Основные типы уравнений математической физики
Основными уравнениями математической физики называют
следующие
дифференциальные
уравнения
с
частными
производными второго порядка от двух независимых переменных.
I. Волновое уравнение
2
∂ 2u
2 ∂ u
=a
.
∂t
∂x 2
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов
поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня,
электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,
14
колебаний газа и т.д. Это уравнение является простейшим
уравнением гиперболического типа.
II. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье
∂u
∂ 2u
= a2 2 .
∂t
∂x
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов
распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой
среде (например фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках),
некоторые вопросы теории вероятности и т.д. Это уравнение является
простейшим уравнением параболического типа.
III. Уравнение Лапласа
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об
электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом
состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т.д. Это уравнение
является простейшим уравнением эллиптического типа.
В перечисленных уравнениях искомая функция зависит от двух
переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и
для функций с большим числом переменных:
2
∂ 2u
∂ 2u 
2 ∂ u

=
a
+
 ∂x 2 ∂y 2 ,
∂t 2


2
∂u
∂ 2u 
2 ∂ u
= a  2 + 2 ,
∂t
∂y 
 ∂x
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u
+
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
2.2 Классификация уравнений с частными производными 2-го
порядка
Уравнения с частными производными 2-го порядка с двумя
независимыми переменными x, y называется соотношение между
неизвестной функцией u(x,y) и ее частными производными до 2-го
порядка включительно:
15
∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
F ( x, y , u, , , 2 ,
,
)=0
∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2
Аналогично записывается уравнение и для большего числа
независимых переменных.
Уравнение называется линейным относительно старших
производных, если оно имеет вид

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u 
a11 ( x, y ) 2 + 2a12 ( x, y )
+ a 22 ( x, y ) 2 + F  x, y , u, ,  = 0
∂x
∂x∂y
∂y
∂x ∂y 

(2.1)
Если коэффициенты a11, a12 , a22 зависят не только от x и y, а являются,
подобно F, функциями от x, y, u, ∂u ∂x , ∂u ∂y , то такое уравнение
называется квазилинейным.
С помощью преобразования переменных
ξ = ϕ ( x, y ),
η = ψ ( x, y )
мы получим новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно
поставить вопрос: как выбрать ξ и η , чтобы уравнение в этих
переменных имело наиболее простую форму?
Будем
для
краткости
обозначать
производные
ux =
∂u
∂u
, u y = , …. Преобразуем производные к новым переменным
∂y
∂x
u x = uξ ξ x + uηη x ,
u y = uξ ξ y + uηη y ,
u xx = uξξ ξ 2 x + 2uξη ξ xη x + uηηη 2 x + uξ ξ xx + uηη xx ,
(2.2)
u xy = uξξ ξ xξ y + uξη (ξ xη y + ξ yη x ) + uηηη xη y + uξ ξ xy + uηη xy ,
u yy = uξξ ξ y2 + 2uξη ξ yη y + uηηη y2 + uξ ξ yy + uηη yy .
Подставляя значения производных в (2.1), получим
a11uξξ + 2a12uξη + a22 uξξ + F = 0.
Выберем переменные ξ и η так, чтобы коэффициент a11 был равен
нулю. Рассмотрим уравнение частными производными первого
порядка
a11 z x2 + 2a12 z x z y + a22 z 2y = 0.
Пусть z = ϕ ( x, y ) - какое-нибудь частное решение этого уравнения.
Если положить ξ = ϕ ( x, y ) , то коэффициент a11 будет равен нулю.
Таким образом, если z = ϕ ( x, y ) является частным решением
последнего уравнения, то соотношение ϕ ( x, y ) = C представляет
полный интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
a11dy 2 − 2a12 dxdy + a 22 dx 2 = 0
(2.3)
16
Уравнение (2.3) называется характеристическим для уравнения (2.1),
а его интегралы – характеристиками. Поделим уравнение (2.3) на
dx 2 и решим его как квадратное уравнение относительно
dy
:
dx
2
dy a12 + a12 − a11a 22
=
,
dx
a11
( 2 .4 )
2
dy a12 − a12 − a11a 22
=
.
dx
a11
( 2.5)
В зависимости от значения дискриминанта D = a122 − a11a22 существуют
три типа уравнений с частными производными 2-го порядка:
1) Гиперболический тип, если D > 0.
2) Эллиптический тип, если D < 0.
3) Параболический тип, если D=0.
Запишем (2.4) и (2.5) в виде обыкновенных дифференциальных
уравнений
a11dy − ( a12 + a122 − a11a 22 )dx = 0,
( 2 .6 )
a11dy − ( a12 − a122 − a11a 22 )dx = 0.
( 2 .7 )
Если уравнение (1) имеет
Гиперболический тип: D > 0.
Общие интегралы ϕ ( x, y ) = C1 , ψ ( x, y ) = C2 уравнений (2.6) им (2.7)
будут вещественными и различными, они определяют два различных
семейства вещественных характеристик. Вводя вместо ( x, y ) новые
независимые переменные (ξ ,η ) :
ξ = ϕ ( x, y ),
η = ψ ( x, y )
Приведем уравнение (1) к виду
∂ 2u

∂u ∂u 
= F1  ξ ,η , u , .
∂ξ∂η
∂ξ ∂η 

Это канонический вид уравнения гиперболического типа.
Параболический тип: D=0.
Если уравнение (2.1) имеет параболический тип D=0, то
уравнения (2.6) и (2.7) совпадают и мы получаем один общий
интеграл ϕ ( x, y ) = C . В этом случае
ξ = ϕ ( x, y ),
η = η ( x, y ),
где η = η ( x, y ) - такая функция, что
D (ξ ,η )
≠ 0 в рассматриваемой
D( x, y )
области. Уравнение (2.1) сводится к виду
17
∂ 2u
∂u ∂u 

F
=
,
,
, .
ξ
η

2
∂ξ ∂η 
∂η 2

Это канонический вид уравнения параболического типа.
Эллиптический тип: D<0.
Если уравнение (2.1) имеет эллиптический тип D<0, то общие
интегралы уравнений (2.6) и (2.7) комплексно сопряжены. Пусть
общий интеграл уравнения (2.6) имеет вид
ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) = C ,
где ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) - вещественные функции. Тогда
ξ = ϕ ( x, y ),
η = ψ ( x, y )
и уравнение (1) сводится к виду
∂ 2u ∂ 2u
∂u ∂u 

+ 2 = F3  ξ ,η , u, , .
2
∂ξ ∂η 
∂ξ
∂η

Это – канонический вид уравнения эллиптического типа.
Пример 2.1. Рассмотрим уравнение
2
∂ 2u
2 ∂ u
x
−y
= 0.
∂x 2
∂y 2
2
Это уравнение гиперболического типа, так как
2
a12
− a11a 22 = x 2 y 2 > 0 .
Характеристическое уравнение имеет вид
x 2 dy 2 − y 2 dx 2 = 0
или
xdy + ydx = 0,
xdy − ydx = 0.
Интегрируя последние уравнения, находим
C1 = xy ,
C2 =
y
.
x
По формулам (2.2) имеем
∂ 2u ∂ 2u 2
y 2 ∂ 2u
y 2 ∂ 2u
y ∂u
=
y
−
2
+
+
2
,
∂x 2 ξ 2
x 2 ∂ξ∂η x 4 ∂η 2
x 3 ∂η
2
∂ 2u
∂ 2u
1 ∂ 2u
2 ∂ u
=x
+2
+
.
∂ξ∂η x 2 ∂η 2
∂y 2
∂ξ 2
Подставляя найденные производные в уравнение, получим
∂ 2u
1 ∂u
−
= 0.
∂ξ∂η 2ξ ∂η
18
3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
3.1 Решение Даламбера
Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных
уравнений в курсе высшей математики, мы видели, что общее
решение содержало произвольные постоянные. Например, общее
решение дифференциального уравнения
y′′ + ω 2 y = 0
имеет вид
y = C1 cos ω x + C2 sin ω x ,
где C1, C2 , произвольные константы, которые могут принимать любые
значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные значения.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общее
решение дифференциального уравнения с частными производными,
как увидим ниже, содержит уже не произвольные постоянные, а
произвольную функцию.
Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения,
описывающего свободные колебания однородной струны
∂ 2u
∂t
2
= a2
∂ 2u
∂x
2
a=
,
F0
ρ
,
(3.1)
где F0 – сила натяжения, действующая на струну, ρ – постоянная
линейная плотность струны, a – постоянная с размерностью скорости,
u = u ( x, t ) .
Запишем уравнение (3.1) в виде
∂  ∂
∂ 
∂
(3.2)
 − a  + a u = 0
 ∂t
∂x   ∂t
и введем новую функцию
ϑ ( x, t ) =
∂x 
∂u
∂u
+a
∂t
∂x
.
(3.3)
Уравнения (3.2) и (3.3) образуют систему дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка, эквивалентную
уравнению (3.1):
∂u
 ∂u
 ∂t + a ∂x = ϑ

 ∂ϑ − a ∂ϑ = 0.
∂x
 ∂t
(3.4)
Первое
из
этих
уравнений
является
неоднородным
дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое из
уравнения (3.2) с помощью замены (3.3), является однородным
19
уравнением («без правой части»). Для решения системы уравнений
(3.4) нужно решить сначала второе уравнение, а затем – первое,
подставив в правую часть найденную функцию ϑ ( x, t ) .
Разыскиваем решение второго уравнения системы (3.4) в виде
ϑ ( x, t ) = G ( x + at ) ,
где G( y) – произвольная функция, имеющая
производную по аргументу
Используя правило
y = x + at .
дифференцирования сложной функции, получаем:
∂ϑ dG ( y ) ∂y
=
⋅ = aG ′( x + at ),
dy
∂t
∂t
∂ϑ dG ( y ) ∂y
=
⋅ = G ′( x + at ),
dy ∂x
∂x
где штрих означает производную по аргументу. Подставляя
полученные выражения для частных производных во второе
уравнение системы (3.4), убеждаемся, что функция G ( x + at ) является
его решением
∂ϑ
∂ϑ
−a
= aG ′( x + at ) − aG ′( x + at ) = 0 .
∂t
∂x
Таким образом, доказано, что произвольная дифференцируемая
функция G ( x + at ) является решением этого уравнения.
Для решения первого уравнения системы (3.4) удобно вместо
функции G ( x + at ) ввести другую функцию с помощью соотношения
G ( x + at ) = 2ag ′( x + at ) .
(3.5)
В соответствии с этой заменой первое уравнение системы (3.4)
запишется в виде
∂u
∂u
+a
= 2ag ′( x + at ) .
(3.6)
∂t
∂x
Преобразуем теперь уравнение (3.6) так, чтобы оно стало
однородным дифференциальным уравнением для новой неизвестной
функции, введенной вместо функции u ( x, t ) . Для этого заметим, что
производные функции g ( x + at ) по временной и пространственной
переменным имеют вид:
∂g ( x + at )
∂ ( x + at )
= g ′( x + at ) ⋅
= ag ′( x + at ),
∂t
∂t
∂g ( x + at )
∂ ( x + at )
= g ′( x + at ) ⋅
= g ′( x + at ).
∂x
∂x
Поэтому уравнение (3.6) можно записать в виде
∂u ∂g ( x + at )
∂u
∂g ( x + at )
−
+a −a
= 0,
∂t
∂t
∂x
∂x
20
или, объединяя члены с производными по одинаковым переменным,
∂U
∂U
+a
= 0.
(3.7)
∂t
∂x
Здесь новая неизвестная функция выражается через старую и
введенную соотношением (3.5) функцию следующим образом
U ( x, t ) = u ( x, t ) − g ( x + at ) .
(3.8)
Уравнение (3.7) имеет такой же вид, как и второе уравнение
системы (3.4), но с заменой постоянной a на (- a ). Поэтому его
решением является произвольная дифференцируемая функция
U ( x, t ) = f ( x − at ) .
Теперь из соотношения (3.8) можно получить общее решение
первого уравнения системы (3.4)
u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ) ,
(3.9)
где f ( x − at ) и
g ( x + at ) – произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции.
Поскольку первое уравнение системы (3.4) является уравнением
(3.2), равносильным уравнению (3.1), то заключаем, что формула (3.9)
дает общее решение волнового уравнения в одномерном случае.
Формула (3.9) называется решением Даламбера одномерного
волнового уравнения. Она была получена Даламбером в 1747 году.
Физический смысл решения Даламбера
Рассмотрим сначала решения уравнения вида
u1 ( x, t ) = f ( x − at ) .
Пусть наблюдатель выходит в начальный момент t = 0 из точки x = x0 и
передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью a .
Пройденный наблюдателем путь за время t равен x = x0 + at или
x − at = x0 . Для этого наблюдателя смещение струны u1 = f ( x − at ) = f ( x0 ) –
постоянно. Все время своего движения наблюдатель видит одно и то
же смещение струны. Таким образом, функция u1 ( x, t ) = f ( x − at )
описывает распространение смещения струны вдоль положительного
направления оси ОХ. Это решение называется прямой волной, x − at
называется фазой прямой волны.
Аналогично, функция u2 ( x, t ) = g ( x + at ) называется обратной волной,
x + at
– фазой обратной волны. Эта функция описывает
распространение смещения струны в отрицательном направлении оси
ОХ со скоростью a .
Таким образом, сумма прямой и обратной волн представляет
собой общее решение однородного волнового уравнения в
21
одномерном случае. В этом и заключается физическое содержание
решения Даламбера (3.9).
Отсюда вытекает следующий графический способ построения
формы струны в любой момент времени:
Строим кривые u1 = f ( x) и u2 = g ( x) при t = 0 ;
1. Не меняя формы этих линий передвигаем их со скоростью a в
разные стороны — u1 = f ( x) вправо, u2 = g ( x) влево;
2. Для получения графика формы струны в момент времени t
строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный момент
времени.
3.2 Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
Формула Даламбера
Задача Коши, называемая также начальной задачей,
одномерного волнового уравнения
∂ 2u
∂t 2
= a2
∂ 2u
∂x 2
,
−∞ < x < ∞
для
(3.10)
ставится так: найти решение уравнения (3.10), имеющее непрерывные
частные производные второго порядка по x и t, удовлетворяющее
начальным условиям
u ( x, 0) = ϕ 0 ( x)
(3.11)
(т. е. задана форма струны в начальный момент времени),
∂u ( x, 0)
= ϕ1 ( x) .
(3.12)
∂t
Для решения задачи (3.10)-(3.12) исходим из общего решения
волнового уравнения – решения Даламбера (см. предыдущий
параграф)
u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ).
(3.13)
Положим в (3.13) t = 0, получим
ϕ 0 ( x) = f ( x) + g ( x).
Найдем производную по t от выражения (3.13) и положим
∂u( x,0)
= ϕ1 ( x) = −af ′( x − at )
∂t
t =0
+ ag ′( x + at )
t =0
t=0
= −af ′( x) + ag ′( x).
Собирая вместе это и предыдущее выражения, получим систему
уравнений
f ( x) + g ( x) = ϕ0 ( x)
− af ′( x ) + ag ′( x ) = ϕ1 ( x ).
22
(3.14)
Умножим
первое
уравнение
системы
(3.14)
на
a,
продифференцируем его по x и сложим со вторым уравнением, а затем
вычтем из него второе уравнение. Получим
1
1
g ′( x) = ϕ 0′ ( x ) + ϕ1 ( x )
2
2a
1
1
f ′( x ) = ϕ 0′ ( x) − ϕ1 ( x).
2
2a
(3.15)
Интегрируем теперь оба уравнения по отрезку [ x0 , x ] , получим
1
1
g ( x) = ϕ 0 ( x) +
2
2a
1
1
f ( x) = ϕ0 ( x) −
2
2a
x
∫ ϕ1 ( x)dx + b1
x0
x
(3.16)
∫ ϕ1 ( x)dx + b2 ,
x0
где b1 и b2 – постоянные интегрирования.
Сложим равенства (3.16) и учтем, что полученная сумма должна
быть равна ϕ 0 ( x) в соответствии с первым уравнением в системе (3.14).
Получаем
ϕ 0 ( x) = ϕ 0 ( x) + b1 + b2 .
Следовательно b2 + b1 = 0 . Поскольку в формуле (3.13) аргументы
функций равны x ∓ at , то заменим в первом равенстве системы (3.16) x
на x+at, а во втором – x на x-at. Сложим эти выражения
ϕ (x + at) + ϕ0 (x − at) 1 x+at
u(x, t) = f (x − at) + g(x + at) = 0
+
∫ ϕ1(x)dx. .
2
2a x−at
(3.17)
Формула (3.17) дает решение задачи Коши для волнового
уравнения. Она была получена Эйлером в 1748 г и носит название
формулы Даламбера.
При математическом описании физического процесса надо,
прежде всего, поставить задачу, т.е. сформулировать условие,
достаточное для однозначного определения процесса.
Пример 3.1.
Методом Даламбера
найти форму струны,
определяемую волновым уравнением utt′′ = a 2 u ′xx′ , если в начальный
момент времени ее форма и скорость удовлетворяют условиям Коши
u ( x, t ) t =0 = f ( x) = sin x , u t′ ( x, t ) = f ( x) = x.
Решение. Нетрудно проверить, что если ϕ ( p) и ψ (q) - любые
дважды
дифференцируемые
функции,
то
функция
u ( x, t ) = ϕ ( x − at ) + ψ ( x + at )
является решением волнового уравнения.
23
Удовлетворяя начальным условиям, получим решение поставленной
задачи в виде
1
1
u ( x, t ) = [ f ( x − at ) + f ( x + at )] +
2
2a
Подставляя сюда функции
f ( x)
и
f ( x) ,
∫ f ( z )dz.
x −at
имеем
1
1
u ( x, t ) = [sin( x − at ) + sin( x + at )] +
2
2a
= sin x cos at +
x + at
x + at
∫ zdz =
x − at
[
]
1 2 x + at
1
z
= sin x cos at +
( x + at ) 2 − ( x − at ) 2 =
x − at
4a
4a
= sin x cos at + xt.
Следует отметить, что решение Даламбера, полученное для
бесконечной струны, имеет практическое применение только для
малых значений времени, когда колебания конечной струны не
успели дойти до ее концов. Кроме того, функции f (x) и f (x) должны
быть такими, чтобы в течение всего процесса u ′x2 ( x, t ) была малой
величиной, которой можно пренебречь по сравнению с 1.
3.3 Краевые и начальные условия. Задача Коши
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях струны,
закрепленной на концах. В этой задаче u( x, t ) дает отклонение струны
от оси x. Если концы струны 0 ≤ x ≤ l закреплены, то должны
выполняться краевые условия
u(0, t ) = 0,
u ( l , t ) = 0.
Кроме того, задают начальные условия, т.е. форму и скорость струны
в начальный момент t0 :
u( x, t0 ) = ϕ ( x ),
ut ( x, t0 ) = ψ ( x ).
Таким образом, дополнительное условие состоит из краевых и
начальных условий, где ϕ (x ) и ψ (x ) - заданные функции точки. Если
концы струны движутся по заданному закону, то краевые условия
принимают вид
u(0, t ) = µ1 (t ),
u(l , t ) = µ 2 (t ),
где µ1 (t ) и µ2 (t ) - заданные функции времени.
24
Сформулируем первую краевую задачу. Требуется найти
функцию u( x, t ) , удовлетворяющую уравнению
utt = a 2 u xx
для 0 < x < l , t > 0 и краевым и начальным условиям
u(0, t ) = µ1 (t ),
u(l , t ) = µ2 (t ),
u( x,0) = ϕ ( x ),
ut ( x,0) = ψ ( x ).
Рассмотрим предельные случаи поставленной задачи.
Если нас интересует явление в течении малого промежутка
времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо полной
задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными
условиями для неограниченной области:
Найти решение уравнения
utt = a 2 u xx + f ( x, t )
для − ∞ < x < ∞, t > 0 с начальными условиями
u( x,0) = ϕ ( x ),
ut ( x,0) = ψ ( x )
при − ∞ < x < ∞. Эту задачу называют задачей Коши.
Если же изучается явление вблизи одного края и влияние
краевого режима на втором конце не имеет существенного значения
на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы
приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой 0 ≤ x < ∞,
когда помимо уравнения даны дополнительные условия
u(0, t ) = µ (t ),
t≥0
u( x,0) = ϕ ( x ),
ut ( x,0) = ψ ( x ),
0 ≤ x < ∞.
Характер явления для моментов времени, достаточно удаленных
от начального момента t=0 вполне определяется краевыми
значениями, так как влияние начальных условий благодаря трению,
присущему всякой реальной системе с течением времени ослабевает.
Такие задачи без начальных условий формулируются следующим
образом:
Найти решение изучаемого уравнения для 0 ≤ x ≤ l и t > −∞ при
краевых условиях на концах
25
u(0, t ) = µ1 (t ),
u(l , t ) = µ 2 (t ).
3.4 Метод разделения переменных (метод Фурье).
Будем искать решение уравнения
utt = a 2 u xx ,
(3.18)
Удовлетворяющее однородным краевым условиям
u (0, t ) = 0,
(3.19)
u (l , t ) = 0
и начальным условиям
u ( x,0) = ϕ ( x ),
(3.20)
ut ( x,0) = ψ ( x ).
Уравнение (3.18) линейно, поэтому сумма частных решений
также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое
число частных решений, можно попытаться при помощи
суммирования их с некоторыми коэффициентами найти требуемое
решение.
Поставим основную вспомогательную задачу:
Найти решение уравнения
utt = a 2 u xx ,
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным
краевым условиям
u(0, t ) = 0,
u(l , t ) = 0
и представимое в виде произведения
u ( x, t ) = X ( x )T (t ),
(3.21)
где X (x ) - функция только переменного x, T(t) – функция только
переменного t. Подставим (3.21) в уравнение (3.18):
X ′′T =
1
T ′′X
a2
или после деления на XT
X ′′( x ) 1 T ′′(t )
=
.
X ( x ) a 2 T (t )
Фиксируя некоторое значение x и меняя t (или наоборот) получим,
что правые и левые части последнего равенства при изменении своих
аргументов сохраняют постоянное значение
26
X ′′( x ) 1 T ′′(t )
=
= −λ .
X ( x ) a 2 T (t )
Знак “-“ взят для удобства. Из последнего соотношения получаем
дифференциальные уравнения для X(x) и T(t)
X ′′( x ) + λX ( x ) = 0,
T ′′(t ) + a 2 λT (t ) = 0.
Краевые условия (3.19) дают
u(0, t ) = X (0)T (t ) = 0,
u(l , t ) = X (l )T (t ) = 0.
Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять
дополнительным условиям X(0)=X(l)=0, так как иначе мы имели бы
T (t ) ≡ 0 и u( x, t ) = 0 , в то время как задача состоит в нахождении
нетривиального решения. Для функции T(t) в основной
вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мы
приходим к простейшей задаче о собственных значениях.
3.5 Задача Штурма-Лиувилля.
Требуется найти значения λ , называемые собственными
значениями, при которых существуют нетривиальные решения
задачи
X ′′ + λX = 0,
X (0) = X (l ) = 0,
называемые собственными функциями, а также найти эти решения.
Рассмотрим отдельно случай, когда параметр λ отрицателен,
равен нулю или положителен.
1. При λ < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Общее
решение уравнения имеет вид
X ( x ) = C1e
−λ x
+ C2 e −
−λ x
.
Краевые условия дают
X (0) = C1 + C2 = 0,
X (l ) = C1eα + C2 e −α = 0
(α = l − λ ),
т.е.
C1 = −C2 ,
C1 ( eα − e −α ) = D,
но в этом случае α - действительно и положительно, так что
eα − e −α ≠ 0. Поэтому C1 = 0, C2 = 0 и, следовательно
27
X ( x ) ≡ 0.
2. При λ = 0 также существует лишь тривиальное решение. Общее
решение уравнения имеет вид
X ( x ) = ax + b.
Краевые условия дают
X (0) = [ax + b]x = 0 = b = 0,
т.е. a = 0, b = 0 и, следовательно
X ( x ) ≡ 0.
3. При λ > 0 общее решение уравнения имеет вид
X ( x ) = D1 cos λ x + D2 sin λ x.
Краевые условия дают
X (0) = D1 = 0,
X (l ) = D2 sin λ l = 0.
Если X (x ) не равно тождественно нулю, то D2 ≠ 0. Поэтому sin λ l = 0
и λ=
πn
l
, где n – любое целое число. Следовательно, нетривиальные
решения задачи возможны лишь при значениях
πn
λn =   .
 l 
2
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
X n ( x ) = Dn sin
πn
l
x.
Итак, только при значениях
πn
λn =   .
 l 
2
Существуют нетривиальные решения. Этим же значениям λn
соответствует решение уравнения
T ′′(t ) + a 2λT (t ) = 0 :
πn
πn
Tn (t ) = An cos at + Bn sin at ,
l
l
где An и Bn - коэффициенты подлежащие определению. Отсюда
следует, что функция
un ( x, t ) = X n ( x )Tn (t ) = ( An cos
πn
l
at + Bn sin
πn
l
at ) sin
πn
l
x
является частным решением уравнения (3.18).
Обратимся к решению задачи в общем случае. В силу
линейности уравнения (3.18) сумма частных решений
28
∞
∞
u( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑ ( An cos
n =1
n =1
πn
at + Bn sin
l
πn
l
at ) sin
πn
l
x
(3.22)
также удовлетворяет уравнению (3.18) и краевым условиям (3.19).
Начальные условия дают
∞
∞
πn
n =1
n =1
l
u ( x,0) = ϕ ( x ) = ∑ un ( x,0) = ∑ An sin
x,
(3.23)
∂u n ( x,0) ∞ πn
πn
ut ( x,0) = ψ ( x ) = ∑
= ∑ aBn sin
x.
∂t
l
n =1
n =1 l
∞
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочнонепрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f (x ) , заданная в
промежутке 0 ≤ x ≤ l , разлагается в ряд Фурье
∞
πn
n =1
l
f ( x ) = ∑ bn sin
где
x,
πn
2
bn = ∫ f ( x ) sin
xdx .
l 0
l
l
Если функции ϕ (x ) и ψ (x ) удовлетворяют условиям разложения в ряд
Фурье, то
∞
πn
n =1
l
∞
πn
n =1
l
ϕ ( x ) = ∑ϕ n sin
ψ ( x ) = ∑ψ n sin
x,
2
πn
ϕ n = ∫ ϕ ( x ) sin xdx,
l 0
l
x,
πn
2
ψ n = ∫ψ ( x ) sin xdx.
l0
l
l
l
Сравнение этих рядов с формулами (3.23) показывает, что для
выполнения начальных условий надо положить
An = ϕ n ,
Bn =
l
ψ
πna n
чем полностью определяется функция (3.22), дающая решение
задачи.
Итак, мы определили решение в виде бесконечного ряда (3.22).
Если ряд (3.22) расходится или функция, определяемая этим рядом,
не является дифференцируемой, то он не может представлять
решение уравнения (3.18).
Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом
2π
) функцию
f (x) ,
заданную на отрезке
[−π ; π ]
− π ≤ x < 0,
0,
f ( x) = 
 x,
− π ≤ x ≤ 0.
29
Решение.
Рядом
функциональный ряд вида
Фурье
функции
f (x) называется
a0 ∞
+
(a n cos nx + bn sin nx),
2 n=1
∑
где коэффициенты
a n , bn (n = 0,1,2,...)
an =
1
π
определяются по формулам
π
∫ f ( x) cos nxdx ,
bn =
−π
1
π
π
∫ f ( x) sin nxdx .
−π
Так как заданная функция кусочно-монотонная и ограниченная
на отрезке [−π ; π ] , то ее ряд Фурье сходится в любой точке x ∈ R .
Вычислим коэффициенты этого ряда:
a0 =
1
π
π
∫
f ( x)dx =
−π
1
π
π
∫
xdx =
0
1 x2 π π
= ,
π 2 0 2
b0 = 0 ,
dv = cos nxdx
an =
x cos nxdx =
=
1
π
du = dx v = sin nx
0
n
1
u=x
π
∫
π
 1 1
π 1
π
1  x
1
=
sin nx −
sin nxdx  = ⋅ 2 cos nx = 2 (cos nπ − 1) =
 π n
0 n
0 πn
π n
0


1
= 2 (−1) n − 1 ,
πn
u=x
dv = sin nxdx
π
1
bn =
x sin nxdx =
=
1
π
du = dx v = − sin nx
0
n
∫
[
]
∫
π
 1 π
π 1
π
1  x
1
=
− cos nx +
cos nxdx  =  − cos nπ + 2 sin nx  =
 π n
0 n
0
π n
n
0


∫
1
(−1) n −1
= − cos nπ =
,
n
n
n ∈ N.
Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получим
∞
[
]
 1

(−1) n−1
n
f ( x) = +
sin nx  =
 2 (−1) − 1 cos nx +
4 n=1 πn
n

π
=
π
4
∑
+
∞


2
(−1) n−1
−
+
cos(
2
n
1
)
x
sin nx .
−
2
n
 π (2n − 1)

n =1 
∑
Пример 3.3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
 x,
f ( x) = 
2 − x,
30
0 ≤ x ≤ 1,
1< x ≤ 2
f (x)
на отрезке
[0;2]
и найти сумму ряда
∞
1
∑ (2n + 1) 2 .
n =0
Решение. Продолжим функцию четным образом и вычислим
коэффициенты Фурье:
1
2
∫
∫
0
1
a 0 = xdx + (2 − x)dx =
x 2 1 
x 2  2 1
+ 2x −
= + ( 4 − 2) −
2 0 
2  1 2
1

−  2 −  = 1,
2

1
2
∫
a n = x cos
0
=
nπx
nπx
dx + (2 − x) cos
dx =
2
2
∫
1
u=x
du = dx
nπx
dx
u = 2− x
2
+
nπx
2
v=
du = −dx
sin
nπ
2
nπx
dx
2
=
nπx
2
v=
sin
nπ
2
dv = cos
dv = cos
1
nπx 1 2
nπx
nπx 2
2x
2( 2 − x )
=
sin
−
sin
dx +
sin
+
nπ
2 0 nπ
2
nπ
2 1
∫
0
2
+
−
2
nπx
2
nπ
4
nπx 1 2
nπ
sin
dx =
sin
+ 2 2 cos
−
sin
−
nπ
nπ
2
2 n π
2 0 nπ
2
1
∫
4
n 2π 2
cos
nπx 2
4
=−
.
2 1
(2n + 1) 2 π 2
1 4
f ( x) = − 2
2 π
Следовательно,
Полагая
x = 0,
∞
∑
cos(2n + 1)πx
n =0
(2n + 1) 2
.
получаем:
0=
1 4
−
2 π2
∞
1
∑ (2n + 1)
n =0
∞
1
∑ (2n + 1) 2
,
2
=
π2
n =0
8
.
Пример 3.4. Решить задачу Штурма-Лиувилля
 y ′′ + λ y = 0, 1 ≤ x ≤ 2,

 y (1) = y ′(2) = 0.
Решение. Требуется найти отличные от тождественного нуля
(нетривиальные) решения дифференциального уравнения
y ′′ + λy = 0,
удовлетворяющие краевым условиям
31
y (1) = y ′(2) = 0 .
Те
значения параметра λ , при которых существуют такие решения,
называются собственными значениями краевой задачи, а
соответствующие или нетривиальные решения – собственными
функциями.
Рассмотрим три случая:
1) λ < 0 . Характеристическое уравнение k 2 + λ = 0 имеет два
действительных
корня
k1, 2 = ± − λ .
Общее
решение
дифференциального уравнения в этом случае имеет вид
y = C1e
−λ x
+ C2 e −
−λ x
.
Удовлетворяя краевым условиям, приходим к системе
C e −λ + C e − − λ = 0,
 1
2

2 −λ
C1e
+ C2e − 2 −λ = 0,
которая имеет действительное решение
C1 = C 2 = 0
и, следовательно,
y ( x ) = 0.
2) λ = 0 . Общее решение дифференциального уравнения y = C1 + C 2 x и
краевые условия снова дают C1 = C 2 = 0 , а поэтому и в данном случае
y ( x ) ≡ 0.
Характеристическое уравнение имеет два мнимых корня
k1, 2
которым
соответствует
общее
решение
дифференциального уравнения y = C~1 cos λ x + C~2 sin λ x. Для удобства
перепишем это решение в виде y = C1 cos λ ( x − 1) + C 2 sin λ ( x − 1). Из
условия y(1) = 0 получаем C1 = 0 и поэтому y = C 2 sin λ ( x − 1). Условие
y ′(2) = 0 приводит к уравнению C 2 λ cos λ = 0. Так как λ ≠ 0 и C 2 ≠ 0 , то
3)
λ >0.
= ±i λ ,
cos λ = 0 ,
откуда получаем
λ=
π
2
+ πn, n = 0,1,2,...
. То есть, собственные
значения задачи Штурма - Лиувилля
n = 0,1,2,...
,
а собственные функции
π

y n = sin  + πn ( x − 1), n = 0,1,2,...
2

.
Пример 3.5. Однородная струна длиной l натянута между
точками x = 0 и x = l . В точке x = c струна оттягивается на небольшое
расстояние h от положения равновесия и в момент t = 0 отпускается
32
без начальной скорости. Определить отклонение u( x, t ) струны для
любого момента времени.
Решение: Очевидно, что форма струны на заданном отрезке имеет
вид
h
 c x, 0 ≤ x ≤ c;
u( x, t ) = 
 h( x − l ) , c ≤ x ≤ l .
 c − l
Поскольку начальная скорость равна нулю, ut ( x,0) = 0 , то отсюда
следует, что Bn = 0 . Форма струны соответственно на первом и
втором отрезках имеет вид
∞
∞
πn
n =1
n =1
l
∞
∞
πn
n =1
n =1
l
u( x,0) = ϕ ( x ) = ∑ un ( x,0) = ∑ An sin
u( x,0) = ϕ ( x ) = ∑ un ( x,0) = ∑ An sin
x=
h
x,
c
x=
h( x − l ) x
.
c−l
Поскольку An = ϕ n , то вычисляя интегралы, находим, что решение
задачи задается следующим рядом:
u( x, t ) =
∞
2hl 2
1
nπc
nπx
nπat
sin
sin
cos
.
∑
l
l
l
π 2 c ( l − c ) n =1 n 2
3.6 Неоднородное уравнение колебаний струны
Рассмотрим неоднородное уравнение колебаний струны
utt = a 2 u xx + f ( x, t ),
a2 =
T
ρ
, 0≤ x≤l
(3.24)
с начальными условиями
u ( x,0) = ϕ ( x ),
(3.25)
ut (l , t ) = ψ ( x )
и однородным краевым условиям
u (0, t ) = 0,
(3.26)
u ( l , t ) = 0.
Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд Фурье по x:
∞
πn
(3.27)
u ( x, t ) = ∑ u n (t ) sin
x
n =1
l
Рассматривая при этом t как параметр. Для нахождения u( x, t ) надо
определить функцию un (t ) . Представим функцию f ( x, t ) и начальные
условия в виде рядов Фурье
33
πn
∞
f ( x, t ) = ∑ f n (t ) sin
l
n =1
∞
πn
n =1
l
∞
πn
ϕ ( x ) = ∑ ϕ n sin
ψ ( x ) = ∑ψ n sin
n =1
πn
2
f ( x, t ) sin
xdx ,
∫
l 0
l
l
f n (t ) =
x,
x,
2
πn
ϕ n = ∫ ϕ ( x ) sin xdx ,
l0
l
x,
ψn =
l
l
(3.28)
2
πn
ψ ( x ) sin xdx.
∫
l0
l
l
Подставляя предполагаемую форму решения (3.27) в (3.24), получим
∞
∑ sin
πn 
n =1

x − a   un (t ) − uɺɺn (t ) + f n (t )  = 0.
l 
 l 

2
πn 
2
Это уравнение будет удовлетворяться, если все коэффициенты
разложения равны нулю, т.е.
 πn 
uɺɺn (t ) +   a 2 un (t ) = f n (t ).
 l 
2
(3.29)
Для
определения
un (t )
мы
получили
обыкновенное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Начальные условия дают
∞
πn
n =1
l
u( x,0) = ϕ ( x ) = ∑ un (0) sin
∞
πn
n =1
l
ut ( x,0) = ψ ( x ) = ∑ uɺn (0) sin
откуда следует
un (0) = ϕ n ,
∞
πn
n =1
l
= ∑ ϕ n sin
x,
∞
πn
n =1
l
x = ∑ψ n sin
x,
uɺn (0) = ψ n .
Эти дополнительные условия вполне определяют решения уравнения
(3.29). Функцию un (t ) можно представить в виде
un (t ) = un(1) (t ) + un( 2 ) (t ),
где
l
πn
sin a (t − τ ) f n (τ )dτ
∫
l
πna 0
t
un(1) (t ) =
(3.30)
есть решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными
условиями и
πn
l
πn
u n( 2 ) (t ) = ϕ n cos at +
ψ n sin at
(3.31)
l
πna
l
- решение однородного уравнения с заданными начальными
условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде
34
l
πn
πn
u( x, t ) = ∑
sin a (t − τ ) f n (τ ) sin xdτ +
∫
l
l
n =1 πna 0
∞
t
∞
πn
n =1
l
+ ∑ (ϕ n cos
at +
l
πn
πn
ψ n sin at ) sin x.
πna
l
l
Вторая сумма представляет собой решение задачи о свободных
колебаниях струны при заданных начальных условиях.
Пример 3.6. Рассмотреть вынужденные колебания закрепленной на
концах струны под действием силы f ( x, t ) = g , g = const (струна
равномерно нагружена). Начальная форма струны имеет вид
u( x,0) =
x (l − x )
, M = const . Начальная скорость струны равна нулю.
M
Решение: Краевая задача имеет вид
utt − a 2 u xx = − g ,
u(0, t ) = 0,
u(l , t ) = 0,
x (l − x )
,
M
ut ( x,0) = 0.
u( x,0) =
В согласии с (3.28),
∞
πn
n =1
l
− g = ∑ f n sin
x.
Откуда
l
2
2g
2g
πn
πn
f n = − ∫ g sin xdx =
cos x =
( −1) n − 1 .
l0
l
πn
l 0 πn
l
{
}
f n в данном случае не зависит t , поскольку g не зависит от t .
Следовательно, в силу (3.29) получим
2g
 πn 
uɺɺn (t ) +   a 2un (t ) =
( −1) n − 1
πn
 l 
{
2
}
(*)
с начальными условиями
πn
2
un (0) = ϕ n = ∫ ϕ ( x ) sin xdx,
l0
l
l
2
πn
uɺn (0) = ψ n = ∫ψ ( x ) sin xdx = 0.
l0
l
l
Вычисляем
ϕn :
35
πn
2
ϕn =
x (l − x ) sin xdx =
∫
lM 0
l
l
2
=
lM
l
l
 l

πn
πn
l
x (l − x ) cos x + ∫ (l − 2 x ) cos xdx  =
−
l 0 πn 0
l
 πn

2
=
πnM
l
l
l
 l

πn
2l
πn
4l 2
πn
(
l
2
x
)
sin
x
sin
xdx
=
−
cos
x =
−
+


∫
3 3
π
π
n
l
n
l
l
n
M
π


0
0
0
{
}
4l 2
= 3 3 1 − ( −1) n .
π nM
Последнее выражение отлично от нуля только при нечетных n ( 2n + 1 ).
Таким образом, для свободных колебаний получим
4l 2
u( x, t ) = 3
π M
=
1 − ( −1) n
πnat πnx
∑ n 3 cos l sin l =
n =1
∞
8l 2
π 3M
∞
1
∑ (2n + 1)3 cos
n =0
( 2n + 1)
( 2n + 1)
πat sin
πx .
l
l
Следовательно,
{
}
4l 2
un (0) = 3 3 1 − ( −1) n , uɺn (0) = 0.
π nM
Решая уравнение (*) по методу неопределенных коэффициентов,
получим
un (t ) = An cos
πnat
l
где
An = ϕ n +
+ Bn sin
{
πnat
l
−
{
}
2 gl
1 − ( −1) n ,
π na
3 3 2
}
{
2 gl
2l  2l g 
1 − ( −1) n = 3 3  + 2  1 − ( −1) n
π na
π n M a 
3 3 2
}
и Bn = 0 . Итак, решением задачи является функция
u( x, t ) =
4l
π
3
∞
1
  2l
g 
∑ (2n + 1)3  M + a 2  cos
n =0

( 2n + 1)πat g  ( 2n + 1)
− 2  sin
πx.
l
l
a 
4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Уравнение
ut − a 2 (u xx + u yy + u zz ) =
1
f ( x, y , z, t )
cρ
36
называется уравнением теплопроводности. Решение u( x, y, z, t ) этого
уравнения описывает распределение температур в теплопроводящей
среде. Это уравнение параболического типа.
В случае, когда координаты y, z равны нулю, приходим к
уравнению
ut − a 2 u xx =
1
f ( x, t ),
cρ
описывающему распространение тепла в стержне.
4.1 Постановка краевой задачи для уравнения теплопроводности
Для
выделения
единственного
решения
уравнения
теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные
и краевые условия. Начальное условие в отличие от уравнения
гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции
u( x, t ) в некоторый начальный момент t0 . Краевые условия могут быть
различны в зависимости от температурного режима на краях.
1. Бесконечный стержень.
Рассмотрим процесс теплопроводности в очень длинном стержне. В
течении небольшого промежутка времени влияние температурного
режима, заданного на границе, в центральной части стержня
сказывается весьма слабо, и температура на этом участке
определяется в основном лишь начальным распределением
температуры. В этом случае точный учет длины стержня не окажет
существенного влияния на температуру интересующего нас участка.
В задачах подобного типа считают, что стержень имеет бесконечную
длину. Таким образом, краевая задача в этом случае состоит из
одного начального распределения температуры
u( x, t0 ) = ϕ ( x ),
− ∞ < x < +∞,
где ϕ (x ) - заданная функция.
2. Полубесконечный стержень.
Если участок стержня, температура которого нас интересует,
находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае
температура практически определяется температурным режимом
близкого конца и начальным условием. В задачах подобного рода
считают, что стержень полубесконечен, и координата отсчитываемая
от конца, меняется в пределах 0 ≤ x ≤ ∞ . Таким образом, краевая
задача для полубесконечного стержня имеет вид
37
u( x, t0 ) = ϕ ( x ),
0< x<∞
u(0, t ) = µ (t ),
t ≥ t0
где ϕ (x ) и µ (t ) - заданные функции.
3. Конечный стержень.
В этом случае в силу конечной длины стержня краевая задача
определяется температурными режимами на концах стержня и
начальным распределением температуры стержня. Первая краевая
задача имеет вид
u( x, t ) = ϕ ( x ),
0≤ x≤l
u(0, t ) = µ1 (t ),
u(l , t ) = µ 2 (t ).
t>0
4.2 Решение уравнения теплопроводности
Перейдем к решению первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности
ut = a 2 u xx + f ( x, t )
с начальным условием
u( x,0) = ϕ ( x )
и граничными условиями
u(0, t ) = µ1 (t ),
u(l , t ) = µ 2 (t ).
Изучение общей краевой задачи начнем с решения следующей
простейшей задачи:
Найти решение однородного уравнения
ut = a 2 u xx ,
удовлетворяющее начальному условию
u( x,0) = ϕ ( x )
и нулевым краевым условиям
u(0, t ) = 0,
u (l , t ) = 0.
Решение этой задачи найдем методом разделения переменных. Для
этого сформулируем основную вспомогательную задачу.
Найти решение уравнения
ut = a 2 u xx ,
(4.1)
не равное тождественно нулю и удовлетворяющее однородным
краевым условиям
u (0, t ) = 0,
u (l , t ) = 0
(4.2)
38
и представимое в виде
u ( x, t ) = X ( x )T (t ),
(4.3)
где X (x ) - функция только переменного x , а T (t ) - функция только
переменного t .
Подставляя предполагаемую форму решения (4.3) в уравнение
(4.1) и производя деление обоих частей равенства на a 2 XT , получим
1 T ′ X ′′
=
= −λ ,
X
a2 T
где λ = const , так как левая часть равенства зависит только от t , а
правая – только от x . Отсюда следует, что
X ′′ + λX = 0,
( 4 .4 )
T ′ + a 2 λ T = 0.
( 4.4′)
Краевые условия (4.2) дают
X (0) = 0,
X (l ) = 0.
Таким образом, для определения функции X (x ) мы получили задачу о
собственных значениях
X ′′ + λX = 0,
X (0) = 0,
X (l ) = 0
(задача Штурма-Лиувилля). Как было найдено ранее (в случае
уравнения колебаний струны) нетривиальное решение задачи
Штурма-Лиувилля дает следующее значение параметра λ :
πn
λn =  
 l 
2
( n = 1, 2, 3, … ).
Для этих значений существуют решения уравнения (4.4)
X n ( x ) = sin
πn
l
x.
Решения уравнения
( 4.4′)
имеют тогда вид
Tn (t ) = Cn e −a λnt ,
где Cn - не определенные пока коэффициенты.
2
Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что
функции
un ( x, t ) = X n ( x )Tn (t ) = Cn e −λnt sin
πn
l
x
являются частными решениями уравнения (4.1) с нулевыми краевыми
условиями.
Обратимся теперь к решению основной задачи. Составим
формально ряд
39
∞
πn
n =1
l
u ( x , t ) = ∑ Cn e − λn t sin
x.
Функция u( x, t ) удовлетворяет граничным условиям, так как им
удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных
условий, получаем
∞
πn
n =1
l
ϕ ( x ) = u( x,0) = ∑ Cn sin
x,
т.е. Cn являются коэффициентами Фурье функции
разложении ее в ряд по синусам на интервале (0, l ) :
ϕ (x ) при
2
πn
Cn = ϕ n = ∫ ϕ ( x ) sin
xdx.
l 0
l
l
Пример 4.1. Дан тонкий однородный стержень длиной l ,
изолированный от внешнего пространства, начальная температура
которого равна cx / l 2 . Концы стержня поддерживаются при
температуре 00 . Определить температуру стержня в момент времени
t > 0.
Решение: Краевая задача имеет вид
ut = a 2 u xx ,
u( x,0) = cx / l 2 = ϕ ( x ),
u(0, t ) = u (l , t ) = 0.
В согласии с методом разделения переменных, получим
πn
cx ∞
ϕ ( x ) = u( x,0) = 2 = ∑ Cn sin x ,
l
l
n =1
откуда
2c
πn
Cn = ϕ n = 3 ∫ x sin xdx .
l
l 0
l
Вычисляя последний интеграл по частям, находим
Cn =
2c
( −1) n +1 .
πnl
Следовательно, решение задачи представляется рядом
u( x, t ) =
∞
2c ( −1)
∑
πl n =1 n
2
n +1
e
 πn 
−  a 2t
 l 
sin
πn
l
x.
Пример 4.2. Найти решение смешанной задачи для уравнения
′ на отрезке
теплопроводности
u tt′ = a 2 u ′xx
[0; l ] , удовлетворяющее
начальному условию u ( x,0) = ϕ ( x) , если
40
′,
utt′′ = 9u′xx
0< x <5
t > 0,
0 ≤ x ≤ 5 2,
x,
u(x,0) = ϕ(x) = 
5 − x, 5 2 < x ≤ 5,
u(0, t) = u(5, t) = 0.
Решение. Применяя для решения уравнения метод разделения
переменных и удовлетворяя краевым условиям, в общем случае
получим
u ( x, t ) =
∞
∑ cn
2
 nπa 
−
 t
e  l 
⋅ sin
n =1
nπ
x,
l
где cn - коэффициенты, подлежащие определению из начального
условия. Удовлетворяя ему, имеем
∞
ϕ ( x) = ∑ cn sin
n =1
откуда видно, что
разложении функции
cn
ϕ (x)
nπ
x,
l
являются коэффициентами Фурье при
в ряд по синусам на интервале (0; l ) , т.е.
l
2
nπ
ϕ ( x) sin
cn =
xdx.
l
l
∫
0
Окончательное решение поставленной задачи может быть
записано в виде
∞
2
 nπa 
 t
l 
l
−
2
nπ
ϕ ( x) sin
u ( x, t ) =
xdx ⋅ e 
l
l
n =1
∑ ∫
⋅ sin
0
В нашем случае
a = 3, l = 5
и поэтому
5
5
5 2

2
nπ
2
nπ
nπ

ϕ ( x) sin
cn =
xdx =  x sin
xdx + (5 − x) sin
xdx  =
5
5
5
5
5

0
52
 0

∫
2  5x
nπ 5 2 5
x
= −
⋅ cos
+
5  nπ
5 0
nπ

∫
52
∫ cos
0
∫
nπ
5(5 − x)
nπ 5
xdx −
cos
x
−
5
nπ
5 52
41
nπ
x.
l
5
−
nπ

nπ
nπ
25
nπ 5 2
 2  25
cos
xdx  =  −
⋅ cos
+ 2 2 ⋅ sin
x
+
5
5  2nπ
2 n π
2 0

52

5
∫
25
nπ
25
nπ 5 
=
⋅ cos
− 2 2 ⋅ sin
x
2nπ
2 n π
2 5 2 
25
nπ 
20
nπ
+ 2 2 ⋅ sin
,
 = 2 2 ⋅ sin
2  n π
2
n π
+
2  25
nπ
+
 2 2 ⋅ sin
5n π
2
n ∈ N.
Следовательно,
u ( x, t ) =
20
π
2
∞
nπ
2
1
∑ n 2 ⋅ sin
n =1
2
 3nπ 
−
 t
⋅e  5 
⋅ sin
nπ
x.
5
Пример 4.3. Найти решение уравнения теплопроводности ut′ = 9u ′xx′
для неограниченного
стержня (−∞ < x < ∞, t > 0) , удовлетворяющее
начальному условию, если
1 ≤ x ≤ 2,
4,
u ( x ,0 ) = ϕ ( x ) = 
0,
x < 1, x > 2.
Решение. В общем случае решение поставленной задачи Коши
может быть найдено в виде интеграла Пуассона
u ( x, t ) =
∞
1
∫ ϕ (α )e
2a πt
−
(α − x ) 2
4 a 2t
dα .
−∞
Поскольку в нашем случае на отрезке [1;2] функция ϕ (x) равна
постоянной u 0 , а вне его температура равна 0, то решение примет
вид
u ( x, t ) =
где
a = 3,
u0
2a πt
x2 − (α − x )
2
e 4a t
∫
2
dα ,
x1
x1 = 1 , x 2 = 2 , u 0 = 4 .
Данный результат, для упрощения вычислений,
преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)
Ф( x) =
1
2π
x
∫
e −t
2 2
можно
dt .
0
Для этой функции имеются специальные таблицы, приведенные в
Приложении 3. Тогда
42
  x − x1 
 x − x 2 
u ( x, t ) = u 0 Ф
 − Ф
.
 a 2t 
  a 2t 
В нашем случае
  x −1 
 x − 2 
u ( x, t ) = 4Ф
 − Ф
.
 3 2t 
  3 2t 
Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня
x в любой момент времени t , если в начальный момент времени t = 0
на участке [1;2] был произведен мгновенный нагрев стержня до
значения 4. Например, x = 3 , t = 9 , то
  2 
 1 
u (3,9) = 4Ф
 − Ф
. = 4[Ф(0.16) − Ф(0.08)] =
 9 2 
 9 2 
= 4(0.0636 − 0.0319) = 0.1268.
Отметим,
что рассмотренный подход к решению задачи
теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень настолько
длинный, что температура в его внутренних точках в
рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на его
концах.
4.3 Решение неоднородного уравнения теплопроводности
Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности
ut = a 2 u xx + f ( x, t )
(4.5)
с начальным условием
u( x,0) = 0
и краевыми условиями
u(0, t ) = 0,
u(l , t ) = 0.
Будем искать решение этой задачи u( x, t ) в виде разложения в ряд
Фурье по sin
∞
πn
l
x:
u( x, t ) = ∑ un (t ) sin
n =1
πn
l
(4.6)
x,
где t будем рассматривать как параметр. Для нахождения функции
u( x, t ) надо определить функции un (t ) . Представим функцию f ( x, t ) в
виде ряда
43
∞
πn
n =1
l
f ( x, t ) = ∑ f n (t ) sin
где
x,
2
πn
f n (t ) = ∫ f ( x, t ) sin xdx.
l0
l
l
Подставляя предполагаемую форму решения (4.6) в исходное
уравнение (4.5), получим

∞
πn   πn  2 2

ɺ
x
sin
−
a
u
(t)
−
u
(t)
−
f
(t)

∑
 
 = 0.
n
n
n
l
l




n =1
Это уравнение будет удовлетворяться, если все коэффициенты
разложения равны нулю, т.е.
 πn 
uɺn (t ) = −  a 2un (t ) − f n (t ).
 l 
2
(4.7)
Пользуясь начальным условием для u( x, t )
∞
πn
n =1
l
u( x,0) = ∑ un (0) sin
x = 0,
Получаем начальное условие для un (t ) :
un (0) = 0.
(4.8)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (4.7) с нулевым
начальным условием (4.8), находим
t
un ( t ) = ∫ e
 πn 
− a 2 ( t −τ )  
 l 
2
f n (τ )dτ .
(4.9)
0
Подставляя выражение (4.9) для un (t ) в формулу (4.6), получим
решение исходной задачи в виде
 t −a 2 ( t −τ )  πn  2
 πn
 l 

u ( x, t ) = ∑ ∫ e
f n (τ )dτ  sin
x.
l


n =1 0


∞
(4.10)
Мы рассмотрели неоднородное уравнение с нулевым начальным
условием. Если начальное условие отлично от нуля, то к этому
решению следует прибавить решение однородного уравнения с
заданным начальным условием u( x,0) = ϕ ( x ). Таким образом, для
первой краевой задачи
44
ut = a 2 u xx + f ( x, t ),
u( x,0) = ϕ ( x ),
u(0, t ) = 0
u(l , t ) = 0
существует решение
∞
u( x, t ) = ∑ C n e
 πn 
−a 2t  
 l 
2
n =1
 t −a 2 ( t −τ ) πn  2

πn
πn
l
 
sin
x + ∑ ∫ e
f n (τ )dτ  sin
x,

l
l
n =1  0


∞
где
2
πn
Cn = ϕ n = ∫ ϕ ( x ) sin xdx,
l 0
l
l
2
πn
f n (t ) = ∫ f ( x, t ) sin
xdx.
l 0
l
l
Пример 4.4. Найти решение уравнения
ut − a 2u xx = Ae − t ,
0 < x < l , t > 0,
удовлетворяющее условиям
u(0, t ) = u (l , t ) = 0, t > 0
u( x,0) = cx / l 2 .
Решение: Решение однородного уравнения ut − a 2u xx = 0 при заданных
граничных условиях было получено в предыдущей задаче. Оно имеет
вид
u( x, t ) =
∞
2c ( −1)
∑
πl n =1 n
 πn 
−  a 2t
 l 
2
n +1
e
sin
πn
l
x.
Найдем теперь решение неоднородного уравнения. Находим значение
f n (t ) :
[
]
πn
πn
2
2 Ae − t
2 Ae − t
f n (t ) = ∫ f ( x, t ) sin xdx =
sin xdx =
1 − ( −1) n .
∫
l 0
l
l 0
l
πn
l
l
Следовательно, уравнение (4.7) в этом случае примет вид
2 Ae
 πn 
uɺn (t ) +   a 2 un (t ) =
πn
 l 
2
−t
[(−1)
n
]
−1.
Решая последнее уравнение, находим
45

 πn 
−  a 2t 
 l 


2 A ( −1) n − 1]
un ( t ) = e
e
+
C

1 .
2 2 2
2
π
n
(
π
n
a
−
l
)




Из начального условия un (0) = 0 , получим
[
2
[
]
  πna  2 

−1  t
  l 



]
2 A ( −1) n − 1]
C1 = −
.
πn(π 2 n 2 a 2 − l 2 )
Таким образом, полное решение неоднородного уравнения задается
следующим рядом:
2
 πn  2
 a t
l 
2c ∞ ( −1) n +1 − 
u( x, t ) = ∑
e
πl n =1 n
πn
l
x+
   πna  2 −1 t  
2A
( −1) − 1]    l  
  πn
+
e
e
−
1

  sin x =
∑
2 2 2
2 
π n =1
l
π
n
(
n
a
−
l
)






2
   πna  2 −1 t  
 πn  2 
n
∞
  πn
2 c
( −1) − 1]    l  
 1 −  a t 
=  + A  ∑ e  l  ( −1) n +1 +
e
−
1

  sin x.
2 2 2
2
π l
l
π
n
(
n
a
−
l
)
n =1 n






∞

 πn 
−  a 2t 
 l 
sin
2
[
n
]
[
]
5. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Однородное трехмерное волновое уравнение
utt − a 2 (u xx + u yy + u zz ) = 0
и уравнение теплопроводности
ut − a 2 (u xx + u yy + y zz ) = 0
в случае когда функция u = u( x, y , z ) не зависит от t , т.е. ut = 0 и utt = 0 ,
переходит в уравнение Лапласа
u xx + u yy + u zz = 0,
или
∆u = 0,
(5.1)
∂2
∂2
∂2
где ∆ = 2 + 2 + 2 - оператор Лапласа (лапласиан). Это уравнение
∂x
∂y
∂z
эллиптического типа.
Уравнение Лапласа описывает стационарные явления, т.е.
состояния, не меняющиеся с течением времени. Так, например,
46
всякое стационарное распределение температур в однородном теле,
или стационарное поле плотностей в газе, должно удовлетворять
уравнению Лапласа ∆u = 0.
При наличии источников тепла получаем уравнение
∆u = − f ,
f =
F
,
k
(5.2)
где F - плотность тепловых источников, а k - коэффициент
теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа называется
уравнением Пуассона.
Рассмотрим стационарное распределение температур в
однородном поле, занимающем область T в пространстве. Допустим,
что на поверхности Σ задана температура внешней среды u * (Q ) (где
Q - точка границы Σ ), не меняющейся с течением времени, т.е. u * (Q )
- стационарное скалярное поле на поверхности Σ . Тогда температура
u должна удовлетворять следующему краевому условию
[
]
h u (Q ) − u* (Q ) = −k
∂u
∂n Σ
(5.3)
Здесь h и k - постоянные коэффициенты внешней и внутренней
теплопроводности, u(Q ) - значение температуры тела в точке Q его
границы, а
∂u
- значение производной в направлении внешней
∂n Σ
нормали в точке Q .
Стационарный тепловой режим на поверхности тела,
задаваемый условием (5.3), определяет некоторое стационарное
распределение температур внутри тела. Это распределение
температуры является решением следующей краевой задачи:
Найти функцию u( x, y, z ) , удовлетворяющую внутри T
уравнению
∆u = − f ( x , y , z )
и краевому условию, которое может быть взято в одном из
следующих видов:
1. k = 0. Первая краевая задача или задача Дирихле.
u Σ = f1 .
2.
h = 0.
Вторая краевая задача или задача Неймана.
∂u
= f2.
∂n Σ
3. h ≠ 0, k ≠ 0. Третья краевая задача.
47
∂u 

 hu + k  = f 3 .
∂n  Σ

Здесь f1 , f 2 , f 3 - заданные функции.
5.1 Задача Дирихле для круга
Решим первую краевую задачу для круга:
Найти функцию u , удовлетворяющую уравнению
∆u = 0 внутри круга
(5.4)
и краевому условию
u= f
на границе круга,
(5.5)
где f - заданная функция.
Введем полярную систему координат ( ρ , ϕ ) с началом в центре
круга. Уравнение (5.4) в полярных координатах имеет вид
∆u =
1 ∂  ∂u  1 ∂ 2 u
= 0.
ρ
+
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2
(5.6)
Будем решать задачу методом разделения переменных, т.е.
будем искать частные решения уравнения (5.4) вида
u( ρ , ϕ ) = R ( ρ )Φ (ϕ ).
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (5.6),
получим
d  dR 
ρ

dρ  dρ 
Φ ′′
=−
= λ,
R
Φ
ρ
где λ = const. Отсюда получаем два уравнения
Φ ′′ + λΦ = 0,
ρ
d
dρ
( 5 .7 )
 dR 
 ρ
 − λR = 0.
 dρ 
(5.8)
Первое из этих уравнений дает
Φ (ϕ ) = A cos λϕ + B sin λϕ .
Заметим, что при изменении угла ϕ на величину 2π однозначная
функция u( ρ , ϕ ) должна вернуться к исходному значению:
u( ρ , ϕ + 2π ) = u ( ρ , ϕ ).
Отсюда следует, что
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ),
48
т.е. Φ (ϕ ) - периодическая функция угла ϕ с периодом 2π . Это
возможно только, если λ = n , где n - целое число, и
Φ n (ϕ ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ .
Функцию R( ρ ) будем искать в виде
R( ρ ) = ρ µ .
Подставляя в уравнение (5.8) и сокращая на ρ µ , найдем
n 2 = µ 2 или µ = ± n ( n > 0).
Следовательно,
R ( ρ ) = Cρ n + Dρ − n ,
где C и D - постоянные. Для решения внутренней задачи надо
положить R = Cρ n ( µ = + n ) , так как, если D ≠ 0 , то функция
u = R ( ρ )Φ (ϕ ) обращается в бесконечность при ρ = 0 и не является
гармонической функцией внутри круга. Для решения внешней
задачи, наоборот, надо брать R = Dρ − n ( µ = −n ) , так как решение
внешней задачи должно быть ограничено в бесконечности.
Итак, частные решения задачи Дирихле для круга найдены:
un ( ρ , ϕ ) = ρ n ( An cos nϕ + Bn sin nϕ )
1
un ( ρ , ϕ ) =
ρn
ρ ≤ a,
( An cos nϕ + Bn sin nϕ )
ρ ≥ a,
где a - радиус круга. Суммы этих решений
u( ρ , ϕ ) =
∞
∑ ρ n ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ),
n=0
u( ρ , ϕ ) =
∞
1
∑ ρ n ( An cos nϕ + Bn sin nϕ )
n=0
также будут гармоническими функциями. Для
коэффициентов An и Bn используем краевое условие
определения
∞
u(0, ϕ ) = ∑ a n ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ) = f .
(5.9)
n =0
Считая, что f задана как функция угла ϕ , возьмем ее разложение в
ряд Фурье
f (ϕ ) =
где
α0
2
∞
+ ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
(5.10)
n =1
49
α0 =
βn =
π
1
π
∫ f (ψ )dψ ,
αn =
−π
1
π
π
∫ f (ψ ) cos nψdψ ,
−π
π
1
∫ f (ψ ) sin nψdψ .
π
−π
Сравнивая ряды (5.9) и (5.10), получаем
A0 =
A0 =
α0
2
α0
2
αn
ρ ≤ a,
An =
,
An = α n a n , Bn = a n β n
a
, Bn =
βn
,
n
an
ρ ≥ a.
Таким образом, мы получили формальное
внутренней задачи для круга в виде ряда
α0
решение
ρ
u( ρ ,ϕ ) =
+ ∑   (α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
2 n =1  a 
∞
первой
n
(5.11)
а решение внешней задачи в виде
α0
n
∞
a
u( ρ ,ϕ ) =
+ ∑   (α n cos nϕ + β n sin nϕ ).
2 n =1  ρ 
(5.12)
Оба ряда можно представить одной формулой
∞
α0
n =1
2
u( ρ , ϕ ) = ∑ t n (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) +
где
ρ
 a ≤ 1, при
t=
 a ≥ 1, при
 ρ
,
ρ ≤ a,
ρ ≥ a.
Пример 5.1. Решить задачу Дирихле для круга для уравнения
u xx + u yy = 0 с краевым условием на границе круга u = eϕ .
Решение: Вычисляя коэффициенты α 0 , α n , β n , находим
α0 =
1
π
π
ψ
∫e
−π
π
dψ =
(
eπ − e π ),
π
1
−
(
)
(
)
( −1) n
eπ − e − π ,
α n = ∫ e cos nψdψ =
2
π −π
π ( n + 1)
1
π
ψ
( −1) n n −π
e − eπ .
β n = ∫ e sin nψdψ =
2
π −π
π (n + 1)
1
ψ
Следовательно, решение внутренней задачи имеет вид
50
) (
) ∑  a 
1 π
eπ − e −π
u ( ρ ,ϕ ) =
e − e −π +
π
2π
(
∞
n
( −1)n
(cos nϕ − n sin nϕ ).
2
ρ
n
+
1

n =1 
Решение внешней задачи задается следующим рядом:
) (
)
1 π
eπ − e − π
−π
u( ρ ,ϕ ) =
e −e +
π
2π
(
n
 ρ  ( −1)
∑   2 (cos nϕ − n sin nϕ ) .
n =1  a  n + 1
∞
n
5.2 Интеграл Пуассона
Преобразуем теперь формулы (5.11) и (5.12) к более простому
виду. Для определенности рассмотрим внутреннюю задачу, а для
внешней напишем результат по аналогии.
Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу
(5.11) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим
u( ρ , ϕ ) =
=
π
1
π
∫
−π
π
1
π
 1 ∞  ρ  n

f (ψ )  + ∑   (cos nψ cos nϕ + sin nψ sin nϕ ) dψ =
 2 n =1  a 

 1 ∞  ρ  n

f (ψ )  + ∑   cos n (ϕ − ψ ) dψ .
 2 n =1  a 

∫
−π
(5.13)
Используя формулу Эйлера и формулу для суммы геометрической
прогрессии, произведем следующие преобразования:
[
]
1 ∞ n
1 1 ∞
+ ∑ t cos n (ϕ −ψ ) = + ∑ t n ein (ϕ −ψ ) + e − in (ϕ −ψ ) =
2 n =1
2 2 n =1
[(
∞
1
= 1 + ∑ tei (ϕ −ψ )
2  n =1
=
) + (te
n
)]
− i (ϕ −ψ ) n
 1
tei (ϕ −ψ )
te − i (ϕ −ψ ) 
+
=
 = 1 +
i (ϕ −ψ )
− i (ϕ −ψ ) 
2
1
−
te
1
−
te



1
1− t2
,
2 1 − 2t cos(ϕ −ψ ) + t 2
где t =
ρ
a
< 1 . Подставляя это выражение в (5.13), находим
1
u( ρ , ϕ ) =
2π
π
∫
−π
f (ψ )
1−
ρ2
a2
или
1
u( ρ , ϕ ) =
2π
−2
ρ
a
ρ2
a2
dψ
cos(ϕ − ψ ) + 1
π
a2 − ρ 2
∫ f (ψ ) ρ 2 − 2aρ cos(ϕ − ψ ) + a 2 dψ .
−π
51
Полученная формула, дающая решение первой краевой задачи внутри
круга, называется интегралом Пуассона, а подынтегральное
выражение
K ( ρ , ϕ , a ,ψ ) =
a2 − ρ 2
ρ 2 − 2aρ cos(ϕ − ψ ) + a 2
называется ядром Пуассона. При этом K ( ρ , ϕ , a,ψ ) > 0 при ρ < a .
Таким образом, функция, определяемая формулой
 1 π
a2 − ρ 2
f (ψ ) 2
dψ

u( ρ , ϕ ) =  2π −∫π
ρ − 2aρ cos(ϕ − ψ ) + a 2
 f (ψ )

при
ρ < a;
при
ρ =a
удовлетворяет уравнению ∆u = 0 при ρ < a в заданной области,
включая окружность ρ = a .
Решение внешней краевой задачи имеет вид
1 π
ρ 2 − a2
ψ
f
(
)
dψ

u( ρ , ϕ ) =  2π −∫π
ρ 2 − 2aρ cos(ϕ − ψ ) + a 2
 f (ψ )

при
ρ > a;
при
ρ = a.
5.3 Задача Неймана для круга
Требуется найти решение уравнения Лапласа
u xx + u yy = 0
в круге x 2 + y 2 ≤ a 2 , удовлетворяющее граничному условию на
границе γ :
∂u
= f (ϕ ),
∂n γ
или
∂u ∂u
∂u
= cos(n, x ) + cos(n, y ),
∂n ∂x
∂y
где n - нормаль к контуру
(5.14)
γ,
cos(n, x ) = cos ϕ ,
cos(n, y ) = sin ϕ .
Производная по нормали в граничном условии (5.14) имеет смысл
потока величины u через единицу длины границы γ .
Функция f (ϕ ) в условии (5.14) не является произвольной, а
удовлетворяет уравнению
2π
∫ f (ϕ )dϕ = 0,
(5.15)
0
52
которое следует из формулы Остроградского-Гаусса для интеграла по
замкнутому контуру γ :
2π
∫
0
 ∂ 2u ∂ 2u 
∂u
f (ϕ )dϕ = ∫ dγ = ∫∫  2 + 2 dxdy = 0.
∂n
∂y 
γ
D  ∂x
Рассмотрим решение задачи Неймана, а граничное условие (5.14)
перепишем в виде
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ( ρ , ϕ )
=
⋅
+ ⋅
=
= f (ϕ ).
∂n ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ
∂ρ ρ = a
Общее решение задачи Неймана по-прежнему описывается в виде
α0
∞
n
α0
∞
n
ρ
u( ρ , ϕ ) =
+ ∑   (α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
2 n =1  a 
a
u( ρ , ϕ ) =
+ ∑   (α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
2 n =1  ρ 
где α 0 - произвольная постоянная.
производной имеем выражение
∂u ∂u ∞ n  ρ 
=
=∑  
∂n ∂ρ n =1 a  a 
n −1
(α n cos nϕ + β n sin nϕ )
∂u ∂u ∞  n  a 
=
=∑ −  
∂n ∂ρ n =1  a  ρ 
n +1
ρ ≤a
ρ ≤a
Тогда
для
ρ ≤ a,
(α n cos nϕ + β n sin nϕ )
ρ ≥ a.
Полагая ρ = a , получим
∞
n
(α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
a
n =1
f (ϕ ) = ∑
ρ ≤ a,
∞
 n
f (ϕ ) = ∑  − (α n cos nϕ + β n sin nϕ ),
n =1  a 
ρ ≥ a,
где коэффициенты полученных рядов Фурье имеют вид
αn =
1
π
π
∫ f (ϕ ) cos nϕdϕ ,
−π
βn =
1
π
π
∫ f (ϕ ) sin nϕdϕ .
−π
53
нормальной
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1972. 563с.
2. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.:
Гостехиздат, 1954. 324с.
3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967. т. 2, т.
3, ч. 1, т. 3, ч.2. 462с., 521с.
4. Будак Б. М. и др. Сборник задач по математической физике. М.:
Гостехиздат, 1956. 385с.
5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики : учебник
для вузов / В.С. Владимиров. – М. : Наука, 1981. – 512 с. : ил.
6. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики [Электронный
ресурс] : учебник / Сабитов К. Б. – М. : Наука, 2013. - 352 с. Режим доступа : http://www.knigafund.ru/books/207637.
7. Сборник задач по уравнениям математической физики
[Электронный ресурс] : учебное пособие / под ред В.С.
Владимирова. - 3-е изд. – М. : Наука, 2001. - 287 с. - Режим
доступа : http://www.knigafund.ru/books/207548.
8. Алгазин
С.Д.
Численные
алгоритмы
классической
математической физики [Электронный ресурс] : учебное
пособие / С.Д. Алгазин ; под ред. О.А. Голубева. - М. : ДиалогМИФИ,
2010.
240
с.
Режим
доступа
:
http://www.knigafund.ru/books/198258.
9. Барашков В.А. Методы математической физики [Электронный
ресурс] : учебное пособие / В.А. Барашков ; Сибирский
Федеральный университет. - Красноярск : Сибирский
федеральный университет, 2012. - 150 с. - Режим доступа :
http://www.knigafund.ru/books/183288.
54
Учебное издание
Составитель
Варламов Вадим Валентинович
Уравнения математической физики
Конспект лекций
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 15.06.2017
Формат бумаги 60 × 84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ.л. 2,22 Уч.-изд. л. 2,46 Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42
Издательский центр СибГИУ
55
56