Отчет

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Инженерно-физический институт биомедицины
Кафедра медицинской физики
Моделирование движения электрического заряда в постоянном
электрическом и магнитном поле
Москва, 2022 г
Содержание
Цель работы ............................................................................................................. 3
Теоретическое введение ......................................................................................... 4
Алгоритм .................................................................................................................. 6
Проверка разработанной модели на соответствие теории .................................. 7
Описание графического интерфейса ..................................................................... 8
Результаты и анализ ................................................................................................ 9
Заключение ............................................................................................................ 12
Приложение ........................................................................................................... 13
Цель работы
Цель: описание движения заряда в электрическом и магнитном поле рамки с
током при известных значениях потенциала на границах рамки и заданной
плотности заряда.
Поставленные задачи:
1. Расчет магнитной индукции рамки с постоянным током.
2. Расчет
напряженности
электрического
поля
при
заданных
потенциале на границах и плотности заряда.
3. Разработка графического интерфейса, состоящего из: окна для
визуализации
результатов
расчетов,
редактируемых
окон,
позволяющих задавать значения входных параметров задачи,
управляющих кнопок, предназначенных для запуска процесса
расчета, вывода результатов, поясняющих надписей (статический
текст)
4. Визуализация траектории заряженной частицы в электромагнитном
поле рамки при известном начальном положении и заданной
начальной скорости.
5. Исследование
траектории
электромагнитном поле.
движения
заряженной
частицы
в
Теоретическое введение
1)
Визуализация траектории заряда в электромагнитном поле
На электрический заряд q, движущийся в электрическом и магнитном поле со
скоростью v, действует сила Лоренца
⃗⃗]) (1)
𝐹⃗ = 𝑞 (𝐸⃗⃗ + [𝑣⃗ × 𝐵
В соответствии со вторым законом Ньютона
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗ (2)
Для численного моделирования траектории заряженной частицы необходимо
при заданных напряженностях электрического и магнитного полей и
заданных начальных условиях определить шаг координатной сетки, и, исходя
из величины шага, определить формулу для расчета времени, когда заряд
окажется в другом узле заданной координатной сетки. В первом
приближении полагая, что между двумя узлами заряд движется равномерно,
можно определить шаг по времени для рассматриваемой задачи
𝑡=
ℎ
√𝑣𝑥 2 +𝑣𝑦 2
(3)
Зная шаг по времени, можно определить координаты узла, в котором
окажется заряд через время t, его скорость через время t. Далее, повторяя этот
процесс, можно визуализировать траекторию движения заряженной частицы
в электромагнитном поле. Необходимо отметить, что в узлах координатной
сетки, где скорость частицы равна 0, берем t также в соответствии с
формулой (3), полагая vx = vy =10-7 м/с, для предотвращения обращения t в
бесконечность.
2)
Расчет магнитного поля рамки с постоянным током
Известно, что магнитная индукция прямого тока равна
𝐵=
µ0 𝐼
4π𝑏
∗ (cos 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽) (4)
где b – расстояние до провода,
𝛼 и 𝛽 −углы между проводом и прямой, направленной от точки, где
производится расчет магнитной индукции до концов провода.
Тогда, используя принцип суперпозиции, можно найти магнитную индукцию
рамки с током, представив ее как 4 прямых провода с током.
3)
Расчет электрического поля при заданных потенциалах на границе
Зная потенциал на границе рамки, с помощью итерационного процесса
можно получить численное решение уравнение Пуассона. В свою очередь
электрическое поле выражается через потенциал как
𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝜑) (5)
Алгоритм
Задание магнитного поля рамки с током
1)
Задание координатной сетки;
2)
Вычисление магнитной индукции рамки с током в узлах
координатной сетки согласно формуле (4) теоретического введения,
используя принцип суперпозиции, представив рамку как совокупность
4 прямых токов.
Задание электрического поля рамки с током
1) Задание начального приближения решения уравнения в виде
правой части уравнения Пуассона (плотности заряда);
2) Реализация итерационного процесса до достижения заданной
точности решения с использованием формулы;
3) Вычисление значений напряженности электрического поля в
узлах
заданной
координатной
сетки
согласно
формуле
(5)
теоретического введения
Визуализация траектории заряженной частицы в электромагнитном поле
рамки с током
1)
Вычисление
значения
координат
заряда
через
время
t,
определяемое в соответствии с формулой (3) теоретического
введения;
2)
Вычисление скорости заряда через время t, причем ускорение
определяется в соответствии с формулой (1) теоретического введения;
3)
Определение координат заряда через время t, считая движение
равноускоренным, используя округление результата для совпадения
новых координат заряда с узлами заданной координатной сетки.
4)
Повтор приведенного выше процесса пока заряд не покинет
рассматриваемую область или число циклов не превысит 700.
Проверка разработанной модели на соответствие теории
Для проверки разработанной модели на соответствие теории рассмотрим
траекторию движения заряда при постоянном значении потенциала на
границах, нулевой плотности заряда и ненулевом значении силы тока,
протекающего через рамку. В данном случае напряженность электрического
поля равна 0 и имеется только магнитное поле.
Рис. 1. Траектория заряда при нулевой напряженности электрического поля и нулевой начальной
скорости
Так как сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля,
перпендикулярна скорости, то траекторией частицы являются окружности,
радиусы которых меняются от узла к узлу вследствие неоднородности
магнитного поля рамки с током. Смоделированная траектория соответствует
теории, а негладкая форма траектории объясняется тем, что в процессе
выполнения программы заряд обязательно должен проходить через узлы
координатной сетки, так как значения полей заданы только в них.
Описание графического интерфейса
Рис. 2 Графический интерфейс
При первом запуске необходимо ввести параметры налетающей частицы (ее
массу, выраженную через массу электрона, заряд, выраженный через
элементарный заряд электрона, начальное положение частицы и ее
начальную скорость) и параметры электромагнитного поля (потенциалы на
границах рамки, плотность заряда, точность реализуемого в программе
итерационного процесса, размер рассматриваемой области и силу тока в
рамке).
1. При нажатии на кнопку «Траектория движения» происходит
визуализация траектории заряженной частицы в электромагнитном
поле рамки с током.
2. При нажатии на кнопку «Печать» происходит вывод графика
траектории заряженной частицы в электромагнитном поле рамки с
током на экран.
Результаты и анализ
Траектории
движения
заряда
при
различных
конфигурациях
электромагнитного поля
Рис. 3. Траектория заряда №1
В рассмотренной конфигурации электромагнитного поля за счет одинаковых
значений потенциала и небольшой плотности заряда внутри рамки сначала на
траекторию основной вклад вносится магнитным полем, за счет которого
частица движется по спиралевидной траектории. Далее траектория частицы
становится
похожей
на
прямолинейное
движение,
что
объясняется
увеличением вклада силы со стороны электрического поля на заряженную
частицу по сравнению с вкладом магнитного поля.
Рис. 4. Траектория заряда №2
Особенности
траектории
№2
можно
объяснить
аналогично
случаю
траектории №1, сначала магнитное поле действует с большей силой на
заряженную частицу и является определяющим траекторию в большей
степени, чем электрическое поле, затем больший вклад вносит уже
электрическое поле.
Рис. 5. Траектория заряда №3
В случае траектории заряда №3 напряженность электрического поля
отсутствует и имеется только магнитное поле, которое обуславливает
движение заряженной частицы по «спирали».
Рис. 6. Траектория заряда №4
В случае траектории заряда №4 магнитное поле мало по сравнению с
электрическим полем, поэтому заряд движется по менее криволинейной
траектории за счет преобладающего по сравнению с силой со стороны
магнитного поля силы со стороны электрического поля.
Заключение
В данной работе проводилось моделирование траектории движения
заряженной частицы в электромагнитном поле рамки с током и заданными
потенциалами на границах.
В результате разработана программа, проводящая визуализацию траектории
движения заряда в электромагнитном поле.
Также проведена проверка созданной модели на адекватность путем
рассмотрения траектории заряженной частицы только в магнитном поле при
отсутствии
электрического
поля. Результатом
проведенной
проверки
является полное соответствие разработанной модели теории.
Вместе с тем проведено исследование траектории движения заряженной
частицы
при
различных
параметрах
налетающей
частицы
и
электромагнитного поля. Результатом исследования является выявление
наличия связи между формой траектории частицы и преобладанием
магнитного или электрического поля над электрическим или магнитным
полем соответственно.
Кроме того, разработан графический интерфейс, удобный для пользователя
вследствие возможности наблюдения за изменениями результатов работы
программы при изменении входных данных, а именно параметров
налетающей частицы и параметров электромагнитного поля рамки с током.
Приложение
1) Функция,
результатом
работы
которой
является
визуализация
траектории движения заряженной частицы
function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
global v;
global m1 q1 u1 u2 u3 u4 X0 Y0 Vx0 Vy0 p epsilon R I;
read_data(handles);
q=q1*1.6e-16;
m=m1*9.1*10e-31;
N=100;
h=R/N;
i=1:N+1;
j=1:N+1;
mu(i,1)=u1; %слева
mu(i,N+1)=u2;%справа
mu(1,j)=u3;%снизу
mu(N+1,j)=u4;%вверху
kx=2:N;
ky=2:N;
mu(kx,ky)=p;
Omega=1;
z=IterationL(N,Omega,epsilon,mu);
x(i)=(i-1)*h;
y(j)=(i-1)*h;
[x1 y1]=meshgrid(x,y);
K=v-1;
N1=(N+1)*K+1;
N2=(N+1)*(K+1);
A=z(1:N+1,N1:N2);
h=R/N;
[Ex,Ey] = gradient(A,h,h);
Bz=MagneticField(I,x,y);
X=zeros(1,1000);
Y=zeros(1,1000);
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
Vx=zeros(1,1000);
Vy=zeros(1,1000);
Vx(1)=Vx0;
Vy(1)=Vy0;
u=0;
i=1;
while ((X(i)>=0)&&(X(i)<=R))&&((Y(i)>=0)&&(Y(i)<=R))
ax2=q/m*Ex(round(X(i)/h)+1,round(Y(i)/h)+1);
ay2=q/m*Ey(round(X(i)/h)+1,round(Y(i)/h)+1);
ax1=q/m*Vy(i)round(X(i/h)+1,round(Y(i)/h)+1);
ay1=-q/m*Vx(i)round(X(i/h)+1,round(Y(i)/h)+1);
ax=ax1+ax2;
ay=ay1+ay2;
if ((Vx(i)==0)&&(Vy(i)==0))
Vx(i)=10e-8;
Vy(i)=10e-8;
end;
T=h/(Vx(i)^2+Vy(i)^2)^0.5;
FF=(X(i)+Vx(i)*T+ax*(T^2)/2)/h;
X(i+1)=round(FF)*h;
FFF=(Y(i)+Vy(i)*T+ay*(T^2)/2)/h;
Y(i+1)=round(FFF)*h;
Vx(i+1)=Vx(i)+ax*T;
Vy(i+1)=Vy(i)+ay*T;
if Y(i+1)>99 || Y(i+1)<1
break
end;
u=u+1;
i=i+1;
if i==700
break;
end;
end;
for i=1:u
X2(i)=X(i);
Y2(i)=Y(i);
end;
plot(X2,Y2);
xlim([0 R]);
ylim([0 R]);
2) Функция, возвращающая значение магнитной индукции в каждом узле
заданной координатной сетки
function Bz=MagneticField(i,x,y)
global R;
b1=zeros(1,100);
b2=zeros(1,100);
b3=zeros(1,100);
b4=zeros(1,100);
alfa1=zeros(100,100);
alfa2=zeros(100,100);
beta1=zeros(100,100);
beta2=zeros(100,100);
gamma1=zeros(100,100);
gamma2=zeros(100,100);
delta1=zeros(100,100);
delta2=zeros(100,100);
bz=zeros(100,100);
Nx=length(x);
Ny=length(y);
for k=51:Nx
for l=51:Ny
b1(k) = R-x(k);
b2(l) = R-y(l);
b3(k) = x(k);
b4(l) = y(l);
alfa1(k,l) = b1(k)/b2(l);
alfa2(k,l) = b1(k)/b4(l);
beta1(k,l) = 1/alfa1(k,l);
beta2(k,l) = b2(l)/b3(k);
gamma1(k,l) = 1/beta2(k,l);
gamma2(k,l)= b3(k)/b4(l);
delta1(k,l) = 1/gamma2(k,l);
delta2(k,l) = 1/alfa2(k,l);
bz(k,l) =
((1/(1+(alfa1(k,l))^2))^(0.5)+(1/(1+(alfa2(k,l))^2))^(0.5))*(1/b
1(k))+((1/(1+(beta1(k,l))^2))^(0.5)+(1/(1+(beta2(k,l))^2))^(0.5)
)*(1/b2(l))+((1/(1+(gamma1(k,l))^2))^(0.5)+(1/(1+(gamma2(k,l))^2
))^(0.5))*(1/b3(k))+((1/(1+(delta1(k,l))^2))^(0.5)+(1/(1+(delta2
(k,l))^2))^(0.5))*(1/b4(l));
end;
end;
for a=1:50
for b=51:Ny
d=Nx-a;
bz(a,b) = bz(d,b);
end;
end;
for a=1:Nx
for b=1:50
d=Ny-b;
bz(a,b) = bz(a,d);
end;
end;
Bz=i*bz*10e-8;
3) Функция, возвращающая значения потенциала в узлах заданной
координатной сетки на каждом шаге итерационного процесса
function z=IterationL(N,Omega,w,phi)
global v R;
h=R/N;
i=1:N+1;
x(i)=(i-1)*h;
j=1:N+1;
y(j)=(j-1)*h;
r=w+10;
v=0;
for j=1:N
for i=1:N
t(i,j)=phi(i,j);
end;
end;
while r>w
for j=2:N
for i=2:N
phi(i,j)=(1-Omega)*phi(i,j)+Omega/4*(phi(i+1,j)+phi(i1,j)+phi(i,j+1)+phi(i,j-1)+h.^2*f(i+1,j+1));
e(i,j)=abs(t(i,j)-phi(i,j));
t(i,j)=phi(i,j);
end;
end;
v=v+1;
u=0;
for j=2:N
for i=2:N
if e(i,j)>u
r=e(i,j);
u=e(i,j);
end;
end;
end;
if v==1
q=phi;
else
q=cat(2,q,phi);
end;
end;
z=q;